高中数学函数知识点(详细)

第二章 函数

一．函数

1、函数的概念：

（1）定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中

的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =)(x f ，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则

（3）相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义

域一致 (两点必须同时具备)

2、定义域：

（1）定义域定义：函数)(x f 的自变量x 的取值范围。

（2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。 （3）确定函数定义域的常见方法：

①若)(x f 是整式，则定义域为全体实数

②若)(x f 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数x

y 111+

=

的定义域。

③若)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数

例1． 求函数 ()

2

14

34

3

2

-+--=x x x

y 的定义域。

例2． 求函数()0

2112++-=

x x y 的定义域。

④对数函数的真数必须大于零

⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1

⑥若)(x f 为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如)0(10

≠=x x

⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （4）求抽象函数（复合函数）的定义域

已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2

x f 的定义域 已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1）求)31(x f -的定义域

3、值域 :

（1）值域的定义：与x 相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 （2）确定值域的原则：先求定义域 （3）常见基本初等函数值域：

一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切）

（4）确定函数值域的常见方法：

①直接法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。

例：求函数1y =

的值域。

0≥

11≥，

∴函数1y =

的值域为[1,)+∞。

②配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法。形如2

()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

例：求函数2

42y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 解：2

2

42(2)6y x x x =-++=--+，

∵[1,1]x ∈-，∴2[3,1]x -∈--，∴2

1(2)9x ≤-≤ ∴2

3(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤

∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。

③分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。

例：求函数125

x

y x -=

+的值域。 解：∵177(25)112222525225x x y x x x -++

-===-++++， ∵7

2025

x ≠+，∴1

2y ≠-，

∴函数125x y x -=+的值域为1

{|}2

y y ≠-。

④换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，

形如y ax b =+a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法求解。

例：求函数2y x =+

解：令t =0t ≥），则2

12

t x -=，

∴22151()24

y t t t =-++=--+ ∵当12t =

，即38x =时，max 5

4

y =，无最小值。

∴函数2y x =+5

(,]4

-∞。

⑤判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0∆≥，

从而求得原函数的值域，形如

2111

2

222a x b x c y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。

例：求函数223

1

x x y x x -+=-+的值域。

解：由2231

x x y x x -+=-+变形得2

(1)(1)30y x y x y ---+-=，

当1y =时，此方程无解；

当1y ≠时，∵x R ∈，∴2

(1)4(1)(3)0y y y ∆=----≥， 解得1113y ≤≤

，又1y ≠，∴1113

y <≤ ∴函数2231x x y x x -+=-+的值域为11

{|1}3

y y <≤

值域为{|11}y y -≤<

练习：求函数2222

1

x x y x x -+=++的值域

4、函数的表示方法

（1）解析法、列表法、图象法 （2）求函数解析式的常见方法：

①换元法

例：已知34)13(+=+x x f , 求)(x f 的解析式. 例：若x

x

x f -=

1)1(,求)(x f .

例：已知23,f x =- 求)(x f .