高中数学 1.2《余弦定理(2)》教案 苏教版必修5
高中数学余弦定理(二)苏教版必修五
课题：余弦定理（二）【教学目标】知识目标：能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题；能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题．能力目标：培养学生理解、分析、归纳、解决问题的能力． 情感目标：通过用数学知识解决现实问题,以引起学生兴趣,在数学活动中获得对数学良好的感性认识．【教学过程】一．复习回顾（1）余弦定理：余弦定理的变形形式：（2）正弦定理及其解决的三角形问题：余弦定理及其解决的三角形问题：二．课前训练1．在ABC ∆中，如果4:3:2sin :sin :sin =C B A ，则=C cos ．2．在ABC ∆中，已知2=a ，3=b ， 60=C ，则三角形ABC 是 ．3．在ABC ∆中，设a CB =，b AC =，且2||=a ，3||=b ，3-=⋅b a ，则AB 的长为 ．4．在ABC ∆中，已知bc a c b c b a 3))((=-+++，则=A ．5．在ABC ∆中， 60=B ，ac b =2，则ABC ∆的形状为 ．三．数学运用例1．在长江某渡口处，江水以5/km h 的速度向东流，一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在0.1h 后到达江北岸B 码头，设AN 为正北方向，已知B 码头在A 码头的北偏东015，并与A 码头相距1.2km ．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到00.1，速度精确到0.1/km h ）？例2． 在ABC ∆中，已知sin 2sin cos A B C =，试判断该三角形的形状． 变题训练：在ABC ∆中，已知B a c cos 2=，试判断该三角形的形状． 例3：如图，AM 是ABC ∆中BC 边上的中线，求证：AM =练习：在ABC ∆中，3=AB ，13=BC ，4=AC ，求ABC ∆的中线长． 例4：证明：在ABC ∆中（1）B c C b a cos cos +=；（2）C a A c b cos cos +=；（3）A b B a c cos cos +=．四．回顾小结：五．课外作业：1．课本P17 习题1.2 （10）（12）2．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，C C cos 3sin 22=，7=c ，又ABC ∆的面积为233，求（1）角C 的大小；（2）b a +的值．【教后反思】。
苏教版高中数学必修五余弦定理教案(2)
听课随笔第2课时余弦定理【学习导航】知识网络⎩⎨⎧判断三角形的形状航运问题中的应用余弦定理 学习要求1．能把一些简单的实际问题转化为数学问题；2．余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；3．初步利用定理判断三角形的形状。
【课堂互动】自学评价1．余弦定理：(1)_______________________，_______________________，_______________________. (2) 变形：____________________，_____________________，_____________________ .2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题： （１）_______________________________； （２）______________________________． 【精典范例】 【例1】在长江某渡口处，江水以5/km h 的速度向东流，一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在0.1h 后到达江北岸B 码头，设AN u u u r为正北方向，已知B 码头在A 码头的北偏东015，并与A 码头相距1.2km ．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到00.1，速度精确到0.1/km h ）？ 【解】【例2】在ABC ∆中，已知sin 2sin cos A B C =，试判断该三角形的形状． 【解】【例3】如图，AM 是ABC ∆中BC 边上的中线，求证：22212()2AM AB AC BC =+-． 【证明】追踪训练一1. 在△ＡＢＣ中，如果C B A sin :sin :sin ＝２∶３∶４，那么ｃｏｓＣ等于（ ）．Ａ．32Ｂ．32- Ｃ．31- Ｄ．41- 2.如图，长７ｍ的梯子ＢＣ靠在斜壁上，梯脚与壁基相距１．５ｍ，梯顶在沿着壁向上听课随笔６ｍ的地方，求壁面和地面所成的角α（精确到０.１°）．3. 在△ＡＢＣ中，已知ａ＝２，ｂ＝３，Ｃ＝６０°，试证明此三角形为锐角三角形．【选修延伸】【例4】在△ABC中，设3332a b cca b c+-=+-，且3sin sin4A B=，请判断三角形的形状。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 1.2.1 余弦定理》
余弦定理江苏省奔牛高级中学蒋亦【教学目标】知识与技能〔1〕掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；〔2〕理解余弦定理可解的三角形类型.过程与方法（1）通过复习引出问题，经历特殊到一般的过程探究余弦定理；（2）通过对余弦定理结构特征的观察，多角度证明余弦定理；（3）通过数学应用总结出余弦定理可解的三角形类型.情感、态度与价值观经历提出问题、探究问题、解决问题的过程发现余弦定理，在应用余弦定理过程中总结规律.以问题驱动课堂，激发学生学习热情，在探究中培养学生数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养，激发学生数学兴趣.教学重点：发现、证明和应用余弦定理教学难点：证明余弦定理【教学过程】复习引入前面学习了正弦定理，用正弦定理可以解两类三角形（1）两角一边 AAS,ASA〔唯一〕（2）两边及其一边对角 SSA〔不确定〕根据初中三角形全等的知识，还有那些类型的三角形也是确定的？〔SAA,SSS〕追问：能用正弦定理解吗？仅以SAS为例，比方，用正弦定理无法求解三角形.问题情境（1）在中,求;（2）在中,求.生：〔化归为直角三角形求解…〕追问：一般的，在中,如何表示生：〔化归为直角三角形求解…〕〔师板书〕余弦定理符号：追问1：你能否用文字语言表达上面表达式？文字：三角形任何一边的平方等于其他两边平方和减去这两边与他们夹角余弦积的两倍.追问2：仔细观察余弦定理的结构特征，怎样才能既迅速又准确的记住？生：…〔师小结〕等式左边是一边的平方，右边类似另两边差的完全平方展开式，但是乘积项多了这夹角的余弦值.追问3：两边及其夹角余弦的乘积，让你想起了哪个知识？〔数量积〕是哪两个向量的数量积？〔〕如何构造问题2.试用向量数量积知识证明：生：…（3）师：请用余弦定理求解问题情境〔2〕在中,求.〔小结〕余弦定理也可以写成如下形式：小结：余弦定理可以解决哪些类型三角形？生：〔1〕三边，求三个角；〔2〕两边及夹角，求第三边和其他两个角；〔3〕两边及其一边对角.追问：结合上节内容“正弦定理〞常见可解三角形类型及其方法？例1.两地之间隔着一个水塘，现选择另一点，测得，求两地之间的距离.练习3.〔1〕在中，，求角〔2〕在中，，求角例2.用余弦定理证明：当是锐角时，；当是钝角时，〔小结〕设是最长的边，那么在中，为直角，是直角三角形；为锐角，是锐角三角形；为钝角，是钝角三角形.课堂小结：这节课学了哪些数学知识和思想方法？1.一个定理，两种证法；一个推论，两种应用〔SAS,SSS〕；2.常见解三角形类型及其解法SSS——余弦定理 SAS——余弦定理 AAS,ASA——正弦定理 SSA——正弦〔或余弦〕定理可解三角形——三要素〔至少一边长〕；3.解三角形方法的本质是方程思想.。
高中数学 (余弦定理)教案5 苏教版必修5 教案
余弦定理教案教学目的1．使学生掌握余弦定理及其证明方法．2．使学生初步掌握余弦定理的应用．教学重点与难点教学重点是余弦定理及其应用；教学难点是用解析法证明余弦定理．教学过程设计一、复习师：直角△ABC中有如下的边角关系(设∠C=90°)：(1)角的关系A+B+C=180°．A+B=90°．(2)边的关系c2=a2+b2．二、引入师：在△ABC中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2．若a，b边的长短不变，变换∠C的大小时，c2与a2+b2有什么关系呢？请同学们思考．如图1，若∠C＜90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的长度变短，即c2＜a2+b2．如图2，若∠C＞90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的长度变长，即c2＞a2+b2．经过议论学生已得到当∠C≠90°时，c2≠a2+b2，那么c2与a2+b2到底相差多少呢？请同学们继续思考．如图3，当∠C为锐角时，作BD⊥AC于D，BD把△ABC分成两个直角三角形：在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2；在Rt△BDC中，BD=BC·sinC=asinC，DC=BC·cosC=acosC．所以，AB2=AD2+BD2化为c2=(b－acosC)2+(asinC)2，c2=b2－2abcosC+a2cos2C+a2sin2C，c2=a2+b2－2abcosC．我们可以看出∠C为锐角时，△ABC的三边a，b，c具有c2=a2+b2－2abcosC的关系．从以上分析过程，我们对∠C是锐角的情况有了清楚认识．我们不仅要认识到，∠C为锐角时有c2=a2+b2－2abcosC，还要体会出怎样把一个斜三角形转化成两个直角三角形的．这种未知向已知的转化在数学中经常碰到．下面请同学们自己动手推导结论．如图4，当∠C为钝角时，作BD⊥AC，交AC的延长线于D．△ACB是两个直角三角形之差．在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2．在Rt△BCD中，∠BCD=π－C．BD=BC·sin(π－C)，CD=BC· cos(π－C)．所以AB2=AD2+BD2化为c2=(AC+CD)2+BD2=[b+acos(π－C)]2+[asin(π－C)]2=b2+2abcos(π－C)+a2cos2(π－C)+a2sin2(π－C)=b2+2abcos(π－C)+a2．因为cos(π－C)=－cosC，所以c2=b2+a2－2abcosC．这里∠C为钝角，cosC为负值，－2abcosC为正值，所以b2+a2－2abcosC＞a2+b2，即c2＞a2+b2．从以上我们可以看出，无论∠C是锐角还是钝角，△ABC的三边都满足c2=a2+b2－2abcosC．这就是余弦定理．我们轮换∠A，∠B，∠C的位置可以得到a2=b2+c2－2bccosA．b2=c2+a2－2accosB．三、证明余弦定理师：在引入过程中，我们不仅找到了斜三角形的边角关系，而且还给出了证明，这个证明是依据分类讨论的方法，把斜三角形化归为两个直角三角形的和或差，再利用勾股定理和锐角三角函数证明的．这是证明余弦定理的一个好方法，但比较麻烦．现在我们已学完了三角函数，无论∠α是锐角、直角或钝角，我们都有统一的定义，借用三角函数和两定点间的距离来证明余弦定理，我们就可避开分类讨论．我们仍就以∠C为主进行证明．如图5，我们把顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，由于△ABC的AC=b，CB=a，AB=c，则A，B，C点的坐标分别为A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)．请同学们分析B点坐标是怎样得来的．生：∠ACB=∠C，CB为∠ACB的终边，B为CB上一点，设B的坐标为(x，师：回答很准确，A，B两点间的距离如何求？生：|AB|2=(acosC－b)2+(asinC－0)2=a2cos2C－2abcosC+b2+a2sin2C=a2+b2－2abcosC，即c2=a2+b2－2abcosC．师：大家请看，我们这里也导出了余弦定理，这个证明方法是解析法．这种方法以后还要详细学习．余弦定理用语言可以这样叙述，三角形一边的平方等于另两边的平方和再减去这两边与夹角余弦的乘积的2倍．即：a2=b2+c2－2bccosA．c2=a2+b2－2abcosC．b2=a2+c2－2accosB．若用三边表示角，余弦定理可以写为四、余弦定理的作用(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角；(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．解由余弦定理可知Bc2=Ab2+Ac2－2AB×AC·cosA所以BC=7．以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用．五、余弦定理与勾股定理的关系、余弦定理与锐角三角函数的关系在△ABC中，c2=a2+b2－2abcosC．若∠C=90°，则cosC=0，于是c2=a2+b2－2ab·0=a2+b2．说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．这与Rt△ABC中，∠C=90°的锐角三角函数一致，即直角三角形中的锐角三角函数是余弦定理的特例．六、应用举例例1 在△ABC中，求证c=bcosA+acosB．师：请同学们先做几分钟．生甲：如图6，作CD⊥AB于D．在Rt△ACD中，AD=b·cosA；在Rt△CBD中，DB=a·cosB．而c=AD+DB，所以c=bcosA+acosB．师：这位学生的证法是否完备，请大家讨论．生乙：他的证法有问题，因为作CD⊥AB时垂足D不一定落在AB上．若落在AB的延长线上时，c≠AD+DB，而c=AD－DB．师：学生乙的问题提得好，我们如果把学生乙所说的情况补充上是否就完备了呢？生丙：还不够．因为作CD⊥AB时，垂足D还可以落在B处．师：其实垂足D有五种落法，如落在AB上；AB的延长线上；BA的延长线上；A点或B点处．我们要分这么多种情况证明未免有些太麻烦了．请大家借用余弦定理证明．生：因为acosB+bcosA所以c=acosB+bcosA．师：这种证法显然简单，它避开了分类讨论．你们知道为什么这种证法不用分类讨论吗？生：因为余弦定理本身适用于各种三角形．例2 三角形ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，求△ABC的面积．师：我们通常求三角形的面积要用公式这个题目，我们应该如何下手呢？生：可以用余弦定理由三边求出一个内角的余弦值，再用同角公式导出这个角的正弦后，最后代入三角形面积公式．解因为a=4，b=3，c=2，所以由sin2A+cos2A=1，且A为△ABC内角，得例3 在三角形ABC中，若CB=7，AC=8，AB=9，求AB边的中线长．请同学们先设计解题方案．生甲：我想在△ABC中，已知三边的长可求出cosB．在△BCD中，由BC=7，BD=4.5及cosB的值，再用一次余弦定理便可求出CD．师：这个方案很好．请同学很快计算出结果．解设D为AB中点，连CD．在△ACB中，由AC=8，BC=7，AB=9，得生乙：我们在初中碰到中线时，经常延长中线，所以我想延长中线CD到E，使DE=CD，想在△BCE中解决．已知BC=7，BE=AC=8，若再知道cos∠CBE，便可解决，但我不知怎样求cos∠CBE．师：这个问题提得很有价值，请大家一起帮助学生乙解决这个难点．(学生开始议论．)生丙：连接AE，由于AD=DB，CD=DE，所以四边形ACBE为平行四边形，可得AC ∥BE，∠CBE与∠ACB互补．我能利用余弦定理求出cos∠BCA，再利用互补关系解出cos ∠CBE．师：大家看看他讲得好不好．请大家用第二套方案解题．解延长CD至E，使DE=CD．因为CD=DE，AD=DB，所以四边形ACBE是平行四边形．所以BE=AC=8，∠ACB+∠CBE=180°．在△ACB中，CB=7，AC=8，AB=9，由余弦定理可得在△CBE中，这两种解法都是两次用到余弦定理，可见掌握余弦定理是十分必要的．七、总结本节课我们研究了三角形的一种边角关系，即余弦定理，它的证明我们可以用解析法．它的形式有两种，一种是用两边及夹角的余弦表示第三边，另一种是三边表示角．余弦定理适用于各种三角形，当一个三角形的一个内角为90°时，余弦定理就自然化为勾股定理或锐角三角函数．余弦定理的作用如同它的两种形式，一是已知两边及夹角解决第三边问题；另一个是已知三边解决三内角问题．注意在(0，π)X围内余弦值和角的一一对应性．若cos A＞0，则A 为锐角；若cosA=0，则A为直角；若cosA＜0，则A为钝角．另外本节课我们所涉及的内容有两处用到分类讨论的思想方法．请大家解决问题时要考虑全面．如果能回避分类讨论的，应尽可能回避，如用解析法证明余弦定理、用余弦定理证明例1等等．八、作业5．已知△ABC中，acosB=bcos A，请判断三角形的形状．课堂教学设计说明1．余弦定理是解三角形的重要依据，要给予足够重视．本内容安排两节课适宜．第一节，余弦定理的引出、证明和简单应用；第二节复习定理内容，加强定理的应用．2．当已知两边及一边对角需要求第三边时，可利用方程的思想，引出含第三边为未知量的方程，间接利用余弦定理解决问题，此时应注意解的不唯一性．。
苏教版高中数学必修5同步讲义 1.2余弦定理
§1.2 余弦定理情景引入我们在社会生活中经常会遇到一些工人在开山、凿路、铺桥等，由于某些实际情况不好去直接测量，如开隧道，想知道隧道的长度；如铺桥，河很宽又要知道桥的长度，等等．就象隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置A ，量出A 到山脚B 、C 两点间的距离，再利用经纬仪测出A 对山脚BC （即线段BC ）的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC ．知识技能详解知识点1 余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+-，2222cos c a b ab C =+- 余弦定理的推论：222os 2b c a c A bc +-=，222cos 2c a b B ac+-=，222cos 2a b c C ab +-= 利用推论可以由三角形的三边求出三角形的三个内角． 温馨提示：(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具．(2)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． 知识点2 余弦定理的证明教材中给出了用向量证明余弦定理的方法，体现了向量在解决三角形度量问题中的作用，另外，还可以用解析法、三角法等证明余弦定理．证明1：如图1-2-1，以A 点为原点，以△ABC 的边AB 所在直线为x 轴，以过A 与AB 垂直的直线为y 轴，建立直角坐标系，则(0,0)A ，(cos ,sin )C b A b A ，(,0)B c ，由两点间的距离公式得222(cos )(sin 0)BC b A c b A =-+-，222222cos 2cos sin a b A bc A c b A =-++即2222cos a b c bc A =+-同理可证2222cos b a c ac B =+-，2222cos c a b ab C =+- 证明2：如图1-2-2，当△ABC 为锐角三角形时，过C 作CD AB ⊥于D ，则sin CD b A =，cos BD AB AD c b A =-=- 在Rt △BCD 中，由勾股定理得222BC CD BD =+即2222sin (cos )a b A c b A =+-整理得2222cos a b c bc A =+- 同理可证2222cos b ac ac B =+-，2222cos c a b ab C =+- A BD C b a c 1-2-1当△ABC 为钝角三角形时，如图1-2-3,sin CD b A =，cos BD b A c =-在Rt △BCD 中，由勾股定理得222BC CD BD =+ 2222(cos )a b sin A b A c =+-，即2222cos a b c bc A =+- 同理可证2222cos b a c ac B =+-，2222cos c a b ab C =+-证明3：由正弦定理，得2sin 2sin()a R A R B C ==+，∴2224sin ()a R B C =+224(sin R B =2cos C 22cos sin 2sin sin cos cos )B C B C B C ++24R =2222sin (1sin )(1sin )sin 2sin sin cos cos B C B C B C B C ⎡⎤-+-+⎣⎦2224sin sin 2sin sin cos()R B C B C B C ⎡⎤=+++⎣⎦ 22224sin 4sin R B R C =+2(2sin )(2sin )cos R B R C A -222cos b c bc A =+-，同理可证：2222cos ,b a c ac B =+-2222cos c b a ba C =+-方法点拨：对于余弦定理的证明方法可以由正弦定理的证明来类比，由正弦定理的证明思路（通过向量）来推导出余弦定理的证明，其中关键是如何将向量等式BC BA AC =+ 转化为数量关系，实际上除了向量方法以外，我们还有好多种方法，如以上的几种方法，所以在解决问题的时候要多注意方法和思路的总结． 知识点3 利用余弦定理解三角形利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，可以求第三边，进而求出其他角．例如：在ABC ∆中，已知():():()4:5:6b c a c b a +++=，求ABC ∆的最大内角．解：设4b c k +=，5a c k +=，6b a k +=(0)k >，则7.5a b c k ++=，解的 3.5a k =，2.5b k =， 1.5c k =所以a 是最大的边，即角A 是ABC ∆的最大角．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==- ，000180A << ，0120A ∴=即最大角为0120． 温馨提示：(1)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．(2)运用余弦定理时，因为已知三边求角，或已知两边及夹角求另一边，由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的． 知识点4 利用余弦定理判断三角形的形状．利用余弦定理可以确定三角形每个内角的范围，因此很快就能判断三角形是锐角三角形或是直角三角形或是钝角三角形．在判断的过程中我们一般先找到最大角，（即最大边所对应的角），再判断这个最大角AB DC b ac 1-2-3是锐角，直角还是钝角．例如：在ABC ∆中，已知7a =，10b =，6c =，判断ABC ∆的形状．解：因为ABC ∆中最大边为b ，所以我们先确定角B 的范围，由余弦定理2225cos 228a cb B ac +-==-可知：在ABC ∆中，000180B <<；0090180B <<，所以ABC ∆为钝角三角形． 规律总结：（1）由余弦定理还可以推得：若222a b c +>，C 为锐角，若222a b c +<，C 为锐角．这是判断三角形形状的方法之一．（2）在2222cos c a b ab C =+-中，若090C =，则222c a b =+，所以勾股定理可以看成是余弦定理的特例，而余弦定理是勾股定理的推广． 知识点5 三角形中最值的求法解决三角形中的有关最值问题的关键在于：利用正弦定理或余弦定理，三角恒等变换思想将有关问题转化为某一个角的三角函数，或某一边的函数，进而求出其最值．例如：已知圆O 的半径为R ，它的内接△ABC 满足222(sin sin )R A C -)sin b B =-，求△ABC 面积的最大值．分析：先可将已知等式转化为边的关系式，再由边的关系式的结构特征联想到正余弦定理可求角C ，最后利用三角函数的有界性确定面积的最大值．解：利用正弦定理可将已知等式变为22)a c b b -=-即222a b c +-=∴222cos 2a b c C ab +-== ∴4C π=∴1sin 2S ab C = 12sin 2sin 2R A R B =⋅⋅2sin sin A B =2[cos()]22R A B =----∴当A ＝B 时，S 有最大值212R +． 警示区：在运用正、余弦定理求解最值问题时，有时要注意三角函数的有界性，否则会导致范围的变化；有时还要用到函数的单调性、不等式的基本性质等． 知识点6 余弦定理的综合应用把余弦定理与正弦定理、三角形的面积相结合可解决三角形、四边形中的证明和计算问题．技能应用导引题型一：余弦定理的简单应用1．解三角形例1 在△ABC 中，已知2,22,15a b C ===︒，求角A 、B 和边c 的值． 【分析】：由条件角C 为边a ，b 的夹角，故应由余弦定理来求c 的值．【解】62cos15cos(4530)4+︒=︒-︒=由余弦定理知，2222cos c a b ab C =+-4822(62)=+-⨯+843=-∴2843(62)62c =-=-=- 由正弦定理得sin sin a c A C= sin sin a C A c =sin15a c ︒=62214262-⨯==- ∵b a > ∴A 为锐角 ∴30A =︒ ∴180135B A C =︒--=︒【评注】利用余弦定理可以解决两类解斜三角形的问题：⑴已知三边，求三个角；⑵已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 变式练习1. 在△ABC 中，已知20,10,45a b C ===︒，解三角形（边长精确到1，角度精确到1︒）．变式练习2．在ABC ∆中，已知4a =，5b =，6=c ，求A （精确到00.1）．例2、在四边形ABCD 中，,2BC a DC a ==，四个角A 、B 、C 、D 的度数的比为3:7:4:10，求AB 的长．【分析】如图1-2-4，要求AB 的长，需把AB 放到三角形中处理，为此连结BD ，由题设可求出角A 、B 、C 、D 的值，在△BCD 中，由余弦定理可求出BD ，进而解△BCD ，求AB ．【解】设四个角A 、B 、C 、D 的度数分别为3,7,4,10(0)x x x x x >，则由四边形的内角和定理，有37410360x x x x +++=︒，解得15x =︒．∴45A =︒，105ABC ∠=︒，60C =︒，150ADC ∠=︒ 连结BD ，在△BCD 中，由余弦定理，得 2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅⋅222142232a a a a a =+-⋅⋅= ∴3BD a = 此时，222BC BD CD +=，∴△CBD 为直角三角形，90CBD ∠=︒，30BDC ∠=︒在△ABD 中，45A =︒，120ADB ∠=︒由正弦定理知sin sin AB BD ADB A =∠，sin 32sin 2BD ADB AB a A ∠== ∴AB 322a ABCD 1-2-4【反思】本题要求在四边形ABCD 中求边AB 的长，需构建三角形，通过解三角形解决，本题中求ADB ∠的度数是关键，要善于挖掘隐含条件222BC BD CD +=，如果不能发现这一条件，也可通过余弦定理求出BDC ∠的度数． 变式练习3．在四边形ABDC 中，3CD =，75ACB ∠=︒，45BCD ∠=︒，30ADC ∠=︒，45ADB ∠=︒，求AB 的长．变式练习4．在△ABC 中，已知b ＝43，c ＝23，∠A ＝120°，求a.例3．在△ABC 中，A 最大，C 最小，且2A C =，2a c b +=，求此三角形三边之比．【分析】要求三边之比，已知角A 与角C 的关系，可由正弦定理求cos 2a C c=，再由余弦定理得出a 、b 、c 的关系，结合2a c b +=的条件，使问题解决．【解】在△ABC 中，由正弦定理得sin sin a c A C =，sin 2cos sin a A C c C ==，即cos 2a C c= 由余弦定理得222cos 2a b c C ab+-= ∵2b a c =+ ∴2221()4222a c a c a a c c a -++=+⋅ 整理得，222530a ac c -+=，解得a c =或32a c = ∵A C > ∴a c >，∴a c =不合题意．当32a c =时，15()24b ac c =+= ∴35::::6:5:424a b c c c c == 故此三角形的三边之比为6:5:4 【评注】在应用正、余弦定理解三角形时，常用到三角函数的有关公式，体现了它们之间的联系，本题中通过解方程求a 、c 的关系，体现了余弦定理与方程的联系．变式练习５．已知三角形的三边长为三个连续自然数，且最大角为钝角，求三边的长．变式练习６．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且a 2-a -2b -2c ＝0，a ＋2b -2c ＋3＝0，求这个三角形的最大内角．2．判断三角形的形状例4 在△ABC 中，已知7,10,6a b c ===，判断ABC 的形状．【分析】△ABC 的最大边由b 和角B 的范围决定，故问题转化为求角B 的范围．【解】由余弦定理知222cos 2c a b B ac+-=2227610276+-=⨯⨯528=-在△ABC 中，0180B ︒<<︒∴90180B ︒<<︒ ∴△ABC 为钝角三角形． 【评注】对于判断三角形的形状，一般从两个方面：一是角化边，通过余弦定理来判断；二是边化角，结合三角形的内角和定理，判断其中的最大角。
苏教版高三数学必修五《余弦定理》教案及教学反思
#苏教版高三数学必修五《余弦定理》教案及教学反思##引言高中数学教育是学生数学思维和能力的重要基础。
而教学过程的品质对学生的学习结果影响重大。
本教学反思主要讨论苏教版高三数学必修五《余弦定理》的教学案例以及反思。
##教学目标1.知道余弦定理的基本形式。
2.掌握余弦定理的应用。
3.掌握斜三角形的三角函数计算。
##教学资源1.课程教材：苏教版高三数学必修五。
2.教学媒体：教师机、投影仪等。
3.学习工具：学生课本、笔记本等。
##教学过程###引入在讲解余弦定理之前，首先让学生自己找规律，相信大家都会欣赏这种探索的方式。
引导学生发现的过程就是下面这个问题：假设在一个直角三角形中，斜边的长度为10，斜边上一点到直角边的距离是6。
现在让你求出斜边上另一个点到直角边的距离。
这个问题一出来，很多同学可能不知道怎么做，或者说觉得这个问题根本没有办法解决。
这时教师可以引导学生分析，将问题分解成多个子问题，经过不断的思维，最终得出答案。
###主体余弦定理的公式是很简单的：$c^2=a^2+b^2-2ab\\cos C$。
然而，在讲解公式时，我们经常可以发现学生的 confusion和疑惑。
这时就可以采用借助图形的方式来帮助学生理解。
例如，让同学绘制出图1-1：图1-1A/|\\b / | \\/ | \\B------- Ca c然后，提出假设题目为：“在一个斜边长度为c=10、夹角为 $C=120^\\circ$ 的三角形中，若分别以a,b表示另外两个边长，则 $\\cos C=$ ？”，然后按照如下步骤引导学生思考：•如何求a和b；•带入公式求 $\\cos C$。
这种联系结合了以图形帮助学生理解公式的方法、以问题引导学生思维的方法，最终能够让学生更详细地理解余弦定理的应用。
###总结在教学过程中，我们通过组织学生自己探索规律的方式引出问题，在图形化的帮助下让学生更加深入地理解了余弦定理。
此外，在教材中补充其他的实例，不断强化和巩固学生对余弦定理公式的记忆和应用。
苏教版高中数学必修五余弦定理教案(2)(1)
让学生学会学习听课随笔第3课时余弦定理【学习导航】知识网络⎩⎨⎧判断三角形的形状平面几何中的某些问题余弦定理 学习要求1．余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；2．能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3．进一步运用余弦定理解斜三角形． 【课堂互动】自学评价1．余弦定理：(1)_______________________，_______________________，_______________________. (2) 变形：____________________，_____________________，_____________________ .2．判断三角形的形状一般都有______或_________两种思路. 【精典范例】【例1】在∆ABC 中，求证：（1）;sin sin sin 222222CBA c b a +=+ （2）)cos cos cos (2222C abB ca A cb c b a ++=++ 【解】【例2】在ABC ∆中，已知acosA = bcosB 用两种方法判断该三角形的形状. 分析：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”。
【解】方法1o方法2o点评: 判断三角形的形状一般都有“走边”或“走角”两条路。
【例3】在四边形ABCD 中，∠ADB=∠BCD=75︒，∠ACB=∠BDC=45︒，DC=3，求： （1） AB 的长（2） 四边形ABCD 的面积 【解】让学生学会学习听课随笔追踪训练一1. 在△ABC 中，090C ∠=，00450<<A ，则下列各式中正确的是（ ）A.A A cos sin >B.A B cos sin >C.B A cos sin >D.B B cos sin > 2. 在△ABC 中，若1cos cos cos 222=++C B A ,则△ABC 的形状是______________3. 如图，已知圆内接四边形ＡＢＣＤ的边长分别为ＡＢ＝２，ＢＣ＝６，ＡＤ ＝ＣＤ＝４，如何求出四边形ＡＢＣＤ的面积？【选修延伸】【例4】如图：在四边形ABCD 中，∠B=∠D=750，∠C=060，AB=3，AD=4，求对角线AC 的长。
江苏省 必修5教案 1.2余弦定理2
4.已知圆内接四边形 中， ,求四边形 的面积
四、归纳整理，整体认识
让学生总结本节课所学的内容及方法
（1）知识总结：
（2）方法总结：
课外作业
课本17页5、6
教学反思
应用正弦定理和余弦定理可将已知条件转化为边与边的的关系或角与角的三角函数关系
例3（教材 例4）
教学时应引导学生将两个向量加法的问题转化为 中的边角关系
三、巩固深化，反馈矫正
1．在 中，设 , ，且| | ,| | , • ，则
2.在 中，已知 ， 、 、 分别为角 、 、 所对的边，则 的值等于________
1.2
教学
目标
1.学会利用余弦定理解决有关平几问题及判断三角形的形状，掌握转化与化归的数学思想；
2.能熟练地运用余弦定理解斜三角形；
重点难点
重点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形；
难点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形
教学过程
一、创设情景，揭示课题
1.余弦定理的内容？
2.如何利用余弦定理判断锐角、直角、钝角？
2.利用余弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？
二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1（教材 例6）在 中， 是 边上的中线，求证：
此为三角形中线长公式，教学时可引导学生分析等式的结构，联想余弦定理，寻找证明等式的方法
苏教版高中数学必修五课件1.2余弦定理(2)
R为△ABC的外接圆半径，将原式化为 4R2sin2Bsin2C+4R2sin2Csin2B =8R2sinBsinCcosBcosC，
所以8R2sin2Bsin2C=8R2sinBsinCcosBcosC，
变式训练： 在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B =2bc·cosBcosC，试判断三角形的形状。
cos A b2 c2 a2 cos B a2 c2 b2 cos C a2 b2 c2
2bc
2ac
2ab
例1.在长江某渡口处，江水以5km/h的速度向东流，一渡船在江
南岸的A码头出发预定要在0.1h后到达江北岸的B码头（如图），
设 为正AN北方向，已知B码头在A码头的北偏东 ， 15
故△ABC是直角三角形。
例3. 如图，AM为 ABC中BC边上的中线，
A
求证：AM 1 2 AB2 AC2 - BC2 2
证明：设AMB ,则AMC 180
在 AMB中，由余弦定理，得
B
Ｍ
C
AB2 AM 2 BM 2 2AM MB cos 在 AMC中，由余2 c2 )2 c2(a2 c2 b2 )2
2ab
2ac
2bc a2 c2 b2 a2 b2 c2
2ac
2ab
即得，
b2 c2
[(a2 b2
c2 ) (a2 c2 b2 )]2 4a2
得b2+c2=a2，
15 A
DAN DAB NAB
C
ABC 15 9.4
答：渡船应按北偏西9.4的方向， 并以11.7km / h的速度航行.
数学：1.2《余弦定理（2）》教案（苏教版必修5）
数学：1.2《余弦定理（2）》教案（苏教版必修5）第 4 课时：§1.2 余弦定理（2）【三维目标】：一、知识与技能1.学会利用余弦定理解决有关平几问题及判断三角形的形状，掌握转化与化归的数学思想；2.能熟练地运用余弦定理解斜三角形；二、过程与方法通过对余弦定理的运用，培养学生解三角形的能力及运算的灵活性三、情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；【教学重点与难点】：重点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形；难点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.余弦定理的内容？2.如何利用余弦定理判断锐角、直角、钝角？2.利用余弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 （教材16P 例6）在ABC ?中，AM 是BC 边上的中线，求证：222)(221BC AC AB AM -+= 例2 （教材15P 例5）在ABC ?中，已知CB A cos sin 2sin =，试判断三角形的形状例3 在ABC ?中，证明：C B A cb a sin )sin(222-=- 例4 已知三角形一个内角为060，周长为20，面积为310，求三角形的三边长。
例5三角形有一个角是060，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是π12，求这个三角形的面积。
四、巩固深化，反馈矫正1．在ABC ?中，设=?→CB a r ,=?→?AC b r ，且|a r |2=,|b r |3=,a r ?b r 3-=，则_____=AB 2. 在ABC ?中，已知060=∠C ，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，则ac b c b a +++的值等于________3.已知a b a ,6,13=+=边上的中线，2338-=a m ,则_____=c 4.已知圆内接四边形ABCD 中，4,6,2====CD AD BC AB ,求四边形ABCD 的面积五、归纳整理，整体认识让学生总结本节课所学的内容及方法（1）知识总结：（2）方法总结：六、承上启下，留下悬念1．书面作业七、板书设计（略）八、课后记：。
高中数学(余弦定理)教案1 苏教版必修5 教案
听课随笔1.2 余弦定理 第1课时知识网络三角形中的向量关系→余弦定理学习要求1． 掌握余弦定理及其证明； 2． 体会向量的工具性；3． 能初步运用余弦定理解斜三角形． 【课堂互动】自学评价1．余弦定理：(1)A cos bc 2c b a 222⋅-+=，______________________，______________________.(2) 变形：bc2a c b A cos 222-+=，___________________，___________________ .2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题： （１）_______________________________； （２）_______________________________． 【精典范例】 【例1】在ABC ∆中，（1）已知3b =，1c =，060A =，求a ；（2）已知4a =，5b =，6=c ，求A （精确到00.1）． 【解】点评: 利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（１）已知三边，求三个角；（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．【例2】,A B 两地之间隔着一个水塘，现选择另一点C ，测182,CA m =126,CB m = 063ACB ∠=，求,A B 两地之间的距离（精确到1m ）． 【解】【例3】用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C 为锐角时，222a b c +>；当C 为钝角时，222a b c +<． 【证】点评:余弦定理可以看做是勾股定理的推广． 追踪训练一 １．在△ＡＢＣ中，（１）已知Ａ＝６０°，ｂ＝４，ｃ＝７， 求a ；（２）已知a ＝７，ｂ＝５，ｃ＝３，求Ａ．听课随笔２．若三条线段的长为５，６，７，则用这三条线段（ ） Ａ．能组成直角三角形Ｂ．能组成锐角三角形 Ｃ．能组成钝角三角形 Ｄ．不能组成三角形３．在△ＡＢＣ中，已知222c ab b a =++，试求∠Ｃ的大小．４．两游艇自某地同时出发，一艇以１０ｋｍ／ｈ的速度向正北行驶，另一艇以７ｋｍ／ｈ的速度向北偏东４５°的方向行驶，问：经过４０ｍｉｎ，两艇相距多远？【选修延伸】【例4】在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，且a ，b 是方程02322=+-x x 的两根，()1cos 2=+B A 。
(教师用书)高中数学 1.2 余弦定理(第2课时)教案 苏教版必修5
第2课时余弦定理(2)(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)学会利用余弦定理解决有关平面几何问题及判断三角形的形状，掌握转化与化归的数学思想；(2)能熟练地运用余弦定理解斜三角形．2.过程与方法通过对余弦定理的应用，培养学生解三角形的能力及运算的灵活性．3．情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力：通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．●重点、难点重点：利用余弦定理判断三角形的形状以及正、余弦定理的综合应用．难点：利用余弦定理判断三角形的形状以及正、余弦定理的综合应用．教学时结合利用正弦定理判断三角形形状的方法，引导学生通过观察、比较、分析，总结如何使用余弦定理判断三角形的形状，进而探寻综合利用正弦定理与余弦定理判断三角形形状的方法．对于正、余弦定理的综合应用的教学，应坚持“学生为主、教师为辅”的思想，结合具体例子，逐步探究．(教师用书独具)●教学建议本节课是余弦定理的应用，教学时应启发、引导学生灵活运用余弦定理的各种等价形式，并总结余弦定理适应题型的特点，在解题时要正确选用余弦定理以达到求解求证的目的．对于三角形形状的判断，教学时可引导学生把余弦定理同正弦定理相对比探寻二者的共性与差异，总结判断方法．对于正、余弦定理的综合应用，实际应用教学时应注意三角恒等变换与正、余弦定理的结合．●教学流程通过例1及其变式训练使学生了解运用余弦定理判定三角形形状的方法.⇒引导学生总结利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状的规律与方法.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握综合使用正、余弦定理解三角形的方法、步骤.⇒通过例3及其变式训练使学生掌握运用余弦定理解平面几何问题或实际应用题的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.(对应学生用书第9页)在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B ·cosC ，试判断△ABC 的形状．【思路探究】 一是利用余弦定理将已知式化为边的关系；二是利用正弦定理将已知式化为角的关系．【自主解答】 法一 将已知等式变为b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C .由余弦定理，可得b 2＋c 2－b 2·(a 2＋b 2－c 22ab )2－c 2·(a 2＋c 2－b 22ac)2＝2bc ·a 2＋b 2－c 22ab ·a 2＋c 2－b 22ac，即b 2＋c 2＝[ a 2＋b 2－c 2＋ a 2＋c 2－b 2]24a2. ∴b 2＋c 2＝a 2.∴△ABC 为直角三角形．法二 由a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .则原式可化为R 2sin 2B sin 2C ＝R 2sin B sin C cos B cos C .∵sin B sin C ≠0，∴sin B sin C ＝cos B cos C ，即cos(B ＋C )＝0. ∴B ＋C ＝90°.∴A ＝90°.∴△ABC 为直角三角形．判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形的形状．在△ABC 中，若(a －c ·cos B )·sin B ＝(b －c ·cos A )·sin A ，判断△ABC 的形状． 【解】 结合正弦定理及余弦定理知，原等式可化为(a －c ·a 2＋c 2－b 22ac )·b ＝(b －c ·b 2＋c 2－a 22bc)·a .整理得(a 2＋b 2－c 2)b 2＝(a 2＋b 2－c 2)a 2， ∴a 2＋b 2－c 2＝0或a 2＝b 2， ∴a 2＋b 2＝c 2或a ＝b .故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a sin A sin B＋b cos 2A ＝2a ，(1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .【思路探究】 (1)利用正弦定理化简上式，从而求得b a的值； (2)利用余弦定理求B .【自主解答】 (1)将a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B 代入已知式得： sin 2A sinB ＋cos 2A sinB ＝2sin A . ∴(sin 2A ＋cos 2A )sinB ＝2sin A ， ∴sin B ＝2sin A ，∴b ＝2a ，∴b a＝ 2.(2)∵c 2＝b 2＋3a 2＝(2＋3)a 2，∴c ＝3＋12a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ 3＋3 a 2－2a 22×a ×3＋12a＝22，∴B ＝45°.1．本例中，既用到了正弦定理，也用到了余弦定理，这也是解三角形综合问题的常规通法．2．正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系，要解三角形，必须已知三角形的一边的长，对于两个定理，根据实际情况可以选择性地运用，也可以综合运用，要注意以下关系式的运用：已知△ABC 的外接圆半径为R ，且满足2R (sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sin B ，求△ABC 面积的最大值．【解】 由已知条件得4R 2(sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )·2R sin B . 由正弦定理得a 2－c 2＝(2a －b )b ， 即a 2＋b 2－c 2＝2ab .再由余弦定理的推论得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22.又C 是△ABC 的内角，∴C ＝45°，∴S ＝12ab sin C ＝12·2R sin A ·2R sin B ·22＝2R 2sin A sin B ＝－22R 2[cos(A ＋B )－cos(A －B )] ＝22R 2[22＋cos(A －B )]， 当A ＝B 时，面积S 有最大值，最大值为1＋22R 2.如图1－2－1所示，在四边形ABCD 中，BC ＝20，DC ＝40，图1－2－1B ＝105°，C ＝60°，D ＝150°，求：(1)AB ；(2)四边形ABCD 的面积．【思路探究】 (1)连结BD ，将AB 放在△ABD 中作为一边，利用正余弦定理求解． (2)S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △DBC .【自主解答】 (1)连结BD ， 因为∠ABC ＝105°，C ＝60°， ∠ADC ＝150°，所以A ＝360°－105°－60°－150°＝45°.在△BCD 中，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝202＋402－2×20×40×12＝1 200，于是BD ＝20 3.因为BD 2＋BC 2＝CD 2，所以∠CBD ＝90°.所以∠ABD ＝105°－90°＝15°，∠BDA ＝180°－45°－15°＝120°. 在△ABD 中，AB sin ∠ADB ＝BDsin A ，所以AB ＝BD sin ∠ADB sin A ＝203sin 120°sin 45°＝30 2.(2)因为sin 15°＝sin(45°－30°)＝6－24， 所以四边形ABCD 的面积S 四边形ABCD＝S △DBC ＋S △DBA ＝12×20×203＋12×203×302×6－24＝50(9＋3)．1．本例中，要利用余弦定理解平面几何问题，首先将四边形进行了分割，以便解三角形和利用三角形面积公式．2．若利用余弦定理解实际应用题，首先应抽象出平面图形，然后分割出若干个三角形进行求解．图1－2－2如图1－2－2，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．【解】 在直角梯形ABED 中，DE ＝502＋ 200－80 2＝130， 在直角梯形BCFE 中，EF ＝1202＋ 200－110 2＝150， 在直角梯形ACFD 中，DF ＝ 110－80 2＋1702＝29 800，∴cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF＝1302＋1502－29 8002×130×150＝1665.(对应学生用书第10页)忽略三角形中的隐含条件而致误若使a ，a ＋1，a ＋2为钝角三角形的三边，求a 的取值范围．【错解】 因为a ＋2是三角形中的最大边，依题意知其对角θ应为钝角．所以cos θ＝a 2＋ a ＋1 2－ a ＋2 22a a ＋1 ＝a －32a＜0，所以0＜a ＜3.【错因分析】 上述解法中只考虑了最大边所对的角为钝角，而忽略了a ，a ＋1，a ＋2构成三角形的条件，因此，还应该注意“在三角形中，两边之和大于第三边”这个隐含条件，故a ＋2＜a ＋(a ＋1)，解得a ＞1，因此实数a 的取值范围是(1,3)．【防范措施】 对于钝角三角形的判断，不仅仅是最大角为钝角，同时应考虑它首先是三角形，即满足任意两边之和大于第三边这一条件．【正解】 由题意知a ＋2是三角形的最大边，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a ＋ a ＋1 ＞a ＋2，a 2＋ a ＋1 2－ a ＋222a a ＋1＜0.解不等式组得1＜a ＜3，所以a 的取值范围是(1,3)．1．基础知识：(1)正弦定理；(2)余弦定理；(3)三角形面积公式．2．基本技能：(1)判断三角形形状；(2)正余弦定理的综合应用；(3)利用余弦定理解实际问题或平面几何问题．3．思想方法：(1)边角互化；(2)转化化归；(3)数形结合；(4)分类讨论．(对应学生用书第11页)1．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为________．【解析】∵b2＝a2＋c2－2ac cos 60°＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－ac＝ac，∴a2－2ac＋c2＝0，∴a＝c.又∵B＝60°，∴△ABC为正三角形．【答案】正三角形2．在△ABC中，AB＝5，AC＝5，cos C＝910，则BC＝______.【解析】设BC＝x，由余弦定理得(5)2＝52＋x2－2×5×x×910，∴x2－9x＋20＝0，∴x＝4或5.【答案】4或5图1－2－33．如图1－2－3，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为________ km.【解析】∵CA＝CB＝a，∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，∴AB2＝AC2＋CB2－2×AC×CB cos ∠ACB，即AB2＝a2＋a2＋a2＝3a2，∴AB＝3a.【答案】3a4．在△ABC 中，若CB →·CA →＝52，cos C ＝18，a ＋b ＝9，求c .【解】 ∵CB →·CA →＝ab cos C ＝ab ×18＝52，∴ab ＝20.又a ＋b ＝9，联立上式，解得a 2＋b 2＝41. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝36，∴c ＝6.(对应学生用书第82页)一、填空题1．在△ABC 中，已知三边长分别为a ，b ，c ，则a cos C ＋c cos A ＝________. 【解析】 a cos C ＋c cos A ＝2R sin A cos C ＋2R sin C cos A ＝2R sin(A ＋C )＝2R sin B ＝b .【答案】 b2．△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sinC ＋sin 2C ，则A ＝________.【解析】 由题意，a 2＝b 2＋bc ＋c 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴A ＝2π3.【答案】2π33．(2013·临沂高二检测)某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45 km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是________．【解析】 如图所示，∠BAC ＝60°－30°＝30°，∠ACB ＝30°. 设|BC |＝x ，由余弦定理3x ＝45，∴x ＝153(km) 【答案】 15 3 km4．在△ABC 中，C ＝60°，则ab ＋c ＋bc ＋a＝________.【解析】 ∵C ＝60°，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴a 2＋b 2＝ab ＋c 2，等式两边都加上ac ＋bc ，整理得 (a 2＋ac )＋(b 2＋bc )＝(b ＋c )(a ＋c )， ∴a b ＋c ＋bc ＋a ＝ ac ＋a 2 ＋ b 2＋bcb ＋c c ＋a ＝1. 【答案】 15．(2013·杭州高二检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________.【解析】 ∵sin C ＝23sin B ，∴c ＝23b . ∵a 2－b 2＝3bc ＝6b 2，∴a 2＝7b 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，∴A ＝30°.【答案】 30°6．已知锐角三角形的边长分别为1,3，a ，则a 的取值范围是________．【解析】 a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1＋3＞a ，1＋a ＞3，cos θ1＝12＋a 2－322×1×a ＞0，cos θ2＝12＋32－a 22×1×3＞0.解之得22＜a ＜10. 【答案】 (22，10)7．在△ABC 中，已知sin A ＝2cos B sin C ，则△ABC 是________三角形． 【解析】 法一 由正弦定理可得a ＝2c ·cos B .由余弦定理得a ＝2c ·a 2＋c 2－b 22ac，化简得b ＝c .∴△ABC 是等腰三角形．法二 sin A ＝2cos B ·sin C ⇒sin(B ＋C )＝2cos B sin C ⇒sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2cos B ·sin C ⇒sin B ·cos C －cos B ·sin C ＝0⇒sin(B －C )＝0. 可知－π＜B －C ＜π. ∴B －C ＝0.∴B ＝C .故△ABC 为等腰三角形． 【答案】 等腰 8.图1－2－4如图1－2－4，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sinC 的值为________．【解析】 设AB ＝a ，∴AD ＝a ，BD ＝23a ，BC ＝2BD ＝43a ，cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝2a 2－43a22a 2＝13， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝223.由正弦定理知sin C ＝AB BC ·sin A ＝34×223＝66. 【答案】66二、解答题9．在△ABC 中，若AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，求AC 边上的高． 【解】 设AC 边上的高为BD ， 在△ABC 中，cos A ＝32＋42－132×3×4＝12，∴A ＝60°.在△ABD 中，BD ＝AB sin A ＝3×sin 60°＝332.10．在△ABC 中，cos A ＝45，且(a －2)∶b ∶(c ＋2)＝1∶2∶3，试判断三角形的形状．【解】 由已知设a －2＝x ，则b ＝2x ，c ＋2＝3x ， ∴a ＝2＋x ，c ＝3x －2，由余弦定理得 4x 2＋ 3x －2 2－ x ＋2 24x 3x －2 ＝45，解得x ＝4，∴a ＝6，b ＝8，c ＝10，∴a 2＋b 2＝c 2，即三角形为直角三角形．11．在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c .已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin (B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．【解】 (1)由余弦定理及已知条件得a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，即sin B cos A ＝2sin A cos A . 当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，a ＝433，b ＝233.当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.(教师用书独具)设△ABC 是锐角三角形，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对边长，并且sin 2A ＝sin(π3＋B )sin(π3－B )＋sin 2B .(1)求角A 的值；(2)若AB →·AC →＝12，a ＝27，求b ，c (其中b ＜c )．【思路探究】 (1)对题目中的已知等式进行三角恒等变换，化简为只含角A 的三角函数式，进而求出角A ；(2)化简所给向量的数量积，由已知条件和余弦定理求解．【自主解答】 (1)因为sin 2A ＝sin(π3＋B )sin(π3－B )＋sin 2B ＝34cos 2B －14sin 2B ＋sin 2B＝34，所以sin A ＝32(负值舍去)，又A 为锐角，所以A ＝π3. (2)由AB →·AC →＝12可得ab cos A ＝12.① 由(1)知A ＝π3，所以cb ＝24.②由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 将a ＝27及①代入，得c 2＋b 2＝52，③ ③＋②×2，得(c ＋b )2＝100，所以c ＋b ＝10.因此，c ，b 是一元二次方程t 2－10t ＋24＝0的两个根， 解方程，并由b ＜c 知c ＝6，b ＝4.1．本例灵活运用了三角变换、向量数量积运算以及方程思想，体现了知识的渗透与综合．2．向量知识与三角结合，使解题更具灵活性，也是高考的难点与热点之一．在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2＝ac ，且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C 的值；(2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值．【解】 (1)由cos B ＝34，即sin B ＝1－ 34 2＝74.由b 2＝ac 及正弦定理，得sin 2B ＝sin A ·sin C . 于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos Csin C＝sin C cos A ＋cos C sin Asin A sin C＝sin A ＋C sin 2B ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477.(2)由BA →·BC →＝32，得ca ·cos B ＝32，由cos B ＝34可得ca ＝2，又b 2＝ac ，所以b 2＝2.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5，所以(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，所以a ＋c ＝3.。
高中数学 1.2 余弦定理(2) 教案 苏教版必修5
1.2 余弦定理（2）教学目标：1. 掌握余弦定理．2. 进一步体会余弦定理在解三角形、几何问题、实际问题中的运用，体会数学中的转化思想．教学重点：余弦定理的应用；教学难点：运用余弦定理解决判断三角形形状的问题．教学过程：一、复习回顾余弦定理的两种形式（一）A bc c b a cos 2222-+=， B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=． （二）bca cb A 2cos 222-+=， cab ac B 2cos 222-+=， abc b a C 2cos 222-+=． 二、学生活动探讨实际生活中有哪些问题可以利用余弦定理来解决．三、数学应用1．例题．例1 A ，B 两地之间隔着一个水塘，先选择另一点C ，测得182,126,63m m CA CB ACB ==∠=︒，求A ，B 两地之间的距离（精确到1m ）． 解 由余弦定理，得18.2817863cos 1261822126182cos 2222≈︒⨯⨯-︒+︒=⋅-+=C CB CA CB CA AB A BC所以，)(168m AB ≈．答：A ，B 两地之间的距离约为168m ．例2 在长江某渡口处，江水以5/km h 的速度向东流．一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在h 1.0后到达江北岸B 码头．设AN 为正北方向，已知B 码头在A 码头的北偏东︒15，并与A 码头相距km 2.1．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到︒1.0，速度精确到0.1/km h ）？解 如图，船按AD 方向开出，AC 方向为水流方向，以AC 为一边、AB 为对角线作平行四边形ACBD ，其中)(5.01.05),(2.1km AC km AB =⨯==．在ABC ∆中，由余弦定理，得所以)(17.1km BC AD ≈=．因此，船的航行速度为)/(7.111.017.1h km =÷．在ABC ∆中，由正弦定理，得 sin 0.5sin 75sin 0.41281.17AC BAC ABC BC ∠︒∠==≈， 所以 ︒≈∠4.24ABC所以 ︒≈︒-∠=∠-∠=∠4.915ABC NAB DAB DAN ．答：渡船应按北偏西︒4.9的方向，并以11.7/km h 的速度航行．例3 在ABC ∆中，已知C B A cos sin 2sin =，试判断该三角形的形状．解 由正弦定理及余弦定理，得b a B A =sin sin ，abc b a C 2cos 222-+=，所以 abc b a b a 22222-+⨯=， 整理，得 22c b =因为0,0>>c b ，所以c b =．因此，ABC ∆为等腰三角形．例4 在ABC ∆中，已知C c B b A a cos cos cos =+，试判断ABC ∆的形状． 解 由C c B b A a cos cos cos =+及余弦定理，得abc b a c ca b a c b bc a c b a 222222222222-+⨯=-+⨯+-+⨯， 整理，得2224)(b a c -=，即 222c b a =-或222c b a -=-，所以 222c b a +=或222b c a =+，所以 ABC ∆为直角三角形．例5 如图，AM 是ABC ∆中BC 边上的中线，求证： 222)(221BC AC AB AM -+=． 证明：设,α=∠AMB 则α-︒=∠180AMC ，在ABC ∆中，由余弦定理，得αcos 2222BM AM BM AM AB ⋅-+=．在ACM ∆中，由余弦定理，得 )180cos(2222α-︒⋅-+=MC AM MC AM AC ．因为ααcos )180cos(-=-︒，BC MC BM 21==, 所以2222212BC AM AC AB +=+, 因此，222)(221BC AC AB AM -+=． 2. 练习． （1）在ABC ∆中，如果4:3:2sin :sin :sin =C B A ，那么C cos 等于（ ）A ．32B ．32-C ．31-D ．41- （2）如图，长7m 的梯子BC 靠在斜壁上，梯脚与壁基相距1.5m ，梯顶在沿着壁向上6m 的地方，求壁面和地面所成的角α(精确到︒1.0)．（3）在ABC ∆中，已知︒===60,3,2C b a ，试判断此三角形的形状．（4）在ABC ∆中，设CB ＝a ，AC ＝ｂ， AB C α αM CB A且|a|＝2，|ｂ|，a·，求AB的长（精确到0.01）．练习答案：126（3）锐角三角形（4）1.88（1）D （2） 7.四、要点归纳与方法小结这节课，我们进一步学习了余弦定理在解三角形、几何问题、实际问题中的运用，对于三角形中边角关系，我们有了进一步地了解，在后面的学习中，我们将继续研究．。
高中数学 1.2 余弦定理教学设计 苏教版必修5
1.2 余弦定理教学目标：1. 掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2. 能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．教学重点：重点是余弦定理及其证明过程．教学难点：难点是余弦定理的推导和证明．教学过程：1. 创设情景，提出问题．问题1：修建一条高速公路，要开凿隧道将一段山体打通．现要测量该山体底侧两点间的距离，即要测量该山体两底侧A ，B 两点间的距离（如图1）．请想办法解决这个问题．设计意图：这是一个学生身边的实际应用问题，在其解决的过程中得到余弦定理，自然引出本课的学习内容．2. 构建模型，解决问题．学生活动：提出的方法有，先航拍，然后根据比例尺算出距离；利用等高线量出距离等；也有学生提出在远处选一点C ，然后量出AC ，BC 的长度，再测出∠ACB ．△ABC 是确定的，就可以计算出AB 的长．接下来，请三位板演其解法．法1：（构造直角三角形）如图2，过点A 作垂线交BC 于点D ，则｜AD ｜＝｜AC ｜sin C ，｜CD ｜＝｜AC ｜cos C ，｜BD ｜＝｜BC ｜－｜CD ｜＝｜BC ｜－｜AC ｜cos C ，所以， 22||||||BD AD AB += C BC AC BC AC cos ||||2||||22⋅⋅-+=．法2：（向量方法）C如图3，因为AB AC CB =+，所以，22()AB AC CB =+ 222cos(),AC CB AC CB C π=++⋅⋅-即 C BC AC BC AC AB cos ||||2||||||22⋅⋅-+=． 法3：（建立直角坐标系） 建立如图4所示的直角坐标系，则A （｜AC ｜cos C , ｜AC ｜sin C ），B （｜BC ｜, 0），根据两点间的距离公式，可得22)0sin |(||)|cos |(|||-+-=C AC BC C AC AB ，所以，C BC AC BC AC AB cos ||||2||||||22⋅⋅-+=．活动评价：师生共同评价板演．3. 追踪成果，提出猜想．师：回顾刚刚解决的问题，我们很容易得到结论：在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边长，则有C ab b a c cos 2222-+=成立．类似的还有其他等式， A cb b c a cos 2222-+=，B ca a c b cos 2222-+=．正弦定理反映的是三角形中边长与角度之间的一种数量关系，因为与正弦有关，就称为正弦定理；而上面等式中都与余弦有关，就叫做余弦定理．问题2：刚才问题的解题过程是否可以作为余弦定理的证明过程？设计意图：作为定理要经过严格的证明，在解决问题中培养学生严谨的思维习惯． 学生活动：经过思考得出，若把解法一作为定理的证明过程，需要对角C 进行分类讨论，即分角C 为锐角、直角、钝角三种情况进行证明；第二种和第三种解法可以作为余弦定理的证明过程．教师总结：证明余弦定理，就是证明一个等式．而在证明等式的过程中，我们可以将一般三角形的问题通过作高，转化为直角三角形的问题；还可以构造向量等式，然后利用向量的数量积将其数量化；还可以建立直角坐标系，借助两点间的距离公式来解决，等等．4. 探幽入微，深化理解．问题3：刚刚认识了余弦定理这个“新朋友”，看一看它有什么特征？C学生活动：勾股定理是余弦定理的特例． 反过来也可以说，余弦定理是勾股定理的推广；当角C 为锐角或钝角时，边长之间有不等关系 222c b a >+，222c b a <+；C ab b a c cos 2222-+=是边长a 、b 、c 的轮换式，同时等式右边的角与等式左边的边相对应；等式右边有点象完全平方，等等．教师总结：我们在观察一个等式时，就如同观察一个人一样，先从远处看，然后再近处看，先从外表再到内心深处．观察等式时，先从整体（比如轮换）再到局部（比如等式左右边角的对称），从一般到特殊，或者从特殊到一般（比如勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广）．问题4：我们为什么要学余弦定理，学它有什么用？设计意图：让学生真正体会到学习余弦定理的必要性．同时又可以得到余弦定理能解决的三角形所满足的条件，以及余弦定理的各种变形．让学生体会在使用公式或定理时，不但要会 “正向使用”还要学会“逆向使用”．学生活动：解已知三角形的两边和它们夹角的三角形；如果已知三边，可以求角，进而解出三角形，即abc b a C ac b c a B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+=． 5. 学以致用，拓展延伸．练习：1．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝5，c ＝7，求角C ．2．（1）在△ABC 中，若045,6,13==+=A c b ，解这个三角形．（2）在△ABC 中，1,60,30===c B b ，求a ．学生活动：练习后相互交流得出，解答题1时，利用的是余弦定理的变形形式abc b a C 2cos 222-+=；而题2既可以利用正弦定理，也可以利用余弦定理解决． 思考：正弦定理与余弦定理间是否存在着联系呢？你能用正弦定理证明余弦定理，用余弦定理证明正弦定理吗？请同学们课后思考．。
江苏省高中数学苏教版必修5《1.2余弦定理》预案2
1、△ABC中， 则△ABC是三角形．
2．钝角三角形的三边长为 ，其最大角不超过 ，则 的取值范围是 ．
五、课堂小结
运用余弦定理 解决判断三角 形形状的问题
板演练习中的两题板演练习题源自课外作 业教学小结
教学过程设计
教
学
二次备课
一、复习回顾
1．余弦定理的两种形式：
①
②
2．应用余弦定理解两类三角形问题：
①
②
二、基础练习
1．如果在 中， ， ， ，那么B=
2．在 中， ， ， ，这个三角形是三角形．
3、在 中，已知 ，则角C=
三、例题探究
例1、用余弦定理证明：在 中，当∠C为锐角时， ，当∠C为钝角时，
练习：
1．三条长为 的线段能组成三角形．
2．长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为．
抽查背诵公式
口答个体思路和答案
师生共同探究
教学过程设计
教
学
二次备课
例2、（1）在 中，若 ,判断ΔABC的形状．
（2）在 中 ，若 ，求角A的度数
练习：1、在 中，已知 ,判断ΔABC的形状
2．△ABC中， ,则△ABC是三角形
备课时间
2016年2月22日
上课时间
第周周月日
班级 节次
课题
余弦定理（2）
总课时数
第节
教学目标
巩固余弦定理的两种形式及变形应用
教学重难点
巩固余弦定理的两种形式及变形应用
特别是用余弦定理判断三角形形状的几种常见题型
教 学参考
教材、教参
授课 方法
讲练结合
教学辅助手段
多媒体
专用教室
苏教版数学高二苏教版必修5学案 1.2 余弦定理(二)
明目标、知重点 1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C . 2．余弦定理及其推论(1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .3．三角变换公式(1)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (2)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (3)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.探究点一 余弦定理在实际问题中的应用例1 在长江某渡口处，江水以5 km/h 的速度向东流．一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在0.1 h 后到达江北岸B 码头，设AN →为正北方向，已知B 码头在A 码头的北偏东15°的方向上，并与A 码头相距1.2 km.该渡船应按什么方向航行？速度是多少？(角度精确到0.1°，速度精确到0.1 km/h)解 如图，船按AD →方向开出，取AC →方向为水流方向，以AC 为一边、AB 为对角线作平行四边形ACBD ，其中AB ＝1.2(km)，AC ＝5×0.1＝0.5(km)，在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝1.22＋0.52－2×1.2×0.5cos(90°－15°)≈1.38， 所以AD ＝BC ≈1.17(km)因此，船的航行速度为1.17÷0.1＝11.7(km/h)． 在△ABC 中，由正弦定理，得sin ∠ABC ＝AC sin ∠BAC BC ＝0.5sin 75°1.17≈0.412 8，所以∠ABC ≈24.4°.所以∠DAN ＝∠DAB －∠NAB ＝∠ABC －15°≈9.4°.答 渡船应按北偏西9.4°的方向，并以11.7 km/h 的速度航行．反思与感悟 解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解． 跟踪训练1 某巡逻艇在A 处发现北偏东45°相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？ 解 如图，设该巡逻艇沿AB 方向经过x 小时后在B 处追上走私船，则CB ＝10x ，AB ＝14x ，AC ＝9， ∠ACB ＝75°＋45°＝120°，由余弦定理，得(14x )2＝92＋(10x )2－2×9×10x cos 120°，化简得32x 2－30x －27＝0，即x ＝32或x ＝－916(舍去)，所以巡逻艇需要1.5小时才追赶上该走私船． 所以BC ＝10x ＝15，AB ＝14x ＝21， 在△ABC 中，由正弦定理，得sin ∠BAC ＝BC sin 120°AB ＝1521×32＝5314.∴∠BAC ＝38°13′，或∠BAC ＝141°47′(钝角不合题意，舍去)， ∴38°13′＋45°＝83°13′.答 巡逻艇应该沿北偏东83°13′方向去追，经过1.5小时才追赶上该走私船． 探究点二 利用余弦定理判断三角形形状例2 在△ABC 中，已知sin A ＝2sin B cos C ，试判断该三角形的形状． 解 由正弦定理和余弦定理，得 sin A sin B ＝ab ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ， 所以a b ＝2·a 2＋b 2－c 22ab ，整理，得b 2＝c 2.因为b >0，c >0，所以b ＝c ， 因此△ABC 为等腰三角形．反思与感悟 题中边的大小没有明确给出，而是通过三个角的关系式来确定的，因此利用正、余弦定理将角的关系转化为边的关系来判断．跟踪训练2 在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状． 解 方法一 根据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∵B ＝60°，2b ＝a ＋c ，∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°， 整理得(a －c )2＝0，∴a ＝c . 又∵2b ＝a ＋c ，∴2b ＝2c ，即b ＝c . ∴△ABC 是等边三角形． 方法二 根据正弦定理，2b ＝a ＋c 可转化为2sin B ＝sin A ＋sin C . 又∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°.∴C ＝120°－A ， ∴2sin 60°＝sin A ＋sin(120°－A )， 整理得sin(A ＋30°)＝1， ∴A ＝60°，C ＝60°. ∴△ABC 是等边三角形．1．若平行四边形两邻边的长分别是3和6，它们的夹角是45°，则这个平行四边形的两条对角线的长分别是________． 答案3和15解析 两条对角线的长分别为(3)2＋(6)2－2×3×6×cos 45°＝3和 (3)2＋(6)2－2×3×6×cos 135°＝15.2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是________三角形． 答案 等腰解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ， ∴2×a 2＋c 2－b 22ac ×a ＝c ，∴a ＝b .故△ABC 为等腰三角形．3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为________．答案 π6解析 ∵a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32.∴B ＝π6.4.如图，已知四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝CD ＝4，DA ＝6，且D ＝60°，试求四边形ABCD 的面积．解 连结AC ，在△ACD 中， 由AD ＝6，CD ＝4，D ＝60°， 可得AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos D＝62＋42－2×6×4cos 60°＝28，在△ABC 中，由AB ＝2，BC ＝4，AC 2＝28， 可得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝22＋42－282×2×4＝－12.又0°<B <180°，故B ＝120°.所以四边形ABCD 的面积 S ＝S △ACD ＋S △ABC ＝12AD ·CD sin D ＋12AB ·BC sin B＝12×6×4sin 60°＋12×2×4sin 120° ＝8 3.[呈重点、现规律]1．已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单． 2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．3．在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．4．利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．一、基础过关1．若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段能组成________三角形． 答案 锐角解析 因三角形最大边对应的角的余弦值cos θ＝52＋62－722×5×6＝15>0，所以能组成锐角三角形．2．在△ABC 中，若c ＝2，b ＝2a ，且cos C ＝14，则a ＝________.答案 1解析 由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋4a 2－222a ×2a＝14，得a ＝1.3．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是________三角形． 答案 锐角解析 设直角三角形的三边为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2，增加的长度为x ， 则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2 ＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0， ∴c ＋x 所对的最大角为锐角．4．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C ＝________.答案 13解析 由sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3， 可得a ∶b ∶c ＝3∶2∶3.不妨设a ＝3，b ＝2，c ＝3，则cos C ＝32＋22－322×3×2＝13.5．在△ABC 中，a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________. 答案 30°解析 由sin C ＝23sin B ， 根据正弦定理，得c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝32，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°.6．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边边长，那么a 的取值范围是________． 答案 (2,8)解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边长为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2，化简得0<a <8. 又∵a ＋2a －1>2a ＋1，∴a >2，∴2<a <8.7.如图，一人在C 地看到建筑物A 在正北方向，另一建筑物B 在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进30 km 到达D 处，看到A 在他的北偏东45°方向，B 在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．解 依题意得，CD ＝30 km ， ∠ADB ＝∠BCD ＝30°＝∠BDC ，∠DBC ＝120°，∠ADC ＝60°，∠DAC ＝45°. 在△BDC 中，由正弦定理得BC ＝DC sin ∠BDC sin ∠DBC ＝30sin 30°sin 120°＝10(km)．在△ADC 中，由正弦定理得AC ＝DC sin ∠ADC sin ∠DAC ＝30sin 60°sin 45°＝35(km)．在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ＝(35)2＋(10)2－2×35×10cos 45°＝25. 所以AB ＝5(km)，即这两座建筑物之间的距离为5 km. 二、能力提升8.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________．答案66解析 设AB ＝a ，∴AD ＝a ，BD ＝2a 3，BC ＝2BD ＝4a 3， cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝2a 2－43a 22a 2＝13， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝223.由正弦定理知sin C ＝AB BC ·sin A ＝34×223＝66.9．已知三角形ABC 的三边长为a ＝3，b ＝4，c ＝37，则△ABC 的最大内角为________． 答案 120°解析 ∵c >a ，c >b ，∴角C 最大． 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即37＝9＋16－24cos C ，∴cos C ＝－12.∵0°<C <180°，∴C ＝120°. ∴△ABC 的最大内角为120°.10．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝______.答案 4解析 在△ABC 中，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＋c ＝7知，b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14， 整理得15b －60＝0.∴b ＝4.11.如图所示，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．解 设BD ＝x ，在△ABD 中，由余弦定理有 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD ·cos ∠ADB ， 即142＝102＋x 2－20x cos 60°， ∴x 2－10x －96＝0，∴x ＝16(x ＝－6舍去)，即BD ＝16.在△BCD 中，由正弦定理得BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，∴BC ＝16sin 30°sin 135°＝8 2.12．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b cos C＝(2a－c)cos B.(1)求角B的大小；(2)若b2＝ac，试确定△ABC的形状．解(1)由已知及正弦定理，有sin B cos C＝(2sin A－sin C)cos B，即sin B cos C＋cos B sin C＝2sin A cos B.∴sin(B＋C)＝2sin A cos B.∵sin(B＋C)＝sin A≠0，∴2cos B＝1，即cos B＝12，∴B＝60°.(2)由题设，b2＝ac.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，∴ac＝a2＋c2－2ac cos 60°，即a2＋c2－2ac＝0.∴(a－c)2＝0.从而有a＝c.由(1)知B＝60°，∴A＝B＝C＝60°.∴△ABC为正三角形．三、探究与拓展13．如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？解由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理，得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝5(3＋3)·sin 45°sin 105°＝5(3＋3)·sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝53(3＋1)3＋12＝103(海里)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里)，在△DBC中，由余弦定理，得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(海里)，∴需要的时间t ＝3030＝1(小时)．故救援船到达D 点需要1小时．。
高中数学 第一章 解三角形 1.2 余弦定理教案2 苏教版必修5-苏教版高二必修5数学教案
例1. 在长江某渡口处，江水以 的速度向东流，一渡船在江南岸的 码头出发，预定要在 后到达江北岸 码头，设 为正北方向，已知 码头在 码头的北偏东 ，并与 码头相距 ．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到 ，速度精确到 ）？
例2、在 中，已知 ，试判断该三角形的形状．
三、课堂小结
1、余弦定理的运用，
利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题
（１）___________ ____________________；
（２）_______________ ________________．
已知 ， ， ，求 、B、C．
你能用向量的有关知识证明这组公式吗？
练习：
学案1,2,3
教
学
过
程
设
计
教
学
二次备课
余弦定理
教 学目 标
1. 能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；
2．进一步运用余弦定理解斜三角形．
教 学重 难点
余弦定理的应用
教 学参 考
各省高考题 教学与测试
授 课方 法
自学引导 类比
教学辅助手段
多 媒 体
专用教室
教
学
过
程
设
计
教
学
二次备课
一、自学评价
1．余弦定理：
(1) ，
，
(2)变形： ，
，
思考：
2、三角形中边角关系的认识
学生练习：
学案：5,76Biblioteka 9板演，在 中已知
试判断
课 外作 业
见学案
教 学 小 结
高中数学 余弦定理教案 苏教版必修5
余弦定理教学目标：了解向量知识应用，掌握余弦定理推导过程，会利用余弦定理证明简单三角形问题，会利用余弦定理求解简单斜三角形边角问题，能利用计算器进行运算；通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.教学重点：余弦定理证明及应用.教学难点：1.向量知识在证明余弦定理时的应用，与向量知识的联系过程；2.余弦定理在解三角形时的应用思路.教学过程：Ⅰ.课题导入上一节，我们一起研究了正弦定理及其应用，在体会向量应用的同时，解决了在三角形已知两角一边和已知两边和其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决，如图(1)在直角三角形中，根据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意三角形，能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题.在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试根据b，c，A来表示a.分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边a可利用勾股定理用CD、DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示，DB可利用AB—AD转化为AD，进而在Rt△ADC内求解.解：过C作CD⊥AB，垂足为D，则在Rt△CDB中，根据勾股定理可得：a2＝CD2＋BD2∵在Rt△ADC中，CD2＝b2－AD2又∵BD2＝(c－AD)2＝c2－2c·AD＋AD2∴a2＝b2－AD2＋c2－2c·AD＋AD2＝b2＋c2－2c·AD又∵在Rt△ADC中，AD＝b·cos A∴a2＝b2＋c2－2bc cos A类似地可以证明b2＝a2＋c2－2ac cos Bc2＝a2＋b2－2ab cos C另外，当A为钝角时也可证得上述结论，当A为直角时a2＝b2＋c2也符合上述结论，这也正是我们这一节将要研究的余弦定理，Ⅱ.讲授新课1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.形式一：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .形式二：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 在余弦定理中，令C ＝90°，这时，cos C ＝0，所以c 2＝a 2＋b 2，由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外，对于余弦定理的证明，我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明，以进一步体会向量知识的工具性作用.2.向量法证明余弦定理(1)证明思路分析由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现，那么可以与哪些向量知识产生联系呢? 向量数量积的定义式：a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos θ，其中θ为a 、b 的夹角.在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处，但又有所区别，首先因为无须进行正、余弦形式的转换，也就省去添加辅助向量的麻烦.当然，在各边所在向量的联系上依然通过向量加法的三角形法则，而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导，比如证明形式中含有角C ，则构造CB →·CA →这一数量积以使出现cos C .同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提.(2)向量法证明余弦定理过程：如图，在△ABC 中，设AB 、BC 、CA 的长分别是c 、a 、b .由向量加法的三角形法则可得AC →＝AB →＋BC →，∴AC →·AC →＝(AB →＋BC →)·(AB →＋BC →)＝AB →2＋2AB →·BC →＋BC →2＝｜AB →｜2＋2｜AB →｜｜BC →｜cos(180°－B )＋｜BC →｜2＝c 2－2ac cos B ＋a 2即b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B由向量减法的三角形法则可得：BC →＝AC →－AB →∴BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →)＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2＝｜AC →｜2－2｜AC →｜｜AB →｜cos A ＋｜AB →｜2＝b 2－2bc cos A ＋c 2即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A由向量加法的三角形法则可得AB →＝AC →＋CB →＝AC →－BC →∴AB →·AB →＝(AC →－BC →)·(AC →－BC →)＝AC →2－2AC →·BC →＋BC →2＝｜AC →｜2－2｜AC →｜｜BC →｜cos C ＋｜BC →｜2＝b 2－2ba cos C ＋a 2.即c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C评述：(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则.(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定，AC →与AB →属于同起点向量，则夹角为A ；AB →与BC →是首尾相接，则夹角为角B 的补角180°－B ；AC →与BC →是同终点，则夹角仍是角C .在证明了余弦定理之后，我们来进一步学习余弦定理的应用.利用余弦定理，我们可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角.这类问题由于三边确定，故三角也确定，解唯一；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.这类问题第三边确定，因而其他两个角唯一，故解唯一，不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题.接下来，我们通过例题评析来进一步体会与总结.3.例题评析［例1］在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，求A 、B 和C.(精确到1°)分析：此题属于已知三角形三边求角的问题，可以利用余弦定理，意在使学生熟悉余弦定理的形式二.解：∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝102＋62－722×10×6＝0.725，∴A ≈44° ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋102－622×7×10 ＝113140＝0.8071，∴C ≈36° ∴B ＝180°－(A ＋C )≈180°－(44°＋36°)＝100°.评述：(1)为保证求解结果符合三角形内角和定理，即三角形内角和为180°，可用余弦定理求出两角，第三角用三角形内角和定理求出.(2)对于较复杂运算，可以利用计算器运算.［例2］在△ABC 中，已知a ＝2.730，b ＝3.696，C ＝82°28′，解这个三角形(边长保留四个有效数字，角度精确到1′).分析：此题属于已知两边夹角解三角形的类型，可通过余弦定理形式一先求出第三边.在第三边求出后其余边角求解有两种思路：一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角，二是利用两边和一边对角结合正弦定理求解，但若用正弦定理需对两种结果进行判断取舍，而在0°～180°之间，余弦有唯一解，故用余弦定理较好.解：由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝2.7302＋3.6962－2×2.730×3.696×cos82°28′得c ＝4.297.∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3.6962＋4.2972－2.73022×3.696×4.297＝0.7767，∴A ＝39°2′ ∴B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(39°2′＋82°28′)＝58°30′.评述：通过例2，我们可以体会在解斜三角形时，如果正弦定理与余弦定理均可选用，那么求边两个定理均可，求角则余弦定理可免去判断取舍的麻烦.［例3］已知△ABC 中，a ＝8，b ＝7，B ＝60°，求c 及S △ABC .分析：根据已知条件可以先由正弦定理求出角A ，再结合三角形内角和定理求出角C ，再利用正弦定理求出边c ，而三角形面积由公式S △ABC ＝12ac sin B 可以求出. 若用余弦定理求c ，表面上缺少C ，但可利用余弦定理b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B 建立关于c 的方程，亦能达到求c 的目的.下面给出两种解法.解法一：由正弦定理得8sin A ＝7sin600∴A 1＝81.8°，A 2＝98.2°∴C 1＝38.2°，C 2＝21.8°，由7sin600 ＝c sin C，得c 1＝3，c 2＝5 ∴S △ABC ＝12 ac 1sin B ＝6 3 或S △ABC ＝12ac 2sin B ＝10 3 解法二：由余弦定理得b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B∴72＝c 2＋82－2×8×c cos60°整理得：c 2－8c ＋15＝0解之得：c 1＝3，c 2＝5，∴S △ABC ＝12 ac 1sin B ＝6 3 ，或S △ABC ＝12ac 2sin B ＝10 3 . 评述：在解法一的思路里，应注意由正弦定理应有两种结果，避免遗漏；而解法二更有耐人寻味之处，体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处，即可以用之建立方程，从而运用方程的观点去解决.故解法二应引起学生的注意.综合上述例题，要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围：已知三边求任意角或已知两边夹角解三角形，同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法.为巩固本节所学的余弦定理及其应用，我们来进行下面的课堂练习.Ⅲ.课堂练习1.在△ABC 中：(1)已知b ＝8，c ＝3，A ＝60°，求a ；(2)已知a ＝20，b ＝29，c ＝21，求B ；(3)已知a ＝3 3 ，c ＝2，B ＝150°，求b ；(4)已知a ＝2，b ＝ 2 ，c ＝ 3 ＋1，求A .解：(1)由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得a 2＝82＋32－2×8×3cos60°＝49，∴a ＝7.(2)由cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca得 cos B ＝202＋212－2922×20×21＝0，∴B ＝90°. (3)由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得b 2＝(3 3 )2＋22－2×3 3 ×2cos150°＝49，∴b ＝7.(4)由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc得 cos A ＝（ 2 ）2＋（ 3 ＋1）2－222 2 （ 3 ＋1）＝ 2 2 ，∴A ＝45°. 评述：此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式，要求学生注意运算的准确性及解题效率.2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°)(1)a ＝31，b ＝42，c ＝27；(2)a ＝9，b ＝10，c ＝15.解：(1)由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc得 cos A ＝422＋272－3122×42×27≈0.6691，∴A ≈48° 由cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca≈0.0523，∴B ≈93° ∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(48°＋93°)≈39°(2)由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc得 cos A ＝102＋152－922×10×15＝0.8090，∴A ≈36° 由cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca得 cos B ＝92＋152－1022×9×15＝0.7660，∴B ≈40° ∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(36°＋40°)≈104°评述：此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外，还要求学生能够利用计算器进行较复杂的运算.同时，增强解斜三角形的能力.Ⅳ.课时小结通过本节学习，我们一起研究了余弦定理的证明方法，同时又进一步了解了向量的工具性作用，并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题：已知三边求任意角；已知两边一夹角解三角形.Ⅴ.课后作业课本习题P 16 1，2，3，4.解斜三角形题型分析正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素，如果其中三个元素是已知的(其中至少有一个元素是边)，那么这个三角形一定可解.关于斜三角形的解法，根据所给的条件及适用的定理可以归纳为下面四种类型：(1)已知两角及其中一个角的对边，如A 、B 、a 解△ABC .解：①根据A ＋B ＋C ＝π，求出角C ；②根据a sin A ＝b sin B 及a sin A ＝c sin C，求b 、c ； 如果已知的是两角和它们的夹边，如A 、B 、c ，那么先求出第三角C ，然后按照②来求解.求解过程中尽可能应用已知元素.(2)已知两边和它们的夹角，如a 、b 、C ，解△ABC .解：①根据c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，求出边c ；②根据cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，求出角A ； ③从B ＝180°－A －C ，求出角B .求出第三边c 后，往往为了计算上的方便，应用正弦定理求角，但为了避免讨论角是钝角还是锐角，应先求a 、b 较小边所对的角(它一定是锐角)，当然也可用余弦定理求解.(3)已知三边a 、b 、c ，解△ABC .解：一般应用余弦定理求出两角后，再由A ＋B ＋C ＝180°，求出第三个角.另外，和第二种情形完全一样，当第一个角求出后，可以根据正弦定理求出第二个角，但仍然需注意要先求较小边所对的锐角.(4)已知两边及其中一条边所对的角，如a 、b 、A ，解△ABC .解：①根据a sin A ＝b sin B，经过讨论求出B ； ②求出B 后，由A ＋B ＋C ＝180°求角C ；③再根据a sin A ＝c sin C，求出边c . 另外，如果已知三角，则满足条件的三角形可以作出无穷多个，故此类问题解不唯一. ［例1］在△ABC 中，a ＝1，b ＝7 ，B ＝60°，求角C .解：由余弦定理得 (7 )2＝12＋c 2－2c cos60°，∴c 2－c －6＝0，解得c 1＝3，c 2＝－2(舍去).∴c ＝3.评述：此题应用余弦定理比正弦定理好.［例2］在△ABC 中，已知A ＞B ＞C 且A ＝2C ，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，又2b ＝a ＋c 成等差数列，且b ＝4，求a 、c 的长.解：由a sin A ＝c sin C且A ＝2C 得 a 2sin C cos C ＝c sin C ，cos C ＝a 2c又∵2b ＝a ＋c 且b ＝4，∴a ＋c ＝2b ＝8， ①∴cos C ＝a 2＋42－c 28a ＝a ＋2－c a ＝5a －3c 4a ＝a 2c. ∴2a ＝3c ②由①②解得a ＝245 ，c ＝165.［例3］在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝ 2 ，A ＝45°，解此三角形. 解：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A得22＝( 2 )2＋c 2－2 2 c cos45°，c 2－2c －2＝0解得c ＝1＋ 3 或c ＝1－ 3 (舍去)∴c ＝1＋ 3 ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝22＋（1＋ 3 ）2－（ 2 ）22×2×（1＋ 3 ） ＝ 32 .∴B ＝30°C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋30°)＝105°.［例4］在△ABC 中，已知：c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，求角C . 解：∵c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，∴［c 2－(a 2＋b 2)］2－a 2b 2＝0，∴c 2－(a 2＋b 2)＝±ab ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝±12 ，∴C ＝120°或C ＝60°.。
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例4 已知三角形一个内角为，周长为20，面积为，求三角形的三边长。
例5三角形有一个角是，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是，求这个三角形的面积。
四、巩固深化，反馈矫正
1．在中，设,，且||,||,?，则
2. 在中，已知，、、分别为角、、所对的边，则的值等于________
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1.余弦定理的内容？
2.如何利用余弦定理判断锐角、直角、钝角？
2.利用余弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？
二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 （教材例6）在中，是边上的中线，求证：
例2 （教材例5）在中，已知，试判断三角形的形状
第 4 课时： §1.2 余弦定理（2）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.学会利用余弦定理解决有关平几问题及判断三角形的形状，掌握转化与化归的数学思想；
2.能熟练地运用余弦定理解斜三角形；
二、过程与方法
通过对余弦定理的运用，培养学生解三角形的能力及运算的灵活性
三、情感、态度与价值观
培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；
【教学重点与难点】：
重点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形；
难点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形
【学法与教学用具】：
1. 学法：
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
3.已知边上的中线，,则
4.已知圆内接四边形中，,求四边形的面积
五、归纳整理，整体认识
让学生总结本节课所学的内容及方法
（1）知识总结：
（2）方法总结：
六、承上启下，留下悬念
1．书面作业
ห้องสมุดไป่ตู้七、板书设计（略）
八、课后记：
1