考研数学基础班讲义1
数学分析考研辅导班讲义1
n
2n p
p
11 2n1 2n2
1 2n
p
1 2n1
1
1 2p
1
1 2
1 2n
1 n
，
故 0 ， N 1 0 ，当 n N 时， 自然数 p ，由以上不等式知
an p an
1 n
，
故an 收敛. 定理 1.2.2 数列an 收敛 an 的任意两个子数列都收敛，且都收敛于同一
1
2 n2 n
n
1 n2 1
2 n2
2
n n2
n
1
2 n2 1
n
nn 1
2 n2 1
而
lim n n 1
n 2 n2 1
1 2
，故原极限
1 2
.
例 1.2.8 设 0 x1 1, xn1 xn 1 xn , n 1, 2, ， 证 明 xn 收 敛 ， 并 求
第 3 步 写出 u 在不同区间段上 x 所对应的变化区间；
第 4 步 将第 3 步中所得结果代入 y f (u) 中，便得 y f (g(x)) 的
表达式及相应 x 的变化区间 .
练习题
1
设
f
(x)
1, 0,
x 1 x 1
，
g(x)
2 x2,
2,
x 2 x 2
ab
b 0 不存在 b 0 不定 a 0 不存在 a 0 不定
不确定
lim an b n n
考研数学基础复习全书《知识点解析》讲义01
考研数学基础复习全书《知识点解析》注重积累夯实基础紧扣大纲精准把握知识网络一目了然目录第一章函数极限与连续第二章一元函数微分学第三章一元函数积分学第四章微分方程第五章多元函数微分学第六章二重积分第七章无穷级数（数一，数三）第八章多元函数积分学（数一）第一章函数极限与连续考纲要求：1：理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。
2：了解函数的有界性，单调性，周期性和奇偶性。
3：理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数:及隐函数的概念4：掌握基本初等函数的性质及图形，了解初等函数的概念5：理解极限的概念，理解函数左极限和右极限的概念以及函数极限存在与左，右极限之间的关系。
6：掌握极限的性质及四则运算法则。
7：掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法8：理解无穷小量，无穷大量的概念掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限9：理解函数连续性的概念（含左连续右连续），会判别函数间断点的类型。
10：了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性最大值最小值定理介值定理零点定理），并会应用这些性质知识结构：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-∞→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧第二类间断点第一类间断点间断点质闭区间上连续函数的性连续的定义连续连续单调有界准则夹逼准则、定积分定义限计算连续化，转化为函数极将极限的计算保号性有界性唯一性极限的性质极限运算的过程性语言定义极限的定义数列的极限泰勒公式计算极限的高级工具七种未定式极限化简先行极限的计算局部保号性局部有界性唯一性极限的性质极限运算的过程性语言定义六种趋向极限的定义函数的极限极限函数的性质比较重要的函数函数的概念函数n x n δεδε---具体内容：一：函数的概念与性质 1:函数的概念设y x 与是两个变量，中的每个值若对于是实数集的某个子集，D D x ， 按照一定的法则f 有唯一的值y 与之对应，则称变量y 为变量x 的函数记作()x f y =。
2010_考研数学基础班高等数学讲义(全全部)
第一章 函数、极限、连续第二章§1.1 函数（甲）内容要点 一、函数的概念1.函数的定义设D 是一个非空的实数集，如果有一个对应规划f ，对每一个x D ∈，都能对应惟一的一个实数y ，则这个对应规划f 称为定义在D 上的一个函数，记以y =f (x )，称x 为函数的自变量，y 为函数的因变量或函数值，D 称为函数的定义域，并把实数集{}|(),Z y y f x x D ==∈称为函数的值域。
2.分段函数如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两上或两个以上的表达式来表示。
这类函数称为分段函数。
例如21<1() -115 >1x x y f x x x x x +-⎧⎪==≤≤⎨⎪⎩是一个分段函数，它有两个分段点，x ＝－1和x ＝1，它们两侧的函数表达式不同，因此讨论函数y =f (x )在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数。
需要强调：分段函数一般不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。
3.隐函数形如y =f (x )有函数称为显函数，由方程F （x ，y ）=0确定的y ＝y (x )称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数（不一定是一个单值函数），而有些隐函数则不能化为显函数。
4.反函数如果y =f (x )可以解出()x y ϕ=是一个函数（单值），则称它为f (x )的反函数，记以1()xfy -=。
有时也用1()y fx -=表示。
二、基本初等函数1.常值函数 y ＝C （常数）2.幂函数y xα=（α常数）3.指数函数xy a =（a ＞0，a ≠1常数）xy e=（e ＝2.7182…，无理数）4.对数函数 log a y x=（a ＞0，a ≠1常数）常用对数 10log lg y x x == 自然对数 log ln e y x x ==5.三角函数sin ;cos ;tan .y x y x y x ===cot ;sec ;csc .y x y x y x ===6.反三角函数 arcsin ;cos ;y x y arc x ==arctan ;cot .y x y arc x ==基本初等函数的概念、性质及其图像非常重要，影响深远。
考研数一线性代数讲义
(A) m+n
(5) 已知 α 1 , α 2 为 2 维列向量，矩阵 A= ( 2α 1 + α 2 , α 1 − α 2 ) ， B = (α 1 , α 2 ) 若行列式|A|=6，则|B|=_______ （-2）
(6) 设 A 为 n 阶正定阵，证明 A+E 的行列式大于 1 (7) 设 A 为 m 阶矩阵，B 为 n 阶矩阵，并且|A|=a，|B|=b, |C|=_____ （8）已知实矩阵 A=(aij)3×3 满足条件 （1）aij=Aij,其中 Aij 是 aij 的代数余子式;（2）a11 ≠ 0 计算行列式 |A|（提示：利用伴随矩阵行列式公 式和行列式按行或列展开的公式） (9) 设 A 为 n 阶非零方阵，A 是 A 的伴随矩阵，A 是 A 的转置矩阵，当 A = A 时，证明： | A |≠ 0
−1 −1
2 2
= A (2) (kA) −1 =
1 −1 −1 −1 −1 (3) ( AB) = B A ；反之， B −1 A−1 = ( AB)−1 A k
−1 −1 ( A1 A2 ... As ) −1 = As As −1 ... A1 −1 ； 注意等式 AB −1 = ( BA−1)−1 的应用。
a11 a 22 a nn =
a11 a 22 * a nn =
a11 a 22 * a nn = a11 .a 22 ...a nn
3
副对角行列式 D =
a11 a 21 a n1 1 x1
n −1 x1
a12 a 22
0
a1,n −1 a 2,n −1
0
a1n
0 0
考研数学基础班讲义1
----高等数学----第一章函数、极限、连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。
它们是每年必考的内容之一。
第一节数列极限与函数极限【大纲内容】数列极限与函数极限的定义以及它们的性质；函数的左极限与右极限；无穷小和无穷大的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较；极限的四则运算；极限存在的两个准则；单调有界准则和夹逼准则；两个重要极限：；洛必达（）法则。
【大纲要求】理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；掌握用洛必达（）法则求未定式极限的方法。
【考点分析】数列极限的考点主要包括：定义的理解，极限运算法则的理解，单调有界准则和夹逼准则求极限，利用定积分的定义求和式的极限等等。
函数极限的考点主要包括：用洛必达法则求未定式的极限，由已知极限求未知极限，极限中的参数问题，无穷小量阶的比较等等。
一、数列的极限1.数列的极限无穷多个数按一定顺序排成一列：称为数列，记为数列，其中称为数列的一般项或通项。
设有数列和常数A 。
若对任意给定的，总存在自然数，当n>N 时，恒有，则称常数A 为数列的极限，或称数列收敛于A，记为或。
没有极限的数列称为发散数列。
收敛数列必为有界数列，其极限存在且唯一。
2.极限存在准则（1）定理（夹逼定理）设在的某空心邻域内恒有，且有，则极限存在，且等于A .注对其他极限过程及数列极限，有类似结论.（2）定理：单调有界数列必有极限.3.重要结论：（1）若，则，其中为任意常数。
（2）。
（3）。
【考点一】（1）单调有界数列必有极限.（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为＋∞.（3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为－∞.【评注】（1）在应用【考点一】进行证明时，有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需要及时进行调整证明次序。
考研数学基础班概率统计讲义汤家凤
考研数学基础班概率统计讲义—汤家凤考研数学基础班概率统计讲义第一章随机事件与概率一、随机试验与随机事件（一）基本概念1、随机试验—具备如下三个条件的试验：（1）相同条件下可重复。
（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。
（3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为E。
2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。
3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。
（二）事件的运算12312312341、对事件A，有P(A)??0（非负性）。
2、P(?)??1（归一性）。
??3、设A1,A2,L,A n,L为不相容的随机事件，则有P(U A n)????P(A n)（可列可加性）。
n?1n?1（二）概率的基本性质1、P(?)??0。
n n2、设A1,A2,L,A n为互不相容的有限个随机事件列，则P(U A k)????P(A k)。
k?1 k?13、P(A)??1??P(A)。
4、（减法公式）P(A??B)??P(A)??P(AB)。
Array 1（（23（（1相互独立。
2（（（3）设P (A )??0,P (B )??0，若A ,B 独立，则A ,B 不互斥；若A ,B 互斥，则A ,B 不独立。
四、全概率公式与Bayes 公式1、完备事件组—设事件组A 1,A 2,L ,A n 满足：（1）A i A j ???(i ,j ??1,2,L ,n ,i ?j )；n（2）U A i ????，则称事件组A 1,A 2,L ,A n 为一个完备事件组。
i ?12、全概率公式：设A 1,A 2,L ,A n 是一个完备事件组，且P (A i )??0(i ??1,2,L ,n )，B 为事件，则nP (B )????P (A i )P (B |A i )。
i ?13、贝叶斯公式：设A 1,A 2,L ,A n 为一个完备事件组，且P (A i )??0(i ??1,2,L ,n )，B 为任一随机事件，P (B )P (A i )P (B |A i )1（2概率为3???9，16则P (A 45不发生B1(C)P(AB)??P(A)P(B)；(D)P(AB)??P(A)P(B)。
考研数学基础串讲讲义
考研数学的命题特点1. 基础性【例一】极限定义1、lim x →∙是什么？（lim n →∞是什么？）①lim x →∙1）“x →∙”存在六种情形 （1）0x x →00,0,x x εδ∃><-< （2）0x x +→00,0,x x εδ∃><-<（3）0x x -→00,0,x x εδ∃><-<(4) x →∞0,,X x X ∃>> (5) x →+∞0,,X x X ∃>> (6) x →-∞0,,X x X ∃><-2极限趋向的“过程性”——若lim x →∙f(x)∃，则f(x)在x →∙时处处有定义（命题A ⇒B ，则B ⇒A ）故有：若f(x)在x →∙时至少一点无定义，⇒lim x →∙f(x)不存在。
（2016）求0lim x →1sin sin()1sin()x x x x⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】x →∙，xsin(1x)→0x ~0, sinx ~x. 狗~0，sin 狗~狗xsin(1x )→0, xsin(1x )~sin(xsin(1x))故原式=1知道为什么这么做不对吗？来看看正解吧!【正解】当x=π1k ，|k|充分大，xsin(1x )=0。
还记得极限的定义吗？0x →时可以取到0嘛？答案当然是不可以！但是却可以取到除零外任意小的点，例如取x=π1k ，此时xsin(1x )的极限=0。
所以xsin(1x)在时0x →不能叫0→，而叫做无穷小量。
故f(x)= 1sin(sin())1sin()x x x x在x=π1k 处无定义，⇒原极限不∃ ②lim n →∞n →∞只有一种情形，专指n →+∞∃N>0, n>N（注意n 是自然数，没有负的，而且都是整数，所以是离散的） 2、极限定义 ①函数极限的定义 若0lim x x →f(x)=A ⇔∀ε>0, ∃δ>0,当0<|x-x0|<δ时，|f(x)-A|<ε②数列极限的定义。
考研数学之高等数学讲义第一章(考点知识点概念定理总结)
高等数学讲义目录第一章函数、极限、连续 (1)第二章一元函数微分学 (24)第三章一元函数积分学 (49)第四章常微分方程 (70)第五章向量代数与空间解析几何 (82)第六章多元函数微分学 (92)第七章多元函数积分学 (107)第八章无穷级数（数一和数三） (129)第一章 函数、极限、连续§1.1 函数(甲) 内容要点一、函数的概念1．函数的定义 2．分段函数3．反函数 4．隐函数二、基本初等函数的概念、性质和图象三、复合函数与初等函数四、考研数学中常出现的非初等函数1．用极限表示的函数(1) )(lim x f y n n ∞→= (2) ),(lim x t f y xt →= 2．用变上、下限积分表示的函数(1) ⎰=x a dt t f y )( 其中)(t f 连续，则)(x f dx dy = (2) ⎰=)()(21)(x x dt t f y ϕϕ 其中)(),(21x x ϕϕ可导，)(t f 连续， 则2211[()]()[()]()dy f x x f x x dxϕϕϕϕ''=- 五、函数的几种性质1． 有界性：设函数)(x f y =在X 内有定义，若存在正数M ，使X x ∈都有M x f ≤)(，则称)(x f 在X 上是有界的。
2． 奇偶性：设区间X 关于原点对称，若对X x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 在X 上是奇函数。
若对X x ∈，都有()()f x f x -=，则称)(x f 在X 上是偶函数，奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于y 轴对称。
3． 单调性：设)(x f 在X 上有定义，若对任意X x X x ∈∈21,，21x x <都有)()(21x f x f <)]()([21x f x f >则称)(x f 在X 上是单调增加的[单调减少的]；若对任意1x X ∈，2,x X ∈12x x <都有1212()()[()()]f x f x f x f x ≤≥，则称)(x f 在X 上是单调不减[单调不增]（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。
数学基础班-线性代数讲义
数学基础班网络课程电子版教材线性代数部分前 言1．复习线性代数应该着重于概念部分线性代数的特点：概念性强，它的许多概念和性质比较复杂和抽象，而计算题型不多，它们虽然计算量大，但是方法初等，技巧性差。
另一方面，考研命题的特点是综合，多变，追求新颖，因此题目的典型性淡化了，灵活性增加了。
这个特点尤其在线性代数上反映得最明显。
于是，在理论上提高自己，加深对概念的理解，拓宽解题思路，增强应变能力才是应对这样的考题的有效途径。
为此，我认为对线性代数的考前准备，自始至终都应该把加深理论的理解放在最重要的位置上。
在现在的基础复习阶段更加应该这样做。
重点放在帮助大家在理论上打好基础，并在此基础上改进解题方法。
2．怎样来复习概念？梳理，沟通，充实提高。
梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。
沟通：突出各部分内容间的联系。
充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷的方法。
大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不知道的。
但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。
3．对大家学习的建议学习数学一定要自己动脑，动手。
我们的课程比学校的课程是大大浓缩的，强度很大。
要想收到好的效果不能只听，自己要花很大努力。
（1）有预习，最好先把过去学这门课时的教材和笔记看看。
（2）听课时着重于理解，不要只顾记笔记。
在所发的讲义中，重要的内容都会写出的。
（3）最好能同步的复习，消化，做题。
为此在相邻的两次课之间留有足够的时间。
第一讲 基本知识一．线性方程组的基本概念m 与n 不一定相等。
两个研究目标：（1）讨论解的情况（n k k k ,,,21 ）唯一解，无穷多解，无解（2）求解，无穷多解时求通解。
齐次线性方程组：021====m b b b 。
零解（0,,0,0 ）。
唯一解：即只有零解。
无穷多解：有非零解。
二．矩阵和向量1．什么是矩阵和向量系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211 增广矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m mn m m n n b b b a a a a a a a a a 21212222111211 ()1,3,1-，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1312．线性运算与转置①加（减）法 ②数乘①A B B A +=+②()()C B A C B A ++=++③()cB cA B A c +=+ ()dA cA A d c +=+④()()A cd dA c =⑤00=⇔=c cA 或0=A 。
2015年考研数学基础班讲义
2015年考研数学基础班讲义武忠祥第一章 函数 极限 连续第一节 函 数一、内容概要（一）函数的定义定义1 设x 和y 是两个变量，D 是一个给定的数集.如果对于每个数D x ∈，变量y 按照一定的法则总有一个确定的数值y 和它对应，则称y 是x 的函数，记为)(x f y =.常称x 为自变量，y 为因变量,D 为函数的定义域.注：函数概念有两个基本要素：定义域、对应规则（或称依赖关系）.当两个函数的定义域与对应规则完全相同时，它们就是同一函数.（二）函数的性质1. 单调性定义2 设函数)(x f y =在某区间I 上有定义，如果对于区间I 上的任意两点21x x <恒有)()(21x f x f <（或)()(21x f x f >），则称)(x f y =在该区间内单调增加（或单调减少）.注：函数的单调性主要是利用单调性的定义和一阶导数的正负进行判定。
2. 奇偶性定义3 设函数)(x f y =的定义域D 关于原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-），如果对于任一D x ∈，恒有)()(x f x f =-，则称)(x f 为D 上的偶函数；如果恒有)()(x f x f -=-，则称)(x f 为D 上的奇函数.注:1）奇函数)(x f y =的图形关于原点对称，且若)(x f 在0=x 处有定义，则 0)0(=f ；偶函数的图形关于y 轴对称.2）两个奇（偶）函数之和仍为奇（偶）函数；两个奇（偶）函数之积必为偶函数；奇函数与偶函数之积必为奇函数.3. 周期性定义4 若存在实数0>T ，对于任意x ，恒有)()(x f T x f =+，则称)(x f y =为周期函数.使得上述关系式成立的最小正数T 称为)(x f 的最小正周期，简称为函数)(x f 的周期.注:x sin 和x cos 以π2为周期，x 2sin 和x sin 以π为周期.4. 有界性定义5 设)(x f y =在集合X 上有定义.若存在0>M ，使得对任意的I x ∈，恒有M x f ≤|)(|，则称)(x f 在X 上为有界函数.注：1）如果没有指明x 的范围，而说“)(x f 为有界函数”，是指)(x f 在其定义域上为有界函数.2）如果对任意的0>M ，至少存在一个X x ∈0，使得M x f >)(0，则)(x f 为X 上的无界函数.（三）常见函数1. 反函数定义6 设函数)(x f y =的定义域为D ，值域为y R .若对任意y R y ∈，有唯一确定的D x ∈，使得)(x f y =，则记为)(1y f x -=，称其为函数)(x f y =的反函数.注：有时也将)(x f y =的反函数)(1y f x -=写成)(1x f y -=.在同一直角坐标系中，)(x f y =和)(1y f x -=的图形重和，)(x f y =和)(1x f y -=的图形关于直线x y =对称.2. 复合函数定义7设函数)(u f y =的定义域为f D ，函数)(x g u =的定义域为g D ，值域为g R , 若φ≠⋂g f R D ,则称函数)]([x g f y =为函数)(u f y =与)(x g u =的复合函数.它的定义域为{}f g D x g D x x ∈∈)(,.。
考研数学讲义
第一部分第一章集合与映射§1.集合§2.映射与函数本章教学要求：理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表示法，函数的表示法与函数的一些基本性质。
第二章数列极限§1.实数系的连续性§2.数列极限§3.无穷大量§4.收敛准则本章教学要求：掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。
第三章函数极限与连续函数§1.函数极限§2.连续函数§3.无穷小量与无穷大量的阶§4.闭区间上的连续函数本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数的基本性质。
第四章微分§1.微分和导数§2.导数的意义和性质§3.导数四则运算和反函数求导法则§4.复合函数求导法则及其应用§5.高阶导数和高阶微分本章教学要求：理解微分，导数，高阶微分与高阶导数的概念，性质及相互关系，熟练掌握求导与求微分的方法。
第五章微分中值定理及其应用§1.微分中值定理§2.L＇Hospital法则§3.插值多项式和Taylor公式§4.函数的Taylor公式及其应用§5.应用举例§6.函数方程的近似求解本章教学要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式，并应用于函数性质的研究，熟练运用L＇Hospital法则计算极限，熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。
第六章不定积分§1.不定积分的概念和运算法则§2.换元积分法和分部积分法§3.有理函数的不定积分及其应用本章教学要求：掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。
历年考研数学高等数学基础讲义
考研数学高等数学基础讲义目录第一讲极限 (1)第二讲高等数学的基本概念串讲 (9)第三讲高等数学的基本计算串讲 (13)第四讲高等数学的基本定理串讲 (24)第五讲微分方程 (27)第六讲多元函数微积分初步 (29)1 第一讲 极限核心考点概述1.极限的定义2.极限的性质3.极限的计算4.连续与间断内容展开 一、极限的定义1. lim 是什么？ lim 是什么？x →∙n →∞（1）lim 的情况：x →∙①“ x → ∙ ”代表六种情形： x → x , x → x +, x → x -, x → ∞, x → +∞, x → -∞②函数极限运算的过程性——必须保证在作极限运算的过程中函数处处有定义，否则极限过程便无从谈起，于是极限就不会存在了。
比如下面这个例子：sinx sin 1 x【例】计算lim x →0. x sin 1x事实上，在 x = 0 点的任一小的去心邻域内，总有点 x = → 0（| k | 为充分大的正整数），k πsin x s in 1 sin x s in 1 x x 使 在该点没有定义，故lim不存在. x sin 1 x x →0x sin 1x（2）lim 是什么？n →∞2.极限的定义（1）函数极限的定义：lim f (x ) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当0 < x →x 0x - x 0< δ 时，恒有f (x ) - A < ε1n n12注：趋向方式六种（2）数列极限定义：lim x = a ⇔ ∀ε > 0, ∃N > 0, 当n > N 时，恒有 x - a < ε n →∞注：趋向方式只有一种【例】以下三个说法，（1）“ ∀ε > 0 ，∃X > 0 ，当 x > X 时，恒有件；εf (x ) - A < e 10”是“ lim x →+∞f (x ) = A ”的充要条（ 2 ）“ ∀ 正整数 N ， ∃ 正整数 K ，当 0 <“ lim f (x ) = A ”的充要条件；x →x 0x - x 0 ≤ K时，恒有 f (x ) - A ≤ 1 ” 是 2N（3）“ ∀ε ∈ (0,1) ， ∃ 正整数 N ，当n ≥ N 时，恒有| x n - a |≤ 2ε ”是“数列{x n } 收敛于a ” 的充要条件；正确的个数为（）（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3二、极限的性质1.唯一性（1） lim e x= ∞, lim e x= 0 ，（2）limsin x 不存在（3）lim arctan x 不存在（4）lim [x ]x →+∞x →-∞x →0xx →∞x →0不存在1- π e x 1【例】设k 为常数，且 I = lim x →0+k ⋅ arctan 存在，求 k 的值，并计算极限 I 。
考研数学基础班概率统计辅导讲义
若 lim M = p ，则对于一切 n ≥ 1, k = 0,1,
N →∞ N
,
n
，有
C C k n−k M N−M CNn
≈ Cnk pk (1− p)n−k .
j ≤ n ，有
5. n 个事件的相．互．独．立．：设 A1, A2 , , An 是 n 个事件，如果对任意的 k (1 < k ≤ n) ，任意 的1 ≤ i1 < i2 < < ik ≤ n ，具有等式 P( Ai1 Ai2 Aik ) = P( Ai1 )P( Ai2 ) P( Aik ) ，称 n 个事件 A1, A2 , , An 相互独立．
3. 常见的离散型随机变量的分布：
5
(1) 0 −1 分布 X ~ B(0−1) ，其分布律为
P{X = k} = pk (1− p)1−k , k = 0,1, 0 < p < 1 .
(2)二项分布 X ~ B(n, p) ，其分布律为
P{X = k} = Cnk pk (1− p)n−k , k = 0,1, , n, 0 < p < 1 . (3)泊松(Poisson)分布 X ~ P(λ) ，其分布律为
k =1
k =1
和事件.
3. 积事件：事件 A 与 B 同时发生，记为 A ∩ B 或 AB .
∩ ∩ n
∞
类似地，称 Ak 为 n 个事件： A1, A2 , An 的积事件；称 Ak 为可．列．个事件 A1, A2 , 的
k =1
k =1
积事件.
4. 差事件：事件 A 发生而 B 不发生，记为 A − B 称为 A 与 B 的差事件；
1
5. 互不相容性：若 AB = φ ，称事件 A 与 B 是互不相容的，或互斥的. 6. 逆事件：若 A ∩ B = φ 且 A ∪ B = Ω ，称 A 与 B 互为逆事件，或对立事件；将 A 的对立
第一讲 数列极限
则 lim xn 存在，且 lim xn a
n n
。
注：该定理既可以说明极限存在，又可以求极限。 【例 7】求极限 lim n
n
1 1 1 2 2 2 n n . n n 2
练习：求极限 lim
n k 1
n
1 n k .
n
【练习】 （2006）设数列 xn 满足 0
n
x1 , xn 1 sin xn ( n 1, 2,)
（Ⅰ）证明 lim xn 存在，并求该极限；
（Ⅱ）计算 lim n
xn 1 . xn
1 2 xn
【练习】设 x1 1, xn 1 1
命题 1： {xn } 收敛于 a 的充要条件是奇子列和偶子列都收敛到同一数 a 。 命题 2：若数列 {xn } 的两个子列收敛到不同数，则 {xn } 极限不存在。
【练习】下列数列极限是否存在：
n , n为奇数 1 n ； xn （1） n , n为偶数 1 n
n
a a arctan ), n n 1
其中a 0.
法一：转化为 x 时函数极限，用洛必达法则。
法二：利用公式 arctan b arctan a arctan 再利用等价无穷小替换即可。
ba , 1 ab
其中b a 0.
法三：利用拉格朗日中值定理。
10
n
(
)
1 n
(A) an
a 2
(B) an
a 2
(C) an a
1 n
(D) an a
2、数列极限的性质 （1）唯一性：数列收敛，则极限值唯一（证明） ； （2）有界性：数列收敛，则数列必有界（证明） ； （3）保号性： lim xn a 0 N , n N 时，xn 0 ;（ a 0 类似）
2012武忠祥数学基础班讲义
2012年考研数学基础班讲义（高等数学）第一章 函数 极限 连续一、函数1 函数的概念：2 函数的性态：单调性 奇偶性 周期性 有界性 有界性 ：定义：;)(,,0M x f I x M ≤∈∀>∃ 3 复合函数与反函数 (函数的复合,求反函数) 4 基本的初等函数与初等函数 1）基本初等函数:将幂函数 ,指数,对数,三角,反三角统称为基本初等函数。
了解它们定义域,性质,图形. 2）初等函数：由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数. 常考题型：1。
函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定； 2。
复合函数；例1 是)(e |sin |)(cos +∞<<−∞=x x x x f x （A）有界函数. （B）单调函数. （C）周期函数 （D）偶函数. 例2 已知[],1)(,sin )(2x x f x x f −==ϕ则______)(=x ϕ的定义域为._______解：； )1arcsin(2x −].2,2[−例3 设则⎩⎨⎧≥−<=⎩⎨⎧>+≤−=0,,0,)(,0,2,0,2)(2x x x x x f x x x x x g [].________)(=x f g解=)]([x f g ⎩⎨⎧≥+<+.0,2,0,22x x x x 二、极限 1 极限概念1) 数列极限: A a n n =∞→lim ：0 ,0>∃>∀N ε,当时，恒有N n >ε<−||A a n .2）函数极限: ： A x f x =∞→)(lim 0 ,0>∃>∀X ε,当时，恒有X x >||ε<−|)(|A x f .类似的定义 A x f x =+∞→)(lim ，A x f x =−∞→)(lim 。
A x f x =∞→)(lim ⇔ =+∞→)(lim x f x A x f x =−∞→)(limA x f x x =→)(lim 0：0 ,0>∃>∀δε,当δ<−<||00x x 时，恒有ε<−|)(|A x f 。
考研数学_概率论与数理统计（09考研数学_概率论与数理统计（基础班）讲义
考研数学基础班概率论与数理统计电子教材主讲：费允杰第一章 随机事件和概率第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
例1．1：方程x x x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ³n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ³n 种方法来完成。
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A ．120种B ．140种C ．160种D ．180种(4)一些常见排列①特殊排列相邻彼此隔开顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？②重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？③对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？④顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序）例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序）例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
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----高等数学----第一章函数、极限、连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。
它们是每年必考的内容之一。
第一节数列极限与函数极限【大纲内容】数列极限与函数极限的定义以及它们的性质；函数的左极限与右极限；无穷小和无穷大的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较；极限的四则运算；极限存在的两个准则；单调有界准则和夹逼准则；两个重要极限：；洛必达（）法则。
【大纲要求】理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；掌握用洛必达（）法则求未定式极限的方法。
【考点分析】数列极限的考点主要包括：定义的理解，极限运算法则的理解，单调有界准则和夹逼准则求极限，利用定积分的定义求和式的极限等等。
函数极限的考点主要包括：用洛必达法则求未定式的极限，由已知极限求未知极限，极限中的参数问题，无穷小量阶的比较等等。
一、数列的极限1.数列的极限无穷多个数按一定顺序排成一列：称为数列，记为数列，其中称为数列的一般项或通项。
设有数列和常数A 。
若对任意给定的，总存在自然数，当n>N 时，恒有，则称常数A 为数列的极限，或称数列收敛于A，记为或。
没有极限的数列称为发散数列。
收敛数列必为有界数列，其极限存在且唯一。
2.极限存在准则（1）定理（夹逼定理）设在的某空心邻域内恒有，且有，则极限存在，且等于A .注对其他极限过程及数列极限，有类似结论.（2）定理：单调有界数列必有极限.3.重要结论：（1）若，则，其中为任意常数。
（2）。
（3）。
【考点一】（1）单调有界数列必有极限.（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为＋∞.（3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为－∞.【评注】（1）在应用【考点一】进行证明时，有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需要及时进行调整证明次序。
（2）判定数列的单调性主要有三种方法：Ⅰ计算. 若，则单调递增；若，则单调递减。
Ⅱ当时，计算. 若，则单调递增；若，则单调递减。
Ⅲ令，将n改为x，得到函数。
若可导，则当时，单调递增；当时，单调递减。
【例1·证明题】设数列满足证明数列的极限存在并求极限.【答疑编号911010101】1.X0>0∵X0>0 ,假设 X n>0 , n≥2 ∵ X n >0 ,∴假设成立∵ X n >0 ,∴, n≥1，n≥1 时∵∴X n+1≤X n 且令，因为，由极限的保号性知令n→∞，↓∵∴a2=2【例2·证明题】设f（x ）是区间上单调减少且非负的连续函数，，证明数列的极限存在。
【答疑编号911010102】例2 ∵f（x）↓且 f（x）≥0＝∵ f（x）↓又∵ f（x）≥0≥0≤0∴a n≥0 ，且a n+1≤a n↓存在【考点二】（夹逼准则）设有正整数，当时，，且，则.【评注】在使用夹逼准则时，需要对通项进行“缩小”和“放大”，要注意：“缩小”应该是尽可能地大，而“放大”应该是尽可能地小，在这种情况下，如果仍然“夹”不住，那么就说明夹逼准则不适用于这个题目，要改用其他方法。
【例3·计算题】计算极限：【答疑编号911010103】例3∵∴ SinX≥0 ,∴∴根据积分的不等式定理若在[a ，b] f（x）≥g（x ），则。
∴∴↓ ↓↓令n→∞0 0 0（取右端点）（取左端点）【考点三】用定积分的定义计算和式的极限：由定积分的定义知，当连续时，有，【例4·计算题】求下列极限：【答疑编号911010104】【例5·选择题】等于（）【答疑编号911010105】【考点四】设，则。
也就是说，将数列中的正整数改为连续变量，令，则数列的极限等于相应的函数的极限。
综合题也很重要。
【例6·解答题】设在x=0某邻域内可导，且.求极限.【答疑编号911010201】6.∵ f（0）=1 ，f′（0）=2令1∞再利用重要极限【例7·选择题】设, 则极限等于（ ）【答疑编号911010202】而【例8·证明题】设，证明：（1）对于任何自然数n ，方程在区间中仅有一根。
（2）设【答疑编号911010203】要证:有根令（1）令，∴至少存在使F（x n）=0∴F（x ）在严格单减则F（x n）=0 且 x n唯一8.（2）∵在内∴在上严格单减∵∴∴二、函数的极限【考点五】也就是说，函数极限存在且等于A 的充分必要条件是，左极限与右极限都存在，并且都等于A。
①②【评注】在求极限时，如果函数中包含或项，则立即讨论左右极限和，再根据【考点五】判断双侧极限是否存在。
【例9·解答题】确定常数a 的值，使极限存在。
【答疑编号911010204】不存在X<0X→0 ,x>0令a=3-a【考点六】使用洛必达（）法则求型未定式的极限之前，一定要将所求极限尽可能地化简。
化简的主要方法：（1）首先用等价无穷小进行代换。
注意：等价无穷小代换只能在极限的乘除运算中使用，而不能在极限的加减运算中使用，但在极限的加减运算中高阶无穷小可以略去；（2）将极限值不为零的因子先求极限；（3）利用变量代换（通常是作倒代换，令）（4）恒等变形：通过因式分解或根式有理化消去零因子，将分式函数拆项、合并或通分达到化简的目的。
（5）常见的等价无穷小代换：当X→0时，我们有：未定式极限：∞－∞ ，0×∞1∞，00，∞0【例10·解答题】求极限.【答疑编号911010205】x→0,～x[ln（2＋cosx）－ln3]【例11·解答题】求极限【答疑编号911010206】解：x→0 ln（1+x）～x【例12·解答题】设函数f（x）在x=0处可微，又设，函数，求极限【答疑编号911010207】①②③【考点七】求型未定式极限的方法：（1）分子、分母同时除以最大的无穷大（2）使用洛必达（）法则【例13·解答题】求极限.【答疑编号911010301】13.【考点八】化和型未定式为型和型的方法是：（1）通分法（2）提因子法（3）变量代换法∞－∞，0×∞【例14·解答题】求极限. 【答疑编号911010302】14.（∞，-∞）x→0 ,（1+x）2-1～2x【例14】求极限.【例15·解答题】求极限：【答疑编号911010303】【例16·解答题】求极限 .【答疑编号911010304】【例17·解答题】求极限. 【答疑编号911010305】17.【考点九】（1）求幂指函数型不定式的极限，常用“换底法”或“用e 抬起法”，化为型后再使用洛必达法则，即（2）计算型极限的最简单方法是使用如下的型极限计算公式：。
推导如下（为简便，略去自变量 ）：【例18·解答题】（北京大学，2002年）求极限.【答疑编号911010306】【例19·解答题】计算.【答疑编号911010307】19.（1）当a＞1时，19.当0＜a＜1时【考点十】（1）已知＝，则有：（2）已知，若，则.【评注】在已知函数的极限求未知的参数问题时，【考点十】是主要的分析问题与解决问题的方法。
若且则【例20·解答题】设，则.【答疑编号911010401】【例21·选择题】设为两实常数，且有，则的值分别为（）【答疑编号911010402】（A ），（B ），（C ），（D ），【考点十一】在已知条件或欲证结论中涉及到无穷小量阶的比较的话，则“不管三七二十一”，先用无穷小量阶的比较的定义处理一下再说。
【评注】无穷小量阶的比较，是一个重要考点。
其主要方法是将两个无穷小量相除取极限，再由定义比较阶的高低。
设是同一过程下的两个无穷小，即。
若若则称是比低阶的无穷小；若若则称与是等价无穷小。
若＝C≠0,＞0,则称是的【例22·解答题】已知当时，与是等价无穷小，与是等价无穷小，求常数和。
【答疑编号911010403】（k＞0）【例23·选择题】当时，和都是关于的n阶无穷小量，而是关于的m阶无穷小，则（）。
【答疑编号911010404】（A）必有m=n （B ）必有（C ）必有（D）以上几种情况都有可能若则时，是的n阶无穷小量；若A+B=0则时，是比还高阶的无穷小；【例24·证明题】设函数f（x）在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且，。
证明：存在唯一的一组实数，使得当时，是比高阶的无穷小。
【答疑编号911010405】证明方程组有唯一解第二节 函数的连续性【考点分析】主要考点包括：函数连续的充要条件，间断点的类型及其判断，闭区间连续函数的性质定理及其应用等。
一、函数的连续性与间断点 Ⅰ.函数连续性概念 连续：定义1 设函数在点的某邻域内有定义，若，则称函数在点处连续，并称为连续点。
定义2 若函数在点的某个左（右）邻域内有定义，并且，则称函数在点处左（右）连续。
显然，函数在点处连续的充要条件是在点既左连续又右连续。
定义3 函数在开区间内连续，是指在内每点都连续；在闭区间上连续，是指在开区间内连续，并且在左端点处右连续，在右端点处左连续。
使函数连续的区间，称为的连续区间。
Ⅱ.函数的间断点及其分类定义函数不连续的点称为函数的间断点，即在点处有下列三种情况之一出现：（1）在点附近函数有定义，但在点无定义；（2）不存在；（3）与都存在，但，则称在点处不连续，或称为函数的间断点。
间断点的分类：设为函数的间断点，间断点的分类是以点的左、右极限来划分的。
第一类间断点：若与都存在，则称为第一类间断点：（1）若，则称为跳跃型间断点，并称为点的跳跃度；（2）若存在（即=），则称为可去间断点。
此时，当在无定义时，可以补充定义，则在连续；当存在，但时，可以改变在的定义，定义极限值为该点函数值，则在连续。
第二类间断点：若与中至少有一个不存在，则称为第二类间断点，其中若与中至少有一个为无穷大，则称为无穷型间断点；否则称为摆动型间断点。
【例25·解答题】设函数问a 为何值时，在x=0处连续；a为何值时，x=0是的可去间断点？【答疑编号911010501】在处连续【例26·解答题】设，其中试求的表达式，并求函数在间断点处的左、右极限。
【答疑编号911010502】由于【例27·解答题】试确定和的值，使有无穷间断点，且有可去间断点.【答疑编号911010503】二、闭区间上连续函数的性质定理定理1:（有界性定理）闭区间[a,b]上的连续函数必在[a,b]上有界。