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常数项级数的概念和性质(课堂PPT)
证: 将级数 un 的前 k 项去掉, 所得新级数
n1
的部分和为
n
n uk l Sk n Sk
l 1
极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S Sk .
类似可证前面加上有限项的情况 .
16
机动 目录 上页 下页 返回 结束
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
第九章
无穷级数
数项级数 无穷级数
幂级数
表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质
数值计算
1
第一节
第九章
常数项级数的概念和性质
一、问题的提出 二、常数项级数的概念 三、无穷级数的基本性质 四、级数收敛的必要条件
2
一、问题的提出
1. 计算圆的面积
R 正六边形的面积 a1
正十二边形的面积 a1 a2
n0
的收敛性.
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
a aqn a aqn , 1q 1q 1q
7
当q 1时,
lim qn 0
n
lim
n
sn
a 1q
收敛
当q 1时,
lim qn
n
lim
n
sn
如果 q 1时
发散
当q 1时, sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
注意:
lim
n
un
0
并非级数收敛的充分条件.
例如, 调和级数
虽然
但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
但
S2n Sn
1 1 1 n1 n 2 n3
【高数(下)课件】11-1常数项级数的概念和性质
1 1 n n 1 n 2 sn n 2 n 1 n 1 2 2 2 1 2 1 n 故 s lim sn lim( 2 n1 n ) 2 n n 2 2
所以,此级数收敛, 且其和为2.
二、级数的基本性质
性质1 (级数收敛的必要条件) 若 un 收敛，
1 1 1 sn L 1 3 3 5 ( 2n 1 ) ( 2n 1 )
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( )L ( ) 2 3 2 3 5 2 2n 1 2n 1
1 1 sn (1 ) 2 2n 1 1 1 1 lim sn lim (1 0)的敛散性. 例 讨论级数 n 1
n 3 ln a 是以 ln a 为公比的等比级数, 解 因为 n 1
故 1 当 a e时, | ln a | 1, 级数 收敛. e 1 当0 a 或a e时, | ln a | 1, 发散. e
n 1
u
n 1
n
u1 u2 u3 L un L
(1)
对收敛级数(1), 称差
rn s sn un1 un 2 L un i
rn 0 为级数(1)的余项或余和.显然有 lim n
i 1
当n充分大时, sn s
误差为 | rn |
定义
当n无限增大时, 如果级数 un的部分和
数列sn有极限s, 即 lim sn s. 则称无穷级数
s叫 做 级 数 u 收 敛, 这 时 极 限 u 的 和.
n 1 n
n 1 n
n 1
n
ppt0901课件常数项级数的概念与性质
四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件:
当n无限增大时, 它的一般项 un趋于零, 即
性质8.5
级数 un收敛
n 1
lim un 0.
n
证明 S un n 1
则 un S n S n1 ,
n n
limun lim S n lim S n1
n 1
( 包括极限为 ) ,
例2 证明级数 123 n 是发散的 证: 此级数的部分和为
n(n 1) sn 1 2 3 n 2
lim sn , 因此所给级数是发散的 显然, n
下页
例3 讨论等比级数(几何级数)
1.
常数项级数的定义
假设 {u n } 是一个数列 : u1, u2, u3, , un, ,
u
n1
一般项
n
u1 u2 u3 un
— (常数项)无穷级数
n
级数的部分和
sn u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
s1 u1 , s2 u1 u2 ,
s3 u1 u2 u3 ,
sn u1 u2 un ,
例1
下列各式均为常数项级数
1 1 1 1 n ; n 2 4 2 n 1 2
n 1 2 n ; n 1
推论 如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散
收敛, 则 也收敛.
“加括号后所成的级数收敛, 原级数不一定收敛.”
下页
注 收敛级数 加括号仍为收敛级数. 注
例如级数 a a a a (1)n1 a 是发散级数. 但将相邻的两项加括号后所得级数
高等数学(微积分)课件-71常数项级数的概念与性质
间接法求和
定义
间接法求和是通过将级数中的某些项 进行变换，然后利用已知的级数求和
公式或性质，得到级数的和。
适用范围
适用于项数较多、数值较大的级数。
计算步骤
选择适当的变换方式，利用已知的级 数求和公式或性质，计算级数的和。
幂级数求和
01
定义
幂级数是一种特殊的常数项级数，其每一项都是某个变量的幂次方。幂
了解常数项级数的应用实例。
掌握常数项级数的收敛与发散的 判断方法。
理解常数项级数的定义和性质。
01
03 02
02 常数项级数的定义
有限级数与无限级数
有限级数
级数的项数是有限的，可以明确写出 其和。
无限级数
级数的项数是无限的，其和可能是一 个有限的数、无穷大或未定型。
常数项级数的定义与示例
常数项级数是由一系列常数组成的级数，例如
03
判断常数项级数$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$是否收敛， 并说明理由。
解答与解析
01
对于常数项级数$sum_{n=1}^{infty} (-1)^n$，由于$(-1)^n$在$n$趋向 无穷大时，其值在$-1$和$1$之间交替，因此该级数不收敛。
02
对于常数项级数$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$，由于$frac{1}{n^2}$是单 调递减且趋向于0的，根据收敛级数的性质，该级数收敛。其和为 $frac{pi^2}{6}$。
乘法运算
将一个级数的每一项与另一个 级数的每一项相乘得到一个新 的级数。
注意
在进行级数的四则运算时，常数项级数的求和
直接法求和
定义
直接法求和是根据级数的定义，将每一项的 值直接相加得到级数的和。
高等数学方明亮版数学课件101常数项级数的概念与性质.ppt
都是公比小于1 的等比级数，所以它们都收敛，且其和分别为
2 和 4，由性质 2 知所给级数收敛，其和为
(1 1)
1 2
3 4
1 22
32 42
1 2n1
3n1 4n1
1
1 2
1 22
1
2n1
1
3 4
32 42
3n1 4n1
246
2024年9月27日星期五
10
目录
n 2n
1 2
矛盾! 所以假设不真 .
2024年9月27日星期五
14
目录
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下页
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例6 判断级数的敛散性: 解: 考虑加括号后的级数
发散 , 从而原级数发散 .
2024年9月27日星期五
15
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内容小结
1. 常数项级数的基本概念: 常数项级数、 收敛、发散、等比级数、调和级数
2. 收敛级数的5个性质
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧:
利用 “拆项相消” 求 和
2024年9月27日星期五
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3、 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:
(2)
n1n3
1 3n2
2n
;
解: (1) 令
则
e n1 ( n 1) !
un1 un
(n1)n1 enn!第十章 无穷级数（Infinite Series）
主要内容
第一节 常数项级数的概念与性质 第二节 常数项级数的审敛法 第三节 幂级数 第四节 函数展开成幂级数 第五节 函数的幂级数展开式的应用 第六节 傅立叶级数
11-1常数项级数的基本概念和性质 32页PPT文档
nn
u n u n 1 u 1 e
单增数列 an (1 n1)n e
limun0,故级数发散.
n
例7 判断级数的敛散性：n12n2n1.
解
Sn1 2232253 2
n 2
n
1
,
则 1 2S nS n1 2S n
1 22 322 53 2n 2n 12 1 22 3 32 5 4 2 2 n n 11
n1
n1
n
和为 n ukl SknSk
l 1
有限项不影响
令 n时 , σn与Skn同敛散， 级数的敛散性
故新旧级 数敛散性相同. 收敛时, 其和 σSSk.
性质4 收敛级数加括弧后 所成的级数仍收敛于
原级数的和.
证 设 S un 收敛，任意加括弧,
n1
无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
傅氏级数 表示函数
无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
第一节
第十一章
常数项级数的 基本概念和性质
一、常数项级数的概念 二 、收敛级数的性质
一、常数项级数的概念
1. 引例
无穷级数的思想蕴涵在 无限循环小数概念之中
引例1 数1 化为小数 . 3
10.3 3 0.3, 且0.3 3
f(x)f(0)0
S nln 1 (1 )ln(1
1) 2
ln(1
1)ln1 (n) n
lim ln1 (n)
n
n l i m Sn
1
发散
n1n
(方法2)
un
1 n
n11 dx nn
常数项级数的概念和性质解析ppt课件
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim 1 (1 n 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
例4. 讨论等比级数 (又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若
则部分和
因此级数收敛
,
其和为
a 1q
;
因此级数发散 .
aa qn 1q
从而 lim Sn
一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质
一、常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
边形, 设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A . 即
引例2. 计算棒长.
一尺之棰,日取其半, 万世不竭. 棰长形成一个无穷数列
1 1
1
的收敛性.
13 35
(2n 1) (2n 1)
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n
1
1 2n
), 1
sn
1 1
1
13 35
(2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
[(
1 9
)n1
A1
]}
A1
3
1 9
A1
3 4 (1)2 9
A1
3 4n2
(
1 9
)n1
A1
A1{1
[
1 3
1(4) 39
1 (4)2 39
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2 常数项级数 un 的敛散性 n 1
部分和 {s n }
高等数学
高等数学
高等数学
芝诺悖论
100m
10m
芝诺(Zeno of Elea) 1m
100 10 1 0.1……
0.1m 高等数学
常数项级数的概念
一、常数项级数的定义 二、常数项级数的敛散性 三、应用 四、总结
高等数学
一、常数项级数的定义
给定一个无穷数列 u1,u2,,un ,,将其各项依次
相加，构成的表达式 u1 u2 un
芝诺悖论
100m
10m
芝诺(Zeno of Elea)
1m
100 10 1 0.1……
0.1m 高等数学
芝诺悖论
分析：
阿基里斯要追赶乌龟的全部路程为
100 10 1 0.1……
这是一个公比为 q 1 1 的等比级数 10
和为
S
100 1 1
1000 . 9
10
高等数学
四、总结
1 常数项级数 un u1 u2 … un … n1
A
sn
n
u1unu2
…un
i1
n
A
lim
n
sn
lim
n
i 1
un
高等数学
二、常数项级数的敛散性
级数
un
, 前n项和
sn u1u2 …un
n 1
称为级数的部分和, 显然, 它构成了一个数列 {sn}
(1)如果, 部分和数列{sn} 的极限 存在 , 即
lim
n
sn
s
s
则称无穷级数 un 收敛. 极限
叫做(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记为
un u1 u2 … un …
n1
通项
高等数学
割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
高等数学
割圆术：圆的面积A
A s1 u1
高等数学
割圆术：圆的面积A
A s1 u1
A s2 u1 u2
lim
n
sn
lim
n
2
因此，所给级数是发散的.
高等数学
例 2 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 … aqn …
n0
(a 0)
的敛散性, 其中 q 叫做级数的公比.
解：
Sn
a
aq
aq2
…
aq n 1
a(1 qn ) ，(q 1 q
1)
当 | q | 1时, lim qn 0 n
则
lim
n
Sn
a 1 q
收敛
当 | q | 1时, lim qn n
则
lim
n
Sn
发散
高等数学
aqn a aq aq2 … aqn … (a 0)
n0
如果 | q | 1，
当 q 1时,Sn a+a … a na (n )发散 当 q 1时, 级数变为 a a a a …
叫做
un
的和
n 1
Hale Waihona Puke n 1写成 s un u1 u2 … un …
n1
(2)如果{sn} 没有极限,则称 无穷级数
un 发散.
n 1
注：发散级数无和
高等数学
三、应用
例1 讨论级数1 2 3… n … 的敛散性.
解： 级数的部分和为
sn
1 23… n
n(n 1) 2
显然，
n(n 1)
0, n为偶数 Sn a, n为奇数
lim
n
Sn不
存
在,
发散
高等数学
例 2 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 … aqn …
n0
(a 0)
的敛散性, 其中 q 叫做级数的公比.
结论： aqn n0
当
q
1时,等比级数收敛,和为
S
a 1 q
当 q 1时,等比级数发散
高等数学