17.1勾股定理测试题
人教版八年级下册数学 17.1 勾股定理 同步习题(含答案)
17.1 勾股定理同步习题知识点1 勾股定理1.如图,以直角三角形的三边a,b,c为边或直径,分别向外作等边三角形,半圆,等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形个数是()A.1B.2C.3D.42.若一个直角三角形的两直角边的长分别为a,b,斜边长为c,则下列关于a,b,c的关系式中不正确的是()A.b2=c2-a2B.a2=c2-b2C.b2=a2-c2D.c2=a2+b23.一直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长为()A.5B. 7C.2D.5或74.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为()A.5B.6C.8D.105.在△ABC中,AB=10,AC=2,BC边上的高AD=6,则另一边BC等于()A.10B.8C.6或10D.8或106.在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE的长是()A.4.8B.4.8或3.8C.3.8D.5知识点2 勾股定理与面积的关系7.如图,字母B所代表的正方形的面积是()A.12B.13C.144D.1948.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为3和4,则b的面积为()A.3B.4C. 5D.79.如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是()A.48B.60C.76D.8010.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是()A.13B.26C.47D.94易错点考虑问题不全面而漏解(分类讨论思想)11.若一个直角三角形的三边长分别为a,b,c,且a2=9,b2=16,则c2为()A.25B.7C.7或25D.9或16提升训练考查角度1 利用勾股定理求直角三角形中的边长12.如图,在△ABC中,CD⊥AB于D,AC=4,BC=3,DB=.(1)求DC的长;(2)求AB的长.考查角度2 利用勾股定理求三角形的面积13.在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.如图,作AD⊥BC于D,设BD=x,用含x的代数式表示CD→根据勾股定理,利用AD作为“桥梁”,建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长,再计算三角形面积探究培优拔尖角度1 利用勾股定理解非直角三角形问题(倍长中线法)14.如图,在△ABC中,D为AC边的中点,且DB⊥BC,BC=4,CD=5.(1)求DB的长;(2)求△ABC中BC边上的高.拔尖角度2 利用勾股定理解四边形问题(补形法)15.如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=6,CD=4,求: (1)AB的长;(2)四边形ABCD的面积.参考答案解：因为直角三角形的三边为a,b,c,所以应用勾股定理可得a2+b2=c2.第一个图形中,首先根据等边三角形的面积的求法,表示出3个等边三角形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.第二个图形中,首先根据圆的面积的求法,表示出3个半圆形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.第三个图形中,首先根据等腰直角三角形的面积的求法,表示出3个等腰直角三角形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.第四个图形中,首先根据正方形的面积的求法,表示出3个正方形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.2.【答案】C3.【答案】D解：当两直角边长分别为3和4时,斜边长为=5;当斜边长为4时,另一条直角边长为=.故选D.4.【答案】C5.【答案】C解：根据题意画出图形,如图①所示,AB=10,AC=2,AD=6,在Rt△ABD和Rt△ACD中,根据勾股定理得BD==8,CD==2,此时BC=BD+CD=8+2=10;如图②所示,AB=10,AC=2,AD=6,在Rt△ABD和Rt△ACD中,根据勾股定理得BD==8,CD==2,此时BC=BD-CD=8-2=6,则BC的长为6或10.故选C.6.【答案】A解：如图,过A点作AF⊥BC于F,连接AP,因为在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,所以BF=4,所以在Rt△ABF中,AF2=AB2-BF2=9,所以AF=3,所以×8×3=×5×PD+×5×PE,即12=×5(PD+PE),解得PD+PE=4.8.7.【答案】C8.【答案】D解：利用勾股定理求出正方形的边长为10,阴影部分的面积为正方形面积与直角三角形面积之差.10.【答案】C11.错解:A诊断:容易忽略a,c为直角边长,b为斜边长这种情况,故很容易错选A.正解:C解题策略:解答此题要用分类讨论思想.此题有两种情况:a,b为直角边长,c为斜边长和a,c为直角边长,b为斜边长,利用勾股定理即可求解.12.解:(1)在Rt△BCD中,DC2=BC2-BD2=32-=,所以DC=.(2)在Rt△ACD中,AD2=AC2-CD2=42-=,所以AD=,所以AB=AD+BD=+=5.13.解:在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,设BD=x,则CD=14-x,由勾股定理得AD2=AB2-BD2=152-x2,AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2,所以152-x2=132-(14-x)2,解得x=9.在Rt△ABD中,AD===12.所以S△ABC=BC·AD=×14×12=84.14.解:(1)∵DB⊥BC,BC=4,CD=5,∴BD==3.(2)如图,延长BD至E,使DE=BD,连接AE.∵D是AC的中点,∴AD=DC.在△BDC和△EDA 中,∴△BDC≌△EDA(SAS),∴∠DAE=∠DCB,∴AE∥BC.∵BD⊥BC,∴BE⊥AE.∴BE为△ABC中BC边上的高,∴BE=2BD=6.15.解:(1)如图,延长AD,BC交于点E,在Rt△ABE中,∠A=60°,∴∠E=30°.在Rt△CDE中,CD=4,∴CE=2CD=8,∴BE=BC+CE=6+8=14.设AB=x,则有AE=2x,根据勾股定理得:x2+142=(2x)2,解得x=,则AB=.(2)在Rt△CDE中,∠CDE=90°,∴DE===4.∴S=S△ABE-S△CDE 四边形ABCD =·AB·BE-·CD·DE=××14-×4×4=.。
人教版八年级下册17.1 勾股定理 练习题(含答案)
17.1 勾股定理练习题一、选择题1.如图所示，某公司举行周年庆典，准备在门口长25m，高7m的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为3m，则一共需购买________m2的红地毯. ( C)A. 21B. 75C. 93D. 962如图所示,若∠A=60°,AC=20 m,则BC大约是(结果精确到0.1m) ( B)A.34.64 mB.34.6 mC.28.3 mD.17.3 m3.如图所示,字母B所代表的正方形的面积是( C)A.12B.13C.144D.1944.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上的一点，AD＝BD＝2，AB＝，则AC的长为( A )5.如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为( C )A.3米B.4米C.5米D.6米6.湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为( )A.50米B.120米C.100米D.130米7．若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16 cm,那么第三边上的高为( D)A. 12 cmB. 10 cmC. 8 cmD. 6 cm二、填空题8.在ABC中,C=90°,(1)若c=10,a:b=3:4,则a=__6__,b=__8_.(2)若a=9,b=40,则c=___41___.9.在 ABC中, C=90°,若AC=6,CB=8,则ABC面积为__24__,斜边为上的高为___4.8__.10.在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)若a=3,b=4,则c=5;(2)若b=6,c=10,则a=8;(3)若a=5,c=13,则b=12;(4)若a=1.5,b=2,则c= 2.5.11、已知：数7和24，请你再写一个整数，使这些数恰好是一个直角三角形三边的长，则这个数可以是2512.如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面9 m处折断，树顶端落在离树底部12 m处，则大树折断之前的高度为____24____m.三、解答题13.如图所示,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.(1)求DE的长; (2)求△ADB的面积.解:(1)∵AD平分∠CAB，DE⊥AB,∠C=90°，∴CD=DE.∵CD=3，∴DE=3.(2)在Rt△ABC中,由勾股定理得，14.如图，已知长方形ABCD中，AB＝8 cm，BC＝10 cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.15、如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上，求证：AD2-AB2=BD·CD16、如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A 与B 重合，折痕为DE ，若已知AC=10cm ，BC=6cm,你能求出CE 的长吗？解：连结BE由已知可知：DE 是AB 的中垂线，∴AE=BE设AE=xcm ，则EC=(10－x)cm在Rt △ABC 中，根据勾股定理：BE 2=BC 2+EC 2x 2=62＋ (10－x)2解得x=6.8∴EC=10－6.8=3.2cm解得x=6.8∴EC=10－6.8=3.2cm。
2021年人教版八年级下册17.1《勾股定理》同步培优卷(含答案)
2021年人教版八年级下册17.1《勾股定理》同步培优卷一．选择题1．如图所示，点B，D在数轴上，OB＝3，OD＝BC＝1，∠OBC＝90°，以D为圆心，DC 长为半径画弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的实数是（）A．B．+1C．﹣1D．不能确定2．如图，在Rt△ABC中，分别以三角形的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝9，S2＝16，则S3的值为（）A．7B．10C．20D．253．如图，在行距、列距都是1的的4×4方格网中，将任意连接两个格点的线段称作“格点线”，则“格点线”的长度不可能等于（）A．B．C．D．4．如图，OC平分∠AOB，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点若OM＝4，OP＝5，则PN的最小值为（）A．2B．3C．4D．55．已知Rt△ABC中，∠C＝90°．若a+b＝14cm，c＝12cm，则Rt△ABC的面积是（）A．13cm2B．26cm2C．48cm2D．52cm26．直角三角形中，有两边的长分别为3和4，那么第三边的长的平方为（）A．25B．14C．7D．7或257．如图，甲、乙、丙三个直角三角形中，斜边最长的是（）A．甲B．乙C．丙D．一样长8．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，两直角边长及斜边上的高分别为a，b，h，则下列关系式成立的是（）A．B．C．h2＝ab D．h2＝a2+b2二．填空题9．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为（1，﹣3），那么点P到原点O的距离OP的长度为．10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝6，AD＝3，那么BD ＝．11．如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝20，AH＝12，那么FG＝．12．已知点A（3，3），B（0，t），C（7，0），且AB＝AC，则t＝．13．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在AB边上，若△ACD为以AC为腰的等腰三角形，则DC的长为．14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度由A向B运动，设运动时间为t秒（t＞0）．在运动过程中，当t为时，△BCP为等腰三角形．三．解答题15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，AB＝5，AD＝2．（1）求CD的长；（2）求四边形ABCD的面积．16．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD∥AC，交∠ACB的平分线CD于点D，CD交BC于点E．（1）求证：BC＝BD；（2）若AC＝3，AB＝6，求CD的长．17．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．18．三角板是我们学习数学的好帮手．将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，若AC＝2，求CD的长．19．如图，△ABC中，AC＝21，BC＝13，点D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16．（1）求证：BD⊥AC；（2）若点E是AB边上的动点，连接DE，求线段DE的最小值．20．如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝8cm，CB＝6cm，D为动点，沿着C→A→B→C的路径运动（再次到达C点则停止运动），点D的运动速度为2cm/秒，设点D运动时间为t秒．（1）当点D在AC上运动时，若DC＝BC，则t＝；（2）若点D与△ABC某一顶点的连线平分△ABC的周长，求t的值．答案一．选择题1．解：由题意可得：BD＝4，BC＝1则CD＝＝，A点对应的实数为：﹣1，选：C．2．解：在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，由正方形面积公式得S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，∵S1＝9，S2＝16，∴S3＝S1+S2＝9+16＝25．选：D．3．解：∵＝＝，可能是“格点线”的长度，选项A不符合题意；∵＝＝，可能是“格点线”的长度，选项B不符合题意；∵＝3，可能是“格点线”的长度，选项C不符合题意；∵＝，不可能是“格点线”的长度，选项D符合题意；选：D．4．解：∵PM⊥OB于点M，OM＝4，OP＝5，∴PM＝3，当PN⊥OA时，PN的值最小，∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，∴PM＝PN，∵PM＝3，∴PN的最小值为3．选：B．5．解：∵∠C＝90°，∴a2+b2＝c2＝144，∴（a+b）2﹣2ab＝144，∴196﹣2ab＝144，∴ab＝26，∴S△ABC＝ab＝13cm2．选：A．6．解：分两种情况：①当3和4为两条直角边长时，由勾股定理得：第三边长的平方＝斜边长的平方＝32+42＝25；②当4为斜边长时，第三边长的平方＝42﹣32＝7；综上所述：第三边长的平方是7或25．选：D．7．解：由勾股定理可知甲、乙、丙三个直角三角形中，斜边的平方分别为：甲：（2018+2019）2+20202；乙：（2018+2020）2+20192；丙：（2019+2020）2+20182．∵（2018+2019）2+20202﹣[（2018+2020）2+20192]＝40372+20202﹣40382﹣20192＝（40372﹣40382）+（20202﹣20192）＝（4037+4038）（4037﹣4038）+（2020+2019）（2020﹣2019）＝﹣8075+4039＝﹣4036＜0，∴甲的斜边的小于乙的斜边；∵（2018+2020）2+20192﹣[（2019+2020）2+20182]＝40382+20192﹣40392﹣20182＝（40382﹣40392）+（20192﹣20182）＝（4038+4039）（4038﹣4039）+（2019+2018）（2019﹣2018）＝﹣8077+4037＝﹣4040＜0，∴乙的斜边的小于丙的斜边，∴斜边最长的是丙．选：C．8．解：设斜边为c，根据勾股定理得出c＝，∵ab＝ch，∴ab＝•h，即a2b2＝a2h2+b2h2，∴＝+，即．选：B．二．填空题9．解：∵点P的坐标为（1，﹣3），点O为坐标原点，∴OP＝＝．答：点P到原点O的距离OP的长度为．答案为：．10．解：在Rt△ACD中，CD＝＝＝3，在Rt△BCD中，BC＝＝，在Rt△ABC中，BC＝＝，∴＝，解得，BD＝9，答案为：9．11．解：∵△ABH≌△BCG，∴BG＝AH＝12，∵四边形EFGH都是正方形，在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：BH＝．∴FG＝GH＝BH﹣BG＝16﹣12＝4，答案为：4．12．解：依题意，得＝．解得t＝7或t＝﹣1．答案是：7或﹣1．13．解：①当AC＝CD时，∵AC＝6，∴CD＝6时，△ACD是以AC为腰的等腰三角形；②当AC＝AD′时，过点C作CE⊥AB于点E，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵•AC•BC＝•AB•CE，∴EC＝∴AE＝＝＝，∴ED′＝AD′﹣AE＝6﹣＝，∴CD′＝＝＝，综上所述，CD的长为6或．答案为：6或．14．解：当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，可分三种情况：①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，如图1，∵PC＝PB，∴∠B＝∠PCB，∵∠ACB＝90°，∴∠PCB+∠ACP＝90°，∠B+∠A＝90°，∴∠A＝∠ACP，∴AP＝PC，∴PB＝AB，即5﹣2t＝，解得：t＝，②PB＝BC，即5﹣2t＝3，解得：t＝1，③PC＝BC，如图3，过点C作CD⊥AB于点D，∵∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝＝＝4（cm）．∵S△ABC＝×AB×CD，∴CD＝＝，∴BD＝＝，∵PC＝BC，CD⊥AB，∴BD＝BP，∴＝×（5﹣2t），解得：t＝，∴当t＝1或或时，△BCP为等腰三角形．答案为：1或或．三．解答题15．解：（1）延长BA、CD交于点H，如图所示：∵∠B＝∠ADC＝90°，∠C＝60°，∴∠ADH＝90°，∠H＝30°，∴HA＝2AD＝4，CH＝2BC，∴DH＝＝＝2，BH＝HA+AB＝4+5＝9，∵BH＝＝＝BC＝9，∴BC＝3，∴CH＝2BC＝6，∴CD＝CH﹣HD＝6﹣2＝4；（2）四边形ABCD的面积＝△BCH的面积﹣△ADH的面积＝×3×9﹣×2×2＝．16．（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝×90°＝45°，∵BD∥AC，∴∠D＝∠ACD＝45°，∴∠D＝∠BCD，∴BC＝BD；（2）解：在Rt△ACB中，BC＝＝＝3，∴BD＝3，∵∠BCD＝∠D＝45°，∴∠CBD＝90°，∴CD＝＝＝3．17．解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则CD＝14﹣x，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，∴152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，解得：x＝9，∴AD＝12，∴S△ABC＝BC•AD＝×14×12＝84．18．解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝4．∴BC＝＝＝2，∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝30°，∴BM＝BC＝，∴CM＝＝3，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝，∴CD＝CM﹣MD＝3﹣．19．解：（1）∵AC＝21，AD＝16，∴CD＝AC﹣AD＝5，∵BD2+CD2＝122+52＝169＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴BD⊥AC．（2）当DE⊥AB时，DE最短，∵AB＝＝20，∵•AD•DB＝•AB•DE，∴DE＝＝9.6，∴线段DE使得最小值为9.6．20．解：（1）∵DC＝BC＝6，∴2t＝6，解得：t＝＝3，当点D在AC上运动时，若DC＝BC，则t＝3；答案为：3；（2）△ABC中，∠C＝90°，CA＝8，CB＝6，∴AB＝＝10，∴△ABC的周长＝6+8+10＝24，①当点D在CA上运动时，如图1，BC+CD＝AB+AD，即6+2t＝，解得：t＝3；②当点D在AB上运动时，如图2，AC+AD＝BD+BC，即2t＝，解得：t＝6；③当点D在BC上运动时，如图3，AB+BD＝CD+AC，即2t﹣8＝，解得：t＝10；综上所述，t的值是3或6或10．。
2019-2020学年八年级数学下学期《17.1勾股定理》测试卷及答案解析
2019-2020学年八年级数学下学期《17.1勾股定理》测试卷一．选择题（共6小题）1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．【解答】解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵4×+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9B．6C．4D．3【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴4×ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3，故选：D．【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．3．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，则点C到斜边AB的距离是（）A．B．C．5D．【分析】根据勾股定理求出BC，根据三角形的面积公式计算．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，∴CB＝＝，△ABC的面积＝×AC×BC＝×AB×CD，即×3×＝×4×CD，解得，CD＝，故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理，直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．4．在△ABC中，若∠ABC＝90°，则下列正确的是（）A．BC＝AB+AC B．BC2＝AB2+AC2C．AB2＝AC2+BC2D．AC2＝AB2+BC2【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，∴AC2＝AB2+BC2．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．5．在Rt△ABC中，斜边AB＝2，则AB2+AC2+BC2等于（）A．2B．4C．8D．16【分析】根据勾股定理求出AC2+BC2的值，再整体计算．【解答】解：根据勾股定理，得：AC2+BC2＝AB2＝4，故AB2+AC2+BC2＝4+4＝8，故选：C．【点评】熟练运用勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．6．如图，AD⊥CD，CD＝4，AD＝3，∠ACB＝90°，AB＝13，则BC的长是（）A．8B．10C．12D．16【分析】直接利用勾股定理得出AC的长，进而求出BC的长．【解答】解：∵AD⊥CD，CD＝4，AD＝3，∴AC＝＝5，∵∠ACB＝90°，AB＝13，∴BC＝＝12．故选：C．【点评】此题主要考查了勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．二．填空题（共4小题）7．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．（1）若a＝5，b＝12，则c＝13；（2）若c＝41，a＝40，则b＝9；（3）若∠A＝30°，a＝1，则c＝2，b＝；（4）若∠A＝45°，a＝1，则b＝1，c＝．【分析】（1）（2）直接运用勾股定理即可得出答案；（3）根据30°角对的直角边等于斜边一半可得出c，利用勾股定理可得出b；（4）此时直角三角形是等腰直角三角形a＝b＝1，利用勾股定理可得出c的值．【解答】解：（1）c＝＝13；（2）b＝＝9；（3）∵∠A＝30°，a＝1，∴c＝2a＝2，∴b＝＝；（4）∵∠A＝45°，a＝1，∴a＝b＝1，∴c＝＝．故答案为：13；9；2、；1、．【点评】本题考查了勾股定理的知识含30°角的直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的表达式．8．如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF＝2，DE＝8，则AB的长为10．【分析】在直角△ABF中，利用勾股定理进行解答即可．【解答】解：依题意知，BG＝AF＝DE＝8，EF＝FG＝2∴BF＝BG﹣BF＝6，∴直角△ABF中，利用勾股定理得：AB＝＝＝10．故答案是：10．【点评】此题考查勾股定理的证明，解题的关键是得到直角△ABF的两直角边的长度．9．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为5或．【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：＝；②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：＝5；综上，第三边的长为：5或．故答案为：5或．【点评】此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．10．已知等腰三角形的底角是30°，腰长为2，则它的周长是6．【分析】作AD⊥BC于D，根据直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出BD，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：作AD⊥BC于D，∵AB＝AC，∴BD＝DC，在Rt△ABD中，∠B＝30°，∴AD＝AB＝，由勾股定理得，BD＝＝3，∴BC＝2BD＝6，∴△ABC的周长为：6+2+2＝6+4，故答案为：6+4．【点评】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．三．解答题（共5小题）11．已知Rt△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b．（1）∠C＝90°，若a＝5，b＝12，求c．（2）若a＝3，b＝5，求c．【分析】（1）根据勾股定理求出即可；（2）分为两种情况，再根据勾股定理求出即可．【解答】解：（1）由勾股定理得：c＝＝＝13；（2）当边c为直角边，边b为斜边时，c＝＝＝4；当边c为斜边，c＝＝＝；即c＝4或．【点评】本题考查了勾股定理的应用，能灵活运用定理进行计算是解此题的关键，用了分类讨论思想．12．（1）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝12，b＝5，则c＝13；（2）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若c＝10cm，b＝6cm，则a＝8cm；（3）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a：b＝3：4，c＝20，则a2＝144，b2＝256．【分析】（1）（2）直接利用勾股定理计算即可；（3）设a＝3k，b＝4k，则c＝5k，构建方程求出k，可得a，b的值即可解决问题；【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，a＝12，b＝5，∴c＝＝13；故答案为13．（2）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，c＝10cm，b＝6cm，∴a＝＝8（cm）；故答案为8cm．（3）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，a：b＝3：4，c＝20，设a＝3k，b＝4k，则c＝5k，∴5k＝20，∴k＝4，∴a＝12，b＝16，∴a2＝144，b2＝256，故答案为144，256．【点评】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用方程是思想解决问题，属于中考常考题型．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．（1）求AB的长；（2）求△ABC的面积；（3）求CD的长．【分析】（1）根据勾股定理计算；（2）根据三角形的面积公式计算即可；（3）根据三角形的面积公式计算．【解答】解：（1）由勾股定理得，AB＝＝25；（2）△ABC的面积＝×BC×AC＝150；（3）由三角形的面积公式可得，×AB×CD＝150则CD＝＝12．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．14．如图，AB⊥MN于A，CD⊥MN于D．点P是MN上一个动点．（1）如图①．BP平分∠ABC，CP平分∠BCD交BP于点P．若AB＝4，CD＝6．试求AD的长；（2）如图②，∠BPC＝∠BP A，BC⊥BP，若AB＝4，求CD的长．【分析】（1）过点P作PE⊥BC于E，过点B作BF⊥CD于F，利用角平分线性质定理可得AP＝PE，再由全等三角形的判定方法可知Rt△ABP≌Rt△EBP，同理可证Rt△CEP ≌Rt△CDP，进而可得AB＝BE，CE＝CD，即BC＝10，易证四边形ABFD是矩形，所以BF＝AD，利用勾股定理求出BF的长即可；（2）如图2，延长CB和P A，记交点为点Q．根据等腰△QPC“三合一”的性质证得QB＝BC；由相似三角形（△QAB∽△QDC）的对应边成比例得到，则CD＝2AB，问题得解；【解答】解：（1）过点P作PE⊥BC于E，过点B作BF⊥CD于F，∵AB⊥MN于A，CD⊥MN于D，BP平分∠ABC，∴AP＝PE，在Rt△ABP和Rt△EBP中，，∴Rt△ABP≌Rt△EBP，∴AB＝BE＝4，同理可得CE＝CD＝6，∴BC＝BE+CE＝10，易证四边形ABFD是矩形，∴BF＝AD，CF＝6﹣4＝2，∴AD＝＝4；（2）延长CB和P A，记交点为点Q．∵∠BPC＝∠BP A，BC⊥BP，∴QB＝BC（等腰三角形“三合一”的性质）．∵BA⊥MN，CD⊥MN，∴AB∥CD，∴△QAB∽△QDC，∴，∴CD＝2AB＝2×4＝8．【点评】本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形．15．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当t＝2秒时，求PQ的长；（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ 即可；（2）由题意得出BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解方程即可；（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ＝BQ时（图1），则∠C＝∠CBQ，可证明∠A＝∠ABQ，则BQ＝AQ，则CQ＝AQ，从而求得t；②当CQ＝BC时（图2），则BC+CQ＝12，易求得t；③当BC＝BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．【解答】（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm，BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，∵∠B＝90°，PQ＝＝＝2（cm）；（2）解：根据题意得：BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解得：t＝；即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形；（3）解：分三种情况：①当CQ＝BQ时，如图1所示：则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝5，∴BC+CQ＝11，∴t＝11÷2＝5.5秒．②当CQ＝BC时，如图2所示：则BC+CQ＝12∴t＝12÷2＝6秒．③当BC＝BQ时，如图3所示：过B点作BE⊥AC于点E，则BE ＝＝＝4.8（cm）∴CE ＝＝3.6cm，∴CQ＝2CE＝7.2cm，∴BC+CQ＝13.2cm，∴t＝13.2÷2＝6.6秒．由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．【点评】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．第11 页共11 页。
[数学]-专项17.1 勾股定理及其逆定理【九大题型】(举一反三)(人教版)(原版)
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专题17.1 勾股定理及其逆定理【九大题型】【人教版】【题型1 勾股定理的运用】 (1)【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】 (2)【题型3 勾股定理解勾股树问题】 (3)【题型4 勾股定理解动点问题】 (4)【题型5 勾股定理的验证】 (5)【题型6 直角三角形的判定】 (7)【题型7 勾股数问题】 (8)【题型8 格点图中求角的度数】 (9)【题型9 勾股定理及其逆定理的运用】 (10)【题型1 勾股定理的运用】【例1】（2022•和平区三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，则AC的长为（）A．5B．4C．3D．2【变式1-1】（2022春•上杭县期中）如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点，则BD的长为（）A ．32B ．74C ．2D ．52【变式1-2】（2022春•汉阳区期中）如图，在△ABC 中AB ＝AC ＝10，BC ＝16，若∠BAD ＝3∠DAC ，则CD ＝ ．【变式1-3】（2021秋•朝阳区校级期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝30，D 是AC 上一点，AD ：CD ＝25：7，且DB ＝DA ，过AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE +PF 长是 ．【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】【例2】（2022春•长沙月考）已知△ABC 中，AB ＝13，AC ＝15，BC 边上的高为12．则△ABC 的面积为（ ） A ．24或84B ．84C ．48或84D ．48【变式2-1】（2022春•宁津县期中）△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长是（ ） A ．42B ．32C ．42或32D ．42或37【变式2-2】（2022春•香河县期中）已知直角三角形两边的长为5和12，则此三角形的周长为（ ） A ．30B ．√119+17C ．√119+17或30D ．36【变式2-3】（2022春•海淀区校级期中）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，AB ＝5．点P 在直线AC 上，且BP ＝6，则线段AP 的长为 ．【题型3 勾股定理解勾股树问题】【例3】（2021秋•南关区期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（）A．4B．6C．8D．12【变式3-1】（2021秋•高新区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝（）A．184B．86C．119D．81【变式3-2】（2022春•泗水县期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（）A．2020B．2021C．2022D．2023【变式3-3】（2022春•张湾区期中）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（ ）A ．225B ．250C ．275D ．300【题型4 勾股定理解动点问题】【例4】（2021秋•开福区校级期末）如图，Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AB ＝25cm ，AC ＝7cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm /s 的速度运动，设运动时间为ts ，当△APB 为等腰三角形时，t 的值为（ ）A ．62596或252B ．252或24或12C ．62596或24或12 D ．62596或252或24【变式4-1】（2021秋•宛城区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝40cm ，AC ＝30cm ，动点P 从点B 出发沿射线BA 以2cm /s 的速度运动．则当运动时间t ＝ s 时，△BPC 为直角三角形．【变式4-2】（2022春•蚌山区校级期中）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A ﹣B ﹣C 运动．设点P 的运动时间为t 秒（t ＞0）． （1）BC 的长是 ．（2）当点P刚好在∠BAC的角平分线上时，t的值为．【变式4-3】（2022春•河东区期中）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止．（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？【题型5 勾股定理的验证】【例5】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC=12b2+12ab．又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB=12c2+12a（b﹣a）∴12b2+12ab=12c2+12a（b﹣a）∴a2+b2＝c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．【变式5-1】（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．【变式5-2】（2021秋•朝阳区期末）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×12ab，即（a+b）2＝c2+4×12ab，所以a2+b2＝c2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．【变式5-3】（2022春•寿光市期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积．（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝．【题型6 直角三角形的判定】【例6】（2022春•绥宁县期中）若△ABC的三边长分别为a、b、c，下列条件中能判断△ABC是直角三角形的有（）①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B=12∠C，⑤a2＝（b+c）（b﹣c），⑥a：b：c＝5：12：13．A．3个B．4个C．5个D．6个【变式6-1】（2022春•赣州月考）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．在△ABC中，若a=35c，b=45c．则△ABC为直角三角形B．三边长的平方之比为1：2：3C．三内角之比为3：4：5D．三边长分别为a，b，c，c＝1+n2，a＝n2﹣1，b＝2n（n＞1）【变式6-2】（2022春•汉滨区期中）若△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣c）2＝b2﹣2ac，则（）A．∠A为直角B．∠B为直角C．∠C为直角D．△ABC不是直角三角形【变式6-3】（2022春•开州区期中）下列是直角三角形的有（）个①△ABC中a2＝c2﹣b2②△ABC的三内角之比为3：4：7③△ABC的三边平方之比为1：2：3④三角形三边之比为3：4：5A．1B．2C．3D．4【题型7 勾股数问题】【例7】（2022春•滑县月考）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．a68101214…b815243548…c1017263750…则当a＝24时，b+c的值为（）A．162B．200C．242D．288【变式7-1】（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）．【变式7-2】（2022春•白云区期末）（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．【变式7-3】（2022•石家庄三模）已知：整式A＝n2+1，B＝2n，C＝n2﹣1，整式C＞0．（1）当n＝1999时，写出整式A+B的值（用科学记数法表示结果）；（2）求整式A2﹣B2；（3）嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．【题型8 格点图中求角的度数】【例8】（2021秋•伊川县期末）如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接AE，AF，则∠EAF的度数是．【变式8-1】（2022•惠山区一模）如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠P AB+∠PBA＝°．【变式8-2】（2022春•武侯区校级期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠P AB﹣∠PCD＝．【变式8-3】（2022春•孝南区期中）如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BCA+∠DCE＝．【题型9 勾股定理及其逆定理的运用】【例9】（2021秋•蓝田县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是CA的延长线上一点，连接BD．（1）若AC＝8，AD＝17，BD＝15，判断AB与BD的位置关系，并说明理由；（2）若∠D＝28°，∠DBC＝121°，求∠DAB的度数．【变式9-1】（2022春•陵城区期中）如图，在△ABC中，AD、BE分别为边BC、AC的中线，分别交BC、AC于点D、E．（1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°；（2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长．【变式9-2】（2021春•当涂县期末）如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）试说明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．【变式9-3】（2022春•汉阳区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD ＝10，AD＝10√2．（1）求四边形ABCD的面积．（2）求对角线BD的长．。
17.1.1 勾股定理 人教版数学八年级下册分层作业(含答案)
人教版初中数学八年级下册17.1.1 勾股定理同步练习夯实基础篇一、单选题：1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是（）A．a2＋b2＝c2B．b2＋c2＝a2C．a2＋c2＝b2D．c2﹣a2＝b2【答案】C【分析】利用勾股定理即可得到结果．【详解】解：在△ABC中，∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形，则根据勾股定理得：．故选：C．【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（）A．6B．9C．12D．18【答案】D【分析】根据，利用勾股定理可得，据此求解即可．【详解】解：如图示，∴在中，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长，，满足是解题的关键．3．如图，是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，大直角三角形的斜边和直角边长分别是13，12．则图中阴影部分的面积是（）A．16B．25C．144D．1【答案】B【分析】根据勾股定理可进行求解【详解】解：如图所示：根据勾股定理得出：，，阴影部分面积是，故选：B．【点睛】此题考查勾股定理，解决此题的关键是清楚阴影部分的两个正方形的面积和等于的平方．4．直角三角形两边长为3，4，则第三边长为（）A．5B．C．5或D．不能确定【答案】C【分析】分两种情况，3，4为直角边时和4为斜边时，利用勾股定理求解即可．【详解】解：当3，4为直角边时，第三边的长为，当4为斜边时，第三边的长为，则第三边的长为或，故选：C【点睛】此题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方，注意分类讨论．5．如图，在中，，，垂足为D ．若，，则的长为（ ）A ．2.4B ．2.5C ．4.8D ．5【答案】A【分析】先由勾股定理求出的长，再运用等面积法求得的长即可．【详解】解：∵在中，，，，∴，∴，即．故选A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、等面积法等知识点，掌握运用等面积法求三角形的高是解题的关键．6．等腰三角形的腰长为5，底边上的中线长为4，它的面积为（ ）A ．24B ．20C ．15D ．12【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质可知上的中线，同时也是边上的高线，根据勾股定理求出的长即可求得．【详解】解：如图所示，∵等腰三角形中，，是上的中线，，同时也是上的高线，，，，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质．解题关键是得出底边上的中线是上的高线．7．在中，，，，则的长为（ ）A．3B．3或C．3或D．【答案】A【分析】在中，已知与的长，利用勾股定理求出的长即可；【详解】解：在中，，，，由勾股定理得：，∴的长为3；故选：A【点睛】本题考查了勾股定理，能灵活运用定理进行计算是解题的关键．二、填空题：8．在中，，，，则____．【答案】4【分析】直接根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵在中，，，，．故答案为：4．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方是解答此题的关键．9．一直角三角形的两直角边长满足，则该直角三角形的斜边长为________．【答案】【分析】根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性，得出的值，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵，∴，解得：，∴该直角三角形的斜边长为，故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，勾股定理，得出的值是解题的关键．10．在中，，．则的面积为______．【答案】60【分析】画出图形，过点作于，利用等腰三角形的三线合一性质得到，再利用勾股定理求得即可求解．【详解】解：如图，过点作于，则，∵，，∴，∴在中，，∴，故答案为：60．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质解答的关键．11．如图，在中，．以、为边的正方形的面积分别为、．若，，则的长为______．【答案】3【分析】根据正方形的面积求得，，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵以、为边的正方形的面积分别为、，，，∴，，在中，，由勾股定理得：，故答案为：3．【点睛】本题考查勾股定理、正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解答的关键．12．若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长的平方为_____．【答案】25或16##16或25【分析】先根据非负数的性质求出两直角边长、，已知两直角边求斜边可以根据勾股定理求解．【详解】解：，，解得：，，，，解得，，①当a，b为直角边，该直角三角形的斜边长的平方为，②4也可能为斜边，该直角三角形的斜边长的平方为16，故答案为：25或16．【点睛】本题考查了非负数的性质，根据勾股定理计算直角三角形的斜边，正确的运用勾股定理是解题的关键．13．如图，为中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于，若，，则的长为________．【答案】【分析】连接，根据已知条件，先证明，再根据全等三角形的性质，求得的长度，进而勾股定理即可求解．【详解】解：如图，连接．∵为中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于，∴，∴在和中，，∴，∴，又∵，∴．在中，，∴故答案为:．【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定（）以及全等三角形的性质，勾股定理，连接是解决本题的关键．14．如图，Rt中，，现将沿进行翻折，使点A刚好落在上，则_____．【答案】##2.5【分析】设，将沿进行翻折，使点A刚好落在上，则．则直角中根据勾股定理，即可得到一个关于的方程，即可求得．【详解】解：设，则在Rt中，．则．在Rt中：．即：．解得：【点睛】此题考查了勾股定理的运用，根据勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题是解决本题的关键．三、解答题：15．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，求AC的长．解：在Rt△ABD中，AB＝3，BD＝2，由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝32－22＝5.在Rt△ACD中，CD＝1，由勾股定理得16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，CD⊥AB，垂足为D，CD＝8.求AC的长．解∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.在Rt△BCD中，设AC＝AB＝x，则AD＝x－6.在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2，即x2＝(x－6)2＋82，解得x＝，即AC的长为.17．、、是的三边，且有．若是直角三角形，求的值．【答案】或【分析】先根据完全平方公式把原式变形为，可得，，再分两种情况讨论，即可求解．【详解】解：∵∴∴∴∴，，解得：，，当，为直角边时，；当为斜边时，；综上所述，的值为或．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，勾股定理，熟练掌握完全平方公式的应用，勾股定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键．18．已知：如图，在中，，点是中点，于点，求证：．【答案】见解析【分析】在、、中，运用三次勾股定理，然后利用等量代换即可证明结论．【详解】证明：在中，，在中，，∴，又∵是中点，∴，∴，即：．【点睛】题目主要考查勾股定理的重复运用，熟练掌握勾股定理且准确应用等量代换是解题关键．能力提升篇一、单选题：1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥BA交BC于点D，过点D作DE⊥BC 交AC于点E，则AE的长为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得的长，再求出的长，即可确定的长．【详解】解：，，，，，设，则，根据勾股定理，可得，解得或（舍去），，，，，，，设，则，根据勾股定理，得，或（舍去），，，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．2．如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【分析】利用可证，故①正确；由全等三角形的性质可得出，，求出，即可得到②正确；根据梯形的面积公式可得③正确；根据列式，可得④正确；整理后可得，即⑤正确．【详解】解：∵，，∴，∴，在和中，，∴，故①正确；∴，，∵，∴，∵，∴，故②正确；∵，，∴梯形的面积是，故③正确；∵，∴，故④正确；整理得：，∴该图可以验证勾股定理，故⑤正确；正确的结论个数是5个，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，梯形的面积计算，三角形的面积计算，勾股定理等知识，解答时证明三角形全等是关键．3．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的结论是（ ）A．①②B．②④C．①②③D．①③【答案】C【分析】由题意知，①﹣②可得2xy＝45记为③，①+③得到，由此即可判断．【详解】解：由题意知，①﹣②可得2xy＝45记为③，①+③得到，∴，∴．∵x＞y，由②可得x-y=2由③得2xy+4＝49∴结论①②③正确，④错误．故选：C．【点睛】本题考查勾股定理中弦图的有关计算，准确找出图中的线段关系，并利用完全平方公式求出各个式子的关系是解题的关键．二、填空题：4．如图，点在边长为5的正方形内，满足，若，则图中阴影部分的面积为______．【答案】19【分析】根据勾股定理求出，分别求出和正方形的面积，即可求出答案．【详解】解：∵在中，，，，由勾股定理得：，∴正方形的面积是，∵的面积是，∴阴影部分的面积是，故答案为：19．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能力．5．如图，在中，，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC的延长线于点E．若，，则EC的长为______．【答案】【分析】连接，根据垂直平分线的性质得出，再由勾股定理确定，设，则，利用勾股定理求解即可．【详解】解：连接，如图所示：∵的垂直平分线交于点D，交的延长线于点E，∴，∵，，，∴，设，则，在中，，即，解得：，∴，故答案为：．【点睛】题目主要考查垂直平分线的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．6．如图，已知直角三角形的周长为24，且阴影部分的面积为24，则斜边的长为______．【答案】10【分析】根据阴影部分面积等于以为直径的半圆面积之和加上的面积减去以为直径的半圆面积进行求解即可．【详解】解；∵直角三角形的周长为24，∴，,∴，∵阴影部分的面积为24，∴，∴∴∴，∴，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式，熟知相关知识是解题的关键．三、解答题：7．已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有，(1)如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论；(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系；(3)若中，，，求出图4中阴影部分的面积．【答案】(1)，证明见解析(2)(3)24【分析】（1）由扇形的面积公式可知，，，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，即S1＋S2＝S3；（2）根据（1）中的求解即可得出答案；（3）利用（2）中的结论进行求解．（1）解：①，根据勾股定理可知：，；（2）解：由（1）知，同理根据根据勾股定理：，从而可得；（3）解：由（2）知．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用．。
初中数学人教版八年级下册第十七章17.1勾股定理
初中数学·人教版·八年级下册——第十七章勾股定理17.1 勾股定理基础闯关全练拓展训练1.在△ABC中,∠C=90°,2∠A=∠B,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则a∶b∶c等于()A.1∶2∶1B.1∶√2∶1C.1∶√3∶2D.1∶2∶√3答案C设∠A=x°,则∠B=2x°,∵△ABC中∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,即x°+2x°=90°,解得x=30,∴∠A=30°,∠B=60°,设a=1,∴c=2,由勾股定理得b=√c2-a2=√4-1=√3,∴a∶b∶c=1∶√3∶2.故选C.2.如图是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形,已知③号正方形的面积是1,那么①号正方形的面积是()A.4B.8C.16D.32答案C如图,根据勾股定理知④号正方形的边长为√12+12=√2,则②号正方形的边长为√(√2)2+(√2)2=2,⑤号正方形的边长为√22+22=2√2,则①号正方形的边长为√(2√2)2+(2√2)2=4,所以①号正方形的面积为4×4=16.故选C.3.(2016广西防城港期中)如图,长方体的长、宽、高分别为4cm,3cm,12cm,则BD'=.答案13cm解析连接BD,则BD=√42+32=5(cm),故BD'=√52+122=13(cm).4.(2016江西宜春高安期中)已知Rt△ABC中,∠C=90°,a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积等于.答案24cm2解析∵Rt△ABC中,∠C=90°,a+b=14cm,c=10cm,∴由勾股定理得a2+b2=c2,即(a+b)2-2ab=c2,∴196-2ab=100,即ab=48,则Rt△ABC的面积为1ab=24cm2.2能力提升全练拓展训练1.图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.在Rt△ABC中,若直角边AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图乙所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是.答案76解析在题图乙的四个大直角三角形中,两直角边长分别为5,12,所以斜边长为13,所以这个风车的外围周长为4×13+4×6=76.2.(2014山东潍坊中考)我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,所以该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是尺.答案25解析由题意可知葛藤绕圆柱五周到达点B,故先把圆柱平均分成五段,将最下边一段圆柱的侧面展开图画出,并连接其对角线,则该对角线的长即为每段的最短长度,为√32+42=5(尺),所以葛藤的最短长度为5×5=25尺,故答案为25.3.(2016山东聊城莘县期中)如图,已知直角△ABC的两直角边长分别为6,8,分别以其三边为直径向外作半圆,则图中阴影部分的面积为.答案24解析在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,根据勾股定理得:AB=√AC2+BC2=10,则S阴影=S半圆AC+S半圆BC+S△ABC-S半圆AB=322π+12×42×π+12×6×8-522π=24.4.如图,在长方形ABCD中,AD=4,DC=3,将△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF(点A、B、E在同一直线上),连接CF,则CF=.答案5√2解析△AEF是由△ADC旋转得来的,可得△AEF≌△ADC,所以∠EAF=∠DAC,AF=AC.则△CAF是等腰直角三角形,所以CF=√FA2+CA2,又AC=√DA2+DC2=√42+32=5,所以CF=√52+52=5√2.三年模拟全练拓展训练1.(2016广东深圳翰林学校第一次月考,15,★★☆)如图,长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B到点C的距离为5 cm,一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从A点爬到B点,需要爬行的最短距离是.答案25cm解析(1)当长方形NFGC与长方形CGAD展开在一个面上时,AB=√BD2+AD2=√152+202=25(cm);(2)当长方形NMDC与长方形CDAG展开在一个面上时,AB=√AG2+BG2=√102+252=5√29(cm);(3)当长方形NCGF与长方形FGAE展开在一个面上时,AB=√AC2+BC2=√302+52=5√37(cm).因为25<5√29<5√37,所以蚂蚁需要爬行的最短距离是25cm.2.(2016河北保定模拟,23,★★☆)(1)如图①所示,分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,写出S1,S2,S3之间的关系(不必证明);(2)如图②,分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,确定它们的关系并证明;(3)如图③,分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,确定它们的关系并证明.解析(1)S2+S3=S1.(2)S2+S3=S1.证明:S3=π8AC2,S2=π8BC2,S1=π8AB2,∵三角形ABC是直角三角形,∴AC2+BC2=AB2,∴S2+S3=π8(BC2+AC2)=π8AB2=S1,∴S2+S3=S1.(3)S2+S3=S1.证明:S1=√34AB2,S2=√34BC2,S3=√34AC2,∵三角形ABC是直角三角形,∴AC2+BC2=AB2,∴S2+S3=√34(BC2+AC2)=√34AB2=S1,∴S2+S3=S1.五年中考全练拓展训练1.(2016湖南株洲中考,8,★☆☆)如图,以直角三角形的边a、b、c为边,向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形个数为()A.1B.2C.3D.4答案D根据勾股定理可得a2+b2=c2.(1)第一个图形中,首先根据等边三角形的面积的求法,表示出3个三角形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.(2)第二个图形中,首先根据圆的面积的求法,表示出3个半圆的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.(3)第三个图形中,首先根据等腰直角三角形的面积的求法,表示出3个等腰直角三角形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.(4)第四个图形中,首先根据正方形的面积的求法,表示出3个正方形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.故满足S1+S2=S3的图形个数为4.2.(2016浙江杭州中考,9,★☆☆)已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(m<n),过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形.若这两个三角形都为等腰三角形,则()A.m2+2mn+n2=0B.m2-2mn+n2=0C.m2+2mn-n2=0D.m2-2mn-n2=0答案C根据题意画图,如图.在Rt△ABC中,n>m且△ABE和△AEC均为等腰三角形,∴AB=BE=m,则AE=EC=n-m,根据勾股定理可得AE=√2AB,即n-m=√2m,两边平方整理得,m2+2mn-n2=0,故选C.3.(2014广西钦州中考,12,★☆☆)如图,在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中,从A点到B点只能沿图中的线段走,那么从A点到B点的最短路程的走法共有()A.1种B.2种C.3种D.4种答案C根据题意得出最短路径如图所示,最短路程为√22+22+1=2√2+1,则从A点到B点的最短路程的走法共有3种.故选C.4.(2013四川雅安中考,17,★★☆)在平面直角坐标系中,已知点A(-√5,0),B(√5,0),点C在坐标轴上,且AC+BC=6,写出满足条件的所有点C的坐标.答案(0,2),(0,-2),(-3,0),(3,0)解析如图,①当点C位于y轴上时,设C(0,b).则√(√5)2+b2+√(√5)2+b2=6,解得b=2或b=-2,此时C(0,2)或C(0,-2).②当点C位于x轴上时,设C(a,0).则|-√5-a|+|a-√5|=6,即2a=6或-2a=6,解得a=3或a=-3,此时C(-3,0)或C(3,0).综上所述,满足条件的所有点C的坐标是(0,2),(0,-2),(-3,0),(3,0).核心素养全练拓展训练1.(2014浙江温州中考改编)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感.他惊喜地发现:当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时,都可以用“面积法”来证明.下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程:将两个全等的直角三角形按图①所示方式摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2.图①图②证明:连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a.∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=12b2+12ab,又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=12c2+12a(b-a),∴12b2+12ab=12c2+12a(b-a).∴a2+b2=c2.请参照上述证法,利用图②完成下面的证明.将两个全等的直角三角形按图②所示方式摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2.证明:连接.∵S五边形ACBED=,又∵S五边形ACBED=,∴.∴a2+b2=c2.证明连接BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a,∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=12ab+12b2+12ab,又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=12ab+12c2+12a(b-a),∴12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12a(b-a),∴a2+b2=c2.2.如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC+CE;(2)请问点C满足什么条件时,AC+CE的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式√x2+4+√(12-x)2+9的最小值.解析(1)√(8-x)2+25+√x2+1.(2)当A、C、E三点共线时,AC+CE的值最小.(3)如图所示,作BD=12,过点B作AB⊥BD,过点D作ED⊥BD,且AB=2,ED=3,连接AE交BD于点C.设BC=x,AE的长即为代数式√x2+4+√(12-x)2+9的最小值.过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F,得长方形ABDF,则AB=DF=2,AF=BD=12.所以AE=√122+(3+2)2=13.即√x2+4+√(12-x)2+9的最小值为13.。
新人教版八年级下17.1勾股定理练习题
17.1勾股定理练习题一、选择题1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC=6，BC=8，则AB 的长为（ ） A.6 B.8 C.10 D.122.在Rt △ABC 中，斜边AB=1，则222AC BC AB ++的值是（ ） A.2 B.4 C.6 D.83. 如图所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10 cm ，∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是______ cm （结果不取近似值）.4.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程（π=3）是（ ）.A20cm B10cm C14cm D 无法确定5.如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是 （ ）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对 6. 如果Rt △的两直角边长分别为n 2－1，2n （n >1），那么它的斜边长是（ ）A.2nB.n+1C.n 2－1D.n 2+17.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ）．A ．12B ．7＋7C ．12或7＋7D ．以上都不对 8.△ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ）A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+ 9.在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ）A ．42B ．32C ．42 或 32D ．37 或 3310.在Rt ∆ABC 中，∠C=900，周长为60，斜边与一条直角边的比为13:5，则这个三角形的三边 长分别是( )A ．5,4,3 B.13，12，5 C. 10，8，6 D.26，24，1011.如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）A.90°B.60°C.45°D.30°12. 如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）A.4B.6C.16D.5513. 如图，AB ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC 的长为（ ）.A.12B.7C.5D.13DC BACBCBA 4题图 3题图 5题图 11题图 12题图 13题图14. 将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ） A.3 B.6 C. 23 D. 2615. 如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF=3，则AB 的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.616. 直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）2ddC.2dD.d 17.下列说法正确的是（ ）A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则222c b a =+B.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则222c b a =+C.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则222c b a =+D.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则222c b a =+． 18. △ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33 二、填空题1.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．2.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是_________3. 某楼梯的侧面视图如图4所示，其中4AB =米，30BAC ∠=°，90C ∠=°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 ．4.已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为 ，面积为 .5. 如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是__________Bl 3l 2l 1CBAA 14题图 15题图 2题图 3题图 5题图 6题图6. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是_____________.7. 某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要 元.8. 种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做 ㎝。
17.1第1课时勾股定理及拼图验证
课时作业(七)
3．一直角三角形的两条直角边长分别为 3 和 4，下列说法中 不正确的是( C )
A．斜边长为 5 B．三角形的周长为 12 C．第三边长为 25 D．三角形的面积为 6
[解析] 根据勾股定理，求得斜边长为 5，
所以其周长为 12，面积为 6，不正确的是 C.
A．a2＋b2＝c2 B．a2＋c2＝b2 C．a2－b2＝c2 D．a2－c2＝b2
[解析] 由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，可求得∠C＝90°，故应选 A.
课时作业(七)
2．如图 K－7－1 所示，在边长为 1 个单位长度的小正方形组
成的网格中，点 A，B 都是格点，则线段 AB 的长度为( A )
图 K－7－1
课时作业(七)
4．如图 K－7－2，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是∠BAC 的平分 线．已知 AB＝5，AD＝3，则 BC 的长为( C )
A．5 B．6 C．8 D．10
图 K－7－2
[解析] ∵AB＝AC，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD.
∵AB＝5，AD＝3，∴BD＝ AB2－AD2＝4，∴BC＝2BD＝8.故选 C.
课时作业(七)
(1)请你猜想：当△ABC 为钝角三角形(∠C＞90°)时，a2＋b2 与 c2
的大小关系； (2)证明你的猜想．
图 K－7－14
课时作业(七)
解：(1)猜想：当△ABC 为钝角三角形(∠C＞90°)时，a2＋b2 与 c2 的大 小关系为 a2＋b2＜c2.
(2)证明：如图，过点 A 作 AH⊥BC 交 BC 的延长线于点 H，设 CH＝y，则 HB＝a＋y.
• 9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.9.1221.9.12Sunday, September 12, 2021 • 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。18:06:2618:06:2618:069/12/2021 6:06:26 PM • 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.1218:06:2618:06Sep-2112-Sep-21 • 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。18:06:2618:06:2618:06Sunday, September 12, 2021
勾股定理测试题及答案
勾股定理测试题及答案一、选择题（每题 5 分，共 30 分）1、直角三角形的两直角边分别为 5 厘米、12 厘米，则斜边长是（）A 13 厘米B 14 厘米C 15 厘米D 16 厘米答案：A解析：根据勾股定理 a²＋ b²＝ c²（其中 a、b 为直角边，c 为斜边），可得斜边 c ＝√（5²＋ 12²) ＝√（25 ＋ 144) ＝√169 ＝ 13 厘米。
2、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A 3，4，6B 5，12，13C 5，11，12D 2，3，4答案：B解析：选项 A，3²＋ 4²＝ 9 ＋ 16 ＝ 25，6²＝ 36，25 ≠ 36，所以不能组成直角三角形；选项 B，5²＋ 12²＝ 25 ＋ 144 ＝ 169，13²＝169，所以能组成直角三角形；选项 C，5²＋ 11²＝ 25 ＋ 121 ＝ 146，12²＝ 144，146 ≠ 144，所以不能组成直角三角形；选项 D，2²＋ 3²＝4 ＋ 9 ＝ 13，4²＝ 16，13 ≠ 16，所以不能组成直角三角形。
3、一个直角三角形，两直角边长分别为 3 和 4，下列说法正确的是（）A 斜边长为 25B 三角形的周长为 12C 斜边长为 5D 三角形的面积为 6答案：C解析：根据勾股定理，斜边长为√（3²＋ 4²) ＝√25 ＝ 5，选项 A 错误，选项 C 正确；三角形的周长为 3 ＋ 4 ＋ 5 ＝ 12，选项 B 错误；三角形的面积为 1/2 × 3 × 4 ＝ 6，选项 D 正确。
4、若直角三角形的三边长分别为 2，4，x，则 x 的值可能有（）A 1 个B 2 个C 3 个D 无数个答案：B解析：当 x 为斜边时，x ＝√（2²＋ 4²) ＝√20 ＝2√5；当 4 为斜边时，x ＝√（4² 2²) ＝√12 ＝2√3。
人教版初中数学八年级下册第17章《勾股定理》测试题
A B 第11题图人教版初中数学八年级下第17章《勾股定理》测试题一、选择题(30分)1. 在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ，且2()()a b a b c +-=，则（ ） （A ）A ∠为直角 （B ）C ∠为直角 （C ）B ∠为直角 （D ）不是直角三角形 2.下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）（A ）1、2、3 （B ）2223,4,5 （C 1,2,3 （D 3,4,53. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形. 4. .已知△ABC 各边均为整数，且4AC =，3BC =，AC AB ，则AB 的长为 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．5或6 5. 在Rt△ABC 中，∠A =90º，a=15，b=12，则第三边c 的长为（ ） A ．413 B ．9 C ．413或9 D ．都不是6.有一块苗圃如图所示，已知AB ＝3米，BC ＝4米，CD ＝12米，DA ＝13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（ ）A 、24平方米B 、36平方米C 、48平方米D 、72平方米7 如图所示，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分与正方形ABCD 的面积比是（ ） A 、3：4 B 、5：8 C 、9：16 D 、1：28. 如图所示，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长是无理数的边数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、39. 在△ABC 中，AB =20，AC =15，AD 为BC 边上的高，且AD =12，则△ABC 的周长为 （ ） A ．42 B ．60 C ．42或60 D ．2510如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是（ ） A ．172 B ．52 C ．24 D ．7二、填空题(30分)11. 在长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的外部, 一只蚂蚁从顶点A 沿纸箱表面爬到顶点B 点，那么它所行的最短路线的长是12. 将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数 , , .13. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5m 处折断倒下，倒下后树顶落在树根部大约12m 处。
2020-2021学年人教版八年级下册 17.1 勾股定理 小测
17.1勾股定理小测1.直角三角形的面积为30cm ，一直角边为12cm ，则斜边为 。
2．在△ABC 中，∠C ＝90°，（l ）若 a ＝5，b ＝12，则 c ＝ （2）若c ＝41，a ＝9，则b ＝3.小张为测量校园内池塘A ，B 两点的距离，他在池塘边选定一点C ，使∠ABC ＝90°，并测得AC 长26m ，BC 长24m ，则A ，B 两点间的距离为 m ．4.正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上的一动点， 则DN+MN 的最小值为 。
5．暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝. 他们登陆后先往东走8km ，又往北走2km ，遇到障碍后又往西走3km ，再折向北走6km 处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为 km ．6.分别以下列四组为一个三角形的三边的长：①6、8、10；②5、12、13；③8、15、17；④7、8、9，其中能构成直角三角形的有（ ）.A.4组B.3组C.2组D.1组7．等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则面积为（ ）．A ．30 cm 2B ．130 cm 2C ．120 cm 2D ．60 cm 28．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ）A ．42B ．32C ．42 ＆ 32D ．37 ＆ 339．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝12，CB ＝5，M 、N 在AB 上且AM ＝AC ，BN ＝BC 则MN 的长为（ ）A ．2B ．26C ．3D ．410．直角三角形的两直角边的长分别是5和12，则其斜边上的高的长为（ ） NM B C DA 32168埋宝藏点登陆点A ．6B ．8C ．1380D ．1360 11.如图,一个无盖的圆柱纸盒：高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃,要爬行的最短路程(取3)是( )A.20cm;B.10cm;C.14cm;D.无法确定.12.一个三角形三条边的比为5∶12∶13，且周长为60cm ，则它的面积为多少？13.如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M 、O 、Q 三城市的沿江高速，已知沿江高速的建设成本是100万元/千米，该沿江高速的造价预计是多少？14.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1m ，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m ，求这里的水深是多少米？15.如图，要从电线杆离地面8m处向地面拉一条长10m的电缆，求地面电缆固定点A到电线杆底部B的距离。
人教版数学八年级下册17.1勾股定理试题试卷含答案
第十七章勾股定理17.1 勾股定理17.1.1 勾股定理1．一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，则它的第三边长为（ ）A B．4C．5D．52．在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为5，那么这个直角三角形的面积是（ ）A．30B．40C．50D．603．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（ ）A．14B．13C．D．4．下面图形能够验证勾股定理的有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个5．如图，用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，直角边的长分别为a和b，斜边长为c．可选取若干直角三角形纸板拼图，并根据拼图验证勾股定理．请画出一种示意图并写出验证过程．纠错笔记________________________________________________________________________第十七章勾股定理17.1 勾股定理17.1.1 勾股定理1．【答案】C=5，故选C．2．【答案】A【解析】由勾股定理得，另一条直角边长为12=，∴这个直角三角形的面积为5×12÷2＝30，故选A．3．【答案】D【解析】∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时，小正方形的边长＝24﹣10＝14，∴EF==D．4．【答案】A【解析】第一个图形，中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣412⨯ab；化简得c2＝a2+b2，可以证明勾股定理．第二个图形，中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣412⨯ab；化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理．第三个图形，梯形的面积为12（a+b）（a+b）＝212⨯⨯ab12+c2，化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理．第四个图形，由图形可知割补前后的两个小直角三角形全等，则正方形的面积＝两个直参考答案及解析角三角形的面积的和，即（b 2b a --）（a 2b a -+）12=ab 12+c 12⋅c ，化简得a 2+b 2＝c 2，可以证明勾股定理，故选A ．5．【答案】示意图如图所示．证明如下：∵大正方形的面积可表示为（a +b ）2，大正方形的面积也可表示为：c 2+412⨯ab ，∴（a +b ）2＝c 2+412⨯ab ，即a 2+b 2+2ab ＝c 2+2ab ，∴a 2+b 2＝c 2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．17.1.2 勾股定理的应用1．张大爷离家出门散步，他先向正东走了30 m，接着又向正南走了40 m，此时他离家的距离为（ ）A．30 m B．40 m C．50 m D．70 m2．如图，有两棵树，一棵高9米，另一棵高4米，两树相距12米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？（ ）A．11B．12C．13D．143．如图，一个高1.5米，宽3.6米的大门，需要在相对的顶点间用一条木板加固，求这条木板的长．4．如下图，为了测量一湖泊的宽度，小明在点A，B，C分别设桩，使AB⊥BC，并量得AC ＝52m，BC＝48m，请你算出湖泊的宽度应为多少米？5．如下图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，一头放在离墙0.7米处，另一头靠墙，如果梯子的顶部滑下0.4米，梯子的底部向外滑出多远？纠错笔记________________________________________________________________________17.1.2 勾股定理的应用1．【答案】C=50 m ，故选C ．2．【答案】C【解析】建立数学模型，两棵树的高度差AC ＝9﹣4＝5 m ，间距AB ＝DE ＝12 m ，根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离BC ==13 m ．故选C ．3．=3.9（米）答：这条木板的长为3.9（米）．4．【答案】AB ===20．答：湖泊的宽度为20 m ．5．【答案】∵BC ==2.4，∴当一直角边为BC ﹣0.4＝2，斜边为2.5=1.5．故梯子的底部向外滑出1.5﹣0.7＝0.8（米）．答：梯子的底部向外滑出0.8米．参考答案及解析。
勾股定理测试题及答案
勾股定理测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 勾股定理适用于哪种三角形？A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形答案：B2. 如果直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A3. 一个直角三角形的斜边长度为13，一条直角边为5，另一条直角边的长度是多少？A. 12B. 10C. 8D. 6答案：A4. 勾股定理的公式是什么？A. a + b = cB. a * b = cC. a^2 + b^2 = c^2D. a^2 - b^2 = c^2答案：C5. 如果一个三角形的三边长分别为7、24和25，那么这个三角形是直角三角形吗？A. 是B. 不是答案：A二、填空题（每题2分，共10分）6. 直角三角形中，如果一条直角边长为x，另一条直角边长为y，斜边长为z，根据勾股定理，我们有________。
答案：x^2 + y^2 = z^27. 如果一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么斜边的长度是________。
答案：108. 在一个直角三角形中，如果斜边的长度是20，一条直角边长为15，另一条直角边的长度是________。
答案：5√3 或25√3/39. 勾股定理的发现归功于古希腊数学家________。
答案：毕达哥拉斯10. 勾股定理在数学中也被称为________定理。
答案：毕达哥拉斯定理三、解答题（每题5分，共20分）11. 一个直角三角形的斜边长度为17，一条直角边长为8，求另一条直角边的长度。
答案：根据勾股定理，另一条直角边的长度为√(17^2 - 8^2) =√(289 - 64) = √225 = 15。
12. 如果一个直角三角形的两条直角边长分别为9和12，求斜边的长度。
答案：根据勾股定理，斜边的长度为√(9^2 + 12^2) = √(81 + 144) = √225 = 15。
13. 一个直角三角形的斜边长度为25，一条直角边长为15，求另一条直角边的长度。
17.1勾股定理3
2
有5个边长为1的正方形，排列形式如图，请把它 们分割后拼接成一个大正方形。
这节课你学到了什么？ 你还有什么收获或疑惑，与同学们交流一下。
O B A D2
（4）OF的长
G
1
1
C
0
1
2
E
3
4
探究一：你能在数轴上画出表示
13 的点吗？
L
B
解：
2
A
D
0
1
2
C 3 13 4 17
你能归纳一下，如何画出表示 13 的点？ 你能在数轴上表示 17 的点吗？试一试！
2.如图为9乘9的 正方形网格以格 点为端点,你能画 出一条长为10的 线段吗? 你能画一条长度 为 5 的线段吗？ 长为 10 呢？ 这个网格中最长能 6 画多长的线段呢？ 这个网格中长为10的 线段共可画出几条？
变式三：若A(5,-1),B(- 2,4), 则AB距离是多少？
A
O C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A x
变式四：若 Ax1 , y1 , Bx2 , y2 ， 则AB的距离是多少？ 归纳：平面内两点 Ax1, y1 , Bx2 , y2 之间的距离是：
AB
x1 x2 y1 y2
1.已知直角三角形ABC中，∠C=900AB=c,BC=a,AC=b, (1) 已知a=1,b=1,求c (2).已知a=1,b=2,求c (3).已知a=2,b=3,求c
2 5
13
B
a
C
c
A b 2.在如图的数轴中，进行一系列的操作。求： F （3）OD的长及E点表示的数 （1）OB的长
（2）C点表示的数
5
17.1 勾股定理(第一课时 勾股定理的证明)(练习)(解析版)八年级数学下册(人教版)
第十七章勾股定理17.1 勾股定理（第一课时勾股定理的证明）精选练习答案一、单选题（共10小题)1．（2020·山东青岛市·八年级期中）若实数m、n满足|m﹣3|+4n-＝0，且m、n恰好是Rt的两条边长，则的周长是（）A．5 B．57C．12 D．12或7【答案】D【分析】根据非负数的性质分别求出m、n，分4是直角边、4是斜边两种情况，根据勾股定理、三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】n-0，∵|m﹣4n-0，∴|m﹣3|＝04∴m﹣3＝0，n﹣4＝0，解得，m＝3，n＝4，当422+5，34则△ABC的周长＝3+4+5＝12，当422-7，43则△ABC的周长＝7＝7故选：D．2．（2020·吉林长春市·八年级期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代《周髀算经》中早有记载．如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分图形的面积为3，则较小两个正方形重叠部分图形的面积为（）A ．2B ．3C ．5D ．6【答案】B【分析】 由图①结合勾股定理可得三个正方形面积之间的关系，在图②中，可知两个小正方形的面积与阴影部分面积之和减去大正方形的面积即可得到重叠部分的面积．【详解】设以直角三角形三边为边长的正方形面积分别为S 1，S 2，S 3，大小正方形重叠部分的面积为S ，则由勾股定理可得：S 1+S 2=S 3，在图②中，S 1+S 2+3-S=S 3，∴S=3，故选：B ．3．（2020·广东清远市·八年级期末）下列各组数是勾股数的是（ ）A ．4，5，6B ．5，7，9C ．6，8，10D ．10，11，12【答案】C【分析】根据勾股数的定义：满足222+=a b c 的三个正整数a 、b 、c 叫做勾股数，逐一进行判断即可．【详解】解：A. 222456+≠，故此选项错误；B. 222579+≠，故此选项错误；C. 2226810+=，故此选项正确；D. 222101112+≠，故此选项错误．故选：C ．4．（2020·福建福州市·八年级期末）在平面直角坐标系中，点P(1-，3)到原点的距离是( ) A ．10 B ．4 C ．22 D ．2 【答案】A【分析】根据平面直角坐标系中，两点间的距离公式，即可求解．【详解】∵P(1-，3)，原点坐标为（0，0），∴点P(1-，3)到原点的距离=22(10)(30)10--+-=，故选A ．5．（2020·吉林长春市·八年级期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 是线段AB 的垂直平分线与BC 的交点，连结AD ．若CD ＝2，BD ＝4，则AC 的长为( )A ．4B ．3C ．3D 3【答案】C【分析】 根据线段垂直平分线性质得出AD=BD ，再用勾股定理即可求出AC ．【详解】解：∵点D 是线段AB 的垂直平分线与BC 的交点，BD=4，∴AD=BD=4，∴2222AC AD CD；4223故选：C．6．（2020·张掖市期中）已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）A．12 B．C．12或D．以上都不对【答案】C【详解】设Rt△ABC的第三边长为x，①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，，此时这个三角形的周长=3+4+5=12；②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，=，此时这个三角形的周长．故选C7．（2020·江门市期中）在△ABC中，AB=10，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）A．10 B．8 C．6或10 D．8或10【答案】C【详解】分两种情况：在图①中，由勾股定理，得==;BD8===;CD2∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10.在图②中，由勾股定理，得==;BD8===;CD2∴BC＝BD―CD＝8―2＝6.故选C.8．（2020·河北张家口市·八年级期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若2)21a b +=（，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【详解】 如图所示，∵（a+b ）2=21∴a 2+2ab+b 2=21，∵大正方形的面积为13，2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面积为13﹣8=5．故选C ．9．（2020·山东泰安市·八年级期中）如图，直线L 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为1和9，则b 的面积为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【详解】 试题分析：运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC=∠DCE ，然后证明△ACB ≌△DCE ，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．解：由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90°；∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即∠BAC=∠DCE，在△ABC和△CED中，，∴△ACB≌△CDE（AAS），∴AB=CE，BC=DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，即S b=S a+S c=1+9=10，∴b的面积为10，故选C．10．（2020·伊宁市期中）若一个直角三角形的两直角边的长为12和5，则第三边的长为（）A．13119B．13或15 C．13 D．15【答案】C【分析】直角三角形中斜边最长，结合已知数据，利用勾股定理可求出第三边的长.【详解】当12，522+=12513.故第三边的长为13.故选:C.二、填空题（共5小题)11．（2020·南丹县期中）已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．【答案】57【解析】试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：22-=；437②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：22435；∴第三边的长为：7或5．∆的周12．（2020·黑龙江绥化市期中）在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则ABC长为_______________．【答案】32或42【分析】根据题意画出图形，分两种情况：△ABC是钝角三角形或锐角三角形，分别求出边BC，即可得到答案【详解】当△ABC是钝角三角形时，∵∠D=90°，AC=13，AD=12，∴2222CD AC AD=-=-=,13125∵∠D=90°，AB=15，AD=12，∴2222BD AB AD=-=-=,15129∴BC=BD-CD=9-5=4，∴△ABC的周长=4+15+13=32；当△ABC是锐角三角形时，∵∠ADC=90°，AC=13，AD=12，∴2222=-=-=，13125CD AC AD∵∠ADB=90°，AB=15，AD=12，∴2222=-=-=，15129BD AB AD∴BC=BD-CD=9+5=14，∴△ABC的周长=14+15+13=42；综上，△ABC的周长是32或42，故答案为：32或42.13．（2020·广西防城港市·八年级期中）如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是__________cm2．【答案】17【解析】试题解析：根据勾股定理可知，∵S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，∴S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49．∴正方形D的面积=49-8-10-14=17（cm2）.14．（2020·山东菏泽市·八年级期中）已知一直角三角形两直角边的长分别为6cm和8cm，则第三边上的高为________.【答案】4.8cm【分析】先由勾股定理求出斜边的长，再用面积法求解.【详解】解：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6cm ，BC =8cm ，CD ⊥AB ， 则2210AB AC BC =+=（cm ）， 由1122ABC S AC BC AB CD ==， 得6810CD ⨯=，解得CD =4.8(cm).故答案为4.8cm.15．（2020·广东韶关市·八年级期中）平面直角坐标系中，点()3,4P -到原点的距离是_____．【答案】5【分析】作PA x ⊥轴于A ，则4PA =，3OA =，再根据勾股定理求解．【详解】作PA x ⊥轴于A ，则4PA =，3OA =．则根据勾股定理，得5OP =．故答案为5．三、解答题（共2小题）16．（2020·湖南株洲市期末）如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于E ，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE 的长；（2）求△ADB 的面积．【答案】（1）DE=3；（2）ADB S 15∆=.【分析】（1）根据角平分线性质得出CD=DE ，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB 的长，然后计算△ADB 的面积.【详解】（1）∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，∠C=90°，∴CD=DE ，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt △ABC 中，由勾股定理得：2222AB AC BC 6810=+=+=， ∴△ADB 的面积为ADB 11S AB DE 1031522∆=⋅=⨯⨯=. 17．（2020·宿州期中）在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，CD ＝12，AD ＝13．（1）求AC 的长；11/1 （2）求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）5；（2）36【分析】（1）由勾股定理可得：22AC AB BC =+，从而可得答案；（2）先证明ACD △是直角三角形，再利用四边形的面积等于两个直角三角形的面积和，从而可得答案．【详解】解：（1）∵∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，∴2222435AC AB BC =+=+=；（2）由（1）知，AC ＝5，∵CD ＝12，AD ＝13，∴AC 2+CD 2＝22251216913+===AD 2，∴ACD △是直角三角形，∠ACD ＝90°，∵AB ＝4，BC ＝3，∠B ＝90°，AC ＝5，CD ＝12，∠ACD ＝90°，∴四边形ABCD 的面积是，即四边形ABCD 的面积是36．。
17.1勾股定理课时训练2022-2023学年人教版八年级下册数学
勾股定理一、选择题1.一同学从A 地沿北偏西60°方向走了100ｍ到达B 地，又从B 地向正南方向走了200ｍ到C 地，此时该同学距离A 地（ ）A ．50ｍB ．100ｍC ．150ｍD ．1003ｍ2.把直角三角形的两直角边同时扩大为原来的3倍，则斜边扩大为（ ）倍；A 、3；B 、6；C 、3；D 、9;3.直角三角形的两直角边的长分别是5和12，则其斜边上的高的长为（ ）A ．6B ．8C ．1380 D ．1360 二、填空题4.△ABC 中， a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，∠C ＝90°， ①若a ＝7，b ＝24， 则c ＝______；②若b ＝8，c ＝17， 则a ＝______；③若a ＝9，c ＝41， 则b ＝______.5.在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。
6.小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。
7.13＝9＋4，即()213＝()29＋﹝ ﹞2；若以 和 为直角三角形的两直角边长，则斜边长为13。
同理以 和 （均填正整数）为直角三角形的两直角边长，则斜边长为17。
8.把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好．9.在直角三角形ABC 中，AC=4，BC=3，在斜边AB 上任取一点M ，则AM 小于AC 的概率为__________；三、解答题10.已知直角三角形的斜边长为37，一条直角边为2，求另一条直角边长.11.在数轴上作出表示20的点12.△ABC 中，∠C=900;①a=8，b=6，求c 的长；②c=34，a ：b=8：15，求a ，b 两边的长；③b=6，c 比a 大2，求c 边长；④已知a=5cm,b=12cm,求c 边上的高;13.已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，∠A=60°，CD=3，求线段AB 的长。
人教版数学八年级下册-17.1-勾股定理-同步练习
人教版数学八年级下册17.1 勾股定理 课堂练一、选择题1.如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB=5，BD=4，DC=2，则AC 等于（B ）A.13B.C.D.52．如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为30海里的A 处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，则此时轮船所在位置B 处与灯塔P 之间的距离为( D )A. 60海里B. 45海里3.一直角三角形的三边分别为2、3、x ，那么x 为（ C ）A. B. C.或 D.无法确定4. 右图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”,它解决的数学问题是( C )A. 黄金分割B. 垂径定理C. 勾股定理D. 正弦定理5.如图，是台阶的示意图.已知每个台阶的宽度都是20cm ，每个台阶的高度都是10cm ，连接AB ，则AB 等于（ B ）A.120cmB.130cmC.140cmD.150cm6.如图，每个小正方形的边长为1,A,B,C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ D ）A. 90°B. 60°C. 30°D. 45°7.如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形边长为7cm ，设正方形A 、B 、C 、D 、E 、F 面积分别为S A 、S B 、S C 、S D 、S E 、S F ，则下列各式正确有（ D ）个. ① S A +S B +S C +S D =49；② S E +S F =49；③ S A +S B +S F =49；④ S C +S D +S E =49A.1 B .2 C.3 D .48.如图，90ACB ∠=，AC BC =，BE CE ⊥，AD CE ⊥，垂足分别为E ，D ，13AC =，5BE =，则DE =（A ） A.7 B.8 C.9 D.109.图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ C ）A.51B.49C.76D.无法确定10.在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m，目测点到杆的距离为15 m，则目测点到杆顶的距离为(设目高为1 m)( B )．A．20m B．25mC．30m D．35m11.如图，圆柱底面半径为cm，高为9cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（ C ）A.12cmB.cmC.15 cmD.cm12.直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（ C ）A. B. C. D.二、填空题：13.在△ABC中，∠B=90度，BC=6，AC=8，则AB= .【答案】2.14. 我国古代有这样一道数学问题:枯木一根直立地上高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是尺.【答案】2515.如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为.【答案】﹣1﹣.16.如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC 交于点E，若AD＝BD，则折痕BE的长为________.【答案】417.如图，小巷左右两侧是竖直的墙.一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7m，顶端距离地面2.4m.若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2m，则小巷的宽度为m.【答案】2.218. 已知等腰三角形的一边长为10,面积为30,该三角形的周长为.【答案】10+2或20+2或20+6三、解答题：19.如图，已知AD是△ABC的高，∠BAC=60°，BD=2CD=2，试求AB的长.解：过点B作BE⊥AC于E，则.设AE=x，则.∵BD=2CD=2，∴BD=2，CD=1，BC=3.∴.由AB2﹣BD2=AD2=AC2﹣CD2，得.∴，，9x4﹣36x2+36=9x2﹣3x44x4﹣15x2+12=0，∴.又，所以不合题意.故，从而.20.如图,圆柱形玻璃杯的高为18cm,底面周长为24cm,在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为多少?【答案】如图:作A关于EF的对称点A',连接A'B,易知A'B的长为最短距离,由勾股定理得得A'B==20 (cm).21.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.（1）求证：CD=BE；（2）已知CD=2，求AC的长；（3）求证：AB=AC+CD.（1）证明：∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=45°，∵DE⊥AB，∴△BDE是等腰直角三角形，∴DE=BE.∵AD是△ABC的角平分线，∴CD=D E，∴CD=BE；（2）解：∵由（1）知，△BDE是等腰直角三角形，DE=BE=CD，∴DE=BE=CD=2，∴BD===2，∴AC=BC=CD+BD=2+2；（3）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴CD=DE.在Rt△ACD与Rt△AED中，∵，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AE=AC.∵由（1）知CD=BE，∴AB=AE+BE=AC+CD.22.在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D，求证：.解：连接AM，根据题意△ACM，△AMD，△BMD为直角三角形，由勾股定理得：①；②；.∵M是BC的中点，∴CM=BM，∴③分别把②，③代入①整理得：，所以.23.如图，一架梯子AB长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米.（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？解：（1）根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：AO===12（米）；答：这个梯子的顶端距地面有12米高；（2）梯子下滑了1米即梯子距离地面的高度为OA′=12﹣5=7（米），根据勾股定理：OB′===2（米），∴BB′=OB′﹣OB=（2﹣5）米答：当梯子的顶端下滑1米时，梯子的底端水平后移了（2﹣5）米.。
17.1勾股定理课时练2022-2023学年人教版八年级下册数学
勾股定理一、选择题1.已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A 、25B 、14C 、7D 、7或252.直角三角形的两直角边的长分别是5和12，则其斜边上的高的长为（ ）A ．6B ．8C ．1380D ．1360 3.一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( )A. 9分米B. 15分米C. 5分米D. 8分米4.下列说法正确的是（ ）A .若a 、b 、c 是三角形的三边长，则有a 2+b 2=c 2B .若a 、b 、c 是直角三角形的三边长，则有a 2+b 2=c 2C .若a 、b 、c 是直角三角形的三边长，且∠C =90°，则有a 2+b 2=c 2D .以上都不对二、填空题5.13＝9＋4，即()213＝()29＋﹝ ﹞2；若以 和 为直角三角形的两直角边长，则斜边长为13。
同理以 和 （均填正整数）为直角三角形的两直角边长，则斜边长为17。
6.把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好．7.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。
8.若△ABC 中,AB=13,AC=15,高AD=12,则BC 的长是 .9.下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。
(注：下列各图中的三角形均为直角三角形)A= y= B=10.有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。
11.如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是 米。
三、解答题12.已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。
13.已知点A （2,6），B （—4，—2）为平面直角坐标系中两点，求A,B 两点间的距离14.如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A 与B 重合，折痕为DE ，若已知AC=10cm ，BC=6cm,你能求出CE 的长吗？15.已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm 。
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一、选择题（每题5分）
1.直角三角形的斜边比一条直角边长2cm,另一条直角边为6cm，则它
的斜边长为（） A、4cm B、8cm C、10cm D、12cm
A．3
2D．3
4B．3C．3
3..三个正方形的面积如图1，正方形A的面积为（）
A．6 B．36 C．64 D．8
4.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（）
A、56
B、48
C、40
D、32
6.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
二、填空题（每题5分）
1.已知直角三角形的两直角边长分别为3cm和4cm，，则第三边长为
2、已知直角三角形的两边长分别为3cm和4cm，则第三边长为
3、直角三角形两直角边长分别为1和3，则它斜边上的高为____
4.在Rt△ABC中，∠C=90°若a∶b=3∶4，c=10则S Rt△ABC=。
5.在布置新年联欢会的会场时,小虎准备把同学们做的拉花用上,•他
搬来了一架高为2.5米的梯子,要想把拉花挂在高2.4米的墙上,小虎
应把梯子的底端放在距离墙________米处.
6.在△ABC中，∠C=900,，BC=60cm,CA=80cm,一只蜗牛从C点出发，以每分20cm
的速度沿CA-AB-BC的路径再回到C点，需要____分的时间.
三、解答题（每题8分）
.
1. 如图4为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要多少米?
2.如图2，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4米，高3米，长20米，棚的斜面用塑料布遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.
3.如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,•则这条小路的面积是多少?
4.有一块三角形的花圃ABC,现可直接测得∠A=30,AC=40m,BC=25m,•请你求出这块花圃的面积.
5．如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC •为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？•
3
C B A D
E F。