数学分析 数项级数

第十二章数项级数

教学目的：1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具；2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。

教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。

教学时数：18学时

§ 1 级数的收敛性

一．概念：

1．级数：级数，无穷级数 ; 通项 ( 一般项 , 第项 ), 前项部分和等概念 ( 与中学的有关概念联系 ). 级数常简记为

.

2.级数的敛散性与和 : 介绍从有限和入手, 引出无限和的

极限思想 . 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、

级数的和、余和以及求和等概念 .

例1讨论几何级数的敛散性.（这是一个重要例题！）解时, . 级数收敛 ;

时, 级数发散 ;

时, , , 级数发散 ;

时, , , 级数发散 .

综上, 几何级数当且仅当时收敛, 且和为( 注意从0开始 ).

例2讨论级数的敛散性.

解（利用拆项求和的方法）

例3讨论级数的敛散性.

解设,

,

=

, .

, .

因此, 该级数收敛.

例4 讨论级数的敛散性.

解, . 级数发散.

3.级数与数列的关系 :

对应部分和数列{}, 收敛 {}收敛;

对每个数列{}, 对应级数, 对该级数, 有=. 于是,数列{}收敛级数收敛.

可见 , 级数与数列是同一问题的两种不同形式 .

4. 级数与无穷积分的关系 :

, 其中. 无穷积分可化为级数 ;

对每个级数, 定义函数 , 易见有=.即级数可化为无穷积分.

综上所述 , 级数和无穷积分可以互化 , 它们有平行的理论和结果 .

可以用其中的一个研究另一个 .

二.级数收敛的充要条件——Cauchy准则：把部分和数列{}收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy准

则 .

Th ( Cauchy准则 ) 收敛和N,

.

由该定理可见, 去掉或添加上或改变 ( 包括交换次序 ) 级数的有限项 , 不会影响级数的敛散性 . 但在收敛时 , 级数的和将改变 . 去掉前项的级数表为或.

系( 级数收敛的必要条件 ) 收敛.

例5证明：级数收敛 .

证显然满足收敛的必要条件 . 令, 则当时有

应用Cauchy准则时，应设法把式 ||不失真地放大成只含而不含的式子，令其小于，确定.

例6判断级数的敛散性.

( 验证. 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件 )

例7( 但级数发散的例 ) 证明调和级数发散 .

证法一( 用Cauchy准则的否定进行验证 )

三．收敛级数的基本性质：（均给出证明）

性质1 收敛，—Const 收敛且有=

性质2 和收敛，收敛, 且有

=.

性质3 若级数收敛 , 则任意加括号后所得级数也收敛 ,且和不

变 .

§ 2 正项级数

一. 正项级数判敛的一般原则 :

1.正项级数 : ↗; 任意加括号不影响敛散性.

2.基本定理 :

Th 1 设. 则级数收敛 . 且当发

散时, 有, . ( 证 )

3.正项级数判敛的比较原则 :

Th 2 设和是两个正项级数 , 且时有, 则

ⅰ> 收敛, 收敛;

ⅱ> 发散, 发散.( ⅱ> 是ⅰ>的逆否命题 ) 例1考查级数的敛散性 .

解有

例2设. 判断级数的敛散性 .

推论1 ( 比较原则的极限形式 ) 设和是两个正项级数且,则

ⅰ> 时 , 和共敛散 ;

ⅱ> 时 , 收敛, 收敛;

ⅲ> 时 , 发散, 发散. ( 证 )

二.正项级数判敛法:

1．检比法：亦称为 D’alembert判别法 .

用几何级数作为比较对象 , 有下列所谓检比法 .

Th 3 设为正项级数 , 且及时ⅰ> 若, 收敛;

ⅱ>若, 发散.

证ⅰ> 不妨设时就有成立 , 有

依次相乘 , , 即

, 收敛.

. 由 , 得

收敛

ⅱ>可见往后递增 , .

推论( 检比法的极限形式 ) 设为正项级数 , 且. 则ⅰ> <, 收敛; ⅱ> >或=, 发散. ( 证 )

例4 判断级数

的敛散性.

.

解,

收敛

例5讨论级数的敛散性.

解.

因此, 当时, ; 时, ; 时, 级数成为, 发散

2. 检根法( Cauchy判别法 ): 也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.

Th 4 设为正项级数 , 且及, 当时 , ⅰ>若 , 收敛;

ⅱ>若, 发散. ( 证 )

推论( 检根法的极限形式 ) 设为正项级数 , 且. 则 , 收敛; , 发散. ( 证 )

例5研究级数的敛散性 .

解,

.

收敛

3．积分判别法：

Th 5 设在区间上函数且↘ . 则正项级数与积分共敛散.

证对且

.

例6 讨论下列级数的敛散性:

⑴ ; ⑵.

习题课

一．直接比较判敛：

对正项级数，用直接比较法判敛时 , 常用下列不等式: