函数与方程思想在解高考题中的应用

函数与方程思想在解高考题中的应用
在数学教学中，加强对学生的数学思想和数学方法培养是非常重要的，在高中数学中一个重要的数学思想就是函数与方程的思想，从构造函数和方程的方法分析数学问题，解决数学问题。

在历年的高考题中，在一些题目的解答过程中，函数与方程思想得到了很好的体现，本文结合一些高考题目，对函数与方程思想在解题中的应用问题进行了简要的阐述。

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数学的思想方法是高中数学学习中的精髓，是学生具有一定数学知识、数学素质和数学能力以后，在思想方面比较系统的、较高层次的体现。

从高考的情况来看，函数与方程的思想是历年来考察的重点，选择题和填空题主要从这一思想的基本运算方面进行考察，解答题中主要是在知识网的交汇处，对这一思想方法的综合运用能力方面进行考察。

因此，我们有必要针对高考认真探讨函数与方程思想。

一、函数与方程思想概述
函数思想主要是指针对某一个数学问题，构造出一个函数，然后利用函数的性质分析和解决问题。

方程思想是对数学问题中的字母所代表的数量关系进行分析，进而确定各字母的值和字母间的等量关系，通常通过方程或者不等式的形式反映出来，然后利用方程或者不等式的性质求解，使数学问题得到很好的解决。

在一定条件下，函数和方程是可以转化的，我们在高考中，特别是在解一些比较复杂的题目时，就需要将函数和方程进行互相转化，有时候是将方程和不等式转化为函数，利用函数性质来解决数学问题，有时候是将函数转化为方程，通过求解或者利用方程和不等式的性质解决问题。

函数思想、方程思想、函数和方程互相转化思想统称为函数与方程思想，函数与方程思想在解题中的应用有两个方面的表现：一方面借助初等函数的性质，解决关于求值、解不等式、解方程和讨论参数取值范围等方面的数学问题；另一方面是在解决数学问题的时候通过建立函数关系式，或者根据有关数量关系构造中间函数，把其他数学问题转化为函数问题，将比较复杂的数学问题简单化。

二、函数与方程思想在高考中的解题方法归类
在高考中，函数与方程思想应用非常普遍，在解题方法方面各不相同，但是，总体上来讲，主要有以下几种方法：
（一）利用方程组解题的方法
1994年高考题，第18题：已知，，则的值为多少。

解题过程中，我们首先设，则可以变形为，而且（因为），根据以上方程组，可以求解得到，而。

在这道数学题中，主要涉及到解方程组和解三角方面的问题，利用参数间的函数关系，建立方程组，然后，再对方程组求解，得出答案。

（二）利用函数与方程思想中的判别式法求解高考题
有一道这样的高考题：如果的最大值是4，最小值是-1，求实数的值。

在求解的过程中，我们由函数的最大值是4可知，一定存在实数使得方程有实根，根据方程有实根的相关性质，；另外，因为的最大值是4，则一定存在实数使不等式恒成立，因此，可以得到，由此推断，同样的道理可以得出，当取最小值的时候，，这样就能得到的值分别是4、-4和3在这道题中，我们主要是利用了不等式的最值和方程有实根的条件，把不等式的问题化为方程组，是比较典型的判别式法。

我们就是根据题设条件，巧妙地利用了不等式和方程的性质，最后通过解方程组，求得不等式中有关字母的取值。

另外一道典型的利用判别式法解题的高考题是：求函数的值域。

解题过程为：
解：①
当时，
解得：
当时，方程①化为，即有，故有
综上，函数的值域为
我们知道，在高中数学中，采用判别式法求函数值域是一个常用的方法，在这道高考题中，把函数直接等价为的方程，利用方程的性质，判别的取值范围。

在这类题目中，要分析讨论二次项的系数是否为零的情况。

（三）通过构造函数和方程解题
利用函数与方程的思想，在解题过程中，我们可以根据已知条件，构造函数或者方程，然后利用函数和方程的性质进行解题，有的时候要把函数和方程问题转化为不等式的问题。

当函数和方程构造以后，通常是利用函数的奇偶性和单调性，或者利用方程有无实数解的条件进行求解。

例如：有一道高考题是这样的，设，其中为正实数，如果当取值范围为小于等于1时，有意义，求的取值范围。

求解过程是这样的：
解：可知，即，当时恒成立，而都是减函数，则在上是增函数，故时，取得最大值是，从而得的取值范围是。

在这一道题中，主要是采用分离参数的方法，通过函数再造，把不等式恒成立的问题进行转化，转变为求函数的最值问题进行求解。

三、结束语
函数与方程思想是中学数学中十分重要的思想和方法之一，涉及的知识点很多，涉及面也比较广，是历年高考中考查的重点，所以我们要高度重视运用这一思想方法分析和解决数学问题，使这种思想在解题中的应用成为我们基本技能的重要组成部分，以便更好地应对高考。

参考文献：
[1] 张永进，方程思想的形成及功用，安徽教育，2009年11期；
[2] 孙志光，函数与方程思想应用例谈，中学生数理化(高中版)，2010年03期；
[3] 肖林元，运用方程思想解决数列问题，数学教学研究，2011年01期。