自变量的选择与逐步回归
逐步回归分析
逐步回归分析引言逐步回归分析是一种回归分析的方法，它通过逐步加入和删除自变量，来选择最佳的自变量子集，以建立最佳的回归模型。
在统计学和数据分析中广泛应用，尤其在多变量分析中，逐步回归可以帮助我们确定对目标变量有较强预测能力的自变量。
逐步回归的基本原理在逐步回归中，我们首先选择一个自变量作为基础模型，并对其进行回归分析。
然后，我们逐步地加入剩余的自变量，并根据一定的准则来评估加入自变量后模型的性能。
如果加入自变量后模型的性能显著提升，那么就将该自变量加入模型中。
反之，如果加入自变量后模型的性能没有显著提升，那么就将该自变量排除在外。
这样反复进行，直到所有可能的自变量都被考虑过，得到最佳的回归模型。
逐步回归的基本原理可以用以下步骤总结：1.初始化一个基础模型，选定第一个自变量。
2.对基础模型进行回归分析并评估其性能。
3.遍历剩余的自变量，依次加入到基础模型中，并评估加入自变量后模型的性能。
4.根据一定准则（如F统计量、AIC、BIC等）来判断加入自变量后模型的性能是否显著提升。
5.如果加入自变量后模型的性能显著提升，那么将该自变量加入模型中。
6.反之，如果加入自变量后模型的性能没有显著提升，那么将该自变量排除在外。
7.重复步骤3-6，直到所有可能的自变量都被考虑过，得到最佳的回归模型。
逐步回归的优缺点逐步回归作为一种特定的变量选择方法，具有以下优点：•可以帮助我们快速确定对目标变量有较强预测能力的自变量，避免了将所有自变量都加入模型中的复杂性和冗余性。
•可以降低模型的复杂度，减少过拟合的可能性。
•可以提高模型的解释能力，筛选出与目标变量相关性高的自变量。
然而，逐步回归也存在一些缺点：•过于依赖于原始数据的初始情况，可能导致不同初始情况下得到不同的最终模型。
•不能保证得到全局最优解，只能得到局部最优解。
•在特征空间较大的情况下，计算复杂度较高。
逐步回归的应用场景逐步回归适用于以下情况：1.当自变量较多时，希望从中选出对目标变量有较强预测能力的子集。
变量选择与逐步回归
变量选择与逐步回归
1在建立回归模型时，对自变量进行筛选
2选择自变量的原则是对统计量进行显著性检验
（1）将一个或一个以上的自变量引入到回归模型中时，是否使得残差平方和(SSE)有显著地减少。
如果增加一个自变量使SSE的减少是显著的，则说明有必要将这个自变量引入回归模型，否则，就没有必要将这个自变量引入回归模型
确定引入自变量是否使SSE有显著减少的方法，就是使用F统计量的值作为一个标准，以此来确定是在模型中增加一个自变量，还是从模型中剔除一个自变量
3逐步回归：将向前选择和向后剔除两种方法结合起来筛选自变量。
在增加了一个自变量后，它会对模型中所有的变量进行考察，看看有没有可能剔除某个自变量；如果在增加了一个自变量后，前面增加的某个自变量对模型的贡献变得不显著，这个变量就会被剔除；按照方法不停地增加变量并考虑剔除以前增加的变量的可能性，直至增加变量已经不能导致SSE显著减少；在前面步骤中增加的自变量在后面的步骤中有可能被剔除，而在前面步骤中剔除的自变量在后面的步骤中也可能重新进入到模型中。
根据利用spss、筛选出水资源短缺风险敏感因子，见表，从表1中可以看出水资源总量、工业用水、农业用水量、生活用水是资源短缺风险敏感因子。
表1 敏感因子筛选。
报告中的变量选择和回归分析方法
报告中的变量选择和回归分析方法引言：报告中的变量选择和回归分析方法是数据分析和统计学中的重要内容。
在研究报告和学术论文中，合理选择变量和进行回归分析可以有效地揭示变量之间的关系，提高分析的准确性和可靠性。
本文将从六个方面对报告中的变量选择和回归分析方法进行详细论述。
一、变量选择的意义变量选择是指在进行回归分析时，从众多可能的自变量中选择出最为重要和相关的变量。
合理的变量选择可以减少冗余变量的存在，避免数据过拟合问题，并提高模型的预测能力和可解释性。
变量选择的意义在于提高研究的效率和有效性。
二、变量选择的方法1. 相关系数法：通过计算自变量与因变量之间的相关系数，选择与因变量关系最为密切的自变量。
相关系数法既简单又直观，但在多变量分析中无法考虑到变量之间的相互作用。
2. 正向选择法：从众多可能的自变量中，逐步添加具有显著影响力的变量，并根据模型的显著性检验去除不显著的变量。
正向选择法可以一步步剔除不相关的变量，但可能会错过一些有用的变量。
3. 逆向选择法：从包含所有自变量的模型开始，逐步去除不显著的变量，直到剩下的自变量都显著。
逆向选择法可以保留所有可能有用的变量，但可能出现模型过于复杂的问题。
三、回归分析的基本原理回归分析是通过建立数学模型，分析自变量对因变量的影响程度和方向。
常见的回归分析方法包括线性回归、多元回归、逻辑回归等。
回归分析需要满足一些基本的假设和前提，如线性关系、多元正态分布等。
四、回归分析的评价指标回归分析的结果需要进行评价，以判断模型的拟合程度和可靠性。
常用的评价指标包括判定系数（R平方）、均方根误差（RMSE）、残差等。
这些指标可以帮助研究者判断模型的准确性，并进行模型的改进和优化。
五、回归分析的解读和应用回归分析的结果需要进行解读，以揭示自变量与因变量之间的关系。
解读回归系数可以确定变量之间的正负相关关系，判断自变量对因变量的影响程度。
回归分析的应用广泛，可以用于预测、控制和优化等多个领域。
回归变量的选择与逐步回归
回归变量的选择与逐步回归1 变量选择问题在实际问题中，影响因变量的因素（自变量）很多，人们希望从中挑选出影响显著的自变量来建立回归关系式，这就涉及自变量选择的问题。
在回归方程中若漏掉对因变量影响显著的自变量，那么建立的回归式用于预测时将会产生较大的偏差。
但回归式若包含的变量太多，且其中有些对因变量影响不大，显然这样的回归式不仅使用不方便，而且反而会影响预测的精度。
因而选择合适的变量用于建立一个“最优”的回归方程是十分重要的问题。
选择“最优”子集的变量筛选法包括逐步回归法(Stepwise)、向前引入法(Forward)和向后剔除法。
向前引入法是从回归方程仅包括常数项开始，把自变量逐个引入回归方程。
具体地说，首先，从零模型开始——只含有截距，但不含有预测变量的模型。
然后，在m个自变量中选择一个与因变量线性关系最密切的变量，记为x i，在剩余的m-1个自变量中选择一个变量x i，使得{x i,x i}联合起来二元回归效果最好，在剩下的m-2个自变量中选择一个变量x i，使得{x i,x i,x i}联合起来回归效果最好，如此下去，直至得到“最优”回归方程为止。
向前引入法中的终止条件为：给定显著性水平α，当对某一个将被引入变量的回归系数做显著性检查时，若p-value≥α，则引入变量的过程结束，所得方程为“最优”回归方程。
向前引入法有一个明显的缺点，它是一种贪婪的方法。
就是由于各自变量可能存在着相互关系，因此后续变量的选入可能会使前面已选入的自变量变得不重要。
这样最后得到的“最优”回归方程可能包含一些对因变量影响不大的自变量。
向后剔除法与向前引入法正好相反，首先将全部m个自变量引入回归方程，然后逐个剔除对因变量作用不显著的自变量。
具体地说，首先从回归式m个自变量中选择一个对因变量贡献最小的自变量，如x j，将它从回归方程中剔除；然后重新计算因变量与剩下的m-1个自变量的回归方程，再剔除一个贡献最小的自变量，如x j，依次下去，直到得到“最优”回归方程为止。
第5章逐步回归与自变量选择。
由上式知：尽管1－R2随着变量的增加而减少 ， 但由于其前面的系数 n -1 起到制衡作用，
n -p -1 才使R 2随着自变量的增加并不 一定增大。 当所增加的自变量对回 归的贡献很小时， R 2反而可能减少。
浙江财经学院 倪伟才
11
准则2：回归的标准误
回归误差项方差? 2的无偏估计为：??2＝ 1 SSR n-p-1
引入自变量显著性水平记为： ? 进
剔除自变量显著性水平记为：? 出
要使用逐步回归法的前提： ? 进<? 出
Spss中默认的? 进 =0.05
? 出=0.1
例：用逐步回归法建立例3.1回归方程
练习课本例5.5关于香港股市的研究
练习课本152页的习题浙5江.9财经学院 倪伟才
Stata ,SPSS结果一致(课本例5.1)
④直到未被引入方程的p值>0.05为止。
例：用前进法建立例3.1的 回归方程
浙江财经学院 倪伟才
二、后退法
后退法（ backwad ）的基本 思想：首先用全部的 p个自变量建立一个回归方程，然后将最不重 要的自变量 一个一个地删除 。
具体步骤：①作 y对全部的p个自变x1,x2,….,xp 的回归②在回归方程中，将 x1,x2,….,xp 对y的 影响最小（最不重要或 p值最大）的自变量剔 除，不妨令 x1；③在② 中的回归方程（已没有 x1 ），将x2,….,xp 对y的影响最小（最不重要 或p值最大）的自变量剔除，④直到回归方程 中，自变量对 y的影响都重要为止。 例：用后退法建立例 3.1回归方程
的增加，SSR能够快速减少，虽然作为除数的
惩罚因子n-p-1也随之减少，但由于SSR减小的速度
《应用回归分析》自变量选择与逐步回归实验报告
《应用回归分析》自变量选择与逐步回归实验报告二、实验步骤：（只需关键步骤）步骤一：对六个回归自变量x1,x2……x6分别同因变量Y建立一元回归模型步骤二：分别计算这六个一元回归的六个回归系数的F检验值。
步骤三：将因变量y 分别与(x1, x2)，(x1, x3), …, (x1, x m)建立m-1个二元线性回归方程, 对这m-1个回归方程中x2, x3, …, x m的回归系数进行F 检验，计算 F 值步骤四：重复步骤二。
三、实验结果分析：（提供关键结果截图和分析）1.建立全模型回归方程；由上图结果可知该问题的全模型方程为：Y=1347.986-0.641x1-0.317x2-0.413x3-0.002x4+0.671x5-0.008x62.用前进法选择自变量；从右图上可以看出：依次引入了变量x5、x1、x2最优回归模型为：Y^=874.583-0.611x1-0.353x2+0.637x5最优模型的复决定系数 :R^2=0.996调整后的复决定系数:R^2=0.9953.用后退法选择自变量；从上图上可以看出：依次剔除变量x4、x3、x6最优回归模型为:y^=874.583-0.611x1-0.353x2+0.637x5最优模型的复决定系数 R^2=0.996调整后的复决定系数R^2=0.995最优模型的复决定系数R^2=0.996调整后的复决定系数R^2=0.9954.用逐步回归法选择自变量；从上图上可以看出：依次引入了变量x5、x1、x2最优回归模型为:y^=874.583-0.611x1-0.353x2+0.637x5最优模型的复决定系数 R^2=0.996调整后的复决定系数R^2=0.9955.根据以上结果分三种方法的差异。
前进法和后退法以及逐步回归法的计算结果完全一致，但是在其计算上又有很大的差异，前进法就是当自变量一旦被选入，就永远保留在模型中。
后退法就是反向法，而逐步回归就比后退法更明确，逐步后退回归的方法。
自变量选择与逐回归
自变量选择与逐回归————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：自变量选择与逐步回归一、全模型和选模型设研究某一实际问题，涉及对因变量有影响的因素共有m 个，由因变量y 和m 个自变量构成的回归模型εββββ+++++=m m x x x y Λ22110称为全模型。
如果从可供选择的m 个变量中选出p 个，由选出的p 个自变量组成的回归模型p pp pp p p p x x x y εββββ+++++=Λ22110称为选模型。
二、自变量选择对预测的影响自变量选择对预测的影响可以分为两种情况考虑，第一种情况是全模型正确而误用了选模型；第二种情况是选模型正确而无用了全模型。
以下是这两种情况对回归的影响。
1、全模型正确而误用选模型的情况性质1，在j x 与m p x x ,,1Λ+的相关系数不全为0时，选模型回归系数的最小二乘估计是全模型相应参数的有偏估计，即jjp jp E βββ≠=)ˆ(（p j ,,2,1Λ=） 性质2，选模型的预测是有偏的。
性质3，选模型的参数估计有较小的方差。
性质4，选模型的预测残差有较小的方差。
性质5，选模型的均方误差比全模型预测的方差更小。
性质1和性质2表明，当全模型正确时，而舍去了m-p 个自变量，用剩下的p 个自变量去建立选模型，参数估计值是全模型相应参数的有偏估计，用其做预测，预测值也是有偏的。
这是误用选模型产生的弊端。
性质3和性质4表明，用选模型去作预测，残差的方差比用全模型去作预测的方差小，尽管用选模型所作的预测是有偏的，但得到的预测残差的方差下降了，这说明尽管全模型正确，误用选模型是有弊也有利的。
性质5说明，即使全模型正确，但如果其中有一些自变量对因变量影响很小或回归系数方差过大，丢掉这些变量之后，用选模型去预测，可以提高预测的精度。
由此可见，如果模型中包含了一些不必要的自变量，模型的预测精度就会下降。
应用回归分析,第5章课后习题参考答案
第5章自变量选择与逐步回归思考与练习参考答案自变量选择对回归参数的估计有何影响答：回归自变量的选择是建立回归模型得一个极为重要的问题。
如果模型中丢掉了重要的自变量, 出现模型的设定偏误，这样模型容易出现异方差或自相关性，影响回归的效果；如果模型中增加了不必要的自变量, 或者数据质量很差的自变量, 不仅使得建模计算量增大, 自变量之间信息有重叠，而且得到的模型稳定性较差，影响回归模型的应用。
自变量选择对回归预测有何影响答：当全模型（m元）正确采用选模型（p元）时，我们舍弃了m-p个自变量，回归系数的最小二乘估计是全模型相应参数的有偏估计，使得用选模型的预测是有偏的，但由于选模型的参数估计、预测残差和预测均方误差具有较小的方差，所以全模型正确而误用选模型有利有弊。
当选模型（p元）正确采用全模型（m 元）时，全模型回归系数的最小二乘估计是相应参数的有偏估计，使得用模型的预测是有偏的，并且全模型的参数估计、预测残差和预测均方误差的方差都比选模型的大，所以回归自变量的选择应少而精。
如果所建模型主要用于预测，应该用哪个准则来衡量回归方程的优劣C统计量达到最小的准则来衡量回答：如果所建模型主要用于预测，则应使用p归方程的优劣。
试述前进法的思想方法。
答：前进法的基本思想方法是：首先因变量Y对全部的自变量x1,x2,...,xm建立m 个一元线性回归方程, 并计算F检验值，选择偏回归平方和显着的变量（F值最大且大于临界值）进入回归方程。
每一步只引入一个变量，同时建立m－1个二元线性回归方程，计算它们的F检验值，选择偏回归平方和显着的两变量变量（F 值最大且大于临界值）进入回归方程。
在确定引入的两个自变量以后，再引入一个变量，建立m－2个三元线性回归方程，计算它们的F检验值，选择偏回归平方和显着的三个变量（F值最大）进入回归方程。
不断重复这一过程，直到无法再引入新的自变量时，即所有未被引入的自变量的F检验值均小于F检验临界值Fα(1,n-p-1)，回归过程结束。
(整理)自变量选择与逐步回归
自变量选择与逐步回归一、全模型和选模型设研究某一实际问题，涉及对因变量有影响的因素共有m 个，由因变量y 和m 个自变量构成的回归模型εββββ+++++=m m x x x y 22110称为全模型。
如果从可供选择的m 个变量中选出p 个，由选出的p 个自变量组成的回归模型p pp pp p p p x x x y εββββ+++++= 22110称为选模型。
二、自变量选择对预测的影响自变量选择对预测的影响可以分为两种情况考虑，第一种情况是全模型正确而误用了选模型；第二种情况是选模型正确而无用了全模型。
以下是这两种情况对回归的影响。
1、全模型正确而误用选模型的情况性质1，在j x 与m p x x ,,1 +的相关系数不全为0时，选模型回归系数的最小二乘估计是全模型相应参数的有偏估计，即jjp jp E βββ≠=)ˆ(（p j ,,2,1 =） 性质2，选模型的预测是有偏的。
性质3，选模型的参数估计有较小的方差。
性质4，选模型的预测残差有较小的方差。
性质5，选模型的均方误差比全模型预测的方差更小。
性质1和性质2表明，当全模型正确时，而舍去了m-p 个自变量，用剩下的p 个自变量去建立选模型，参数估计值是全模型相应参数的有偏估计，用其做预测，预测值也是有偏的。
这是误用选模型产生的弊端。
性质3和性质4表明，用选模型去作预测，残差的方差比用全模型去作预测的方差小，尽管用选模型所作的预测是有偏的，但得到的预测残差的方差下降了，这说明尽管全模型正确，误用选模型是有弊也有利的。
性质5说明，即使全模型正确，但如果其中有一些自变量对因变量影响很小或回归系数方差过大，丢掉这些变量之后，用选模型去预测，可以提高预测的精度。
由此可见，如果模型中包含了一些不必要的自变量，模型的预测精度就会下降。
2、选模型正确而误用全模型的情况全模型的预测值是有偏估计；选模型的预测方差小于全模型的预测方差；全模型的预测误差将更大。
数据分析中的变量选择方法介绍
数据分析中的变量选择方法介绍数据分析是当今社会中一项重要的技术和工具。
在处理大量数据时，选择合适的变量是至关重要的。
本文将介绍几种常用的数据分析中的变量选择方法。
一、方差分析（ANOVA）方差分析是一种常用的统计方法，用于比较两个或多个组之间的差异。
在数据分析中，方差分析可以用于筛选出对目标变量影响显著的自变量。
通过计算组间和组内的方差，可以确定是否存在显著差异。
如果方差分析结果显示组间差异显著，则可以将该自变量作为重要的变量。
二、相关性分析相关性分析是一种用于衡量两个变量之间关系强度的方法。
通过计算相关系数，可以确定变量之间的线性关系。
在数据分析中，相关性分析可以帮助筛选出与目标变量高度相关的自变量。
如果相关系数接近于1或-1，则说明两个变量之间存在强相关性，可以将该自变量作为重要的变量。
三、逐步回归分析逐步回归分析是一种逐步选择变量的方法，用于建立预测模型。
在数据分析中，逐步回归分析可以帮助筛选出对目标变量具有显著影响的自变量。
该方法通过逐步添加或删除自变量，并根据统计指标（如F值、t值）来判断变量的重要性。
通过逐步回归分析，可以得到一个包含最重要的自变量的预测模型。
四、主成分分析主成分分析是一种降维技术，用于将多个相关变量转化为少数几个无关的主成分。
在数据分析中，主成分分析可以帮助筛选出对目标变量具有最大解释能力的主成分。
通过主成分分析，可以减少自变量的数量，提高模型的简洁性和解释性。
五、决策树算法决策树算法是一种基于树形结构的分类和回归方法。
在数据分析中，决策树算法可以帮助筛选出对目标变量具有重要影响的自变量。
通过构建决策树模型，可以根据自变量的重要性进行变量选择。
决策树算法具有可解释性强、易于理解和实现的优点。
综上所述，数据分析中的变量选择是一个关键的环节。
方差分析、相关性分析、逐步回归分析、主成分分析和决策树算法是常用的变量选择方法。
根据具体情况选择合适的方法，可以帮助提高数据分析的准确性和效果。
现代统计分析方法与应用第7章：自变量选择与逐步回归
前面曾提到模型：
y 0 p 1 p x1 2 p x2 pp x p p
对于该模型现将它的残差平方和记为SSEp，当再增加一个新的自变量xp+1 时，相应的残差平方和记为SSEp+1。根据最小二乘估计的原理，增加自变量 时残差平方和将减少，减少自变量时残差平方和将增加。因此有：
是y0的有偏估计。 从预测方差的角度看，根据性质4，选模型的预测方差小于全模型的预 测方差，即：
ˆ ˆ Dy0 p D y0m
2
从均方预测误差的角度看，全模型的均方预测误差为：
ˆ ˆ ˆ E y0m y0 D y0m E y0m E y0
SSEp1 SSEp
又记它们的复判定系数分别为：
R p1 1
2
SSEp 1
R2 1 p
SST SSEp
SST
由于SST是因变量的离差平方和，因而：
R 21 R 2 p p
即当自变量子集在扩大时，残差平方和随之减少，而复判定系数随之增 大 。 如果按残差平方和越小越好的原则来选择自变量子集，或者为提高复相 关系数，不论什么变量只要多取就行，则毫无疑问选的变量越多越好。这 样由于变量的多重共线性，给变量的回归系数估计值带来不稳定性，加上 变量的测量误差积累，参数数目的增加，将使估计值的误差增大。如此构 造的回归模型稳定性差，使得为增大复相关系数R而付出了模型参数估计稳 定性差的代价。
应用回归分析-第5章课后习题参考答案
第5章自变量选择与逐步回归思考与练习参考答案5.1 自变量选择对回归参数的估计有何影响？答：回归自变量的选择是建立回归模型得一个极为重要的问题。
如果模型中丢掉了重要的自变量, 出现模型的设定偏误，这样模型容易出现异方差或自相关性，影响回归的效果；如果模型中增加了不必要的自变量, 或者数据质量很差的自变量, 不仅使得建模计算量增大, 自变量之间信息有重叠，而且得到的模型稳定性较差，影响回归模型的应用。
5.2自变量选择对回归预测有何影响？答：当全模型〔m元〕正确采用选模型〔p元〕时，我们舍弃了m-p个自变量，回归系数的最小二乘估计是全模型相应参数的有偏估计，使得用选模型的预测是有偏的，但由于选模型的参数估计、预测残差和预测均方误差具有较小的方差，所以全模型正确而误用选模型有利有弊。
当选模型〔p元〕正确采用全模型〔m 元〕时，全模型回归系数的最小二乘估计是相应参数的有偏估计，使得用模型的预测是有偏的，并且全模型的参数估计、预测残差和预测均方误差的方差都比选模型的大，所以回归自变量的选择应少而精。
5.3 如果所建模型主要用于预测，应该用哪个准则来衡量回归方程的优劣？C统计量达到最小的准则来衡量回答：如果所建模型主要用于预测，则应使用p归方程的优劣。
5.4 试述前进法的思想方法。
答：前进法的基本思想方法是：首先因变量Y对全部的自变量x1,x2,...,xm建立m个一元线性回归方程, 并计算F检验值，选择偏回归平方和显著的变量〔F值最大且大于临界值〕进入回归方程。
每一步只引入一个变量，同时建立m－1个二元线性回归方程，计算它们的F检验值，选择偏回归平方和显著的两变量变量〔F值最大且大于临界值〕进入回归方程。
在确定引入的两个自变量以后，再引入一个变量，建立m－2个三元线性回归方程，计算它们的F检验值，选择偏回归平方和显著的三个变量〔F值最大〕进入回归方程。
不断重复这一过程，直到无法再引入新的自变量时，即所有未被引入的自变量的F检验值均小于F检验临界值Fα(1,n-p-1)，回归过程结束。
逐步多元回归分析步骤
逐步多元回归分析步骤逐步多元回归分析是一种常用的统计分析方法，用于确定多个自变量与因变量之间的关系。
它通过逐步引入自变量，以逐步提高回归模型的准确性和预测能力。
本文将介绍逐步多元回归分析的步骤，包括问题定义、变量选择、模型拟合和模型评估等。
步骤一：问题定义在进行逐步多元回归分析之前，首先需要明确研究的目的和问题。
这包括确定因变量和自变量，并明确要解决的研究问题。
例如，我们可以研究一些产品的销量与价格、广告投入和市场规模之间的关系，以确定哪些因素对销量影响最大。
步骤二：变量选择变量选择是逐步多元回归分析中最关键的一步。
在这一步中，我们需要选择适当的自变量，并逐步引入到回归模型中。
通常，可以使用相关系数矩阵和散点图等方法来评估自变量与因变量之间的关系。
选择自变量时，应尽量选择与因变量显著相关的变量，并避免选择高度相关的自变量（即多重共线性）。
步骤三：模型拟合在确定自变量后，我们需要建立逐步多元回归模型。
一种常用的方法是逐步回归法，它分为前向选择和后向剔除两种方法。
前向选择从空模型开始，依次引入自变量，每次只引入一个自变量，并根据F检验或t检验判断是否显著，直到所有自变量都引入到模型中。
反之，后向剔除从包含所有自变量的模型开始，逐步剔除不显著的自变量，直到所有的自变量都被剔除。
步骤四：模型评估在模型拟合之后，需要对模型进行评估，以确定模型的拟合程度和预测能力。
通常，可以使用拟合优度指标（如R方和调整的R方）来评估模型的拟合程度。
此外，还可以使用共线性统计量来检测模型中是否存在多重共线性问题。
如果模型存在多重共线性，应采取相应的措施，如去除高度相关的自变量或使用主成分分析等。
步骤五：模型解释和应用最后，在模型评估之后，我们可以对模型进行解释，并根据模型的结果进行相应的应用。
在解释模型时，应关注各个自变量的回归系数和显著性水平，以确定自变量对因变量的影响。
在应用模型时，可以使用模型进行预测、推断和决策等。
自变量选择和逐步回归分析
y
（X，u)bu
，
逐步回归的数学模型
在新模型 y
（X，u)
bu
中，
bˆu (uRu)1uRy, R I X ( X X )1 X
ˆ(u) ˆ ( X X )1 X ubˆu
残差平方和 Q(u) Q bˆu2 (uRu)
检验新变量的显著性
修正的复决定系数
Rs2
1
(1
Rs2 )
n
n
， s
s :回归方程中参数的个数 。
n : 样本容量，n s。
Rs2 : 复决定系数。 Rs2：修正的复决定系数。
修正的复决定系数最大
设回归方程中原有 r个自变量，后来又增加 了s个自变量，检验这 s个增加的自变量是否 有意义的统计量为
F
Rr2s Rr2 1 Rr2s
全模型与选模型
全模型 因变量y与所有的自变量x1,, xm的回归模型, 称为全模型
y 0 1x1 mxm
选模型 从所有m个变量中所选的p个自变量组成的回归模型 称为选模型.?
y 0 p 1p x1 2 p x2 pp xp p
准则2：C p 统计量达到最小
用选模型
y 0 p 1p x1 2 p x2 pp xp p
数据标准化
Z ij
xij x j
j
, yi
yi y ,
y
i 1,2,, n, j 1,2,, p
x j
1 n
nyi ,
n
n
j
(xij x j )2 , y
( yi y)2
i 1
i 1
标准化数据的模型及回归步骤
数据标准化后模型（1）变为
构建最优回归方程的自变量筛选方法
构建最优回归方程的自变量筛选方法一、前言在实际问题中，我们通常需要通过回归分析来研究自变量与因变量之间的关系。
然而，当自变量较多时，为了避免过度拟合的问题，我们需要进行自变量筛选，选择最优的自变量组合来构建回归方程。
本文将介绍一种常用的自变量筛选方法——逐步回归法。
二、什么是逐步回归法逐步回归法是一种基于统计学原理的自变量筛选方法。
它通过不断加入或删除自变量，并比较模型拟合效果来选择最优的自变量组合。
具体地说，逐步回归法分为前向逐步回归和后向逐步回归两种方法。
三、前向逐步回归法1. 前向逐步回归法流程（1）设当前已选入的自变量集合为空集。
（2）对于每一个未被选入模型的自变量 $x_i$ ，将其加入当前已选入的自变量集合中，并计算加入 $x_i$ 后模型对数据拟合程度是否有所提高。
（3）如果加入 $x_i$ 后模型拟合效果有所提高，则将 $x_i$ 加入当前已选入的自变量集合中；否则不加入。
（4）重复步骤（2）和（3），直到不能再加入任何自变量为止。
2. 前向逐步回归法的优缺点前向逐步回归法的优点是：（1）可以有效地筛选自变量，得到最优的自变量组合；（2）运算速度较快，计算成本较低。
其缺点是：（1）由于每次只加入一个自变量，可能会漏选一些重要的自变量；（2）无法处理高维数据集。
四、后向逐步回归法1. 后向逐步回归法流程（1）设当前已选入的自变量集合为全部自变量集合。
（2）对于当前已选入的每个自变量 $x_i$ ，将其从当前已选入的自变量集合中删除，并计算删除 $x_i$ 后模型对数据拟合程度是否有所提高。
（3）如果删除 $x_i$ 后模型拟合效果有所提高，则将 $x_i$ 从当前已选入的自变量集合中删除；否则不删除。
（4）重复步骤（2）和（3），直到不能再删除任何自变量为止。
2. 后向逐步回归法的优缺点后向逐步回归法的优点是：（1）可以有效地筛选自变量，得到最优的自变量组合；（2）可以处理高维数据集。
简述自变量选择的几个常用准则
简述自变量选择的几个常用准则
自变量选择是统计建模中非常重要的一步，常用的准则包括以下几个：
1. 前向选择法（Forward Selection），从一个空模型开始，逐步加入自变量，每次加入一个自变量后，检验其对模型的贡献，选择对模型贡献最大的自变量加入模型。
2. 后向消元法（Backward Elimination），从包含所有自变量的模型开始，逐步剔除对模型贡献最小的自变量，直到剩下的自变量都对模型有显著影响。
3. 逐步回归法（Stepwise Regression），结合了前向选择法和后向消元法，既可以加入自变量，也可以剔除自变量，直到找到最佳的模型。
4. 最优子集选择法（Best Subset Selection），考虑所有可能的自变量组合，通过某种评价准则（如AIC、BIC等）选择最佳的自变量子集。
5. 正则化方法（Regularization），如岭回归（Ridge Regression）和Lasso回归（Lasso Regression）等，通过对系数施加惩罚来选择自变量，防止过拟合。
以上几种准则各有优缺点，选择合适的自变量选择方法需要根据具体问题和数据情况来决定。
同时，还需要考虑模型的解释性、预测准确性等因素，综合考虑选择最合适的自变量。
最优回归方程的选择方法
最优回归方程的选择方法在选择最优回归方程时，通常可采用以下方法：1. 目标变量的选择：在建立回归模型时，首先需要明确目标变量，即所要预测的因变量。
目标变量的选择应基于研究目的和数据的可用性。
同时，应确保目标变量与自变量之间存在一定的相关性，以确保回归模型的有效性。
2. 自变量的选择：自变量的选择是回归模型建立的关键。
在选择自变量时，应考虑自变量与目标变量之间的相关性、自变量之间的相关性以及自变量的可解释性。
通常可以通过相关性分析、逐步回归等方法来筛选自变量。
3. 数据预处理：在建立回归模型之前，需要对数据进行预处理，以确保数据的准确性和可靠性。
预处理包括数据清洗、缺失值处理、异常值处理等步骤。
通过预处理可以排除数据中的噪声和干扰，提高回归模型的准确性。
4. 回归方程的形式选择：回归方程的形式选择包括线性回归、多项式回归、对数回归等。
选择回归方程的形式应基于数据的分布特点和目标变量与自变量之间的关系。
通常可以通过观察数据的散点图、偏差图等来选择最合适的回归方程形式。
5. 模型评估和选择：在建立回归模型后，需要对模型进行评估和选择，以确定模型的准确性和可靠性。
常用的评估指标包括均方根误差（RMSE）、决定系数（R-square）等。
通过评估指标可以比较不同模型的拟合效果，选择最优回归方程。
6. 模型验证和优化：在选择最优回归方程后，还需要对模型进行验证和优化，以进一步提高模型的准确性和预测能力。
模型验证可以通过交叉验证、留一法等方法进行。
模型优化可以通过调整自变量、增加交互项等方法来实现。
选择最优回归方程是建立准确的预测模型和进行有效的数据分析的重要步骤。
通过明确目标变量、选择合适的自变量、进行数据预处理、选择合适的回归方程形式、评估和选择模型，以及进行模型验证和优化，可以选择出最能拟合数据的回归方程，提高预测准确性和数据分析效果。
在实际应用中，根据具体情况灵活运用上述方法，可得到准确可靠的最优回归方程。
逐步回归检测法的步骤
逐步回归检测法的步骤
逐步回归检测法是一种用于从多个可能的预测因子中选择最佳模型的统计方法。
它的步骤如下：
1. 确定自变量空间：首先，确定可能的自变量集合。
这可以通过理论基础、先前的研究或经验来确定。
2. 随机选择一个自变量进行简单线性回归：从自变量空间中随机选择一个自变量，并使用该自变量与因变量之间的关系进行简单线性回归分析。
3. 对简单线性回归结果进行统计检验：使用统计方法检验该自变量与因变量之间的相关性。
如果相关性显著，则将该自变量保留为模型的一部分；否则排除该自变量。
4. 重新选择另一个自变量，并添加到模型中：从剩余的自变量空间中选择一个自变量，并将其添加到包含先前选择的自变量的模型中。
5. 对添加的自变量进行统计检验：对新添加的自变量与因变量之间的相关性进行统计检验。
如果相关性显著，则将该自变量保留为模型的一部分；否则排除该自变量。
6. 重复步骤4和5：反复进行步骤4和5，直到没有剩余的自变量可以添加到模型中或者添加的自变量的相关性不再显著。
7. 确定最佳模型：在保留的自变量中选择一个最佳的模型，并
通过适当的统计指标（如AIC、BIC等）进行模型选择。
8. 检验和评估最佳模型：对最佳模型进行检验和评估，包括对残差的分析、检验模型的假设和评估模型的准确性。
9. 最终的模型：确定逐步回归检测法得到的最终模型，并解释模型的结果。
需要注意的是，逐步回归检测法是一种自动化的模型选择方法，但需要谨慎使用，以避免过拟合和其他问题。
在使用该方法时，还需要考虑数据的特点和研究目的。
自变量选择与逐步回归
自变量选择与逐步回归一、全模型和选模型设研究某一实际问题，涉及对因变量有影响的因素共有m 个，由因变量y 和m 个自变量构成的回归模型εββββ+++++=m m x x x y 22110称为全模型。
如果从可供选择的m 个变量中选出p 个，由选出的p 个自变量组成的回归模型p pp pp p p p x x x y εββββ+++++= 22110称为选模型。
二、自变量选择对预测的影响自变量选择对预测的影响可以分为两种情况考虑，第一种情况是全模型正确而误用了选模型；第二种情况是选模型正确而无用了全模型。
以下是这两种情况对回归的影响。
1、全模型正确而误用选模型的情况性质1，在j x 与m p x x ,,1 +的相关系数不全为0时，选模型回归系数的最小二乘估计是全模型相应参数的有偏估计，即jjp jp E βββ≠=)ˆ(（p j ,,2,1 =） 性质2，选模型的预测是有偏的。
性质3，选模型的参数估计有较小的方差。
性质4，选模型的预测残差有较小的方差。
性质5，选模型的均方误差比全模型预测的方差更小。
性质1和性质2表明，当全模型正确时，而舍去了m-p 个自变量，用剩下的p 个自变量去建立选模型，参数估计值是全模型相应参数的有偏估计，用其做预测，预测值也是有偏的。
这是误用选模型产生的弊端。
性质3和性质4表明，用选模型去作预测，残差的方差比用全模型去作预测的方差小，尽管用选模型所作的预测是有偏的，但得到的预测残差的方差下降了，这说明尽管全模型正确，误用选模型是有弊也有利的。
性质5说明，即使全模型正确，但如果其中有一些自变量对因变量影响很小或回归系数方差过大，丢掉这些变量之后，用选模型去预测，可以提高预测的精度。
由此可见，如果模型中包含了一些不必要的自变量，模型的预测精度就会下降。
2、选模型正确而误用全模型的情况全模型的预测值是有偏估计；选模型的预测方差小于全模型的预测方差；全模型的预测误差将更大。
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yˆ 0p ˆ 0p ˆ 1p x 01 ˆ 2p x 02 ˆ ppx 0p
§5.2 所有子集回归
一、所有子集的数目
有m个可供选择的变量x1,x2,…，xm,由于每个自变量 都有入选和不入选两种情况，这样y关于这些自变量的 所有可能的回归方程就有2m-1个。
yˆ 0m ˆ 0 ˆ 1x 01 ˆ 2x 02 ˆ m x 0m 是 y0 的有偏估计。
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
（二）选模型正确而误用全模型的情况
从预测方差的角度看，根据性质 4，选模型的预测方差 D（ yˆ 0p ）小于全模型的预测方差 D（ yˆ 0m ） 从均方预测误差的角度看，全模型的均方预测误差 E（ yˆ 0m y0 ）2=D（ yˆ 0m ）+[E（ yˆ 0m ）-E（y0）]2 包含预测方差与预测偏差的平方两部分 而选模型的均方预测误差 E（ yˆ 0p -y0）2=D（yˆ 0p ） 仅包含预测方差这一项，并且 D（ yˆ 0p ）≤D（yˆ 0m ） 因而从均方预测误差的角度看，全模型的预测误差将更大。
和σ 2的估计记为：
βˆ m (Xm Xm )-1Xmy
ˆ
2 m1
SSEm
把模型（5.2）式的参数估计向量记为
βˆ p (Xp X p )-1 Xpy
ˆ
2 p
n
1 p
1 SSEp
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
二、自变量选择对预测的影响
关于自变量选择对预测的影响可以分成两种情况： 第一种情况是全模型正确而误用了选模型； 第二种情况是选模型正确而误用了全模型式。
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
（一）全模型正确而误用选模型的情况
性质 1. 在 xj与 xp+1, …,xm的相关系数不全为 0 时，选模型回归系数的 最小二乘估计是全模型相应参数的有偏估计,即
E(ˆ jp ) jp j （j=1,2， …,p）。
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
本章从回归选元对回归参数估计和预测的影响开始， 介绍自变量选择常用的几个准则；扼要介绍所有子集回 归选元的几个方法；详细讨论逐步回归方法及其应用。
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
一、全模型和选模型
设研究某一实际问题涉及到对因变量有影响的因素共 有m
y=β 0+β 1x1+β 2x2+…+β mxm+ε
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
（一）全模型正确而误用选模型的情况
性质 5. 记βmp (p1,,m ) 用全模型对βmp 的最小二乘估计为βˆ mp (ˆ p1,,ˆ m )
则在 D(βˆ mp ) βmpβmp 的条件下 E（e0p）2= D(e0p)+(E（e0p）)2≤D(e0m) 即选模型预测的均方误差比全模型预测的方差更小。
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
（二）选模型正确而误用全模型的情况 如果选模型正确，从无偏性的角度看，
选模型的预测值 yˆ 0p ˆ 0p ˆ 1p x 01 ˆ 2p x 02 ˆ ppx 0p 是因变量新值 y0=β 0+β 1x01+β 2x02+…+β px0p+ε 0 的无偏估计，此时全模型的预测值
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
（二）选模型正确而误用全模型的情况
上述结论告诉我们，一个好的回归模型，并不是考虑的 自变量越多越好。在建立回归模型时，选择自变量的基本 指导思想是“少而精”。哪怕我们丢掉了一些对因变量y还 有些影响的自变量，由选模型估计的保留变量的回归系数 的方差，要比由全模型所估计的相应变量的回归系数的方 差小。而且，对于所预测的因变量的方差来说也是如此。 丢掉了一些对因变量y有影响的自变量后，所付出的代价是 估计量产生了有偏性。然而，尽管估计量是有偏的，但预 测偏差的方差会下降。另外，如果保留下来的自变量有些 对因变量无关紧要，那么，方程中包括这些变量会导致参 数估计和预测的有偏性和精度降低。
作为 y0的预测值是有偏的，即 E(yˆ 0p y0 ) 0 。
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
（一）全模型正确而误用选模型的情况
性质 3. 选模型的参数估计有较小的方差 选模型的最小二乘参数估计为βˆ p (ˆ 0p ,ˆ 1p ,,ˆ pp )
全模型的最小二乘参数估计为βˆ m
（5.1）
如果我们从所有可供选择的m个变量中挑选出p个，记 为x1,x2,…，xp,
y=β 0p+β 1px1+β 2px2+…+β ppxp+ε p （5.2
称模型（5.2）式为选模型。
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
一、全模型和选模型 模型选择不当会给参数估计和预测带来什么影响?下
为了方便，我们把模型（5.1）式的参数估计向量βˆ
第5章 自变量的选择与逐步回归
5.1 自变量选择对估计和预测的影响 5.2 所有子集回归 5.3 逐步回归 5.4 本章小结与评注
§第5章 自变量选择与逐步回归
从20世纪60年代开始，关于回归自变量的选择成为统 计学中研究的热点问题。统计学家们提出了许多回归选 元的准则，并提出了许多行之有效的选元方法。
(ˆ 0m ,ˆ 1m ,,ˆ mm )
这条性质说明 D(ˆ jp ) D(ˆ jm ), j 0,1,, p 。
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
（一）全模型正确而误用选模型的情况
性质 4. 选模型的预测残差有较小的方差。 选模型的预测残差为e0p yˆ 0p y0 全模型的预测残差为e0m yˆ 0m y0 其中 y0=β 0+β 1x01+β 2x02+…+β mx0m+ε 则有 D(e0p)≤D(e0m)。