初中数学最值问题专题

中考数学最值问题

【例题1】(经典题)二次函数y二2 (x-3) 2-4的最小值为.

【例题2】(2018江西)如图，AB是。。的弦，AB=5,点C是。。上的一个动点，且NACB=45°,若点

M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是___ .

C

【例题3】(2019湖南张家界)已知抛物线y=ax2+bx+c (a不0)过点A(1, 0), B(3, 0)两点，与y 轴交于点C, OC=3.

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)过点A作AM^BC,垂足为M,求证：四边形ADBM为正方形；

(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当^PBC面积最大时，求P点坐标及最大面积的值;

(4)若点Q为线段OC上的一动点，问AQ+ 2 QC是否存在最小值若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.

1.(2018河南)要使代数式V-2^37有意义，则乂的( )

A.最大值为2

B.最小值为2

C.最大值为-

D.最大值为°

3 3 2 2

2.(2018四川绵阳)不等边三角形AABC的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为。

3.（2018齐齐哈尔）设a、b为实数，那么“2+“〃 +从一” 的最小值为0

4.（2018云南）如图，MN是。。的直径，MN=4, NAMN=40° ,点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为.

C

5.（2018海南）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为元/斤，并且两次降价的百分率相同.

（1）求该种水果每次降价的百分率；

（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为正数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1WxV15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大

（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少元，则第

15天在第14天的价格基础上最多可降多少元

6.（2018湖北荆州）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为R （元），售价每只为P （元），且R、P与x的关系式分别为R = 500 + 30x , P = 170 —2x。

（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元；

（2）当日产量为多少时，可获得最大利润最大利润是多少

7.（2018吉林）某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人

时可使得每月所付的工资最少

X2 — X + 1

8.名典题)求至K的最大值与最小值。

夕(经典题)求代数式x'l-X2的最大值和最小值。

10.(经典题)求函数y=lx —ll—lx + 41—5的最大值。

11.(2018山东济南)已知X、y为实数，且满足％ + y +机=5, xy + ym + mx = 3求实数m最大值与最小值。

12.(2019年黑龙江省大庆市)如图，在Rt^ABC中，NA=90°. AB=8cm, AC=6cm,若动点D从B 出发，沿线段BA运动到点A为止(不考虑DVB, A重合的情况)，运动速度为2cm/s,过点D作DE〃BC 交AC于点E,连接BE,设动点D运动的时间为x (s), AE的长为y (cm).

(1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

(2)当x为何值时，^BDE的面积S有最大值最大值为多少

13.(2019年宁夏)如图，在4ABC中，NA=90°, AB=3, AC=4,点M, Q分别是边AB, BC上的动

点(点M不与A, B重合)，且MQ^BC,过点M作BC的平行线MN,交AC于点N,连接NQ,设BQ为x.

(1)试说明不论x为何值时，总有△QBM S^ABC；

(2)是否存在一点Q,使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；

(3)当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值.

本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键.

14.(2019广东深圳)如图所示，抛物线y = ax2 + bx + c过点A (-1, 0),点C (0, 3),且OB=OC.

(1)求抛物线的解析式及其对称轴;

(2)点D, E在直线x=1上的两个动点，且DE=1,点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值,

(3)点P为抛物线上一点，连接CP,直线CP把四边形CBPA的面积分为3 ： 5两部分，求点P的坐标.

15.(2019广西省贵港)已知：AABC是等腰直角三角形，ZBAC =90° ,将AABC绕点。顺时针方向

旋转得到△ABC,记旋转角为a,当90。＜。＜180。时，作垂足为。，4。与交于点石.

(1)如图1,当Z CA'D = 15。时，作Z4EC的平分线EF交BC于点F .

①写出旋转角a的度数;

16.：EA，+ EC = EF ;

(2)如图2,在(1)的条件下，设P是直线A^D上的一个动点，连接PA , PF，若AB = 22，求线段PA + PF 的最小值.(结果保留根号).

1 1

16.(2019贵州省安顺市)如图，抛物线丫= 2 x2+bx+c与直线y= 3 x+3分别相交于A, B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C,连接AC, BC.已知A (0, 3), C (-3, 0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线对称轴l上找一点M,使|MB-MC|的值最大，并求出这个最大值；

(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA,过点P作PQ^PA交y轴于点Q,问：是否存在点P 使得以A, P, Q为顶点的三角形与^ABC相似若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.