人教版高中数学教案：第5章：平面向量,教案,课时第 (12)
高中数学人教版平面向量教案
高中数学人教版平面向量教案一、引言平面向量是高中数学中的重要内容之一。
本教案将以人教版教材为基础，以平面向量的定义、运算和性质为主线，结合具体例题，帮助学生深入理解和掌握平面向量的基本概念和运算方法。
二、教学目标1. 理解平面向量的定义，掌握向量的表示方法。
2. 掌握平面向量的加法、减法、数乘和数量积的运算法则。
3. 熟悉平面向量的基本性质和运算性质，能够灵活应用于实际问题的解决。
4. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力，提高数学抽象思维和推理能力。
三、教学内容1. 向量的定义和表示(1) 向量的定义(2) 向量的表示：坐标表示、标量表示和分量表示；(3) 向量的相等和零向量。
2. 向量的运算(1) 向量的加法：几何法和坐标法；(2) 向量的减法：几何法和坐标法；(3) 向量的数乘；(4) 向量的数量积：定义、运算法则和性质。
3. 平面向量的性质和应用(1) 零向量的性质；(2) 相反向量的性质；(3) 平行向量和共线向量的性质；(4) 向量的模长、单位向量和方向角的计算；(5) 向量运算在几何问题中的应用。
四、教学过程1. 导入部分向学生介绍平面向量的概念和重要性，引导学生思考与向量相关的实际问题，并让学生列举几个例子。
2. 向量的定义和表示(1) 在黑板上给出向量的定义：有大小和方向的量称为向量。
(2) 引导学生通过几何法和坐标法来表示向量，与学生共同讨论向量表示的不同方法和意义。
(3) 教师通过示例向学生解释向量相等和零向量的概念。
3. 向量的运算(1) 向学生介绍向量的加法，通过几何法和坐标法来解释加法的过程和规则。
(2) 类似地，向学生介绍向量的减法和数乘运算，让学生通过例题来深入理解和掌握运算法则。
(3) 提醒学生注意向量运算的几何意义和规律性。
4. 平面向量的性质和应用(1) 引导学生发现并探讨零向量的性质，了解零向量在运算中的特殊作用。
(2) 让学生通过实例了解相反向量的性质和应用。
高中数学平面向量教案
高中数学平面向量教案教案标题：高中数学平面向量教学案教学目标：1. 理解平面向量的概念；2. 掌握平面向量的表示方法：坐标表示法、分量表示法；3. 掌握平面向量的加法、减法和数量积的计算方法；4. 运用平面向量解决实际问题。
教学重点：1. 平面向量的概念和表示方法；2. 平面向量的运算方法。
教学难点：1. 平面向量的加法和减法；2. 平面向量的数量积。
教学准备：教材、黑板、彩色笔、平面向量的相关习题。
教学过程：Step 1：引入平面向量概念（5分钟）教师用平面上两点的例子引入平面向量的概念，并引导学生思考平面向量的特点和表示方法。
Step 2：平面向量的表示方法（10分钟）教师讲解平面向量的坐标表示法和分量表示法，并用具体的例子巩固学生对这两种表示方法的理解。
Step 3：平面向量的加法和减法（15分钟）教师通过几个简单的例子讲解平面向量的加法和减法的概念和计算方法，并让学生通过练习题巩固。
Step 4：平面向量的数量积（15分钟）教师引入平面向量的数量积的概念，并讲解数量积的计算方法和性质。
然后让学生通过练习题巩固。
Step 5：实际问题的应用（10分钟）教师给出一些与平面向量相关的实际问题，要求学生运用所学知识解决问题，并引导学生分析思路和解决方法。
Step 6：总结和拓展（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，并拓展一些平面向量的相关知识，如平面向量的夹角、平面向量的垂直和平行关系等。
Step 7：作业布置（5分钟）教师布置相关的课后练习题，巩固所学知识，并留出一些思考题，引导学生进一步思考和探索。
教学反思：本节课通过引入、讲解、练习和应用的方式，全面而系统地介绍了高中数学平面向量的相关知识。
通过举例和练习，让学生理解了平面向量的概念、表示方法、运算方法和实际应用，培养了学生的数学思维能力和解决问题的能力。
同时，做到了知识和能力的有机结合，提高了学生的学习兴趣和学习效果。
高中数学教案：平面向量
高中数学教案：平面向量一、引言平面向量是高中数学中一个重要的概念，具有广泛的应用。
本教案将介绍平面向量的定义、运算及相关性质，并提供一些实例进行讲解。
二、平面向量的定义1. 向量的概念向量是由大小和方向共同决定的一种量。
用有向线段表示，起点和终点分别表示向量的方向和大小。
2. 平面向量的定义平面向量是指在平面上具有大小和方向的向量。
常用大写字母表示，如A、B 等。
三、平面向量的表示方法1. 坐标表示法平面上的点可以用坐标表示，因此平面向量也可以使用坐标表示。
若A(x1, y1)和B(x2, y2)是平面上的两个点，则向量AB的坐标表示为(Δx, Δy)，其中Δx = x2 - x1，Δy = y2 - y1。
2. 特殊向量表示法特殊向量包括零向量、单位向量和相反向量。
- 零向量用0表示，其大小为0，方向任意。
- 单位向量表示长度为1的向量，记作u。
- 相反向量指方向相反而大小相等的向量，记作-AB。
四、平面向量的运算1. 加法运算平面向量的加法满足交换律和结合律。
即，对于两个向量AB和CD，有AB + CD = CD + AB，(AB + CD) + EF = AB + (CD + EF)。
2. 数乘运算平面向量的数乘运算是指将向量的大小与一个实数相乘。
即，对于向量AB和实数k，有kAB = ABk。
3. 减法运算平面向量的减法是指将减数的相反向量与被减数相加得到差向量。
即，对于向量AB和向量CD，有AB - CD = AB + (-CD)。
五、平面向量的性质1. 平行向量若两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
2. 共线向量若两个向量共线，则它们的方向相同或相反。
3. 平面向量的数量积平面向量的数量积是一个标量，记作AB·CD。
数量积的计算公式为AB·CD = |AB| |CD| cosθ，其中|AB|和|CD|分别表示向量AB和CD的长度，θ表示两个向量之间的夹角。
【人教版】高一数学第五章平面向量(全章)教案
［人教版］高一数学第五章 平面向量 第五童平面向量 敎材：向量目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与 已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。
a®：一、 开场白：课本P93 （略）实例：老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去， 问：猫能否追到老一鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向借，了。
二、 提出课题：平面向量1-意义：既有大小又有方向的量叫向量。
例：力、速度、加速度、冲 量等 注意：1。
数量与向量的区别：.数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较 大小：向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
2。
从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优度通性的数学 体系，用以研究空间性质。
2. 向，量•的表示方法： 1。
几何表示法：点一射线有向线段——具有一定方向的线段有向线段的三要素：起点、方向、长 记作（注意起讫） 2。
字母表示法：48可表示为a （印刷时用黑体字）记作：|A8| 模是可以比较大小的4.两个特殊的向量：1。
零向量一■长度（模）为0的向量，记作6。
6的方向是任意的。
注意6与0的区别2。
单位向量一一长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。
例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？ 答：不是。
因为零上零下也只是大小之分。
例：旨百与万冒是否同一向量？P95例 用1cm 表示5n mail （海里）3.模的概念：向量新方的大小一长度称为向量的模。
A （起点）B（终北答：不是同一向量“°例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。
三、向量间的关系：1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作：a //b // c规定：6与任一.向量平行2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
/记作：a=b规定:6=6任两相，等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。
高中数学教案平面向量
高中数学教案平面向量高中数学教案：平面向量引言：本教案旨在帮助高中学生系统地理解和应用平面向量的基本概念和运算法则。
通过教案的学习，学生将能够掌握平面向量的加法、减法、数量乘法、点乘、叉乘等运算，进而应用于解决几何和向量相关的问题。
一、平面向量的定义和基本性质（字数500）1.1 平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。
平面向量通常用大写字母表示，如AB。
1.2 平面向量的坐标表示：平面向量可以用坐标表示，即(x, y)。
其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的投影。
1.3 平面向量的模：平面向量AB的模表示为|AB|，用于表示向量的长度或大小。
1.4 平面向量的方向角和方向余弦：平面向量AB与x轴的夹角称为方向角，表示为α；方向余弦为向量在x轴上的投影与向量模的比值。
二、平面向量的运算（字数500）2.1 平面向量的加法：平面向量的加法满足平行四边形法则，即A +B = C，其中A、B、C分别为两个平面向量的坐标和。
2.2 平面向量的减法：平面向量的减法也采用平行四边形法则，即A -B = D，其中A、B、D分别为两个平面向量的坐标和。
2.3 数量乘法：平面向量与实数的乘法，即k × A = E，其中k为实数，A和E分别为平面向量的坐标和。
2.4 平面向量的数量积（点乘）：平面向量A和B的数量积（点乘）表示为A · B，计算公式为A · B = |A| × |B| × cosθ，其中θ为A和B的夹角。
2.5 平面向量的叉乘：平面向量A和B的叉乘表示为A × B，计算公式为A × B = |A| × |B| × sinθ，其中θ为A和B的夹角。
三、平面向量的应用（字数500）3.1 平面向量在几何中的应用：通过平面向量的运算法则，可以解决几何中的向量共线、垂直、平行等性质问题。
3.2 平面向量在力学中的应用：平面向量可以表示物体受力的大小和方向，进而应用于解决平衡力、合成力等力学问题。
高中数学平面向量教案
高中数学平面向量教案主题：平面向量教学目标：1. 理解平面向量的基本概念和性质。
2. 掌握平面向量的加法、减法和数量积的计算方法。
3. 能够应用平面向量解决几何问题。
教学重点：1. 平面向量的定义和表示方法。
2. 平面向量的加法、减法和数量积。
3. 平面向量在几何问题中的应用。
教学难点：1. 数量积的计算方法和应用。
2. 题目分析和解题能力的培养。
教学内容：一、平面向量的定义和表示方法1. 什么是平面向量？2. 平面向量的表示方法：用坐标表示和以有向线段表示。
二、平面向量的加法和减法1. 平面向量的加法规则：三角形法则和平行四边形法则。
2. 平面向量的减法：减去一个向量等于加上其相反向量。
三、平面向量的数量积1. 数量积的定义和性质。
2. 数量积的计算方法：内积和外积。
3. 数量积的应用：平面向量的夹角、垂直和平行性等问题。
教学步骤：一、导入通过一个几何问题引入平面向量的概念，并与学生讨论问题的解决方法。
二、讲解1. 介绍平面向量的定义和表示方法。
2. 讲解平面向量的加法和减法规则。
3. 解释平面向量的数量积及其计算方法。
三、示范通过几个例题演示平面向量的加法、减法和数量积的计算过程。
四、练习让学生进行练习，巩固所学知识，培养解题能力。
五、拓展引导学生思考平面向量在实际问题中的应用，并引入相关拓展知识点。
六、总结对本节课所学内容进行总结，并布置相关练习作业。
七、作业1. 完成课堂练习题。
2. 阅读相关教材，预习下节课内容。
教学手段：1. 讲解与示范。
2. 练习与检查。
3. 互动与讨论。
教学资源：1. 课本和教学课件。
2. 讲义和练习题。
评价与反思：通过本节课的学习，学生应掌握平面向量的基本概念和运算方法，能够灵活应用平面向量解决几何问题。
在教学过程中要注重引导学生思考和讨论，培养其解决问题的能力和创新思维。
同时，要及时对学生的学习情况进行评价和反馈，以促进其学习效果的提升。
高中数学平面向量教案
高中数学平面向量教案教案题目：高中数学平面向量教案教学内容：平面向量的概念、运算规则及应用一、教学目标：1. 了解平面向量的定义和性质；2. 掌握平面向量的基本运算规则；3. 理解平面向量的几何意义及应用二、教学重难点：1. 平面向量的定义和性质；2. 平面向量的基本运算规则；3. 平面向量的几何意义及应用三、教学方法：1. 经验引导法：通过实例引导学生理解平面向量的概念和性质；2. 归纳整理法：通过总结归纳，掌握平面向量的基本运算规则；3. 实践探究法：通过实际问题的解决，理解平面向量的几何意义及应用。
四、教学过程：步骤一：引入1. 引入平面向量的概念：通过平面上的箭头和有向线段等实物，向学生展示平面向量的概念，并让学生描述其特点；2. 引导学生写出平面向量的定义。
步骤二：性质总结1. 分组让学生进行讨论，总结平面向量的性质；2. 引导学生回答平面向量自身的性质和相等向量的性质。
步骤三：平面向量的基本运算1. 引导学生通过实例，理解平面向量的加法和减法运算规则；2. 提问导引，让学生总结并写出平面向量的运算规则。
步骤四：平面向量的几何意义及应用1. 引导学生通过实例，理解平面向量的数量积和向量积；2. 提问导引，让学生总结并写出平面向量的数量积和向量积的运算规则；3. 引导学生思考平面向量在几何问题中的应用，如求线段的中点、判定三角形形状等。
步骤五：综合练习1. 布置平面向量的综合练习题，检验学生的理解和掌握程度；2. 针对练习题中的难点问题进行解答和讲解。
五、教学资源：1. 学生教材和习题册；2. 平面向量的实物展示；3. 平面向量的练习题。
六、教学评价：1. 教师随堂评价：根据学生的课堂表现和回答问题的情况，对学生的理解和应用能力进行评价；2. 学生自我评价：学生根据自己的学习过程和结果，进行自我评价，总结不足之处并制定下一步的学习计划。
教案高中数学平面向量
教案高中数学平面向量1. 能够理解平面向量的概念和性质；2. 能够进行平面向量的加法、减法和数量乘法运算；3. 能够解决平面向量的应用问题；教学重点：1. 平面向量的概念和性质；2. 平面向量的加法、减法和数量乘法运算；3. 平面向量的应用问题解决；教学难点：1. 平面向量的向量加法和减法；2. 平面向量的数量乘法运算；3. 平面向量的应用问题解决；教学准备：1. 讲义、课件、黑板笔；2. 练习题、作业、教学演示工具；3. 相关教学资源、参考书籍；教学步骤：一、导入（5分钟）老师通过引入实际问题或者举例引导学生了解平面向量的概念，并引出本节课的学习内容。
二、讲解平面向量的概念和性质（10分钟）1. 定义：平面向量的概念；2. 性质：平面向量的相等性、平行性、对应方向和长度；3. 举例讲解平面向量的性质；三、讲解平面向量的加法和减法（15分钟）1. 向量加法：平面向量的相加运算；2. 向量减法：平面向量的相减运算；3. 举例讲解平面向量的加法和减法；四、讲解平面向量的数量乘法运算（15分钟）1. 数量乘法：数与向量相乘的运算；2. 数量乘法的性质：倍数、方向和长度的关系；3. 举例讲解平面向量的数量乘法；五、讲解平面向量的应用问题（15分钟）1. 平面向量在几何问题中的应用；2. 解决实际问题的方法和步骤；3. 举例讲解平面向量的应用问题；六、课堂练习和互动（10分钟）老师出示相关练习题，学生进行练习并相互讨论，老师指导学生解决问题。
七、作业布置（5分钟）老师布置相关作业，让学生巩固复习本节课的知识内容。
八、课堂总结（5分钟）老师对本节课的内容进行总结和回顾，强调重点和难点，澄清学生的疑惑，并展望下节课的学习内容。
高中数学平面向量教学教案
高中数学平面向量教学教案一、教学目标：1. 理解平面向量的定义和性质；2. 掌握平面向量的表示及运算规则；3. 能够进行平面向量的计算和应用；4. 能够解决与平面向量相关的问题。
二、教学内容：1. 平面向量的定义；2. 平面向量的性质；3. 平面向量的表示方法；4. 平面向量的运算规则；5. 平面向量的应用。
三、教学步骤：第一步：导入1. 通过举例引入平面向量的定义，让学生了解平面向量的概念；2. 引导学生思考平面向量的性质，为后续学习打下基础。
第二步：讲解1. 讲解平面向量的表示方法，包括向量的坐标表示、向量的模、方向角等；2. 讲解平面向量的加法、减法、数乘等运算规则，并通过示例演示。
第三步：练习1. 给学生一些基础的练习题，让他们掌握平面向量的运算方法；2. 引导学生进行一些应用题，让他们应用所学知识解决实际问题。
第四步：总结1. 总结平面向量的定义、性质和运算规则，加深学生对知识点的理解；2. 引导学生思考平面向量的重要性和应用范围。
四、教学评价：1. 学生能够准确理解平面向量的定义和性质；2. 学生能够熟练掌握平面向量的表示方法和运算规则；3. 学生能够灵活运用平面向量解决实际问题。
五、拓展延伸：1. 让学生进行更复杂的平面向量运算和问题求解；2. 引导学生探讨平面向量在几何问题中的应用。
六、作业安排：1. 完成课堂练习题；2. 完成书上相关练习；3. 找出一些实际问题，利用平面向量进行求解。
七、课后反思：1. 总结课堂教学的不足之处；2. 整理学生提出的问题和反馈意见，及时调整教学方法。
3. 为下堂课的教学做好备课工作。
【人教版】高一数学第五章平面向量(全章)教案
［人教版］高一数学第五章 平面向量 第五童平面向量 敎材：向量目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与 已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。
a®：一、 开场白：课本P93 （略）实例：老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去， 问：猫能否追到老一鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向借，了。
二、 提出课题：平面向量1-意义：既有大小又有方向的量叫向量。
例：力、速度、加速度、冲 量等 注意：1。
数量与向量的区别：.数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较 大小：向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
2。
从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优度通性的数学 体系，用以研究空间性质。
2. 向，量•的表示方法： 1。
几何表示法：点一射线有向线段——具有一定方向的线段有向线段的三要素：起点、方向、长 记作（注意起讫） 2。
字母表示法：48可表示为a （印刷时用黑体字）记作：|A8| 模是可以比较大小的4.两个特殊的向量：1。
零向量一■长度（模）为0的向量，记作6。
6的方向是任意的。
注意6与0的区别2。
单位向量一一长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。
例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？ 答：不是。
因为零上零下也只是大小之分。
例：旨百与万冒是否同一向量？P95例 用1cm 表示5n mail （海里）3.模的概念：向量新方的大小一长度称为向量的模。
A （起点）B（终北答：不是同一向量“°例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。
三、向量间的关系：1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作：a //b // c规定：6与任一.向量平行2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
/记作：a=b规定:6=6任两相，等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。
高中数学平面向量教案(精选6篇)
高中数学平面向量教案（精选6篇）为大家收集的高中数学平面向量教案，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
高中数学平面向量教案精选篇1教学目标1、了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理。
会用基底表示平面内任一向量。
2、掌握向量夹角的定义以及两向量垂直的定义。
学情分析前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。
如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习这节课作了充分准备重点难点重点：对平面向量基本定理的探究难点：对平面向量基本定理的理解及其应用教学过程4.1第一学时教学活动活动1【导入】情景设置火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度v＝vx＋vy＝6i＋4j。
活动2【活动】探究已知平面中两个不共线向量e1，e2，c是平面内任意向量，求向量c＝___e1＋___e2（课堂上准备好几张带格子的纸张，上面有三个向量，e1，e2，c）做法：作OA＝e1，OB＝e2，OC＝c，过点C作平行于OB的直线，交直线OA于M；过点C作平行于OA的直线，交OB于N，则有且只有一对实数l1，l2，使得OM＝l1e1，ON＝l2e2。
因为OC＝OM＋ON，所以c＝6 e1＋6e2。
向量c＝__6__e1＋___6__e2活动3【练习】动手做一做请同学们自己作出一向量a，并把向量a表示成：a＝31;31;31;31;____e1＋_____（做完后，思考一下，这样的一组实数是否是唯一的呢？）（是唯一的）由刚才的几个实例，可以得出结论：如果给定向量e1，e2，平面内的任一向量a，都可以表示成a＝入1e1＋入2e2。
活动4【活动】思考问题2：如果e1，e2是平面内任意两向量，那么平面内的任一向量a还可以表示成a＝入1e1＋入2e2的形式吗?生：不行，e1，e2必须是平面内两不共线向量活动5【讲授】平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数l1，l2，使a＝l1e1＋l2e2。
人教版数学高一平面向量教案
人教版数学高一平面向量教案教学目标：1. 理解平面向量的概念和性质；2. 掌握平面向量的表示方法；3. 熟练运用平面向量的加法、减法以及数量积的计算方法；4. 运用平面向量解决平面几何问题。
教学准备：1. 教师：投影仪、教学课件、教辅资料；2. 学生：教材、笔记本、笔等。
教学过程：一、导入（10分钟）1. 展示一个城市的地图，并引导学生讨论如何用向量表示两个地点之间的距离和方向；2. 提出问题：在平面几何中，如何表示和运算向量？二、概念讲解与示例演示（15分钟）1. 介绍平面向量的定义和性质，解释向量的模、方向和单位向量的概念；2. 示范如何用向量表示一条有向线段，并解释向量的起点和终点；3. 通过具体实例演示向量的平移和共线性；4. 使用教辅资料提供更多示例，巩固学生对概念的理解。
三、向量的表示方法（15分钟）1. 介绍平面向量的表示方法，包括坐标表示法和分解表示法；2. 示范如何将一个向量用坐标表示，并解释坐标的含义；3. 解释向量的分解表示法，并通过示例演示其应用。
四、向量的加法与减法（20分钟）1. 解释向量的加法和减法运算规则，并通过图示演示；2. 演算具体向量的加法和减法运算过程，并提供练习题供学生完成；3. 引导学生总结向量的加法和减法运算法则。
五、向量的数量积（20分钟）1. 介绍向量的数量积的定义和性质；2. 示范如何计算向量的数量积，并解释乘积的几何意义；3. 通过实例演示数量积在平面几何中的应用。
六、综合练习与拓展（20分钟）1. 提供一些综合练习题，巩固学生对平面向量各种运算的掌握；2. 给予学生时间独立思考和解答题目；3. 展示部分题目解答，引导学生讨论和分享解题思路。
七、课堂小结（5分钟）1. 概括平面向量的概念和性质；2. 强调向量的表示方法、加法、减法和数量积的计算特点；3. 总结解题方法和注意事项。
八、作业布置（5分钟）1. 布置课后作业，包括练习题和思考题；2. 鼓励学生查阅相关资料，拓展对平面向量的理解。
人教版高中数学 教案+学案综合汇编 第5章：平面向量 课时12
人教版高中数学 教案+学案 综合汇编第4章 三角函数( √ )2︒若a ≠ 0，则对任一非零向量b ，有a ⋅b ≠ 0。
( × ) 3︒若a ≠ 0，a ⋅b = 0，则b = 0。
( × ) 4︒若a ⋅b = 0，则a 、b 至少有一个为零。
( × ) 5︒若a ≠ 0，a ⋅b = a ⋅c ，则b = c 。
( × ) 6︒若a ⋅b = a ⋅c ，则b = c 当且仅当a ≠ 0时成立。
( × ) 7︒对任意向量a 、b 、c ，有(a ⋅b )⋅c ≠ a ⋅(b ⋅c )。
( × ) 8︒对任意向量a ，有a 2 = |a |2。
( √ ) 一、 平面向量的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a证：设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a ||b |cos θ，b ⋅ a = |b ||a |cos θ∴a ⋅ b = b ⋅ a2．(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )证：若λ> 0，(λa )⋅b =λ|a ||b |cos θ，λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =λ|a ||b |cos θ，若λ< 0，(λa )⋅b =|λa ||b |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =|a ||λb |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ。
3．(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c在平面内取一点O ，作OA = a , AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影 等于a 、b 在c 方向上的投影和， 即：|a + b | cos θ = |a | cos θ1 + |b | cos θ2 ∴| c | |a + b | cos θ =|c | |a | cos θ1 + |c | |b | cos θ2∴c ⋅(a + b ) = c ⋅a + c ⋅b 即：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c4．例题：P118—119 例二、例三、例四 （从略）二、应用例题：（《教学与测试》第27课P156 例二、例三）例一、已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a - 5b 垂直，a - 4b 与7a - 2b 垂直，求a 与b 的夹角。
平面向量基本定理教案
平面向量基本定理教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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人教版高中数学平面向量的运算教案2023
人教版高中数学平面向量的运算教案2023人教版高中数学平面向量的运算教案一、教学目标：1. 了解平面向量的概念及其表示方法；2. 掌握平面向量的加减法规则；3. 学会求平面向量的数量积；4. 能够应用平面向量的运算解决相关问题。
二、教学内容分析：1. 平面向量的概念：平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。
2. 平面向量的表示方法：坐标表示法、分量表示法。
3. 平面向量的加减法规则：平行四边形法则、三角形法则。
4. 平面向量的数量积：定义、性质、计算公式。
5. 平面向量的应用：力的合成与分解、几何问题。
三、教学过程：1. 引入活动：利用实物或图片展示平面向量的概念，引起学生的兴趣，激发他们的思考。
2. 知识讲解：（1）平面向量的表示方法：介绍坐标表示法和分量表示法，以及它们的区别和联系。
（2）平面向量的加减法规则：详细讲解平行四边形法则与三角形法则，并通过例题进行演示和解析。
（3）平面向量的数量积：给出定义和性质，讲解数量积的计算公式，并进行实例分析。
（4）平面向量的应用：介绍力的合成与分解问题，并通过实际案例引发学生思考和讨论。
3. 案例分析与解答：选择一些典型的题目，引导学生进行思考和解答，帮助他们理解和掌握平面向量的运算方法。
4. 练习与巩固：布置一些练习题，让学生进行个人或小组完成，并给予及时的反馈和指导。
鼓励学生举一反三，将所学知识应用到其他相关问题中。
5. 拓展活动：引导学生进行一些拓展思考，如使用平面向量解决几何问题、应用平面向量解决实际生活中的问题等。
6. 总结与归纳：对本节课所学内容进行总结，并引导学生归纳出平面向量运算的基本规律和方法。
四、教学评价：1. 教师在实际教学过程中，要及时观察学生的学习情况，引导他们积极参与课堂讨论和练习，及时纠正他们的错误。
2. 学生可以通过课堂参与、小组合作、个人练习等形式进行评价，如思维导图、练习册、小组讨论记录等。
3. 教师可以根据学生的评价结果，及时调整教学策略，帮助学生更好地理解和掌握平面向量的运算方法。
人教版高中数学教案
人教版高中数学教案
教师姓名：XXX
教学班级：高中一年级数学课
教学内容：平面向量的概念及性质
教学目标：
1. 了解平面向量的定义和性质。
2. 掌握平面向量的表示方法。
3. 能够进行平面向量的加法、减法和数乘运算。
4. 能够解决相关问题并应用于实际生活中。
教学重点和难点：
重点：平面向量的定义、表示方法和运算。
难点：平面向量的性质和应用。
教学准备：
1. 教科书《数学》
2. 粉笔、黑板
3. 平面向量的具体例题
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师通过提问引入平面向量的概念，引导学生思考。
二、讲解平面向量的定义和性质（15分钟）
1. 定义平面向量及其表示方法。
2. 讲解平面向量的加法、减法和数乘运算。
3. 探讨平面向量的性质。
三、解题演练（20分钟）
教师设计一些简单的练习题，让学生尝试解答并进行讲解。
四、拓展应用（10分钟）
通过实际生活中的问题，引导学生将所学知识应用到实践中。
五、课堂总结（5分钟）
教师对本节课学习内容进行总结，并提醒学生复习重点知识。
六、课后作业（5分钟）
布置相关练习题作为课后作业，巩固学生所学内容。
【教学反思】
通过这节课的教学，学生能够较好地理解平面向量的概念和运算方法，但仍需进行多次练习才能够熟练掌握。
在接下来的课堂中，我将加大练习量，帮助学生更好地理解和运用平面向量的知识。
2024高中数学人教版平面向量教案
2024高中数学人教版平面向量教案本教案适用于2024年高中数学教学，涉及人教版数学教材中的平面向量部分。
通过本教案的学习，学生将能够全面理解平面向量的基本概念、性质和运算规则，并能够灵活运用这些知识解决与平面向量有关的问题。
一、教学目标1. 理解平面向量的概念和性质，掌握平面向量的表示方法；2. 掌握平面向量之间的运算法则，包括加法、减法、数量乘法以及数量积；3. 熟练运用平面向量解决几何和代数问题，如向量共线、向量垂直等；4. 能够灵活运用平面向量解决几何证明题。
二、教学内容1. 平面向量的概念和表示方法a. 向量的定义及基本性质b. 向量的表示方法：坐标表示、位置向量表示、零向量、单位向量2. 平面向量的运算法则a. 向量的加法和减法b. 向量的数量乘法c. 向量的数量积3. 平面向量的应用a. 向量共线与共面问题b. 向量垂直与平行问题c. 向量的模与方向角d. 向量的投影与正交分解4. 平面向量的几何证明a. 几何证明的基本思路和方法b. 利用向量的性质和运算解决几何证明问题三、教学重点和难点1. 教学重点a. 平面向量的基本概念和表示方法b. 向量的加法、减法和数量乘法运算c. 平面向量在几何问题中的应用2. 教学难点a. 平面向量的数量积运算b. 利用向量的性质和运算解决几何证明问题四、教学方法1. 讲授与演示相结合的教学法，通过具体实例让学生理解和掌握平面向量的概念和运算规则；2. 归纳总结法，梳理平面向量的重点和难点，帮助学生掌握关键知识；3. 练习与实践相结合的方法，通过大量的练习题和应用题，提高学生解决实际问题的能力；4. 合作学习，通过小组活动和讨论，培养学生的合作意识和团队精神。
五、教学过程1. 导入部分a. 引入平面向量的概念，通过展示几何图形和示例，引发学生对平面向量的认识和兴趣；b. 介绍平面向量的表示方法和基本性质，让学生理解向量的本质和特点。
2. 讲解与示范a. 分步讲解向量的加法、减法和数量乘法运算，通过具体的计算过程和几何图形，帮助学生掌握运算规则；b. 讲解向量的数量积，包括定义、性质和计算方法，引导学生理解数量积的几何意义。
高三数学教案：平面向量
高三数学教案：平面向量高三数学教案：平面向量【】鉴于大家对查字典数学网十分关注，小编在此为大家搜集整理了此文高三数学教案：平面向量，供大家参考! 本文题目：高三数学教案：平面向量第五章平面向量【知识网络】【学法点拨】向量是沟通代数与几何的重要工具，它在日常生活、生产实践以及其他相关学科中有着广泛的应用.学习和理解向量有关知识时，建议：1. 注意比较与分析.向量的有关概念与我们学习过的有关知识既有联系又有区别，如：平行、相等、乘积等等.留心比较分析，可防止学习过的有关知识对现学知识的负面影响.2. 能画图时尽可能多画草图.数离形时少直观，形离数时欠入微.向量具有数与形的双重特征，加减法以三角形法则、平行四边形法则为背景，平行、垂直都对应着一个方程，数形结合考察问题，常常事半功倍.3. 学会联想与化归.向量知识是从日常生活、生产实践中抽象出来的，求解向量综合题，常需要适当联想，并将应用问题数学化，复杂问题熟悉化、简单化.第29课向量的基本运算【考点指津】1. 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量、相等向量等概念.2.掌握向量的加法与减法，会正确运用三角形法则、平行四边形法则.3掌握向量加法的交换律、结合律，并会用它们进行向量化简与计算.4.理解向量的减法运算可以转化为向量的加法运算.【知识在线】1.(2a+8b)-(4a-2b)=2.在△ABC中，BC =a， CA =b，则AB =3.设a表示向东3km，b表示向北偏东30走3km，则a+b表示的意义为4.画出不共线的任意三个向量，作图验证a-b-c=a-(b+c).5.向量a、b满足|a|=8，|b|=10，求|a+b|的最大值、最小值.【讲练平台】例1 化简以下各式：①AB +BC +CA②AB -AC +BD -CD③OA -OD +AD④NQ +QP +MN -MP .结果为0的个数为 ( )分析题设条件中多处涉及首尾相接的两个向量求和以及同起点的两个向量相减，对此，我们可以运用向量加减的定义进行合并，当最终形式出现两相反向量之和或相等向量之差时，结果为0.答 D.点评本题巩固了向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识.求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错律.注意：AB = -BA ，+CB =AB .变题作图验证 A1A2 +A2A3 +A3A4 ++An-1An =A1An (n2，nN).例2 如图，在ABC中，D、E为边AB的两个三等分点，CA =3a，CB =2b，求CD ，CE .分析本题中的已知向量都集中体现在三角形中.为此，可充分利用向量加减法的三角形法则实施求解.如已知CA 、CB 可求AB ，根据AD 、AE 、AB 均为共线向量，故又可求得AD 、DE 、.由CA 、AD 又可求CD ，由DE 、CD 又可求CE . 解 AB =AC +CB = -3a+2b，因D、E为AB 的两个三等分点，故AD = AB =-a+ b =DE ，CD =CA +AD =3a-a+ b =2a+ b，CE =CD +DE =2a+ b-a+ b=a+ b.点评三角形中两边对应向量已知，可求第三边所对应的向量.值得注意的是，向量的方向不能搞错.当向量运算转化成基底向量的代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行.例3 已知A、B、C、P为平面内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n，使PC =mPA +nPB ，且m+n=1.分析 A、B、C 三点共线的一个充要条件是存在实数，使得AC =AB .很显然，题设条件中向量表达式并未涉及AC 、AB ，对此，我们不妨利用 PC =PA +AC 来转化，以便进一步分析求证.证明充分性，由PC =mPA +nPB ， m+n=1，得PA +AC =mPA +n(PA +AB )=(m+n)PA +nAB =PA +nAB ，AC =nAB .A、B、C三点共线.必要性:由A、B、C 三点共线知，存在常数，使得AC =AB ，即 AP +PC =(AP +PB ).PC =(-1)AP +PB =(1-)PA +PB ，m=1-，n=，m+n=1，PC =mPA +nPB .点评逆向应用向量加法运算法则，使得本题的这种证法比其他证法更简便，值得一提的是，一个向量拆成两个向量的和，一定要强化目标意识.变题在ABC 所在平面上有一点P ，满足PA +PB +PC =AB ，试确定点 P的位置.答：P在 AC边上，且 P为 AC的一个三等分点(距 A点较近) 例4 (1)若点 O是三角形ABC的重心，求证：OA +OB +OC(2)若 O为正方形ABCD的中心，求证：OA +OB +OC +OD(3)若O 为正五边形ABCDE 的中心，求证：OA +OB +OC +OD +OE =0. 若 O为正n边形A1A2A3A n的中心，OA1 +OA2 +OA3 ++OAn =0 还成立吗?说明理由.分析本题四问构成一个题链，条件相似，结论相似，求证方法可望相似.正三角形、正方形性质特殊，我们十分熟悉，求证方法多，不容易发现那一种方更有利于推广，我们选定正五边形来研究.看着结论，联想一个相似的并且已经解决的问题，本课例1的变题A1A2 +A2A3 +A3A4 ++An-1An +AnA1 =0 ，这里的向量首尾相接，我们能不能将OA 、OB 、OC 、OD 、OE 也转化成首尾相接的形式呢?运用向量相等的定义试试看.解证(3)以 A为起点作AB =OB ，以 B为起点作BC =OC ，以C为起点作CD =OD ，以D为起点作DE =OE .∵AOB=72，OAB=108.同理ABC=BCD=CDE=108，故DEA=108.|OA |=|AB |=∣BC |=|CD |=|DE |，故 E与 O重合，OABCD为正五边形.OA +OB +OC +OD +OE =OA +AB +BC +CD +DE =0.正三角形，正方形、正n边形可类似获证.点评本题不仅揭示了正多边形的一类共同性质，而且巩固了以退为进的数学思想.面对一般的问题，我们经常先考虑其特殊的情况;面对陌生的问题，经常去联想熟悉的模型.注意退是为了进，退到特殊简单情形后，要在求解中悟出一般的规律.如退到正方形情况，发现OA +OB 与OC +OD 正好互为相反向量，结论成立.这一方法却不具一般性.【知能集成】1. 基础知识：向量加减的代数形式运算与几何形式运算.2. 基本技能：向量运算中的合二为一与拆一为二.3. 基本思想：向量表达式运算与几何式运算的相互结合思想，联想熟悉的类似的模型，化归转化思想.【训练反馈】1.下列各式正确的是： ( )A.∣a-b∣∣a∣+∣b∣B. a+b∣∣a∣+∣b∣C.∣a+b∣∣a-b∣D.∣ a-b∣=∣a∣-∣b∣2.下面式子中不能化简成AD 的是 ( )A.OC -OA +C DB.PB -DA -BPC.AB -DC +BCD.(AD -BM )+(BC -MC )3.正方形ABCD的边长为1，AB =a，BC =b，AC =c，则a+b+c、a-b+c、-a-b+ c 的摸分别等于 .4.设a、b 为已知向量，若3x+4y=a，2x-3y=b ，则 x= . y= .5. 已知 e1、e2 不共线，AB =2e1+ke2，CB =e1+3e2，C D =2e1-e2，且A、B、D 三点在同一条直线上，求实数k .6.在正六边形ABCDEF中，O 为中心，若OA =a，OE =b，用a、b 表示向量OB ，OC ，OD ，结果分别为 ( )A.-b，-b-a，-aB. b，-a，b-aC.-b，a，a-bD.-b，-a，a+b7. 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.8.已知P为△ABO 所在平面内的一点，满足OP = ，则P在 ( )A.AOB的平分线所在直线上B. 线段AB的中垂线上C. AB边所在的直线上D. AB边的中线上.9.设O是平面正多边形A1A2A3A n 的中心，P为任意点，求证：PA1 +PA2 +PA3 ++PAn =nPO .10.如图设O为△ABC内一点，PQ∥BC，且PQ ∶BC =2∶3， OA =a，OB =b，OC =c，则 OP ，OQ .11.P为△ABC所在平面内一点，PA +PB +PC =0 ，则P为△ABC 的 ( )12.在四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点.求证：EF = (AB+DC ).第30课向量的坐标运算【考点指津】1. 理解平面向量的坐标表示法，知道平面向量和一对有序实数一一对应.2. 掌握平面向量的和、差、实数与向量积的坐标运算，能利用向量的坐标运算解题.3. 掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示，并利用它解决向量平行(共线)的有关问题，弄清向量平行和直线平行的区别.【知识在线】1. 若向量a的起点坐标为 (-2，1)，终点坐标为(2，-1)，则向量a的坐标为2.若O为坐标原点，向量a=(-3，4)，则与a共线的单位向量为3.已知a=(-1，2)，b=(1，-2)，则a+b与a-b的坐标分别为( )A.(0，0)，(-2，4)B.(0，0)，(2，-4)C.(-2，4)，(2，-4)D.(1，-1)，(-3，3)4.若向量a=(x-2，3)，与向量b=(1，y+2)相等，则 ( )A. x=I，y=3，B. x=3，y=1C. x=1，y=-5D. x=5，y=-15.已知A(0，0)，B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M、N分别为DC、AB的中点.(1) 求证四边形ABCD为平行四边形;(2) 试判断AM 、CN 是否共线?为什么?【讲练平台】例1 已知a=(1，2)，b=(-3，2)，当k为何值时，ka+b与a-3b平行?分析已知a、b的坐标，可求a-3b的坐标，ka+b的坐标也可用含k的表达式表示.运用两向量平行的充要条件x1y2-x2y1=0可求k值.解由已知a=(1，2)，b=(-3，2)，得a-3b=(10，-4)， ka+b=(k-3，2k+2).因(ka+b)∥(a-3b)，故10(2k+2)+4(k-3)=0.得k=- .点评坐标形式给出的两个向量，其横坐标之和即为和向量的横坐标;其纵坐标之和即为和向量的纵坐标.实数与向量的积其横、纵坐标分别等于实数与该向量的横、纵坐标的积. 向量的平行用坐标形式表达即为一个方程.例2 已知向量a=( ， )，b=(-1，2)，c=(2，-4).求向量d，使2a，-b+ c及4(c-a)与d四个向量适当平移后，能形成一个顺次首尾相接的封闭向量链.分析四个向量适当平移后，形成一个顺次首尾相接的封闭向量链，说明这四个向量之和为0.即四个向量的纵横坐标之和均为0.据此列出关于向量d(x，y)的方程组，不难求得x、y.简解设向量d的坐标为(x，y)，由2a+(-b+ c)+4(c-a)+d=0，可解得d=(-9，23).点评数学语言常有多种表达方式，学会转化与变通是求解的关键.本题以几何特征语言形式出现，最终落足点要变式成方程的语言来求解，这一思想方法在求解向量问题时经常用到.例3 已知平面上三点P(2，1)，Q(3，-1)，R(-1，3).若点S 与这三点可以为一个平行四边形的四个顶点，求S的坐标. 分析平行四边形对边对应向量相等或相反，由此可求得S 点的坐标.但由于题设四点构成四边形的四个顶点，那一组边是对边不明显，需要分类讨论.简解设S的坐标为(x，y).(1)当PQ 与RS 是一组对边时，若PQ =RS ，则(3，-1)-(2，1)=(x+1，y-3)，即 (1，-2)=(x+1，y-3)，得S点坐标为(0，1).若PQ =SR ，则S点坐标为(-2，5).(2)当PR 与SQ 是一组对边时，若PR =SQ ，则S点的坐标为(6，-3).若PR =QS ，则S点的坐标为(0，1).(3)当PS 与RQ 是一组对边时，若PS =RQ ，则S点的坐标为(6，-3).若PS =QR ，则S点的坐标为(-2，5).综上所述，S点坐标可以为(0，1)，(6，-3)，(-2，5). 点评本题求解需运用分类讨论思想.上述解法思路自然、条理清晰，但很显然不是最简方案，如何数形结合，避免重复劳动，读者不妨思考.例4 向量PA =(k，12)，PB =(4，5)，PC =(10，k)，当k 为何值时，A、B、C三点共线.分析三点共线问题前一课已涉及，A、B、C三点共线的充要条件是AB =BC ，本题所不同的是向量用坐标形式给出，对此，我们可以将坐标代入运算.解 AB =PB -PA =(4-k，-7)，BC = PC -PB =(6，k-5).当A、B、C三点共线时，存在实数，使得AB =BC ，将坐标代入，得4-k=6，且 -7=(k-5)，故(4-k)(k-5)=-42.解得k=11，或k=-2.点评向量的几何运算与向量的坐标运算，可以从不同角度去求解(证)同一个问题.只不过两套工具各有适用范围，即便两套工具都适用，也可能繁简不一，应用时要注意前瞻性选择.变题求证：互不重合的三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)共线的充要条件是(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1).证明必要性(略).充分性若(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)，由A、B、C互不重合，得(x2-x1)、(y3-y1)、(x3-x1)、(y2-y1)中至少有一个不为零，不妨设x3-x10.令x2-x1=(x3-x1)，若=0，则x2-x1=0，此时y2y1(否则A、B重合).而已知等式不成立，故0.于是(x3-x1)(y2-y1)=(x3-x1)(y3-y1).因x3-x10 ，故 (y2-y1)=(y3-y1).于是(x2-x1，y2-y1)=(x3-x1，y3-y1)，即 AB =AC ，且AC0 . 又因AB 与AC 有相同起点，所以A、B、C三点共线.【知能集成】基础知识：坐标形式的向量的加减运算，实数与向量坐标的积.基本技能：向量平行的充要条件及向量相等的充要条件用坐标形式描述和应用.基本思想：将向量等式转化成方程的思想;对几何图形的分类讨论思想.【训练反馈】1.若a=(2，3)，b=(4，y-1)，且a∥b，则y= ( )A.6B.5C.7D. 82.已知点B的坐标为(m，n)，AB 的坐标为(i，j)，则点A 的坐标为 ( )A.(m-i，n-j)B.(i-m，j-n)C.(m+i，n+j)D.(m+n，i+j)3.若A(-1，-1)，B(1，3)，C(x，5)三点共线，则x= .4.已知a=(5，4)，b=(3，2)，则与2a-3b平行的单位向量为① 已知向量PA =(x，y)，则A点坐标为(x，y);② 位置不同的向量，其坐标有可能相同;③ 已知i=(1，0)，j=(0，1)，a=(3，4)，a=3i-4j ;④ 设a=(m，n)，b=(p，q)，则a=b的充要条件为m=p，且n=q.其中正确的说法是 ( )A.①③B.①④C.②③D.②④6.下列各向量组中，不能作为表示平面内所有向量的基底的一组是 ( )A.a=(-1，2)，b=(0，5)B.a=(1，2)，b=(2，1)C.a=(2，-1)b=(3，4)D.a=(-2，1)，b=(4，-2)7.设a=(-1，2)，b=(-1，1)，c=(3，-2)，用a、b作基底，可将向量c表示为c=pa+qb，则 ( )A.p=4， q=1B.p=1， q=-4C.p=0 ， q=4D.p=1， q=48.设i=(1，0)，j=(0，1)，在平行四边形ABCD中，AC =4i+2j，BD =2i+6j，则AB 的坐标为 .9.已知3sin=sin(2+)，k+ ，k，kz，a=(2，tan(+))，b=(1，tan)，求证：a∥b.10.已知A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P 的坐标(x，y).11.已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且OP =OA +tAB .(1) 当t变化时，点P是否在一条定直线上运动?(2) 当t取何值时，点P在y轴上?(3) OABP能否成为平行四边形?若能求出相应的t值;若不能，请说明理由.第31课平面向量的数量积【考点指津】1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.2. 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.3. 掌握向量垂直的条件.【知识在线】1.若∣a∣=4，∣b∣=3，ab=-6，则a与b的夹角等于 ( )2.若a=(-2，1)，b=(1，3)，则2a2-ab= ( )3.已知向量 i=(1，0)，j=(0，1)，则与向量2i+j垂直的一个向量为 ( )A. 2i-jB. i-2jC. i+jD. i-j4.已知a=(1，2)，b=(1，1)，c=b-ka，且ca，则C点坐标为5.已知∣a∣=3，∣b∣=4，且a与b夹角为60，∣ka-2b∣=13，求k的值【讲练平台】例1 (1)在直角三角形ABC中，C=90，AB=5，AC=4，求AB BC (2)若a=(3，-4)，b=(2，1)，试求(a-2b)(2a+3b)分析 (1)中两向量AB 、BC 的模及夹角容易求得，故可用公式ab=|a||b|cos求解.(2)中向量a、b坐标已知，可求a2、b2、ab，也可求a-2b 与2a+3b的坐标，进而用(x1，y1)(x2，y2)=x1x2+y1y2求解. 解(1) 在△ABC中，C=90，AB=5，AC=4，故BC=3，且cosABC= ，AB 与BC 的夹角-ABC，AB BC =-∣AB ∣∣BC ∣cosABC=-53 =-9.(2)解法一 a-2b=(3，-4)-2(2，1)=(-1，-6)，2a-3b=2(3，-4)+3(2，1)=(12，-5)，(a-2b)(2a+3b)=(-1)12+(-6)(-5)=18.解法二 (a-2b)(2a+3b)=2a2-ab-6b2=2[32+(-4)2]-[32+(-4)1]-6(22+12)=18.点评向量的数量积有两种计算方法，一是依据模与夹角来计算，二是依据坐标来计算.具体应用时可根据已知条件的特征来选择.值得注意的是，向量的夹角与向量的方向相关，(1)中ABC 并非AB 与BC 的夹角.从第(2)问的解法二可以看到，向量数量积的运算律，类似于多项式乘法法则，但并不是所有乘法法则都可以推广到向量数量积的运算.如：a(b+c)=ab+bc，而(ab)ca(bc).例2.已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足OA2+BC2=OB2+CA2，试用向量方法证明ABOC .分析要证AB OC ，即证AB OC =0，题设中不涉及AB ，我们用AB =AO +OB 代换，于是只需证AO OC =BO OC .至此，我们可以尝试将已知等式转化成只含有OA 、OB 、OC 的形式.证明由已知得OA 2+BC 2=OB 2+CA 2，即OA 2+(BO +OC )2=OB 2+(CO +OA )2，整理得AO OC =BO OC ，即 OC (BO +OA )=0，故 OC AB =0.所以 AB OC .点评用向量方法证明垂直问题，通常转化为证两个向量的数量积为0.本题已知式与求证式中向量的表达形式不统一，针对差异进行有目标的化归，是求解的关键所在.例3.设OA =a=( +1， -1)，OB =b=( ，3)，试求AOB及AOB 的面积.分析已知a、b可以求|a|、|b|及ab，进而求得AOB(即a 与b的夹角)，在求到三角形的两边及夹角后，可用公式：S= ∣a∣∣b∣sin求面积.解设AOB=，AOB的面积为S，由已知得：∣OA ∣=∣a∣= =2 ，∣OB ∣=∣b∣=2 ，cos= = = .= .又S= ∣a∣∣b∣sin= 2 =2 ，即AOB= ，AOB的面积为2 .点评向量的数量积公式ab=∣a∣∣b∣cos不仅可以用来求数量积，也可以用来求模与夹角.要注意该公式与三角形的面积公式的区别.此外，本题的解题方法可适用于更一般的情况(见变题).变题设ABC的面积为S，AB =a，AC =b，求证S=例4.已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b 与7a-2b垂直，求a与b的夹角.分析要求夹角，必需求出cos求cos需求出ab与∣a∣∣b∣的比值(不一定要求出∣a∣、∣b∣的具体值).由已知的两个向量的垂直关系，可以得到∣a∣∣b∣与ab的关系.解∵(a+3b)(7a-5b)，(a-4b)(7a-2b)，(a+3b)(7a-5b)=0，(a-4b)(7a-2b)=0.即 7a2+16ab-15b2=0，7a2-30ab+8b2=0.两式相减，得 b2=2ab.故 a2=b2 ，即∣a∣=∣b∣.cos= = .=60 ， a与b的夹角为60 .点评从基本量思想考虑，似乎没有具体的a与b，无法求出a与b的夹角，其实不然，cos是一个ab与∣a∣∣b∣的比值，并不需要具体分别求出.类似于本题的条件表明，向量的数量积公式、向量的垂直关系都揭示了一种数量积与模的关系，就此意义而言，它们的本质是一致的相通的，可以相互转化和利用.在本题求解过程中注意，b2=2ab不能得出b=2a，同样a2=b2也不能得到a=b.【知能集成】基础知识：向量数量积的两种计算公式，向量垂直的充要条件.基本技能：求向量数量积、模及向量的夹角，向量垂直问题的论证与求解.基本思想：向量表达式的数量积与多项式乘法进行类比的思想，将线的垂直这一图形特征转化成方程解决的思想.求向量夹角时的设而不求的思想.【训练反馈】1. 已知 =5，a与b的夹角的正切值为，ab=12，则b的模为( )A.4B.3C.D.2.已知 =2，向量a在单位向量e方向上的投影为- ，则向量a与e向量的夹角为( )3.已知a=(1，-2)，b=(5，8)，c=(2，3)，则a(bc)为 ( )A.34B.(34，-68) C .-68 D.(-34，68)4.边长为的正三角形ABC中，设AB =c，BC =a，CA =b，则ab+bc+ca等于( )A. -3B. 0C. 1D. 35.已知a=(1，2)，b=(x，1)，当(a+2b)(2a-b)时，实数x 的值为 .6.已知m=(-5，3)，n=(-1，2)，当(m+n)(2n+m)时，实数的值为 .7.已知|a|=|b|=1，a与b夹角为90，c=2a+3b，d=ka-4b，且cd，则k=8.已知A、B、C、D是平面上给定的四个点，则AB CD +AC DB +AD BC = .9.已知a+b=(2，-8)，a-b=(-8，16)，则a与b夹角的余弦值为 .10.设两向量e1、e2满足| e1|=2，| e2|=1， e1、e2的夹角为60，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.11.设向量a=(cos23，cos67)，b=(cos68，cos32)，u=a+tb (tR).(1) 求a(2) 求u的模的最小值.12.设a=(1+cos，sin)， b=(1-cos，sin)， c=(1，0)， (0，)，()，a与c的夹角为1，b与c的夹角为2，且1-2= ，求sin 的值.第32课线段的定比分点、平移【考点指津】1. 掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且熟练运用.2. 掌握平移公式，并能运用平移公式化简函数解析式.3. 理解公式的推导过程，必要时能回到定义去，用向量运算的相关知识，解决定比分点问题和平移问题.【知识在线】1.若P分AB 所成的比为，则A分BP 的比为 ( )A. B.- C.- D.2.设点P在线段AB的延长线上，P分AB 所成的比为，则 ( )3.按向量a将点(2，3)平移到(0，1)，则按向量a将点(7，1)平移到点 ( )A.(9，-3)B.(9，3)C.(5，-1)D.(-5，-3)4.若函数y=f(1-2x)的图象，按向量a平移后，得到函数y=f(-2x)的图象，则向量a= .5.设三个向量OA =(-1，2)，OB =(2，-4)，OC 的终点在同一条直线上(O为坐标原点).(1) 若点C内分AB 所成的比为，求C点坐标;(2) 若点C外分AB 所成的比为- ，求C点坐标.【讲练平台】例1 已知P(1，1)，A(2，3)，B(8，-3)，且C、D顺次为AB 的三等分点(C靠近A)，求PC 和PD 的坐标.分析已知A、B两点坐标，可求AB的两个三等分点C、D的坐标，进而结合已知P点坐标，可求PC ，PD .解解法一由题知，点C、D分AB所成的比分别为1= ，2=2 ，设C(x，y)，则即C(4，1)，同理可得D(6，-1).故PC=(4，1)-(1，1)=(3，0)，PD=(6，-1)-(1，1)=(5，-2). 解法二因A、B、C、D四点共线，由已知得，AD =23 AB ，故PC =PA +AC =(2-1，3-1)+ (8-2，-3-3)=(3，0)，PD =PA +AD =(2-1，3-1)+23 (8-2，-3-3)=(5，-2).点评定比分点公式涉及起点坐标、终点坐标、分点坐标、定比七个量，它们之间固有的联系有两个方程，故已知其中五个量能求其余两个量，若是只考察其中一个方程(如横坐标关系式)，只须已知其中三个，可求第四个.对此，我们不仅要考察公式的原形，还需掌握公式的变形.本题的解法二，回归到最基础的向量加减来处理定比分点问题，运算量小，出错率低.例2 将函数的图象按向量a平移后得到函数的图形，求a 和实数k.分析平移前后的函数表达式已知，可以通过恒等变形，求得整体结构一致，再比较变量x、y的变化，确定平移公式，得向量a，而k则可通过比较系数法求得.解令 x = x- ，y=y- .原函数解析式变形为y=- ，a=(- - )， k=- .点评图形的平移变换，实质是图形上任意一点的变换，求解平移变换问题至关重要的是确定关于点的坐标的平移公式.面对较为复杂的函数表达式，为了画出其图形，并讨论其性质，常采纳平移变换化繁为简.变题通过平移变换，化简 (ad-bco ， co)，并作出图形. 提示： = ，令并记 =k0，则原方程化简为 .因此，原函数的图象按向量a= 平移后得的图象，故其图象是以为中心的，以x= 为渐近线的双曲线.例3.将函数的图象，按向量a平移后得到的函数图象关于原点对称.这样的向量是否唯一?若唯一，求出向量a;若不唯一，求a模的最小值.分析正弦函数是周期函数，其图象关于原点对称时，表达式不唯一.就本题而言，平移后的函数解析式可以是y=2sin2x ，也可以是y=2sin(2x+)，y=2sin(2x-)等等.因此，向量a不唯一.要求∣a∣的最小值，首先必需确定平移后函数表达式的一般式，并在此基础上建立关于∣a∣的目标函数.解向量a不唯一.平移后的图象对应解析式可以为y=2sin(2x+k)， kZ考察原函数表达式，可令 (kZ)即，a=(- ，-1)， ( kZ)，| a | (kZ).当k=2 时，∣a∣取最小值，最小值为 .点评常见向量平移变换应用于三角函数式化简，多数问题思路单一，结论唯一.本题突破常规，开放性的设计，要求解题者具有更深刻的思维能力.例4. 设A(1，1)，B(5，5)，且P在直线AB上，若AB =AP ，AP =PB ，P点是否可能落在线段AB的延长线上 ?若能，求出P点坐标;若不能;说明理由.分析由AB =AP 知，要使P落在线段AB的延长线上，只需(0，1).为此，我们设法将两个已知向量等式转化成关于的方程，解出，检验(0，1)是否成立.解 AB =(5，5)-(1，1)=(4，4)，设P(x，y)，则AB =AP =2 PB .(4，4)=2(5-x，5-y)=(x-1，y-1)，且依据两个方程组的第一个方程，消去x，得52-(4+)=4，即2--1=0，数形结合知，在AB =AP 时，要P落在线段AB的延长线上，则需(0，1)，所求两个的值均不符合题意，故P不可能落在AB延长线上.【知能集成】基础知识：向量的平移公式，定比分点定义、公式及中点坐标公式.基本技能：求平移公式，求点关于向量平移后的坐标，求函数图象关于向量平移后对应的函数解析式.运用定比分点公式，求端点、分点坐标及定比.基本思想：①回到定义去，回避定比分点公式的繁琐运算.②用基本量思想看定比分点公式.③运用整体分析、比较观点，确定平移公式.【训练反馈】1.点(4，3)关于点(5，-3)的对称点坐标是 ( )A.(4，-3)B.(6，-9)C.( ，0)D.( 12 ，3)2.点A(0，m)按向量a平移后得到点B(m，0)，则向量a的坐标是 ( )A.(m ， m)B.(m ， -m)C.(-m ， m)D.(-m ， -m)3. 按向量a可把点(2，0)平移到点(-1，2)，则点(-1，2)按向量a平移后得到的点是( )A.(2，0)B.(-3，2)C.(2，4)D.(-4，4)4.将函数的图象，按向量a平移后得到的图象对应函数y=f(x)是奇函数，则a可以是 ( )A. (- ，-4)B. (- ，4)C. ( ，4)D. (- ，-4)5.已知点P(2，3)，分P1P2所成的比为2，且点P2(1，2)，则点P1的坐标为( )A.(4，5)B.(0，1)C.(3，4)D.(5，6)6.将函数y=x2+mx+n图象的顶点P按向量a平移到原点O，则a= .7. 函数的图象按向量a=(2，1)平移后得到函数的图象.8.已知A(2，2)，B(-3，4)，C(4，-1)，则ABC的重心坐标为 .9.若∣P1P2∣=5 cm，点P在线段P1P2的反向延长线上，且∣P1P∣=1 cm，则P分P1P2所成的比为 .10. 已知O为原点，mR且m0，OA=(m，2m)，OB=(2，2)，求点B关于直线OA的对称点C的坐标.11. 已知关于x的一次函数y=ax+b的图象C按向量p =(1，2)平移后，得到的图象仍然是C，问这样的一次函数是否唯一?若唯一，求出该函数的解析式;若不唯一，说明这类函数的表达式的共同特征.12.已知A、B、C三点在一条直线上，且OA -3OB +2OC =0 ，求点A分BC 所成的比.第33课平面向量的应用【考点指津】1. 在阅读、理解具有实际意义的文字材料的基础上，能准确、清晰、有条理地用向量的语言表述问题.2. 能从实际问题中提炼、概括抽象出数学模型.3. 能综合运用所学向量知识及有关数学思想方法，求出数学模型的解.4. 能结合实际意义，正确表述问题的解.5. 能用向量知识简捷地处理其它数学分支相关问题.【知识在线】1.下列各个量：①物体的位移;②汽车的速度;③物体的质量;④某液体的温度.其中能称为向量的有 .2.已知三个力F1=(1，3)，F2(-2，1)，F3=(x，y)，某物体在这三个力的同时作用下保持平衡，则力F3= .3.设某人向东走3 km后，又改变方向向北偏东30走3 km，该人行走的路程是，他的位移是 .4.用向量方法证明勾股定理.5.一条东西方向的河流，水流速度为2 km/h，方向正东.一船从南岸出发，向北岸横渡，船速为4 km/h，试求船的实际航行速度，并画出图形(角度可用反三角函数表示).【讲练平台】例1 某一天，一船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度3km/h，方向正东，风向北偏西30，受风力影响，静水中船的飘行速度大小也为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以23 km/h.的速度横渡，求船本身的速度大小及方向. 分析撇开题设情境，提炼出四个速度，即水流速度v1，风的速度v2，船本身的速度v3，船的实际航行速度v，并且有v1+v2+v2=v，在这一等式中，v1、v2、v已知，v3可求.略解：设水的速度为v1 ，风的速度v2，v1+v2=a，易求得a的方向是北偏东 30，a的大小为 3 km/h .设船的实际航行速度v，方向南向北，大小 23 km/h..船本身的速度v3，则a+v3=v ，即 v3=v-a ，数形结合知，v3方向是北偏西60，大小为3 km/h..点评这是一个与知识在线第5题相似的问题，熟悉的情境以及简单情况下的解题经验为本题求解奠定了基础.四种速度融为一体，我们采纳分步合成，步步为营的策略.每一次合成只相当于求解了一个简单题.例2 已知O为ABC所在平面内一点，满足|OA |2+| BC |2=|CA|2+|OB|2=|OC|2+|AB|2.试证明O是ABC 的垂心.分析已知等式是关于线段长度平方和的等式，OA 与BC 、OB与CA、OC与AB 都不是同一个直角三角形中的线段，用纯平面几何知识证明相当困难.但线段长度平方和即向量模的平方，要证O是ABC的垂心，只需证得OA BC ，OBCA，联想向量的数量积，只需证OA BC =OBCA=0.|OA |2+| BC |2=|CA|2+|OB|2 ，得a2+(c-b)2=b2+(a-c)2 ， cb=ac ，即(b-a)c=0.OCAB=0，故 ABOC.同理 CAOB，BC OA .故O是ABC的垂心.点评向量知识的应用领域很宽泛，中学数学所涉及的平几、立几、解几、函数、方程、数列、不等式等等，都可以与向量综合，求解这类问题的关键在于揭去伪装，合理转化.例3.如图所示，对于同一高度(足够高)的两个定滑轮A、B，用一条足够长的绳子跨过它们，并在两端分别挂有质量为m1和m2的物体(m1m2)，另在两滑轮中间的一段绳子的O点处悬挂质量为m的另一物体，已知m1∶m2=OB∶OA，且系统保持平衡(滑轮半径、绳子质量均忽略不计).求证：(1) AOB为定值;(2) 2.分析依据题意，我们可以作出物体的受力图，引用平衡条件可列出方程组，在方程组的变形中，探索AOB 的大小，在求出AOB后，再向第2问结论努力.解(1)设两绳子AO、BO对物体m的拉力分别为F1、F2，物体m向下的重力为F，由系统平衡条件知F1+F2+F=0.如图，设BAO=，ABO=，根据平行四边形法则，得F2cos+F1cos()=0，F2sin+F1sin()+F=0.。
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第十二教时
教材：平面向量的数量积的运算律
目的：要求学生掌握平面向量数量积的运算律，明确向量垂直的充要条件。
过程：
一、复习：
1．平面向量数量积（内积）的定义及其几何意义、性质
2．判断下列各题正确与否：
1︒若a = 0，则对任一向量b，有a⋅b = 0。
( √)
2︒若a≠0，则对任一非零向量b，有a⋅b≠ 0。
( ×)
3︒若a≠0，a⋅b = 0，则b = 0。
( ×)
4︒若a⋅b = 0，则a、b至少有一个为零。
( ×)
5︒若a≠0，a⋅b = a⋅c，则b = c。
( ×)
6︒若a⋅b = a⋅c，则b = c当且仅当a≠0时成立。
( ×)
7︒对任意向量a、b、c，有(a⋅b)⋅c≠a⋅(b⋅c)。
( ×)
8︒对任意向量a，有a2 = |a|2。
( √) 二、平面向量的运算律
1．交换律：a⋅b = b⋅a
证：设a，b夹角为θ，则a⋅b = |a||b|cosθ，b⋅a = |b||a|cosθ
∴a⋅b = b⋅a
2．(λa)⋅b =λ(a⋅b) = a⋅(λb)
证：若λ> 0，(λa)⋅b =λ|a||b|cosθ，
λ(a⋅b) =λ|a||b|cosθ，
a⋅(λb) =λ|a||b|cosθ，
若λ< 0，(λa)⋅b =|λa||b|cos(π-θ) = -λ|a||b|(-cosθ) =λ|a||b|cosθ，
λ(a⋅b) =λ|a||b|cosθ，
a⋅(λb) =|a||λb|cos(π-θ) = -λ|a||b|(-cosθ) =λ|a||b|cosθ。
3．(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c
在平面内取一点O，作= a, = b，
∵a + b（即）在c方向上的投影
等于a、b在c方向上的投影和，
即：|a + b| cosθ = |a| cosθ1 + |b| cosθ2
∴| c | |a + b| cosθ =|c| |a| cosθ1 + |c| |b| cosθ2
∴c⋅(a + b) = c⋅a + c⋅b即：(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c
4．例题：P118—119 例二、例三、例四（从略）
三、应用例题：（《教学与测试》第27课P156 例二、例三）
例一、已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a- 5b垂直，
a- 4b与7a- 2b垂直，求a与b的夹角。
解：由(a + 3b)(7a- 5b) = 0 ⇒ 7a2 + 16a⋅b-15b2 = 0 ①
(a- 4b)(7a- 2b) = 0 ⇒ 7a2- 30a⋅b + 8b2 = 0 ②
两式相减：2a⋅b = b2
代入①或②得：a2 = b2
设a、b的夹角为θ，则cosθ =
2
1
22
2
=
=
⋅
|
|
|
||
|b
b
b
a
b
a
∴θ = 60︒例二、求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。
解：如图：ABCD中：=，=，=+
∴||2=⋅
+
+
=
+2
|
|2
2
2
而=-
∴||2=⋅
-
+
=
-2
|
|2
2
2
∴||2 + ||2 = 22
2
2
+= 2
2
2
2|
|
|
|
|
|
|
|+
+
+
四、小结：运算律
五、作业：P119 习题5.6 7、8
《教学与测试》P152 练习
A B
D C
C。