人教B版选修(1-1)3.2.3《导数的四则运算法则》word学案
高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的运算 3.2.3
函数积的求导法则
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)
[Cf(x)]′＝Cf′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．常数与函数积的导数，等于常数乘以函数的导数
3.2.3导数的四
1.熟练掌握函数的和、差、积、商的求导法则．
2．能用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
导数的四则运算法则
设f(x)，g(x)是可导的，
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文字描述
函数和(或差)的求导法则
(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)
函数商的求导法则
′＝ (g(x)≠0)
两个函数商的导数，等于分母乘上分子的导数，减去分子乘以分母的导数所得的差除以分母的平方
思考1导数的运算法则成立的条件是什么？
提示：两个函数必须都是可导的，并且商式中要求分母不为零．
思考2积的导数公式与商的导数公式中分子的表达式相同吗？
提示：不相同．在两个函数积f(x)g(x)的导数公式中，f′(x)g(x)与g′(x)f(x)之间为“＋”号；而两个函数商的导数公式中，分子f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之间为“－”号．
高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章 导数的四则运算法则 参考教案__2
3.4 导数的四则运算法则教学目的：1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数．2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数3.能够综合运用各种法则求函数的导数教学重点：用定义推导函数的和、差、积、商的求导法则教学难点：函数的积、商的求导法则的推导．授课类型：新授课教学过程：一、复习引入：常见函数的导数公式：0'=C ；()'kx b k +=(k,b 为常数) 1)'(-=n n nx x ； ()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且 ()'x x e e =1(ln )'x x = 11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a==>≠且 x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=二、讲解新课：例1.求2y x x =+的导数.法则 1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即 []()()''()'()f x g x f x g x ±=±法则2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．[]()'()'cf x cf x = 法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 []()()''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+ 证明：令()()y f x g x =，则=∆y ()f x x +∆()g x x +∆-()()f x g x()f x x =+∆()g x x +∆-()f x ()g x x +∆+()f x ()g x x +∆-()()f x g x ，=∆∆x y ()()f x x f x x +∆-∆()g x x +∆+()f x ()()g x x g x x+∆-∆ 因为()g x 在点x 处可导，所以它在点x 处连续，于是当0→∆x 时，()()g x x g x +∆→， 从而0lim →∆x =∆∆x y 0lim →∆x ()()f x x f x x +∆-∆()g x x +∆+()f x 0lim →∆x ()()g x x g x x+∆-∆ '()()()'()f x g x f x g x =+，法则4 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即'2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭三、讲解范例：例1 求下列函数的导数1、y =x 2+sin x 的导数.2、求2(23)(32)y x x =+-的导数．(两种方法)3、求下列函数的导数 ⑴()sin h x x x = ⑵21()t s t t+= 4、y =5x 10sin x －2x cos x －9，求y ′5、求y =xx sin 2的导数. 变式：(1)求y =332++x x 在点x =3处的导数. (2) 求y =x1·cos x 的导数. 例2求y =tan x 的导数.例3求满足下列条件的函数()f x(1) ()f x 是三次函数,且(0)3,'(0)0,'(1)3,'(2)0f f f f ===-=(2)'()f x 是一次函数, 2'()(21)()1x f x x f x --=变式：已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 的图象过点P(0,2)，且在点M 处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式四、课堂练习：1.求下列函数的导数：(1)y =x a x a +- (2)y =232xx + (3)y =x cos 11- 五、小结 ：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数,商的导数法则(v u)′=2vv u v u '-'(v ≠0)，如何综合运用函数的和、差、积、商的导数法则，来求一些复杂函数的导数.要将和、差、积、商的导数法则记住六、课后作业：。
高中数学人教B版选修1-1学案：第三单元 3.2.3 导数的四则运算法则 Word版含答案
3.2.3导数的四则运算法则 学习目标1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．知识点一和、差的导数已知f (x )＝x ，g (x )＝1x .思考1f (x )，g (x )的导数分别是什么？思考2试求Q (x )＝x ＋1x ，H (x )＝x －1x 的导数．思考3Q (x )，H (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系？梳理和、差的导数(f (x )±g (x ))′＝f ′(x )±g ′(x )．知识点二积、商的导数已知f (x )＝x 2，g (x )＝sin x ，φ(x )＝3.思考1试求f ′(x )，g ′(x )，φ′(x )．思考2求H (x )＝x 2sin x ，M (x )＝sin x x 2，Q (x )＝3sin x 的导数．梳理(1)积的导数①[f (x )g (x )]′＝________________________.②[Cf (x )]′＝________.(2)商的导数[f (x )g (x )]′＝________________(g (x )≠0)． (3)注意[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x )，[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x ).类型一导数运算法则的应用例1求下列函数的导数：(1)f (x )＝13ax 3＋bx 2＋c ；(2)f (x )＝x ln x ＋2x ； (3)f (x )＝x －1x ＋1；(4)f (x )＝x 2·e x .反思与感悟(1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．(2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪训练1求下列函数的导数：(1)f (x )＝x tan x ；(2)f (x )＝2－2sin 2x 2； (3)f (x )＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)；(4)f (x )＝sin x 1＋sin x.类型二导数运算法则的综合应用命题角度1利用导数求函数解析式例2(1)已知函数f (x )＝ln x x＋2xf ′(1)，求f (x )； (2)设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，试确定常数a ，b ，c ，d ，使得f ′(x )＝x cos x .反思与感悟(1)中确定函数f (x )的解析式，需要求出f ′(1)，注意f ′(1)是常数．(2)中利用待定系数法可确定a ，b ，c ，d 的值．完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则．跟踪训练2已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2e x f ′(1)＋3ln x ，则f ′(1)等于()A ．－3B ．2eC.21－2eD.31－2e命题角度2与切线有关的问题例3已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数f ′(x )＝2x －8.(1)求a ，b 的值；(2)设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程．反思与感悟(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行恒等变换，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．跟踪训练3(1)设曲线y ＝2－cos x sin x 在点(π2，2)处的切线与直线x ＋ay ＋1＝0垂直，则a ＝________. (2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．1．下列结论不正确的是()A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x ＋1 D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x2．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于()A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )3．对于函数f (x )＝e x x 2＋ln x －2k x，若f ′(1)＝1，则k 等于() A.e 2B.e 3C ．－e 2D ．－e 34．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为() A ．－12B.12C ．－22D.225．设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，确定b 、c 的值．求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些与切线斜率、瞬时速度等有关的问题．答案精析问题导学知识点一思考1f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x2.思考2∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx－(x ＋1x ) ＝Δx ＋－Δx x (x ＋Δx )， ∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx ). ∴Q ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0[1－1x (x ＋Δx )]＝1－1x 2. 同理，H ′(x )＝1＋1x 2. 思考3Q (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的和．H (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的差． 知识点二思考1f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝cos x ，φ′(x )＝0.思考2H ′(x )＝2x sin x ＋x 2cos x .M ′(x )＝(sin x )′x 2－sin x (x 2)′(x 2)2＝x 2cos x －2x sin x x 4＝x cos x －2sin x x 3. Q ′(x )＝3cos x .梳理(1)①f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )②Cf ′(x )(2)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )题型探究例1解(1)f ′(x )＝(13ax 3＋bx 2＋c )′ ＝(13ax 3)′＋(bx 2)′＋c ′＝ax 2＋2bx . (2)f ′(x )＝(x ln x ＋2x )′＝(x ln x )′＋(2x )′＝x ′ln x ＋x (ln x )′＋2x ln2＝ln x ＋1＋2x ln2.(3)方法一f ′(x )＝(x －1x ＋1)′ ＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2 ＝(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. 方法二∵f (x )＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴f ′(x )＝(1－2x ＋1)′＝(－2x ＋1)′ ＝－0－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. (4)f ′(x )＝(x 2e x )′＝(x 2)′·e x ＋x 2·(e x )′＝2x ·e x ＋x 2·e x ＝e x (2x ＋x 2)．跟踪训练1解(1)f ′(x )＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x＝sin x cos x ＋x cos 2x. (2)∵f (x )＝2－2sin 2x 2＝1＋cos x ， ∴f ′(x )＝－sin x .(3)方法一f ′(x )＝[(x ＋1)(x ＋3)]′·(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)′＝[(x ＋1)′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋3)′]·(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝(2x ＋4)·(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3) ＝3x 2＋18x ＋23.方法二∵f (x )＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)＝(x 2＋4x ＋3)(x ＋5)＝x 3＋9x 2＋23x ＋15，∴f ′(x )＝(x 3＋9x 2＋23x ＋15)′＝3x 2＋18x ＋23.(4)∵f (x )＝sin x 1＋sin x， ∴f ′(x )＝cos x (1＋sin x )－sin x ·cos x (1＋sin x )2 ＝cos x (1＋sin x )2. 例2解(1)由题意得f ′(x )＝1－ln x x 2＋2f ′(1)， 令x ＝1，得f ′(1)＝1－ln11＋2f ′(1)， 即f ′(1)＝－1.所以f (x )＝ln x x－2x . (2)由已知得f ′(x )＝[(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ]′＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋(cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x －(cx ＋d )sin x＝(a －cx －d )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x .又因为f ′(x )＝x cos x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －d －cx ＝0，ax ＋b ＋c ＝x ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＝0，－c ＝0，a ＝1，b ＋c ＝0，解得a ＝d ＝1，b ＝c ＝0.跟踪训练2D[∵f ′(x )＝2e x f ′(1)＋3x， 令x ＝1，得f ′(1)＝2e f ′(1)＋3，∴f ′(1)＝31－2e.] 例3解(1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b .又f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8.(2)由(1)可知，g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3，所以g ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＋2x －8，所以g ′(0)＝e 0sin0＋e 0cos0＋2×0－8＝－7.又g (0)＝3，所以g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)，即7x ＋y －3＝0.跟踪训练3(1)1(2)4解析(1)因为y ′＝sin 2x －(2－cos x )cos x sin 2x ＝1－2cos x sin 2x， 所以当x ＝π2时，y ′＝1－2cos π2sin 2π2＝1. 又直线x ＋ay ＋1＝0的斜率是－1a，所以由题意得－1a＝－1，解得a ＝1. (2)因为曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，由导数的几何意义知，g ′(1)＝2.又因为f (x )＝g (x )＋x 2，所以f ′(x )＝g ′(x )＋2x ⇒f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，所以y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为4.当堂训练1．D[D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ，∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x ．]2．D[y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．]3．A[∵f ′(x )＝e x (x －2)x 3＋1x ＋2k x 2， ∴f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e 2， 故选A.]4．B[∵y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2， ∴y ′|x ＝π4＝12， ∴曲线在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为12.] 5．解由题意，得f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由切点P (0，f (0))既在曲线f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c 上又在切线y ＝1上，得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)＝0，f (0)＝1， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 02－a ×0＋b ＝0，13×03－a 2×02＋b ×0＋c ＝1， 解得b ＝0，c ＝1.。
高中数学1_2_3导数的四则运算法则学案新人教B版选修2_2
1.2.3 导数的四则运算法则1．熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数．(重点) 2．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．(难点) 3．掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数．(易混点)[基础·初探]教材整理1 导数的运算法则阅读教材P 19～P 20“例1”以上部分内容，完成下列问题． 1．和差的导数[f (x )±g (x )]′＝______________. 2．积的导数(1)[f (x )g (x )]′＝____________； (2)[cf (x )]′＝______________. 3．商的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝____________. 【答案】 1.f ′(x )±g ′(x ) 2.(1)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) (2)cf ′(x ) 3.g x f ′ x －f x g ′ xg x 2，g (x )≠0判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2.( )(2)已知函数y ＝2sin x －cos x ，则y ′＝2cos x ＋sin x ．( ) (3)已知函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋2)，则f ′(x )＝2x ＋1.( ) 【解析】 (1)由f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2＋c .(2)由y ＝2sin x －cos x ，则y ′＝(2sin x )′－(cos x )′ ＝2cos x ＋sin x .(3)由f (x )＝(x ＋1)(x ＋2)＝x 2＋3x ＋2， 所以f ′(x )＝2x ＋3.【答案】 (1)× (2)√ (3)× 教材整理2 复合函数的概念及求导法则 阅读教材P 20“例5”右边部分，完成下列问题．【答案】 x 的函数y ＝f (g (x ))d u ·d xy 对u 的导数与u对x 的导数的乘积判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f (x )＝x e x的导数是f ′(x )＝e x(x ＋1)．( ) (2)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．( ) 【答案】 (1)√ (2)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3：[小组合作型](1)y ＝x －2＋x 2； (2)y ＝3x e x －2x＋e ； (3)y ＝ln xx 2＋1； (4)y ＝x 2－sin x 2cos x2.【自主解答】 (1)y ′＝2x －2x －3. (2)y ′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2x ln 2.(3)y ′＝x 2＋1－2x 2·ln xx x 2＋1 2.(4)∵y ＝x 2－sin x 2cos x 2＝x 2－12sin x ，∴y ′＝2x －12cos x .1．解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．[再练一题]1．(1)设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，512π，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2](2)已知f (x )＝exx，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0的值为________.【导学号：05410013】【解析】 (1)f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ， ∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3， ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，512π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈[2，2]． (2)∵f ′(x )＝ e x′x －e x·x ′x2＝e xx －1 x2(x ≠0)． ∴由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得 e x 0 x 0－1 x 20＋e x 0x 0＝0， 解得x 0＝12.【答案】 (1)D (2)12(1)y ＝e2x ＋1；(2)y ＝12x －13；(3)y ＝5log 2(1－x )；(4)y ＝sin 3x ＋sin 3x .【精彩点拨】 先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导． 【自主解答】 (1)函数y ＝e2x ＋1可看作函数y ＝e u和u ＝2x ＋1的复合函数，∴y ′x ＝y ′u ·u x ′＝(e u)′(2x ＋1)′＝2e u＝2e 2x ＋1.(2)函数y ＝1 2x －1 3可看作函数y ＝u －3和u ＝2x －1的复合函数， ∴y ′x ＝y ′u ·u x ′＝(u －3)′(2x －1)′＝－6u －4＝－6(2x －1)－4＝－6 2x －14.(3)函数y ＝5log 2(1－x )可看作函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数， ∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(5log 2u )′·(1－x )′＝－5u ln 2＝5x －1 ln 2. (4)函数y ＝sin 3x 可看作函数y ＝u 3和u ＝sin x 的复合函数，函数y ＝sin 3x 可看作函数y ＝sin v 和v ＝3x 的复合函数．∴y ′x ＝(u 3)′·(sin x )′＋(sin v )′·(3x )′ ＝3u 2·cos x ＋3cos v ＝3sin 2x cos x ＋3cos 3x .1．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成． 2．复合函数求导的步骤[再练一题]2．求下列函数的导数． (1)y ＝x1－1－x；(2)y ＝log 2(2x 2－1)． 【解】 (1)y ＝x1－1－x＝x 1＋1－x1－1－x 1＋1－x＝x 1＋1－x1－ 1－x＝1＋1－x .设y ＝1＋u ，u ＝1－x ，则y ′＝y u ′·u x ′＝(1＋u )′·(1－x )′ ＝12u ·(－1)＝－121－x. (2)设y ＝log 2u ，u ＝2x 2－1， 则y ′＝y ′u ·u x ′＝1u ln 2·4x ＝4x2x 2－1 ln 2.[探究共研型]探究 【提示】 函数y ＝(3x ＋2)2可看出函数y ＝u 2和u ＝3x ＋2的复合函数， ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(3x ＋2)′ ＝6u ＝6(3x ＋2)．已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(2－x )(a ∈R )，设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为l ，若直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求实数a 的值．【精彩点拨】 求出导数f ′(1)，写出切线方程，由直线l 与圆C 相切，建立方程求解．【自主解答】 因为f (1)＝a ，f ′(x )＝2ax ＋2x －2(x <2)， 所以f ′(1)＝2a －2，所以切线l 的方程为2(a －1)x －y ＋2－a ＝0.因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线l 的距离等于半径，即d ＝|2－a |4 a －1 2＋1＝12，解得a ＝118.关于复合函数导数的应用及其解决方法1．应用复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．2．方法先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用．[再练一题]3．若将上例中条件改为“直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交”，求a 的取值范围．【解】 由例题知，直线l 的方程为2(a －1)x －y ＋2－a ＝0. ∵直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交，∴圆心到直线l 的距离小于半径． 即d ＝|2－a |4 a －1 2＋1<12. 解得a >118.[构建·体系]1．函数y ＝(2 017－8x )3的导数y ′＝( ) A ．3(2 017－8x )2B ．－24xC ．－24(2 017－8x )2D ．24(2 017－8x )2【解析】 y ′＝3(2 017－8x )2×(2 017－8x )′ ＝3(2 017－8x )2×(－8)＝－24(2 017－8x )2. 【答案】 C2．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2x D ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x【解析】 y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′ ＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′ ＝2x cos 2x －2x 2sin 2x . 【答案】 B3．已知f (x )＝ln(3x －1)，则f ′(1)＝________. 【解析】 f ′(x )＝13x －1·(3x －1)′＝33x －1， ∴f ′(1)＝32.【答案】 324．设曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝_______.【导学号：05410014】【解析】 令y ＝f (x )，则曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e ax ，所以f ′(x )＝(e ax)′＝(e ax)·(ax )′＝a e ax，所以f ′(0)＝a e 0＝a ，故a ＝2.【答案】 25．求下列函数的导数．(1)y＝cos(x＋3)；(2)y＝(2x－1)3；(3)y＝e－2x＋1.【解】(1)函数y＝cos(x＋3)可以看做函数y＝cos u和u＝x＋3的复合函数，由复合函数的求导法则可得y x′＝y u′·u x′＝(cos u)′·(x＋3)′＝－sin u·1＝－sin u＝－sin(x＋3)．(2)函数y＝(2x－1)3可以看做函数y＝u3和u＝2x－1的复合函数，由复合函数的求导法则可得y x′＝y u′·u x′＝(u3)′·(2x－1)′＝3u2·2＝6u2＝6(2x－1)2.(3)y′＝e－2x＋1·(－2x＋1)′＝－2e－2x＋1.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( )A．y＝u n，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2C．y＝t n，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1【答案】 A2．若f (x )＝1－x2sin x ，则f (x )的导数是( )A.－2x sin x － 1－x 2cos x sin 2x B.－2x sin x ＋ 1－x 2 cos x sin 2x C.－2x sin x ＋ 1－x 2 sin xD.－2x sin x － 1－x 2 sin x【解析】 f ′(x )＝1－x 2′sin x － 1－x 2· sin x ′sin 2x ＝－2x sin x － 1－x 2cos xsin 2x . 【答案】 A3．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x 2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D.x 2x ＋5【解析】 y ′＝[x ln(2x ＋5)]′＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5· (2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5. 【答案】 B4．(2016·宁波高二检测)函数f (x )＝x ＋x ln x 在(1,1)处的切线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x －y －1＝0 C ．2x ＋y ＋1＝0D ．2x －y ＋1＝0【解析】 ∵f ′(x )＝(x ＋x ln x )′ ＝1＋x ′ln x ＋x (ln x )′ ＝1＋ln x ＋1＝2＋ln x ， ∴f ′(1)＝2＋ln 1＝2，∴函数f (x )在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.【答案】 B5．函数y ＝cos 2x ＋sin x 的导数为( )A ．－2sin 2x ＋cos x2xB ．2 sin 2x ＋cos x2xC ．－2sin 2x ＋sin x2xD ．2sin 2x －cos x2x【解析】 y ′＝－sin 2x ·(2x )′＋cos x ·(x )′ ＝－2sin 2x ＋12·1x cos x＝－2sin 2x ＋cos x2x .【答案】 A 二、填空题6．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________. 【导学号：05410015】【解析】 设P (x 0，y 0)．∵y ＝x ln x ，∴y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x .∴k ＝1＋ln x 0.又k ＝2，∴1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e. ∴y 0＝eln e ＝e.∴点P 的坐标是(e ，e)． 【答案】 (e ，e)7．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. 【解析】 ∵f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2－sin π2＝－1， ∴f ′(x )＝－cos x －sin x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2. 【答案】 － 28．(2016·广州高二检测)若函数为y ＝sin 4x －cos 4x ，则y ′＝________________. 【解析】 ∵y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )·(sin 2x －cos 2x )＝－cos 2x ， ∴y ′＝(－cos 2x )′＝－(－sin 2x )·(2x )′ ＝2 sin 2x . 【答案】 2sin 2x 三、解答题9．求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2；(2)y ＝esin x；(3)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)．【解】 (1)设y ＝u 12，u ＝1－2x 2，则y ′＝(u 12)′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u －12·(－4x )＝12(1－2x 2)－12(－4x )＝－2x1－2x 2.(2)设y ＝e u ，u ＝sin x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·cos x ＝e sin xcos x .(3)设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝y u ′·u x ′＝10u ln 2＝102x ＋1 ln 2.10．求曲线y ＝2sin 2x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线方程．【解】 因为y ′＝(2sin 2x )′＝2×2sin x ×(sin x )′＝2×2sin x ×cos x ＝2sin 2x ，所以k ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＝ 3.所以过点P 的切线方程为y －12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即3x －y ＋12－3π6＝0.[能力提升]1．(2016·长沙高二检测)函数y ＝sin 2x －cos 2x 的导数是() A ．2 2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4B ．cos 2x －sin 2xC ．sin 2x ＋cos 2xD ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4【解析】 ∵y ′＝(sin 2x －cos 2x )′＝(sin 2x )′－(cos 2x )′＝cos 2x ·(2x )′＋sin 2x ·(2x )′＝2cos 2x ＋2sin 2x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4， 故选A.【答案】 A2．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )【导学号：05410016】A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 【解析】 因为y ＝4e x＋1， 所以y ′＝－4e x e x ＋1 2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋1ex ＋2. 因为e x >0，所以e x ＋1ex ≥2，所以y ′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0)． 又因为α∈[0，π)，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 【答案】 D3．曲线y ＝e －5x ＋2在点(0,3)处的切线方程为__________________________．【解析】 因为y ′＝e －5x (－5x )′＝－5e －5x ，所以k ＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.【答案】 5x ＋y －3＝04．已知函数f (x )＝x 3＋1(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．【解】 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f 0 ＝b ＝0，f ′ 0 ＝－a a ＋2 ＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0，即4a 2＋4a ＋1＞0，∴a ≠－12. ∴a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.。
人B版数学选修1-1讲义：第3章 3-2-3 导数的四则运算法则
3.2.3导数的四则运算法则1．掌握导数的和、差、积、商的四则运算法则．(重点)2．会利用导数的四则运算法则求简单函数的导数．(难点)[基础·初探]教材整理导数的四则运算法则阅读教材P89～P90例1上面内容，完成下列问题．导数的运算法则设两个函数f(x)，g(x)可导，则判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若f(x)＝a2＋2ax＋x2，则f′(a)＝2a＋2x.()(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)．( ) (3)运用法则求导时，不用考虑f ′(x )，g ′(x )是否存在．( )【答案】 (1)× (2)√ (3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________ 解惑：______________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：______________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________[小组合作型](1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝x ＋3x 2＋3；(4)y ＝x sin x －2cos x ； (5)y ＝x 5＋x 7＋x 9x； (6)y ＝x －sin x 2cos x 2. 【导学号：25650114】【精彩点拨】 解答本题可先确定式子的形式，再用基本初等函数的导数公式和四则运算法则求解．【自主解答】 (1)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x cos x ′。
人教B版高中数学选修1-1课件高二：3.2.3导数的四则运算法则
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
解:设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则 f'(x)=2ax+b.
x2f'(x)-(2x-1)f(x)=x2(2ax+b)-(2x-1)·(ax2+bx+c)=(a-b)x2+(b-2c)x+c=1,
S 随堂练习 UITANG LIANXI
12345
2.已知函数 f(x)=ax3+x2+3,若 f'(1)=5,则 a 的值为( )
A.-1
B.2
C.-2
D.1
解析:因为 f'(x)=3ax2+2x,f'(1)=3a+2=5,
所以 a=1.
答案:D
14
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S 随堂练习 UITANG LIANXI
导数的四则运算法则 设 f(x),g(x)是可导的, 符号表示
函数和(或差) 的求导法则 (f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)
函数积的求 导法则
函数商的 求导法则
6
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S 随堂练习 UITANG LIANXI
探究一
探究二
探究三
高二数学(人教B版)《选修 导数公式表及导数的四则运算法则(1)》【教案匹配版】最新国家级中小学精品
y' cos x
y cos x
y' sin x
思考
如何求下面几个函数的导数？
① y x7 x6 3x5
② y x sin x ex x
③ y tan x
④ y (3x 1) sin 2x
思考
如何求下面几个函数的导数？
① y x7 x6 3x5
② y x sin x ex x
有什么关系？
结论 ( f (x) g(x))' f '(x) g'(x) 根据导数定义探究： 设 y f (x) g(x) ，则
y f (x x) g(x x) [ f (x) g(x)] [ f (x x) f (x)] [g(x x) g(x)] f g
y f g f g x x x x
导数公式表及导数的四则运算法则(1) 人教B版 高二年级 数学
主讲人： 中学
基本初等函数的导数公式表
y f (x) yC
y' f (x) y' 0
y xn (n Ν )
y x (x 0, 0 且 Q)
y' nxn1, n 为正整数
y' x1, 为有理数
基本初等函数的导数公式表
( f (x) g(x))' (x x2 )' (x3)' 3x2 f '(x) g'(x)
x
0 时，[
f (x)]' g(x)
(
x x2
)'
( 1 )' x
1 x2
f '(x) g' ( x)
函数积的求导法则
设 f (x), g(x) 是可导的，则 [ f (x)g(x)]' f '(x)g(x) f (x)g'(x)
高中数学人教B版选修2《1.2.3 导数的四则运算法则》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学人教B版选修2－2第一章《1.2.3 导数的四则运算法则》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开
课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1.知识与技能
掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式;熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数,能运用导数的几何意义,求过曲线上一点的切线。
2.过程与方法
通过用定义法求函数f(x)=x+x2的导数,观察结果,发掘两个函数的和、差求导方法,给结合定义给出证明;由定义法求f(x)=x2g(x)的导数,发现函数乘积的导数,归纳出两个函数积、商的求导发则。
3.情感、态度与价值观
培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论,培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。
2学情分析
探析归纳,讲练结合
3重点难点
教学重点:函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用
教学难点:导数四则运算法则的证明
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】导函数的概念和导数公式表。
北师大版选修(1-1)3.4《导数的四则运算法则》word学案
§4 导数的四则运算法则一、学习目标：（1）掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则（2）能正确运用两个函数的和差积商的求导法则和已有的导数公式求一些简单函数的导数二、问题导学：1．求函数2y x x =+的导数．2．函数2y x x =+的导数与函数2y x =的导数及函数y x =的导数之间有什么关系？3．导数的运算法则：如果(),()f x g x 都有导数且分别为)()(x g x f ''和，那么（1）])()(['±x g x f = ；(2) ])()(['∙x g x f = ；(3) ])(['x cf = ；(4) ])()(['x g x f = 。
三、自学检测：1.32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ） A 319 B 316 C 313 D 3102.曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（） A (1,0) B (2,8) C (1,0)和(1,4)-- D (2,8)和(1,4)--3. 曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________；4.已知曲线12-=x y 与31x y +=在0x x =处的切线互相垂直，求0x 的值四、典例导学：例1．求下列函数的导数：（1）2()sin f x x x =+； （2）323()622g x x x x =--+．例2．求下列函数的导数： （1）()sin h x x x = （2）y=sin2x (3)2)12(+=x y （4）21()t S t t+= (5) y =x 1·cos x例3：已知函数1()11(),a f x nx ax a R x-=-+-∈当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程。
2018人教B版选修(1-1)3.2.3《导数的四则运算法则》学案
3.2.3导数的四则运算学习目标：掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则，能正确运用两个函数的和、差、积、商的求导法则和已有的导数公式求某些简单函数的导数。
学习过程：一、 导数的四则运算法则1、'[()()]f x g x ±=___________________推广:123n (f f f f )'±±±±=2、'[()()]f x g x ⋅=____________________3、'[()]cf x =______________________4、'()[]()f xg x =______________________ 特别当f （x ）=1时，有/1g(x)⎡⎤⎢⎥⎣⎦= 二、典型例题解析：例1、 求多项式函数4322357y x x x x =-+-+练习：1、765y x x 3x =+-2、32(2)y x =+3、2y (3x 2)(x-5)=+4、y x =+5、y=例2、 求y=xsinx 的导数练习：1、sin (cos 1)y x x =+2、 cos x y x =3、sin x y x= 例3、求y=tanx 的导数例4、求曲线221x y x =+在点P(1,1)处的切线方程。
三、 双基训练 1、1y x x=+的导数是（ ） A 、211x - B 、11x - C 、211x + D 、11x + 2、函数3sin y x x =+的导数为（ ）A 、23cos x x +B 、23sin x x +C 、23cos x x -D 、23sin x x -3、下列运算正确的是（ ）A 、2'2''()()()ax bx c a x b x -+=+-B 、2'''2'(sin 2)(sin )(2)()x x x x -=-C 、'''(cos sin )(sin )cos (cos )cos x x x x x ⋅=+D 、23'322[(3)(2)]2(2)3(3)x x x x x x +-=-++4、函数cot y x =的导数是__________________。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修1-1 3.2.3 导数的四则运算法则》9
导数的四则运算法则共1课时高中数人教B版一、知识与技能：1理解两个函数和差的导数法则，学会用法则求一些函数的导数。
2理解两个函数的积商的导数法则，会用法则求两个函数的积商的导数。
3能综合应用导数的四则运算法则对函数求导。
二、过程与方法：1）进一步培养学生四则运算的能力；2）加深对数形结合思想方法的理解和加强导数四则运算的运用，认识研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，充分了解分类思想在数学中的重要地位，强化学生的观察、思考能力；3）增强学生应用数学的意识。
三、情感态度与价值观：1培养学生主动探究知识、合作交流的意识；2培养学生勇于思考，探究问题的精神；3在体验数学美的过程中激发学生学习的兴趣。
四、学情分析学生对于导数定义的理解与运用的能力还有待进一步的提高。
对基本初等函数的导数公式还需继续熟练掌握，导数四则运算法则中的乘除运算对学生还是很有难度的，因此运算能力以及合作交流的意识等方面都有待加强。
五、重点难点重点：掌握导数的和、差、积、商的四则运算法则．难点：会利用导数的四则运算法则求简单函数的导数．六．教学过程：我的整个教学过程分为六个环节：复习引入——构建新知——典例精析——练习巩固——归纳小结——布置作业。
1.复习引入2.基本初等函数的导数公式1若f＝c，则f′＝2若f＝αα∈Q*，则f′＝3若f＝in，则f′＝4若f＝co，则f′＝5若f＝a，则f′＝a＞0，且a≠1．6若f＝e，则f′＝7若f＝og a，则f′＝a＞0，且a≠1．8若f＝n，则f′＝判断正确的打“√”，错误的打“×”1若f＝a2＋2a＋2，则f′a＝2a＋22错误!′＝－错误!f≠0．[小组合作型]已知函数f(x)＝1x，g(x)＝x2，那么f′(x)＝－1x2，g′(x)＝2x.问题1：如何求h(x)＝f(x)＋g(x)的导数？问题2：(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)成立吗？问题3：(f(x)－g(x))′＝f′(x)－g′(x)成立吗？问题4：[f(x)g(x)]′＝f′(x)·g′(x)成立吗？问题5：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f(x)g(x)′＝f′(x)g′(x)成立吗？1．对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限个可导函数的和或差，即[f1(x)±f2(x)±…±f n(x)]′＝2．在积、商的求导法则中，当f(x)＝c时，[cg(x)]′＝[cg(x)]′＝求下列函数的导数．1＝·tan ；2＝＋1＋2＋3；3＝错误!；4＝in －错误!；5＝错误!；6＝－in错误!co错误![练一练]1．求下列函数的导函数．1f＝2＋7－5in ；2＝错误!＋错误!3＝错误!＋错误!；4＝错误!求曲线＝f＝＋错误!在点1,2处的切线在轴上的截距[例3]求过点(1，－1)与曲线y＝x3－2x相切的直线方程．[练一练]2．已知函数f＝错误!，g＝a n ，a∈＝f与曲线＝g相交且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程．[探究共研型]已知函数f＝错误!－1a≥0的图象在＝1处的切线为，求与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．[练一练]3．点P是曲线＝e上任意一点，求点P到直线＝的最小距离1．下列四组函数中导数相等的是A．f＝1与f＝B．f＝in 与f＝－coC．f＝1－co 与f＝－inD．f＝1－22与f＝－22＋32．曲线＝f＝n 在点＝1处的切线方程为A．＝2＋2B．＝2－2C．＝－1 D．＝＋13．在曲线＝3＋32＋6－10的切线中，斜率最小的切线方程为________．七、、课后反思八、板书设计。
人教新课标版数学高二B版选修1-1学案 导数的四则运算法则 (2)
3.2.3 导数的四则运算法则学习目标：1.理解函数和、差、积、商的求导法则．(重点).2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．(重点、难点)导数的运算法则(1)前提：函数f (x )，g (x )是可导的． (2)法则：①和(或差)的求导法则：(f (x )±g (x ))′＝f ′(x )±g ′(x )，推广：(f 1±f 2±…±f n )′＝f 1′±f 2′±…±f n ′.②积的求导法则：[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． 特别地：[Cf (x )]′＝Cf ′(x )． ③商的求导法则：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g (x )(g (x )≠0)，特别地：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1g (x )′＝－g ′(x )g (x )(g (x )≠0)．思考：商的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′求导法则中，分子是个差式，这个差中先对f (x )还是g (x )进行求导？先对f (x )求导，即f ′(x )g (x )，再对g (x )求导，即f (x )g ′(x )．1．思考辨析(1)若f (a )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(a )＝3a 2＋2x .( ) (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤C g (x )′＝－Cg ′(x )g 2(x ).( ) (3)任何函数都可以应用导数的运算法则求导数．( ) (1)√ (2)√(3)× 应用导数的运算法则求导数的前提是f (x )，g (x )均为可导函数，即f′(x)，g′(x)存在．2．设y＝－2e x sin x，则y′等于()A．－2e x cos x B．－2e x sin xC．2e x sin x D．－2e x(sin x＋cos x)D[y′＝－2(e x sin x＋e x cos x)＝－2e x(sin x＋cos x)．]3．已知函数f(x)＝ln xx，则f′(1)＝________.【导学号：73122232】1[∵f′(x)＝1x×x－ln xx2＝1－ln xx2，∴f′(1)＝1.]用导数的求导法则求导数(1)y＝2x2＋1x－3x3；(2)y＝x＋3x2＋3；(3)y＝e x cos x＋sin x；(4)y＝x3＋lg x.观察函数的特征，可先对函数式进行合理变形，然后利用导数公式及相应的四则运算法则求解．(1)∵y＝2x2＋x－1－3·x－3，∴y′＝4x－x－2－3·(－3)x－4＝4x－1x2＋9x4.(2)y′＝1·(x2＋3)－2x(x＋3)(x2＋3)2＝－x2－6x＋3(x2＋3)2.(3)y′＝(e x cos x＋sin x)′＝(e x cos x)′＋(sin x)′＝(e x)′cos x＋e x(cos x)′＋cos x＝e x cos x －e x sin x ＋cos x . (4)y ′＝3x 2＋1x ln 10.求下列函数的导数： (1)y ＝1x 2＋sin x 2cos x 2. (2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－32x －6＋2.(3)y ＝cos x ln x . (4)y ＝xe x .【导学号：73122233】(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋sin x 2cos x 2′＝(x －2)′＋⎝⎛⎭⎪⎫12sin x ′ ＝－2x －3＋12cos x ＝－2x 3＋12cos x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－32x 2－6x ＋2′＝(x 3)′－⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2′－(6x )′＋(2)′＝3x 2－3x －6.(3)y ′＝(cos x ln x )′ ＝(cos x )′ln x ＋cos x (ln x )′ ＝－sin x ln x ＋cos xx .(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x e x ′＝(x )′e x－x (e x)′(e x )2＝e x －x e x e 2x ＝1－xe x .导数运算法则的应用1．导数的和、差运算法则求导能拓展到多个函数吗？ [f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]′＝f 1′(x )±f 2′(x )±…±f ′n (x )． 2．导数的积、商运算法则有哪些相似的地方？区别是什么？对于积与商的导数运算法则，应避免出现“积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商”这类想当然的错误，应特别注意积与商中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”．已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－ax －1(a ∈R )．当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程．先求导，再求切线斜率，根据点斜式得切线方程． 因为当a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x －1，x ∈(0，＋∞)． 所以f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)，因为f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1.又f (2)＝ln 2＋2，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln 2＋2)＝x －2， 即x －y ＋ln 2＝0.母题探究：1.(变换条件)本典例函数不变，条件变为“曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为x －y ＋ln 2＝0”，求a 的值．因为f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2＋x ＋a －1x 2，又曲线在点(2，，f (2))处的切线方程为x －y ＋ln 2＝0，所以f ′(2)＝1，即－22a ＋2＋a －122＝1，即a ＝－1.2．(改变问法)本典例的条件不变，求使f ′(x )>0成立的x 的取值范围． 因为当a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x －1，x ∈(0，＋∞)． 所以f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)， 因为f ′(x )>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2＞0，x ＞0.解得x ∈(1，＋∞)．1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0 B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3 C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin xD [D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ，∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x ．] 2．对于函数f (x )＝e x x 2＋ln x －2kx ，若f ′(1)＝1，则k 等于( )【导学号：73122234】A.e 2B.e 3 C ．－e 2 D ．－e 3 A [∵f ′(x )＝e x (x －2)x 3＋1x ＋2kx 2，∴f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e2，故选A.] 3．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x－12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12 C ．－22 D.22B [∵y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2， ∴y ′|x ＝π4＝12， ∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.]4．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f ′(－1)＝0，则a ＝________.【导学号：73122235】12[∵f (x )＝(x 2－4)(x －a )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ， ∴f ′(x )＝3x 2－2ax －4. 又∵f ′(－1)＝3＋2a －4＝0， ∴a ＝12.]5．设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，其中a ＞0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，确定b 、c 的值．由题意，得f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由切点P (0，f (0))既在曲线f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c 上又在切线y ＝1上，得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)＝0，f (0)＝1，即⎩⎨⎧02－a ×0＋b ＝0，13×03－a 2×02＋b ×0＋c ＝1，解得b ＝0，c ＝1.。
人教新课标版数学高二-人教B版选修1-1学案 导数的四则运算法则
1、求下列函数的导数
（1） （2） （3） （4）
2、求下列函数的导数
（1） （2） （3）
3、求下列函数在指定点的导数
（1） （2）
4、求正弦函数 在点 处的切线方程。
5、正切函数 在点 处的切线方程。
6、已知曲线 ，求这条曲线平行于直线 的线方程。
§3.2.3导数的四则运算法则
学习目标
1、通过阅读课本了解导数的四则运算
2、能够根据导数的四则运算进行复杂函数的求导
学习过程
【任务一】阅读教材完成填表
设 是两个可导的函数
函数运算方式
求导结果
【任务二】典型例题分析：
例1：求下列函数的导数
（1） （2）
例2：求下列函数的导数
（1） （2）
（3） （4）
人教B版高中数学选修导数的四则运算法则教案(2)
1.2．1 导数的四则运算法则一、教学目标：熟记公式(C )'＝0 (C 为常数)， (x )'＝1， ( x 2 )'＝2x ，2'11x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛．x x 21)'(=二、教学重点：牢固、准确地记住五种常见函数的导数，为求导数打下坚实的基础.教学难点：灵活运用五种常见函数的导数.三、教学过程：（一）公式1：(C )'＝0 (C 为常数)．证明：y ＝f (x )＝C , Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝C －C ＝0,,0=∆∆x y.0lim ')('0=∆∆==∴→∆x y C x f x也就是说，常数函数的导数等于0．公式2： 函数x x f y ==)(的导数证明：（略）公式3： 函数2)(x x f y ==的导数公式4： 函数x x f y 1)(==的导数公式5： 函数x x f y ==)(的导数（二）举例分析例1. 求下列函数的导数．⑴3x ⑵21x ⑶x解：⑴=')(3x 133-x 23x = ⑵='⎪⎭⎫ ⎝⎛21x )(2'-x 32--=x 32x -= ⑶=')(x )(21'x 12121-=x 2121-=x .21x =练习求下列函数的导数：⑴ y ＝x 5； ⑵ y ＝x 6； （3）;13x y = （4）.3x y = （5）x xy 2=例2．求曲线xy 1=和2x y =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积。
例3．已知曲线2x y=上有两点A （1，1），B （2，2）。
求：（1）割线AB 的斜率； （2）在[1，1+△x ]内的平均变化率；（3）点A 处的切线的斜率； （4）点A 处的切线方程例4．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0 的最短距离．（三）课堂小结几种常见函数的导数公式(C )'＝0 (C 为常数)， (x )'＝1， ( x 2 )'＝2x ， 2'11x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛．x x 21)'(= （四）课后作业《习案》作业四。
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3.2.3导数的四则运算
学习目标：掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则，能正确运用两个函数的和、差、
积、商的求导法则和已有的导数公式求某些简单函数的导数。
学习过程：
一、 导数的四则运算法则
1、'[()()]f x g x ±=___________________
推广:123n (f f f f )'±±±± =
2、'[()()]f x g x ⋅=____________________
3、'[()]cf x =______________________
4、'()[]()
f x
g x =______________________ 特别当f （x ）=1时，有/1g(x)⎡⎤⎢⎥⎣⎦
= 二、
典型例题解析：
例1、 求多项式函数4322357y x x x x =-+-+
练习：
1、765y x x 3x =+-
2、32(2)y x =+
3、2y (3x 2)(x-5)=+
4、y x =+
5、y
=
例2、 求y=xsinx 的导数
练习：1、sin (cos 1)y x x =+
2、 cos x y x =
3、sin x y x
= 例3、求y=tanx 的导数
例4、求曲线221
x y x =
+在点P(1,1)处的切线方程。
三、 双基训练 1、1y x x
=+
的导数是（ ） A 、211x - B 、11x - C 、211x + D 、11x + 2、函数3sin y x x =+的导数为（ ）
A 、23cos x x +
B 、23sin x x +
C 、23cos x x -
D 、23sin x x -
3、下列运算正确的是（ ）
A 、2'2''()()()ax bx c a x b x -+=+-
B 、2'''2'(sin 2)(sin )(2)()x x x x -=-
C 、'''(cos sin )(sin )cos (cos )cos x x x x x ⋅=+
D 、23'322[(3)(2)]2(2)3(3)x x x x x x +-=-++
4、函数cot y x =的导数是__________________。
5、函数2(2)ln y x x x =+⋅的导数是__________________。
四、 巩固提高
1、已知32()32f x ax x =++，若'(1)4f -=，则a 的值是（ ）
A 、
193 B 、163 C 、133 D 、103
2、曲线的运动方程为2212t s t t -=+，则t=2是的速度为（ ） A 、4 B 、8 C 、10 D 、12
3、函数tan y x x =⋅的导数是___________________。
4、已知抛物线2
y=x 3x-5+，求此抛物线在x=3处的切线方程
5、已知抛物线27y ax bx =+-通过点（1，1），过点（1，1）的抛物线的切线方程为430x y --=，求a 、b 的值。
6、已知抛物线2y ax bx c =++通过点P(1,1),且在点Q(2,-1)处与直线3y x =-相切，求实数a 、b 、c 的值。