工程数学-线性代数第三章矩阵的秩与线性方程组同步综合练习

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线性代数课后习题解答第三章习题解答

第三章矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~r r r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r rr --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。

线性代数同步练习册第三章(20题,15页)

第三章向量组及其相关性1、求下列方程组的一般解.(1)1341234123420320 2530 x x xx x x xx x x x+-=⎧⎪-+-+=⎨⎪-+-=⎩(2)123123123252323214612x x xx x xx x x-+=-⎧⎪+-=⎨⎪-+-=⎩2、试将(4,11,3)Tβ=表示为12(1,3,2),(3,2,1),T Tαα==3(2,5,1)Tα=--的线性组合.3、试将(1,2,1,1)Tβ=表示为12(1,1,1,1),(1,1,1,1),T Tαα==--34(1,1,1,1),(1,1,1,1)T Tαα=--=--的线性组合.4、已知123(1,1,0),(2,0,1),(2,5,),T T T t ααα===试问t 为何值时3α可由12,αα线性表示.5、选择题(1) 已知向量组1234,,,αααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（C ）（A ）12233441,,,αααααααα++++; （B ）12233441,,,αααααααα----; （C ）12233441,,,αααααααα+++-; （D ）12233441,,,αααααααα++--.(2) 若,,αβγ线性无关，,,αβδ线性相关，则（D ）（A ）α必可由,,βγδ线性表示; （B ）β必不可由,,αγδ线性表示; （C ）δ必不可由,,αβγ线性表示; （D ）δ必可由,,αβγ线性表示.(3) n 维向量组12,,,(3)m m n ααα≤≤线性无关的充分必要条件是（D ）（A ）存在一组不全为零的数12,,,m k k k ，使11220m m k k k ααα+++≠;（B ）12,,,m ααα中任意两个向量线性无关;（C ）12,,,m ααα中存在一个向量，它不能由其余向量线性表示; （D ）12,,,m ααα中任意一个向量都不能由其余向量线性表示.(4)向量组123,,ααα线性无关，112223,,βααβαα=-=-331t βλαα=-也线性无关，则,t λ满足（B ）();();()1;()2A t B t C t D t λλλλ=≠==≠.6、求下列向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示.(1)12(1,2,3,0),(1,2,0,3),T T αα==--3(2,4,6,0),T α=45(1,2,1,0),(0,0,1,1)T T αα=--=.(2)123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(1,1,2,0),T T T ααα=-==-45(3,0,7,14),(2,1,5,6)T T αα==.(3) 123(1,4,2),(1,2,4),(2,5,1),T T T ααα=-=-=-45(4,5,2),(5,4,4)T T αα=-=-.(4)12(1,3,5,1),(2,1,3,4),T T αα=-=--3(5,1,1,7),T α=-4(3,3,1,1)T α=--.(5)12(1,0,2,3,4),(7,1,0,1,3),T T αα=-=-3(1,4,9,6,22),T α=-- 4(6,4,1,9,2)T α=.7、已知向量组123,,ααα线性无关，试证向量组1223,αα+23134,5αααα++亦线性无关.8、向量组12,,,s ααα线性无关,112,βαα=+223,,βαα=+1s s βαα=+，试讨论向量组12,,,s βββ的线性相关性.9、设n 维向量123,,ααα线性相关，且满足123230ααα-+=. 试说明对于任意的n 维向量β，参数123,,λλλ满足什么条件时，向量组112233,,αλβαλβαλβ+++线性相关.10、已知向量组12,,,s ααα线性无关，矩阵A 可逆.求证向量组12,,,s A A A ααα线性无关.11、已知向量组123(1,3,0,5),(1,2,1,4),(1,1,2,3),T T T ααα===4(1,3,6,1)T α=--5(1,,3,)T a b α=的秩为2. 试求b a ,的值，并求向量组的一个极大线性无关组，且将其余向量用该极大线性无关组线性表示.12、已知矩阵11313134,1598A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭求()r A .13、矩阵21837230753258010320A ⎛⎫⎪--⎪= ⎪-⎪⎝⎭,求矩阵A 的秩并写出A 的一个最高阶非零子式.14、a 取何值时，矩阵23653014114589A a --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭的秩是2.15、已知4R 的两组基123{,,}ααα与123{,,}βββ，且123{,,}ααα到123{,,}βββ的过渡矩阵为211112113⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭，向量α在基123{,,}ααα下的坐标为(1,1,3)T. 试求α在基123{,,}βββ下的坐标.16、已知向量空间4R 的两组基： ( I ) 1234(1,1,0,0),(1,2,0,0),(0,0,1,1),(0,0,1,2)αααα==== ( II )1234(2,1,0,0),(3,1,0,0),(0,0,2,3),(0,0,1,2)ββββ====(1) 求由基( I )到基( II )的过渡矩阵;(2) 求向量12342αββββ=++-在基( I )下的坐标.17、已知向量组123(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,0,4),T T T ααα===4(0,0,0,2)T α=是R 4的一组基, 设12(1,0,0,0),(0,1,0,0),T T εε==34(0,0,1,0),(0,0,0,1)T T εε==为自然基. 试求由基1234,,,αααα到基1234,,,εεεε的过渡矩阵，并求3ε在基1234,,,αααα下的坐标.18、设123,,ααα是3R 的一组标准正交基，且112321233123122212221,,333333333βαααβαααβααα=+-=++=--(1)证明123,,βββ也是3R 的一组标准正交基;(2)证明基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为正交矩阵; (3)求向量1232αααα=+-在基123,,βββ下的坐标.19、设(1,1,1)T α=，(1,2,2)T β= (1) 求一个与,αβ都正交的非零向量γ；(2) 利用施密特正交化方法，把向量组{},,αβγ化为标准正交基20、设βααα,,,321均为n 维非零列向量，且321,,ααα线性无关，β与321,,ααα分别正交，试问321,,ααα，β是否线性无关？并给出证明.第三章向量组及其相关性自测题一、判断题：( ) 1、如果两个向量组的秩相等，那么它们必然是等价向量组. ( ) 2、若向量组123,,ααα线性无关，124,,ααα线性相关，则4α必可由123,,ααα线性表示. ( ) 3、设12,,,n ααα是一组n 维向量且n 维单位向量12,,,n εεε可被它们线性表出，那么12,,,n ααα线性无关.( ) 4、设123...,r βααα=+++ 213...,,r βααα=+++⋅⋅⋅ 121...r r βααα-=+++，那么1212{,,}{,,}r r r r βββααα⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅.( ) 5、设1123(,,),T a a a α=2123(,,),T b b b α=3123(,,),T c c c α=则三条直线0i i i a x b y c ++=，22(0,1,2,3)i i a b i +≠=交于一点的充要条件是123,,ααα线性相关且12,αα线性无关.( ) 6、如果一个向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关.( ) 7、m n >是n 维向量组12m ,,ααα线性相关的必要条件.( ) 8、若123,,ααα线性无关，则122331,,αααααα+++线性无关. ( ) 9、正交的向量组必定不含零向量.( ) 10、如果A 是n 阶矩阵且0A =，则A 的每一个行向量都是其余各行向量的线性组合. 二、填空题1、设(2,1,5)Tα=-，(1,1,1)Tβ=-，则αβ+＝，32αβ-＝ .2、设1(1,1,1)Tα=，2(1,2,3)Tα=，3(1,3,)Tt α=，则当=t 时它们线性相关.3、设123(,1,1),(0,2,3),(1,2,1)T T T k ααα===, 则当k 时，123,,ααα线性无关.4、已知向量组123(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),T T T ααα===4(4,5,6,7)T α=，则该向量组的秩是 .5、若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t A 31322101,且()3r A =,则 .6、设13014221x A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，()2r A =，则x = . 7、设三阶方阵 ()()1212,,,,2,3A B αγγβγγ==- , 其中αβγγ,,,12 均是三维列向量且1,33A B =-=, 则A B += .8、设12312,,,,αααββ均为4维列向量, 且矩阵1231(,,,)A αααβ=,1223(,,,)B ααβα=, 32112(,,,)C αααββ=+,如果||,||A a B b ==，则行列式||C = .9、已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=11334221t A 的列向量线性相关，则=t .10、设矩阵0100001000010000⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则3A 的秩为 11、若A 为n 阶可逆矩阵，则()r A *= .12、设123,,a a a 是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23a a a 到基122331,,+++a a a a a a 的过渡矩阵为13、在3R 中，向量(1,2,2),(1,0,1)T T αβ==-的夹角是，αβ-= .14、设向量4(1,1,0,1),(1,2,2,0),TTR αβ=--=-∈那么向量,αβ的夹角为 .15、已知(1,2,3),(5,1,),T Tk αβ=--= 那么k = 时,向量α与β正交.16、从2R 的基12(1,0),(1,1),T Tαα==-到基12(1,1),(1,2)T T ββ==的过渡矩阵为 .17、(2,0,0)T β=在基1(1,1,0)T α=，2(1,0,1)T α=，3(0,1,1)T α=下的坐标是 .18、设向量(1,,)Ta b α=与向量12(2,2,2),(3,1,3)T T αα==都正交,则a =_ _，b = .19、设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭是正交阵，则=+bd ac .20、设A 是正交矩阵，j α是A 的第j 列，则j α与j α的内积等于 .三、求向量组1234(2,1,3,1),(3,1,2,0),(1,3,4,2),(4,3,1,1)T T T Tαααα=-=-=-=-的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.四、求矩阵11221511061λλ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A 的秩.五、已知向量组123(1,1,1,3),(1,3,5,1),(2,6,10,)T T T a ααα==--=-- ,4(4,1,6,10)T a α=+ 线性相关. 试求a 的值并确定该向量组的一个极大线性无关组.六、已知123(1,2,1),(,1,10),(1,,6),(2,5,1)T T T T ααλαλβ==-=--= ,试分析λ的取值情况使得(1)β可由123,,ααα线性表出，表示方式唯一； (2)β可由123,,ααα线性表出，表示方式不唯一； (3)β不能由123,,ααα线性表出.七、试利用施密特正交化方法，把向量组()10,1,1T α=,()21,0,1Tα=,()31,1,0Tα=化为标准正交基.八、设11232123,2,βαααβααα=++=++312323,βααα=++如果321,,ααα线性无关，证明：321,,βββ也线性无关.。

线性代数第三章习题

矩阵的加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。
数与矩阵的乘法
数与矩阵的乘法定义为该数与矩阵中每一个元素相乘，即kA = [kaij]m×n，其中k 是一个数，A是一个m×n的矩阵。
数与矩阵的乘法满足分配律和结合律，即k(A + B) = kA + kB，(k + l)A = kA + lA， k(lA) = (kl)A。
03
逆矩阵与矩阵的秩
逆矩阵的定义和性质
定义：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得AB=BA=I（I为单位矩阵），则称B 为A的逆矩阵，记为A^(-1)。
若A、B均可逆，则AB也可逆，且 (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)。
若A可逆，则A的逆矩阵也可逆，且 (A^(-1))^(-1)=A。
应用实例
1
2
图像处理中的PCA（主成分分析）方法就利用了特征值和特征向量的概念来进行数据降维和特征提取。
3
在推荐系统中，可以利用特征值和特征向量的概念来进行用户和物品的相似度计算，从而提高推荐算法的准确性。
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线性代数第三章习
目录
CONTENTS
• 矩阵的基本概念和性质 • 行列式及其性质 • 逆矩阵与矩阵的秩 • 线性方程组与矩阵的应用 • 特征值与特征向量
01
矩阵的基本概念和
性质
矩阵的定义和表示
矩阵是一个由数值组成的矩形阵列，其大小由行数和列数确定。
矩阵通常用大写字母表示，如A、 B、C等，而行列数通常用小写字母m和n表示，其中m表示行

线性代数课后习题答案第三章矩阵的初等变换与线性方程组

第三章矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步: r 3÷3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步: r 2+3r 3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. ) ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320(下一步: r 2⨯2+(-3)r 1, r 3+(-2)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000310010020(下一步: r 1÷2. ) ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311;解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311(下一步: r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步: r 2÷(-4), r 3÷(-3) , r 4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011.(4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132(下一步: r 1-2r 2, r 3-3r 2, r 4-2r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110(下一步: r 2+2r 1, r 3-8r 1, r 4-7r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--41000410002020111110(下一步: r 1↔r 2, r 2⨯(-1), r 4-r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00000410001111020201(下一步: r 2+r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00000410003011020201. 2.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A , 求A .解⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001010是初等矩阵E (1, 2), 其逆矩阵就是其本身.⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是E (1, 2(-1))⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010101.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101987654321100001010A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=287221254100010101987321654.3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛323513123;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101011001200410123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----21021211233267.(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023.解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----10000100001000011210232112201023~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00100301100001001220594012102321~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------20104301100001001200110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106126311101042111000010********* 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------10612631110104211.4. (1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=113122214A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=132231B ,求X 使AX =B ;解因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231 113122214) ,(B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--412315210 100010001 ~r ,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==-4123152101B A X .(2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪⎭⎫⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B .解考虑A T X T =B T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(T T B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411007101042001 ~r ,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-417142)(1T T T B A X ,从而 ⎪⎭⎫⎝⎛---==-4741121BA X .5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=101110011A , AX =2X +A ,求X .解原方程化为(A -2E )X =A . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-101101110110011011) ,2(A E A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011100101010110001~,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-=-011101110)2(1A E A X .6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r -1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?解在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r -1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式. 例如,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010*********A , R (A )=3.000是等于0的2阶子式, 010001000是等于0的3阶子式.7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样?解 R (A )≥R (B ).这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013; 解⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013(下一步: r 1↔r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443120131211(下一步: r 2-3r 1, r 3-r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----564056401211(下一步: r 3-r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛---000056401211,矩阵的2秩为, 41113-=-是一个最高阶非零子式.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073*********(下一步: r 1-r 2, r 2-2r 1, r 3-7r 1. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛------15273321059117014431(下一步: r 3-3r 2. )~⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000059117014431,矩阵的秩是2, 71223-=-是一个最高阶非零子式.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812. 解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812(下一步: r 1-2r 4, r 2-2r 4, r 3-3r 4. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------02301024205363071210(下一步: r 2+3r 1, r 3+2r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0230114000016000071210(下一步: r 2÷16r 4, r 3-16r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02301000001000071210~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100007121002301,矩阵的秩为3,070023085570≠=-是一个最高阶非零子式.10. 设A 、B 都是m ⨯n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ).证明根据定理3, 必要性是成立的.充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有A ~D , D ~B .由等价关系的传递性, 有A ~B . 11.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=32321321k k k A ,问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3. 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r .(1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =-2且k ≠1时, R (A )=2; (3)当k ≠1且k ≠-2时, R (A )=3.12. 求解下列齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ;解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3/410013100101,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x (k 为任意常数).(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ;解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000001001021,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010012214321k k x xx x (k 1, k 2为任意常数).(3)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000010000100001,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧====0004321x x x x ,故方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x .(4)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----3127161311423327543~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000000001720171910171317301,于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x xx x x x x x x , 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).13. 求解下列非齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+83111021322421321321x x x x x x x x ;解对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--80311102132124~⎪⎭⎫ ⎝⎛----600034111008331,于是R (A )=2, 而R (B )=3, 故方程组无解.(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432z y x z y x z y x z y x ;解对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000000021101201,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=zz z y z x 212,即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021112k z y x (k为任意常数).(3)⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+12222412w z y x w z y x w z y x ;解对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000010002/102/12/11,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-=0212121w z z y y z y x ,即⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021010210012121k k w z y x (k 1, k 2为任意常数). (4)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534432312w z y x w z y x w z y x .解对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----253414312311112~⎪⎭⎫ ⎝⎛----000007/57/97/5107/67/17/101,于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--=++=ww z z w z y w z x 757975767171,即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00757610797101757121k k w z y x (k 1, k 2为任意常数). 14. 写出一个以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1042013221c c x为通解的齐次线性方程组. 解根据已知, 可得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10420132214321c c x xx x ,与此等价地可以写成⎪⎩⎪⎨⎧==+-=-=2413212211432c x cx c c x c c x ,或 ⎩⎨⎧+-=-=432431432x x x x x x ,或 ⎩⎨⎧=-+=+-04302432431x x x x x x , 这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组.15. λ取何值时, 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x .(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多个解? 解⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21111111λλλλλB ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011 ~λλλλλλλλλλr. (1)要使方程组有唯一解, 必须R (A )=3. 因此当λ≠1且λ≠-2时方程组有唯一解.(2)要使方程组无解, 必须R (A )<R (B ), 故 (1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2≠0. 因此λ=-2时, 方程组无解.(3)要使方程组有有无穷多个解, 必须R (A )=R (B )<3, 故 (1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2=0. 因此当λ=1时, 方程组有无穷多个解.16. 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212222λλx x x x x x x x x 当λ取何值时有解？并求出它的解. 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112λλB ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(000)1(32110121λλλλ.要使方程组有解, 必须(1-λ)(λ+2)=0, 即λ=1, λ=-2. 当λ=1时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=121111212112B ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000001101101,方程组解为⎩⎨⎧=+=32311xx x x 或⎪⎩⎪⎨⎧==+=3332311x x x x x x , 即⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111321k x x x (k 为任意常数).当λ=-2时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=421121212112B ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000021102101,方程组解为⎩⎨⎧+=+=223231x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=33323122x x x x x x ,即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111321k x x x (k 为任意常数).17. 设⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-1)5(4224)5(2122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x .问λ为何值时, 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解. 解B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------154224521222λλλλ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------)4)(1()10)(1(0011102452λλλλλλλλ.要使方程组有唯一解, 必须R (A )=R (B )=3, 即必须 (1-λ)(10-λ)≠0,所以当λ≠1且λ≠10时, 方程组有唯一解. 要使方程组无解, 必须R (A )<R (B ), 即必须 (1-λ)(10-λ)=0且(1-λ)(4-λ)≠0, 所以当λ=10时, 方程组无解.要使方程组有无穷多解, 必须R (A )=R (B )<3, 即必须 (1-λ)(10-λ)=0且(1-λ)(4-λ)=0,所以当λ=1时, 方程组有无穷多解.此时，增广矩阵为B ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000001221, 方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧==++-=33223211x x x x x x x , 或⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (k 1, k 2为任意常数). 18. 证明R (A )=1的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量b T , 使A =ab T .证明必要性. 由R (A )=1知A 的标准形为)0 , ,0 ,1(001000000001⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅,即存在可逆矩阵P 和Q , 使)0 , ,0 ,1(001⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=PAQ , 或11)0 , ,0 ,1(001--⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=Q P A .令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=-0011P a , b T =(1, 0, ⋅⋅⋅, 0)Q -1, 则a 是非零列向量, b T 是非零行向量, 且A =ab T .充分性. 因为a 与b T 是都是非零向量, 所以A 是非零矩阵, 从而R (A )≥1. 因为1≤R (A )=R (ab T )≤min{R (a ), R (b T )}=min{1, 1}=1, 所以R (A )=1.19. 设A 为m ⨯n 矩阵, 证明(1)方程AX =E m 有解的充分必要条件是R (A )=m ; 证明由定理7, 方程AX =E m 有解的充分必要条件是R(A)=R(A,E m),而| E m|是矩阵(A,E m)的最高阶非零子式,故R(A)=R(A,E m)=m.因此,方程AX=E m有解的充分必要条件是R(A)=m.(2)方程YA=E n有解的充分必要条件是R(A)=n.证明注意,方程YA=E n有解的充分必要条件是A T Y T=E n有解.由(1)A T Y T=E n有解的充分必要条件是R(A T)=n.因此，方程YA=E n有解的充分必要条件是R(A)=R(A T)=n.20.设A为m⨯n矩阵,证明:若AX=AY,且R(A)=n,则X=Y.证明由AX=AY,得A(X-Y)=O.因为R(A)=n,由定理9,方程A(X-Y)=O只有零解,即X-Y=O,也就是X=Y.。

线性代数答案第三,四章课后答案

第三章矩阵的初等变换与线性方程组1．解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3403130212011312)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020031001201 )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--30003100120133~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320 1312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320 21233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000310*******1~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00031005010(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311141312323~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------10105663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----2212210022100343112423213~rr r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000002210032011(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------3473238234202173132 242321232~rr r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~r r r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4100041000202011111034221)1(~rr r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00410001********* 32~r r +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000410003********* 2．解在秩是r 的矩阵中,可能存在等于0的1-r 阶子式,也可能存在等于0的r 阶子式.例如，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000010000100001α 3)(=αR 同时存在等于0的3阶子式和2阶子式.3．解 )(A R ≥)(B R设r B R =)(，且B 的某个r 阶子式0≠D r .矩阵B 是由矩阵A 划去一行得到的，所以在A 中能找到与D r 相同的r 阶子式D r ，由于0≠=D D r r ，故而)()(B R A R ≥.4．解设54321,,,,ααααα为五维向量,且)0,0,1,0,1(1=α,)0,0,0,1,1(2-=α,则所求方阵可为,54321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααααA 秩为4,不妨设 ⎪⎩⎪⎨⎧===)0,0,0,0,0(),0,0,0,0()0,,0,0,0(55443αααx x 取154==x x 故满足条件的一个方阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0010000010000001100101 5．.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013r r 21~↔⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443120131211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------56456401211~12133r r r r 2000056401211~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----r r 二阶子式41113-=-．(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073131223123⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------15273321059117014431~27122113r r rr r r 2000591170144313~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----r r .二阶子式71223-=-． (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812434241322~rr rr r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------02301024205363071210131223~r r r r ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-023114000016000071210344314211614~r r r r r r r r -÷÷↔↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00100007121002301秩为3 三阶子式0702385523085570≠=-=-．6．解 (1) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---34113100101~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1343344321kx x x x(2) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----5110531631121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00001001021~即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=4432242102x xx x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10010012214321k k x x x x(3) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010*********~即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x故方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x(4) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3127161311423327543⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000001720171910171317301~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x 7．解 (1) 对系数的增广矩阵施行行变换,有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--603411100833180311102132124~2)(=A R 而3)(=B R ,故方程组无解．(2) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000021101201~即得⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=zz z y z x 212亦即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021112k z y x(3) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000100011112~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===++-=0212121w z z y y z y x 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021010210012121k k w z y x(4) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----00007579751025341253414312311112~⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000007579751076717101~ 即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--=++=w w z z w z y w z x 757975767171 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00757610797101757121k k w z y x8．解 (1) 0111111≠λλλ,即2,1-≠λ时方程组有唯一解.(2) )()(B R A R <⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21111111λλλλλB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(0)1(11011~λλλλλλλλλλ由0)1)(1(,0)2)(1(2≠+-=+-λλλλ得2-=λ时,方程组无解.(3) 3)()(<=B R A R ,由0)1)(1()2)(1(2=+-=+-λλλλ,得1=λ时,方程组有无穷多个解. 9．解 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=)2)(1(0)1(321101212111212112~2λλλλλλB 方程组有解，须0)2)(1(=+-λλ得2,1-==λλ当1=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111321k x x x当2-=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111321k x x x10．解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------154224521222λλλλ初等行变换~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------2)4)(1(2)10)(1(00111012251λλλλλλλλ 当0≠A ,即02)10()1(2≠--λλ 1≠∴λ且10≠λ时，有唯一解.当02)10)(1(=--λλ且02)4)(1(≠--λλ，即10=λ时，无解.当02)10)(1(=--λλ且02)4)(1(=--λλ，即1=λ时，有无穷多解.此时，增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000001221原方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (R k k ∈21,)11．解（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10010001323513123⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101011001200410123~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----10121121023200010023~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2102121129227100010003~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267100010001~故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267 (2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----10000100001000011210232112201023⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00100301100001001220594012102321~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------20143011000010012110012102321~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------1061263111010421110010000100001~故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------10612631110104211 12．解(1) ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=132231113122214B A 初等行变换~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--41231521010010001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==∴-4123152101B A X (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛132321433312120B A 初等列变换~⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---474112100010001⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==∴-4741121BAX ．第四章向量组的线性相关性1．解 21v v -TT)1,1,0()0,1,1(-=T)10,11,01(---=T)1,0,1(-= 32123v v v -+TTT)0,4,3()1,1,0(2)0,1,1(3-+=T)01203,41213,30213(-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯=T)2,1,0(=2．解由)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-整理得)523(61321a a a a -+=])1,1,1,4(5)10,5,1,10(2)3,1,5,2(3[61TT T --+=T)4,3,2,1(=3．解 (1) 设)0,,0,0,1(11 ==e a032====m a a a满足m a a a ,,,21 线性相关,但1a 不能由,,,2m a a 线性表示. (2) 有不全为零的数m λλλ,,,21 使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ原式可化为0)()(111=++++m m m b a b a λλ取m m m b e a b e a b e a -==-==-==,,,222111 其中m e e ,,1 为单位向量,则上式成立,而m a a ,,1 ,m b b ,,1 均线性相关 (3) 由01111=+++++m m m m b b a a λλλλ (仅当01===m λλ )m m b a b a b a +++⇒,,,2211 线性无关取021====m a a a 取m b b ,,1 为线性无关组满足以上条件,但不能说是m a a a ,,,21 线性无关的.(4) Ta )0,1(1= Ta )0,2(2= Tb )3,0(1= Tb )4,0(2=⎪⎭⎪⎬⎫-=⇒=+-=⇒=+21221121221143020λλλλλλλλb b a a 021==⇒λλ与题设矛盾. 4．证明设有4321,,,x x x x 使得044332211=+++b x b x b x b x 则0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 0)()()()(443332221141=+++++++a x x a x x a x x a x x(1) 若4321,,,a a a a 线性相关,则存在不全为零的数4321,,,k k k k ,411x x k +=;212x x k +=;323x x k +=;434x x k +=;由4321,,,k k k k 不全为零,知4321,,,x x x x 不全为零,即4321,,,b b b b 线性相关.(2) 若4321,,,a a a a 线性无关,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+000043322141x x x x x x x x 0110110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒x x x x 由011011000111001=知此齐次方程存在非零解则4321,,,b b b b 线性相关. 综合得证.5．证明设02211=+++r r b k b k b k 则++++++++++p r p r r a k k a k k a k k )()()(2211 0=+r r a k因向量组r a a a ,,,21 线性无关,故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221rr r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001001101121r k k k因为01111011≠=故方程组只有零解则021====r k k k 所以r b b b ,,,21 线性无关 6．解 (1)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛482032251345494751325394754317312514131233~r r r r rr --- ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛53153103210431731252334~r r r r --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0003100321043173125所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---141131302151201221114132~r r r r --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------2221512015120122114323~r r r r ↔+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00222001512012211，所以第1、2、3列构成一个最大无关组． 7．解 (1) 3131,2a a a a ⇒=-线性相关.由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛824241010094121321T TT a a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00032198204121~秩为2,一组最大线性无关组为21,a a .(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛743165143121321T TTa a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------10550189903121~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000189903121~秩为2,最大线性无关组为TTa a 21,.8．证明 n 维单位向量n e e e ,,,21 线性无关不妨设:nnn n n n n n n n a k a k a k e a k a k a k e a k a k a k e +++=+++=+++= 22112222121212121111所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛TnT Tnn n n n n T nT Ta a a k k k k k k k k k e e e2121222211121121 两边取行列式，得TnTTnn n n n n TnTT a a a k k k k k k k k k e e e2121222211121121=由002121≠⇒≠TnTT TnTT a a a e e e即n 维向量组n a a a ,,,21 所构成矩阵的秩为n 故n a a a ,,,21 线性无关.9．证明设n εεε,,,21 为一组n 维单位向量，对于任意n 维向量Tn k k k a ),,,(21 =则有n n k k k a εεε+++= 2211即任一n 维向量都可由单位向量线性表示.必要性⇒n a a a ,,,21 线性无关，且n a a a ,,,21 能由单位向量线性表示，即nnn n n n nn n n k k k k k k k k k εεεαεεεαεεεα+++=+++=+++=22112222121212121111故⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n T T Tnn n n n n T nT T k k k k k k k k k a a a εεε2121222211121121 两边取行列式，得TnTTnn n n n n TnTT k k k k k k k k k a a a εεε2121222211121121=由0021222211121121≠⇒≠nnn n n n TnTT k k k k k k k k k a a a令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯nn n n n n nn k k k k k k k k k A212222111211则由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-T n TTT nTTT n T T T n T T a a a A A a a a εεεεεε212112121即n εεε,,,21 都能由n a a a ,,,21 线性表示，因为任一n 维向量能由单位向量线性表示，故任一n 维向量都可以由n a a a ,,,21 线性表示.充分性⇐已知任一n 维向量都可由n a a a ,,,21 线性表示，则单位向量组：n εεε,,,21 可由n a a a ,,,21 线性表示，由8题知n a a a ,,,21 线性无关.10．证明设C B A ,,的最大线性无关组分别为C B A ''',,,含有的向量个数 (秩)分别为221,,r r r ,则C B A ,,分别与C B A ''',,等价,易知B A ,均可由C 线性表示,则秩(C )≥秩(A ),秩(C )≥秩(B )，即321},max{r r r ≤ 设A '与B '中的向量共同构成向量组D ,则B A ,均可由D 线性表示, 即C 可由D 线性表示,从而C '可由D 线性表示，所以秩(C ')≥秩(D ),D 为21r r +阶矩阵，所以秩(D )21r r +≤即213r r r +≤.11.证明:设T n a a a A ),,,(21 = Tn b b b B ),,,(21 =且B A ,行向量组的最大无关组分别为Tr T T ααα,,,21 Ts T T βββ,,,21显然,存在矩阵B A '',,使得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T s T TT nT T A a a a ααα 2121,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T s TT T n T T B b b b βββ2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+∴T n T n T T T T b a b a b a B A 2211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=T s T T T s T TB A βββααα2121因此 ()()()B R A R B A R +≤+ 12．证明 ⇒若B 组线性无关令),,(),,(11s r a a A b b B ==则有AK B =由定理知)()}(),(min{)()(K R K R A R AK R B R ≤≤= 由B 组:r b b b ,,,21 线性无关知r B R =)(，故r K R ≥)(. 又知K 为s r ⨯阶矩阵则},min{)(s r K R ≤由于向量组B :r b b b ,,,21 能由向量组A :s a a a ,,,21 线性表示,则s r ≤ r s r =∴},min{综上所述知r K R r ≤≤)(即r K R =)(．⇐若r k R =)(令02211=+++r r b x b x b x ,其中i x 为实数r i ,,2,1 =则有0),,,(121=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r r x x b b b又K a a b b s r ),,(),,(11 =,则0),,(11=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r s x x K a a由于s a a a ,,,21 线性无关,所以021=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅r x x x K即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++00002211221122221121221111r rs s s r rr r r r r r r x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k （1）由于r K R =)(则(1)式等价于下列方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221121221111r rr r r r r r r x k x k x k x k x k x k x k x k x k由于0212221212111≠rrrrr r k k k k k k k k k所以方程组只有零解021====r x x x .所以r b b b ,,,21 线性无关, 证毕.13．证明集合V 成为向量空间只需满足条件：若V V ∈∈βα,，则V∈+βα若R V ∈∈λα,，则V ∈λα1V 是向量空间，因为：0),,,(2121=+++=n Tn ααααααα 0),,,(2121=+++=n Tn βββββββTn n ),,,(2211βαβαβαβα+++=+且)()()(2211n n βαβαβα++++++0)()(2121=+++++++=n n αααβββ 故1V ∈+βα),,,(,21n R αααλαλ =∈00)(2121=⋅=+++=+++λαααλλαλαλαn n 故1V ∈λα2V 不是向量空间，因为：)()()(2211n n βαβαβα++++++211)()(2121=+=+++++++=n n αααβββ 故2V ∉+βα),,,(,21n R λαλαλαλαλ =∈λλαααλλαλαλα=⋅=+++=+++1)(2121n n故当1≠λ时，2V ∉λα 14．证明设),,(321a a a A =11101110,,321a a a A =0211101011)1(1≠-=-=- 于是3)(=A R 故线性无关.由于321,,a a a 均为三维,且秩为3, 所以321,,a a a 为此三维空间的一组基,故由321,,a a a 所生成的向量空间就是3R .15．证明设{}R k k a k a k x V ∈+==1122111,{}R x V ∈+==1122112,λλβλβλ任取1V 中一向量,可写成2211a k a k +, 要证22211V a k a k ∈+,从而得21V V ⊆ 由22112211βλβλ+=+a k a k 得⎩⎨⎧=+-+=⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-==+1212112122121211212332k k k k k k k k λλλλλλλλλλ上式中,把21,k k 看成已知数,把21,λλ看成未知数0211021≠=-=D 21,λλ⇒有唯一解21V V ⊆∴同理可证: 12V V ⊆ (001112≠=D )故21V V =16．解由于0623111321,,321≠-=-=a a a 即矩阵),,(321a a a 的秩为3故321,,a a a 线性无关，则为3R 的一个基. 设3322111a k a k a k v ++=，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-=++723053232321321k k k k k k k k ⎪⎩⎪⎨⎧-===⇒132321k k k 故321132a a a v -+= 设3322112a a a v λλλ++=，则⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++--=++1323893232321321λλλλλλλλ⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⇒233321k k k 故线性表示为3212233a a a v --=17．.解 (1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=0041431004012683154221081~初等行变换A所以原方程组等价于⎪⎩⎪⎨⎧+=-=4323141434x x x x x 取3,143-==x x 得0,421=-=x x 取4,043==x x 得1,021==x x因此基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4010,310421ξξ(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=00019719141019119201~367824531232初等行变换A 所以原方程组等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=4324311971914191192x x x x x x取2,143==x x 得0,021==x x 取19,043==x x 得7,121==x x因此基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=19071,210021ξξ(3)原方程组即为1212)1(------=n n x x n nx x取0,11321=====-n x x x x 得n x n -=取0,114312======-n x x x x x 得1)1(+-=--=n n x n取0,12211=====--n n x x x x 得2-=n x所以基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=-21100010001),,,(121n nn ξξξ 18．解由于2)(=B R ,所以可设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=43211001x x x x B 则由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=00001001825931224321x x x x AB 可得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛59228020802301003014321x x x x ,解此非齐次线性方程组可得唯一解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2125212114321x x x x ，故所求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2125212111001B ． 19．解显然原方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01233210214321k k x x x x ,(R k k ∈21,)即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+==14213212213223k x k k x k k x k x 消去21,k k 得⎩⎨⎧=+-=+-023032431421x x x x x x 此即所求的齐次线性方程组. 20．解由于矩阵的秩为3，134=-=-r n ，一维．故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，且由于321,,ηηη均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得齐次解齐次解齐次解=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+-=+-6543)()()()()(22121321ηηηηηηη为其基础解系向量，故此方程组的通解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54326543k x ，)(R k ∈21．证明设A 的秩为1r ，B 的秩为2r ，则由0=AB 知，B 的每一列向量都是以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解向量．当n r =1时,该齐次线性方程组只有零解,故此时0=B ,n r =1，02=r ，n r r =+21结论成立．(2) 当n r <1时,该齐次方程组的基础解系中含有1r n -个向量,从而B 的列向量组的秩1r n -≤,即12r n r -≤,此时12r n r -≤,结论成立。

线性代数习题册(第三章矩阵的初等变换与线性方程组参考答案)

(B) 若 A B ，则 R( A) = R(B) ；
(C ) 若 P,Q 可逆，则 R(PAQ) = R( A) ； (D) R( A + B) ≥ R( A) + R(B) .
分析：本题是考察矩阵秩的性质。（A）、（B）、（C）都是正确的。如
R(= PAQ) R= ( AQ) R( A) ，所以（C）是正确的。（D）不正确。因为
（ X）（X）
3. 若矩阵 A 所有的 k 阶子式全为 0 ，则 R( A) < k .
（ √）
4. 初等变换不改变矩阵的秩.
（√）
5. 设矩阵 A, B 分别为线性方程组相应的系数矩阵和增广矩阵，则线性方程组 Ax = b 有唯
一解当且仅当 R( A) = R(B).
（X）
6. 若 A 是 m × n 矩阵，且 m ≠ n ，则当 R( A) = n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解.
( x j − xi ) ≠ 0

1≤i< j≤n
1
xn

x n−1 n
故齐次线性方程组只有唯一的零解，即 a=1 a=2 = a=n 0 。
13. 设 A 为 m × n 矩阵，且 R( A=) m < n ，则（
）.
( A) 若 AB = O ，则 B = 0 ；
(B) 若 BA = O ，则 B = 0 ；

1
1 0
0
0

a11 a21
a12 a22
a13 a23

=

a21 a11
a22 a12
a23 a13

0 0 1 a31 a32 a33 a31 a32 a33

《线性代数》第三章矩阵的初等变换与线性方程组精选习题及解答

⎯r⎯→
⎢⎢0
−1
2
6 −4⎥⎥ ⎯r⎯→
⎢⎣−1 0 2 5 −3⎥⎦
⎢⎣0 0 1 7 −3⎥⎦
⎡1 0 0 9 −3⎤ ⎢⎢0 1 0 8 −2⎥⎥ ⎢⎣0 0 1 7 −3⎥⎦
5
⎡9 −3⎤ 所以 X = (E − A)−1 B = ⎢⎢8 −2⎥⎥
⎢⎣7 −3⎥⎦
例
3.9
方程组
⎪⎨⎧ax1x1++axx22
⎢⎣1 0 1⎥⎦ 可得 R( A) = 2 .故 R( A2 + 2A) = R( A( A + E)) = R( A) = 2 .
例 3.6 设 A* 是 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵，证明
(1) A* = A n−1 ，
⎧n, R( A) = n; (2) R( A*) = ⎨⎪1, R( A) = n −1;
⎢ ⎢
M
M
M
M
⎥ ⎥
⎢⎣a a a L a⎥⎦
(A) 1
1
(B)
1− n
(C) -1
1
(D)
n −1
解因为 R( A) = n −1 ，所以 A = 0 . 又 A = (1− a)n−1[(n −1)a +1] ，故 a = 1 或
a = 1 .当 a = 1 时，易知 R( A) = 1 ，当 a = 1 时， R( A) = n −1.
⎡ x1 ⎤ ⎡− 2c1 + c2 − 1⎤
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
⎢ ⎢
4c1 − 2c2
⎥ ⎥
⎡− 2⎤
⎢ ⎢
4
⎥ ⎥
⎡ 1 ⎤ ⎡− 1⎤
⎢⎢− 2⎥⎥

工程数学线性代数(同济大学第六版)课后习题答案(全)

第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1)381141102---; 解381141102--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8-0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1)=-24+8+16-4=-4.(2)ba c a cbc b a ; 解ba c a cbc b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc=3abc -a 3-b 3-c 3.(3)222111c b a c b a ; 解222111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2=(a -b )(b -c )(c -a ).(4)yx y x x y x y y x y x +++. 解 yx y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3=3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3=-2(x 3+y 3).2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:(1)1 2 3 4;解逆序数为0(2)4 1 3 2;解逆序数为4:41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.(4)2 4 1 3;解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.(5)1 3 ⋅⋅⋅ (2n-1) 2 4 ⋅⋅⋅ (2n);解逆序数为2)1(-nn:3 2 (1个)5 2, 5 4(2个)7 2, 7 4, 7 6(3个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2)(n-1个) (6)1 3 ⋅⋅⋅(2n-1) (2n) (2n-2) ⋅⋅⋅ 2.解逆序数为n(n-1) :3 2(1个)5 2, 5 4 (2个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2)(n-1个) 4 2(1个)6 2, 6 4(2个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n )2, (2n )4, (2n )6,⋅⋅⋅, (2n )(2n -2)(n -1个)3.写出四阶行列式中含有因子a 11a 23的项.解含因子a 11a 23的项的一般形式为(-1)t a 11a 23a 3r a 4s ,其中rs 是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42. 所以含因子a 11a 23的项分别是(-1)t a 11a 23a 32a 44=(-1)1a 11a 23a 32a 44=-a 11a 23a 32a 44,(-1)t a 11a 23a 34a 42=(-1)2a 11a 23a 34a 42=a 11a 23a 34a 42.4.计算下列各行列式: (1)71100251020214214; 解71100251020214214010014231020211021473234-----======c c c c 34)1(143102211014+-⨯---= 143102211014--=01417172001099323211=-++======c c c c . (2)2605232112131412-;解 2605232112131412-260503212213041224--=====c c 041203212213041224--=====r r 0000003212213041214=--=====r r . (3)efcf bf de cd bd ae ac ab ---; 解 ef cf bf de cd bd ae ac ab ---ec b e c b e c b adf ---= abcdef adfbce 4111111111=---=. (4)dc b a 100110011001---. 解d c b a 100110011001---dc b a ab ar r 10011001101021---++===== dc a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====cd c ad a ab dc c cdad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 5.证明:(1)1112222b b a a b ab a +=(a -b )3;证明1112222b b a a b ab a +00122222221213a b a b a a b a ab a c c c c ------===== a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3. (2)yx z x z y z y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++; 证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++ bzay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++= bzay y x by ax x z bx az z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22 zy x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+= yx z x z y z y x b y x z x z y z y x a 33+= yx z x z y z y x b a )(33+=.(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a ; 证明2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3,c 3-c 2,c 2-c 1得) 5232125232125232125232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3,c 3-c 2得) 022122212*********222=++++=d d c c b b a a . (4)444422221111d c b a d c b a d c b a =(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ); 证明444422221111d c b a d c b a d c b a )()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b a d a c a b ---------=)()()(111))()((222a d d a c c a b b d c b a d a c a b +++---= ))(())((00111))()((a b d b d d a b c b c c b d b c a d a c a b ++-++------= )()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++-----==(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ).(5)1221 1 000 00 1000 01a x a a a a x x x n n n+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--- =x n +a 1x n -1+⋅⋅⋅+a n -1x +a n . 证明用数学归纳法证明.当n =2时,2121221a x a x a x a x D ++=+-=,命题成立. 假设对于(n -1)阶行列式命题成立,即D n -1=x n -1+a 1x n -2+⋅⋅⋅+a n -2x +a n -1,则D n 按第一列展开, 有111 00 100 01)1(11-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--+=+-x x a xD D n n n n =xD n -1+a n =x n +a 1x n -1+⋅⋅⋅+a n -1x +a n .因此,对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90︒、或依副对角线翻转,依次得n nn n a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,11112 n nn n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,11113 a a a a D n n nn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=, 证明D D D n n 2)1(21)1(--==,D 3=D .证明因为D =det(a ij ),所以n nn n n n n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111 )1( ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=- ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=-- )1()1(331122111121nnn n n n n n a a a a a a a a D D n n n n 2)1()1()2( 21)1()1(--+-+⋅⋅⋅++-=-=.同理可证nnn n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=- )1(11112)1(2D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-=. D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(.7.计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式): (1)a aD n 1 1⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a ,未写出的元素都是0;解aa a a a D n 0 0010 000 00 0000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开) )1()1(10 000 00 0000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n a a a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a a a n n n n n a a a +⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1 )1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1). (2)xa a a x a a a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解将第一行乘(-1)分别加到其余各行,得 a x x a a x x a a x x a a a a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0 , 再将各列都加到第一列上,得a x a x a x a a a a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1.(3)111 1 )( )1()( )1(1111⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ; 解根据第6题结果, 有nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )( )1()( )1( 11 11)1(1112)1(1-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=---++此行列式为范德蒙德行列式. ∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏≥>≥++---=112)1()]([)1(j i n n n j i∏≥>≥++⋅⋅⋅+-++-⋅-⋅-=1121)1(2)1()()1()1(j i n n n n n j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i .(4)nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112; 解nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112(按第1行展开) nn n n n nd d c d c b a b a a 00011111111----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 00)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+. 再按最后一行展开得递推公式D 2n =a n d n D 2n -2-b n c n D 2n -2, 即D 2n =(a n d n -b n c n )D 2n -2. 于是 ∏=-=ni i i i i n D c b d a D 222)(.而111111112c b d a d c b a D -==, 所以 ∏=-=n i i i i i n c b d a D 12)(. (5) D =det(a ij ),其中a ij =|i -j |; 解 a ij =|i -j |,4321 4 01233 10122 21011 3210)det(⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅==n n n n n n n n a D ij n 0 4321 1 11111 11111 11111 1111 2132⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=====n n n n r r r r 152423210 22210 02210 00210 0001 1213-⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+=====n n n n n c c c c =(-1)n -1(n -1)2n -2. (6)nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121, 其中a 1a 2⋅⋅⋅a n≠0.解nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121 nn n n a a a a a a a a a c c c c +-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=====--100001 000 100 0100 0100 00113322121321111312112111000011 000 00 11000 01100 001 ------+-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=nn n a a a a a a a a∑=------+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n i i n n a a a a a a a a 1111131******** 00010 000 00 10000 01000 001)11)((121∑=+=ni in a a a a .8.用克莱姆法则解下列方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解因为14211213513241211111-=----=D , 142112105132412211151-=------=D ,284112035122412111512-=-----=D ,426110135232422115113-=----=D ,14202132132212151114=-----=D , 所以 111==D D x ,222==D D x ,333==D D x ,144-==DDx . (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+150650650651655454343232121x x x x x x x x x x x x x .解因为 665510006510006510065100065==D , 150751001651000651000650000611==D ,114551010651000650000601000152-==D , 703511650000601000051001653==D ,39551601000051000651010654-==D , 2121100005100065100651100655==D , 所以66515071=x ,66511452-=x ,6657033=x ,6653954-=x ,6652124=x .9.问λ,μ取何值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解系数行列式为μλμμμλ-==1211111D .令D =0,得μ=0或λ=1.于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.10.问λ取何值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解系数行列式为λλλλλλλ--+--=----=101112431111132421D=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ) =(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3. 令D =0, 得λ=0,λ=2或λ=3.于是, 当λ=0,λ=2或λ=3时,该齐次线性方程组有非零解.第二章矩阵及其运算1.已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1,x 2,x 3到变量y 1,y 2,y 3的线性变换. 解由已知: ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ,⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y . 2.已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1,z 2,z 3到x 1,x 2,x 3的线性变换. 解由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B .解⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T. 4.计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635. (2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123)321(;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛; 解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876.(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5.设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗? 解AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA . (2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2. (3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2. 6.举反列说明下列命题是错误的:(1)若A 2=0, 则A =0;解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A ,则A =0或A =E ; 解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A ,但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY ,且A ≠0,则X =Y .解取 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY ,且A ≠0,但X ≠Y .7.设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA ,求A 2,A 3,⋅⋅⋅,A k . 解⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k .8.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ001001A ,求A k . 解首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,⎝⎛=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫. 用数学归纳法证明:当k =2时,显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9.设A ,B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.证明因为A T =A , 所以(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10.设A ,B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .证明充分性:因为A T =A ,B T =B , 且AB =BA , 所以(AB )T =(BA )T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A ,B T =B , 且(AB )T =AB , 所以AB =(AB )T =B T A T =BA .11.求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221;解⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1,故A -1存在.因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A |=1≠0,故A -1存在.因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos . (3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---145243121; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0,故A -1存在.因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以*||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅⋅⋅a n ≠0) . 解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021,由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12.解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122.(3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; 解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012. 13.利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ; 解方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x ,从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x . (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x . 解方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x . 14.设A k =O (k 为正整数),证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1. 证明因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1),所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1)=E ,由定理2推论知(E -A )可逆, 且(E -A )-1=E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1.证明一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ).另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅⋅⋅-A k -1+(A k -1-A k )=(E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1)(E -A ),故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1)(E -A ),两端同时右乘(E -A )-1,就有(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1.15.设方阵A 满足A 2-A -2E =O ,证明A 及A +2E 都可逆,并求A -1及(A +2E )-1.证明由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E ,或 E E A A =-⋅)(21, 由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-. 由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E ,或 E A E E A =-⋅+)3(41)2( 由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E ,两端同时取行列式得|A 2-A |=2,即 |A ||A -E |=2,故 |A |≠0,所以A 可逆,而A +2E =A 2,|A +2E |=|A 2|=|A |2≠0,故A +2E 也可逆. 由A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒)(211E A A -=-, 又由A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E ,所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1,)3(41)2(1A E E A -=+-. 16.设A 为3阶矩阵,21||=A ,求|(2A )-1-5A *|. 解因为*||11A A A =-,所以 |||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A =|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8⨯2=-16.17.设矩阵A 可逆,证明其伴随阵A *也可逆,且(A *)-1=(A -1)*. 证明由*||11A A A =-,得A *=|A |A -1, 所以当A 可逆时, 有 |A *|=|A |n |A -1|=|A |n -1≠0,从而A *也可逆.因为A *=|A |A -1,所以(A *)-1=|A |-1A . 又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以 (A *)-1=|A |-1A =|A |-1|A |(A -1)*=(A -1)*.18.设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明:(1)若|A |=0,则|A *|=0;(2)|A *|=|A |n -1.证明(1)用反证法证明.假设|A *|≠0, 则有A *(A *)-1=E ,由此得 A =AA *(A *)-1=|A |E (A *)-1=O ,所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA *=|A |E , 取行列式得到 |A ||A *|=|A |n .若|A |≠0, 则|A *|=|A |n -1;若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立.因此|A *|=|A |n -1.19.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A ,AB =A +2B , 求B . 解由AB =A +2E 可得(A -2E )B =A ,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330. 20. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B . 解由AB +E =A 2+B 得(A -E )B =A 2-E ,即 (A -E )B =(A -E )(A +E ).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E )可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1,-2,1),A *BA =2BA -8E , 求B . 解由A *BA =2BA -8E 得 (A *-2E )BA =-8E , B =-8(A *-2E )-1A -1 =-8[A (A *-2E )]-1 =-8(AA *-2A )-1 =-8(|A |E -2A )-1 =-8(-2E -2A )-1 =4(E +A )-1=4[diag(2,-1,2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-==2diag(1,-2,1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B . 解由|A *|=|A |3=8, 得|A |=2.由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E )-1A =3[A (E -A -1)]-1A 11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23.设P -1AP =Λ,其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001,求A 11. 解由P -1AP =Λ,得A =P ΛP -1, 所以A 11=A =P Λ11P -1.|P |=3,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001,故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511,求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1 *)(||1P P P Λ=ϕ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111111114. 25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明因为A -1(A +B )B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B )B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B )B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B )B -1]-1=B (A +B )-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B ,则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫⎝⎛+=222111B A O B B A A ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A , 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27.取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A ,验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解 4100120021010*********0021010010110100101==--=--=D C B A , 而 01111|||||||| ==D C B A ,故 |||||||| D C B A D C B A ≠.28.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A ,求|A 8|及A 4. 解令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A ,则 ⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A . ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29.设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆,求 (1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ; 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n EBC OBC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A . 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321.由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nEBD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001. 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A B C O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201(下一步:r 2+(-2)r 1,r 3+(-3)r 1.)~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步:r 2÷(-1),r 3÷(-2).)~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步:r 3-r 2.)~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步:r 3÷3.)~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步:r 2+3r 3.)~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201(下一步:r 1+(-2)r 2,r 1+r 3.)~⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001.(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320(下一步:r 2⨯2+(-3)r 1,r 3+(-2)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320(下一步:r 3+r 2,r 1+3r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000310010020(下一步:r 1÷2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010.(3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311;解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311(下一步:r 2-3r 1,r 3-2r 1,r 4-3r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步:r 2÷(-4),r 3÷(-3) ,r 4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311(下一步:r 1-3r 2,r 3-r 2,r 4-r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132.解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132(下一步:r 1-2r 2,r 3-3r 2,r 4-2r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1187701298804202111110(下一步:r 2+2r 1,r 3-8r 1,r 4-7r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--41000410002020111110(下一步:r 1↔r 2,r 2⨯(-1),r 4-r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00000410001111020201(下一步:r 2+r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000410*******20201. 2. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A , 求A .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001010是初等矩阵E (1,2), 其逆矩阵就是其本身.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是 E (1, 2(-1)) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100010101. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101987654321100001010A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=287221254100010101987321654. 3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛323513123; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101011001200410123 ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003 ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267.(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----10000100001000011210232112201023 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00100301100001001220594012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------20104301100001001200110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106126311101042111000010000100001故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------10612631110104211. 4.(1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=113122214A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=132231B , 求X 使AX =B ; 解因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231 113122214) ,(B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--412315210 100010001 ~r , 所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-4123152101B A X . (2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B . 解考虑A T X T =B T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(T T B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411007101042001 ~r , 所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-417142)(1T T T B A X , 从而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-4741121BA X . 5. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101110011A ,AX =2X +A , 求X . 解原方程化为(A -2E )X =A . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-101101110110011011) ,2(A E A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011100101010110001~, 所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=-011101110)2(1A E A X . 6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r -1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?解在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r -1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式.例如,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ,R (A )=3. 0000是等于0的2阶子式,010001000是等于0的3阶子式. 7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A ,B 的秩的关系怎样? 解R (A )≥R (B ).这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1,0,1,0,0),(1,-1,0,0,0).解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013(下一步:r 1↔r 2. ) ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443120131211(下一步:r 2-3r 1,r 3-r 1. ) ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----564056401211(下一步:r 3-r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛---000056401211, 矩阵的2秩为,41113-=-是一个最高阶非零子式. (2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********(下一步:r 1-r 2,r 2-2r 1,r 3-7r 1. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛------15273321059117014431(下一步:r 3-3r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000059117014431, 矩阵的秩是2,71223-=-是一个最高阶非零子式.(3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812. 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812(下一步:r 1-2r 4,r 2-2r 4,r 3-3r 4. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------02301024205363071210(下一步:r 2+3r 1,r 3+2r 1. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0230114000016000071210(下一步:r 2÷16r 4,r 3-16r 2. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02301000001000071210~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100007121002301, 矩阵的秩为3,070023085570≠=-是一个最高阶非零子式. 10. 设A 、B 都是m ⨯n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ).证明根据定理3, 必要性是成立的.充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有A ~D ,D ~B .由等价关系的传递性, 有A ~B .11. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使 (1)R (A )=1;(2)R (A )=2;(3)R (A )=3.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时,R (A )=1;(2)当k =-2且k ≠1时,R (A )=2;(3)当k ≠1且k ≠-2时,R (A )=3.12. 求解下列齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ; 解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3/410013100101, 于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x , 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x (k 为任意常数). (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ; 解对系数矩阵A 进行初等行变换,有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000001001021, 于是 ⎪⎩⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010012214321k k x x x x (k 1,k 2为任意常数). (3)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ; 解对系数矩阵A 进行初等行变换,有A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000010000100001,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x , 故方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x .(4)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x . 解对系数矩阵A 进行初等行变换,有A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3127161311423327543~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000000001720171910171317301,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x x x x , 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x (k 1,k 2为任意常数).13. 求解下列非齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+83111021322421321321x x x x x x x x ; 解对增广矩阵B 进行初等行变换,有B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--80311102132124~⎪⎭⎫ ⎝⎛----600034111008331, 于是R (A )=2, 而R (B )=3, 故方程组无解.。

线性代数第三章测验题(含答案)

测试题答案
3 一、1. ; 2. 任意实数; 3. 2; 4. n s; 15 5. 5; 6. 2 1 1; 7. 1; 8. 1 , 2 .
二、1. 0,1,2 2;
2. 当t 2,3时, 1 , 2 , 3线性无关; 当t 2,3时, 1 , 2 , 3线性相关. 3. a b 0.
线性无关?
3 0,0,1,1与向量组 1 1, a, b,1, 2 2,1,1,2, 3 0,1,2,1可以互相线性表示 .
3. 求实数和b, 使向量 (每小题8分，共24分)．
四、 lm 1.
第三章
测试题
一、填空题(每小题5分，共40分)．
4 1,0,2,1, 则k
4 1,3, t ,0, 则t
1. 设 1 2,1,0,5, 2 4,2,3,0 3 1,0,1, k , 时, 线性相关. 2. 设 1 2,1,3,0, 2 1,2,0,2, 3 0,5,3,4, 时, 线性无关.
3. 已知向量组 1 1,2,3,4, 2 2,3,4,5, 3
3,4,5,6, 4 4,5,6,7 , 则该向量组的秩是
4. n维单位向量组 1 , 2 , , n均可由向量组 1 , 2 , , s 线性表出则向量个数 ,
1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 5. 已知A 0 1 1 0 0 , 则秩r A 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1
6. 方程组 0以1 1,0,2,2 0,1,1为其基 AX 础解系则该方程组的同解方程 , 为
1 7. 设 2 , 1,2,3, A , 则秩r A 3

线性代数(含全部课后题详细答案)3第三章矩阵习题解答.docx

习题三A 组1 •填空题.(1)设口 = (1,1,1), 6 = (-1,-1,-1),则ah x= _____________ , a vh= _________ro o>1 ](3)若么=(1, 2, 3), B — 1, —, — , A — a}d ,则 A n =I 2 3丿‘1 0⑷设A= 0 2J o解0.(5)设 a = (l, 0, -if ，矩阵 A=aa l \ 斤为正整数，贝 i\kE - A n解 k 2(k-2n ).(6)设昇为斤阶矩阵，且A =2,贝ij AA T= _________ , AA ： = _______2(2)设八1-3 2),B =-3丿1 -13 1 3>则AB = (0 0丿(—3 -3丿2 13232 3 1 1)0 ,正整数 /7 > 2 ,则 A n -2A ,l ~' =2“+i2".(cos& -sin&\(7)、sin& cos& 丿cos& sin&\、一sin& cos& 丿0 0、2 0 ,则(A*y =4 5,解討丫2(10)设矩阵/二,矩阵B满足BA = B + 2E,则B二，B<-1 2(2 0(11)设/，〃均为三阶矩阵，AB = 2A + B f B= 0 4,2 0‘0 0 P解0 1 0b o oj(12)设三阶矩阵/满足|力|二*, (3A)~l-2A* =1627(13)设/为加阶方阵,B为兀阶方阵,同=Q,\B\ = b, C =°, 则\c\ =(8)设…®?工0 ,则、\Z曾丿1)a n1%■■1 1■色丿丿a lP(9)设A= 22、0 ,贝=2丿/0、0 ,矩阵〃满足关系式ABA =2BA ^E,其屮才'为力的伴随矩阵，则|B | =解*•解0.解一3・是nxp 矩阵，C 是pxm 矩阵，加、n 、p 互不相等，则下列运算没有(B) ABC ；解D.(2)设/是mxn 矩阵(m n), B 是nxm 矩阵，则下列解(一l)〃5b ・(15)设4阶矩阵/的秩为1,则其伴随矩阵/的秩为 (14)设三阶矩阵/ =R(4)解1.(17)设矩阵力'a 、b\ a }b 2■ ■a 2b 2 ■ • ■a n b2,其中匕・工0, (Z=l,2,•••,/?),则力的秩，且7?(J) = 3,则丘=0、 -2i,则将/可以表示成以下三个初等矩阵的乘积(D) AC T .的运算结果是n 阶力•阵.(A) AB ；解B.(B) A YBT；(C) B r A T ；(D) (4B)T.(16 )设？1 = •咕、・仇・ a n b n)解2.选择题.(1)设/是mxn 矩阵,(3) 设力」是斤阶方阵，AB = O,贝I 」有 ________ • (A) A = B = Ox(B) A + B = O ； (C)同=0或|同=0；(D)同 + 圖=0・解C ・(4) 设力，〃都是斤阶矩阵，则必有 _______ . (A) \A + B\ = \^ + \B\； (B) AB = BA ； (C) \AB\ = \BA\ ；(D) (/1 + B)T M /T + BT ・解C ・(5) 设/,B 是斤阶方阵，下列结论正确的是 __________ ・ (A)若均可逆，则A^B 可逆； (B)若力，〃均可逆，则力〃可逆； (C)若A + B 可逆，则A-B 可逆；(D)若A + B 可逆，则4〃均可逆.解B.(6) 设斤阶方阵A,B,C 满足关系式 ABC = E ，则必有 ___________ ・ (A) ACB = E ； (B) CBA = E ；(C) BAC = E ；(D) BCA = E .解D.(7) 设昇，B,力 + B, /T+BT 均为斤阶可逆矩阵，贝等于 ________________________ (A)(B) A + B ；(C) (D) g + 3)".解C.(8) 设£B,C 均为兀阶矩阵，若B = E + MB , C = A^CA.则B-C 为 ________________ . (A) E\ (B) —E ； (C) ； (D) —A.. 解A.(9) 设矩阵A = (a i .} 满足才其中才是/的伴随矩阵，川为昇的转置矩阵.若\ "3x3。

线性代数第三章综合练习及参考答案

第三章综合练习及参考答案1.设1α，2α，3α，4α是一组n 维向量，其中1α，2α，3α线性相关，则( B ) . A. 1α，2α必线性相关 B. 1α，2α，3α，4α必线性相关 C. 2α，3α必线性无关 D. 1α，2α，3α中必有零向量2.下列向量组中线性无关的是( A ) .A. 123(1,0,0,8),(0,1,0,4),(0,0,1,5)T T T ααα=== （3R =）B. 1234(1,2,1),(2,5,6),(3,8,1),(1,1,2)T T T ααααT ===-= （34R =<）C. 123(1,0,4,8),(1,0,7,4),(0,0,0,0)T T T ααα=-=-= （23R =<）D. 123(1,2,0,1),(3,4,0,1),(4,6,0,2)T T T ααα=== （23R =<） 3. 向量组1(1,1,0)T α=，2(0,2,0)T α=，3(0,0,3)T α=的秩为___3___，极大线性无关组为__123,,ααα___．4.若向量组123(2,1,0),(1,2,2),(1,1,1)T T T αλαα=-=-=-线性相关，则λ= 1 ．解：232211211111211010 1.0102101c c λλλλ-------=--==⇒=5．单独的一个非零向量组成的向量组一定线性____无关____． 6.求下列向量组的一个最大无关组和秩，其中123451*********,,,,2223344862ααααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，并用最大无关组表示其余向量. 解：用初等行变换法化为行最简形矩阵213141241234511111111111112200033(,,,,)222330001144862081222r r r r r r ααααα+------⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪⎪=−−−→ ⎪⎪--⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭134323242321111111111111000812220461104602000110001100011000330000000000r r r r r r r r r ---↔÷------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪---⎪⎪⎪−−−→−−−→−−−→ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21241111100100322121010010,32320001100011000000000r r r ÷+⎛⎫----⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪-−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，12345(,,,,)3,R ααααα=其中124,,ααα是向量组12345,,,,ααααα的一个极大(最大)线性无关组，且31212,33ααα=-+51241122αααα=--+。

同济大学数学系《工程数学—线性代数》(第6版)-章节题库-第3章矩阵的初等变换与线性方程组【圣才出

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第 3 章矩阵的初等变换与线性方程组
一、选择题
a1 1
1．设
A
a2 1
a3 1
a1 2 a2 2 a32
a1 3
a21
a 2，3
B
a11
a 3 3
a31 2a11
a22 a12 a32 2a12
a23
a13
a 2 1 a 2 1
2 4 2 2 4 2 4a 12 0
1 2 a a 1 0 a 1
知 r（A）＝3。
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由于 AB＝0，A 是 3×4 矩阵，有 r（A）＋r（B）≤4。那么当 a＝1 时，r（A）＝1， 1≤r（B）≤3，B 是 4×2 矩阵，所以 B 的秩可能为 1 也可能为 2；当 a≠1 时，r（A）＝3，所以必有 r（B）＝1。
6．设 A 为四阶方阵，且满足 A2＝A，则秩 r（A）＋秩 r（A－E）＝（）。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解析】由于 A（A－E）＝A2－A＝0，故 r（A）＋r（A－E）≤4，又 E＝（E－A）＋ A，故 4＝r（E）＝r（E－A＋A）≤r（E－A）＋r（A）＝r（A－E）＋r（A），从而 r（A）＋r（A－E）＝4。
7 8 9
1 2013 3 D． 4 8049 6
7 14085 9
【答案】B
【解析】P、Q 均为初等矩阵，因为 P－1＝P，且 P 左乘 A 相当于互换矩阵 A 的 1，3
两行，那么 P2012A 表示将 A 的 1，3 两行互换 2012 次，从而 (P1)2012 A P2012 A A 。

线性代数第三章习题答案

线性代数 (同济四版) 习题参考答案
1 2 3
35
列变换, 即: 两边分别左乘、右乘了相应的初等矩阵, 那么矩阵 4 5 6 也要进行相应的行变换、 7 8 9 1 0 1 =⇒ 0 0 1 =⇒ 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 4 7 4 1 7 2 5 8 5 2 8 5 2 8 3 6 9 6 3 9 2 2 2 0 A 1 0 0 A 1 1 0 = 0 1 0 1 1 0 = 0 1 1 0
4 1 7
5 2 8
6
3 9
0 0 0 1 4 5 2 1 2 2 7 8 2
得
A= 1 2 2 7 8 2
或者有下面的解法 . 1 2 3 记B= 4 5 6 . 注意到 A 两边乘以的是初等矩阵, 可知矩阵 B 是把 A 进行初等变换 r1 ↔ r2 7 8 9 和 c3 + c1 得到的. 所以要得到 A, 需要将 B 进行初等变换 c3 − c1 和 r1 ↔ r2 . 即 1 2 3 1 2 2 4 5 2 c3 − c1 4 5 2 r1 ↔ r2 1 2 2 = A B= 4 5 6 7 8 9 7 8 2 7 8 2
1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 4 7 1 0 0 4 1 7 2 3 1
0 1
r1 ↔ r2 0 5 6 8 9 0 0 1 0 5 2 8 0 1 c3 − c1 6 3 9 4 5 2 1 1 0

工程数学(线性代数与概率统计)答案(3章)

工程数学（线性代数与概率统计）习题三1、2、3、略4、)1,0,1()1,1,0()0,1,1(21-=-=-αα)2,1,0()0,4,3()1,1,0(2)0,1,1(323321=-+=-+ααα5、)523(61)(5)(2)(3321321αααααααααα-+=→+=++-6、设存在一组数r k k k ,,,21 使得 0)()()()(02212121212112211=++++++++=+++++++==+++r r r r r r r r k k k k k k k k k k k k αααααααααβββ因r ααα ,,21线性无关，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221rr r k k k k k k 即021====r k k k ，所以r βββ ,,21线性无关。

7、设存在一组数4321,,,k k k k 使得044332211=+++ββββk k k k 有0)()()()(443332221141=+++++++ααααk k k k k k k k 因0000000043322141=k k k k k k k k ，且不全为0，所以4321,,,ββββ线性相关。

8、讨论向量组相关性。

（本题的特点是向量组的个数等于向量的维数，其判断法是求向量组成的行列式值是否为0）（1）052520111631520111321===ααα，相关（2）02102011321≠==ααα，无关 9、由向量组组成的行列式为 1221011131321111321-==t tααα（1）如果,5,41=→=-t t 行列式等于0，向量组线性相关，（2）如果,5,41≠→≠-t t 行列式不等于0，向量组线性无关，（3）当5=t 时，向量组相关，设22113αααk k += 即⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛213211115312121k k k k 10、用矩阵的秩判别向量组的相关性（方法是求由向量组构成的矩阵的秩r 与向量组个数关系）（1）()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==--01502601401051562641401041242031111323213321c c c c A ααα所以 2)(=A R ，相关。

工程数学第3章线性方程组习题答案

'1 , '2 , , 'n 线性无关时， 1 , 2 , , n 也线性无关。
证明：当 1 , 2 , , n 线性相关时，存在不全为0的一组常数
1 , 2 , , n 使得 11 22 nn 0
11 21 m1 12 22 m2 m 0 即 1 2 1n 2n mn
k11 k2 2 km m 0
k1 1 1 k2 2 2 km m m 0 因此，
所以 1 1 , 2 2 ,, m m 这种证法是否正确？也线性相关。
k11 k2 2 km m 0
i (1, ti , ti2 ,, tin1 ) (i 1,2,, r, r n) 线性无关。
证明：将该向量组的向量当成行向量，写成 r n 矩阵形式：
1 1 A 1 1 1 A 1
t12 t1n1 2 n 1 t2 t2 t2 2 n 1 tr tr tr t1
解：如果两组向量所对应的系数 k1 , k2 , , km 一致，
则该证法正确，否则不一定。
5. 举出一个线性相关的例子，使其中存在非0向量不能用其余向量线性表出。解：任意一组线性无关的向量外加一个0向量即可。
6. 设向量能用向量组 1 , 2 ,, m 线性表出，且表示方式是唯一的，试用反证法证明 1 , 2 ,, m 必线性无关。证明：假设 1 , 2 ,, m 线性相关，则至少存在一个 i 可以被其余向量线性表出，即

矩阵的初等变换与线性方程第三章练习题

一、填空题：1. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--201000002310的秩是多少？（）2. 如果矩阵n m A ⨯的秩是r ，试问A 的任何阶数不超过r 的子式都不等于零吗？（）3. 如果矩阵n m A ⨯的秩是r ，试问A 的任何阶数大于r 的子式都等于零吗？（）4. 在秩等于r 的矩阵中，有没有等于0的r-1阶子式？（）有没有等于0的r 阶子式？（）5. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12112321x A ，x 为某常数，B 为m ⨯3非零矩阵，m 为大于3的整数，且AB=0，则R(B)=( ), x=( )。

二、选择题：1.若B A ,都是n 阶可逆矩阵，λ为实数，则下列结论错误的是 ( )。

A ．T T T A B AB =)(. B ．111)(---=A B AB . C ．A A nλλ=D ． ()222AB AB B A =满足交换律，则有若.2. 若A 为三阶方阵，将矩阵A 第一行与第二行交换得矩阵B ，再把矩阵B 的第二列加到第三列得矩阵C ，则满足C PAQ =的可逆矩阵P 、Q 分别为( )。

A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100110001,100001010Q P . B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001,100001010Q P C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110010001,100001011Q P D ． ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110010001,100011010Q P3. 矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000100051003011是（）。

A ．行阶梯矩阵B ．行最简型矩阵C ．标准型矩阵D ．上三角矩阵答案：一．1．22．不对3．对4. 有，有5. 1，3 二．1. C2. A3. A。

线性代数第三章习题及解答

第三章练习题1.已知R (α1,α2,α3)=2,R (α2,α3,α4)=3,证明：(1)α1能由α2,α3线性表示；(2)α4不能由α1,α2,α3线性表示.证明：(1)因为R (α2,α3,α4)=3,于是α1可由α2,α3唯一的线性表示(2)反证，若α4可由α1,α2,α3线性表示,则α4可由α2,α3线性表示，与R (α2,α3,α4)=3矛盾2.a 取什么值时下列向量组线性相关？α1=(a,1,1)T ,α2=(1,a,−1)T ,α3=(1,−1,a )T解： a 111a −11−1a−→01+a 1−a 201+a −(1+a )1−1a那么a =−1或a =2,则三个向量线性相关3.设α1,α2线性无关，α1+β,α2+β线性相关，求向量β用α1,α2线性表示的表示式.解：因为α1+β=k (α2+β),于是β=1k −1α1+k1−k α24.举例说明下列各命题是错误的：(1)若向量组α1,α2,...,αm 是线性相关的，则α1可由α2,α3,...,αm1线性表示；解：例如α1=0,α2,α3为零向量，显然α1不能用其余向量线性表示(2)若有不全为0的数λ1,λ2,...,λm,使得λ1α1+λ2α2+···+λmαm+λ1β1+···+λmβm=0成立，则α1,...,αm线性相关，β1,β2,...,βm亦线性相关.解：取α1=(1,0,0)T,α2=(0,1,0)T,β1=(−1,0,0)T,β2= (0,−1,0)α1+α2+β1+β2=0,但α1,α2线性无关，且β1,β2也线性无关(3)若只有当λ1,...,λm全为0时，等式λ1α1+···+λmαm+λ1β1+···+λmβm=0才能成立，则α1,α2,...,αm线性无关，β1,β2,...,βm 亦线性无关.解：取α1=(1,0,0)T,α2=(1,0,0)T,α3=(0,0,0)Tβ1=(0,1,1)T,β2= (0,0,1)T,β3=(0,0,1)T(4)若α1,α2,...,αm线性相关，β1,β2,...,βm亦线性相关，则有不全为0的数λ1,...,λm,使得λ1α1+···+λmαm=0,λ1β1+···+λmβm=0同时成立.解：取α1=(0,0,0)T,α2=(0,1,0)T,α3=(1,1,0)Tβ1=(1,0,0)T,β2=2(0,0,0)T ,β3=(−1,−1,1)T5.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大线性无关组，并把其余列向量用最大线性无关组线性表示.(1)2531174375945313275945413425322048解：2531174375945313275945413425322048α1α2α3α4−→ 25311743012301350135−→ 25311743012300120000−→10085010−100120000于是最大线性无关向量组之一为α1,α2,α3α4=85α1−α2+2α3(2) 112210215−1203−131104−1 解： 112210215−1203−131104−1α1α2α3α4α5−→ 112210215−100203000001104−10103−1001−1100000 −→ 100100103−1001−1100000于是最大线性无关向量组之一为α1,α2,α3α4=α1+3α2−α3,α5=α3−α236.设α1,α2,...,αn是一组n维向量，已知n维单位坐标向量e1,e2,...,e n能由它们线性表示，证明α1,α2,...,αn线性无关.证明：因为n=R(e1,...,e n)≤R(α1,...,αn)≤n于是R(α1,...,αn)=n，则α1,α2,...,αn线性无关7.设向量组α1,α2,...,αm线性相关，且α1=0,证明：存在某一个向量αk(2≤k≤m)使得αk能由α1,α2,...,αk−1线性表示.证明：反证若∀αk都不能被α1,α2,...,αk−1线性表示，于是对于k1α1+k2α2+···+k mαm=0，则k m=0,若否αm可以被前面m−1个向量线性表示以此类推k2=k3=···=k m−1=k m=0,由于k1,k2,...,k m不全为零，于是k1=0,那么α1=0与题设矛盾，因此命题成立.8.设向量组B:β1,β2,...,βr能由向量组A:α1,α2,...,αs线性表示为(β1,β2,...,βr)=(α1,α2,...,αs)K,其中K为s×r矩阵，且A向量组线性无关，证明：向量组B 线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩为r证明：(=⇒)因为向量组B线性无关，于是R(β1,...,βr)=r,注意到r=R(B)≤R(K)≤r那么R(K)=r4(⇐=)若R (K )=r ,那么线性方程组KX =0只有零解，令KX =Y ,注意到向量组A 线性无关，于是线性方程组AY =0只有零解，由于BX =AY =AKX ,那么BX =0只有零解，于是R (B )=r ,即向量组B 线性无关.9.求下列齐次线性方程组的基础解系：(1) x 1−8x 2+10x 3+2x 4=02x 1+4x 2+5x 3−x 4=08x 1+7x 2+6x 3−3x 4=0解 1−8102245−1876−3−→100−2083010−1783001583ξ=(−20,−17,5,83)T(2) 2x 1−3x 2−2x 3+x 4=03x 1+5x 2+4x 3−2x 4=03x 1+8x 2+6x 3−2x 4=0解 3−3−21354−2386−2−→100−12010−7201−214ξ=(2,14,−21,4)T10.求下列非齐次线性方程组的一般解(1) 2x 1+7x 2+3x 3+x 4=63x 1+5x 2+2x 3+2x 4=49x 1+4x 2+x 3+7x 4=2解 273163522494172 −→274161−2−11−21−24−113−221−2−11−20115−1100−22−102−20−→1−2−11−20115−11003齐次方程的基础解系为ξ1=(2111,511,1,0)T ,ξ2=(−911,111,0,1)T5非齐次方程的一个解为η=(−211,1011,0,0)T ,于是原方程组的通解为ξ=C 1ξ1+C 2ξ2+η,其中C j (j =1,2)为任意常数(2) x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=73x 1+2x 2+x 3+x 4−3x 5=−2x 2+2x 3+2x 4+6x 5=235x 1+4x 2+3x 3+3x 4−x 5=12解1111173211−3−201226235433−112−→1111170122623000000000000齐次方程的基础解系为ξ1=(5,−6,0,0,1)T ,ξ2=(1,−2,0,1,0)T ,ξ3=(1,−2,1,0,0)T非齐次方程组的一个解为η=(−16,23,0,0,0)T于是原方程组的通解为ξ=C 1ξ1+C 2ξ2+C 3ξ3+η,其中C j (j =1,2,3)为任意常数11.设n 阶矩阵A 满足：A 2=A,E 为n 阶单位矩阵，证明：R (A )+R (A −E )=n证明：因为A (A −E )=0若A =E ,所证命题显然成立若A =E ，则线性方程组AX =0有非零解，即矩阵A −E 的列向量组是AX =0的解集，必然可以由其基础解系线性表示，那么6R (A −E )≤n −R (A ),即R (A )+R (A −E )≤n又n =R (E )=R (A +E −A )≤R (A )+R (E −A )=R (A )+R (A −E )，于是R (A )+R (A −E )=n12.设A 为n 阶矩阵，求A 的伴随矩阵A ∗的秩R (A ∗)解：因为AA ∗=|A |E ,若|A |=0,则|A ∗|=0,所以R (A ∗)=R (A )=n若|A |=0则R (A )≤n −1,当R (A )<n −1时A 的所有n −1阶子式全为零，所以A ∗=0故R (A ∗)=0,当R (A )=n −1时A 至少有一个n −1阶子式不为零，故A ∗=0,则R (A ∗)≥1,而AA ∗=0即A (a ∗1,a ∗2,...,a ∗n )=0这说明A ∗的列向量a ∗j (j =1,2,...,n )是方程组AX =0的解，所以该列向量组可以被方程组AX =0的基础解系线性表示，那么该向量组的秩R (A ∗)≤(基础解系的秩）n −R (A )=n −(n −1)=1,由以上分析得知R (A ∗)=1综上所述R (A ∗)=n |A |=00R (A )<n −11R (A )=n −113.设a =(a 1,a 2,a 3)T ,b =(b 1,b 2,b 3)T ,c =(c 1,c 2,c 3)T .证明：三条直线ℓ1:a 1x +b 1y +c 1=0ℓ2:a 2x +b 2y +c 2=0ℓ:a 3x +b 3y +c3=0(a 2i +b 2i =0,i =1,2,3)相交于一点的充分必要条件是：向量组a ,b 线性无关，且向量组a ,b ,c 线性相关.7证明：(=⇒)因为三条直线相交于一点，于是必有两条直线彼此相交，不妨设ℓ1,ℓ2相交，那么a1 b1=a2b2,于是向量a与向量b线性无关，注意到齐次线性方程组x a+y b+1c=0有非零解(x,y,1)T,则向量a,b,c线性相关(⇐=)向量组a,b线性无关，且向量组a,b,c线性相关，则向量组−c可由向量组a,b唯一的线性表示，即x a+y b+c=0,中系数x,y,1是唯一确定的，即三条直线ℓ1:a1x+b1y+c1=0ℓ2:a2x+b2y+c2=0ℓ:a3x+b3y+c3=0相较于唯一点14.α1,α2...,αm,α1=0,αi(i=2,3...,m)都不能由α1,α2,...,αi−1线性表示，证明α1,α2...,αm线性无关。

线性代数同步习题(ch3)

线性代数同步第三章向量组习题一、填空题7. 解: 因为|αT βT γT |=35-7m , 当35-7m =0时向量组线性相关, 所以m =5。

8. 解:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---111111111ααα→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+---αα10101100111ααα→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+--+-αα1101010111ααα,若秩为3, 则α≠-1。

9.解: A →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-60032104321x , 若秩为3, 则x ≠6。

10. 求α=(6,2,-7)在基a 1=(1,0,1), a 2=(0,2,0), a 3=(0,0,-1)下的坐标。

解:设α=x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3, 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--71120206001→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛131010106001→x 1=6, x 2=1, x 3=13,所以α=6a 1+a 2+13a 3, 即α在基a 1,a 2,a 3下的坐标为(6,1,13)。

二、选择题3. 解: 因为AB =O ,所以R (A )+R (B )≤n 。

三、计算题1. 解: 因为|3|=3≠0, 所以R (A )≥1; 因为1113-=-4≠0, 所以R (A )≥2;121431211--=14≠0,所以R (A )≥3; 而|A |=0, 所以R (A )=3。

2. 解: (α1T,α2T,α3T)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011012121→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010011, R (α1,α2)=2, R (α1,α2,α3)=3, R (α1,α2)≠R (α1,α2,α3),不等价。

3.解: (1)(α1,α2,α3,α4,α5)=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛104311211210321→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---001101253010321→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--12200011010321,向量组的秩为3;(2)因为秩<5,所以线性相关; (3)α1,α2,α3为一个极大无关组;(4) (α1,α2,α3,α4,α5)→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-211100011010101→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--21212111010101001, 所以a 4=a 1+a 2-a 3，a 5=21(a 1-a 2+a 3)。

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5. n元齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是（） A. A的列向量组线性相关 B. A的行向量组线性相关 C. A的列向量组线性无关 D. A的行向量组线性无关
答案：C
6. 设A为m×n矩阵，且任何n维列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则（） A. A=O B. R(A)=m C. R(A)=n D. 0＜R(A)＜n
答案：C 解析：这是满秩方阵充要条件的等价命题.
2. 已知4阶方阵A的行列式det(A)=0，则A中（） A. 必有两列元素对应成比例 B. 必有一列元素全为零 C. 必有一列向量是其余列向量的线性组合 D. 任一列向量都是其余列向量的线性组合
答案：C 解析：A的行列式为0，则A为降秩方阵，故A的列向量组线性相关，由线性相关向量组的性质知 (C)成立.
4. 设A是m×n矩阵，B是n阶可逆方阵，则（） A. R(A)＞R(AB) B. R(A)=R(AB) C. R(A)＜R(AB) D. R(A)与R(AB)的关系依B而定
答案：B
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A. A B. B C. C D. D
答案：D
13.
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A. A B. B C. C D. D
答案：B
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14. 设A为m×n矩阵，P、Q分别是m阶和n阶可逆矩阵，则下列方程组中与方程组Ax=b同解的是
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10.
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答案：
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11.
答案：
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12.
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答案：
13.
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工程数学－线性代数第三章矩阵的秩与线性方程组同
步综合练习
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1. 设A为方阵，则A的行列式det(A)=0是A的列(行)向量组线性相关的（） A. 充分条件，但非必要条件 B. 必要条件，但非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分条件，也非必要条件
答案：A
7.
A. A B. B C. C D. D
更多试卷请登陆九州考苑() 答案：B 解析：由通解的表达式可看出，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中只含1个向量，即nR(A)=1，故R(A)=n-1.
8.
A. A B. B C. C D. D
答案：C
9.
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A. PAx=Pb B. PAx=b C. AQx每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1. 设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，且m＞n，则行列式det(AB)=___.
答案：应填0.A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，则AB为m阶方阵.由秩的性质知，矩阵的秩不超过矩阵的行数和列数，所以R(A)≤min｛m,n｝=n(因m＞n).同理R(B)≤n.另外，AB的列向量组可由B的列向量组线性表示，由上一章内容知，AB的列向量组的不超过B的列向量组的秩，即 R(AB)≤R(B)≤n＜m.故m阶方阵 AB是降秩的，所以det(AB)=0.
四、证明题（本题6分） 1.
答案：
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2.
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答案：
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答案：
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14.
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答案：
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15.
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答案：
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16.
答案：
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3. 设m×n矩阵的秩为m，则（） A. A的任意一个m阶子式都不等于零 B. A的任意一个m-1阶子式都不等于零 C. A的任意m个列向量必线性无关 D. 对于任一m维列向量b，矩阵［A┆b］的秩都为m
答案：D 解析：由例3.6知，(A)、(B)、(C)都不成立.A为m×n矩阵，且A的秩为m，则A的行向量组线性无关.矩阵［A┆b］的行向量组可看作是由A的行向量组中每个向量在最右边位置添加分量所得.由线性无关向量组的性质知(D)成立.
答案：
7. ___
答案：
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8. ___
答案：
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三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
1. 如果从矩阵A中划去一行(或一列)得到矩阵B，则A的秩与B的秩有什么关系?
答案：R(A)=R(B)，或R(B)=R(A)-1，因为行(或列)向量组中最大无关组所含向量个数可能减少 1，也可能不变.
2.
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答案：
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3.
答案：
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4.
答案：
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2. ___
答案：
3. ___
答案：
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4. ___
答案：应填2.系数矩阵两行对应元素不成比例，所以两个行向量线性无关，从而R(A)=2.未知量个数为4，因此基础解系含4-2=2个向量.
5. ___
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答案：
6. ___
A. A B. B C. C D. D
答案：D
10.
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A. A B. B C. C D. D
答案：B
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11.
A. A B. B C. C D. D
答案：A
12.
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5.
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答案：
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6.
答案：
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7.
答案：
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8.
答案：
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9.
答案：