广东省深圳市2015届高三第一次调研考试数学文试题 扫描版含答案
2015深圳二模 广东省深圳市2015届高三第二次调研考试数学文试题 扫描版含答案
2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．16．（本小题满分12分） 解：（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k=，5b k=，3c k =()0k >，…………………………………………………………2分由余弦定理得，222cos 2b c a A bc +-=()()()222537253k k k k k+-=⨯⨯…………………………………………………………3分12=-．………………………………………………………………………………………………4分（2）由（1）知，1cos 2A =-， 因为A是△ABC的内角，所以sin 2A ==．…………………………………………6分 由正弦定理2s i na R A=，…………………………………………………………………………………7分得2sin 214a R A ==⨯=…8分由（1）设7a k =，即k =所以51b k ==，3c k ==10分所以1s i2ABC S bc A ∆=122=⨯ (11)分=所以△ABC的面积为45312分17．（本小题满分12分） 解：（1）因为抽取总问卷为100份，所以()10040102030n =-++=．………………………………1分年龄在[)40,50中，抽取份数为10份，答对全卷人数为4人，所以4100.4b =÷=．……………2分年龄在[]50,60中，抽取份数为20份，答对全卷的人数占本组的概率为0.1，所以2a ÷=，解得2a =．…………………………………………………………………………3分根据频率直方分布图，得()0.040.030.01101c +++⨯=， 解得0.02c =． (4)分（2）因为年龄在[)40,50与[]50,60中答对全卷的人数分别为4人与2人．年龄在[)40,50中答对全卷的4人记为1a ，2a ，3a ，4a ，年龄在[]50,60中答对全卷的2人记为1b ，2b ，则从这6人中随机抽取2人授予“环保之星”奖的所有可能的情况是：()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()23,a a ，()24,a a ， ()21,a b ，()22,a b ，()34,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()12,b b 共15种．…………………………………………………………………………………8分其中所抽取年龄在[]50,60的人中至少有1人被授予“环保之星”的情况是：()11,a b ，()12,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()12,b b 共9种.……………………………………11分故所求的概率为53159=. ………………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分） （1）证明：连接1A B ，在四边形11A BCD 中，11A D BC 且11A D BC =，所以四边形11A BCD 是平行四边形． 所以11A BD C ．…………………………………………2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AA AB ==，所以1AM ANAA AB=， 所以1MN．…………………………………………………………………………………………4分所以1MN DC ．所以M，N，C，1D 四点共C 1ABA 1B 1D 1C DMN面．………………………………………………………………………6分（2）解法一：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ，连接1D A ，1D N ，DN ，则几何体1D AMN -，1D ADN -，1D CDN -均为三棱锥， 所以1111D AMN D ADN D CDN V V V V ---=++1111111333A M N A D N C D N S D A S D D SD D ∆∆∆=++………9分 111319333323232=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯132=．……………………………………………………………………………………………11分 从而11212722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………………………13分所以121341V V =． 所以平面1M N C D 分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………………………14分解法二：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ， 因为平面11ABB A 平面11DCC D ，所以平面AMN平面1DDC ．延长CN 与DA 相交于点P ， 因为AN DC ，所以AN PA DC PD =，即133PA PA =+，解得32PA =． 延长1D M 与DA 相交于点Q ，同理可得32QA =．所以点P 与点Q 重合．所以1D M ，DA ，CN 三线相交于一点．C 1ABA 1B 1D 1CDMN所以几何体1AMN DD C-是一个三棱台．……………………………………………………………9分所以1111332AMV V -⎛⎫==⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭，………………………………………………11分从而11212722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………………………13分所以121341V V =． 所以平面1M N C D 分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………………………14分19．（本小题满分14分）解：（1）因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1， 所以10a =，11b =．……………………………………………………………………………………2分因为数列{}n a 是公差为1的等差数列， 所以1n a n =-．……………………………………………………………………………………………4分因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上，所以31n n b a =+32n =-． 所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ．………………………6分（2）因为()1,32,n n f n n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，，假设存在k ∈*N ，使()()34f k f k +=成立．………………………………………………………7分①当k 为奇数时，3k +为偶数，则有()()33241k k +-=-，解得11k =，符合题意．………………………………………………………………………………10分②当k 为偶数时，3k +为奇数，则有()()31432k k +-=-， 解得1011k =，不合题意．………………………………………………………………………………13分综上可知，存在11k =符合条件．………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分） 解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，……………………………………………………………………1分因为()2ln f x x ax x =++，所以()121f x ax x'=++，………………………………………………………………………………2分依题意有()10f '=，即12a ++=，解得1a =-．………………………………………………3分此时()()()212121x x x x f x x x--+-++'==，所以当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<， 所以函数()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，………………………………………5分所以当1x =时，函数()f x 取得极大值，极大值为0．………………………………………………6分（2）因为()121f x ax x '=++221ax x x++=，（ⅰ）当0a ≥时，………………………………………………………………………………………7分因为()0,x ∈+∞，所以()f x '2210ax x x++=>， 此时函数()f x 在()0,+∞是增函数．……………………………………………………………………9分（ⅱ）当0a <时，令()0f x '=，则2210ax x ++=．因为180a ∆=->，此时()f x '()()212221a x x x x ax x x x--++==，其中1x =，2x =因为a <，所以20x >，又因为12102x x a=<，所以10x <．……………………………………11分所以当20x x <<时，()0f x '>，当2x x >时，()0f x '<， 所以函数()f x 在()20,x 上是增函数，在()2,x +∞上是减函数．…………………………………13分综上可知，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间是180,4a ⎛+- ⎝⎭，单调递减区间是14a ⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．……………………………………14分21．（本小题满分14分） 解：（1）方法一：设圆C的方程为：()222x a y r -+=()0r >，………………………………………1分因为圆C 过点()0,0和()1,1-， 所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩………………………………………………………………………………3分解得1a =-，1r =．所以圆C的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分方法二：设()0,0O ，()1,1A -，依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ．………………………………1分因为直线l的方程为1122y x -=+，即1y x =+，……………………………………………………2分所以圆心C的坐标为()1,0-．…………………………………………………………………………3分 所以圆C的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分（2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤． (5)分由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在， 设PA 的方程为：()010y y k x x -=-，PB 的方程为：()020y y k x x -=-， 则点A 的坐标为()0100,y k x -，点B 的坐标为()0200,y k x -， 所以120AB k k x =-，因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k1=，即1k ，2k 是方程()()2220000022110xx k y x k y +-++-=的两根，………………………………7分即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以12A B =-x =9分因为()220044y x =--，所以AB =10分设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．………………………………………………………………………………11分由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，……………………12分所以()0max 2225564fx f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()(){}min0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭， 所以AB的取值范围为⎦．…………………………………………………………………14分方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤． (5)分设点()0,A a ，()0,B b ， 则直线PA ：00y ay a x x --=，即()0000y a x x y ax --+=， 因为直线PA 与圆C1=，化简得()2000220x a y a x +--=． ①同理得()2000220x b y b x +--=， ②由①②知a，b为方程()2000220x x y x x +--=的两根，…………………………………………7分即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以AB a b =-===9分因为()220044y x =--，所以AB =10分=．………………………………………………………………11分令012t x =+，因为026x ≤≤，所以1184t ≤≤．所以2AB =-=12分当532t =时，max AB =， 当14t =时，min AB = 所以AB的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分。
2015年深圳市宝安区调研考试数学(文科)试卷
高三数学（文科） 第1页 （共4页）2015-2016学年第一学期宝安区高三调研测试卷 数学（文科）2015.9注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线内.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合)},1ln(|{},02|{2x y x B x x x A -==≤--=则=⋂B A （ ） A ．()2,1 B ．(]2,1 C ．[)1,1- D ．()1,1-2．复数Z =32ii-++的共轭复数是 ( ) A ．2i + B ．2i - C ．1i -+ D ．1i --3．下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β4．已知点A(0,1),B(3,2)，向量(4,3)AC =--,则向量BC = ( )A ．(-7,-4)B ．(1,2)C ．(-1,4)D ．(1,4)5．已知函数()233x f x x +=，数列{}n a 满足1111,,n n a a f n N a *+⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭.数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．2133n a n =+ B ．2133n a n =- C ．1133n a n =+ D ．2134n a n =+6．已知向量)3,1(=a,),3(m b = ，若向量b a ,的夹角为π6，则实数 =m ( )A ．2 3B ． 3C ．0D ．－ 37．已知直线50x y --=与圆2246120x y x y +-+-=相 交于,A B 两点，则弦长AB 为 ( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．128．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则 正视图中的x 的值是（ ）A ．2B ．29 C ．23D ．3 9．在平面区域00x y x y ⎧≥⎪≥⎨⎪+≤⎩内随机取一点，则所的点恰好落在圆221x y +=内的概率是（ ）高三数学（文科） 第2页 （共4页）A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π10．如图，以x O 为始边作角α与β（0βαπ<<<），它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，30β= ，则()sin αβ-=（ ） ABCD11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B两点．若△AF 1B 的周长为4 3，则C 的方程为 ( )A ．12322=+y xB ．1322=+y x C ．181222=+y x D ．141222=+y x 12．若定义在区间[]2015,2015-上的函数)(x f 满足：对于任意的[]12,2015,2015x x ∈-，都有2015)()()(2121-+=+x f x f x x f ，且0>x 时，有2015)(<x f ，)(x f 的最大值、最小值分别为N M ,，则N M +的值为 ( )A ．2014B ．2015C ．4028D ．4030 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．阅读图13所示的框图，运行相应的程序，输出S 的值为________． 14．函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 15．已知递增的等比数列{}n a 中,28373,2,a a a a +=⋅=则1310a a = . 16．如下数表，为一组等式：123451,235,45615,7891034,111213141565,s s s s s ==+==++==+++==++++=某学生根据上表猜测221(21)()n S n an bn c -=-++，老师回答正确，则a b c ++= ．三、解答题:本大题共6小题(其中22、23、24题任选一题)，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是a b c ，，，且,,A B C 成等差数列， （1）若1,a b ==求sin C ；（2）若a b c ，，成等差数列，试判断ABC ∆的形状.高三数学（文科） 第3页 （共4页）第19题图18．（本题满分12分）某中学将100名高一新生分成水平相同的甲，乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A ，B 两种不同的教学方式分别在甲，乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如下，计成绩不低于90分者为“成绩优秀”．（1）从乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的两个均“成绩优秀”的概率。
2015年深圳市高三年级第一次调研考试参考答案
2015年深圳市高三年级第一次调研考试参考答案12筛选整合A B A项，混淆充分、必要条件。
原文为‚只有人们的社会实践，才是人们对于外界认识的真理性的标准‛，而选项将‚只有……才‛（必要条件）转换成‚只要……就‛（充要条件）。
B以偏概全。
原文为‚马克思主义的唯物论，第一次正确地解决了这个问题，唯物地而且辩证地指出了认识的深化的运动‛，选项少了‚正确‛‚唯物而且辩证地‛。
C项原文为‚感觉只解决现象问题，理论才解决本质问题。
这些问题的解决，一点也不能离开实践‛，语言转换后语意没有发生变化，故正确。
D项原文为‚主要地是他们亲自参加了当时的阶级斗争和科学实验的实践，没有这后一个条件，任何天才也是不能成功的‛，语言转换后语意没有发生变化，故正确。
E项原文为‚所以，一个人的知识，不外直接经验的和间接经验的两部分。
而且在我为间接经验者，在人则仍为直接经验。
因此，就知识的总体说来，无论何种知识都是不能离开直接经验的‛，语言转换后语意无变化。
13观点理解B B项原文为‚‘秀才不出门，全知天下事’，在技术不发达的古代只是一句空话，在技术发达的现代虽然可以实现这句话‛，强调了‚在技术不发达的古代‛和‚在技术发达的现代‛，故错。
9．（10分）（1）【文言翻译】（7分）①（他）推荐（或“举荐”、“推举”）勋阳巡抚林富代替自己（宾语前置），不等朝廷的批复就回去了。
【“举”“自代”“俟”三个词译对各给1分；共3分。
】②（他）慨然感叹（或“长叹一口气”）说：“道就在这里呀。
”从此深信不疑。
当世学者聚集在一起跟从他，社会上于是就有“阳明学”的称法（说法）。
【“喟然”、“是”、“从之”译对各给1分；“大意” 1分；共4分。
】（2）【信息筛选与概括】（3分）①天资聪颖；②阅读广泛；③静处体悟（勤于思考）。
【3分。
答对一条1分，意思对即可。
】10.【古诗鉴赏】（7分）（1）（3分）①鲜嫩清新（“仙山灵雨行云湿”）；②天生丽质（“洗遍香肌粉未匀”）；③清香可人（“清风吹破武林春”）；④本质高雅（“要知冰雪心肠好”）；⑤朴实无华（“不是膏油首面新”）。
2015年深圳市高三年级第一次调研考试数学理科
2015年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合}5,1,0,2{=U ，集合}2,0{=A ，则A C U ＝（ ） A.φ B 。
}2,0{ C 。
}5,1{ D 。
}5,1,0,2{2、已知复数z 满足1)1(=+i z （其中i 为虚数单位），则=z （ ）A.21i +- B 。
21i -- C 。
21i + D 。
21i- 3、若函数b a y x +=的部分图象如图1所示，则A.01,10<<-<<b a B 。
10,10<<<<b a C.01,1<<->b a D 。
4、已知实数y x ,满足不等式组300≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+y x y x ，则y x +2的最大值为（A.3 B 。
4 C 。
6 D 。
95、已知直线b a ,，平面βα,，且α⊥a ，β⊂b ，则“b a⊥”是“βα//”的（ ）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6、执行如图2所示的程序框图，则输出S 的值为（ ） A. 16 B 。
25 C 。
36 D 。
49 7、在ABC ∆中，c b a ,,分别为C B A ∠∠∠,,所对的边，若函数1)(31)(2223+-+++=x ac c a bx x x f 有极值点，则B ∠的范围是（ ） A.)3,0(π B 。
]3,0(π C 。
],3[ππ D 。
),3(ππ8、如果自然数a 的各位数字之和等于8，我们称a 为“吉祥数”。
将所有“吉祥数”从小到大排成一列321,,a a a …，若2015=n a ，则=n （ ）A. 83 B 。
82 C 。
39 D 。
37二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
本大题分为必做题和选做题两部分 （一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生必须做答。
深圳市2015届高三上学期第一次五校联考(理数)
深圳市2015届高三上学期第一次五校联考数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效．4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1. 已知a b R ∈，，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则()2a bi +＝（ ）A ．54i -B ．54i +C ．34i -D ．34i + 2. 设集合{} 12A x R x =∈-<，{}2,x B y R y x R =∈=∈，则AB ＝（ ）A ．∅B ．[)0 3，C ．()0 3，D ．()1 3-， 3. 函数()2ln =-f x x x的零点所在的区间为（ ） A ．()0 1， B ．()1 2， C ．()2 3， D ．()3 4， 4. 已知m (),2a =-，n ()1,1a =-，则 “a ＝2”是“m //n ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 5. 一个多面体的三视图如右图所示，则该多面体的体积为（ ）A ．233 B ．223C ．6D ． 76. 在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务. 已知：①食物投掷地点有远、近两处； ②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处。
深圳市2015届高三数学(文数) 含详细解答
2/9
（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题） 14、 （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，直线 l 的参 数方程为
数 0, 2 ） ，则圆心到直线 l 的距离为
x 2 cos x t 3 （参数 t R ） ， 圆的参数方程为 （参 y 2sin 1 y 3t
深圳市 2015 届普通高中毕业班教学质量监测 数学（文科）
本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签字 笔将自己所在的市、县／区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在 答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定 区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不 准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4． 作答选做题时， 请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点， 再作答。 漏涂、 错涂、多涂的，答案无效。 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体体积公式为 V
2
1 Sh ，其中 S 为锥体的底面积、 h 为锥体的高； 3
球的表面积公式为 S 4 R ，其中 R 为球的半径； 方差公式为 s
2
1 2 2 2 x1 x x2 x xn x ． n
广东省深圳市2015届高三数学上学期第一次五校联考试题 文(含解析)新人教A版
深圳市五校2015届高三年级第一次联考文科数学试卷本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟【试卷综析】试题比较平稳，基本符合高考复习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，有相当一部分的题目灵活新颖，知识点综合与迁移。
试卷的整体水准应该说可以看出编写者花费了一定的心血。
但是综合知识、创新题目的题考的有点少,试题以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。
试题起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．已知集合{0,1,2,3}A =，集合{2}B x N x =∈≤，则A B =A ．{3}B ．{0 1 2}，，C ．{1,2}D ．{0 1 2 3}，，， 【知识点】集合运算. A1【答案解析】B 解析：集合B 用列举法表示为：{}0,1,2，所以AB ={}0,1,2故选B.【思路点拨】先把集合B 用列举法表示，再根据交集定义求A B .【题文】2．设复数11z i =+，22()z xi x R =+∈，若12z z R ⋅∈，则x =A ．2-B ．1-C ．D ．2【知识点】复数运算. L4 【答案解析】A 解析：因为()()()121222z z i xi x x i ⋅=+⋅+=-++R∈，所以20x +=，所以x=-2，故选A.【思路点拨】利用复数乘法求得()()()121222z z i xi x x i⋅=+⋅+=-++，由复数是实数则复数的虚部为0得结论.【题文】3．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是 A ．,,m n m n αα若则‖‖‖ B ．,,m m αβαβ若则‖‖‖ C ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖【知识点】空间中线面平行、垂直的判定与性质. G4 G5【答案解析】D 解析：对于选项A: ,,m n αα若则‖‖m,n 平行、相交、异面都有可能；对于选项B: ,,m m αβ若则‖‖,αβ可能平行、可能相交；对于选项C ：,,αγβγ⊥⊥若则,αβ可能平行、可能相交；所以选项A 、B 、C 都不正确，故选D.【思路点拨】依次分析各选项得选项A 、B 、C 都不正确，故选D.【题文】4．已知向量(2,3)p =-，(,6)q x =且//p q ，则||p q +的值为ABC ．5D ．13【知识点】向量共线的意义；向量模的计算. F1 F2【答案解析】B 解析：由(2,3)p =-，(,6)q x =且//p q 得12=-3x ，即x=-4,所以()()()2,34,62,3p q +=-+-=-= B.【思路点拨】由向量共线得x=-4，从而得()()()2,34,62,3p q +=-+-=-=【题文】5．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知6,835==S a ，则9a =A ．8B ．12C ．16D ．24 【知识点】等差数列. D2【答案解析】C 解析：由36S =得132()323622a a a +⋅⋅==，所以22a =，又58a =所以5236a a d -==，从而d=2，所以95484216a a d =+=+⨯=，故选C.【思路点拨】根据等差数列的前n 项和公式，求得22a =，再由5236a a d -==求得d=2，所以95484216a a d =+=+⨯=.【题文】6．执行如右图所示的程序框图，则输出的y =A ．12 B ． C ．1- D ．2【知识点】算法与程序框图. L1【答案解析】D 解析：由程序框图得循环过程中y 的取值依次是112,,1,2,,1,22--这是一个以3为周期的周期数列，而2014除以3余1，所以输出的y 值是此数列的第一个数2，故选D.【思路点拨】由程序框图得y 取值规律: 以3为周期的周期数列,由此得输出的y 值.【题文】7．将函数)26cos(x y -=π的图像向右平移12π个单位后所得的图像的一个对称轴是A ．6π=x B ．4π=x C ．3π=x D ．12x π=【知识点】函数sin()y A x ωϕ=+的图像与性质. C4【答案解析】A 解析：将函数)26cos(x y -=π的图像向右平移12π个单位后所得：cos 2cos 2cos 261233y x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，而对称轴是使函数取得最值的x 值，经检验6x π=成立，故选A.【思路点拨】函数)26cos(x y -=π的图像向右平移12π个单位后为cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 再根据对称轴是使函数取得最值的x 值得结论.【题文】8．函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0，4]上的零点个数是A ．4B ．5C ．6D ． 7【知识点】函数的零点. B9 【答案解析】C 解析：由()()21cos 0f x x x =-=得x-1=0或2cos 0x =，又[]0,4x ∈所以[]20,16x ∈，所以x=1或23579,,,,22222x πππππ=，所以函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0，4]上的零点个数是6，故选C.【思路点拨】根据函数零点的意义:函数的零点就是函数值为0的方程的根，因此只需求方程()()21cos 0f x x x =-=解的个数即可.【题文】9．已知直线:40l x my ++=，若曲线222610x y x y ++-+=上存在两点P 、Q 关于直线对称，则m 的值为A ．2B ．2-C ．D ．1- 【知识点】直线与圆的位置关系. H4【答案解析】D 解析：因为曲线222610x y x y ++-+=是圆()()22139x y ++-=，若圆()()22139x y ++-=上存在两点P 、Q 关于直线对称，则直线:40l x my ++=，过圆心（-1,3），所以1340m -++=，解得1m =-，故选D.【思路点拨】将已知曲线方程配方得其为圆，若圆上存在两点P 、Q 关于直线对称，则 直线过圆心，由此得关于m 的方程，从而求得m 值.【题文】10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)0f =，当0x >时，有2()()xf x f x x '->成立，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,0)(1,)-+∞ B ．(1,0)- C ．(1,)+∞ D ．(,1)(1,)-∞-+∞【知识点】函数的奇偶性；导数的应用. B4 B12【答案解析】A 解析：构造函数()(),0f x h x x x =>，则2()()()0,0xf x f x h x x x '-'=>>，所以()h x 是()0,+∞上过点（1,0）的增函数.所以当()0,1x ∈时()0f x x <，从而得()0f x <；当()1,x ∈+∞时()0f x x >，从而得()0f x >.由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以不等式()0f x >的解集()()1,01,-+∞,故选A.【思路点拨】构造函数()(),0f x h x x x =>，确定函数()h x 是()0,+∞上过点（1,0）的增函数，由此得在（0,1）上()0f x <，在()1,+∞上()0f x >，由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，得不等式()0f x >的解集()()1,01,-+∞.二、填空题：本大题共5题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）【题文】11.函数y =的定义域为.【知识点】函数的定义域. B1【答案解析】()()0,11,+∞ 解析：自变量x 满足的条件为101ln 00,1x x x x x +≥≥-⎧⎧⇒⎨⎨≠>≠⎩⎩所以函数的定义域为()()0,11,+∞.【思路点拨】根据函数有意义的条件列出关于x 的不等式组求解. 【题文】12.一个几何体的三视图如图， 则该几何体的体积为 . 【知识点】几何体的三视图. G2【答案解析】6π 解析：由三视图可知此几何体 是底面半径为2，高为3的半圆柱，所以其体积为212362ππ⨯⨯⨯=.【思路点拨】由几何体的三视图得该几何体的形状，从而求该几何体的体积.【题文】13.设双曲线221x y m n +=的离心率为2，且一个焦点与抛物线28x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为____.【知识点】双曲线与抛物线的几何性质. H6 H7【答案解析】2213x y -= 解析：根据题意知：双曲线的离心率2c e a ==，一焦点()0,2F ,所以2,1c a ==，从而3b =，又焦点在y 轴上，所以221,3n a m b ===-=-，此双曲线的方程为2213x y -=.【思路点拨】先根据已知条件求得双曲线的字母参数a,b,c 的值，再由焦点位置求得双曲线方程.（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【题文】14. （几何证明选讲选做题）如图，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点B 在圆O 上，23BC =，060BCD ∠=，则圆O 的面积为________．【知识点】几何证明. N1【答案解析】4π 解析：连接OC ，因为CD 是圆O 的切线， C 为切点，所以OC CD ⊥,因为060BCD ∠=，所以30OCB ∠=,作OH CB ⊥于H ，则H 为BC 中点，因为BC=23，所以3CH =所以半径OC=32cos30=，所以圆O 的面积为4π.【思路点拨】利用圆的切线的性质及垂径定理，求得圆的半径，从而求出圆面积.第(14)题CDBO【题文】15. （正四棱锥与球体积选做题）棱长为1的正方体的外接球的体积为________． 【知识点】多面体与球. G8【答案解析】32π解析：因为正方体外接球的直径是正方体的对角线，而正方体的棱长为1，所以球的直径2221113++=，棱长为1的正方体的外接球的体积为： 3433322ππ⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.【思路点拨】由正方体外接球的直径等于正方体的对角线，求得正方体的外接球的直径，进而求得球的体积.三、解答题：本大题共6小题，满分80分。
深圳市2015届高考模拟高三年级第一次调研考试(整理精校版)
深圳市2015届高考模拟高三年级第一次调研考试高考模拟试卷0330 11:04：：深圳市2015届高考模拟高三年级第一次调研考试一、本大题4小题，每小题3分，共12分。
1．下列词语中加点的字，每对读音都不相同的一组是A．伺机/伺候丰稔/色厉内荏差可告慰/鬼使神差B．储存/贮藏勾当/勾心斗角引吭高歌/沆瀣一气C．羞赧/赦免翘楚/翘首以待挑拨离间/间不容发D．船舷/漩涡蹊跷/独辟蹊径量入为出/量体裁衣2．下面句子中画线的词语，使用恰当的一项是A．工信部关于四项校车安全技术新国标征求社会各界的意见。
工信部首次将幼儿园校车列入国家标准的制定范围，这一举措得到全社会广泛好评。
B．2015届高考模拟12月26日上午10时40分，随着汽笛一声长鸣，G6126次列车缓缓驶出深圳北站，标志着广深港高铁广深段正式开通运营，深圳由此开启了高铁时代。
C．近段时间，大雾天气频繁出现，首都北京城仿佛变成雾都，空气中的PM2.5浓度越来越高，今天终于迎来了和煦的阳光，每个人都弹冠相庆。
D．今年春节回到故乡，真是“一日不见，如隔三秋”：路也宽了，楼也高了，河水也清了，短短的几个月，故乡的变化真大。
3．下列句子中，没有语病的一项是A．连日来，朝鲜民众纷纷前往锦绣山纪念宫瞻仰金正日的遗体，平壤街头也有大批的市民进行哀悼活动，许多人放声大哭，其中老人、妇女和军人的情绪最为激动。
B．2015届高考模拟10月24日，在全球发售的《史蒂夫·乔布斯传》，丰富而系统地介绍了史蒂夫·乔布斯有如过山车般精彩的人生，乔布斯的那份感悟与激情，真诚与不舍感动着每一位读者。
C．深圳博物馆是一座综合类博物馆，馆内现有文物藏品两万余件，其中包括亿万年前的古生物化石标本、神人纹镜、鸟纹鼎等珍贵文物展出。
D．又到岁末，2015届高考模拟的“年度汉字、词”评选结果现已揭晓。
“控”和“伤不起”分别被评选为年度汉字和年度词语。
4．把下列句子组成语意连贯的语段，排序最恰当的一项是① 我所知道的一切精神上的伟人，他们的心灵世界无不具有这个特征，其核心始终是单纯的，却又能够包含丰富的情感、体验和思想。
广东省深圳市2015届高三第一次调研考试数学理试题 Word版含解析
2015年深圳市高三年级第一次调研考试【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本能力为载体，，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、椭圆、导数、数列、三角函数的性质，立体几何等；考查学生解决实际问题的能力。
一选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
【题文】1、已知集合}5,1,0,2{=U ，集合}2,0{=A ，则A C U ＝（ ） A.φ B 。
}2,0{ C 。
}5,1{ D 。
}5,1,0,2{ 【知识点】集合及其运算A1 【答案】C【解析】由}5,1,0,2{=U ，}2,0{=A 则A C U =}5,1{ 【思路点拨】根据集合的运算得到。
【题文】2、已知复数z 满足1)1(=+i z （其中i 为虚数单位），则=z （ ） A.21i +- B 。
21i -- C 。
21i + D 。
21i- 【知识点】复数的基本概念与运算L4 【答案】D 【解析】z=11i += 1(1)(1)i i i -+-=21i - 【思路点拨】根据复数运算性质得到。
【题文】3、若函数b a y x+=的部分图象如图1所示，则 A.01,10<<-<<b a B 。
10,10<<<<b a C.01,1<<->b a D 。
10,1<<>b a a>1, 0<b<1【知识点】指数与指数函数B6O xy图11-1【答案】A【解析】由图象可以看出，函数为减函数，故0＜a ＜1， 因为函数y=a x 的图象过定点（0，1），函数y=a x +b 的图象过定点（0，b ），∴-1＜b ＜0 【思路点拨】根据指数函数的图象和性质即可判断【题文】4、已知实数y x ,满足不等式组300≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+y x y x ，则y x +2的最大值为（ ）A.3 B 。
广东深圳2015届高三第二次调研考试数学文试题(扫描版含答案)
2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．16．（本小题满分12分） 解：（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k=，5b k=，3c k =()0k >，…………………………………………………………2分由余弦定理得，222cos 2b c a A bc +-=()()()222537253k k k k k+-=⨯⨯…………………………………………………………3分12=-．………………………………………………………………………………………………4分（2）由（1）知，1cos 2A =-， 因为A是△ABC的内角，所以sin 2A ==．…………………………………………6分 由正弦定理2s i na R A=，…………………………………………………………………………………7分得2sin 214a R A ==⨯=…8分由（1）设7a k =，即k =所以51b k ==，3c k ==10分所以1s i2ABC S bc A ∆=122=⨯ (11)分=所以△ABC的面积为45312分17．（本小题满分12分） 解：（1）因为抽取总问卷为100份，所以()10040102030n =-++=．………………………………1分年龄在[)40,50中，抽取份数为10份，答对全卷人数为4人，所以4100.4b =÷=．……………2分年龄在[]50,60中，抽取份数为20份，答对全卷的人数占本组的概率为0.1，所以2a ÷=，解得2a =．…………………………………………………………………………3分根据频率直方分布图，得()0.040.030.01101c +++⨯=， 解得0.02c =． (4)分（2）因为年龄在[)40,50与[]50,60中答对全卷的人数分别为4人与2人．年龄在[)40,50中答对全卷的4人记为1a ，2a ，3a ，4a ，年龄在[]50,60中答对全卷的2人记为1b ，2b ，则从这6人中随机抽取2人授予“环保之星”奖的所有可能的情况是：()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()23,a a ，()24,a a ， ()21,a b ，()22,a b ，()34,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()12,b b 共15种．…………………………………………………………………………………8分其中所抽取年龄在[]50,60的人中至少有1人被授予“环保之星”的情况是：()11,a b ，()12,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()12,b b 共9种.……………………………………11分故所求的概率为53159=. ………………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分） （1）证明：连接1A B ，在四边形11A BCD 中，11A D BC 且11A D BC =，所以四边形11A BCD 是平行四边形． 所以11A BD C ．…………………………………………2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AA AB ==，所以1AM ANAA AB=， 所以1MN．…………………………………………………………………………………………4分所以1MN DC ．所以M，N，C，1D 四点共C 1ABA 1B 1D 1C DMN面．………………………………………………………………………6分（2）解法一：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ，连接1D A ，1D N ，DN ，则几何体1D AMN -，1D ADN -，1D CDN -均为三棱锥， 所以1111D AMN D ADN D CDN V V V V ---=++1111111333A M N A D N C D N S D A S D D SD D ∆∆∆=++………9分 111319333323232=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯132=．……………………………………………………………………………………………11分 从而11212722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………………………13分所以121341V V =． 所以平面1M N C D 分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………………………14分解法二：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ， 因为平面11ABB A 平面11DCC D ，所以平面AMN平面1DDC ．延长CN 与DA 相交于点P ， 因为AN DC ，所以AN PA DC PD =，即133PA PA =+，解得32PA =． 延长1D M 与DA 相交于点Q ，同理可得32QA =．所以点P 与点Q 重合．所以1D M ，DA ，CN 三线相交于一点．C 1ABA 1B 1D 1CDMN所以几何体1AMN DD C-是一个三棱台．……………………………………………………………9分所以1111332AMV V -⎛⎫==⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭，………………………………………………11分从而11212722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………………………13分所以121341V V =． 所以平面1M N C D 分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………………………14分19．（本小题满分14分）解：（1）因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1， 所以10a =，11b =．……………………………………………………………………………………2分因为数列{}n a 是公差为1的等差数列， 所以1n a n =-．……………………………………………………………………………………………4分因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上，所以31n n b a =+32n =-． 所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ．………………………6分（2）因为()1,32,n n f n n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，，假设存在k ∈*N ，使()()34f k f k +=成立．………………………………………………………7分①当k 为奇数时，3k +为偶数，则有()()33241k k +-=-，解得11k =，符合题意．………………………………………………………………………………10分②当k 为偶数时，3k +为奇数，则有()()31432k k +-=-， 解得1011k =，不合题意．………………………………………………………………………………13分综上可知，存在11k =符合条件．………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分） 解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，……………………………………………………………………1分因为()2ln f x x ax x =++，所以()121f x ax x'=++，………………………………………………………………………………2分依题意有()10f '=，即12a ++=，解得1a =-．………………………………………………3分此时()()()212121x x x x f x x x--+-++'==，所以当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<， 所以函数()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，………………………………………5分所以当1x =时，函数()f x 取得极大值，极大值为0．………………………………………………6分（2）因为()121f x ax x '=++221ax x x++=，（ⅰ）当0a ≥时，………………………………………………………………………………………7分因为()0,x ∈+∞，所以()f x '2210ax x x++=>， 此时函数()f x 在()0,+∞是增函数．……………………………………………………………………9分（ⅱ）当0a <时，令()0f x '=，则2210ax x ++=．因为180a ∆=->，此时()f x '()()212221a x x x x ax x x x--++==，其中1x =，2x =因为a <，所以20x >，又因为12102x x a=<，所以10x <．……………………………………11分所以当20x x <<时，()0f x '>，当2x x >时，()0f x '<， 所以函数()f x 在()20,x 上是增函数，在()2,x +∞上是减函数．…………………………………13分综上可知，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间是180,4a ⎛+- ⎝⎭，单调递减区间是14a ⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．……………………………………14分21．（本小题满分14分） 解：（1）方法一：设圆C的方程为：()222x a y r -+=()0r >，………………………………………1分因为圆C 过点()0,0和()1,1-， 所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩………………………………………………………………………………3分解得1a =-，1r =．所以圆C的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分方法二：设()0,0O ，()1,1A -，依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ．………………………………1分因为直线l的方程为1122y x -=+，即1y x =+，……………………………………………………2分所以圆心C的坐标为()1,0-．…………………………………………………………………………3分 所以圆C的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分（2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤． (5)分由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在， 设PA 的方程为：()010y y k x x -=-，PB 的方程为：()020y y k x x -=-， 则点A 的坐标为()0100,y k x -，点B 的坐标为()0200,y k x -， 所以120AB k k x =-，因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k1=，即1k ，2k 是方程()()2220000022110xx k y x k y +-++-=的两根，………………………………7分即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以12A B =-x =9分因为()220044y x =--，所以AB =10分设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．………………………………………………………………………………11分由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，……………………12分所以()0max 2225564fx f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()(){}min0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭， 所以AB的取值范围为⎦．…………………………………………………………………14分方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤． (5)分设点()0,A a ，()0,B b ， 则直线PA ：00y ay a x x --=，即()0000y a x x y ax --+=， 因为直线PA 与圆C1=，化简得()2000220x a y a x +--=． ①同理得()2000220x b y b x +--=， ②由①②知a，b为方程()2000220x x y x x +--=的两根，…………………………………………7分即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以AB a b =-===9分因为()220044y x =--，所以AB =10分=．………………………………………………………………11分令012t x =+，因为026x ≤≤，所以1184t ≤≤．所以2AB =-=12分当532t=时，max AB =， 当14t =时，min AB = 所以AB的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分。
2015年深圳市高三年级第一次调研考试.docx
2015年深圳市高三年级第一次调研考试数学理科）答案及评分标准说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后 续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题：本大题每小题5分，满分40分.123 45678cD A C BCDA二、填空题：本大题每小题分，满分分.三、解答题16.（本小题满分12分）JT函数/（x ） = 2sin （^x + -） （Q >0）的最小正周期是兀・二。
=±2 ,TT由0>0,得0 = 2,即/(x) = 2sin(2x + -).八/5兀、小• 7ye r • /兀 、 r •兀 ？••• f (—) = 2 sin — = 2 sin(— + 兀)=一2 sin — = — 1 • 12 6 6 6(2)由sinx 010. 18；14. 211. 9； 15. 4.12. 4亦;解: (1)(2) (1)求/（詈）的值;若 sin X 。
二半，且砖（0冷），求心）的值.2兀v/（X ）的周期T = n,即厂=兀,—得cos2x 0 = l-2sin 2 x 0Tl又 X ()G (0,—),・•・ 2x 0 G (0, 71),•・• 2 sin(2x 0 + —) = 2 sin 2x 0 cos y+ 2 cos 2x 0 sin —r 2V2 1 1 V3 2V2+V3= 2x —x- + 2x-x —= --------------------.3 2 3 2 3・• JOo) = 2 sin(2x 0 +y)= ?忑;卡【说明】木小题主要考查了三角函数/（兀）二Asin （饭+ 0）的图象与性质，同角三角函数的关系式，诱导公式，两角和与差和二倍角的三角函数公式，考查了简单的数学运算能力.17.（本小题满分12分）空气质量指数（简称AQ1）是泄量描述空气质量状况的指数，其数值越人说明空气污染 越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站•下表是某网站公布 的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：城市 AQI 数值 城市 AQI 数值 城市 AQI数值 城市 AQI数值 城市 AQI数值 城市 AQI数值 城市AQI 数值 广州 118 东莞 137 中山 95 江门 78 云浮 76 茂名 107 揭阳 80 深圳94珠海95湛江75 潮州 94 河源 124 肇庆 48 清远 47 佛山 160 惠州 113 汕头88汕尾74阳江112韶关68梅州84（1）请根据上表屮的数据，完成下列表格:空气质量 优质 良好 轻度污染 中度污染AQT 值范|韦|[0, 50)[50, 100)[100, 150)[150, 200)城市个数（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市屮采用分层抽样的方式抽取6个城市，省环保部门再从屮随机选取3个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为§”，求纟的分布列和数学期望. 解：（1）根据数据，完成表格如下：空气质量优质良好轻度污染屮度污染AQI 值范围[0, 50) [50, 100) [100, 150)[150, 200)城市频数2 12 6 1（2）按分层抽样的方法,12分12从“良好”类城市屮抽取卩二 ---- x6 = 4个，............................. 3分12 + 6从“轻度污染”类城市屮抽取仏x6 = 2个，................................ 4分-12 + 6所以抽出的“良好”类城市为4个，抽出的“轻度污染”类城市为2个.根据题的所有可能取值为：1, 2, 3 .C l C2 1 C2C' 3 c3C° 1•・・p（§=i）=恃p（§=2）=许二斗P（§=3）=符二* .............. ...... 8 分123P131555咖心叫+ “答：§的数学期望为2个. ..................................... 12分【说明】木题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变星分布列以及数学期望等基础知识, 考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力.18・（本小题满分14分）在三棱锥P —ABC中，己知平面PBC丄平\hi ABC , AB是底Lfn"A ABC最长的边.三梭锥P-ABC的三视图如图5所示，其屮侧视图和俯视图均为育角三角形.（1）请在图6屮，用斜二测画法，把三棱锥P — ABC的直观图补充完桀（其屮点P 在xOz平面内），并指出三棱锥P-ABC的哪些面是直角三角形；（2）求二血角B-PA-C的正切值;（3）求点C到面PAB的距离.侧视图— 2 —► |<—2 —->| 俯视图解：(1)三棱锥P-ABCK 观图如图1所示; 由三视图知\ABC 和△PCA 是直角三角形. (2)(法一)：如图2,过P 作PH 丄BC 交BC 于点H, 由三视图知NPBC 为等腰三角形，vBC = 4, PH = 2*,:.PB = PC = BC = 4,取PC 的屮点E,过E 作EF 丄Q4且交PA 于点F,连接BE, BF,因为BE 丄PC,由三视图知AC 丄面PBC ,且B Eu 面PBC ,所以AC 丄BE , 又由ACP\PC = C ,所以BE 丄面PAC , 由 PA C W J PAC ，所以 BE 丄 PA, BEHEF^E ,所以 PA 丄面 BEF, 由BF u 面BEF ,所以P4丄BF , 所以ZBFE 是二面角B-PA-C的平面角.•••△PEF 〜MAC,・••竺=竺PA AC•・・PE = 2,AC = 4,PA = 47L ・・・EF=JLBE /-•••在直角ACFE 中，有tan ZBFE = ——=冷6 •EF所以，二血角B-PA-C 的正切值为舲.(法二)：如图3,过P 作PH 丄BC 交BC 于点H,由三视图知APBC 为等腰三角形,BC = 4, PH = 2屈,由图3所示的坐标系，及三视图屮的数据得：8(0,0,0), C(4,0,0), P(2,0,2^3), A(4,4,0),则 BA = (4,4,0), 丽= (2,0,2馆)，C4 = (0,4,0),CP = (-2,0,2A /3),设平面PAB 、平面PAC 的法向量分别为加、n.(图3 —, __ 4%)+4y } = 0设加=(兀)，zj,由/w ・BA = 0, m • BP = 0 ,得彳,图2........................ 8分P图1令Z]=l，得X严-观,即m = (-V3,V3,1).【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，三视图及几何体的直观图，二面角， 三梭锥的体积，空间坐标系等基础知识，考查空间想彖能力、运算能力和推理论证能力，考 查用向量方法解决数学问题的能力.19.（本小题满分14分）已知首项大于0的等差数列｛%｝的公差〃 =1,且丄 + —1— = Z . a ｝a 2 a 2a ｝3（1） 求数列｛色｝的通项公式；（2） 若数列｛化｝满足：勺=一1,人=久，bn+]=——其屮n >2・① 求数列｛化｝的通项仇；② 是否存在实数2,使得数列｛仇｝为等比数列？若存在，求出久的值；若不存在，请 说明理由.解：（1）（法一）：・.・数列｛%｝的首项q>0,公差d=l,设=由w-G4 = 0, n PA = O f 得『儿一° ・ -2 兀2+2V^=0令乞2=1，得x 2 = V3 , y 2 = 0 ,即ii = (V3,0,l).-2 V7~~ —_ 2A /7 ~ 7tan <m,n >=_品• 而二面角B-PA-C 的大小为锐角，所以二面角B — PA — C 的正切值为亦.・・・9分（3）（法一）：记C 到面的距离为力，由（1）、（2） ^PA = AB = 4^2, PB = 4,S 、PAB= 4^7 ' y c-PAB =|SgB • h =h ,三棱锥P-ABC 的体积V P _^C=L S~ 3 MBCA / C [由匕—ABC = V —AB ，可得：h = -y12分13分14分（法二）：由（2）矢口，平面PAB 的法向量m=（-V3,V3,l ）, C4 = （0,4,0） 记C 到\hi PAB 的距离为力,4V21 714分4巧W整理得^+2^-3 = 0解得坷=1或角=—3 （舍去）. .................... 4分因此，数列｛%｝的通项色=〃・ ............................ 5分（法二）：由题意得丄+ 丄=幺也 =2,.............................................. 1分a ｝a^ a x a^a y 3・・・数列｛色｝是等差数列,・・・勺+偽=2偽,.................... 2分又 T a 】 >0,6/ = 1 ,.・.舛（务+2） = 3 ,解得°[=1或a x = -3 （舍去）. ........................ 4分 因此，数列｛%｝的通项a” = n ...................................................... 5分nb u (Z2-1) b ,••• ―= ----- -------- +1 • ..................................................................................... 6 ： (-1 严(-1)"令C“ =W二:半，则有 C 2=A, C Z ,+1 = c… +1 (/z > 2).(T)・••当 n> 2 时，c tl = c 0 + (77 - 2) = zz - 2 + A , b n =—~. .......... 8 分n-1i,n = 1,因此,数列｛$｝的通项仇=s_2 + Q)(-1)” ( f ・ (9)-------- : ---- ,(〃 n 2).n-1••• a n =a ｛ + (n -1),1 1 ------ 1 -----a^ci=(丄—丄)+(丄—丄) | dr 61° Cl 31 1 _ 1 1 _2 -- — -- ----- — ----- ---% a. a x d]+2 3② T b] = —1, b2 = A , b.10分・•・若数列｛仇｝为等比数列，则有bf = b\S ,即A 2=（-l ）（ ）， 解得2 = 1或A=-~............................................................................... 11分2当A = --时，b” =（2"7）_（T ）］s2 2）, 乩不是常数，数列｛仇｝不是等比数列, 2 2C/7-1） b n 当2 = 1时,6l=-l, 6n =（-l ）w （n>2）,数列｛仇｝为等比数列.所以，存在实数久=1使得数列｛亿｝为等比数列. ......................... 14分 【说明】考查了等差数列的基本量的计算、递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、 等比数列的定义，考杳了学生的运算能力，以及化归与转化的思想.20.（木小题满分14分）22斤己知椭圆E:罕+ \ = 1 （a>b>0）的离心率为―，过左焦点倾斜角为45。
2015年深圳市高三年级第一次调研考试理科数学试题答案及评分标准
2015年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．二、填空题：本大题每小题5分，满分30分．9．23； 10． 18； 11．9； 12．13．2； 14．2； 15． 4． 三、解答题 16．（本小题满分12分）函数π()2sin()3f x x ω=+（0ω>）的最小正周期是π． （1）求5π()12f 的值；（2）若0sin x =，且0π(0,)2x ∈，求0()f x 的值．解：（1）()f x 的周期πT =，即2ππω=， …………………………………………1分2ω∴=±，由0ω>，得2ω=，即π()2sin(2)3f x x =+． ……………………………………3分5π7πππ()2sin 2sin(π)2sin 112666f ∴==+=-=-． ………………………………5分（2）由0s i n 3x =得2001cos 212sin 3x x =-=， ………………………………7分又0π(0,)2x ∈，∴02(0,π)x ∈， ……………………………………………8分 ∴0sin 2x ==…………………………………………9分 000πππ2sin(2)2sin 2cos 2cos 2sin 333x x x +=+112223=+⨯=．00π()2sin(2)33f x x ∴=+=． …………………………………………12分 【说明】 本小题主要考查了三角函数)sin()(ϕω+=x A x f 的图象与性质，同角三角函数的关系式，诱导公式，两角和与差和二倍角的三角函数公式，考查了简单的数学运算能力．17．（本小题满分12分）空气质量指数（简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：（1）请根据上表中的数据，完成下列表格： （2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为”，求的分布列和数学期望． 解:（1）根据数据，完成表格如下：…………………………………2分 （2）按分层抽样的方法，ξξ从“良好”类城市中抽取11264126n =⨯=+个， ………………………………… 3分 从“轻度污染”类城市中抽取2662126n =⨯=+个， ……………………………4分 所以抽出的“良好”类城市为4个，抽出的“轻度污染”类城市为2个．根据题意的所有可能取值为：1,2,3．1242361(1)5C C P C ξ===, 2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===．………8分 ξ∴的分布列为：所以1232555E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………………………………………11分 答：的数学期望为2个． …………………………………………………12分 【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．18．（本小题满分14分）在三棱锥P ABC -中，已知平面PBC ⊥平面ABC ，AB 是底面△ABC 最长的边．三棱锥P ABC -的三视图如图5所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形．（1）请在图6中，用斜二测画法，把三棱锥P ABC -的直观图补充完整（其中点P 在xOz 平面内），并指出三棱锥P ABC -的哪些面是直角三角形；（2）求二面角B PA C --的正切值； （3）求点C 到面PAB 的距离．ξξ解：（1）三棱锥P ABC -直观图如图1所示；由三视图知ABC ∆和PCA ∆是直角三角形． （2）（法一）：如图2，过P 作PH BC ⊥交BC 于点H 由三视图知PBC ∆为等腰三角形，4BC =，PH =4PB PC BC ∴===，取PC 的中点E ，过E 作EF PA ⊥且交PA 于点F ，连接BE ，BF ，因为BE PC ⊥，由三视图知AC ⊥面PBC ， 且BE ⊂面PBC ，所以AC BE ⊥，又由AC PC C =，所以BE ⊥面PAC ， 由PA ⊂面PAC ，所以BE PA ⊥， BE EF E =，所以PA ⊥面BEF ，由BF ⊂面BEF ，所以PA BF ⊥，所以BFE ∠是二面角B PA C --~PEF PAC ∆∆，PE EFPA AC∴=， 2,4,PE AC PA ===EF ∴=， ∴在直角CFE ∆中，有tan BEBFE EF∠== 所以，二面角B PA C --． ………………………………………9分 （法二）：如图3，过P 作PH BC ⊥交BC 于点H ，由三视图知PBC ∆为等腰三角形，4BC =，PH =由图3所示的坐标系，及三视图中的数据得：(0,0,0)B ，(4,0,0)C ，P ，(4,4,0)A ，则(4,4,0)BA =，BP =，(0,4,0)CA =， (CP =-,设平面PAB 、平面PAC 的法向量分别为m 、n ． 设111(,,)x y z =m ，由0BA ⋅=m ，0BP ⋅=m ，得11420x ⎧⎪⎨+=⎪⎩，令11z =， 得1x =1y =，即(=m ． …………………6分设222(,,)x y z =n ，由0CA ⋅=n ，0PA ⋅=n，得2224020y x =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令21=z ，得2x =，20y =，即=n ． ………………………7分cos ,⋅∴<>===m n m n m n，tan ,m n <>=8分 而二面角B PA C --的大小为锐角，所以二面角B PA C --9分 （3）（法一）：记C 到面PAB 的距离为h ，由（1）、（2）知4PA AB PB ===，PAB S ∆∴=133C PAB PAB V S h h -∆=⋅=， ………………………………12分 三棱锥-P ABC的体积133-∆=⋅=P ABC ABC V S PH ， ……………………13分 由P ABC C PAB V V --=，可得：7=h ． ………………………………………14分 （法二）：由（2）知，平面PAB的法向量(=m ，(0,4,0)CA = 记C 到面PAB 的距离为h ，CA h ⋅∴=mm=7=． ………………………………………………14分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，三视图及几何体的直观图，二面角，三棱锥的体积，空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．19． （本小题满分14分）已知首项大于0的等差数列{}n a 的公差1d =，且12231123a a a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列满足：，，，其中． ①求数列的通项；②是否存在实数λ，使得数列}{n b 为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：（1）（法一）：数列{}n a 的首项10a >，公差1d =，{}n b 11b =-2b λ=111(1)n n n nn b b n a -+--=+2n ≥{}n b n b∴1(1)n a a n =+-，11111n n n n a a a a ++=-， ………………………………………2分 12231223111111()()a a a a a a a a ∴+=-+-131********a a a a =-=-=+， ……………3分 整理得211230a a +-=解得11a =或13a =-（舍去）． ……………………………4分 因此，数列{}n a 的通项n a n =． ………………………………………5分 （法二）：由题意得1312231231123a a a a a a a a a ++==， …………………………………1分 数列{}n a 是等差数列，∴1322a a a +=， ……………………………2分∴2123223a a a a =，即133a a =． ………………………………………………………3分又10,1a d >=，∴11(2)3a a +=，解得11a =或13a =-（舍去）． …………………………………4分 因此，数列{}n a 的通项n a n =． ………………………………………5分（2）①， ． ……………………………………………………6分 令，则有，．当时，，． ………8分因此，数列的通项． (9)分②，，， ………………………………………10分 111(1)n n n n b b n n-+--=+11(11(1)(1)n nn nnb n b ++-∴=+--）(1(1)nn nn b c -=-）2c λ=11n n c c +=+(2)n ≥∴2n ≥2(2)2n c c n n λ=+-=-+(21nn n b n λ-+=-)(-1){}n b 1, 1,(2,(2).1n n n b n n n λ-=⎧⎪=⎨-+≥⎪-⎩)(-1)11b =-2b λ=312b λ+=-若数列为等比数列，则有，即， 解得或． …………………………………………………………11分 当时，，不是常数，数列不是等比数列，当时，，，数列为等比数列．所以，存在实数使得数列为等比数列． ………………………………14分 【说明】考查了等差数列的基本量的计算、递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、等比数列的定义，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想． 20．（本小题满分14分）已知椭圆:E 22221(0)+=>>x y a b a b，过左焦点倾斜角为45︒的直线被椭圆截得的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，过点()1,0M 作l 的垂线垂足为Q ，求点Q 的轨迹方程．解：（1）因为椭圆E的离心率为2=222a b =，故椭圆E 的方程可设为222212x y b b+=，则椭圆E 的右焦点坐标为(),0b ， 过右焦点倾斜角为45︒的直线方程为:l y x b '=-． ………………………………………2分设直线l '与椭圆E 的交点记为,A B ，由22221,2,x y b b y x b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ，得2340x bx -=，解得1240,3b x x ==，因为12AB x =-==1b =． 故椭圆E 的方程为2212+=x y ． ……………………………………………………4分 ∴{}n b 2213b b b =21(1)()2λλ+=--1λ=12λ=-12λ=-(252)21nn n b n n -=≥-)(-1)（（）+1n n b b {}n b 1λ=11b =-(1)(2)nn b n =-≥{}n b 1λ={}n b（2）（法一）（i ）当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为y kx m =+，联立直线l 和椭圆E 的方程，得2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， ……………………………………5分消去y 并整理，得()222214220k x kmx m +++-=， …………………………6分 因为直线l 和椭圆E 有且仅有一个交点，()()222216421220k m k m ∴∆=-+-=， ………………………………………7分化简并整理，得2221m k =+． …………………………………………8分 因为直线MQ 与l 垂直，所以直线MQ 的方程为：()11y x k=--， 联立()11,,y x ky kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩ 解得221,1,1km x k k m y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩………………………9分222222222222222222(1)()1(1)(1)1(1)(1)(1)1km k m k m k m k m m x y k k k k -++++++++∴+====++++，把2221m k =+代入上式得222x y +=． ① …………………………………11分（ii ）当切线l 的斜率为0时，此时(1,1)Q ，符合①式． …………………………12分 （iii ）当切线l的斜率不存在时，此时Q或(，符合①式． ………13分 综上所述，点Q 的轨迹方程为222x y +=． ………………………………………14分 （法二）：设点Q 的坐标为00(,)Q x y ，（i ）当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为y kx m =+，同解法一，得22210k m -+=， ① …………………………………………8分因为直线MQ 与l 垂直，所以直线MQ 的方程为：()11y x k=--， 联立()11,,y x k y kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩ 解得002200001,,x k y x x y m y -⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩② …………………9分②代入①并整理，有()()()4222200000002212120+--+-+-=y x x y x x x ，…10分 即()()2222000002210+-+-+=y x yx x ，由点Q 与点M 不重合， ()2222000002110y x x y x ∴+-+=+-≠，220020x y ∴+-=， ③ ……………………………………………………11分（ii ）当切线l 的斜率为0时，此时(1,1)Q ，符合③式． …………………………12分 （iii ）当切线l的斜率不存在时，此时Q或(，符合③式． ………13分 综上所述，点Q 的轨迹方程为222x y +=． ………………………………………14分 （法三）：设点Q 的坐标为00(,)Q x y ，（i ）当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为00()-=-y y k x x ，整理，得l 的方程为00=-+y kx kx y ， ……………………………………………………………5分联立直线l 和椭圆E 的方程，得002212=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx kx y x y ， 消去y 并整理，得()()()2220000214220++-+--=k x k y kx x y kx ， ……………………6分因为直线l 和椭圆E 有且仅有一个交点，()()()222200001682110⎡⎤∴∆=--+--=⎣⎦k y kx k y kx ， ………………………7分化简并整理，得22200002210--+++=y x kx y k ， ① ………………………8分 因为MQ 与直线l 垂直，有01-=x k y ， ②……………………………………9分 ②代入①并整理，有()()()4222200000002212120+--+-+-=y x x y x x x ，…10分 即()()2222000002210+-+-+=y x yx x ，点Q 与点M 不重合， ()2222000002110y x x y x ∴+-+=+-≠，220020x y ∴+-=， ③………………………………………………………………11分（ii ）当切线l 的斜率为0时，此时(1,1)Q ，符合③式． …………………………12分（iii ）当切线l 的斜率不存在时，此时Q 或(，符合③式． ………13分 综上所述，点Q 的轨迹方程为222x y +=． ………………………………………14分 【说明】本题主要考查轨迹方程和椭圆的定义、直线方程、直线与椭圆相切的位置关系，弦长问题，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．21．（本小题满分14分）已知定义在]2,2[-上的奇函数)(x f 满足：当]2,0(∈x 时，)2()(-=x x x f ． （1）求)(x f 的解析式和值域；（2）设a ax x x g 2)2ln()(--+=，其中常数0>a ． ①试指出函数))(()(x f g x F =的零点个数； ②若当11k+是函数))(()(x f g x F =的一个零点时，相应的常数a 记为k a ，其中 1,2,,k n =．证明：1276n a a a +++<（*N ∈n ）． 解：（1）()f x 为奇函数，(0)0f ∴=．当时，，则()()()(2)(2)f x f x x x x x =--=----=-+，∴ ………………………………………2分 [0,2]x ∈时，，，，()f x ∴的值域为． …………………………………………………3分（2）①函数()f x 的图象如图a 所示，当0t =时，方程 有三个实根；当1t =或1t =-时，方程只有一个实 根；当(0,1)t ∈或(1,0)t ∈-时，方程有两个实根．（法一）：由()0g x =，解得ln(2)2x a x +=+，()f x 的值域为，∴只需研究函数ln(2)2x y x +=+设ln(2)()([1,1])2x h x x x +=∈-+，(1)0h -=，21ln(2)()(2)x h x x -+'=+， [)2,0x ∈-(]0,2x -∈[][)(2)0,2,()(2)2,0,x x x f x x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈-⎪⎩[]()1,0f x ∈-[)2,0x ∈-[]()0,1f x ∈[]1,1-f ()f x t =()f x t =[]1,1-令()0h x '=，得e 2(0,1)x =-∈，1(e 2)eh -=． 当1e 2x -<<-时，()0h x '>，当e 21x -<<时，()0h x '<， 又32ln 2ln 3<，即ln 2ln 323<，由ln 2(0)2h =，ln 3(1)3h =，得(0)(1)h h <， ()h x ∴的大致图象如图b 所示．根据图象b 可知，当ln 2ln 2ln 310223a a a e<<<<=、、直线y a =与函数()y h x =的图像仅有一个交点，则函数()g x 在[1,1]-上仅有一个零点，记零点为t ，则t 分别在区间(1,0)-(0,1)、(0,1)上，根据图像a ，方程()f x t =函数()(())F x g f x =有两个零点． …………………………………………5分类似地，当ln 22a =时，函数()g x 在[1,1]-上仅有零点0，因此函数()F x 有1-、0、1这三个零点． ………………………………………………………………6分当时，函数()g x 在[1,1]-上有两个零点，一个零点是1，另一个零点在(0,1)内，因此函数()F x 有三个零点． …………………………………………………………7分当时，函数()g x 在[1,1]-上有两个零点，且这两个零点均在(0,1)内，因此函数()F x 有四个零点． ……………………………………………………………8分当时，函数()g x 在上没有零点，因此函数()F x 没有零点． ………9分 （法二）：1()2g x a x '=-+ ，令0()0g x '=，得012x a=-， 0a >，()02,x ∴∈-+∞．当1(1,2)x a ∈--时，，当1(2,)x a∈-+∞时，， ∴当0x x =时，()g x 取得极大值01()ln 1g x a=-．（Ⅰ）当()g x 的极大值，即时，函数在区间上无零点，ln 33a =ln 313ea <<1ea >[]1,1-()0g x '>()0g x '<1ln10a -<1e a >()g x 1,1-因此函数无零点．（Ⅱ）当()g x 的极大值，即时，02(0,1)x e =-∈，函数的图像如图c 所示，函数()g x 有零点2e -．由图a 可知方程有两不等的实根，因此函数有两个零点．（Ⅲ）当()g x 的极大值且0121x a=->，即时，()g x 在[1,1]-上单调递增，因为，，函数的图像如图d 所示，函数在存在唯一零点1t ，其中．由图a 可知方程有两不等的实根，因此函数有两个零点． （Ⅳ）当()g x 的极大值且0121x a=-<，即时：由(0)ln 220g a =-=，得ln 22a =，由(1)ln 330g a =-=，得ln 33a =， 根据法一中的证明有1ln 2ln 31323e<<<． （ⅰ）当1ln 232a <<时，(0)ln 220g a =->，(1)ln 330g a =->，函数的图像如图e 所示，函数在区间[1,1]-有唯一零点2t ，其中2(1,0)t ∈-．由图a 可知方程2()f x t =有两不等的实根，因此 函数有两个零点． （ⅱ）当ln 22a =时，(0)ln 220g a =-=， ()(())F x g f x =1ln10a-=1e a =()g x ()e 2f x =-()(())F x g f x =1ln 10a ->103a <≤()10g a -=-<222(0)ln 22ln 2ln ln10333g a =->-=>=()g x ()g x []1,1-1(1,0)t ∈-1()f x t =()(())F x g f x =1ln10a ->113e a <<()g x ()g x ()(())F x g f x =(1)ln 330g a =->，函数的图像如图f 所示，函数在区间[1,1]-有唯一零点0．由图a 可知方程()0f x =有三个不等的实根，因此函数有三个零点． （ⅲ）当ln 2ln 323a <<时，(0)ln 220g a =-<，(1)ln 330g a =->，函数的 图像如图g 所示，函数在区间[1,1]-有唯一零点3t ，其中3(0,1)t ∈．由图a 可知方程3()f x t =有两个零点．（ⅳ）当ln 33a =时，(0)0g <，(1)ln 330g a =-=，函数的图像如图h 所示，函数在区间[1,1]-有 两个零点，分别是1和4t ，其中4(0,1)t ∈．由图a 可知方程()1f x =有一个实根1-，方程()f x t =有两个非1-的不等实根，因此函数（ⅴ）当时，(0)0g <，(1)ln 33g a =-<函数的图像如图i 所示，函数在区间[1,1]-有两个零点5t 、6t ，其中56,(0,1)t t ∈．由图a 可知方程5()f x t =、6()f x t =且这四个根互不相等，因此函数综上可得： 当ln 2ln 2ln 310223a a a e<<<<=、、时，函数()F x 有两个零点；………………5分 当ln 22a =、时，函数()F x 有三个零点； ………………………………7分当时，函数()F x 有四个零点； ……………………………………8分 ()g x ()g x ()(())F x g f x =()g x ()g x ()(())F x g f x =()g x ()g x ()(())F x g f x =ln 313ea <<()g x ()g x ()(())F x g f x =ln 33a =ln 313ea <<当时，函数()F x 无零点． ………………………………………………9分 ②因为k11+是函数))(()(x f g x F =的一个零点，所以有1((1))0g f k +=，(]110,2k +∈，211(1)1f k k∴+=-，2221111((1))(1)ln(1)(1)0k g f g a k k k k ∴+=-=+-+=，21ln(1)11k k a k +∴=+，1,2,,k n =． …………………………………………10分 记()ln(1)m x x x =+-，1()111x m x x x -'=-=++， 当(]0,1x ∈时，()0m x '<，∴当(]0,1x ∈时，()(0)0m x m <=，即ln(1)x x +<．故有2211ln(1)k k+<，则22211ln(1)111111k k k a k k k +=<=+++()1,2,,k n =⋅⋅⋅． …11分 当1n =时，11726a <<； 当2n ≥时， （法一）：2211221121214k k k k <=-+-+-， ………………………………13分 123a a a ∴+++…++++++<+131121111222n a (11)2++n 1222222()()()235572121n n <+-+-+⋅⋅⋅+--+ 12272723216216n n =+-=-<++． 综上，有++21a a (6)7<+n a ，*N ∈n ． ………………………………………14分（法二）：当2n =时，12117725106a a +<+=<； 当3n ≥时，2211111()11211k k k k <=-+--+， ………………………13分 123a a a ∴+++…++++++<+131121111222n a (11)2++n 1ea >111111111[()()()]252243511n n <++-+-+⋅⋅⋅+--+ 111111167111677[]()2522316021606n n n n =+++--=-+<<++．综上，有++21a a (6)7<+n a ，*N ∈n ． ………………………………………14分 【说明】本题主要考查函数的性质、分段函数、导数应用、一元二次方程的求解、连续函数的零点存在性定理，放缩法证明数列不等式，考查学生数形结合、分类讨论的数学思想，以及计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．命题：喻秋生 黄文辉 袁作生 审题：魏显锋。
2015年深圳市高三年级第一次调研考试文科数学参考答案
19． （本小题满分 14 分） 已知各项为正的等差数列 {an } 的公差 d 1 ，且 （1）求数列 {an } 的通项公式；
n 1 （2） 若数列 {bn } 满足：b1 ，an 1bn 1 an bn (1) （ n N ） ， 是否存在实数 ，
*
1 1 2 ． a1a2 a2 a3 3
侧面 SBC 是正三角形，
CE 3 ，…………………………………………………………………………………9 分
AC AE 2 CE 2 2 ， …………………………………………………………………10 分
ABC 是底边为 2 ，腰为 2 的等腰三角形，
2015 年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）参考答案及评分标准
使得数列 {bn } 为等比数列？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 解： （1）法一： 数列 an } 的首项为 a1 0 ，公差 d 1 ，
an a1 ( n 1) ，
1 1 1 ， an an1 an an1
………………………………………2 分
（A、甲） （B、甲） （C、甲） 、 、 、 、 、 、 、 、 （B、C） （A、乙） （B、D） （B、乙） （C、D） （D、甲） （甲、乙） 、 、 、 共计 15 种可能; （C、乙） （D、乙）
………………… 8 分
（A、甲） 其中既有“良好”类、又有“轻度污染”类城市选取可能为： 、 、 （A、乙） （B、甲） （C、甲） （D、甲） 、 、 、 、 、 共计 8 种可能， （B、乙） （C、乙） （D、乙）
第 4 页 共 14 页
即 SABC
7 ， 2
…………………………………………………………………11 分
深圳市2015年高三年级第一次调研考试数学理科试卷(扫描版,有答案)
2015年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．二、填空题：本大题每小题5分，满分30分．9．23； 10． 18； 11．9； 12．13．2； 14．2； 15． 4． 三、解答题 16．（本小题满分12分）函数π()2sin()3f x x ω=+（0ω>）的最小正周期是π． （1）求5π()12f 的值；（2）若0sin 3x =，且0π(0,)2x ∈，求0()f x 的值． 解：（1）()f x Q 的周期πT =，即2ππω=， …………………………………………1分2ω∴=±，由0ω>，得2ω=，即π()2sin(2)3f x x =+． ……………………………………3分5π7πππ()2sin 2sin(π)2sin 112666f ∴==+=-=-． ………………………………5分（2）由0sin x =得2001cos 212sin 3x x =-=， ………………………………7分又0π(0,)2x ∈，∴02(0,π)x ∈， ……………………………………………8分 ∴0sin 23x ==， …………………………………………9分 000πππ2sin(2)2sin 2cos 2cos 2sin 333x x x +=+Q1122323=⨯⨯+⨯=．00π()2sin(2)3f x x ∴=+= …………………………………………12分【说明】 本小题主要考查了三角函数)sin()(ϕω+=x A x f 的图象与性质，同角三角函数的关系式，诱导公式，两角和与差和二倍角的三角函数公式，考查了简单的数学运算能力．17．（本小题满分12分）空气质量指数（简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：（1）请根据上表中的数据，完成下列表格： （2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为ξ”，求ξ的分布列和数学期望． 解:（1）根据数据，完成表格如下：…………………………………2分 （2）按分层抽样的方法，从“良好”类城市中抽取11264126n =⨯=+个， ………………………………… 3分 从“轻度污染”类城市中抽取2662126n =⨯=+个， ……………………………4分所以抽出的“良好”类城市为4个，抽出的“轻度污染”类城市为2个．根据题意ξ的所有可能取值为：1,2,3．1242361(1)5C C P C ξ===Q , 2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===．………8分ξ∴的分布列为：所以1232555E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………………………………………11分 答：ξ的数学期望为2个． …………………………………………………12分 【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．18．（本小题满分14分）在三棱锥P ABC -中，已知平面PBC ⊥平面ABC ，AB 是底面△ABC 最长的边．三棱锥P ABC -的三视图如图5所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形．（1）请在图6中，用斜二测画法，把三棱锥P ABC-的直观图补充完整（其中点P 在 xOz 平面内），并指出三棱锥P ABC -的哪些面是直角三角形； （2）求二面角B PA C --的正切值；（3）求点C 到面PAB 的距离．正视图解：（1）三棱锥P ABC -直观图如图1所示；由三视图知ABC ∆和PCA ∆是直角三角形． （2）（法一）：如图2，过P 作PH BC ⊥交BC 于点H 由三视图知PBC ∆为等腰三角形，4BC =Q ，PH =4PB PC BC ∴===，取PC 的中点E ，过E 作EF PA ⊥且交PA 于点F ，连接BE ，BF ，因为BE PC ⊥，由三视图知AC ⊥面PBC ， 且BE ⊂面PBC ，所以AC BE ⊥，又由AC PC C =I ，所以BE ⊥面PAC ， 由PA ⊂面PAC ，所以BE PA ⊥， BE EF E =I ，所以PA ⊥面BEF ，由BF ⊂面BEF ，所以PA BF ⊥，所以BFE ∠是二面角B PA C --的平面角．………~PEF PAC ∆∆Q ，PE EFPA AC∴=， 2,4,PE AC PA ===Q EF ∴=， ∴在直角CFE ∆中，有tan BEBFE EF∠== 所以，二面角B PA C --． ………………………………………9分 （法二）：如图3，过P 作PH BC ⊥交BC 于点H ，由三视图知PBC ∆为等腰三角形，4BC =，PH =由图3所示的坐标系，及三视图中的数据得：(0,0,0)B ，(4,0,0)C ，(2,0,P ，(4,4,0)A ， 则(4,4,0)BA =u u u r ，(2,0,BP =u u u r ，(0,4,0)CA =u u u r， (2,0,CP =-u u u r,设平面PAB 、平面PAC 的法向量分别为m 、n ．设111(,,)x y z =m ，由0BA ⋅=u u u r m ，0BP ⋅=u u u r m ，得11420x ⎧⎪⎨+=⎪⎩，令11z =， 得1x =1y =(=m ． …………………6分设222(,,)x y z =n ，由0CA ⋅=u u u r n ，0PA ⋅=u u u r n，得2224020y x =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令21=z ，得2x =，20y =，即=n ． ………………………7分cos ,7⋅∴<>===-m n m n m n，tan ,m n <>=8分 而二面角B PA C --的大小为锐角，所以二面角B PA C --．…9分 （3）（法一）：记C 到面PAB 的距离为h ，由（1）、（2）知4PA AB PB ===，PAB S ∆∴=，13C PAB PAB V S h -∆=⋅=， ………………………………12分 三棱锥-P ABC的体积13-∆=⋅=P ABC ABC V S PH ， ……………………13分 由P ABC C PAB V V --=，可得：7=h ． ………………………………………14分 （法二）：由（2）知，平面PAB的法向量(=m ，(0,4,0)CA =u u u r记C 到面PAB 的距离为h ，CA h ⋅∴=u u u rmm== ………………………………………………14分 【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，三视图及几何体的直观图，二面角，三棱锥的体积，空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．19． （本小题满分14分）已知首项大于0的等差数列{}n a 的公差1d =，且12231123a a a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：11b =-，2b λ=，111(1)n n n nn b b n a -+--=+，其中2n ≥． ①求数列{}n b 的通项n b ；②是否存在实数λ，使得数列}{n b 为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：（1）（法一）：Q 数列{}n a 的首项10a >，公差1d =，∴1(1)n a a n =+-，11111n n n n a a a a ++=-， ………………………………………2分 12231223111111()()a a a a a a a a ∴+=-+-131********a a a a =-=-=+， ……………3分 整理得211230a a +-=解得11a =或13a =-（舍去）． ……………………………4分 因此，数列{}n a 的通项n a n =． ………………………………………5分 （法二）：由题意得1312231231123a a a a a a a a a ++==， …………………………………1分 Q 数列{}n a 是等差数列，∴1322a a a +=， ……………………………2分∴2123223a a a a =，即133a a =． ………………………………………………………3分又10,1a d >=Q ，∴11(2)3a a +=，解得11a =或13a =-（舍去）． …………………………………4分因此，数列{}n a 的通项n a n =． ………………………………………5分（2）①111(1)n n n n b b n n-+--=+Q ， 11(11(1)(1)n nn nnb n b ++-∴=+--）． ……………………………………………………6分 令(1(1)nn nn b c -=-），则有2c λ=，11n n c c +=+(2)n ≥．∴当2n ≥时，2(2)2n c c n n λ=+-=-+，(21nn n b n λ-+=-)(-1)． ………8分因此，数列{}n b 的通项1, 1,(2,(2).1n n n b n n n λ-=⎧⎪=⎨-+≥⎪-⎩)(-1)． (9)分②11b =-Q ，2b λ=，312b λ+=-， ………………………………………10分∴若数列{}n b 为等比数列，则有2213b b b =，即21(1)()2λλ+=--， 解得1λ=或12λ=-． …………………………………………………………11分 当12λ=-时，(252)21n n n b n n -=≥-)(-1)（（），+1n n b b 不是常数，数列{}n b 不是等比数列，当1λ=时，11b =-，(1)(2)n n b n =-≥，数列{}n b 为等比数列．所以，存在实数1λ=使得数列{}n b 为等比数列． ………………………………14分 【说明】考查了等差数列的基本量的计算、递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、等比数列的定义，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想． 20．（本小题满分14分）已知椭圆:E 22221(0)+=>>x y a b a b，过左焦点倾斜角为45︒的直线被椭圆截得的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，过点()1,0M 作l 的垂线垂足为Q ，求点Q 的轨迹方程．解：（1）因为椭圆E2=，解得222a b =， 故椭圆E 的方程可设为222212x y b b+=，则椭圆E 的右焦点坐标为(),0b ， 过右焦点倾斜角为45︒的直线方程为:l y x b '=-． ………………………………………2分设直线l '与椭圆E 的交点记为,A B ，由22221,2,x y b b y x b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ，得2340x bx -=，解得1240,3b x x ==，因为1233AB x =-==，解得1b =． 故椭圆E 的方程为2212+=x y ． ……………………………………………………4分 （2）（法一）（i ）当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为y kx m =+，联立直线l 和椭圆E 的方程，得2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， ……………………………………5分消去y 并整理，得()222214220k x kmx m +++-=， …………………………6分 因为直线l 和椭圆E 有且仅有一个交点，()()222216421220k m k m ∴∆=-+-=， ………………………………………7分化简并整理，得2221m k =+． …………………………………………8分 因为直线MQ 与l 垂直，所以直线MQ 的方程为：()11y x k=--， 联立()11,,y x ky kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩ 解得221,1,1km x k k m y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩ ………………………9分 222222222222222222(1)()1(1)(1)1(1)(1)(1)1km k m k m k m k m m x y k k k k -++++++++∴+====++++，把2221m k =+代入上式得222x y +=． ① …………………………………11分（ii ）当切线l 的斜率为0时，此时(1,1)Q ，符合①式． …………………………12分 （iii ）当切线l的斜率不存在时，此时Q或(0)，符合①式． ………13分 综上所述，点Q 的轨迹方程为222x y +=． ………………………………………14分 （法二）：设点Q 的坐标为00(,)Q x y ，（i ）当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为y kx m =+，同解法一，得22210k m -+=， ① …………………………………………8分 因为直线MQ 与l 垂直，所以直线MQ 的方程为：()11y x k=--， 联立()11,,y x k y kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩解得002200001,,x k y x x y m y -⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩② …………………9分 ②代入①并整理，有()()()4222200000002212120+--+-+-=y x x y x x x ，…10分即()()2222000002210+-+-+=y x yx x ，由点Q 与点M 不重合， ()2222000002110y x x y x ∴+-+=+-≠，220020x y ∴+-=， ③ ……………………………………………………11分（ii ）当切线l 的斜率为0时，此时(1,1)Q ，符合③式． …………………………12分 （iii ）当切线l的斜率不存在时，此时Q或(0)，符合③式． ………13分 综上所述，点Q 的轨迹方程为222x y +=． ………………………………………14分 （法三）：设点Q 的坐标为00(,)Q x y ，（i ）当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为00()-=-y y k x x ，整理，得l 的方程为00=-+y kx kx y ， ……………………………………………………………5分联立直线l 和椭圆E 的方程，得002212=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx kx y x y ， 消去y 并整理，得()()()2220000214220++-+--=k x k y kx x y kx ， ……………………6分因为直线l 和椭圆E 有且仅有一个交点，()()()222200001682110⎡⎤∴∆=--+--=⎣⎦k y kx k y kx ， ………………………7分化简并整理，得22200002210--+++=y x kx y k ， ① ………………………8分因为MQ 与直线l 垂直，有01-=x k y ， ②……………………………………9分 ②代入①并整理，有()()()4222200000002212120+--+-+-=y x x y x x x ，…10分 即()()2222000002210+-+-+=y x yx x ，Q 点Q 与点M 不重合， ()2222000002110y x x y x ∴+-+=+-≠，220020x y ∴+-=， ③………………………………………………………………11分（ii ）当切线l 的斜率为0时，此时(1,1)Q ，符合③式． …………………………12分 （iii ）当切线l的斜率不存在时，此时Q或(0)，符合③式． ………13分综上所述，点Q 的轨迹方程为222x y +=． ………………………………………14分 【说明】本题主要考查轨迹方程和椭圆的定义、直线方程、直线与椭圆相切的位置关系，弦长问题，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．21．（本小题满分14分）已知定义在]2,2[-上的奇函数)(x f 满足：当]2,0(∈x 时，)2()(-=x x x f ． （1）求)(x f 的解析式和值域；（2）设a ax x x g 2)2ln()(--+=，其中常数0>a ． ①试指出函数))(()(x f g x F =的零点个数；②若当11k+是函数))(()(x f g x F =的一个零点时，相应的常数a 记为k a ，其中 1,2,,k n =L ．证明：1276n a a a +++<L （*N ∈n ）． 解：（1）()f x Q 为奇函数，(0)0f ∴=．当[)2,0x ∈-时，(]0,2x -∈，则()()()(2)(2)f x f x x x x x =--=----=-+，∴[][)(2)0,2,()(2)2,0,x x x f x x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈-⎪⎩ ………………………………………2分[0,2]x ∈Q 时，[]()1,0f x ∈-，[)2,0x ∈-，[]()0,1f x ∈，()f x ∴的值域为[]1,1-． …………………………………………………3分（2）①函数()f x 的图象如图a 所示，当0t =时，方程()f x t = 有三个实根；当1t =或1t =-时，方程()f x t =只有一个实 根；当(0,1)t ∈或(1,0)t ∈-时，方程()f x t =有两个实根．（法一）：由()0g x =，解得ln(2)2x a x +=+，()f x Q 的值域为[]1,1-，∴只需研究函数ln(2)2x y x +=+在[]1,1-上的图象特征．设ln(2)()([1,1])2x h x x x +=∈-+，(1)0h -=，21ln(2)()(2)x h x x -+'=+， 令()0h x '=，得e 2(0,1)x =-∈，1(e 2)eh -=． Q 当1e 2x -<<-时，()0h x '>，当e 21x -<<时，()0h x '<，又32ln 2ln 3<Q ，即ln 2ln 323<，由ln 2(0)2h =，ln 3(1)3h =，得(0)(1)h h <， ()h x ∴的大致图象如图b 所示．根据图象b 可知，当ln 2ln 2ln 310223a a a e<<<<=、、直线y a =与函数()y h x =的图像仅有一个交点，则函数()g x 在[1,1]-上仅有一个零点，记零点为t ，则t 分别在区间(1,0)-(0,1)、(0,1)上，根据图像a ，方程()f x t =有两个交点，因此函数()(())F x g f x =有两个零点． …………………………………………5分类似地，当ln 22a =时，函数()g x 在[1,1]-上仅有零点0，因此函数()F x 有1-、0、1这三个零点． ………………………………………………………………6分当ln 33a =时，函数()g x 在[1,1]-上有两个零点，一个零点是1，另一个零点在(0,1)内，因此函数()F x 有三个零点． …………………………………………………………7分当ln 313ea <<时，函数()g x 在[1,1]-上有两个零点，且这两个零点均在(0,1)内，因此函数()F x 有四个零点． ……………………………………………………………8分当1ea >时，函数()g x 在[]1,1-上没有零点，因此函数()F x 没有零点． ………9分 （法二）：1()2g x a x '=-+ ，令0()0g x '=，得012x a=-，0a >Q ，()02,x ∴∈-+∞．当1(1,2)x a ∈--时，()0g x '>，当1(2,)x a∈-+∞时，()0g x '<， ∴当0x x =时，()g x 取得极大值01()ln 1g x a=-．（Ⅰ）当()g x 的极大值1ln10a -<，即1e a >时，函数()g x 在区间1,1-上无零点，因此函数()(())F x g f x =无零点．（Ⅱ）当()g x 的极大值1ln10a -=，即1ea =时， 02(0,1)x e =-∈，函数()g x 的图像如图c 所示，函数g由图a 可知方程()e 2f x =-有两不等的实根，因此函数()(())F x g f x =有两个零点．（Ⅲ）当()g x 的极大值1ln 10a ->且0121x a=->，即103a <≤时，()g x 在[1,1]-上单调递增，因为()10g a -=-<，222(0)ln 22ln 2ln ln1033e 3g a =->-=>=，函数()g x 的图像如图d 所示，函数()g x 在[]1,1-存在唯一零点1t ，其中1(1,0)t ∈-．由图a 可知方程1()f x t =有两不等的实根，因此函数()(())F x g f x =有两个零点． （Ⅳ）当()g x 的极大值1ln10a ->且0121x a =-<，即113ea <<时： 由(0)ln 220g a =-=，得ln 22a =，由(1)ln 330g a =-=，得ln 33a =， 根据法一中的证明有1ln 2ln 31323e<<<．（ⅰ）当1ln 232a <<时，(0)ln 220g a =->，(1)ln 330g a =->，函数()g x 的图像如图e 所示，函数()g x 在区间[1,1]-有唯一零点2t ，其中2(1,0)t ∈-．由图a 可知方程2()f x t =有两不等的实根，因此 函数()(())F x g f x =有两个零点． （ⅱ）当ln 22a =时，(0)ln 220g a =-=， (1)ln 330g a =->，函数()g x 的图像如图f 所示，函数()g x 在区间[1,1]-有唯一零点0．由图a 可知方程()0f x =有三个不等的实根，因此函数()(())F x g f x =有三个零点． （ⅲ）当ln 2ln 323a <<时，(0)ln 220g a =-<，(1)ln 330g a =->，函数()g x 的 图像如图g 所示，函数()g x 在区间[1,1]-有唯一零点3t ，其中3(0,1)t ∈．由图a 可知方程3()f x t =()(())F x g f x =有两个零点．（ⅳ）当ln 33a =时，(0)0g <，(1)ln 330g a =-=，函数()g x 的图像如图h 所示，函数()g x 在区间[1,1]-有 两个零点，分别是1和4t ，其中4(0,1)t ∈．由图a 可知方程()1f x =有一个实根1-，方程4()f x t =有两个非1-的不等实根，因此函数()(())F x g f x =（ⅴ）当ln 313ea <<时，(0)0g <，(1)ln 33g a =-<函数()g x 的图像如图i 所示，函数()g x 在区间[1,1]-有两个零点5t 、6t ，其中56,(0,1)t t ∈．由图a 可知方程5()f x t =、6()f x t =且这四个根互不相等，因此函数()(())F x g f x =综上可得：当ln 2ln 2ln 310223a a a e <<<<=、、时，函数()F x 有两个零点；………………5分 当ln 22a =、ln 33a =时，函数()F x 有三个零点； ………………………………7分当ln 313e a <<时，函数()F x 有四个零点； ……………………………………8分当1e a >时，函数()F x 无零点． ………………………………………………9分②因为k11+是函数))(()(x f g x F =的一个零点，所以有1((1))0g f k +=，(]110,2k +∈Q ，211(1)1f k k∴+=-，2221111((1))(1)ln(1)(1)0k g f g a k k k k ∴+=-=+-+=，221ln(1)11k k a k+∴=+，1,2,,k n =L ． …………………………………………10分记()ln(1)m x x x =+-，1()111xm x x x -'=-=++， Q 当(]0,1x ∈时，()0m x '<，∴当(]0,1x ∈时，()(0)0m x m <=，即ln(1)x x +<．故有2211ln(1)k k+<，则2222211ln(1)111111k k k a k k k +=<=+++()1,2,,k n =⋅⋅⋅． …11分当1n =时，11726a <<； 当2n ≥时， （法一）：2211221121214k k k k <=-+-+-Q， ………………………………13分 123a a a ∴+++…++++++<+131121111222n a …112++n 1222222()()()235572121n n <+-+-+⋅⋅⋅+--+ 12272723216216n n =+-=-<++． 综上，有++21a a (6)7<+n a ，*N ∈n ． ………………………………………14分（法二）：当2n =时，12117725106a a +<+=<；当3n ≥时，2211111()11211k k k k <=-+--+Q ， ………………………13分123a a a ∴+++…++++++<+131121111222n a …112++n 111111111[()()()]252243511n n <++-+-+⋅⋅⋅+--+ 111111167111677[]()2522316021606n n n n =+++--=-+<<++．综上，有++21a a (6)7<+n a ，*N ∈n ． ………………………………………14分 【说明】本题主要考查函数的性质、分段函数、导数应用、一元二次方程的求解、连续函数的零点存在性定理，放缩法证明数列不等式，考查学生数形结合、分类讨论的数学思想，以及计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．。
高三数学月考试题及答案-深圳市实验中学2015届高三第一次调研试题(文)
广东省深圳市实验中学2015届高三第一次调研试题（文）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，则∁U A=（）A．φB．{0，2} C．{1，5} D．{2，0，1，5}【考点】：交、并、补集的混合运算．【专题】：集合．【分析】：根据集合的补集的定义求出A的补集即可．【解析】：解：∵集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，∴∁U A={1，5}，故选：C．【点评】：本题考查了集合的运算，是一道基础题．2．i是虚数单位，复数i2（i﹣1）的虚部是（）A．I B．﹣I C．1 D．﹣1【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解析】：解：∵i2（i﹣1）=（﹣1）×（i﹣1）=1﹣i．∴复数i2（i﹣1）的虚部是﹣1．故选：D．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．在四边形ABCD中，“=+”是“ABCD是平行四边形”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据充分条件和必要条件的定义，结合向量的应用即可得到结论．【解析】：解：若在四边形ABCD中，若=+，则由向量加法加法的平行四边形法则知，线段AC是以AB、AD为邻边的平行四边形的对角线，则四边形ABCD是平行四边形，反之，若ABCD是平行四边形，则根据向量的四边形法则可得=+，故“=+”是“ABCD是平行四边形”的充要条件，故选：B．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量平行四边形法则是解决本题的关键．4．若函数y=a x+b的部分图象如图所示，则（）A．0＜a＜1，﹣1＜b＜0 B．0＜a＜1，0＜b＜1C．a＞1，﹣1＜b＜0 D．a＞1，﹣1＜b＜0【考点】：指数函数的图像与性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据指数函数的图象和性质即可判断【解析】：解：由图象可以看出，函数为减函数，故0＜a＜1，因为函数y=a x的图象过定点（0，1），函数y=a x+b的图象过定点（0，b），∴﹣1＜b＜0，故选：A．【点评】：本题主要考查函数图象的应用，利用函数过定点是解决本题的关键．5．已知实数x，y满足不等式组，则x+2y的最大值为（）A．3 B．3 C．4 D．5【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解析】：解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点C时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即C（1，2），此时z的最大值为z=1+2×2=5，故选：D【点评】：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．6．如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=BC=CD=2，则该三棱锥的侧视图（投影线平行于BD）的面积为（）A．B．2 C．2D．2【考点】：简单空间图形的三视图．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由已知中三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，投影线平行于BD，可得：该三棱锥的侧视图是一个以△BCD中BD边的上高为底，以棱锥的高为高的三角形，进而可得答案．【解析】：解：∵三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，投影线平行于BD，∴该三棱锥的侧视图是一个以△BCD中BD边的上高为底，以棱锥的高为高的三角形，∵BC⊥CD，AB=BC=CD=2，∴△BCD中BD边的上高为，故该三棱锥的侧视图（投影线平行于BD）的面积S=××2=，故选：A．【点评】：本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，其中分析出该三棱锥的侧视图是一个以△BCD中BD边的上高为底，以棱锥的高为高的三角形，是解答的关键．7．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=60°，a=，b+c=3，则△ABC 的面积为（）A．B．C．D．2【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：由余弦定理可得：a2=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA，代入已知从而解得：bc的值，由三角形面积公式S△ABC=bcsinA即可求值．【解析】：解：由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA，∴代入已知有：3=9﹣3bc，从而解得：bc=2，∴S△ABC=bcsinA==，故选：B．【点评】：本题主要考察了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题．8．已知F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点，点P在C上，若PF1⊥F1F2，且PF1=F1F2，则C的离心率是（）A．﹣1 B．C．+1 D．﹣1【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，结合离心率公式，计算即可得到．【解析】：解：可设F1F2=2c，则PF1=2c，在直角三角形PF1F2中，PF2==2c，由双曲线的定义可得，PF2﹣PF1=2a，即2（﹣1）c=2a，则e===1+．故选：C．【点评】：本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．9．函数f（x）=x+在（﹣∞，﹣1）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，1]C．（0，1]D．（﹣∞，0）∪[1，+∞）【考点】：函数单调性的性质．【专题】：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】：求出函数的导数，由题意可得f′（x）≥0在（﹣∞，﹣1）上恒成立．运用参数分离可得≤x2在（﹣∞，﹣1）上恒成立．运用二次函数的最值，求出右边的范围即可得到．【解析】：解：函数f（x）=x+的导数为f′（x）=1﹣，由于f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，则f′（x）≥0在（﹣∞，﹣1）上恒成立．即为≤x2在（﹣∞，﹣1）上恒成立．由于当x＜﹣1时，x2＞1，则有≤1，解得，a≥1或a＜0．故选D．【点评】：本题考查函数的单调性的运用，考查运用导数判断单调性，以及不等式恒成立问题转化为求函数最值或范围，属于基础题和易错题．10．在平面直角坐标系xOy中，设点M与曲线C i上任意一点距离的最小值为d i（i=1，2），若d1＜d2，则称C1比C2更靠近点M，下列为假命题的是（）A．C1：x=0比C2：y=0更靠近M（1，﹣2）B．C1：y=e x比C2：xy=1更靠近M（0，0）C．若C1：（x﹣2）2+y2=1比C2：x2+（y﹣2）2=1更靠近点M（m，2m），则m＞0 D．若m＞1，则C1：y2=4x比C2：x﹣y+m=0更靠近点M（1，0）【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：新定义；函数的性质及应用；直线与圆．【分析】：运用新定义，由两点的距离公式计算即可判断A；运用曲线的对称性和导数的运用，判断单调性和极值以及最值，结合两点的距离公式，二次函数的最值，即可判断B；运用直线和圆的位置关系，结合新定义，即可判断C；运用点到直线的距离公式和二次函数的最值，即可判断D．【解析】：解：对于A．d1=|1﹣0|=1，d2=|0﹣（﹣2）|=2，d1＜d2，则为真命题；对于B．由对称性可得，C2：xy=1关于直线y=x对称，且经过点（0，0），交点为（1，1），（﹣1，﹣1），则d2==，由于y=e x﹣x﹣1的导数为e x﹣1，当x＞0时，导数大于0，当x＜0时，导数小于0，则x=0为极小值点们也为最小值点，则有e x≥x+1，设C1：y=e x上任一点P（x，e x），即|OP|=≥==≥，即有d1=＜d2，则B为真命题；对于C．由于点M（m，2m）在直线y=2x上，C2：x2+（y﹣2）2=1为圆心（0，2），半径为1的圆，圆心到直线的距离为＜1即直线和圆C2相交，即有交点到M的距离为0，而C1：（x﹣2）2+y2=1为圆心（2，0），半径为1的圆圆心到直线的距离为＞1，即有直线和圆C1相离，d1＞0，则有d1＞d2，则C为假命题；对于D．设P（x，y）为C1：y2=4x上的点，则|PM|==≥1，y=0时，d1=1；由于m＞1，则M到C2：x﹣y+m=0的距离d2=≥，则有d1＜d2，则D为真命题．故选C．【点评】：本题考查新定义的理解和运用，考查两点的距离和点到直线的距离公式的运用，考查点与圆和直线与圆的位置关系，以及二次函数的最值求法，属于中档题和易错题．二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分满分15分．本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生必须作答．11．已知函数f（x）=，则f（2015）+f（﹣2015）=﹣6042．【考点】：函数的值．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：由题意，将2015，﹣2015分别代入分段函数求值．【解析】：解：f（2015）+f（﹣2015）=20152﹣3×2015+3﹣20152=﹣6045+3=﹣6042；故答案为：﹣6042．【点评】：本题考查了分段函数的应用，属于基础题．12．将容量为n的样本中的数据分成5组，绘制频率分布直方图．若第1至第5个长方形的面积之比3：4：5：2：1，且最后两组数据的频数之各等于15，则n等于75．【考点】：频率分布直方图．【专题】：概率与统计．【分析】：根据频率和为1，求出直方图中最后两组数据的频率之和，再根据频率、频数与样本容量的关系，求出样本容量．【解析】：解：根据频率和为1，得；直方图中最后两组数据的频率之和为=对应的频数为15，∴样本容量为n==75．故答案为：75．【点评】：本题考查了频率、频数与样本容量的关系，是基础题目．13．执行如图的程序框图，则输出S的值为36．【考点】：程序框图．【专题】：算法和程序框图．【分析】：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．【解析】：解：执行程序框图，可得S=0，n=1，i=1S=1不满足条件i＞5，i=2，n=3，S=4不满足条件i＞5，i=3，n=5，S=9不满足条件i＞5，i=4，n=7，S=16不满足条件i＞5，i=5，n=9，S=25不满足条件i＞5，i=6，n=11，S=36满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为36．故答案为：36．【点评】：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法，属于基础题．三.选做题：第14、15题为选做题（坐标系与参数方程）14．在极坐标系中，点（2，）到直线ρcosθ=3的距离等于2．【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：本题可以利用公式将点的极坐标转化为平面直角坐标，将直线的极坐标方程转化为平面直角坐标方程，再求出平面直角坐标系中的点线距离，从而得到极坐标的点线距离，得到本题结论．【解析】：解：将极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x轴重合，正方向一致，建立平面直角坐标系，∵在极坐标系中，点（2，），∴x=，y=，∴该点的平面直角坐标为：（1，）．∵在极坐标系中，直线ρcosθ=3，∴该直线的平面直角坐标方程为：x=3．∵在平面直角坐标系中，点（1，）到直线x=3的距离为2，∴在极坐标系中，点（2，）到直线ρcosθ=3的距离等于2．故答案为：2．【点评】：本题考查了极坐标化成平面直角坐标，本题难度不大，属于基础题．（几何证明选讲选做题）15．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙O 与AC相切于点E．若BC=6，则DE的长为4．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：几何证明．【分析】：连接OE，由已知得∠AEO=90°，OA=2OE，OD=AD，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得DE=OD，由此能求出DE的长．【解析】：解：连接OE，∵AC是⊙O的切线，∴∠AEO=90°，∵∠A=30°，∴OA=2OE，∵OA=OD+AD，OD=OE，∴OD=AD，∴DE=OD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），∵∠C=90°，∠A=30°，BC=6，∴AB=2BC=12，∵AB=OB+OD+AD=3OD=12，∴OD=4，∴DE=OD=4．故答案为：4．【点评】：本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理运用．三、解答题16．（12分）函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期是π．（1）求f（）的值；（2）若f（x0）=，且x0∈（，），求sin2x0的值．【考点】：正弦函数的图象；二倍角的正弦．【专题】：计算题；三角函数的求值．【分析】：（1）由f（x）的周期T=π，即可求得ω，可解得解析式为：f（x）=2sin（2x+），从而有诱导公式可求f（）的值．（2）由已知先求得sin（2x0+）=，又由x0∈（，），可得2x0+∈（，π），可得2x0=，即可求sin2x0的值．【解析】：解：（1）∵f（x）的周期T=π，即=π，∴ω=±2，由ω＞0解得ω=2，即f（x）=2sin（2x+），∴f（）=2sin（）=2sin（）=﹣2sin=﹣1，（2）由f（x0）=，得sin（2x0+）=，又∵x0∈（，），∴2x0+∈（，π），∴2x0+=，即2x0=，∴sin2x0=．【点评】：本题主要考察了正弦函数的图象和性质，同角三角函数的基本关系式，诱导公式，两角和与差的正弦公式的应用，考察了计算能力，属于基础题．17．（12分）空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了AQI实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：城市AQI数值城市AQI数值城市AQI数值城市AQI数值城市AQI数值城市AQI数值城市AQI数值广州118 东莞137 中山95 江门78 云浮76 茂名107 揭阳80深圳94 珠海95 湛江75 潮州94 河源124 肇庆48 清远47佛山160 惠州113 汕头88 汕尾74 阳江112 韶关68 梅州84（1）请根据上表中的数据，完成下列表格：空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围[0，50）[50，100）[100，150）[150，200）城市个数（2）现从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式确定6个城市，省环保部门再从中随机选取2个城市组织专家进行调研，则选取的城市既有空气质量“良好”的又有“轻度污染”的概率是多少？【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：（I）根据频率分布的表的知识，填表即可（II）先求出由分层抽样方法抽取“良”、“轻度污染“，利用列举法写出抽取2天数据的所有基本事件，并从中找出2天的空气质量选取的城市既有空气质量“良好”的又有“轻度污染”的基本事件，利用基本事件个数比求概率．【解析】：解：（1）表格如下，空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围[0，50）[50，100）[100，150）[150，200）城市个数2 12 6 1（2）按分层抽样的方法，从“良好”类城市中抽取×6=4个，分别记为1，2，3，4从“轻度污染”类城市中抽取×6=2个，记为a，b所有的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，a），（1，b），（2，3），（2，4），（2，a），（2，b）（3，4），（3，a），（3，b）（4，a），（4，b），（a，b）共15种，选取的城市既有空气质量“良好”的又有“轻度污染”的事件有：（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），共8种．故选取的城市既有空气质量“良好”的又有“轻度污染”的概率P=【点评】：本题考查了分层抽样方法及古典概型的概率计算，考查了学生搜集处理数据的能力，综合性较强，利用列举法写出所有的基本事件并从中找出符合条件的基本事件是解题的关键，属于中档题18．（14分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧SBC是正三角形，点E是SB的中点，且AE⊥平面ABC．（1）证明：SD∥平面ACE；（2）若AB⊥AS，BC=2，求点S到平面ABC的距离．【考点】：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（1）连结BD，交于点F，由已知得EF∥SD，由此能证明SD∥平面ACE．（2）由已知得AB=，AE=1，AE⊥CE，CE=，AC=2，由V S﹣ABC=V A﹣SBC，能求出点S到平面ABC的距离．【解析】：（1）证明：连结BD，交于点F，∵ABCD是平行四边形，∴F是BD的中点，又∵点E是SB的中点，∴EF∥SD，∵SD⊄平面ACE，EF⊂平面ACE，∴SD∥平面ACE．（2）解：∵AB⊥AS，BC=2，且点E是SB的中点，∴AB=，AE=1，又∵AE⊥平面SBC，CE⊂平面SBC，∴AE⊥CE，∴侧面SBC是正三角形，∴CE=，∴AC==2，∴△ABC是底边为，腰为2的等腰三角形．∴=，设点S一平面ABC的距离为h，由V S﹣ABC=V A﹣SBC，得，∴h===．【点评】：本题考查空间点、线、面的位置，考查线线平行、线面平行、线线垂直与线面垂直，考查等积法求几何体的体积，考查空间想象能力、运算能力、逻辑推理能力及化归思想等．19．（14分）已知各项为正的等差数列{a n}的公差为d=1，且+=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：b1=λ，a n+1b n+1+a n b n=（﹣1）n+1（n∈N），是否存在实数λ，使得数列{b n}为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】：等比数列的性质；等差数列的性质．【专题】：计算题；存在型；等差数列与等比数列．【分析】：（1）运用等差数列的性质和通项公式，解方程可得首项，即可得到通项公式；（2）化简整理条件，可令c n=，则c1=﹣b1=﹣λ，c n+1﹣c n=1，运用等差数列的通项公式，可得b n，存在实数λ，使得数列{b n}为等比数列，则由前三项，解方程可得λ=﹣1或3．再讨论即可得到结论．【解析】：解：（1）由+==，由于{a n}为等差数列，则a1+a3=2a2，则=，即有a1a3=3，由于a1＞0，d=1，则a1（a1+2）=3，解得，a1=1或﹣3（舍去），则有数列{a n}的通项公式是a n=a1+n﹣1=n；（2）由a n+1b n+1+a n b n=（﹣1）n+1（n∈N），即（n+1）b n+1+nb n=（﹣1）n+1，﹣=1，令c n=，则c1=﹣b1=﹣λ，c n+1﹣c n=1，数列{c n}为首项为﹣λ，公差为1的等差数列，c n==n﹣λ﹣1，b n=，假设存在实数λ，使得数列{b n}为等比数列，b1=λ，b2=，b3=，则b22=b1b3，即λ•=（）2，解得，λ=﹣1或3．当λ=﹣1时，b n=（﹣1）n，则{b n}为等比数列，当λ=3时，b n=，b4=0，则{b n}不为等比数列．则存在实数λ=﹣1，使得数列{b n}为等比数列．【点评】：本题考查等差数列和等比数列的通项和性质，考查构造数列求通项，考查运算能力，属于中档题．20．（14分）如图，A，B分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右顶点，F为其右焦点，2是|AF|与|FB|的等差中项，是|AF|与|FB|的等比中项．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线l过点A且垂直于x轴，若过F作直线FQ垂直于AP，并交直线l于点Q．证明：Q，P，B三点共线．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（1）F（1，0），|AF|=a+c，|BF|=a﹣c．由2是|AF|与|FB|的等差中项，是|AF|与|FB|的等比中项．联立，及其b2=a2﹣c2．解得即可．（2）直线l的方程为：x=﹣2，直线AP的方程为：y=k（x+2）（k≠0），与椭圆方程联立化为（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，利用根与系数的关系可得x P=，y P=k（x P+2）．由于QF⊥AP，可得k PF=﹣．直线QF的方程为：y=﹣，把x=﹣2代入上述方程可得Q．只有证明k PQ=k BQ，即可得出B，P，Q三点共线．【解析】：（1）解：F（1，0），|AF|=a+c，|BF|=a﹣c．由2是|AF|与|FB|的等差中项，是|AF|与|FB|的等比中项．∴，解得a=2，c=1，∴b2=a2﹣c2=3．∴椭圆C的方程为=1．（2）证明：直线l的方程为：x=﹣2，直线AP的方程为：y=k（x+2）（k≠0），联立，化为（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，∴，∴x P=，∴y P=k（x P+2）=，∵QF⊥AP，∴k PF=﹣．直线QF的方程为：y=﹣，把x=﹣2代入上述方程可得y Q=，∴Q．∴k PQ==，k BQ=．∴k PQ=k BQ，∴B，P，Q三点共线．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、三点共线与斜率的关系、等差数列与等比数列的性质，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（14分）已知a，b∈R，函数f（x）=（ax+2）lnx，g（x）=bx2+4x﹣5，且曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在x=1处有相同的切线．（1）求a，b的值；（2）（2）证明：当x≠1时，曲线y=f（x）恒在曲线y=g（x）的下方；（3）当x∈（0，k]时，不等式（2k+1）f（x）≤（2x+1）g（x）恒成立，求实数k的取值范围．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】：计算题；证明题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】：（1）求导f′（x）=a（lnx+1）+，g′（x）=2bx+4；从而可得b+4﹣5=0，a+2=2b+4；从而求参数的值；（2）要使得当x≠1时，曲线y=f（x）恒在曲线y=g（x）的下方，只证f（x）＜g（x）（x≠1），不妨设F（x）=f（x）﹣g（x），从而求导F′（x）=4lnx+﹣2x﹣4=4lnx+﹣2x；从而化为恒成立问题，再转化为最值问题．（3）由题意知，k＞0，2x+1＞0；故不等式（2k+1）f（x）≤（2x+1）g（x）可转化为2（2k+1）lnx≤x2+4x﹣5，从而构造函数H（x）=2（2k+1）lnx﹣x2﹣4x+5，讨论求实数k的取值范围．【解析】：解：（1）∵f′（x）=a（lnx+1）+，g′（x）=2bx+4；∴f′（1）=a+2，g′（1）=2b+4；又∵曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在点（1，0）处有相同的切线，∴f（1）=0=g（1）=b+4﹣5，f′（1）=g′（1）；即b+4﹣5=0，a+2=2b+4；从而解得，b=1，a=4；（2）证明：要使得当x≠1时，曲线y=f（x）恒在曲线y=g（x）的下方，即需证f（x）＜g（x）（x≠1），不妨设F（x）=f（x）﹣g（x），则F（x）=（4x+2）lnx﹣x2﹣4x+5；∴F′（x）=4lnx+﹣2x﹣4=4lnx+﹣2x；令G（x）=F′（x），∴G′（x）=﹣﹣2≤0恒成立，∴F′（x）在（0，+∞）上单调递减，又∵F′（1）=0，∴当x∈（0，1）时，F′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，F′（x）＜0；∴F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，即当x=1时，F（x）取得最大值F（1）=0．∴当x≠1时，F（x）＜F（1）=0，即f（x）＜g（x）；∴当x≠1时，曲线y=f（x）恒在曲线y=g（x）的下方；（3）由题意知，k＞0，2x+1＞0；∴不等式（2k+1）f（x）≤（2x+1）g（x）可转化为2（2k+1）lnx≤x2+4x﹣5，构造函数H（x）=2（2k+1）lnx﹣x2﹣4x+5，∴H′（x）=，在二次函数y=﹣2x2﹣4x+4k+2中，开口向下，对称轴为x=﹣1；且过定点（0，4k+2）；解﹣2x2﹣4x+4k+2=0得，x=﹣1﹣（舍去）；x=﹣1+；①当﹣1+＜k时，即k＜﹣1（舍去）或k＞1；②当﹣1+=k时，k=1；经检验成立；③当﹣1+＞k时，0＜k＜1，当x∈（0，k）时，H′（x）＞0，∴H（x）在（0，k]时取得最大值记为H2（k）=2（2k+1）lnk﹣k2﹣4k+5，由（2）可知，H2（k）的图象与F（x）的图象相同，∴0＜k＜1时，H2（k）＜H2（1）=0，原不等式恒成立；综上所述，实数k的取值范围是（0，1]．【点评】：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了分类讨论的思想应用，属于难题．。