山东省济宁市2020年5月高考模拟考试数学试题含答案
2020届山东省济宁市高考第二次模拟考理科数学模拟试题有答案(加精)
济宁市高三模拟考试理科数学试题本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足1z i z =+(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．设集合(){}1ln 2,2,2x A x y x B x A B ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==-=<⋂=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭则A ．{}1x x <-B ．{}2x x <C ．{}12x x -<<D ．{}2x x -1<≤3．设R θ∈，则“sin 2θ=”是“tan 1θ=”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．从1，2，3，4，5这5个数中任取2个数，则所取2个数之积能被3整除的概率是A ．25B ．310C ．35D ．455．已知,αβ是平面，m ，n 是直线，下列命题中不正确的是A ．,,//m m αβαβ⊥⊥若则B ．//,,m n m n αα⊥⊥若则C ．//,,//m n m n ααβ⋂=若则D ．,,m m αβαβ⊥⊂⊥若则 6．已知双曲线2221y x b-=的虚轴长是实轴长的2倍，则其顶点到渐近线的距离为A B C D7．()61211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是 A ．11-B ．5-C ．7D ．138．九连环是我国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．要将九连环中的九个圆环全部从框架上解下或套上，需要遵循一定的规律．解下或者套上所需要的最少移动次数可由右图所示的程序框图得到．执行该程序框图，输出的结果为A ．170B ．256C ．341D ．6829．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象 A ．关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 B ．关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 C ．关于直线12x π=对称 D ．关于直线12x π=-对称10．某组合体的三视图如图所示(其中侧视图中的弧线为半圆)，则该几何体的体积为A ．22π+B ．43π+C ．4433π+D ．423π+ 11．设非零向量,,a b c 满足0,2a b c a ++==，,120b c <>=o ，则b 的最大值为A ．1B ．23C ．43D ．212．已知(),,122x y f x ππ⎛⎫∈-=- ⎪⎝⎭为奇函数，()()tan 0f x f x x '+>，则不等式()cos f x x >的解 A ．,02π⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷(非选择题 共90分)13．已知变量,x y满足约束条件10 310,2310x yx y z x yx y+-≤⎧⎪-+≥=-⎨⎪--≤⎩则的最大值为▲．14.2017年底，某单位对100名职工进行绩校考核，依考核分数进行评估，考核评估后，得其频率分布直方图如图所示，估计这100名职工评估得分的中位数是▲．15.如图，在平面四边形ABCD中，45,60A B∠=∠=o o，150,24D AB BC∠===o，则四边形ABCD的面积为▲．16．抛物线()220y px p=>的焦点为F，A，B为抛物线上的两点，以AB为直径的圆过点F，过AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则MNMF的最大值为▲．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）已知数列{}n a满足2113,44412n n na a a a+==+-．(I)证明：1lg2na⎧⎫⎛⎫+⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭是等比数列；(II)记12111222n nR a a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭g g，求nR．18. (本小题满分12分)如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线AC将ACD∆折起，使得点D在平面ABC上的射影恰好落在边AB上.（I）求证：平面ACD⊥平面BCD；（II）若直线AB与平面BCD所成角为30o时，求二面角D AC B--的余弦值.19．(本小题满分12分)某单位计划组织200名职工进行一种疾病的筛查，先到本单位医务室进行血检，血检呈阳性者再到医院进一步检测．已知随机一人血检呈阳性的概率为1％，且每个人血检是否呈阳性相互独立．(I)根据经验，采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将待检人员随机分成20组，每组10人，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人呈阳性，再逐个化验．设进行化验的总次数为X ，试求X 的数学期望；(Ⅱ)若该疾病的患病率为0.5％，且患该疾病者血检呈阳性的概率为99％，该单位有一职工血检呈阳性，求该职工确实患该疾病的概率．(参考数据：0.9910=0.904，0.9911=0.895，0.9912=0.886．)20．(本小题满分12分)已知椭圆()222210x y C a b a b+=>>：的右焦点为F x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF BF +=(I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在定点E ，使得EM EN ⋅u u u u r u u u r 是定值?若存在，请求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．21．(本小题满分12分)已知函数()2ln f x x t x =-+． (I)讨论()f x 的单调性；(Ⅱ)当1t =时，若对任意(]1,0m ∈-，关于x 的方程()(]003f x ax m +-=在，内总有两个不同的根，求实数a 的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xoy 中，曲线121cos :4sin x C x y C y αα=+⎧+=⎨=⎩，曲线：（α为参数），过坐标原点O 的直线l 交曲线1C 于点A ，交曲线2C 于点B(点B 不是原点)．(I)以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，写出曲线1C 和2C 的极坐标方程； (Ⅱ)求OB OA的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)设函数()21f x x =-．(I)设()()15f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；(Ⅱ)已知m 为(I)中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=(其中,,a b c 为正实数)， 求证：1118a b c a b c---⋅⋅≥．/-------/-//-------/-/。
2020年山东新高考质量测评联盟高考数学模拟试卷(5月份) (解析版)
2020年山东新高考质量测评联盟高考数学模拟试卷（5月份）一、单项选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|y=√1−x}，B＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}，则（∁R A）∩B＝（）A．[1，3）B．（1，3）C．（﹣1，0]∪[1，3）D．（﹣1，0]∪（1，3）2．若复数z满足z（﹣1+2i）＝|1﹣i|2（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．−45B．45i C．45D．−45i3．已知直线l：y−√22=k（x+√22），则“k＝1”是“直线l与圆x2+y2＝1相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．如图所示．在梯形ABCD中，∠A=π2，AB∥CD，AB＝2，CD＝1．AD＝2，E，F分别为边CD，BC的中点，则AE→⋅AF→=（）A．54B．114C．3D．45．函数f（x）=(e x−1)ln|x|e x+1的部分图象大致为（）A．B．C．D．6．设函数f(x)={(x+1)4，x＞1√x3+1，x≤1，则当0＜x＜1时，f（f（x））表达式的展开式中二项式系数最大值为（）A．32B．.4C．.24D．.67．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、“特斯拉全自动驾驶芯片”、寒武纪云端AI 芯片、“思元270”、赛灵思“Versal 自适应计算加速平台”．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为（ ） A ．8991B ．291C ．98125D ．19278．已知直线y =√3x 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）相交于不同的两点A 和B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足AF ⊥BF ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√3B ．2C ．√3+1D ．√3+12二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分・9．2019年以来，世界经济和贸易增长放缓，中美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现出很强的韧性．今年以来，商务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策部署，出台了一系列政策举措，全力营造法治化、国际化、便利化的营商环境，不断提高贸易便利化水平，外贸稳规模、提质量、转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发展势头，如图是某省近五年进出口情况统计图，下列描述正确的是（ ）A ．这五年，2015年出口额最少B ．这五年，出口总额比进口总额多C ．这五年，出口增速前四年逐年下降D ．这五年，2019年进口增速最快10．将函数y ＝2cos x +l 图象上的各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移π12个単位，得到f （x ）的图象，下列说法正确的是（ ） A ．点（π6，0）是函数f （x ）图象的对称中心B ．函数f （x ）在（0，5π12）上单调递减 C ．函数f （x ）的图象与函数g （x ）＝2sin （2x +2π3）+1的图象相同 D ．若x 1，x 2是函数f （x ）的零点，则x 1﹣x 2是π的整数倍11．已知棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，过对角线BD 1作平面α交棱AA 1于点E ，交棱CC 1于点F ，以下结论正确的是（ ） A ．四边形BFD 1E 不一定是平行四边形B ．平面α分正方体所得两部分的体积相等C ．平面α与平面DBB 1不可能垂直D ．四边形BFD 1E 面积的最大值为√212．对于函数f(x)={cosπx ，x ∈[−12，32]12f(x −2)，x ∈(32，+∞)，下列结论正确的是（ ） A ．任取x 1，x 2∈[−12，+∞)，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤2恒成立 B ．对于一切x ∈[−12，+∞)，都有f （x ）＝2k f （x +2k ）（k ∈N *）C ．函数y ＝f （x ）﹣ln （x −12）有3个零点D ．对任意x ＞0，不等式f （x ）≤k x 恒成立，则实数k 的取值范围是[12，+∞）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f （x ）＝a sin x +2（a ∈R ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝﹣x +2，则a ＝ ． 14．已知a ＞1，b ＞0，且1a−1+1b=1，则a +b 的最小值是 ．15．已知抛物线y 2＝4x 焦点为F ，过点F 斜率为√3的直线l 交该抛物线于点A ，B （点A 在第一象限），与该抛物线的准线交于点C ，则|CB||AB|= ．16．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2√3，其内有2个不同的小球，球O 1与三棱锥A ﹣CB 1D 1的四个面都相切，球O 2与三棱锥A ﹣CB 1D 1的三个面和球O 1都相切，则球O 1的体积等于 ，球O 2的表面积等于 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }是等比数列，且a 1＝1，其中a 1，a 2+1，a 3+1成等差数列． （1）数列{a n }的通项公式；（2）记b n ={a n ，n 为奇数log 2a n ，n 为偶数，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．18．在①a =√3csinA −acosc ，②（2a ﹣b ）sin A +（2b ﹣a ）sin B ＝2c sin C 这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知△ABC 的角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，c =√3而且 _______． （1）求∠C ；（2）求△ABC 周长的最大值．19．已知四棱锥P ﹣ABCD ，底面ABCD 为矩形，AD ＝2，AB ＝2√2，PA =√3，E 为CD 中点，PA ⊥BD ．（1）求证：平面四PAE ⊥平面PBD ；（2）若PE ＝3，求二面角D ﹣PC ﹣A 的余弦值．20．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率为√63，且经过点A （√32，√32）．（1）求椭圆C 的方程；（2）若不过坐标原点的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，且满足OM →+ON →=λOA →，求△MON 面积最大时直线l 的方程．21．2018年3月份，上海出台了《关于建立完善本市生活垃圾全程分类体系的实施方案》，4月份又出台了《上海市生活垃圾全程分类体系建设行动计划（2018﹣2020年）》，提出到2020年底，基本实现单位生活垃圾强制分类全覆盖，居民区普遍推行生活垃圾分类制度．为加强社区居民的垃圾分类意识，推动社区垃圾分类正确投放，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者・（1）为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，其中被调查的男性居民和女性居民人数相同，男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的35，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的15，若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，则被调查的女性辱民至少多少人？附：k2=n(ad−bc)2(a+b)l(+d)(a+c)(b+d)，其n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 6.6357.87910.828（2）某垃圾站的日垃圾分拣量y（千克）与垃圾分类志愿者人数x（人）满足回归直线方程y=b x+a，数据统计如下：志愿者人数x（人）23456日垃圾分拣量y（千克）25304045t已知y=15∑5i=1y i=40，∑5i=1x i2=90，∑5i=1x i y i=885．请利用所给数据求t和回归直线方程y=b x+a；附：b=∑n i=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2，a=y−b x．（3）用（2）中所求的以性回归方程得到与x i对应的日垃圾分拣量的估计值yi．当分拣数据y i与估计值yi 满足|yi−y i|≤2时，则将分拣数据（x i，y i）称为一个“正常数据”．现从5个分拣数据中任取3个，记X表示取得“正常数据”的个数，求X的分布列和数学期望．22．已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣ln2（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝2时，求函数g（x）＝f（x）﹣cos x+ln2在（−π2，+∞）上的零点个数．参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A ＝{x |y =√1−x }，B ＝{x |（x +1）（x ﹣3）＜0}，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．[1，3）B ．（1，3）C ．（﹣1，0]∪[1，3）D ．（﹣1，0]∪（1，3）【分析】化简集合A 、B ，根据补集与交集的定义写出（∁R A ）∩B ． 解：集合A ＝{x |y =√1−x }＝{x |1﹣x ≥0}＝{x |x ≤1}＝（+∞，1]； 集合B ＝{x |（x +1）（x ﹣3）＜0}＝{x |﹣1＜x ＜3}＝（﹣1，3）， 则∁R A ＝（1，+∞）； 所以（∁R A ）∩B ＝（1，3）． 故选：B ．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2．若复数z 满足z （﹣1+2i ）＝|1﹣i |2（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．−45B ．45iC ．45D ．−45i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解：由z （﹣1+2i ）＝|1﹣i |2=(√2)2=2， 得z =2−1+2i =2(−1−2i)(−1+2i)(−1−2i)=−25−45i ， ∴复数z 的虚部为−45． 故选：A ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．已知直线l ：y −√22=k （x +√22），则“k ＝1”是“直线l 与圆x 2+y 2＝1相切”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】直线l 与圆x 2+y 2＝1相切，可得：|√22k+√22|√k 2=1，解得k ．即可判断出结论．解：直线l 与圆x 2+y 2＝1相切，可得：|√22k+√22|√k 2+1=1，解得k ＝1．∴“k ＝1”是“直线l 与圆x 2+y 2＝1相切”的充要条件． 故选：C ．【点评】本题考查了直线与圆相切的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．如图所示．在梯形ABCD 中，∠A =π2，AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝1．AD ＝2，E ，F 分别为边CD ，BC 的中点，则AE →⋅AF →=（ ）A ．54B ．114C ．3D ．4【分析】先根据向量的三角形法则把所求向量都用AD →，DC →表示出来，再代入数量积即可求解．解：因为在梯形ABCD 中，∠A =π2，AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝1．AD ＝2，E ，F 分别为边CD ，BC 的中点， 则AE →⋅AF →=（AD →+DE →）•12（AB →+AC →）=12（AD →+12DC →）•（AD →+DC →+AB →） =12（AD →+12DC →）•（AD →+3DC →）=12（AD →2+72AD →⋅DC →+32DC →2）=12（22+0+32×12） =114． 故选：B ．【点评】本题主要考查平面向量的数量积以及三角形法则和平面向量基本定理，属于中档题目．5．函数f （x ）=(e x −1)ln|x|e x +1的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】利用函数的奇偶性可排除AC ，利用f(12)＜0，可排除D ，进而得出正确选项．解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f(−x)=(e −x −1)ln|−x|e −x +1=(1−e x )ln|x|1+e x=−f(x)，则函数f （x ）为奇函数，可排除AC ； 又f(12)=(√e−1)ln 12√e+10，可排除D ． 故选：B ．【点评】本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题． 6．设函数f(x)={(x +1)4，x ＞1√x 3+1，x ≤1，则当0＜x ＜1时，f （f （x ））表达式的展开式中二项式系数最大值为（ ） A ．32B ．.4C ．.24D ．.6【分析】先由题设条件求出当0＜x ＜1时，f （f （x ））表达式，再利用二项式定理求出结果．解：由题设条件知：当0＜x ＜1时，f （x ）=√x 3+1＞1，∴当0＜x ＜1时，f （f （x ））＝（√x 3+2）4．由二项式定理可知：展开式中二项式系数最大值为C 42=6．故选：D ．【点评】本题主要考查分段函数及二项式定理的内容，属于基础题．7．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、“特斯拉全自动驾驶芯片”、寒武纪云端AI 芯片、“思元270”、赛灵思“Versal 自适应计算加速平台”．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为（ ） A ．8991B ．291C ．98125D ．1927【分析】基本事件总数n ＝15×15×15＝3375，至少有1名学生选择“芯片领域”的对立事件是没有学生选择“芯片领域”，由此能求出至少有1名学生选择“芯片领域”的概率．解：第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”， 其中有5项成果均属于芯片领域，现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，基本事件总数n ＝15×15×15＝3375，至少有1名学生选择“芯片领域”的对立事件是没有学生选择“芯片领域”，则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率P ＝1−1033375=1927．故选：D ．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．已知直线y =√3x 与双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）相交于不同的两点A 和B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足AF ⊥BF ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√3B ．2C ．√3+1D ．√3+12【分析】由题意设A ，B 的坐标，代入直线和双曲线的方程可得A ，B 的坐标，再由AF ⊥BF ，可得数量积FA →⋅FB →=0，可得a ，c 的关系，进而求出离心率． 解：由题意设A （x 0，y 0），B （﹣x 0，﹣y 0），F （﹣c ，0），则x 02a 2−y 02b 2=1，①因为AF ⊥BF ，所以FA →⋅FB →=0，即（x 0+c ，y 0）•（﹣x 0+c ，﹣y 0）＝0，可得c 2﹣x 02＝y 02，② 因为AB 在直线y =√3x 上，所以y 0x 0=√3，③由①②③可得e 4﹣8e 2+4＝0，解得e 2＝4+2√3，所以e =√3+1， 故选：C ．【点评】本题考查双曲线的性质，及直线的垂直用数量积为0表示，属于中档题．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分・9．2019年以来，世界经济和贸易增长放缓，中美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现出很强的韧性．今年以来，商务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策部署，出台了一系列政策举措，全力营造法治化、国际化、便利化的营商环境，不断提高贸易便利化水平，外贸稳规模、提质量、转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发展势头，如图是某省近五年进出口情况统计图，下列描述正确的是（）A．这五年，2015年出口额最少B．这五年，出口总额比进口总额多C．这五年，出口增速前四年逐年下降D．这五年，2019年进口增速最快【分析】根据条形统计图，结合选项判断即可．解：对于A，2015出口额最少，故A对；对于B，这五年，出口总额比进口总额多，故B对；对于C，2015﹣2016出口速率在增加，故C错；对于D，根据实线斜率可知，2019年进口速度最快，故D对．故选：ABD．【点评】本题考查条形统计图的应用，考查了数据分析能力这一核心素养，基础题． 10．将函数y ＝2cos x +l 图象上的各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移π12个単位，得到f （x ）的图象，下列说法正确的是（ ） A ．点（π6，0）是函数f （x ）图象的对称中心B ．函数f （x ）在（0，5π12）上单调递减 C ．函数f （x ）的图象与函数g （x ）＝2sin （2x +2π3）+1的图象相同 D ．若x 1，x 2是函数f （x ）的零点，则x 1﹣x 2是π的整数倍【分析】由题意利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．解：将函数y ＝2cos x +l 图象上的各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得y ＝2cos2x +1的图象； 再向左平移π12个単位，得到f （x ）＝2cos （2x +π6）+1 的图象，令x =π6，求得f （x ）＝1，故排除A ． 在（0，5π12）上，2x +π6∈（π6，π），故f （x ）＝2cos （2x +π6）+1 单调递减．故B 正确． ∵f （x ）＝2cos （2x +π6）+1＝2cos （﹣2x −π6）+1＝2sin[π2−（﹣2x −π6）]+1＝2sin （2x +2π3）+1＝g （x ）， 显然，g （x ）的周期为2π2=π，故C 正确．若x 1，x 2是函数f （x ）的零点，则x 1﹣x 2是π2 的整数倍，故D 不正确，故选：BC ．【点评】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于基础题．11．已知棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，过对角线BD 1作平面α交棱AA 1于点E ，交棱CC 1于点F ，以下结论正确的是（ ） A ．四边形BFD 1E 不一定是平行四边形B ．平面α分正方体所得两部分的体积相等C ．平面α与平面DBB 1不可能垂直D ．四边形BFD 1E 面积的最大值为√2【分析】直接利用几何体的体积分割法的应用，线面垂直的判定和性质的应用求出结果． 解：已知棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，过对角线BD 1作平面α交棱AA 1于点E ，交棱CC 1于点F ，对于选项A ：当E 为棱AA 1的中点E ，F 为棱CC 1的中点时，四边形BFD 1E 一定是平行四边形，故错误．对于选项B ：平面α分正方体所得两部分正好把几何体一分为二，根据对称性的应用，无论点F 和E 在哪个位置，都平分几何体的体积，故正确．对于选项C ：当E 为棱AA 1的中点E ，F 为棱CC 1的中点时，EF ⊥BD ，EF ⊥BB 1，所以：面α⊥平面DBB 1，故错误．对于选项D ：当点F 与A 重合时，点E 与C 1重合时，四边形BFD 1E 面积的最大，且最大值为值为√2×1=√2，故正确． 故选：BD ．【点评】本题考查的知识要点：几何体的体积分割法的应用，线面垂直的判定和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型． 12．对于函数f(x)={cosπx ，x ∈[−12，32]12f(x −2)，x ∈(32，+∞)，下列结论正确的是（ ） A ．任取x 1，x 2∈[−12，+∞)，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤2恒成立B ．对于一切x ∈[−12，+∞)，都有f （x ）＝2k f （x +2k ）（k ∈N *）C ．函数y ＝f （x ）﹣ln （x −12）有3个零点D ．对任意x ＞0，不等式f （x ）≤k x 恒成立，则实数k 的取值范围是[12，+∞）【分析】先在坐标系中画出y ＝f （x ）的图象，再画出y ＝ln （x −12）与y =k x图象，由数形结合选出正确选项．解：函数f （x ）的图象如上图所示，由图象可知f （x ）的最大值为1，最小值为﹣1，∴A 选项正确；又由图可知f （x +2k ）＝（12）k f （x ）（k ∈N *）即f （x ）＝2k f （x +2k ），∴B 选项正确；由图象知y＝f（x）与y＝ln（x−12）有3个交点，∴C选项正确；又由图象知对任意x＞0，不等式f（x）≤kx恒成立须k2n≥（12）n在n∈N*时恒成立，即k≥1，故D选项错误．故选：ABC．【点评】本题主要考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用，属于中档题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f（x）＝a sin x+2（a∈R）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣x+2，则a＝﹣1．【分析】对原函数求导，然后令x＝0处的导数为﹣1，即可求出a的值．解：由题意f′（x）＝a cos x，因为f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣x+2，∴f′（0）＝a＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，抓住切点处的导数等于切线斜率列方程是本题的关键．属于基础题．14．已知a＞1，b＞0，且1a−1+1b=1，则a+b的最小值是5．【分析】根据条件由a+b＝[（a﹣1）+b]（1a−1+1b）+1，利用基本不等式求出a+b的最小值即可．解：∵a ＞1，∴a ﹣1＞0． ∵1a−1+1b=1，∴a +b ＝[（a ﹣1）+b ]+1＝[（a ﹣1）+b ]（1a−1+1b ）+1＝3+b a−1+a−1b ≥3+2√b a−1⋅a−1b =5，当且仅当b a−1=a−1b，即a ＝3，b ＝2时取等号，∴a +b 的最小值为5． 故答案为：5．【点评】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属基础题．15．已知抛物线y 2＝4x 焦点为F ，过点F 斜率为√3的直线l 交该抛物线于点A ，B （点A 在第一象限），与该抛物线的准线交于点C ，则|CB||AB|=12．【分析】由题意画出图形，写出直线方程，与抛物线方程联立，求得A 、B 的坐标，进一步求出|BC |，|AB |的值即可． 解：如图，由条件可得F （1，0），则直线l 的方程为：y =√3x −√3， 联立{y =√3x −√3y 2=4x ，解得{x =3y =2√3或{x =13y =−2√33，即A （3，2√3），B （13，−2√33）， 且有C （﹣1，﹣2√3）， 所以|BC |=83，|AB |=163， 则|CB||AB|=83163=12，故答案为：12．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．16．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2√3，其内有2个不同的小球，球O 1与三棱锥A ﹣CB 1D 1的四个面都相切，球O 2与三棱锥A ﹣CB 1D 1的三个面和球O 1都相切，则球O 1的体积等于43π ，球O 2的表面积等于 π ．【分析】根据条件得到三棱锥A ﹣CB 1D 1为正三棱锥，且棱长均等于2√6，作出三棱锥，设出两球的半径，利用平面几何知识可得两圆的半径，进而可得到答案． 解：根据条件可得AC ＝AB 1＝AD 1＝B 1D 1＝CD 1＝CB 1＝2√3×√2=2√6，如图，取三棱锥A ﹣CB 1D 1，设球O 1半径为r 1，球O 2的半径为r 2，E 为CD 1中点，球O 1与平面ACD 1、B 1CD 1切于F 、G ，球O 2与平面ACD 1切于H ， 作截面AB 1E ，设正四面体A ﹣CB 1D 1的棱长为a ， 由平面几何知识可得1√36a =√63a−r 1√32a ，解得r 1=√612a =√612×2√6=1，同时√63a−2r 1−r 2√63a−r 1=r 2r 1，解得r 2=√624a =√624×2√6=12，则球O 1的体积等于43πr 13=43π，球O 2的表面积等于4πr 22＝4π×14=π．故答案为：43π；π．【点评】本题考查了四棱锥、球的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }是等比数列，且a 1＝1，其中a 1，a 2+1，a 3+1成等差数列． （1）数列{a n }的通项公式；（2）记b n ={a n ，n 为奇数log 2a n ，n 为偶数，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．【分析】（1）设数列{a n }是公比为q 的等比数列，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；（2）求得b n ，运用数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．解：（1）设数列{a n }是公比为q 的等比数列， 且a 1＝1，其中a 1，a 2+1，a 3+1成等差数列， 可得2（a 2+1）＝a 1+a 3+1，即2（1+q ）＝2+q 2， 解得q ＝2（0舍去）， 则a n ＝a 1q n ﹣1＝2n ﹣1； （2）b n ={a n ，n 为奇数log 2a n ，n 为偶数={2n−1，n 为奇数n −1，n 为偶数，前2n 项和T 2n ＝（1+4+16+…+22n ﹣2）+（1+3+5+…+2n ﹣1）=1−4n 1−4+12n （1+2n ﹣1）=4n 3−13+n 2． 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18．在①a =√3csinA −acosc ，②（2a ﹣b ）sin A +（2b ﹣a ）sin B ＝2c sin C 这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知△ABC 的角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，c =√3而且 _______． （1）求∠C ；（2）求△ABC 周长的最大值．【分析】（1）选①，先利用正弦定理化简可得sinA =√3sinCsinA −sinAcosC ，进而得到√3sinC −cosC =1，结合C 的范围即可求得C =π3；选②，先利用正弦定理可得（2a ﹣b ）a +（2b ﹣a ）b ＝2c 2，再利用余弦定理可得cosC =12，结合C 的范围即可求得C =π3；（2）由余弦定理可得a 2+b 2﹣ab ＝3，再利用基本不等式可得a +b ≤2√3，进而求得△ABC 周长的最大值．解：（1）选①，∵a =√3csinA −acosc ， ∴sinA =√3sinCsinA −sinAcosC ， ∵sin A ≠0，∴√3sinC −cosC =1，即sin(C −π6)=12， 又0＜C ＜π，∴−π6＜C −π6＜5π6，故C −π6=π6，即C =π3；选②，∵（2a ﹣b ）sin A +（2b ﹣a ）sin B ＝2c sin C ， ∴（2a ﹣b ）a +（2b ﹣a ）b ＝2c 2，即a 2+b 2﹣c 2＝ab ，∴cosC =a 2+b 2−c 22ab =12，∵0＜C ＜π， ∴C =π3；（2）由（1）可知，C =π3，在△ABC 中，由余弦定理得a 2+b 2﹣2ab cos C ＝3，即a 2+b 2﹣ab ＝3， ∴(a +b)2−3=3ab ≤3(a+b)24，∴a +b ≤2√3，当且仅当那个a ＝b 时取等号， ∴a +b +c ≤3√3，即△ABC 周长的最大值为3√3．【点评】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的运用，同时还涉及了基本不等式的运用，考查化简计算能力，属于中档题．19．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为矩形，AD＝2，AB＝2√2，PA=√3，E为CD 中点，PA⊥BD．（1）求证：平面四PAE⊥平面PBD；（2）若PE＝3，求二面角D﹣PC﹣A的余弦值．【分析】（1）先根据题设条件可得∠ABD＝∠DAE，进一步可证得BD⊥AE，而BD⊥PA，由此即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PCD及平面PAC的法向量，利用向量公式即可得解．解：（1）证明：在Rt△ABD中，22√2=√22，在Rt△DAE中，tan∠DAE=√22，∴tan∠ABD＝tan∠DAE，∴∠ABD＝∠DAE，又∵∠BAE+∠DAE＝90°，∴∠BAE+∠ABD＝90°，∴BD⊥AE，又∵BD⊥PA，PA∩AE＝A，∴BD⊥平面PAE，又BD在平面PBD内，∴平面PBD⊥平面PAE；（2）在Rt△ADE中，AE=√6，又PA=√3，PE=3，由勾股定理可得PA⊥AE，又∵PA⊥BD，且BD与AE相交，∴PA⊥平面ABCD，分别以AD，AB，AP所在直线x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(2，0，0)，P(0，0，√3)，C(2，2√2，0)，A(0，0，0)，∴DP→=(−2，0，√3)，PC→=(2，2√2，−√3)，AC→=(2，2√2，0)，设平面PDC的一个法向量为m→=(x，y，z)，则{m→⋅DP→=−2x+√3z=0m→⋅PC→=2x+2√2y−√3z=0，则可取m→=(√3，0，2)，同理可得平面PAC的一个法向量为n→=(√2，−1，0)，∴cos＜m→，n→＞=√6√7⋅√3=√147，由题意可知，二面角D﹣PC﹣A为锐二面角，∴二面角D﹣PC﹣A的余弦值为√14 7．【点评】本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角问题，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题．20．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√63，且经过点A（√32，√32）．（1）求椭圆C的方程；（2）若不过坐标原点的直线l与椭圆C相交于M、N两点，且满足OM→+ON→=λOA→，求△MON面积最大时直线l的方程．【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解a，b的值，则椭圆方程可求；（2）由题意可知，直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y＝kx+m（m≠0），M （x1，y1），N（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及向量等式可得k值，写出三角形面积公式，得到关于m的函数式，整理后利用基本不等式求最值，然后求得MN的方程．解：（1）由题意得，{ c a =√6334a 2+34b 2=1a 2=b 2+c 2，解得{a 2=3b 2=1． ∴椭圆C 的方程为x 23+y 2=1；（2）由题意可知，直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y ＝kx +m （m ≠0）， M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{x 23+y 2=1y =kx +m，得（3k 2+1）x 2+6kmx +3m 2﹣3＝0．△＝36k 2m 2﹣4（3k 2+1）（3m 2﹣3）＝12（3k 2+1﹣m 2）＞0，① x 1+x 2=−6km 3k 2+1，x 1x 2=3m 2−33k 2+1． ∴y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m 3k 2+1．∵OM →+ON →=λOA →，∴{x 1+x 2=−6km 3k 2+1=√32λy 1+y 2=2m3k 2+1λ，得k =−13．代入①得，−2√33＜m ＜2√33，且m ≠0．∴S △OMN =12|m|⋅|x 1−x 2|=12|m|⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=12|m|•√12(3k 2+1−m 2)3k +1=3|m|√4−3m 24=√3⋅√3m 2(4−3m 2)4≤√34⋅3m 2+4−3m 22=√32．当且仅当3m 2＝4﹣3m 2，即m =±√63时，上式等号成立，符合题意． ∴直线MN 的方程为y =−13x ±√63．【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．21．2018年3月份，上海出台了《关于建立完善本市生活垃圾全程分类体系的实施方案》，4月份又出台了《上海市生活垃圾全程分类体系建设行动计划（2018﹣2020年）》，提出到2020年底，基本实现单位生活垃圾强制分类全覆盖，居民区普遍推行生活垃圾分类制度．为加强社区居民的垃圾分类意识，推动社区垃圾分类正确投放，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者・（1）为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，其中被调查的男性居民和女性居民人数相同，男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的35，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的15，若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，则被调查的女性辱民至少多少人？附：k2=n(ad−bc)2(a+b)l(+d)(a+c)(b+d)，其n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 6.6357.87910.828（2）某垃圾站的日垃圾分拣量y（千克）与垃圾分类志愿者人数x（人）满足回归直线方程y=b x+a，数据统计如下：志愿者人数x（人）23456日垃圾分拣量y（千克）25304045t已知y=15∑5i=1y i=40，∑5i=1x i2=90，∑5i=1x i y i=885．请利用所给数据求t和回归直线方程y=b x+a；附：b=∑n i=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2，a=y−b x．（3）用（2）中所求的以性回归方程得到与x i对应的日垃圾分拣量的估计值yi．当分拣数据y i与估计值yi 满足|yi−y i|≤2时，则将分拣数据（x i，y i）称为一个“正常数据”．现从5个分拣数据中任取3个，记X表示取得“正常数据”的个数，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）设被调查的女性居民人数为5x，然后补充完整2×2列联表，再根据K2的公式计算出观测值，并与附表中的临界值进行对比列出关于x的不等式，解之即可得解；（2）结合表格中的数据、参考数据和参考公式计算出t、a、b即可得解；（3）把x1＝2，x2＝3，x3＝4，x4＝5，x5＝6分别代入（2）中得到的回归直线方程求出对应的yi ̂，再求出|y i −y i |，并与2比较大小后判断出是否属于“正常数据”，然后确定X 的可能取值为1，2，3，结合超几何分布计算概率的方式逐一求出每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．解：（1）设被调查的女性居民人数为5x ，则2×2列联表如下所示，不喜欢人数喜欢人数 合计 男 3x 2x 5x 女 x 4x 5x 合计4x6x10x∴K 2=10x⋅(3x⋅4x−2x⋅x)25x⋅5x⋅4x⋅6x=5x 3，∵犯错误的概率不超过0.010，∴5x 3≥6.635，解得5x ≥19.905，故被调查的女性居民至少有20人． （2）由表可知，x =2+3+4+5+65=4，y =15(25+30+40+45+t)=40，∴t ＝60．∴b =∑ 5i=1x i y i −nxy ∑ 5i=1x i2−nx2=885−5×4×4090−5×16=8.5，a =y −b x =40﹣8.5×4＝6， ∴回归直线方程为y =8.5x +6．（3）将x 1＝2，x 2＝3，x 3＝4，x 4＝5，x 5＝6分别代入回归直线方程得， y 1̂=23，y 2̂=31.5，y 3̂=40，y 4̂=48.5，y 5̂=57， ∴|y 1̂−y 1|=|23−25|=2≤2，属于“正常数据”， |y 2̂−y 2|=|31.5−30|=1.5≤2，属于“正常数据”， |y 3̂−y 3|=|40−40|=0≤2，属于“正常数据”， |y 4̂−y 4|=|48.5−45|=3.5＞2，不属于“正常数据”， |y 5̂−y 5|=|57−60|=3＞2，不属于“正常数据”， ∴随机变量X 的可能取值为1，2，3，P （X ＝1）=C 31C 22C 53=310，P （X ＝2）=C 32C 21C 53=35，P （X ＝3）=C 33C 53=110， ∴X 的分布列为X 123 P31035110数学期望E（X）=1×310+2×35+3×110=95．【点评】本题考查独立性检验、线性回归方程、超几何分布、离散型随机变量的分布列和数学期望等知识点，有一定的综合性，但难度不算大，考查学生灵活运用知识的能力和运算能力，属于中档题．22．已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣ln2（a∈一、选择题）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝2时，求函数g（x）＝f（x）﹣cos x+ln2在（−π2，+∞）上的零点个数．【分析】（1）先求出导函数f'（x），再对a分情况讨论，利用导函数的正负即可得到函数f（x）的单调性；（2）由已知得g（x）＝e x﹣2x﹣cos x，x∈（−π2，+∞），对x的范围分情况讨论，分别讨论函数g（x）的零点个数，从而得到g（x）在（−π2，+∞）上的零点个数为2个．解：（1）由已知得函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝e x﹣a，①当a≤0时，因为f'（x）＞0，所以f（x）在R上单调递增，②当a＞0时，令f'（x）＞0，得x＞lna；令f'（x）＜0，得x＜lna，所以f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，综上所述，当a≤0时，f（x）在R上单调递增；当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增；（2）由已知得g（x）＝e x﹣2x﹣cos x，x∈（−π2，+∞），则g'（x）＝e x+sin x﹣2，①当x∈(−π2，0)时，因为g'（x）＝（e x﹣1）+（sin x﹣1）＜0，所以g（x）在（−π2，0）上单调递减，所以g（x）＞g（0）＝0，所以g（x）在（−π2，0）上无零点，②当x∈[0，π2]时，因为g'（x）单调递增，且g'（0）＝﹣1，g'（π2）＝eπ2−1＞0，所以存在x0∈(0，π2)，使得g'（x0）＝0，当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0；当x∈(x0，π2)时，g'（x）＞0，所以g （x ）在[0，x 0]上单调递减，且g （0）＝0，所以g （x 0）＜0， 又因为g （π2）=e π2−π＞0，所以g （x 0）⋅g(π2)＜0，所以g （x ）在（x 0，π2）上存在一个零点，所以g （x ）在[0，π2]上有两个零点，③当x ∈（π2，+∞）时，g '（x ）＝e x +sin x ﹣2＞eπ2−3＞0，所以g （x ）在（π2，+∞）上单调递增，因为g （π2）＞0，所以g （x ）在（π2，+∞）上无零点，综上所述，g （x ）在（−π2，+∞）上的零点个数为2个．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的零点，是中档题．。
2020年山东省济宁市高考数学一模试卷(文科)
A. （0，1]
B. （0，1）
C. （1，+∞）
Байду номын сангаас
D. [1，+∞）
12. 已知双曲线
的左,右焦点分别为 , ,圆
与双
曲线在第一象限内的交点为 M,若
,则该双曲线的离心率为( )
A. 2
B. 3
C.
D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 曲线 f（x）=xex+2 在点（0，f（0））处的切线方程为______．
22. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M 的直角坐标为（1，0），直线 l 的参数方程
为
（t 为参数）；以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ=2cosθ． （Ⅰ）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线 l 和曲线 C 交于 A，B 两点，求
3.【答案】D
【解析】【分析】 本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法、数乘和数量积的运算．
2.【答案】C
【解析】【分析】 本题考查了集合的化简与运算问题，考查计算能力，是基础题目．化简集合 A、B，求 出 A∩B 即可． 【解答】 解：∵集合 A={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3}=[-1，3]， B={x|y=ln（2-x）}={x|2-x＞0}={x|x＜2}=（-∞，2）； ∴A∩B=[-1，2）． 故选 C．
14. 若变量 x，y 满足则目标函数
则目标函数 z=x+4y 的最大值为______
． 15. 若圆 C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4 上恰好有 3 个点到直线 y＝2x+b 的距离等于 1，
山东省济宁市2020届高三高考模拟考试数学试题 含答案
·. �. i' :· （川＿：：l ，济宁市12020年高考模拟考试2020.05注意事项：1.答题前考生务必将自己的姓名、准考证号在答题卡上涂写清楚：2：每小题选出答案后i 用2B 铅笔把答蝠卡上对应届臼的答案标号涂黑，如需改动，角橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出．的四个选项中，只有一项符l合题目要求J I.已知集合A=lx1χ2 -,2x-3 <01,B = !xl 2.r �＿！＿I ，贝�＂xeB ”是“xeA ”的2 A.充分不必要条件l B.必要不充分条件c .充耍条件D .既不充分也不必要条件2. i 是虚数单位，复数z ＝旦土i.cα＞0），若lz:l= 1，则α＝1 -2i8．．• A ÷，，｝ .，.川B .1 · ' ·’’C.2 D.33.双曲线Z-·－乙＝λ（λ＞0）的渐近线方程为.4 2 ．忌’A.y ＝土扫马 B.r = ±-fl-x 1 , : c . r 可2x D.y ＝个I .L 4已知α＝ln 言，b ＝肘，c =logλ则α，b ,c 的大小顺序为A.α＞b >cB. b ＞α＞cC. c ＞α＞b D .b >c >a5.已知（x -2)(x +m)5 ＝α6元6＋α.5X .5＋…＋α，x＋町，m 为常数，若α。
＝2，则αs =A.-7B.-2C.3D.76.《丸章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万剧，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟一万剧，问该粮仓的高是多少？”已知I斟粟的体积为2.7立方尺，一丈为10尺，该粮仓的外接球的体积是（）立方丈•. I A. 133．一－，，，.4 B .旦2臂48” .n ·c .i33、/i33何4 .. D. 133打育48 ,,,.7如图，在MBC中，LBAC=f ,AD =2DB,P 为CD 上一点，且满足AP=m.AC ＋担，若AC=--i ’－→ 3,AB =4，贝UAP ·en 的值为’ • ' .cA .-3 B.13－－12D.上12'Bc .1312 A 高三数学试题第1页（共4·页）数学试题8.已知π是一个三位正整数，若n 的十位数字大于个位数字〉百位数字大于十位数字｝则称n为三位递增数．已知α，b,cel0,1,2,3，例，设事件A为“由α，b,c 组成三位正整数”．事件B为“由α，b,c 组成三位正整数为递增数’·．则P(BIA)= 2…A .+B .上10 c 2 ·252－5’且－呵’』D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的是A.对具有线性相关关系的变量x，.有一组观测数据（x i ,Y i )(i =l,2，…，8），其线性回归方程是归卡＋ι且引＋乌＋句＋. +x g =2(y. +r 2�川B.正态分布N(1,9）在区间（－1,0）和（2,3）上取值的概率相等c.若两个随机变盘的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1D .若一组数据1，α，2,3的平均数是2，则这组数据的众数和中位数都是210.已知α，β是两个不同平面，m ,n 是两条不同直线i则下列命题中正确的是A.如果mJ.n,m J.α，nJ.β，那么α土β B.如果me α，α／／卢，那么ml/{3c.如果αnβ＝l,ml ／α，ml 徊，那么m//l D.如果mJ.n,m J.α，nll/3，那么α4β11.已知函数f (x)=cos(2x _:!!..) -2sin(.x ＋立）cos ( x + :!!.. ) ( x E R ），现给出下列四个命题，其34 4 中正确的是A.函数J （功的最小正周期为2作B .函数J（付的最大值为1C函数f(x ）在［-f.f ］上单调递增D .将函数J（功的图象向左平移立个单位长度，得到的函数解析式为g (x ),= s in 2x 12 12.已知抛物线E::i:2＝付的焦点为F，圆C：泸＋(y -1 )2 =16与抛物线E交于A,B 两点，点P 为劣弧AB 上不同于A,B 的一个动点，过点P作平行于y轴的直线l交抛物线E于点N，则下列四个命题中正确的是A.点P 的纵坐标的取值范围是（2./3,5)B .IPNI + INFI 等于点P 到抛物线准线的距离c.困C的圆心到抛物线准线的距离为2D. b.PF N 周长的取值范围是（8,10)高三数学试题第2页（共4页）王4填空题本题共4b题，每小题分，今io分；...川－·, i l：＂、、．、·；I 'l ' i , ，， ． 3.｝已知向盘a=:C 卡ψ，6}.:b '=2\x，）满足a/lb 典中元eR ；＂那么lbl ＝，。
济宁市2020届高三5月模拟考试数学试题及答案
济宁市2020届高三5月模拟考试数学试题一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合{}2123022xA x x xB x ⎧⎫--≥⎨⎬⎩⎭＝＜，＝，则““”x B x A ∈∈”是的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.i 是虚数单位，复数012a iz a i-＋＝（＞），若1z =，则a ＝ A ．12B ． 1C ． 2D ．3 3.双曲线22042y x λλ-＝（＞）的渐近线方程为 A ． 2y x =± B ． 2y x =±C ． 2y x =±D ．12y x =± 4.已知131lnlog 3,a b e c ππ＝，＝，＝则a b c ，，大小顺序为A ． a b c ＞＞B ． b a c ＞＞C ． c a b ＞＞D ．b c a ＞＞5.已知56655102x x m a x a x a x a -⋯+（）(+）＝+++，m 为常数，若02a ＝，则5a = A ． -7 B ． -2 C ． 3 D ．76.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知1斛票的体积为2.7立方尺，一丈为10尺，该粮仓的外接球的体积是（）立方丈A ．1334π B ． 13348π C ．133133π D ．133133π 7.如图，在△ABC 中，3BAC π∠＝，2ADDB u u ur u u u r ＝，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB u u u r u u u r u u u r ＝＋，若AC ＝3，AB ＝4，则·AP CD u u u r u u u r的值为A ． -3B ． 1312-C ． 1312D ．1128.已知n 是一个三位正整数，若n 的十位数字大于个位数字，百位数字大于十位数字，则称n 为三位递增数.已知{},,0,1,2,3,4a b c ∈，设事件A 为“由,,a b c 组成三位正整数”，事件B 为“由a b c ，，组成三位正整数为递增数”则|P B A （）＝A ．35 B ． 110 C ． 225 D ．1225二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分 9.下列说法中正确的是A.对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据1,2,,8i i x y i ⋯（，）（＝），其线性回归方程是$$123812381263y x a x x x x y y y y ⋯＝＋,且＋＋＋＋＝（＋＋＋...＋)＝，则实数$a 的值是18B.正态分布N （1，9）在区间（-1，0）和（2，3）上取值的概率相等C.若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1D.若一组数据1，a ，2，3的平均数是2，则这组数据的众数和中位数都是2 10.已知,a β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列命题中正确的是 A.如果m n m a n β⊥⊥⊥，，，那么a β⊥ B.如果m a a β⊂P ，那么m βP C.如果a l m a m ββIP P ＝，，，那么m l P D.如果m n m a n β⊥⊥P ，，，那么a β⊥ 11.已知函数cos 22sin cos )344f x x x x x R πππ--∈（）＝（）（＋）（＋）(，现给出下列四个命题，其中正确的是A.函数f x （）的最小正周期为2πB.函数(f x ）的最大值为1C.函数)f x （在[]44ππ-，上单调递增D.将函数f x （）的图象向左平移12π个单位长度，得到的函数解析式为sin 2g x x （）＝ 12.已知抛物线E:24x y ＝的焦点为F ，圆C:22116x y -＋（）＝与抛物线E 交于A ，B 两点点P 为劣弧»AB 上不同于A ，B 的一个动点，过点P 作平行于y 轴的直线l 交抛物线E 于点N ，则下列四个命题中正确的是A.点P 的纵坐标的取值范围是（）B.PN NF ＋ 等于点P 到抛物线准线的距离C.圆C 的圆心到抛物线准线的距离为2D.△PFN 周长的取值范围是（8，10）三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届山东新高考质量测评联盟5月联考试题数学试题及答案解析
13.函数 f(x)=asinx+2（a∈R）在点（0，f（0））处的切线方程为 y=-x+2,则 a=
.
11
14. 已知 a>1,b>0,且 + =1 ,则 a+b 的最小值是 .
1
2
15. 已知抛物线 y =4x 焦点为 F，过点 F 斜率为 3的直线 l 交该抛物线于点 A,B（点 A 在第
||
2
1
k
*
B.对于一切 x∈ − , +∞ ,都有 f（x）=2 f(x+2k)（k∈N ）
2
1
C.函数 y=f(x)-ln(x- )有 3 个零点
2
1
D.对任意 x>0,不等式 f(x)≤ 恒成立，则实数 A 的取值范围是［ , +∞）
2
三、 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分.
.（本题第一空 2 分， 第二空 3 分）
四、 解答题:本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 17. （10 分）已知数列{an}是等比数列，且 a1=1，其中 a1,a2,a3+1 成等差数列. (1) 数列{an}的通项公式；
多项符合题目要求.全部选对得 5 分,部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分・
9. 2019 年以来，世界经济和贸易增长放缓,中 美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现 出很强的韧性。今年以来，商务部会同各省市全面 贯彻落实稳外贸决策部署，出台了一系列政策举 措，全力营造法治化、国际化、便利化的营商环境， 不断提高贸易便利化水平，外贸稳规模、提质量、 转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发 展势头，右图是某省近五年进出口情况统计图，下 列描述正确的是
2020年山东省济宁市高考数学三模试卷(理科)含答案解析
2020年山东省济宁市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．32．设i是虚数单位，若复数a+（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）A．﹣ B．﹣C．D．3．二项式（x﹣）6的展开式中x﹣2的系数为（）A．6 B．15 C．20 D．284．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2被y轴截得的线段AB与被直线y=3x+b所截得的线段CD的长度相等，则b等于（）A．±B．±C．±2D．±5．若不等式e x＜|a|+|a﹣1|对任意a∈R恒成立，则实数x的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，10）C．（0，1）D．（﹣∞，1）6．命题p：a＜b，则ac2＜bc2；命题q：“x=”是“tanx=1”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）7．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如图所示，设s1，s2分别表示甲、乙两名运动员成绩的标准差，、分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（）A．，s1＜s2B．，s1＜s2C．，s1＞s2D．，s1＞s28．已知实数x，y满足，若z=4x﹣y的最大值是最小值的15倍，则m等于（）A．5 B．C．7 D．159．若函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象关于直线x=对称，且当x1，x2∈（﹣，﹣），x1≠x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）等于（）A．B．C．D．10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=﹣2px（p＞0）的焦点F与双曲线x2﹣8y2=8的左焦点重合，点A在抛物线上，且|AF|=6，若P是抛物线准线上一动点，则|PO|+|PA|的最小值为（）A．3 B．4C．3D．3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在答题卡中的横线上）11．已知函数f（x）=log2（2x+）为奇函数，则实数t的值为．12．记[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为．13．在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，∠BAD=60°，=t（0≤t≤1），且•=﹣1，则t=．14．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，设三棱锥A1﹣AEF和四棱锥A﹣BCFE的体积分别为V1，V2，则=．15．设M，N分别是曲线f（x）=﹣x3+x2（x＜）与g（x）=alnx（x≥）上一点，△MON是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知函数f（x）=sin2x+sin2x．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，△ABC的面积为3，求a的最小值．17．如图，在几何体ABCDQP中，AD⊥平面ABPQ，AB⊥AQ，AB∥CD∥PQ，CD=AD=AQ=PQ=AB．（1）证明：平面APD⊥平面BDP；（2）求二面角A﹣BP﹣C的正弦值．18．已知数列{a n}满足： ++…+=（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n a n+1，S n为数列{b n}的前n项和，对于任意的正整数n，S n＞2λ﹣恒成立，求实数λ的取值范围．19．2020年12月10日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿素人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω=x+y+z 的值评定人工种植的青蒿的长势等级，若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级，为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随即抽取了10块青蒿人工种植地，得到如表结果：种植地编号A1A2A3A4A5（x，y，z）（0，1，0）（1，2，1）（2，1，1）（2，2，2）（0，1，1）种植地编号A6A7A8A9A10（x，y，z）（1，1，2）（2，1，2）（2，0，1）（2，2，1）（0，2，1）（1）在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z相同的概率；（2）从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为m，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为n，记随机变量X=m﹣n，求X的分布列及其数学期望．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且点（1，）在椭圆上，经过椭圆的左顶点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P为线段AD的中点，OM∥l，并且OM交椭圆C于点M．（i）是否存在点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（ii）求的最小值．21．已知函数f（x）=（x＞0），m∈R．（1）若函数f（x）有零点，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）的图象在点（1，f（x））处的切线的斜率为，且函数f（x）的最大值为M，求证：1＜M＜．2020年山东省济宁市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集，即可作出判断．【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即B=（﹣1，3），∵A={0，1，2，3}，∴A∩B={0，1，2}，则A∩B中元素的个数为3，故选：D．2．设i是虚数单位，若复数a+（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）A．﹣ B．﹣C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵a+=是纯虚数，∴a+，即a=﹣．故选：A．3．二项式（x﹣）6的展开式中x﹣2的系数为（）A．6 B．15 C．20 D．28【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：二项式（x﹣）6的展开式中T r+1=x6﹣r=（﹣1）r x6﹣2r，令6﹣2r=﹣2，解得r=4．∴T5=x﹣2，∴x﹣2的系数为=15．故选：B．4．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2被y轴截得的线段AB与被直线y=3x+b所截得的线段CD的长度相等，则b等于（）A．±B．±C．±2D．±【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆C的圆心C（1，3），半径r=，求出圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2被y 轴截得的线段AB的长为2，从而得到圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2被直线y=3x+b所截得的线段CD的长度为2，再求出圆心C（1，3）到直线y=3x+b的距离d，由勾股定理得：，由此能求出b．【解答】解：圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2的圆心C（1，3），半径r=，联立，得或，∴圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2被y轴截得的线段AB的长为2，∵圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2被y轴截得的线段AB与被直线y=3x+b所截得的线段CD 的长度相等，∴圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2被直线y=3x+b所截得的线段CD的长度为2，∵圆心C（1，3）到直线y=3x+b的距离d==，∴由勾股定理得：，即2=，解得b=．故选：B．5．若不等式e x＜|a|+|a﹣1|对任意a∈R恒成立，则实数x的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，10）C．（0，1）D．（﹣∞，1）【考点】绝对值三角不等式．【分析】将x的值进行分段讨论，①0≤a≤1，②a＜0，③a＞1，从而可分别将绝对值符号去掉，得出a的范围，综合起来即可得出x的范围．【解答】解：当①0≤a≤1时，原不等式可化为：e x＜1，解得：x＜0；②当a＜0时，原不等式可化为：e x＜1﹣2a；此时可解得x＜0；③当a＞1时，原不等式可化为：e x＜2a﹣1，解得：x＜0；综合以上a的三个范围可得x＜0，即实数x的取值范围为（﹣∞，0）．故选：A．6．命题p：a＜b，则ac2＜bc2；命题q：“x=”是“tanx=1”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：c=0时不成立，即可判断出真假．命题q：利用正切函数的性质、充要条件的判定方法即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：a＜b，则ac2＜bc2，c=0时不成立，因此是假命题．命题q：“x=”是“tanx=1”的充分不必要条件，是真命题．∴下列命题为真命题的是（￢P）∧q．故选：C．7．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如图所示，设s1，s2分别表示甲、乙两名运动员成绩的标准差，、分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（）A．，s1＜s2B．，s1＜s2C．，s1＞s2D．，s1＞s2【考点】茎叶图．【分析】由茎叶图知甲、乙两名运动员测试的成绩，利用平均数、方差公式计算后比较大小．【解答】解：由茎叶图中的数据知，甲运动员测试成绩的平均数为=×（18+19+22+28+28）=23．方差为s12=×[（18﹣23）2+（19﹣23）2+（22﹣23）2+（28﹣23）2+（28﹣23）2]=；乙动员测试成绩的平均数为=×（16+18+23+26+27）=22，方差为s22=×[（16﹣22）2+（18﹣22）2+（23﹣22）2+（26﹣22）2+（27﹣22）2]=；∴＞，s12＜s22，∴s1＜s2．故选：B．8．已知实数x，y满足，若z=4x﹣y的最大值是最小值的15倍，则m等于（）A．5 B．C．7 D．15【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据直线平行求出目标函数的最大值和最小值建立方程关系进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，由z=4x﹣y得y=4x﹣z，平移直线y=4x﹣z，由图象知，当直线y=4x﹣z经过A时，直线的截距最大，此时z最小，经过点B时，直线的截距最小，此时z最大，由得，即A（1，），此时z最小值为z=4﹣，由得，即B（5，5），此时z最大值为z=4×5﹣5=15，∵z=4x﹣y的最大值是最小值的15倍，∴15=15（4﹣），即4﹣=1，得=3，即m=5，故选：A9．若函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象关于直线x=对称，且当x1，x2∈（﹣，﹣），x1≠x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）等于（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由正弦函数的对称性可得sin（2×+φ）=±1，结合范围|φ|＜，即可解得φ的值，得到函数f（x）解析式，由题意利用正弦函数的性质可得x1+x2=﹣代入函数解析式利用诱导公式即可计算求值．【解答】解：∵sin（2×+φ）=±1，∴φ=kπ+，k∈Z，又∵|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），当x∈（﹣，﹣），2x+∈（﹣，﹣π），区间内有唯一对称轴x=﹣，∵x1，x2∈（﹣，﹣），x1≠x2时，f（x1）=f（x2），∴x1，x2关于x=﹣对称，即x1+x2=﹣π，∴f（x1+x2）=．故选C．10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=﹣2px（p＞0）的焦点F与双曲线x2﹣8y2=8的左焦点重合，点A在抛物线上，且|AF|=6，若P是抛物线准线上一动点，则|PO|+|PA|的最小值为（）A．3 B．4C．3D．3【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出双曲线的左焦点得出抛物线的方程，解出A点坐标，取O关于准线的对称点B，则|AB|为|PO|+|PA|的最小值．【解答】解：双曲线的标准方程为，∴双曲线的左焦点为（﹣3，0），即F（﹣3，0）．∴抛物线的方程为y2=﹣12x，抛物线的准线方程为x=3，∵|AF|=6，∴A到准线的距离为6，∴A点横坐标为﹣3，不妨设A在第二象限，则A（﹣3，6）．设O关于抛物线的准线的对称点为B（6，0），连结AB，则|PO|=|PB|，∴|PO|+|PA|的最小值为|AB|．由勾股定理得|AB|===3．故选：D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在答题卡中的横线上）11．已知函数f（x）=log2（2x+）为奇函数，则实数t的值为．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由f（x）为奇函数便有f（﹣x）=﹣f（x），即得到=，分子有理化并进行对数的运算便可得到=，这样便可得出3t=1，从而求出实数t的值．【解答】解：f（x）为奇函数；∴f（﹣x）=﹣f（x）；即=；∴log2（3t）=0；∴3t=1；∴．故答案为：．12．记[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为7．【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=8时，退出循环，输出的S的值为7．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；S=0，n=0，执行循环体，S=0+[]=0，不满足条件n＞6，n=2，S=0+[]=1，不满足条件n＞6，n=4，S=1+[]=3，不满足条件n＞6，n=6，S=3+[]=5，不满足条件n＞6，n=8，S=5+[]=7，满足条件n＞6，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．13．在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，∠BAD=60°，=t（0≤t≤1），且•=﹣1，则t=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用表示出，，利用数量积的运算性质计算．【解答】解：=9，=4，=3×2×cos60°=3．∵==，．∴=（）•（）=﹣t+（t﹣1）=4﹣9t+3（t﹣1）=﹣6t+1．∴﹣6t+1=﹣1，解得t=．故答案为：．14．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，设三棱锥A1﹣AEF和四棱锥A﹣BCFE的体积分别为V1，V2，则=．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意求出正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积，再求出两个三棱锥A﹣BCFE的体积和A1﹣B1C1FE的体积，作差求得三棱锥A1﹣AEF的体积，则答案可求．【解答】解：如图，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为正三角形，侧棱垂直底面，∴三棱柱为正三棱柱，在底面正三角形ABC中，取BC中点D，连接AD，则AD⊥BC，∴AD⊥平面BCC1B1，∵AB=BC=AC=4，∴AD=．则．∵四边形BCFE与四边形EB1C1F均为直角梯形，且BE=EB1=3，C1F=CC1=2，CF=4．∴，．，．∴=．∴=．故答案为：．15．设M，N分别是曲线f（x）=﹣x3+x2（x＜）与g（x）=alnx（x≥）上一点，△MON是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是（0，]．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的值．【分析】由题意不妨设N（t，f（t））（t≥），由中点坐标公式求出M的坐标，利用向量垂直的条件列出式子并分离出a来，构造函数h（x）=（x+1）lnx（x≥），求出导数判断单调性、求出最值，可得到a的范围．【解答】解：由题意不妨设N（t，f（t））（t≥），由M、N的中点恰好在y轴上得M（﹣t，t3+t2），∵△MON是以O为直角顶点的直角三角形，∴，即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0①，当t≥时，f（t）=alnt，代入①式得：﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，即=（t+1）lnt，令h（x）=（x+1）lnx（x≥），则h′（x）=lnx+1+＞0，∴h（x）在[，+∞）上单调递增，∵t≥，∴h（t）≥h（）=（e+1，）∴h（t）的取值范围是[（e+1），+∞）．∴对于0＜a≤，方程①总有解，则满足条件．故答案为：（0，]．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知函数f（x）=sin2x+sin2x．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，△ABC的面积为3，求a的最小值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）+，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，即可得解函数f（x）的单调递减区间．（2）由f（）=，化简可得：sin（A﹣）=，由A∈（0，π），可得A﹣的范围，从而可求A的值，利用三角形面积公式可求bc=12，利用余弦定理，基本不等式即可解得a 的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x+sin2x=+sin2x=sin（2x﹣）+，∴2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数f（x）的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）∵f（）=，即：sin（2×﹣）+=，化简可得：sin（A﹣）=，又∵A∈（0，π），可得：A﹣∈（﹣，），∴A﹣=，解得：A=，∵S△ABC=bcsinA=bc=3，解得：bc=12，∴a==≥=2．（当且仅当b=c时等号成立）．故a的最小值为2．17．如图，在几何体ABCDQP中，AD⊥平面ABPQ，AB⊥AQ，AB∥CD∥PQ，CD=AD=AQ=PQ=AB．（1）证明：平面APD⊥平面BDP；（2）求二面角A﹣BP﹣C的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取AB中点E，连结PE，推导出PE⊥AB，AP⊥BP，从而PB⊥平面APD，由此能证明平面APD⊥平面BDP．（2）以A为原点，AQ为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BP﹣C的正弦值．【解答】证明：（1）取AB中点E，连结PE，∵AD⊥平面ABPQ，AB⊥AQ，AB∥CD∥PQ，设CD=AD=AQ=PQ=AB=1．∴PB⊥AD，PE=1，且PE⊥AB，∴AP=PB==，∴AP2+BP2=AB2，∴AP⊥BP，∵AD∩AP=A，∴PB⊥平面APD，∵PB⊂平面BDP，∴平面APD⊥平面BDP．解：（2）以A为原点，AQ为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，则P（1，1，0），B（0，2，0），C（0，1，1），=（1，﹣1，0），=（0，﹣1，1），设平面BPC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，1），平面ABP的法向量=（0，0，1），设二面角A﹣BP﹣C的平面角为θ，则cosθ==，∴sinθ==．∴二面角A﹣BP﹣C的正弦值为．18．已知数列{a n}满足： ++…+=（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n a n+1，S n为数列{b n}的前n项和，对于任意的正整数n，S n＞2λ﹣恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由题意和数列前n项和与通项公式的关系式，求出，即可求出a n；（2）把a n代入b n=a n a n+1化简，利用裂项相消法求出S n，根据数列的单调性求出S n的最小值，由恒成立的条件列出不等式，求出实数λ的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，当n=1时，，则a1=2，当n≥2时，，则，两式相减得，=，即a n=，当n=1时，也符合上式，则a n=；（2）由（1）得，b n=a n a n+1===2（），所以S n=2[（1﹣）+（）+（）…+（）]=2（1﹣），则n越大，越小，S n越大，即当n=1时，S n最小为S1=，因为对于任意的正整数n，S n＞2λ﹣恒成立，所以＞2λ﹣，解得，故实数λ的取值范围是（﹣∞，）．19．2020年12月10日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿素人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω=x+y+z 的值评定人工种植的青蒿的长势等级，若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级，为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随即抽取了10块青蒿人工种植地，得到如表结果：种植地编号A1A2A3A4A5（x，y，z）（0，1，0）（1，2，1）（2，1，1）（2，2，2）（0，1，1）种植地编号A6A7A8A9A10（x，y，z）（1，1，2）（2，1，2）（2，0，1）（2，2，1）（0，2，1）（1）在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z相同的概率；（2）从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为m，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为n，记随机变量X=m﹣n，求X的分布列及其数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；随机事件；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由表可知：空气湿度指标为0的有A1，空气湿度指标为1的有A2，A3，A5，A8，A9，A10，空气湿度指标为2的有A4，A6，A7，由此能求出这两地的空气温度的指标z 相同的概率．（2）由题意得长势等级是一级（ω≥4）有A2，A3，A4，A6，A7，A9，长势等级不是一级（ω＜4）的有A1，A5，A8，A10，从而随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）由表可知：空气湿度指标为0的有A1，空气湿度指标为1的有A2，A3，A5，A8，A9，A10，空气湿度指标为2的有A4，A6，A7，在这10块青蒿人工种植地中任取两地，基本事件总数n==45，这两地的空气温度的指标z相同包含的基本事件个数m==18，∴这两地的空气温度的指标z相同的概率p===．（2）由题意得10块青蒿人工种植的综合指标如下表：编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10综合指1 4 4 62 4 53 5 3标其中长势等级是一级（ω≥4）有A2，A3，A4，A6，A7，A9，共6个，长势等级不是一级（ω＜4）的有A1，A5，A8，A10，共4个，随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，5，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==，∴X的分布列为：X 1 2 3 4 5PE（X）=+=．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且点（1，）在椭圆上，经过椭圆的左顶点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P为线段AD的中点，OM∥l，并且OM交椭圆C于点M．（i）是否存在点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（ii）求的最小值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率和点（1，）在椭圆上，结合隐含条件列式求得a，b的值，则椭圆C的标准方程可求；（2）（i）直线l的方程为y=k（x+3），与椭圆联立，得（1+9k2）x2+54k2x+81k2﹣9=0，由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果；（ii）OM的方程可设为y=kx，与椭圆联立得M点的横坐标为x=±，由OM∥l，把转化为点的横坐标的关系求得答案．【解答】解：（1）由题意可知，，解得：a2=9，b2=1．∴椭圆C的方程为；（2）（i）直线l的方程为y=k（x+3），由，得（1+9k2）x2+54k2x+81k2﹣9=0，∴x1=﹣3，．当x=时，y=k（+3）=，∴D（，）．∵点P为AD的中点，∴P的坐标为（），则（k≠0）．直线l的方程为y=k（x+3），令x=0，得E点坐标为（0，3k），假设存在定点Q（m，n）（m≠0），使得OP⊥EQ，则k OP k EQ=﹣1，即﹣•=﹣1恒成立，∴（9m+3）k﹣n=0恒成立，∴，即，∴定点Q的坐标为（﹣，0）．（ii）∵OM∥l，∴OM的方程可设为y=kx，由，得M点的横坐标为x=±，由OM∥l，得=====．当且仅当，即k=±时取等号，∴当k=±时，的最小值为．21．已知函数f（x）=（x＞0），m∈R．（1）若函数f（x）有零点，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）的图象在点（1，f（x））处的切线的斜率为，且函数f（x）的最大值为M，求证：1＜M＜．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由题意可得f（x）=0有解，即m+lnx=0有解，即有﹣m=，设g（x）=，求得导数和单调区间，可得极大值，且为最大值，即可得到m的范围；（2）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，可得m=1，再令f′（x）=0，设出极大值点，也即最大值点，运用函数零点存在定理，可得t的范围，化简整理由二次函数的单调性，即可得证．【解答】解：（1）若函数f（x）有零点，则f（x）=0有解，即m+lnx=0有解，即有﹣m=，由g（x）=的导数为g′（x）=，当x＞e2时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜e2时，g′（x）＞0，g（x）递增．可得g（x）在x=e2时，取得极大值，且为最大值，可得﹣m＞，解得m＜﹣，则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣）；（2）证明：函数f（x）=（x＞0）的导数为f′（x）=，可得f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1﹣=，解得m=1，即有f（x）=的导数为f′（x）=，令f′（x）=0，可得lnx+=1，设方程的解为t，由h（x）=lnx+﹣1递增，且h（1）﹣1=﹣＜0，h（）=ln+﹣1＞0，可得1＜t＜，且lnt+=1，即有f（x）的最大值为f（t）===+=（+）2﹣，可得f（t）在（1，）递减，f（1）=，f（）=+＞1，即有f（t）∈（f（），f（1）），则有1＜M＜．第21页（共22页）2020年8月7日第22页（共22页）。
【附28套精选模拟试卷】山东省济宁市2020届高三第一次模拟考试数学(理)试题及答案
山东省济宁市2020届高三第一次模拟考试数学（理）试题及答案 本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分．考试用时120分钟，考试结束 后，将试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号填写在答题纸上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题纸各题指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A 、B 独立，那么P(AB)=P(A)·P(B)第I 卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数211i z i +=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合{}211,3402x A x B x x x A B ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=-->⋂⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则等于A.{}0x x >B. {}0x x x <-1>或C.{}4x x >D. {}4x x -1≤≤ A.88 88B.90 89C.89 88D.89 90 4.若点(),P x y 满足线性约束条件20220,40x y x y z x y y -≤⎧⎪-+≥=+⎨⎪≥⎩则的最大值为A.1B.2C.3D.45.给出命题p ：直线()3102110ax y x a y ++=+++=与直线互相平行的充要条件是3a =-；命题q ：若210mx mx --<恒成立，则40m -<<.关于以上两个命题，下列结论正确的是A.命题“p q ∧”为真B. 命题“p q ∨”为假C.命题“p q ∧⌝”为真D. 命题“p q ∨⌝”为真 6.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c.若sin sin 3sin sin .aA c C a C bB +-=则角B 等于A.56πB.23π C.3π D.6π 7.函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象大致是8.已知向量()()11,1,1,2,0,0,//a m n b m n a b m n=-=>>+其中若，则的最小值是 A.22 B.322+ C.42 D.32 9.设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间(]0,3上有三个零点，则实数a 的取值范围是A.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.ln 3,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.ln 30,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.ln 31,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 10.已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，点P 是该双曲线和圆2222x y a b +=+的一个交点，若1221sin 2sin PF F PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率是A.10B.5C.10D.10 第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数1lg 123x y x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的定义域是 ▲ . 12.阅读如图所示的程序框图，若输出()f x 的范围是2,2⎡⎤⎣⎦，则输入实数x 的范围应是 ▲ .13.已知在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱11A B 的中点，则直线AE 与平面11BDD B 所成角的正弦值是 ▲ .14.若()()()()()234525012345411111x x a a x a x a x a x a x a +=+-+-+-+-+-，则 = ▲ .15.设区域Ω是由直线0,=1x x y π==±和所围成的平面图形，区域D 是由余弦曲线y=cosx 和直线x=0,x=π和y=1±所围成的平面图形，在区域Ω内随机抛掷一粒豆子，则该豆子落在区域D 的概率是 ▲ .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数()3sin cos .34f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ （I ）当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域； （II ）将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的表达式及对称轴方程. 17.（本小题满分12分）如图，已知斜三棱柱ABC 111A B C -的底面是正三角形，点M 、N 分别是1111B C A B 和的中点，112,60AA AB BM A AB ===∠=o .（I ）求证：BN ⊥平面111A B C ；（II ）求二面角1A AB M --的余弦值.18.（本小题满分12分）甲、乙、丙三位同学彼此独立地从A 、B 、C 、D 、E 五所高校中，任选2所高校参加自主招生考试（并且只能选2所高校），但同学甲特别喜欢A 高校，他除选A 校外，在B 、C 、D 、E 中再随机选1所；同学乙和丙对5所高校没有偏爱，都在5所高校中随机选2所即可.（I ）求甲同学未选中E 高校且乙、丙都选中E 高校的概率；（II ）记为甲、乙、丙三名同学中未参加E 校自主招生考试的人数，求的分布列及数学期望.19.（本小题满分12分）在等比数列{}121342,,n a a a a a a =+中，已知，且成等差数列.（I ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（II ）设数列{}2n n a a -的前n 项和为2,nn n n S b S =记，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20.（本小题满分13分） 已知抛物线214x y =的焦点与椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的一个焦点重合，12F F 、是椭圆C 的左、右焦点，Q 是椭圆C 上任意一点，且12QF QF ⋅u u u r u u u u r 的最大值是3.（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点(),0P m ，使得PM 、PN 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由.21.（本小题14分）设函数()()2ln f x ax x a R =--∈.（I ）若()()(),f x e f e 在点处的切线为20,x ey e a --=求的值；（II ）求()f x 的单调区间；（III ）当()0.x x f x ax e >0-+>时，求证：高考模拟数学试卷第Ⅰ卷注意事项：第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分。
2020届山东省济宁市高三模拟考试数学文试卷(原卷版)
2020届济宁市高考模拟考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，{}3,4,5M =，{2,3}N =，则集合()U C N M =（ ） A. {2} B. {1,3} C. {2,5}D. {4,5} 2.复数z 满足(32)43i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3.设a R ∈，“1，a ，16为等比数列”是“4a =”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 4.平面向量a 与b 的夹角为23π，(2,0)a =，1b ||=，则2a b +=（ ） A . 1B. 2C. D. 4 5.函数sin(2)3y x π=+的图象可由cos 2y x =的图象如何得到( ) A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移6π个单位 D. 向右平移6π个单位 6.设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x ＋2x ＋b(b 为常数)，则f(－1)＝( )A. 3B. 1C. －1D. －37.在区间[]0,π上随机地取一个数x，则事件“1tan -≤≤x ） A. 712 B. 23 C. 13 D. 148.执行如图所示的程序框图，则输出的S 为A. －2B. 12C. 43D. 3 9.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为2(0)c c >，抛物线22y cx =的准线交双曲线左支于,A B 两点，且0120(AOB O ∠=为坐标原点），则该双曲线的离心率为 （ ）A .1 B. 211 10.定义在1,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的函数()f x ，满足1()()f x f x =，且当1,1x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在1,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. ln ,0ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. []ln ,0ππ-C. 1ln ,e ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 1,2e π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知0i a >（1i =，2,3，…， n ），观察下列不等式： 127()(a a =-⋅；1233a a a ++≥12344a a a a +++≥ ……照此规律，当*n N ∈（2n ≥）时， 12n a a a n+++≥…__________． 12.一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的体积为__________．13.若x ，y 满足约束条件210,{270,1,x y x y x --≤+-≤≥则1y x +的取值范围为__________． 14.已知圆1C ：224x y +=和圆2C ：22(2)(2)4x y -+-=，若点(,)P a b （0a >，0b >）在两圆的公共弦上，则19a b+的最小值为__________． 15.若函数()()12,2,{ log ,2a a x a x f x x x --<=≥在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．（Ⅰ）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？（Ⅱ）在（Ⅰ）中优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．17.设1()cos )sin()22222x x x f x π=++-． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知1()32f A π+=-，a =ABC ∆面积的最大值．18.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，且平面PAC ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA PC =，22AB BC ==，60ABC ∠=︒．（Ⅰ）求证：//PB 平面ACE ；（Ⅱ）求证：平面PBC ⊥平面PAC ．19.已知n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，且22n n n S a a =+，等比数列{}n b 的公比1q >，12b =，且1b ，3b ，210b +成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设121(1)n n n n n n n c a b a a ++=⋅+-⋅，记21232n n T c c c c =++++…，求2n T ． 20.已知函数21()=()()2x f x xe a x x a R -+∈．（Ⅰ）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若(2,0)x ∀∈-，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性．21.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>1l ：1x y a b +=被椭圆C（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线1l 与圆D ：22640x y x y m +--+=相切：（i ）求圆D 的标准方程；（ii）若直线2l过定点(3,0)，与椭圆C交于不同的两点E、F，与圆D交于不同的两点M、N，求 的取值范围．||||EF MN。
山东省济宁市2020届高三数学第一次高考模拟试题 理(2020济宁一模,无答案)
山东省济宁市2020届高三第一次模拟考试数学（理工类）试题2020.03本试题分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
注意事项：1.第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.参考公式：柱体的体积公式：V=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高. 锥体的体积公式：Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 圆柱的侧面积公式：cl S =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长. 球的表面积公式：24R S π=，其中R 是球的半径.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{x N x U *∈=＜}6，集合(){}5,3,3,1==B A ，则()B A C U ⋃等于 A.{}4,1 B.{}5,1 C.{}5,2 D.{}4,22.已知i 是虚数单位，复数()iz 31-=()i -3， z 是z 的共轭复数，则 z 的虚部为 A.4 B.—4 C.2D.—2 3.已知2:;41x q x p ：≤+ ＜65-x .则p 是q 成立的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A.π5B.π6C.π7D.π85.在ABC ∆中，o 30,1,3===B AC AB 则ABC ∆的面积等于A.23B.43C.23或43D.23或3 6.已知(x y x 182=+＞0，y ＞)0，则y x +的最小值为 A.20 B.18C.16D.14 7.已知n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32的展开式中二项式系数的和为16，则展开式中含x 项的系数为 A. 2500B.240C.224D.14 8.函数()ππ≤≤-=x e y x sin 的图象大致为9.若等边ABC ∆的边长为32，平面内一点M 满足CA CB CM 3131+=，则⋅等于 A.32 B.32-C.2D. 2- 10.已知抛物线y x 122=的焦点与双曲线132-=-y ax 的一个焦点重合，则以此抛物线的焦点为圆心，双曲线的离心率为半径的圆的方程是A.()9322=-+y xB.()3322=+-y xC.()3322=-+y xD.()9322=+-y x 11.已知平面向量()()()y x c b a ,,1,2,2.1===，且满足.0,0≥≥y x 若,1,1≥⋅≥⋅c b c a ()c b a z ⋅+-=，则A.z 有最小值2-B.z 有最大值2-C.z 有最小值3-D.z 有最大值3-12.已知定义域为R 的函数()x f 既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23,0x 时，()023,sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛=f x x f π，则函数()x f 在区间[]6,0上的零点个数是A.9B.7C.5D.3第II 卷（非选择题 共90分）注意事项：1.第II 卷共2页，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔，要字体工整，笔迹清晰，严格在题号所指示的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共4小题，共16分，将答案填写在答题纸上.13.执行如图所示的程序框图，那么输出的S 的值是_____▲______. 14.如图，圆222:π=+y x O 内的正弦曲线x y sin =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），在圆O 内随机取一个点A ，则点A 取自区域M 内的概率是_____▲______.15.已知数列{}n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为数列{}n a 的前n 项和，*N n ∈，则S 13的值为_____▲______.16.给出下列命题：①命题“x x R x -∈∃2,＞0”的否定是“0,2≤-∈∀x x R x ”； ②命题“若2am ＜2bm ，则a ＜b ”的逆命题是真命题；③()x f 是()()+∞⋃∞-,00,上的奇函数，x ＞0时的解析式是().2*=x f 则x ＜0时的解析式为()x x f --=2；④若随机变量(),,1~2σξN 且()3.010=≤≤ξP ，则().2.02=≥ξP 其中真命题的序号是_____▲______.（写出所有你认为正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知函数()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤+----=2021cos cos sin 32πϕϕϕϕx x x x f 为偶函数.（I ）求函数()x f 的最小正周期及单调减区间；（II ）把函数()x f 的图象向右平移6π个单位（纵坐标不变），得到函数()x g 的图象，求函数()x g 的对称中心.18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为A n ，且满足;63,6951==+A a a 数列{}n b 的前n 项和为B n ，且满足()*12N n b B n n ∈-=. （I ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式a b ，b n ；（II ）设n n n b a c ⋅=求数列{}n c 的前n 项和S n .19.（本小题满分12分）某高中社团进行社会实验，对[]55,25岁的人群随机抽取1000人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”.通过调查得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，其中在[)45,40岁、[)50,45岁年龄段人数中，“时尚族”人数分别占本组人数的40%、30%.请完成以下问题：（I ）求[)45,40岁与[)50,45岁年龄段“时尚族”的人数；（II ）从[)45,40岁和[)50,45岁年龄段的“时尚族”中，采用分层抽样法抽取9人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，已选取的3名领队中年龄在[)45,40岁的人数为X ，求X 的分布列和数学期望EX.20.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥ABCD P -，底面ABCD 为菱形，⊥PA 平面ABCD ，∠ABC=60°，E 、F 分别是BC ，PC 的中点，AB=2，AP=2.（I ）求证：AE ;PD ⊥（II ）求二面角C AF E --的余弦值.21.（本小题满分12分） 已知椭圆(a b y a x C 1:2222=+＞b ＞)0的离心率为21，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线06=+-y x 相切.（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）设点P （4，0），A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 与另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点.22.（本小题满分14分）已知函数()()()x e x g x f b x ax x g '=++=,213123，其中e 为自然对数的底数 （I ）若函数()x g 在点()()1,1g 处的切线与直线012=+-y x 垂直，求实数a 的值； （II ）若()x f 在[]1,1-上是单调增函数，求实数a 的取值范围；（III ）当a =0时，求整数k 的所有值，使方程()2+=x x f 在[]1,+k k 上有解.。
2020年山东省济宁市高考数学(5月份)模拟试卷 (解析版)
2020年山东省济宁市高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（共8小题）.1．已知集合A ={x|x 2−2x −3＜0}，B ={x|2x ≥12}，则“x ∈B ”是“x ∈A ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．i 是虚数单位，复数z =a+i1−2i(a ＞0)，若|z |＝1，则a ＝（ ） A ．12B ．1C ．2D ．33．双曲线y 24−x 22=λ(λ＞0)的渐近线方程为（ ）A ．y =±√2xB ．y =±√22xC ．y ＝±2xD ．y =±12x4．已知a =ln 1π，b =e 13，c =log π3，则a ，b ，c 大小顺序为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a5．已知（x ﹣2）（x +m ）5＝a 6x 6+a 5x 5+…+a 1x +a 0，m 为常数，若a 0＝2，则a 5＝（ ） A ．﹣7B ．﹣2C ．3D ．76．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知1斛票的体积为2.7立方尺，一丈为10尺，该粮仓的外接球的体积是（ ）立方丈 A ．1334π B ．13348πC ．133√1334πD ．133√13348π7．如图，在△ABC 中，∠BAC =π3，AD →=2DB →，P 为CD 上一点，且满足AP →=mAC →+12AB →，若AC ＝3，AB ＝4，则AP →⋅CD →的值为（ ）A ．﹣3B ．−1312C ．1312D ．1128．已知n 是一个三位正整数，若n 的十位数字大于个位数字，百位数字大于十位数字，则称n 为三位递增数．已知a ，b ，c ∈{0，1，2，3，4}，设事件A 为“由a ，b ，c 组成三位正整数”，事件B为“由a，b，c组成三位正整数为递增数”则P（B|A）＝（）A．35B．110C．225D．1225二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9．下列说法中正确的是（）A．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（x i，y i）（i＝1，2，…，8），其线性回归方程是y^=13x+a^，且x1+x2+x3+…+x8＝2（y1+y2+y3+…+y8）＝6，则实数a^的值是18B．正态分布N（1，9）在区间（﹣1，0）和（2，3）上取值的概率相等C．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1D．若一组数据1，a，2，3的平均数是2，则这组数据的众数和中位数都是210．已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列命题中正确的是（）A．如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥βB．如果m⊂α，α∥β，那么m∥βC．如果α∩β＝l，m∥α，m∥β，那么m∥lD．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β11．已知函数f(x)=cos(2x−π3)−2sin(x+π4)cos(x+π4)(x∈R)，现给出下列四个命题，其中正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的最大值为1C．函数f（x）在[−π4，π4]上单调递增D．将函数f（x）的图象向左平移π12个单位长度，得到的函数解析式为g（x）＝sin2x 12．已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，圆C：x2+（y﹣1）2＝16与抛物线E交于A，B两点点P为劣弧AB̂上不同于A，B的一个动点，过点P作平行于y轴的直线l交抛物线E 于点N，则下列四个命题中正确的是（）A．点P的纵坐标的取值范围是(2√3，5)B．|PN|+|NF|等于点P到抛物线准线的距离C．圆C的圆心到抛物线准线的距离为2D．△PFN周长的取值范围是（8，10）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a→=(−4，6)，b→=(2，x)满足a→∥b→，其中x∈R，那么|b→|=14．已知tan（α+β）=25，tanβ=13，则tan（α+π4）的值为．15．已知首项与公比相等的等比数列{a n}，中，若m，n∈N*，满足a m a n2＝a42，则2m+1n的最小值为，等号成立时m，n满足的等量关系是．16．设f（x）是定义在R上的偶函数，∀x∈R，都有f（2﹣x）＝f（2+x），且当x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣2，若函数g（x）＝f（x）﹣log a（x+1）（a＞0，a≠1）在区间（﹣1，9]内恰有三个不同零点，则实数a的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在①sin A，sin B，sin C成等差数列；②sin B，sin A，sin C成等比数列；③2bcosC=2a−√3c三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S．若______，且4S=√3(b2+c2−a2)，试判断△ABC的形状．18．已知数列{a n}为等差数列，且a2＝3，a4+a5+a6＝0．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n，及前n项和S n；（Ⅱ）请你在数列{a n}的前4项中选出三项，组成公比的绝对值小于1的等比数列{b n}的前3项，并记数列{b n}的前n项和为T n．若对任意正整数k，m，n，不等式S m＜T n+k 恒成立，试求k的最小值．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝PD＝2AB ＝2BC＝2，M为PA的中点．（Ⅰ）求证：BM∥平面PCD；（Ⅱ）若平面ABCD⊥平面PAD，异面直线BC与PD所成角为60°，且△PAD为钝角三角形，求二面角B﹣PC﹣D的正弦值．20．在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习．某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后得到如下2×2列联表：分数不少于120分分数不足120分合计 线上学习时间不少于5小时 4 19 线上学习时间不足5小时合计45（1）请完成上面2×2列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）（Ⅰ）按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）；（Ⅱ）若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差． （下面的临界值表供参考） P （K 2≥k 0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中n ＝a +b +c +d ） 21．已知两个函数f(x)=e xx ，g(x)=lnx x +1x −1． （Ⅰ）当t ＞0时，求f （x ）在区间[t ，t +1]上的最大值；（Ⅱ）求证：对任意x ∈（0，+∞），不等式f （x ）＞g （x ）都成立． 22．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，若椭圆的长轴长等于x 2+y 2﹣2x ﹣3＝0的直径，且2e ，a ，b 2成等差数列 （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）（x 1≠x 2）是椭圆E 上不同的两点，线段AB 的垂直平分线l 交x 轴于点P （x 0，0），试求点P 的横坐标x 0的取值范围．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合A ={x|x 2−2x −3＜0}，B ={x|2x ≥12}，则“x ∈B ”是“x ∈A ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】利用不等式的解法、函数的单调性分别化简A ，B ，即可判断出关系． 解：集合A ={x|x 2−2x −3＜0}，B ={x|2x ≥12}，则A ＝[﹣1，3]，B ＝[﹣1，+∞）． “x ∈B ”是“x ∈A ”的必要不充分条件． 故选：B ．2．i 是虚数单位，复数z =a+i1−2i(a ＞0)，若|z |＝1，则a ＝（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3【分析】利用复数模的运算性质即可得出．解：复数z =a+i1−2i (a ＞0)，若|z |＝1，则√a 2+122=1，解得a ＝2． 故选：C ． 3．双曲线y 24−x 22=λ(λ＞0)的渐近线方程为（ ）A ．y =±√2xB ．y =±√22xC ．y ＝±2xD ．y =±12x【分析】双曲线y 24−x 22=λ(λ＞0)求出a ，b ，可得渐近线方程．解：双曲线y 24−x 22=λ(λ＞0)的中a ＝2√λ，b =√2λ，∴渐近线方程为y ＝±2√λ√2√λx =±√2x ，故选：A ．4．已知a =ln 1π，b =e 13，c =log π3，则a ，b ，c 大小顺序为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵a ＝ln1π=−ln π＜0，∴a ＜0，∵e 13＞e 0=1，∴b ＞1，∵log π1＜log π3＜log ππ＝1，∴0＜c ＜1， ∴b ＞c ＞a ， 故选：D ．5．已知（x ﹣2）（x +m ）5＝a 6x 6+a 5x 5+…+a 1x +a 0，m 为常数，若a 0＝2，则a 5＝（ ） A ．﹣7B ．﹣2C ．3D ．7【分析】先利用赋值法求出a 0的表达式，再利用a 0＝2求出m ，然后利用二项式定理求出结果．解：∵（x ﹣2）（x +m ）5＝a 6x 6+a 5x 5+…+a 1x +a 0，∴当x ＝0时，有﹣2m 5＝a 0＝2，解得m ＝﹣1．∵（x ﹣2）（x +m ）5＝（x ﹣2）（x ﹣1）5，∴a 5＝C 51×（﹣1）﹣2C50=−7．故选：A ．6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知1斛票的体积为2.7立方尺，一丈为10尺，该粮仓的外接球的体积是（ ）立方丈 A ．1334π B ．13348π C ．133√1334πD ．133√13348π【分析】先统一单位为丈，然后求出该长方体的高即可，然后外接球的直径即为长方体的体对角线的长，问题可解．解：由题意1立方丈＝1000立方尺，故该长方体粮仓的体积为270001000=27立方丈．设长方体的高为h ，则3×4.5×h ＝27，∴h ＝2（丈）．∴2R =√32+(92)2+22=√1332，∴R =√1334．故V =43πR 3=133√13348π．故选：D ．7．如图，在△ABC 中，∠BAC =π3，AD →=2DB →，P 为CD 上一点，且满足AP →=mAC →+12AB →，若AC ＝3，AB ＝4，则AP →⋅CD →的值为（ ）A ．﹣3B ．−1312C ．1312D ．112【分析】利用CP →∥CD →，结合已知条件可把m 求出，由平面向量基本定理AP →，CD →都可用已知向量AB →，AC →表示，可求数量积．解：∵AD →=2DB →，∴AD →=23AB →，∵CP →∥CD →，∴CP →=k CD →，即AP →−AC →=k （AD →−AC →），又∵AP →=mAC →+12AB →，则（m ﹣1）AC →+12AB →=k （23AB →−AC →），∴{m −1=−k 12=23k ，∴k =34，m =14，则AP →•CD →=AP →•（AD →−AC →）＝（14AC →+12AB →）•（23AB →−AC →）=13AB →2−14AC →2−13AB→•AC →=163−94−13×4×3cos π3=1312， 故选：C ．8．已知n 是一个三位正整数，若n 的十位数字大于个位数字，百位数字大于十位数字，则称n 为三位递增数．已知a ，b ，c ∈{0，1，2，3，4}，设事件A 为“由a ，b ，c 组成三位正整数”，事件B 为“由a ，b ，c 组成三位正整数为递增数”则P （B |A ）＝（ ） A ．35B ．110C ．225D ．1225【分析】先算出由0，1，2，3，4得到的所有三位正整数的个数，注意对0不排首位，数字可重复；再计算递增数个数，此时数字不重复，从左到右，逐渐减小．最后套用条件概率公式求解．解：先计算所有正整数的个数：有C 41C 51C 51=100个，即n （A ）＝100个，再计算递增数的个数：共有C 53=10个，即n （AB ）＝10个． 故P(B|A)=n(AB)n(A)=110． 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分 9．下列说法中正确的是（ ）A ．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，8），其线性回归方程是y ^=13x +a ^，且x 1+x 2+x 3+…+x 8＝2（y 1+y 2+y 3+…+y 8）＝6，则实数a ^的值是18B ．正态分布N （1，9）在区间（﹣1，0）和（2，3）上取值的概率相等C ．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1D ．若一组数据1，a ，2，3的平均数是2，则这组数据的众数和中位数都是2【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a 的方程，解方程即可判断A 的正误．利用正态分布的性质，判断B 的正误；利用线性相关关系，判断C 的正误；通过均值，众数中位数，判断D 的正误． 解：∵x 1+x 2+x 3+…+x 8＝2（y 1+y 2+y 3+…+y 8）＝6， ∴x =68，y =38，∴样本中心点的坐标为（68，38），代入回归直线方程得，38=13×68+a ，∴a =18．所以A 正确；正态分布N （1，9），说明“μ＝1“是对称轴，所以在区间（﹣1，0）和（2，3）上取值的概率相等，所以B 正确；若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于，也可以是﹣1，所以C 不正确；若一组数据1，a ，2，3的平均数是2，可得a ＝2，则这组数据的众数和中位数都是2，所以D 正确； 故选：ABD ．10．已知α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列命题中正确的是（ ） A ．如果m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，那么α⊥β B ．如果m ⊂α，α∥β，那么m ∥βC ．如果α∩β＝l ，m ∥α，m ∥β，那么m ∥lD．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β【分析】根据线面平行，垂直的定义和有关判定定理，性质定理以及结论即可逐项判断其真假．解：对A，当m⊥n，m⊥α时，n⊂α或n∥α，当n⊂α，当n⊥β时，a⊥β，显然正确，当n∥α时，∃l⊂α，使得n∥l，而n⊥β，所以l⊥β，即有a⊥β，综上，总有a⊥β，正确；对B，根据线面平行的定义可知，正确；对C，∵m∥α，m∥β，∴m⊄α，m⊄β．∃m⊂γ，设α∩γ＝a，β∩γ＝b，由线面平行的性质定理可知，m∥a，m∥b∴a∥b，当a，b，l三线重合时，显然有m∥l，当a，b，l三线不重合时，∴a∥β，而a⊂α，α∩β＝l，∴a∥l，即有m∥l，正确；对D，当m⊥n，m⊥α时，n⊂α或n∥α，而n∥β，那么α⊥β不一定成立，错误．故选：ABC．11．已知函数f(x)=cos(2x−π3)−2sin(x+π4)cos(x+π4)(x∈R)，现给出下列四个命题，其中正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的最大值为1C．函数f（x）在[−π4，π4]上单调递增D．将函数f（x）的图象向左平移π12个单位长度，得到的函数解析式为g（x）＝sin2x 【分析】先将函数解析式化简成y＝A sin（ωx+φ）+k的形式，即可根据三角函数的性质判断各选项的真假．解：f（x）＝cos（2x−π3）﹣sin（2x+π2）=√32sin2x−12cos2x＝sin（2x−π6）所以函数f（x）的最小正周期为π，最大值为1，A不正确，B正确；令t＝2x−π6，当x∈[−π4，π4]时，t∈[−2π3，π3]，函数y＝sin t在此区间不单调，所以C错误；当将函数f（x）的图象向左平移π12单位长度，得到的函数解析式为g（x）＝f（x+π12）＝sin2x，所以D正确．故选：BD．12．已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，圆C：x2+（y﹣1）2＝16与抛物线E交于A，B两点点P为劣弧AB̂上不同于A，B的一个动点，过点P作平行于y轴的直线l交抛物线E 于点N，则下列四个命题中正确的是（）A．点P的纵坐标的取值范围是(2√3，5)B．|PN|+|NF|等于点P到抛物线准线的距离C．圆C的圆心到抛物线准线的距离为2D．△PFN周长的取值范围是（8，10）【分析】由题意画出图形，联立圆的方程与抛物线方程可得P的纵坐标的范围判断A；由抛物线的定义判断B；直接由图象可得圆C的圆心到抛物线准线的距离判断C；利用转化思想方法可知△PFN的周长为|PF|+|PN|+|NF|＝|PG|+4，再由|PG|的范围判断D．解：如图，抛物线E：x2＝4y的焦点为F（0，1），联立{x2=4yx2+(y−1)2=16，得y2+2y﹣15＝0，解得y＝﹣5（舍）或y＝3．∴P的纵坐标的取值范围是（3，5），故A错误；延长PN交抛物线的准线于G，则|NF|＝|NG|，可得|PN|+|NF|等于点P到抛物线准线的距离，故B正确；由图可知，圆C的圆心到抛物线准线的距离为2，故C正确；△PFN的周长为|PF|+|PN|+|NF|＝|PG|+4，由|PG|的范围为（4，6），可得△PFN周长的取值范围是（8，10），故D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a→=(−4，6)，b→=(2，x)满足a→∥b→，其中x∈R，那么|b→|=√13【分析】根据向量平行的坐标表示求出x，再根据向量模的坐标计算公式即可求出解：因为a→∥b→，所以﹣4x﹣2×6＝0，解得x＝﹣3．因此|b→|=√22+(−3)2=√13．故答案为：√13．14．已知tan（α+β）=25，tanβ=13，则tan（α+π4）的值为98．【分析】利用两角和与差的正切函数，结合已知条件求出tanα，然后求解tanβ．解：tan（α+β）=25，tanβ=13，∴tan（α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ=tanα+131−13tanα=25，解得tanα=1 17，tan（α+π4）=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=117+11−117=98．故答案为：98．15．已知首项与公比相等的等比数列{a n}，中，若m，n∈N*，满足a m a n2＝a42，则2m+1n的最小值为1，等号成立时m，n满足的等量关系是2n＝m．【分析】设首项与公比为a，则通项为a n=a n(a≠0)，根据a m a n2＝a42，可得到m，n 的关系式，然后结合基本不等式求解即可．解：设首项与公比为a，则通项为a n=a n(a≠0)，∵a m a n2＝a42，∴a m+2n＝a8，∴m+2n＝8，m，n∈Z+．∴2m+1n=18(m+2n)(2m+1n)=18(4+4nm+mn)≥18(4+2√4n m×m n)=1．当且仅当n＝2，m＝4时取等号，此时m＝2n．故答案为：1，m＝2n．16．设f（x）是定义在R上的偶函数，∀x∈R，都有f（2﹣x）＝f（2+x），且当x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣2，若函数g（x）＝f（x）﹣log a（x+1）（a＞0，a≠1）在区间（﹣1，9]内恰有三个不同零点，则实数a的取值范围是（19，15）∪（√3，√7）．【分析】可判断f（x）的周期为4，从而作函数f（x）与y＝log a（x+1）在（﹣1，9]上的图象，结合图象分类讨论即可．解：∵f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （2﹣x ）＝f （2+x ）， ∴f （x ）的周期为4，作函数f （x ）与y ＝log a （x +1）在（﹣1，9]上的图象如下，，当a ＞1时，{log a (2+1)＜2log a (6+1)＞2，解得，√3＜a ＜√7； 当0＜a ＜1时，{log a (4+1)＞−1log a (8+1)＜−1，解得，19＜a ＜15；故答案为：（19，15）∪（√3，√7）．四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．在①sin A ，sin B ，sin C 成等差数列；②sin B ，sin A ，sin C 成等比数列；③2bcosC =2a −√3c 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，面积为S ．若 ______，且4S =√3(b 2+c 2−a 2)，试判断△ABC 的形状．【分析】选择①sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，可得2sin B ＝sin A +sin C ，利用正弦定理可得：2b ＝a +c ．由4S =√3(b 2+c 2−a 2)，利用三角形面积计算公式、余弦定理可得：2bc sin A =√3×2cb cos A ，解得A ，再利用余弦定理可得b 与c 的关系．即可判断出结论． 选择②sin B ，sin A ，sin C 成等比数列；可得sin B •sin C ＝sin 2A ，由正弦定理可得：bc ＝a 2．由4S =√3(b 2+c 2−a 2)，可得：2bc sin A =√3×2cb cos A ，可得A ．再余弦定理可得可得b ，c 关系，即可判断出结论．③由4S =√3(b 2+c 2−a 2)，可得：2bc sin A =√3×2cb cos A ，可得A ．2bcosC =2a −√3c ，由正弦定理可得：2sin B cos C ＝2sin A −√3sin C ，sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C ， 代入B ．于是C ＝π﹣A ﹣B ．即可判断出结论． 解：选择①sin A ，sin B ，sin C 成等差数列， 则2sin B ＝sin A +sin C ，∴2b ＝a +c ．由4S =√3(b 2+c 2−a 2)，可得：2bc sin A =√3×2cb cos A ，可得tan A =√3，A ∈（0，π）． ∴A =π3．由余弦定理可得：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos π3=（2b ﹣c ）2，化为：b ＝c ．∴△ABC 为等边三角形．选择②sin B ，sin A ，sin C 成等比数列；则sin B •sin C ＝sin 2A ，由正弦定理可得：bc ＝a 2．由4S =√3(b 2+c 2−a 2)，可得：2bc sin A =√3×2cb cos A ，可得tan A =√3，A ∈（0，π）． ∴A =π3．由余弦定理可得：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos π3，化为：b ＝c ．∴△ABC 为等边三角形．③由4S =√3(b 2+c 2−a 2)，可得：2bc sin A =√3×2cb cos A ，可得tan A =√3，A ∈（0，π）． ∴A =π3．∵2bcosC =2a −√3c ，由正弦定理可得：2sin B cos C ＝2sin A −√3sin C ，sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C ，代入可得：2cos B sin C =√3sin C ≠0，化为：cos B =√32，B ∈（0，π）．解得B =π6． ∴C ＝π﹣A ﹣B =π2． ∴△ABC 为直角三角形．18．已知数列{a n}为等差数列，且a2＝3，a4+a5+a6＝0．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n，及前n项和S n；（Ⅱ）请你在数列{a n}的前4项中选出三项，组成公比的绝对值小于1的等比数列{b n}的前3项，并记数列{b n}的前n项和为T n．若对任意正整数k，m，n，不等式S m＜T n+k 恒成立，试求k的最小值．【分析】（Ⅰ）数列{a n}为公差为d的等差数列，由等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式和前n项的和；（Ⅱ）写出数列{a n}的前4项，可得数列{b n}的公比，以及T n，判断其范围，由题意可得S m取得最大值10，可得k的不等式，即可得到所求最小值．解：（Ⅰ）数列{a n}为公差为d的等差数列，由a2＝3，a4+a5+a6＝0，可得a1+d＝3，3a1+12d＝0，解得a1＝4，d＝﹣1，则数列{a n}的通项公式为a n＝4﹣（n﹣1）＝5﹣n，前n项和S n=12n（4+5﹣n）=9n−n22；（Ⅱ）a n＝5﹣n，可得a1＝4，a2＝3，a3＝2，a4＝1，由题意可得b1＝a1＝4，b2＝a3＝2，b3＝a4＝1，所以{b n}的公比为q=12，T n=b1(1−q n)1−q=4[1−12n)1−12=8（1−12n），又因为n∈N*，所以4≤T n＜8，由（Ⅰ）可得S m=9m−m 22，当m＝4，5时，S m取得最大值10．要使S m＜T n+k恒成立，只需使10＜4+k成立，所以有k＞6，由k是正整数知，k的最小值为7．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝PD＝2AB ＝2BC＝2，M为PA的中点．（Ⅰ）求证：BM∥平面PCD；（Ⅱ）若平面ABCD⊥平面PAD，异面直线BC与PD所成角为60°，且△PAD为钝角三角形，求二面角B﹣PC﹣D的正弦值．【分析】（Ⅰ）先证明四边形BMNC为平行四边形，进而可得BM∥CN，由此得证；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面BPC及平面PCD的法向量，利用向量公式即可得解．解：（Ⅰ）证明：取PD的中点N，连接CN，MN．因为M为PA的中点，则NM∥AD且NM=12 AD．又BC∥AD，且BC=12AD，∴MN∥BC，MN＝BC．∴四边形BMNC为平行四边形．∴BM∥CN，CN在平面PCD内，BM不在平面PCD内，∴BM∥平面PCD；（Ⅱ）由题意可知BC∥AD，故∠ADP或其补角为异面直线BC与PD所成角，又AD＝PD，△PAD为钝角三角形，故∠ADP＝120°，又平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，以A为坐标原点，AD，AB所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，0，1），D（0，2，0），C（0，1，1），P(√3，3，0)，∴PC→=(−√3，−2，1)，PB→=(−√3，−3，1)，设平面PBC的法向量为n→=(x，y，z)，则{n→⋅PC→=−√3x−2y+z=0n→⋅PB→=−√3x−3y+z=0，则可取n→=(1，0，√3)，同理可得平面PCD的一个法向量为m→=(1，−√3，−√3)，设平面角B﹣PC﹣D的平面角为θ，则|cosθ|=|m→⋅n→|m→||n→||=√77，则sinθ=√427，故二面角B﹣PC﹣D的正弦值为√42 7．20．在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习．某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后得到如下2×2列联表：分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时419线上学习时间不足5小时合计45（1）请完成上面2×2列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）（Ⅰ）按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）；（Ⅱ）若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差．（下面的临界值表供参考）P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中n＝a+b+c+d）【分析】（1）根据已知条件补充完整2×2列联表，由K2的公式计算出观测值，并与临界值进行对比即可作出判断；（2）（I ）由分层抽样的特点求出，需要从不足120分的学生中抽取4人，从而确定X 的可能取值为0，1，2，3，4，再结合超几何分布计算概率的方式逐一求出每个X 的取值所对应的概率即可得分布列；（II ）先利用古典概型求出从全校不少于120分的学生中随机抽取1人，此人每周上线时间不少于5小时的概率为0.6，再设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为Y ，则Y ～B （20，0.6），然后根据二项分布的性质即可求出数学期望和方差． 解：（1）补充完整的2×2列联表如下，分数不少于120分分数不足120分合计 线上学习时间不少于5小时 15 4 19 线上学习时间不足5小时10 16 26 合计252045∴K 2=45(15×16−10×4)225×20×19×26≈7.29＞6.635∴有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”． （2）（I ）由分层抽样知，需要从不足120分的学生中抽取9×2045=4人， ∴随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4． P(X =0)=C 44C 204，P(X =1)=C 43C 161C 204，P(X =2)=C 42C 162C 204，P(X =3)=C 41C 163C 204，P(X =4)=C 164C 204．∴X 的分布列为X 01234PC 44C 204C 43C 161C 204C 42C 162C 204C 41C 163C 204C 164C 204（II ）从全校不少于120分的学生中随机抽取1人， 此人每周上线时间不少于5小时的概率为1525=0.6，设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为Y ，则Y ～B （20，0.6），故E （Y ）＝20×0.6＝12，D （Y ）＝20×0.6×（1﹣0.6）＝4.8．21．已知两个函数f(x)=e x x ，g(x)=lnx x +1x−1． （Ⅰ）当t ＞0时，求f （x ）在区间[t ，t +1]上的最大值；（Ⅱ）求证：对任意x ∈（0，+∞），不等式f （x ）＞g （x ）都成立．【分析】（Ⅰ）先对f （x ）求导，判断函数的的单调性，再分类讨论，利用函数的单调性求出函数的最大值；（Ⅱ）先证h （x ）＝e x ﹣x +1，x ＞0，利用导数和函数的最值的关系即可证明，则原不等式转化为2x ﹣lnx ＞0，设φ（x ）＝2x ﹣lnx ，x ＞0，再利用导数和函数的最值的关系即可证明．解：（Ⅰ）由f （x ）=e xx 得f ′（x ）=xe x −e x x 2=e x (x−1)x 2， ∴当x ＜1时，f ′（x ）＜0，当x ＞1时，f ′（x ）＞0， ∴f （x ）在（﹣∞，1）上为减函数，在（1，+∞）为增函数， ①当t ≥1时，f （x ）在区间[t ，t +1]上为增函数， f （x ）的最大值为f （t +1）=e t+1t+1，②当0＜t ＜1时，t +1＞1，f （x ）在（t ，1）上为减函数，在（1，t +1）上为增函数， ∴f （x ）的最大值为f （x ）max ＝max [f （t ），f （t +1）]， 下面比较f （t ）与f （t +1）大小，f （t ）﹣f （t +1）=e t t −e t+1t+1=e t [(1−e)t+1]t(t+1)， ∵t ＞0，1﹣e ＜0， ∴当0＜t ≤1e−1时，f （t ）﹣f （t +1）≥0， 故f （x ）在[t ，t +1]上的最大值为f （t ）=e tt，当1e−1＜t ＜1时，f （t ）﹣f （t +1）＜0，∴f （x ）在[t ，t +1]上的最大值为f （t +1）=e t+1t+1，综上所述当0＜t ≤1e−1时，故f （x ）在[t ，t +1]上的最大值为f （t ）=e t t， 当1e−1＜t ＜1时，f （x ）在[t ，t +1]上的最大值为f （t +1）=e t+1t+1．（Ⅱ）不等式f （x ）＞g （x ）即为e x x＞lnx x+1x−1，∵x ＞0，不等式等价于e x ＞lnx ﹣x +1， 令h （x ）＝e x ﹣x +1，x ＞0， ∴h ′（x ）＝e x ﹣1＞0，∴h （x ）在（0，+∞）上单调递增， ∴h （x ）＞h （0）＝0，即e x ≥x +1，∴要证e x ＞lnx ﹣x +1成立，只须证x +1＞lnx ﹣x +1成立即可， 即证2x ﹣lnx ＞0，设φ（x ）＝2x ﹣lnx ，x ＞0， ∴φ′（x ）＝2−1x=2x−1x， 当0＜x ＜12时，φ′（x ）＜0，当x ＞12时，φ′（x ）＞0， ∴φ（x ）在（0，12）上单调递减，在（12，+∞）上单调递增，∴φ（x ）≥φ（12）＝1﹣ln 12=1+ln 2＞0，∴对任意x ∈（0，+∞），不等式f （x ）＞g （x ）都成立． 22．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，若椭圆的长轴长等于x 2+y 2﹣2x ﹣3＝0的直径，且2e ，a ，b 2成等差数列 （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）（x 1≠x 2）是椭圆E 上不同的两点，线段AB 的垂直平分线l 交x 轴于点P （x 0，0），试求点P 的横坐标x 0的取值范围．【分析】（Ⅰ）由已知列关于a ，b ，c 的方程组，求解可得a ，b 的值，则椭圆方程可求； （Ⅱ）当A 与B 的纵坐标相等时，可得x 0＝0；当y 1≠y 2，x 1+x 2≠0时，利用点差法求AB 的斜率，由中点坐标公式求出AB 的中点坐标，AB 的垂直平分线方程，把P 点坐标代入，结合椭圆的性质可得点P 的横坐标x 0的取值范围． 解：（Ⅰ）由2e ，a ，b 2成等差数列，得2a ＝2e +b 2， 又圆x 2+y 2﹣2x ﹣3＝0可化为（x ﹣1）2+y 2＝4， ∴a ＝2，e =c2，b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣c 2， ∴4＝c +4﹣c 2，得c ＝1，b 2＝3． ∴椭圆E 的方程为x 24+y 23=1；（Ⅱ）∵A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）（x 1≠x 2）是椭圆E 上不同的两点，可设AB 的斜率为k ，当y 1＝y 2，x 1+x 2＝0时，显然有x 0＝0；当y 1≠y 2，x 1+x 2≠0时，由x 124+y 123=1，①x 224+y 223=1，②①﹣②整理得k =y 1−y 2x 1−x 2=−34⋅x 1+x 2y 1+y 2， ∴线段AB 的垂直平分线l 的斜率为−1k =43⋅y 1+y 2x 1+x 2． 又线段AB 的中点坐标为（x 1+x 22，y 1+y 22）， ∴直线l 的方程为：y −y 1+y 22=43⋅y 1+y 2x 1+x 2(x −x 1+x 22)． 把P （x 0，0）代入此方程，得0−y 1+y 22=43⋅y 1+y 2x 1+x 2(x 0−x 1+x 22)， 化简得x 0=x 1+x 28，③ 又由椭圆的性质可得，﹣2≤x 1≤2，﹣2≤x 2≤2，且x 1≠x 2， ∴﹣4≤x 1+x 2≤4，且x 1+x 2≠0，代入③式可得：−12＜x 0＜12，且x 0≠0． 当y 1＝y 2，x 1+x 2＝0时，x 0＝0．∴x 0 的取值范围是（−12，12）．。