高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数32对数函数323对数函数的概念及基本性质课堂苏教版1.
指数与对数函数幂函数知识点总结
指数与对数函数幂函数知识点总结指数函数、对数函数和幂函数是高中数学中的重要内容，是数学中常见的数学函数类型。
下面将对这三种函数进行详细介绍和总结。
1.指数函数指数函数是以底数为常数，指数为自变量的函数。
通常表示为f(x)=a^x，其中a>0且不等于1、指数函数的特点有：-当a>1时，函数为增函数，曲线向上开口。
-当0<a<1时，函数为减函数，曲线向下开口。
-当x=0时，f(0)=1，即指数为0时，函数值等于1-当x为正无穷大时，函数趋于正无穷大；当x为负无穷大时，函数趋于0。
指数函数的应用广泛，例如在金融领域中的复利计算、生物学中的生长模型、物理学中的放射性衰变等都可以使用指数函数模型来描述。
2.对数函数对数函数是指输出的指数与给定的底数相等的函数，常用的对数函数有以e为底的自然对数函数ln(x)和以10为底的通用对数函数log(x)。
对数函数的特点有：-对数函数的定义域为正实数。
- 对数函数的基本性质是函数值等于对应的指数值，即log_a(a^x) = x。
- 自然对数函数ln(x)与指数函数e^x互为反函数。
-对数函数可以帮助解决指数方程和指数不等式等问题。
对数函数在数学中广泛应用，例如在科学计算、数据压缩、信号传输和信息论等领域都有应用。
3.幂函数幂函数是形如f(x)=a^x的函数，其中a是常数且大于0。
幂函数的特点有：-当a>1时，函数为增函数，曲线向上开口。
-当0<a<1时，函数为减函数，曲线向下开口。
-当x=0时，f(0)=1，即幂为0时，函数值等于1-当x为正无穷大时，函数趋于正无穷大；当x为负无穷大时，函数趋于0。
幂函数与指数函数相似，但是幂函数的底数是常数。
幂函数在自然科学领域中经常出现，例如在物理学中的速度、加速度和质量等计算中经常使用幂函数模型。
指数函数、对数函数和幂函数是数学中的基本函数类型，它们在实际问题中有着广泛的应用。
在学习指数函数、对数函数和幂函数时，需要熟练掌握其定义、性质和应用。
最新-高中数学必修1 第3章 指数函数、对数函数和幂函
当 x≥1 时，由 2x－2－14＝0，得 x＝98.
当－8＜x＜1 时，由 x2－2x－14＝0，得 x＝2＋2 5或 x＝
2－ 2
5，
∵x＜1，∴x＝2＋2
5(舍去)，∴x＝2－2
5 .
∴函数 y＝f(x)－14的零点是 x＝98，x＝2－2
(1)若方程|ax|＝x＋a(a>0)有两个解，则 a 的取值范
围是_(_1_，__＋__∞_．)
(2)设函数 f(x)＝2xx2－－22x
x∈[1，＋∞） x∈（－8，1） ，则函数 y＝f(x)
－14的零点是_98_，__2_－__2__5__．
[解析] (1)分三种情况，在同一坐标系中画出 y＝|ax|和 y ＝x＋a 的图象如图．结合图象可知方程|ax|＝x＋a 有两个 解时，有 a>1.
y＝kx－210(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中 k 与发射方 向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 a 不超过多少时，炮弹可以击 中它？请说明理由．
[解] (1)令 y＝0，得 kx－210(1＋k2)x2＝0，由实际意义和 题设条件知 x>0，k>0.故 x＝12＋0kk2＝k2＋01k， ∵函数 f(k)＝k＋1k在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单 调递增， ∴k＋1k≥2(当且仅当 k＝1 时取等号)， ∴x＝k2＋01k≤220＝10， 所以炮的最大射程为 10 千米．
3
(2)原式＝log3334·log5[2log210－(332)32－7log72]
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案
教案：幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则第一章：幂函数1.1 幂函数的定义与性质定义：幂函数是一种形式的函数，可以表示为f(x) = x^a，其中a 是实数。
性质：幂函数的图像是一条曲线，随着a 的不同取值，曲线的形状也会发生变化。
当a > 1 时，函数在x > 0 的区间上是增函数；当0 < a < 1 时，函数在x > 0 的区间上是减函数；当a = 0 时，函数是常数函数；当a < 0 时，函数在x >0 的区间上是增函数。
1.2 幂函数的图像与性质图像：通过绘制不同a 值的幂函数图像，观察曲线的形状和变化趋势。
性质：当a > 0 时，函数在x = 0 时无定义，但在x > 0 的区间上有定义；当a < 0 时，函数在x = 0 时无定义，但在x < 0 的区间上有定义；当a 为正整数时，函数在x > 0 的区间上是增函数；当a 为负整数时，函数在x < 0 的区间上是增函数。
第二章：指数函数2.1 指数函数的定义与性质定义：指数函数是一种形式的函数，可以表示为f(x) = a^x，其中a 是正实数。
性质：指数函数的图像是一条曲线，随着x 的增大，曲线的值也会增大。
指数函数的图像经过点(0, 1)，并且随着a 的增大，曲线的斜率也会增大。
2.2 指数函数的图像与性质图像：通过绘制不同a 值的指数函数图像，观察曲线的形状和变化趋势。
性质：当a > 1 时，函数在整个实数域上是增函数；当0 < a < 1 时，函数在整个实数域上是减函数；指数函数的图像具有反射性，即f(x) = a^x 和f(x) = a^(-x) 的图像关于y 轴对称。
第三章：对数函数3.1 对数函数的定义与性质定义：对数函数是一种形式的函数，可以表示为f(x) = log_a(x)，其中a 是正实数。
性质：对数函数的图像是一条曲线，随着x 的增大，曲线的值也会增大。
高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.3对数函数的概念及基本性质课堂导学案苏教
3.2.3 对数函数的概念及基本性质课堂导学三点剖析一、对数函数的图象和性质【例 1】 利用对数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)log π,log e;22(2)log 0.3,log 0.04.1 1 24解析：(1)函数 y=log x 在(0,+∞)上是增函数，而π>e>0,∴ log π>log e.222(2)log 0.04=1log 0.04 1 421 2log1=12log 0.04=log 0.2.1 1 422又因为函数 y=log x 在(0,+∞)上为减函数，12∴log 0.3<log 0.2,即 log 0.3<1 1 1log 0.04.1 2224温馨提示先把不同底数化为相同底数，再利用函数单调性比较大小是比较对数值大小的基本方法. 二、a>1或 0<a<1时，对数函数的不同性质 【例 2】 求函数 y= 1 log (x a )a(a>0且 a ≠1)的定义域.思路分析：先由被开方数是非负数建立不等式，由于不等式中含有字母参数，再根据对数的性 质对字母参数进行分类讨论.解析：由 1-log a (x+a)≥0,得 log a (x+a)≤1.当 a>1时，0<x+a ≤a, ∴-a<x ≤0.当 0<a<1时，x+a ≥a, ∴x ≥0.综上，当 a>1时，函数的定义域为(-a,0). 当 0<a<1时，函数的定义域为［0,+∞).温馨提示对于对数函数问题，底数中含字母参数都必须进行分类讨论.三、对数函数的单调性和单调区间的求法【例3】求函数y=log2(x2-x-6)的单调区间.解析：令u=x2-x-6,则y=log2u.∵y=log2u为u的增函数，∴当u为x的增函数时，y为x的增函数;当u为x的减函数时，y为x的减函数.由x2-x-6>0,得x<-2或x>3.借助于二次函数图象可知：当x∈(-∞,-2)时，u是x的减函数;1当x∈(3,+∞)时，u是x的增函数.所以，原函数的单调减区间是(-∞,-2),单调增区间是(3,+∞).温馨提示(1)研究函数的单调性，首先必须考虑它的定义域；(2)对数函数的单调性，当底数是字母时，必须分底数大于1和底数大于0且小于1这两种情况进行讨论；(3)对于复合函数的单调性，必须考虑u=g(x)与y=f(u)的单调性，从而得出y=f［g(x)］的单调性；(4)判断函数的增减性，或者求函数的单调区间，一般都可借助函数图象求解.各个击破类题演练 1比较下列各组数中两个值的大小.（1）log23.4,log28.5;(2)log a5.1,log a5.9(a>0,a≠1).解析：(1)对数函数y=log2x,因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是log23.4<log28.5;(2)当a>1时，函数y=log a x在（0,+∞）上是增函数，于是log a5.1<log a5.9;当0<a<1时，函数y=log a x在(0,+∞)上是减函数，于是log a5.1>log a5.9.变式提升 1比较下列两个值的大小：（lgm）1.9,(lgm)2.1(m>1).解析：若1>lgm>0,即1<m<10时，y=(lgm)x在R上是减函数，∴(lgm)1.9>(lgm)2.1.若lgm=1，即m=10时，（lgm）1.9=(lgm)2.1.若lgm>1，即m>10时，y=(lgm)x在R上是增函数，∴（lgm）1.9<(lgm)2.1.类题演练 21x1x已知f(x)=log a求f(x)的定义域；(a>0,且a≠1).11解析：由对数函数定义知xx>0,∴-1<x<1,∴f(x)的定义域为（-1，1）.变式提升 212e x, (2006山东高考文，2)设f（x）=log(x231)xx22.则f(f(2))的值为（）A.0B.1C.2D.3 解析：∵f(2)=log3(22-1)=log33=1,∴f(f(2))=f(1)=2e1-1=2.故选C.答案：C类题演练 3求函数y=log0.1(2x2-5x-3)的递减区间.解析：先求函数的定义域，由2x2-5x-3=(2x+1)(x-3)>0,得x<- 12,或x>3.令u=2x2-5x-3,y=log0.1u.2由于u=2(x- 54)2-618,可得u=2x2-5x-3(x<-12或x>3)的递增区间为（3，+∞）,从而可得y=log0.1(2x2-5x-3)的递减区间为（3，+∞）.变式提升 3求函数y=log(3+2x-x2)的单调区间和值域.12解析：由3+2x-x2>0解得函数y=log(3+2x-x2)的定义域是-1<x<3.12设u=3+2x-x2(-1<x<3),当-1<x1<x2≤1时，u1<u2,从而log u1>log u2,即y1>y2,故函数y=1122log(3+2x-x2)在区间（-1，1）上单调递减；同理可得，函数在区间（1，3）上是单调递增.12函数u=3+2x-x2(-1<x<3)的值域是（0，4），故函数y=log(3+2x-x2)的值域是y≥log1122 4,即y≥-2.3。
高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.1对数名师导航学案苏教版必修1
3.2.1 对数名师导航知识梳理一、对数与对数运算 1.对数的定义一般地，如果a x=N(a>0,a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中a 叫做对数的__________，N 叫做对数的__________.对数恒等式为________________________________________. 2.对数的运算法则指数的运算法则： 对数的运算法则：（1）a m ·a n =a m+n;→ （1）______________;（2）n m aa =a m ·a -n =a m-n;→ （2）______________;（3）(a m )n=a mn;→ （3）_______________. 二、对数运算法则的证明 (学会证明方法)1.正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的_______________； log a (MN)=log a M+log a N. 设log a M=p,log a N=q,则a p =M,a q=N,∴MN=a p ·a q =a p+q.∴log a (MN)=p+q=log a M+log a N.2.两个正数的商的对数等于被除数的对数___________除数的对数；log a N M =log a M-log a N.∵N M =q p aa =a p-q,∴log aNM=p-q=log a M-log a N. 3.正数的幂的对数等于幂的底数的对数____________幂指数；log a (N n)=n ·log a N. 根据对数恒等式:Na a log =N,∴N n=(aalog N)n=Nn a alog •.∴log a (N n)=n ·log a N.4.正数的正的方根的对数等于被开方数的对数______________根指数. log anN n1=·log a N.∵n N =n N 1,∴由法则3得log a n N =log a nN 1=n1·log a N. 三、对数的性质1.__________和__________没有对数.因为a ＞0，所以不论b 是什么数，都有a b ＞0，即不论b 是什么数，N=a b永远是正数，这说明在相应的对数式 b=log a N 中真数N 永远是正数，换句话说负数和零没有对数. 2.1的对数是__________.因为a 0=1(a ＞0，且a ≠1)，所以根据对数的定义可得log a 1=0. 3.底数的对数等于__________.因为a 1=a ，根据对数的定义知log a a=1. 四、一组重要的对数公式——换底公式 1.log a b=abc c log log ,即有log c a ·log a b=log c b;2.log b a=ba log 1，即有log a b ·log b a=1；3.nmb a log =mnlog a b. 疑难突破如何将给出的对数式换成指定底数的对数？《考试大纲》要求知道用换底公式将一般对数转化成指定底数的对数.对数换底公式：log b N=bNa a log log (a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，N ＞0)，推论：log a b=a b log 1，mn b a nm =log log a b.更特别地有log a a n=n.问题探究问题1 对数式与指数式有何关系？在对数符号log a N 中，为什么规定a ＞0，a ≠1，N ＞0呢？探究思路：对数的概念是这么说的：一般地，如果a(a ＞0且a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b=N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N=b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.从定义不难发现无论是指数式a b=N ，还是对数式log a N=b 都反映的是a 、b 、N 三数之间的关系. 在对数符号log a N 中，若a ＜0，则N 为某些值时，log a N 不存在，如log (-2)8不存在. 若a=0，则N 不为0时，log a N 不存在；N 为0时，log a N 可以为任何正数，不唯一.若a=1，则N 不为1时，log a N 不存在；N 为1时，log a N 可以为任何实数，不唯一.因此规定a ＞0且a ≠1.因为log a N=b ⇔a b=N ，在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因此N ＞0. 问题2 对于对数，除了对数的定义，还有对数的性质，你能说说这些相关的内容吗？ 探究思路：对数部分，我们首先应当掌握对数的意义，即对数式与指数式之间的对应关系.另外对于对数我们应该掌握一些常用的性质：如(1)log a 1=0(1的对数是0)； (2)log a a=1(底数的对数是1)； (3)aalog N=N(对数恒等式)；(4)log a N=aNb b log log (b ＞0且b ≠1)(换底公式)；(5)log a M+log a N=log a MN ； (6)log a M-log a N=log a NM ； (7)nlog a N=log a N n； (8)mn log a N=log a m N n. 以上各式均有条件a ＞0且a ≠1.问题3 初学对数运算性质，容易犯下面的错误：log a (M ±N)=log a M ±log a N ，log a (M ×N)=log a M ×log a N ，log aN M =NM a a log log ，log a N n =(log a N)n.应该如何解决呢？探究思路：首先应把握对数运算的本质特征，运算性质是把真数的乘、除、乘方降级为对数的加、减、乘运算，是降级运算；其次，对数记号log a N 整体上才有意义，不能误把对数符号当作表示数的字母进行运算. 典题精讲例1 (1)将下列指数式写成对数式： ①210=1 024；②10-3=10001； ③0.33=0.027；④e 0=1.(2)将下列对数式写成指数式： ①log 0.46.25=-2；②lg2=0.301 0； ③log 310=2.095 9；④ln23.14=x.思路解析 应用指数式与对数式的等价关系求解. 答案:(1)①log 21 024=10；②lg 10001=-3；③log 0.30.027=3；④ln1=0. (2)①0.4-2=6.25；②100.301 0=2；③32.095 9=10；④e x=23.14.例2 计算：log 2487+log 212-21log 242.思路解析 这是几个对数式的加减运算，注意到每个对数式是同底的，则可以利用同底数的对数的运算公式化为一个对数式.当然也可以反其道而行之，即把每个对数的真数写成积或商的形式，再利用积或商的对数的运算性质化为同底对数的和与差，然后进行约简.解法一：原式=21(log 27-log 248)+log 23+2log 22-21(log 27+log 22+log 23) =21log 27-21log 23-21log 216+21log 23+2-21log 27-21=-21. 解法二：原式=log 2(347×12×671⨯)=-21. 例3 求下列各式的值： (1)3log 3128-；(2)7lg20×(21)lg0.7； (3)log 2(1+32+)+log 2(1+32-)； (4)lg(5353-++).思路解析 (1)由幂的运算法则把其化成同底，用对数恒等式aalog N=N 化简计算.(2)通过取对数，先算出对数值，再求值.(3)运用对数运算法则化成一个对数，然后利用底数与真数的特殊关系求解. (4)运用对数运算法则巧去根号. 解答:(1)2722222)2(827log 27log 13log 31)3log 31(33log 3122222=====----. (2)设x=7lg20×(21)lg0.7，则lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg(21)=(lg2+1)×lg7+(lg7-1)×(-lg2)=lg7+lg2=lg14， ∴x=14，即7lg20×(21)lg0.7=14. (3)log 2(1+32+)+log 2(1+32-)=log 2［(1+2)2-(3)2］=log 222=log 2232=23. (4)lg(5353-++)=21lg(5353-++)2=21lg(3+5+3-5+259-)=21lg10=21. 例4 已知11.2a=1 000，0.011 2b=1 000，那么a 1-b1等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 思路解析 本题有两种解题方法.解法一：用指数解.由题意11.2=a 11000，0.011 2=b11000， ∴两式相除得ba 111000-=0112.02.11=1 000.∴a 1-b1=1. 解法二：用对数解.由题意，得a ×lg11.2=3，b ×lg0.011 2=3， ∴a 1-b 1=31(lg11.2-lg0.011 2)=1. 答案:A例5 方程lg(4x +2)=lg2x+lg3的解是_____________.思路解析 把方程两边化为同底的对数式，然后比较真数得含有求知数的方程，解之即可.解:把两边化成同底的对数式为lg(4x +2)=lg(2x×3)，比较真数，得方程4x +2=2x×3，利用换元法，解得2x =1或2x=2. 所以x=0或x=1. 答案:x 1=0，x 2=1 知识导学 1.对数的概念在实际应用中，一定要注意指数式与对数式的等价性，即log a N=b a b=N. 2.换底公式一般地，我们称log a N=aNb b log log 为对数的换底公式.换底公式是对数中一个非常重要的公式，这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一，是对数的运算性质.对数运算性质应用的前提是式子中对数的底相同.若底不同则需要利用换底公式化为底相同的.我们在应用换底公式时，一方面要证明它和它的几个推论；另一方面要结合构成式子的各对数的特点选择一个恰当的数作为对数的底，不要盲目地换底，以简化我们的解题过程. 3.常用对数与自然对数的概念有了对数的概念后，要求log 0.840.5的值，我们需要引入两个常用的对数：常用对数和自然对数.常用对数是指以10为底的对数；自然对数是指以e(e=2.718 28…，是一个无理数)为底的对数.有了常用对数和自然对数再利用对数的运算性质，我们就可以求log 0.840.5的值了. 4.对数恒等式 对数恒等式：Na alog =N.它的证明也很简单，只要紧扣对数式的定义即可证明. ∵a b=N ， ∴b=log a N. ∴a b=Na alog =N ，即Na a log =N.如5log 33=5、6log 44=6等.要熟记对数恒等式的形式，会使用这一公式化简对数式.疑难导析对数换底公式口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意， 原底加底变分母，真数加底变分子. 问题导思指数式与对数式之间可以相互转化，它们之间可以理解为就像加法与减法一样的关系.后面我们会学习反函数，指数式与对数式之间的转化可以通过反函数进行. 这些常用的性质在指数运算中非常有用，需要记牢.有的性质可以用口诀来帮助记忆，比如，性质(5)(6)(7)可以这样来记： 积的对数变为加， 商的对数变为减，幂的乘方取对数， 要把指数提到前. 典题导考绿色通道 指数式与对数式之间的换算，就是利用log a N=b ⇔a b=N. 典题变式已知log a 2=m ，log a 3=n ，则a 2m-n=____________. 解答：∵log a 2=m ，log a 3=n ， ∴a m =2，a n=3.∴a 2m-n=3432)(222===nm n m a a a a . 绿色通道 解决求值问题一般有两种解法：一是将式中的真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则化为对数的和、差、积、商，即“化整为零”，然后合并、消项、化简求值；二是将式中的对数的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，即“化零为整”，然后“相约”，化简求值. 典题变式计算2log 525+3log 264-8log 71的值为( )A.14B.8C.22D.27 答案:C绿色通道 有关对数式的运算，除了要用到对数运算性质外，还要注意代数运算的其他性质的运用.如遇到不能直接运用对数运算法则进行运算的问题，有两种解决办法：一是取对数，先求出对数值，再求出真数的值，即为原式的值；二是运用对数恒等式aalog N=N 把任何正数N 化成含所需要的正数为底数的对数的一个幂，即可转化为用幂的运算法则和对数运算法则解决问题. 典题变式1.lg5lg8 000+(lg 32)2+lg0.06-lg6=______________.解答:原式=lg5(3+3lg2)+3lg 22+lg 606.0=3(1-lg2)(1+lg2)+3lg 22-2=3-2=1. 2.计算2lg5+32lg8+lg5·lg20+lg 22的值. 解答:原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+lg 22 =lg 25+2lg2·lg5+lg 22+2(lg5+lg2)=(lg5+lg2)2+2(lg5+lg2) =lg 210+2lg10 =1+2=3.绿色通道 因为指数与对数存在着互逆的运算关系，因而反映在具体问题中就一定从指数式、对数式两条思路分别运用幂的运算法则和对数运算法则解决问题.这就是对立统一的原则在具体思路上的指导和体现. 典题变式 已知a=lg(1+71)，b=lg(1+491)，试用a 、b 的式子表示lg1.4.答案:lg1.4=71(a-4b+1). 黑色陷阱 如果误以为原方程lg(4x+2)=lg2x+lg3可化为lg4x+lg2=lg2x+lg3，将导致解题错误.这也说明数学思维的严密性，如果百密一疏，则后悔莫及! 典题变式已知函数f(x)=⎩⎨⎧≤>,0,3,0,log 3x x x x 则f ［f(91)］的值是( )A.9B.91C.-9D.-91答案:B。
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人教版初中数学章节目录七年级上册（61）第1章有理数（19）第2章整式的加减（8）第3章一元一次方程（18）第4章图形认识初步（16）_______________________________________________________________________________ 七年级下册（62）第5章相交线与平行线（14）第6章平面直角坐标系（7）第7章三角形（8）第8章二元一次方程组（12）第9章不等式与不等式组（12）第10章数据的收集整理与描述（9）_______________________________________________________________________________ 八年级上册（62）第11章全等三角形（11）第12章轴对称（13）第13章实数（8）第14章一次函数（17）第15章整式的乘除与因式分解（13）_______________________________________________________________________________ 八年级下册（61）第16章分式（14）第17章反比例函数（8）第18章勾股定理（8）第19章四边形（16）第20章数据的分析（15）_______________________________________________________________________________ 九年级上册（62）第21章二次根式（9）第22章一元二次方程（13）第23章旋转（8）第24章圆（17）第25章概率初步（15）_______________________________________________________________________________ 九年级下册（48）第26章二次函数（12）第27章相似（13）第28章锐角三角函数（12）第29章投影与视图（11）_______________________________________________________________________________%%%% 各章详细内容%%%%_______________________________________________________________________________ ～～～～七～～～年～～～级～～～上～～～册～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～第一章有理数1．1正数和负数阅读与思考用正负数表示加工允许误差1．2有理数1．3有理数的加减法实验与探究填幻方阅读与思考中国人最先使用负数1．4有理数的乘除法观察与思考翻牌游戏中的数学道理1．5有理数的乘方数学活动小结复习题1第二章整式的加减2．1整式阅读与思考数字１与字母Ｘ的对话2．2整式的加减信息技术应用电子表格与数据计算数学活动小结复习题2第三章一元一次方程3．1从算式到方程阅读与思考“方程”史话3．2解一元一次方程（一）——合并同类项与移项实验与探究无限循环小数化分数3．3解一元一次方程（二）——去括号与去分母3．4实际问题与一元一次方程数学活动小结复习题3第四章图形认识初步4．1多姿多彩的图形阅读与思考几何学的起源4．2直线、射线、线段阅读与思考长度的测量4．3角4．4课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒数学活动小结复习题4～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～七年级下册第五章相交线与平行线5．1相交线5．2平行线5．3平行线的性质5．4平移数学活动小结复习题5第六章平面直角坐标系6．1平面直角坐标系6．2坐标方法的简单应用数学活动小结复习题6第七章三角形7．1与三角形有关的线段7．2与三角形有关的角7．3多边形及其内角和7．4课题学习镶嵌数学活动小结复习题7第八章二元一次方程组8．1二元一次方程组8．2消元8．3再探实际问题与二元一次方程组数学活动小结复习题8第九章不等式与不等式组9．1不等式9．2实际问题与一元一次不等式9．3一元一次不等式组9．4课题学习利用不等关系分析比赛（1）数学活动小结复习题9第十章数据的收集整理与描述10．1几种常见的统计图表10．2用图表描述数据信息技术应用利用计算机画统计图阅读与思考作者可能是谁10．3课题学习从数据谈节水数学活动小结复习题10～～八～～～年～～～级～～～上～～～册～～～～～～～～第十一章全等三角形11．1全等三角形11．2三角形全等的条件阅读与思考为什么要证明11．3角的平分线的性质数学活动小结复习题11第十二章轴对称12．1轴对称12．2轴对称变换信息技术应用探索轴对称的性质12．3等腰三角形实验与探究三角形中边与角之间的不等关系数学活动小结复习题12第十三章实数13．1平方根13．2立方根13．3实数数学活动小结复习题13第十四章一次函数14．1变量与函数信息技术应用用计算机画函数图象14．2一次函数阅读与思考科学家如何测算地球的年龄14．3用函数观点看方程（组）与不等式数学活动小结复习题14第十五章整式的乘除与因式分解15．1整式的乘法15．2乘法公式阅读与思考杨辉三角15．3整式的除法15．4因式分解观察与猜想x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解数学活动小结复习题15 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～八年级下册第十六章分式16．1分式16．1分式的运算阅读与思考容器中的水能倒完吗16．1分式方程数学活动小结复习题16第十七章反比例函数17．1反比例函数17．1实际问题与反比例函数阅读与思考生活中的反比例关系数学活动小结复习题17第十八章勾股定理18．1勾股定理18．2勾股定理的逆定理数学活动小结复习题18第十九章四边形19．1平行四边形19．2特殊的平行四边形实验与探究巧拼正方形19．3梯形观察与猜想平面直角坐标系中的特殊四边形19.4课题学习：重心数学活动小结复习题19第二十章数据的分析20．1数据的代表20．2数据的波动信息技术应用用计算机求几种统计量阅读与思考数据波动的几种度量20．3课题学习体质健康测试中的数据分析数学活动小结复习题20～～～九～～～年～～～级～～～上～～～册～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～第二十一章二次根式21．1二次根式21．2二次根式乘除21、3二次根式的加减阅读与思考海伦──秦九韶公式数学活动小结复习题21第二十二章一元二次方程22．1一元二次方程22．2降次──解一元二次方程阅读与思考黄金分割数22．3实际问题与一元二次方程观察与猜想发现一元二次方程根与系数的关系数学活动小结复习题22第二十三章旋转23．1图形的旋转23．2中心对称信息技术应用探索旋转的性质23．3课题学习图案设计数学活动小结复习题23第二十四章圆24．1圆24．2与圆有关的位置关系24．3正多边形和圆阅读与思考圆周率π24．4弧长和扇形面积实验与研究设计跑道数学活动小结复习题24第二十五章概率初步25．1概率25．2用列举法求概率阅读与思考概率与中奖25．3利用频率估计概率阅读与思考布丰投针实验25．4课题学习键盘上字母的排列规律数学活动小结复习题25 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～九年级下册第二十六章二次函数26．1二次函数实验与探究推测植物的生长与温度的关系26．2用函数观点看一元二次方程信息技术应用探索二次函数的性质26．3实际问题与二次函数数学活动小结复习题26第二十四章相似27．1图形的相似27．2相似三角形观察与猜想奇妙的分形图形27．3位似信息技术应用探索位似的性质数学活动小结复习题27第二十八章锐角三角函数28．1锐角三角函数阅读与思考一张古老的三角函数28．2解直角三角形数学活动小结复习题28第二十九章投影与视图29．1投影29．2三视图阅读与思考视图的产生与应用29．3课题学习制作立体模型数学活动小结复习题29各章节详细知识点七年级上册第一章《有理数》1.正数与负数的概念2.正数与负数的实际意义3.有理数的概念4.数轴的概念5.相反数的概念6.绝对值的概念7.有理数的大小比较8.有理数的加法法则9.有理数的减法法则10.有理数的乘法法则11.有理数的运算律12.有理数的除法法则13.有理数的混合运算法则14.有理数的乘方相关概念（乘方、幂、底数、指数）15.有理数的乘方法则16.科学记数法17.近似数（有效数字）第二章《整式的加减》1.单项式及其相关概念（单项式、系数、次数）2.多项式及其相关概念（多项式、项、常数项、次数）3.整式4.同类项的概念5.合并同类项的法则6.去括号法则7.整式加减的运算法则第三章《一元一次方程》1.方程的概念2.一元一次方程的概念3.方程的解4.等式的性质5.一元一次方程的解法（步骤）6.一元一次方程的应用问题（和差倍分问题、数字问题、行程问题、工程问题、劳动力调配问题、增长率问题、商品利润问题）第四章《图形的初步认识》1.几何图形的概念2.立体图形的概念3.平面图形的概念4.立体图形的三视图5.立体图形的展开图6.点、线、面、体的概念7.直线的相关概念（直线、相交线、交点）8.两点确定一条直线9.点与直线的位置关系10.线段的中点11.两点之间线段最短12.两点之间的距离13.角及其相关概念14.角平分线15.余角的概念16.补角的概念17.余角（补角）的性质七年级下册第五章《相交线与平行线》1.相交线的相关概念（邻补角、对顶角）2.对顶角的性质3.垂线的相关概念（垂直、垂线、垂足）4.过一点画垂线5.垂线段最短6.点到直线的距离7.“三线八角”的相关概念8.平行的概念9.平行公理10.平行线的判定11.平行线的性质12.命题及其相关概念（命题、真命题、假命题）13.定理的概念14.平移的概念15.平移的性质第六章《平面直角坐标系》1.有序实数对的概念2.平面直角坐标系及其相关概念（平面直角坐标系、横轴、纵轴、原点、坐标、象限）3.特殊点坐标（象限符号、坐标轴上点的特征、坐标轴角平分线上点的特征、对称点坐标特征、平行于坐标轴的点的特征）4.直角坐标系的实际应用5.平移的坐标特征第七章《三角形》1.三角形的概念2.三角形的分类3.三角形的三边关系4.三角形的“三线”（高线、中线、角平分线）5.三角形的稳定性6.三角形的内角和定理7.三角形的外角8.三角形的外角性质定理9.多边形及其相关概念（多边形、对角线、正多边形）10.多边形的内角和定理11.多边形的外角和定理第八章《二元一次方程组》1.二元一次方程的概念2.二元一次方程（组）的解3.解二元一次方程（代入消元法、加减消元法）4.二元一次方程的应用5.三元一次方程组的概念6.三元一次方程组的解法第九章《不等式与不等式组》1.不等式的概念2.不等式的解3.解集4.一元一次不等式的概念5.不等式的性质6.一元一次不等式的解法7.一元一次不等式的应用8.一元一次不等式组的概念9.一元一次不等式组的解法第十章《数据的收集、整理与描述》1.收集数据（问卷）2.整理数据（表格）3.描述数据（条形统计图、扇形统计图）4.抽样调查的概念5.总体、个体、样本、样本容量6.简单随机抽样的概念7.直方图及其相关概念（直方图、组距、频数）8.画直方图的步骤八年级上册第十一章《全等三角形》1.全等形的概念2.全等三角形的相关概念（全等三角形、对应顶点、对应边、对应角）3.全等三角形的性质4.全等三角形的判定5.角平分线的性质6.角平分线的判定第十二章《轴对称》1.轴对称图形的概念2.关于直线对称的相关概念3.轴对称的性质4.线段垂直平分线的性质5.线段垂直平分线的判定6.作轴对称图形7.关于坐标轴对称点的特征8.等腰三角形的概念9.等腰三角形的性质10.等腰三角形的判定11.等边三角形的概念12.等边三角形的判定13.等边三角形的性质第十三章《实数》1.算术平方根的概念2.平方根的概念3.平方根的性质4.立方根的概念5.立方根的性质6.实数的概念7.实数的分类8.实数的相反数、绝对值9.实数与数轴的关系第十四章《一次函数》1.变量与常量2.函数与自变量3.函数的图像4.正比例函数的解析式5.正比例函数的图象及其性质6.一次函数的解析式7.一次函数的图象及其性质8.一次函数与一元一次方程的关系9.一次函数与一元一次不等式关系10.一次函数与二元一次方程组的关系第十五章《整式的乘除与因式分解》1.同底数的幂的乘法公式2.幂的乘方公式3.积的乘方公式整式的乘法法则4.单项式与多项式相乘的乘法法则5.多项式相乘的乘法法则6.平方差公式7.完全平方公式8.添括号法则9.同底数幂的除法法则10.单项式除单项式的法则11.多项式除以单项式法则12.因式分解的概念13.因式分解的方法（提取公因式法、公式法）八年级下册第十六章《分式》1.分式的概念2.分式的基本性质3.约分与通分4.最简分式5.分式乘除的法则6.分式加减的法则7.整数指数幂的运算性质8.分式方程的概念9.分式方程的解法10.分式方程的应用第十七章《反比例函数》1.反比例函数的概念2.反比例函数的图象及其性质3.反比例函数的应用第十八章《勾股定理》1.勾股定理2.勾股定理的逆定理第十九章《四边形》2.平行四边形的性质3.平行四边形的判定4.两条平行直线之间的距离5.矩形的概念6.矩形的判定7.矩形的性质8.菱形的概念9.菱形的性质10.菱形的判定11.正方形的概念12.正方形的性质与判定13.梯形概念14.梯形的分类15.等腰梯形的性质16.等腰绞刑的判定第二十章《数据的分析》1.平均数与加权平均数2.中位数3.众数4.方差九年级上册第二十一章《二次根式》1.二次根式的概念2.二次根式的两个重要公式3.代数式的概念4.二次根式的乘法法则5.二次根式的除法法则6.最简二次根式7.二次根式的加减法法则第二十二章《一元二次方程》2.一元二次方程的根3.一元二次方程的解法（直接开方法、配方法、求根公式法、因式分解法）4.根的判别式5.一元二次方程根与系数的关系6.一元二次方程的应用（面积问题、连续增长问题）第二十三章《旋转》1.旋转的相关概念（旋转、旋转中心、旋转角）2.旋转的性质3.中心对称的相关概念（中心对称、对称中心、对称点）4.中心对称的性质5.中心对称图形的概念6.关于原点对称的点的坐标的特征第二十四章《圆》1.圆的相关概念（圆的两种定义、圆心、半径、弦、直径、圆弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧）2.垂径定理及其推论3.弧、弦、圆心角、弦心距之间的关系定理4.圆周角的概念5.圆周角定理及其推论6.圆内接多边形的概念7.圆内接四边形的性质8.点与圆的位置关系9.三点确定一个圆10.三角形的外接圆及外心11.直线与圆的位置关系及其相关概念12.切线的性质及判定定理13.切线长定理14.圆与圆的位置关系及其相关概念15.正多边形与圆的相关概念（正三角形与圆、正方形与圆、正六边形与圆）16.弧长公式及扇形面积公式17.圆锥及圆柱的侧面积及表面积第二十五章《概率》1.随机事件、不可能事件、必然事件的概念2.随机事件的性质3.概率的概念4.概率的计算公式5.用列表法、树形图计算概率6.频率与概率的关系高中数学目录此文为人教必修版新教材高中数学目录必修一第一章1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法第二章2.1函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数图像（选学）2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图像2.2.2二次函数的性质与图像2.3函数的应用（1）2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法----二分法第三章基本初等函数（1）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（2）必修二第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱棱锥棱台的结构特征1.1.3圆柱圆锥圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积1.1.7柱锥台和球的体积1.2点线面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系1.2.3空间中的垂直关系第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的集中形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点距离公式必修三第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念1.1.2程序框图1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2基本算法语句1.2.1赋值输入输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1.3中国古代数学中的算法案例第二章统计2.1随机抽样2.1.1简单的随机抽样2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.1.4数据的收集2.2用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3变量的相关性2.3.1变量间的相互关系2.3.2两个变量的线性相关第三章概率3.1事件与概率3.1.1随机现象3.1.2事件与基本事件空间3.1.3频率与概率3.1.4概率的加法公式3.2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式（选学）3.3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3.4概率的应用必修四第一章基本的初等函数（2）1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的基本关系式1.2.4诱导公式1.3三角函数的图像与性质1.3.1正弦函数的图像与性质1.3.2余弦函数正切函数的图像与性质1.3.3已知三角函数值求角第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念2.1.2向量的加法2.1.3向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5向量共线的条件和轴上向量坐标运算2.2向量的分解和向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切3.3三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.2应用举例第二章数列2.1数列2.1.1数列2.1.2数列的递推公式（选学）2.2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2.3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式性质3.2均值不等式3.3一元二次不等式及其解法3.4不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2简单线性规划选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1且与或1.2.2非（否定）1.3充分条件必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件必要条件1.3.2命题的四种形式第二章圆锥曲线方程2.1曲线方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程由方程研究曲线性质2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的集几何性质2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线第三章空间向量与几何体3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算3.1.2空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离（选学）选修2-2第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数1.1.3导数的几何1.2导数的运算1.2.1常数函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四则运算法则1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1.4定积分与微积分的基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1.4.2微积分基本定理第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念3.1.3复数的几何意义3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3.1二项式定理1.3.2杨辉三角第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与实践的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析选修4-4第一章坐标系1.1直角坐标系平面上的伸缩变换1.1.1直角坐标系1.1.2平面上的伸缩变换1.2极坐标系1.2.1平面上点的极坐标1.2.2极坐标与直角坐标的关系1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程1.4.1圆心在极轴上且过极点的圆1.4.2圆心在点（a，∏/2）处且过极点的圆1.5柱坐标系和球坐标系1.5.1柱坐标系1.5.2球坐标系第二章参数方程2.1曲线的参数方程2.1.1抛射体的运动2.1.2曲线的参数方程2.2直线与圆的参数方程2.2.1直线的参数方程2.2.2圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程2.3.1椭圆的参数方程2.3.2双曲线的参数方程2.3.3抛物线的参数方程2.4一些常见曲线的参数方程2.4.1摆线的参数方程2.4.2圆的渐开线的参数方程。
指数函数对数函数与幂函数指数函数与对数函数的关系pptx
性质
对数函数的图像与y轴的交点为1，函数的导数是1/x'，其中x'是x的倒数。
复合对数函数
定义
复合对数函数是指数函数和对数函数的组合形式，它表示为log(base) (x) ^ (y)，其中base是底数，x和y是函数的自变量。
当n为负整数时，幂 函数的最大值出现在 x=1处，且最大值为 1/2；
当n为分数时，幂函 数的最大值出现在 x=1处，且最大值为 1。
复合幂函数
定义
复合幂函数是指由幂函数与其他函数复合而成的函数，如 $f(x) = \sin x^{2}$。
性质
复合幂函数的性质取决于其内部的幂函数的性质以及外部函 数的性质。例如，如果内部函数是偶函数，则复合幂函数也 是偶函数；如果内部函数是奇函数，则复合幂函数也是奇函 数。
复合指数函数
定义：复合指数函数是指形式为f(ax+b)的函数，其中 a和b是常数，且a≠0。
1. 复合指数函数的图像与指数函数的图像类似，但需 要根据具体的函数表达式来确定。
性质
2. 复合指数函数的性质与指数函数的性质类似，但需 要根据具体的函数表达式来进行判断。
02
对数函数
对数函数的定义与性质
性质
1. 当x为有理数时，a^x仍为有 理数；当x为无理数时，a^x亦 为无理数。
2. 当a>1时，a^x>0；当 0<a<1时，a^x<0。
指数函数的图像与性质
图像：指数函数的图像是一条连续的曲线，经过原点 ，并在第一象限内单调递增。
1. 函数值y随x的增大而增大（当x为正数时）。
性质
2. 当x=0时，y=1（当a>1时），y=0（当0<a<1时 ）。
高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2 对
第2课时 对数的运算性质1．理解对数的运算性质，能灵活准确地进行对数式的化简与计算；2．了解对数的换底公式，并能将一般对数式转化为自然对数或常用对数，从而进行简单的化简与证明．1．对数的运算法则如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，n ∈R ，那么： 指数的运算法则⇒对数的运算法则 ①a m ·a n ＝a m ＋n⇒log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②a m a n ＝a m ·a －n ＝a m －n ⇒log a MN ＝log a M －log a N ； ③(a m )n ＝a mn ⇒log a (N n)＝n ·log a N.积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前． 【做一做1－1】计算：(1)log 26－log 23＝________；(2)log 53＋log 513＝__________.答案：(1)1 (2)0【做一做1－2】若2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则x y的值是__________． 解析：由等式得(x －2y )2＝xy ， 从而(x －y )(x －4y )＝0， 因为x ＞2y ，所以x ＝4y . 答案：4 2．换底公式 (1)log a b ＝log log c c ba，即有log c a ·log a b ＝log c b (a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0)； (2)log b a ＝1log a b，即有log a b ·log b a ＝1(a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1)； (3)log m na b ＝log a nb m(a ＞0，a ≠1，b ＞0)．换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子． 【做一做2】已知lg N ＝a ，用a 的代数式表示： (1)log 100N ＝__________；(2)＝__________. 答案：(1)12a (2)2a运用对数的运算性质应注意哪些问题？ 剖析：对数的运算性质有三方面，它是我们对一个对数式进行运算、变形的主要依据．要掌握它们需注意如下几点：第一，要会推导，要求对每一条性质都会证明，通过推导加深对对数概念的理解和对对数运算性质的理解，掌握对数运算性质中三个公式的特征，以免乱造公式．例如：log n (M ±N )＝log a M ±log a N ，log a (M ·N )＝log a M ·log a N 等都是错误的．第二，要注意对数运算性质成立的条件，也就是要把握各个字母取值的范围：a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0.例如，lg(－2)(－3)是存在的，但lg(－2)、lg(－3)都不存在，因而得不到lg(－2)(－3)＝lg(－2)＋lg(－3)．第三，由于对数的运算性质是三个公式，因此在应用时不仅要掌握公式的“正用”，同时还应掌握公式的“逆用”．题型一 有关对数式的混合运算 【例1】求下列各式的值：(1)log 535＋122log 2－log 5150－log 514；(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22；(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.分析：利用对数运算性质和“lg 2＋lg 5＝1”解答． 解：(1)log 535＋122log 2－log 5150－log 514＝log 535×5014＋12122log 2＝log 553－1＝2. (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋lg 22＝2lg 10＋(lg 2＋lg 5)2＝2＋1＝3.(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8＝12lg 2＋lg 9－lg 10lg 1.8＝lg 18102lg 1.8＝12. 反思：对数的运算一般有两种方法：一种是将式中真数的积、幂、商、方根运用对数运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后计算；另一种是将式中的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、幂、商、方根，然后化简求值．另外注意利用“lg 2＋lg 5＝1”来解题．题型二 有关对数式的恒等证明【例2】已知4a 2＋9b 2＝4ab (a ＞0)，证明lg 2a ＋3b 4＝lg a ＋lg b 2.分析：运用对数运算性质对所证等式转化为lg 2a ＋3b4＝lg ab ，因此只要利用条件证出真数相等即可．证明：由4a 2＋9b 2＝4ab ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b 42＝ab ， 因为a ＞0，所以b ＞0，两边取以10为底的对数，得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b 42＝lg(ab )， 即2lg 2a ＋3b 4＝lg(ab )，lg 2a ＋3b 4＝12lg(ab )，所以lg 2a ＋3b 4＝12(lg a ＋lg b )．因此lg 2a ＋3b 4＝lg a ＋lg b2，所以原等式成立．反思：在由一般等式证明对数式时，要注意使对数有意义，这里在取对数前要说明b ＞0.题型三 对数换底公式的应用【例3】已知log 23＝a,3b＝7，则log 1256＝__________(用a ，b 表示)．解析：方法一：∵log 23＝a ，∴2a＝3.又3b ＝7，∴7＝(2a )b ＝2ab.故56＝8×7＝23＋ab.又12＝3×4＝2a ×4＝2a ＋2， 从而33+22256=(2)=12ab ab a aa ++++.故log 1256＝32123log 12=2ab a aba ++++. 方法二：∵log 23＝a ，∴log 32＝1a. 又3b＝7，∴log 37＝b .从而log 1256＝log 356log 312＝log 37＋log 38log 33＋log 34＝log 37＋3log 321＋2log 32＝b ＋3·1a 1＋2·1a＝ab ＋3a ＋2.方法三：∵log 23＝lg 3lg 2＝a ，∴lg 3＝a lg 2.又3b＝7，∴lg 7＝b lg 3.∴lg 7＝ab lg 2.从而log 1256＝lg 56lg 12＝3lg 2＋lg 72lg 2＋lg 3＝3lg 2＋ab lg 22lg 2＋a lg 2＝3＋ab2＋a.答案：3＋ab 2＋a反思：方法一是借助指数变形来解；方法二与方法三是利用换底公式来解，显得较简明．应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可．题型四 有关对数的应用题【例4】科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性14C.14C 的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”，动植物在生长过程中衰变的14C ，可以通过与大气的相互作用而得到补充，所以活着的动植物每克组织中的14C 含量保持不变，死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的14C 按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5 730年．(1)设生物体死亡时，体内每克组织的14C 含量为1，试推算生物死亡t 年后体内每克组织中的14C 含量p ；(2)湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆汉墓的年代．解：(1)设生物体死亡1年后，体内每克组织中14C 的残留量为x .由于死亡机体中原有的14C 按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t 与其体内每克组织的14C 含量p 有如下关系：由于大约经过5 730年，死亡生物体的14C 含量衰减为原来的一半，所以12＝x 5 730.于是x ＝5 73012＝1573012⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以生物死亡t 年后体内每克组织中的14C 含量573012t p ⎛⎫=⎪⎝⎭.(2)由573012t p ⎛⎫=⎪⎝⎭可得125730log t p =.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始含量的76.7%，即p ＝0.767. 所以125730log 0.767 2 193t =≈.故马王堆汉墓约是2 193年前的遗址．反思：生物体死亡后，机体中原有的14C 每年按相同的比率衰减，因此，可以根据“半衰期”得到这一比率．已知衰减比率，求若干年后机体内14C 的含量属于指数函数模型；反之，已知衰减比率和若干年后机体内14C 的含量，求衰减的年数应属于对数知识．1设lg a ＝1.02，则0.010.01的值为__________(用a 表示)．解析：设0.010.01＝x ，则lg x ＝lg 0.010.01＝0.01lg 0.01＝－0.02， ∴lg a ＋lg x ＝lg ax ＝－0.02＋1.02＝1.∴ax ＝10，x ＝10a.答案：10a2若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 0.18等于__________． 解析：lg 0.18＝lg 18－2＝2lg 3＋lg 2－2＝a ＋2b －2. 答案：a ＋2b －23已知＝1－aa，则log 23＝__________.解析：由条件得log 23＝a 1－a ，所以log 23＝2a 1－a.答案：2a1－a4计算：log 2748＋log 212－12log 242. 解：原式＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫743×12×17×6＝－12.5设x ，y ，z 为正数，且3x ＝4y ＝6z，求证：1z －1x ＝12y.证明：设3x ＝4y ＝6z＝k ，且x ，y ，z 为正数， 所以k ＞1.那么x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，所以1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12log 4k ＝12y .所以1z －1x ＝12y.。
高中数学第三章指数函数和对数函数指数函数、幂函数、对数函数增长的比较基础知识素材1
§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1．了解指数增长、幂增长、对数增长的意义．2．能够解决相应的实际问题．三种增长函数模型的比较在区间（0，＋∞)上尽管y＝a x(a＞1），y＝x n（x＞0,n＞1)和y ＝log a x（a＞1）都是________，但它们增长的速度不同，而且不在一个“档次”上，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度会越来越____，会超过并远远大于y＝x n（x＞0，n＞0)和y＝log a x（a＞1)的增长速度．由于指数函数值增长非常快,人们常称这种现象为“________"．【做一做1－1】当a＞1时,下列结论：①指数函数y＝a x,当a越大时，其函数值的增长越快；②指数函数y＝a x，当a越小时，其函数值的增长越快；③对数函数y＝log a x，当a越大时,其函数值的增长越快；④对数函数y＝log a x，当a越小时,其函数值的增长越快．其中正确的结论是( ）．A．①③B．①④C．②③D．②④【做一做1－2】当x越来越大时，下列函数中,增长速度最快的是( ）．A．y＝2x B．y＝x10 C．y＝lg x D．y＝10x2【做一做1－3】当x＞0，n＞1时,幂函数y＝x n是________函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就________．答案：增函数快指数爆炸【做一做1－1】B【做一做1－2】A【做一做1－3】增越快如何选择增长型函数描述实际问题？剖析：选择的标准是:指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．题型一比较函数增长的差异【例1】分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞)上函数的增长情况．分析：解答本题时,应分析对于相同的自变量的增量，比较指数函数的增量与对数函数的增量的差异．反思：在同一坐标系内作出y＝2x和y＝log2x的图像，从图像上可观察出函数的增减变化情况．如图所示:题型二 比较大小问题【例2】 比较下列各组数的大小．(1）3423⎛⎫ ⎪⎝⎭，2334⎛⎫ ⎪⎝⎭;(2)0。
高中数学第3章指数函数、对数函数和幂函数3.4函数的应用3.4.2函数模型及其应用第1课时函数模型
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第二十一页，共三十九页。
数据如下表
2.四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 的变化的
x 1 5 10 15
20
25
y1 2 y2 2
26 101 226 401 1.05×
32 1 024 32 768 106
626 3.36×
107
y3 2 10 20 30
40
50
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644
第十六页，共三十九页。
解：(1)C1 对应的函数为 g(x)＝0.3x－1， C2 对应的函数为 f(x)＝lg x. (2)当 0<x<x1 时，g(x)>f(x)；当 x1<x<x2 时，f(x)>g(x)；当 x>x2 时，g(x)>f(x)；当 x＝x1 或 x＝x2 时，f(x)＝g(x)．
1
x2，曲线 C3 对应的函数是 g(x)＝ln x＋1. 由题图知，当 0<x<1 时，f(x)>h(x)>g(x)； 当 1<x<e 时，f(x)>g(x)>h(x)； 当 e<x<a 时，g(x)>f(x)>h(x)； 当 a<x<b 时，g(x)>h(x)>f(x)； 当 b<x<c 时，h(x)>g(x)>f(x)； 当 c<x<d 时，h(x)>f(x)>g(x)； 当 x>d 时，f(x)>h(x)>g(x)．
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【解】 建立生产量 y 与年份 x 的函数，可知函数必过点(1， 8)，(2，18)，(3，30)． (1)构造二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 将点坐标代入，
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案教学目标：一、知识与技能：1. 理解幂函数、指数函数和对数函数的定义及其性质。
2. 掌握对数的定义及其运算法则。
3. 能够运用幂函数、指数函数和对数函数解决实际问题。
二、过程与方法：1. 通过实例探究幂函数、指数函数和对数函数的图象与性质。
2. 通过对数函数的图象和性质，理解对数及其运算法则。
3. 运用幂函数、指数函数和对数函数解决实际问题，提高数学建模能力。
三、情感态度与价值观：1. 培养对数学的兴趣和好奇心，感受数学的运用价值。
2. 培养学生的团队合作精神，提高学生的解决问题的能力。
教学重点与难点：重点：幂函数、指数函数和对数函数的定义及其性质；对数的定义及其运算法则。
难点：幂函数、指数函数和对数函数在实际问题中的应用。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习幂函数、指数函数的定义及其性质。
2. 引导学生思考：幂函数、指数函数在实际生活中有哪些应用？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解对数的定义：以2为底的对数表示为log2(x)，意义为2的几次方等于x。
2. 引导学生通过实例理解对数的意义。
3. 讲解对数的性质：对数的真数必须大于0；对数的底数必须不等于1；对数的相反数、对数的倒数、对数的乘积和除法等性质。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固对数的定义及其性质。
2. 解答学生疑问，指导学生掌握对数的运算法则。
四、应用拓展（10分钟）1. 让学生举例说明幂函数、指数函数和对数函数在实际生活中的应用。
2. 引导学生运用幂函数、指数函数和对数函数解决实际问题。
五、课堂小结（5分钟）2. 强调对数的运算法则及其应用。
教学反思：本节课通过讲解幂函数、指数函数和对数函数的定义及其性质，让学生掌握对数的定义及其运算法则。
在教学过程中，注重引导学生思考实际生活中的应用，提高学生的数学建模能力。
通过课堂练习和应用拓展，巩固所学知识，提高学生的解决问题的能力。
最全的高中幂_指数_对数_三角函数知识点总结
最全的高中幂_指数_对数_三角函数知识点总结高中数学中的幂、指数、对数和三角函数是重要的数学概念和知识点。
这些知识点涉及到数学的基本运算、函数的性质和变化规律等内容。
下面是对这些知识点的详细总结：一、幂和指数1.幂函数：幂函数是以底数为自变量的函数，形如f(x)=a^x，其中a为常数，x为实数。
幂函数的图像为指数增长或指数衰减的曲线。
2.指数函数：指数函数是以指数为自变量的函数，形如f(x)=a^x，其中a为底数，x为实数。
指数函数的图像为单调递增或单调递减的曲线。
3.指数运算法则：-a^m*a^n=a^(m+n)-(a^m)^n=a^(m*n)-(a*b)^n=a^n*b^n-a^(-n)=1/a^n-a^0=1,其中a不等于0-a^1=a二、对数1. 对数函数：对数函数是指以对数为自变量的函数，形如f(x)=loga(x)，其中a为底数，x为正实数。
对数函数的图像为单调递增的曲线。
2.对数运算法则：- loga(m * n) = loga(m) + loga(n)- loga(m / n) = loga(m) - loga(n)- loga(m^n) = n * loga(m)三、三角函数1.三角比：- 正弦函数 sin(x)：在单位圆上，横坐标为x点对应的边长除以圆的半径。
- 余弦函数 cos(x)：在单位圆上，纵坐标为x点对应的边长除以圆的半径。
- 正切函数 tan(x)：在单位圆上，横坐标为x点对应的边长除以纵坐标对应的边长。
2.三角函数的基本性质：-三角函数的定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
- 三角函数的周期性：sin(x + 2π) = sin(x), cos(x + 2π) = cos(x), tan(x + π) = tan(x)。
- 三角函数的奇偶性：sin(-x) = -sin(x), cos(-x) = cos(x)，tan(-x) = -tan(x)。
- 三角函数的反函数：反正弦函数 arcsin(x)，反余弦函数arccos(x)，反正切函数 arctan(x)。
高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2 对数函数 3.2.1 对数 第2课时 对数的运
第2课时 对数的运算性质及换底公式1.了解对数的换底公式．2.理解对数的运算性质．3.掌握用对数的运算性质进行化简与证明．[学生用书P49]1．如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a M N＝log a M －log a N ； (3)log a M n＝n log a M (n ∈R )． 2．换底公式一般地，称log a N ＝log c Nlog c a(a >0且a ≠1，c >0且c ≠1，N >0)为对数的换底公式.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个正数的积、商的对数可以化为这两个正数的对数的和、差．( ) (2)log a (xy )＝log a x ·log a y .( ) (3)log 2(－5)2＝2log 2(－5)．( ) (4)由换底公式可得log a b ＝log （－2）blog （－2）a.( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×2．已知a >0且a ≠1，则log a 2＋log a 12＝( )A ．0B ．12 C ．1 D ．2答案：A3．(1)lg 10＝________；(2)已知ln a ＝0.2，则ln ea＝________．答案：(1)12(2)0.84.log 29log 23＝________． 答案：2对数的运算性质及应用[学生用书P49]计算下列各式：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8；(3)lg 25＋23lg 8＋lg 5lg 20＋(lg 2)2.【解】 (1)原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12. (2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8＝lg 4＋lg 31＋lg 0.6＋lg 2＝lg 12lg （10×0.6×2）＝lg 12lg 12＝1.(3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋(1－lg 2)(1＋lg 2)＋(lg 2)2＝2(lg 5＋lg 2)＋1－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3.(1)对于同底的对数的化简，常用的方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数(逆用运算性质)； ②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)(正用运算性质)．(2)对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式．要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．1.计算下列各式：(1)12lg 25＋lg 2＋lg 10＋lg(0.01)－1；(2)2log 32－log 3329＋log 38－3log 55.解：(1)法一：原式＝lg[2512×2×1012×(10－2)－1] ＝lg (5×2×1012×102) ＝lg 1072＝72.法二：原式＝12lg 52＋lg 2＋12lg 10－lg 10－2＝(lg 5＋lg 2)＋12－(－2)＝lg 10＋12＋2＝1＋12＋2＝72.(2)法一：原式＝log 322＋log 3(32×2－5)＋log 323－3 ＝log 3(22×32×2－5×23)－3 ＝log 332－3 ＝2－3＝－1.法二：原式＝2log 32－()5log 32－2＋3log 32－3 ＝2－3＝－1.换底公式的应用[学生用书P50](1)计算：(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258)； (2)已知log 189＝a ，18b＝5，求log 3645(用a ，b 表示)． 【解】 (1)法一：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125 ＝⎝⎛⎭⎪⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13. 法二：原式 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125＝⎝⎛⎭⎪⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5＝⎝⎛⎭⎪⎫13lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 2lg 5＝13.(2)法一：因为18b＝5，所以log 185＝b ， 又log 189＝a ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（9×5）log 18（18×2）＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－a.法二：因为log 189＝a ，18b＝5，所以lg 9＝a lg 18， lg 5＝b lg 18，所以log 3645＝lg 45lg 36＝lg （9×5）lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a.法三：因为log 189＝a ，所以18a＝9. 又因为18b＝5，所以45＝5×9＝18b·18a＝18a ＋b.令log 3645＝x ，则36x＝45＝18a ＋b，即36x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫183·183x＝18a ＋b.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1829x＝18a ＋b，所以x log 181829＝a ＋b ，所以x ＝a ＋b log 18182－log 189＝a ＋b 2－a ，即log 3645＝a ＋b2－a.(1)具有换底功能的另两个结论：①log a c ·log c a ＝1，②log an b n＝log a b .(a ＞0且a ≠1，b ＞0，c ＞0且c ≠1)(2)求条件对数式的值，可从条件入手，从条件中分化出要求的对数式，进行求值；也可以从结论入手，转化成能使用条件的形式；还可同时化简条件和结论，直至找到它们之间的联系．(3)本题主要考查已知一些指数值或对数值，利用这些条件来表示所要求的式子，解决该类问题必须熟练掌握所学性质和法则，并学会运用整体思想．2.(1)计算：(log 43＋log 83)log 32＝________．(2)计算：log22＋log 279＝________．解析：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1log 34＋1log 38log 32＝⎝⎛⎭⎪⎫12log 32＋13log 32log 32＝12＋13＝56.(2)原式＝log 22log 2212＋log 332log 333＝112＋23＝2＋23＝83.答案：(1)56 (2)83对数的综合应用[学生用书P50]若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值． 【解】 原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0， 设t ＝lg x ，则原方程可化为2t 2－4t ＋1＝0.所以t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝12.由已知a ，b 是原方程的两个根，则t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，所以lg(ab )·(log a b ＋log b a ) ＝(lg a ＋lg b )⎝⎛⎭⎪⎫lg b lg a ＋lg a lg b＝（lg a ＋lg b ）[（lg b ）2＋（lg a ）2]lg a lg b＝(lg a ＋lg b )·（lg b ＋lg a ）2－2lg a lg blg a lg b＝2×22－2×1212＝12.即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.应用对数的运算性质解对数方程的三种方法(1)定义法：解形如b ＝log a f (x )(a ＞0，a ≠1)的方程时，常借助对数函数的定义等价转化为f (x )＝a b 求解．(2)转化法：形如log a f (x )＝log a g (x )(a ＞0，a ≠1)的方程，等价转化为f (x )＝g (x )，且⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＞0，g （x ）＞0求解． (3)换元法：适用于f (log a x )＝0(a ＞0，a ≠1)形式的方程的求解问题，这类方程一般可通过设中间变量的方法(换元法)来解．3.(1)方程log 4(3x －1)＝log 4(x －1)＋log 4(x ＋3)的解为________．(2)已知lg(x ＋2y )＋lg(x －y )＝lg 2＋lg x ＋lg y ，求x y的值． 解：(1)原方程可化为3x －1＝(x －1)(x ＋3)， 即x 2－x －2＝0， 解得x ＝2或x ＝－1，而x ＝－1使真数3x －1和x －1小于0， 故方程的解是x ＝2.故填x ＝2. (2)由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y >0，x －y >0，x >0，y >0，（x ＋2y ）（x －y ）＝2xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，（x ＋2y ）（x －y ）＝2xy ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，（x －2y ）（x ＋y ）＝0，所以x －2y ＝0，所以xy＝2.1．对对数的运算性质的理解(1)利用对数的运算性质可以把求正数的乘、除、乘方的对数的运算转化为这些正数的对数的加、减、乘运算，反之亦然．但两个正数的和或差的对数没有运算性质．(2)对于每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． (3)能用语言准确叙述对数的运算性质log a (M ·N )＝log a M ＋log a N →积的对数等于对数的和． log a M N＝log a M －log a N →商的对数等于对数的差．log a M n＝n log a M (n ∈R )→真数的n 次幂的对数等于对数的n 倍． 2．关于换底公式的两点说明(1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义．(2)利用换底公式，可以“随意”地改变对数的底，应注意选择适当的底数，一般转化为常用对数或自然对数，化简和证明中常常用到换底公式．已知lg a ＋lg b ＝2lg(a －2b )，求log 2a b的值． [解] 因为lg a ＋lg b ＝2lg(a －2b )， 所以lg ab ＝lg(a －2b )2，ab ＝(a －2b )2，a 2－5ab ＋4b 2＝0，即(a －b )(a －4b )＝0， 所以a ＝b 或a ＝4b . 又因为a －2b >0，所以a ＝4b ，log 2a b＝log 24＝2.(1)错因：易忽视真数大于0的限制，导致出现增解． (2)防范：将对数化简、变形，不能忘记真数大于0的限制．1．化简12log 612－2log 62的结果为( )A ．6 2B ．12 2C ．log 6 3D ．12 解析：选C.原式＝log 612－log 62＝log 6122＝log 6 3. 2．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示是( ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2解析：选A.log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝log 32－2＝a －2. 3．(1)log 52·log 79log 513·log 734＝________．(2)log 2()3＋5－ 3－5＝________．解析：(1)原式＝log 132·log 349＝12lg 2－lg 3·2lg 323lg 2＝－32.(2)原式＝12log 2(3＋5－ 3－5)2＝12log 2[]（3＋5）＋（3－5）－2（3＋5）（3－5） ＝12log 2(6－4) ＝12log 22＝12. 答案：(1)－32 (2)124．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式：(1)lg(xyz ); (2)lg xy 2z ；(3)lg xy 3z； (4)lg x y 2z .解：(1)lg(xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z ；(2)lg xy 2z ＝lg(xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z ；(3)lg xy 3z＝lg(xy 3)－lg z＝lg x ＋3lg y －12lg z ；(4)lgx y 2z＝lg x －lg(y 2z ) ＝12lg x －2lg y －lg z . [学生用书P111(单独成册)])[A 基础达标]1．lg 8＋3lg 5的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：选D.lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg125＝lg1 000＝3. 2．设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 的值为( ) A.12B ．9C ．18D ．27解析：选B.由题意得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg mlg 8＝log 416＝log 442＝2， 所以lg m lg 3＝2，即lg m ＝2lg 3＝lg 9. 所以m ＝9，选B.3．若lg x ＝m ，lg y ＝n ，则lg x －lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 102的值为( ) A.12m －2n －2 B ．12m －2n －1 C.12m －2n ＋1 D ．12m －2n ＋2 解析：选D.因为lg x ＝m ，lg y ＝n ，所以lg x －lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 102＝12lg x －2lg y ＋2＝12m －2n ＋2.故选D.4．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 512等于( ) A.2a ＋b1＋a B ．a ＋2b1＋a C.2a ＋b 1－aD ．a ＋2b1－a解析：选C.log 512＝lg 12lg 5＝lg （22×3）lg （10÷2）＝lg 22＋lg 3lg 10－lg 2＝2lg 2＋lg 31－lg 2＝2a ＋b1－a .故选C.5．已知2x＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 等于( )A ．3B ．8C ．4D ．log 48解析：选A.因为2x＝3，所以x ＝log 23. 又log 483＝y ，所以x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋2(log 48－log 43)＝log 23＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫32log 22－12log 23 ＝log 23＋3－log 23＝3.故选A.6．已知m >0，且10x＝lg(10m )＋lg 1m，则x ＝________．解析：lg(10m )＋lg 1m ＝lg 10＋lg m ＋lg 1m＝1，所以10x ＝1＝100.所以x ＝0. 答案：07．方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解是________．解析：原方程可化为log 3(x 2－10)＝log 3(3x )，所以x 2－10＝3x ，解得x ＝－2，或x ＝5.经检验知x ＝5.答案：x ＝58．已知2m ＝3n＝36，则1m ＋1n＝________．解析：m ＝log 236，n ＝log 336，所以1m ＝log 362，1n ＝log 363，所以1m ＋1n ＝log 366＝12.答案：129．计算下列各式：(1)lg 8＋log 39＋lg 125＋log 319；(2)[log 2(log 216)](2log 36－log 34)；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 4－lg 60lg 3＋lg 53－45×2－11. 解：(1)原式＝lg 8＋lg 125＋log 39＋log 319＝lg(8×125)＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫9×19＝lg 1 000＋log 31＝3＋0＝3. (2)原式＝(log 24)(log 336－log 34)＝2log 3364＝2log 39＝4.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg 460lg 153－210×2－11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－lg 15lg 153－2－1 ＝－1－12＝－32.10．解下列关于x 的方程： (1)lg x －1＝lg(x －1)；(2)log 4(3－x )＋log 0.25(3＋x )＝log 4(1－x )＋log 0.25(2x ＋1)．解：(1)原方程等价于⎩⎨⎧x －1＝x －1，x －1＞0.解之得x ＝2. 经检验x ＝2是原方程的解，所以原方程的解为x ＝2.(2)原方程可化为log 4(3－x )－log 4(3＋x )＝log 4(1－x )－log 4(2x ＋1)．即log 43－x 3＋x＝log 41－x 2x ＋1. 整理得3－x x ＋3＝1－x 2x ＋1，解之得x ＝7或x ＝0. 当x ＝7时，3－x ＜0，不满足真数大于0的条件，故舍去．x ＝0满足，所以原方程的解为x ＝0.[B 能力提升]1.若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于________． 解析：由换底公式，得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg x lg 6＝2， lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125. 答案：1252.计算log 8(log 242)的值为________．解析：log 8(log 242)＝log 814＝－2log 82＝－23. 答案：－233．若log a b ＋3log b a ＝132，则用a 表示b 的式子是________． 解析：原式可化为1log b a ＋3log b a ＝132， 整理得3(log b a )2＋1－132log b a ＝0， 即6(log b a )2－13log b a ＋2＝0；解得log b a ＝2或log b a ＝16， 所以b 2＝a 或b 16＝a ， 即b ＝a 或b ＝a 6.答案： b ＝a 或b ＝a 64．(选做题)已知地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(lg E －11.4)．若A 地地震级别为9.0级，B 地地震级别为8.0级，求A 地地震释放的能量是B 地地震释放的能量的多少倍．解：由R ＝23(lg E －11.4)， 得32R ＋11.4＝lg E ， 故E ＝10(32R ＋11.4)．设A 地和B 地地震释放的能量分别为E 1，E 2，则E 1E 2＝10（32×9.0＋11.4）10（32×8.0＋11.4）＝1010， 即A 地地震释放的能量是B 地地震释放的能量的1010倍．。
指数函数,对数函数,幂函数
《指数函数、对数函数、幂函数》知识点一、指数及指数幂的运算 1.根式的概念a 的n 次方根的定义：一般地，如果nx a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的nn 为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 2.n 次方根的性质：(1)当na =；当n,0,,0;a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩(2)na =3.分数指数幂的意义：)0,,,1mna a m n N n =>∈>；()10,,,1m nm naa m n N n a-=>∈>要点诠释：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质：()0,0,,a b r s Q >>∈(1)rsr sa a a+= (2)()r srsa a = (3)()rr rab a b =知识点二、指数函数及其性质 1.指数函数概念 一般地，函数()0,1xy aa a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .2.指数函数函数性质：知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义(1)若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数. (2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>.2.几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =.3.常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N (其中 2.71828e =…). 4.对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈④log a NaN =⑤log log (0,)b na a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义一般地，函数()log 0,1a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域()0,+∞.2.对数函数性质：知识点五：反函数 1.反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x fy -=，习惯上改写成1()y f x -=.2.反函数的性质(1)原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称.(2)函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域.(3)若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上.(4)一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数. 知识点六：幂函数 1.幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中α为常数. 2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1).(3)单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴.(4)奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数.当q pα=(其中,p q 互质，p 和q Z ∈)，若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则qp y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数.(5)图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方.1．下列函数与x y =有相同图象的一个函数是( )()y x R αα=∈A ．2x y = B ．xx y 2=C ．)10(log ≠>=a a ay xa 且 D ．x a a y log =2．函数y x=3与y x=--3的图象关于下列那种图形对称( )A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y x =D ．原点中心对称3．设函数f (x )＝则满足()2f x ≤的x 的取值范围是（ ）A ．[]1,2-B ．[]0,2C ．[)1,+∞D ． [)0,+∞4．函数()log 1a f x x =-在(0,1)上递减，那么()f x 在(1,)+∞上( ) A ．递增且无最大值 B ．递减且无最小值 C ．递增且有最大值 D ．递减且有最小值 5.为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度； B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度； C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度； D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度； 6．函数)65(log2)21(+-=-x x y x 的定义域为（ ）； A ．()1,23,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U B ．()()1,11,23,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭U U C ．()3,23,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U D ．()133,,23,222⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U U 7．当0<x≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是 A ．(0，2) B ．(2，1) C ．(1) D ．2) 8．函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是（ ） A ． 211(0)x y ex +=-> B ．211(0)x y e x -=+>⎩⎨⎧>-≤-1,log 11,221x x x xC ． 211()x y ex R +=-∈ D ．211()x y e x R -=+∈9．不等式31122x x-+≤的解集为 . 10．已知函数2()f x x bx c =++，对任意x R ∈都有(1)()f x f x +=-,则(2)f -、(0)f 、(2)f 的大小顺序是 ．11．函数1218x y -=的定义域是 ；值域是 .12．判断函数2lg(y x x =的奇偶性 .13．已知函数211()log 1xf x x x+=--,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性、单调性. 14. 已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈[13，2]都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．15．已知12x -≤≤，求函数1()3239x x f x +=+⋅-的值域.1．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．|f (x )|－g (x )是奇函数 B ．|f (x )|＋g (x )是偶函数 C ．f (x )－|g (x )|是奇函数 D ．f (x )＋|g (x )|是偶函数2．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，则f (4)＝( ) A ．4B ．2C ．0D ．不确定3．若函数x2x 1x a f(x)=(+)(-)为奇函数，则a ＝( )A. 12B.23 C. 34D ．14．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．95．设f (x )＝2x ,|x |1x,|x |1⎧≥⎨<⎩g (x )是二次函数，若f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则g (x )的值域是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞) 6．已知f (x )＝2x 1,1x 0x 1,0x 1+-≤≤⎧⎨+<≤⎩，则如图中函数的图象错误的是( )7．已知f (x －1x )＝x 2＋21x，则函数f (3)＝________. 8．设函数f (x )是定义在R 上周期为3的奇函数，若f (1)<1，f (2)＝211a a -+，则a 的取值范围是________．9．设函数f (x )＝12(x ＋|x |)，则函数f [f (x )]的值域为________．10．已知函数f (x )＝a 1- (a ≠1)，若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．11．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)解不等式f (x )>2x ＋5.12．函数f (x )对一切实数x 、y 均有f (x ＋y )－f (y )＝x (x ＋2y ＋1)成立，且f (1)＝0， (1)求f (0)的值；(2)试确定函数f (x )的解析式．13．已知函数f (x )＝22x 2x,x 00,x 0x mx,x 0⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．14．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)． 15．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 16．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．。
高中数学幂函数指数函数对数函数三角函数求导公式以及积与商的函数导数求法
高中数学幂函数指数函数对数函数三角函数求导公式以及积与商的函数导数求法高中数学中，幂函数、指数函数、对数函数和三角函数是常见的函数类型。
这些函数求导的公式常用于解决函数的速率和变化率等问题。
同时，积与商的函数导数求法也是数学中常用的方法之一1.幂函数的导数：幂函数的一般形式为y = ax^n (a ≠ 0, n为实数)。
其导数可以通过求导公式来计算。
对于幂函数 y = ax^n，其导数为 dy/dx = anx^(n-1)。
例如，对于函数 y = 2x^3，其导数为 dy/dx = 3*2x^(3-1) = 6x^2 2.指数函数的导数：指数函数的一般形式为y=a^x(a>0,a≠1)。
其导数可以通过自然对数的导数来计算。
对于指数函数 y = a^x，其导数为 dy/dx = ln(a) * a^x。
例如，对于函数 y = e^x，其导数为 dy/dx = ln(e) * e^x = e^x。
3.对数函数的导数：对数函数的一般形式为y = log_a(x) (a > 0, a ≠ 1)。
其导数可以通过换底公式和幂函数的导数来计算。
换底公式：log_a(x) = ln(x) / ln(a)对于对数函数 y = log_a(x)，其导数为 dy/dx = 1/(xln(a))。
例如，对于函数 y = log_2(x)，其导数为 dy/dx = 1/(xln(2))。
4.三角函数的导数：常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的导数可以通过基本导数公式来计算。
正弦函数的导数：d(sin(x))/dx = cos(x)余弦函数的导数：d(cos(x))/dx = -sin(x)正切函数的导数：d(tan(x))/dx = sec^2(x)5.积的函数导数求法：对于两个函数相乘的情况，可以使用乘积的求导法则来计算。
设函数 y = f(x) * g(x)，其中 f(x) 和 g(x) 为可导函数，则它们的乘积的导数为 dy/dx = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2 对数函数 3.2.2 对数函数 第1课时 对数
第1课时对数函数的概念、图象及性质1.了解对数函数的概念．2.会画对数函数的图象，记住对数函数的性质．3．掌握对数函数图象和性质的应用．[学生用书P52]1．对数函数的概念一般地，函数y＝log a x(a>0，a≠1)叫做对数函数，对数函数的定义域是(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．2．对数函数的图象与性质定义y＝log a x(a>0且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域{x|x>0}值域R单调性增函数减函数共点性图象过点(1，0)，即log a1＝0函数值x∈(0，1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)x∈(0，1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]对称性函数y＝log a x与y＝log1ax的图象关于x轴对称趋势a值越大图象越靠近x，y轴a值越小图象越靠近x，y轴x趋于零，y趋于－∞；x趋于＋∞，y趋于＋∞x趋于零，y趋于＋∞；x趋于＋∞，y趋于－∞3.y＝a x称为y＝log a x的反函数，反之，y＝log a x也称为y＝a x的反函数，一般地，如果函数y ＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝log2x2与y＝log x3都不是对数函数．( )(2)对数函数的图象一定在y轴右侧．( )(3)当0＜a ＜1时，若x ＞1，则y ＝log a x 的函数值都大于零．( ) (4)函数y ＝log 2x 与y ＝x 2互为反函数．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× 2．函数y ＝log 4.3x 的值域是________． 答案：R3．函数y ＝(a 2－4a ＋4)log a x 是对数函数，则a ＝________． 答案：34．函数f (x )＝log 5(1－x )的定义域是________． 答案：{x |x <1}与对数函数有关的定义域问题[学生用书P52]求下列函数的定义域： (1)y ＝lg(x ＋1)＋3x21－x； (2)y ＝log (2x －1)3x －2. 【解】 (1)要使函数有意义， 需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ＜1.所以－1＜x ＜1.所以函数的定义域为(－1，1)． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＞0，2x －1≠1，3x －2＞0，解得x ＞23，且x ≠1，所以函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1∪(1，＋∞).若将例题(2)函数改为“y ＝log3x －2(2x －1)”，则其定义域应为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＞0，3x －2＞0，3x －2≠1，解得x ＞23，且x ≠1，所以函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1∪(1，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1∪(1，＋∞)(1)求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则①分母不能为0；②根指数为偶数时，被开方数非负； ③对数的真数大于0，底数大于0且不为1. (2)求函数定义域的步骤①列出使函数有意义的不等式(组)； ②化简并解出自变量的取值范围； ③确定函数的定义域．1.求下列函数的定义域：(1)y ＝1lg （x ＋1）－3；(2)y ＝log a （4x －3）(a ＞0，且a ≠1)．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧lg （x ＋1）－3≠0，x ＋1＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠103，x ＞－1， 所以x ＞－1，且x ≠999，所以函数的定义域为{x |x ＞－1，且x ≠999}． (2)log a (4x －3)≥0⇒log a (4x －3)≥log a 1. 当a ＞1时， 有4x －3≥1，x ≥1 . 当0＜a ＜1时，有0＜4x －3≤1，解得34＜x ≤1.综上所述，当a ＞1时，函数的定义域为[1，＋∞)，当0＜a ＜1时，函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1. 对数函数的图象和性质[学生用书P53](1)如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 的取值可为35，110，3，43，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C 4的底数a 的值依次为________．(2)若函数y ＝log a (x ＋b )＋c (a >0，a ≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b ，c 的值分别为________，________.【解析】 (1)由底数对对数函数图象的影响，可知C 4的底数<C 3的底数<C 2的底数<C 1的底数．故相应的曲线C 1，C 2，C 3，C 4的底数依次是3，43，35，110.(2)因为函数的图象恒过定点(3，2)， 所以将(3，2)代入y ＝log a (x ＋b )＋c ， 得2＝log a (3＋b )＋c .又当a >0，a ≠1时，log a 1＝0恒成立， 所以log a (3＋b )＝0，所以b ＝－2，c ＝2. 【答案】 (1)3，43，35，110(2)－2 2(1)对数函数的性质可以结合图象去理解记忆．(2)对数函数图象的画法有两种：一是描点法；二是通过图象变换画出．2.已知a ＞0，且a ≠1，则函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是( )解析：选B.法一：若0＜a ＜1，则函数y ＝a x的图象下降且过点(0，1)，而函数y ＝log a (－x )的图象上升且过点(－1，0)，以上图象均不符合．若a ＞1，则函数y ＝a x的图象上升且过点(0，1)，而函数y ＝log a (－x )的图象下降且过点(－1，0)，只有B 中图象符合．法二：首先指数函数y ＝a x的图象只可能在x 轴上方，函数y ＝log a (－x )的图象只可能在y 轴左方，从而排除A ，C ；再看单调性，y ＝a x与y ＝log a (－x )的单调性正好相反，排除D.只有B 中图象符合．法三：如果注意到y ＝log a (－x )的图象关于y 轴的对称图象为y ＝log a x ，又y ＝log a x 与y ＝a x互为反函数(图象关于直线y ＝x 对称)，则可直接确定选B.利用对数函数的单调性比较大小[学生用书P53]比较下面各组数中两个值的大小． (1)log 33.4，log 38.5； (2)log 0.21.8，log 0.22.7；(3)log a 5.1，log a 5.9(a ＞0且a ≠1)． 【解】 (1)考察对数函数y ＝log 3x ，因为它的底数3＞1，所以它在(0，＋∞)上是增函数， 于是log 33.4＜log 38.5.(2)考察对数函数y ＝log 0.2x ，因为它的底数0.2＜1，所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是log 0.21.8＞log 0.22.7.(3)对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1，而已知条件并未明确指出底数a 与1哪个大，因此要对底数a 进行讨论：当a ＞1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数， 于是log a 5.1＜log a 5.9；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数， 于是log a 5.1＞log a 5.9.(1)如果同底，可直接利用单调性求解．如果底数为字母，则要分类讨论． (2)如果不同底，一种方法是化为同底对数，另一种方法是寻找中间变量．(3)如果不同底同真数，可利用图象的高低与底数的大小的关系解决或利用换底公式化为同底，再进行比较．(4)若底数、真数都不相同，则常借助中间量1，0，－1等进行比较．3.比较下列各组数的大小：(1)log 0.20.4，log 0.20.3，log 0.23； (2)log 123，log 133，log 143；(3)log 23，log 45，log 76.解：(1)因为函数y ＝log 0.2x 是区间(0，＋∞)上的单调减函数，且0.3<0.4<3， 所以log 0.20.3>log 0.20.4>log 0.23.(2)因为函数f (x )＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数， 又0<14<13<12<1，所以log 314<log 313<log 312<0，即1log 143<1log 133<1log 123<0， 所以log 123<log 133<log 143. (3)log 23＝log 49>log 45>1， 而log 76<log 77＝1， 故log 76<log 45<log 23.1．关于对数函数概念的两点说明(1)对数函数的概念与指数函数类似，都是形式化定义，如y ＝2log 2x ，y ＝log 2x3都不是对数函数，可称其为对数型函数．(2)由指数式与对数式的关系知：对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)．2．a 对对数函数的图象的影响(1)底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a ＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a ＜1时，对数函数的图象“下降”．(2)底数的大小决定了图象对应位置的高低：不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为________．[解析] 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x －1>0，解得x >2.[答案] (2，＋∞)(1)解答本题只注意被开方数大于零，而忽视真数大于零．(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1.若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．1．下列函数表达式中，是对数函数的有( ) ①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ； ④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B.形如y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的函数表达式有③、④，其他的均不符合．2．函数y ＝lg （x ＋1）x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．[－1，1)∪(1，＋∞)解析：选C.要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x －1≠0，解得x ＞－1，且x ≠1，故函数的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)，故选C.3．函数y ＝2x的反函数为________．解析：由对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)和y ＝a x (a ＞0，a ≠1)互为反函数知y ＝2x的反函数为y ＝log 2x .答案：y ＝log 2x4．若函数y ＝log a (x ＋a )(a ＞0且a ≠1)的图象过点(－1，0)． (1)求a 的值； (2)求函数的定义域．解：(1)将(－1，0)代入y ＝log a (x ＋a )(a ＞0且a ≠1)中，有0＝log a (－1＋a )， 则－1＋a ＝1，所以a ＝2.(2)由(1)知y ＝log 2(x ＋2)，x ＋2＞0，解得x ＞－2， 所以函数的定义域为{x |x ＞－2}．[学生用书P112(单独成册)])[A 基础达标]1．若f (x )＝log a x ＋(a 2－4a －5)是对数函数，则a ＝( ) A ．－1 B ．5 C ．－1或5D ．1解析：选B.由对数函数的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a －5＝0，a ＞0，a ≠1，解得a ＝5.2．已知a ＝log 0.60.5，b ＝ln 0.5，c ＝0.60.5，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析：选B.a ＝log 0.60.5＞log 0.60.6＝1，b ＝ln 0.5＜0，0＜c ＝0.60.5＜0.60＝1，故a ＞c ＞b .3．函数y ＝lg(x －1)＋lg(x －2)的定义域为M ，函数y ＝lg(x 2－3x ＋2)的定义域为N ，则( ) A ．MN B ．N MC ．M ＝ND ．M ∩N ＝∅解析：选A.y ＝lg(x 2－3x ＋2) ＝lg[(x －1)(x －2)]， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0x －2>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0x －2<0，即x >2或x <1.所以N ＝{x |x >2或x <1}． 又M ＝{x |x >2}． 所以MN .4．已知函数f (x )＝log a (x －m )的图象过点(4，0)和(7，1)，则f (x )在定义域上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．奇函数D ．偶函数解析：选A.将点(4，0)和(7，1)代入函数解析式，有⎩⎪⎨⎪⎧0＝log a （4－m ），1＝log a （7－m ）.解得a ＝4和m ＝3，则有f (x )＝log 4(x －3)．由于定义域是{x |x >3}，则函数不具有奇偶性．很明显函数f (x )在定义域上是增函数．5．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B ．12x C ．log 12xD ．2x －2解析：选A.函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2.故f (x )＝log 2x .6．下列四个数：0.2－0.1，log 1.20.3，log 0.20.3，log 0.20.5，由小到大的顺序为________．解析：因为0.2－0.1>1，log 1.20.3<0，0<log 0.20.5<log 0.20.3<log 0.20.2＝1， 所以log 1.20.3<log 0.20.5<log 0.20.3<0.2－0.1. 答案：log 1.20.3<log 0.20.5<log 0.20.3<0.2－0.17．已知函数y ＝log a (x ＋3)－89(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝3x＋b的图象上，则b ＝________．解析：当x ＋3＝1，即x ＝－2时， 对任意的a >0，且a ≠1都有y ＝log a 1－89＝0－89＝－89，所以函数y ＝log a (x ＋3)－89的图象恒过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－89，若点A 也在函数f (x )＝3x＋b 的图象上， 则－89＝3－2＋b ，所以b ＝－1.答案：－18．已知log a 3>log b 3>0，则a ，b 的大小关系是________． 解析：因为log a 3>log b 3>0，所以a >1，b >1. 由换底公式有1log 3a >1log 3b >0，所以log 3b >log 3a >0. 所以b >a . 答案：b >a9．求下列函数的定义域：①y ＝log 3(3x )；②y ＝log 34x －5； ③y ＝1log 12x ；④y ＝ log 2（2x ＋6）.解：①由3x >0，得x >0，所以函数y ＝log 3(3x )的定义域为(0，＋∞)． ②由4x －5>0，得x >54，所以函数y ＝log 34x －5的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞. ③由x >0及log 12x ≠0得x >0且x ≠1，所以函数y ＝1log 12x的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)．④log 2(2x ＋6)≥0，得2x ＋6≥1，即x ≥－52，所以函数y ＝log 2（2x ＋6）的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，＋∞.10．解不等式：log a (2x －5)>log a (x －1)． 解：当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －5>0，x －1>0，2x －5>x －1.解得x >4.所以原不等式的解集为{x |x >4}． 当0<a <1时，原不等式等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧2x －5>0，x －1>0，2x －5<x －1，解得52<x <4. 综上，当a >1时，不等式的解集为{x |x >4}；当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪52<x <4.[B 能力提升]1.已知函数f (x )＝lg|x |，设a ＝f (－3)，b ＝f (2)，则a 与b 的大小关系是________． 解析：f (x )＝lg|x |定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，是偶函数，且f (x )在(0，＋∞)上为增函数．a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f (2)，因为f (3)>f (2)，所以a >b .答案：a >b2.已知f (x )＝|lg x |，若1c>a >b >1，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系是________．解析：先作出函数y ＝lg x 的图象，再将图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到上方，这样，我们便得到了y ＝|lg x |的图象，如图．由图可知，f (x )＝|lg x |在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，于是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1c＞f (a )＞f (b )，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪lg 1c ＝|－lg c |＝|lg c |＝f (c )．所以f (c )＞f (a )＞f (b )．答案：f (c )＞f (a )＞f (b )3.已知函数f (x )＝log (2a －1)(2x ＋1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上满足f (x )>0，试求实数a 的取值范围． 解：当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，2x ＋1>4>1.因为log(2a －1)(2x ＋1)>0＝log (2a －1)1，所以2a －1>1，即2a >2，解得a >1.即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．4.(选做题)已知函数f (x )＝log 21＋x 1－x. (1)求证：f (x 1)＋f (x 2)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ＝1，f (－b )＝12，求f (a )的值． 解：(1)证明：左边＝log 21＋x 11－x 1＋log 21＋x 21－x 2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 11－x 1·1＋x 21－x 2 ＝log 21＋x 1＋x 2＋x 1x 21－x 1－x 2＋x 1x 2. 右边＝log 21＋x 1＋x 21＋x 1x 21－x 1＋x 21＋x 1x 2＝log 21＋x 1＋x 2＋x 1x 21＋x 1x 2－x 1－x 2. 所以左边＝右边．(2)因为f (－b )＝log 21－b 1＋b ＝－log 21＋b 1－b ＝12， 所以f (b )＝log 21＋b 1－b ＝－12， 利用(1)可知：f (a )＋f (b )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ， 所以f (a )－12＝1， 解得f (a )＝32.。
(统编版)2020高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.2对数函数自主训练苏教版必修59
3.2.2 对数函数自主广场我夯基 我达标1.如下图，当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y=a -x 与y=log a x 的图象是( )思路解析：首先把y=a -x 化为y=(a 1)x ， ∵a ＞1，∴0＜a 1＜1.因此y=(a1)x ，即y=a -x 的图象是下降的，y=log a x 的图象是上升的. 答案:A2.y=21log (x 2-3x+2)的递增区间是( )A.(-∞，1)B.(2，+∞)C.(-∞，23)D.(23，+∞)思路解析：首先考虑对数函数的定义域，再利用对数函数的性质.答案:A3.已知函数f(x)=lg(x 2-3x+2)的定义域为F ，函数g(x)=lg(x-1)+lg(x-2)的定义域为G ，那么( ) A.G F B.G=F C.F ⊆G D.F∩G=∅ 思路解析：F={x|x 2-3x+2>0}={x|x>2或x<1}，G={x|x>2}.∴G F.答案:A4.已知函数f(x)=log 2(x 2-ax+3a)在［2，+∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A.（-∞，4）B.（-4，4]C.（-∞，-4）∪［2，+∞)D.［-4，4)思路解析:解决复合函数问题的通法是把复合函数化归为基本初等函数. 令u （x ）=x 2-ax+3a ，其对称轴x=2a .由题意有⎪⎩⎪⎨⎧≤>+-=.22,0324)2(a a a u 解得-4<a≤4. 答案:B5.若定义在(-1，0)上的函数f(x)=log 2a(x+1)满足f(x)>0，则a 的取值范围是( )A.(0,21)B.(0,21]C.(21,+∞) D.(0,+∞) 思路解析：本题考查对数函数的基本性质.当x ∈(-1，0)时，有x+1∈(0，1)，此时要满足f(x)>0，只要0<2a<1即可.由此解得0<a<21. 答案:A6.函数y=lg 11-x 的图象大致是( )思路解析：本题通法有两种：①图象是由点构成的，点点构成函数的图象，所以可取特殊点(2，0)，(1011，1).②利用函数解析式判断函数的性质，函数的定义域为(1，+∞)，在定义域上函数为减函数.答案:A7.若函数f(x)=log a x(0<a<1)在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于( ) A.42 B.22 C.41 D.21 思路解析：本题关键是利用f(x)的单调性确定f(x)在［a ，2a ］上的最大值与最小值. f(x)=log a x(0<a<1)在(0，+∞)上是减函数，当x ∈［a ，2a ］时，f(x)max =f(a)=1，f(x)min =f(2a)=log a 2a.根据题意，3log a 2a=1，即log a 2a=31，所以log a 2+1=31，即log a 2=-32.故由32-a =2得a=232-=42. 答案:A我综合 我发展8.log a32<1，则a 的取值范围是____________. 思路解析：当a>1时，log a 32<1=log a a.∴a>32.又a>1，∴a>1. 当0<a<1时，log a 32<log a a.∴a<32.又0<a<1，∴0<a<32. 答案:(0，32)∪(1，+∞) 9.函数y=log a (x-2)+1(a ＞0且a ≠1)恒过定点______________.思路解析：若x-2=1，则不论a 为何值，只要a ＞0且a ≠1，都有y=1.答案:(3，1)10.函数f(x)=log (a-1)x 是减函数，则a 的取值范围是____________.思路解析：考查对数函数的概念、性质.注意到a-1既受a-1＞0且a-1≠1的制约，又受减函数的约束，由此可列关于a 的不等式求a.由题意知0＜a-1＜1，∴1＜a ＜2.答案:1＜a ＜211.已知f(x)=log a xx -+11(a>0且a ≠1). (1)求函数的定义域；(2)讨论函数的单调性；(3)求使f(x)>0的x 的取值范围.思路解析:注意对数函数的底和真数的制约条件以及底的取值范围对单调性的影响. 解答:(1)由xx -+11>0得-1<x<1. ∴函数的定义域为(-1,1).(2)对任意-1<x 1<x 2<1,)1)(1()(2111121212211x x x x x x x x ---=-+--+<0，∴22111111x x x x -+<-+. 当a>1时，log a 1111x x -+<log a 2211x x -+，即f(x 1)<f(x 2)； 当0<a<1时，log a 1111x x -+>log a 2211x x -+，即f(x 1)>f(x 2). ∴当a>1时，f(x)为(-1，1)上的增函数；当0<a<1时，f(x)为(-1，1)上的减函数.(3)log axx -+11>0=log a 1. 当a>1时，x x -+11>1，即x x -+11-1=x x -12>0. ∴2x(x-1)<0.∴0<x<1.当0<a<1时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+>-+.111,011xx x x 解得-1<x<0.∴当a>1时，f(x)>0的解为(0，1)；当0<a<1时，f(x)>0的解为(-1，0).12.已知f(x)=1+log x 3，g(x)=2log x 2，试比较f(x)与g(x)的大小.思路解析：要比较两个代数式的大小，通常采取作差法或作商法，作差时，所得差同零比较，作商时，应先分清代数式的正负，再将商同“1”比较大小.因为本题中的f(x)与g(x)的正负不确定，所以采取作差比较法.解答:f(x)和g(x)的定义域都是(0，1)∪(1，+∞).f(x)-g(x)=1+log x 3-2log x 2=1+log x 3-log x 4=log x43x. (1)当0＜x ＜1时，若0＜43x ＜1，即0＜x ＜34，此时log x 43x ＞0，即0＜x ＜1时，f(x)＞g(x).(2)当x ＞1时，若43x ＞1，即x ＞34，此时log x 43x ＞0，即x ＞34时，f(x)＞g(x)； 若43x=1，即x=34，此时log x 43x=0，即x=34时，f(x)=g(x)；若0＜43x ＜1，即0＜x ＜34，此时log x 43x ＜0，即1＜x ＜34时，f(x)＜g(x).综上所述，当x ∈(0，1)∪(34，+∞)时，f(x)＞g(x)；当x=34时，f(x)=g(x)；当x ∈(1，34)时，f(x)＜g(x).我创新 我超越13.已知f(x)=lg(a x -b x )(a>1>b>0).(1)求y=f(x)的定义域；(2)在函数图象上是否存在不同两点，使过两点的直线平行于x 轴?思路解析：(2)的思维难点是把问题化归为研究函数的单调性问题.解答:(1)由a x -b x >0，得(b a)x >1=(b a)0. ∵b a>1，∴x>0.∴函数的定义域为(0，+∞).(2)先证明f(x)是增函数.对于任意x 1>x 2>0，∵a>1>b>0，∴1x a >2x a ，1x b <2x b .∴1x a -1x b >2x a -2x b .∴lg(1x a -1x b )>lg(2x a -2x b ).∴f(x 1)>f(x 2).∴f(x)在(0，+∞)上为增函数.假设y=f(x)上存在不同的两点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，使直线AB 平行于x 轴，则x 1≠x 2，y 1=y 2，这与f(x)是增函数矛盾.∴y=f(x)的图象上不存在两点，使过这两点的直线平行于x 轴.14.已知非零常数x 、y 、z ，满足2x =3y =6z ，求证：zy x 111=+. 思路解析：考查转化的思想方法，指、对式的转化.可以先求出x 、y 、z ，然后由左边推证出右边.证法一：设2x =3y =6z =k ，则x=log 2k ，y=log 3k ，z=log 6k. ∴k k y x 32log 1log 111+=+=log k 2+log k 3=log k 6=zk 1log 16=. 证法二：由2x =3y =6z ，有2x =6z ，3y =6z .∴x=log 26z =zlog 26，y=log 36z =zlog 36. ∴z z z y x 16log 16log 11132=+=+(log 62+log 63)=z 1log 66=z1. 15.求函数f(x)=log 211-+x x +log 2(x-1)+log 2(p-x)的值域. 思路解析：求函数值域，必须先求定义域，求对数函数的定义域转化为解不等式组.解答:f(x)的定义域为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->->-+.0,01,011x p x x x ∴⎪⎩⎪⎨⎧>->->+.0,01,01x p x x ∴⎩⎨⎧<>.,1p x x ∵函数定义域不能是空集，∴p ＞1，定义域为(1，p).而x ∈(1，p)时，f(x)=log 2(x+1)(p-x)=log 2［-x 2+(p-1)x+p ］=log 2［-(x-21-p )2+(21+p )2］. (1)当0＜21-p ≤1，即1＜p ≤3时，0＜(x+1)(p-x)＜2(p-1). ∴f(x)的值域为(-∞，log 22(p-1)).(2)当1＜21-p ＜p ，即p ＞3时，0＜(x+1)(p-x)≤(21+p )2. ∴函数f(x)的值域为(-∞，2log 2(p+1)-2］.。
指数函数、对数函数、幂函数的图像及性质
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a nn =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)mnaa m n N n *=>∈>、且;②正数的负分数指数幂: 10,,1)m nm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s=a r+s(a>0,r 、s ∈Q); ②(a r )s=a rs(a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r=a r b s(a>0,b>0,r ∈Q);. 3．指数函数的图象与性质n 为奇数 n 为偶数y=a x a>1 0<a<1图象定义域R值域（0，+∞）性质（1）过定点（0，1）（2）当x>0时，y>1;x<0时,0<y<1(2) 当x>0时，0<y<1;x<0时, y>1(3)在（-∞，+∞）上是增函数（3）在（-∞，+∞）上是减函数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x,（2）y=b x,（3）,y=c x（4）,y=d x的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。
即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数1、对数的概念（1）对数的定义如果(01)xa N a a=>≠且，那么数x叫做以a为底，N的对数，记作log Nax=，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数。
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3.2.3 对数函数的概念及基本性质
课堂导学
三点剖析
一、对数函数的图象和性质
【例1】 利用对数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)2log π,2log e; (2)21log 0.3,4
1log 0.04.
解析：(1)函数y=2log x 在(0,+∞)上是增函数，而π>e>0,∴2log π>2log e. (2)41log 0.04=
4
1log 04
.0log 21
21=2121log 0.04=21log 0.2. 又因为函数y=21log x 在(0,+∞)上为减函数， ∴21log 0.3<21log 0.2,即21log 0.3<4
1log 0.04.
温馨提示
先把不同底数化为相同底数，再利用函数单调性比较大小是比较对数值大小的基本方法.
二、a>1或0<a<1时，对数函数的不同性质
【例2】 求函数y=)(log 1a x a +-(a>0且a ≠1)的定义域.
思路分析：先由被开方数是非负数建立不等式，由于不等式中含有字母参数，再根据对数的性质对字母参数进行分类讨论.
解析：由1-log a (x+a)≥0,得log a (x+a)≤1.
当a>1时，0<x+a ≤a,
∴-a<x ≤0.
当0<a<1时，x+a ≥a,
∴x ≥0.
综上，当a>1时，函数的定义域为(-a,0).
当0<a<1时，函数的定义域为［0,+∞).
温馨提示
对于对数函数问题，底数中含字母参数都必须进行分类讨论.
三、对数函数的单调性和单调区间的求法
【例3】 求函数y=log 2(x 2-x-6)的单调区间.
解析：令u=x 2-x-6,则y=log 2u.
∵y=log 2u 为u 的增函数，
∴当u 为x 的增函数时，y 为x 的增函数;
当u 为x 的减函数时，y 为x 的减函数.
由x 2-x-6>0,得x<-2或x>3.借助于二次函数图象可知：当x ∈(-∞,-2)时，u 是x 的减
函数;
当x ∈(3,+∞)时，u 是x 的增函数.
所以，原函数的单调减区间是(-∞,-2),单调增区间是(3,+∞).
温馨提示
(1)研究函数的单调性，首先必须考虑它的定义域；
(2)对数函数的单调性，当底数是字母时，必须分底数大于1和底数大于0且小于1这两种情况进行讨论；
(3)对于复合函数的单调性，必须考虑u=g(x)与y=f(u)的单调性，从而得出y=f ［g(x)］的单调性；
(4)判断函数的增减性，或者求函数的单调区间，一般都可借助函数图象求解.
各个击破
类题演练 1
比较下列各组数中两个值的大小.
（1）log 23.4,log 28.5;
(2)log a 5.1,log a 5.9(a>0,a≠1).
解析：(1)对数函数y=log 2x,因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是log 23.4<log 28.5;
(2)当a>1时，函数y=log a x 在（0,+∞）上是增函数，于是log a 5.1<log a 5.9;
当0<a<1时，函数y=log a x 在(0,+∞)上是减函数，于是log a 5.1>log a 5.9.
变式提升 1
比较下列两个值的大小：
（lgm ）1.9,(lgm)2.1(m>1).
解析：若1>lgm>0,即1<m<10时，y=(lgm)x 在R 上是减函数，∴(lgm)1.9>(lgm)2.1.
若lgm=1，即m=10时，（lgm ）1.9=(lgm)2.1.
若lgm>1，即m>10时，y=(lgm)x 在R 上是增函数，∴（lgm ）1.9<(lgm)2.1.
类题演练 2
已知f(x)=log a x
x -+11(a>0,且a≠1). 求f(x)的定义域； 解析：由对数函数定义知
x x -+11>0, ∴-1<x<1,∴f(x)的定义域为（-1，1）.
变式提升 2
(2006山东高考文，2)设f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-.2)1(log 2,2231x x x e x 则f(f(2))的值为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：∵f(2)=log 3(22-1)=log 33=1,∴f(f(2))=f(1)=2e 1-1=2.故选C.
答案：C
类题演练 3
求函数y=log 0.1(2x 2-5x-3)的递减区间.
解析：先求函数的定义域，由2x 2-5x-3=(2x+1)(x-3)>0,
得x<-2
1,或x>3.令u=2x 2-5x-3,y=log 0.1u.
由于u=2(x-
45)2-681,可得u=2x 2-5x-3(x<-21或x>3)的递增区间为（3，+∞）,从而可得y=log 0.1(2x 2-5x-3)的递减区间为（3，+∞）.
变式提升 3
求函数y=21log (3+2x-x 2
)的单调区间和值域.
解析：由3+2x-x 2>0解得函数y=21log (3+2x-x 2
)的定义域是-1<x<3.
设u=3+2x-x 2(-1<x<3),当-1<x 1<x 2≤1时，u 1<u 2,从而2
1log u 1>21log u 2,即y 1>y 2,故函数y=2
1log (3+2x-x 2)在区间（-1，1）上单调递减；同理可得，函数在区间（1，3）上是单调递增.
函数u=3+2x-x 2(-1<x<3)的值域是（0，4），故函数y=21log (3+2x-x 2
)的值域是y ≥2
1log 4,即y ≥-2.。