宁夏银川一中2014届高三第一次月考-数学理试题及答案

银川一中2014届高三年级第一次月考数 学 试 卷（理）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合},214|{},,212|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==则 A. M N = B. M N ⊂ C. M N ⊃ D. M N ⋂=∅ 2. 命题“若00,022===+b a b a 且则”的逆否命题是A ．若00,022≠≠≠+b a b a 且则B ．若00,022≠≠≠+b a b a 或则C ．若则0,0022≠+==b a b a 则且D ．若0,0022≠+≠≠b a b a 则或3．给出下列四个命题:①命题1sin ,:≤∈∀x R x p ,则1sin ,:<∈∃⌝x R x p . ②当1≥a 时,不等式a x x <-+-34的解集为非空. ③当1>x 时,有2ln 1ln ≥+xx . ④设复数z 满足（1-i ）z =2 i ，则z =1-i 其中真命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．44．若a b c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间 A.(),b c 和(),c +∞内 B.(),a -∞和(),a b 内C. (),a b 和(),b c 内D.(),a -∞和(),c +∞内 5. 设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件 6. 曲线2y x=与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为 A. 2ln 2 B. 2ln 2- C. 4ln 2- D. 42ln 2- 7. 设点P 在曲线x e y =上，点Q 在曲线x y ln =上，则|PQ |最小值为A ．12- B.2 C. 21+ D. 2ln8. 若定义在R 上的偶函数()x f 满足()()x f x f =+2且[]1,0∈x 时,(),x x f =则方程()x x f 3log =的零点个数是A. 2个B. 3个C. 4个D. 多于4个9．已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩,若|()f x |≥ax ,则a 的取值范围是A. (,0]-∞B. (,1]-∞C. [2,1]-D. [2,0]-10．设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图象分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为A ．1B ．12C D 11．已知函数()f x 定义在R 上的奇函数，当0x <时，()(1)x f x e x =+，给出下列命题：①当0x >时，()(1);x f x e x =- ②函数()f x 有2个零点③()0f x >的解集为(1,0)(1,)-+∞ ④12,x x R ∀∈，都有12|()()|2f x f x -< 其中正确命题个数是 A ．1B ．2C ．3D ．412. 已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值,{}min ,p q 表示,p q 中的较小值,记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最大值为B ,则A B -=A ．2216a a --B ．2216a a +- C ．16- D ．16第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 设集合P ＝{x |⎠⎜⎛0x (3t 2－10t ＋6)dt ＝0，x >0}，则集合P 的非空子集个数是 .14. 方程x 3－3x ＝k 有3个不等的实根, 则常数k 的取值范围是 .15. 已知“命题2:()3()p x m x m ->-”是“命题2:340q x x +-<”成立的必要不充分条件,则实数m的取值范围为_________________.16. 关于函数)0(||1lg)(2≠+=x x x x f ，有下列命题： ①其图象关于y 轴对称；②当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )是减函数； ③f (x )的最小值是lg 2；④f (x )在区间（－1，0）、（2,+∞）上是增函数； ⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题:本大题共5小题，共计70分。

解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17. (本小题满分12分)设命题p :函数f (x )=lg (ax 2-4x +a )的定义域为R ;命题q :不等式2x 2+x >2+ax ,对∀x ∈(-∞,-1)上恒成立,如果命题“p ∨q ”为真命题,命题“p ∧q ”为假命题,求实数a 的取值范围.18. (本小题满分12分) 设函数()(,,)nn f x x bx c n N b c R +=++∈∈(1)设2n ≥,1,1b c ==-,证明:()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点;(2) 设2n =,若对任意12,x x [1,1]∈-,有2122|()()|4f x f x -≤,求b 的取值范围;(3)在(1)的条件下,设n x 是)(x f n 在⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21内的零点,判断数列 n x x x ,,32的增减性.19. (本小题满分12分)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件．．，需另投入成本为)(x C ，当年产量不足80千件时，x x x C 1031)(2+=（万元）.当年产量不小于80千件时，14501000051)(-+=xx x C （万元）.每件．．商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. （Ⅰ）写出年利润)(x L （万元）关于年产量x （千件．．）的函数解析式； （Ⅱ）年产量为多少千件．．时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 20. (本小题满分12分)设a 为实数，函数()e 22,.x f x x a x =-+∈R (Ⅰ)求()f x 的单调区间与极值；(Ⅱ)求证：当ln 21a >-且0x >时，2e 2 1.xx ax >-+ 21. (本小题满分12分)已知函数()f x =2x ax b ++,()g x =()x e cx d +,若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点P(0,2),且在点P 处有相同的切线42y x =+.(Ⅰ)求a ,b ,c ,d 的值;(Ⅱ)若x ≥-2时,()f x ≤()kg x ,求k 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲． 如图,已知PE 切⊙O 于点E ,割线PBA 交⊙O 于A 、B 两点,∠APE 的平分线和AE 、BE 分别交于点C 、D .求证:(Ⅰ)CE DE =; (Ⅱ)CA PECE PB=. 23.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程．在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线2:sin 2cos (0)C p a a θθ=>过点P(-2,-4)的直线2,2:(4x l t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数)与曲线C 相交于点M,N 两点.(Ⅰ)求曲线C 和直线l 的普通方程;(Ⅱ)若|PM|,|MN|,|PN |成等比数列,求实数a 的值 24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．已知函数()|2||1|f x x a x =-+-. (Ⅰ)当a = 3时,求不等式()2f x ≥的解集;(Ⅱ)若()5f x x ≥-对x R ∀∈恒成立,求实数a 的取值范围.银川一中2014届高三第一次月考数学(理科)试卷参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BDACADBCDDBC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 3 14. -2<k<2 15. (,7][1,)-∞-⋃+∞ 16.①③④三、解答题:本大题共5小题，共计70分。

解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17. 解:p:∆<0且a>0,故a>2;q:a>2x-2/x+1,对∀x ∈(-∞,-1),上恒成立,增函数(2x-2/x+1)<1此时x=-1,故a ≥1 “p ∨q ”为真命题,命题“p ∧q ”为假命题,等价于p,q 一真一假.故1≤a ≤2 18. 解析:(1)1,1b c ==-,2n ≥时,()1n n f x x x =+-∵111()(1)()10222n n n f f =-⨯<,∴()n f x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在零点. 又当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,1()10n n f x nx -'=+> ∴ ()n f x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递增的,所以()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一零点.(2)当2n =时,22()f x x bx c =++对任意12,[1,1]x x ∈-都有2122|()()|4f x f x -≤等价于2()f x 在[1,1]-上最大值与最小值之差4M ≤,据此分类讨论如下:(ⅰ)当||12b>,即||2b >时, 22|(1)(1)|2||4M f f b =--=>,与题设矛盾(ⅱ)当102b-≤-<,即02b <≤时,222(1)()(1)422b bM f f =---=+≤恒成立(ⅲ)当012b≤≤,即20b -≤≤时,222(1)()(1)422b bM f f =---=-≤恒成立.综上可知,22b -≤≤注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并证明如下: 用max{,}a b 表示,a b 中的较大者.当112b-≤≤,即22b -≤≤时, 222max{(1),(1)}()2bM f f f =---22222(1)(1)|(1)(1)|()222f f f f b f -+--=+--21||()4b c b c =++--+2||(1)42b =+≤恒成立(3)证法一 设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内的唯一零点(2)n ≥()1nn n n n f x x x =+-,11111()10n n n n n f x x x +++++=+-=,11,12n x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭于是有11111111()0()11()n nn n n n n n n n n n f x f x x x x x f x ++++++++===+-<+-=又由(1)知()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是递增的,故1(2)n n x x n +<≥, 所以,数列23,,,n x x x 是递增数列.证法二 设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内的唯一零点 1111()(1)(1)(111)n n n n n n n f x f x x ++++=+-+- 1110n nn n n n x x x x +=+-<+-=则1()n f x +的零点1n x +在(,1)n x 内,故1(2)n n x x n +<≥, 所以,数列23,,,nx x x 是递增数列.19.解：（Ⅰ）因为每件．．商品售价为0.05万元，则x 千件．．商品销售额为0.05×1000x 万元，依题意得： 当800<<x 时，2501031)100005.0()(2---⨯=x x x x L 25040312-+-=x x .………………………………2分当80≥x 时，25014501000051)100005.0()(-+--⨯=xx x x L=⎪⎭⎫⎝⎛+-x x 100001200.………………………………………………4分 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<<-+-=).80(100001200),800(2504031)(2x x x x x x x L …………6分（Ⅱ）当800<<x 时，.950)60(31)(2+--=x x L此时，当60=x 时，)(x L 取得最大值950)60(=L 万元. ………………8分当80≥x 时，100020012001000021200100001200)(=-=⋅-≤⎪⎭⎫⎝⎛+-=xx x x x L此时，当xx 10000=时，即100=x 时)(x L 取得最大值1000万元.………………11分 1000950<所以，当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元. ………………………………………………………………………………………………12分 20. （１）解：由()e 22,x f x x a x =-+∈R 知，'()e 2,xf x x =-∈R ．令'()0f x =，得ln 2x =.于是，当x 变化时，()x f '和()x f 的变化情况如下表：极小值为(ln 2)22ln 22f a =-+．（２）证明：设2()e 21,x g x x ax x =-+-∈R ，于是()e 22,xg x x a x '=-+∈R ． 由（1）知，对任意x ∈R ,都有'()0g x >，所以()g x 在R 内单调递增． 于是，当ln21a >-时，对任意(0,)x ∈+∞，都有()(0)g x g >，而(0)0g = ，从而对任意(0,)x ∈+∞，都有()0g x >，即2e 210,x x ax -+->故2e 2 1.x x ax >-+ 21. (Ⅰ)由已知得(0)2,(0)2,(0)4,(0)4fg f g ''====,而()f x '=2x b +,()g x '=()x e cx d c ++,∴a =4,b =2,c =2,d =2; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,2()42f x x x =++,()2(1)xg x e x =+,设函数()F x =()()kg x f x -=22(1)42xke x x x +---(2x ≥-),()F x '=2(2)24x ke x x +--=2(2)(1)x x ke +-, 有题设可得(0)F ≥0,即1k ≥,令()F x '=0得,1x =ln k -,2x =-2,(1)若21k e ≤<,则-2<1x ≤0,∴当1(2,)x x ∈-时,()F x <0,当1(,)x x ∈+∞时,()F x >0,即()F x 在1(2,)x -单调递减,在1(,)x +∞单调递增,故()F x 在x =1x 取最小值1()F x ,而1()F x =21112242x x x +---=11(2)x x -+≥0, ∴当x ≥-2时,()F x ≥0,即()f x ≤()kg x 恒成立,(2)若2k e =,则()F x '=222(2)()x e x e e +-,∴当x ≥-2时,()F x '≥0,∴()F x 在(-2,+∞)单调递增,而(2)F -=0, ∴当x ≥-2时,()F x ≥0,即()f x ≤()kg x 恒成立, (3)若2k e >,则(2)F -=222ke--+=222()e k e ---<0,∴当x ≥-2时,()f x ≤()kg x 不可能恒成立, 综上所述,k 的取值范围为[1,2e ].22. (Ⅰ)证明:PE 切⊙O 于点E ,A BEP ∴∠=∠PC 平分A CPA BEP DPE ∴∠+∠=∠+∠,ECD A CPA EDC BEP DPE ∠=∠+∠∠=∠+∠,,ECD EDC EC ED ∴∠=∠∴=(Ⅱ)证明:,,PDB EDC EDC ECD PDB PCE ∠=∠∠=∠∠=∠ ,BPD EPC PBD ∴∠=∠∴∆∽PEC ∆,PE PCPB PD∴=同理PD E ∆∽PCA ∆,PC CAPD DE ∴=PE CAPB DE∴=,CA PEDE CE CE PB=∴=23.24．解:(Ⅰ)3a =时,即求解2312x x -+-≥①当32x ≥时,23122x x x -+-≥∴≥ ②当312x <<时,3212220x x x x -+-≥∴-≥∴<③当1x ≤时,23212323x x x x -+-≥∴≤∴≤∴综上,解集为223x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或5'(Ⅱ)即251x a x x -≥---恒成立令62,1()514,1x x g x x x x -≥⎧=---=⎨<⎩则函数图象为32a∴≥,6a ∴≥10'。