p级数与交错p级数的和.ppt
高等数学第十二章《常数项》复习 课件
12
例 1 讨论 P-级数
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的收敛性.(
p
0)
解
设 p 1,
1 np
1, n
则P 级数发散.
y
设 p 1,由图可知
1
np
n dx x n1 p
sn
1
1 2p
1 3p
1 np
y
1 xp
(
p
1)
1
2 1
dx xp
n dx x n1 p
o 1234
x
13
级数收敛
lim
n
un
0.
证明 s un 则 un sn sn1 ,
n1
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
8
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
例如 1 2 3 (1)n1 n 发散
234
n1
2.必要条件不充分.
例如调和级数 1 1 1 1
23
2! 3!
n0 n!
(5) sin x x x3 x5
3! 5!
(1)n
1 (2n1)!
x 2n1
,
x
(,
)
n0
(6) cos x 1 x2 x4
2! 4!
n320
(1)n
1 (2n)!
x2n ,
x
(, )
注意： 把函数展开为幂级数的间接展开法实际上就是转化
函数 转化 展开式已知的新函数
n
有
lim
p级数求和的两种方法
展 开式 可得 出， 留数方 法在 于将级数 求和 转化成相应 某复值函数在 一个闭域 中的留数 之和 ， 不 涉及展 开式 ， 更为
简洁 直 观 。
关键 词： ｐ 级数； 留数 定理； 傅 里叶级数
中图 分 类 号 ： Ｏ １ ７ ５ ． ２ 文献 标 识 码 ： Ａ
１ 利用 留数定理 求和
其 中 Ｒ ｅ ｓ Ｆ （ ｚ ） ｃ 。 ｔ ㈦ 干ｉ ） １ 。 ＝ １
，
（ ２ ） ㈥
此 越栏 叫 一直 进仃 到 的指数 为 ０ ， 最 终 得到
ｄ ２ ｋ （ ｃ ｏ ｔ （ ｗ ｚ ） ｚ ）
一
，
麓 耄 ：
㈤ 一 ２ ㈣
籼 脚
，
一
＋ １ １ ２ ）
， ｌ ＋ １ ， ２
，一
证 明 Ｊ Ｆ 出 Ｊ ： Ｊ 兀 ｃ 。 ｔ ㈣ Ｊ ≤
ｎ Ｍ １ 出
Ｄ
厶
百 ８ ｘ ａ ／ （ ｎ ＋ １ ）
，
１ ｆ
＋ ｔ ｒ ２ ） ￣
所 以有
，
＝ ０。
根 据 留数定理 ， 在 内一 阶极点 有 ± １ ， ± ２ ， …，
考 虑 复 函数 Ｆ （ ＝耵ｃ ｏ ｔ （ ， 在 回路 Ｋ （ 如
Ｉ ｃ ｏ ｔ （ ＇ ｒ Ｏ ｚ ） Ｉ ＝ ｅ ｉ ￣ ｒ （ ｚ ＋ ｉ ｙ ） ｅ － ｉ ＇ ｒ ｔ （ ｘ ＋ ｉ ｙ ） Ｉ ＝ ｌ Ｉ Ｊ 譬 ｅ ｅ 一 ｅ ｅ ｌ Ｉ ≤ ＜
图１ 回 路
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ６ — ０ ２ — １ ５
作者简介： 樊龙 （ １ ９ ８ ９ 一 ） ， 男， 山西忻州人 ， 助教 ， 研究方 向： 双 曲型偏微分方程 。
第五讲 级数
发散点的全体称为其发散域 . 发散域
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在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 为级数的和函数 , 并写成 和函数
称它
若用
表示函数项级数前 n 项的和, 即
令余项 则在收敛域上有
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用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R = ∞ 时, 幂级数在 (-∞, +∞) 收敛 ;
若 un ≥ 0, 则称 ∑un 为正项级数 .
n=1 ∞
比较审敛法) 定理 (比较审敛法 比较审敛法 且存在 则有 (1) 若强级数 (2) 若弱级数
设 有
是两个正项级数, (常数 k > 0 ), 也收敛 ; 也发散 .
对一切
收敛 , 则弱级数 发散 , 则强级数
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定理
(比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
说明: 说明 (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 . (2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ∑( un ± vn ) 必发散 . (3)但若二级数都发散 ,
n=1 ∞
不一定发散.
例如, 取un = (1)2n , vn = (1)2n+1, 例如
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结束
一,正项级数及其审敛法
0 < R < ∞ , 幂级数在 (-R , R ) 收敛 ; 在[-R , R ]
外发散; 在 x = ±R 可能收敛也可能发散 . 收敛区间. 收敛区间 R 称为收敛半径 ,(-R , R ) 称为收敛区间 收敛半径 (-R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域 收敛域. 收敛域
第4章级数
(2)定理 定理: 定理 收敛,则 若 ∑ | z | 收敛 则 ∑ z 也收敛
∞
∞
k =1
n
k =1
n
绝对收敛的级数,本身一定是收敛的 注:绝对收敛的级数 本身一定是收敛的 绝对收敛的级数
4.判级数收敛方法 判级数收敛方法: 判级数收敛方法 1)用必要条件 或充要条件 用必要条件,或充要条件 用必要条件 或充要条件; 2)判绝对收敛 判绝对收敛. 判绝对收敛 判别下列级数的收敛性: 例:判别下列级数的收敛性 判别下列级数的收敛性
收敛半径: 三.收敛半径 收敛半径
1.定义 定义: 定义 ∞ Cn (z1 z0 )n 若存在一个正数R,使得幂级数 若存在一个正数 使得幂级数 ∑
n=1
在|Z-Z0|<R内处处收敛 而|Z-Z0|>R时处处发散 内处处收敛,而 时处处发散, 内处处收敛 时处处发散
Cn (z1 z0 )n 的收敛半径为 的收敛半径为R. 则称 ∑
内复变函数项级数. 为D内复变函数项级数 内复变函数项级数 2.前n项和 S n ( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + ... + f n ( z ) 项和: 前 项和 3.级数收敛 若lim S n ( z0 ) = S ( z0 ) 存在 则称级数在 z0 处收 级数收敛:若n→∞ 存在,则称级数在 级数收敛 ∞ 就是其和,即 敛. S ( z0 )就是其和 即 ∑ f n ( z0 ) = S ( z0 ) n =1 若级数在D内处处收敛 级数的和是D内一个函数 内处处收敛,级数的和是 内一个函数, 若级数在 内处处收敛 级数的和是 内一个函数 ∞ 即 ∑ fn ( z) = S ( z)
p级数
p级数
形如1+1/2^p+1/3^p+…+1/n^p+… （p>0）的级数称为p级数。
当p=1时，得到著名的调和级数：1+1/2+1/3+…+1/n+… 。
当p=2时，值收敛于π*π/6
p级数是重要的正项级数，它是用来判断其它正项级数敛散性的重要级数。
p级数的敛散性如下：
当p>1时，p级数收敛；
当1≥p>0时，p级数发散。
交错p级数
形如1-1/2^p+1/3^p-1/4^p+…+(-1)^(n-1)*1/n^p+… （p>0）的级数称为交错p级数。
交错p级数是重要的交错级数。
交错p级数的敛散性如下：
当p>1时，交错p级数绝对收敛；
当1≥p>0时，交错p级数条件收敛。
例如，交错调和级数1-1/2+1/3-1/4+…+(-1)^(n-1)*1/n+… 条件收敛，其和为ln2。
A试题
B解法（一题多解）
C来源（课本、高登教材专著、杂志、竞赛题、高考题等）
D变通（变条件、结论、推广等）
E知识链接。
级数的概念及其性质
级数的概念及其性质我们在中学里已经遇到过级数——等差数列与等比数列，它们都属于项数为有限的特殊情形。
下面我们来学习项数为无限的级数，称为无穷级数。
无穷级数的概念设已给数列a1,a2,…,a n,…把数列中各项依次用加号连接起来的式子a1+a2+…+a n+…称为无穷级数，简称级数.记作：或，即：=a1+a2+…+a n+…，数列的各项a1,a2,…称为级数的项，a n称为级数的通项.取级数最前的一项，两项，…，n项，…相加，得一数列S1=a1，S2=a1+a2，…，S n=a1+a2+…+a n，…这个数列的通项S n=a1+a2+…+a n称为级数的前n项的部分和，该数列称为级数的部分和数列。
如果级数的部分和数列收敛：，那末就称该级数收敛，极限值S称为级数的和。
例题：证明级数：的和是1.证明：当n→∞时，Sn→1.所以级数的和是1.级数的性质1.级数收敛的必要条件：收敛的级数的通项a n当n→∞时趋于零，即：注意：此条件只是级数收敛的必要条件，而不是充分条件。
例如：级数虽然在n→∞时，通项，级数却是发散的。
此级数为调和级数，在此我们不加以证明。
2.如果级数收敛而它的和是S，那末每一项乘上常数c后所得到的级数，也是收敛的，而且它的和是cS.如果发散，那末当c≠0时也发散。
3.两个收敛的级数可以逐项相加或相减。
4.在任何收敛的级数中，不改变连在一起的有限项的次序而插入括号，所得的新级数仍收敛，其和不变。
注意：无限项的所谓和是一种极限，与有限项的和在本质上是有区别的。
5.在一个级数的开头添入或去掉有限个项并不影响这个级数的收敛或发散。
正项级数的收敛问题对于一个级数，我们一般会提出这样两个问题：它是不是收敛的？它的和是多少？显然第一个问题是更重要的，因为如果级数是发散的，那末第二个问题就不存在了。
下面我们来学习如何确定级数的收敛和发散问题。
我们先来考虑正项级数(即每一项a n≥0的级数）的收敛问题。
判定正项级数敛散性的基本定理定理：正项级数收敛的充分与必要条件是部分和S n上有界.如果S n上无界，级数发散于正无穷大。
交错级数敛散性判别法
00
:例7判断级数勺敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛?
解lim un+l
n—8 un
=lim
MT8
xn+1 n n+1 xn
=|x|
|X| < 1时，级数〉绝对收敛;
ixi > 1时，级数2 :发散；
V^00 vn X =1时，级数〉，发散；
V^00 vn
=T时，级数）土条件收敛.
X
^n=l n
定理若交错级数2：二(一1)”—侦如，un > 0, (n = L 2,…)满足
(1)"孔 2 Un+dO = 1, 2,…)；
(2) limun = 0.
71—00
贝U级数U攵敛， 旦其禾口s三 , 其余项I—兀| < 以兀+■•
证明取交错交错级数前2m项之和
Szm = “1 — “2 + “3 — “4 +----!" u2m-l _ u2m —("1 一 “2)+(“3 一 “4)----!■ (u2m-l 一 u2m)
(2)当I > 1 (或I = oo)时，级数竺u兀发散;
(3)当I =丄时，级数、言旨“兀的敛散性不能判别.
♦ 例5判断级数2：］苧*］敛散性.
P > 1时，级数5 绝对收敛； »n=l n
00 ( 一 1
0<p< 1时，级数〉 条件收敛; 厶」71 = 1 n
P < 0时，级数发散
（_1）"一12
moo lUTOO
综上所述，UmSn = S,级数收敛，且S V ”1. n—>oo
余项|R兀 I = Un + 1 — (Un+2 — U兀+3)—…< Un+r.
8-1 数项级数(3)交错级数
发散
1.交错级数 定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)
n 1
n1
un
or
n ( 1) un n 1
(其中un 0)
注意：此时通项是 ( 1)n1 un 或 ( 1)n un ，而非 un . 莱布尼兹(Leibniz)定理:
n1 n 若交错级数 (1) un (1) un 满足： n1 n1 (1) un 即 un 1 un ; (2) lim un 0
n n
lim S n S
n
n n1
(1)n1 un
n1
收敛到S ，且 S u1
从而 (1) un (1)n1 un S u1 | S | u1
n1
注意 (1)满足 Leibniz定理条件的交错级数称为Leibniz 型级数. 当然Leibniz型级数总是收敛的. (2)Leibniz型级数
【解】
n n
un
1 1 0 1 n (ln n) ln n
由根值判别法知级数收敛. 注意 若指数n是一个确定的常数，则不管其有多大， 级数总是发散的.
1 (d ) 例 n = 100， 100 n 2 (ln n)
【例2】判别下列级数的敛散性.
(1) ( 2
n 3
级数发散 比(根)值判别法的优点: 不必找参考级数.
注意 (1)当 1时比(根)值判别法失效 当通项是n的幂的有理式时，两种判别法都失效，此时 可采用比较法，与p -级数作比较. (2)条件仅是充分条件，而非必要条件 n n 2 ( 1) 例 3 2 ( 1) (c) vn un un n n
第三讲交错级数与任意项级数
1 1 ( 2) ∑ sin ln n n
∞ n=2
5. Stirling（斯特林）公式的极限形式及其应用
lim
n →∞
n! n e
n
=1
2nπ
n
n n!~ e
2nπ
e 例9. 判别级数 ∑ n! 敛散性 n
∞ n =1
n
解:
e e n u = n! ~ 2nπ n n e
注意到 1：用比较法得事先取定一个合适的已知敛 散性的级数；
2 2：一个级数的敛散性应与其本身项有关。 常用比值法 根值法 比值法与根值法 比值法 根值法判断 u → 0 速度。
n
3. 达朗贝尔比值法与柯西根值法 定理4 定理 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) un+1 设 为正项级数, 且 lim = ρ, 则 n→∞ un (1) 当 ρ <1 时, 级数收敛 ; (2) 当ρ >1 或 ρ = ∞ 时, 级数发散 . (3) 当 ρ =1 时, 级数可能收敛也可能发散 。
用几何级数作尺子不行，还可选用p级数作尺 子。。。
(2) 此法适用于通项中含以ｎ为指数幂因子． 当通项中既有 用比值法。 (3) 常用 lim un n →∞
n
n!
又有以n为指数幂因子，
n
(1) M > 0, lim M = 1
n →∞
(2) α ∈ R, lim nα = 1
n n →∞
(4) 能用比值法判别，则一定能用根值法，反之 不然．
u lim = r ⇒lim n = r u
n+1 n n→ ∞ n→∞ n
例4. 判别下列级数敛散性
一,交错级数及其审敛法
rn un1 un 2 ,
满足收敛的两个条件,
rn un1 .
定理证毕.
例 1 判别收敛性：
( 1) (1) p n n 1
n 1
( p 0);
显然单调趋于0，
解
1 (1) un p n
收 敛.
( 1) n n 例 2 判别级数 的收敛性. n1 n 2
又 un ( 2v n un ),
n 1 n 1
un 收敛.
n 1
n 1
该定理的作用：
任意项级数
例3
正项级数
sin n 判别级数 的收敛性. 2 n 1 n
sin n 1 1 2 2 , 而 2 收敛, n1 n n n
解
sin n 2 收敛, n n1
解
x (1 x ) 0 ( x 2) ( ) 2 x 1 2 x ( x 1)
x 故函数 单调递减, un un1 , x 1 n 0. 又 lim un lim 原级数收敛. n n n 1
二、绝对收敛与条件收敛
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
定理（柯西定理）：
若
un绝对收敛于A, vn绝对收敛于B,
则它们的乘积按任意顺序所得的级数也绝对 收敛于AB. 例
rn 1 r r2 r3 rn
n 0
1 当 | r | 1, 级数绝对收敛于 , 1 r
rn rn 考察：
n 0 n 0
可得 p q n n
vn pn qn pn qn un s.
第十二章数项级数
第十二章 数 项 级 数一、主要内容与教学要求主要内容数项级数极其收敛与和的定义，柯西收敛准则，收敛级数的基本性质。
正顶级数收敛性的一般判别原则（比较原则），比式判别法与根式判别法，积分判别法。
拉贝判别法*。
交错级数，莱布尼兹判别法，绝对收敛级数与性质，条件收敛，阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。
教学要求1 深刻理解数项级数收敛、发散和的概念，以及收敛级数的基本性质。
2 理解级数绝对收敛与条件收敛的概念，了解绝对收敛级数的性质。
3 熟练掌握正顶级数收敛性的比较原则，比式判别法与根式判别法，并记注几何级数与P 级数的收敛性。
4 掌握交错级数的莱布尼兹判别法，会用其它判别法。
5 会应用级数收敛定义、收敛级数的性质及判别法证明级数中的有关问题。
教学重点：1 数项级数及其收敛与和的定义，柯西收敛准则，收敛级数的基本性质。
2 正项级数收敛性的比较原则，比式判别法与根式判别法。
3 绝对收敛与条件收敛的概念及其相互联系。
4 交错级数的莱布尼兹判别法，一般项级数的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法教学难点：1 收敛级数和绝对收敛级数级数的性质及其证明方法。
2 一般项级数的判敛法。
二、本章教材处理建议1. 通过讨论“无限多个数相加”引入数项级数1nn u∞=∑及其“和”的概念，从有限和出发，借助于数列极限的工具给出无限和的定义是很自然的。
通过级数与数列之间的联系使学生明确研究级数及其和数只不过是研究数列及其极限的一种新形式。
2. 尽管形式上无穷级数是无限和向无限和的推广，但两者有实质性的差别。
加法运算中的运算律（如，交换律、结合律、分配律）和性质都不能照搬到无穷级数中来，在学习收敛级数的性质时一定要注意这种对比。
3. 正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界，这是正项级数敛散性判别法的理论基础。
在此基础上得到一些敛散性判别法：比较判别法、比式判别法、根式判别法，每种判别法都有两种形式：不等式形式与极限形式。
要求学生记住几何级数和p-级数的敛散性。
交错级数的敛散性
阅读教材：P134~136 习题： P138 1、（1）~（6） 预习教材：P136~138
中青年教师教学基本功竞赛
第二节 交错级数及其审敛法 主讲：
分析：只需证级数部分和 Sn 当 n 时极限存在.
S2n
S2n1 u1 u2 u3 u4 u2n1 u2n u2n1
S2n u2n1
故前2n 项部分和数列 S2n 单调增加
又SS2n2nuu11 u(u22uu33 )u4 (u2n2u2nu12n1 u) 2nu2n u1
故前2n 项部分和数列 S2n 有上界
lim
n
S2n
S
u1 .
(1) un un1 0
(2)
lim
n
un
0
则交错级数 (1)n1un 收敛 n1
中青年教师教学基本功竞赛
第二节 交错级数及其审敛法 主讲：
例1、判别下列级数的敛散性:
un
1 1 1 1 (1)n1 1
234
n
解
1 这是一个交错级数： un n
故收敛！
11 又 un n n 1 un1
1
lim
n
un
lim
n
n
0
(1) un un1 0
(2)
lim
n
un
中青年教师教学基本功竞赛
第二节 交错级数及其审敛法 主讲：
例、判别下列级数的敛散性: 241 1 1 1 1 1 23456
不满足
，但收敛！
返回
(1) un un1 0
(2)
lim
n
un
0
则交错级数 (1)n1un收敛 n1
中青年教师教第二节 交错级数及其审敛法 主讲：
交错级数及其审敛法
敛还是条件收敛?
1、 (1)n1
n；
n1
3 n1
2、 1 1 1 1 ； ln 2 ln 3 ln 4 ln 5
3、
(1)n .
n2 n ln n
七、若
lim
n
n
2
un
存在,证明:级数
un 收敛 .
n1
b3n
八、证明:
lim
n
n!
a
n
0.
练习题答案
一、1、 p 1, p 1；
2、 1, 1(或 lim un1 ), 1.
判定级数 1n1
n1
nn1
n 1
的收敛性. !
解
令un
1 n1
nn1
n 1!
,
un1 un
n 1n2 n 1! n 2!nn1
n n
1
n
n 12 nn 2
e 1,(n )
n1
1 n1
nn1
n 1
!
发散，原级数非绝对收敛.
由于lim un1 e 1,
u n n
1
的收敛性，
n1
n
若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?
解 因原级数是交错级数,利用莱布尼兹定理
由于
(1)
un
1
n
1 n1
un1 ,
(n
1, 2,
);
(2) lim 1 0.
n n
由莱布尼兹判别法,
1n1
1
收敛,
n1
n
1 n1
1
=
1 发散,
n1
n n1 n
1n1
1
是条件收敛.
n1
级数
x
3
x
5
x
7
( 1)
n
x
2 n 1
3! x
2
5! x
4
7! x
6
( 2 n 1) ! x
2n
x ( , )
cos x 1
( 1)
n
2!
4!
6!
(1 x )
m
1 m x
m ( m 1) 2!
(2n)! x ( , )
时, 原级数发散.
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因此级数的收敛半径 R
1
.
2) 若 0 , 则根据比值审敛法可知, 对任意 x 原级数 绝对收敛 , 因此 R ; 3) 若 , 则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,
因此 R 0 .
说明:据此定理 的收敛半径为 R lim
e
x
1 x
1 2!
x
2
1 n!
x ,
n
x ( , )
ln (1 x ) x
1 2
x
2
1 3
x
3
1 4
x
4
( 1)
n
n 1 x (1, 1]
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x
n 1
结束
sin x x
设 u n ( x ) ( n 1 , 2 , ) 为定义在区间 I 上的函数, 称
为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 若常数项级数 收敛, 称 x 0 为其收
p级数与交错p级数的和
s2
1 2
s2
1 2
s2
2
12
四川大学数学学院 徐小湛
30 May 2012
Maple check
p-级数与交错 p-级数的和 4
p:=2: f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p: Sum(f(n),n=1..infinity)=sum(f(n),n=1..infinity); ((2^(p-1)-1)/2^(p-1))*%; Sum(g(n),n=1..infinity)=sum(g(n),n=1..infinity);
0.7741...
Maple check:
p:=11/7: f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p: Sum(f(n),n=1..infinity)=evalf(sum(f(n),n=1..infinity)); evalf(((2^(p-1)-1)/2^(p-1)))*%; Sum(g(n),n=1..infinity)=evalf(sum(g(n),n=1..infinity));
四川大学数学学院 徐小湛
30 May 2012
例2 p4
p-级数与交错 p-级数的和 11
已知
s4
1
1 24
1 34
1 44
...
1 n4
4
... 90
则
4
1
1 24
1 34
1 44
...
(1)n1
1 n4
...
241 241
1
s4
四川大学数学学院 徐小湛
交错p级数例题
交错p级数例题
seigema（-1）^(n-1)×1/n^p
n趋近无穷
为什么这个级数绝对收敛时p>1,而条件收敛时0<p<=1,收敛时p>0,发散时<=0呢？
p<0时，lim 1/n^p=lim n^(-p)=∞，一般项极限不是0，发散；
p=0时，lim 1/n^p=1，一般项极限不是0，发散；
0<p<=1时，用莱布尼兹判别法知级数收敛，加绝对值后，变为Σ(1/n^p)，
由于1/n^p≥1/n，且Σ(1/n)发散，由比较判别法，知级数发散；
p>1时，级数加绝对值后为：Σ(1/n^p)，该级数收敛，因此原级数绝对收敛。
p>1时的收敛性证明书上有，这个不需要掌握，但结论要记住。
p级数的敛散性如下：
当p>1时，p级数收敛；当1≥p>0时，p级数发散。
形如1+1/2^p+1/3^p+…+1/n^p+…（p>0）的级数称为p 级数。
当p=1时，得到著名的调和级数：1+1/2+1/3+…+1/n+…。
p 级数是重要的正项级数，它是用来判断其它正项级数敛散性的重要级数。
交错p级数：形如1-1/2^p+1/3^p-1/4^p+…
+(-1)^(n-1)*1/n^p+…（p>0）的级数称为交错p级数。
交错p级数是重要的交错级数。
交错p级数的敛散性如下：当p>1时，交错p级数绝对收敛；当1≥p>0时，交错p级数条件收敛。
例如：交错调和级数1-1/2+1/3-1/4+…+(-1)^(n-1)*1/n+…条件收敛，其和为ln2。
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四川大学数学学院 徐小湛
30 May 2012
先看一个简单的例子
p-级数与交错 p-级数的和 3
已知 p-级数（p 2）:
111
1
2
s2 1 22 32 42 ... n2 ... 6
求相应的交错 p - 级数
1
1 22
1 32
1 42
...
(1)n1
1 n2
...
的和 2
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30 May 2012
解
2
1
1 22
1 32
1 42
... (1)n1
1p-级数与交错 p-级数的和 4 ...
n2
1
1 22
1 32
1 42
1 52
1 62
...
(
2 22
2 42
2 62
...
)
1 11 s2 2 22 (1 22 32 ...)
s2
1 2
s2
1 2
s2
2
12
四川大学数学学院 徐小湛
1
s2
12
26
2
12
Maple check:
p:=2: f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p: Sum(f(n),n=1..infinity)=sum(f(n),n=1..infinity); ((2^(p-1)-1)/2^(p-1))*%; Sum(g(n),n=1..infinity)=sum(g(n),n=1..infinity);
的和为：
(1)n1
n1
1 np
2 p1 1 2 p1
n1
1 np
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p-级数与交错 p-级数的和 10
注1
当 p>1 是偶数时，p-级数的和有精确表达 式 （设 p=2m 是偶数）：
n1
1 n2m
(1)m1
B2m (2 )2m
2(2m)!
其中B2m是伯努利数（见：Bernoulli number）2 (Βιβλιοθήκη p2 4p2 6p
...)
sp
2 2p
(1
1 2p
1 3p
...)
sp
1 2 p1
sp
2 p1 1 2 p1 sp
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30 May 2012
p-级数与交错 p-级数的和 9
命题
已知
p-级数
n1
1 np
的和
( p 1)，
则交错
p-级数
n1
(1)n1
1 np
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30 May 2012
例2 p4
p-级数与交错 p-级数的和 12
已知
s4
1
1 24
1 34
1 44
...
1 n4
4
... 90
则
4
1
1 24
1 34
1 44
...
(1)n1
1 n4
...
241 241
1
s4
7 8
4
90
7
720
4
Maple check:
p:=4: f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p: Sum(f(n),n=1..infinity)=sum(f(n),n=1..infinity); ((2^(p-1)-1)/2^(p-1))*%; Sum(g(n),n=1..infinity)=sum(g(n),n=1..infinity);
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p-级数与交错 p-级数的和 13
例3 p8
已知
1 n8
n1
8
9450
则
(1)n1
n1
1 n8
281 1 281
n1
1 n8
127 128
8
9450
127 8
1209600
Maple check:
p:=8: f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p: Sum(f(n),n=1..infinity)=sum(f(n),n=1..infinity); ((2^(p-1)-1)/2^(p-1))*%; Sum(g(n),n=1..infinity)=sum(g(n),n=1..infinity);
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30 May 2012
p-级数与交错 p-级数的和 14
注2 当 p>1 不是偶数时，p-级数的和没有 精确表达式，只能用zeta函数表示为
ζ(p) 或用近似值表示。
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30 May 2012
例4 p3
已知
n1
1 n3
(3)
则
(1)n1
n1
1 n3
以下我们给出一般的结论
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30 May 2012
p-级数与交错 p-级数的和 8
设
1
1 2p
1 3p
1 4p
...
1 np
...
sp
( p 1)
则
p
1
1 2p
1 3p
1 4p
...
(1)n1
1 np
...
111
1
1 2p 3p 4p ... n p ...
30 May 2012
Maple check
p-级数与交错 p-级数的和 5
p:=2: f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p: Sum(f(n),n=1..infinity)=sum(f(n),n=1..infinity); ((2^(p-1)-1)/2^(p-1))*%; Sum(g(n),n=1..infinity)=sum(g(n),n=1..infinity);
231 1 231
n1
1 n3
3
4
(3)
Maple check （ zeta函数形式）:
p:=3: f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p: Sum(f(n),n=1..infinity)=sum(f(n),n=1..infinity); ((2^(p-1)-1)/2^(p-1))*%; Sum(g(n),n=1..infinity)=sum(g(n),n=1..infinity);
见维基百科：Riemann zeta function
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例1 p 2
p-级数与交错 p-级数的和 11
已知
s2
1
1 22
1 32
1 42
...
1 n2
2
... 6
则
2
1
1 22
1 32
1 42
...
(1)n1
1 n2
...
221 221
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30 May 2012
用同样的方法可以解一下问题：
p-级数与交错 p-级数的和 6
已知 :
s4
1
1 24
1 34
1 44
...
1 n4
...
4
90
求:2
1
1 24
1 34
1 44
...
(1)n1
1 n4
...
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30 May 2012
p-级数与交错 p-级数的和 7
p-级数与交错 p-级数的和 1
p-级数与交错 p-级数的和
蜀四南川竹大海学数20学12学.5.院1 徐小湛
30 May 2012
p-级数与交错 p-级数的和 2
提要
当 p>1时 p-级数收敛，相应的交错 p-级数绝 对收敛。
那么它们的和之间有什么关系？ 能否由 p-级数的和推导出相应的交错 p-级数 的和？ 本课件给出相应的结果，并举例说明。 所有例子都用数学软件Maple给予了验证。