广东省深圳市2015届高考数学一模试卷(理科)

广东省深圳市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，则∁U A=（）A．φB．{0，2} C．{1，5} D．{2，0，1，5} 2．（5分）已知复数z满足z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z=（）A．B．C．D．3．（5分）若函数y=a x+b的部分图象如图所示，则（）A．0＜a＜1，﹣1＜b＜0 B．0＜a＜1，0＜b＜1 C．a＞1，﹣1＜b＜0 D．a＞1，0＜b＜14．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值为（）A．3B．4C．6D．95．（5分）已知直线a，b，平面α，β，且a⊥α，b⊂β，则“a⊥b”是“α∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．16 B．25 C．36 D．497．（5分）在△ABC中，a，b，c分为为∠A，∠B，∠C所对的边，若函数f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有极值点，则∠B的范围是（）A．（0，）B．（0，]C．[，π）D．[，π]8．（5分）如果自然数a的各位数字之和等于8，我们称a为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3…，若a n=2015，则n=（）A．83 B．82 C．39 D．37二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生必须作答．9．（5分）（x﹣）4的展开式中常数项为．（用数字表示）10．（5分）（x2﹣2sinx）dx=．11．（5分）已知向量=（﹣1，1），=（1，）（x＞0，y＞0），若⊥，则x+4y的最小值为．12．（5分）已知圆C：x2+y2+8x+ay﹣5=0经过抛物线E：x2=4y的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长为．13．（5分）设P是函数y=lnx图象上的动点，则点P到直线y=x的距离的最小值为．三、【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，每小题5分，满分5分）14．（5分）在极坐标系中，曲线C1：ρcosθ=与曲线C2：ρ2cos2θ=1相交于A，B两点，则|AB|=．四、【几何证明选讲选做题】（共1小题，每小题0分，满分0分）15．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙O 与AC相切于点E．若BC=6，则DE的长为．三、解答题16．（12分）函数f（x）=2sin（ωx+）（w＞0）的最小正周期是π．（1）求f（）的值；（2）若sinx0=，且x0∈（0，），求f（x0）的值．17．（12分）空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：城市AQI数值城市AQI数值城市AQI数值城市AQI数值城市AQI数值城市AQI数值城市AQI数值广州118 东莞137 中山95 江门78 云浮76 茂名107 揭阳80深圳94 珠海95 湛江75 潮州94 河源124 肇庆48 清远47佛山160 惠州113 汕头88 汕尾74 阳江112 韶关68 梅州84 （1）请根据上表中的数据，完成下列表格：空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围[0，50）[50，100）[100，150）[150，200）城市个数（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为ξ”，求ξ的分布列和数学期望．18．（14分）在三棱锥P﹣ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC，AB是底面△ABC最长的边．三棱锥P﹣ABC的三视图如图1所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形．（1）请在图2中，用斜二测画法，把三棱锥P﹣ABC的直观图补充完整（其中点P在xOz平面内），并指出三棱锥P﹣ABC的哪些面是直角三角形；（2）求二面角B﹣PA﹣C的正切值；（3）求点C到面PAB的距离．19．（14分）已知数列{a n}的首项大于0，公差d=1，且+=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：b1=﹣1，b2=λ，b n+1=b n+，其中n≥2．①求数列{b n}的通项b n；②是否存在实数λ，使得数列{b n}为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过左焦点倾斜角为45°的直线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆E的方程；（2）若动直线l与椭圆E有且只有一个公共点，过点M（1，0）作l的垂线垂足为Q，求点Q的轨迹方程．21．（14分）已知定义在[﹣2，2]上的奇函数f（x）满足：当x∈（0，2]时，f（x）=x（x﹣2）．（1）求f（x）的解析式和值域；（2）设g（x）=ln（x+2）﹣ax﹣2a，其中常数a＞0．①试指出函数F（x）=g（f（x））的零点个数；②若当1+是函数F（x）=g（f（x））的一个零点时，相应的常数a记为a k，其中k=1，2，…，n．证明：a1+a2+…+a n＜（n∈N*）．广东省深圳市2015届高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，则∁U A=（）A．φB．{0，2} C．{1，5} D．{2，0，1，5}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据集合的补集的定义求出A的补集即可．解答：解：∵集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，∴∁U A={1，5}，故选：C．点评：本题考查了集合的运算，是一道基础题．2．（5分）已知复数z满足z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵z（1+i）=1，∴=．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3．（5分）若函数y=a x+b的部分图象如图所示，则（）A．0＜a＜1，﹣1＜b＜0 B．0＜a＜1，0＜b＜1 C．a＞1，﹣1＜b＜0 D．a＞1，0＜b＜1考点：指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数的图象和性质即可判断解答：解：由图象可以看出，函数为减函数，故0＜a＜1，因为函数y=a x的图象过定点（0，1），函数y=a x+b的图象过定点（0，b），∴﹣1＜b＜0，故选：A点评：本题主要考查函数图象的应用，利用函数过定点是解决本题的关键．4．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值为（）A．3B．4C．6D．9考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出可行域，平行直线可得直线过点A（3，0）时，z取最大值，代值计算可得．解答：解：作出不等式组所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数z=2x+y可得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x可知，当直线经过点A（3，0）时，z取最大值，代值计算可得z=2x+y的最大值为6故选：C点评：本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．5．（5分）已知直线a，b，平面α，β，且a⊥α，b⊂β，则“a⊥b”是“α∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据题意，分两步来判断：①分析当α∥β时，a⊥b是否成立，有线面垂直的性质，可得其是真命题，②分析当a⊥b时，α∥β是否成立，举出反例可得其是假命题，综合①②可得答案．解答：解：根据题意，分两步来判断：①当α∥β时，∵a⊥α，且α∥β，∴a⊥β，又∵b⊂β，∴a⊥b，则a⊥b是α∥β的必要条件，②若a⊥b，不一定α∥β，当α∩β=a时，又由a⊥α，则a⊥b，但此时α∥β不成立，即a⊥b不是α∥β的充分条件，则a⊥b是α∥β的必要不充分条件，故选B．点评：本题考查充分必要条件的判断，涉及线面垂直的性质的运用，解题的关键要掌握线面垂直的性质．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．16 B．25 C．36 D．49考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，n，S的值，当i=6时，满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为36．解答：解：执行程序框图，可得S=0，n=1，i=1S=1，不满足条件i＞5，i=2，n=3，S=4不满足条件i＞5，i=3，n=5，S=9不满足条件i＞5，i=4，n=7，S=16不满足条件i＞5，i=5，n=9，S=25不满足条件i＞5，i=6，n=11，S=36满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为36．故选：C．点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确判断退出循环时S的值是解题的关键，属于基础题．7．（5分）在△ABC中，a，b，c分为为∠A，∠B，∠C所对的边，若函数f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有极值点，则∠B的范围是（）A．（0，）B．（0，]C．[，π）D．[，π]考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的综合应用；解三角形．分析：先求导f′（x）=x2+2bx+（a2+c2﹣ac），从而化函数f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有极值点为x2+2bx+（a2+c2﹣ac）=0有两个不同的根，从而再利用余弦定理求解．解答：解：∵f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1，∴f′（x）=x2+2bx+（a2+c2﹣ac），又∵函数f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有极值点，∴x2+2bx+（a2+c2﹣ac）=0有两个不同的根，∴△=（2b）2﹣4（a2+c2﹣ac）＞0，即ac＞a2+c2﹣b2，即ac＞2accosB；即cosB＜；故∠B的范围是（，π）；故选：D．点评：本题考查了导数的综合应用及余弦定理的应用，属于中档题．8．（5分）如果自然数a的各位数字之和等于8，我们称a为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3…，若a n=2015，则n=（）A．83 B．82 C．39 D．37考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：利用“吉祥数”的定义，分类列举出“吉祥数”，推理可得到结论．解答：解：由题意，一位数时只有8一个；二位数时，有17，26，35，44，53，62，71，80共8个三位数时：（0，0，8）有1个，（0，1，7）有4个，（0，2，6）有4个，（0，3，5）有4个，（0，4，4）有2个，（1，1，6）有3个，（1，2，5）有6个，（1，3，4）有6个，（2，2，4），有3个，（2，3，3）有3个，共1+4×3+2+3×3+6×2=36个，四位数小于等于2015：（0，0，1，7）有3个，（0，0，2，6）有1个，（0，1，1，6）有6个，（0，1，2，5）有7个，（0，1，3，4）有6个，（1，1，1，5）有3个，（1，1，2，4）有6个，（1，1，3，3）有3个，（1，2，2，3）有3个，共有3×4+6×3+1+7=38个数，∴小于等于2015的一共有1+8+36+38=83个，即a83=2015故选：A点评：本题考查新定义，涉及简单计数原理和排列组合的知识，属中档题．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生必须作答．9．（5分）（x﹣）4的展开式中常数项为．（用数字表示）考点：二项式定理．专题：计算题；二项式定理．分析：利用二项展开式的通项公式T r+1=（﹣）r••x4﹣2r，令4﹣2r=0得r=2，即可求出（x﹣）4的展开式中常数项．解答：解：设（x﹣）4展开式的通项为T r+1，则T r+1=（﹣）r••x4﹣2r，令4﹣2r=0得r=2．∴展开式中常数项为：（﹣）2•=．故答案为：．点评：本题考查二项式系数的性质，利用通项公式化简是关键，属于中档题．10．（5分）（x2﹣2sinx）dx=18．考点：微积分基本定理．专题：导数的概念及应用．分析：根据微积分基本定理计算即可．解答：解：（x2﹣2sinx）dx=（x3+2cosx）|=×33+2cos3﹣×（﹣3）3﹣2cos（﹣3）=9+9=18故答案为：18点评：本题考查了微积分基本定理，关键是求出原函数，属于基础题11．（5分）已知向量=（﹣1，1），=（1，）（x＞0，y＞0），若⊥，则x+4y的最小值为9．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据⊥，得到x+y=xy，由x+4y≥4结合“=”成立的条件，求出此时x，y的值，从而得到答案．解答：解：∵⊥，（x＞0，y＞0），∴•=﹣1+=0，∴+=1，∴x+4y=（x+4y）（+）=1+++4≥5+2=9，当且仅当=即x2=4y2时“=”成立，故答案为：9点评：本题考查了平面向量数量积的运算，考查了基本不等式的性质，是一道基础题．12．（5分）已知圆C：x2+y2+8x+ay﹣5=0经过抛物线E：x2=4y的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长为4．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线E：x2=4y的焦点为（0，1），准线为y=﹣1，确定圆的方程，即可求出抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长．解答：解：抛物线E：x2=4y的焦点为（0，1），准线为y=﹣1．（0，1）代入圆C：x2+y2+8x+ay﹣5=0，可得1+a﹣5=0，∴a=4∴圆C：x2+y2+8x+4y﹣5=0，即（x+4）2+（y+2）2=25，∴圆心到直线的距离为d=1，∴抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长为2=4．故答案为：4．点评：本题考查圆的方程，考查抛物线的性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）设P是函数y=lnx图象上的动点，则点P到直线y=x的距离的最小值为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；作图题；导数的综合应用．分析：由题意作图，从而可得点P（1，0）时，点P到直线y=x的距离的有最小值；从而求解．解答：解：由题意作图如下，令y′==1得，x=1，y=0；故点P（1，0）时，点P到直线y=x的距离的有最小值；故d==；故答案为：．点评：本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用，属于中档题．三、【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，每小题5分，满分5分）14．（5分）在极坐标系中，曲线C1：ρcosθ=与曲线C2：ρ2cos2θ=1相交于A，B两点，则|AB|=2．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：曲线C1：ρcosθ=化为x=．曲线C2：ρ2cos2θ=1化为ρ2（cos2θ﹣sin2θ）=1，可得x2﹣y2=1，联立解得即可．解答：解：曲线C1：ρcosθ=化为x=．曲线C2：ρ2cos2θ=1化为ρ2（cos2θ﹣sin2θ）=1，∴x2﹣y2=1，联立，解得．∴|AB|=2．故答案为：2．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、弦长问题，考查了计算能力，属于基础题．四、【几何证明选讲选做题】（共1小题，每小题0分，满分0分）15．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙O 与AC相切于点E．若BC=6，则DE的长为4．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：连接OE，由已知得∠AEO=90°，OA=2OE，OD=AD，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得DE=OD，由此能求出DE的长．解答：解：连接OE，∵AC是⊙O的切线，∴∠AEO=90°，∵∠A=30°，∴OA=2OE，∵OA=OD+AD，OD=OE，∴OD=AD，∴DE=OD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），∵∠C=90°，∠A=30°，BC=6，∴AB=2BC=12，∵AB=OB+OD+AD=3OD=12，∴OD=4，∴DE=OD=4．故答案为：4．点评：本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理运用．三、解答题16．（12分）函数f（x）=2sin（ωx+）（w＞0）的最小正周期是π．（1）求f（）的值；（2）若sinx0=，且x0∈（0，），求f（x0）的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）由已知可求ω的值，从而可得解析式，即可根据诱导公式求值．（2）由已知可求得cos2x0的值，即可求sin2x0的值，由两角和的正弦公式展开所求代入即可求值．解答：解：（1）∵f（x）的周期是π，即T=π，…（1分）∴ω==2，即．…（3分）∴．…（5分）（2）由得，…（7分）又，∴2x0∈（0，π），…（8分）∴，…（9分）∵=．∴．…（12分）点评：本小题主要考查了三角函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的图象与性质，同角三角函数的关系式，诱导公式，两角和与差和二倍角的三角函数公式，考查了简单的数学运算能力，属于基础题．17．（12分）空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：城市AQI数值城市AQI数值城市AQI数值城市AQI数值城市AQI数值城市AQI数值城市AQI数值广州118 东莞137 中山95 江门78 云浮76 茂名107 揭阳80深圳94 珠海95 湛江75 潮州94 河源124 肇庆48 清远47佛山160 惠州113 汕头88 汕尾74 阳江112 韶关68 梅州84（1）请根据上表中的数据，完成下列表格：空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围[0，50）[50，100）[100，150）[150，200）城市个数（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为ξ”，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）根据已知数据，能完成表格．（2）按分层抽样的方法，抽出的“良好”类城市为4个，抽出的“轻度污染”类城市为2个．根据题意ξ的所有可能取值为：1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．解答：解：（1）根据数据，完成表格如下：空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围[0，50）[50，100）[100，150）[150，200）城市频数 2 12 6 1…（2分）（2）按分层抽样的方法，从“良好”类城市中抽取个，…（3分）从“轻度污染”类城市中抽取个，…（4分）所以抽出的“良好”类城市为4个，抽出的“轻度污染”类城市为2个．根据题意ξ的所有可能取值为：1，2，3．∵，，．…（8分）∴ξ的分布列为：ξ 1 2 3p所以．…（11分）答：ξ的数学期望为2个．…（12分）点评：本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．18．（14分）在三棱锥P﹣ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC，AB是底面△ABC最长的边．三棱锥P﹣ABC的三视图如图1所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形．（1）请在图2中，用斜二测画法，把三棱锥P﹣ABC的直观图补充完整（其中点P在xOz平面内），并指出三棱锥P﹣ABC的哪些面是直角三角形；（2）求二面角B﹣PA﹣C的正切值；（3）求点C到面PAB的距离．考点：二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知条件能用出三棱锥P﹣ABC直观图，由三视图知△ABC和△PCA是直角三角形．（2）过P作PH⊥BC交BC于点H，由三视图知△PBC为等腰三角形，取PC的中点E，过E 作EF⊥PA且交PA于点F，连接BE，BF，∠BFE是二面角B﹣PA﹣C的平面角，由此能求出二面角B﹣PA﹣C的正切值．（3）记C到面PAB的距离为h，由V P﹣ABC=V C﹣PAB，能求出C到面PAB的距离．解答：解：（1）三棱锥P﹣ABC直观图如图1所示；由三视图知△ABC和△PCA是直角三角形．…（3分）（2）如图2，过P作PH⊥BC交BC于点H，由三视图知△PBC为等腰三角形，∵BC=4，，∴PB=PC=BC=4，取PC的中点E，过E作EF⊥PA且交PA于点F，连接BE，BF，因为BE⊥PC，由三视图知AC⊥面PBC，且BE⊂面PBC，∴AC⊥BE，又由AC∩PC=C，∴BE⊥面PAC，由PA⊂面PAC，∴BE⊥PA，BE∩EF=E，∴PA⊥面BEF，由BF⊂面BEF，∴PA⊥BF，所以∠BFE是二面角B﹣PA﹣C的平面角．…（6分）∵△PEF∽△PAC，∴，∵，∴，…（8分），∴在直角△BFE中，有．所以，二面角B﹣PA﹣C的正切值为．…（9分）（3）记C到面PAB的距离为h，由（1）、（2）知，∴，PB=4，V C﹣PAB==，…（12分）三棱锥P﹣ABC的体积，…（13分）由V P﹣ABC=V C﹣PAB，得C到面PAB的距离．…（14分）点评：本题主要考察空间点、线、面位置关系，三视图及几何体的直观图，二面角，三棱锥的体积，空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．19．（14分）已知数列{a n}的首项大于0，公差d=1，且+=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：b1=﹣1，b2=λ，b n+1=b n+，其中n≥2．①求数列{b n}的通项b n；②是否存在实数λ，使得数列{b n}为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．考点：数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得=，从而，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）①由已知得=+1，令c n=，则c2=λ，c n+1=c n+1，由此能求出数列{b n}的通项公式．②若数列{b n}为等比数列，则有，由此能求出存在实数λ=1，使得数列{b n}为等比数列．解答：解：（1）∵数列{a n}的首项大于0，公差d=1，且+=，…（2分）∴=，…（3分）整理得，解得a1=1或a1=﹣3（舍去）．…（4分）因此数列{a n}的通项a n=n．…（5分）（2）①∵b n+，∴=+1．…（6分）令c n=，则有c2=λ，c n+1=c n+1，（n≥2）．∴当n≥2时，c n=c2+（n﹣2）=n﹣2+λ，．…（8分）∴数列{b n}的通项b n=．…（9分）②∵b1=﹣1，b2=λ，，…（10分）∴若数列{b n}为等比数列，则有=b1b3，即，解得λ=1或．…（11分）当时，（n≥2），不是常数，数列{b n}不是等比数列，当λ=1时，b1=﹣1，，（n≥2），数列{b n}为等比数列．所以，存在实数λ=1，使得数列{b n}为等比数列．…（14分）点评：本题考查了等差数列的基本量的计算、递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、等比数列的定义，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想．20．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过左焦点倾斜角为45°的直线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆E的方程；（2）若动直线l与椭圆E有且只有一个公共点，过点M（1，0）作l的垂线垂足为Q，求点Q的轨迹方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由椭圆E的离心率为，可得=，解得a2=2b2，可得c=b．故椭圆E的方程可设为x2+2y2=2b2，则椭圆E的左焦点坐标为（﹣b，0），过左焦点倾斜角为45°的直线方程为l′：y=x+b．与椭圆方程联立可得交点坐标，利用弦长公式|AB|===，解得b即可得出．（2）当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，根据直线l和椭圆E有且仅有一个交点，可得△=0，m2=2k2+1．由于直线MQ与l垂直，可得直线MQ的方程为：y=﹣，联立，解得，消去m，k即可得出．解答：解：（1）∵椭圆E的离心率为，∴=，解得a2=2b2，∴c2=a2﹣b2=b2，即c=b．故椭圆E的方程可设为x2+2y2=2b2，则椭圆E的左焦点坐标为（﹣b，0），过左焦点倾斜角为45°的直线方程为l′：y=x+b．设直线l′与椭圆E的交点记为A，B，联立，消去y，得3x2+4bx=0，解得x1=0，x2=﹣，∴|AB|===，解得b=1．故椭圆E的方程为．（2）（i）当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为y=kx+m，联立，消去y并整理，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线l和椭圆E有且仅有一个交点，∴△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0，化简并整理，得m2=2k2+1．∵直线MQ与l垂直，∴直线MQ的方程为：y=﹣，联立，解得，∴x2+y2====2．（*）（ii）当切线l的斜率为0时，此时Q（1，±1），符合（*）式．（iii）当切线l的斜率不存在时，此时Q或，符合（*）式．综上所述，点Q的轨迹方程为x2+y2=2．点评：本题主要考查轨迹方程和椭圆的定义、直线方程、直线与椭圆相切的位置关系，弦长问题，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想，属于难题．21．（14分）已知定义在[﹣2，2]上的奇函数f（x）满足：当x∈（0，2]时，f（x）=x（x﹣2）．（1）求f（x）的解析式和值域；（2）设g（x）=ln（x+2）﹣ax﹣2a，其中常数a＞0．①试指出函数F（x）=g（f（x））的零点个数；②若当1+是函数F（x）=g（f（x））的一个零点时，相应的常数a记为a k，其中k=1，2，…，n．证明：a1+a2+…+a n＜（n∈N*）．考点：数列与函数的综合．专题：导数的综合应用；等差数列与等比数列．分析：（1）由奇函数性质得f（0）=0，当x∈[﹣2，0）时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x）（﹣x﹣2）=﹣x（x+2），由此能求出f（x）的解析式和值域．（2）①当t=0时，方程f（x）=t有三个实根，当t=1或t=﹣1时，方程f（x）=t只有一个实根，当t∈（0，1）或t∈（﹣1，0）时，方程f（x）=t有两个实根．设h（x）=，x∈[﹣1，1]，h（﹣1）=0，，由此利用导数性质能求出函数F（x）=g（f（x））的零点个数．②由已知得g（f（1+））=0，g（f（1+））=g（）=ln（﹣a k（）=0，从而，记m（x）=ln（x+1）﹣x，﹣1=，由此利用导数性质能证明a1+a2+…+a n＜（n∈N*）．解答：（1）解：∵f（x）为奇函数，∴f（0）=0．当x∈[﹣2，0）时，﹣x∈（0，2]，则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x）（﹣x﹣2）=﹣x（x+2），∴f（x）=．∵x∈[0，2]时，f（x）∈[﹣1，0]，x∈[﹣2，0），f（x）∈[0，1]，∴f（x）的值域为[﹣1，1]．（2）①解：函数f（x）的图象如图a所示，当t=0时，方程f（x）=t有三个实根，当t=1或t=﹣1时，方程f（x）=t只有一个实根，当t∈（0，1）或t∈（﹣1，0）时，方程f（x）=t有两个实根．由g（x）=0，解得a=，∵f（x）的值域为[﹣1，1]，∴只需研究函数y=在[﹣1，1]上的图象特征．设h（x）=，x∈[﹣1，1]，h（﹣1）=0，，令h′（x）=0，得x=e﹣2∈（0，1），h（e﹣2）=．∵当﹣1＜x＜e﹣2时，h′（x）＞0，当e﹣2＜x＜1时，h′（x）＜0，又∵ln23＜ln32，即，由h（0）=，h（1）=，得h（0）＜h（1），∴h（x）的大致图象如图b所示．根据图象b可知，当0＜a＜、、a=时，直线y=a与函数y=h（x）的图象仅有一个交点，则函数g（x）在[﹣1，1]上仅有一个零点，记零点为t，则t分别在区间（﹣1，0）、（0，1）上，根据图象a，方程f（x）=t有两个交点，因此函数F（x）=g（f（x））有两个零点．类似地，当a=时，函数g（x）在[﹣1，1]上仅有零点0，因此函数F（x）有﹣1、0、1这三个零点．当a=时，函数g（x）在[﹣1，1]上有两个零点，一个零点是1，另一个零点在（0，1）内，因此函数Y（x）有三个零点．当时，函数g（x）在[﹣1，1]上有两个零点，且这两个零点均在（0，1）内，因此函数F（x）有四个零点．当a＞时，函数g（x）在[﹣1，1]上没有零点，因此函数F（x）没有零点．②证明：∵1+是函数F（x）=g（f（x））的一个零点，∴有g（f（1+））=0，∵1+∈（0，2），∴f（1+）=，∴g（f（1+））=g（）=ln（）﹣a k（）=0，∴，k=1，2，…，n．记m（x）=ln（x+1）﹣x，﹣1=，∵当x∈（0，1]时，m′（x）＜0，∴当x∈（0，1]时，m（x）＜m（0）=0，即ln（x+1）＜x．故有ln（）＜，则＜=，k=1，2，…，n．当n=1时，a1．当n≥2时，∵＜=﹣，∴a1+a2+a3+…+a n＜+…+＜==＜．综上，有a1+a2+…+a n＜（n∈N*）．点评：本题主要考查函数的性质、分段函数、导数应用、一元二次方程的求解、连续函数的零点存在性定理，放缩法证明数列不等式，考查学生数形结合、分类讨论的数学思想，以及计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．。