函数项级数PPT课件
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函数列与函数项级数
法
2021/6/21
n=2y3=x.^6;y4=x.^100;
plot(x,y1,x,y2,x,y3,'b',x,y4,'r','linewidth',2)
2021/6/21
19
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
1 2.
0 ，
2021/6/21
7
所以该函数列是不一致收敛的。 例 函数列 {xn}在[0,1]上不一致收敛，但在 [0, ] , 1 上一致收敛。 先看看该函数列的图象
clf,x=0:1/100:1; y1=x.^4;y2=x.^10;y3=x.^50; plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2)
对定义在区间 I 上的函数列{ fn (x) }, x E ，设 x0 E ，若数列 { fn (x0 ) } 收 敛，则称函数列{ fn (x) }在点 x0 收敛， x0 称为函数列{ fn (x) }收敛点；若数列 { fn (x0 ) }发散，则称函数列{ fn (x) }在点 x0 发散。
clf,x=0:1/100:1; y1=8*x./(1+64*x.^2); y2=20*x./(1+400*x.^2); y3=50*x./(1+2500*x.^2); plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2) hold on plot([-0.1,1],[0,0],'b',[0,0],[-0.1,0.6],'b') axis([-0.1,1.2,-0.1,0.6]) legend('y1,n=8','y2,n=20','y3,n=50')
数学分析2课件：13-1函数项级数及其一致收敛性
x(1,1) 1 x n 1
n1
而右端极限为，
故原级数在(-1,1)不一致收敛。
但限制x [a,a],a 1,则
sup
x(a,a )
|
sn( x)
s( x) |
sup
x(a,a )
| 1 xn 1 x
1 1
x
|
sup | xn | an , x(a,a) 1 x 1 a
[( xn ) 0,单调增] 1 x
故 un( x)在数集D上一致收敛。
n1
证毕。
注1 在这个定理的条件下，可得| un( x) | 也一致收敛。
n1
注2 不是每个收敛级数都有优级数。
例8
sin n
nx
p
,
cos n
nx
p
,(
p
1)在(,)一致收
敛。
优级数均为
1 np
.
(1)n sin nx的优级数为 np
1， np
一致收敛。
xn在[a,a](a 1)的优级数为 an，一致收敛。
an为绝对收敛级数，则 an sin nx, an cos nx
n1
n1
n1
在(,)一致收敛，且| an | 就是其优级数。
n1
全体收敛点的集合称为收敛域。
un( x) s( x)
n1
——和函数。
例5
xn 1 x x2 x3
n0
lim
n
sn( x)
lim
n
1 xn 1 x
1 , 1 x 发散，
| x | 1 | x | 1
xn在（ 1，1）内收敛于s( x)
1
.
n0
一致收敛函数列与函数项级数级数的性质.ppt
又
lim
x x0
fN1( x) aN1
,
所以存在δ > 0 , 当0 < | x – x0 | <δ时，
| fN+1(x) – aN+1 | <ε/3
这样当0 < | x – x0 | <δ时，
| f (x) A|
| f ( x) f N 1( x) | | f N 1( x) aN 1 | | aN 1 A |
? lim
x x0
n1
un ( x)
n1
lim
x x0
un
(
x)
注：对函数序列{Sn ( x)}而言，应为
? lim
x x0
lim
n
Sn
(
x
)
lim
n
lim
x x0
Sn
(
x)
2.求导运算与无限求和运算交换次序问题
? d
dx n1 un ( x)
d n1 dx un ( x)
lim lim
x x0 n
fn
(
x)
lim
n
lim
x x0
fn(x) .
这表明在一致收敛的条件下，极限可以交换顺序．
证 先证数列 { an } 收敛．因为{ fn } 一致收敛，
故对任给的ε > 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时，对任何 正整数 p ，对一切 x ∈(a , x0 )∪(x0 , b) 有
| fn(x) – f n+p(x) | <ε
从而
lim
x x0
|
数学分析-课件-(完整版)
x)dx
f(x)(x)0,
发散。
f (x) dx
a
比较判别法II（用极限比较）
设函数 f (在x) [a,有定) 义，在任意有限区间
[a, A上] 可积，且
(x)0s.t.x l im | f((x x))|l,
（1）若 0l， 则
(
收敛 x)dx
a
收敛；
a f (x)dx
（2）若
，则
小结
第十五章 多元函数的极限与连续性
§1 平面点集
§2 多元函数的极限与连续性
目录
第十六章
偏导数与全微分
§1 偏导数与全微分的概念 §2 复合函数微分法
§3 几何应用
§4 方向导数
§5 泰勒公式
小结
第十七章
隐函数存在定理
§1 单个方程的情形
§2 方程组情形
第十八章
极值与条件极值
§1 极值与最小二乘法
（2）若 a f ( x) dx
lim (xa)p| f(x)|l,
则
x a
时
收敛，
0l , p1
时
b
a f ( x发)散d。x
b
0l , p1 a f ( x) dx
设
b
a
f
( x)d有x 唯一暇点
a.
(Dirichlet)
g(x)单 a bf(调 x)xld iam x 有 且 g(x) 界 0 a bf(x)g(x)d收 x 敛
(a,a]
无界。若
b
存在，则称瑕积分
b
lim
f (x)dx
收敛0， 且a积分值为该极限值，记为
a f (x)dx
b
10.1 函数项级数
(2)有限个可导函数的和仍是可导函数，
且和函数的导数等于导函数的和; (3)有限个可积函数的和仍是可积函数， 且和函数的积分等于积分函数的和;
问题
无限个函数的和（函数项级数）是否具有这些性 质呢？
再考察例1：
研究级数 u n ( x ) x ( x 2 x ) ( x 3 x 2 ) ( x n x n 1 )
x a
S ( t )dt
x a
x un t dt un ( t )dt a n 1 n 1
定理5(和函数的可导性)
设un C 1 ( I )( n N ), 若级数 un 在I上处处
n 1
收敛于函数S : I R , u 在I上一致收敛于 n
当 z 1 时, 加绝对值后的级数收敛 原级数收敛 当 z 1 时, 加绝对值后的级数发散
用的比值法
原级数发散
1 当 z 1 时, 取 模 后 的 级 数 2 收 敛 原 级 数 收 敛 n n 1
收敛域为z 1
1 ( 2) (cos x ) n n 1 3 4 n
函数项级数
一、函数项级数基本概念
定义1 设un ( z )是定义在区域 上的复变函数列, D
称表达式 : u1 u2 un 或
u
n 1
n
为区域D上的复函数项级数 简称 , 函数项级数，un ( z )称为它的通项. 前 n 项之和S n ( z ) uk ( z )
设un C ( I )( n N ), 若函数项级数 un 在
n 1
I上一致收敛于 : I R , 则和函数S C ( I ). S
高等数学第十一章第六节函数项级数的一致收敛性课件.ppt
1854年, 他解决了椭圆
以后还建立了椭圆函
数的新结构.
他在分析学中建立了实数
理论,引进了极限的 – 定义,
定义及性质,
还构造了一个处处不可微的连续函数:
积分的逆转问题,
给出了连续函数的严格
为分析学的算术化作出了重要贡献 .
定理2.
若级数
则该级数在 [a, b] 上可逐项积分,
且上式右端级数在 [a, b] 上也一致收敛 .
证: 因为
所以只需证明对任意
一致有
根据级数的一致收敛性,
使当
n > N 时, 有
于是, 当 n > N 时, 对一切
有
因此定理结论正确.
证毕
说明:
若级数不一致收敛时, 定理结论不一定成立.
解:
显然所给级数对任意 x 都收敛 ,
且每项都有连续
导数,
而逐项求导后的级数
故级数②在 (－∞,+∞)
上一致收敛,
故由定理3可知
②
再由定理1可知
定理4 . 若幂级数
的收敛半径
则其和函
在收敛域上连续,
且在收敛区间内可逐项求导与
逐项求积分,
运算前后收敛半径相同,即
证: 关于和函数的连续性及逐项可积的结论由维尔斯
由条件2), 根据柯西审敛原理,
当
n > N 时,
对任意正整数 p , 都有
由条件1), 对 x ∈I , 有
故函数项级数
在区间 I 上一致收敛 .
证毕
推论.
若幂级数
的收敛半径 R > 0 ,
则此级
数在 (－R, R ) 内任一闭区间 [ a , b ] 上一致收敛 .
以后还建立了椭圆函
数的新结构.
他在分析学中建立了实数
理论,引进了极限的 – 定义,
定义及性质,
还构造了一个处处不可微的连续函数:
积分的逆转问题,
给出了连续函数的严格
为分析学的算术化作出了重要贡献 .
定理2.
若级数
则该级数在 [a, b] 上可逐项积分,
且上式右端级数在 [a, b] 上也一致收敛 .
证: 因为
所以只需证明对任意
一致有
根据级数的一致收敛性,
使当
n > N 时, 有
于是, 当 n > N 时, 对一切
有
因此定理结论正确.
证毕
说明:
若级数不一致收敛时, 定理结论不一定成立.
解:
显然所给级数对任意 x 都收敛 ,
且每项都有连续
导数,
而逐项求导后的级数
故级数②在 (－∞,+∞)
上一致收敛,
故由定理3可知
②
再由定理1可知
定理4 . 若幂级数
的收敛半径
则其和函
在收敛域上连续,
且在收敛区间内可逐项求导与
逐项求积分,
运算前后收敛半径相同,即
证: 关于和函数的连续性及逐项可积的结论由维尔斯
由条件2), 根据柯西审敛原理,
当
n > N 时,
对任意正整数 p , 都有
由条件1), 对 x ∈I , 有
故函数项级数
在区间 I 上一致收敛 .
证毕
推论.
若幂级数
的收敛半径 R > 0 ,
则此级
数在 (－R, R ) 内任一闭区间 [ a , b ] 上一致收敛 .
函数项级数的收敛域..
n 1
定义5 若函数项级数 un ( x )在I收敛,
n 1
Rn ( x ) S ( x ) Sn ( x ) un1 ( x ) un2 ( x )
函数项级数的收敛域
余和
§9.2 函数项级数
例1、讨论函数项级数 x n的收敛域.
n0
n 解：当 | x | 1时， x 发散； n 0 n 当 | x | 1时， x 收敛. n 0
cos nx 函数项级数 的收敛域为R {2k | k Z }. n n0
函数项级数的收敛域
§9.2 函数项级数
三、函数项级数的一致收敛概念
函数项级数 un ( x )在区间I 一致收敛于和函数S ( x )
n 1
0，N N , n N , x I，有
x n1
1 xn 1 x
1)x [1 ,1 ], 0, 要使不等式
1 xn 1 xn | x |n (1 )n | Sn ( x ) S ( x ) || | | | 1 x 1 x 1 x 1 x
成立. 解得n
在收敛，为函数项级数的收敛点； 则为函数项级数的发散点； 若数项级数 un ( )发散，
定义3
使函数项级数 un ( x )收敛的全体收敛点的集合，
n 1
n 1
称为收敛域； 当收敛域是区间时，称为收敛区间.
函数项级数的收敛域
§9.2 函数项级数
定义4 若函数项级数 un ( x )在I收敛,
| Sn ( x) S( x) || Rn ( x) | .
函数项级数 un ( x )在区间I 非一致收敛于和函数S ( x )
级数的ppt
n1
推论 设级数 un 收敛， vn 发散， (un vn )
n1
n1
n1
发散.
例 10
求级数
n1
1 2n
3 n(n
1)
的和.
性质 3 若级数 un 收敛,则 un 也收敛
n1
n k 1
(k 1).且其逆亦真.
类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响 级数的敛散性.
练习：
级数收敛
lim
n
un
0.
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
2.必要条件但不充分.
例 12 判别级数
un
n1
(1)n1
n1
n n1
的敛散性
特权福利
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分的总长和剩下部分的总长各是多少？
0 12 1
99 3
27 8 1
39 9
常数项级数的概念
若有数列u1，u2， ，un ，我们把形如
u1 u2 u3 un
的式子叫做常数项无穷
级数 简称常数项级数
一般项
记作 un n1
常数项级数的概念
记sn u1 u2 u3 un，称为级数的 前n项部分和，简称为前n项和.
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推论 设级数 un 收敛， vn 发散， (un vn )
n1
n1
n1
发散.
例 10
求级数
n1
1 2n
3 n(n
1)
的和.
性质 3 若级数 un 收敛,则 un 也收敛
n1
n k 1
(k 1).且其逆亦真.
类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响 级数的敛散性.
练习：
级数收敛
lim
n
un
0.
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
2.必要条件但不充分.
例 12 判别级数
un
n1
(1)n1
n1
n n1
的敛散性
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分的总长和剩下部分的总长各是多少？
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99 3
27 8 1
39 9
常数项级数的概念
若有数列u1，u2， ，un ，我们把形如
u1 u2 u3 un
的式子叫做常数项无穷
级数 简称常数项级数
一般项
记作 un n1
常数项级数的概念
记sn u1 u2 u3 un，称为级数的 前n项部分和，简称为前n项和.
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解析函数的级数表示PPT课件
k 0
k 0
数学物理方法
性质 3
若级数 wk (z)在区域D（边界 L）上一致收敛，且各项wk (z) k 0
在区域 D 上解析，则
（1）级数和S(z) wk (z)在 D 内解析 k 0
（2）在 D 内级数可逐项求导任意多次：
S (m) (z) w(m)k (z) k 0
数学物理方法
证明：（1）.设：z——边界 L 上任意一点，z ——D 中任意
若 zk 收敛而 zk 发散，则称 zk 为条件收敛级数。
k 0
k 0
k 0
数学物理方法
例1 下列级数是否收敛？是否绝对收敛？
1
i
(8i)n
(1)n i
(1) (1 ) (2)
n1 n
n
n0 n!
(3) (
n1
n
2n )
解
(1)
n1
1 n
发散，
n1
1 n2
收敛，
n1
1 n
数学物理方法
四、一致收敛级数的性质
性质 1
若级数 wk (z)在 D 内一致收敛于S(z)，且其各项均为 D k 0
内的连续函数，则S(z)也是 D 内的连续函数。
性质 2
若级数 wk (z)在曲线 L 上一致收敛于S(z)，且各项均为 L k 0
上的连续函数，则级数可沿 L 逐项积分：
L s(z)dz L wk (z)dz L wk (z)dz
实质：1.找一个收敛的正项级数 mk（收敛性比较容易判断） k 0
2.将 wk (z) 与mk 比较
（在 D 上所有点）
数学物理方法
判别法 2
已知u(z)在 D（或 L）上是个有界函数，若 wk (z)在 D（或 k 0
函数列与函数项级数
幂级数在数学分析、微分方程、复变函数等领域有广泛应 用。
三角级数
三角级数定义
三角级数是形如 (a_0 + a_1cos x + a_2cos 2x + ldots) 的无限项和，其中 (a_0, a_1, a_2, ldots) 是常数，(x) 是自变 量。
三角级数的性质
三角级数具有周期性，可以表示为傅里叶级数的形式。
全局收敛
如果存在某个定义域内的所有点，都有$lim_{n to infty} f_n(x) = f(x)$，则称该函数列在定义域内全局收 敛于$f(x)$。
02 函数项级数的定义与性质
函数项级数的定义
函数项级数
由一列函数构成的数列，记作 ${ f_n(x) }$，其中 $n=1,2,3,ldots$。
函数列与函数项级数
目 录
• 函数列的定义与性质 • 函数项级数的定义与性质 • 函数列与函数项级数的应用 • 特殊类型的函数列与函数项级数 • 函数列与函数项级数的扩展概念
01 函数列的定义与性质
函数列的定义
函数列：由一簇函数构成的集合，通 常表示为$f_n(x)$，其中$n$是指标， $x$是自变量。
每个函数$f_n(x)$都有定义域，并且 对于固定的$n$，所有函数$f_n(x)$的 定义域相同。
函数列的性质
连续性
如果函数列在某一点连续，则该 点是该函数列的收lim_{n to infty} f_n(x) = f(x)$， 则称该函数列在全域上一致收敛
04 特殊类型的函数列与函数 项级数
幂级数
幂级数定义
幂级数是形如 (a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots) 的无限项和， 其中 (a_0, a_1, a_2, ldots) 是常数，(x) 是自变量。
三角级数
三角级数定义
三角级数是形如 (a_0 + a_1cos x + a_2cos 2x + ldots) 的无限项和，其中 (a_0, a_1, a_2, ldots) 是常数，(x) 是自变 量。
三角级数的性质
三角级数具有周期性，可以表示为傅里叶级数的形式。
全局收敛
如果存在某个定义域内的所有点，都有$lim_{n to infty} f_n(x) = f(x)$，则称该函数列在定义域内全局收 敛于$f(x)$。
02 函数项级数的定义与性质
函数项级数的定义
函数项级数
由一列函数构成的数列，记作 ${ f_n(x) }$，其中 $n=1,2,3,ldots$。
函数列与函数项级数
目 录
• 函数列的定义与性质 • 函数项级数的定义与性质 • 函数列与函数项级数的应用 • 特殊类型的函数列与函数项级数 • 函数列与函数项级数的扩展概念
01 函数列的定义与性质
函数列的定义
函数列：由一簇函数构成的集合，通 常表示为$f_n(x)$，其中$n$是指标， $x$是自变量。
每个函数$f_n(x)$都有定义域，并且 对于固定的$n$，所有函数$f_n(x)$的 定义域相同。
函数列的性质
连续性
如果函数列在某一点连续，则该 点是该函数列的收lim_{n to infty} f_n(x) = f(x)$， 则称该函数列在全域上一致收敛
04 特殊类型的函数列与函数 项级数
幂级数
幂级数定义
幂级数是形如 (a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots) 的无限项和， 其中 (a_0, a_1, a_2, ldots) 是常数，(x) 是自变量。
高数第9章函数项级数、幂级数-幂级数
f ( x ) a n ( x x0 ) n
n 0
1 (n) f ( x0 ) 则其系数 a n n!
且展开式是唯一的.
( n 0,1,2,)
证明 an ( x x0 ) n 在U ( x0 )内收敛于f ( x),即
n 0
f ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a n ( x x0 ) n Leabharlann 的收敛半径为 R,其和函数为
s( x ) ,则在 ( x0 R, x0 R) 内幂级数可以逐项积分和
an 即 s( x)dx ( an x )dx ( x x0 ) n 1. x0 x0 n 0 n 0 n 1
x n
即 s( x) ( an ( x x0 ) n ) (an ( x x0 ) n ) nan ( x x0 ) n 1.
收敛区间( , ) .
中央财经大学
数学分析
n 2 1 n n (4) ( 1) (x ) . n 2 n1 a n 1 2 n lim lim 2 n a n n 1 n
1 R , 2
1 1 即 x 收敛, 2 2
x (0,1)收敛,
( 1)n n 令 t 2 x 3 , 原级数变为 t . n 0 2n 1
由于
an 1 lim 1 n a n
3 1 因此 , 当 t 1 , 即 x 时 , 原幂级数收敛 , 2 2 3 1 当 t 1 , 即 x 时 , 原幂级数发散 , 2 2
例2
a n 1 n 解 (1) lim lim 1 R 1 n a n n 1 n
高数第9章函数项级数、幂级数
中央财经大学
数学分析
说明: 虽然函数序列 s n ( x ) x 在( 0, 1 )内处处
n
收敛于 s( x ) 0 , 但 sn ( x )在( 0, 1 )内各点处收 敛于零的“快慢”程度是不一致的．
从左图可以看出:
y
y sn ( x ) x n
n1
(1,1)
注意：对于任意正数r 1， 这级数在[0, r ] 上一致收敛． o
数学分析
第九章 函数项级数
中央财经大学
数学分析
I 函数项级数的一致收敛
一、函数项级数的概念
设 u1 ( x ), u2 ( x ),, un ( x ),是定义在 I R 上的函数, 则 un ( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x )
( x )在[ a , b ]上一致收敛， u ( x )，并且级数 u n n
n 1
则级数 un ( x )在[ a , b ]上也一致收敛，且可逐
n 1
项求导，即
( x ) u s( x ) u1 ( x ) u ( x) 2 n
(5)
中央财经大学
所以原级数不可以逐项求导．
中央财经大学
数学分析
四、一致收敛性简便的判别法：
定理 （魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法）
n 1
如果函数项级数 un ( x ) 在区间 I 上满足条件:
(1) (2)
当 x x 0 时，有 s( x ) s( x0 ) .
(3)
s( x ) 在点 x0 处连续， x0 在 [ a , b ] 上是任意 所以 而
函数项级数
n =0
+∞
的敛散性, 并求其收敛域. 解 这是等比级数.
1 当 | x | < 1 时 , 级数收敛 , 其和为 S ( x) = . 1− x 当 | x | ≥ 1 时 , 级数发散 .
故该级数的收敛域为: x ∈ (−1 , 1) . 要打开思路!
几个问题
+∞ +∞
x → x0
lim ∑ un ( x) = ∑ lim un ( x)
求收敛半径的定理
设有幂级数 an x n ∑
n =0 +∞
( an ≠ 0 (n = 0, 1, 2,L) ).
| an+1 | 1 若 lim = λ , 则其收敛半径为 R = . n →∞ | a | λ n
其中, λ = 0 时, 取 R = +∞ ; λ = +∞ 时, 取 R = 0.
n =0
+∞
当 | x | = ± R 时, 幂级数可能收敛, 也可能发散.
幂级数的收敛半径
我们称上述定理中的非负数 R 为幂级数
an x n 的收敛半径. ∑
n =0 +∞
当幂级数仅在 x = 0 处收敛时, 规定 R = 0.
当幂级数在 (−∞, + ∞) 内收敛时, 规定 R = +∞.
如何求收敛半径？
幂级数的一般形式为
an ( x − x0 ) n ∑
n =0
+∞
= a0 + a1 ( x − x0 ) + L + an ( x − x0 ) n + L
其中, x0 为一定点.
令 X = x − x0 , 则可将它化为前面的标 准形式 an ( x − x0 ) n = ∑ an X n ∑
+∞
的敛散性, 并求其收敛域. 解 这是等比级数.
1 当 | x | < 1 时 , 级数收敛 , 其和为 S ( x) = . 1− x 当 | x | ≥ 1 时 , 级数发散 .
故该级数的收敛域为: x ∈ (−1 , 1) . 要打开思路!
几个问题
+∞ +∞
x → x0
lim ∑ un ( x) = ∑ lim un ( x)
求收敛半径的定理
设有幂级数 an x n ∑
n =0 +∞
( an ≠ 0 (n = 0, 1, 2,L) ).
| an+1 | 1 若 lim = λ , 则其收敛半径为 R = . n →∞ | a | λ n
其中, λ = 0 时, 取 R = +∞ ; λ = +∞ 时, 取 R = 0.
n =0
+∞
当 | x | = ± R 时, 幂级数可能收敛, 也可能发散.
幂级数的收敛半径
我们称上述定理中的非负数 R 为幂级数
an x n 的收敛半径. ∑
n =0 +∞
当幂级数仅在 x = 0 处收敛时, 规定 R = 0.
当幂级数在 (−∞, + ∞) 内收敛时, 规定 R = +∞.
如何求收敛半径？
幂级数的一般形式为
an ( x − x0 ) n ∑
n =0
+∞
= a0 + a1 ( x − x0 ) + L + an ( x − x0 ) n + L
其中, x0 为一定点.
令 X = x − x0 , 则可将它化为前面的标 准形式 an ( x − x0 ) n = ∑ an X n ∑
数学分析 第十一章 函数项级数
f ( x) .
例 8. 证明: x n 在(0,1)不一致收敛于 f ( x ) 0 .
例 9. 设 f n ( x ) x n (1 x )n . 证明: f n ( x ) 在 (0,1) 一 致收敛于0 .
例 10.设 f n ( x ) x ,[a , b] ( 1,1) . 证明: f n ( x ) 在 [a , b]一致收敛于0 .
f n p ( x ) f n ( x ) .
定义. 设 f n ( x ), f ( x ) 是定义在 X 上函数, 令
f n f sup f n ( x ) f ( x ) : x X
定理 1.6. { f n ( x )}在 X 一致收敛于 f ( x ) 的充要条 件是: lim f n f 0 .
的一致收敛性.
若 0, N , 使得当 n N 时, x X , 都有 fn ( x ) f ( x )
则当 n 时,{ f n ( x )} X 上一致收敛于 f ( x ) . 在
{ f n ( x )}在 X 上不一致收敛于 f ( x )
0 0 , N , nN N , xnN X ，使得
2.函数序列的一致收敛性
定义. 给定{ f n ( x )} . n , f n ( x ) 是定义在 X 上的
函数, 又设 f ( x )也是 X 上函数. 若 0, N ,
使得当n N 时, x X , 都有
fn ( x ) f ( x )
则称当 n 时, f n ( x ) 在 X 上一致收敛于
Sn p ( x ) Sn ( x ) uk ( x ) .
k n1
例 8. 证明: x n 在(0,1)不一致收敛于 f ( x ) 0 .
例 9. 设 f n ( x ) x n (1 x )n . 证明: f n ( x ) 在 (0,1) 一 致收敛于0 .
例 10.设 f n ( x ) x ,[a , b] ( 1,1) . 证明: f n ( x ) 在 [a , b]一致收敛于0 .
f n p ( x ) f n ( x ) .
定义. 设 f n ( x ), f ( x ) 是定义在 X 上函数, 令
f n f sup f n ( x ) f ( x ) : x X
定理 1.6. { f n ( x )}在 X 一致收敛于 f ( x ) 的充要条 件是: lim f n f 0 .
的一致收敛性.
若 0, N , 使得当 n N 时, x X , 都有 fn ( x ) f ( x )
则当 n 时,{ f n ( x )} X 上一致收敛于 f ( x ) . 在
{ f n ( x )}在 X 上不一致收敛于 f ( x )
0 0 , N , nN N , xnN X ，使得
2.函数序列的一致收敛性
定义. 给定{ f n ( x )} . n , f n ( x ) 是定义在 X 上的
函数, 又设 f ( x )也是 X 上函数. 若 0, N ,
使得当n N 时, x X , 都有
fn ( x ) f ( x )
则称当 n 时, f n ( x ) 在 X 上一致收敛于
Sn p ( x ) Sn ( x ) uk ( x ) .
k n1
第十三章 函数列与函数项级数
函数列(1)不一致收敛于的f充要条件:
存在某个正整数 0对任何正数N ,都有
D上某一点x'与自然数n' N , 使得
fn' (x') f (x') 0
定理13.1： 函数列{ fn}在数集D上一致收敛的充要条件
是：对任给正数，总存在正数N , 使得当n, m N时，对一切x D,都有 fn (x) fm (x)
第十三章 函数列与函数项级数
∮1 一致收敛性
㈠ 函数列及其一致收敛性
函数列： f1, f2.., fn ,..(1) 是一列定义在同一数集E上的函数，则称之为 定义在E上的函数列。
设x0 E,以x0代入(1)可得函数列： f1( x0 ), f2 ( x0 ),..fn ( x0 ),..(2)
fn (0) f (0) 0 , fn (1) f (1) 0 ,
即证得{ fn}在(1,1]上收敛，且有如题所示 的极限函数。
例2： 定义在(,)上的函数列fn (x) sin nx / n, n 1,2,...由. 于对任何实数x,都有sin nx / n
1/ n,故对任给的 0,只要n N 1/ , 就有sin nx / n 0 .
证明：必要性
设fn (x) f (x)(n ), x D,即对给任何 0
存在正数N，使得当n N时，对一切x D都
有 fn (x) f (x) / 2,于是当n, m N时，就可
得 fn (x) fm (x) fn (x) f (x) f (x) fm (x)
fn(x) f (x) f (x) fm(x) / 2 / 2
..
xn
..的部分和函数为Sn
(x)
1 xn 1 x
存在某个正整数 0对任何正数N ,都有
D上某一点x'与自然数n' N , 使得
fn' (x') f (x') 0
定理13.1： 函数列{ fn}在数集D上一致收敛的充要条件
是：对任给正数，总存在正数N , 使得当n, m N时，对一切x D,都有 fn (x) fm (x)
第十三章 函数列与函数项级数
∮1 一致收敛性
㈠ 函数列及其一致收敛性
函数列： f1, f2.., fn ,..(1) 是一列定义在同一数集E上的函数，则称之为 定义在E上的函数列。
设x0 E,以x0代入(1)可得函数列： f1( x0 ), f2 ( x0 ),..fn ( x0 ),..(2)
fn (0) f (0) 0 , fn (1) f (1) 0 ,
即证得{ fn}在(1,1]上收敛，且有如题所示 的极限函数。
例2： 定义在(,)上的函数列fn (x) sin nx / n, n 1,2,...由. 于对任何实数x,都有sin nx / n
1/ n,故对任给的 0,只要n N 1/ , 就有sin nx / n 0 .
证明：必要性
设fn (x) f (x)(n ), x D,即对给任何 0
存在正数N，使得当n N时，对一切x D都
有 fn (x) f (x) / 2,于是当n, m N时，就可
得 fn (x) fm (x) fn (x) f (x) f (x) fm (x)
fn(x) f (x) f (x) fm(x) / 2 / 2
..
xn
..的部分和函数为Sn
(x)
1 xn 1 x
函数项级数、幂级数的概念
微积分Ⅱ
CalculusⅡ
第十章 无穷级数
§10.1 无穷级数的概念
§10.2 无穷级数的基本性质 §10.3 数项级数的敛散性判别法 §10.4 函数项级数与幂级数 §10.5 函数的幂级数展开
函数项级数、幂级数的概念
一 函数项级数的概念
1 定义 设 u1( x), u2( x),, un ( x), 是定义在数集E 上的一个函
n0
lim a xn 0
n n 0
根据数列极限的性质有常数 M 0 使
a xn n0
M ,(n
1,2,),
因此
n
n
an xn
an
x0n
(
x x0
)n
an x0n
x x0
M x x0
n
即
a n
x
n
M
x x0
因为
x x0
时，
级数
M
n
x 的公比满足
n0
x 0
q x 1, x0
所以
M
n
n0
都绝对收敛，于是 R .
3. 如果 l , 这时
ห้องสมุดไป่ตู้
an
x n
对
x0
收敛，对非零 x
n0
都发散，于是 R 0 .
例
求幂级数 (1)n1 x n 的收敛半径与收敛域。
n 1
n
解:
l
lim
a n1
lim (1)n
n
1 ，所以 R 1 。
a n n
n n 1 (1)n1
当 x 1 时, (1)n1 (1)n 1 发散；
u n n
n an xn
CalculusⅡ
第十章 无穷级数
§10.1 无穷级数的概念
§10.2 无穷级数的基本性质 §10.3 数项级数的敛散性判别法 §10.4 函数项级数与幂级数 §10.5 函数的幂级数展开
函数项级数、幂级数的概念
一 函数项级数的概念
1 定义 设 u1( x), u2( x),, un ( x), 是定义在数集E 上的一个函
n0
lim a xn 0
n n 0
根据数列极限的性质有常数 M 0 使
a xn n0
M ,(n
1,2,),
因此
n
n
an xn
an
x0n
(
x x0
)n
an x0n
x x0
M x x0
n
即
a n
x
n
M
x x0
因为
x x0
时，
级数
M
n
x 的公比满足
n0
x 0
q x 1, x0
所以
M
n
n0
都绝对收敛，于是 R .
3. 如果 l , 这时
ห้องสมุดไป่ตู้
an
x n
对
x0
收敛，对非零 x
n0
都发散，于是 R 0 .
例
求幂级数 (1)n1 x n 的收敛半径与收敛域。
n 1
n
解:
l
lim
a n1
lim (1)n
n
1 ，所以 R 1 。
a n n
n n 1 (1)n1
当 x 1 时, (1)n1 (1)n 1 发散；
u n n
n an xn
第十一章 第3节 幂级数
∞ n n
∑x
n =0
∞
2n
1 = 1− x2
21
例7. 求级数
∑nx
n=1
∞
n
的和函数 S(x) .
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 故当 x ∈(−1 , 1) 时
S(x) = ∑n x
n=1 =1 ∞
∞
n= x
n=1 =1
n xn−1 ∑
∞
∞
= x ∑(xn )′= x( ∑xn )′
(x ≠ 0) ,当 x = 1 时 收敛 ,
但当 0 < x ≠ 1时 , lim un (x) = ∞ , 级数发散 ;
n→∞
所以级数的收敛域仅为 x = 1
4
二. 幂级数及其收敛性质 形如
∑a (x − x )
n=0 n 0
∞
n
= a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 ) +L+ an (x − x0 ) +L
[ 2(n +1) ] ! 2(n+1) x 2 [ (n +1) ! ] [ 2 n ] ! 2n x 2 [n [ n! ]
16
(−1)n 1 n ( ) 的收敛域. 例 6 求 数∑ 级 n 1+ x n=1 由达朗贝尔判别法 解
∞
un+1 ( x ) n 1 1 + = ⋅ (n → ∞) → un ( x ) n + 1 1 + x 1+ x
1 (1) 当 < 1, ⇒ 1 + x > 1, 1+ x
即 x > 0或x < −2时,
∑x
n =0
∞
2n
1 = 1− x2
21
例7. 求级数
∑nx
n=1
∞
n
的和函数 S(x) .
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 故当 x ∈(−1 , 1) 时
S(x) = ∑n x
n=1 =1 ∞
∞
n= x
n=1 =1
n xn−1 ∑
∞
∞
= x ∑(xn )′= x( ∑xn )′
(x ≠ 0) ,当 x = 1 时 收敛 ,
但当 0 < x ≠ 1时 , lim un (x) = ∞ , 级数发散 ;
n→∞
所以级数的收敛域仅为 x = 1
4
二. 幂级数及其收敛性质 形如
∑a (x − x )
n=0 n 0
∞
n
= a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 ) +L+ an (x − x0 ) +L
[ 2(n +1) ] ! 2(n+1) x 2 [ (n +1) ! ] [ 2 n ] ! 2n x 2 [n [ n! ]
16
(−1)n 1 n ( ) 的收敛域. 例 6 求 数∑ 级 n 1+ x n=1 由达朗贝尔判别法 解
∞
un+1 ( x ) n 1 1 + = ⋅ (n → ∞) → un ( x ) n + 1 1 + x 1+ x
1 (1) 当 < 1, ⇒ 1 + x > 1, 1+ x
即 x > 0或x < −2时,
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级数 ,
当 x R 时 , 它收敛,
故 sin nx n1 n2
(x R) 收敛 ,
所求收敛域为
(, )
即原级数在整个实数域上是绝对收敛的.
例2 判别 xn 1 x x2 xn n0 的敛散性, 并求其收敛域.
解 这是等比级数. 当 | x | 1 时 , 级数收敛 , 其和为 S(x) 1 . 1 x 当 | x | 1 时 , 级数发散.
2. 函数项级数的敛散性
设有 un (x), x I.
n1
若 x0 I 时 , un (x0) 收敛 , 则称 x0 为 un (x)
n1
n1
的收敛点 .
若 x0 I 时 , un (x0) 发散 , 则称 x0 为 un (x)
n1
n1
n1
n1
例3
证明
sin nx
n1 n2 x2
在 (,) 上一致收敛.
证 因为当 n 1 时, 有
sin nx n2 x2
n2
1
x2
1 n2
,
x (,),
优级数
1
n1 n2
为p
2 的 p 级数,
是收敛的,
故由魏尔斯特拉斯判别法可知,
sin nx
n1 n2 x2
在 (,) 上一致收敛.
二. 幂级数及其敛散性
1. 幂级数的定义
形如
anxn a0 a1x a2x2 anxn
n0
的级数称为幂级数, 其中, 常数 an (n 0,1, 2,)
称为幂级数的系数. 幂级数的定义域为（ , ）.
的发散点 .
un (x) 的所有收敛点构成的集合称为
n1
它的收敛域, 记为 D .
un (x) 的所有发散点构成的集合称为
n1
它的发散域 .
3. 函数项级数的和函数
若 x0 为 un (x) 的收敛点 , 则有
n1
S(x0) un (x0)
n1
于是 , 在 un (x) 的收敛域 D 上 , 称函数
).
4. 函数项级数敛散性判别 可以适当地运用常数项级数的敛散性
判别法, 判别函数项级数的敛散性.
特别注意比较判别法的应用.
例1
判别 sin nx n1 n2
(x R) , 的敛散性 ,
并求其收敛域.
解
sin nx n2
1 n2
(x R)
又
n1
1 n2
是
P
2的P
第三章 函数的极限与连续性
第六节 幂 级 数
一. 函数项级数 二. 幂级数及其敛数
1. 函数项级数的定义
设有一函数序列 u1(x) , u2 (x) , , un (x) ,
其中, ui (x) (i 1, 2,) 在区间 I 上有定义 , 则称
则称函数项级数un (x) 在 D 上一致收敛于 S(x).
n1
(其中, N( )表示N为只依赖于 的正整数.)
由于函数项级数的部分和函数以及和函数 都是定义在收敛域 D 上的函数, 故可以运用函 数极限中的柯西准则来判别函数项级数的一致 收敛性.
请看书中的柯西收敛原理!
魏尔斯特拉斯利用正项级数的比较判别法 创建了一个十分有用和十分重要的一致收敛判 别法——魏尔斯特拉斯判别法.
n1
S(x) un(x)
n1
( xD)
为函数项级数的和函数.
称函数项级数的前 n 项之和为其部分和：
n
Sn (x) uk (x)
k 1
不论级数在点 x x0 处是否收敛, 均可写出其部分和.
如果级数在点 x x0 处收敛, 则有
lim
n
Sn
( x0
)
S
( x0
函数项级数
第三章 函数的极限与连续性
本章学习要求： 了解函数极限的概念，知道运用“ε－δ”和 “ε－X ”语言描
述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则
以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。
掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。
un (x) u1(x) u2(x) ui (x)
n1
为定义在区间 I 上的函数项级数.
函数项级数
un (x) u1(x) u2(x) ui (x)
n1
x0 I
un (x0) 就是一个常数项级数
n1
可以利用常数项级数的知识来处理函数项级数
故该级数的收敛域为: x (1, 1) .
要打开思路!
几个问题
lim
xx0
un (x)
n1
n1
lim
xx0
un
(
x)
x0 D？
如果 un (x) S(x) x I ,
n1
若 un(x) C( I ) , 则 S(x) C( I ) ?
在级数一致收敛的条件下, 以上两个问题的 答案是: 肯定成立 .
5. 函数项级数的一致收敛性
一致收敛性的定义
由定义: 函数项级数 一致收敛则必收敛.
设 un (x) 的收敛域为 D, 其部分和函数为Sn (x),
n1
和函数为 S ( x).
若 0, N N( ) , 当n N 时, 有
| Sn (x) S(x) | , x D,
魏尔斯特拉斯判别法
若函数项级数 un (x) 在区间I 上满足 :
n1
(1) N 0, 当 n N 时, | un (x) | an, x I;
(2) 正项级数 an 收敛, 关键!
n1
则 un (x) 在 I 上一致收敛.
n1
通常称an 为 un (x) 的优级数.