5 数项级数
第十二-十五章 级数
n 1
n
§9.2 函数级数
u ( ) u ( ) u ( )
i 1 n 1 2
un ( )
(2)
收敛,则函数级数(1)的收敛点; 若级数(2)发散, 则级数(1)的发散点.
定理1 (柯西一致收敛准则) 函数级数 在区间 I 一致收敛 0, N N 有 n N , p N , x I , un 1 ( x) un 2 ( x) un p ( x)
n 1 n n 1 n
定理8 （达朗贝尔判别法）设有正项级数
u
n 1
n
(un 0)
（1）若N N , n N ，
有
级数 un 收敛； n 1 un 1 （2）若N N , n N，有 u 1 ，则级数 u n 发散. n u l lim 推论 设有正项级数 un，且 n n
u ( x)
n 1 n
n 2 n aq a aq aq aq ( a 0) n 0
的收敛性.
如果q 1时
sn a aq aq 2 aq n1
a aq a aqn , 1 q 1 q 1 q
n
当q 1时, lim q n 0
2) sin nx , p 是参数,且 p 0, 0 x . n
n 1 p
五、绝对收敛级数的性质
定理13 若级数绝对收敛,其和为S ,则任 意交换级数的项,得到的新级的也绝对收敛, 其和也是S . 定理 14 若级数都绝对收敛,其和分别是A
与B,则它们的乘积级绝对收敛,其和AB .
u1 u2 u3 u4 u2k 1 u2k ,(un 0)
13第十三章 级数
数 1） 的 n项 之 记 级 （ ） 前 项 和 为Sn ， 即
Sn = u1 + u2 +L+ un +L．
称Sn 为 数 1） 前 n 项 分 ． n 依 取 ， ， ， 级 （） 的 部 和． 和 当 次 1， 3， 2， … ， 得 一 新 数 时 就 到 个 的 列
S1 = u1, S2 = u1 + u2 , L, Sn = u1 + u2 +L+ un , L，
a − aqn a aq − = ， 1− q 1− q 1− q
n
0， 当 q <1时， lim qn = 0，从而 lim Sn =
n→∞ n→∞
a 所以级数（ ） ，所以级数（2） 1− q
a 收敛，其和为 收敛， ； 1− q
没有极限，所以级数（ ） 当 q >1时，lim qn = ∞，从而 lim S 没有极限，所以级数（2）
u1, u2 , L, un , L，
则式子
u + u + L+ u + L
1 2 n
称为常数项无穷级数，简称数项级数或级数. 称为常数项无穷级数，简称数项级数或级数. 记为 ∑un ，即
∞
∑u =
n=1 n
∞
n=1
u1 + u2 + L+ un +L，
（1）
称为级数的一般项或通项. 其中un 称为级数的一般项或通项.
第13章 13章
13.1 13.2
级数
数项级数及其敛散性 幂级数
13.1
13.1.1 13.1.2 13.1.3 13.1.4 13.1.5
小结无穷级数
∑a
n =1
n
收敛 .
数项级数的审敛法
一.正项级数及其审敛法 正项级数及其审敛法 每一项都非负 定理1(基本定理 正项级数 定理 基本定理)正项级数 基本定理 其部分和数列有界 定理2(比较审敛法 定理 比较审敛法) 比较审敛法 设
∞
∑u
件是
∞
∑u
n =1 ∞ n =1
1 1 1 例: p-级数的敛散性 1 + p + p + ⋅ ⋅ ⋅ + p + ⋅ ⋅ ⋅ 级数的敛散性 2 3 n
解
级数显然发散. 级数显然发散 p ≤ 0 时,级数显然发散 ∞ 1 1 1 0 < p ≤ 1 时, 因为 p ≥ , 而 ∑ 发散 则 p-级数发散 发散,则 级数发散 n n n =1 n p > 1 时,
定理3(比较审敛法极限形式 定理 比较审敛法极限形式) 比较审敛法极限形式
un 都是正项级数, 设 ∑ u n 和 ∑ v n 都是正项级数 如果 lim v = l (0 < l < +∞) n→∞ n =1 n =1 n ∞ ∞
则
∞
∞
∑u
n =1 ∞
n
和
∑v
n =1
n
同时收敛或同时发散. 同时收敛或同时发散
性质5.(级数收敛必要条件 性质 级数收敛必要条件) 级数收敛必要条件 收敛,则 n→∞ 若级数 ∑ u n 收敛 则 lim un = 0
n =1 ∞ n =1 ∞
判断级数发散 的第一步骤
注意:(1). 若 lim un ≠ 0 ,则级数 ∑ u n 发散 注意 则级数 n →∞ (2). lim un = 0 时,级数 ∑ u n 不一定收敛 级数 n →∞
级数最全版
第十二章 级数第一节 数项级数及其敛散性思考题：1. 级数收敛的必要条件所起的作用是什么？答：级数收敛的必要条件可用来判别一些级数的发散性，缩小了收敛级数的范围. 2. 判定一个级数是否收敛，有哪几种方法？ 答：有下列主要方法：（1）利用收敛定义，即考查n n s ∞→lim 是否存在.（2）若为正项级数，则可利用比较判别法或比值判别法. （3）若为非正项级数，考查是否绝对收敛. （4）若为交错级数，用莱布尼茨判别法来判断.习作题：1. 判别下列数项级数是否收敛：（1）∑∞=-+1)1(n n n , （2）∑∞=131n n, （3）∑∞=1!n n nn , （4）)1(1)1(11+-∑∞=-n n n n .解：（1） nn n n ++=-+111121+>n ,而级数∑∞=+111n n 发散, ∴级数∑∞=-+1)1(n n n 发散. （2）∑∞=131n n 是公比31=q 的等比级数，而1<q ， ∴∑∞=131n n 收敛.（3） nn n a a 1lim +∞→ = nn n n n n n !)1()!1(lim 1+∞→++=n n n n )1(lim +∞→=1e 1<-, ∴原级数收敛.（4） ∑∞=-+-11)1(1)1(n n n n=∑∞=+1)1(1n n n ,而级数∑∞=+1)1(1n n n 收敛，故原级数绝对收敛.2. 证明级数 ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++2222sin 33sin 22sin 1sin nn θθθθ对任何θ都收敛. 证明：221s i n n n n ≤θ, 而级数 ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++23221312111n =∑∞=121n n收敛,故因比较判别法知, 原级数对任何θ都绝对收敛.3. 将循环小数83.0 化为分数. 解： 83.0 = +⨯+⨯+⨯+---38.01038.01038.01038.0642=∑∞=⋅1210138n n=∑∞==1299381038n n.4. 判定级数∑∞=142cos n n n α的敛散性. 解：因为级数42cos n n α≤41n , 而级数∑∞=141n n 收敛，故级数∑∞=142cos n n n α绝对收敛.第二节 幂级数思考题：1. 在收敛区间内幂级数有哪些性质？答：幂级数的代数性质有：加法运算性质和乘法运算性质. 幂级数的分析性质有：连续性. 可导性. 可积性，即在收敛区间内：（1）连续，（2）可导，且可逐项求导，（3）可积且可逐项积分.2. 如何将一个函数展开成幂级数？间接展开法有哪些优点？ 答：函数的幂级数展开可利用直接展开法和间接展开法.间接展开法与直接展开法比较有以下优点： （1）避免直接展开法中求系数n a 时)(0)(x fn 的复杂运算，而由基本展开式可直接求出n a ,（2）根据幂级数运算保持收敛性不变的性质，由基本展开式可直接求出展开式的收敛区间，因此不必通过求收敛半径等讨论收敛性.3. 将函数展开成幂级数与将函数在0=x 处展开成泰勒级数两句话的含义一致吗？ 答：不一致.将函数展开成幂级数可以在任意0x x =处展开，而将函数在0=x 处展开成泰勒级数是指将函数在特定的点0=x 处展开成幂级数.4. 计算器上，对函数x ln 的求值算法能通过本节所述的知识实现吗？请详细讨论和实验.答：能.习作题：1. 求下列幂级数的收敛域：（1）∑∞=1!n nx n , （2）∑∞=1)!2(n nn x .解：（1）1lim+∞→=n n n a a R =)!1(!lim +∞→n n n =11lim +∞→n n =0,∴级数∑∞=1!n n x n 的收敛域为}0|{=x x .（2）1lim+∞→=n nn a a R =)]!1(2[1)!2(1lim +∞→n n n =1)22)(12(lim++∞→n n n=∞+,∴级数∑∞=1)!2(n nn x 的收敛域为),(+∞-∞. 2. 求幂级数∑∞=+-0)1()1(n n nx n 的和函数.解：设∑∞=+-=)1()1()(n n nx n x s ,两端关于x 求积分得：x x s x d )(0⎰=∑∞=+-01)1(n n n x =xx+1 )1,1(-∈x 两端求导得：2)1(1)(x x s +=, 即∑∞=-∈+=+-02)1,1(,)1(1)1()1(n n n x x x n . 3. 将xx f 1)(=展开成3-x 的幂级数，并求收敛域. 解：)3(31)(-+=x x f =)33(1131-+⋅x ,因为∑∞=+=-011)1(n n n xx )1,1(-∈x , 所以 ∑∞=-⋅-=-+⋅)33(31)1()33(1131n n n x x =∑∞=+--01)3()31()1(n n n n x , 其中1331<-<-x ， 即60<<x . 当0=x 时，级数为∑∞=031n 发散；当6=x 时，级数为∑∞=⋅-031)1(n n 发散,故 x 1=∑∞=+--01)3()31()1(n nn n x )6,0(∈x .4. 以函数xx f -=11)(的幂级数展开式为基础，分别求出下列函数的幂级数展开式，并写出收敛域.（1）x +11, （2）211x+, （3）)1ln(x +, （4）x arctan , （5）x cot cos .解：（1）x +11=)(11x --=∑∞=-∈-0)1,1(,)1(n nn x x .（2）211x + =∑∞=-02)(n n x =∑∞=-02)1(n nn x ,)1,1(-∈x .（3）)1ln(x +=⎰+xx x 0d 11=⎰∑∞=-x n n n x x 0d )1( =∑⎰∞=-0d )1(n x nnx x =∑∞=++-011)1(n n n x n , ]1,1(-∈x .(4) 211)(arctan x x +='=∑∞=-∈-02)1,1(,)1(n nn x x , 于是 x arctan =⎰∑∞=-x n nnx x 02d )1(=()∑∞=++-012121n n nx n , ]1,1[-∈x .(5) 211)cot arc (x x +-='=∑∞=+-∈-021)1,1(,)1(n nn x x , 于是 x cot arc =⎰∑∞=+-x n n n x x 0021d )1(=()∑∞=+++-0121121n n n x n ,]1,1[-∈x .第三节 傅里叶级数思考题：1. ()x f 是定义在[]b a ,上的函数, 且满足收敛定理的条件，如何将其展成以a b -为周期的傅里叶级数？答：可设)2()(a b x f x F ++=，则)(x F 在]2,2[ab a b ---上有定义，且满足收敛定理条件，故可展开为以a b -为周期的傅里叶级数.2. 函数)(x f 的傅里叶级数展开式是否惟一？设以2l 为周期的函数)(x f ，将其在],[l l -上展开和在[0，2l ]上展开的以2l 为周期的傅里叶级数是否相同？为什么？答：（1）)(x f 的傅里叶展开式并不惟一，因为不同的区间[]b a ,上的展开式的系数可能不同.（2）当)(x f 的周期为l 2时，注意定积分恒等或⎰⎰+=x x f x x f al ald )(d )(220，其中)(x f 的周期为2l ，a 为任意常数，则可知将)(x f 在],[l l -展开和在[]l 2,0上展开的傅里叶级数相同.习作题：1. 将周期为1的函数21)(x x f -=)2121(≤≤-x 展成傅里叶级数.解：令π2tx =，则得()t F 在[]π,π-上的表达式为 22π41)(t t F -=， 611d π41π1d )(π122ππππ0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰--t t t t F a ， ()t nt t F a n d cos π1ππ⎰-==t nt t d cos π41π122ππ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎰- =t nt t d cos π212π03⎰-=t nt t n d sin 2π21π03⎰=()()()212π1πcos π1n n n n +-=-， ()t nt t F n b n d sin 1ππ⎰-==t nt t d sin π41π122ππ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎰-=0 ()x f ∴的傅里叶展开式为()()()x n n x x f n n πc o s 1121111212⋅-+=-=∑∞=+π )2121(≤≤-x 2. 把x x f -=1)(()10≤≤x 展开成正弦级数和余弦级数. 解: (1)先将)(x f 延拓为奇函数⎩⎨⎧<≤---≤<-=,01,1,10,1)(1x x x x x f 再作变换t x π1=, 得⎪⎩⎪⎨⎧<≤---≤<-=,0π,π1,π0,π1)(1x tt t t F 由 t nt t F b n d sin )(π11ππ⎰-==t nt t d sin )π1(π2π0-⎰=π2)1(1n n ⋅-+，得 )(1t F =∑∞=+⋅-11sin π2)1(n n nt n , ππ≤≤-t 且0≠t . 令 x t π=, 得)(x f 的正弦级数展开式为⎪⎩⎪⎨⎧=≤<-=-∑∞=+.0,1,10,πsin )1(π2111x x x n n x n n(2) 先将)(x f 延拓为偶函数⎩⎨⎧<≤-+≤≤-=,01,1,10,1)(2x x x x x f 再作变换t x π1=, 得⎪⎩⎪⎨⎧<≤-+≤≤-=,0π,π1π,0,π1)(2x tt t t F 由 1d )π1(π2d )(π1π02ππ0=-==⎰⎰-t tt t F a ,t nt t F a n d cos )(π11ππ⎰-==t nt t d cos )π1(π2π0-⎰ =⎪⎩⎪⎨⎧,,0,,π422为偶数时为奇数时n n n得 )(2t F =)55cos 33cos (cos π421222 ++++tt t , ππ≤≤-t , 令 x t π=, 得)(x f 的余弦级数展开式为∑∞=++=-122πcos )12(1π4211n x n n x , 10≤≤x .。
关于数项级数敛散性的判定
关于数项级数敛散性的判定摘要：就数项级数敛散性的判定进行了深入细致的分析、探究与总结，重点论述了正项级数及一般项级数的敛散性判别方法，提出了数项级数敛散性判定的一般步骤，以及判定过程中需要注意的一些问题。
使得对数项级数敛散性的知识有了更深的认识，提高了解题能力。
关键词：数项级数；正项级数；交错级数；一般项级数；敛散性 引言：无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，是研究“ 无穷项相加” 的理论 ，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。
如今，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的有力工具，而应用的前提是级数收敛，所以其收敛性的判别就显得十分重要，判断级数敛散的理论和方法很多，本文的根本目的是对数项级数敛散性的判定进行深入的研究与总结。
1.预备知识： 1.1级数的定义及性质定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式......21++++n u u u称为数项级数。
其中n u 称为该数项级数的通项。
数项级数的前n 项之和记为：∑=+++==nk n k n u u u u S 121...。
称为数项级数第n 个部分和。
定义2：若数项级数的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞→lim ），则称数项级数收敛。
若{}n S 是发散数列，则称数项级数发散。
即：n n S ∞→lim 不存在或为∞。
性质：（1）级数收敛的柯西准则：级数收敛的充要条件：0>∀ε，0>∃N ,使得当N m >以及对任意正整数P ，都有 ε<++++++p m m m u u u (21)推论：级数收敛的必要条件：若级数收敛，则0lim =∞→n n u 。
（2）设有两收敛级数n u s ∑=，n v ∑=σ，则其和与差)(n n v u ±∑也收敛，并且σ±=±∑s v un n)(。
数项级数的定义
数项级数的定义一、数项级数的概念数项级数是指由一系列数项按照一定规律相加而得到的一种数列。
数项级数一般表示为 S =a 1+a 2+a 3+...+a n +...，其中 a n 是数项。
二、数项级数的和数项级数的和指的是将数项按照一定次序相加的结果。
如果数项级数的和存在有限值，我们称该数项级数是收敛的，收敛的和就是该级数的和；如果数项级数的和不存在有限值，我们称该数项级数是发散的。
三、数项级数的收敛条件数项级数的收敛与数项的值有关，有以下几种常见的收敛条件：1. 绝对收敛如果数项级数的各个数项 a n （n ≥1）的绝对值组成的级数 ∑|a n |∞n=1 收敛，则称原数项级数 ∑a n ∞n=1 是绝对收敛的。
2. 条件收敛如果数项级数 ∑a n ∞n=1 收敛，但 ∑|a n |∞n=1 发散，则称原数项级数是条件收敛的。
3. 收敛性与发散性对于一般的数项级数，没有绝对收敛或条件收敛的情况，称该数项级数是发散的。
四、数项级数的性质数项级数具有以下一些基本的性质：若级数 ∑a n ∞n=1 和 ∑b n ∞n=1 都收敛，则级数 ∑(a n +b n )∞n=1 也收敛，并且有∑(a n +b n )∞n=1=∑a n ∞n=1+∑b n ∞n=1。
2. 常数倍数性若级数 ∑a n ∞n=1 收敛，则级数 ∑(ka n )∞n=1 也收敛，并且有 ∑(ka n )∞n=1=k ∑a n ∞n=1（k 为常数）。
3. 递推式若级数 ∑a n ∞n=1 的部分和数列 {S n } 满足递推式 S n =S n−1+a n （n ≥2）并且lim n→∞S n 存在，则级数 ∑a n ∞n=1 收敛且 lim n→∞S n =∑a n ∞n=1。
4. 比较性若级数 ∑a n ∞n=1 和 ∑b n ∞n=1 满足 |a n |≤|b n |（n ≥1），且 ∑b n ∞n=1 收敛，则∑a n ∞n=1 绝对收敛。
级数
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再由 f ( 1 ) = 0 ，得 2
∑∞ (−1)n = π − f (1) = π .
n=0 2n + 1 4
24
例 10.(06-1)
(17)
将函数f
(x)
=
2
+
x x−
x2
展开成
x
的幂极数
解: f (x) =
x
= A+B
(2 − x)(1+ x) 2 − x 1+ x
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例 8.(01-1)
例 9.(03-1)四 、（本题满分 12 分）
∑ 将函数 f (x) = arctan 1 − 2x 展开成 x 的幂级数，并求级数 ∞ (−1)n 的和.
1+ 2x
n=0 2n + 1
∑ 【详解】
因为
f ′(x) = − 2 1+ 4x2
= −2 ∞ (−1)n 4n x 2n , x ∈ (− 1 , 1 ).
有 a2n
=
0, a2n+1
=
1. n!
故
∑ ∑ ∑ ∑ ∞
y(x)= an xn
n=0
=
∞
a2n+ x2n+1
n=0
=
∞ n=0
1 x2n+1 = x ∞
n!
n=0
1 (x2)n n!
=
xex2 .
例 13. 三 傅里叶级数
例 1.（99-1）二
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∞
∑ 例 2.（03-1）一（3） 设 x 2 = an cos nx(−π ≤ x ≤ π ) ，则 a2 =
数学分析之数项级数
推 论 如 果 加 括 弧 后 所 成 的 级 数 发 散 ,则 原 来 级 数 也 发 散 .
性质4 （级数收敛的必要条件）
当 n无限,它 增的 大u 一 时 n趋般 于 ,即 项 零
级数收敛 ln im un 0.
证 s un 则 u nsn sn 1, n1 ln i u m nln i s m nln i s m n 1 ss0.
当q1时, ln i m qnln i m sn
如果q 1时
收敛 发散
当q1时, snn a 级数发散 当q1时,级a 数 a a a 变 为
ln im sn不存在 级数发散
综上 aqn
当q 1 时,收敛;
n0
当q 1 时,发散.
例2 讨论数项级数
11 1
(* )
1223 n (n 1 )
1 1 1 . m mp m
因此, 对 任 意 0,可 取 N1, 当m>N及任意正
整数 p,由上式可得 u m 1u m 2 u m pm 1,
依 级 数 收 敛 的 柯 西 准 则 , 知 级 数 n 1 2收敛.
1
注 级数 n 1 n ( n 1 ) 的收敛性已由例2的证明过程所
( c u n d v n ) cu n dv n . 根据级数收敛的柯西准则, 级数 un 的收敛与否与
级数前面有限项的取值无关.从而可得到以下定理. 定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限项并不改变 级数的敛散性.
性质3 若级数 un收敛,则 un也收敛
n1
nk1
(k1).且其逆亦真.
Chapt 12 数项级数
级数是数学分析三大组成部分之一， 是逼近理论的基础，是研究函数、进行近 似计算的一种有用的工具. 级数理论的主要 内容是研究级数的收敛性以及级数的应用.
项级 数
上午9时42分29秒
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27
例如级数 (1)n1 1 是条件收敛的, 设其和为A,
n1
n
将级数的项重排为:
1 1 1 1 1 1 32574
下面说明重排后的级数收敛于: 3 A 2
即
1 1 1 1 1 1 3 A
32574
2
上午9时42分29秒
的收敛性.
解
因为
sinn 1 n2 n2 ,
而
n1
1 n2
收 敛,
所以级数 sinn
n2
n1
收敛，
故原级数绝对收敛．
上午9时42分29秒
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20
例4 级数
n 2
n1 n!
2!
n
n!
的各项绝对值所组成的级数是
n
2
n
.
n!
2!
n!
应用比式判别法
n1
提示：易见，当n充分大时，an 1 0, an1
an an1 0 an单调递减有下界0,
an A( n ),且an A 0.
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例6 级数的敛散性证明(大连理工04五10分）
A
0,否则由an an1 an1
c
0,而 （an
n1
an1）
n
1. 级数的重排
定义:把正整数列 { 1, 2, , n, } 到它自身的 一一映射 f : n k(n) 称为正整数列的重排,相应地对 于数列 { un } 按映射 F : un uk(n) 所得到的数列{ uk(n) } 称为原数列的重排,相应也称级数 ∑uk(n) 是级数 ∑un 的重排．
4第四讲无穷级数
练
求 x 4n1
n1 4n 1
的和函数.
4. 会运用ex，sinx，cosx，ln（1+x），1/（1-x）
n1 3n2 n
1) 比较判别法 (极限形式)
若两个正项级数
un和
n1
n1
vn
满足
lim
n
un vn
a
,
(i) 0 a 时, un 和 vn 都收敛或都发散;
n1
n1
(ii) a=0 时, 若 vn 收敛, 则 un 也收敛;
n1
n1
(iii) a 时, 若 vn 发散, 则 un 也发散.
为级数的第n部分和.
(1) 数项级数的概念
定义2 若级数第n部分和序列S1, S2, …, Sn, …的极
限存在,
即
lim
n
Sn
S,
则称级数
un
n1
收敛.
且S称为此级数的和. 记作 S un n1
若
lim
n
Sn
不存在,
则称此级数发散.
例 1 判别级数
n1
ln
n1
n
的收敛性.
1 n1
1 n1 n
的收敛性.
调和级数
1 n1 n
发散.
(2) 级数的基本性质
1) 若 un 和 vn 都收敛, 则对任意常数 k, l,
n1
n1
kun lvn 也收敛.
n1
2) 若 un 发散, 而 vn 收敛, 则对任意非零常数 k, l,
n1
n1
kun lvn 发散.
n1
3) 一个级数添加或去掉有限项, 不改变其收敛性.
常见收敛发散级数
常见收敛发散级数收敛和发散是数学中用来描述数列或数级数行为的术语。
在数学中，一些常见的收敛和发散级数包括：1.调和级数：调和级数是指形如1/n的级数。
即1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n + ...。
经过研究发现，这个级数是发散的，也就是说，级数的和是无穷大的。
2.等差级数：等差级数是指形如a + (a+d) + (a+2d) + (a+3d) + ... + (a+nd) + ...的级数。
其中a为首项，d为公差。
当公差d不为零时，等差级数是发散的。
只有当公差d等于零时，等差级数才是收敛的，此时级数的和等于首项a。
3.几何级数：几何级数是指形如a + ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^n + ...的级数。
其中a为首项，r为公比。
当公比r的绝对值小于1时，几何级数是收敛的，此时级数的和等于首项a除以(1-r)。
当公比r的绝对值大于或等于1时，几何级数是发散的。
4.幂级数：幂级数是指形如a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ... + anx^n + ...的级数。
其中a0, a1, a2, ...是一系列常数，而x是变量。
根据幂级数的收敛半径来判断，当x的取值在收敛半径内时，幂级数是收敛的；而当x的取值超过收敛半径时，幂级数是发散的。
5.正项级数：正项级数是指级数的每一项都是大于或等于零的。
对于正项级数，若存在一个数M，使得级数的部分和序列有界，则该级数是收敛的。
反之，如果级数的部分和序列无界，则该级数是发散的。
6.条件收敛级数：条件收敛级数是指某个级数的所有项之和是有限的，但是如果改变项的顺序，那么级数的和将发生改变。
著名的例子是贝尔数列（Riemann定理），这个级数的和在正向加法中是发散的，但是在某些特定方式的反向加法中是收敛的。
7.交错级数：交错级数是指级数的所有项交替正负。
交错级数的判断方式较为特殊，可以应用莱布尼茨判别法。
数项级数收敛的必要条件(一)
数项级数收敛的必要条件(一)数项级数收敛的必要条件1. 什么是数项级数？数项级数是由一系列数值按照一定顺序相加而得到的数学序列。
通常表示为：a 1+a 2+a 3+⋯2. 数项级数的和与收敛性数项级数的和表示为S =lim n→∞∑a k n k=1。
数项级数的收敛性表示当n 趋向于无穷大时，前n 项的和是否趋向于某个有限的值。
3. 部分和数列由数项级数的部分和构成的数列称为部分和数列。
部分和数列用S n 表示，表示前n 个数的和。
4. 数项级数收敛的必要条件要判断一个数项级数是否收敛，我们需要考虑以下两个必要条件： • 第一条必要条件：数项级数的部分和数列必须是有界的。
也就是S n 应该有一个有限的上界和下界。
• 第二条必要条件：数项级数的通项a n 必须趋近于零。
也就是lim n→∞a n =0。
5. 第一条必要条件的说明第一条必要条件的理解可以通过数项级数的几何意义进行解释。
假设我们在数轴上从原点出发，按照数项级数的部分和数列的值依次往右（正方向）移动，那么如果部分和数列是有界的，我们最终应该会停在某一位置。
这个位置就是数项级数的极限值。
如果部分和数列是无界的，我们将无限向右运动，无法确定一个极限值。
6. 第二条必要条件的说明第二条必要条件的理解可以通过考虑一个特殊的数项级数：∑1n ∞n=1，也称作调和级数。
这个级数的通项趋近于零，但是无限求和却得到一个无穷大的结果。
因此，如果一个数项级数的通项不趋近于零，那么其部分和数列也可能无法趋近于一个有限的值。
7. 总结对于一个数项级数而言，如果它的部分和数列无界或者其通项不趋近于零，那么该级数是发散的。
只有当部分和数列有界且通项趋近于零时，该级数才是收敛的。
注意：上述提到的必要条件是数项级数收敛的必要条件，但不是充分条件。
也就是说，满足这两个条件的数项级数未必收敛，还需要进一步进行其他判断。
8. 其他判断数项级数收敛的方法除了必要条件，还有一些其他的方法可以判断数项级数的收敛性，包括但不限于以下几种：•比较判别法：通过将待判断的级数与已知级数进行比较，来判断级数的收敛性。
级数
x
3
x
5
x
7
( 1)
n
x
2 n 1
3! x
2
5! x
4
7! x
6
( 2 n 1) ! x
2n
x ( , )
cos x 1
( 1)
n
2!
4!
6!
(1 x )
m
1 m x
m ( m 1) 2!
(2n)! x ( , )
时, 原级数发散.
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因此级数的收敛半径 R
1
.
2) 若 0 , 则根据比值审敛法可知, 对任意 x 原级数 绝对收敛 , 因此 R ; 3) 若 , 则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,
因此 R 0 .
说明:据此定理 的收敛半径为 R lim
e
x
1 x
1 2!
x
2
1 n!
x ,
n
x ( , )
ln (1 x ) x
1 2
x
2
1 3
x
3
1 4
x
4
( 1)
n
n 1 x (1, 1]
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x
n 1
结束
sin x x
设 u n ( x ) ( n 1 , 2 , ) 为定义在区间 I 上的函数, 称
为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 若常数项级数 收敛, 称 x 0 为其收
高数第9章函数项级数、幂级数
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数学分析
说明: 虽然函数序列 s n ( x ) x 在( 0, 1 )内处处
n
收敛于 s( x ) 0 , 但 sn ( x )在( 0, 1 )内各点处收 敛于零的“快慢”程度是不一致的．
从左图可以看出:
y
y sn ( x ) x n
n1
(1,1)
注意：对于任意正数r 1， 这级数在[0, r ] 上一致收敛． o
数学分析
第九章 函数项级数
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数学分析
I 函数项级数的一致收敛
一、函数项级数的概念
设 u1 ( x ), u2 ( x ),, un ( x ),是定义在 I R 上的函数, 则 un ( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x )
( x )在[ a , b ]上一致收敛， u ( x )，并且级数 u n n
n 1
则级数 un ( x )在[ a , b ]上也一致收敛，且可逐
n 1
项求导，即
( x ) u s( x ) u1 ( x ) u ( x) 2 n
(5)
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所以原级数不可以逐项求导．
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数学分析
四、一致收敛性简便的判别法：
定理 （魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法）
n 1
如果函数项级数 un ( x ) 在区间 I 上满足条件:
(1) (2)
当 x x 0 时，有 s( x ) s( x0 ) .
(3)
s( x ) 在点 x0 处连续， x0 在 [ a , b ] 上是任意 所以 而
第五章无穷级数
1.比较审敛法
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定理2 (第一比较审敛法)设有正项级数 un与 vn ,且un vn
n 1
n 1
(n 1, 2,3, ),则
(1)如果 vn收敛, 那么 un也收敛;
n 1
n 1
n 1
.
因级数
n 1
1 2 p1
n 1
为公比q
1 2 p1
1的等比级数,收敛,故已知
级数也收敛.
综上所述,p一级数
1 ( p 0),当p 1时发散,当p 1时收敛(该
np
n 1
结论很重要,要牢记!).
注:正项级数加括号后,所组成的新级数与原级数有相同的敛
n 1
为级数的前n项部分和;如果n 时,部分和构成的数列{Sn}有极
限S,即lim n
Sn
S , 则称级数
un收敛,并称S级数的和.于是
n1
S u1 u2 u3 un un
n 1
如果n 时,部分和数列{Sn}没有极限,则称级数发散,发散的级
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(3)当p 1时,
n 1
1 np
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 5p
1 6p
1 7p
1
1 2p
1 2p
第十二章数项级数
第十二章 数 项 级 数一、主要内容与教学要求主要内容数项级数极其收敛与和的定义，柯西收敛准则，收敛级数的基本性质。
正顶级数收敛性的一般判别原则（比较原则），比式判别法与根式判别法，积分判别法。
拉贝判别法*。
交错级数，莱布尼兹判别法，绝对收敛级数与性质，条件收敛，阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。
教学要求1 深刻理解数项级数收敛、发散和的概念，以及收敛级数的基本性质。
2 理解级数绝对收敛与条件收敛的概念，了解绝对收敛级数的性质。
3 熟练掌握正顶级数收敛性的比较原则，比式判别法与根式判别法，并记注几何级数与P 级数的收敛性。
4 掌握交错级数的莱布尼兹判别法，会用其它判别法。
5 会应用级数收敛定义、收敛级数的性质及判别法证明级数中的有关问题。
教学重点：1 数项级数及其收敛与和的定义，柯西收敛准则，收敛级数的基本性质。
2 正项级数收敛性的比较原则，比式判别法与根式判别法。
3 绝对收敛与条件收敛的概念及其相互联系。
4 交错级数的莱布尼兹判别法，一般项级数的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法教学难点：1 收敛级数和绝对收敛级数级数的性质及其证明方法。
2 一般项级数的判敛法。
二、本章教材处理建议1. 通过讨论“无限多个数相加”引入数项级数1nn u∞=∑及其“和”的概念，从有限和出发，借助于数列极限的工具给出无限和的定义是很自然的。
通过级数与数列之间的联系使学生明确研究级数及其和数只不过是研究数列及其极限的一种新形式。
2. 尽管形式上无穷级数是无限和向无限和的推广，但两者有实质性的差别。
加法运算中的运算律（如，交换律、结合律、分配律）和性质都不能照搬到无穷级数中来，在学习收敛级数的性质时一定要注意这种对比。
3. 正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界，这是正项级数敛散性判别法的理论基础。
在此基础上得到一些敛散性判别法：比较判别法、比式判别法、根式判别法，每种判别法都有两种形式：不等式形式与极限形式。
要求学生记住几何级数和p-级数的敛散性。
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02/ 正项级数
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推论：级数收敛的必要条件：收敛的级数通项趋于0
02/ 正项级数
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中南大学数学与统计学院学业辅导室 主讲人：郭雨辰
内容 / CONTENTS
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01/ 级数的收敛性 02/ 正项级数 03/ 一般项级数
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