四川省开江中学高2012级理科数学第二轮复习 (1)

四川省开江中学高2012级理科数学第二轮复习专题二 三角函数、平面向量第一讲 三角函数的图象与性质(选择、填空题型)1．(2014·四川高考)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动 12 个单位长度B ．向右平行移动 12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度2．(2014·安徽高考)若将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．3．(2014·全国高考)若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．4．(2014·北京高考)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．1．六组诱导公式 2．三种函数的图象和性质3.三角函数的两种常见图象变换热点一 三角函数的概念、基本关系式和诱导公式 命题角度(1)三角函数的定义，如T1，T2；(2)利用诱导公式及同角三角函数的关系进行化简、求值，如T3，T4.1．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．－32 C.12 D.322．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a >0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，则sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β的值为________．3．若3cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos(π＋θ)＝0，则cos 2θ＋12sin 2θ的值是________． 4．(2014·江西九校联考)记a ＝sin(cos 2 010°)，b ＝sin(sin 2 010°)，c ＝cos(sin 2 010°)，d ＝cos(cos 2 010°)，则a 、b 、c 、d 中最大的是________．应用三角函数的概念和诱导公式应注意两点(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候，要注意分情况解决，若机械地使用三角函数的定义就会出现错误．(2)使用三角函数诱导公式常见的错误有两个：一个是函数名称，一个是函数值的符号．1．(2014·济南模拟)函数f (x )＝12x 2sin x ＋x cos x 的图象大致是( )A B C D2.已知函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(M ，ω，φ是常数，M >0，ω>0，0≤φ≤π)的部分图象如图所示，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么f (－1)＝( )A ．－2B ．－1C ．2D ．－1或23．(2014·湖州模拟)将函数y ＝3sin(3x ＋θ)的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移1个单位长度得到图象G ，若图象G 关于直线x ＝π4对称，则θ的值可能是( )A ．－2π3 B.2π3 C.π4 D.5π64．(2014·成都模拟)将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )、g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，则φ的值可以是( )A.5π3B.5π6C.π2D.π6在题3的条件下，若函数图象向右平移π6个单位长度后，图象关于y 轴对称，求θ的值．1．根据三角函数图象确定解析式应注意的问题在利用图象求三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关参数时，注意直接从图中观察振幅、周期，即可求出A 、ω，然后根据图象过某一特殊点求φ，若是利用零点值来求，则要注意ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，根据点在单调区间上的关系来确定一个k 的值，此时要利用数形结合，否则就易步入命题人所设置的陷阱．2．对称性的三个规律(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )解得，对称中心的横坐标由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )解得；(2)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )解得，对称中心的横坐标由热点二三角函数的图象与解析式命题角度(1)由函数解析式判断函数的图象，如T1； (2)由函数的图象特征求三角函数的解析式，如T2；(3)考查图象变换及其对称性，如T3，T4.ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )解得；(3)函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的图象的对称中心的横坐标由ωx ＋φ＝k π2(k ∈Z )解得．1．(2014·江西师大附中模拟)若f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋m 对任意实数t 都有f ⎝⎛⎭⎫t ＋π4＝f (－t )，且f ⎝⎛⎭⎫π8＝－1，则实数m 的值等于( )A ．±1B ．－1或3C ．±3D ．－3或12．(2014·吉林模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)－3cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，其图象相邻的两条对称轴方程为x ＝0与x ＝π2，则( )A ．f (x )的最小正周期为2π，且在(0，π)上为单调递增函数B ．f (x )的最小正周期为2π，且在(0，π)上为单调递减函数C ．f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为单调递增函数 D ．f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为单调递减函数 3．(2014·赤峰模拟)已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，74C.⎣⎡⎦⎤34，94D.⎣⎡⎦⎤32，74 4．设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝⎛⎭⎫π2－x 满足f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最大值和最小值分别为________，________.在题4中，求函数f (x )的最小正周期及单调递减区间．三角函数的单调性、周期性及最值的求法 (1)三角函数单调性的求法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调区间的一般思路是令ωx ＋φ＝z ，则y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(2)三角函数周期性的求法：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的周期为T ＝π|ω|.(3)三角函数值域的求法：在求最值(或值域)时，一般要先确定函数的定义域，然后结合三角函数性质可得函数f (x )的最值热点三 三角函数的性质命题角度(1)考查三角函数的奇偶性与对称性，如T1； (2)考查三角函数的周期性、单调性与最值等，如T2，T3，T4.[例1] (1)关于函数y ＝sin|2x |＋|sin 2x |，下列说法正确的是( )A ．是周期函数，周期为πB ．关于直线x ＝π4对称C ．在⎣⎡⎦⎤－π3，7π6上最大值为3 D ．在⎣⎡⎦⎤－π2，－π4上是单调递增的 (2)(2014·开封模拟)已知方程|sin x |x＝k 在(0，＋∞)上有两个不同的解α、β(α<β)，则下列结论正确的是( )A ．sin 2α＝2αcos 2αB ．cos 2α＝2αsin 2αC ．sin 2β＝2βcos 2βD ．cos 2β＝2βsin 2β(3)(2014·淄博模拟)给定方程⎝⎛⎭⎫12x＋sin x －1＝0，现有四个命题： ①该方程没有小于0的实数解；②该方程有有限个实数解；③该方程在(－∞，0)内有且只有一个实数解；④若x 0是该方程的实数解，则x 0>－1. 其中真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)函数图象解决此类问题的关键是正确画出函数的图象，同时要注意掌握以下性质：①y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象在其对称轴处取到最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值之间相距半个周期；②图象与x 轴的交点为其对称中心，相邻两中心的距离也是半个周期．1．在⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的实数满足cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1，则实数k 的取值范围是________．2．方程1x －1＝2sin πx 在区间[－2 012,2 014]上所有根之和等于________．[例2] (1)若S n ＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin n π7(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( ) A ．16 B ．72 C ．86 D ．100(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)处，此时圆上一点P 的位置在(0,0)处，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP ―→的坐标为________．(3)(2014·南京模拟)已知函数f (x )＝x sin x ，现有下列命题： ①函数f (x )是偶函数；②函数f (x )的最小正周期是2π；③点(π，0)是函数f (x )的图象的一个对称中心；热点四 三角函数图象的应用命题角度(1)利用图象研究函数的性质； (2)利用图象研究方程根的问题.热点五 与三角函数有关的交汇问题 命题角度(1)与向量的交汇问题； (2)与数列的交汇问题； (3)与函数、导数的交汇问题等.④函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤－π2，0上单调递减． 其中真命题的是________(写出所有真命题的序号)．解决此类交汇问题有以下三个关键点：(1)正确识别问题的本质，将其转化为熟知的三角函数问题．(2)熟记三角函数的性质，主要为定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等有关结论．(3)要善于利用函数图象的形象性和直观性分析解决问题．3．已知函数f (x )＝tan x ＋sin x ．项数为35的等差数列{a n }满足a n ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且公差d ≠0.若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 35)＝0，则当f (a n )＝0时，n 的值为( )A ．17B ．18C ．19D ．204．如图所示，M ，N 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象与x 轴的交点，点P 在M ，N 之间的图象上运动，当△MPN 面积最大时＝0，则ω＝( )A.π4B.π3C.π2D ．8 5．已知函数f (x )＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2.若不等式f (x )－m <2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上恒成立，则实数m 的取值范围为________．一、选择题1．若f (cos x )＝cos 2x ，则f (sin 15°)＝( )A.12 B ．－12 C ．－32 D.322．若sin(π－α)＝－53且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α2＝( ) A ．－63 B ．－66 C.66 D.633．(2014·青岛模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( ) A ．1 B.12 C.22 D.324．(2014·江西师大附中模拟)为了得到函数y ＝3sin2x －π6的图象，只需把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6上的所有的点的( )A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变5．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上为增函数，则ω的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．(2014·德阳模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，且在[－3，－2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是( )A ．f (sin α)>f (cos β)B ．f (sin α)<f (cos β)C ．f (cos α)<f (cos β)D ．f (cos α)>f (cos β)7．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2<f (π)，则下列结论正确的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1112π＝－1B ．f ⎝⎛⎭⎫7π10>f ⎝⎛⎭⎫π5C ．f (x )是奇函数D ．f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )8．已知函数f (x )＝|sin x |的图象与直线y ＝kx (k >0)有且仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大值为α，则α等于( )A ．－cos αB ．－sin αC ．－tan αD ．tan α9．已知曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 与直线y ＝12相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 1P 5―→|等于( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R A >0，ω>0,0<φ<π2的周期为π，且图象上一个最小值点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12时，函数f (x )的最大值与最小值的和为( ) A ．1＋ 3 B ．2C ．－1＋ 3 D.32二、填空题 11．已知复数z ＝(cos α－sin α)＋(tan α)i 在复平面内对应的点在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是________．12．(2014·江苏高考)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．13．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与直线y ＝b (0<b <A )的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则f (x )的单调递增区间是________．14.已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)为偶函数，其部分图象如图所示，A ，B 分别为最高点与最低点，并且A ，B 两点间距离为25，则ω、φ的值分别是________．15．若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1在区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )上至少含有30个零点，则在所有满足上述条件的[a ，b ]中，b －a 的最小值为________．16．(2014·池州模拟)已知函数f (x )＝cos x ·sin x ，给出下列五个说法：①f ⎝⎛⎭⎫1 921π12＝14.②若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2.③f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增．④将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位可得到y ＝12cos 2x 的图象．⑤f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π4，0成中心对称．其中正确说法的序号是________．第二讲 三角恒等变换与解三角形(选择、填空题型)1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2 B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2 D ．2α＋β＝π22．(2014·江西高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332D ．333．(2014·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B.5C ．2 D ．14．(2014·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sinB ＝3sinC ，则cos A 的值为________．5．(2014·四川高考)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)1．两组三角公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式 2．两个定理(1)正弦定理(2)余弦定理热点一三角恒等变换与求值命题角度(1)利用三角恒等变换解决化简求值问题，如T1，T2；(2)利用三角恒等变换解决化简求角问题，如T3.1．若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－255 B.3510 C ．－3510 D.2552．在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值是( )A ．－22 B.22 C.12 D ．－123．若cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0<β<π4<α<π2，则α＋β的值为________．1．化简求值的方法与思路三角函数式的化简求值可以采用“切化弦”“弦化切”来减少函数的种类，做到三角函数名称的统一，通过三角恒等变换，化繁为简，便于化简求值，其基本思路为：找差异，化同名(同角)，化简求值．2．解决条件求值应关注的三点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．1.(2014·洛阳模拟)在△ABC 中，D 是BC 边上的点，AB ＝22，AD ＝5，AC ＝4，∠C ＝30°，∠BAC >∠B ，则BD ＝( )A ．2或4B ．1或3C ．3或2D ．4或12．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则此三角形( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．若将题2的条件改为“b cos C ＋c cos B ＝a sin A ”，如何选择？热点二利用正、余弦定理解三角形命题角度(1)利用正、余弦定理求三角形的边长或角的大小，如T1；(2)利用正、余弦定理判定三角形的形状，如T2； (3)利用正、余弦定理求三角形的面积，如T3.解三角形问题的方法(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理； (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．热点三 与解三角形有关的交汇问题命题角度利用正、余弦定理解三角形是高考的一个热点，常与三角函数、向量、不等式等交汇命题.[例1] (1)(2014·重庆高考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin 2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C－A －B )＋12，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A ．bc (b ＋c )>8B ．ab (a ＋b )>162C ．6≤abc ≤12D ．12≤abc ≤24(2)(2014·南昌模拟)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，则＝( )A ．－112B ．－83C ．－75D ．－27(3)(2014·武汉模拟)在锐角三角形ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC cos A的值等于________；AC 的取值范围为________．此类问题的核心是正、余弦定理的应用，解决此类问题应抓住以下三点： (1)透过现象看本质，在掌握交汇知识的同时，用好正、余弦定理； (2)根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化；(3)结合内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式．1．已知△ABC 的内角A ，C 满足sin Csin A＝cos(A ＋C )，则tan C 的最大值为( )A. 2B.24C.22D.332．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 满足b 2＋c 2－a 2＝bc ， >0，a ＝32，则b ＋c 的取值范围是________． 热点四正、余弦定理在平面几何及实际问题中的应用 命题角度(1)利用正、余弦定理解决平面几何问题； (2)利用正、余弦定理解决实际问题.[例2] (1)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )A.33B.36C.63D.66(2)(2014·浙江高考)如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角 θ的大小(仰角θ 为直线AP 与平面ABC 所成角)．若 AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，∠BCM ＝30°， 则tan θ 的最大值是( )A.305B.3010C.439D.539四步解决解三角形中的实际问题(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．3．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为( )A.615 B ．5C.562D ．56 4.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A ，发现其北偏东45°，与观测站A 距离20 2 海里的B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A 东偏北θ(0°<θ<45°)的C 处，且cos θ＝45.已知A 、C 两处的距离为10海里，则该货船的船速为________海里/小时．一、选择题1．(2014·安溪模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝453，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235 C ．－45 D.452．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则( ) A ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－π4，π4上单调递增，其图象关于直线x ＝π4对称 B ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－π4，π4上单调递增，其图象关于直线x ＝π2对称 C ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－π4，π4上单调递减，其图象关于直线x ＝π4对称 D ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－π4，π4上单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称 3．在△ABC 中，cos(2B ＋C )＋2sin A sin B <0，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形 D ．不确定5．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．56．已知A ，B ，C 三点的坐标分别是A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，若＝－1，则1＋tan α2sin 2α＋sin 2α＝( )A ．－59B ．－95C ．2D ．37．(2014·威海模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1＋tan A tan B ＝2c b，b ＋c ＝4，则△ABC 面积的最大值为( )A.12 B.32C ．1 D.38．(2014·石家庄模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A ．1 B. 2 C ．3 D.39．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是( )A ．15海里/时B ．5海里/时C ．10海里/时D ．20海里/时10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝mc 2(m 为常数)，若tan C (tan A ＋tan B )＝2tan A ·tan B ，则m 的值为( )A ．2B ．4C ．7D ．8二、填空题11．(2014·温州八校联考)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x ＋2cos x 取得最大值，则cos θ＝________.12．(2014·江苏高考)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．13．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，cos(A －C )＋cos B ＝32，b 2＝ac ，则B ＝________.14．(2014·福建高考)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．15.如图所示，点B 在以P A 为直径的圆周上，点C 在线段AB 上，已知P A ＝5，PB ＝3，PC ＝1527，设∠APB ＝α，∠APC ＝β，α，β均为锐角，则角β的值为________． 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的序号)．①b a cos C <1－c a cos B ；②△ABC 的面积为S △ABC ＝12AB ―→·AC ―→·tan A ； ③若a cos A ＝c cos C ，则△ABC 一定为等腰三角形；④若A 是△ABC 中的最大角，则△ABC 为钝角三角形的充要条件是－1<sin A ＋cos A <1；⑤若A ＝π3，a ＝3，则b 的最大值为2.第三讲 平面向量(选择、填空题型)1．(2014·福建高考)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)2．(2014·广东高考)已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( )A ．(－1,1,0)B ．(1，－1,0)C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)3．(2014·四川高考)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．24．(2014·陕西高考)设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.5．(2014·江苏高考)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，则的值是________．1．平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e2，其中e 1，e 2是一组基底．2．两个非零向量平行、垂直的充要条件若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则：(1)a ∥b ⇔a ＝λb (λ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3．平面向量的三个性质 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝ x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22 .平面向量的线性运算应注意三点(1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(3) (λ，μ为实数)，若A 、B 、C 三点共线，则λ＋μ＝1.热点一平面向量的概念及线性运算命题角度(1)以平面图形为载体，借助向量考查数量关系与位置关系，如T3；(2)考查向量的线性运算及几何意义，如T1，T2.热点二 平面向量的数量积命题角度(1)直接利用数量积运算公式进行运算，如T1； (2)求向量的夹角、模或判断向量的垂直关系，如T2，T3.1．△ABC 的外接圆半径为1，圆心为O ，且＝0，则的值为( )A ．－15 B.15C ．－65 D.652．(2014·赣州模拟)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝233|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π63．设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有则( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90°C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC解决数量积运算应注意三点(1)a ·b ＝0未必有a ＝0或b ＝0.(2)|a ·b |≤|a |·|b |. (3)a ·(b ·c )与(a ·b )·c 不一定相等．热点三 平面向量几何意义的应用命题角度平面向量几何意义的应用主要体现在平面向量与解析几何的交汇处，涉及垂直、共线、轨迹等内容.(3)(2014·湖南高考)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|＝1，则的最大值是________．在平面向量与解析几何的综合问题中，难点是如何把向量表示的解析几何问题转化为纯粹的解析几何问题，破解难点的方法是先根据平面向量知识把向量表述的解析几何问题的几何意义弄明白，再根据这个几何意义用代数的方法研究解决．1．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．22．已知向量α、β、γ满足|α|＝1，|α－β|＝|β|，(α－γ)·(β－γ)＝0.若对每一确定的β，|γ|的最大值和最小值分别是m 、n ，则对任意的β，m －n 的最小值是( )A ．－12 B.12C ．1D ．2热点四 与向量有关的新定义问题命题角度此类问题多以新定义的形式考查向量的概念、线性运算和数量积运算，一般情况下难度偏高.[例2] (1)(2014·安徽高考)设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量 x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4 均由2个 a 和2个 b 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则 a 与 b 的夹角为( ) A.2π3 B.π3 C.π6D ．0 (2)在实数集R 中，定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”，类似地，在平面向量集D ＝{a |a ＝(x ，y )，x ∈R ，y ∈R }上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“>”．定义如下：对于任意的两个向量a 1＝(x 1，y 1)，a 2＝(x 2，y 2)，当且仅当“x 1>x 2”或“x 1＝x 2且y 1>y 2”时，a 1>a 2成立．按上述定义的关系“>”，给出下列四个命题：①若e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，0＝(0,0)，则e 1>e 2>0；②若a 1>a 2，a 2>a 3，则a 1>a 3； ③若a 1>a 2，则对于任意a ∈D ，a 1＋a >a 2＋a ；④对于任意向量a >0,0＝(0,0)，若a 1>a 2，则a ·a 1>a ·a 2.其中是真命题的有________．(写出所有真命题的编号)解决此类问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，通过转化与化归思想解决，这是破解此类问题的关键．3．记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |24．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np ，下面说法错误的是( )A ．若a ，b 共线，则a ⊙b ＝0B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2一、选择题1．(2014·福建四地六校联考)在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD ＝3，点P 在AD 上且满足＝，则( )A ．6B ．－6C ．－12D ．122．若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a ＋b )，则a 与b 的夹角为( )A.π2B.2π3C.3π4D.5π6 3．在四边形ABCD 中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．104．(2014·浙江高考)设θ 为两个非零向量a ，b 的夹角．已知对任意实数 t ，|b ＋t a |的最小值为1( )A ．若θ 确定，则|a |唯一确定B ．若θ确定，则|b |唯一确定C ．若|a |确定，则θ 唯一确定D ．若|b |确定，则 θ唯一确定5．已知是非零向量且满足，则△ABC的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形6．(2014·杭州七校联考)正三角形ABC 边长等于3，点P 在其外接圆上运动，则的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，32B.⎣⎡⎦⎤－32，12C.⎣⎡⎦⎤－12，32D.⎣⎡⎦⎤－12，12 7．在△ABC 中，G 是△ABC 的重心，AB ，AC 的边长分别为2,1，∠BAC ＝60°，则＝( )A ．－33B ．－29C ．－13D ．－898．(2014·天津高考)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若＝1，＝－23，则λ＋μ＝( )A.12B.23C.56D.712 9．若平面向量a i 满足|a i |＝1(i ＝1,2,3,4)且a i ·a i ＋1＝0(i ＝1,2,3)，则|a 1＋a 2＋a 3＋a 4|所有可能的取值有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．(2014·安溪模拟)在△ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 中点，P 为EF 上任意一点，实数x ，y 满足 设△ABC ，△PCA ，△P AB 的面积分别为S ，S 1，S 2.记S 1S ＝λ1，S 2S＝λ2，则λ1·λ2取得最大值时，2x ＋3y 的值为( ) A ．－52 B.52 C ．－32 D.32二、填空题11．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，________．12．(2014·北京高考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.13．(2014·江西高考)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.14．(2014·石家庄模拟)已知O 为锐角△ABC 的外心，AB ＝6，AC ＝10，且2x ＋10y ＝5，则边BC 的长为________．16.如图所示，两个非共线向量的夹角为θ，M 、N 分别为OA 、OB 的中点，点C在直线MN 上，且则x 2＋y 2的最小值为________．第四讲 高考中的三角函数(解答题型)1．(2014·重庆高考)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值．2．(2014·湖南高考)如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．1．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba.可利用辅助角公式求最值、单调区间和周期．2．三角形的面积公式(1)S ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (h a ，h b ，h c 分别是边a ，b ，c 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；(3)S △ABC ＝s (s －a )(s －b )(s －c )(海伦公式)．3．解三角形常见问题(1)已知一边和两角解三角形；(2)已知两边及其中一边的对角解三角形；(3)已知两边及其夹角解三角形；(4)已知三边解三角形；(5)三角形形状的判定； (6)三角形的面积问题；(7)正弦、余弦定理的综合应用．热点一 三角变换与求值命题角度(1)利用和(差)、倍角公式对三角函数式化简，进而研究三角函数的图象与性质； (2)利用和(差)、倍角公式对三角函数式化简，且与解三角形交汇命题.[例1] (1)(2014·江西高考)已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. ①当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；②若f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．(2)(2014·合肥模拟)若函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋m 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2. ①求函数f (x )的单调递增区间；②在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f ⎝⎛⎭⎫A 2＝1，a ＝62c ，求sin B .1．条件求值的一般思路(1)先化简所求式子或所给条件；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．2．三角恒等变换的“五遇六想”(1)遇正切，想化弦；(2)遇多元，想消元；(3)遇差异，想联系；(4)遇高次，想降次；(5)遇特角，想求值；(6)想消元，引辅角．1．已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 2．已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＋a .(1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的最大值与最小值的和为32，求a 的值．热点二 三角函数的图象与性质命题角度由三角函数的图象特征给出三角函数的解析式，然后考查三角函数的图象变换或性质.[例2] (2014·潍坊模拟)已知函数f (x )＝A sin ωx ＋π4(A >0，ω>0)的振幅为2，其图象的相邻两个对称中心之间的距离为π3.(1)若f ⎝⎛⎭⎫23α＋π12＝65，0<α<π，求sin α； (2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位得到y ＝g (x )的图象，若函数y ＝g (x )－k 在⎣⎡⎦⎤0，1136π上有零点，求实数k 的取值范围．研究三角函数图象与性质的常用方法(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后再求解．(2)对于形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型的三角函数，要通过引入辅助角化为y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)⎝⎛ cos φ＝a a 2＋b 2，⎭⎪⎫sin φ＝b a 2＋b 2的形式来求．2．已知函数f (x )＝3sinωx 2cos ωx 2＋3sin π6cos ωx 的最小正周期为4. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象上的所有的点向右平移23个单位长度得到函数g (x )的图象，点P 、Q 分别为函数g (x )图象的最高点和最低点(如图)，求∠OQP 的大小．热点三 解三角形的实际应用命题角度将实际问题转化为一个或几个三角形中的问题，然后利用正弦定理、余弦定理解决.[例3] 如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB ，其中O 为扇形所在圆的圆心，∠AOB ＝60°，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在AB 上选一点C ，过C 修建与OB 平行的小路CD ，与OA 平行的小路CE ，问C 应选在何处，才能使得 修建的道路CD 与CE 的总长最大，并说明理由． [师生共研]应用三角知识解决实际问题的思路如下：(1)分析题意，理解有关问题的题意和应用背景，画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(2)将所求问题归结到一个或几个三角形中，利用正弦定理、余弦定理等知识求解； (3)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．3.如图所示，一辆汽车从O 点出发沿一条直线公路以50千米/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O 点的距离为5千米、距离公路线的垂直距离为3千米的点M 的地方，有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少千米？热点四三角与向量的综合问题命题角度用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量的模表述三角函数间的关系等，然后考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质及解三角形等.。