1.3.1-函数的单调性与导数 -求参问题
高中数学 1.3.1利用导数判断函数的单调性教材分析 新人教B版选修22
2015高中数学 1.3.1利用导数判断函数的单调性教材分析新人教B版选修2-2教材分析:导数与函数的单调性是人教B版《数学》选修2-2第一章的内容。
在学习本节课之前学生已经学习了导数、函数及函数单调性等概念，对单调性有了一定的感性和理性的认识，同时在第二章中已经学习了导数的概念，对导数有了一定的知识储备。
函数的单调性是高中数学中极为重要的一个知识点。
以前学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性，学习了导数以后，利用导数来研究函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用。
同时，在本章第二节要学习利用导数研究函数的极值，学习了导数研究函数的单调性，对于研究利用导数求函数的极值有重要的帮助。
因此，学习本节内容具有承上启下的作用。
结合高考大纲的要求和考虑到学生基础的实际，从简单入手，探索函数的单调性与导数的关系，并求函数的单调区间，去除比较难的部分利用导数信息绘制函数的大致图像。
根据新课程标准的要求，本节课的知识目标定位在以下三个方面：【教学目标】1、知识与能力：理解单调性的导数定义,并会利用导数解决函数的单调性.2、过程与方法：通过利用导数研究单调性问题的研究过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。
3、情感态度与价值观：（1）通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，认识到数学是一个有机整体。
（2）通过导数研究单调性的基本步骤（即算法）的形成和使用，使得学生认识到导数使得一些复杂的问题就变得有矩可循，因而认识到导数的实用价值。
【教学重点】利用求导的方法判定函数的单调性。
【教学难点】为什么会将导数与函数的单调性联系起来【教学方法】启发式教学【课时安排】 1 课时【课程类型】新授课。
函数的单调性与导数[二]
![函数的单调性与导数[二]](https://img.taocdn.com/s3/m/62688709453610661ed9f477.png)
2°用“导数法” 求单调区间的步骤
注：单调区间不可以并起来。
一．应用导数求函数的单调区间
1．确定下列函数的单调区间：
1( fx ) 2 x 3 x 1 21 x )
3 2
(2) f(x)=sinx-x ; x∈(0,p)
x 3) f (x) sinx 2
尝试高考
函 数 y x c o s x s i n x 在 下 面 哪 个 区 间 内 是 增 函 数 ( B) p 3 p 3 p 5 p A .( , ) B . (, pp 2 )C .( , ) D .( 2 pp , 3 ) 22 22
b x 6 . 讨 论 函 数 f() x2 (1 x1 ， b 0 ) 的 单 x 1 调 性 ；
(B)–1<a<1 (D) 0<a<1
3、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1 是( B ) (A)单调递增函数 （B）单调递减函数 (B)(C)部份单调增，部分单调减 (C)(D) 单调性不能确定
3 2 4 .函 数 f(x )x a x b xc ,其 中 abc ,,为 常 数 ，
当 a 3 b0 时 ， f(x ) 在上 R ( A)
2
(A ) 增 函 数 (B ) 减 函 数 (C ) 常 数 (D ) 既 不 是 增 函 数 也 不 是 减 函 数
1 3 2 5 . 求 fx a x x 1 a 0 的 ) ) 3 单 调 区 间 和 单 调 性 ；
附近几乎没有升降
试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。 解： f ( x ) 的大致形状如右图：
变化,切线平行x轴
y f ( x)
1.3.1函数的单调性与导数( 二)
§1.3.1函数的单调性与导数（二） 学习目标1.会利用函数单调性与导数的关系，求参数的范围；2.会利用函数单调性与导数的关系，证明简单的不等式.3.会求复合函数的单调区间.学习过程1.复习：导数求函数单调区间的步骤2..例题展示：【例1】求下列函数的单调区间：（1）)1ln()(-=x x f ; (2)x x x f ln )(-=. (3));2ln()(2--=x x x f (4)2)(-=x e x f x【例2】试利用函数单调性证明下面不等式：（1）);,0(,sin π∈<x x x（2）);1,0(,02∈>-x x x （3）;0,1≠+>x x e x（4）.0,ln ><<x e x x x练习：已知,1>x 求证：).1ln(+>x x【例3】►已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间．小结：函数在指定区间上单调递增(减)，函数在这个区间上的导数大于或等于0(小于或等于0)，只要不在一段连续区间上恒等于0即可，求函数的单调区间解f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)即可．【例4】已知函数).0(2)1ln()(2≥+-+=k x k x x x f （1）当,2=k 求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；（2）求)(x f 的单调区间.巩固练习：1.函数x x y cos +=在),(+∞-∞内是（ ）A 增函数B 减函数C 有增有减D 不能确定2.函数c ax y +=2在区间),0(+∞内单调递增，则c a ,应满足（ ）A.0c =<且0a . B .是任意实数且c 0>a . C .0c 0,a ≠<且. D.是任意实数且c 0<a 3.对于Ｒ上的可导的任意函数，若满足,0)()1(≥'-x f x 则必有（ ） Ａ．)1(2)2()0(f f f <+ Ｂ．)1(2)2()0(f f f >+ Ｃ．)1(2)2()0(f f f ≥+ Ｄ．)1(2)2()0(f f f ≤+4.函数),1()(<<-=b a ex x f x 则（ ） A ．)()(b f a f =.B.)()(b f a f <.C.)()(b f a f >.D.)(),(b f a f 大小不确定 5.“0>a ”是“函数ax x x f +=3)(在区间),0(+∞上是增函数”的（）A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数，且,0)2(=f 当0>x 时有,0)()(2<-'xx f x f x 则不等式0)(2>x f x 的解集是（ ） A.),2()0,2(+∞- B.)2,0()2,( --∞ C.)2,0()0,2( - D.),2()2,2(+∞-7．函数[],2,0,sin 21)(π∈-=x x x x f 则其单调增区间为 . 8.若函数2)(p x p x x f +-=在),1(+∞上是增函数，则实数p 的取值范围是 .9.已知x e x x x f 211)(+-=,求)(x f 的单调区间.10.已知下列函数①);0()(>+=a x ax x f ②)0(13)(23≥+-=k x kx x f ；③).(ln )(R a x a x x f ∈-=试分别讨论它们的单调区间.11.已知函数).(21)()(2R b x b bx x x f ∈-++=若其在区间)31,0(上单调递增，求b 的取值范围.。
新湘教版高中数学选择性必修第二册1.3.1函数的单调性与导数
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
要点一 函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0❶
单调递_增___
f′(x)<0❷
单调递__减__
批注❶ f′(x)>0，即函数f(x)图象的切线斜率为正，则切线的倾斜角为锐角，曲 线呈上升趋势．
方法归纳
利用导数求参数取值范围的两个策略
巩固训练3 已知函数f(x)＝x3－ax－1为增函数，求实数a的取值范围．
解析： 由已知得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0. 又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，即f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.
题型探究·课堂解透
题型1 单调性与导数的关系 例1 设函数f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x)的 图象可能是( ) 答案：B
解析：由函数f(x)的图象，知当x<0时， f(x)是单调递减的，所以f′(x)<0；当x>0时， f(x)先减，后增，最后减，所以f′(x)先负 后正，最后为负．
基础自测 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1) 函 数 f(x) 在 定 义 域 上 都 有 f′(x)<0 ， 则 函 数 f(x) 在 定 义 域 上 单 调 递 减．( × ) (2)函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.( × ) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值 越大．( √ )
1.3.1 函数的单调性与导数
2．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零 的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点．
3．注意在某一区间内 f′(x)>0(或 f′(x)<0)是函数 f(x)在该 区间上为增(或减)函数的充分条件．如 f(x)＝x3 是 R 上的可导函 数，也是 R 上的单调递增函数，但当 x＝0 时，f′(x)＝0.
第10页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
(3)由 f(x)＝sinx－cosx＋x＋1，0<x<2π，
知 f′(x)＝cosx＋sinx＋1.
π 于是 f′(x)＝1＋ 2sin(x＋ 4 )．
令
f′(x)＝0，从而
π sin(x＋ 4 )＝－
22，
3π 得 x＝π，x＝ 2 .
第11页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
题型三 根据函数单调性求参数范围 互动 1 函数 f(x)在(a，b)内 f′(x)>0(或 f′(x)<0)是函数在 区间(a，b)内为增(或减)函数的充要条件吗？
第25页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
【解析】 函数 f(x)在区间(a，b)内 f′(x)>0(f′(x)<0)是函 数 f(x)在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是必要条件．如 果出现个别点使 f′(x)＝0，不会影响函数 f(x)在包含该点的某个 区间内的单调性．例如函数 f(x)＝x3 在定义域(－∞，＋∞)上是增 函数，但由 f′(x)＝3x2 知，f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任 意一点处都满足 f′(x)>0.
1－x2
第9页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
函数的单调性与导数
练习 试画出导函数图像的大致形状。y Nhomakorabeay
y=f(x)
Oa
O a bc
x
y
y fx
bc
x
小结
1.函数单调性与导数符号的关系是:
单调递增
导数 f (x) > 0
单调递减
导数 f (x) < 0
2.求函数单调性的步骤：
①确定函数y=f(x)的定义域;
②求出函数的导数f (x);
(4) f (x) = 2x3＋3x2－24x＋1
(4) f (x)=__6_x_2+__6_x_-2_4_____
当 f (x)>0, 即x 1 17 或x 1 17 时，f(x)单调递增
2
2
当 f (x)<0, 即 1 17x1 17时，f(x )单调递减
2
2
所以函数的单调递增区间为 （- ，-1- 17 ）、（ -1+ 17 ，+）
f (x)>0 (x≠0)
f (x)↗ f (x)=3x2
f (x) <0 f (x) ↘
f (x)<0 f (x)↘
1
f (x)= x 2
导数f (x0)表示函数 f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率
f (x1)<0
y
f (x)在x1附近↘
f (x0)>0 f (x)在x0附近↗
(x1, f(x1)) O
练习 （课本P26练习1）
判断下列函数的单调性,并求出单调区间
1 fx x 2 2 x 4 3 fx 3 x x 3
2 fx ex x 4 fx x 3 x 2 x
初中数学：1.3.1函数的单调性与导数
练习
判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注 入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应 的水的高度h与时间t的函数关系图象.
h
h
h
h
O
t
(A)
O
t
(B)
O
t
(C)
O
t
(D)
一般地, 如果一个函数在某一范围内导数 的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得 快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或 向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.
可知 在此区
间内单调递减;
y
当 x = 4 , 或 x = 1时,
综上, 函数 图象
O1
4
的大致形状如右图所示.
x
题2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
解: (1) 因为
, 所以
因此, 函数 (2) 因为
在
上单调递增.
, 所以
当
, 即 时, 函数
当
, 即 时, 函数
单调递增; 单调递减.
题2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
也能使f（x）在这个区间上单调，
所以对于能否取到等号的问题需要单独验证
增例2：
本题用到一个重要的转化：
例3：方程根的问题 求证：方程
只有一个根。
作业：
已知函数f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数， 求a的取值范围。
解:
在
内是减函数.
由 的递减区间是 函数.
, 解得 , 即函数
, 所以函数
在
内是减
一、求参数的取值范围
1.3.1函数的单调性与导数
∴f’(x)=3ax2+6x-1≤0在R上恒成立，
∴a<0且△=36+12a≤0，
∴a ≤-3
玉林市一中高二数学组
练习2 已知函数f (x )= 2ax - x 3，x (0, 1],a 0, 若f (x )在（0， 1]上是增函数，求a的取值范围。
'(x)>0(或<0) 但由f（xf ）在这个区间上单调递增（递减） 而仅仅得到 是不够的。还有可 能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调，
本题用到一个重要的转化： 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证
m≥f(x)恒成立 m f (x)max m f (x)恒成立 m f (x)min
玉林市一中高二数学组
2．用定义证明函数的单调性的一般步骤： 取值→作差→变形→定号→下结论 3. 判断函数单调性有哪些方法？ 定义法
图象法
玉林市一中高二数学组
思考：那么如何求出下列函数的单调性呢? (1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x 发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然
分析：
当x 3或x 2时，f '( x ) 0; f ( x )在此区间递增 当x 3或x 2时，f '( x ) 0. f ( x )图象在此两处
附近几乎没有升降
试画出函数
f ( x ) 图象的大致形状。
变化,切线平行x轴
y f ( x)
y A B
高中数学_函数单调性与导数教学设计学情分析教材分析课后反思
1.3.1函数的单调性与导数（第二课时）教学设计【教学目标】1.知识与能力：会利用导数解决函数的单调性及单调区间。
会求单调区间，会讨论含参函数单调性2.过程与方法：通过利用导数研究单调性问题的探索过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。
3.情感态度与价值观：通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，同时通过学生动手、观察、思考、总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。
通过导数研究单调性的步骤的形成和使用，使得学生认识到利用导数解决一些函数（尤其是三次、三次以上的多项式函数）的问题，因而认识到导数的实用价值。
【教学重点和难点】对于本节课学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由特殊到一般、数到形、直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。
根据以上的分析和新课程标准的要求，我确定了本节课的重点和难点。
教学重点：1.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间．(重点)2.利用数形结合思想理解导函数与函数单调性之间的关系，及单调性的逆用.(难点)3.含参数的函数讨论单调性（难点）【教学设计思路】现代教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变，本节可从单调性与导数的关系的发现到应用都有意识营造一个较为自由的空间，让学生能主动的去观察、猜测、发现、验证，积极的动手、动口、动脑，使学生在学知识同时形成思想、方法。
整个教学过程突出了三个注重：1、注重学生参与知识的形成过程，体验应用数学知识解决简单数学问题的乐趣。
2、注重师生、生生间的互相协作、共同提高。
3、注重知能统一，让学生获得知识同时，掌握方法，灵活应用。
根据新课程标准的要求，本节课的知识目标定位在以下三个方面：一是能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；二是掌握判断函数单调性的方法；三是能由导数信息绘制函数大致图像,会根据单调性求字母范围。
教学过程：（一）复习回顾，温故知新让学生填写导数公式，运算法则，复合函数求导法则（利用选号程序，挑选两名幸运的同学回答，可提升学生注意力）设计意图：通过复习回顾，加深对公式的记忆和理解，尤其是运算法则，复合函数求导公式的理解，有利于本节熟练应用。
第一章 1.3 1.3.1 函数的单调性与导数
答案:(0,2)
-3-
目标导航
知知识识梳梳理理
重难聚焦
典例透析
【做一做 1-2】
下列区间中,函数
f(x)
=
1+ln ������
������
在其上是单调递增
的是 ( )
A.(0,1) C.(1,e)
B.(0,e)
的左端点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(a)≥0;若 f'(x)<0,说明f(x)在区间(a,b)内是减函数,只需将所给的区间的右端 点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(b)≥0.
例如:求证:当x>0时,ex>x+1. 证明:令f(x)=ex-(x+1),则f'(x)=ex-1. 因为x>0,所以f'(x)>0,即函数f(x)在(0,+∞)内单调递增,所以 f(x)>f(0)=0,故ex>x+1.
试画出函数y=f(x)的大致图象.
分析:根据函数y=f(x)在某个区间上导数f'(x)的符号,可以得到函
数y=f(x)的单调性,即函数y=f(x)图象的“上升下降”趋势,从而画出函
数y=f(x)的大致图象.
-12-
题型一
题型二
题型三
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
解:由①②③可知函数 y=f(x)在区间(-∞,-1)和
重难聚焦
典例透析
2.一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函 数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或 向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.
1.3.1函数的单调性与导数(一)
1.3.1函数的单调性与导数（一）【学习目标】1. 记住函数的单调性与导数之间的关系；2. 学会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．【重点难点】重点: 函数的单调性与导数之间的关系难点: 利用函数的导数判断单调性【学习过程】【预习案】预习教材P22～26，完成以下问题1.一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内，f ′(x)＞0，那么函数y＝f(x)为在这个区间内的如果在这个区间内，f ′(x)＜0，那么函数y＝f(x)为在这个区间内的2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系3.用导数求函数单调区间的步骤：①优先确定函数的定义域；②求函数f(x)的导数f ′(x)；③定义域内满足不等式f ′(x)＞0的x的区间就是递增区间；满足不等式f ′(x)＞0的x的区间就是递减区间．[预习诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．() 2．函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( )3．函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( ) 【探究案】探究一函数余导函数图象间的关系例1：设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)的图象可能为()【变式训练】设f ′(x)是函数f(x)的导函数，f ′(x)的图象如图所示，则f(x)的递增区间是．探究二利用导数求函数的单调区间例2：求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝x2－ln x.【变式训练】证明:函数xxxfsin)(=在区间),2(ππ上单调递减.注意事项：①求函数的单调区间，必须在函数的定义域内进行．②如果函数的单调区间有多个时，单调区间不能用“∪”符号连接，只能用“，”或“和”隔开．③导数法求得的单调区间一般用开区间表示【检测案】1．函数f(x)＝x＋ln x在(0,6)上是()A．单调增函数B．单调减函数C．在⎝⎛⎭⎫0，1e上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1e，6上是增函数D．在⎝⎛⎭⎫0，1e上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1e，6上是减函数2．函数y＝x2－4x＋a的增区间为________，减区间为________．是()4．如图所示的是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则在[－2,5]上函数f(x)的单调递增区间为________．5.函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)6.函数y＝12x2－ln x的单调递减区间为()A．(－1,1] B．(0,1]C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)7.判断函数xxxfln)(=在区间(0,e)上的单调性。
高中数学1.3.1 函数的单调性与导数
1.函数的单调性与其导数的关系
在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单
调递增;如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减;如果恒
有f'(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间内是常数函数.
名师点拨“在某区间内f'(x)>0(f'(x)<0)”是“函数f(x)在此区间上为
增(减)函数”的充分条件,而不是必要条件.如果出现个别点使f'(x)=0,
不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间上的单调性.例如函数
f(x)=x3,在定义域(-∞,+∞)上是增函数,但因为f'(x)=3x2,所以f'(0)=0,
即并不是在定义域内的任意一点处都满足f'(x)>0.
【做一做】 若定义域为R的函数f(x)的导数f'(x)=2x(x-1),则f(x)在
反思感悟运用导数研究函数单调性的方法
利用导数判断或证明函数的单调性时,一般是先确定函数的定义 域,再求导数,最后判断导数在所给区间上的符号,从而确定函数的 单调性.
-6-
1.3.1 函数的单调性与导数
课前篇自主预习 课课堂堂篇篇探探究究学学习习
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
变式训练1(1)在下列函数中,在区间(-1,1)内是减函数的是( ) A.y=2-3x2 B.y=ln x C.y=������1-2 D.y=sin x (2)求证:函数f(x)=sin x+cos x+3x在R上单调递增.
答案:C
(2) 证明:∵f'(x)=cos x-sin x+3=3- 2sin x-π4 ,而 2sin x-π4 ≤ 2, ∴3- 2sin x-π4 >0,即 f'(x)>0.故函数 f(x)=sin x+cos x+3x 在 R 上单
高中数学_函数的单调性与导数教学设计学情分析教材分析课后反思
1.3.1函数的单调性与导数普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2【内容解析】1．导数这个概念是微积分的核心概念，又是中学阶段数学学习函数的一个主干知识，它是研究函数相关性质的重要工具之一.2．单调性作为函数的主要性质之一，主要用来刻画图象的变化趋势，函数的单调性的定义在《数学1》中已经介绍，并且在学习《数学1》《数学4》幂、指、对及三角函数时进行了应用，能够借助于函数图象特征和单调性的定义来研究函数的单调性.3．这节课我们是在学习了导数的概念、几何意义及运算之后，运用导数这个工具来研究函数的单调性，体会导数在研究函数中的应用，为后面学习函数的极值、最值的做铺垫、能力基础和方法指导。
并与《数学1》《数学4》中的方法进行比较，体会导数在研究函数中的优越性.【教学目标】知识与技能：1．借助几何直观，通过实例归纳函数的单调性与导数的关系；2．理解并掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数单调区间.过程与方法：在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想、分类讨论思想.情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生观察、思考、总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯.【学情分析】1. 已有的知识储备：（1）本节课的授课对象是青岛第二中学分校外语学院的学生，已经基本了解探究函数性质的基本思想和研究方法，具备了一定的发现问题、探究问题、分析问题和解决问题的能力.（2）学生已经掌握了基本初等函数的图象特征和基本性质，而且已经掌握了导数的概念、几何意义与导数的计算，已经具备了用导数探究函数单调性的知识储备。
2. 存在问题：将导数与函数单调性联系起来，学生的抽象概括能力还不够；【教学重点】导数与函数单调性的关系的探索和发现；利用导数研究函数的单调性.【教学难点】发现和揭示导数与函数单调性的关系；并利用导数研究函数的单调性．【教学过程】一、课前思维导学1.预习课本22-25页，猜想导数与函数的单调性有什么联系？然后结合我们学习过的基本初等函数，验证你的猜想.2.思考如何判断函数f (x)=2x3-6x2+7的单调性，并求出单调区间?【设计意图】通过复习回顾，巩固旧知，合理猜想，把学习任务转移给学生；让学生完成对函数单调性与导数关系的第一次认识，逐步浮现本节课的探讨任务，明确研究课题。
1.3.1导数在研究函数中的应用—单调性教案12017-2018学年高中数学苏教版选修2-2
1.3.1导数在研究函数中的应用—单调性教案12017-2018学年高中数学苏教版选修2-2导数在研究函数中的应用——单调性【教学分析】1.教材分析本节课是高中数学苏教版教材选修2-2第1.3.1节导数在研究函数单调性中的应用.这节内容是导数作为研究函数的工具的起点,是本节的重点,学生对本节的收获直接影响着后面极值、最值的学习.函数单调性是高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本的性质.学生在中学阶段对于单调性的学习共分为三个阶段：第一阶段,在初中以具体函数为载体,从图形直观上感知单调性；第二阶段在高中学习必修一时,用运算的性质研究单调性；第三阶段就是在本节课中,用导数的性质研究单调性.本节内容属于导数的应用,是本章的重点,学生在学习了导数的概念、几何意义、基本函数的导数、导数的四则运算的基础上学习本节内容.学好它既可加深对导数的理解,又为研究函数的极值和最值打好基础,具有承前启后的重要作用.研究过程蕴含了数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法,以及研究数学问题的一般方法,即从特殊到一般,从简单到复杂,培养了学生应用导数解决实际问题的意识.2.学情分析《普通高中数学新课程标准（实验）》中要求：结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数间的关系.对于函数的单调性学生已经掌握图象、定义两种判断方法,但是图象和定义法不是万能的.对于不能用这两种方法解决的单调性问题学生需要思考.学生之前学习了导数的概念,经历过从平均变化率到瞬时变化率的过程,研究过导数的几何意义是函数图象在某点处的切线,从数和形的角度认识了导数也是刻画函数变化陡峭程度的量,但是沟通导数和单调性之间的练习对学生来说是教学中要突破的难点和重点.3. 教学目标(1)了解函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.(2)通过实例,借助几何直观、数形结合探索函数的单调性与导数的关系；通过初等方法与导数方法研究函数性质过程中的比较,体会导数在研究函数性质中的一般性和有效性,同时感受和体会数学自身发展的一般规律.(3)通过教师指导下的学生交流探索活动,激发学生的学习兴趣,培养学生转化与化归的思维方式,并引导学生掌握从特殊到一般,从简单到复杂的思维方法,用联系的观点认识问题,提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.4. 教学重点：利用导数研究函数的单调性5. 教学难点：发现和揭示导数的正负与函数单调性的关系.6. 教学方法与教学手段：问题教学法、合作学习法、多媒体课件等【教学过程】1.创设情境,激发兴趣情境一：过山车章头图情境二：观看过山车视频【设计意图】通过章头图拉近学生与数学的关系，让学生感受到生活处处有数学，也为本节课的研究埋下伏笔。
1.3 1函数单调性与导数 导学案 (教师版)
§1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数内容要求 1.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.会求不超过三次的多项式函数的单调区间.知识点1函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常函数(2)在区间(a，b)函数的单调性导数单调递增f′(x) ≥0单调递减f′(x)≤0常函数f′(x)＝0【预习评价】思考在区间(a，b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)>0的什么条件？提示必要不充分条件.知识点2利用导数求函数的单调区间求可导函数单调区间的基本步骤：(1)确定定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.【预习评价】函数f(x)＝13－x2－3x＋2的单调增区间是________.3x解析 f ′(x )＝x 2－2x －3，令f ′(x )＞0，解得x ＜－1或x ＞3，故f (x )的单调增区间是(－∞，－1)，(3，＋∞). 答案 (－∞，－1)，(3，＋∞)题型一 利用导数判断(或证明)函数的单调性【例1】 证明：函数f (x )＝sin x x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减.证明 f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos x <0，∴x cos x －sin x <0， ∴f ′(x )<0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减.规律方法 关于利用导数证明函数单调性的问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行.(2)f ′(x )>0(或<0)，则f (x )为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f (x )为单调递增(或递减)函数，则f ′(x )≥0(或≤0).【训练1】 证明：函数f (x )＝ln xx 在区间(0，e)上是增函数. 证明 ∵f (x )＝ln xx ，∴f ′(x )＝x ·1x －ln x x 2＝1－ln x x 2.又0<x <e ，∴ln x <ln e ＝1. ∴f ′(x )＝1－ln xx 2>0，故f (x )在区间(0，e)上是增函数.题型二 利用导数求函数的单调区间 【例2】 求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝2x 3＋3x 2－36x ＋1； (2) f (x )＝sin x －x (0<x <π)； (3)f (x )＝3x 2－2ln x ； (4) f (x )＝x 3－3tx .解 (1) f ′(x )＝6x 2＋6x －36.由f ′(x )＞0得6x 2＋6x －36>0，解得x <－3或x >2； 由f ′(x )＜0解得－3<x <2.故f (x )的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3，2). (2)f ′(x )＝cos x －1.因为0<x <π，所以cos x －1＜0恒成立， 故函数f (x )的单调递减区间为(0，π). (3)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x . 令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x >0， 解得－33<x <0或x >33. 又∵x >0，∴x >33. 令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x <0， 解得x <－33或0<x <33. 又∵x >0，∴0<x <33.∴f (x )的单调递增区间为(33，＋∞)，单调递减区间为(0，33).(4)f′(x)＝3x2－3t.令f′(x) ＞0，得3x2－3t＞0，即x2＞t，∴当t≤0时，f′(x)＞0恒成立，函数的增区间是(－∞，＋∞)；当t>0时，由x2＞t解得x＞t或x＜－t；由f′(x)＜0解得－t＜x＜t，函数f(x)的增区间是(－∞，－t)和(t，＋∞)，减区间是(－t，t).综上，当t≤0时，f(x)的增区间是(－∞，＋∞)；当t＞0时，f(x)的增区间是(－∞，－t)，(t，＋∞)，减区间是(－t，t).规律方法求函数的单调区间的具体步骤：(1)优先确定f(x)的定义域；(2)计算导数f′(x)；(3)解f′(x)>0和f′(x)<0；(4)定义域内满足f′(x)>0的区间为增区间，定义域内满足f′(x)<0的区间为减区间.【训练2】求函数f(x)＝x3＋3x的单调区间.解方法一函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).f′(x)＝3x2－3x2＝3⎝⎛⎭⎪⎫x2－1x2.由f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞1.由f′(x)＜0，解得－1＜x＜1，且x≠0.所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调递减区间为(－1，0)，(0，1).方法二函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).f′(x)＝3x2－3x2＝3(x2－1x2)；令f′(x)＝0，得x＝±1.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表： x (－∞，－1)－1 (－1，0) (0，1) 1 (1，＋∞)f ′(x )＋0 －－0 ＋ f (x ) 单调递增Z －4单调递减] 单调递减]4单调递增Z0)，(0，1).方向1 已知函数的单调性求参数的取值范围【例3－1】 已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R ).若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围.解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax 2.要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立， 即2x 3－ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立. ∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立. ∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)时，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0(x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是(－∞，16].方向2利用函数的单调性证明不等式【例3－2】已知a，b为实数，且b＞a＞e，其中e为自然对数的底，求证：a b＞b a.证明当b＞a＞e时，要证a b＞b a，只要证b ln a＞a ln b，即只要证ln aa＞ln bb.构造函数y＝ln xx(x＞0)，则y′＝1－ln xx2.因为当x＞e时，y′＝1－ln xx2＜0，所以函数y＝ln xx在(e，＋∞)内是减函数.又因为b＞a＞e，所以ln aa ＞ln bb.故a b＞b a.规律方法(1)已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(或减)，转化为不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围.(2)“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合.【训练3】若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，求实数m的取值范围.解f′(x)＝3x2＋2x＋m.因为f(x)是R上的单调函数，所以f′(x)≥0恒成立或f′(x)≤0恒成立.因为二次项系数3＞0，所以只能有f′(x)≥0恒成立.因此Δ＝4－12m≤0，故m≥13.当m ＝13时，使f ′(x )＝0的点只有一个x ＝－13，也符合题意.故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞.课堂达标1.函数f (x )＝x ＋ln x 在(0，6)上是( ) A.增函数 B.减函数C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数解析 ∵f ′(x )＝1＋1x >0， ∴函数在(0，6)上单调递增. 答案 A2.f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析 由导函数的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数.观察选项易知D 正确. 答案 D3.若函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0，1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( )A.[1，＋∞)B.a ＝1C.(－∞，1]D.(0，1)解析 ∵f ′(x )＝3x 2－2ax －1，又f (x )在(0，1)内单调递减，∴不等式3x 2－2ax －1≤0在(0，1)内恒成立，∴f ′(0)≤0，且f ′(1)≤0，∴a ≥1. 答案 A4.函数y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为______，减区间为______. 解析 y ′＝2x －4，令y ′>0，得x >2；令y ′<0，得x <2， 所以y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2). 答案 (2，＋∞) (－∞，2)5.若函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x 存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝1x －ax －2＝－ax 2＋2x －1x.因为函数f (x )存在单调递减区间，所以f ′(x )≤0有解.又因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内有解. ①当a ＞0时，y ＝ax 2＋2x －1为开口向上的抛物线，ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内恒有解；②当a ＜0时，y ＝ax 2＋2x －1为开口向下的抛物线， 若ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内恒有解，则⎩⎨⎧Δ＝4＋4a ≥0，x ＝－1a ＞0，解得－1≤a ＜0， 而当a ＝－1时，f ′(x )＝x 2－2x ＋1x ＝（x －1）2x ≥0，不符合题意，故－1＜a ＜0；③当a ＝0时，显然符合题意.综上所述，a 的取值范围是(－1，＋∞). 答案 (－1，＋∞)课堂小结1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.2.利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.基础过关1.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A.(－∞，2) B.(0，3) C.(1，4)D.(2，＋∞)解析 f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )＞0，即(x －2)e x ＞0，解得x ＞2，故选D. 答案 D2.y ＝x ln x 在(0，5)内的单调性是( ) A.单调递增 B.单调递减C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5内单调递增D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5内单调递减解析 函数的定义域为(0，＋∞).y ′＝ln x ＋1，令y ′＞0，得x ＞1e ；令y ′＜0，得0＜x ＜1e .所以函数y ＝x ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5内单调递增.答案 C3.函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b <0时，f (x )是( ) A.增函数 B.减函数 C.常数D.既不是增函数也不是减函数解析 求函数的导函数f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，导函数对应方程f ′(x )＝0的Δ＝4(a 2－3b )<0，所以f ′(x )>0恒成立，故f (x )是增函数. 答案 A4.函数y ＝f (x )在其定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________.解析 函数y ＝f (x )为减函数的区间，反映在图象上图象是下降的. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∪[2，3)5.当x >0时，f (x )＝x ＋2x 的单调递减区间是________.解析 f ′(x )＝1－2x 2＝x 2－2x 2＝（x －2）（x ＋2）x 2.由f ′(x )<0且x >0得0<x < 2. 答案 (0，2)6.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0，2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0. (1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间.解 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0，2)，知d ＝2，∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3. 故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2；令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2).7.已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t ).若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1，1)上是增函数，求t 的取值范围.解 由题意得f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，则f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t .若f (x )在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上f ′(x )≥0恒成立.即t ≥3x 2－2x 在区间(－1，1)上恒成立.令函数g (x )＝3x 2－2x ，由于g (x )的图象是对称轴为x ＝13，开口向上的抛物线，故t ≥3x 2－2x 在区间(－1，1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5.故t的取值范围是[5，＋∞).能力提升8.已知函数f(x)在定义域R上为增函数，且f(x)＜0，则g(x)＝x2f(x)在(－∞，0)内的单调情况一定是()A.单调递减B.单调递增C.先增后减D.先减后增解析因为函数f(x)在定义域R上为增函数，所以f′(x)≥0.又因为g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，所以当x∈(－∞，0)时，g′(x)＞0恒成立，所以g(x)＝x2f(x)在(－∞，0)内单调递增.答案 B9.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示，选项中的四个图象中能大致表示y＝f(x)的图象的是()解析由题图可知，当x＜－1时，xf′(x)＜0，所以f′(x)＞0，此时原函数为增函数，图象应是上升的；当－1＜x ＜0时，xf ′(x )＞0，所以f ′(x )＜0，此时原函数为减函数，图象应是下降的；当0＜x ＜1时，xf ′(x )＜0，所以f ′(x )＜0，此时原函数为减函数，图象应是下降的；当x ＞1时，xf ′(x )＞0，所以f ′(x )＞0，此时原函数为增函数，图象应是上升的.由上述分析可知选C.答案 C10.若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是________.解析 由于f ′(x )＝k －1x，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，故f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立.由于k ≥1x ，而0＜1x ＜1，故k ≥1，即k 的取值范围是[1，＋∞).答案 [1，＋∞)11. 已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．解析 f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0且f ′(x )不恒为0，所以f (x )为单调递增函数．又f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e －x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－2x ＋e x －1e x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数．由f (a －1)＋f (2a 2)≤0得，f (2a 2)≤－f (a －1)＝f (1－a )，所以2a 2≤1－a ，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 12.已知函数f (x )＝ln x －f ′(1)x ＋1－ln 2，试求f (x )的单调区间.解 由f (x )＝ln x －f ′(1)x ＋1－ln 2，x ∈(0，＋∞)，得f ′(x )＝1x －f ′(1).令x ＝1，则f ′(1)＝1－f ′(1)，∴f ′(1)＝12，f ′(x )＝1x －12.由f ′(x )＞0，即1x －12＞0，得0＜x ＜2；由f ′(x )＜0，即1x －12＜0，得x ＞2.故f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，＋∞).创新突破13.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1，a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)设函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13内是减函数，求a 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，Δ＝4(a 2－3).当Δ＞0，即a ＞3或a ＜－3时，令f ′(x )＞0，即3x 2＋2ax ＋1＞0，解得x ＞－a ＋a 2－33或x ＜－a －a 2－33；令f ′(x )＜0，即3x 2＋2ax ＋1＜0， 解得－a －a 2－33＜x ＜－a ＋a 2－33. 故函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a －a 2－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋a 2－33，＋∞； 单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －a 2－33，－a ＋a 2－33. 当Δ＜0，即－3＜a ＜3时，对所有的x ∈R 都有f ′(x )＞0，故f (x )在R 上单调递增.当Δ＝0，即a ＝±3时，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝0，且对所有的x ≠－a 3都有f ′(x )＞0，故f (x )在R 上单调递增.(2)由(1)，知只有当a ＞3或a ＜－3时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －a 2－33，－a ＋a 2－33内是减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－a －a 2－33≤－23，－a ＋a 2－33≥－13.解得a ≥2.故a 的取值范围是[2，＋∞).。
2014年人教A版选修2-2教案 1.3.1函数的单调性与导数
§1.3.1函数的单调性与导数（第1课时）教学目标：1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程：一．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．二．新课讲授1．问题：图 1.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图1.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图1.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．3．求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >；当4x >，或1x <时，'()0f x <；当4x =，或1x =时，'()0f x =试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减；当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图1.3-4所示．例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+解：（1）因为3()3f x x x =+，所以，'22()333(1)0f x x x =+=+>因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图1.3-5（1）所示．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=- 当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增；当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减；函数2()23f x x x =--的图像如图1.3-5（2）所示．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-<因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图1.3-5（3）所示． 1.3-5(1)1.3-5(2) 1.3-5(3)（4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以 ．当'()0f x >，即 时，函数2()23f x x x =-- ；当'()0f x <，即 时，函数2()23f x x x =-- ；函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图所示．注：（3）、（4）生练例3 如图1.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图1.3-7所示，函数()y f x =在()0,b 或(),0a 内的图像“陡峭”，在(),b +∞或(),a -∞内的图像“平缓”．例4 求证：函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数． 证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x =+-=+-=-+当()2,1x ∈-即21x -<<时，'0y <，所以函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．说明：证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性步骤：（1）求导函数()'f x ；（2）判断()'f x 在(),a b 内的符号；（3）做出结论：()'0fx >为增函数，()'0f x <为减函数．例5 已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围．解：'2()422f x ax x =+-，因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数，所以'()0f x ≥对[]1,1x ∈-恒成立，即220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立，解之得：11a -≤≤ 所以实数a 的取值范围为[]1,1-．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．四．课堂练习1．求下列函数的单调区间1.f (x )=2x 3－6x 2+72.f (x )=x1+2x 3. f (x )=sin x , x ]2,0[π∈ 4. y=xlnx 2．课本 练习五．回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数()y f x =单调区间（3）证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性六．布置作业§1.3.2函数的极值与导数（第2课时）教学目标：1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤；教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.教学过程：一．创设情景观察图1.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()h t 在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？放大t a =附近函数()h t 的图像，如图1.3-9．可以看出()h a '；在t a =，当t a <时，函数()h t 单调递增，()0h t '>；当t a >时，函数()h t 单调递减，()0h t '<；这就说明，在t a =附近，函数值先增（t a <，()0h t '>）后减（t a >，()0h t '<）．这样，当t 在a 的附近从小到大经过a 时，()h t '先正后负，且()h t '连续变化，于是有()0h a '=．对于一般的函数()y f x =，是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号二．新课讲授1．问题：图13-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图1.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现：（3） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（4） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图 1.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减． 结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．3．求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >；当4x >，或1x <时，'()0f x <；当4x =，或1x =时，'()0f x =试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减；当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图1.3-4所示．例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+解：（1）因为3()3f x x x =+，所以， '22()333(1)0f x x x =+=+>因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图1.3-5（1）所示．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=- 当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增；当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减；函数2()23f x x x =--的图像如图1.3-5（2）所示．（5） 因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-<因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图1.3-5（3）所示．（6） 因为32()23241f x x x x =+-+，所以 ．当'()0f x >，即 时，函数2()23f x x x =-- ；当'()0f x <，即 时，函数2()23f x x x =-- ；函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图3.3-5（4）所示．注：（3）、（4）生练例6 如图1.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图所示，函数()y f x =在()0,b 或(),0a 内的图像“陡峭”，在(),b +∞或(),a -∞内的图像“平缓”． 例7 求证：函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数． 证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x =+-=+-=-+当()2,1x ∈-即21x -<<时，'0y <，所以函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．说明：证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性步骤：（1）求导函数()'f x ；（2）判断()'f x 在(),a b 内的符号； （3）做出结论：()'0fx >为增函数，()'0f x <为减函数． 例8 已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：'2()422f x ax x =+-，因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数，所以'()0f x ≥对[]1,1x ∈-恒成立，即220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立，解之得：11a -≤≤ 所以实数a 的取值范围为[]1,1-．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．四．课堂练习1．求下列函数的单调区间1.f (x )=2x 3－6x 2+72.f (x )=x1+2x 3. f (x )=sin x , x ]2,0[π∈ 4. y=xlnx 2．课本练习五．回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数()y f x =单调区间（3）证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性六．布置作业。
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3a 3a 上为减函数， ， 3 3 3a 3a ， ， 3 3
∴f(x)的单调递减区间为 －
3a ∴ 3 ＝1，即 a＝3.
已知函数 f(x)＝x3－ax－1 为单调递增函数，求实数 a 的取值范围．
2．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上单调递减，求a的范围．
1.3.1函数的单 调性与导数
高二数学 选修2-2
第一章
导数及其应用
在某个区间(a, b)内,
f '( x ) 0
f ( x)在(a, b)内单调递增
f '( x ) 0
注意：
f ( x)在(a, b)内单调递减
如果恒有 f ' ( x) 0 ，则 f ( x) 是常数。
注意：如果只有个 别点使得f(x0 ) 0,则个别点不影响函数 f(x) 的单调性。
(1) a 0 b 由 f ( x) 0, 得 x , 即函数 f ( x) 的递增区间 2a b b 是 ( ,); 相应地, 函数的递减区间是 (, ) 2a 2a (2) a 0 b 由 f ( x) 0, 得 x , 即函数 f ( x) 的递增区间 2a b b 是 ( , ) ; 相应地, 函数的递减区间是 ( ,) 2a 2a
只有一个根。
1 f ( x ) x - sin x,x ( , ) 2 1 f '( x ) 1 cos x 0 2 f(x)在（ ， ）上是单调函数， 而当x 0时，（ f x )=0 1 方程x sin x 0有唯一的根x 0. 2
1、函数的单调性是函数的局部性概念； 2、应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义， 它必是定义 域内的某个区间。
1.讨论二次函数 f ( x) ax 2
解:
bx c(a 0) 的单调区间. 2 f ( x) ax bx c(a 0) f ( x) 2ax b.
增，求a的取值范围。
解：f ( x ) ax3 - x2 x - 5在(-,+)上单调递增, f '( x ) 3ax2 - 2x 1 0在(-,+)上恒成立。
a 0 4 12a 0 1 a 3
已知函数 f(x)＝x3－ax－1 为单调递增函数，求实数 a 的取值范围．
[ 跟踪训练] 2．设f(x)＝e －ax－2，求f(x)的单调区间.
[ 解] f(x)的定义域为 (－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a. 若 a≤0，则 f′(x)＞0， 所以 f(x)在(－∞， ＋∞)上单调递增． 若 a＞0，则当 x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；
当 x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0. 所以 f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增． 综上所述，当 a≤0 时，函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增； 当 a＞0 时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增.
函数f ( x ) x ax bx c , 其中a , b, c为常数，
3 2
当a 3b 0时，f ( x )在R上(
2
A )
( A)增函数 (C )常数
( B )减函数 ( D )既不是增函数也不是减函数
题型二：已知单调性，求参数；
例1：若函数f (x) ax3 - x2 x - 5在(-,+)上单调递增，
x
【导学
例 5、 已知函数f ( x) a ln x ax 3(a R)，
求f ( x)的单调区间。
a a (1 x) f ( x) a ( x 0) x x
/
f / ( x) 0 f ( x)在(0, )上不具单调性； (1)当a 0时，
(2)当a 0时，由f / ( x) 0
[ 思路探究] fx单调递增 ―→ f′x≥0恒成立 ―→ 分离参数求a的范围
[ 解]
由已知得 f′(x)＝3x2－a，
因为 f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数， 所以 f′(x)＝3x2－a≥0 在(－∞，＋∞)上恒成立， 即 a≤3x2 对 x∈R 恒成立，因为 3x2≥0，所以只需 a≤0. 又因为 a＝0 时，f′(x)＝3x2≥0， f(x)＝x3－1 在 R 上是增函数，所以 a≤0.
[ 解] ∵f(x)＝x3－ax－1， ∴f′(x)＝3x2－a， 由 f′(x)＝0， 3a 得 x＝± 3 (a≥0)， ∵f(x)在区间(－1,1)上不单调， 3a ∴0＜ 3 ＜1，即 0＜a＜3. 故 a 的取值范围为(0,3)．
3
三、方程根的问题 例3：求证：方程
1 x sin x 0 2
四、不等式证明问题
练习: 已知 x 1 ，求证： x ln( x 1)
提示:运用导数判断单调性,
根据函数的单调性比较函数值大小
பைடு நூலகம்
本题用到一个重要的转化：
m≥f(x)恒成立 m f (x) max m f (x)恒成立 m f (x) min
已知函数 f(x)＝x3－ax－1 为单调递增函数，求实数 a 的取值范围．
母题探究：1.(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1的单调减区间为(－1,1)，求a的 取值范围．
[ 解] 由 f′(x)＝3x2－a，
①当 a≤0 时，f′(x)≥0， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
3a ②当 a＞0 时，令 3x2－a＝0，得 x＝± 3 ， 3a 3a 当－ 3 ＜x＜ 3 时，f′(x)＜0.
0 x 1；
由f / ( x) 0 x 1
(3)当a 0时，由f / ( x) 0 x 1；由f / ( x) 0 0 x 1。
综合上述
3 2 f(x) ax 3 x x 1在R上是 1.（全国卷Ⅰ）已知函数 减函数，求a的取值范围.
由题意可知 f′(x)＝3x2－a≤0 在(－1,1)上恒成立，
3－a≤0 ，即 3－a≤0
[ 解]
f′－1≤0 ∴ f′1≤0
，∴a≥3.
即 a 的取值范围是[3，＋∞)．
已知函数 f(x)＝x3－ax－1 为单调递增函数，求实数 a 的取值范围．
3．(变条件)若函数f(x)＝x －ax－1在(－1,1)上不单调，求a的范围．
a的取值范围是（-∞，-3]
4．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0, 1)内单调递减，则实数a的取值范围是 ( A．[1，＋∞) C．(－∞，1] B．a＝1 D．(0,1) ) 【导学号：31062040】
A
[∵f′(x)＝3x2－2ax－1，
且 f(x)在(0,1)内单调递减， ∴不等式 3x2－2ax－1≤0 在(0,1)内恒成立， ∴f′(0)≤0，且 f′(1)≤0，∴a≥1.]