二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与性质—巩固练习(提高)
《二次函数y=a(x-h)^2+k的图象与性质》提升训练
课时3二次函数，y=a(x－h)2＋k的图象与性质过能力1.[2018天津市实验中学课时作业]在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x2不动，而把x 轴、y轴分别向上、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系中抛物线的函数表达式是( )A.y=3(x－2)2－2B.y=3(x＋2)2－2C.y=3(x－2)2＋2D.y=3(x＋2)2＋22.[2018江西上饶二中月考]已知二次函数y=3(x＋1)2－4的图象上有三点A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为( )Ay1＞y2＞y3B.y2＞y1＞y3C.y3＞y2＞ylD.y3＞y1＞y23.[2018河北邯郸二十五中课时作业]为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成拋物线的形状(如图)，对应的两条拋物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB=4cm，最低点C 在x轴上，CH=1cm，BD=2cm.则右轮廓线DFE所在拋物线对应的函数表达式为( )A.y=14(x＋3)2 B.y=－14(x－3)2 C.－14(x＋3)2 B.y=14(x－3)24.[2018山西大学附中课时作业]把二次函数y=(x－1)2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的函数表达式为____.5.[2018安徽合肥四十五中课时作业]已知二次函数y=－(x－m)2＋1，当x＞3时，y随x 的增大而减小，则m的取值范围是____.6.[2018河南鹤壁市外国语中学课时作业]如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a(x－3)2＋k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为____.7.[2018陕西宝鸡一中课时作业]已知直线y=x＋1与x轴交于点A，令抛物线y=－2x2平移后得到拋物线l，且抛物线l的顶点与点A重合.(1)求抛物线l对应的函数表达式；(2)若点B(x1，y1)，C(x2，y2)在拋物线l上，且－12＜x1＜x2，试比较y1，y2的大小.8.[2018安徽淮南实验中学课时作业]已知抛物线y=a(x＋m)2的顶点坐标为(－1，0)，且经过点A(－2，－12 ).(1)求该拋物线对应的函数表达式；(2)该抛物线是否经过点B(2，－2)？若不经过，怎样沿x轴方向平移，才能使它经过点B？并写出平移后的抛物线对应的函数表达式.9.[2018江苏南京市中华中学课时作业]如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－5，0)，B(2，1)，抛物线y=－(x－h)2＋l(h为常数)与y轴的交点为C.(1)若抛物线经过点B，求它的函数表达式，并写出此时抛物线的对称轴及顶点坐标；(2)设点C的纵坐标为yC ，求yC的最大值，此时抛物线上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，其中x 1＞x2＞0，比较y1与y2的大小；(3)当线段0A被拋物线分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值.参考答案1.B【解析】求解本题时，可看成把抛物线y=3x2分别向下、向左平移2个单位长度.抛物线y=3x2的顶点坐标为(0，0)，把点(0，0)向下、向左平移2个单位长度得到点(－2，－2)，所以在新坐标系中抛物线的函数表达式为y=3(x＋2)2－2.故选B.2.C【解析】由抛物线的对称性可知，点A(－2，y1)在抛物线上的对称点为A'(0，y1)，对于抛物线7=3(x＋1)2－4，当x＞－1时，y随x的增大而增大，所以y3＞y2＞y1.故选C.3.D【解析】∵CH=lcm，BD=2cm，且点B，D关于y轴对称，∴点D的坐标为(1,1).∵AB∥x 轴，AB=4cm，最低点在x轴上，∴点A，B关于直线CH对称，∴右轮廓所在抛物线的顶点F的坐标为(3,0)，设右轮廓所在抛物线对应的函数表达式为y=a(x－3)2，把点D(1，1)代入，得1=a(1－3)2，解得a=14，∴右轮廓所在抛物线对应的函数表达式为y=14(x－3)2.故选D.4.y=－(x＋l)2－2【解析】二次函数y=(x－l)2＋2图象的顶点坐标为(1，2)，绕原点旋转180°后顶点坐标变为(－1，－2)，所以旋转后得到的图象的函数表达式为y=a(x＋l)2－2，因为旋转过程中开口大小不变，仅开口方向改变，所以a=－1，即旋转后得到的图象的函数表达式为y=－(x＋1)2－2.5.m≤3【解析】对于二次函数y=－(x－m)2＋1，当x＞m时，y随x的增大而减小，结合题意可知m≤3.6.18【解析】∵抛物线y=a(x－3)2＋k的对称轴为直线x=3，点A，B为抛物线上的点，且AB∥x轴，∴点A，B关于直线x=3对称，又∵点A在y轴上，∴AB=2×3=6，∴等边三角形ABC的周长为3×6=18.7.【解析】(1)在y=x＋1中，令y=0，则x=－1，∴A(－1，0)，艮P抛物线l的顶点坐标为(－1，0).∵抛物线l是由抛物线y=－2x2平移得到的，∴抛物线l对应的函数表达式为－2(x＋1)2.(2)∵抛物线l的对称轴为直线X=－1，a=－2＜0，∴在其对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，又∵－1＜－12＜x1＜x2，∴y1＞y2.8.【解析】(l)∵抛物线y=a(x＋m)2的顶点坐标为(－1，0)，∴m=1，∵抛物线y=a(x＋l)2经过点A(－2，－12)，∴a(－2＋l)2=－12，解得a=－12，∴该抛物线对应的函数表达式为y=－12(x＋l)2.(2)不经过当x=2时，y=－12×(2＋1)2=－92≠－2，∴抛物线y=－12(x＋l)2不经过B(2，－2).设平移后的抛物线对应的函数表达式为y=－12(x＋1＋n)2，∵它经过点B(2，－2)，∴－1 2(2＋1＋n)2=－2，n=－l或n=－5，∴将抛物线y=－12(x＋1)2向右平移1个或5个单位长度，即可使它经过点B(2，－2)，平移后的抛物线对应的函数表达式y=－12x2或y=－12(x－4)29.【解析】(1)把点B(2，l)代入y=－(x－h)2＋l，得h=2，∴抛物线的函数表达式为y=－(x－2)2＋l，对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2，1).(2)由题意知点C的横坐标为0，则yC =－h2＋1，∵当h=0时，yC取最大值，最大值为1.此时抛物线的函数表达式为y=－x2＋1，对称轴为y轴，当x＞0时，y的值随x值的增大而减小，∴当x1＞x2＞0时，y1＜y2.(3)抛物线把线段OA分为1：4两部分的点为(－1，0)或(－4，0).把点(－1，0)代入y=－(x－h)2＋1，得h=0或h=－2.当h=－2时，抛物线的函数表达式为y=－(x＋2)2＋1，经过点(－1，0)，(－3，0)，将线段OA分为三部分，不符合题意，故舍去.同理，把点(－4，0)代入y=－(x－h)2＋1，得h=－5或h=－3(舍去).故h的值为0或－5.。
二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与性质
2.课后检测设计
1.对于抛物线y=﹣（x+1）2+3，下列结论：
①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞2
时，y随x的增大而减小，
其中正确结论的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.对于二次函数y=﹣（x+1）2+2的图象与性质，下列说法正确的是（）
A．对称轴是直线x=1，最小值是2
B．对称轴是直线x=1，最大值是2
C．对称轴是直线x=﹣1，最小值是2
D．对称轴是直线x=﹣1，最大值是2
3.将抛物线y=2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长
度，平移后所得抛物线的解析式为（）
A．y=2x2+1 B．y=2x2﹣3
C．y=2（x﹣8）2+1 D．y=2（x﹣8）2﹣3
4.设A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣2（x﹣1）2+k（k为
常数）上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）
A．y3＞y2＞y1B．y1＞y2＞y3C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1
5.已知二次函数y=（x﹣2a）2+（a﹣1）（a为常数），当a取不同的值时，其图象
构成一个“抛物线系”．如图分别是当a=﹣1，a=0，a=1，a=2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y=．。
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质同步练习
二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质同步练习1、抛物线21)1(22+--=x y 的顶点坐标为（ ） A 、（-1，21） B 、（1，21） C 、（-1，—21） D 、（1，—21）2、对于2)3(22+-=x y 的图象，下列叙述正确的是（ ）A 、顶点坐标为（-3,2）B 、对称轴是直线3-=yC 、当3≥x 时，y 随x 的增大而增大D 、当3≥x 时，y 随x 的增大而减小3、将抛物线2x y =向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为（ ）A 、3)1(2++=x yB 、3)1(2+-=x yC 、3)1(2-+=x yD 、3)1(2--=x y4、抛物线2)1(22-+-=x y 可由抛物线22x y -=平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）A 、先向右平移1个单位，再向上平移2个单位B 、先向右平移1个单位，再向下平移2个单位C 、先向左平移1个单位，再向上平移2个单位D 、先向左平移1个单位，再向下平移2个单位5、如右上图，把抛物线y=x 2沿直线y=x 平移2个单位后，其顶点在直线上的A 处，则平移后的抛物线解析式是（ ）A 、y=（x+1）2-1B ．y=（x+1）2+1C ．y=（x-1）2+1D ．y=（x-1）2-16、设A （-1，1y ）、B （1，2y ）、C （3，3y ）是抛物线k x y +--=2)21(21上的三个点，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）A 、1y <2y <3yB 、2y <1y <3yC 、3y <1y <2yD 、2y <3y <1y7、若二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ）A ．m =lB ．m >lC ．m ≥lD ．m ≤l8、抛物线n m x a y ++=2)(的图象如右图所示，则直线n mx y +=的图象经过（ ）A 、第一、二、三象限B 、第一、二、四象限C 、第二、三、四象限D 、第一、三、四象限二、填空题：1、抛物线k h x a y +-=2)(的顶点为（3，-2），且与抛物线231x y -=的形状相同，则a = ，h = ，k = 。
二次函数y=a(x-h)^2+k(a≠0)的图象与性质—巩固练习(基础).doc
二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.抛物线2(2)3y x =-+-的顶点坐标是（ ）A ．(2，-3)B ．(-2，3)C ．(2，3)D ．(-2，-3) 2.函数y=21x 2+2x+1写成y=a(x －h)2+k 的形式是（ ） A.y=21(x －1)2+2 B.y=21(x －1)2+21 C.y=21(x －1)2－3 D.y=21(x+2)2－1 3．抛物线y=21x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是( ) A.y=21(x+3)2－2 B.y=21(x －3)2+2 C.y=21(x －3)2－2 D.y=21(x+3)2+2 4．把二次函数122--=x x y 配方成顶点式为（ ）A ．2)1(-=x yB ． 2)1(2--=x yC ．1)1(2++=x yD ．2)1(2-+=x y 5．由二次函数22(3)1y x =-+，可知（ ）A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线3x =-C ．其最小值为1D ．当3x <时，y 随x 的增大而增大6．（2015•泰安）在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n 2与二次函数y=x 2+m 的图象可能是（ ）.A. B. C. D.二、填空题7. （2015•怀化）二次函数y=x 2+2x 的顶点坐标为 ，对称轴是直线 ．8．已知抛物线y=－2(x+1)2－3，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是_ _____.9．抛物线y=－3(2x 2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.10．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为 ．11．将抛物线22y x x =-向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是__ _____．12．抛物线22(2)6y x =--的顶点为C ，已知3y kx =-+的图象经过点C ，则这个一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为________．三、解答题13．已知抛物线的顶点（-1，-2），且图象经过（1，10），求抛物线的解析式．14. 已知抛物线212y x =-向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到 抛物线2()y a x h k =-+；（1）求出a ，h ，k 的值；（2）在同一直角坐标系中，画出2()y a x h k =-+与212y x =-的图象； （3）观察2()y a x h k =-+的图象，当x ________时，y 随x 的增大而增大；当x ________时，函数y 有最________值，最________值是y =________；（4）观察2()y a x h k =-+的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗？15．（2015•珠海）已知抛物线y=ax 2+bx+3的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x 的方程ax 2+bx ﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D ；【解析】由顶点式可求顶点，由20x +=得2x =-，此时，3y =-．2.【答案】D ；【解析】通过配方即可得到结论.3.【答案】A ；【解析】抛物线 y=21x 2向左平移3个单位得到y=21(x+3)2，再向下平移2个单位后， 所得的抛物线表达式是y=21(x+3)2－2. 4.【答案】B ；【解析】通过配方即可得到结论.5.【答案】C ；【解析】可画草图进行判断.6.【答案】D ；【解析】解：A 、由直线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，n 2＜0，错误；B 、由抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上可知，m ＞0，由直线可知，﹣m ＞0，错误；C 、由抛物线y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，m ＜0，由直线可知，﹣m ＜0，错误；D 、由抛物线y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，m ＜0，由直线可知，﹣m ＞0，正确，故选D ．二、填空题7．【答案】（﹣1，﹣1）； x=﹣1；【解析】∵y=x 2+2x=（x+1）2﹣1，∴二次函数y=x 2+4x 的顶点坐标是：（﹣1，﹣1），对称轴是直线x=﹣1．8．【答案】x ≥－1；【解析】由解析式可得抛物线的开口向下，对称轴是x=-1，对称轴的右边是y 随x 的增大而减小，故x ≥－1.9．【答案】向下，y 轴；10．【答案】249y x x =---；【解析】设2(2)5y a x =+-过点（1，－14）得1a =-，所以22(2)549y x x x =-+-=---.11．【答案】21027y x x =-+；【解析】先化一般式为顶点式，再根据平移规律求解.12．【答案】 1；【解析】C(2，-6)，可求932y x =-+与x 轴交于2(,0)3，与y 轴交于(0，3)，∴ 123123S =⨯⨯=. 三、解答题13.【答案与解析】∵ 抛物线的顶点为（-1，-2），∴ 设其解析式为2(1)2y a x =+-，又图象经过点（1，10），∴ 1042a =-，∴ 3a =，∴ 解析式为23(1)2y x =+-．14.【答案与解析】（1）由212y x =-向上平移2个单位，再向右平移1个单位所得到的抛物线是21(1)22y x =--+． ∴ 12a =-，1h =，2k =． （2）函数21(1)22y x =--+与212y x =-的图象如图所示．（3）观察2()y a x h k =-+的图象，当1x <时，y 随x 的增大而增大；当1x =时，函数y 有最大值，最大值是2y =．（4）由图象知，对于一切x 的值，总有函数值2y ≤．15.【答案与解析】（1）证明：∵对称轴是直线x=1=﹣， ∴2a+b=0；（2）解：∵ax 2+bx ﹣8=0的一个根为4，∴16a+4b ﹣8=0，∵2a+b=0，∴b=﹣2a ，∴16a ﹣8a ﹣8=0，解得：a=1，则b=﹣2，∴ax 2+bx ﹣8=0为：x 2﹣2x ﹣8=0，则（x ﹣4）（x+2）=0，解得：x 1=4，x 2=﹣2，故方程的另一个根为：﹣2．。
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 重难点专项练习(五大题型)(解析版)
22.1.3《二次函数y=a (x-h )2+k 的图象和性质》分层练习考查题型一 二次函数y=a (x-h )2的顶点坐标1．（2021秋·福建宁德·九年级校考期中）()21y x =-的顶点坐标是（ ）A ．()1,0B ．()0,0C ．()0,1D ．()1,1【答案】A 【分析】直接根据二次函数的性质可得答案．【详解】解：()21y x =-的顶点坐标是()1,0．故选A ．【点睛】本题考查了二次函数2()y a x h =-(a ，h 为常数，a ≠0)的性质，熟练掌握二次函数2()y a x h =-的性质是解答本题的关键．2()y a x h =-是抛物线的顶点式，a 决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(h ，0)，对称轴是直线x =h ．2．（2022秋·河南信阳·九年级校考阶段练习）抛物线()21y x =-+的顶点坐标为（ ）A ．（-1，0）B ．（1，0）C ．（1，1）D ．（-1，-1）【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点式即可得出答案．【详解】解：∵抛物线y =-（x +1）2，∴该抛物线的顶点坐标为（-1，0），故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3．（2022秋·新疆省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）抛物线2(3)y x =+的顶点是（ ）．A ．(0,3)B ．(0,3)-C ．(3,0)D ．(3,0)-【答案】D【分析】根据二次函数2()y a x h k =-+的顶点坐标是（h ，k ）即可解答．【详解】解：抛物线2(3)y x =+的顶点是（﹣3，0），1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）抛物线22(1)6y x =-+-的顶点坐标为（ ）A ．()1,6-B ．()1,6-C ．()1,6D ．()1,6--【答案】D【分析】根据抛物线的顶点坐标公式解答即可.【详解】解：抛物线22(1)6y x =-+-的顶点坐标为()1,6--；故选：D.【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟知抛物线()()20=-+¹y a x h k a 的顶点坐标是(),h k 是解题的关键.2．（2020秋·广东韶关·九年级校考期末）抛物线()2213y x =-+的顶点坐标是（ ）A ．()1,3-B ．()1,3-C ．()3,1D ．()1,3【答案】D 【分析】利用顶点式直接求解即可．【详解】解：抛物线()2213y x =-+的顶点坐标是()1,3．故选：D ．【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数()2y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k ，对称轴为x h =，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考二模）抛物线2(9)10y x =---的顶点坐标是（ ）A ．(9,10)B ．(9,10)-C ．(9,10)-D ．(9,10)--【答案】B【分析】直接根据二次函数的顶点坐标式进行解答即可．【详解】∵二次函数的解析式为2(9)10y x =---，其顶点坐标为：(9,10)-．故选B ．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．4．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）抛物线()2251y x =-++的顶点坐标是（ ）A ．()5,1B ．()5,1--C ．()5,1-D ．()5,1-【答案】C 【分析】根据抛物线()2y a x h k =-+的顶点坐标是(),h k ，即可求解．【详解】解：抛物线()2251y x =-++的顶点坐标是()5,1-．故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握抛物线()2y a x h k =-+的顶点坐标是(),h k 是解题的关键．考查题型三 二次函数y=a (x-h )2+k 的对称轴1．（2023春·广东云浮·九年级校考期中）抛物线()232y x =-+的对称轴是（ ）A ．3x =-B ．3x =C ．2x =-D ．2x =【答案】B 【分析】根据题干中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴．【详解】∵抛物线()232y x =-+∴对称轴是直线3x =，故选：B【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质进行分析解答．2．（2022秋·北京西城·九年级校考期中）抛物线()212y x =++的对称轴为（ ）A ．直线=1x -B ．直线5x =C ．直线3x =D ．直线4x =考查题型四二次函数y=a(x-h)1．（2020秋·广东广州·九年级广州市第十三中学校考期中）在函数()213y x =-+，y 随x 增大而减小，则x 的取值范围为( )A ．1x >B ．0x >C ．3x <D ．1x <【答案】D【分析】根据抛物线的开口方向和顶点式判断即可．【详解】解：在()213y x =-+中，∵10a =>，∴函数图像开口向上，当1x <时，y 随x 的增大而减小．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ¹），当0a >时，在对称轴左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴右侧y 随x 的增大而增大；当a<0时，在对称轴左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小．2．（2022秋·山东临沂·九年级统考期中）若二次函数2y x m h ++＝（），当1x <时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（）A ．1m =B ．1m >C ．1m ³-D ．1m £-【答案】D 【分析】根据二次函数的表达式可知对称轴为x m =-，根据二次函数图像的性质即可求出结论.【详解】由2y x m h ++＝（）得二次函数的对称轴为x m =-，∵该函数图像的开口向上，∴在对称轴左侧y 随x 的增大而减小,∴1m -³解得1m £-故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，根据开口方向和对称轴确定图像的增减性是解题的关键.3．（2022秋·浙江金华·九年级统考期中）已知二次函数()231y x =-+，当y 的值随x 的增大而增大时，x 的取值满足（ ）A ．1x ³B ．1x £C ．3x ³D ．3x £【答案】C 【分析】根据二次函数的性质解答即可．【详解】解：2=(3)+1y x -，10a =>Q ，对称轴3x =，当3x ³时，y 随x 的增大而增大，故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数的增减性．4．（2022秋·山东济宁·九年级统考期中）已知二次函数()2y x k h =--+，当3x >时，y 随x 的增大而减小，则函数中k 的取值范围是（ ）A ．3k ³B ．3k £C ．3k =D ．3k £-【答案】B【分析】先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线x k =，则当x k >时，y 的值随x 值的增大而减小，由于3x >时，y 的值随x 值的增大而减小，于是得到3k £．【详解】解：抛物线的对称轴为直线x k =，因为10a =-<，所以抛物线开口向下，所以当x k >时，y 的值随x 值的增大而减小，而3x >时，y 的值随x 值的增大而减小，所以3k £．故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．考查题型五 二次函数y=a (x-h )2+k 的最值1．（2023·浙江·一模）关于二次函数22)3(5y x =--+的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）A ．有最大值2B ．有最小值2C ．有最大值5D ．有最小值5【答案】C【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．【详解】解：∵二次函数22)3(5y x =--+，∴抛物线开口向下，对称轴为x =2，顶点坐标为（2，5），∴当x =2时，y 有最大值为5；∴选项A ，B ，D 错误，C 正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y =a （x -h ）2+k 中，对称轴为x =h ，顶点坐标为（h ，k ）．2．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）抛物线()2345y x =---的最大值为（ ）A ．4B ．4-C ．5D ．5-【答案】D 【分析】根据二次函数的顶点式的特点即可解答．【详解】解：∵()2345y x =---，∴抛物线开口方向向下，对应函数有最大值5-．故选D ．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与性质，二次函数()()20y a x b k a =++¹的对称轴为x b =-，顶点坐标为(),b k -，当a<0，函数有最大值k ．3．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）关于二次函数()223y x =-+，下列叙述正确的是（ ）A ．当2x =时，y 有最大值3B ．当2x =-时，y 有最大值3C ．当2x =时，y 有最小值3D ．当2x =-时，y 有最小值3【答案】C 【分析】()2y a x h k =-+是抛物线的顶点式，a 决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(),h k ，对称轴是x h =．【详解】∵二次函数()223y x =-+，∵10>，∴抛物线开口向上，函数有最小值，∴当2x =时，y 有最小值3．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数()2y a x h k =-+（a ，b ，c 为常数，0a ¹）的性质，熟练掌握二次函数()2y a x h k =-+的性质是解答本题的关键．4．（2021秋·湖南长沙·九年级湖南师大附中校考期末）二次函数()225y x =--的最小值是（ ）A ．2-B ．2C ．5-D ．5【答案】C 【分析】根据二次函数()2y a x h k =-+的性质，即可求解．【详解】解∶ ∵10>，∴二次函数图象开口向上，∴当2x =时，二次函数有最小值，最小值为5-，即二次函数()225y x =--的最小值是5-．故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数()2y a x h k =-+的性质是解题的关键．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是数形结合得出2．（2021秋·山东德州·九年级统考期中）已知抛物线（1）若抛物线C的顶点在第二象限，求（2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积．-<【答案】（1）m的取值范围是1m【分析】（1）先根据抛物线解析式得到抛物线的顶点坐标为（行求解即可；【点睛】本题主要考查了抛物线的顶点坐标，第二象限点的坐标特征，抛物线与坐标轴的交点坐标，解题。
26.1.2二次函数y=a(x-h)2+k(a不等以0)的图象和性质(三)每课一练(人教版九年级下册)
26.1.2 二次函数y=a(x-h)2+k(a不等以0)的图象和性质（三）每课一练（人教版九年级下册）知识点:1、抛物线的对称轴为，顶点坐标为。
2、抛物线与抛物线的形状，位置，将抛物线进行平移可得到抛物线，平移规律为：当时，将抛物线得到抛物线；当时，将抛物线得到抛物线；当时，将抛物线得到抛物线；当时，将抛物线得到抛物线；3、抛物线的图象特点：时，抛物线开口向，左右，顶点最；时，抛物线开口向，左右，顶点最；一、选择题：1、抛物线的顶点坐标为（）A、（-1，）B、（1，）C、（-1，—）D、（1，—）2、对于的图象，下列叙述正确的是（）A、顶点坐标为（-3,2）B、对称轴是直线C、当时，随的增大而增大D、当时，随的增大而减小3、将抛物线向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为（）A、 B、 C、 D、4、抛物线可由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（）A、先向右平移1个单位，再向上平移2个单位B、先向右平移1个单位，再向下平移2个单位C、先向左平移1个单位，再向上平移2个单位D、先向左平移1个单位，再向下平移2个单位5、如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（）A、y=（x+1）2-1 B．y=（x+1）2+1 C．y=（x-1）2+1 D．y=（x-1）2-16、设A（-1，）、B（1，）、C（3，）是抛物线上的三个点，则、、的大小关系是（）A、<<B、<<C、<<D、<<7、若二次函数．当≤l时，随的增大而减小，则的取值范围是（）A．=l B．>l C．≥l D．≤l8、二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（）A、第一、二、三象限B、第一、二、四象限C、第二、三、四象限D、第一、三、四象限二、填空题：1、抛物线的对称轴是，顶点坐标是；当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，取最值为。
二次函数y=a(x-h)^2+k(a≠0)的图象与性质—巩固练习(基础)
二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.抛物线2(2)3y x =-+-的顶点坐标是（ ）A ．(2，-3)B ．(-2，3)C ．(2，3)D ．(-2，-3) 2.函数y=21x 2+2x+1写成y=a(x －h)2+k 的形式是（ ） A.y=21(x －1)2+2 B.y=21(x －1)2+21 C.y=21(x －1)2－3 D.y=21(x+2)2－1 3．抛物线y=21x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是( ) A.y=21(x+3)2－2 B.y=21(x －3)2+2 C.y=21(x －3)2－2 D.y=21(x+3)2+2 4．把二次函数122--=x x y 配方成顶点式为（ ）A ．2)1(-=x yB ． 2)1(2--=x yC ．1)1(2++=x yD ．2)1(2-+=x y 5．由二次函数22(3)1y x =-+，可知（ ）A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线3x =-C ．其最小值为1D ．当3x <时，y 随x 的增大而增大6．（2015•泰安）在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n 2与二次函数y=x 2+m 的图象可能是（ ）.A. B. C. D.二、填空题7. （2015•怀化）二次函数y=x 2+2x 的顶点坐标为 ，对称轴是直线 ．8．已知抛物线y=－2(x+1)2－3，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是_ _____.9．抛物线y=－3(2x 2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.10．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为 ．11．将抛物线22y x x =-向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是__ _____．12．抛物线22(2)6y x =--的顶点为C ，已知3y kx =-+的图象经过点C ，则这个一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为________．三、解答题13．已知抛物线的顶点（-1，-2），且图象经过（1，10），求抛物线的解析式．14. 已知抛物线212y x =-向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到 抛物线2()y a x h k =-+；（1）求出a ，h ，k 的值；（2）在同一直角坐标系中，画出2()y a x h k =-+与212y x =-的图象； （3）观察2()y a x h k =-+的图象，当x ________时，y 随x 的增大而增大；当x ________时，函数y 有最________值，最________值是y =________；（4）观察2()y a x h k =-+的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗？15．（2015•珠海）已知抛物线y=ax 2+bx+3的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x 的方程ax 2+bx ﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D ；【解析】由顶点式可求顶点，由20x +=得2x =-，此时，3y =-．2.【答案】D ；【解析】通过配方即可得到结论.3.【答案】A ；【解析】抛物线 y=21x 2向左平移3个单位得到y=21(x+3)2，再向下平移2个单位后， 所得的抛物线表达式是y=21(x+3)2－2. 4.【答案】B ；【解析】通过配方即可得到结论.5.【答案】C ；【解析】可画草图进行判断.6.【答案】D ；【解析】解：A 、由直线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，n 2＜0，错误；B 、由抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上可知，m ＞0，由直线可知，﹣m ＞0，错误；C 、由抛物线y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，m ＜0，由直线可知，﹣m ＜0，错误；D 、由抛物线y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，m ＜0，由直线可知，﹣m ＞0，正确，故选D ．二、填空题7．【答案】（﹣1，﹣1）； x=﹣1；【解析】∵y=x 2+2x=（x+1）2﹣1，∴二次函数y=x 2+4x 的顶点坐标是：（﹣1，﹣1），对称轴是直线x=﹣1．8．【答案】x ≥－1；【解析】由解析式可得抛物线的开口向下，对称轴是x=-1，对称轴的右边是y 随x 的增大而减小，故x ≥－1.9．【答案】向下，y 轴；10．【答案】249y x x =---；【解析】设2(2)5y a x =+-过点（1，－14）得1a =-，所以22(2)549y x x x =-+-=---.11．【答案】21027y x x =-+；【解析】先化一般式为顶点式，再根据平移规律求解.12．【答案】 1；【解析】C(2，-6)，可求932y x =-+与x 轴交于2(,0)3，与y 轴交于(0，3)，∴ 123123S =⨯⨯=. 三、解答题13.【答案与解析】∵ 抛物线的顶点为（-1，-2），∴ 设其解析式为2(1)2y a x =+-，又图象经过点（1，10），∴ 1042a =-，∴ 3a =，∴ 解析式为23(1)2y x =+-．14.【答案与解析】（1）由212y x =-向上平移2个单位，再向右平移1个单位所得到的抛物线是21(1)22y x =--+． ∴ 12a =-，1h =，2k =． （2）函数21(1)22y x =--+与212y x =-的图象如图所示．（3）观察2()y a x h k =-+的图象，当1x <时，y 随x 的增大而增大；当1x =时，函数y 有最大值，最大值是2y =．（4）由图象知，对于一切x 的值，总有函数值2y ≤．15.【答案与解析】（1）证明：∵对称轴是直线x=1=﹣，∴2a+b=0；（2）解：∵ax 2+bx ﹣8=0的一个根为4，∴16a+4b ﹣8=0，∵2a+b=0，∴b=﹣2a ，∴16a ﹣8a ﹣8=0，解得：a=1，则b=﹣2，∴ax 2+bx ﹣8=0为：x 2﹣2x ﹣8=0，则（x ﹣4）（x+2）=0，解得：x 1=4，x 2=﹣2，故方程的另一个根为：﹣2．。
二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与性质—巩固练习(提高)
二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（提高）【巩固练习】 一、选择题1. 不论m 取任何实数，抛物线y=a(x+m)2+m(a ≠0)的顶点都( )A.在y=x 直线上B.在直线y=－x 上C.在x 轴上D.在y 轴上 2．二次函数2(1)2y x =-+的最小值是( )．A ．-2B ．2C ．-lD ．13．如图所示，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是( )． A ．h m = B ．k n = C ．k n > D ．0k >，0n ＜第3题 第5题4．把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为( )．A ．2(1)3y x =---B ．2(1)3y x =-+-C ．2(1)3y x =--+ D ．2(1)3y x =-++5．如图所示，抛物线的顶点坐标是P(1，3)，则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是( )． A ．3x > B ．3x < C ．1x > D ．1x <6．若二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ）A ．m =lB ．m >lC ．m ≥lD ．m ≤l二、填空题7．若抛物线y=a （x+m ）2的对称轴为x=-3，且它与抛物线y=-2x 2的形状相同，开口方向相同， 则点（a ，m ）关于原点的对称点为________．8．若点A （３，－４)在函数2)(m x y --=的图象上，则=m _ _.这个抛物线的对称轴是 ；点Ａ关于抛物线对称轴的对称点是 ．9．如果把抛物线2)(b x a y +=向上平移－３个单位，再向右平移３个单位长度后得到抛物线3)2(212-+=x y ，则求a 的值为 ；b 的值为 . 10．请写出一个二次函数，图象顶点为(-1，2)，且不论x 取何值，函数值y 恒为正数．则此二次函数为______ __． 11．若二次函数23(1)2y x =-+中的x 取值为2≤x ≤5，则该函数的最大值为 ；最小值为 ．12．已知抛物线y=x 2+x+b 2经过点，则y 1的值是_____.三、解答题13．抛物线y=3(x －2)2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，求△AOB 的面积和周长．14. 如图，抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B ． （1）求抛物线的解析式； （2）求△AOB 的面积；（3）若点P （m ，-m ）（m ≠0）为抛物线上一点，求与P 关于抛物线对称轴对称的点Q 的坐标．（注：抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是x=-2ba）.15．如图，在正方形ABCD 中，AB=2，E 是AD 边上一点（点E 与点A ，D 不重合）．BE•的垂直平分线交AB 于M ，交DC 于N ．（1）设AE=x ，四边形ADNM 的面积为S ，写出S 关于x 的函数关系式；（2）当AE 为何值时，四边形ADNM 的面积最大？最大值是多少？【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ；【解析】抛物线y=a(x+m)2+m(a ≠0)的顶点为（-m,m ）,所以顶点在直线y=－x 上. 2.【答案】B ；【解析】当1x =时，二次函数2(1)2y x =-+有最小值为2．3.【答案】B ；【解析】由两抛物线对称轴相同可知h m =，且由图象知k n >，0k >，0n ＜． 4.【答案】D ；【解析】由抛物线2()(0,0)y a x h k h k =++>>与抛物线2y ax =之间的关系知，将抛物线2y ax =向左平移|h|个单位后得到抛物线解析式为2()y a x h =+， 再向上平移|k|个单位即得到抛物线的解析式为2()y a x h k =++． 根据这一规律不难得平移后的抛物线的解析式．也可画草图帮助分析， 即把2y x =-的图象平移到使(-1，3)为其顶点，则解析式为2(1)3y x =-++．5.【答案】C ；【解析】由顶点坐标P(1，3)知抛物线的对称轴为直线1x =，因此当1x >时，y 随x 的增大而减小． 6.【答案】C ；【解析】画出草图进行分析得出结论.二、填空题 7．【答案】（2，-3）；【解析】因为抛物线y=a （x+m ）2的对称轴为x=-3，且它与抛物线y=-2x 2的形状相同，开口方向相同， 所以a=-2,m=3, 故点（a ，m ）关于原点的对称点为(2,-3). 8．【答案】５或１； 5x =或1x =； (7,4)-或（－１，－４）；【解析】因为点A （３，－４)在函数2)(m x y --=的图象上，所以把点A （３，－４)代入函数2)(m x y --=得5m =或1m =；对称轴是5x =或1x =；点Ａ关于抛物线对称轴的对称点是(7,4)-或（－１，－４）.9．【答案】 12a =，5b =； 【解析】抛物线2)(b x a y +=向上平移－３个单位得到2()3y a x b =+-，再向右平移３个单位长度得到2(3)3y a x b =+--，即2(3)3y ax b=+--与3)2(212-+=x y 相同，故12a =，5b =.10．【答案】2(1)2y x =++ 等；【解析】答案不唯一，只要抛物线开口向上即可，即0a >，所以2(1)2y x =++或22(1)2y x =++等均可．11．【答案】50；5.【解析】由于函数23(1)2y x =-+的顶点坐标为(1，2)，30a =>，当1x >时，y 随x 的增大而增大，当x ＝5时，函数在2≤x ≤5范围内的最大值为50； 当x ＝2时，函数的最小值为23(21)25y =⨯-+=最小．12．【答案】；【解析】把1(,)4a -代入y=x 2+x+b 2得22104a a b +++=，221()02a b ++=，，代入即可求得.三、解答题13.【答案与解析】∵ 抛物线y=3(x －2)2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴ A(2，0)，B(0，12)，∴ S △AOB =12，△AOB 的周长为14十237．14.【答案与解析】解：（1）设二次函数的解析式为y=a （x-2）2+1，将点O （0，0）的坐标代入得：4a+1=0，解得a=-14． 所以二次函数的解析式为y=-14（x-2）2+1； （2）∵抛物线y=-14（x-2）2+1的对称轴为直线x=2，且经过原点O （0，0）， ∴与x 轴的另一个交点B 的坐标为（4，0）， ∴△AOB 的面积=12×4×1=2；（3）∵点P （m ，-m ）（m ≠0）为抛物线y=-14（x-2）2+1上一点， ∴-m=-14（m-2）2+1， 解得m 1=0（舍去），m 2=8， ∴P 点坐标为（8，-8）， ∵抛物线对称轴为直线x=2，∴P 关于抛物线对称轴对称的点Q 的坐标为（-4，-8）．15.【答案与解析】（1）连接ME ，设MN 交BE 交于P ， 根据题意得MB=ME ，MN ⊥BE ．过N 作NF ⊥AB 于F ，在Rt △MBP 和Rt △MNF 中，∠MBP+∠BMN=90°， ∠FNM+∠BMN=90°，∠MBP=∠MNF ，又AB=FN ，Rt △EBA ≌Rt △MNF ，MF=AE=x ． 在Rt△AME 中，由勾股定理得 ME 2=AE 2+AM 2，所以MB 2=x 2+AM 2，即（2-AM ）2=x 2+AM 2，解得AM=1-14x 2． 所以四边形ADNM 的面积S=22AM DN AM AF AD ++⨯=×2=AM+AM+MF=2AM+AE=2（1-14x 2）+x=-12x 2+x+2． 即所求关系式为S=-12x 2+x+2．（2）S=-12x 2+x+2=-12（x 2-2x+1）+52=-12（x-1）2+52． 当AE=x=1时，四边形ADNM 的面积S 的值最大，此时最大值是52．。
二次函数y=a(x-h)2k的图像及其性质练习
二次函数y=a(x-h)2+k一选择题：1．抛物线y = x2-1的顶点坐标为( )A．(1，0) B．(-1，0) C．(0，-1) D．(2，3)2．抛物线y = -3(x-2)2+4的开口方向、对称轴、顶点坐标分别为( ) A．开口向下，对称轴为x = -2，顶点坐标为(-2，4)B．开口向上，对称轴为x = 2，顶点坐标为(2，4)C．开口向上，对称轴为x = 2，顶点坐标为(2，-4)D．开口向下，对称轴为x = 2，顶点坐标为(2，4)3．抛物线y = 2+(m-5)的顶点在x轴下方，则( )A．m = 5 B．m = - 1 C．m = 5或m = -1 D．m = -5或m = 14．把抛物线y =x2向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位，得抛物线为( )A．y =(x2+2x+2) B．y =(x2+2x-1) C．y =(x2-2x-1) D．y =(x2-2x+1)5．二次函数y = 2(x-1)2+2的图象可由y = 2x2的图象( )得到A．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度B．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度6．将抛物线y= -x2-1向上平移两个单位得到抛物线的表达式（）A．y= -x2B．y= -x2-2 C．y= -x2+1 D．y= x2+17．抛物线y = x2+b与抛物线y = ax2-2的形状相同，只是位置不同，则a、b值分别是（）A．a=1，b≠-2 B．a= -2，b≠2 C．a=1，b≠2 D．a=2，b≠28. 函数y = - x2与y = x - 1的函数在同一坐标系中图象大致是＿＿＿＿＿。
9. 函数y = ax2与y = a(x - 2)(a〈0 ) 函数在同一坐标系里的图象大致是＿＿＿＿。
人教初中数学 二次函数y=a(x-h)2(a≠0)与y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与性质
《二次函数》专题 第二讲：二次函数y=a(x-h)2（a ≠0）与y=a(x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质一、二次函数2y =a(x -h)的图象和性质1．画出二次函数()2112y x =-+、()2112y x =--的图象，并考虑 它们的图象的性质．解：列表抛物线()2112y x =-+的开口向下，对称轴是直线1x =-， 顶点（1-，0）是最高点；当1x ≥-时，y 随x 增大而减小．当1x ≤-时，y 随x 增大而增大．当1x =-时，y 最大0=．2．抛物线()2112y x =-+，()2112y x =--与抛物线212y x =-有什 么关系？由此归纳二次函数2()y a x h =-与2y ax =的关系．它们的形状都________，把抛物线212y x =-向_____平移1个单位， 就得到抛物线()2112y x =-+； 把抛物线212y x =-向______平移1个单位， 就得到抛物线()2112y x =--．3．归纳：二次函数2()y a x h =-的图象及其性质（1）二次函数2()y a x h =-与2y ax =的最值相同，都是______；（2）抛物线2()y a x h =-与抛物线2y ax =形状相同，开口方向相 同，最高点（或最低点）的______坐标相同；抛物线2()y a x h =-的顶点（h ，0）可以由抛物线2y ax =的顶 点（0，0）向左（或向右）平移______个单位得到，抛物线和 对称轴也随之改变．（3）开口看a ；平移看顶点，_____加_____减．二、猜想并验证二次函数2y =a(x -h)+k 的图象和性质1．画出函数21(1)22y x =-+-的图象，指出它的开口方向、对称 轴和顶点坐标． 解：用平移的方法画出图象，把抛物线212y x =-向左平移1个单 位，得到抛物线21(1)2y x =-+， 再向下平移2个单位， 得到抛物线21(1)22y x =-+-． 开口向下，对称轴是直线1x =-，顶点是（1-，2-）．2．归纳：（1）抛物线2()y a x h k =-+和2y ax =形状相同，把抛物线 2y ax =向上（下）平移_____个单位向左（右）平移______个单位， 得到抛物线2()y a x h k =-+．____加___减，___加___减．（2）当0a >时，开口向_____；顶点坐标是__________； 123456-1-2-3-4-5-1-2-3-4-5-6-7-8-91x y O对称轴是直线_________；当x h =时，y 有最小值_____；当x h ≤时，y 随x 的增大而________；当x h ≥时，y 随x 的增大而________．（3）当0a <时，开口向_____；顶点坐标是________；对称轴是直线________；当x h =时，y 有最大值______；当x h ≤时，y 随x 的增大而________；当x h ≥时，y 随x 的增大而________．【小结】之前三种二次函数的解析式形式实质都是顶点式．练习：1、填写下表2.(1)将抛物线23y x =-向右平移2个单位，再向上平移5个 单位，得到的抛物线解析式为 ．(2)二次函数21(3)42y x =-+的图象可以看作是二次函数212y x = 的图象向 平移4个单位，再向 平移3个单位得到的．3.把二次函数2()y a x h k =-+的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数21(1)12y x =-+-的图象． ①试确定a 、h 、k 的值；②画出抛物线2()y a x h k =-+的示意图，指出二次函数 2()y a x h k =-+的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增 减性．。
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二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（提高）
【巩固练习】 一、选择题
1. 不论m 取任何实数，抛物线y=a(x+m)2
+m(a ≠0)的顶点都( )
A.在y=x 直线上
B.在直线y=－x 上
C.在x 轴上
D.在y 轴上 2．二次函数2(1)2y x =-+的最小值是( )．
A ．-2
B ．2
C ．-l
D ．1
3．如图所示，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是( )． A ．h m = B ．k n = C ．k n > D ．0k >，0n ＜
第3题 第5题
4．把抛物线2
y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为( )．
A ．2
(1)3y x =--- B ．2
(1)3y x =-+- C ．2
(1)3y x =--+ D ．2
(1)3y x =-++ 5．如图所示，抛物线的顶点坐标是P(1，3)，则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是( )． A ．3x > B ．3x < C ．1x > D ．1x <
6．若二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ）
A ．m =l
B ．m >l
C ．m ≥l
D ．m ≤l
二、填空题
7．若抛物线y=a （x+m ）2的对称轴为x=-3，且它与抛物线y=-2x 2
的形状相同，开口方向相同， 则点（a ，m ）关于原点的对称点为________．
8．若点A （３，－４)在函数2
)(m x y --=的图象上，则=m _ _.这个抛物线的对称轴是 ； 点Ａ关于抛物线对称轴的对称点是 ．
9．如果把抛物线2
)(b x a y +=向上平移－３个单位，再向右平移３个单位长度后得到抛物线
3)2(2
1
2-+=
x y ，则求a 的值为 ；b 的值为 . 10．请写出一个二次函数，图象顶点为(-1，2)，且不论x 取何值，函数值y 恒为正数．则此二次函数为
______ __． 11．若二次函数2
3(1)2y x =-+中的x 取值为2≤x ≤5，则该函数的最大值为 ；最小值为 ．
12．已知抛物线y=x 2+x+b 2
经过点，则y 1的值是_____.
三、解答题
13．抛物线y=3(x －2)2
与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，求△AOB 的面积和周长．
14. 如图，抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B ． （1）求抛物线的解析式； （2）求△AOB 的面积；
（3）若点P （m ，-m ）（m ≠0）为抛物线上一点，求与P 关于抛物线对称轴对称的点Q 的坐标．
（注：抛物线y=ax 2
+bx+c 的对称轴是x=-2b
a
）.
15．如图，在正方形ABCD 中，AB=2，E 是AD 边上一点（点E 与点A ，D 不重合）．BE•的垂直平分线交AB 于M ，交DC 于N ．
（1）设AE=x ，四边形ADNM 的面积为S ，写出S 关于x 的函数关系式； （2）当AE 为何值时，四边形ADNM 的面积最大？最大值是多少？
【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ；
【解析】抛物线y=a(x+m)2
+m(a ≠0)的顶点为（-m,m ）,所以顶点在直线y=－x 上. 2.【答案】B ；
【解析】当1x =时，二次函数2
(1)2y x =-+有最小值为2．
3.【答案】B ；
【解析】由两抛物线对称轴相同可知h m =，且由图象知k n >，0k >，0n ＜． 4.【答案】D ；
【解析】由抛物线2
()(0,0)y a x h k h k =++>>与抛物线2
y ax =之间的关系知，
将抛物线2
y ax =向左平移|h|个单位后得到抛物线解析式为2
()y a x h =+， 再向上平移|k|个单位即得到抛物线的解析式为2
()y a x h k =++． 根据这一规律不难得平移后的抛物线的解析式．也可画草图帮助分析， 即把2
y x =-的图象平移到使(-1，3)为其顶点，则解析式为2
(1)3y x =-++．
5.【答案】C ；
【解析】由顶点坐标P(1，3)知抛物线的对称轴为直线1x =，因此当1x >时，y 随x 的增大而减小． 6.【答案】C ；
【解析】画出草图进行分析得出结论.
二、填空题
7．【答案】（2，-3）；
【解析】因为抛物线y=a （x+m ）2的对称轴为x=-3，且它与抛物线y=-2x 2
的形状相同，开口方向相同， 所以a=-2,m=3, 故点（a ，m ）关于原点的对称点为(2,-3). 8．【答案】５或１； 5x =或1x =； (7,4)-或（－１，－４）；
【解析】因为点A （３，－４)在函数2
)(m x y --=的图象上，所以把点A （３，－４)代入
函数2
)(m x y --=得5m =或1m =；对称轴是5x =或1x =；点Ａ关于抛物线对称轴的对称点是(7,4)-或（－１，－４）.
9．【答案】 1
2
a =
，5b =； 【解析】抛物线2)(b x a y +=向上平移－３个单位得到2()3y a x b =+-，再向右平移３个单位长度得
到2
(3)3y a x b =+--，即2
(3)3y a x b =+--与3)2(212-+=
x y 相同，
故1
2
a =，5
b =. 10．【答案】2(1)2y x =++ 等；
【解析】答案不唯一，只要抛物线开口向上即可，即0a >，所以2(1)2y x =++或22(1)2y x =++等均可．
11．【答案】50；5.
【解析】由于函数23(1)2y x =-+的顶点坐标为(1，2)，30a =>，
当1x >时，y 随x 的增大而增大，
当x ＝5时，函数在2≤x ≤5范围内的最大值为50； 当x ＝2时，函数的最小值为2
3(21)25y =⨯-+=最小．
12．【答案】；
【解析】把1
(,)4
a -代入y=x 2
+x+b 2
得22
104a a b +++
=，221
()02
a b ++=， ，代入即可求得.
三、解答题
13.【答案与解析】
∵ 抛物线y=3(x －2)2
与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴ A(2，0)，B(0，12)，
∴ S △AOB =12，△AOB 的周长为14十237．
14.【答案与解析】
解：（1）设二次函数的解析式为y=a （x-2）2
+1，
将点O （0，0）的坐标代入得：4a+1=0，
解得a=-14
． 所以二次函数的解析式为y=-14
（x-2）2
+1； （2）∵抛物线y=-14
（x-2）2
+1的对称轴为直线x=2，且经过原点O （0，0）， ∴与x 轴的另一个交点B 的坐标为（4，0），
∴△AOB 的面积=
1
2
×4×1=2； （3）∵点P （m ，-m ）（m ≠0）为抛物线y=-14
（x-2）2
+1上一点， ∴-m=-
14
（m-2）2
+1， 解得m 1=0（舍去），m 2=8， ∴P 点坐标为（8，-8）， ∵抛物线对称轴为直线x=2，
∴P 关于抛物线对称轴对称的点Q 的坐标为（-4，-8）．
15.【答案与解析】
（1）连接ME ，设MN 交BE 交于P ， 根据题意得MB=ME ，MN ⊥BE ．
过N 作NF ⊥AB 于F ，在Rt △MBP 和Rt △MNF 中，∠MBP+∠BMN=90°， ∠FNM+∠BMN=90°，∠MBP=∠MNF ，又AB=FN ，Rt △EBA ≌Rt △MNF ，MF=AE=x ． 在Rt △AME 中，由勾股定理得 ME 2
=AE 2
+AM 2
，
所以MB 2
=x 2
+AM 2
，即（2-AM ）2
=x 2
+AM 2
，解得AM=1-14
x 2
． 所以四边形ADNM 的面积
S=
22AM DN AM AF AD ++⨯=×2=AM+AM+MF=2AM+AE=2（1-14x 2）+x=-12
x 2
+x+2． 即所求关系式为S=-12
x 2
+x+2．
（2）S=-12x 2+x+2=-12（x 2-2x+1）+52=-12（x-1）2+52
． 当AE=x=1时，四边形ADNM 的面积S 的值最大，此时最大值是5
2
．。