化归思想在高中数学函数学习中的运用
高中数学解题中化归思想的运用
高中数学解题中化归思想的运用化归思想是高中数学解题过程中的一种重要思维方法。
它通过转化问题的表达方式，简化问题的结构，从而找到更容易理解和解决的方法。
化归思想的运用，可以大大提高解题的效率和准确性。
下面我将以2000字的篇幅，详细介绍化归思想在高中数学解题中的运用。
一、化归思想的基本概念和原理化归思想是指将一个复杂的问题转化为一个简单的问题，从而易于理解和解决。
化归有两种常见的表现形式：一是通过等价变换，将问题转化为同类问题或更简单的问题；二是通过数值代换，将问题转化为已知的问题。
化归思想的基本原理是将复杂问题拆解成简单问题，并找到各个简单问题之间的联系和规律，从而解决复杂问题。
化归思想在高中数学解题中的应用非常广泛，以下列举几个典型的例子来说明。
1. 方程求解化归思想在方程求解中经常被使用。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，如果我们能将其化为一个平方差的形式，例如(x+m)^2+n=0，那么就可以轻松求解出x的值。
同样，对于其他类型的方程，也可以使用化归思想，将其转化为已知的方程类型，从而求得解的值。
2. 几何图形的性质证明在几何学中，化归思想可以用于证明几何图形的性质。
对于一个三角形ABC，要证明三边的中线交于一点，可以将三边的中线延长至交于一点D，然后使用向量运算或者相似三角形的性质，证明BD=DC，从而得出结论。
3. 数列求和在数列求和中，化归思想也经常被使用。
当要求解一个等差数列的前n项和时，可以通过化归将其转化为求解一个等差数列的平方和的问题，从而得到更简单的解法。
同样，在等比数列的求和中也可以使用化归思想，将其转化为求解一个等比数列的前n项和的问题。
4. 不等式的证明在不等式证明中，化归思想也可以起到很好的作用。
要证明一个不等式的真假性，可以将其化为一个等价的不等式，然后根据该不等式的性质，通过化归运算得到结论。
同样，在不等式的证明中，也可以使用化归思想将复杂的不等式化为简单的不等式，从而更容易进行证明。
转化与化归思想在高中数学中的应用
考 点 聚 焦
管 昭 岛 昭 国 圆圈 宙 岛 （ ０ ） 团 昏（ ０ ） 圈 国 国
■ 曹利 霞
转化就 是数学命题 由一种形式 向另一种形式 的 变换过 程 ，化 归就是把待解决 的问题通过某种转化 过程归结 为一类 已经解决 或 比较容 易解决 的问题 。 转化与化 归思想是 中学数 学最基本 的思想方 法 ， 堪 称数学思想的精髓 所在 ， 因为数形结合思想 、 函数与 方程思想 、分类讨论 思想都是转化与化 归思 想的具 体体现 ， 各种变换 的方法 、 分析法 、 反证法 、 待定系数 法、 构造法等都是转化与化归 的手段 。 下面谈 谈转 化与化归思想 在高中数 学应 用中主 要 涉及 的 基 本类 型 。
１ ． 正 与 反 的 相 互 转 化
表 面看来似乎 只有相 等的数量关 系 ，根据这些相 等 关系又难以解决 问题 ， 但若能挖掘其 中的不等关系 ， 建立不等式（ 组） ， 往往能获得简捷求解的效果 。
例３ 已知都是实数 ，且０ 、 ｖ ／ Ｔ 二 ＋ ６ 、 嚼 ＝ １ ， 求证 ： ａ ２ ＋ ｂ ２ ： １ 。 分析 ： 利用均值不等式先得到一个不等关系 ， 再 结合已知中的相等关系寻求ｎ 与６ 之 间的关系 。
解： ． ． ． ０ ～
’ ． ．
≤
２
， ６ ～
≤
２
．
ａ ｘ ／ １ 一 ｂ ＋ ６ ｘ ／ １ 一 ａ ２ ≤１ 。又 ａ ｘ ／ １ 一 ｂ ＋ ６ 、 ／ １ 一 ＝
对于那些从“ 正面进攻 ” 很难奏效或运算 比较繁 琐的问题 ， 可先攻其反 面， 运用补集思想从而使正面 得 以解 决 。 例 １ 某 射手射击 １ 次击 中目标 的概率 是０ ． ９ ， 他 连续射击４ 次且 他各次射击 是否击 中 目标是相 互独 立 的， 则他至少击 中 目标 １ 次的概率为— — 。 分析 ： 至少击 中 目标一次 的情况包括 １ 次、 ２ 次、 ３ 次、 ４ 次击 中 目标 共 四种情 况 ，可转 化 为其对 立事 件—— “ 一次都未 中” 来求解 。 略解 ： 由上述 分析可知 ， 他 四次射击 未中 １ 次 的 概率Ｐ ｉ ＝ Ｃ ４ ０ ． １ ＝ Ｏ ． １ ４ ， 他至少 射击 击 中 目标 １ 次 的概率 为 １ 一 Ｐ １ ＝ １ —
化归思想在高中数学解题过程中的应用分析
化归思想在高中数学解题过程中的应用分析高中数学是学生学习数理知识的关键阶段，也是培养学生思维能力和逻辑推理能力的重要阶段。
在数学解题过程中，化归思想起着至关重要的作用。
化归思想是一种将问题进行简化、归纳和类比的思维方式，它可以帮助学生在解题过程中找到规律，做到举一反三，提高求解问题的能力。
本文将从化归思想的概念、在高中数学解题中的应用以及化归思想对学生数学思维的培养等方面进行分析和探讨。
一、化归思想的概念化归思想是指将一个有困难的问题转化成为一个相对简单的问题，然后利用简单问题的解题方法解答复杂问题的一种思维方式。
化归思想是数学思维中的一种重要方法，它可以帮助学生把握问题的本质，从而更好地理解和解决问题。
化归思想的核心是找到问题之间的联系和规律，将复杂的问题简化成易解的问题，从而为解决问题提供了思维途径和方法。
化归思想是高中数学解题中十分重要的一环。
在学习数学的过程中，学生们往往会遇到各种各样的难题，有些问题看似复杂，但经过化归思想的分析和转化，往往可以找到解题的新思路，大大提高解题效率。
1. 几何证明在高中数学的几何学中，几何证明是一个十分重要的内容。
几何证明需要学生具备严密的逻辑推理能力和丰富的几何知识。
很多几何证明问题在表面上看似复杂，但通过化归思想可以将其简化成一些基本的几何知识和定理，从而能够更好地解决问题。
在证明一个定理时，学生可以利用化归思想将大问题分解成一系列小问题，逐个地进行推导和证明，从而逐步解决整个问题。
这种分而治之的思维方式，有助于学生更好地理解和掌握几何知识，提高学生的证明能力。
2. 代数方程解题在高中数学学习中，代数方程是一个重要的内容，学生需要具备解方程的能力。
有些代数方程问题看似复杂，需要学生有一定的数学思维和技巧才能解决。
在解决代数方程问题时，学生可以运用化归思想将问题简化，找出方程中的规律和特点，从而更好地解题。
对于一个复杂的代数方程问题，学生可以尝试将其化简成一系列简单的代数方程，逐步解决每一个小问题，最终得到整体的解答。
化归思想在高中数学教学中的应用
化归思想在高中数学教学中的应用发布时间：2022-11-16T03:43:51.867Z 来源：《中小学教育》2022年7月第14期作者：陈礼波[导读] 化归的思想在数学学科中作为一种非常有效重要的解题思路，还是在教学中应当积极应用的基本数学思维方式。
陈礼波湖南省娄底市双峰县第一中学摘要：化归的思想在数学学科中作为一种非常有效重要的解题思路，还是在教学中应当积极应用的基本数学思维方式。
学生在学习高中阶段的数学知识时，难免会遇到不同的问题和难关，高中数学教师针对这一情况除了要让学生牢固掌握解固定模式数学题的方法，更应该通过化归思想的引入将解决数学问题有效方法向学生进行传授，进而为其后续学习奠定坚实的基础。
本文对化归思想概述先进行了分析，随后提出了几点化归思想在数学教学中的应用路径。
关键词：化归思想；高中数学教学；应用策略引言：在核心素养的背景下，数学教师在组织开展课堂教学时，不应仅仅只进行数学知识、解题技能的讲授，还应对学生数学思想进行培养和锻炼，并尽可能将其渗透到课堂整体的过程和环节之中。
在数学课堂的引入并应用化归思想，能够让学生在学习数学的过程中对自身学习的效率以及水平进行有效的提高，除此之外对其数学思维进行培养，以实现学科核心素养的最终养成目标。
一、化归思想相关概述化归思想指的是，把一个较难、繁杂的问题转化得更容易、更简便、更简单解决的问题，其中的“化归”即是一种十分重要的解题思想，又是最基本的数学思维策略之一，除此之外还是十分有效的数学思维方式之一。
化归思想方法从实质上来说，就是采用某种手段将要进行研究、解决的相关数学问题，通过一些变换使其进行转化，最终对其进行更容易解决的方法。
化归思想在数学学科中，会将复杂的问题变成简单的问题，把难解的问题变成更容易求解的问题，把未解决的问题变成已经解决的问题。
总的来说，化归思想在数学学科中可以说是无处不在的。
二、在高中数学教学中引入应用化归思想的方法分析（一）应用于基础知识教学教师将化归思想引入到高中数学的教学中之后，首先要做的是将其运用在数学基础知识的教学中，以实现对学生知识基础的有效夯实，进而促进其数学素养的形成。
化归思想在高中数学中的应用分析
化归思想在高中数学中的应用分析化归思想是数学中的一种重要思维方式和方法，它在高中数学教学中具有重要的应用价值。
通过化归思想，可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解题能力，培养逻辑思维能力和数学思维能力。
本文将从概念理解、教学应用和案例分析三个方面对化归思想在高中数学中的应用进行深入分析。
一、概念理解化归思想是指将一个较为复杂的问题化简为一个更简单的问题，然后再逐步解决这个简单问题的过程。
在数学中，化归思想常常用于解决复杂的问题，或者化解难以理解的概念。
通过化归思想，可以使一些抽象的概念更加具体，一些复杂的问题更加简单，从而帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
在高中数学中，化归思想常常用于解决复杂的代数问题、几何问题以及概率问题等。
当遇到一个复杂的代数方程组时，可以通过逐步化简，将其化为一元方程，然后再逐步解决，从而得到解。
又如，在解决一个复杂的几何证明问题时，可以通过化归思想将问题化简为一个简单的几何问题，然后再逐步推导，最终得到证明。
化归思想在高中数学中的应用，为学生提供了一种重要的解题思路和方法，有助于培养学生的逻辑思维能力和数学解题能力。
二、教学应用在高中数学教学中，化归思想常常被运用到课堂教学和解题训练中。
教师可以通过丰富多样的教学方法和案例分析，引导学生运用化归思想解决实际问题，提高学生的数学思维和解题能力。
1. 课堂教学在日常的数学教学中，教师可以通过讲解和实例分析，引导学生理解化归思想的基本概念和方法。
通过引入一些生动有趣的例子，让学生在轻松愉快的氛围中掌握化归思想的应用技巧。
在解决一个复杂的代数方程时，教师可以通过引入一个贴近学生生活的例子，让学生从实际问题出发，逐步体会化归思想的应用。
通过课堂讲解和学生互动，帮助学生掌握化归思想，并能够熟练运用到实际问题的解决中。
2. 解题训练三、案例分析下面通过几个案例进行详细分析，以进一步说明化归思想在高中数学中的应用。
1. 代数方程组的解法已知方程组\[\begin{cases}x+y=8 \\x-y=2\end{cases}\]通过使用化归思想解题，可以将方程组的求解过程化简为以下几个步骤：从而得到方程组的解为 x=5，y=3。
“转化与化归”思想在高中数学解题教学中的应用
解题研究２０２３年１２月上半月㊀㊀㊀转化与化归 思想在高中数学解题教学中的应用◉哈尔滨师范大学教师教育学院㊀李㊀硕㊀㊀转化与化归 思想是高学数学中的一种重要的数学思想,运用非常广泛,尤其是一些特殊的问题,运用 转化与化归 思想解题可以提高效率,同时还可以降低问题解决的难度．因此,在数学课堂引入并应用转化与化归思想,能够让学生在学习数学及解题的过程中,加深对数学概念的理解,同时也能有效锻炼数学思维,提高学习效率,进一步发展数学核心素养．在高中数学的解题过程中,基于 转化与化归 思想的三大原则,主要运用的解题方法包括特殊与一般的转化㊁命题的等价转化,以及函数㊁方程㊁不等式之间的转化等一些常见的转化方法．１特殊与一般的转化将一般问题进行特殊化处理,可使问题的解决变得更为直接和简便,并且还能从特殊情况中寻找问题解决的常规思维;除此之外,对特殊性问题进行概括性研究,实现特殊问题一般化,也能从宏观与全局的角度把握特殊性问题的普遍规律,并能有效地解决特殊性问题．例１㊀ 蒙日圆 涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆C :x ２a ＋１＋y ２a ＝１(a ＞０)的离心率为１２,则椭圆C 的蒙日圆的方程为(㊀㊀)．A．x ２＋y ２＝９㊀㊀㊀㊀㊀B ．x ２＋y ２＝７C ．x ２＋y ２＝５D．x ２＋y ２＝４分析:根据题目中的已知条件,在椭圆上,两条相互垂直的切线可以随意选择,但其交点位于与椭圆同心的圆却是唯一的,也即答案是唯一的．由此,可以通过选取一般问题的特殊情形找到一般的解题思路,不妨利用过椭圆的右顶点和上顶点的两条切线进行解题．解:因为椭圆C :x ２a ＋１＋y ２a＝１(a ＞０)的离心率为１２,所以１a ＋１＝１２,解得a ＝３．所以椭圆C 的方程为x ２４＋y ２３＝１,且椭圆C 的上顶点为A (０,３),右顶点为B (２,０),则椭圆在A ,B 两点的切线方程分别为y ＝３和x ＝２,这两条切线的交点坐标为M (２,３)．由题意可知,交点M 必在一个与椭圆C 同心的圆上,可得与椭圆C 同心的圆的半径r ＝２２＋(３)２＝７．所以椭圆C 的蒙日圆方程为x ２＋y ２＝７．故选:B ．以问题的特征为依据,对命题进行转化,将原问题转化为与之相关的㊁容易解决的新问题,这也是解决数学问题常见的转化思路,并且可以通过这种转化逐步培养识别关键信息的能力．２命题的等价转化把题目中已有的条件或者结论进行相应的转化,化难为易,是解决较难问题常用的转化手段．其主要方法包括:数与形的转化㊁正与反的转化㊁常量与变量的转化㊁图形形体及位置的转化等．例２㊀由命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０是假命题,得m 的取值范围是(－ɕ,a ),则实数a 的值是．分析:利用转化思想可以将命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０ 是假命题转化为 对任意x ɪR ,e|x －１|－m ＞０是真命题,由此得出m ＜e |x －１|恒成立,进而通过m 的取值范围来求a 的值．解:由命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０是假命题,可知 对任意x ɪR ,e |x －１|－m ＞０是真命题,由此可得m 的取值范围是(－ɕ,１),而(－ɕ,a )与(－ɕ,１)为同一区间,故a ＝１．例３㊀若对于任意t ɪ[１,２],函数g (x )＝x ３＋(m ２＋２)x ２－２x 在区间(t ,３)上总不为单调函数,则实数m 的取值范围是．分析:根据函数g (x )＝x ３＋(m ２＋２)x ２－２x 在区间(t ,３)上总不为单调函数,可以利用正难则反的转化思想先找出g (x )在(t ,３)上单调的条件,再利用补集思想求出m 的取值范围．８５２０２３年１２月上半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀解:求得g ᶄ(x )＝３x ２＋(m ＋４)x －２．若g (x )在(t ,３)上单调递增,则g ᶄ(x )ȡ０,即３x ２＋(m ＋４)x －２ȡ０,亦即m ＋４ȡ２x－３x 在x ɪ(t ,３)上恒成立．故m ＋４ȡ２t－３t 在t ɪ[１,２]上恒成立,则m ＋４ȡ－１,即m ȡ－５．若g (x )在(t ,３)上单调递减,则g ᶄ(x )ɤ０,即m ＋４ɤ２x－３x 在x ɪ(t ,３)上恒成立,所以m ＋４ɤ２３－９,即m ɤ－３７３．综上,符合题意的m 的取值范围为－３７３＜m ＜－５．根据命题的等价性对题目条件进行明晰化处理是解题常见的思路;对复杂问题采用正难则反的转化思想,更有利于问题得到快速解答．３函数㊁方程㊁不等式之间的转化函数与方程㊁不等式之间有着千丝万缕的关联,通过结合函数y ＝f (x )图象可以确定方程f (x )＝０,不等式f (x )＞０和f (x )＜０的解集．例４㊀若２x －２y＜３－x －３－y ,则(㊀㊀)．A．l n (y －x ＋１)＞０B ．l n (y －x ＋１)＜０C ．l n |x －y |＞０D．l n |x －y |＜０分析:由题意,可将２x －２y＜３－x －３－y 转化为２x －３－x ＜２y－３－y ,进而实现不等式与函数之间的转化,从而解得答案．解:由２x －２y ＜３－x －３－y ,得２x －３－x ＜２y －３－y ．故构造函数y ＝２x －３－x ,即y ＝２x －(１３)x．由于函数y ＝２x－(１３)x 在R 上单调递增,因此x ＜y ,即y －x ＋１＞１．所以l n (y －x ＋１)＞l n １＝０．故选择:A ．例５㊀已知函数f (x )＝e l n x ,g (x )＝１ef (x )－(x ＋１)．(e ＝２．７１８ )(１)求函数g (x )的最大值;(２)求证:１＋１２＋１３＋ ＋１n ＞l n (n ＋１)(n ɪN ＋)．分析:第(１)问要求函数g (x )的最大值,关键在于需要运用转化与划归思想,通过g ᶄ(x )得出函数g (x )单调性,即可求出g (x )的最大值．将第(１)问得出的g (x )最大值－２转化成l n x －(x ＋１)ɤ－２,即l n x ɤx －１(当且仅当x ＝１时等号成立),再利用换元法最终证明出结论．解:(１)由g (x )＝１ef (x )－(x ＋１),即g (x )＝l n x －(x ＋１),得g ᶄ(x )＝１x－１(x ＞０)．令g ᶄ(x )＞０,则０＜x ＜１;令g ᶄ(x )＜０,则x ＞１．所以,函数g (x )在区间(０,１)上单调递增,在区间(１,＋ɕ)上单调递减．故g (x )的最大值为＝g (１)＝－２．(２)证明:由(１)知x ＝１是函数g (x )的极大值点,也是最大值点,故g (x )ɤg (１)＝－２．所以l n x －(x ＋１)ɤ－２,即l n x ɤx －１(当且仅当x ＝１时等号成立)．令t ＝x －１,则有t ȡl n (t ＋１)(t ＞－１)．取t ＝１n (n ɪN ＋),则有１n ＞l n (１＋１n)＝l n(n ＋１n )．故１＞l n２,１２＞l n ３２,１３＞l n ４３,,１n＞l n(n ＋１n )．上面n 个不等式叠加,得１＋１２＋１３＋ ＋１n＞l n (２ˑ３２ˑ４３ˑ ˑn ＋１n)＝l n (n ＋１)．故１＋１２＋１３＋ ＋１n ＞l n (n ＋１)(n ɪN ＋)．在分析此类题目的过程中,利用函数㊁方程㊁不等式进行转化与化归更有利于问题的解决,因此,利用转化与划归思想不仅能让整个数学知识的体系变得更加紧密,同时也能对学生从系统性角度掌握数学知识之间的联系提供非常大的帮助．转化与化归思想所蕴含的内容丰富且深奥,为高中数学问题的解决提供了多种思路,对高中数学的学习也有极大的指导与启发作用,值得我们不断地探索与研究．因此,在解决高中数学问题的过程中,要灵活运用 转化与化归 的解题思想．有些数学问题看似复杂,但通过分析可知出题者采用的是 障眼法 ,其中有的是多余或无用的条件．同时,在高中数学课堂教学中,教师可以在解题教学过程中渗透转化与化归思想,加强学生在特殊与一般转化㊁命题的等价转化以及函数㊁方程㊁不等式之间的转化等方面的技能,逐步锻炼学生简化题目内容的能力和意识,最大程度提高解题效率．Z９５。
化归思想在高中数学教学中的有效应用
的转化，代数形式与几何形式的转化等。位置关系转化主要体现
在图形中。化归一般原则包括简单化，和谐统一性，具体化等，常
用的化归策略有已知与未知的转化，正面与反面的转化，数与形
的转化，一般与特殊的转化等[2]。
二、高中数学教学中化归思想的应用
解决数学问题本质就是对问题的转化，高中教材中有大量的
问题都体现了化归思想方法。函数是高中代数中贯穿始终的主
法，而高中数学教学重视培养学生的数学思维。而高中数学其难
度较大，综合知识多，缺少逻辑思维及数学思想的学生会在学习
中感觉无从下手。培养学生解题思维能力是高中数学教学的重要
目标，数学解题中很多复杂问题都可以用化归思想转化成容易的
问题。化归思想是高中数学中的重要思想，正确深入理解化归思
想的内涵及其常用方法，探索化归思想方法的教学策略，是高中
线，高中代数中运用化归思想的例子非常多，常见的基本化归形
式有数与形的转化，数与数的转化，形与形的转化。在解决实际问
题中转化形式并非单独使用，结合使用更能简捷解决问题。
如：不等式恒成立问题，是将恒成立不等式转化为函数值恒
在某一范围内，结合函数图象解决，包括数量特征与数学形式特
征转化的方程函数不等式转化[2]。
展现在提出问题、分析及解决问题方面。在日常教学过程中，教师
不可过于强调套路、题型等机械性训练，也要重视培养学生的发
散思维和创新能力。只有如此，方可有效提升学生的应变能力。化
归思想就是要教会学生如何在解题中实现转化，化繁杂的问题为
简单，有效降低题目思维量及难度。
例
2：已 知
（f x）=ax3-
3 2
x2 +1（x ∈
即：0＜a≤1 符合题意要求。
化归与转化思想在高考数学解题中的运用
GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第2化归与转化思想在高考数学解题中的运用■甘肃省秦安县第二中学罗文军yxo化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图像、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.1．化归与转化的思想方法：解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的.2．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则；（2）简单化原则；（3）和谐化原则；（4）直观化原则；（5）正难则反原则3．化归与转化的途径：（1）从问题的反面思考；（2）局部向整体的转化；（3）未知向已知转化；（4）固定向重组的转化；（5）抽象向具体转化；（6）个别向一般的转化；（7）数向形的转化；（8）定量向定性的转化；（9）主元向辅元的转化.以下结合一些经典试题，谈谈化归与转化思想在高三解题中的运用.题型一：化归与转化思想简单化原则的体现化归与转化思想简单化原则在解题中的体现主要有：（1）将比较代数式的大小的问题，运用同构法，通过构造函数，化归为利用函数的单调性根据自变量的大小比较函数值的大小或者根据函数值的大小比较自变量的大小；（2）将概率与统计问题化归为集合间的基本关系与基本运算问题.例1.若2a +log 2a ＝4b +2log 4b ，则（）A.a ＞2b B.a ＜2b C.a ＞b 2 D.a ＜b 2【解析】由指数幂的运算性质和对数的运算性质可得，2a +log 2a ＝4b +2log 4b ＝22b +log 2b ，又因为22b +log 2b ＜22b +log 22b ＝22b +1+log 2b ，所以2a +log 2a ＜22b +log 22b .令ｆ（ｘ）＝2x +log 2ｘ，由指数函数和对数函数性质以及函数单调性的性质可得ｆ（ｘ）在（0，+∞）上单调递增，由ｆ（a ）＜ｆ（2a ），可得a ＜2b .【评析】本题考查了指数幂和对数的运算，函数的单调性的性质，构造函数后，把问题化归与转化为根据函数单调性，由函数值的大小比较自变量的大小，体现了化归与转化思想的简单化原则.例2.设命题p ∶4x-3≤1，命题q ∶x 2-（2a+1）x +a （a +1）≤0.若劭p 是劭q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________.【解析】由4x-3≤1，得１２≤x ≤１，记A ＝{x │１２≤x ≤１}；由x ２-（２a+1）x+a （a+1）≤0，可得a ≤x ≤a +1，记B ＝{x │a ≤x ≤a +1}.因为劭p 是劭q 的必要不充分条件，所以q 是p 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，所以A 芴B ，所以a ≤１２，a+１≥11，解得0≤a ≤１２，所以实数a 的取值范围是[0，１２].【评注】本题的解答中，先把两个命题中的不等式的解集分别用集合A 和集合B 表示，再由劭p 是劭q 是的必要不充分条件转化为p 是q 的充分不必要条件，再转化为集合A 为集合B 的真子集，解得a 的范围.题型二：化归与转化思想直观化原则的体现化归与转化思想直观化原则在解题中的体现主要有：（1）画出函数图像后，利用函数图像研究函数的性质，进而直观的解决与函数有关的问题；（2）立体几何问题中，将立体问题平面化，画出轴截面或者中截面，利用平面几何问题破解题目.例3.设a ，b ∈R ，则|“a ＞b ”是“a a ＞b b ”的（）A.充要不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充要也不必要条件【解析】构造函数ｆ（ｘ）＝x x ＝ｘ２，ｘ≥0-x ２，ｘ＜1函数图像如图1，由图像可知ｆ（ｘ）＝x x 在R 上单调递增.当a ＞b 时，ｆ（a ）＞ｆ（b ），即a a ＞b b ，a ＞b 圯a a ＞b b .当ｆ（a ）＞ｆ（b ），即a a ＞b b 时，a ＞b ，a a ＞b b 圯a ＞b ，所以a ＞b 圳a a ＞b b ，“a ＞b ”是“a a ＞b b ”的充要条件，故选C.【评注】本题是一道比较复杂的充分必要条件问题，通过观察题目，通过类比和联想，运用化归与转化思想，构造函数ｆ（ｘ）＝x x 后，画出这个函数的图像，运用图像法判断这个函数在其定义域R 上为单调递增函数，把a 和b 看成这个函数的两个自变量，a a 和b b 分别看成这个函数的函数值ｆ（a ）29数学有数和ｆ（b），由增函数的性质可以得出，ａ＞b圳a a＞b b，所以ａ＞b是a a＞b b的充分必要条件，体现了化归与转化思想的简单化和直观化原则.例4.已知某个机械零件是由两个有公共底面的圆锥组成的，且这两个圆锥有公共点的母线互相垂直，把这个机械零件打磨成球形，该球的半径最大为1，设这两个圆锥的高分别为h1，h２，则h1+h２的最小值为________．【答案】22姨.【解析】由题意可知，打磨后所得半径最大的球是由这两个圆锥构成的组合体的内切球，内切球的半径R=1，如图为这个组合体的轴截面示意图，圆O为内切球的轴截面，E，F，G，H分别为切点，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH，由题意可知AB⊥BC，AD⊥DC，AC＝h1+h2，R＝OE＝OF＝OG＝OH＝1，则S四边形ABCD＝S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD，即AB×BC＝１２R×AB+１２R×BC+１２R×CD+１２R×AD＝１２R（2AB+2BC）＝R（AB+BC），所以AB×BC＝AB+BC.由基本不等式可得AB×BC＝AB+BC≥2AB×BC姨，则AB×BC≥4，当且仅当AB＝BC时等号成立．所以（h1+h2）2＝AC2＝AB2+BC2≥2AB×BC≥8，当且仅当AB＝BC时等号成立，故h1+h2的最小值为22姨.【评注】本题的解答运用了化归与转化的思想，通过研究组合体和其内切球的轴截面，把空间立体几何问题化归为平面几何问题，做到了把问题直观化的原则.题型三：化归与转化思想熟悉化原则的体现化归与转化思想熟悉化原则在解题中的体现主要有：（1）不等式题目中，把含一个参数的不等式恒成立问题，通过分离变量，化归为求函数在给定区间上的最值问题；（2）立体几何题目中，利用长方体或者正方体模型，把一些三棱锥、四棱锥和三棱柱的外接球问题化归为熟悉的长方体或者正方体的外接球问题.例5.若对任意的ｘ∈（0，+∞），ax-ln（2ｘ）≥1恒成立，则实数a的最小值是_______【解析】由已知可得，对任意的ｘ∈（0，+∞），a≥ln（2ｘ）+1ｘ恒成立，令g（ｘ）＝ln（2ｘ）+1ｘ，g′（ｘ）＝１ｘ·ｘ-ln（2ｘ）ｘ2＝1-ln（2ｘ）ｘ2，令g′（ｘ）＝0，则1-ln（2ｘ）＝0，则ｘ＝e2，当0＜ｘ＜e2时，g′（ｘ）＞0，g（ｘ）单调递增；当ｘ＞e2时，g′（ｘ）＜0，g（ｘ）单调递减，所以当ｘ＝e2时，g（ｘ）取得最大值g（ｘ）max＝g（e2）＝ln e+1e2＝4e，所以a≥4e，所以a的最小值为4e.【评注】本题的解答运用了分离变量法，分离变量后，构造函数后，把a≥g（ｘ）在（0，+∞）上恒成立等价转化为a≥[g（ｘ）]max（ｘ∈（0，+∞）），转化为求函数g（ｘ）在（0，+∞）上的最大值问题，g（ｘ）的最大值即为a的最小值，本题体现了化归与转化思想的熟悉化原则.例6.设数列{a n}的前n项为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n S n-2S2n.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k2n+1姨对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由.解：（1）因为当n≥2时，a n＝2a n S n-2S2n，所以a n＝2S2n2S n-1，n≥2，所以（S n-S n-1）（2S n-1）＝2S2n，所以S n-S n-1＝-2S n S n-1，所以１S n-１S n-1＝2，n≥2，所以数列{１S n}是以１S1＝1为首项，以2为公差的等差数列，所以１S n＝1+2（n-1）＝2n-1，所以S n＝１2n-1，所以，当n≥2时，a n＝S n-S n-1＝１2n-1-１2n-３＝-2（2n-1）（2n-3），因为a1＝S1＝1，所以a n＝1，n=1-2（2n-1）（2n-3）.n≥≥2（2）设ｆ（n）＝（1+S1）（1+S2）…（1+S n）2n+1姨，则ｆ（n+1）ｆ（n）＝2n+22n+1姨2n+3姨＝4n2+8n+44n2+8n+3姨＞1，所以ｆ（n）在n∈N鄢上递增，要使ｆ（n）≥k恒成立，只需要ｆ（n）min≥k，因为ｆ（n）min＝ｆ（1）＝2３姨３，所以0＜k≤2３姨3.【评注】第（1）问运用了数列的前n项和S n与通项a n之间的关系a n＝S n-S n-1（n≥2），把a n转化为S n-S n-1，再合并同类项后运用取倒数法，再根据等差数列的定义得出数列{１S n}的通项公式，再得出数列{a n}的通项公式；第（2）问分离变量后构造函数ｆ（n），用作商法判断ｆ（n）的单调性，把不等式ｆ（n）≥k在n∈N鄢上恒成立等价转化为ｆ（n）min≥k（n∈N鄢），两问都运用到了化归与转化思想.AEBFHDGOC302021年第2GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第2题型四：化归与转化思想和谐化原则的体现化归与转化思想和谐化原则在解题中的体现主要有：（1）解三角形问题中利用正弦定理实现边角的互化；（2）在三角函数问题中，将形如y=a sin x+b cos x 的函数问题利用辅助角公式化归为形如y=A sin （棕x+渍）的函数问题；（3）解析几何中，将两直线垂直化归为斜率乘积为-1或者方向向量的数量积为0；（4）将形如滋＝y -b x -a形式的最值问题，转化为动直线斜率的最值问题.例7.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b -c ＝a ·cos C -c ·cos A .（1）求角A ；（2）若a ＝3，求b +2c 的最大值.【解析】（1）因为b -c ＝a ·cos C -c ·cos A ，由正弦定理可得，sin B -sin C ＝sin A cos C -sin C cos A ，所以sin B -sin C ＝sin （A -C ）所以sin （A +C ）-sin C ＝sin （A -C ），所以sin A cos C +cos A sin C -sin C ＝sin A cos C -cos A sin C ，所以cos A ＝１２，因为0＜A ＜仔，所以A ＝仔３.（2）由（1）可得，C ＝２仔３-B ，由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，所以３sin 仔３＝b sin B ＝c sin （２仔３-B ），所以b ＝2３姨sin B ，c ＝2３姨sin （２仔３-B ），所以b +2c ＝2３姨sin B +4３姨sin （２仔３-B ）＝2３姨（2sin B +３姨cos B ）＝221姨sin （B +渍），其中tan 渍＝３姨2，渍∈（0，仔2），由B ∈（0，２仔３），存在B 使得B +渍＝仔2，所以sin （B +渍）的最大值为1，所以b+２c 的最大值为221姨.【评注】第（1）问运用正弦定理实现边转化为角，再逆用两角差的正弦公式，运用内角和定理以及诱导公式，再运用两角和的正弦公式和两角差的正弦公式，得出cos A 的值，得出角A 的值；第（2）问运用了正弦定理将关于边的最值问题化为角的最值问题，运用三角形内角和定理以及诱导公式，再运用辅助角公式，化为三角函数在给定范围上的最值问题；两问都运用了化归与转化思想，体现了和谐化原则.例8.已知函数f （ｘ）＝ｘ2ｘ-1，则f （12019）+f （22019）+f （32019）+…+f （20182019）的值为_____.【解析】由于直接计算有困难，先探求一般的规律，因为f （ｘ）＝ｘ2ｘ-1，所以f （1-ｘ）＝1-ｘ2（1-ｘ）-1＝1-ｘ1-2ｘ＝ｘ-12ｘ-1，所以f （ｘ）+f （1-ｘ）＝1，倒叙相加可得f （12019）+f （22019）+f （32019）+…+f （20182019）＝1009.【评注】本题的解答中体现了特殊问题转化为一般化，运用了化归与转化思想，先通过探究在宏观上把握问题的一般规律，再将特殊问题破解.题型五：化归与转化思想的正难则反原则在解题中的体现化归与转化思想的正难则反原则在高中数学解题中的体现主要有：（1）间接证明方法中的反证法在解题中的运用；（2）概率问题中对立事件和互斥事件的概率公式的运用.例9.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a １＝1+2姨，S 3＝9+32姨.（1）求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；（2）设b n ＝S n n（n ∈N 鄢），求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【解析】（1）设公差为d ，由已知得ａ1＝2姨+1，3ａ1+3d ＝9+32姨姨，所以d ＝2，故a n ＝2n -1+2姨，S n ＝n （n +2姨）．（2）证明：由（1）得b n ＝S n n＝n +2姨.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r （p 、q 、r 互不相等）成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即（q +2姨）2＝（p +2姨）（r +2姨），所以（q 2-pr ）+（2q -p-r ）2姨＝0.因为p ，q ，r ∈N 鄢，所以q ２-pr ＝0，2q-p-r ＝0姨，所以（p+r 2）２＝pr ，（p-r ）２＝0，所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【评注】本题的解答的第（2）问中运用了反证法，先反设假定要证的结论不成立，而设出结论的反面成立，将这个反设作为条件，运用等比数列的定义和通项公式，通过推理，得出p ＝r 与已知条件相矛盾，所以反设错误，所以要证明的结论成立，反证法归属于间接证明方法，第（2）问运用了化归与转化的思想.例10.掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A +B 发生的概率为____.【答案】23.【解析】掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P （A ）＝26＝13，P （B ）＝46＝23，所以P （B ）＝1-P （B ）＝1-23＝13，显然A 与B 互斥，从而P （A+B ）＝P （A ）+P （B ）＝13+13＝23.【评注】先由古典概型概率公式求出事件A 和事件B 的概率，再由对立事件概率公式求出事件B 的对立事件B 的概率，再由互斥事件概率公式，把事件A+B 的概率化归为求P （A ）和P （B ）的和，运用了化归与转化思想.责任编辑徐国坚31。
化归思想在高中数学函数学习中的运用简析
化归思想在高中数学函数学习中的运用简析严㊀蒙(安徽省广德中学㊀２４２２００)摘㊀要:在高中数学教学阶段ꎬ合理应用数学思想方法能够降低授课难度ꎬ为学生的学习打开新的大门.随着教育改革的不断深入ꎬ化归思想已然成为解决函数学习问题的重要利器.在高中数学教学阶段ꎬ合理应用化归思想ꎬ在整合数学知识的同时ꎬ能够帮助学生形成扎实的认知框架.本文从化归思想的现实教育意义出发ꎬ简要论述化归思想在高中数学函数教学环节的应用.关键词:化归思想ꎻ高中ꎻ数学ꎻ函数ꎻ运用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１９－００６９－０２收稿日期:２０２０－０４－０５作者简介:严蒙(１９８８.１０－)ꎬ女ꎬ安徽省广德人ꎬ本科ꎬ中学二级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁化归思想在高中数学教学环节的应用意义１.革新教育理念ꎬ完成 无中生有 的教学改革要完成高中阶段的数学教育ꎬ引入新式教学思想㊁完成教育改革才是第一味良方.但在传统的数学教育环节ꎬ部分教师无法把握好固有教学制度与新式教学理论之间的关系ꎬ凭借主观意识将教学内容割裂开来ꎬ导致对应函数教学发展滞后ꎬ效率较低ꎬ应用化归思想与实际教学环境建立良好的教学互动ꎬ能够有效提升高中函数教育的教学效率.相较于传统的教学模式ꎬ化归思想强调培养学生利用已掌握的教学知识解决新式教学问题的能力ꎬ注重教学框架的构建ꎬ依靠图文互动㊁实际应用等数学处理手段ꎬ在研究数学问题的过程中ꎬ学生能够利用数学知识的综合性与连续性提升数学水平㊁培养自身的知识应用能力ꎬ在将抽象认知转化为具体概念的情况下ꎬ函数的相关学习更为直观ꎬ学生能够更轻易地实现 化繁为简 的学习目的ꎬ将开放思维注入到函数教学当中ꎬ为函数带来更为充沛的发展活力.２.培养学生能力ꎬ实现 敢为人先 的教育探索化归思想的出现改变了学生过度依赖教师的教育局面ꎬ在强调学生进行自我表达的同时ꎬ化归思想能够依靠已形成的知识框架引导学生完成教学互动ꎬ通过具体有效的教学手段提升学生的学习能力.在高中教学阶段应用化归思想开展函数教学ꎬ对于学生的学习方式㊁教师的教学观念都是不小的冲击ꎬ一方面ꎬ学生可利用已掌握的知识进行串联分析ꎬ在了解到知识点之间的共性的同时ꎬ学生能够进行多元化的教学探索ꎬ形成对应的结题思路ꎬ提升个人的思维能力ꎬ实现高中数学教育的具体化㊁创新化ꎻ另一方面ꎬ在应用化归思想开展教学探索的过程中ꎬ学生能够及时积累宝贵的学习经验ꎬ形成 举一反三 的学习态度ꎬ将已解决的难题视为打开新世界钥匙的大门ꎬ带动个人思维发展ꎬ实现 一题多用 灵活解题 的学习目标.㊀㊀二㊁在高中数学函数教学环节应用归化思想的具体模式㊀㊀１.数形结合ꎬ形成具体认知高中阶段的数学教育具有较为明显的阶段特点ꎬ其抽象性更强㊁对学生逻辑思维的要求更高ꎬ在多种外界因素的制约下ꎬ学生需要面临更为繁重的学习压力.高中阶段的课业任务更为繁重ꎬ如何在有限的时间内完成对应的教学任务将决定高中函数教学的发展方向.化归思想的出现则为函数教学带来了新的思考.在应用数形结合进行解题的情况下ꎬ学生对具体算式的认知更为全面㊁其理解层次更为深入ꎬ应用化归思想开展数形结合教学ꎬ能够帮助学生掌握具体知识难点ꎬ提升函数学习水平.在函数学习阶段ꎬ学生会接触到大量的函数解析式与函数图象ꎬ如果单纯的利用某一方进行思考ꎬ学生的解题思路将会落入教育误区ꎬ导致个人发展的滞后.在相关教学环节ꎬ教师可通过绘制函数图象的方式改变学生的学习模式ꎬ将抽象的函数解析式转化为直观的函数图象ꎬ在帮助学生直接掌握教学重点的同时ꎬ增强其具体感知ꎬ培养其知识收集能力.以«三角函数»的相关教学为例ꎬ在开展教学活动的同时ꎬ教师可为学生绘制直观的函数图象ꎬ根据已知条件标出对应数据ꎬ将问题转化为可观察的㊁可直接利用的数学信息ꎬ在提高学生解题效率的同时ꎬ提升解题质量.需要注意的是ꎬ函数图象虽然是解决函数问题的重要手段ꎬ但教师要培养学生独立自主的学习能力ꎬ在几次绘制图象之后ꎬ要求学生自主绘制图象ꎬ使其真正从数学学习中受益.９６２.动静转化ꎬ掌握函数规律在化归思想当中ꎬ动静转化是比较常用的教学思想之一ꎬ在引导学生关注函数变化规律的同时ꎬ教师可要求学生整理函数学习数据ꎬ建立对应的数学模型ꎬ通过动静转化找到函数解题环节的对应关系.传统的函数教学模式过于强调学生的计算能力ꎬ在过度要求学生进行计算㊁给出结果的情况下ꎬ一些藏在函数关系式中的数学数据并不能被及时应用.利用化归思想中的动静转化ꎬ打开函数教学的另一扇大门ꎬ有利于学生对数学因素和变量间的关系进行深入探究ꎬ从而提出更为切实有效的解决问题的方案.在函数解题教学环节ꎬ受到个人思维的限制ꎬ学生的综合解题能力表现不一ꎬ教学进度差别较大ꎬ教师可利用动静转化思想开辟新的解题思路.以函数ｆ(ｘ)＝ｘ２－ａｘ＋４为例ꎬ当ｘɪ区间[１ꎬ３]时至少有一个零点ꎬ求实数ａ的取值范围.对本题进行分析ꎬ二次函数在指定区间 至少有一个零点 的已知条件使题目变得较为复杂ꎬ如果依据其题旨来对ｆ(ｘ)图象进行分析ꎬ必须分类讨论来完成这个问题.(１)ｙ＝ｆ(ｘ)在Ｒ上只有一个零点时ꎬΔ＝ａ２－１６＝０ꎬ则ａ＝４ꎬ此时零点为２ꎬ在区间[１ꎬ３]内ꎬ则ａ＝４符合条件.(２)ｙ＝ｆ(ｘ)在Ｒ上有两个零点ꎬ而ｙ＝ｆ(ｘ)在区间[１ꎬ３]的零点个数又有以下两种情况:①ｙ＝ｆ(ｘ)在区间[１ꎬ３]只有一个零点时ꎬ结合图象分析要考虑１和３分别是零点的情况ꎬ(Ⅰ)１是零点ꎬａ＝５ꎬ另一个零点是４ꎬ符合在区间[１ꎬ３]有一个零点ꎻ(Ⅱ)３是零点ꎬａ＝１３３ꎬ另一个零点是４３ꎬ不符合在区间[１ꎬ３]有一个零点.(Ⅲ)１和３都不是零点ꎬｆ(１)ｆ(３)<０ꎬ１３３<ａ<５.②ｙ＝ｆ(ｘ)在区间[１ꎬ３]有两个零点时ꎬ结合图象分析ꎬ要满足Δ>０ꎬｆ(１)ȡ０ꎬｆ(３)ȡ０ꎬ１ɤａ２ɤ３ꎬìîíïïïïï解得:４<ａɤ１３３.综上所述:ｙ＝ｆ(ｘ)在区间[１ꎬ３]至少有一个零点时ꎬａ的范围为[４ꎬ５]ꎬ因为对称轴以及零点个数的不确定性ꎬ分类讨论种类繁多ꎬ学生处理起来难度很大ꎬ容易讨论不全面.教师也可根据化归思想提出第二种解题方法 如果从另一个角度来看ꎬｆ(ｘ)＝ｘ２－ａｘ＋４在区间[１ꎬ３]上至少有一个零点ꎬ等价于关于ｘ的方程ｘ２－ａｘ＋４＝０在区间[１ꎬ３]至少有一个解ꎬ等价于方程ａ＝ｘ＋４ｘ在区间[１ꎬ３]至少有一个解ꎬ等价于函数ｙ＝ａ和ｙ＝ｘ＋４ｘｘɪ[１ꎬ３]两函数图象至少有一个交点ꎬ这里只需要作图平移直线ｙ＝ａ即可得出４ɤａɤ５.第一种解法强调数形结合的教学思路ꎬ强调学生的洞察力和分析能力ꎬ第二种解法则从方程的角度进行教学思考ꎬ将一个函数零点个数问题化归为两个函数图象的交点个数问题ꎬ将复杂的二次函数对称轴的平移转化为直线ｙ＝ａ的平移ꎬ将函数转化为方程ꎬ方程再化回到函数.全面体现出化归思想.相较于传统的函数解题模式ꎬ化归思想在函数大山上开辟了一条宽阔的隧道ꎬ允许学生做出更为灵活的思维创新ꎬ奔向光明的数学殿堂.３.利用教材资源ꎬ积累教学成果化归思想对于学生的影响不仅仅体现在教学环节ꎬ更表现在教学经验的积累环节ꎬ函数教学知识点较为复杂ꎬ相关定义较为抽象ꎬ如果只依靠多做题㊁多画图的教学模式开展完成教学任务ꎬ学生的学习能力并不能得到有效提升ꎬ在开展函数教学的过程中ꎬ教师应以教材内容为核心ꎬ在参考教学例题的同时积累教学经验ꎬ鼓励学生完成由浅入深的教学转变ꎬ掌握化归思想的教学精髓.在开展函数教学的过程中ꎬ教师应及时帮助学生复习已经掌握的教学内容ꎬ及时转化教学目标ꎬ增强变式训练教学ꎬ使学生能够利用已掌握的知识点与后续教学内容形成联动.高中函数教学成果要受到高考的检验ꎬ在开展函数教学的同时ꎬ教师应深入研究新课标要求ꎬ及时引入高考例题ꎬ帮助学生创新解题思路.以«基本初等函数»和«三角函数»的学习为例ꎬ教师可根据教学时间做出教学调整ꎬ在确保学生已经掌握«基本初等函数»的教学重点的情况下ꎬ利用«基本初等函数»完成教学导入ꎬ降低学生对于«三角函数»的抵触ꎬ增加知识点之间的联动性ꎬ提高化归解题水平ꎬ培养学生的函数学习意识.化归思想的引入为高中阶段的函数教育带来了更多的选择ꎬ但教师要将化归思想与实际教学活动区别开来ꎬ在开展教学任务的同时ꎬ避免学生对化归思想形成依赖ꎬ培养其良好的学习习惯ꎬ提升其学习能力ꎬ使其真正迈入数学大门.㊀㊀参考文献:[１]李红玉.化归思想在函数问题中的巧妙应用探研[Ｊ].成才之路ꎬ２０１９(２５):５５－５６.[２]茅建未.化归思想在高中数学函数学习中的实践与探究[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１９(１７):２３.[３]徐睿.例谈化归思想在高中数学解题中的运用[Ｊ].中学数学月刊ꎬ２０１９(０６):５６－５７.[责任编辑:李㊀璟]０７。
化归思想在高中数学教学中的应用
2018年1月解法探究>教学--参谋化归思想在高中数学教学中的应用!苏州大学附属中学吴进数学思想的掌握不是/蹴而就，而是需要经历/个 较为漫长的过程，因此在日常的教学中，教师要有意地 反复向学生讲解各种数学思想方法，使学生潜移默化中 掌握数学思想，最终实现灵活运用数学思想的目标.而 化归思想作为解决数学问题的基本思想，它在高中数学 中占据着非常崇高的位置，因此本文中，笔者结合多年 的教学实践经验，探究了化归思想渗透的教学策略.一、 研读教科书，提炼隐含的化归思想化归思想往往会隐含在教科书的基础知识中，因此 作为/线的教育工作者，要正确对待教科书，深人挖掘、提炼教科书中隐含的化归思想，而在课堂上，教师要合 理地运用化归思想，引导学生用“已掌握知识”同化“新 知识”，帮助学生强化对于新知识的理解和掌握.例如，“函数的单调性”章节中，首先映人师生眼帘的是学生较 为熟悉的“一次函数”“二次函数”的图像.深人研读教科 书发现，本节的教学素材就是基本的函数图像，并遵照 由“形”到“数”、由“特殊”到“一般”的原则，让学生通过 /次函数、二次函数的图像发现图像上升、下降过程中 的规律，在此基础上，推广到“函数单调性”的定义.整体 来讲，本章节内容可以分为三个阶段:观察图像、归纳规 律、得到结论，并且每个阶段的活动，都是学生认知上的 升华，且整个过程环环相扣，让学生“润物细无声”地完 成学习目标.二、 关注通性通法，奠定化归思想解题的基础“通性通法”是化归思想解决数学问题的基础，换言 之，“通性通法”与化归思想具有/样的普遍意义.通过 查阅文献发现，通性通法的知识就是化归思想教学中的 本原问题、标准问题，而在日常的数学教学中，教师要注重本原文本和标准型问题的分析与教学，引导学生将对 象转化为熟悉的问题，从而提高解题的效率和正确率. 从数学问题的类型来讲，确实呈现多样性，但是就数学 思想和本质来讲，是不变的.因此，只要抓住问题的本 质，就能够实现“以不变应万变”，更能够将知识与能力 融为/体.例如，在学习“数系”时，为了掌握“复数系”的运算法则，笔者通过研究整数系、有理数系、实数系的运 算规律和运算性质这/“通性这样不仅能够消除学生对于“复数系”的陌生感，还能够加深学生对于“复数系”的理解!三、引导发散思维，提高学生的迁移能力要想学生更好地领悟“化归思想”，就要采用“启发 式”教学，使学生从不同角度思考问题、解答题目，进而 使学生的活跃思维得带培养，同时还能够使学生运用 “化归思想”的能力得到锻炼和提升.在考试、练习中，经 常会遇到变式类比的题目，这就要求学生能够做到“活 学/题，贯通一类”，而解决变式类比的题目最注重的就 是能够合理地运用化归思想.例1关于"的方程丨"-2l+l"+ll=a有解，求实数a的取 值范围.—2"+1，"）—1，解析：设/(")=丨"-2丨+丨"+1丨，则有/(") = $3，-1 """2,2"—1，">2.结合已知条件可以将问题转化成为函数（")的值域.通—2"%1，"）—1，过分类讨论、计算r")='3，-1"""2,得出r") (3.2"—1，">2，所以实数a的取值范围为a(3.课堂上，笔者讲解完例1后，紧接着给出了两个变 式，分别为变式1、变式2.具体如下：高中版十炎，？75教学参谋解法探究2018年1月变式1关于!的不等式1!-2|+|!+1!%有解，求实数 %的取值范围.解析：设函数/ (!)(丨！-2|+丨！+1|，则有/ (!) =—2!$1，！）—1，'3，-1"!"2,由已知条件可知，存在!使不等式|!-2|+|!+2!—1，！>2.1!%成立.通过运算，得出（！）！3,即|!-2|+|!+1|能取大 于或者等于3的所有实数.所以，当%取任何实数时，不等 式|!- 2|+|!+1!%有解.变式2关于!的不等式|!-2|+|!+1!%恒成立，求实数%的取值范围.解析：由已知可知，实2%不大于|!-2|+|! + 1|的所有 值.设函数9!)=丨!-2|+丨!+1|，则有/(!)!3.所以，实数%的 取值范围Y %" 3.评注:例1、变式1、变式2是题目的变式类比，也是化 归思想的具体应用之一.这三个题目是根据方程有解、 不等式有解、不等式恒成立求参数的取值范围问题，而 解决这类问题的关键就是将问题转化成为函数的最值 问题.变式类比的题目在日常的练习和考试中经常遇到， 它的解决确实需要能够灵活运用化归思想.而一题多 解、正难则反的题目也较为常见，而解决问题也需要运 用到化归思想.因此作为一线的教育工作者，要为学生 创造和谐、愉悦的氛围，万不能禁锢学生的思维，还要注 重引导学生的发散思维，进而使学生的迁移能力得到锻 炼和培养，更能够提高学生解决问题的能力.四、联系新旧知识，帮助学生构建知识网络哪一个知识点都不是孤立存在的，因此在日常的教 学中，教师要尽可能实现“温故知新”，使学生的大脑中 形成具有自身特色的知识网络.从某种角度来讲，学习 的过程就是原有认知结构逐步扩张的过程.而高中阶段 的数学内容是小学、初中数学知识的扩张和完善，而高 中数学知识的显著特点就是各分支之间的联系更为紧 密，导致学生学习的难度更大，甚至部分学生认为数学 知识本身就存在矛盾性.但是，若能够合理地运用化归 思想将新旧知识联系起来，将新知识转化成为旧知识， 这样不仅能够加快学生学习新知的速度，还能够使学生 尽快地将新知融人到已有的知识网络中，进而使学生的 学习效率和质量得到提高.作为一线的教育工作者，一 定要认识到数学知识的零散，更要能够合理地运用数学思想，将零碎的知识吸附到一起，形成完善、科学的知识 结构.例如，等差数列和等比数列的通项公式.基本性质 及前!项和都可看成其递推关系的推广和应用.但是，由 于受到各种因素的影响，大多数学生会认为等差数列、 等比数列是两个独立的知识点，两者之间联系并不紧 密，甚至部分学生认为等差数列和等比数列之间毫无关 系.而作为一线的教育工作者，就要做到联系新旧知识， 使学生就数列的相关内容，形成一个完善的知识结构 图，如图1.图1知识结构图五、分析反馈信息，开展针对性、目的性教学教师的“教”是为学生的“学”提供服务的，因此作为 一线的教育工作者，要学会聆听学生的意见和反馈，更 重要的是，教师要认识到学生反馈信息的重要性，并能 够结合班级学生的实况，分析反馈信息，从而开展具有 针对性、目的性的教学.在日常的教学中，教师要尊重学 生的个性差异，尽可能为学生提供展现自身“闪光点”的 空间与平台，同时还要尽可能弥补学生自身的不足，从 而激发学生的学习兴趣，树立学好数学的自信心，进而 使学生学习数学的能力得到提升.学习过程就是逐步解 决问题的过程，因此学生出现问题时，教师不要急于讲 解，更不要直接告知答案，而是要结合学生的特点，采用 恰当的教学方式，最终解决问题，整个过程中有助于学 生形成具有自身特色的学习策略.例如，在学习“函数性质”这一章节内容时，笔者以 “一次函数”和“二次函数”为载体，了解了班级学生相关 知识的掌握情况.对于基础较好的学生，笔者让学生思 考课后的“探索与研究”，为学习“导数”奠定基础；而对76 十•？炎，？高中版2018年1月解法探究>教学--参谋高考三视图问题常考题型及处理策略!华中师范大学第一附属中学程季康三视图问题是立体几何的人门内容，也是高考数学中的一个重要考点.翻阅近年来的高考试卷，三视图问题是高考的必考内容;在学习之余，结合近年的高考真题，我总结近年来高考对三视图的考查主要有以下几个 方面，现分类例析，供参考：一、判断几何体的三视图问题给出一个几何体的直观图，然后根据几何体的形 状判断其三视图的问题.由于其难度较小，因此这类 直接判断型问题高考基本没有涉及过.但在2013年和 2014年的高考中，曾以空间直角坐标系中点的坐标来表 示几何体，利用考生的想象能力来判断几何体的三视图 的问题.例1(2014年湖北卷)在如图1所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2,2,0)，（1，2，1)，（2,2,2)，给出编号为①②③④的四 个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）.① ②③④图1(A)①和② （B)③和①(C)④和③ （D)④和②解析：如图2,将四面体放人正方体中，四面体）- 即坐标系中四个点所围成的四面体，显然可以看出 其正视图为④，俯视图为②，故选D.图2""""""""""""""""""""""""""""""""""于基础较为差的学生，笔者则通过“启发式”的教学方 法，引导学生完成“函数性质”的研究，在有必要的情况 下，可以花费2!5分钟的时间，帮助学生复习初中阶段学 过的“一次函数”和“二次函数”的相关性质，在此基础上 在引导学生研究函数性质，进而认识到研究函数性质的 一般方法.综上所述，教科书是课堂教学的主要载体，所以作 为一线的教育工作者，要深人研读教科书，挖掘、提炼蕴 含的化归思想，进而使学生的综合素养和数学技能得到 锻炼和提升.同时，在日常教学的课堂上，教师应在日常 教学过程中有意地反复向学生讲解化归思想方法，使学 生逐渐达到一定的认识高度，最终能自觉地运用.除此 之外，教师还应该注重反思，及时分析学生的反馈信息，不断地创新和完善教学方法，开展具有针对性、目的性的教学，真正地贯彻“以生为本”的教学理念，落实素质教育.参考文献：1. 戴海林.迁移性教学—“等比数列性质的探究”教学设计[J].中小学数学&高中版），2014(04).2. 孙西洋.中学数学化归思想方法的教学策略$J%.江 苏教育，2013(02).3. 任兴发.化归思想在高中函数教学中的应用研究[D].内蒙古师范大学，2013.4. 倪晨旭.例谈化归思想在高中数学解题中的应用[J].新课程（下），2017(06).高中版十炎，？77。
化归思想在高中数学教学中的运用——以函数教学为例
化归思想在高中数学教学中的运用——以函数教学为例发布时间：2022-12-05T02:07:57.538Z 来源：《中国教师》2022年8月15期作者：陈铤[导读] 化归思想是较为基础的一类数学思想，在高中数学教学阶段，陈铤江苏省启东中学摘要：化归思想是较为基础的一类数学思想，在高中数学教学阶段，化归思想的存在至关重要，其和其他数学思想对比，化归思想能够更加切合学生思维习惯，学生对于化归思想接受度也会比较高，因此在实际高中教学阶段，化归思想始终占据着较为重要的地位，其会决定并影响学生数学素养发展状态。
对此，本文主要就化归思想在高中数学教学中的运用进行探究，正确认知化归思想投用在数学函数教学中的现实意义，深度挖掘教材化归思想。
关键词：化归思想；高中数学；函数教学数学是高中阶段较为基础的一门课程，这门学科需要学生具有一定的逻辑思维能力，因此在实际教学期间，教师需要注重培养学生的数学素养，并将化归思想当做众多数学思想的核心基石，对其思想进行高度的重视，帮助学生熟练掌握化归思想内容，创建出更为高效的数学教学课堂，并补充完善现有的知识结构，使得学生的划归思想以及化归能力变得更强。
一、由复杂问题转化为简单问题在高中数学函数教学课堂上，教师要使用简单原则的指导形式，适度降低数学知识的学习难度，提高学生的学习兴趣。
比如，在讲解“函数概念”知识时，教师可以使用实际的教学案例引导学生，让学生温习以往所学习过的相关知识点，并进行复习和总结，简化新知识的学习难度，给学生理解并使用区间符号提供帮助。
结合实际数学教材内容讲解函数的定义、自变量以及因变量关系等相关概念，使用实际例题，让学生对具体问题进行具体分析，这样学生才能够逐渐掌握化归思想如何应用在基础函数知识之中[1]。
构建主义学习理论，教师要依据学生实际学情，选择一些难度较小的数学实际问题，让学生构建简单的数学函数模型，学生在构建函数模型时，能够在头脑当中逐步构建正确的函数学习理论。
化归思想在高中数学函数学习中的运用
化归思想在高中数学函数学习中的运用化归思想是数学中常见且重要的思想方法之一，它在高中数学函数学习中有着广泛的运用。
化归思想通过将复杂的问题转化为简单的问题，从而更好地理解和解决函数的性质和应用。
本文将从函数的基本性质、函数图像和函数的应用三个方面介绍化归思想在高中数学函数学习中的具体的运用。
化归思想在函数的基本性质中的运用。
函数的基本性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性等，这些性质是研究函数的重要基础。
在求解函数的基本性质中，化归思想可以通过等价变形、代入等方法将问题转化为简单的形式。
对于一元二次函数y=ax^2+bx+c，要求该函数的顶点，可以先通过求导的办法得到导函数y'=2ax+b，令y'=0，解得x=-\frac{b}{2a}，即可得到x坐标，再将x代入原方程求得对应的y坐标，从而得到顶点。
这里通过将问题转化为代数方程求解的方式，简化了求解的过程，提高了求解的效率。
化归思想在函数图像的研究中的运用。
对于函数的图像研究，化归方法可以将复杂的曲线转化为简单的曲线，从而更好地进行分析和研究。
对于一元高次函数y=x^n (n>0)，为了研究其图像特点，可以先将x的取值范围限制在正数或负数上，然后通过变换坐标轴的方式，得到相应的图像。
在具体研究时，可以通过改变n的值，比较不同情况下曲线的图像特点，从而深入理解函数的性质和特点。
由于一元高次函数的图像较为复杂，通过化归思想可以提取其重要特征，从而更好地进行分析和讨论。
化归思想在函数的应用中的运用。
函数的应用是数学学科的重要组成部分，通过将实际问题抽象为数学问题，然后通过函数的性质和方法进行求解，从而得到问题的解答。
在函数的应用中，化归思想可以将复杂的实际问题转化为简单的数学问题，从而更好地进行求解。
在函数的最值问题中，可以通过化归思想将问题转化为函数的极值问题，然后通过求导和讨论函数的单调性，得到函数的最值点。
这种化归思想的运用，既减小了问题的复杂度，又提高了求解的效率和准确性。
探讨化归思想在高中数学解题中的应用
数理化解题研究2021年第07期总第500期探讨化归思想在高中数学解题中的应用傅永忠(浙江省东阳市外国语学校322100)摘 要：化归思想是重要的数学思想，通过问题转换顺利解决问题，提高数学解题效率.数学解题中应用 化归思想，要结合实际情况进行选择，切实发挥化归思想的作用.本文结合数学解题实践，分析数学解题中如 何有效应用化归思想，提高数学教学质量.关键词:数学解题；化归思想；函数中图分类号：G632文献标识码:A 文章编号：1008 -0333(2021)07 -0008 -02数学解题能力，即通过数学知识进行数学运算的能 力，这也是高中数学教学的重要任务.需要数学教师在讲 解习题基础上，理解与掌握数学思想，灵活解决数学问 题，形成良好解题能力，顺利落实教学目标，促进课堂教 学质量与效率的提升.一、 动静转化函数解题中运用化归思想,直接表现为动与静的转 换.函数反映生活中的变量关系,属于典型数学模型，体 现事物运动与变化的规律.学生学习函数知识时,要引导 学生利用发展眼光看待变量间的关系，从题干中提取出 数学因素与变量间的关系.利用化归思想将静态文字描述转化为动态的变量关系,通过运动观点对函数性质进 行研究，顺利解决数学问题.例1比较吨2与呃厶的大小.解题思路 解决这道题目可以运用化归思想,通过 函数静与动的转化解决问题.数学教师先让学生观察两个函数，明确其静止数值，通过化归思想构造相应的函 数.也就是对比两个数值的形式差异,构造对数函数/( % )-log 3%，将其看成自变量2到5之间的对应函数值,数值呈现动态化.最后，通过函数/ (% ) - log 3 %在定义域(0,+8 )为单调递增，顺利解决问题.即log 3 1 < log 35.二、 数形转化数学化归思想的表现形式就是数形结合.数形转化, 也就是有效结合函数解析式与函数图象,将抽象难以理 解的函数问题转为直观性强、可以观察的数学解题方法. 数学思维有许多常用的方法,而形和数与思维的结合具有数学学科的特殊性，是解决许多数学问题的有效方法. 抽象定量关系的可视化是直观的，易于理解和接受.将视觉数 字量化并将其转换为数学运算通常会降低难度,使数学知识更加容易理解.数形结合法的最大特点就是直观与简洁，同时 还更为形象，符合高中生的思维特点与接受能力与传统高中数学教学方法相比,数形结合方法更能吸引学生注意力，快 速、准确解决高中数学问题.例2已知两个函数：y 1 -3sin %,y 2 - ―^,%取值范围为2 - %(-1W %W5),两个函数所有交点横坐标的和为( ).解题思路 求函数y 1 - 3sin %和y 2 - 一在(- 1 W %2 - %W5)的交点和，最常用的方法就是构建方程组，求出方程 3sin % -^^的解.这个方程中有分式和三角函数,运算时难度较大,无法求出交点横坐标.如果利用图1画出函数 图象，可以直接观察到在区间内函数交点共有6个,6个 交点和点(2,0)形成3组对称点,也就是对称点的中点, 利用中点坐标公式直接求出横坐标的和.三、拓展延伸很多学生学习数学概念时,并未做出相应的延伸与 探究，满足于简单掌握概念的表面含义，没有主动对其进收稿日期：2020 -12 -05作者简介:傅永忠(1974. 10 -)，从事数学教学研究.—8—2021年第07期总第500期数理化解题研究行深层次的延伸，解题时无法灵活运用数学定理与概念.(3a-1)%+4a,%<1,、例3已知函数/(%)-'在区间lo g a%，%》1(-8,+s)为减函数，那么实数a的取值范围().A.(O’1)B.[o’；)C.[7’；)D.[7，1)解答这道题目时,很多学生受到各方面因素影响直接选择B.这种错误情况的出现,根本原因在于学生没有熟练掌握函数单调性的性质,没有对函数整体单调性进行考虑，实质就是学生没有理解函数单调性.当%》1时，函数/(%)-log a%单调递减=>0<a<1,当%<1时,/(%)-(3a-1)%+4a单调递减=a<：，此时’函数在定义域内呈现单调递减’当%-1时，(3a-1)%+4a M log a%=a M 1，得出最终答案；W a<1，因此C为正确答案•我们要注意一个问题，数学解题并不是简单地获得最终答案，而是可以从解题过程中逐步领会与掌握新的数学知识点，对自身数学知识体系进行完善.实际上，中学生最容易忽视反思这一步骤.大部分学生只觉得做题正确即可,但做题后需要总结与反思解题思路，检查与回顾整个思路，深入理解这类题目.此外，很多数学题都存在“一题多解”的情况，但一些学生并没有理会这一情况,并未寻求多角度解决问题，小知识点混淆,容易出现错误•这就需要学生继续整理与归纳，逐步形成完整的知识脉络,提高数学素养水平,大幅度提升数学解题效率.四、转化递推公式高中数学试题中最常见的一类习题就是特征方程，这类题型可以运用相应技巧解决，如a“+1-也+他j二阶递推式计算通项公式，可以将特征方程%2-p%+q进行快速求解如果方程本身存在两个不相同的实数根%1,%2,可以据此构造出两个等比数列：｛a”+1-%1a”｝与｛a”+1-%2a”｝，求出通项：｛a”+1-%1a”｝与｛a”+1-%2a”｝，并将a”+1，a”当做未知数求出相应的表达式，最后再用待定系数法求出a”的表达式•如，教师为激发学生数学学习兴趣,特意设计了一组数列，且该数列具有以下特点：例4已知数列为1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8, 16,…，可以发现,数列第一项为1,紧连两项为1,2,之后三项为1,2,4等•现知N为该数列的前”项和,且N为2的整数幂，求最小整数N为以下哪一个().A.440B.330C.220D.110解决这道数学题目时,常规解题方式首先要对其中的规律进行观察，与数列计算公式结合起来,通过计算大量数据得到最终的答案,对学生运算能力要求较高•但这时引入构造方程方法，可以将复杂问题简单化处理,这是培养学生数学思维能力与提高运算能力的有效途径.五、构造函数法高中数学日常习题练习，要熟练运用各类解题技巧•1.求导法高中数学解题时最常见的方法就是求导法,这个方法最常用于函数问题的解决.例5求函数/(%)二2%+4-%+3的值域.求解函数值域时,要充分利用函数的各类性质,如图象、单调性及奇偶性等，本题函数带根号,利用图象求解困难,可以借助求导的方式进行解答.2%+4M0,因为｛解得%M-2,函数/(%)的定义域为%+3M0,[-2,+8),所以厂(％)二1-—」.丿2%+42%+32丿2%+4%+3所以当广(%)>0时，有%>-4,所以函数(%)在定义区间[-2,+8)上单调递增/(%)mm-/(-2)--1.所以函数/(%)值域为[-1,+8)•2.构造法该法是高中解题时最常用的一种方法，主要用来构造方程、向量、坐标等，是解题的关键•学生需要凭借自己敏锐的观察力和经验寻找解题突破口,根据题目要求构造出合适的函数,满足解题需要,完成构造,正确解答.比如在学习三角函数时,主要锻炼学生对公式、定律的选取和应用，对其属性实现灵活转换,再配以三角定律，实现对学生数学建模能力的培养•数学教师要在课堂上引导学生利用三角函数知识解决数学问题.如,数学教师可以结合相关知识点设计相应数学问题：例6函数f(%)-sin2%-cos2%-23sin%cos%(%e R),求函数f(%)的最小正周期及单调递增区间•解决这道题目过程中，引导学生构建出相应的函数模型,并利用①-2,函数/(%)最小周期为罗,求出函数单调递增区间.总之，高中数学解题中应用化归思想可以丰富学生的解题思路，推动学生数学知识体系的建设•化归思想的应用，可以简化解题过程,提高数学解题效率，为类似研究提供借鉴.参考文献：[1]苏昀昕.化归思想在高中数学解题过程中的应用分析[J].学周刊，2019(32)：103.[2]于美芳.化归思想在高中数学解题过程中的应用分析[J].数学学习与研究，2019(13)：134.[3]吴必潜.高中数学解题中的化归方法及其教学模式初探[J].数学学习与研究，2019(01)：130.[责任编辑:李璟]—9—。
试论化归思想在高中数学教学中的应用
试论化归思想在高中数学教学中的应用随着教育教学方式的不断变革和优化，思想方法和理念也在不断地更新和发展。
化归思想作为解决问题和推理的重要思维工具，在高中数学教学中具有重要的应用价值。
本文将对化归思想在高中数学教学中的应用进行探讨。
一、化归思想的概念化归思想又称通用性思想，是初步解决复杂问题时的一种模式或模型。
通过将问题从最具体的情况逐渐化为相对通用的情况，从而减少问题的复杂度，使其更容易理解和解决。
化归思想在数学中的应用主要采用“从特殊到一般”的方法，即先通过具体的例子探究问题，再逐步推广到普遍情况。
通过这种方式，化归思想能够帮助学生更好地理解数学问题和概念，并提高其解决数学问题的能力和水平。
1.解决数学问题数学是一门极其抽象的学科，其中充满着各种各样的难题和疑难。
而化归思想正是解决这些问题的有效思维工具。
在高中数学教学中，教师可以通过提供一些具体而实用的例子，让学生逐步掌握化归思想的运用方法，以便更好地应用于实际问题的解决。
举例来说，在初中阶段，学生学习了求解一元一次方程的方法，而在高中学习中又会涉及到模拟实际问题的情况下，需要通过一元一次方程来解决。
这时，化归思想就起到了至关重要的作用，让学生能够更好地通过数学方法解决实际问题。
2.提高数学思维能力通过化归思想的学习和应用，学生也能够提高自己的数学思维能力。
化归思想能够让学生更好地理解数学问题，并能够更加清晰地把握数学概念和问题的本质。
通过这种方式，学生能够提高自己的逻辑思维能力，以及更好地运用数学知识解决实际问题的能力。
在数学学习中，化归思想也能够提高学生对复杂问题的分析解决能力，帮助学生更加高效地解决数学问题，也更好地为高中学习的其他领域打下基础。
三、化归思想的教学策略化归思想是一个非常实用和易于掌握的思维模式，也是许多高中数学问题的重要工具。
为了更好地教授化归思想，教师需要合理运用教学策略，使学生可以更好地理解和掌握这种思考模式。
1.提供实用而具体的例子在教学中，教师可以通过提供实用而具体的例子来帮助学生理解化归思想。
化归思想在高中数学教学中的运用
化归思想在高中数学教学中的运用崔孝禹(浙江省宁波市至诚学校ꎬ浙江㊀宁波㊀３１５０００)摘㊀要:数学是高中生学习生涯中不可缺少的关键课程.许多高中生表示对数学学习有恐惧心理ꎬ此种恐惧感随着学习难度的增加而增加ꎬ甚至有部分学生已经选择放弃学习.基于此教育现状ꎬ文章主要以人教版高中数学为例ꎬ对化归思想在高中数学教学中的运用进行分析ꎬ以期起到提升高中数学课程教学质量的效果.关键词:化归思想ꎻ高中ꎻ数学ꎻ教学ꎻ运用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ｂ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１７)２１－０００９－０２收稿日期:２０１７－０６－０１作者简介:崔孝禹(１９８０.１０－)ꎬ男ꎬ黑龙江齐齐哈尔人ꎬ中学一级ꎬ大学本科ꎬ从事高中数学教学与研究.㊀㊀化归思想作为数学学习的基础思想ꎬ在高中教材中十分常见ꎬ并已经渗透至数学教育思想中.将其与相关数学思想进行对比ꎬ化归思想更加贴合高中生的学习思维ꎬ学习起来也比较简单.由此我们可以看出化归思想的教育地位ꎬ教师需要在课堂教学活动中应用化归思想ꎬ以此来切实提升高中数学课程教学质量.㊀㊀一㊁化归思想在高中数学教学中的运用价值(一)化归思想是高中数学思想的基础化归思想作为基础性数学思想ꎬ也是形成数学思想的理论基础ꎬ渗透至各种数学思想中.如:数学思想中数形结合思想ꎬ主要是指将数量与具体形状进行合理转化的过程ꎻ函数与方程思想则是借助函数与方程㊁不等式之间的合理转换来解决现实问题ꎻ分类讨论思想则是将原本整合的几项内容分解成为几个分支ꎬ在解决现实问题的基础上有效整理全局的一种数学思想.除此之外ꎬ还有许多数学思想如换元㊁补集法等都是化归思想的实际体现.由此我们可以看出大部分数学思想在使用过程中都利用了化归思想ꎬ由此我们可以认定化归思想是数学思想中理论基础.(二)化归思想是学生比较喜闻乐见的数学思想化归思想主要是指在数学教学活动中将全新知识转换为已有知识基础随即进行解决问题的一种数学思想.高中生在经历小学㊁初中数学课程学习后ꎬ自身已经具备一定学习基础ꎬ并形成一定数学思维ꎬ对化归思想产生一定认知与了解ꎬ因此学生更加乐于接受并掌握此思想ꎬ高中数学教师在日常教育活动中不仅需要关注理论知识的教育ꎬ还需要注重与现实生活的衔接ꎬ以此来有效培养高中生的化归思想ꎬ进而不断提升高中数学课程教学质量ꎬ培养学生的数学核心素养ꎬ从整体上提升学生运用所学知识解决现实问题的能力.(三)有助于提升学生应用数学知识解决问题的能力数学课程的学习自身就是不断将新知识内化迁移的过程ꎬ在实际内化过程中ꎬ运用新知识解决现实问题ꎬ可以有效帮助学生构建数学知识体系ꎬ提升学生对新知识的掌握应用能力.与此同时ꎬ通过在高中数学教学中应用化归思想ꎬ高中生可以将现实生活中遇到的问题转换为数学问题ꎬ将错综复杂的问题条件整理成为简单的数学条件ꎬ将自己比较生疏的问题转化成熟悉的问题ꎬ这样一来学生就可以顺利解决数学问题.㊀㊀二㊁化归思想在高中数学教学中的运用(一)深度挖掘数学教材中的化归思想内容众所周知ꎬ数学思维的精髓在于化归思想ꎬ其是前人经过长时间的总结归纳得出的物质结晶ꎬ化归思想不是简单的定义公式ꎬ而是以现有数据结果为理论基础ꎬ深入剖析数据内涵ꎬ将其规律进行有效整合的数学思维.其要求学生需要将不同阶段知识进行逐一细化ꎬ挖掘知识间内涵的关联ꎬ以此充分发挥化归思想的学习作用.在实际教学过程中ꎬ教师必须要深度剖析教材内容ꎬ从中提取价值信息ꎬ进而有意识引导学生运用其思想解决现实问题.如:过圆外一点Ｐ(ａꎬｂ)向圆ｘ２＋ｙ２＝Ｒ２引两切线ꎬ求经过两切点的直线方程.分析ꎬ设直线与圆的切点分别为Ａ㊁Ｂꎬ则｜ＰＡ｜＝｜ＰＢ｜.Ａ㊁Ｂ两点可以看作是以Ｐ为圆心切线长为半径的圆上的点ꎬ此圆的方程是:(ｘ－ａ)２＋(ｙ－ｂ)２＝ａ２＋ｂ２－Ｒ２ꎬ９即ｘ２＋ｙ２－２ａｘ－２ｂｘ＋Ｒ２＝０.①故Ａ㊁Ｂ两点可看作圆①与已知圆ｘ２＋ｙ２＝Ｒ２的交点ꎬ直线ＡＢ为两圆的相交弦所在直线.令公共弦的方程为:ｘ２＋ｙ２＋λ(ｘ２＋ｙ２－２ａｘ－２ｂｙ＋Ｒ２)＝０ꎬ即(λ＋１)ｘ２＋(λ＋１)ｙ２－２ａλｘ－２ｂλｙ＋λＲ２－Ｒ２＝０.又上式为直线ꎬʑλ＋１＝０ꎬλ＝－１.所求直线方程为ａｘ＋ｂｙ＝Ｒ２.(二)奠定扎实基础ꎬ构建数学知识框架奠定扎实数学学习基础ꎬ自主构建数学知识结构ꎬ作为进行化归的知识前提.其一ꎬ在日常教育活动中需要关注对数学概念㊁公式㊁数学模型等内容的讲解ꎬ使学生具备扎实的知识基础ꎬ掌握问题原有模型ꎬ只有这样学生才可以在学习活动中自主进行知识的转换ꎬ实现预期的学习目标.其二ꎬ教师需要在实际教学过程中注重对教材中出现的数学思想归纳整理.只有这样才可以使学生更容易掌握数学知识.学生在做题过程中也比较容易找到解题思路ꎬ及时对问题中相关要素进行整合.其三ꎬ教师可以采用结构图的形式对高中数学教材知识进行总结ꎬ为化归思想的使用奠定扎实的理论基础.(三)注重学生化归意识的培养高中教育阶段数学课程不应该只关注对学生基础知识与解题方法的教育ꎬ而是侧重培养学生的数学思想ꎬ强化学生化归思想应用能力.如:在教学活动中创设化归教育情境ꎬ结合针对性数学问题ꎬ吸引学生的注意力ꎬ在学习过程中引导学生关注化归思想.教师也可以在教育活动中对数学条件进行任意调换ꎬ使学生充分体验化归思想ꎬ注重知识解答过程的讲解ꎬ引导学生自主总结解题经验ꎬ进而切实强化学生的化归意识.综上所述ꎬ对于高中数学课程而言ꎬ化归意识的形成对提升学生数学能力具有一定帮助ꎬ作为提升高中数学课程教育质量的物质前提ꎬ教师必须要提高自我对其的重视.在日常教育活动中积极创新课堂教学ꎬ引导学生充分利用化归思想解析问题ꎬ进而从根本上提升高中生的数学学习能力.㊀㊀参考文献:[１]苏远.高中数学教学中化归思想的应用案例分析[Ｊ].现代阅读(教育版)ꎬ２０１４(２１):１１６.[２]夏小又.浅议化归思想在高中数学解题中的运用[Ｊ].读与写(教育教学刊)ꎬ２０１７(０１):１１８.[３]韩蕾.高中数学教学中运用化归思想的案例分析[Ｊ].教育教学论坛ꎬ２０１４(３９):１０５－１０６.[责任编辑:杨惠民]关注学生能力差异㊀巧妙设置梯度教学王㊀铮(江苏省苏州市吴江汾湖经济开发区高级中学ꎬ江苏㊀苏州㊀２１５２１１)摘㊀要:每个学生都具有不同的能力特点ꎬ在数学学习中自然也会产生差异性的效果.为了让每个学生都能获得适合自己的学习效果ꎬ梯度教学的适用就显得至关重要了.笔者查阅了大量理论资料ꎬ结合教学实践中出现的能力差异现象ꎬ总结出了一些行之有效的梯度教学设计方法.关键词:高中数学ꎻ差异ꎻ梯度中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ｂ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１７)２１－００１０－０２收稿日期:２０１７－０６－０１作者简介:王铮(１９８１.７)ꎬ男ꎬ江苏泰州人ꎬ中教一级ꎬ大学本科ꎬ数学教学与研究.㊀㊀一㊁于函数教学中设置梯度ꎬ关注能力差异对于高中阶段的学生来讲ꎬ函数知识已经毫不陌生了.从初中阶段开始ꎬ无论是函数知识本身ꎬ还是函数思想方法ꎬ就已经高频率地出现在学生们的数学学习过程当中了.因此ꎬ学生们在函数学习中所呈现出的能力差异ꎬ也已经经过了较长一段时间的沉积了ꎬ必须引起教师们的高度重视.例如ꎬ为了让不同能力状态的学生都能够在函数学习中完成应有程度的训练ꎬ我特意为大家设计了这样一道练习题:现有函数ｆ(ｘ)＝１２ａｘ２－(２ａ＋１)ｘ＋２ｌｎｘ(ａɪＲ).(１)如果曲线ｙ＝ｆ(ｘ)在ｘ＝１处和ｘ＝３处的切线是相互平行的ꎬ那么ａ的值是多少?(２)函数ｆ(ｘ)的单调区０１。
论“化归思想”在高中数学课堂教学中的应用研究
“ 化 归” 是转化与归结的简称 ， 其根本 思想是 ： 人 们 在 解 决 数 学 问题 的时 候 ， 往往 是 将 待 解 决 的 问 题 Ｉ ， 通 过 某 种 转 化 手 段， 归 结 为 另 外一 个 问题 ２ ， 而 问题 ２是 相 对 容 易 解 决 或 者 已
经 存 在 的 固定 解 决 程 式 的 问 题 ， 而 且 通 过 对 问 题 ２的 解 决 可
但 是 如 果 能 够 换 一 个 角 度 来 讲 的话 ， 由于 ｔ ∈［ 一２ ， ２ ］ ， 那 么 我 们 就 可 以将 Ｙ转 化 成 为 ｔ的 一 个 函 数 ， 当 自变 量 ｔ 在［ 一２ ， ２ ］ 上 变 化 的 时候 ， ＞ Ｏ ， 在 这 样 的 条 件 下 求 的 取 值 范 围． 因此 ，
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２ ０ １ ３ 年第 ７ 期 ／
中学生数理亿 ． 掌研版
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论“ 化归思想， ’ 在 高 中数 学课 堂教 学 中 的应 用 研 究
七
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１ ． “ 化 归” 思 想 概 述
为几何方面的问题． 下面 这个 例题 就说 明了“ 化 归” 思 想 的 此 类应用．
ｆ 一ｄ ， 求证 ： ａ ｂ —ｃ ｄ ．
学 们 可 以从 ｚ ４ － ｙ 。
— 。 ４ － ｙ 一２ ｘ ｙ ｃ ｏ ｓ ６ ０ 。 ， 这 一 个 数 式 的
结 构 加 以 出发 ， 挖掘出其 几何 背景 ， 转化 成 为几何 问题 ， 构 造
一
个 四 面 体 Ｖ— ＡＢ Ｃ（ 如图 １
ｃ ｏ ｓ Ｏ ・ｓ ｉ ｎ Ｏ ．
ｄ— Ｃ・
间 的相 互 转 化 ， 下面例题显示 了“ 化 归” 思 想 在 函 数 中 的 实 际
高中数学教学中化归思想的应用案例分析(北师大版)
高中数学教学中化归思想的应用案例分析（北师大版）化归思想是数学中非常重要的一个概念，在高中数学教学中有着广泛的应用。
下面，我们以北师大版高中数学教材为例，分析一下其中的一些应用案例。
已知函数f(x)满足f(x+1)=f(x)+1，求证f(x)=x。
这个例子中，我们可以通过化归的思想来进行求解。
我们可以取n为任意正整数，然后可以得到f(x+n)=f(x)+n。
接下来，我们可以通过数学归纳法来证明f(x)=x。
这个例子就很好地展示了化归思想在函数方程中的应用。
已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n^2-n+1，求证{n(n+1)a_n}为等差数列。
在这个例子中，我们可以通过化归的思想来进行求证。
我们可以得到{n(n+1)a_n}=[n(n+1)][n^2-n+1]=n(n+1)(n^2-n+1)。
接下来，我们可以将{n(n+1)(n^2-n+1)}进行化简，得到{n(n+1)(n^2-n+1)}=[(n^2+n)(n^2-n+1)]=[(n^2+n)(n^2+n)-(n^2+n)]=[(n^2+n)^2-(n^2+ n)]-[n^2+n]=[(n^2+n-1)^2-n^2]-(n^2+n)=[(n^2+n-1)^2-(n^2+n)], 由此可知{n(n+1)(n^2-n+1)}是一个等差数列。
这个例子展示了化归思想在数列问题中的应用。
最后是在数和问题中的应用。
数和是高中数学中的一类问题，也可以通过化归思想来进行求解。
在北师大版高中数学第二册的《数和》一章中，有一个案例是这样的：已知正整数n的各位数字之和为15，求n的最小值。
在这个例子中，我们可以通过化归的思想来进行求解。
我们可以假设n的各位数字依次为a_1，a_2，...，a_m。
由于n的各位数字之和为15，所以有a_1+a_2+...+a_m=15。
接下来，我们可以通过数学推导来得到n的最小值为105。
这个例子展示了化归思想在数和问题中的应用。
化归思想在高中数学函数教学中的运用及实践研究
数学学习与研究2019.5化归思想在高中数学函数教学中的运用及实践研究◎邓志强（湖南省长沙市雅礼中学，湖南长沙410007）【摘要】高中数学主要是对学生数学的解题思想进行深化，利用数学的解题思想和方法来解决日常生活中的实际问题，能更好地对事物的发展变化以及运动进行一个细致的描述．在数学教学中，函数是一个重要的教学模型，能够很好地描述客观世界中的一些变化规律，函数是高中数学教学中的关键内容，被大多数数学教师作为教学的重点，为了能够对学生数学思维能力和解题能力进行提升，本文对化归思想在函数中的应用进行了一个简单的分析．【关键词】化归思想；高中数学；函数教学；运用；实践一、在函数教学中数学化归基本策略因为数学中的问题简单和复杂都是相对的，这两者之间在一定程度上可以相互转化，在用化归思想解决数学中的函数问题能够把这两者进行很好的转化．采用数形结合的方法来解决数学问题能够把大多数复杂的问题形象化、具体化，让题目中的信息更加清晰明了．比如，在解决几何问题时，建立一个空间直角坐标系，这样就能够把几何问题有效地转化成代数，从而解题难度也随之降低了．化归思想中最重要的就是把题根进行转化，在高中数学的学习过程中，练习题的类型有很多种，所以，在题海中寻找题根就能够解决大部分的数学问题．比如，在学习函数的过程中遇到数形转化的问题，如果我们的学生能够掌握化归思想就能够相对简单地解决一些问题：比如，函数f （x ）=｛－x 2+2x ，x ＜0，ln （x +1），x ＜0｝如果|f （x ）|＞ax ，那么a 取什么值？遇到这种问题，我们可以先根据题目中的已知条件画出这个函数的图像，再把函数f （x ）在x 轴以下的部分做一个关于x 轴对称的图像．根据题目已知|f （x ）|恒大于ax ，再由图可知a 小于等于0．如果x 小于0，这个函数的图像就应该在y =ax 上方，考虑到两条线相切的情况，在相切时a =－2，然后分析整个图像可以得出这个题的答案是［－2，0］．二、高中数学函数教学中采用化归思想的意义及重要性1．数学是一门比较抽象的学科，它和语文英语是不同的，英语语文的基本知识是靠记忆来掌握，而生物地理的知识是接近生活实际的．数学是一门能够让学生通过大脑进行构建思维，然后进一步去理解吸收数学知识，这种学习，对大多数学生都有一定的难度．而化归思想就是能够把复杂的数学问题进一步简单化，把数学中的比较抽象的问题进行一个具体化，让学生对数学问题的理解更深，积累思想层次上的解题经验，让学生可以有效地把学过的知识点进行一个恰当的连接，让学生能够认识到数学的精髓．例如，在讲解二次函数“y =ax 2+bx +c ”的图形时，可以先让学生画出函数y =x 2，y =x 2+1，y =x 2－1的图像，引导他们观察图像的主要特征；接着，展示出函数y =－2x 2，y =－2（x +1）2，y =－2（x －1）2的图形，要求学生观察并回答图像特点，最后，让学生分析两组图像的区别使其发现一个图像平移到另外一个图像的过程与规律，同时，对这一变化过程通过多媒体进行有效的演示，加深学生的印象，在不断的练习中提高学生的逻辑思维与观察推理能力．比如，在一名学生学习函数时会遇到一些题目比较长，而且非常复杂的问题．比如，甲类问题，要解决甲类问题，可以通过化归思想把甲类问题转变成这名学生已经掌握的乙类问题，这样这名学生就能够按照自己所学的知识轻松解决这个乙类问题，进而通过乙类问题能够很容易推算出甲类问题的答案，虽然整个解题过程有些复杂但是这名学生对这个问题是完全掌握的，这样能够间接地提高学生的解题效率．2．高中学生学习数学的一个关键在于对数学问题的解题策略，这种解题策略是能够把学生学过的知识进行一个串联，让学生灵活的运用，所以学生需要在学习过程中积累大量的解题技巧和方法．比如，在学生解决三角形的问题的时候，一般都会应用三角形的内角和为180ʎ来进行消元．这样通过这个条件可以把复杂的问题简单化，可以利用这个内角和的关系滤清问题，明确思路．在数学学习的日常中，把数学问题转化为简单的问题，是解决数学问题的一种技巧．三、综合运用现代教学技术，培养学生逻辑思维能力初中时期是人脑逻辑思维能力培养的重要阶段，而数学的函数思想是逻辑思维的重要组成部分．所以，在初中数学教学中，教师应该运用多种现代教学手段，通过直观化、形象化、立体化、丰富化的展现方式来提高学生学习和探索的热情和信心．教师可以利用融合了图形、文字、声音、影像等多种元素的PPT 来实现现代化多元教学模式增强课堂教学的丰富性、切实提高课堂教学效率．例如，在讲解二次函数“y =ax 2+bx +c ”的图形时，可以先让学生画出函数y =x 2，y =x 2+1，y =x 2－1的图像，引导他们观察图像的主要特征；接着，展示出函数y =－2x 2，y =－2（x +1）2，y =－2（x －1）2的图形，要求学生观察并回答图像特点，最后，让学生分析两组图像的区别使其发现一个图像平移到另外一个图像的过程与规律，同时，对这一变化过程通过多媒体进行有效的演示，加深学生的印象，在不断的练习中提高学生的逻辑思维与观察推理能力．四、结束语数学这门学科是高中学习过程中的一个难点之一，很多知识点都比较抽象．教师怎样能够有效地提高教学质量，提高学生对数学的学习和应用能力是目前众多高中数学教师比较关注的一个问题，采用化归思想能够锻炼学生解决数学问题的思维能力，能够有效地把复杂的问题简单化，找到一定的规律，然后对学生的解题效率有一定程度的提升，促进教育事业的发展．【参考文献】［1］任潇．高中数学函数教学中渗透数学思想方法的应用分析［J ］．现代妇女（下旬），2014（4）：158．［2］宋扣兰．化归思想在高中数学函数教学中的运用［J ］．中学生数理化（教与学），2016（3）：54．［3］司马澍．化归思想在高中数学函数学习中的运用研究［J ］．科技经济导刊，2017（28）：140．。
浅谈化归思想在高中数学教学中的应用
教学琐谈J I A O X U E S U O T A N浅谈化归思想在高中数学教学中的应用江苏省运河中学吕红ʌ摘要ɔ高中阶段是数学学习的重要阶段,数学知识点较多,数学学习相对沉闷枯燥㊂在传统的高中数学教学课堂中,教师片面注重知识点的教授,本着教一题会一题的心态敷衍教学,使得原本枯燥乏味的课堂更加难以激发学生的兴趣,课堂教学效率低下㊂随着新课程改革的深入推进,高中数学教学也开始改革,教师在课堂教学中更加注重培养学生掌握学习方法,培养自主学习观念,只有掌握了好的学习方法,才能对高中数学学习中碰到的问题迎刃而解㊂ʌ关键词ɔ化归思想高中数学教学应用化归思想是对高中数学解题思想的统称,高中数学最重要的教学任务就是培养学生的解题能力,只有掌握了正确的解题方法,才能在数学这浩瀚的海洋中尽情遨游㊂化归思想是高中数学教学的核心内容,从当前高中数学教学现状出发,分析在数学学习中化归思想的具体应用㊂一㊁高中数学教学现状数学作为理科专业的基础性学科,是高中阶段的重点学科之一㊂是高中阶段数学知识点偏多,数学知识结构复杂,在数学学习过程中,需要较强的抽象和逻辑思维,这使得许多学生在高中数学学习时体现出畏难情绪㊂在传统的教学模式中,教师在高中数学教学中主要是知识点和理论内容的教授,课堂气氛沉闷枯燥,难以激发学生的学习兴趣,课堂教学效率也因此较低㊂长期以来高中数学教学中存在两个难点:第一,教师在教学过程中缺乏与学生的沟通交流,没有考虑到学生的个体差异,部分学生对教师教授的知识点和解题方法不能很好地接受;第二,传统高中数学教师在课堂上以知识的灌输为主,学生对于知识的理解过于浅显,属于教一题会一题的状态㊂随着新课程改革的不断推进,高中数学课堂也开始进行改革,教师占据课堂主导地位的传统局面开始改变,以人为本的教学思想开始融入课堂,学生开始成为课堂教学的主体,课堂开始围绕学生的个性化展开㊂由于数学学科在高中阶段的重要性,很大一部分教师不愿意进行教学改革,仍然采用传统课堂教学模式㊂大部分学生仍然具有明显的畏难情绪,由于传统课堂教学模式的禁锢,教师和学生交流沟通的缺乏,高中数学学习的高难度,使得学生更加难以掌握高中数学学习中的解题方法㊂进一步加大高中数学教学模式改革的力度,推进化归思想在高中数学中的应用,培养学生自主学习能力显得十分重要㊂二㊁高中数学教学中对化归思想的应用(一)化归思想在高中数学基础知识教学中的应用基础知识教学作为高中数学教学中的基础性环节,在高中数学教学中尤为重要,打好了基础相当于成功了一大半,在基础理论知识的教学中融入化归思想,对数学基本概念㊁数学公式的学习大有裨益㊂如在向量这一章节的学习中,可以将化归思想融入其中㊂向量相等包含了两层含义:一层是指向量值相等;另一层是指向量方向相同㊂在向量相等这一概念的学习中,一般画一个二维坐标,将向量表示在坐标上,这样就可以将抽象的向量转化为具体的数值㊂通过数值对向量的大小进行直观的比较,这种方法简化了解题难度,提高了学生学习积极性,提升了课堂效率,这就是化归思想在高中数学基础知识教学中的应用㊂只有在高中数学基础理论知识教学中融入化归思想,才能在不断夯实数学基础理论知识的前提下,提高数学教学的整体水平㊂(二)化归思想在高中数学解题教学中的应用高中数学解题教学目的是培养学生的学习方法,开拓创新的数学思维㊂在这种情形下,引导学生对解题过程进行反思,通过对比自身解题过程和规范解题过程的差异,不断对自身解题思想进行改良和优化㊂解题的训练不是通过大量做题,而是注重解题过程的反思,通过不断地反思和梳理,形成适合自身的解题模式㊂三㊁结语高中作为初中和大学的过渡阶段,学习数学不仅要进行课本内容的学习,还要注重培养学生的自主学习意识㊁良好的学习方法和正确的价值观念㊂在这样的情形下,教师的课堂教学不应局限于课本知识的学习,而要对课本内容进行深入探究,将课本中的具体内容与实际情况相结合,让学生在数学知识学习的同时掌握学习方法㊂因此,教师在高中数学教学中应当融入化归思想㊂在教学过程中,将化归思想与实际解题过程相结合,引导学生深入理解化归思想㊂㊃16㊃。
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N G G A D U B E
Q N N 化归思想在高中数学函数学习中的运用
□宋宁
(江苏省阜宁县实验高级中学，江苏阜宁224400)
高中数学的学习是一个反复思考、认真总结、积累经 验的过程，而函数在高中数学的课程中占很大比重。
教师 一定要善于运用化归思想，强有力地锻炼学生数学思维逻 辑，构造解题思路，培养良好学习习惯，巩固数学基础，全 面加强化归思想在高中数学函数教学的运用和课堂技巧。
―、加强化归思想的数学实例一丰富数学函数的教学内容
教师要让学生知道，想要解答复杂的高等数学函数的 例题，首先就要认真仔细地阅读题目内容，弄清题意之后，方可规划解题步骤，才能有整道题的解题思路。
所以教师 一定要加强化归思想的数学实例，不断丰富数学函数教学 内容，让学生养成动脑思考的好习惯，培养学生自主学习 数学的意识，投人到数学课堂中，方便教师教学。
解答高中 数学函数类型的习题，一定要结合与函数相关的理论知 识，才能理清解题思路，看到题目关键的本质，合理地进行 解答。
学生应当在学习数学的过程中，将数学题进行合理 分类。
比如根据应用题、数形结合题、证明题、推理演算题 等形式进行划分，这样才能有效地了解题目范围，明确解 题方向，规划解题思路，关于数学函数的题型也就能轻松 地解答。
此外，时代在发展，科技在进步，传统的高中数学课堂 教育方法已经不能满足学生的求知欲和好奇心。
教师必须 充分地从网络上寻找教学资源和数学题材，合理制定教学 计划，构造符合当代科技发展趋势的“多元化”“现代化”“科技化”的高中数学函数讲解课堂，充分发挥网络资源对 数学教育的优势和作用，提高高中数学课堂教学质量和效 率。
学习数学是一个“循序渐进”的过程，而学生作为学习 的主体，要养成自主学习的意识。
不是被动地学习，要积极 从数学问题中发现自己的不足和缺陷，想办法解决。
化归 思想，就是让学生通过不断的理解数学函数知识，加强学 生的数学逻辑思维，让学生在课堂上集中精力思考，认真 感悟数学的真谛，从而全方面发展。
二、引用化归思想的教学模式一提高数学函数的教学效率
化归思想对于数学题目的重视程度是非常高的，阅读 题目对于解答的过程是非常重要的一个环节，如果在没有 弄清题意的情况下解题，很容易造成思路的混淆和步骤的 错乱，就会给解题增加难度，降低学习效率。
因此教师要做 好课程方案，让数学例题变得形象化、生动化、具体化，最 终达到提高课堂效率的目的，将学生的思维变得更广阔，解题思路更清晰，上课思想更集中。
高中数学函数的题型 包含许多三角度数和曲线函数概念，单从三角函数的角度 出发就有正弦、余弦、正切、反正弦、反余弦、反正切等复杂 的构成要素，需要学生记住的特殊角度就有很多个。
而函 数概念需要学生记忆的数学理论知识就更多了，教师要合理运用化归思想，通过让学生自己对比正余弦函数的图像 特点和差异，让学生有深刻的印象，从而在实际的数学问 题中能灵活地运用和解答。
数学是一门严谨的学科，要求学生把课本理论知识充 分运用到实际问题当中，进行思考、分析，从而做出解答，所以教师要引用化归思想的教学模式，全面提高数学函数 教学效率。
让学生把曲线和函数结合在一起学习，合理利 用现代网络的“高效性”“时代性”“资源性”等特点，教师要 合理引人化归思想的教学策略，在课堂中加人现代化的数 学学习资料和教学资源，对数学课堂进行创新和改革，增 加课堂的趣味性，有效提升数学课堂的效率。
在课堂教学 的过程中，教师要从学生的身心发展特点出发，设计严密 的教学方案，关注学生的学习进度，提高学生在课堂上的 参与度，才能发挥“有效课堂”的教学优势，落实高中数学 函数教学过程。
在教学函数的增减性时，教师要合理地运 用函数图像帮助学生理解和记忆，利用化归思想，加深学 生的印象，就能很好地阐述函数的增减性规律。
三、完善化归思想的教学方法一保证数学函数的教学质量
化归思想，能让学生在学习中自主发现问题和建立问 题，能培养学生独立思考、自主学习的好习惯。
教师不但起 到一个很好地引导学生学习方向的作用，还提供给学生一 个独立的学习空间，让学生发现自己在学习数学中存在的 问题，并想办法自行解决，而不是依靠老师的课堂讲解。
这 就很好地锻炼了学生的自立能力，对学习数学有很大的帮 助，教师要掌握正确的高中数学函数课堂的教学方法，让 学生感受到多元化的数学课堂，享受丰富多彩的教学模 式，让学生积极主动地参与到课堂学习中，体会函数学习 的乐趣和精华。
在教学函数时，教师可以多引用一些教学实例。
比如，在函数f(x)=2x2+(x-a)lx-a l中，已知a为实数，若f(0)大于 等于1，求a的取值范围，根据题意，可以由-alal為1推出a 小于等于-1的结论，也可以列出不等式组a<0且a2大于 等于1，再根据不等式组推出a小于等于-1。
由这道例题 可以看出，化归思想就是旨在题目范围下，把与数学函数 有关的理论和内容结合在一起，全方位思考、研究，最终完 美地解答。
总而言之，教师一定要注重化归思想在高中教学课程 中的运用，全面完善课堂授课方法和制定课程目标。
让学 生发现问题、提出问题、探讨问题、解决问题，通过一系列 的数学解答过程，让学生形成严密的思想。
能高效率地解 决数学函数问题，使课堂气氛变得活跃。
让抽象的理论知 识变得更具体和形象，方便学生理解和记忆，最终达到提 高数学课堂教学效率的目的。
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