河北省邯郸市2010届高三摸底考试(数学理)

2010年邯郸市高三摸底考试理科数学试卷 2009.12本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至 页，第Ⅱ卷 至 页。

考试时间： 120 分钟，满分 150 分。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

做非选择题时，用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔写在答题卡相应位置，不能答在试题卷上。

3.考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集为R ，集合1|1,R A x A x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭则等于ð A ．{}10|<≤x x B ．{}10|≤<x xC ．{}01|≤>x x x 或D ．{}01|<≥x x x 或2.在复平面内，复数21i+对应的点与原点的距离是 A ．1 BC ．2 D．3.若2()log 1f x x =+，则它的反函数1()f x -的图像大致是4.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为3，且它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则此双曲线的方程为A ．16322=-y xB ．132322=-y x C ．1964822=-y x D ．1241222=-y x5.将函数sin 2y x =的图像按(,1)4a π=-平移,所得图像的函数解析式是A.cos 2y x =B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =6.已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，4515,55a S ==，则过点34(3,),(4,)P a Q a 的直线的斜率是 A ．4 B ．14C ．4-D ．14- 7.将4个不同颜色的小球全部放入不同标号的3个盒子中，不同的放法种数为 A ．36 B ．64 C ．81 D ．96 8.已知()cos xf x e x =，则此函数图像在点(1, f (1))处的切线的倾斜角为 A ．零角 B ．锐角C ．直角D ．钝角9.函数tan()42y x ππ=-的部分图像如图所示，则()OB OA OB -⋅= A ．4- B ．2C ．2-D ．410.若实数,x y 满足不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则t x y =-的取值范围是A ．[2,1]--B ．[2,1]-C ．[1,2]-D ．[1,2]11.若点A 、B 、C 是半径为2的球面上三点，且AB ＝2，则球心到平面ABC 的距离最大值为 A ．22 B ．32C ． 2D ． 3 12.已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于点3(,0)4-对称，且满足()⎪⎭⎫⎝⎛--=23x f x f ,()()11,02f f -==-，则(1)(2)(3)(2009)f f f f ++++…的值是A ．2B ．1C ．-1D ．-2第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分；共20分）13.设常数0a >，42ax ⎛ ⎝展开式中3x 的系数为32，则2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=______________ ; 14.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>短轴端点为A,B.点P 是椭圆上除A 、B 外任意一点，则直线PA 、PB 的斜率之积为 ;15. 定义在[]2,2-上的偶函数()f x 在[]0,2上的图像如图所示，则不等式()()f x f x x +->的解集为_____________;16.等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --为直二面角，M N 、分别是AC BC 、的中点，则EM AN 、所成角的余弦值为 .三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (本小题满分10分)已知ABC ∆中， a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，A 是锐角。

且3sincos 2210A A =，8AB AC =． (Ⅰ)求bc 的值；(Ⅱ)求a 的最小值．18. (本小题满分12分)一个盒子里装有4张卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子里则装有分别标有3，4，5，6四个数的4张卡片. 从两个盒子里各任取一张卡片.(Ⅰ)求取出的两张卡片上的数不同的概率； (Ⅱ)求取出的两张卡片上的数之和ξ的期望.19. (本小题满分12分)如图，四面体ABCD 中，O 是BD 的中点，ABD ∆和BCD ∆均为等边三角形，2,AB AC ==（I ）求证：AO ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求二面角A BC D --的余弦值； （Ⅲ）求点O 到平面ACD 的距离。

20.(本小题满分12分)已知直线)0(1012222>>=+=-+b a by a x y x 与椭圆相交于A 、B 两点，线段AB 中点M 在直线x y l 21:=上.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若椭圆右焦点关于直线l 的对称点在单位圆122=+y x 上，求椭圆的方程. 21. (本小题满分12分) 数列{}n a 的前n 项和n S 满足11n n a a S a--=(0a >，且1a ≠).数列{}n b 满足lg n n n b a a =⋅. (Ⅰ)求数列{}n b 的前n 项和n T ；（Ⅱ）若对一切*n N ∈都有1n n b b +<，求a 的取值范围.22 (本小题满分12分)已知函数313)3f x x ax a =-≥（）（． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的极小值；（Ⅱ）设()()g x f x =，[]11x ∈-，，求()g x 的最大值Fa （）. 2010年邯郸市高三摸底考试理科答案及评分标准 2009.12.26一.选择题：（每题5分，共60分）ABCAB ACDDC DA二.填空题：(每题5分，共20分)13、1 14、22b a- 15、[)2,1- 16、10三解答题17.(10分)解：(Ⅰ)由3sincos 2210A A =，可得3sin 5A =，………1分 因为A 是锐角，所以4cos 5A =， …………………………………………3分8AB AC ⋅=， cos 8AB AC bc A ⋅==，∴10bc =. ………………………………………………………………5分(Ⅱ)由余弦定理可得222222cos 162164a b c bc A b c bc =+-=+-≥-=，……8分当且仅当b c ==.所以a 的最小值为2. …………10分 18.(12分)解:(Ⅰ)从两个盒子里各任意取一张卡片的所有的结果数为4×4=16种,其中两张卡片上数字相同(记为事件A)的结果共有3种, ……1分因此, 两张卡片上数字相同的概率为:()316P A =, ……2分 所以, 两张卡片上数字不同的概率为: ()31311616P A =-=. …………4分 (Ⅱ) 所取出的两张卡片上的数之和ξ的所有可能取值为5，6，7，8，9，10，11. ……6分其分布列为…………8分1234321567891011816161616161616Eξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…………12分19.(12分)（解法一）解：（I）连结OC，ABD∆和CBD∆为等边三角形，O为BD的中点，O为BD的中点，AO BD∴⊥,BDCO⊥,又2,AB AC==，AO CO∴==.…………2分在AOC∆中，22AO CO+=2AC，90AOC︒∴∠=，即AO OC⊥BD OC O=，∴AO⊥平面BCD………………………………………………4分（Ⅱ）过O作OE BC⊥于,E连结AE，AO⊥平面BCD，AE∴在平面BCD上的射影为OEAE BC∴⊥AEO∴∠为二面角A BC D--的平面角. ……………………6分在Rt AEO∆中，tan2,cos25AOAO OE AEO AEOOE==∠==∠=∴二面角A BC D--的余弦值为5…………………………8分（Ⅲ）设点O到平面ACD的距离为hO ACD A OCDV V--=，1133ACD OCDS h S AO∆∆∴⋅=⋅……………………………10分在ACD∆中，2,AD CD AC===，ACDS∆==AB CODE而25OCDOCDACDSAO S h AOS∆∆∆==∴=⋅=∴点O到平面ACD的距离为5. ………………………12分（解法二）解：（I）同解法一…………………………………………………………4分（Ⅱ）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0)O AB C D⎧⎪⎨-⎪⎩AO ⊥平面BCD，∴平面BCD的法向量AO=…………6分设平面ABC的法向量(,,)n x y z=(0,1,3),(3,1,0)AB BC=--=由00(1,3,1)00n AB ynn BC y⎧⎧⋅=--=⎪⎪⇒⇒=-⎨⋅=+=⎪⎩设n与AO夹角为θ，则5|cos|5||||n AOn AOθ⋅==⋅∴二面角A BC D--的余弦值为5.……………………8分（Ⅲ）设平面ACD的法向量为(,,),m x y z=又(0,1,3),(3,1,0)DA DC=-=-00(1,3,1)m DA ymm DC y⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅+=⎪⎩…………10分设OA与m夹角为θ，则5cos5||||m OAm OAθ⋅==⋅设O 到平面ACD 的距离为h ，5,55h h O OA=⇒=∴到平面ACD 的距离为5……12分 20.(12分)解：（Ⅰ）设A 、B 两点的坐标分别为),(),,(2211y x y x由02)(:.1,0122222222222=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+b a a x a x b a b y ax y x 得…………2分22221212222122)(,2b a b x x y y b a a x x +=++-=++=+， ∴点M 的坐标为),(222222b a b b a a ++ …………4分又点M 的直线l 上：02222222=+-+∴b a b b a a 2222222)(22c a c a b a =∴-==∴.22==∴a c e …………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知c b =，设椭圆右焦点(),0F b 关于直线l ：x y 21=的对称点为),(00y x ， 由000001121222y x b y x b -⎧⋅=-⎪-⎪⎨+⎪=⋅⎪⎩ …………8分 解得： 003545x b y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩…………10分∵,1)54()53(,1222020=+∴=+b b y x 12=∴b ，∴所求的椭圆的方程为1222=+y x …………12分 21.(12分)解：（Ⅰ）当1n =时11a S =，1111a a a a--= 解得1a a = 当n ≥2时 1n n n a S S -=-…………2分11,n n a a S a --= 11n n a S a a -∴=-， 1111n n a S a a ---=-，两式相减得111()n n n n a S S a a a----=- 1n n a a a -∴=⋅ 所以数列{}n a 是首项为a ，公比为a 的等比数列1n nn a a a a -∴=⋅= …………４分 从而lg lg lg n n nn n n b a a a a na a =⋅== …………5分∴12n T b b =++……n b =23(23)lg n a a a na a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅设2323n u a a a =+++……+n na ，则2312n n au a a na +=+++∴23(1)n a u a a a -=+++……＋1n n a na+-1(1)1n n a a na a +-=--，…………6分∴12(1).1(1)n n n na a a u a a +-=--- ∴12(1)[]l g 1(1)n n n na a a T a a a +-=-⋅-- …………８分 （Ⅱ）由11lg (1)lg n n n n b b na a n a a ++<⇔<+可得① 当1a >时，由lg 0a > 可得1n a n >+，*1(),1,1nn N a n <∈>+ ∴1na n >+对一切*n N ∈都成立，∴此时的解为1a >. …………1０分 ②当01a <<时，由lg 0a < 可得(1),,1nn n a a n >+<+ 1n n +≥*1(),01,2n N a ∈<< ∴01n a n <<+对一切*n N ∈都成立， ∴102a <<.由①,②可知，对一切*n N ∈都有1n n b b +<的a 的取值范围是102a <<或1a >.…………12分22.（12分）解：（Ⅰ）当1=a 时，33)(2-='x x f ，令0)(='x f ，得1x =± ……2分当(1,1)x ∈-时0)(<'x f ，当(,1)(1,)x ∈-∞-+∞时0)(>'x f∴)(x f 在(1,1)-上单调递减，在()(,1),1,-∞-+∞上单调递增，∴)(x f 的极小值为2)1(-=f …………………………… ……4分 （Ⅱ）因|3||)(|)(3ax x x f x g -==在[]1,1-上为偶函数，故只求在[]1,0上最大值即可.∵13a ≥,[]0,1x ∈()(0f x x x x ∴=≤∴)(|)(|)(x f x f x g -== ……………………………………………………6 分2()()(33)3(g x f x x a x x ''=-=--=-①当1≥a 时，()0g x '＞，()g x 在]1,0[上单调递增，此时()(1)(1)31F a g f a ==-=- ………………………………8分 ②当131<≤a 时，)(|)(|)(x f x f x g -==在],0[a 上单调递增，在]1,[a 上单调递减，故()2F a g f ==-= …………………………………10分121()331,1a F a a a ⎧≤<⎪=⎨⎪-≥⎩ ……………………………………12分。