北京林业大学2009--2010学年第一学期考试试卷A答案

一、填空题（每题3分，共30分）
1．在“充分”、“必要”、“充要”和“非充要”中选择一个正确的填入下列空格内（1）数列{}n x 有界是数列{}n x 收敛的____必要_______条件；（2）某变量无界是该变量为无穷大的_____必要____条件；（3）()f x 在[,]a b 上连续是()f x 在[a,b]上可积分的_____充分______条件。

2.当0x →时，22ln(1)x x +-是x 的n 阶无穷小，则n =____4_________。

3.0x =是函数1sin
y x
=的第_____二_____类间断点。

4. 设)(。

x f '存在，则0lim →r 001[(2)(2)]f x h f x h h
+--=04()f x '。

5. 设x y -=11，n 为自然数，则()(0)n y =!n 。

6. 函数12+=ax y 在),0(∞+内单调增加，则a 的取值范围是[0,)+∞。

7. 若()()f x dx F x C =+⎰，则()x x e f e dx --⎰ =()x F e C --+。

8.若n 为正整数，则 120(1)n d x dx dx
-⎰=____0___________。

9微分方程dx
dy xy y dx dy x =+的通解为y cxy e =。

10.方程x e x y y y 3296=+'-''的一个特解形式*223()x y x ax bx c e =++。

二、求解下列各题（每小题5分，共70分）
1. x
x x x x -∞+→11sin lim 求 2.求 4200)d )1ln((lim x t t x x ⎰+→
解: 解: 3. 设tan()y x y =+，求dy 4. 设 2222(21)t t x te y t e
--⎧=⎪⎨=+⎪⎩求)(x y '' 解: 解:
5. dx
6. ⎰xdx x sin
解: 当0x >时 解:
当0x <时, sec () 2
x t t ππ=<<令： 可得: 原积分
=1arccos() C x =-++ 7
．求4
1⎰
8. 2⎰ 解: 令
t = 解:
9. 给定曲线21x
y =，求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度。

解:点00,)x y （处的切线方程为: 0030
2() y y x x x -=-- 切线与坐标轴的交点为020330,),(,0)2
x x （ 设所截线段的长度为l ,则22040
994A l x x ==+ 令0A '=
，得0x
2A =
10. 假设(1)函数()(0)y f x x =≤<+∞满足(0)0f =和0()1x f x e ≤≤-；(2)平行于y 轴的动直线MN 与曲线()y f x =和1x y e =-分别交于点1P 和2P ；(3)曲线()y f x =、直线MN 和x 轴所围图形的面积等于线段12PP 的长度.求函数()y f x =的表达式。

解：0()1()x x f t dt e f x =--⎰
两边同时对x 求导数得：()()x f x f x e '+= 解微分方程得1()2
x x f x e ce -=
+ 由于1(0)0, 2
f c ==-所以 故所求曲线为11()22
x x f x e e -=- 11.设)(x f 在[,]a b 上可导（a b <），且)()(b f a f =，证明：存在),(b a ∈ξ，使)()()(ξξξf f a f '=-。

证：设()()F x xf x =，
则()()()F x f x xf x ''=+
由于()(),()()()F a af a F b bf b bf a ===
由拉格朗日中值定理可知，至少存在一点(,)a b ξ∈，使得
即 )()()(ξξξf f a f '=-
12. 计算由 , 1x
y =与直线x y =以及2=x 所围成的平面图形的面积。

解：1 y x =与直线x y =的交点为(1,1)，1 y x =与直线2x =的交点为1(2,)2 13．过曲线x y =上点(4,2)处作切线，于是该切线与曲线x y =及y 轴围成一平面图形，求该平面图形绕x 轴旋
转所形成的旋转体的体积。

解：切线方程为：114
y x =+ 14． 函数()f x 在[0,)+∞上可导，(0)1f =，且满足等式0
1()()()01x f x f x f t dt x '+-=+⎰，
（1）求导数()f x '；（2）证明：当0x ≥时， ()1x e f x -≤≤。

解： （1） 0
(1)[()()]()0x
x f x f x f t dt '++-=⎰
两边对x 求导得：(2)()(1)()0x f x x f x '''+++= 令 ()f x p '=，则(2)(1)0x p x p '+++=
解得：11(1)
x p e c x -=+ 由(0)1f =及0
1()()()01x f x f x f t dt x '+-=+⎰，得(0)1f '=- 因此11c =-， 故1()(1)
x f x e x -'=-+ （2） 因为当0x >时，1()0(1)
x f x e x -'=-<+，所以()f x 在[0,)+∞上单调减少， 故当0x ≥时，()(0)1f x f ≤=。

令()()x F x f x e -=-，则当0x >时，()()01x x x F x f x e e x --''=+=
>+，所以()f x 在[0,)+∞上单 调增加， 故当0x ≥时，()(0)0F x F ≥=，即()x f x e -≥。