高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例课后训练新人教A版必修1
高中数学 3.2.2函数模型的应用举例课件 新人教版必修1
(5)检验．若符合实际情况，则用函数模型解释实际问 题；若不符合实际情况则从(3)重新开始.
2．如何根据收集到的数据解决实际问题？ 提示：通过收集数据直接去解决问题的一般过程如 下： 第一步：收集数据； 第二步：根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出 散点图； 第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图 特征的函数模型；
通法提炼 在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为 根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式 法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决 实际问题中的最大、最小等问题.
据市场分析，烟台某海鲜加工公司当月产量在10吨至 25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次 函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量 为15吨时，月总成本最低为17.5万元，且为二次函数的顶 点．
(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的 前提下，写出x的取值范围；
(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出 z与x之间的函数关系式；
(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的 销售利润最大？最大利润是多少？
【解析】 解决本题需弄清楚：每辆车的销售利润＝ 销售单价－进货单价；先求出每辆车的销售利润，再乘以 售出辆数可得每周销售利润．通过二次函数求最值，可得 汽车合适的销售单价．
函数应用题常见类型可以分为两大类 (1)函数关系已知的应用题 解函数关系已知的应用题的一般步骤是： ①确定函数关系式y＝f(x)中的参数，求出具体的函数 解析式y＝f(x)；
②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题 目有关的问题；
③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所 获得的理论参数值给出答案．
2018年秋高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例学
322 函数模型的应用实例学习目标：1.会利用已知函数模型解决实际问题. （重点）2.能建立函数模型解决实际问题. （重点、难点）3. 了解拟合函数模型并解决实际问题. （重点）4.通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模，数据分析的能力. （重点）［自主预习•探新知］1•常见函数模型常用函数模型（1）一次函数模型y= kx + b（k, b 为常数，k 丰 0）（2）二次函数模拟y= ax2+ bx+ c（a, b, c为常数，a*0）（3）指数函数模型y= ba x+ c（a, b, c 为常数，b*0, a>0 且a* 1）（4）对数函数模型y= nlog a x + n（m, a, n 为常数，m*0, a>0且a* 1）（5）幕函数模型y= ax n+ b（a, b 为常数，a*0）（6）分段函数ax+ b x<m , y= icx + d x > m2.建立函数模型解决问题的基本过程用甫數模凹解胖宝际问题思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？［提示］利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行:（一）审题；（二）建模；（三）求模；（四）还原.这些步骤用框图表示如图：［基础自测］1 •思考辨析（1）银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述. （）（2）在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型. （）（3）当不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型.［答案］⑴V ⑵V (3) V2•某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y= a log2(x + 1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到()A. 300 只B. 400 只C. 600 只D. 700 只A ［将x = 1, y= 100 代入y = a log 2(x + 1)得，100 = a log 2(1 + 1)，解得a= 100.所以x = 7 时，y =100log2(7 + 1) = 300.］3. 据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()【导学号：37102385】A. y = 0.3 x+ 800(0< x<2 000)B. y = 0.3 x+ 1 600(0 w x<2 000)C. y =- 0.3 x + 800(0w x w2 000)D. y =- 0.3 x + 1 600(0 w x w2 000)D ［由题意知，变速车存车数为(2 000 - x)辆次，则总收入y= 0.5x + (2 000 - x) X 0.8 =- 0.3 x+ 1 600(0 w x w 2 000).］4. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x(x€ N)为二次函数关系(如图3-2-5)，则客车有营运利润的时间不超过_______________ 年._ 2 ______________________________________10 ［设二次函数y= a(x-6) + 11,又过点(4,7),所以a=- 1，即y =—(x—6)2+ 11.解y >0,得6- . 11w x w6+ 11,A 0<x<10.］［合作探究•攻重难］［类塹」 ______________________利用已知函数模型解决实际问题 例物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T o ,经过一［1 E定时间t 后的温度是 T ,贝y T - T a = (T 0-T a ) X 其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期，现有一杯用88C 热水冲的速溶咖啡，放在 24C 的房间中，如果咖啡降温到40C 需要20 min ，那么降温到32 C 时，需要多长时间？【导学号：37102386】［解］先设定半衰期h ,由题意知2020解之，得h = 10，故原式可化简为,当T = 32时，代入上式，得,131 10即1 = 8 1 1 t 「64— 8 = 2 '…t =30.因此，需要30 min ，可降温到32 C.［规律方法］已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据 代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值［跟踪训练］1 •某种商品在近30天内每件的销售价格 R 元）和时间t （天）的函数关系为:(t + 20 (Kt 〈25 , p= *-t + 吻〕2 廷设该商品的日销售量 Q 件）与时间t （天）的函数关系为 Q = 40 - t （0<t < 30, t € N *），求这种商品 的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？ ［解］设日销售金额为 y （元），则y = PQ 、 -12+2o t + Mi （KtC25 , *所以 y =5 2（t € N ）40 - 24= (88 - 24) X即1= 4T - 24 = (88 - 24) X32 - 24= (88 - 24) X't2- 140t +4 MX） 2知.①当0<t<25 且t € N时，y =- （t - 10）+ 900,所以当t = 10 时，y max= 900（元）•②当25W t w 30 且t € N 时，y = （t - 70）- 900, 所以当t = 25 时，y max= 1 125（元）•结合①②得 y max = 1 125(元)• 因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大自建确定性函数模型解决实际问题x［解］(1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为 x 只，则畜养率为 m ，故空闲率为1⑵ 对原二次函数配方，得 y =-k (x 2-mxmxx［解］根据题意，由于最大畜养量为 m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为m 故空闲率为1 - m(o<x <m •2.(变结论)若本例条件不变，求当羊群的年增长量达到最大值时， k 的取值范围.［解］由题意知为给羊群留有一定的生长空间， 则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即 0<x + y <mm , km 十，m km ”， 十，因为当x = 2时，y max =才，所以0<2+"4<m 解得一2<k <2.又因为k >0,所以0<k <2.卜例牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增长量 y 只和实际畜养量比，比例系数为k (k >0) •(1) 写出y 关于x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域. (2) 求羊群年增长量的最大值.x 只与空闲率的乘积成正【导学号：37102387】思路探究:畜养率一> 空闲率y 与x 之间—单调性的函数关系' 求最值x-m 由此可得y = kx i 1mx - m母题探 1.(变条件)若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”又如因为羊群的年增长量 y 只和实际畜养量 x 只与空闲率的乘积成反比，由此可得km 卄‘+亍即当x = y 取得最大值亍 何表示出y 关于x 的函数解析式?列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等•限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要 考虑变量的实际含义，如人不能是半个等•［类型別 ___________拟合数据构建函数模型解决实际问题 ［探究问题］1 •画函数图象的一般步骤有哪些? 提示：列表、描点、连线.2•学校食堂要了解全校师生的午间就餐情况，以备饭菜，你能用数学知识给予指导性说明吗？ 提示：第一步：收集样本一周的数据，制成样本点•女口(1 , x i ) , (2 , X 2)，…，(7 , X 7).第二步：描点，对上述数据用散点图的形式，给予直观展示. 第三步：数据拟合，选择一个合适的数学模型拟合上述样本点.第四步：验证上述模型是否合理、有效，并做出适当的调整.2014年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长•已知2014年为第1年，前4年年产量f (x )(万件)如下表所示:x 1 2 3 4 f (x )4.005.58 7.00 8.44 (1) 画出214〜217年该企业年产量的散点图；(2) 建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型， 并求出函数解析 式；⑶2018年(即x = 5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少 函数模型，a +b = 4, 设 f (x )= ax + b (a ^0).由已知得 i p a + b = 7,••• f (X ) = 1.5 x + 2.5.检验：f (2) = 5.5，且 |5.58 — 5.5| = 0.08<0.1.f (4) = 8.5，且 |8.44 — 8.5| = 0.06<0.1.• 一次函数模型f (x ) = 1.5x + 2.5能基本反映年产量的变化.⑶根据所建的函数模型，预计 2018年的年产量为f (5) = 1.5 X 5+ 2.5 = 10万件，又年产量减少30%试根据所建立的确定 2018年的年产量为多少?思路探究: 描点 依散点图 --- >选模待定系数法求模 4早圭误差验模 ［解］⑴ (2)由散点图知，可选用一次函数模型.画出散点图，如图所示. a = 1.5 ,解得b = 2.5 ,某企业常年生产一种出口产品，自30% 即10X 70%= 7万件，即2018年的年产量为7万件.［跟踪训练］2.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表:(1) 根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.(2) 若体重超过相同身高男性体重平均值的 1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？【导学号：37102388】［解］(1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图.根据点的分布特征，可考虑以y= a • b x作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.取其中的两组数据(70,7.90) , (160,47.25)，代入y= a • b x得：7.9 = a • b705 !60 ，用计算器算得a-2, b~ 1.02.47.25 = a • b160这样，我们就得到一个函数模型：y= 2X 1.02 x.将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.⑵将x = 175代入y = 2X 1.02 x得y = 2X 1.02 175,由计算器算得y-63.98.由于78- 63.98 -1.22>1.2，所以，这个男生偏胖.［当堂达标•固双基］1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图3-2-6所示，那么图象所对应的函数模型是()B [由题意h = 20— 5t (0 w t w 4)，其图象为B.] 4.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元, 并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K 是单位产品数 Q 的函数，K(Q = 40Q- 20Q ,则总利润L (Q 的最大值是万元•【导学号：37102390】2 500 [•每生产一单位产品，成本增加10万元,•单位产品数 Q 时的总成本为2 000 + 10Q 万元.•- K (O = 40Q-20&,•••利润 L (Q ) = 40Q- 20C f — 10Q- 2 000100xy = (0.957 6)x©957 6 \y= 100xx[由题意可知 y = (95.76%) 100，即 y = 0.9576 100.]若一根蜡烛长 20 cm ，点燃后每小时燃烧 5 cm ，则燃烧剩下的高度 h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图象表示为( )A. C. 分段函数 指数函数2. B .二次函数 D.对数函数[由图可知，该图象所对应的函数模型是分段函数模型.若镭经过 ]100年后剩留原来质量的 95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x , y 的函数关系是【导学号：37102389】A. xy = 0.957 6 100B. C.D.xy = 1 — 0.042 4 1003.201 2=-20( Q- 300) + 2 500 ,••• Q= 300时，利润L (Q 的最大值是2 500万元.］5.已知A , B 两地相距150 km,某人开汽车以60 km/h 的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小 时后再以50 km/h 的速度返回 A 地.(1) 把汽车离开 A 地的距离s 表示为时间t 的函数(从A 地出发时开始)，并画出函数的图象；(2) 把车速v (km/h)表示为时间t (h)的函数，并画出函数的图象.［解］(1)①汽车由 A 地到B 地行驶t h 所走的距离s = 60t (0 w t w 2.5).② 汽车在B 地停留1小时，则汽车到 A 地的距离s = 150(2.5 v t w 3.5).③ 由B 地返回A 地，则汽车到 A 地的距离s = 150 — 50( t — 3.5) = 325 — 50t (3.5 v t w 6.5).60t t ：综上，s = 2飞 v i ，325 — 50t &jv t 总 I ］：，它的图象如图(1)所示.(1) (2)(2)速度v (km/h)与时间t (h)的函数关系式是v = 0 2飞v t 冬：厂 ， 604020 石o 0 一 2O Q+ 30Q- 2 000 它的图象如图(2)1-5()15v tWfiV 所示.。
高中数学《函数模型的应用实例》课件
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探究2 自建函数模型的应用题 例 2 某汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为 25 万元．市场调研表明：当销售单价为 29 万元时，平均每周 能售出 8 辆，而当销售单价每降低 0.5 万元时，平均每周能 多售出 4 辆．设每辆汽车降价 x 万元，每辆汽车的销售利润 为 y 万元(每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价)．
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解 设日销售金额为 y(元)，则 y＝PQ，
所以 y＝－ t2－t2＋ 14200t＋t＋480000002<5≤t<2t≤5，30 (t∈N*)． ①当 0<t<25 且 t∈N*时，y＝－(t－10)2＋900，
所以当 t＝10 时，ymax＝900(元)． ②当 25≤t≤30 且 t∈N*时，y＝(t－70)2－900，
所以当 t＝25 时，ymax＝1125(元)． 结合①②得 ymax＝1125(元)． 因此，这种商品日销售额的最大值为 1125 元，且在第
25 天时日销售金额达到最大．
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拓展提升 构造函数模型解决实际问题
(1)用已知函数模型解决问题时，将题中的数据代入函 数模型，即可求得函数模型中的参数，再转化为求函数值或 自变量的值．
对数函数型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0)
幂函数型
f(x)＝axn＋b(a，b 为常数，a≠0)
高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例课件新人教A必修1
【解析】 设每个提价 x 元(x≥0，x∈N)，利润为 y 元． 每天销售总额为(10＋x)(100－10x)元， 进货总额＝8(100－10x)元， 显然 100－10x>0，即 x<10， 则 y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x) ＝(2＋x)(100－10x) 2 ＝－10(x－4) ＋360(0≤x<10，x∈N)． 当 x＝4 时，y 取得最大值，此时销售单价应为 14 元，最大利 润为 360 元． 答：当售价定为 14 元时，可使每天所赚的利润最大，最大利 润为 360 元.
【课标要求】 1.了解函数模型的广泛应用. 2.能利用已知函数模型求解实际问题．(重点) 3.通过对数据的合理分析，能自建函数模型解决实际问题．(难 点) 4.能归纳掌握求解函数应用题的步骤．(重点、难点)
|新知预习| 知识点 常见函数模型及应用 常见的函数模型 (1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k 为常数，k≠0)． k (2)反比例函数模型：f(x)＝x(k 为常数，k≠0)． (3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b 为常数，k≠0)． (4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)．
(5)指数函数模型：f(x)＝a· bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0，b>0， b≠1)． (6)对数函数模型： f(x)＝mlogax＋n(m， n， a 为常数， m≠0， a>0， a≠1)． n (7)幂函数模型：f(x)＝ax ＋b(a，b，n 为常数，a≠0，n≠1)．
【化解疑难】 建立函数模型应把握的三个关口 (1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景， 为解题打开突破口． (2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用 数学式子表达数学关系． (3)数理关：在构建数学模型的过程中，利用已有的数学知识进 行检验，从而认定或构建相应的数学问题．
高中数学第三章函数的应用3.2.2函数模型的应用实例课件新人教A版必修12
N.
………………3
分
②设 Q=kt+b(k,b 为常数),将(5,25)与(10,20)代入,
得
5k b 25, 10k b 20,
解得
k=-1,b=30.
所以日交易量 Q(万份)与时间 t(天)的一次函数关系式为
Q=30-t,0≤t≤30,t∈N. …………………………………6 分
(2)由(1)可得
即时训练 2-1:某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过 0.1%, 若初时含杂质 2%,每过滤一次可使杂质含量减少 1 ,问至少应过滤几次才能使
3 产品达到市场要求?(已知:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
解:依题意得 2 ·( 2 )n≤ 1 ,即( 2 )n≤ 1 .
解:(2)2012 年诺贝尔奖发放后基金总额为 f(10)=19 800(1+3.12%)9=26 100(万美元), 2013 年度诺贝尔奖各项金额为 1 · 1 f(10)·6.24%≈136(万美元).
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方法技能
求解与指数型函数有关的问题,应充分利用指数函数性质解题.而对于形如 ax>b(a>0 且 a≠1)型的不等式,需要变形为 ax> aloga b 后,利用指数函数单调性 解题.
2 100 分钟耗氧量的单位数,x0 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.(参考数据:lg 2≈ 0.30,31.2≈3.74,31.4≈4.66) (1)若 x0=2,候鸟每分钟的耗氧量为 8 100 个单位时,它的飞行速度是多少 km/min?
解:(1)将 x0=2,x=8 100 代入函数式可得 v= 1 log3 81-lg 2≈2-lg 2=2-0.30=1.70,
高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例课件2新人教A必修1
方案三
y/元
增长量/元
1 40
0
10
0.4
2 40
0
20 10
0.8
0.4
3 40 0 30 10
1.6
0.8
4 40
0
40 10
3.2
1.6
5 40
0
50 10
6.4
3.2
6 40
0
60 10
12.8
6.4
7 40
0
70 10
25.6
12.8
8 40
0
80 10
51.22Βιβλιοθήκη .69 40 0 90 10
累积回报表
天数 方案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660
三
0.4 1.2 2.8
6
12.4
25. 2
50.8
102 204.4 409.2
解：设第x天所得回报为y元，则 方案一：每天回报40元；
y=40 (x∈N*) 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
y=10x (x∈N*) 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.
y=0.4×2x-1 (x∈N*)
x/天
方案一
方案二
y/元 增长量/元 y/元 增长量/元
10
15
20
结论1：
一般地，对于指数函数y=ax (a>1)和幂函数 y=xn (n>0)，通过探索可以发现：
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[活学活用] 2．某医疗研究所开发一种新药， 如果成人按规定的剂量服用，据监测： 服药后每毫升血液中的含药量 y(μg)与 时间 t(h)之间近似满足如图所示的曲线． (1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式； (2)据测定：每毫升血液中含药量不少于 4 μg 时治疗 疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午 7：00， 问一天中怎样安排服药时间(共 4 次)效果最佳？
3．2.2 函数模型的应用实例
预习课本 P101～106，思考并完成以下问题
(1) 一、二次函数的表达形式分别是什么？ (2) 指数函数模型、对数函数模型的表达形式是什么？其中 待定系数有哪些限制条件？ (3)解决实际问题的基本过程是什么？
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[新知初探]
几类常见函数模型
名称
解析式
一次函 数模型
y＝kx＋b
反比例函 数模型
y＝kx＋b
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条件 k≠0 k≠0
二次函 数模型
指数函 数模型
对数函 数模型 幂函数 模型
一般式： y＝ax2＋bx＋c 顶点式：y＝ax＋2ba2
＋4ac－b2 4a
y＝b·a x＋c
y＝mloga x＋n
y＝axn＋b
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分段函数模型
[例 2] 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通 状况．在一般情况下，大桥上的车流速度 v(单位：千米/小时)是车 流密度 x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到 200 辆/ 千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/ 千米时，车流速度为 60 千米/小时．研究表明：当 20≤x≤200 时， 车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数．
高中数学 第三章 函数的应用 3.2 函数模型及其应用 3.2.2 函数模型的应用实例教学设计 新人教A版必修1
3.2.2 函数模型的应用实例整体设计教学目标知识与技能：(1)通过实例“汽车的行驶规律”，理解一次函数、分段函数的应用，提高学生的读图能力．(2)通过“马尔萨斯的人口增长模型”，使学生学会指数型函数的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．过程与方法：在实际问题的解决中，发展学生科学地提出问题、分析问题的能力，体会数学与物理、人类社会的关系．情感、态度与价值观：通过学习，体会数学在社会生活中的应用价值，培养学生的兴趣和探究素养．重点、难点教学重点：分段函数和指数型函数的应用．教学难点：函数模型的体验与建立．教学过程导入新课思路1．(情境导入)在课本第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们几乎占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛、羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．与之相应，图中话道出了其中的意蕴：对于一个种群的数量，如果在理想状态(如没有天敌、食物充足等)下，那么它将呈指数增长；但在有限制的环境中，种群数量一般符合对数增长模型．上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们将进一步讨论不同函数模型的应用．思路2.(直接导入)上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们将进一步讨论不同函数模型的应用．推进新课新知探究提出问题(1)我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为f (x )元(15≤x ≤40)，在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为g (x )元(15≤x ≤40)，试求f (x )和g (x )．(2)A ，B 两城相距100 km ，在两地之间距A 城x km 处的D 地建一核电站，给A ，B 两城供电，为保证城市安全．核电站距城市的距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月．把月供电总费用y 表示成x 的函数，并求定义域．(3)分析以上实例属于那种函数模型． 讨论结果：(1)f (x )＝5x (15≤x ≤40)；g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧90，15≤x ≤30，2(x －30)＋90，30<x ≤40.(2)y ＝5x 2＋52(100—x )2(10≤x ≤90)．(3)分别属于一次函数模型、分段函数模型、二次函数模型．应用示例例1 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图1所示．图1(1)求图1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km ，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s (km)与时间t (h)的函数解析式，并作出相应的图象．活动：学生先思考讨论，再回答．教师可根据实际情况，提示引导．图中横轴表示时间，纵轴表示速度，面积为路程；由于每个时间段速度不同，汽车里程表读数s (km)与时间t (h)的函数为分段函数．解：(1)阴影部分的面积为50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360 km.(2)根据图1，有s ＝⎩⎪⎨⎪⎧50t ＋2 004，0≤t <1，80(t －1)＋2 054，1≤t <2，90(t －2)＋2 134，2≤t <3，75(t －3)＋2 224，3≤t <4，65(t －4)＋2 299，4≤t ≤5.这个函数的图象如图2所示．图2图3两种优惠方案所对应的函数解析式：20010031010010x x x ≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，，－，，g (x )＝500500()3100500.10x g x x x ≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，，，效控制人口增长提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.M a lthus，1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：y＝y0e rt，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．下表是1950～1959年我国的人口数据资料：用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；(2)如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？解：(1)设1951～1959年的人口增长率分别为r1，r2，r3，…，r9.由55 196(1＋r1)＝56 300，可得1951年的人口增长率为r1≈0.020 0.同理可得，r2≈0.021 0，r3≈0.022 9，r4≈0.025 0，r5≈0.019 7，r6≈0.022 3，r7≈0.027 6，r8≈0.022 2，r9≈0.018 4.于是，1951～1959年期间，我国人口的年平均增长率为r＝(r1＋r2＋…＋r9)÷9≈0.022 1.令y0＝55 196，则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为y＝55 196e0.022 1t，t∈N.根据表中的数据作出散点图，并作出函数y＝55 196e0.022 1t(t∈N)的图象(图4)．图4由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合．(2)将y＝130 000代入y＝55 196e0.022 1t，由计算器可得t≈38.76.所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿．由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.某电器公司生产A型电脑.1993年这种电脑平均每台的生产成本为5 000元，并以纯利润20%确定出厂价．从1994年开始，公司通过更新设备和加强管理，使生产成本逐年降低．到1997年，尽管A型电脑出厂价仅是1993年出厂价的80%，但却实现了50%纯利润的高效益．(1)求1997年每台A型电脑的生产成本；(2)以1993年的生产成本为基数，求1993年至1997年生产成本平均每年降低的百分数．(精确到0.01，以下数据可供参考：5＝2.236，6＝2.449)活动：学生先思考讨论，再回答．教师根据实际情况，提示引导． 出厂价＝单位商品的成本＋单位商品的利润．解：(1)设1997年每台电脑的生产成本为x 元，依题意，得x (1＋50%)＝5 000×(1＋20%)×80%，解得x ＝3 200(元)．(2)设1993年至1997年间每年平均生产成本降低的百分率为y ，则依题意，得5 000(1－y )4＝3 200，解得y 1＝1－255，y 2＝1＋255(舍去)．所以y ＝1－255≈0.11＝11%， 即1997年每台电脑的生产成本为3 200元，1993年至1997年生产成本平均每年降低约为11%.点评：函数与方程的应用是本章的重点，请同学们体会它们的关联性．拓展提升某家电企业根据市场调查分析，决定调整产品的生产方案：准备每周(按120个工时计算)生产空调、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台．已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：(以千元为单位)解：设每周生产空调、彩电、冰箱分别为x 台、y 台、z 台，每周产值为f 千元，则f ＝4x ＋3y ＋2z ，其中⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋z ＝360，12x ＋13y ＋14z ＝120，x ≥0，y ≥0，z ≥60，①②③由①②可得y ＝360－3x ，z ＝2x ，代入③得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，360－3x ≥0，2x ≥60，则有30≤x ≤120.故f ＝4x ＋3(360－3x )＋2·2x ＝1 080－x ，当x ＝30时，f max ＝1 080－30＝1 050. 此时y ＝360－3x ＝270，z ＝2x ＝60.答：每周应生产空调30台，彩电270台，冰箱60台，才能使每周产值最高，最高产值为1 050千元．点评：函数、方程、不等式有着密切的关系，它们相互转化组成一个有机的整体．请同学们借助上面的实例细心体会．课堂小结本节重点学习了函数模型的实例应用，包括一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型等；另外还应关注函数、方程、不等式之间的相互关系．活动：学生先思考讨论，再回答．教师提示、点拨，及时评价．引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结．作业课本习题3.2A组5,6.设计感想本节设计从有趣的故事开始，让学生从故事中体会函数模型的选择，然后通过几个实例介绍常用函数模型．接着通过最新题型，训练学生由图表转化为函数解析式的能力，从而解决实际问题．本节的每个例题的素材贴近现代生活，都是学生非常感兴趣的问题，很容易引起学生的共鸣．第2课时作者：王仁海，瓯海中学教师，本教学设计获浙江省教学设计大赛省一等奖．整体设计教学分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修(A版)》第三章的“3.2.2函数模型的应用实例”，即建立拟合函数模型解决实际问题．函数模型的应用是中学数学的重要内容之一，它主要包含三个方面：利用给定的函数模型解决实际问题，建立确定性函数模型解决问题，建立拟合函数模型解决实际问题．而建立拟合函数模型解决实际问题是其重点，也是难点．函数模型的应用教学，既有不可替代的位置，又有重要的现实意义．本节通过实例来说明函数模型的应用，是因为函数模型本身就来源于现实，能给学生提供更多从实际问题中发现或建立数学模型的机会，并体会数学在实际问题中的应用价值．因此在中学教学中有重要的地位．学情分析学生在学习本节内容之前，已经学习了函数的图象和性质，理解了函数的图象与性质之间的关系，尤其是学习了3.2.1几类不同的函数增长模型和3.2.2函数模型的应用实例．学会了如何利用给定的函数模型解决实际问题，建立确定性函数模型解决问题，已经具备了一定的函数模型应用能力．这为理解建立拟合函数模型解决实际问题提供了基础，也为深入理解如何建立合适的拟合函数模型提供了依据．但学生对于动态数据认识薄弱，对于综合应用函数图象与性质尚不够熟练，这些都给学生选择合适的模型造成一定的困难．因此，在教学时应该为学生创设熟悉的问题情境，充分利用学生熟悉的函数图象来选择合适的模型．引导学生观察、计算、思考和理解问题的本质．教学目标知识与技能：了解函数拟合的基本思想，学会建立拟合函数模型解决实际问题．过程与方法：借助信息技术，利用数据画出函数图象，从拟合简单的一次函数模型入手，掌握多角度观察函数图象的技能，探究出各种合适的拟合函数模型．在建构知识的过程中体会数形结合的思想与从特殊到一般的归纳思想．情感、态度与价值观：体验探究的乐趣，体验函数是描述变化规律的基本数学模型，培养学生分析解决问题的能力．重点与难点重点：将实际问题化为函数模型，建立合适的拟合函数模型解决简单的实际问题．难点：如何建立适当的函数模型来解决实际问题．教学过程设计思想一、创设应用情境，引出问题前面我们学习过两种函数模型的应用，分别是利用给定函数模型解决实际问题，建立确定性的函数模型解决问题，那么在既没有给出函数模型又无法建立确定性函数模型的情况下，又该如何解决实际问题呢？二、组织探究例 1 下表是我校从实施研究性学习以来，高一年级段学生的研究性学习小论文在我市每年一次的评比中获奖的相关数据.析式．设计意图以学生熟悉的实际问题为背景，激活学生的原有知识，形成学生的“再创造”欲望，让学生在熟悉的环境中发现新知识，使新知识和原知识形成联系，同时也体现了数学的应用价值．探究：(1)组织学生读、议，小组讨论该如何分析题目？①列表②描点图1③根据点的分布特征，可以考虑以一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)作为描绘篇数与年份的变化趋势．取(1,14)，(4,35)，有⎩⎪⎨⎪⎧14＝k ·1＋b ，35＝k ·4＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝7，b ＝7.这样，我们就得到函数模型y ＝7x ＋7.作出此模型函数图象如下：图2根据上述图象，我们发现这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映我校获奖篇数与年份的变化趋势.图3确定函数模型由前三组数据，用计算器确定函数模型：＋12x＋41；图4可见，乙同学选择的模型较好.此变式训练是为进一步巩固例1的拟合函数思想，培养学生的应用数学意识与提高解决问题能力．例2 我校不同身高的男、女同学的体重平均值如下表：体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式．(2)若体重超过相同身高的同学体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，下面请各位同学对照拟合函数模型来测算自己的体重是否正常？设计意图本例题以学生熟悉的问题出发再创设情境，引起学生的学习兴趣，再次引发学生构建自身基础上的“再创造”，并通过小组合作学习，培养学生解决问题的能力，应用数学的意识．问题(1)的探究：①通过学生自主活动分析数据，发现本题只给出了通过测量得到的数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的．②教师引导学生将表中的数据输入计算器或计算机，画出它们的散点图．教师提问所作散点图与已知的哪个函数图象最接近，从而选择这个函数模型．图5由图可发现指数型函数y＝a×b x的图象可能与散点图的吻合较好，可选之．③教师再问：如何确定拟合函数模型中a，b值．④教师把学生每4人分成一小组合作探究，求出拟合函数模型中a，b的值，然后画出图形，得到的拟合函数效果如何？⑤教师下去巡视后，请小组中的1名成员上台到实物投影处讲解．组1：选取(168,61.4)，(172,66.2)两组数据，用计算器算出a＝2.6，b＝1.019.这样得到函数模型为y＝2.6×1.019x，画出这个函数的图象与散点图．图6我们发现，函数y＝2.6×1.019x不能很好地反映我校学生身高与体重关系．组2：选取(154,46.5)，(168,61.4)两组数据，用计算器算出a＝2.2，b＝1.02.这样得出函数模型为y＝2.2×1.02x，画出这个函数的图象与散点图．图7我们发现，散点图上的点基本上或大多数接近函数y＝2.2×1.02x的图象，所以函数y ＝2.2×1.02x很好地刻画了我校学生身高与体重的关系．教师引导学生回顾问题的特点及解决问题的过程与方法．本题需要判断选择的函数模型与问题所给数据的吻合程度，当取表中不同的两组数据时，得到的函数解析式可能会不一样，需不断修正．当然本题若运用计算器或计算机的拟合功能，那么获得的函数模型会更精确，下课后同学们自己试一试，并且本例题体现了一个完整的建立函数模型进而解决问题的过程．在教师引导下，请一学生归纳解决问题的基本过程：设计意图引导学生进行反思和总结，并将之一般化，用流程的形式表达出来，培养了学生的反思能力及总结提升的能力．问题(2)探究：由于是研究学生自身的体重问题，因而学生的兴趣很高，每人很快都编好了自己的问题，解答起来．如一男生身高175 cm，体重80 kg，他的计算如下：将x＝175代入y＝2.2×1.02x，得y＝2.2×1.02175≈70.4.由于80÷70.4≈1.136＜1.2.所以，该男生体重正常．设计意图采用师生平等对话交流，学生单独完成的模式．因为本题是测算自己本身体重的问题，所以学生兴趣很高．本题问题难度不大，但意义重大，是培养数学应用意识的重要素材，即用拟合函数来预测自己关心的日常生活问题，学生体验过程方式教学，体现了新课程的理念．三、练习反馈教材本节练习1.学生完成后在小组中互相批改、交流．设计意图本环节以个别指导为主，体现面对全体学生的理念，使学生及时巩固所学知识、方法，以达到教学目标．四、小结反思以小组中1人总结，3人倾听的方式，对本课内容进行自主小结，教师归纳强调建立拟合函数模型解决实际问题的基本过程．设计意图提高学习主动性，培养学生表达、交流的数学能力，自主小结的形式是将课堂还给学生，是对所学内容的回顾与梳理．五、课外作业教材习题3.2A组1题，B组1题．六、课外实践通过拟合函数模型看温州经济发展．上网收集1995～2005年温州的国内生产总值、财政收支、对外经济三项数据，建立适当的拟合函数模型，画出拟合函数模型的图象，并通过拟合函数图象来预测温州在2010年的经济发展状况．设计意图课外作业为巩固作业，课外实践为拓展作业，培养学生应用数学知识、提高解决问题的能力，培养学生的探究和再创造能力．教学流程创设情境——实际问题引入，激发学生兴趣．↓组织探究——画出散点图，建立模型，体会不同函数模型拟合的准确程度．↓探索研究——由数据画出散点图，建立拟合函数模型，尝试选择不同的函数拟合数据并不断修正．↓巩固反思——师生交流共同小结，归纳建立拟合函数模型应用题的求解方法与步骤．↓作业回馈——强化基本方法及过程，规范基本格式．↓课外实践——收集生活中的具体实际问题，运用拟合函数思想来解决，培养问题意识及提高应用数学的能力．知识结构问题探讨(1)第三章的3.2.2函数模型的应用实例是否可以设置为3课时，给定的函数模型、建立确定性函数模型、建立拟合函数模型解决实际问题各设置1课时，这样可以让学生感受到函数的广泛应用，真实体验到数学是有用的；体现新课程的问题性，应用性特点；培养学生的问题意识，更加拓展学生数学活动的空间，发展学生“做数学”“用数学”的意识．(2)在函数模型的应用中，建立拟合函数模型解决实际问题是实际应用最广泛、学生最陌生、也是难度最大的，尤其是如何建立适当的拟合函数模型来解决实际问题．建议在教材中是否可安排更多的建立拟合函数模型解决实际问题的例题，加深学生对如何建立适当拟合函数模型的理解．并在练习中多安排渗透拟合函数思想的思考题．。
高中数学 第三章 函数的应用 3.2.2 函数模型的应用实例课件 a必修1a高一必修1数学课件
400 300
k k
600 700
b, b,
解得
k b
1, 1000,
所以 y=-x+1 000(500≤x≤800).
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(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元, ①求S关于(guānyú)x的函数解析式; ②求该公司可获得的最大毛利润,并求出此时相应的销售单价.
解:(1)设 t 小时后蓄水池中水量最小,且蓄水量为 y 吨,则
y=450+80t-160 5t =80( t )2-160 5 · t +450 =80[( t )2-2 5t +5]+50=80( t - 5 )2+50. 当 t = 5 ,即 t=5 时蓄水池中蓄水量最少.
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解:(1)当每辆车的月租金定为 3 600 元时, 未租出的车辆数为 3600 3000 =12,所以这时租出了 88 辆车.
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(2)当每辆车的月租金定为多少(duōshǎo)元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?
解:(2)设每辆车的月租金定为 x 元,则租赁公司的月收益为
(2)若蓄水池中水量少于150吨时,就会出现供水紧张(jǐnzhāng)现象,问每天有几小时供水紧张?
解:(2)若 80( t )2-160 5t +450<150,即 80( t )2-160 5 · t +300<0. 其对应方程的两个根
t1
=
1 2
5,
t2
=
3 2
5.
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3.2.2 函数模型的应用实例课后训练基础巩固1．某产品的利润y (元)关于产量x (件)的函数关系式为y ＝3x ＋4，则当产量为4件时，利润y 等于( )A ．4元B ．16元C ．85元D ．不确定2．拟定从甲地到乙地通话m min 的电话费f (m )＝1.06·(0.50[m ]＋1)，其中m ＞0，[m ]是大于或等于m 的最小整数(如[3]＝3，[3.7]＝4，[5.2]＝6)，则从甲地到乙地通话时间为5.5 min 的通话费为( )A ．3.71B ．3.97C ．4.24D ．4.773．如果寄信时的收费方式如下：每封信不超过20 g 付邮费0.80元，超过20 g 而不超过40 g 付邮费1.60元，依次类推，每增加20 g 需增加邮费0.80元(信的质量在100 g 以内)．某人所寄一封信的质量为72.5 g ，那么他应付邮费( )A ．3.20元B ．2.90元C ．2.80元D ．2.40元4．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式是( )A ．y ＝0.3x ＋800(0≤x ≤2 000)B ．y ＝0.3x ＋1 600(0≤x ≤2 000)C ．y ＝－0.3x ＋800(0≤x ≤2 000)D ．y ＝－0.3x ＋1 600(0≤x ≤2 000)5．据报道，青海的湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2012年的湖水量为m ，从2012年起，过x 年后湖水量y 与x 的函数关系是( )A ．500.9x y =B ．y ＝(1－50x )mC ．y ＝500.9x y =mD ．y ＝(1－0.150x )m6( )A ．v ＝log 2tB ．v ＝12log tC ．v ＝212t - D ．v ＝2t －2 7．某电脑公司2012年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%．该公司预计2014年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2012年到2014年每年经营总收入的年增长率相同，则2013年预计经营总收入为__________万元．8．某企业拟投资A ，B 两个项目，预计投资A 项目m 万元可获得利润P ＝180-(m －20)2＋105万元，投资B 项目n 万元可获得利润Q ＝7980-(40－n )2＋592(40－n )万元．若该企业用40万元来投资这两个项目，则分别投资多少万元能获得最大利润？最大利润是多少？能力提升9．2013年全球经济转暖，据统计某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万人，0.4万人和0.76万人，则该地区这三个月的用工人数y 万人关于月数x 的函数关系近似的是( )A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x ) C ．y ＝210xD ．y ＝0.2＋log 16x 10．如图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图：那么“红豆生南国，春来发几枝”的红豆生长时间与枝数的关系用下列__________函数模型拟合最好．()A ．指数函数：y ＝2tB ．对数函数：y ＝log 2tC ．幂函数：y ＝t 3D ．二次函数：y ＝2t 211．如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：(1)通话2分钟，需付的电话费为__________元；(2)通话5分钟，需付的电话费为__________元；(3)如果t ≥3，则电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系式为__________．12．从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水加满，再倒出1升混合溶液，再用水加满，这样继续下去，则所倒次数x 和酒精残留量y 之间的函数关系为__________．13．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲授开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f (x )表示学生掌握和接受概念的能力[f (x )值越大，表示接受的能力越强]，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下公式：()20.1 2.643,010,59,1016,3107,1630.x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2)开讲后5 min 与开讲后20 min 比较，学生的接受能力何时强一些？14．为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x(1)(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？15．某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润y与投资额x 成正比，其关系如图1所示；B产品的利润y与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图2所示(利润与投资额的单位均为万元)．图1图2(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资额的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？错题记录参考答案1．C 点拨：当x ＝4时，y ＝34＋4＝85(元)．2．C 点拨：5.5 min 的通话费为f (5.5)＝1.06×(0.50×[5.5]＋1)＝1.06×(0.50×6＋1)＝1.06×4＝4.24．3．A 点拨：由题意，得20×3＜72.5＜20×4，因此这个人应付的邮费为0.80×4＝3.20元．4．D 点拨：由题意知，变速车存车数为(2 000－x )辆次，则总收入y ＝0.5x ＋(2 000－x )×0.8＝0.5x ＋1 600－0.8x ＝－0.3x ＋1 600(0≤x ≤2 000)． 5．C 点拨：设每年湖水量为上一年的q %，则(q %)50＝0.9，解得q %＝1500.9．因此过x 年后湖水量y 与x 的函数关系是y ＝500.9x m ．6．C 点拨：取t ＝1.99≈2，代入A 得v ＝log 22＝1≠1.5；代入B 得v ＝12log 2＝－1≠1.5；代入C 得v ＝2212-＝1.5；代入D 得v ＝2×2－2＝2≠1.5．故选C ． 7．1 300 点拨：设从2012年到2014年每年经营总收入的年增长率为x ．由题意，得2012年经营总收入为1 000万元，则有1 000(1＋x )2＝1 690，解得x ＝0.3．故2013年预计经营总收入为1 000(1＋0.3)＝1 300(万元)．8．解：设投资x 万元于A 项目，则投资(40－x )万元于B 项目，总利润W ＝180-(x －20)2＋105＋27959802x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝－x 2＋30x ＋100＝－(x －15)2＋325． 因为当x ＝15时，W min ＝325(万元)，所以投资A 项目15万元，B 项目25万元时可获得最大利润，最大利润为325万元．9．C 点拨：代入验证即可．10．A 点拨：验证即可．11．(1)3.6 (2)6 (3)y ＝1.2t (t ≥3) 点拨：(1)由图象可知，当t ≤3时，电话费都是3.6元．(2)由图象可知，当t ＝5时，y ＝6，即需付电话费6元．(3)当t ≥3时，y 关于x 的图象是一条直线，且经过(3,3.6)和(5,6)两点，故设函数关系式为y ＝kt ＋b ，则3 3.656k b k b +=⎧⎨+=⎩，，解得1.20.k b =⎧⎨=⎩，故y 关于t 的函数关系式为y ＝1.2t (t ≥3)． 12．y ＝20×1920x⎛⎫ ⎪⎝⎭ 点拨：第一次倒完后y ＝19，第二次倒完后，y ＝19×1920＝21920，第三次倒完后y ＝19×32191919202020⨯=，…，第x 次倒完后y ＝11920x x -＝20×1920x⎛⎫ ⎪⎝⎭． 13．解：(1)当0＜x ≤10时，f (x )＝－0.1x 2＋2.6x ＋43＝－0.1(x －13)2＋59.9，故f (x )递增，最大值为f (10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；显然，当16＜x ≤30时，f (x )递减，f (x )＜－3×16＋107＝59．因此，开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6分钟．(2)f (5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝59.9－6.4＝53.5，f (20)＝－3×20＋107＝47＜53.5，因此开讲后5分钟，学生的接受能力比开讲后20分钟强一些．14．解：(1)描点、作图如图(甲)所示．(2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y 与最大积雪深度x 满足一次函数模型y ＝a ＋bx (a ，b 为常数，且b ≠0)．取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y ＝a ＋bx ，得21.110.445.824.0a b a b =+⎧⎨=+⎩，， 用计算器可得a ≈2．2，b ≈1．8．这样，我们得到一个函数模型：y ＝2.2＋1.8x ．作出函数图象如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪深度与灌溉面积的关系．(3)由y ＝2.2＋1.8×25，求得y ＝47.2，即当积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地约47.2公顷．15．解：(1)依题意，A 产品的利润y 与投资额x 的函数关系式设为y ＝kx (k 为参数)，由图形知，当x ＝1.8时，y ＝0.45，代入得14k =．因此函数关系式为y ＝14x (x ≥0)． B 产品的利润y 与投资额x 的函数关系式设为y ＝kk ′为参数)，由图形知，当x ＝4时，y ＝2.5，代入得k ′＝54．因此函数关系式为yx ≥0)． (2)设B 产品投资x 万元，则A 产品投资(10－x )万元，依题意总利润Q ＝14(10－x )x ≤10)＝215654216⎫-+⎪⎭．52=，即254x =时，Q 有最大值6516，10－x ＝154， 所以A 产品投资3.75万元，B 产品投资6.25万元，可使企业获得最大利润，最大利润为4.062 5万元．。