高一数学 培优教材(3) 新人教版
高一年级2020寒假培优数学教材
三、函数思想方法的应用【要点】1．函数的思想，是指运用运动变化的观点，分析和研究数量关系，通过建立或构造函数关系式，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法．2．方程的思想，是指根据数学问题中变量间的特殊关系，有意识地构造方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法．3．函数和方程是密切相关的，可以互相转化。
比如研究函数y=f(x)与y=g(x)的图象的交点问题，就是研究方程f(x)=g(x)的实数解的问题；解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点．4．函数应用题的解题步骤简述如下：（1）审题：阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论；（2）建模：将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型,； （3）求模：求解数学模型，得到数学结论；（4）作答：对结果进行验证或评估，作出解释或回答。
解应用题可归结为“过三关”：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力。
【例题】1．方程x 2=2x 的解的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．已知155=-a cb ，（a 、b 、c ∈R ），则有（ ）A ．ac b 42>B ．ac b 42≥C ．ac b 42<D ．ac b 42≤3．已知关于x 的方程 2x －(2 m －8)x +2m －16 = 0的两个实根 1x 、2x 满足 1x ＜23＜2x ，则实数m 的取值范围_______________．4．关于x 的方程|x 2－4x +3|－a =0有三个不相等的实数根，则实数a 的值是______． 5．若不等式x 4x 2--≥34x+11-a 的解集为{x|-4≤x≤-2}，求实数a 的值．6．已知直线y=3-x 和坐标轴交于A 、B 两点，若抛物线y=-x 2+mx-1和线段AB 有两个不同的交点，求实数m 的范围．7．设不等式2x －1>m （x 2－1）对满足|m|≤2的一切实数m 的取值都成立．求x 的取值范围．8．设f （x ）＝lg 3421ax x ++，如果当x ∈（-∞,1]时f （x ）有意义，求实数a 的取值范围．9．若方程lg （－x 2＋3x －m ）＝lg （3－x ）在x ∈（0,3）内有唯一解，求实数m 的取值范围．10．已知函数f (x )=log m33+-x x (1)若f (x )的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f (x )在定义域上的增减性，并加以说明； (2)当0＜m ＜1时，使f (x )的值域为［log m ［m (β–1)］，log m ［m (α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由．11．（xx 年全国高考题）甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米／时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v （千米／时）的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元．（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米／时）的函数，并指出函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？12．某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线，位于岸边A 处的救生员发现海中B 处有人求救，救生员没有直接从A 处游向B 处，而是沿岸边自A 跑到距离B 最近的D 处，然后游向B 处，若救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在海中的行进速度2米/秒（1）分析救生员的选择是否正确；（2）在AD 上找一落点C ，使救生员从A 到B 的时间最短，并求出最短时间。
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1 = 0 的实根. 2
例 2.设集合 A = −4,3a, a 2 ，且 9 ∈ A ，求实数 a 的值．
{
}
例 3.集合的表示方法 （1）用列举法表示集合 A = x x 2 + 3 x = 4 ； （2）用列举法表示集合 B = y y = 4 − x , x、y ∈ N ；
2
{
}
{
}
（3）用列举法表示集合 C = ( x, y ) y = 4 − x , x、y ∈ N ；
1 不一定属于集合 G . x
3
【课堂练习】
1.下列各组对象不能形成集合的是（ A．高一全体女生 C．高中所有课程 2.下列表述中正确的是( A. {0} = ∅ ) C. {∅} = ∅ D. 0 ∉ N ） B．高三（1）班家长全体 D．高一（1）班中个子较高的学生
B. {1,3} = {3,1}
2
{
}
（4）用列举法表示集合 D = x
6 ∈ Z, x ∈ N ； 3− x
（5）用描述法表示 100 内被 3 除余 2 的正整数所组成的集合 P ； （6）平面直角坐标系内在 x 轴上方的点组成的集合.
1
例 4. 已知集合 A = x ax + 2 x + 1 = 0, a ∈ R, x ∈ R ．
Q = {1,2,6} ，则 P + Q 中元素的个数是
8.化简： x x =
．
m , m ∈ Z , m < 2, n ∈ N * , n ≤ 3 = n
a , b , Q = 0, a + b, b 2 ，且 P = Q ，则 a 2011 + b 2011 = b
高中数学 培优复习专用教材 第3章 数列 数列综合应用 改好309页 最新版
高考第一轮复习用书·数学（理科）
第三章
3.(2014 年北京联考)已知 f(x)=log2x-logx2(0<x<1),数列{an}满足 f(2������ ������ )=2n(n∈N*),则数列{an}( ). A.有最大项无最小项 B.有最小项无最大项 C.既有最大项又有最小项 D.无最大项也无最小项
高考第一轮复习用书·数学（理科）
第三章
1.(2015 年南昌一中)若数列{an}的通项公式为 an=-2n2+13n,关 于该数列有下列四种说法:①该数列有无穷多个正数项;②该数列有 2 无穷多个负数项;③该数列的最大项就是函数 f(x)=-2x +13x 的最大 值;④-70 是该数列中的一项;其中正确命题的序号为( ). A.①② B.②④ C.①③ D.③④
高考第一轮复习用书·数学（理科）
第三章
பைடு நூலகம்
2.(2015 年高安中学第二次月考)数列{an}满足 an+1+an-1=an,且
a1=1,a2=5,那么 a1-a2+a3-…+a15-a16+a17 的值为
.
高考第一轮复习用书·数学（理科）
第三章
【解析】由 an+1+an-1=an,得 an-1-an+an+1=0,那么 a3-a4+a5=0,a6-a7+a8=0,…,a15-a16+a17=0,于是 a1-a2+a3-… +a15-a16+a17=a1-a2=-4. 【答案】-4
2������ +1
列{an}有最小项 a1,无最大项. 【答案】B
an+1-an=(n+1- (������ + 1) + 1)-(n- ������2 + 1)=1-( (������ + 1) + 1������2 + 1)=12������ +1
高中数学同步课堂培优联系必修一教师用书 第1~3章含答案 有详解 教师专用版
第1讲集合知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A B或B A.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.(2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.(4)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“³”)精彩PPT展示(1)任何集合都有两个子集.( )(2)已知集合A ＝{x |y ＝x 2}，B ＝{y |y ＝x 2}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，则A ＝B ＝C .( ) (3)若{x 2，1}＝{0，1}，则x ＝0，1.( ) (4)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( )解析 (1)错误.空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的.(2)错误.集合A 是函数y ＝x 2的定义域，即A ＝(－∞，＋∞)；集合B 是函数y ＝x 2的值域，即B ＝[0，＋∞)；集合C 是抛物线y ＝x 2上的点集.因此A ，B ，C 不相等. (3)错误.当x ＝1，不满足互异性. (4)错误.当A ＝∅时，B ，C 可为任意集合. 答案 (1)³ (2)³ (3)³ (4)³2.(必修1P7练习2改编)若集合A ＝{x ∈N |x ≤10}，a ＝22，则下列结论正确的是( ) A.{a }⊆AB.a ⊆AC.{a }∈AD.a ∉A解析 由题意知A ＝{0，1，2，3}，由a ＝22，知a ∉ A . 答案 D3.(2016·全国Ⅰ卷)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝________. A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 解析 易知A ＝(1，3)，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，所以A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3.答案 D4.(2017·石家庄模拟)设全集U ＝{x |x ∈N *，x <6}，集合A ＝{1，3}，B ＝{3，5}，则∁U (A ∪B )等于( ) A.{1，4} B.{1，5} C.{2，5}D.{2，4}解析 由题意得A ∪B ＝{1，3}∪{3，5}＝{1，3，5}.又U ＝{1，2，3，4，5}，∴∁U (A ∪B )＝{2，4}. 答案 D5.已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为________.解析 集合A 表示圆心在原点的单位圆，集合B 表示直线y ＝x ，易知直线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝1相交，且有2个交点，故A ∩B 中有2个元素. 答案 2考点一 集合的基本概念【例1】 (1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A.1B.3C.5D.9(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92B.98C.0D.0或98解析 (1)当x ＝0，y ＝0，1，2时，x －y ＝0，－1，－2； 当x ＝1，y ＝0，1，2时，x －y ＝1，0，－1； 当x ＝2，y ＝0，1，2时，x －y ＝2，1，0.根据集合中元素的互异性可知，B 的元素为－2，－1，0，1，2，共5个. (2)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98， 所以a 的取值为0或98. 答案 (1)C (2)D规律方法 (1)第(1)题易忽视集合中元素的互异性误选D.第(2)题集合A 中只有一个元素，要分a ＝0与a ≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a ＝0的情形. (2)用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合.【训练1】 (1)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba ，b ，则b －a ＝________.(2)已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋3x －2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________.解析 (1)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，且b ＝1，所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2. (2)由A ＝∅知方程ax 2＋3x －2＝0无实根， 当a ＝0时，x ＝23不合题意，舍去； 当a ≠0时，Δ＝9＋8a <0，∴a <－98. 答案 (1)2 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－98考点二 集合间的基本关系【例2】 (1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A.A B B.B A C.A ⊆B D.B ＝A(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________.解析 (1)易知A ＝{x |－1≤x ≤1}， 所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}. 因此B A .(2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图.则⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为(－∞，4]. 答案 (1)B (2)(－∞，4]规律方法 (1)若B ⊆A ，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.【训练2】(1)(2017·长郡中学质检)若集合A＝{x|x>0}，且B⊆A，则集合B可能是()A.{1，2}B.{x|x≤1}C.{－1，0，1}D.R(2)(2016·郑州调研)已知集合A＝{x|x＝x2－2，x∈R}，B＝{1，m}，若A⊆B，则m的值为()A.2B.－1C.－1或2D.2或2解析(1)因为A＝{x|x＞0}，且B⊆A，再根据选项A，B，C，D可知选项A正确.(2)由x＝x2－2，得x＝2，则A＝{2}.因为B＝{1，m}且A⊆B，所以m＝2.答案(1)A(2)A考点三集合的基本运算【例3】(1)(2015·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为()A.5B.4C.3D.2(2)(2016·浙江卷)设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝()A.[2，3]B.(－2，3]C.[1，2)D.(－∞，－2)∪[1，＋∞)解析(1)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素.(2)易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}.∴∁R Q＝{x|－2<x<2}，又P＝{x|1≤x≤3}，故P∪(∁R Q)＝{x|－2<x≤3}.答案(1)D(2)B规律方法(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直(2)一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍.【训练3】(1)(2017·石家庄模拟)设集合M＝{－1，1}，N＝{x|x2－x<6}，则下列结论正确的是()A.N⊆MB.N∩M＝∅C.M⊆ND.M∩N＝R(2)(2016·山东卷)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U(A∪B)＝()A.{2，6}B.{3，6}C.{1，3，4，5}D.{1，2，4，6}解析(1)易知N＝(－2，3)，且M＝{－1，1}，∴M⊆N.(2)∵A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，∴A∪B＝{1，3，4，5}，又全集U＝{1，2，3，4，5，6}，因此∁U(A∪B)＝{2，6}.答案(1)C(2)A[思想方法]1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.[易错防范]1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.(2015·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则()A.A＝BB.A∩B＝∅C.A BD.B A解析∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴2，3∈A且2，3∈B，1∈A但1∉B，∴B A.答案 D2.(2016·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)·(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝()A.{1}B.{1，2}C.{0，1，2，3}D.{－1，0，1，2，3}解析由(x＋1)(x－2)<0，得－1<x<2，又x∈Z，所以B＝{0，1}，因此A∪B＝{0，1，2，3}.答案 C3.(2017·肇庆模拟)已知集合A＝{x|lg x>0}，B＝{x|x≤1}，则()A.A∩B≠∅B.A∪B＝RC.B⊆AD.A⊆B解析由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lg x>0}＝(1，＋∞)，∴A∪B＝R.答案 B4.已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}.若P∪M＝P，则a的取值范围是()A.(－∞，－1]B.[1，＋∞)C.[－1，1]D.(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析因为P∪M＝P，所以M⊆P，即a∈P，得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1，1].答案 C5.(2016·山东卷)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B ＝( ) A.(－1，1) B.(0，1) C.(－1，＋∞)D.(0，＋∞)解析 由y ＝2x ，x ∈R ，知y >0，则A ＝(0，＋∞). 又B ＝{x |x 2－1<0}＝(－1，1). 因此A ∪B ＝(－1，＋∞). 答案 C6.(2016·浙江卷)已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，集合P ＝{1，3，5}，Q ＝{1，2，4}，则(∁U P )∪Q ＝( ) A.{1}B.{3，5}C.{1，2，4，6}D.{1，2，3，4，5}解析 ∵U ＝{1，2，3，4，5，6}，P ＝{1，3，5}，∴∁U P ＝{2，4，6}，∵Q ＝{1，2，4}，∴(∁U P )∪Q ＝{1，2，4，6}. 答案 C7.若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) A.1 B.3 C.7D.31解析 具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2. 答案 B8.已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝( ) A.{x |x ≥0} B.{x |x ≤1} C.{x |0≤x ≤1}D.{x |0<x <1}解析 ∵A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，∴A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，在数轴上表示如图. ∴∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}. 答案 D二、填空题9.已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________.解析∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.答案(－∞，1]10.(2016·天津卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝________.解析由A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1，3，5}，因此A∩B ＝{1，3}.答案{1，3}11.集合A＝{x|x<0}，B＝{x|y＝lg[x(x＋1)]}，若A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A－B＝________.解析由x(x＋1)>0，得x<－1或x>0，∴B＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，∴A－B＝[－1，0).答案[－1，0)12.(2017·石家庄质检)已知集合A＝{x|x2－2 016x－2 017≤0}，B＝{x|x<m＋1}，若A⊆B，则实数m的取值范围是________.解析由x2－2 016x－2 017≤0，得A＝[－1，2 017]，又B＝{x|x<m＋1}，且A⊆B，所以m＋1>2 017，则m>2 016.答案(2 016，＋∞)能力提升题组(建议用时：10分钟)13.(2016·全国Ⅲ卷改编)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则(∁R S)∩T ＝()A.[2，3]B.(－∞，－2)∪[3，＋∞)C.(2，3)D.(0，＋∞)解析易知S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，∴∁R S＝(2，3)，因此(∁R S )∩T ＝(2，3). 答案 C14.(2016·黄山模拟)集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分所表示的集合是( ) A.{x |x ≥1} B.{x |1≤x <2} C.{x |0<x ≤1}D.{x |x ≤1}解析 易知A ＝(－1，2)，B ＝(－∞，1)，∴∁U B ＝[1，＋∞)，A ∩(∁U B )＝[1，2).因此阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}. 答案 B15.(2017·南昌十所省重点中学模拟)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |14≤2x≤16，B ＝{x |y ＝ln(x 2－3x )}，则A ∩B 中元素的个数是________. 解析 由14≤2x ≤16，x ∈N ，∴x ＝0，1，2，3，4，即A ＝{0，1，2，3，4}. 又x 2－3x >0，知B ＝{x |x >3或x <0}， ∴A ∩B ＝{4}，即A ∩B 中只有一个元素. 答案 116.已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＋n ＝________.解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}， 由A ∩B ＝(－1，n )可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.所以m ＋n ＝0. 答案 0第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件最新考纲 1.理解命题的概念，了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.知识梳理1.命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.3.充分条件、必要条件与充要条件的概念p⇒ppq诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“³”)精彩PPT展示(1)“x2＋2x－3<0”是命题.()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.()解析(1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.(2)错误.否命题既否定条件，又否定结论.答案(1)³(2)³(3)√(4)√2.(教材练习改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是()A.若α≠π4，则tan α≠1 B.若α＝π4，则tan α≠1C.若tan α≠1，则α≠π4 D.若tan α≠1，则α＝π4解析命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，显然綈q：tan α≠1，綈p：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠π4”.答案 C3.(2016·天津卷)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析x>y x>|y|(如x＝1，y＝－2).但x>|y|时，能有x>y.∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.答案 C4.命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()A.1B.2C.3D.4解析原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a>－6，则a>－3”是假命题，从而其否命题也是假命题.因此四个命题中有2个假命题.答案 B5.(2017·大连双基检测)已知函数f(x)的定义域为R，则命题p：“函数f(x)为偶函数”是命题q：“∃x0∈R，f(x0)＝f(－x0)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若f(x)为偶函数，则有f(x)＝f(－x)，所以p⇒q；若f(x)＝x，当x＝0时，f(0)＝f(－0)，而f(x)＝x为奇函数，所以q p.∴“命题p”是“命题q”的充分不必要条件.答案 A考点一四种命题的关系及其真假判断【例1】(1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为()A.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题B.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题C.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题D.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A.真、假、真B.假、假、真C.真、真、假D.假、假、假解析(1)根据逆否命题的定义可以排除A，D；由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题.(2)由共轭复数的性质，|z1|＝|z2|，∴原命题为真，因此其逆否命题为真；取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假.答案(1)C(2)B规律方法(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变.(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例.(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.【训练1】已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()A.否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题B.逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C.逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D.逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题解析由f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝e x－m≥0恒成立，∴m≤1.因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题.答案 D考点二充分条件与必要条件的判定【例2】(1)函数f(x)在x＝x0处导数存在.若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则()A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件，但不是q的必要条件C.p是q的必要条件，但不是q的充分条件D.p既不是q的充分要件，也不是q的必要条件(2)(2017·衡阳一模)“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析(1)由极值的定义，q⇒p，但p q.例如f(x)＝x3，在x＝0处f′(0)＝0，f(x)＝x3是增函数，x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点.因此p是q的必要不充分条件.(2)直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直的充要条件为a(a＋2)＋1³(－3)＝0，解得a＝1或－3，故“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x －3y－2＝0垂直”的充分不必要条件.答案(1)C(2)B规律方法充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的何种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的何种条件.【训练2】 (2016·山东卷)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α ，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由题意知a ⊂α，b ⊂β，若a ，b 相交，则a ，b 有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a ，b 的位臵关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件. 答案 A考点三 充分条件、必要条件的应用(典例迁移)【例3】 (经典母题)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围.解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}.∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .∴⎩⎨⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又∵S 为非空集合，∴1－m ≤1＋m ，解得m ≥0.综上，可知m ≥0≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件.【迁移探究1】 本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？ 解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}.若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎨⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎨⎧m ＝3，m ＝9，这样的m 不存在. 【迁移探究2】 本例条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}.∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴P 是S 的充分不必要条件，∴P ⇒S 且S P .∴[－2，10] [1－m ，1＋m ].∴⎩⎨⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎨⎧1－m <－2，1＋m ≥10， ∴m ≥9，则m 的取值范围是[9，＋∞).规律方法 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；(2)要注意区间端点值的检验.【训练3】 ax 2＋2x ＋1＝0只有负实根的充要条件是________.解析 当a ＝0时，原方程为一元一次方程2x ＋1＝0，有一个负实根x ＝－12.当a ≠0时，原方程为一元二次方程，又ax 2＋2x ＋1＝0只有负实根，所以有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4a ≥0，－2a＜0，1a ＞0，即0＜a ≤1. 综上，方程只有负根的充要条件是0≤a ≤1.答案 0≤a ≤1[思想方法]1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定.2.充要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假.(2)等价法：即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}；若A⊆B，则p是q 的充分条件或q是p的必要条件；若A B，则p是q的充分不必要条件，若A ＝B，则p是q的充要条件.[易错防范]1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式.3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.(2015·山东卷)设m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”.答案 D2.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x ＋1＝0”的充要条件.答案 A3.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β”是“α∥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析m⊂α，m∥βα∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.答案 B4.(2017·安徽江南十校联考)“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－1x＋a为奇函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析显然a＝0时，f(x)＝sin x－1x为奇函数；当f(x)为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0.又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－1－x＋a＋sin x－1x＋a＝0.因此2a＝0，故a＝0.所以“a＝0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件.答案 C5.下列结论错误的是()A.命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件C.命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题D.命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”解析C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”.若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，即m≥－14，不能推出m>0.所以不是真命题.答案 C6.设x∈R，则“1<x<2”是“|x－2|<1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由|x－2|<1，得1<x<3，所以1<x<2⇒1<x<3；但1<x<31<x<2.所以“1<x<2”是“|x－2|<1”的充分不必要条件.答案 A7.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是()A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]解析由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.答案 A8.(2017·佛山模拟)已知a，b都是实数，那么“a>b”是“ln a>ln b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由ln a>ln b⇒a>b>0⇒a>b，故必要性成立.当a＝1，b＝0时，满足a>b，但ln b无意义，所以ln a>ln b不成立，故充分性不成立.答案 B二、填空题9.“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________.解析其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题.答案 210.“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件.解析cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α得到cos 2α＝0；反之不成立.∴“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件.答案充分不必要11.已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________.解析 令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0<x <4}.∵p 是q 的充分不必要条件，∴M N ，∴⎩⎨⎧a >0，a ＋1<4，解得0<a <3. 答案 (0，3)12.有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题.其中真命题的序号是________.解析 ①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”错误.②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确.③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确.答案 ②③能力提升题组(建议用时：10分钟)13.(2016·四川卷)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的() A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 如图作出p ，q 表示的区域，其中⊙M 及其内部为p 表示的区域，△ABC 及其内部(阴影部分)为q 表示的区域.故p 是q 的必要不充分条件.答案 A14.(2017·南昌十所省重点中学联考)已知m ∈R ，“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由y ＝2x ＋m －1＝0，得m ＝1－2x ，则m <1. 由于函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上是减函数， 所以0<m <1.因此“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的必要不充分条件. 答案 B 15.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜2x ＜8，x ∈R ，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________. 解析A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1＞3，即m ＞2. 答案 (2，＋∞)16.(2017·临沂模拟)下列四个结论中正确的是________(填序号).①“x 2＋x －2>0”是“x >1”的充分不必要条件；②命题：“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，sin x 0>1”；③“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为真命题；④若f (x )是R 上的奇函数，则f (log 32)＋f (log 23)＝0.解析 ①中“x 2＋x －2>0”是“x >1”的必要不充分条件，故①错误.对于②，命题：“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，sin x 0>1”，故②正确. 对于③，“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为“若tan x ＝1，则x ＝π4”，其为假命题，故③错误.对于④，若f (x )是R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0，∵log 32＝1log 23≠－log 32，∴log 32与log 23不互为相反数，故④错误. 答案 ②第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识梳理1.简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断2.(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示.(2)全称命题：含有全称量词的命题.全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”简记为∀x∈M，p(x).(3)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.(4)特称命题：含有存在量词的命题.特称命题“存在M中的一个元素x0，使p(x0)成立”，简记为∃x0∈M，p(x0). 3.含有一个量词的命题的否定1.判断正误(在括号内打“√”或“³”)精彩PPT展示(1)命题“5>6或5>2”是假命题.()(2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(4)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，綈p (x )的真假性相反.( ) 解析 (1)错误.命题p ∨q 中，p ，q 有一真则真. (2)错误.p ∧q 是真命题，则p ，q 都是真命题. (3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题. 答案 (1)³ (2)³ (3)³ (4)√2.(选修2－1P18B 组改编)已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题綈p ，綈q ，p ∨q ，p ∧q 中真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 p 和q 显然都是真命题，所以綈p ，綈q 都是假命题，p ∨q ，p ∧q 都是真命题. 答案 B3.(2015·全国Ⅰ卷)设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则綈p 为( ) A.∀n ∈N ，n 2>2n B.∃n ∈N ，n 2≤2n C.∀n ∈N ，n 2≤2n D.∃n ∈N ，n 2＝2n解析 命题p 的量词“∃”改为“∀”，“n 2>2n ”改为“n 2≤2n ”，∴綈p ：∀n ∈N ，n 2≤2n . 答案 C4.(2017·贵阳调研)下列命题中的假命题是( ) A.∃x 0∈R ，lg x 0＝1 B.∃x 0∈R ，sin x 0＝0 C.∀x ∈R ，x 3＞0D.∀x ∈R ，2x ＞0解析 当x ＝10时，lg 10＝1，则A 为真命题；当x ＝0时，sin 0＝0，则B 为真命题；当x ＜0时，x 3＜0，则C 为假命题；由指数函数的性质知，∀x ∈R ，2x ＞0，则D 为真命题.故选C. 答案 C5.(2015·山东卷)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________.解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1，依题意，m ≥y max ，即m ≥1. ∴m 的最小值为1. 答案 1考点一含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】设a，b，c是非零向量.已知命题p: 若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是()A.p∨qB.p∧qC.(綈p)∧(綈q)D.p∧(綈q)解析取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题.又a，b，c是非零向量，由a∥b知a＝x b，由b∥c知b＝y c，∴a＝xy c，∴a∥c，∴q是真命题.综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题.又∵綈p为真命题，綈q为假命题.∴(綈p)∧(綈q)，p∧(綈q)都是假命题.答案 A规律方法(1)“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：①明确其构成形式；②判断其中命题p，q的真假；③确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假.(2)p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p则是“与p的真假相反”.【训练1】(2017·郑州调研)命题p：函数y＝log2(x－2)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝13x＋1的值域为(0，1).下列命题是真命题的为()A.p∧qB.p∨qC.p∧(綈q)D.綈q解析由于y＝log2(x－2)在(2，＋∞)上是增函数，∴命题p是假命题.由3x>0，得3x＋1>1，所以0<13x＋1<1，所以函数y ＝13x＋1的值域为(0，1)，故命题q 为真命题. 所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，p ∧(綈q )为假命题，綈q 为假命题. 答案 B考点二 含有一个量词命题的否定及真假判定【例2】 (1)(2016·东北师大附中质检)已知命题p ：∀x ∈R ，e x －x －1>0，则綈p 是( )A.∀x ∈R ，e x －x －1<0B.∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1≤0C.∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1<0D.∀x ∈R ，e x －x －1≤0(2)(2014·全国Ⅰ卷)不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2， p 2：∃(x 0，y 0)∈D ，x 0＋2y 0≥2， p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：∃(x 0，y 0)∈D ，x 0＋2y 0≤－1. 其中的真命题是( ) A.p 2，p 3 B.p 1，p 2 C.p 1，p 4D.p 1，p 3解析 (1)因为全称命题的否定是特称命题，命题p ：∀x ∈R ，e x －x －1>0的否定为綈p ：∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1≤0. (2)画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝x ＋2y ，经过可行域的点A (2，－1)时，取得最小值0，故x ＋2y ≥0. 因此p 1，p 2是真命题. 答案 (1)B (2)B规律方法 (1)全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论. (2)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立.【训练2】 (2017·安徽皖江名校联考)命题p ：存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x ＋cosx >2；命题q ：“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”，则四个命题：(綈p )∨(綈q )，p ∧q ，(綈p )∧q ，p ∨(綈q )中，正确命题的个数为( ) A.1B.2C.3D.4解析 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，所以命题p 是假命题；又特称命题的否定是全称命题，因此命题q 为真命题.则(綈p )∨(綈q )为真命题，p ∧q 为假命题，(綈p )∧q 为真命题，p ∨(綈q )为假命题. ∴四个命题中正确的有2个命题. 答案 B考点三 由命题的真假求参数的取值范围【例3】 (1)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－1) B.(－1，3) C.(－3，＋∞)D.(－3，1)(2)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A.[2，＋∞)B.(－∞，－2]C.(－∞，－2]∪[2，＋∞)D.[－2，2]解析 (1)原命题的否定为∀x ∈R ，2x 2＋(a －1)x ＋12>0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4³2³12<0， 则－2<a －1<2，则－1<a <3.(2)依题意知，p ，q 均为假命题.当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2. 因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.答案 (1)B (2)A规律方法 (1)根据含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤： ①根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； ②求出每个命题是真命题时参数的取值范围； ③根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围. (2)全称命题可转化为恒成立问题.【训练3】 (2017·衡水中学月考)设p ：实数x 满足x 2－5ax ＋4a 2<0(其中a >0)，q ：实数x 满足2<x ≤5.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围.(2)若綈q 是綈p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＝1时，x 2－5ax ＋4a 2<0即为x 2－5x ＋4<0，解得1<x <4， 当p 为真时，实数x 的取值范围是1<x <4. 若p ∧q 为真，则p 真且q 真， 所以实数x 的取值范围是(2，4).(2)綈q 是綈p 的必要不充分条件，即p 是q 的必要不充分条件. 设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则B A . 由x 2－5ax ＋4a 2<0得(x －4a )(x －a )<0， ∵a >0，∴A ＝{x |a <x <4a }，又B ＝{x |2<x ≤5}，则a ≤2且4a >5，解得54<a ≤2. ∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤54，2.[思想方法]1.把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”“且”“非”字眼，要结合语句的含义理解.2.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p ∨q →见真即真，p ∧q →见假即假，p。
福建省福鼎一中高一数学 培优教材(3)素材 新人教版
福鼎一中高一年段数学培优教材第三讲 三角恒等变换一、基础知识：1． 三角的恒等变化：要注意公式间的内在联系和特点，审题时要善于观察差异，寻找联系，实现转化；要熟悉公式的正用和、逆用和变形应用。
化简三角函数式可以采用“切化弦”来减少函数种类，采用“配方法”和“降次公式”来逐步降低各项次数，并设法去分母、去根号、利用特殊值来向目标靠拢。
2． 常见的变形公式：1sin cos sin 22ααα= 221cos 2cos 1cos 2sin 22αααα+=-=22221sin (sincos )2sin ()1sin (sincos )2sin ()22242224αααπαααπαα+=+=+-=-=-tan tan tan()[1tan tan ]αβαβαβ±=±sin cos )a x b x x ωωωϕ+=+3． 通过对角的变换推出万能公式和半角公式以及和差与积的互化公式。
如常见的角的拆并有2()(),(),,(),)2266424αβαβπππππααβαβααββααααα+-=++-=+-=+=+--=-+（等二、综合应用：例1：已知角α的终边上一点(2sin3,2cos3)P -，则α的弧度数为_____________已知32,cot 2παπα<<=3cot cot 22αα-=_________________函数2sin cos ()y x x x x R =∈的最大值是____________________ 化简42212cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+=-+____________________________ 例2：已知1sin cos 4αβ=，求cos sin αβ的取值范围。
例3：求22sin 20cos 50sin 20cos50++的值。
例4：已知222()sin sin ()sin (),f θθθαθβ=++++其中,αβ是适合0αβπ≤<≤的常数，试问,αβ取何值时，()f θ的值恒为定值？例5：求值：cot15cot 25cot35cot85例6：已知,(0,),sin csc cos()2παββααβ∈⋅=+；（1）求证：2sin cos tan 1sin ααβα=+；（2）求tan β的最大值，并求当tan β取得最大值时tan()αβ+的值。
人教版高中数学高一培优讲义第三章3三角恒等变换复习
第三章 三角恒等变换复习【知识结构】()αααβαβαβαβαcos sin 22sin sin cos cos sin sin =−−−→−=±=±令()cos cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβααα±==−→−−−=- 令222()t a n t a n t a n t a n t a n αβαβαβ±=±1 ·=-=-⇒211222c o s s i n ααt a n t a n t a n 2212ααα=-c o s c o s s i n c o s 22122122αααα=+=-)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a ，其中2222cos ,sin ba a ba b +=+=ϕϕ。
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+4sin 2cos sin πααα； ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+3sin 2cos 3sin πααα【知识要点】1、化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。
2、具体方法：()……222，）角的变换：如1（⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-+=βαβαβααβαβ （2）名的变换：化弦或化切 （3）次数的变换：升、降幂公式（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。
()()的值。
，求，如：已知αββαααα2tan 32tan 12cos 1cos sin --=-=- 【章节测试】一、选择题（本大题共10小题，共50.0分） 1、已知，则 A.B. C. D .2、已知，，则的值为A. B. C. D.3、若，则 A. B. C. D.4、若，则 A. B. C. 1 D.5、函数的最大值为A. 4B. 5C. 6D. 76、已知是锐角，，且，则为A. 15B. 30C. 30或60D. 15或757、已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是A. 关于直线对称B. 关于点对称C. 周期为D. 在上是增函数8、如图，扇形的半径为1，圆心角，点P在弧BC上运动，，则的最大值是 A. 1 B. C. 2 D.9、已知，则的值为A. B. C. D.10、若，的值为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11、______．12、函数的图象可由函数的图象至少向右平移______个单位长度得到．13、化简的结果是______．14、设常数a使方程在闭区间上恰有三个解，，，则______．三、解答题（本大题共2小题，共30.0分） 15、已知，且．求 的值；若，，求 的值．16、已知函数R x x x x x f ∈-+=,sin 2cos sin 321)(2求函数 的单调区间；若把 向右平移个单位得到函数 ，求 在区间上的最小值和最大值．答案和解析1.【答案】A【分析】本题考查了二倍角公式，属于基础题．由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出．【解答】解：，，，故选A．2.【答案】C【分析】本题考查两角差的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．由已知利用两角差的正切函数公式，即可化简求值得解．【解答】解：，，．故选C．3.【答案】D【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦函数公式，解题的关键是利用同角三角函数中的平方关系，完成弦切的互化，属于基础题．利用余弦函数的二倍角公式可求得，进而利用同角三角函数的基本关系式完成弦切的互化，然后把的值代入即可．【解答】解：由，得，故选D．4.【答案】A【分析】本题主要考查三角函数的化简求值，同角三角函数的关系式，二倍角公式的应用，“弦”化“切”是关键，属于基础题．将所求的关系式的分母“1”化为，再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：，．故选A．5.【答案】B【分析】本题考查三角函数的最值的求法，注意运用二倍角公式和诱导公式，同时考查可化为二次函数的最值的求法，属于中档题．运用二倍角的余弦公式和诱导公式，可得 ，令 ，可得函数 ，配方，结合二次函数的最值的求法，以及正弦函数的值域即可得到所求最大值．【解答】解：函数， 令 ，可得函数，函数 在 上单调递增，即当 ，，时，函数取得最大值5．故选B ． 6.【答案】C【分析】本题主要考查平面向量平行的坐标表示，二倍角的正弦公式，属于一般题．根据题意，由 ，结合向量平行的坐标表示公式可得，由二倍角的正弦公式可得，又由 的范围可得 或 ，即可得答案．【解答】解：根据题意，)31,(cos ),sin ,43(αα==b a ， 若 ，则有，即有， 又由 是锐角，则有 ，得 或 ，则 或 ，故选C ． 7.【答案】D【分析】本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，考查向量的数量积，属于中档题．利用三角恒等变换化简 的解析式，根据正弦函数的性质判断． 【解答】解：，当 时， ， 不关于直线对称，选项A 错误； 当时， ， 关于点 对称，不关于点对称，选项B错误；得周期，选项C错误；当时，，在在上是增函数，选项D正确．故选D．8.【答案】C【分析】本题考查了向量的坐标运算，向量的几何运用，三角函数的性质，辅助角公式．建立坐标系，求出向量坐标，设，，根据向量坐标的运算得到，，则，根据三角函数的性质即可求出最值．【解答】解：以AB为x轴，以A为原点，建立坐标系，如图，设，，则，，，，，，，，，，，，当时，的最大值为2．故选C．9.【答案】A【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．由题意利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用二倍角的余弦公式求得的值．【解答】解：已知，，则，故选A．10.【答案】A【解析】解：，．故选：A．本题主要考查了诱导公式和二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．由已知利用诱导公式及二倍角的余弦求得的值．11.【答案】1【分析】本题考查了两角和与差的三角函数公式，属于基础题．根据 ，利用两角和的正切公式，化简整理得到 ，再代入原式即可算出所求的值．【解答】解： ， ，，去分母整理，得 ， 原式 ．故答案为1． 12.【答案】【分析】本题考查辅助角公式的应用和函数 的图象变换得到 的图象，属于中档题．令，则，依题意可得，由)(323Z k k ∈-=-ππϕπ，可得答案．【解答】解：，，，令，则)(323Z k k ∈-=-ππϕπ，即)(322-Z k k ∈+=ππϕ，当 时，正数 ，故答案为． 13.【答案】1【分析】本题主要考查了三角函数的切化弦及辅助角公式、诱导公式，二倍角公式，在化简求值中的应用 利用三角函数的切化弦及辅助角公式、诱导公式等对函数式化简即可求解，属于中档题．【解答】解：110cos )1030sin(50sin 20000=+= ，故答案为1．14.【答案】【分析】本题主要考查了三角函数图象与性质．运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题，属于中档题．先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在上，当时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时，，最后相加即可．【解答】解：，方程的解即为在上直线与三角函数图象的交点，当时，直线与三角函数图象恰有三个交点，不妨令，，即，或，即，此时，，，．故答案为．15.【答案】解：，且，，．，，，，，．【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，二倍角的正弦公式，以及两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．利用同角三角函数的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，求得的值，再利用二倍角的正弦公式求得的值．先确定，可得的值，再根据，利用两角差的正弦公式求得结果．16.【答案】解：，，令，，得，，可得函数的单调增区间为，；令，，得，，可得函数 的单调减区间为， ；若把函数 的图像向右平移个单位， 得到函数)62sin(2]6)6(2sin[2)(πππ-=+-=x x x g 的图像，，，]1,2[)62sin(2)(-∈-=∴πx x g ．故 在区间上的最小值为 ，最大值为1．【解析】本题主要考查三角函数的化简及函数 的图象性质和最值，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．利用二倍角公式和辅助角公式，化简函数 的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数 的单调区间；利用函数 的图象变换规律求得 的解析式，由x 的范围求出 的范围，即可利用正弦函数的性质求出 的范围．。
2018-2019版培优导学计划数学必修3人教A版课件：第一
(3)将解决问题的过程划分为若干步骤.
(4)用简练的语言将这个步骤表示出来.
跟踪训练4 判断一个大于2的整数是否为质数的算法步骤如何设计？ 解 第一步，给定大于2的整数n. 第二步，令i＝2. 第三步，用i除n，得到余数r. 第四步，判断“r＝0”是否成立. 若是，则n不是质数，结束算法； 否则，将i的值增加1，仍用i表示. 第五步，判断“i>(n－1)”是否成立. 若是，则n是质数，结束算法； 否则，返回第三步.
跟踪训练3
已知一个等边三角形的周长为 a，求这个三角形的面积.
设计一个算法解决这个问题. 解 第一步，输入a的值.
a 第二步，计算 l＝3的值.
3 2 第三步，计算 S＝ 4 ×l 的值.
第四步，输出S的值.
解答
命题角度2 非数值性问题的算法
例4
所谓正整数 p 为素数是指： p 的所有约数只有 1 和p.例如，35 不是
来完成.设计算法的关键是把过程分解成若干个明确的步骤，然后用计算
机能够接受的“语言”准确地描述出来，从而达到让计算机执行的目的.
(2)设计算法的要求
①写出的算法必须能解决一类问题.
②要使算法尽量简单、步骤尽量少.
③要保证算法步骤有效，且计算机能够执行.
[思考辨析 判断正误]
1.算法是解决一个问题的方法.( × )
第一章 §1.1
算法与程序框图
1.1.1 算法的概念
学习目标
1.了解算法的含义和特征.
2.会用自然语言描述简单的具体问题的算法.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一
算法的概念
思考 解决一个问题的算法是唯一的吗？ 答案 不唯一.如解二元一次方程组的算法有加减消元法和代入消元
新高考高三数学培优教辅
新高考高三数学培优教辅
以下是几款常见的新高考高三数学培优教辅书籍：
1. 《高考数学新高度》：该教辅主要是根据新高考考纲编写的，重点讲解了高考数学的基础知识和应用题的解题技巧。
书中还包含大量的例题和习题，以帮助学生巩固所学内容。
2. 《高中数学必修一二三新教程》：这是一套完整的高中数学教辅书，涵盖了高一、高二、高三的数学内容。
书中结构清晰，讲解详细，题型齐全，对于希望系统复习数学知识的学生来说非常适用。
3. 《新高考数学理综同步备考辅导教材》：该教辅是专门针对新高考数学理综科目编写的，包括了数学和理科其他学科的内容。
书中的知识点讲解深入浅出，题目类型丰富多样，适合高三学生备考复习。
4. 《高中数学考点全解析》：这本教辅针对高中数学的重点、难点进行了详细讲解，并附有大量例题和习题，帮助学生加深对知识点的理解和掌握。
5. 《新高考数学冲刺复习指南》：这是一本针对高三学生的冲刺复习教辅，主要涵盖了各个章节的核心知识点和重要题型的解题方法。
书中还包括模拟试题和真题训练，帮助学生熟悉考试形式和提高应试能力。
以上仅为一些建议，具体选择教辅书还需根据个人学习情况和需求进行选择。
新教材高中数学培优课__排列与组合的综合应用新人教A版选择性必修第三册
C24 ×C36
第 2 类,两组都是 3 男 2 女,考虑两组没有顺序,因此有
因此不同的分派种数为C41 × C64 +
C24 ×C36
A22
A22
种不同的选法.
=120.
分派到两地有A22 种方法,每个小组选出正、副组长各有A25 种选法,故一共有
N=120A22 × A25 × A25 =96 000 种方法.
法;第 3 步,将 3 名副局长分到 3 地有A33 种不同的方法.根据分步乘法计数原
C35 ×C12 ×C11
理,不同的安排方法共有(
A22
+
C15 ×C24 ×C22
A22
)×A33 × A33 =900 种,故选 B.
探究点四
排列、组合的综合应用
【例4】 从1到6这6个数字中,取2个偶数和2个奇数组成没有重复数字的四
36 种.
邻,则不同的摆法有
解析 记其余两种产品为 D,E,由于 A,B 相邻,则视为一个元素,先与 D,E 排列,
有A22 × A33 种方法.
再将 C 插入,仅有 3 个空位可选,故共有A22 × A33 × C31 =2×6×3=36 种不同的摆
法.
规律方法
求解排列问题的六种主要方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
均分 后一定要除以 A (n为均分的组数),避免重复计数
部分 解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m组元素个数相
均分 等,则分组时应除以m!
不等 只需先分组,后排列,注意分组时任何组中元素的个数都不相等,所以
分组 不需要除以全排列数
变式训练3某局安排3名副局长带5名职工去3地调研,每地至少去1名副局
人教版高中数学高一培优讲义第二章复习
则
，
，
，设
，则
，
，则
，当
，
时，
， 取得最小值，
其最小值为
，故选 B ．
4.【答案】 A
【分析】本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，属于基础题．
根据平面向量的线性表示与数量积运算，结合题意可得出
是等腰三角形．
【解答】解：因为
，即
， 又因 为
，所以
，
所以
，即
，所以
是等腰三角形．故选 A ．
5.【答案】 D
答案和解析
1.【答案】 A
【分析】本题考查向量的加法、减法、数乘运算，平面向量的基本定理及其应用，考查了推 理能力与计算能力， 属于基础题．通过利用向量的三角形法则，以及向量共线，代入化简即 可得出．
【解答】解：
，
．故选 A ．
2.【答案】 A
【分析】本题考查两个向量的关系的判断，属于基础题．由已知得
（4）、向量的数量积的几何意义：等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影 | b | cos 的乘积 .
7、两个向量的数量积的性质：
设 a 、 b 为两个非零向量
（1） a b a b 0
（2）当 a 与 b 同向时， a b | a || b |；当 a 与 b 反向时， a b | a ||b | .
【分析】本题考查了向量坐标运算性质、同角三角函数的关系，两角和差的三角函数公式，
属于中档题． 建立适当坐标系， 利用同角三角函数的关系和两角和差的三角函数的公式求得
各点的坐标，进而利用平面向量的坐标运算得到关于
m， n 的方程组，求得 m， n 的值，即
得．
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．
2019-2020学年新培优同步人教B版高中数学必修一课件：第3章 基本初等函数 3.2.2
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
【变式训练2】 求下列函数的值域: (1)f(x)=log3(2x-1),x∈[2,14];
解:(1)当2≤x≤14时,3≤2x-1≤27, 故1≤log3(2x-1)≤3, 即函数的值域为[1,3]. (2)因为3+2x-x2=-x2+2x-1+4=-(x-1)2+4≤4,
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
分析:按照求函数定义域的基本要求以及对数式中“真数大于0” 这一限制条件,列不等式组求解.
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
反思根据解析式,求与对数有关的函数的定义域,除了我们以前知 道的限制条件外,还要注意对数的底数大于0不等于1,真数大于0.
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
【例5】 画出函数y=|log2(x+1)|+2的图象. 分析:可先画出它的基本函数的图象,再做适当的变换,然后分步 骤完成.
解:第一步:作y=log2x的图象,如图①所示.
第二步:将y=log2x的图象沿x轴向左平移1个单位,得y=log2(x+1)
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
【例4】 画出函数y=log2x2的图象,并根据图象指出它的单调区 间.
分析:先对函数的定义域及奇偶性进行探索,再画图象研究函数 的单调区间.
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
解:由题意知,函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 因为f(-x)=log2(-x)2=log2x2=f(x), 所以y=log2x2是偶函数,它的图象关于y轴对称. 当x>0时,y=log2x2=2log2x,因此先画出 y=2log2x(x>0)的图象为C1,再作出C1关于y轴对 称的图象C2,C1与C2构成函数y=log2x2的图象,如图所示. 由图象可以知道函数y=log2x2的单调递减区间是(-∞,0),单调递增 区间是(0,+∞). 反思作图象时一定要考虑函数的定义域,否则会求出错误的单调 区间.同时在确定单调区间时,要注意单调区间的分界点,特别要注 意区间的开与闭.
2019-2020学年人教A版数学必修第一册培优教程课件：第3章 函数的概念与性质 3.2 3.2.
＝f(x)的单调区间．
第五页，编辑于星期六：二十三点 十五分。
【新知拓展】 1．单调性是函数的局部性质，但在其单调区间上是整体性质，因此对 x1，x2 有下列要求： (1)属于同一个区间 D； (2)任意性，即 x1，x2 是定义域中某一区间 D 上的任意两个值，不能用特 殊值代替； (3)有大小，即确定的任意两值 x1，x2 必须区分大小，一般令 x1<x2. 2．并非所有的函数都具有单调性．如 f(x)＝01，，xx是是奇偶数数，， 它的定义域为 N，但不具有单调性．
由图象知函数的单调区间为(－∞，－3]，[3，＋∞)． 其中，单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[3，＋∞)．
答案
第二十一页，编辑于星期六：二十三点 十五分。
金版点睛 常用画图象求单调区间
(1) 对 于函数 y＝kx＋bk≠0，y＝ax2＋bx＋ca≠0，y＝kxk≠0 单 调区 间的确定，常借助于函数图象直接写出．
第二页，编辑于星期六：二十三点 十五分。
核心概念掌握
第三页，编辑于星期六：二十三点 十五分。
【知识导学】
知识点一
函数的单调性及其符号表达
(1)函数单调性的概念
_□0_1_函__数__值__随__自__变_量__的__增__大__而_增__大__(_或_减 __小__)_的__性_质______叫做函数的单调性．
第1课时 函数的单调性
第一页，编辑于星期六：二十三点 十五分。
(教师独具内容) 课程标准：1.理解函数的单调性和单调区间的概念.2.会划分函数的单调 区间，判断函数的单调性，会用符号语言表达函数的单调性.3.会用定义证明 函数的单调性． 教学重点：1.函数单调性的定义及其几何特征.2.用定义证明函数的单调 性． 教学难点：用定义证明函数的单调性.
2019-2020学年人教A版数学必修第一册培优教程课件：第3章 函数的概念与性质 3.2 3.2.
4.已知f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝(
)
A.1 B．2 C．－1 D．－2
答案 D
解析 因为函数f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋1x，所以f(－ 1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.故选D.
答案
解析
第五页，编辑于星期六：二十三点 十五分。
∴f(－x)＝－f(x)． ∴f(x)＝－f
x2－2x，x≥0， －x2－2x，x＜0.
答案
解析
第八页，编辑于星期六：二十三点 十五分。
8.已知奇函数f(x)在R上单调递增，∀m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成 立，则x的取值范围是________．
答案
第十一页，编辑于星期六：二十三点 十五分。
B级：“四能”提升训练 1.定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(4－x)，且f(2－x)＋f(x－2)＝0，求 f(2020)的值．
解 ∵f(2－x)＋f(x－2)＝0， 令t＝x－2，得x＝t＋2，代入有f(－t)＋f(t)＝0， ∴f(x)为奇函数，则有f(0)＝0. 又∵f(x＋4)＝f[4－(x＋4)]＝f(－x)＝－f(x)， ∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，f(4)＝f(0)＝0， ∴f(2020)＝f(2012＋8)＝f(2012)＝f(2004＋8)＝f(2004)＝…＝f(4)＝f(0)＝ 0.
是偶函数.
答案
解析
第二页，编辑于星期六：二十三点 十五分。
2.函数f(x)＝1x－x的图象( A.关于y轴对称 C.关于坐标原点对称
)
B．关于直线y＝x对称 D．关于直线y＝－x对称
答案 C
2019-2020学年人教A版高中数学必修三培优新方案同步课件：1.1 第2课时 程序框图、顺序结构
D．4 个
第九页，编辑于星期六：二十三点 三十六分。
[解析] 任何一个程序必须有开始和结束，从而流程 图必须有起止框，①正确．输入、输出框可以用在算法中 任何需要输入、输出的位置，②错误．③正确．判断框内 的条件不是唯一的，④错误．故选 B.
[答案] B
第十页，编辑于星期六：二十三点 三十六分。
[类题通法]
第八页，编辑于星期六：二十三点 三十六分。
[典例精析]
下列关于程序框图中图形符号的理解正确的有( )
①任何一个流程图必须有起止框；②输入框只能放在开
始框后，输出框只能放在结束框前；③判断框是唯一的具有
超过一个退出点的图形符号；④对于一个程序框图来说，判
断框内的条件是唯一的．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
第十二页，编辑于星期六：二十三点 三十六分。
解析：选 D 由程序框图的定义知，①②③④均正 确，故选 D.
第十三页，编辑于星期六：二十三点 三十六分。
探究点二 顺序结构 [思考探究] 观察如图所示的内容：
第十四页，编辑于星期六：二十三点 三十六分。
(1)顺序结构有哪些结构特征？ 名师指津：顺序结构的结构特征： ①顺序结构的语句与语句之间、框与框之间按从上 到下的顺序执行，不会引起程序步骤的跳转． ②顺序结构是最简单的算法结构． ③顺序结构只能解决一些简单的问题．
第五页，编辑于星期六：二十三点 三十六分。
三、综合迁移·深化思维
(1)一个完整的程序框图一定是以起止框开始，同时又 以起止框表示结束吗？
提示：由程序框图的概念可知一个完整的程序框图一定 是以起止框开始，同时又以起止框表示结束．
(2)顺序结构是任何算法都离不开的基本结构吗？ 提示：根据算法基本逻辑结构可知顺序结构是任何算法 都离不开的基本结构．
2019-2020学年新培优同步人教B版高中数学必修一课件：第3章 基本初等函数 3.1.2
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
反思1.在进行幂值的大小比较时,若底数相同,则可根据指数函数 的单调性得出结果;若底数不相同,则首先考虑能否化为同底数,然 后根据指数函数的单调性得出结果;不能化成同底数的,要考虑引 进第三个数(如0,1等)分别与之比较,从而得出结果.总之,比较时要 尽量转化成同底的形式,根据指数函数的单调性进行判断.
3增加到27,说明当x>0时,函数y=3x的函数值比y=2x的函数值增长得 快.
对于指数函数y=ax(a>0,且a≠1),将底数a由2变为3,发现它们的图 象发生了显著变化,在第一象限内,底数a越小,函数的图象越接近x 轴.
归纳总结指数幂ax和1的比较: 当x<0,a<1或x>0,a>1时,ax>1,即指数x和0比较,底数a和1比较,当 不等号的方向相同时,ax大于1,简称为“同大”; 当x<0,a>1或x>0,a<1时,ax<1,即指数x和0比较,底数a和1比较,当 不等号的方向相反(异)时,ax小于1,简称为“异小”. 因此简称为“同大异小”.
解:如图所示,由图象经过第一、三、四象限,可知a>1.当x=0时,y<0, 即a0+b<0,故b<-1. 故a,b的取值范围分别是(1,+∞),(-∞,-1).
知识拓展1.当底数a的大小不确定时,必须分“a>1”和“0<a<1”两 种情形讨论.
2022人教A版高中数学选择性必修第三册同步培优第六章计数原理第2节排列与组合 习题课 排列数的应用
第六章 习题课A 组·素养自测一、选择题1．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( D ) A ．24 B ．48 C ．60D ．72[解析] 由题意，可知个位可以从1,3,5中任选一个，有A 13种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A 44种方法，所以奇数的个数为A 13A 44＝3×4×3×2×1＝72．2．(2021·嘉兴一中月考)从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数字中任取2个不同的数字分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为( D )A ．56B ．54C ．53D ．52[解析] 在8个数中任取2个不同的数可以组成A 28＝56(个)对数值．但在这56个对数值中，log 24＝log 39，log 42＝log 93，log 23＝log 49，log 32＝log 94，即满足条件的对数值共有56－4＝52(个)．3．把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程安排在一天的五节课里，如果数学必须比历史先上，那么不同的排法有( C )A ．48种B ．24种C ．60种D ．120种[解析] 五门课程随意安排有A 55种排法，数学课在历史课前和历史课在数学课前各占总排法数的一半，所以数学课排在历史课前的排法有12A 55＝60(种)．4．(多选)停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有( AD )A ．A 99种B ．A 99A 44种 C ．8A 88种D ．9A 88种 [解析] 将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行全排列，共有A 99＝9A 88种．5．三位女生坐到二排四列的8个位置中，要求同列中最多只有一个女生，同排中任两个女生不相邻，则不同的排法数为(A)A．72 B．36C．48 D．96[解析]根据题意，完成这件事可分两步：第一步，先在8个位置中选取符合条件的3个位置，有2×2＋2×4＝12种情况；第二步，将三位女生全排列，安排到选出的3个位置，有A33＝6种情况．根据分步乘法计数原理，共有12×6＝72种排法．二、填空题6．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1,2相邻，这样的六位数的个数是__40__．[解析]可分为三步来完成这件事：第一步：先将3,5进行排列，共有A22种排法；第二步：再将4,6插空排列，共有2A22种排法；第三步：将1,2放入3,5,4,6形成的空中，共有A15种排法；由分步乘法计数原理得，共有2A22A22A15＝40种不同的排法．7．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__96__．[解析]先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中2个连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有A44种，因此共有不同的分法4A44＝4×24＝96(种)．8.2020年某地举行博物展，某单位将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该单位展出这5件作品不同的方案有__24__种．(用数字作答)[解析]将2件书法作品排列，方法数为2种，然后将其作为1件作品与标志性建筑设计作品共同排列有2种排法，对于其每一种排法，在其形成的3个空位中选2个插入2件绘画作品，故共有不同展出方案：2×2×A23＝24种．三、解答题9．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？[解析](1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A25种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A 66种排法，故共有不同排法A 25A 66＝14 400种．(2)先不考虑排列要求，有A 88种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A 45A 44种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有A 88－A 45A 44＝37 440种．10．从－3，－2，－1,0,1,2,3,4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数a ，b ，c ，问：(1)共能组成多少个不同的二次函数？(2)在这些二次函数中，图象关于y 轴对称的有多少个？ [解析] (1)方法一(直接法——优先考虑特殊位置)因为a ≠0，所以确定二次项系数有7种，确定一次项和常数项有A 27种，所以共有7A 27＝294个不同的二次函数．方法二(直接法——优先考虑特殊元素)当a ，b ，c 中不含0时，有A 37个；当a ，b ，c 中含有0时，有2A 27个，故共有A 37＋2A 27＝294(个)不同的二次函数．方法三(间接法)共可构成A 38个函数，其中当a ＝0时，有A 27个均不符合要求，从而共有A 38－A 27＝294(个)不同的二次函数．(2)依题意b ＝0，所以共有A 27＝42(个)符合条件的二次函数．B 组·素养提升一、选择题1．(多选)用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位数字的六位数共有( AB )A ．A 15A 35个 B ．12A 15A 55个C ．A 15A 55个D ．2A 15A 44个 [解析] 解法一：确定最高位有A 15种不同方法．确定万位、千位、百位，从剩下的5个数字中取3个排列，共有A 35种不同的方法，剩下两个数字，把大的排在十位上即可，由分步乘法计数原理知，共有A 15·A 35＝300(个)．解法二：由于个位数字大于十位数字与个位数字小于十位数字的应各占一半，故有12 A15·A55＝300(个)．2．某地为了迎接运动会，在某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是(C)A．1 205秒B．1 200秒C．1 195秒D．1 190秒[解析]由题意每次闪烁共5秒，所有不同的闪烁为A55个，相邻两个闪烁的时间间隔为5秒，因此需要的时间至少是5A55＋(A55－1)×5＝1 195(秒)．3．有4本不同的书A，B，C，D，要分给三个同学，每个同学至少分一本，书A，B 不能分给同一人，则这样的分法共有(C)A．18种B．24种C．30种D．36种[解析]4本不同的书分给三个同学，共有6A33＝36，书A，B分给同一人有A33＝6，所以共有36－6＝30种，故选C．4．(北京高考题)把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有(B)A．48 B．36C．30 D．24[解析]将A，B捆绑在一起，有A22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A44种摆法，共有A22A44种摆法，而A，B，C 3件产品在一起，且A，B相邻，A，C相邻时有2种情况，将这3件产品与剩下2件产品全排列，有2A33种摆法．故A，B相邻，A，C不相邻的摆法有A22A44－2A33＝36(种)．二、填空题5.6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为__576__．[解析]“不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事件，由间接法可得A66－A33A44＝576．6．如图是一个正方体纸盒的展开图，若把1,2,3,4,5,6分别填入小正方形后，按虚线折成正方体，则所得到的正方体相对面上的两个数的和都相等的概率是__115__．[解析] 6个数任意填入6个小正方形中有A 66＝720种方法；将6个数分三组(1,6)，(2,5)，(3,4)，每组中的两个数填入一对面中，共有不同填法A 33×2×2×2＝48种，故所求概率P ＝48720＝115． 三、解答题7．用0,1,2,3,4五个数字：(1)可组成多少个五位数；(2)可组成多少个无重复数字的五位数；(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．[解析] (1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理知，共有4×5×5×5×5＝2 500(个)．(2)解法一：先排万位，从1,2,3,4中任取一个有A 14种填法，其余四个位置四个数字共有A 44种，故共有A 14·A 44＝96(个)．解法二：先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入有A 14种方法，其余四个数字全排有A 44种方法，故共有A 14·A 44＝96(个)．(3)构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数，按取0和不取0分类：①取0，从1和4中取一个数，再取2进行排，先填百位A 12，其余任排有A 22，故有2A 12·A 22种．②不取0，则只能取3，从1或4中再任取一个，再取2然后进行全排为2A 33，所以共有2A 12A 22＋2A 33＝8＋12＝20(个)．(4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1,3中选一个填入个位有A 12种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有A 13种填法，包含0在内还有3个数在中间三位置上全排列，排列数为A 33，故共有A 12·A 13·A 33＝36(个)．8.4名男同学和3名女同学站成一排．(1)7名同学中，甲、乙、丙排序一定(只考虑位置的前后顺序)，有多少种不同的排法？(2)7名同学中，甲乙两名同学之间必须恰有3名同学，有多少种不同的排法？(3)7名同学中，甲、乙两名同学相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？(4)女同学从左到右按从高到矮的顺序排，有多少种不同的排法？(3名女生身高互不相等)[解析](1)7名同学的所有排法有A77种，其中甲、乙、丙的排序有A33种，所以甲、乙、＝840(种)．丙排序一定的排法有A77A33(2)先排甲、乙两名同学，有A22种排法，再从余下5名同学中选3名同学排在甲、乙两名同学中间，有A35种排法，这时把已排好的5名同学视为一个整体，与最后剩下的2名同学进行全排列，有A33种排法，故不同的排法共有A22A35A33＝720(种)．(3)先排除甲、乙、丙3名同学以外的其他4名同学，有A44种排法，由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有A22种排法，最后把排好的甲、乙看作一个整体与丙分别插入原先排好的4名同学形成的5个空位中，有A25种排法，故不同的排法共有A44A22A25＝960(种)．(4)从7个位置中选出4个位置把男生排好，有A47种排法，然后在余下的3个位置中排女生，由于要求女生从左到右按从高到矮的顺序排，故女生的排法只有1种，故不同的排法共有A47×1＝840(种)．。
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高一年段数学培优教材第三讲 三角恒等变换
一、基础知识：
1． 三角的恒等变化：要注意公式间的内在联系和特点，审题时要善于观察差异，寻找联系，实现转化；
要熟悉公式的正用和、逆用和变形应用。
化简三角函数式可以采用“切化弦”来减少函数种类，采用“配方法”和“降次公式”来逐步降低各项次数，并设法去分母、去根号、利用特殊值来向目标靠拢。
2． 常见的变形公式：1sin cos sin 22ααα= 22
1cos 2cos 1cos 2sin 2
2
α
α
αα+=-=
22221sin (sin
cos )2sin ()
1sin (sin
cos )2sin ()2224
2224
α
ααπ
α
ααπ
αα+=+=+-=-=-
tan tan tan()[1tan tan ]αβαβαβ±=±
sin cos )a x b x x ωωωϕ++
3． 通过对角的变换推出万能公式和半角公式以及和差与积的互化公式。
如常见的角的拆并有
2()(),(),,(),)
2
2
66424
αβ
αβ
πππππ
ααβαβααββααααα+-=++-=+-=
+
=+--=-+（等
二、综合应用：
例1：已知角α的终边上一点(2sin 3,2cos3)P -，则α的弧度数为_____________
已知
32,cot 2παπα<<=3cot cot 22αα-=_________________
函数2
sin cos ()y x x x x R =∈的最大值是____________________ 化简
4221
2cos 2cos 22tan()sin ()
44
x x x x ππ-+
=-+____________________________ 例2：已知1
sin cos 4
αβ=，求cos sin αβ的取值范围。
例3：求22
sin 20cos 50sin 20cos50++的值。
例4：已知222
()sin sin ()sin (),f θθθαθβ=++++其中,αβ是适合0αβπ≤<≤的常数，试问,αβ取
何值时，()f θ的值恒为定值？
例5：求值：cot15cot 25cot 35cot 85
例6：已知,(0,
),sin csc cos()2
π
αββααβ∈⋅=+；
（1）求证：2sin cos tan 1sin αα
βα
=+；
（2）求tan β的最大值，并求当tan β取得最大值时tan()αβ+的值。
例7：已知0,2
π
αβ<<
，且sin()2sin αβα+=，求证：αβ<
例8：已知当[0,1]x ∈时，不等式22cos (1)(1)sin 0x x x x θθ--+->恒成立，求θ的取值范围。
三、强化练习：
1.若角α满足条件sin20α<，cos sin 0αα-<，则α在（ ）
A 第一象限
B 第二象限
C 第三象限
D 第四象限 2.以下命题正确的是( )
（A ）βα，都是第一象限角，若βαcos cos >，则βαsin sin > （B ）βα，都是第二象限角，若βαsin sin >，则βαtan tan > （C ）βα，都是第三象限角，若βαcos cos >，则βαsin sin > （D ）βα，都是第四象限角，若βαsin sin >，则βαtan tan > 3.若ππ43<<x ，则
2
cos 12cos 1x
x -+
+等于 （A ）)24cos(2x -π （B ）)24cos(2x --π （C ）)24sin(2x -π （D ）)2
4sin(2x
--π
4.在（0，π2）内，使x x x tan sin cos >>成立的x 的取值范围是 （A ）（
4π，43π） （B ）（45π，23π） （C ）（23π，π2） （D ）（23π，4
7π） 5.设βα，是一个钝角三角形的两个锐角，则下列四个不等式中不正确的是
（A ）1tan tan <βα （B ）2sin sin <+βα （C ）1cos cos >+βα （D ）2
tan )tan(21β
αβα+<+
6.已知22
cos()cos sin αβθθ++=-，则sin(2)sin αββ++的值为( )
A ．0
B ．1 C.2sin β D ．以上都不对
7.在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则tan
tan
tan
2
2
2
2
A C A C +=__________
8.已知点P(sin cos αα-，tan α)在第一象限，则在[0，2π)内α的取值范围是____________ 9.cot104cos10-的值为
10.已知2sin 2sin 2cos cos21,(0,)2
π
ααααα+-=∈，求sin ,tan αα的值。
11.已知cos(α-2
β
)=19
-
,sin(
2
α
-β)=
23
,
2
π
＜α＜π,0＜β＜
2
π
,求cos(α+β)之值.
12.求值：2345cos
cos
cos cos cos
11
11111111
π
ππππ
13.是否存在锐角,αβ，使得①223
π
αβ+=；②tan tan 22αβ=,αβ的
值；若不存在，说明理由。
参考答案：
例1：32,2
k k π
αππ=-
+∈
1)
1
cos 22
x 例2：法1：11cos sin 13341sin()1,1sin()1cos sin 1441cos sin 1
4
αβαβαβαβαβ⎧-≤+≤⎪⎪-≤+≤-≤-≤⇒⇒-≤≤⎨⎪-≤-≤⎪⎩
法2：
2222222117
cos sin (1sin )(1cos )1(sin cos )[(sin cos )2sin cos ]1616
αβαβαβαβαβ=--=+-+=--+29933
(sin cos ),sin cos 161644
αβαβ=
--≤∴-≤≤ 例3：多种方法。
（构造对偶式）设2222
sin 20cos 50sin 20cos50
2sin 70cos 20sin 50cos 20sin 50a a b b ⎧=++∴+=+⎨=++⎩
1113
cos40cos100sin(30)2sin 70sin30sin 70,222224
a b a a -=-++-=--
=--∴=-∴= 例4：31
()[12cos()cos()]cos2[sin()sin()]sin 222
f θαβαβθαβαβθ=
-++--+- ()f θ恒为定值，12cos()cos()0
sin()0sin()cos()αβαβαβαβαβ++-=⎧∴⇒+=⎨
+-⎩
，考虑到0αβπ≤<≤ 1
22cos(),0,,2
3
3
3
π
π
παβπαβπαβαβαβ∴+=∴-=
-<-<∴-=-
∴=
=
（提示：本题也可以用赋值法：令0,
,,,(0)()()()22
f f f f π
π
θαβαβ=--∴==-=-） 例5：1 （本题要总结公式sin34sin sin(60)sin(60)θθθθ=-+
cos34cos cos(60)cos(60)θθθθ=-+ tan3tan tan(60)tan(60)θθθθ=-+
例6：（2
）2tan 1
tan (tan 12tan 12tan tan αβαααα
=
=
≤
=
++
例7：2sin sin cos cos sin sin sin sin sin ααβαβαββα=+<+⇒>
例8：令0x =则sin 0θ>，令1x =则cos 0θ> 故原不等式化为
2
sin 0
2sin 1(1sin cos )(2sin 1)sin 0,
(0,1),cos 01sin cos 0
x x θθθθθθθθθ>⎧+⎪
++-++>∈∴>⇒⎨++⎪∆<⎩
sin 05cos 0(2,2),12121
sin 22
k k k Z θππ
θθππθ⎧
⎪>⎪>⇒∈++∈⎨⎪⎪>⎩
强化练习： 1. B 2. D 3. C 4. C 5. D 6. A
8. 5(,
)(,
)424
ππ
π
π1sin ,tan 2αα==
11. +
239
cos cos()2
729
αβαβ=
+=- 12.
1
32
13. 存在,6
4
π
π
αβ=
=。