中考数学动点最值问题归纳及解法

中考数学动点最值问题归纳及解法

最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次函数和二次函数的性质求最值。

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与

特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊

位置。）

动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

“坐标几何题”（动点问题）分析

动点个数两个一个两个

问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三

边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动

考查难点探究相似三角形探究三角形面积

函数关系式

探究等腰三角形

考点①菱形性质

②特殊角三角函数

③求直线、抛物线解析式

④相似三角形

⑤不等式

①求直线解析式

②四边形面积的

表示

③动三角形面积

函数④矩形性质

①求抛物线顶点坐标

②探究平行四边形

③探究动三角形面积是定

值

④探究等腰三角形存在性

特点①菱形是含60°的特殊菱形；

△AOB是底角为30°的等腰三

角形。

②一个动点速度是参数字母。

③探究相似三角形时，按对应

角不同分类讨论；先画图，再

探究。

④通过相似三角形过度，转化

相似比得出方程。

⑤利用a、t范围，运用不等式

求出a、t的值。

①观察图形构造

特征适当割补表

示面积

②动点按到拐点

时间分段分类

③画出矩形必备

条件的图形探究

其存在性

①直角梯形是特殊的（一

底角是45°）

②点动带动线动

③线动中的特殊性（两个

交点D、E是定点；动线段

PF长度是定值，PF=OA）

④通过相似三角形过度，

转化相似比得出方程。

⑤探究等腰三角形时，先

画图，再探究（按边相等

分类讨论）

近几年共同点：

①特殊四边形为背景；

②点动带线动得出动三角形；

③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；

④求直线、抛物线解析式；

⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。

小类知识归纳：

一、问题原型：

如图1-1，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向、两镇供气，泵站修在管道的什

么地方，可使所用的输气管线最短？

这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题

二、基本解法：

对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），

确定动点位置，计算线路最短长度。

三、一般结论：

(在线段上时取等号)（如图1-2）

线段和最小，常见有三种类型：

（一）“|定动|+|定动|”型：两定点到一动点的距离和最小

通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。

1.两个定点+一个动点。

如图1-3，作一定点关于动点所在直线的对称点，线段（是另一定点）与的交点即为距离和最小时动点位置，最小距离和。

例1（2006年河南省中考题）如图2，正方形的边长为，是的中点，

是对角线上一动点，则的最小值是。

解析：与关于直线对称，连结，则。

连结,在中，，，则

故的最小值为

例2（2009年济南市中考题）如图3，已知：抛物线的对称轴为，与轴交于、两点，与轴交于点，其中，。

（1）求这条抛物线的函数表达式；

（2）已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小，请求出点的坐标。

解析：（1）对称轴为，，由对称性可知：。根据、、

三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为：

（2）与关于对称轴对称，连结，与对称轴交点即为所求点。

设直线解析式为：。把、代入得，。

当时，，则

2.两个定点+两个动点。

两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不

变。用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。

例3如图4，河岸两侧有、两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，

桥修在何处才能两村村民来往路程最短？

解析：设桥端两动点为、，那么点随点而动，等于河宽，且垂直于河岸。

将向上平移河宽长到，线段与河北岸线的交点即为桥端点位置。四边形为平行四边形，，此时值最小。那么来往、两村最短路程为：。

例4(2010年天津市中考)在平面角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，顶点、分别在轴、轴的正半轴上，，，为边的中点。

（1）若为边上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标；

（2）若，为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点，的坐标。

解析：作点关于轴的对称点，则，。