第四章 算法策略1

1）找出枚举范围：分析问题所涉及的各种情况。 2）找出约束条件：分析问题的解需要满足的条件，并用逻辑 表达式表示。
【例1】百钱百鸡问题。中国古代数学家张丘建在他的《算经》 中提出了著名的“百钱百鸡问题”：鸡翁一，值钱五；鸡母一， 值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，翁、母、雏各几何?
两个三元方程
算法设计1： 用“懒惰”的枚举策略进行算法设计： 设x，y，z分别为公鸡、母鸡、小鸡的数量。 尝试范围：
1
A[1] = A[i]=1 A[j] = A[j] + A[j-1] i行 i-1行 i-1行
j=i-1，i-2，……，2
图4-2 杨辉三角形存储格式
算法如下：
main( ) {int n,i,j,a[100]; input(n); print(“1”); print(“换行符”); a[1]=a[2]=1; print(a[1],a[2]); print(“换行符”); for (i=3;i<=n;i=i+1) {a[1]=a[i]=1; for (j=i-1，j>1，j=j-1) a[j]=a[j]+a[j-1]; for (j=1;j<=i;j=j+1) print(a[j]); print(“换行符”); } }
第四章 基本的算法策略
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 迭代算法 蛮力算法 分而治之算法 贪婪算法 动态规划 算法策略间的比较
4.1 迭代算法
4.1.1 递推法 4.1.2 倒推法 4.1.3 迭代法解方程
4．1．1 递推法
【例1】兔子繁殖问题 问题描述：一对兔子从出生后第三个月开始，每月 生一对小兔子。小兔子到第三个月又开始生下一 代小兔子。假若兔子只生不死，一月份抱来一对 刚出生的小兔子，问一年中每个月各有多少只兔 子。
算法分析：以上算法需要枚举尝试20*34*100=68000次。 算法的效率显然太低 算法设计2： • 在公鸡（x）、母鸡（y）的数量确定后，小鸡 的数量 z就固 定为: 100-x-y • 此时约束条件只有一个： 5*x+3*y+z/3=100 算法2如下：
倒推法
倒推法：是对某些特殊问题所采用的违反通常习惯的从后向 前推解问题的方法。如下面的例题，因不同方面的需求而采用了 倒推策略。
【例1】猴子吃桃问题 一只小猴子摘了若干桃子，每天吃现有桃的一半多一个， 到第10天时就只有一个桃子了，求原有多少个桃？ 数学模型：每天的桃子数为：a10=1, a9=(1+a10)*2, a8=(1+a9)*2,……a10=1， 递推公式为：ai=(1+ai+1)*2 I = 9,8,7,6……1 算法如下 ： main( ) { int i,s; s=1; for (i=9 ;i>=1;i=i-1) s=(s+1)*2 print (s)； }
算法3：
1 a 2 b 表4-2 递推迭代表达式 3 4 5 6 a=a+b b=a+b a=a+b b=a+b 7 …… 8 9
由此归纳出可以用“a=a+b; b=a+b;”做循环“不变式”， 从而得到以下算法3: main( ) { int i,a=1,b=1; print(a,b); for(i=1; i＜= 5 ;i++) { a=a+b; b=a+b; print(a,b); } }
4.2.1 枚举法 4.2.2 其它范例
4．2．1
枚举法
•枚举（ enumerate）法（穷举法）是蛮力策略的一种表现形式， 它是根据问题中的条件将可能的情况一一列举出来，逐一尝试从中 找出满足问题条件的解。
•但有时一一列举出的情况数目很大，如果超过了我们所能忍受的 范围，则需要进一步考虑，排除一些明显不合理的情况，尽可能减 少问题可能解的列举数目。 •用枚举法解决问题，通常可以从两个方面进行算法设计：
算法如下：
main（） { int a, b; input(a,b); if(b=0) {print(“data error”); return;} else { c = a mod b; while c<>0 { a=b; b=c; c=a mod b;} } print(b); }
4.1.2
print(“input a,b (f(a)*f(b)<0)”); input(a,b); f1=x1*x1*x1/2+2*x1*x1-8; f2=x2*x2*x2/2+2*x2*x2-8; if(f1*f2>0) { printf("No root"); return;} do { x=(x1+x2)/2; f=x*x*x/2+2*x*x-8; if(f=0) break; if(f1*f>0.0) {x1=x; f1=f;} else x2=x; //需要 f2=f 吗？ }while(fabs(f)>=1e-4); print("root=",x); }
x2=φ (x1)，……如此反复迭代，就得到一个数列x0， x1，……，xn，若这个数列收敛，即存在极值，且函数
φ (x)连续，则很容易得到这个极限值
x*就是方程f(x)=0的根。
【例2】牛顿迭代法 牛顿迭代法又称为切线法.
1.选择一个接近函数f(x)零点的x0, 2.计算相应的f(x0)和切线斜率f„(x0) 3.计算穿过点(x0,f
程f(x) = 0的解。接下来用x1开始下 一轮迭代 .
图4-5 牛顿迭代法 示意图
迭代公式可化简为： 牛顿迭代公式 已经证明, 如果f„是连 续的, 并且待求的零点x是孤立的, 那么在零点x周围存在 一个区域, 只要初始值x0位于这个邻近区域内, 那么牛顿 法必定收敛。
下面给出用牛顿迭代法，求 形如ax3+bx2+cx+d=0方程 根的算法，系数a、b、c、d的 值依次为1、2、3、4，由主函 数输入。求x在1附近的一个实 根。求出根后由主函数输出。
(x0))且斜率为f „(x0)的直线方程为：
y f ( x0 ) f ( x0 )(x x0 )
4.和x轴的交点的x坐标,
也就是求如下方程的解： f ( x0 ) f ( x0 )(x x0 ) 0
5.
将新求得交点的x坐标命名为x1。如
图4-5所示，通常x1会比x0更接近方
问题分析：因一对兔子从出生后第三个月开始每月生一对小 兔子，则每月新下小兔子的对儿数(用斜体数字表示)显然由 前两个月的小兔子的对儿数决定。则繁殖过程如下： 一月 二月 三月 四月 五月 六月 …… 1 1 1+1=2 2+1=3 3+2=5 5+3=8 ……
数学建模：y1=y2=1，yn=yn-1+yn-2，n=3，4，5，……。
算法1：
main( ) { int i,a=1,b=1; print(a,b); for(i=1;i＜=10;i++) { c=a+b; print (c); a=b; b=c； } }
算法2：
递推迭代表达式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c=a+b a=b+c b=a+c c=a+b a=b+c b=a+c …… 由此归纳出可以用“c=a+b; a=b+c; b=c+a;”做循环“不变 式”。 算法2如下： main( ) 算法2，最后输出的 并不是12项，而是 { int i,a=1,b=1; 2+3*4共14项。 print(a,b); 4 for(i=1; i＜= ;i++) { c=a+b; a=b+c; b=c+a; print(a,b,c); } } 表4-1
用二分法求一元非线性方程
f(x)= x^3/2+2x^2-8=0（其中^表示幂 运算）在区间[0，2]上的近似实根r，精确 到0.0001.算法如下：
main( ) { float x,x1=0,x2=2,f1,f2,f;
//x=(x1+x2)/2;f1=f(x1);f2=f(x2);f=f(x)=f((x1+x2)/2)
4.2 蛮力法
•蛮力法是基于计算机运算速度快这一特性 •这种策略不经过（或者说是经过很少的）思考，把问题的所有 情况或所有过程交给计算机去一一尝试，从中找出问题的解。 •蛮力策略的应用很广，数据结构课程中学习的：选择排序、冒 泡排序、插入排序、顺序查找、朴素的字符串匹配等，都是蛮力 策略具体应用。 •比较常用还有枚举法、盲目搜索算法等
【例2】求两个整数的最大公约数。
数学建模：辗转相除法是根据递推策略设计的。 设两个整数a>b且a除以b商x余c；则a-bx=c：
a、b的最大公约数也是c的约数
a、b的最大公约数与b、c的最大公约数相同 同样方法推出b、c的最大公约数与……，直到余数为0时，除数
即为所求的最大公约数。 算法设计：循环“不变式”第一次是求a、b相除的余数c，第二 次经a=b,b=c操作，就实现了第二次还是求“a”“b” 相除的余数， 这就找到了循环不变式。循环在余数c为0时结束。
1 1 1 1 3 2 3 1 1 1
4 6 4 1 杨辉三角形是按下图4-2形式存储的。若求n层，则数组 …………… 图4-1 杨辉三角形 最多存储n个数据。
？
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 ……………
算法设计： 因为输出第i行时，用一个一维数组存
储，每求出一个数将覆盖第i-1行对应列存储的值，这 将导致下一个数无法计算。 个问题
4.1.3
迭代法解方程
2 近似迭代
迭代法：1 精确迭代（最大公约数）