九年级数学上册2.31元2次方程根的判别式教案新版湘教版3 精品教案(大赛1等奖作品)

变式 不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1)2x2＋5＝7x；(2)4x(x－1)＋3＝0；(3)4(y2＋0.09)＝2.4y.
规范化操作是形成正确技能的关键，通过学生的规范操作形成技能，积累经验.
【拓展提升】
1．利用根的判别式求字母系数的取值
例2[扬州中考]已知关于x的方程(k－1)x2－(k－1)x＋＝0有两个相等的实数根，求k的值．
2.3一元二次方程根的判别式
课题
2.3一元二次方程根的判别式
授课人
教
学
目
标
知识技能
能够理解一元二次方程根的判别式，并能运用根的判别式进行相关的计算或推理．
数学思考
经历探索根的判别式与应用的过程，发展学生合情合理的推理能力．
问题解决
理解根的判别式：b2－4ac≥0.能不解方程判别方程根的情况，能利用根的判别式求字母系数的值或取值范围．
[解析] (1)如图①，∠ABP＝30°，∵∠ABC＝60°，∴∠ACB＝30°.∵BC＝6，∴AB＝3，∴AC＝3，在Rt△BAP中，tan30°＝，AP＝AB·tan30°＝3×＝，∴CP＝3－＝2.
(2)如图②，由图①知AB＝3，又∠ABP＝30°，∴AP＝，∴CP＝3＋＝4.
(3)如图③，∵∠ABC＝∠ABP＝30°，∠BAC＝90°，∴∠C＝∠P，∴BC＝BP.∵∠C＝60°，∴△CBP是等边三角形，∴CP＝BC＝6.
③[师生互动反思]
___________________________________________
___________________________________________
④[习题反思]
好题题号_____________________________________
错题题号____________________________________
【应用举例】
例1[教材P44例]不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：(1)3x2＋4x－3＝0；(2)4x2＝12x－9；(3)7y＝5(y2＋1)．
讲评策略：强调必须先化方程为一元二次方程的一般形式，然后计算根的判别式后，根据值的正、负或是否为零，作出结论．可以组内先分开做，然后互相检查解答过程是否规范．
②[讲授效果反思]
重点内容做到重点讲解：一元二次方程根的判别式的应用．
③[师生互动反思]
从学生课堂表现，师生互动分析，发现学生能够掌握基本知识，同时对于根的判别式有一定的了解．
④[习题反思]
好题题号_______________________________________
错题题号_______________________________________
[滨州中考]在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝，则BC的长为(A)
A.6B．7.5C．8D．12.5
[解析]如图4－3－7，∵∠C＝90°，
∴sinA＝.
图4－3－7
∴BC＝AB·sinA＝10×＝6.
【探究2】(多媒体出示)
2.无“斜”选“切”的策略：若已知和所求均未涉及斜边，则要选择与斜边无关的边角关系式——正切，这种方法称之为无“斜”(斜边)选“切”(正切)的策略.
边角关系：sinA＝，cosA＝，tanA＝.
学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
1.△ABC中，若∠C＝90°，∠A＝30°，c＝10cm，那么a＝__5__cm，b＝__5___cm.
2.若∠A＝40°，c＝10cm，那么由sinA＝，得a＝c·sinA＝__10·sin40°__，由cosA＝，得b＝c·cosA＝__10·cos40°__.
②[讲授效果反思]
解直角三角形是重点，而选择恰当的边角关系式则是难点，为了突破此难点，本节课选择了两个例题让学生探究、讨论，总结出选择边角关系式的策略：有“斜”选“弦”，无“斜”选“切”；避“除”就“乘”，能“正”不“余”．由于有这些例题的引导，学生对于两类型的解直角三角形问题的掌握，应该没有问题，建议把补充练习也安排给成绩中等及以上的学生.
拓展提升的几种题型是常见的，也是热点题型.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1．教材P45练习中的T1，T2.
2．教材P45习题2.3中的T1，T2.
当堂检测，及时反馈学习效果.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[讲授效果反思]
通过拓展提升例题的分析与讲解，开阔了学生的视野，积累解题的经验，正确培养学生的合情推理能力，让学生切身感受到自己是学习的主人，为学生今后获取知识、探索发现和创造打下了良好的基础．
复习公式法解一元二次方程的操作过程，引出问题，激发学生的探究欲望.
活动
二：
实践
探究
交流新知
【探究】根的判别式与一元二次方程根的关系
结合课堂引入的思考题的回答，继续提问：
(1)你能解一元二次方程x2－2x＋3＝0吗？
(2)对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac＜0时，它的根的情况是怎样的？当b2－4ac>0呢？
情感态度
通过根的判别式的应用，提高学生的运算能力，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信．
教学重点
利用根的判别式进行相关的判定和计算．
教学难点
根的判别式的简单应用．
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
我们学习了用公式法解一元二次方程，它的一般步骤是什么？
归纳：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；
当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．
通过学生的实际操作，总结结论，再次经历知识的形成过程，培养学生自主探究，合作交流的行为习惯.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
图4－3－9
例3是需要画图后解直角三角形的问题，画图时需要分类讨论，注意解答时不要漏解.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1.教材P123练习中的T1，T2，T3.
2.教材P123习题4.3中的T1，T2，T3.
3.补ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ练习.
(1)在Rt△ABC中，CA＝CB，AB＝9，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD＝，则BD的长为__6__.
3.清明节时，某中学的近千名师生到
龙山烈士陵园祭奠抗战烈士．如图4－3－6，山坡的坡面AB＝200米，坡角∠BAC＝30°，该山坡的高BC为多少米？[答案：100米]
图4－3－6
鼓励学生独立解决问题，让学生初步感受已知一锐角和一边可以求出其他边.
活动
二：
实践
探究
交流新知
【探究1】(多媒体出示)
1.涉“斜”选“弦”的策略：当已知和所求涉及直角三角形的斜边时，应选择与斜边相关的已知角的正弦、余弦．我们把它叫作涉斜(涉及斜边)选弦(选正弦、余弦)的策略.
反思，更进一步提升.
第4章锐角三角函数
4.3解直角三角形
课题
4.3解直角三角形
授课人
教
学
目
标
知识技能
使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
数学思考
通过实际问题的情境，让学生感受到在生活中解直角三角形知识的实际意义．
问题解决
通过学习解直角三角形，归纳出解直角三角形的两种类型．
1.本活动的设计意在引导学生通过自主探究，合作交流，恰当地选择边角关系式，使其对具体问题的认识从形象到抽象，训练学生能从实际问题中抽象出数学知识．旨在培养学生发现问题的意识，提高学生的抽象思维能力，同时也为后续归纳一元二次方程提供材料.
2.还可以根据∠A＝60°，可得∠B＝30°，利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出斜边长40m，再利用勾股定理求出BC.
例3[益阳中考]一元二次方程x2－2x＋m＝0总有实数根，则m应满足的条件是()
A．m＞1B．m＝1
C．m＜1D．m≤1
2．证明一元二次方程恒有实数解
例4m为任意实数，试说明关于x的方程x2－(m－1)x－3(m＋3)＝0恒有两个不相等的实数根．
3．根与系数的关系在三角形形状判定中的应用
例5已知a，b，c为△ABC的三边长，且关于x的方程(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
学生回答后课件展示，并强调每一步的注意事项：
(1)把方程化为一般形式，进而确定a，b，c的值．(注意符号)
(2)求出b2－4ac的值．(先判别方程是否有根)
(3)在b2－4ac≥0的前提下，把a，b，c的值代入求根公式，求出的值，最后写出方程的根．
思考：为什么必须先求出b2－4ac的值？如果b2－4ac的值小于零，又会出现什么情况？
而cosA＝，∴AB＝＝＝.
∵tanA＝，∴BC＝tanA·AC＝tan30°×10＝.
变式 在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝72°，AB＝10，则边AC的长约为(精确到0.1)(C)
A.9.1B．9.5C．3.1D．3.5
[解析]在Rt△ABC中，cosA＝，∴AC＝AB·cosA＝10·cos72°≈3.1.所以选C.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1在△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，解这个直角三角形.
解：AB＝＝＝2.
∵tanA＝＝＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°.
例2在△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，∠A＝30°，解这个直角三角形.
解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°－30°＝60°.
情感态度
发展学生的数学应用意识，提高归纳能力，感受解直角三角形的策略．
教学重点
解直角三角形的有关知识．
教学难点
选择恰当的边角关系，解直角三角形．
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
Rt△ABC中的关系式．(∠C＝90°)
图4－3－5
两锐角的关系：∠A＋∠B＝90°.
三边之间的关系：a2＋b2＝c2.
反思，更进一步提升.
图4－3－8
如图4－3－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝20m，则BC的长大约为(结果精确到0.1m)(B)
A.34.4mB．34.6m
C.28.3mD．17.3m
[解析]直接利用tanA＝，得BC＝AC·tanA.
∴BC＝AC·tanA＝20≈34.6(m).
[活动总结]涉“斜”选“弦”，无“斜”选“切”．
图4－3－10
(2)如图4－3－11，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为__＋1__．
图4－3－11
当堂检测，及时反馈学习效果.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
本节课采用清明节登山、测山高作为新课导入，题型新颖，深受学生喜爱，有利于调动学生学习解直角三角形的积极性.
例1主要是已知两边解直角三角形，注意已知两边解直角三角形的方法技巧.
例2及其变式主要是已知一边及一锐角解直角三角形．注意已知一边及一锐角解直角三角形的方法技巧.
【拓展提升】
例3[南昌中考]在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6.若点P在直线AC上(不与点A，C重合)，且∠ABP＝30°，则CP的长为__2_或4_或6__.