2019中考数学全程演练 第二部分 图形与几何 第七单元 三角形 第21课时 三角形的基础知识
中考数学全程演练第二部分图形与几何第七单元三角形第24课时直角三角形和勾股定理(2021年整理)
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第24课时直角三角形和勾股定理（60分）一、选择题(每题5分，共25分）1．［2016·毕节］下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(B）A。
错误!,错误!，错误!B．1，错误!，错误!C．6，7,8 D．2，3，42．如图24－1,在Rt△ABC中,∠C＝90°，AC＝9,BC＝12,则点C到AB的距离是（A)A.错误!B。
错误!C.错误!D。
错误!【解析】在Rt△ABC中,AC＝9,BC＝12,根据勾股定理得AB＝错误!＝15，过C作CD⊥AB，交AB于点D，又S△ABC＝错误!AC·BC＝错误!AB·CD，∴CD＝错误!＝错误!＝错误!，则点C到AB的距离是错误!.故选A.图24－1 第2题答图3．［2017·甘孜］如图24－2,点D在△ABC的边AC上,将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为（D)A．1 B．2C．3 D．4图24－24．将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图24－3,则三角板最长边的长为 (D）A．3 cm B．6 cmC．3 2 cm D．6错误! cm图24－3 第4题答图【解析】如答图，过点C作CD⊥AD于点D,∴CD＝3.在直角三角形ADC中，∵∠CAD＝30°，∴AC＝2CD＝2×3＝6.又∵三角板是有45°角的三角板，∴AB＝AC＝6，∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋62＝72，∴BC＝6错误!,故选D。
中考数学冲刺复习课件：第21课时直角三角形和勾股定理
第21课时 直角三角形和勾股定理课时作业
一、选择题
1.(2014•黄石)如图21-1，一个矩形纸片，剪去部分后得到
一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是( C )
A．30°
B．60° C．90°
D．120°
2.如图21-2，△ABC与△ABD是直角三角形，点F是AB的中点
，若CF=8，则DF的长为( C )
第21课时 直角三角形和勾股定理
4.(2014•西宁)如图21-8，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30° ，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说 法错误的是( D )
A．∠CAD=30° B．AD=BD C．BD=2CD D．CD=ED
提示：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD=30°， ∴∠CAD=∠BAD=∠B， ∴AD=BD，AD=2CD， ∴BD=2CD， 根据已知不能推出CD=DE， 即只有D错误，选项A、B、C的答案都正确．
A．49
B．25
C．13
D．1
提示：由于大正方形的面积25，小正方形的面积是1，
则四个直角三角形的面积和是25－1=24，即4× ab=24，
即2ab=24，a2+b2=25，
则(a+b)2=25+24=49．
5.(2013•济南)如图21-5，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端
，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆
8.在△ABC中，若BC边上的中线AD= BC， 则该三角形的形状为( B )
A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
9.在下列选项中，已知三角形三边长，能
2019年中考数学复习 三角形 第21讲 三角形试题(含解析)
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……第21讲 三 角 形1. (2011，河北)已知三角形的三边长分别为2，x ，13.若x 为正整数，则这样的三角形个数为(B )A. 2B. 3C. 5D. 13【解析】 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2＋x ＞13，x ＜13＋2.解得11＜x ＜15.因为x 为正整数，所以x 可以为12，13，14.2. (2013，河北，导学号5892921)如图①，M 是铁丝AD 的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC ，且∠B ＝30°，∠C ＝100°，如图②，则下列说法正确的是(C )第2题图A. 点M 在AB 上B. 点M 在BC 的中点处C. 点M 在BC 上，且距点B 较近，距点C 较远D. 点M 在BC 上，且距点C 较近，距点B 较远【解析】 如答图，取BC 的中点E ，连接AE ，则BE ＝CE .∵∠C ＝100°，∴AB ＞AC .∴AB＋BE ＞AC ＋CE .由三角形的三边关系，得AC ＋BC ＞AB .∴AB ＜12AD .∴AD 的中点M 在BE 上，即点M 在BC 上，且距点B 较近，距点C 较远．第2题答图3. (2014，河北)如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若DE ＝2，则BC 的长为(C )第3题图A. 2B. 3C. 4D. 5【解析】 ∵D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线．∴BC ＝2DE ＝4.4. (2014，河北)如图，平面上直线a ，b 分别过线段OK 两端点，则a ，b 相交所成的锐角是(B )第4题图A. 20°B. 30°C. 70°D. 80°【解析】 如答图，分别延长a ，b 交于一点，形成一个三角形．根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，可以得到a ，b 相交所成的锐角是100°－70°＝30°.第4题答图5. (2018，河北)下列图形具有稳定性的是(A )A B C D【解析】 三角形具有稳定性．三角形的边与角例1 如图，把△ABC 沿DE 折叠，当∠A 落在四边形BCDE 内时，∠A 与∠1＋∠2之间始终不变的关系是(B )例1题图A. ∠A ＝∠1＋∠2B. 2∠A ＝∠1＋∠2C. 3∠A ＝∠1＋∠2D. 3∠A ＝2(∠1＋∠2)【解析】 ∵△ABC 沿DE 折叠，∴∠1＋2∠AED ＝180°，∠2＋2∠ADE ＝180°.∴∠AED ＝12(180°－∠1)，∠ADE ＝12(180°－∠2)．∴∠AED ＋∠ADE ＝12(180°－∠1)＋12(180°－∠2)＝180°－12(∠1＋∠2)．∴在△ADE 中，∠A ＝180°－(∠AED ＋∠ADE )＝180°－⎣⎢⎡⎦⎥⎤180°－12（∠1＋∠2）＝12(∠1＋∠2)，即2∠A ＝∠1＋∠2. 针对训练1(2018，聊城)如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在△ABC 外的A ′处，折痕为DE .如果∠A ＝α，∠CEA ′＝β，∠BDA ′＝γ，那么下列式子中正确的是(A )训练1题图 A. γ＝2α＋βB. γ＝α＋2βC. γ＝α＋βD. γ＝180°－α－β【解析】 如答图．由折叠，得∠A ′＝∠A .∵∠BDA ′＝∠A ＋∠AFD ，∠AFD ＝∠A ′＋∠CEA ′，∠A ＝α，∠CEA ′＝β，∠BDA ′＝γ，∴∠BDA ′＝γ＝α＋α＋β＝2α＋β.训练1答图三角形的角平分线、中线、高、中位线例2 如图，在△ABC 中，分别作其内角∠ACB 与外角∠DAC 的平分线，且两条平分线所在的直线交于点E .(1)①如图①，若∠B ＝60°，则∠E ＝ 30° ；②如图②，若∠B ＝90°，则∠E ＝ 45° ；(2)如图③，若∠B ＝α，求∠E 的度数；(3)如图④，仿照(2)中的方法，在(2)的条件下分别作∠EAB 与∠ECB 的平分线，且两条角平分线交于点G ，求∠G 的度数．① ② ③ ④例2题图【思路分析】 (1)①根据三角形的外角性质可得∠DAC －∠ACB ＝∠B ＝60°，再根据角平分线的定义可得∠FAC －∠ACE ＝30°，可求∠E 的度数．②根据三角形的外角性质可得∠DAC －∠ACB ＝∠B ＝90°，再根据角平分线的定义可得∠FAC －∠ACE ＝45°，可求∠E 的度数．(2)根据三角形的外角性质可得∠DAC －∠ACB ＝∠B ＝α，再根据角平分线的定义可得∠FAC －∠ACE ＝12α，可求∠E 的度数．(3)根据角平分线的定义和三角形的外角性质可得∠G ＝∠HAC －∠ACG ＝32∠FAC －32∠ACE ＝32(∠FAC －∠ACE )，可求∠G 的度数． 解：(1)①30°②45°(2)∵AF 平分∠DAC ，CE 平分∠ACB ，∴∠FAC ＝12∠DAC ，∠ACE ＝12∠ACB . ∵∠DAC －∠ACB ＝∠B ＝α，∴∠E ＝∠FAC －∠ACE ＝12∠B ＝12α. (3)∵AG ，CG 分别平分∠EAB 与∠ECB ，∴∠G ＝∠HAC －∠ACG ＝32∠FAC －32∠ACE ＝32(∠FAC －∠ACE )＝32×12∠B ＝34α. 针对训练2 (2018，广州海珠区模拟)如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点，连接BE ，CE .若△ABC 的面积是8，则阴影部分的面积为(B )训练2题图 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【解析】 ∵AD 是△ABC 的中线，∴S △ABD ＝S △ACD ＝12S △ABC .∵E 是AD 的中点，∴S △ABE ＝S △BDE ＝12S △ABD ，S △CDE ＝S △CAE ＝12S △ACD .∴S △ABE ＝14S △ABC ，S △CDE ＝14S △ABC .∴S △ABE ＋S △CDE ＝12S △ABC ＝12×8＝4.∴阴影部分的面积为4.针对训练3 (2018，黄石)如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE ，BF 分别是∠BAC ，∠ABC 的平分线，∠BAC ＝50°，∠ABC ＝60°，则∠EAD ＋∠C 等于(A )训练3题图A. 75°B. 80°C. 85°D. 90°【解析】 ∵AD 是BC 边上的高，∠ABC ＝60°，∴∠BAD ＝30°.∵∠BAC ＝50°，AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝25°.∴∠DAE ＝30°－25°＝5°.∵在△ABC 中，∠C ＝180°－∠ABC －∠BAC ＝70°，∴∠EAD ＋∠C ＝5°＋70°＝75°.针对训练4 (2017，河北)如图，A ，B 两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C ，连接CA ，CB ，分别延长到点M ，N ，使AM ＝AC ，BN ＝BC ，测得MN ＝200 m ，则A ，B 间的距离为 100 m.训练4题图【解析】 ∵AM ＝AC ，BN ＝BC ，∴AB 是△CMN 的中位线．∴AB ＝12MN ＝100(m)．一、 选择题1. (2018，长沙)下列长度的三条线段，能组成三角形的是(B )A. 4 cm ，5 cm ，9 cmB. 8 cm ，8 cm ，15 cmC. 5 cm ，5 cm ，10 cmD. 6 cm ，7 cm ，14 cm【解析】 A. ∵5＋4＝9，9＝9，∴此三条线段不能组成三角形．故此选项错误．B. 8＋8＝16，16＞15，∴此三条线段能组成三角形．故此选项正确．C. ∵5＋5＝10，10＝10，∴此三条线段不能组成三角形．故此选项错误．D. ∵6＋7＝13，13＜14，∴此三条线段不能组成三角形．故此选项错误．2. (2018，石家庄模拟)一副三角板有两个直角三角形，如图所示叠放在一起，则α的度数是(A )第2题图A. 165°B. 120°C. 150°D. 135°【解析】如答图．∵∠1＋45°＋90°＝180°，∴∠1＝45°.∵∠1＝∠2＋30°，∴∠2＝15°.∵∠2＋α＝180°，∴α＝165°.第2题答图3. (2018，石家庄裕华区一模)如图，将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO.若∠DOF＝142°，则∠C的度数为(A)第3题图A. 38°B. 39°C. 42°D. 48°【解析】∵△ABC沿DE，EF翻折，∴∠DOE＝∠A，∠EOF＝∠B.∴∠DOF＝∠DOE＋∠EOF ＝∠A＋∠B＝142°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－142°＝38°.4. (2018，昆明)在△AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则∠CDO的度数为(B)第4题图A. 90°B. 95°C. 100°D. 120°【解析】∵CO＝AO，∠AOC＝130°，∴∠CAO＝25°.∵∠AOB＝70°，∴∠CDO＝∠CAO ＋∠AOB＝25°＋70°＝95°.5. (2018，淄博周村区二模)用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是(A)A B C D【解析】根据高线的定义可得出结论．6. (2018，贵阳)如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC 的中线，则该线段是(B)第6题图A. 线段DEB. 线段BEC. 线段EFD. 线段FG【解析】 根据三角形中线的定义可得出结论．7. (2018，宿迁)如图，点D 在△ABC 的边AB 的延长线上，DE ∥BC .若∠A ＝35°，∠C ＝24°，则∠D 的度数是(B )第7题图A. 24°B. 59°C. 60°D. 69°【解析】 ∵∠A ＝35°，∠C ＝24°，∴∠DBC ＝∠A ＋∠C ＝59°.∵DE ∥BC ，∴∠D ＝∠DBC ＝59°.8. (2018，石家庄模拟)如图，长度为10 m 的木条，从两边各截取长度为x m 的木条．若得到的三根木条能组成三角形，则x 可以取的值为(C )第8题图A. 2 mB. 52 mC. 3 mD. 6 m【解析】 根据三角形三边关系，得2x ＞10－2x ，且2x ＜10.解得2.5<x <5.9. (2018，廊坊安次区一模)下列图形中，能确定∠1＞∠2的是(C )A B C D【解析】 A. ∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2.故此选项错误．B. 若两条直线平行，则∠1＝∠2.若两条直线不平行，则∠1与∠2的大小关系无法进行判断．故此选项错误．C. ∵∠1是∠2所在三角形的一个外角且与∠2不相邻，∴∠1＞∠2.故此选项正确．D. ∵已知三角形是直角三角形，∴由直角三角形两锐角互余可判断出∠1＝∠2.10. (2018，长春)如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E .若∠A ＝54°，∠B ＝48°，则∠CDE 的度数为(C )第10题图A. 44°B. 40°C. 39°D. 38°【解析】 ∵∠A ＝54°，∠B ＝48°，∴∠ACB ＝180°－54°－48°＝78°.∵CD 平分∠ACB交AB 于点D ，∴∠DCB ＝12×78°＝39°.∵DE ∥BC ，∴∠CDE ＝∠DCB ＝39°. 11. (2018，西安灞桥区模拟，导学号5892921)如图，S △ABC ＝1.若S △BDE ＝S △DEC ＝S △ACE ，则S △ADE 等于(B )第11题图A. 15B. 16C. 17D. 18【解析】 ∵S △BDE ＝S △DEC ，∴BD ＝DC .∴S △ABD ＝12S △ABC ＝12.∵S △ABC ＝1，S △BDE ＝S △DEC ＝S △ACE ，∴S △BDE ＝S △DEC ＝S △ACE ＝13.∴S △ADE ＝S △ABD －S △BDE ＝12－13＝16. 12. (2018，杭州二模)四根长度分别为3，4，6，x (x 为正整数)的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，则(D )A. 组成的三角形中周长最小为9B. 组成的三角形中周长最小为10C. 组成的三角形中周长最大为19D. 组成的三角形中周长最大为16【解析】 由从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，可得3＜x ＜7.因为x 为正整数，所以x 只能为4或5或6.所以其周长最小为4＋3＋4＝11，周长最大为4＋6＋6＝16.13. (2018，河北二模)如图，将直角三角形纸片ABC 折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE .若∠C ＝90°，∠A ＝35°，则∠DBC 的度数为(C )第13题图A. 40°B. 30°C. 20°D. 10°【解析】 ∵∠C ＝90°，∠A ＝35°，∴∠ABC ＝55°.由折叠，可得∠ABD ＝∠A ＝35°.∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝55°－35°＝20°.二、 填空题14. (2018，泰州)已知三角形两边的长分别为1，5，第三边的长为整数，则第三边的长为 5 .【解析】 设第三边的长为x .根据三角形的三边关系，得4＜x ＜6.因为第三边的长为整数，所以第三边的长是5.15. (2018，白银)已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，a ，b 满足|a －7|＋(b －1)2＝0，c 为奇数，则c ＝ 7 .【解析】 ∵a ，b 满足|a －7|＋(b －1)2＝0，∴a －7＝0，b －1＝0.解得a ＝7，b ＝1.∵7－1＝6，7＋1＝8，∴6＜c ＜8.∵c 为奇数，∴c ＝7.三、 解答题16. (2018，宜昌)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝40°，△ABC 的外角∠CBD 的平分线BE 交AC 的延长线于点E .(1)求∠CBE 的度数；(2)过点D 作DF ∥BE ，交AC 的延长线于点F ，求∠F 的度数．第16题图【思路分析】 (1)先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC ＝90°－∠A ＝50°，由邻补角的定义得出∠CBD ＝130°.再根据角平分线的定义即可求出∠CBE ＝12∠CBD ＝65°.(2)先根据三角形外角的性质得出∠CEB ＝90°－65°＝25°，再根据平行线的性质即可求出∠F ＝∠CEB ＝25°.解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝40°，∴∠ABC ＝90°－∠A ＝50°.∴∠CBD ＝130°.∵BE 是∠CBD 的平分线，∴∠CBE ＝12∠CBD ＝65°. (2)∵∠ACB ＝90°，∠CBE ＝65°，∴∠CEB ＝90°－65°＝25°.∵DF ∥BE ，∴∠F ＝∠CEB ＝25°.17. (2018，扬州江都区模拟)如图①，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，且与△ABC 的外角∠ACE 的平分线交于点D .(1)若∠ABC ＝75°，∠ACB ＝45°，求∠D 的度数；(2)若把∠A 截去，得到四边形MNCB ，如图②，猜想∠D ，∠M ，∠N 的关系，并说明理由．第17题图【思路分析】 (1)根据三角形内角和定理以及角平分线定义，先求出∠D ，∠A 的等式，推出∠A ＝2∠D ，最后代入求出即可．(2)根据(1)中的结论即可得到结论．解：(1)∵∠ACE ＝∠A ＋∠ABC ，∴∠ACD ＋∠ECD ＝∠A ＋∠ABD ＋∠DBE ，∠DCE ＝∠D ＋∠DBC .∵BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACE ，∴∠ABD ＝∠DBE ，∠ACD ＝∠ECD .∴∠A ＝2(∠DCE －∠DBC )，∠D ＝∠DCE －∠DBC .∴∠A ＝2∠D .∵∠ABC ＝75°，∠ACB ＝45°，∴∠A ＝60°.∴∠D ＝30°.(2)∠D ＝12(∠BMN ＋∠CNM －180°)． 理由：如答图，延长BM ，CN 交于点A ，则∠A ＝∠BMN ＋∠CNM －180°.由(1)知∠D ＝12∠A . ∴∠D ＝12(∠BMN ＋∠CNM －180°)．第17题答图1. (导学号5892921)如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，BC 上．若AD ∶DB ＝CE ∶EB ＝2∶3，则△DBE 与△ADC 的面积比为(C )第1题图A. 3∶5B. 4∶5C. 9∶10D. 15∶16【解析】 ∵AD ∶DB ＝CE ∶EB ＝2∶3，∴S △BDC ∶S △ADC ＝3∶2，S △BDE ∶S △DCE ＝3∶2.设S △BDC ＝3x ，则S △ADC ＝2x ，S △BED ＝1.8x .∴△DBE 与△ADC 的面积比为1.8x ∶2x ＝9∶10.2. (2018，天津南开区模拟，导学号5892921)如图，在△ABC 中，∠A ＝α，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1，则∠A 1＝( α2) .∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2，…，∠A 2 017BC 的平分线与∠A 2 017CD 的平分线交于点A 2 018，得∠A 2 018，则∠A 2 018＝( α22 018 ).第2题图【解析】 ∵∠ACD ＝∠A ＋∠ABC ，∠A 1CD ＝∠A 1＋∠A 1BC ，∠ACD ＝2∠A 1CD ，∠ABC ＝2∠A 1BC ，∴2∠A 1CD ＝∠A ＋2∠A 1BC ，即∠A 1CD ＝12∠A ＋∠A 1BC .∴∠A 1＝12∠A ＝α2.依此类推，∠A 2 018＝α22 018. 3. (2018，苏州常熟模拟)△ABC 的三条角平分线相交于点I ，过点I 作DI ⊥IC ，交AC 于点D .(1)如图①，求证：∠AIB ＝∠ADI ；(2)如图②，延长BI ，交外角∠ACE 的平分线于点F .①判断DI 与CF 的位置关系，并说明理由；②若∠BAC ＝70°，求∠F 的度数．第3题图【思路分析】 (1)只要证明∠AIB ＝90°＋12∠ACB ，∠ADI ＝90°＋12∠ACB 即可．(2)①只要证明∠IDC ＝∠ACF 即可．②先求出∠ACE －∠ABC ＝∠BAC ＝70°，再求出∠F ＝12∠ACE －12∠ABC ＝12(∠ACE －∠ABC )＝12∠BAC 即可解决问题．(1)证明：∵AI ，BI 分别平分∠BAC ，∠ABC ，∴∠BAI ＝12∠BAC ，∠ABI ＝12∠ABC . ∴∠BAI ＋∠ABI ＝12(∠BAC ＋∠ABC )＝12(180°－∠ACB )＝90°－12∠ACB . ∴∠AIB ＝180°－(∠BAI ＋∠ABI )＝180°－⎝ ⎛⎭⎪⎫90°－12∠ACB ＝90°＋12∠ACB . ∵CI 平分∠ACB ，∴∠DCI ＝12∠ACB . ∵DI ⊥IC ，∴∠DIC ＝90°.∴∠ADI ＝∠DIC ＋∠DCI ＝90°＋12∠ACB . ∴∠AIB ＝∠ADI .(2)解：①DI ∥CF .理由：∵CF 平分∠ACE ，∴∠ACF ＝12∠ACE ＝12(180°－∠ACB )＝90°－12∠ACB . ∵∠IDC ＝90°－∠DCI ＝90°－12∠ACB ， ∴∠IDC ＝∠ACF .∴DI ∥CF .②∵∠ACE ＝∠ABC ＋∠BAC ，∴∠ACE －∠ABC ＝∠BAC ＝70°.∵∠FCE ＝∠FBC ＋∠F ，∴∠F ＝∠FCE －∠FBC .∵∠FCE ＝12∠ACE ，∠FBC ＝12∠ABC ， ∴∠F ＝12∠ACE －12∠ABC ＝12(∠ACE －∠ABC )＝12∠BAC ＝35°.。
2019届中考数学全程演练 第二部分 图形与几何 第七单元 三角形 第22课时 三角形全等
1第22课时 三角形全等(60分)一、选择题(每题5分，共20分)1．[2016·宜昌]如图22－1，在方格纸中，以AB 为一边作△ABP ，使之与△ABC 全等，从P 1，P 2，P 3，P 4四个点中找出符合条件的点P ，则点P 有 (C)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 要使△ABP 与△ABC 全等，点P 到AB 的距离应该等于点C 到AB 的距离，即3个单位长度，故点P 的位置可以是P 1，P 3，P 4三个．图22－1 图22－22．如图22－2，下列条件中，不能证明△ABD ≌△ACD 的是(D)A ．BD ＝DC ，AB ＝AC B ．∠ADB ＝∠ADC ，BD ＝CD C ．∠B ＝∠C ，∠BAD ＝∠CAD D ．∠B ＝∠C ，BD ＝DC【解析】 当BD ＝DC ，AB ＝AC 时，因为AD ＝AD ，由SSS 可得△ABD ≌△ACD ，故A 正确；当∠ADB ＝∠ADC ，BD ＝CD 时，因为AD ＝AD ，由SAS 可得△ABD ≌△ACD ，故B 正确；当∠B ＝∠C ，∠BAD ＝∠CAD 时，因为AD ＝AD ，由AAS 可得△ABD ≌△ACD ，故C 正确；D 不能判定△ABD ≌△ACD ，因为不能利用SSA 判定两三角形全等．3．[2016·湖州]如图22－3，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC ＝5，DE ＝2，则△BCE 的面积等于 (C)A ．10B ．7C ．5D ．4图22－3第3题答图2【解析】 作EF ⊥BC 于F ， ∵BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB ，EF ⊥BC ， ∴EF ＝DE ＝2，∴S △BCE ＝12BC ·EF ＝12×5×2＝5.4.[2016·宁波]如图22－4，▱ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点，如果添加一个条件，使△ABE ≌△CDF ，则添加的条件不能为(C)A ．BE ＝DFB ．BF ＝DEC ．AE ＝CFD ．∠1＝∠2图22－4【解析】 A ．当BE ＝DF ，△ABE ≌△CDF (SAS )，故此选项可添加； B ．当BF ＝ED ，可得BE ＝DF ，△ABE ≌△CDF (SAS )，故此选项可添加； C ．当AE ＝CF 无法得出△ABE ≌△CDF ，故此选项符合题意； D ．当∠1＝∠2，△ABE ≌△CDF (ASA )，故此选项可添加． 二、填空题(每题5分，共20分)5．[2017·长沙]如图22－5，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB ∥DE ，AB ＝DE ，BE ＝CF ，AC ＝6，则DF ＝__6__.图22－5 图22－66．[2016·江西]如图22－6，OP 平分∠MON ，PE ⊥OM 于E ，PF ⊥ON 于F ，OA ＝OB ，则图中有__3__对全等三角形．【解析】 ∵OP 平分∠MON ，∴∠1＝∠2，由OA ＝OB ，∠1＝∠2，OP ＝OP ，可证得△AOP ≌△BOP (SAS )， ∴AP ＝BP ，又∵OP 平分∠MON ，PE ⊥OM 于E ，PF ⊥ON 于F ， ∴PE ＝PF ，∴△PEA ≌△PFB (HL )，3又∵PE ＝PF ，OP ＝OP ，∴△POE ≌△POF (HL )， ∴图中共有3对全等三角形．7．[2016·娄底]如图22－7，已知AB ＝BC ，要使△ABD ≌△CBD ，还需添加一个条件，你添加的条件是__∠ABD ＝∠CBD 或AD ＝CD __(只需写一个，不添加辅助线)．【解析】 由已知AB ＝BC ，及公共边BD ＝BD ，可知要使△ABD ≌△CBD ，已经具备了两个边了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS ，②SSS .所以可添∠ABD ＝∠CBD 或AD ＝CD.图22－78．[2016·黔东南]如图22－8，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，连结BD .请添加一个适当的条件__AB ＝CD __，使△ABD ≌△CDB .(只需写一个)图22－8【解析】 ∵AB ∥CD ，∴∠ABD ＝∠CDB ，而BD ＝DB ， ∴当添加AB ＝CD 时，可根据“SAS ”判定△ABD ≌△CDB . 三、解答题(共20分)9．(10分)[2016·福州]如图22－9，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC ＝AD .证明：∵∠3＝∠4， ∴∠ABC ＝∠ABD . 在△ABC 和△ABD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，AB ＝AB ，∠ABC ＝∠ABD ， ∴△ABC ≌△ABD (ASA ) ∴AC ＝AD .10．(10分)[2016·武汉]如图22－10，点B ，C ，E ，F 在同一直线上，BC ＝EF ，AC ⊥BC 于点C ，DF ⊥EF 于点F，图22－9图22－104AC ＝DF .求证：(1)△ABC ≌△DEF ； (2)AB ∥DE .证明：(1)∵AC ⊥BC 于点C ，DF ⊥EF 于点F ， ∴∠ACB ＝∠DFE ＝90°， 在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝EF ，∠ACB ＝∠DFE ，AC ＝DF ，∴△ABC ≌△DEF (SAS )； (2)∵△ABC ≌△DEF ， ∴∠B ＝∠DEF ， ∴AB ∥DE.(24分)11．(12分)[2017·杭州]如图22－11，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E ，F 分别在AB ，AC 上，AE ＝AF ，BF 与CE 相交于点P ，求证：PB ＝PC ，并请直接写出图中其他相等的线段．图22－11证明：∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ， 在△ABF 与△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠CAE ＝∠BAF ，AE ＝AF ，∴△ABF ≌△ACE (SAS )， ∴∠ABF ＝∠ACE ，∴∠ABC －∠ABF ＝∠ACB －∠ACE ， ∴∠FBC ＝∠ECB ， ∴PB ＝PC .相等的线段还有：PE ＝PF ，BE ＝CF ，EC ＝FB ，AE ＝AF .12．(12分)[2016·温州]如图22－12，点C ，E ，F ，B 在同一直线上，点A ，D 在BC 异侧，图22－125AB ∥CD ，AE ＝DF ，∠A ＝∠D .(1)求证：AB ＝CD ；(2)若AB ＝CF ，∠B ＝30°，求∠D 的度数． 解：(1)证明：∵AB ∥CD ， ∴∠B ＝∠C ， 在△ABE 和△DCF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠D ，∠C ＝∠B ，AE ＝DF ，∴△ABE ≌△DCF (AAS )， ∴AB ＝CD ；(2)∵△ABE ≌△DCF ， ∴AB ＝CD ，BE ＝CF ， ∵AB ＝CF ，∠B ＝30°， ∴CD ＝CF ， ∠C ＝∠B ＝30°， ∴△CDF 是等腰三角形，∴∠D ＝12×(180°－30°)＝75°.(16分)13．(16分)[2016·株洲]如图22－13，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 是△ABC 的一条角平分线．点O ，E ，F分别在BD ，BC ，AC 上，且四边形OECF 是正方形． (1)求证：点O 在∠BAC 的平分线上； (2)若AC ＝5，BC ＝12，求OE 的长．图22－13解：(1)证明：过点O 作OM ⊥AB 于点M ， ∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴OE ＝OM ，第13题答图￥6∵四边形OECF 是正方形， ∴OE ＝OF ， ∴OF ＝OM ， ∵OM ⊥AB ，OF ⊥AD ， ∴AO 是∠BAC 的角平分线， 即点O 在∠BAC 的平分线上；(2)∵在Rt △ABC 中，AC ＝5，BC ＝12， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝52＋122＝13， 设CE ＝CF ＝x ，BE ＝BM ＝y ，AM ＝AF ＝z ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝12，y ＋z ＝13，x ＋z ＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝10，z ＝3，∴OE ＝CE ＝CF ＝2.。
2018届中考数学全程演练 第二部分 图形与几何 第七单元 三角形 第21课时 三角形的基础知识(解析版)
第七单元三角形第21课时三角形的基础知识(60分)一、选择题(每题6分.共36分)1、下列每组数分别表示三根木棒的长度.将它们首尾连接后.能摆成三角形的一组是(D)A、1.2.6B、2.2.4C、1.2.3D、2.3.42、[2016·滨州]在△ABC中.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5.则∠C等于(C)A、45°B、60°C、75°D、90°3、[2016·山西]如图21－1.在△ABC中.点D.E分别是边AB.BC的中点、若△DBE的周长是6.则△ABC的周长是(C)A、8B、10C、12D、14图21－14、[2017·邵阳]如图21－2.在△ABC中.∠B＝46°.∠C＝54°.AD平分∠BAC.交BC于D.DE∥AB.交AC于E.则∠ADE的大小是 (C)A、45°B、54°C、40°D、50°图21－2 图21－35、[2016·绵阳]如图21－3.在△ABC中.∠B.∠C的平分线BE.CD相交于点F.∠ABC＝42°.∠A＝60°.则∠BFC＝(C)A、118°B、119°C、120°D、121°【解析】∵∠A＝60°.∴∠ABC ＋∠ACB ＝120°. ∵BE .CD 是∠B .∠C 的平分线. ∴∠CBE ＝12∠ABC .∠BCD ＝12∠BCA .∴∠CBE ＋∠BCD ＝12(∠ABC ＋∠BCA )＝60°.∴∠BFC ＝180°－60°＝120°.6. 如图21－4.在折纸活动中.小明制作了一张三角形纸片ABC .点D .E 分别在边AB .AC 上.将△ABC 沿着DE 折叠压平.点A 与点A ′重合.若∠A ＝75°.则∠1＋∠2＝(A)A 、150°B 、210°C 、105°D 、75°图21－4【解析】 ∵△A ′DE 是由△ADE 翻折而成. ∴∠AED ＝∠A ′ED .∠ADE ＝∠A ′DE . ∠A ＝∠A ′＝75°.∴∠AED ＋∠ADE ＝∠A ′ED ＋∠A ′DE ＝180°－75°＝105°. ∴∠1＋∠2＝360°－2×105°＝150°.故选A. 二、填空题(每题6分.共24分)7、[2016·衡阳]如图21－5.小明为了测量学校里一池塘的宽度AB .选取可以直达A .B 两点的点O 处.再分别取OA .OB 的中点M .N .量得MN ＝20 m.则池塘的宽度AB 为__40__m.图21－5图21－68、如图21－6.点B .C .E .F 在一直线上.AB ∥DC .DE ∥GF .∠B ＝∠F ＝72°.则∠D ＝__36__度、 9、在△ABC 中.三个内角∠A .∠B .∠C 满足∠B －∠A ＝∠C －∠B .则∠B ＝__60__度、 10、将一副直角三角板如图21－7摆放.点C 在EF 上.AC 经过点D .已知∠A ＝∠EDF ＝90°.AB ＝AC .∠E ＝30°.∠BCE ＝40°.则∠CDF ＝__25°__.图21－7【解析】 ∵AB ＝AC .∠A ＝90°. ∴∠ACB ＝∠B ＝45°. ∵∠EDF ＝90°.∠E ＝30°. ∴∠F ＝90°－∠E ＝60°.∵∠ACE ＝∠CDF ＋∠F .∠BCE ＝40°.∴∠CDF ＝∠ACE －∠F ＝∠BCE ＋∠ACB －∠F ＝40°＋45°－60°＝25°.(25分)11、(7分)[2016·广州]如图21－8.四边形ABCD 中.∠A ＝90°.AB ＝3 3.AD ＝3.点M .N 分别为线段BC .AB 上的动点(含端点.但点M 不与点B 重合).点E .F 分别为DM .MN 的中点.则EF 长度的最大值为__3__.【解析】 ∵ED ＝EM .MF ＝FN . ∴EF ＝12DN .∴DN 最大时.EF 最大. ∵N 与B 重合时DN 最大. 此时DN ＝DB ＝AD 2＋AB 2＝6.∴EF 的最大值为3.12、(8分)[2017·扬州]如图21－9.△ABC 的中位线DE ＝5 cm.把△ABC 沿DE 折叠.使点A 落在边BC 上的点F 处.若A .F 两点间的距离是8 cm.则△ABC 的面积为__40__cm 2.图21－9图21－1013、(10分)[2016·苏州]如图21－10.在△ABC 中.CD 是高.CE 是中线.CE ＝CB .点A .D 关于点F 对称.过点F 作FG ∥CD .交AC 边于点G .连结GE .若AC ＝18.BC ＝12.则△CEG 的周长为__27__.图21－8【解析】 ∵点A .D 关于点F 对称. ∴点F 是AD 的中点、 ∵CD ⊥AB .FG ∥CD . ∴FG 是△ACD 的中位线. ∵AC ＝18.BC ＝12. ∴CG ＝12AC ＝9.∵点E 是AB 的中点. ∴GE 是△ABC 的中位线. ∵CE ＝CB ＝12. ∴GE ＝12BC ＝6.∴△CEG 的周长＝CG ＋GE ＋CE ＝9＋6＋12＝27.(15分)14、(15分)[2016·邵阳]如图21－11.等边△ABC 的边长是2.D .E 分别为AB .AC 的中点.延长BC 至点F .使CF ＝12BC .连结CD 和EF .(1)求证：DE ＝CF ；图21－11(2)求EF 的长、解：(1)证明：∵D .E 分别为AB .AC 的中点. ∴DE 綊12BC .∵延长BC 至点F .使CF ＝12BC .∴DE 綊FC . 即DE ＝CF ； (2)∵DE 綊FC .∴四边形DEFC 是平行四边形.∴DC＝EF.∵D为AB的中点.等边△ABC的边长是2. ∴AD＝BD＝1.CD⊥AB.BC＝2.∴EF＝DC＝ 3.。
2019北京中考数学总复习课件第21课时全等三角形
解:(1)证明:∵∠ABC=90° ,
∴∠CBF=180° -∠ABC=90° .
在 Rt△ ABE 和 Rt△ CBF 中,
∵
������������ = ������������, ∴Rt△ ABE≌Rt△ CBF(HL). ������������ = ������������,
判定三角形全等,无论哪种方法,都要有三组元素对应相等,且其中最少要有一组对应边相等
课前双基巩固
1.全等三角形的判定思路: 找夹角→SAS (1)已知两边 找直角→HL 或 SAS 找第三边→SSS 边为角的对边→找任意一角→AAS 全等三角形的判定思路 已知一边 找已知角的另一边→SAS (2 ) 边为角 和一角 找夹已知边的另一个角→ASA 的一边 找已知边的对角→AAS (3)已知两角 找夹边→ASA 找其中一角的对边→AAS
图 21-7
高频考向探究
明考向
1.[2014· 北京 13 题] 如图 21-8,点 B 在线段 AD 上,BC∥ DE,AB=ED,BC=DB,求证:∠A=∠E.
证明:∵DE∥BC,∴∠ABC=∠BDE, ������������ = ������������, 在△ ABC 与△ EDB 中, ∠������������������ = ∠������������������, ������������ = ������������,
课前双基巩固
2.构造全等三角形的方法 名称 图示 方法
旋转法 四边形 ABCD 为正方形
将△ ADF 绕点 A 顺时针旋转 90° 至△ ABG,则△ ADF≌△ABG
延长法 ∠1=∠2
延长 AC 至点 E,使 AE=AB,连接 DE,则△ ABD≌△AED
【北师大版】中考数学总复习课件：第21课时相似三角形及其应用
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相 判定定理2 应的____类__似______相等，那么这两个三角形类似
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个 判定定理3 角对应____夹__角______，那么这两个三角形类似
拓展
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 与原直角三角形类似
考点聚焦
(3) 如 图 21 － 7 所 示 ， ∠ 1 ＝ ∠2 ， ∠ B ＝ ∠D ， 则 △ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形．
图 21－7
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第21课时┃ 类似三角形及其应用 (4)如图 21－8 所示，称为“一线三等角型”的相似三角形．
图 21－8
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第21课时┃ 类似三角形及其应用
探究五 类似三角形与圆 命题角度： 1．圆中的类似计算； 2．圆中的类似证明．
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第21课时┃ 类似三角形及其应用
例 5 [2014·成都改编] 如图 21－10，在⊙O 的内接三角形 ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过点 C 作 AB 的垂线 l 交
基本图形 相似三角形的基本图形
(1)如图 21－5 所示，称为“平行线型”的相似三角形．
图 21－5
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第21课时┃ 类似三角形及其应用
(2)如图 21－6 所示，其中∠1＝∠2，称为“相交线 型”的相似三角形．
考点聚焦
图 21－6
归类探究
回归教材
第21课时┃ 类似三角形及其应用
①
②
图 21－3
2018届中考数学全程演练 第二部分 图形与几何 第七单元 三角形 第21课时 三角形的基础知识
第七单元三角形第21课时三角形的基础知识(60分)一、选择题(每题6分，共36分)1．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是(D)A．1，2，6 B．2，2，4C．1，2，3 D．2，3，42．[2016·滨州]在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C等于(C) A．45°B．60°C．75°D．90°3．[2016·山西]如图21－1，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是(C)A．8 B．10C．12 D．14图21－14．[2017·邵阳]如图21－2，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC 于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是 (C)A．45° B．54° C．40° D．50°图21－2 图21－35．[2016·绵阳]如图21－3，在△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC ＝42°，∠A＝60°，则∠BFC＝(C)A．118°B．119°C．120°D．121°【解析】∵∠A＝60°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝120°， ∵BE ，CD 是∠B ，∠C 的平分线， ∴∠CBE ＝12∠ABC ，∠BCD ＝12∠BCA ，∴∠CBE ＋∠BCD ＝12(∠ABC ＋∠BCA )＝60°，∴∠BFC ＝180°－60°＝120°.6. 如图21－4，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠压平，点A 与点A ′重合，若∠A ＝75°，则∠1＋∠2＝(A)A ．150°B ．210°C ．105°D ．75°图21－4【解析】 ∵△A ′DE 是由△ADE 翻折而成， ∴∠AED ＝∠A ′ED ，∠ADE ＝∠A ′DE ， ∠A ＝∠A ′＝75°，∴∠AED ＋∠ADE ＝∠A ′ED ＋∠A ′DE ＝180°－75°＝105°， ∴∠1＋∠2＝360°－2×105°＝150°.故选A. 二、填空题(每题6分，共24分)7．[2016·衡阳]如图21－5，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB ，选取可以直达A ，B 两点的点O 处，再分别取OA ，OB 的中点M ，N ，量得MN ＝20 m ，则池塘的宽度AB 为__40__m.图21－5图21－68．如图21－6，点B ，C ，E ，F 在一直线上，AB ∥DC ，DE ∥GF ，∠B ＝∠F ＝72°，则∠D ＝__36__度．9．在△ABC 中，三个内角∠A ，∠B ，∠C 满足∠B －∠A ＝∠C －∠B ，则∠B ＝__60__度． 10．将一副直角三角板如图21－7摆放，点C 在EF 上，AC 经过点D .已知∠A ＝∠EDF ＝90°，AB ＝AC ，∠E ＝30°，∠BCE ＝40°，则∠CDF ＝__25°__.图21－7【解析】 ∵AB ＝AC ，∠A ＝90°， ∴∠ACB ＝∠B ＝45°. ∵∠EDF ＝90°，∠E ＝30°， ∴∠F ＝90°－∠E ＝60°.∵∠ACE ＝∠CDF ＋∠F ，∠BCE ＝40°，∴∠CDF ＝∠ACE －∠F ＝∠BCE ＋∠ACB －∠F ＝40°＋45°－60°＝25°.(25分)11．(7分)[2016·广州]如图21－8，四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ＝33，AD ＝3，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点(含端点，但点M 不与点B 重合)，点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为__3__. 【解析】 ∵ED ＝EM ，MF ＝FN ， ∴EF ＝12DN ，∴DN 最大时，EF 最大， ∵N 与B 重合时DN 最大， 此时DN ＝DB ＝AD 2＋AB 2＝6，∴EF 的最大值为3.12．(8分)[2017·扬州]如图21－9，△ABC 的中位线DE ＝5 cm ，把△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在边BC 上的点F 处，若A ，F 两点间的距离是8 cm ，则△ABC 的面积为__40__cm 2.图21－9图21－1013．(10分)[2016·苏州]如图21－10，在△ABC 中，CD 是高，CE 是中线，CE ＝CB ，点A ，D 关于点F 对称，过点F 作FG ∥CD ，交AC 边于点G ，连结GE .若AC ＝18，BC ＝12，则△CEG 的周长为__27__.图21－8【解析】 ∵点A ，D 关于点F 对称， ∴点F 是AD 的中点． ∵CD ⊥AB ，FG ∥CD ， ∴FG 是△ACD 的中位线， ∵AC ＝18，BC ＝12， ∴CG ＝12AC ＝9.∵点E 是AB 的中点， ∴GE 是△ABC 的中位线， ∵CE ＝CB ＝12， ∴GE ＝12BC ＝6，∴△CEG 的周长＝CG ＋GE ＋CE ＝9＋6＋12＝27.(15分)14．(15分)[2016·邵阳]如图21－11，等边△ABC 的边长是2，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，延长BC 至点F ，使CF ＝12BC ，连结CD 和EF .(1)求证：DE ＝CF ；图21－11(2)求EF 的长．解：(1)证明：∵D ，E 分别为AB ，AC 的中点， ∴DE 綊12BC ，∵延长BC 至点F ，使CF ＝12BC ，∴DE 綊FC ， 即DE ＝CF ； (2)∵DE 綊FC ，∴四边形DEFC 是平行四边形，∴DC＝EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，∴EF＝DC＝ 3.。
2019届中考数学全程演练第二部分图形与几何第七单元三角形第22课时三角形全等(含答案)
第 22 课时三角形全等(60 分)一、选择题 ( 每题 5 分，共 20 分)1．[2016 ·宜昌 ] 如图 22－1，在方格纸中，以AB为一边作△ ABP，使之与△ ABC全等，从 P1，P2，P3，P4四个点中找出切合条件的点P，则点 P 有(C)A．1 个B．2个C． 3 个D．4个AB的距离应当等于点【分析】要使△ ABP与△ ABC全等，点 P到C到 AB的距离，即3个单位长度，故点 P的地点能够是 P1，P3，P4三个．图 22－1图22－22．如图 22－2，以下条件中，不可以证明△A BD≌△ACD的是(D)A．BD＝DC，AB＝ACB．∠ADB＝∠ADC，BD＝CDC．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CADD．∠B＝∠C，BD＝DC【分析】当 BD＝DC，AB＝AC 时，由于AD＝AD，由 SSS 可得△ABD≌△ ACD，故A正确;当∠ ADB＝∠ ADC，BD＝CD时，由于 AD ＝AD，由 SAS可得△ ABD≌△ ACD，故B正确;当∠ B＝∠ C，∠ BAD＝∠ CAD时，由于 AD＝AD，由 AAS可得△ ABD≌△ ACD，故C正确;D 不可以判断△ ABD≌△ ACD，由于不可以利用SSA判断两三角形全等．3．[2016 ·湖州 ] 如图 22－3，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE均分∠ ABC，交 CD于点 E，BC＝5，DE＝2，则△ BCE的面积等于(C)A．10B．7C．5D．4图22－3【分析】作 EF⊥BC于 F，∵B E均分∠ ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF＝DE＝2，第3题答图11∴S△BCE＝2BC·EF＝2×5×2＝5.4.[2016 ·宁波 ] 如图 22－4，?ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，假如增添一个条件，使△ ABE≌△ CDF，则增添的条件不可以为(C)A．BE＝DF B．BF＝DEC．AE＝CF D．∠ 1＝∠2图22－4【分析】A．当BE＝DF，△ABE≌△CDF(SAS)，故此选项可增添 ;B．当BF＝ED，可得BE＝DF，△ABE≌△CDF(SAS)，故此选项可添加;C．当AE＝CF没法得出△ABE≌△CDF，故此选项切合题意 ;D．当∠ 1＝∠ 2，△ABE≌△CDF(ASA)，故此选项可增添．二、填空题 ( 每题 5 分，共 20 分)5．[2017 ·长沙 ] 如图 22－5，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则 DF＝__6__.图 22－5图22－6 6．[201 6·江西 ] 如图 22－6，OP均分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON 于 F，OA＝OB，则图中有__3__对全等三角形．【分析】∵OP均分∠ MON，∴∠1＝∠2，由OA＝ OB，∠1＝∠2，OP＝ OP，可证得△ AOP≌△BOP(SAS)，∴AP＝BP，又∵ OP均分∠ MON，PE⊥OM于 E，PF⊥ON于 F，∴PE＝PF，∴△ PEA≌△ PFB( HL)，又∵ PE＝PF，OP＝OP，∴△ POE≌△ POF(HL)，∴图中共有 3 对全等三角形．7．[2016 ·娄底 ] 如图 22－7，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需增添一个条件，你增添的条件是__∠ABD＝∠CBD或AD＝CD__(只要写一个，不增添协助线) ．【解析】由已知AB＝ BC，及公共边BD＝ BD，可知要使△ABD≌△ CBD，已经具备了两个边了，而后依据全等三角形的判断定理，应当有两种判断方法①SAS，② SSS.因此可添∠ ABD＝∠ CBD 或AD＝ CD.图22－78．[2016 ·黔东南 ] 如图 22－8，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD.请增添一个适合的条件__AB＝CD__，使△ABD≌△CDB.( 只要写一个)图22－8【分析】∵AB∥CD，∴∠ ABD＝∠ CDB，而 BD＝DB，∴当增添 AB＝ CD时，可依据“ SAS”判断△ ABD≌△ CDB.三、解答题 ( 共 20 分)9．(10 分)[2016 ·福州 ] 如图 22－9，∠ 1＝∠ 2，∠ 3图 22－9＝∠ 4，求证：AC＝AD.证明：∵∠ 3＝∠ 4，∴∠ ABC＝∠ ABD.在△ ABC和△ ABD中，∠1＝∠ 2，AB＝AB，∠ABC＝∠ ABD，∴△ ABC≌△ ABD(ASA)∴A C＝AD.10．(10 分)[20 16·武汉 ] 如图 22－10，点B，C，E，F 在同向来线上， BC＝EF，AC⊥BC于点 C，DF⊥EF 于点 F，AC＝DF.图 22－10求证：(1)△ ABC≌△ DEF;(2)AB∥DE.证明： (1) ∵AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，∴∠ ACB＝∠ DFE＝90°，在△ ABC和△ DEF中，BC＝ EF，∠ACB＝∠ DFE，AC＝DF，∴△ ABC≌△ DEF(SAS);(2)∵△ ABC≌△ DEF，∴∠ B＝∠ DEF，∴AB∥DE.(24 分)11．(12 分)[2017 ·杭州 ] 如图 22－11，在△ABC中，AB＝AC，点E，F 分别在AB，AC上，AE＝AF，BF与CE订交于点P，求证：PB＝PC，并请直接写出图中其余相等的线段．图 22－11证明：∵ AB＝AC，∴∠ ABC＝∠ ACB，在△ ABF与△ ACE中，AB＝ AC，∠CAE＝∠ BAF，AE＝AF，∴△ ABF≌△ ACE(SAS)，∴∠ ABF＝∠ ACE，∴∠ ABC－∠ ABF＝∠ ACB－∠ ACE，∴∠ FBC＝∠ ECB，∴P B＝PC.相等的线段还有： PE＝PF，BE＝CF，EC＝FB，AE＝AF. 12．(12 分)[2016 ·温州 ] 如图 22－12，点C，E，F，B 在同向来线上，点A，D在 BC异侧， AB∥CD，AE＝DF，∠ A＝∠ D.(1) 求证：AB＝CD;图 22－12(2)若 AB＝CF，∠ B＝30°，求∠ D的度数．解： (1) 证明：∵AB∥CD，∴∠ B＝∠ C，在△ ABE和△ DCF中，∠A＝∠ D，∠C＝∠ B，AE＝DF，∴△ ABE≌△ DCF(AAS)，∴A B＝CD;(2)∵△ ABE≌△ DCF，∴AB＝CD，BE＝CF，∵AB＝CF，∠B＝30°，∴CD＝CF，∠C＝∠ B＝30°，∴△ CDF是等腰三角形，1∴∠ D＝2×(180°－30°)＝75°.(16 分)13．(16 分)[2016 ·株洲 ] 如图 22－13，在 Rt △ABC中，∠C＝90°，BD是△ ABC的一条角均分线．点O，E，F分别在 BD，BC，AC上，且四边形 OECF是正方形．(1)求证：点 O在∠ BAC的均分线上;(2)若 AC＝5， BC＝12，求 OE的长．图 22－13解： (1) 证明：过点O作OM⊥AB于点M，∵B D是∠ ABC的均分线，∴OE＝OM，∵四边形OECF是正方形，∴OE＝OF，第 13 题答图∴O F＝OM，∵O M⊥AB，OF⊥AD，∴AO是∠BAC的角均分线，即点 O在∠ BAC的均分线上;(2) ∵在 Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，2222∴AB＝ AC＋BC＝ 5 ＋12 ＝13，设CE＝ CF＝x，BE＝BM＝y， AM＝AF＝z，x＋y＝12，∴y＋z＝13，x＋z＝5，x＝2，解得y＝10，z＝3，∴O E＝CE＝CF＝2.。
2019届中考数学全程演练第二部分图形与几何第七单元三角形第24课时直角三角形和勾股定理(含答案)
第 24 课时直角三角形和勾股定理(60 分)一、选择题 ( 每题 5 分，共 25 分)1．[2016 ·毕节 ] 以下各组数据中的三个数作为三角形的边长，此中能组成直角三角形的是(B)A. 3，4，5B．1，2，3C．6，7，8D．2，3，42．如图 24－1，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C 到AB的距离是(A)3612A. 5B. 25933C.4D.4【分析】在 Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，依据勾股定理得AB＝22ABC1AC＋BC＝15，过 C作 CD⊥AB，交 AB于点 D，又S△＝2AC·BC 1＝2AB·CD，∴CD＝AC·BCAB ＝9×12＝1536，则点5C到AB的距离是365 .应选A.图 24－1第2题答图3．[2017 ·甘孜 ] 如图 24－2，点D在△ABC的边AC上，将△ ABC沿 BD翻折后，点 A恰巧与点 C重合．若BC＝5，CD＝3，则 BD的长为图 24－2(D)A．1B．2C．3D．44．将一个有45°角的三角板的直角极点放在一张宽为 3 cm 的矩形纸带边缘上，另一个极点在纸带的另一边缘上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图 24－ 3，则三角板最长边的长为(D)A．3 cm B．6 cmC．3 2 cm D．6 2 cm图 24－3第 4 题答图【分析】如答图，过点C作CD⊥AD于点D，∴C D＝3.在直角三角形ADC中，∵∠ CAD＝30°，∴A C＝2CD＝2×3＝6.又∵三角板是有45°角的三角板，∴A B＝AC＝6，22222∴BC＝ AB＋AC＝6＋6＝72，∴BC＝62，应选 D.5．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图 24－4 那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则 tan ∠CBE的值是(C)247A. 7B. 371C.24D.3图 24－4【分析】在 Rt△BCE中，设CE＝x，则BE＝EA＝8－x，依据勾2227股定理有 (8 －x) ＝x＋6 ，解得x＝4，7CE 47∴tan ∠CBE＝＝＝ .BC 6 24二、填空题 ( 每题 5 分，共 25 分)6．[2016 ·内江 ] 在△ABC中，∠B＝30°，AB＝12，AC＝6，则BC＝__6 3__.7．[2017 ·凉山 ] 已知直角三角形两边的长分别是3 和 4，则第三边的长为 __5 或7__.8．将一副三角尺按图24－5所示叠放在一同，49若 AB＝14 cm，则暗影部分的面积是__22__cm.【分析】∵∠ B＝30°，图 24－51∴AC＝2AB＝7 cm，易证 AC＝CF，11212∴S△ACF＝2AC·CF＝2AC＝2×7＝4922 (cm ) ．9．[2017 ·无锡 ] 如图 24－6，△ABC中，CD⊥AB于D，E 是 AC的中点，若 AD＝6，DE＝5，则 CD的长等于__8__.【分析】∵△ ABC中，CD⊥AB于 D，E 是 AC的图 24－ 6中点， DE＝5，1∴DE＝2AC＝5，∴A C＝10.在直角△ ACD中，∠ADC＝90°，AD＝6，AC＝10，则依据勾股定理，得2222CD＝ AC－AD＝10－6 ＝8.10．[2016 ·遵义 ] 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后代称其为“赵爽弦图”( 如图 24－7①) ．图 24－7②由弦图变化获得，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3.若正方形 EFGH的边长为2，则 S1＋ S2＋S3＝__12__.图24－7【分析】∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，∴C G＝NF，CF＝DG＝KF，∴S1＝( CG＋DG)22 2＝C G＋ DG＋2CG·DG2＝GF＋2CG·DG，2S2＝GF，2222S3＝( KF－NF)＝KF＋NF－2NF·KF＝GF－2CG·DG，222∴S1＋S2＋S3＝ GF＋2CG·DG＋GF＋GF－22CG·DG＝3GF＝12.三、解答题 ( 共 20 分)11．(10 分) 如图 24－8，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝ 30°，BD是∠ABC的均分线，CD＝5 cm，求AB的长．【分析】要求的 AB在Rt△ABC中，∠ A＝图 24－81 30°，故只要求BC的长，在 Rt△BCD中，DC＝5 cm，∠DBC＝2∠ABC＝30°，故可求出 BD，BC的长，进而依据 AB＝2BC计算出结果．解：∵在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴A B＝2BC，∠ ABC＝60°.∵BD是∠ ABC的均分线，∴∠ ABD＝∠ CBD＝30°.∵在 Rt △CBD中，CD＝5 cm，∴B D＝10 cm，∴B C＝5 3 cm，∴A B＝2BC＝10 3 cm.12．(10 分) 如图 24－9，Rt △ABC中，∠C＝90°，AD均分∠ CAB，DE⊥AB于 E，若 AC＝6，BC＝8，CD＝3.图 24－9(1)求 DE的长;(2)求△ ADB的面积．解： (1) 在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∴A C⊥CD.又∵ AD均分∠ CAB，DE⊥AB，∴D E＝CD，又∵ CD＝3，∴D E＝3;(2)在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，2222∴AB＝ AC＋BC＝ 6 ＋8＝10，11∴S△ADB＝2AB·DE＝2×10×3＝15.(20 分)13．(6 分)[2017 ·荆门 ] 如图 24－10，已知圆柱底面的周长为 4 dm，圆柱高为2 dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为(A)A．4 2 dm B．2 2 dmC．2 5 dm D．4 5 dm图 24－10第13题答图【分析】如答图，把圆柱的侧面睁开，获得矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为 4 dm，圆柱高为 2 dm，∴A B＝2 dm，BC＝BC′＝2 dm，222＝4＋4＝8，∴AC＝2＋2∴AC＝22，∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝4 2 dm.14．(6 分)[2016 ·台州 ] 假如将长为 6 cm，宽为 5 cm 的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不行能是(A)A．8 cm B ．5 2 cmC．5.5 cm D ．1 cm【分析】易知最长折痕为矩形对角线的长，依据勾股定理对角线长为62＋52＝61≈7.8 ，故折痕长不行能为 8 cm.15．(8分)[2016 ·铜仁 ] 如图 24－11，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点 E，则线段 DE的长为(B)15A．3 B. 415C．5 D. 2【分析】设 ED＝x，则AE＝6－x;∵四边形 ABCD为矩形，∴A D∥BC，∴∠ EDB＝∠ DBC，由意得∠ EBD＝∠ DBC，∴∠ EDB＝∠ EBD，∴E B＝ED＝x，由勾股定理得222BE＝AB＋AE，22215即 x ＝3＋(6 －x) ，解得x＝4，15∴ED＝4.(10 分) 16．(10 分)[2016 · 坊 ] 如 24－12，正△ABC的 2，以BC上的高AB1作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面 S1;再以正△ AB1C1 B1C1上的高 AB2作正△AB2C2，△ AB1C1与△ AB2C2公共部分的面3 3n S2，⋯，以此推，__S n＝2·4__.( 用图24－ 11图24－12含 n 的式子表示)【分析】∵等三角形 ABC的2，AB1⊥BC，∴B B1＝1，AB＝2，依据勾股定理得 AB1＝3，132∴S1＝2×4×(3)3 3 1＝2·4 ;∵等三角形 AB1C1的3，AB2⊥B1C1，3∴B1B2＝2，AB1＝3，3依据勾股定理得 AB2＝2，1 3 323 3 2∴S2＝2×4×2＝2·4;⋯3 3 n以此推， S n＝2·4.。
2019届百色市中考数学《第21课时：图形的相似与位似》精讲精练
第21课时图形的相似与位似平面直角坐标系中的位似变换1.（2019·百色中考）如图，已知△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且OA OA′＝12，若点A（－1，0），点C⎝⎛⎭⎪⎫12，1，则A′C′＝13 .相似三角形的判定与性质2.（2019·百色中考）如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E.（1）求证：∠1＝∠CAD；（2）若AE＝EC＝2，求⊙O的半径.（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠BDO＝90°.∵AC为⊙O的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAD＋∠CAD＝90°.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵∠1＝∠BDO，∴∠1＝∠CAD；（2）解：∵∠1＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CDE，∴CD∶CA＝CE∶CD，∴CD2＝CA·CE.∵AE＝EC＝2，∴AC＝AE＋EC＝4，∴CD＝2 2.设⊙O的半径为x，则OA＝OD＝x，则在Rt△AOC中，OA2＋AC2＝OC2，∴x2＋42＝（22＋x）2，解得x＝ 2.∴⊙O的半径为 2.核心考点解读比例的相关概念及性质1.两条线段的比：用同一个长度单位去度量两条线段a ，b 得到它们的长度，我们把这两条线段的 长度 的比叫做这两条线段的比.2.成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段a ，b 的比，等于另外两条线段c ，d 的比，即a b ＝c d （或a∶b＝c∶d），那么这四条线段的比叫做成比例线段.如果a b ＝b c，即b 2＝ ac ，那么b 就是a ，c 的比例中项.3.比例的性质基本性质 如果a b ＝cd，那么 ad ＝bc （b ，d ≠0）合（分）比性质如果a b ＝c d ，那么a±b b ＝c±d d （b ，d ≠0）等比性质如果a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a nb n，且b 1＋b 2＋…＋b n ≠0，那么a 1＋a 2＋…＋a nb 1＋b 2＋…＋b n ＝ a 1b 14.黄金分割：如图，如果点C 把线段AB 分成两条线段，使AC AB ＝ BCAC ，那么点C 叫做线段AB 的 黄金分割点 ，AC 是BC 与AB 的比例中项，AC 与AB 的比值为5－12Ｗ. 5.平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例.相似三角形及其性质与判定6.相似三角形：对应角 相等 ，对应边 成比例 的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比.7.相似三角形的性质（1）相似三角形的 对应角 相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于 相似比 ，面积比等于 相似比的平方 Ｗ. 8.相似三角形的判定（1） 两 角分别相等的两个三角形相似； （2）两边成比例且 夹角 相等的两个三角形相似； （3）三边 成比例 的两个三角形相似；（4）平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似；（5）对于两个直角三角形，除了以上判定方法外，还可以通过得到：①一个锐角相等；②两组直角边对应成比例；③斜边和一直角边对应成比例来判定这两个直角三角形相似.9.相似多边形：一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数.图形的位似变换10.位似图形：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.【温馨提示】（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比Ｗ.（2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，原图形上点的坐标为（x，y），那么位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（－kx，－ky）Ｗ.11.找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心Ｗ.12.位似作图的步骤（1）确定位似中心、原图形的关键点、相似比（即要将图形放大或缩小的倍数）；（2）作出原图形中各关键点的对应点；（3）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.1.（2019·定西中考）已知a2＝b3（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（ B ）A.ab＝23B.2a＝3bC.ba＝32D.3a＝2b2.（2019·成都中考）已知a6＝b5＝c4，且a＋b－2c＝6，则a的值为12 .3. （2019·嘉兴中考）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1， l2， l3于点A，B，C；直线DF交l1， l2， l3于点D，E，F.已知ABAC＝13，则EFDE＝ 2 Ｗ.4.（2019·玉林中考）两三角形的相似比是2∶3，则其面积之比是（ C ）A.2∶ 3B.2∶3C.4∶9D.8∶275.（2019·永州中考）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为（ B ）A.2B.4C.6D.86.（2019·滨州中考）在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩短为原来的12后得到线段CD ，则点A 的对应点C 的坐标为（ C ）A.（5，1）B.（4，3）C.（3，4）D.（1，5） 7.（2019·河池中考）（1）如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，AE ⊥BF 于点M ，求证：AE ＝BF ； （2）如图2，将 （1）中的正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB ＝2，BC ＝3，AE ⊥BF 于点M ，探究AE 与BF 的数量关系，并证明你的结论.图1 图2 （1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC ＝∠C＝90°，A B ＝BC. ∵AE ⊥BF ，∴∠AMB ＝∠BAM＋∠ABM＝90°.∵∠ABM ＋∠CBF＝90°，∴∠BAM ＝∠CBF， ∴△ABE≌△BCF（ASA ）， ∴AE ＝BF ； （2）解：AE ＝23BF.证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC ＝∠C＝90°. ∵AE ⊥BF ，∴∠AMB ＝∠BAM＋∠ABM＝90°.∵∠ABM ＋∠CBF＝90°，∴∠BAM ＝∠CBF ， ∴△ABE ∽△BCF ，∴AE BF ＝AB BC ＝23，∴AE ＝23BF.8.（2019·来宾中考）如图，在正方形ABCD 中，H 为CD 的中点，延长AH 至F ，使AH ＝3FH ，过F 作FG⊥CD，垂足为G ，过F 作BC 的垂线交BC 的延长线于点E.（1）求证：△ADH∽△FGH； （2）求证：四边形CEFG 是正方形. 证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ADH ＝90°，AD ＝DC.∵FG ⊥CD ，∴∠ADH ＝∠FGH＝90°. 又∵∠AHD＝∠FHG， ∴△ADH ∽△FGH ；（2）∵△ADH∽△FGH， ∴AD FG ＝DH GH ＝AH FH. ∵AH ＝3FH ，∴AD FG ＝DHGH＝3， ∴FG ＝13AD ，DH ＝3GH.∵H 为CD 的中点，∴DH ＝CH ， ∴CG ＝2GH ，∴CD ＝6GH ， ∴CG ＝13CD ，∴FG＝CG.∵FG ⊥CD ，DC ⊥BE ，FE ⊥BE ， ∴四边形CEFG 是正方形.典题精讲精练平行线分线段成比例例1 如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，BD ＝2AD ，DE ∥BC 交AC 于E ，则下列结论不正确的是（ D ）A.BC ＝3DEB.BD BA ＝CE CAC.△ADE ∽△ABCD.S △ADE ＝13S △ABC【解析】根据平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质解答即可. ∵BD ＝2AD ，∴AB ＝3AD. ∵DE ∥BC ，∴DE BC ＝AD AB ＝13，∴BC ＝3DE ，故A 结论正确；∵DE ∥BC ，∴BD BA ＝CECA ，故B 结论正确；∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，故C 结论正确； ∵DE ∥BC ，AB ＝3AD ，∴S △ADE ＝19S △ABC ，故D 结论错误.【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，灵活运用平行线分线段成比例定理、掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.相似三角形的判定与性质例2 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的中线，DE ⊥AB 于点E.（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）若AB ＝13，BC ＝10，求线段DE 的长.【解析】（1）由已知可得∠B＝∠C，∠DEB ＝∠ADC＝90°即可解决问题； （2）利用面积法：S △ABD ＝12AD·BD＝12AB·DE 求解即可.【解答】解：（1）∵AB＝AC ，AD 为BC 边上的中线， ∴AD ⊥BC ，∠B ＝∠C.∵DE ⊥AB ，∴∠DEB ＝∠ADC＝90°， ∴△BDE ∽△CAD ；（2）由（1）知，∠ADB ＝90°. 在Rt △ADB 中，BD ＝12BC ＝5，∴AD ＝AB 2－BD 2＝132－52＝12. ∵S △ABD ＝12AD·BD＝12AB·DE，∴DE ＝6013.【点评】本题第（2）问也可以利用（1）中结论求解.图形的位似变换例3 （2019·玉林中考）如图，在平面直角坐标系格中，将△ABC 进行位似变换得到△A 1B 1C 1. （1）△A 1B 1C 1与△ABC 的相似比是 2 ； （2）画出△A 1B 1C 1关于y 轴对称的△A 2B 2C 2；（3）设点P （a ，b ）为△ABC 内一点，则依上述两次变换后，点P 在△A 2B 2C 2内的对应点P 2的坐标是 （－2a ，2b ） Ｗ.【解析】（1）根据位似图形可得相似比即可； （2）根据轴对称图形的画法画出图形即可； （3）根据两次变换的坐标变化规律得出坐标即可.【解答】解：（1）[△A 1B 1C 1与△ABC 的相似比为A 1B 1AB ＝42＝2.]（2）如图所示；（3）[点P （a ，b ）为△ABC 内一点，依次经过上述两次变换后，点P 的对应点的坐标为（－2a ，2b ）.]【点评】此题考查作图问题，关键是根据轴对称图形的画法和位似图形的性质分析.1.（2019·云南中考）如图，已知AB∥CD，若AB CD ＝14，则OA OC ＝ 14Ｗ.,（第1题图） ,（第2题图）2.如图，直线a∥b∥c，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F.若AB∶BC＝1∶2，DE ＝3，则EF 的长为 6 Ｗ.3.（2019·贵港中考）如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，AB ＝3AE ，若S 四边形BCFE＝16，则S △ABC ＝（ B ）A.16B.18C.20D.244.（2019·泸州中考）如图，正方形 ABCD 中，E ，F 分别在边 AD ，CD 上，AF ，BE 相交于点 G ，若 AE ＝3ED ，DF ＝CF ，则AGGF的值是（ C ） A.43 B.54 C.65 D.76,（第4题图） ,（第5题图）5.（2019·桂林中考）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作EA⊥CA 交DB 的延长线于点E ，若AB ＝3，BC ＝4，则AO AE 的值为 724Ｗ. 6.（2019·百色中考）已知AD 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，切点为M ，分别过A ，D 两点作BC的垂线，垂足分别为B，C，AD的延长线与BC相交于点E.（1）求证：△ABM∽△MCD；（2）若AD＝8，AB＝5，求ME的长.（1）证明：∵AD为⊙O的直径，∴∠AMD＝90°，∴∠BMA＋∠CMD＝90°.又∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠ABM＝∠MCD＝90°，∴∠BAM＋∠BMA＝90°，∴∠BAM＝∠CMD，∴△ABM∽△MCD；（2）连接OM，则OM⊥BC，∴OM∥AB，∴△EMO∽△EBA.∵AD＝8，∴AO＝OD＝OM＝4，∴MOBA＝EOEA，即ED＋4ED＋8＝，∴ED＝12，∴EO＝12＋4＝16.在Rt△EMO中，ME＝EO2－OM2＝162－42＝415，即ME的长为415.7.如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2），D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为（5，0），则点A的坐标为（ B ）A.（2，5）B.（2.5，5）C.（3，5）D.（3，6）8.（2019·安徽中考）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10格中，已知点O，A，B均为格线的交点.（1）在给定的格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1（点A，B的对应点分别为A1，B1），画出线段A1B1；（2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；（3）以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是20 个平方单位.解：（1）如图，线段A1B1即为所求；（2）如图，线段A2B1即为所求；（3）由图可得，四边形AA1B1A2为正方形，∴四边形AA1B1A2的面积是（22＋42）2＝20.请完成精练本第37～38页作业2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（）A.2332π- B.233π- C.32π- D.3π-2．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，则x12+x22的值为（）A.6B.8C.14D.163．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则下列说法中错误的是（）A．abc＞0 B．2a+b＝1C．4a+2b+c＜0 D．对于任意x均有ax2+b x≥a+b4．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝25°，则∠BAA′的度数是（）A.55°B.60°C.65°D.70°5．某天的同一时刻，甲同学测得1m的测竿在地面上的影长为0.6m，乙同学测得国旗旗杆在地面上的影长为9.6m。
九年级数学总复习(件：第21课时相似三角形PPT课件
（5）顶角⑥______的两等腰三角形类似
相等
(1)类似三角形的⑦__对__应__角__相等；对应边
成比例；
性 (2)类似三角形的对应高的比、对应中线的 质 比和对应角平分线的比都等于类似比；
(3)类似三角形的周长比等于⑧_类__似__比___, 面积比等于⑨_类__似__比__的__平__方____
∵DE=3，
∴AG= 9 ,
2
∵△ABC∽△FCD,BC=2CD,
∴
SFCD (CD)2 1 SABC BC 4
∵S△ABC＝
1 2
∴S△FCD=
1 4
BC×AG= 1
2 9
S△ABC= 2 .
×8× 9
2
＝18，
G
第4题解图
类型三 类似多边形的性质计算 例 3 把矩形ABCD对折，折痕为MN，
比例
顶角相等 一对底角相等 底和腰对应成比例
几 种 基 本 图 形
考点三 类似多边形及其性质 1.定义：各角对应⑩_相__等__,各边对应 11
_成__比__例__的两个多边形叫做类似多边形.类似多 边形 12_对__应__边__的比叫做类似比.
2.性质 （1）类似多边形的对应角 13__相__等__，对应边 14 _成__比__例___. （2）类似多边形的周长比等于15 _类__似__比__，面 积比等于 16__类__似__比__的__平__方___.
ab 13k5k 18k 9
针对演练
已知 abacbck，则k的值为 2或-1
c ba
_【_解__析___】. 根据比例的基本性质，三等式相加，
即可得出k值；∵
abacbck,
c ba
∴ abacbck,
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第七单元三角形
第21课时三角形的基础知识
(60分)
一、选择题(每题6分，共36分)
1．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是
(D)
A．1，2，6 B．2，2，4
C．1，2，3 D．2，3，4
2．[2016·滨州]在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C等于(C)
A．45°B．60°
C．75°D．90°
3．[2016·山西]如图21－1，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC 的周长是(C)
A．8 B．10
C．12 D．14
图21－1
4．[2017·邵阳]如图21－2，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是 (C)
A．45° B．54° C．40° D．50°
图21－2 图21－3
5．[2016·绵阳]如图21－3，在△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC＝(C)
A．118°B．119°
C．120°D．121°
【解析】∵∠A＝60°，
∴∠ABC ＋∠ACB ＝120°， ∵BE ，CD 是∠B ，∠C 的平分线， ∴∠CBE ＝12∠ABC ，∠BCD ＝1
2∠BCA ，
∴∠CBE ＋∠BCD ＝1
2(∠ABC ＋∠BCA )＝60°，
∴∠BFC ＝180°－60°＝120°.
6. 如图21－4，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠压平，点A 与点A ′重合，若∠A ＝75°，则∠1＋∠2＝
(A)
A ．150°
B ．210°
C ．105°
D ．75°
图21－4
【解析】 ∵△A ′DE 是由△ADE 翻折而成， ∴∠AED ＝∠A ′ED ，∠ADE ＝∠A ′DE ， ∠A ＝∠A ′＝75°，
∴∠AED ＋∠ADE ＝∠A ′ED ＋∠A ′DE ＝180°－75°＝105°， ∴∠1＋∠2＝360°－2×105°＝150°.故选A. 二、填空题(每题6分，共24分)
7．[2016·衡阳]如图21－5，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB ，选取可以直达A ，B 两点的点O 处，再分别取OA ，OB 的中点M ，N ，量得MN ＝20 m ，则池塘的宽度AB 为__40__m.
图21－5
图21－6
8．如图21－6，点B ，C ，E ，F 在一直线上，AB ∥DC ，DE ∥GF ，∠B ＝∠F ＝72°，则∠D ＝__36__度． 9．在△ABC 中，三个内角∠A ，∠B ，∠C 满足∠B －∠A ＝∠C －∠B ，则∠B ＝__60__度．
10．将一副直角三角板如图21－7摆放，点C 在EF 上，AC 经过点D .已知∠A ＝∠EDF ＝90°，AB ＝AC ，∠E ＝30°，∠BCE ＝40°，则∠CDF ＝__25°__.
图21－7
【解析】 ∵AB ＝AC ，∠A ＝90°， ∴∠ACB ＝∠B ＝45°. ∵∠EDF ＝90°，∠E ＝30°， ∴∠F ＝90°－∠E ＝60°.
∵∠ACE ＝∠CDF ＋∠F ，∠BCE ＝40°，
∴∠CDF ＝∠ACE －∠F ＝∠BCE ＋∠ACB －∠F ＝40°＋45°－60°＝25°
.
(25分)
AB ＝33，AD
11．(7分)[2016·广州]如图21－8，四边形ABCD 中，∠A ＝90°，＝3，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点(含端点，但点M 不与点B 重合)，
点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为__3__. 【解析】 ∵ED ＝EM ，MF ＝FN ，
∴EF ＝1
2
DN ，
∴DN 最大时，EF 最大， ∵N 与B 重合时DN 最大， 此时DN ＝DB ＝
AD 2＋AB 2＝6，
∴EF 的最大值为3.
12．(8分)[2017·扬州]如图21－9，△ABC 的中位线DE ＝5 cm ，把△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在边BC 上的点F 处，若A ，F 两点间的距离是8 cm ，则△ABC 的面积为__40__cm 2
.
图21－9
图21－10
13．(10分)[2016·苏州]如图21－10，在△ABC 中，CD 是高，CE 是中线，CE ＝CB ，点A ，D 关于点F 对称，过点F 作FG ∥CD ，交AC 边于点G ，连结GE .若AC ＝18，BC ＝12，则△CEG 的周长为__27__. 【解析】 ∵点A ，D 关于点F 对称，
图21－8
∴点F 是AD 的中点． ∵CD ⊥AB ，FG ∥CD ， ∴FG 是△ACD 的中位线， ∵AC ＝18，BC ＝12， ∴CG ＝1
2AC ＝9.
∵点E 是AB 的中点， ∴GE 是△ABC 的中位线， ∵CE ＝CB ＝12， ∴GE ＝1
2
BC ＝6，
∴△CEG 的周长＝CG ＋GE ＋CE ＝9＋6＋12＝27.
(15分)
14．(15分)[2016·邵阳]如图21－11，等边△ABC 的边长是2，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，延长BC 至点F ，使CF ＝1
2BC ，连结CD 和EF .
(1)求证：DE ＝CF ；
图21－11
(2)求EF 的长．
解：(1)证明：∵D ，E 分别为AB ，AC 的中点， ∴DE 綊1
2
BC ，
∵延长BC 至点F ，使CF ＝1
2BC ，
∴DE 綊FC ， 即DE ＝CF ； (2)∵DE 綊FC ，
∴四边形DEFC 是平行四边形， ∴DC ＝EF ，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，
∴EF＝DC＝ 3.。