基本不等式：ab≤a+bppt课件
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高中数学人教版必修5 2.2基本不等式(共27张PPT)
提问2：那4个直角三角形的面积和是多
少呢？
D
GF C
A HE
B
引入新课 提问3：根据观察4个直角三角形的面积
和正方形的面积，我们可得容易得到一个 不等式 a 2 b2 2ab ，什么时候这两部 分面积相等呢？
D GF C A HE
B
讲授新课
一般地，对于任意实数a、b，我们有 a 2 b2 2ab ，当且仅当a＝b时，等号 成立.
课堂小结
(1)函数的解析式中，各项均为正数； (2)函数的解析式中，含变数的各项的和或
积必须有一个为定值； (3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，
取得最值.
即用均值不等式求某些函数的最值时， 应具备三个条件：一正二定三取等.
称 ab 为正数a, b的几何平均数.
a2 b2 2ab和 a b ab成立的条 2
件是不同的.
讲授新课
提问5：观察右图，你能得到不等式
ab a b (a 0, b 0)
2
D
的几何解释吗？
A
C
E
讲授新课
ab a b 2
我们常把a b 叫做正数a, b的算术平 2
讲授新课
基本不等式：
(1) 如果a, b R,那么a2 b2 2ab(当且仅 当a b时取“”号) ; (2) 如果a, b是正数,那么 a b ab(当且
2 仅当a b时取“”号) ;
前者只要求a, b都是实数，而后者要 求a, b都是正数.
讲授新课
2. 我们称 a b 为正数a, b的算术平均数， 2
2.2基本不等式：
ab a b 2
引入新课 提问1：我们把“风车”造型抽象成下图.
2024届新高考一轮复习北师大版 第二章 第二节 基本不等式 课件(43张)
正比;若在距离车站10 km处建仓库,则y1为1万元,y2为4万元,下列结论正确
的是(
)
A.y2=0.4x(x>0)
1
B.y1= (x>0)
C.y1+y2有最小值4
D.y1-y2无最小值
答案 ACD
解析 设
1
y1= (k1≠0,x>0),由题意知函数图象过点(10,1),即 k1=10,所以
2
4
;
(2)若 xy=p(p 为定值),则当且仅当 x=y 时,x+y 取得最小值 2
.
微点拨 应用基本不等式求最值时应尽量避免多次运用基本不等式,若必
须多次使用,一定要保证它们的等号成立的条件一致.
常用结论
1.若
2
a,b>0,则
+
2.若
++
a,b,c>0,则 3
≤ ≤
≥
x=3.
=
2 +1
1
=t+ ≥2
1
1
· =2,当且仅当 t= ,即 t=1 时,等号成立,此时
规律方法
对点训练(1)(2023·甘肃酒泉模拟)若x,y为实数,且x+2y=6,则3x+9y的最小值
为(
)
A.18
B.27 C.54 D.90
(2)(2023·河北保定模拟)已知 0<x<2,则 y=x 4- 2 的最大值为(
3
+
2
≤
2 + 2
,当且仅当
2
a=b 时,等号成立.
,当且仅当 a=b=c 时,等号成立.
高中数学基本不等式 PPT课件 图文
2. 一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙 的矩形菜园，墙长18 m，问这个矩形的长 、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大 面积是多少？
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的 收益远 大于同 时做很 多事； 你会明白，有人风风火火做各种事仍未 有回报 ，是因 为他们 从未投 入过。 从“做 了”到 “做” ，正如 “知道 ”到“ 懂得” 的距离 。 3 之前
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的 收益远 大于同 时做很 多事； 你会明白，有人风风火火做各种事仍未 有回报 ，是因 为他们 从未投 入过。 从“做 了”到 “做” ，正如 “知道 ”到“ 懂得” 的距离 。 3 之前
基本不等式(共43张)ppt课件
解法步骤与技巧
01
02
03
移项
将不等式两边的同类项进 行合并，并把未知数移到 不等式的一边，常数移到 另一边。
合并同类项
将移项后的不等式两边的 同类项进行合并。
系数化为1
将不等式两边的系数化为 1，得到不等式的解集。
解法步骤与技巧
注意不等号的方向
在解不等式时，要注意不等号的方向，特别是在乘以或除以一个负数时，不等 号的方向要发生变化。
基本不等式(共43张)ppt课件
目录
• 基本不等式概念及性质 • 一元一次不等式解法 • 一元二次不等式解法 • 绝对值不等式解法 • 分式不等式和无理不等式解法 • 基本不等式在几何中的应用 • 基本不等式在函数中的应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
基本不等式概念及性质
不等式定义与分类
不等式定义
根）；
04
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
04
绝对值不等式解法
绝对值概念及性质
绝对值定义
对于任意实数$x$，其绝对值$|x|$定义为：若$x geq 0$，则$|x| = x$；若$x < 0$，则$|x| = -x$。
绝对值的性质
非负性、对称性、三角不等式。
绝对值不等式解法步骤
将不等式左边进行因式分解，找出不 等式的临界点。
无理不等式解法
第一步
确定无理不等式的定义域，即根 号内的表达式必须大于等于零。
第二步
通过平方消去根号，将无理不等式 转化为有理不等式。
第三步
利用有理不等式的解法，求解转化 后的不等式，得到原无理不等式的 解集。
综合应用举例
例1
人教版高中数学必修五基本不等式课件PPT
第三章 不等式
1.两个不等式
不等式
内容
等号成立条件
重要不等式
a2 b2 2ab(a, b R)“a=b”时取“=”
基本不等式
ab
a b (a＞0,b＞0) 2
“a=b”时取“=”
第三章 不等式
第三章 不等式
在艰苦奋斗的环境中锻炼出来的文人，总比生 长在温暖逸乐的环境中的人要坚强伟大。
——郁达夫
1.你能在这个图案中找出一些相等关系
第三章 不等式
D
提示: 设AE=a,BE=b,
GF HE A
则正方形ABCD的面积 C 是__a_2_+_b_2__，
这4个直角三角形的面 积之和是___2_a_b____，
B
S> 正方形ABCD
4S直角三角形，
即a2 b2 2ab.
第三章 不等式
【提升总结】 基本不等式： 注意：（1）a,b均为正数； （2）当且仅当a=b时取等号.
第三章 不等式
D
如图,AB是圆的直径，C
是AB上任一点，
AC=a,CB=b,过点C作垂
A
C
B
直于AB的弦DE，连接
AD,BD,
E
则CD=＿＿,
半径为＿＿.
第三章 不等式
CD小于或等于圆的半径. 用不等式表示为 上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b 时，等号成立. 几何意义：半径不小于半弦.
∴1x＋1y≥2 x1y＝ 2xy≥4 2则是错误的，因为此时等号取 不到：前一个不等式成立的条件是 x＝2y＝12，后一个不等式则 是在 x＝y 时成立．
(2)也可以直接将1x＋1y的分子 1 代换为 x＋2y，和乘以“1” 是相同的．
1.两个不等式
不等式
内容
等号成立条件
重要不等式
a2 b2 2ab(a, b R)“a=b”时取“=”
基本不等式
ab
a b (a＞0,b＞0) 2
“a=b”时取“=”
第三章 不等式
第三章 不等式
在艰苦奋斗的环境中锻炼出来的文人，总比生 长在温暖逸乐的环境中的人要坚强伟大。
——郁达夫
1.你能在这个图案中找出一些相等关系
第三章 不等式
D
提示: 设AE=a,BE=b,
GF HE A
则正方形ABCD的面积 C 是__a_2_+_b_2__，
这4个直角三角形的面 积之和是___2_a_b____，
B
S> 正方形ABCD
4S直角三角形，
即a2 b2 2ab.
第三章 不等式
【提升总结】 基本不等式： 注意：（1）a,b均为正数； （2）当且仅当a=b时取等号.
第三章 不等式
D
如图,AB是圆的直径，C
是AB上任一点，
AC=a,CB=b,过点C作垂
A
C
B
直于AB的弦DE，连接
AD,BD,
E
则CD=＿＿,
半径为＿＿.
第三章 不等式
CD小于或等于圆的半径. 用不等式表示为 上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b 时，等号成立. 几何意义：半径不小于半弦.
∴1x＋1y≥2 x1y＝ 2xy≥4 2则是错误的，因为此时等号取 不到：前一个不等式成立的条件是 x＝2y＝12，后一个不等式则 是在 x＝y 时成立．
(2)也可以直接将1x＋1y的分子 1 代换为 x＋2y，和乘以“1” 是相同的．
基本不等式：ab≤a+b PPT
≥10＋2 xy·1x6y＝18，
当且仅当8x＋1y＝
xy＝16xy
，即 x＝
y＝3 时，等号
成立，
故当 x＝12，y＝3 时，(x＋2y)min＝18.
方法二：∵x>0，y>0 且8x＋1y＝1，
∴y＝x－x 8，
∴由 y>0，∴x－x 8>0，又 x>0，∴x>8，则
x＋2y＝x＋x－2x8＝x＋2x－x－88＋16＝x＋2＋x－168
证明： (1)∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴a＋b≥2 ab＞0， b＋c≥2 bc＞0， c＋a≥2 ca＞0. ∴2(a＋b＋c)≥2( ab＋ bc＋ ca)，
即 a＋b＋c≥ ab＋ bc＋ ca. 由于 a，b，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a＋b＋c＞ ab＋ bc＋ ca. (2)∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca. ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)， 即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca.
3.4 基本不等式： ab≤a＋2 b
1．探索并了解基本不等式的证明过程． 2．能利用基本不等式证明简单不等式． 3．熟练掌握基本不等式及变形应用． 4．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
1．本课难点是利用基本不等式证明不等式． 2．利用基本不等式求最值是本课热点． 3．多以选择题、填空题形式考查，偶以解答题形式考查．
解析： 方法一：由 2x＋8y－xy＝0， 得 y(x－8)＝2x. ∵x＞0，y＞0， ∴x－8＞0，y＝x－2x8， ∴x＋y＝x＋x－2x8＝x＋2x－x1－68＋16
基本不等式ppt 课件-
解答：
AC=a，BC=b。过点 C作垂直于AB 的弦
可证△ACD∽△DCB，因而 CD= .由
DE，连接 AD，BD。你能利用这个图形，
于 CD 小于或等于圆的半径，用不等
得出基本不等式的几何解释吗?Leabharlann 式表示为+≤
显然，当且仅当点 C 与圆心重合，即
当a= 时，上述不等式的等号成立
2.2.4
分析：
(1) 矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转
化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短。
(2) 矩形莱园的周长是矩形两邻边之和的 2倍，于是问
题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积
最大。
解答：
应用
例4：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，
其容积为4 800 m³，深为3 m。如果池底每平
证明
证明方法一：作差法
证明方法二：借助完全平方公式
证明方法三：分析法
要证
≤
+
只要证 2 ≤ a+b
只要证 2 -a-b≤0
只要证 -( - )²≤0
只要证 ( − )²≥0
显然，最后一个成立，当且仅当a=b时，等号成
立
2.2.3
基本不等式的
几何解释
几何解释
如图：AB 是圆的直径，点C是AB 上一点
方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为
解答：
设水池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，
水池的总价为z元，根据题意，有
120 元，那么怎样设计水池能使总造价最低?最
低总造价是多少?
由容积为4800m³，可得3xy=4 800，
基本不等式ppt课件
基本不等式
我们都知道，把一个物体放在天平的一个盘
子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，
可称得物体的质量为 .
如果是一架臂长不同（其他因素不计）的天平，
那么 并非物体的实际质量.
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
取平均值：
ab
导果”的证明思路.
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
当 a，b 0 时，不等式仍然成立.
基本不等式:
ab
ab
（a，b 0）
2
对于正数 a，b ，
ab
算术平均数:
2
几何平均数: ab
两个正数的几何平均数不大于算术平均数
问题3.设 a，b为正数，证明下列不等式成立：
2
证法2： 对于正数 a，b ，
ab
要证 ab
，
2
只要证 2 ab a b ，
只要证 0 a 2 ab b ，
只要证 0 ( a b ) 2 .
ab
因为最后一个不等式成立，所以 ab
成立，
2
当且仅当 a b时，等号成立.
分析法：是从结论出发，分析确定不等式成立的
2
1
( a b)2
2
ab
- ab 0
因为 ( a b ) 0， 所以
2
ab
得 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
2
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
我们都知道，把一个物体放在天平的一个盘
子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，
可称得物体的质量为 .
如果是一架臂长不同（其他因素不计）的天平，
那么 并非物体的实际质量.
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
取平均值：
ab
导果”的证明思路.
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
当 a，b 0 时，不等式仍然成立.
基本不等式:
ab
ab
（a，b 0）
2
对于正数 a，b ，
ab
算术平均数:
2
几何平均数: ab
两个正数的几何平均数不大于算术平均数
问题3.设 a，b为正数，证明下列不等式成立：
2
证法2： 对于正数 a，b ，
ab
要证 ab
，
2
只要证 2 ab a b ，
只要证 0 a 2 ab b ，
只要证 0 ( a b ) 2 .
ab
因为最后一个不等式成立，所以 ab
成立，
2
当且仅当 a b时，等号成立.
分析法：是从结论出发，分析确定不等式成立的
2
1
( a b)2
2
ab
- ab 0
因为 ( a b ) 0， 所以
2
ab
得 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
2
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
《基本不等式：ab≤a+b》课件
[解题过程]
(1)因为 x>0，由基本不等式，得 12 3x＝2 36＝12， x·
12 f(x)＝ x ＋3x≥2
12 当且仅当 ＝3x，即 x＝2 时，f(x)取得最小值 12. x (2)∵x>2，∴x－2>0， 4 4 ∴f(x)＝x＋ ＝x－2＋ ＋2 x－2 x－2 ≥2 4 x－2· ＋2＝6， x－2
即 a＋b＋c≥ ab＋ bc＋ ca. 由于 a，b，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a＋b＋c＞ ab＋ bc＋ ca.
(2)∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca. ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)， 即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
1 1 1 2 －1 －1 －1≥ a b c
bc 2 ac 2 ab a ·b ·c
＝8. 1 当且仅当 a＝b＝c＝3时，等号成立．
[题后感悟]
(1)多次使用 a＋b≥2 ab时， 要注意等号能
否成立．累加法是不等式性质的应用，也是证明不等式的一 种常用方法． (2)对不能直接使用基本不等式的证明，要重新组合，构造运 用基本不等式的条件．若条件中有一个多项式的和为 1，要 注意“1”代换．
x＋y 得 4 ＝1，
1 1 1 1 1 ∴x＋y＝4(x＋y)x＋y
y x 1 1 ＝42＋x＋y≥4(2＋2)＝1. 答案： B
3．设a，b∈R，a＝3－b，则2a＋2b的最小值是________．
解析： 2a＋2b≥2 2a· 2b＝2 2a＋b＝2· 23＝4 2
答案： 4 2
2 2 a＋b a ＋ b 2 4．求证： 2 ≤ 2 .
《基本不等式》PPT课件
一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的基本步骤
01
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
解一元一次不等式需要注意的事项
02
在解不等式的过程中，要确保每一步都是等价变换，不改变不
等式的解集。
解一元一次不等式的实例分析
03
通过具体例子展示解一元一次不等式的详细步骤和注意事项。
一元一次不等式的应用举例
课程目标与要求
知识与技能
掌握不等式的定义、性质及基本 不等式，能够运用所学知识解决
相关问题。
过程与方法
通过探究、归纳、证明等方法， 培养学生的数学思维和解决问题
的能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和热爱， 认识到数学在解决实际问题中的 重要作用。同时，通过基本不等 式的学习，培养学生的严谨、细
排序不等式的概念与性质
性质 反序和不大于乱序和，乱序和不大于顺序和。
当且仅当$a_i = b_i$（$i = 1, 2, ldots, n$）时，反序和等于顺序和。
切比雪夫不等式的概念与性质
概念：对于任意两个实数序列$a_1, a_2, ldots, a_n$和$b_1, b_2, ldots, b_n$，若它们分别单调不 减和单调不增，则有$frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}a_i cdot frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}b_i leq frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}a_ib_i$。
1 2
一元一次不等式在生活中的应用 例如比较两个数的大小、判断某个数是否满足某 个条件等。
一元一次不等式在数学中的应用 例如在解方程、求函数值域等问题中，经常需要 利用一元一次不等式进行求解。
基本不等式：ab≤ab
1 传递性
如果a≤b且b≤c，那么a≤c。
2 对称性
对于任意实数a和b，如果a≤b，则b≥a。
3 加法性
对于任意实数a、b和c，如果a≤b，那么a+c≤b+c。
基本不等式的相关概念
数学符号
理解基本不等式需要熟悉一些数 学符号，如大于等于（≥）和小 于等于（≤）。
不等式图形
通过绘制不等式的图形，我们可 以更直观地理解不等式的含义。
几何证明
可以通过几何方法证明基本不等式，以图形的形式进行证明，比如画一个矩形来表示基本不 等式。
基本不等式的应用
经济学
基本不等式可以用于描述经济 学中的供需关系，以及市场价 格与产品数量的关系。
几何学
在几何学中，基本不等式可以 用来证明与三角形和多边形相 关的定理和性质。
概率论
基本不等式在概率论中有着广 泛的应用，用于估计随机变量 的期望和方差。
基本不等式的推广
1
柯西不等式
柯西不等式是基本不等式在向量空间中的推广，可以描述向量之间的内积关系。
2
幂不等式
幂不等式是基本不等式在幂函数中的推广，可以用于比较不同幂指数的大小关系。
3
积分不等式
积分不等式根据基本不等式的性质，可以推广到对连续函数的积分运算中。
基本不等式的性质
基本不等式具有以下性质：
3 代数解释
基本不等式反映了实数的乘法运算的性质，即乘积不会超过乘数的乘积。
基本不等式的证明
数学归纳法
基本不等式可以通过数学归纳法来证明，首先证明当n=1时基本不等式成立，然后假设当 n=k时成立，证明当n=k+1时也成立。
对法证明
用求解二次函数的最值来证明基本不等式，从中可以得到基本不等式的推广。
基本不等式 课件
【解析】因为a，b，c都是正数，所以b c 2 c，
ab a
b a 2 b，c a 2 a，
因a 此c c b c b
2(b c a ) 2( c b a )，
即 abc
acb
当且ba 仅bc当 aca= bac=c时bc取 等ab号. .
【方法技巧】利用基本不等式证明不等式的策略与注 意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助 不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最 后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“ab， a2 b2，2ab
2
2 ab
A. a b 2
B. ab
a2 b2 C.
2
D. 2ab ab
2.设a，b，c都是正数，求证： bc ac ab a b c. abc
【解题探究】1.典例1中可采取哪些方法进行比较大小？ 提示：可采用特殊值法或利用基本不等式进行比较大 小.
2.典例2中如何利用基本不等式将 bc ac ab 变形？
提示：因为a，b，c都是正数，所以a
bc bc，ac，ab
也都是正
数.所以
bc ac
2c，ac ab
2a，bc
ab ab 2b.
c
ab bc ac
【解析】1.选D.方法一：特殊值法.
令a=4，b=2，则a b 3，ab 8， a2 b2 10，2ab 8.
ab D. 2ab ab
ab
【解题探究】1.典例1中如何判断④是否成立？
提示：当a，b异号时，式子 2a2b2 恒大于零，而ab<0，
故
≤ab错误.
a2 b2
2a 2 b2
2.典a2例 b22中解决此类问题可以采取何种方法？
基本不等式：ab≤a+b
不等式的符号解释
≤表示小于或等于的关系，用 于指示两个数或表达式的大小 关系。
基本不等式的证明
数学归纳法
平衡原理
数学归纳法是一种常用的证明方法， 可以用于证明基本不等式的正确性。
基本不等式也可以用平衡原理来进 行证明，将不等式转化为等式来证 明。
几何方法
基本不等应用基本不等式
1 优化问题
2 约束条件
3 推导其他不等式
基本不等式可以应用于优化 问题，帮助我们找到最优解。
在约束条件下，基本不等式 可以帮助我们确定变量的取 值范围。
基于基本不等式，我们可以 推导出其他复杂的不等式。
举例说明基本不等式的作用
线性不等式
实际应用
基本不等式可以帮助我们解决线性
基本不等式在经济学、物理学等领
不等式方程组，找到满足条件的解。 域中有广泛的实际应用。
图像分析
我们可以利用基本不等式绘制函数 的图像并进行分析。
其他不等式的推导
1
三角不等式
2
三角不等式是基本不等式的扩展，用于描述
三角形的边长关系。
3
柯西-斯瓦尔茨不等式
柯西-斯瓦尔茨不等式是基本不等式的推广， 描述了内积的大小关系。
凸集不等式
凸集不等式是基本不等式在凸集中的推广， 用于描述凸集中的点的性质。
基本不等式在数学中的应用
微积分
基本不等式在微积分中应用广泛，用于证明极值存在、 收敛性等性质。
概率论
基本不等式在概率论中起到重要作用，如马尔可夫不 等式、切比雪夫不等式等。
结论
基本不等式是数学中的重要工具，广泛应用于各个领域。通过了解基本不等式及其应用，我们能够更好地理解数学 中的不等关系，并应用到实际问题中。
人教版高一数学课件-基本不等式
成立.
4
復習引入
小結:
1. 兩個正數的和為定值時，它們的積有最
大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M為
定值，則ab≤ M 2 ，等號當且僅當a＝b小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P為定 值，則a＋b≥2 P ，等號當且僅當a＝b
時成立.
講授新課
称 ab 为正数a, b的几何平均数.
a2 b2 2ab和 a b ab成立的条 2
件是不同的.
復習引入
練習
(1) f ( x) 2 3x 4 最 ___ 值是_______( x 0). x
(2)sin x 1 最 ___ 值是_____( x 0).
2sin x
復習引入
關係為：
920v
y v2 3v 1600 (v 0).
(1)該時段內，當汽車的平均速度v為多少 時，車流量最大？最大車流量為多少？
(2)若要求在該時段內，車流量超過10千輛 /時，則汽車的平均速度應在什麼範圍內？
課堂小結
本節課我們用兩個正數的算術平均數 與幾何平均數的關係順利解決了函數的一 些最值問題.
講授新課
例2. 某工廠要建造一個長方形無蓋貯水 池，其容積為4800m3，深為3m.如果池 底每平方米的造價為150元，池壁每平 方米的造價為120元，怎樣設計能使總 造價最低？最低總造價是多少？
講授新課
歸納: 用均值不等式解決此類問題時，應按如下 步驟進行：
講授新課
歸納: 用均值不等式解決此類問題時，應按如下 步驟進行： (1)先理解題意，設變數，設變數時一般把
復習引入
1．基本不等式：
(1) 如果a, b R,那么a2 b2 2ab(当且仅 当a b时取“”号) ; (2) 如果a, b是正数,那么 a b ab(当且
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种常用方法．
(2)对不能直接使用基本不等式的证明，要重新组合，构造运 用基本不等式的条件．若条件中有一个多项式的和为 1，要 注意“1”代换．
工具
第三章 不等式
1．已知 a，b，c 为不全相等的正实数，求证： (1)a＋b＋c＞ ab＋ bc＋ ac； (2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac.
证明： (1)∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴a＋b≥2 ab＞0， b＋c≥2 bc＞0， c＋a≥2 ca＞0. ∴2(a＋b＋c)≥2( ab＋ bc＋ ca)，
工具
第三章 不等式
[题后感悟] 不等式应用的特点是： (1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销 售、税收”等．题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼 出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
工具
第三章 不等式
4．求证：a＋2 b2≤a2＋2 b2.
证明： a＋2 b2＝a2＋b24＋2ab≤a2＋b2＋4 a2＋b2 ＝a2＋2 b2(当且仅当 a＝b 时“＝”成立)．
工具
第三章 不等式
工具
第三章 不等式
利用基本不等式证明简单不等式 已知 a，b，c 为正实数，且 a＋b＋c＝1. 求证：1a－11b－11c－1≥8.
故当 x＝12，y＝3 时，(x＋2y)min＝18. 方法三：由8x＋1y＝1 得(x－8)(y－1)＝8. ∴x>8，y>1. 而 x＋2y＝x－8＋2(y－1)＋10 ≥2 x－8·2y－1＋10 ＝2 16＋10＝18.
工具
第三章 不等式
当且仅当x－8＝2(y－1)时， 即x＝12，y＝3时上式取等号， 故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18. [题后感悟] 在利用基本不等式求最值时，除注意“一正、 二定、三相等”的条件外，最重要的是构建“定值”，恰当变 形、合理拆分项或配凑项是常用的解题技巧．
工具
第三章 不等式
不等式右边数字为 8，使我们联想到左边因式分别使用 基本不等式，可得三个“2”连乘，又1a－1＝1－a a＝b＋a c ≥2 abc，可由此变形入手．
工具
第三章 不等式
[解题过程] 证明：∵a，b，c 为正实数，且 a＋b＋c＝1， ∴1a－1＝1－a a＝b＋a c≥2 abc，
工具
第三章 不等式
某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在 2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调 查和测算，化妆品的年销量x(万件)与年促销费t(万元)之间满足3 －x与t＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能 是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用 为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若 将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费 的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销售完．
工具
第三章 不等式
当且仅当 x－2＝x－4 2， 即 x＝4 时，等号成立． 所以 x＋x－4 2的最小值为 6. (3)∵x>1，∴x－1>0. ∴y＝xx2－＋18＝x－1x2－＋12x＋7 ＝x－12＋x－21x－1＋9＝(x－1)＋x－9 1＋2
工具
第三章 不等式
≥2 x－1×x－9 1＋2＝8. 当且仅当 x－1＝x－9 1， 即 x＝4 时取“＝”号． ∴当 x＝4 时，y 取得最小值 8.
工具
第三章 不等式
(1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数． (2)该企业20ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2年的促销费投入多少万元时，企业的年利润 最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝ 固定费用＋生产费用)
工具
第三章 不等式
[规范作答] (1)由题意可设 3－x＝t＋k 1，将 t＝0，x＝1 代入，
∵(x－1)＋x－9 1＋2≥2 x－1·x－9 1＋2＝8 当且仅当 x－1＝x－9 1，即 x＝4 时，取“＝”号． 当 x＝4 时，xx2－＋18取得最大值18.
工具
第三章 不等式
已知正数 x，y 满足8x＋1y＝1，求 x＋2y 的最小值．
由题目可获取以下主要信息： ①x>0，y>0；②8x＋1y＝1； ③求和的最小值． 解答本题可构建某个积为定值，这需要对条件进行变 形，然后利用基本不等式求解．
(2)本例(2)中的条件“x＞2”改为“x＜2”，求 f(x)＝x ＋x－4 2的最大值．
(3)求 f(x)＝xx2－＋18(x＞1)的最大值．
工具
第三章 不等式
解析： (1)因为 x<0，所以－x>0，则 f(－x)＝－f(x)＝－12x
＋(－3x)≥2 －12x·－3x＝2 36＝12， 即 f(x)≤－12，
工具
第三章 不等式
3．设x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小 值．
解析： 方法一：由 2x＋8y－xy＝0，
得 y(x－8)＝2x. ∵x＞0，y＞0，
∴x－8＞0，y＝x－2x8， ∴x＋y＝x＋x－2x8＝x＋2x－x1－68＋16
＝(x－8)＋x－168＋10≥2 x－8×x－168＋10
方法二：∵x>0，y>0 且8x＋1y＝1，
∴y＝x－x 8，
∴由 y>0，∴x－x 8>0，又 x>0，∴x>8，则
x＋2y＝x＋x－2x8＝x＋2x－x－88＋16＝x＋2＋x－168
＝(x－8)＋x－168＋10≥2 ＝18，
x－8·x－168＋10
工具
第三章 不等式
当且仅当 x－8＝x－168，即 x＝12(此时 y＝3)时，等号成 立，
工具
第三章 不等式
(1)若 x>0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最小值． (2)已知 x>2，求 f(x)＝x＋x－4 2的最小值； (3)求函数 y＝xx2－＋18(x>1)的最小值．
利用基本不等式时，应按照“一正，二定，三相等” 的原则创造条件，检查条件是否具备，再利用基本不等式 解之．
工具
3.4 基本不等式： ab≤a＋2 b
工具
第三章 不等式
工具
第三章 不等式
1．探索并了解基本不等式的证明过程． 2．能利用基本不等式证明简单不等式． 3．熟练掌握基本不等式及变形应用． 4．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
工具
第三章 不等式
1．本课难点是利用基本不等式证明不等式． 2．利用基本不等式求最值是本课热点． 3．多以选择题、填空题形式考查，偶以解答题形式考查．
工具
第三章 不等式
即 a＋b＋c≥ ab＋ bc＋ ca. 由于 a，b，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a＋b＋c＞ ab＋ bc＋ ca. (2)∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca. ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)， 即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca.
工具
第三章 不等式
简单的做法是，把两次称得物体的质量“平均”一下， 以 A＝a＋2 b表示物体的质量．这样的做法合理吗？
工具
第三章 不等式
1．基本不等式 (1)重要不等式：对于任意实数a、b，都有a2＋b2 ≥ 2ab，
当且仅当 a＝b 时，等号成立．
(2)基本不等式 ①形式： ab≤a＋2 b； ②成立的前提条件：a>0，b>0；
工具
第三章 不等式
1．不等式m2＋1≥2m中等号成立的条件是( ) A．m＝1 B．m＝±1 C．m＝－1 D．m＝0 解析： m2＋1＝2m时，m＝1.故选A. 答案： A
工具
第三章 不等式
2．若 x＞0，y＞0，且 x＋y＝4，则下列不等式中恒成立
的是( )
A.x＋1 y≤14
B.1x＋1y≥1
C. xy≥2
D.x1y≥1
解析： 若 x＞0，y＞0，由 x＋y＝4，
得x＋4 y＝1，
∴1x＋1y＝14(x＋y)1x＋1y
＝142＋yx＋xy≥14(2＋2)＝1. 答案： B
工具
第三章 不等式
3．设a，b∈R，a＝3－b，则2a＋2b的最小值是________． 解析： 2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a＋b＝2· 23＝4 2 答案： 4 2
工具
第三章 不等式
[解题过程] 方法一：∵x>0，y>0，8x＋1y＝1，
∴x＋2y＝8x＋1y(x＋2y)＝10＋xy＋16x y
≥10＋2 xy·1x6y＝18，
当且仅当8x＋1y＝
xy＝16xy
，即 x＝
y＝3 时，等号
成立，
故当 x＝12，y＝3 时，(x＋2y)min＝18.
工具
第三章 不等式
工具
第三章 不等式
[题后感悟] (1)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条 件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、 配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．
(2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法，如利 用单调性、数形结合、换元法、判别式法等．
工具
第三章 不等式
2．(1)本例(1)中的条件“x＞0”改为“x＜0”，求 f(x) ＝1x2＋3x 的最大值．
第三章 不等式
[解题过程] (1)因为 x>0，由基本不等式，得 f(x)＝1x2＋3x≥2 1x2·3x＝2 36＝12， 当且仅当1x2＝3x，即 x＝2 时，f(x)取得最小值 12. (2)∵x>2，∴x－2>0， ∴f(x)＝x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2 ≥2 x－2·x－4 2＋2＝6，
(2)对不能直接使用基本不等式的证明，要重新组合，构造运 用基本不等式的条件．若条件中有一个多项式的和为 1，要 注意“1”代换．
工具
第三章 不等式
1．已知 a，b，c 为不全相等的正实数，求证： (1)a＋b＋c＞ ab＋ bc＋ ac； (2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac.
证明： (1)∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴a＋b≥2 ab＞0， b＋c≥2 bc＞0， c＋a≥2 ca＞0. ∴2(a＋b＋c)≥2( ab＋ bc＋ ca)，
工具
第三章 不等式
[题后感悟] 不等式应用的特点是： (1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销 售、税收”等．题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼 出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
工具
第三章 不等式
4．求证：a＋2 b2≤a2＋2 b2.
证明： a＋2 b2＝a2＋b24＋2ab≤a2＋b2＋4 a2＋b2 ＝a2＋2 b2(当且仅当 a＝b 时“＝”成立)．
工具
第三章 不等式
工具
第三章 不等式
利用基本不等式证明简单不等式 已知 a，b，c 为正实数，且 a＋b＋c＝1. 求证：1a－11b－11c－1≥8.
故当 x＝12，y＝3 时，(x＋2y)min＝18. 方法三：由8x＋1y＝1 得(x－8)(y－1)＝8. ∴x>8，y>1. 而 x＋2y＝x－8＋2(y－1)＋10 ≥2 x－8·2y－1＋10 ＝2 16＋10＝18.
工具
第三章 不等式
当且仅当x－8＝2(y－1)时， 即x＝12，y＝3时上式取等号， 故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18. [题后感悟] 在利用基本不等式求最值时，除注意“一正、 二定、三相等”的条件外，最重要的是构建“定值”，恰当变 形、合理拆分项或配凑项是常用的解题技巧．
工具
第三章 不等式
不等式右边数字为 8，使我们联想到左边因式分别使用 基本不等式，可得三个“2”连乘，又1a－1＝1－a a＝b＋a c ≥2 abc，可由此变形入手．
工具
第三章 不等式
[解题过程] 证明：∵a，b，c 为正实数，且 a＋b＋c＝1， ∴1a－1＝1－a a＝b＋a c≥2 abc，
工具
第三章 不等式
某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在 2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调 查和测算，化妆品的年销量x(万件)与年促销费t(万元)之间满足3 －x与t＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能 是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用 为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若 将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费 的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销售完．
工具
第三章 不等式
当且仅当 x－2＝x－4 2， 即 x＝4 时，等号成立． 所以 x＋x－4 2的最小值为 6. (3)∵x>1，∴x－1>0. ∴y＝xx2－＋18＝x－1x2－＋12x＋7 ＝x－12＋x－21x－1＋9＝(x－1)＋x－9 1＋2
工具
第三章 不等式
≥2 x－1×x－9 1＋2＝8. 当且仅当 x－1＝x－9 1， 即 x＝4 时取“＝”号． ∴当 x＝4 时，y 取得最小值 8.
工具
第三章 不等式
(1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数． (2)该企业20ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2年的促销费投入多少万元时，企业的年利润 最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝ 固定费用＋生产费用)
工具
第三章 不等式
[规范作答] (1)由题意可设 3－x＝t＋k 1，将 t＝0，x＝1 代入，
∵(x－1)＋x－9 1＋2≥2 x－1·x－9 1＋2＝8 当且仅当 x－1＝x－9 1，即 x＝4 时，取“＝”号． 当 x＝4 时，xx2－＋18取得最大值18.
工具
第三章 不等式
已知正数 x，y 满足8x＋1y＝1，求 x＋2y 的最小值．
由题目可获取以下主要信息： ①x>0，y>0；②8x＋1y＝1； ③求和的最小值． 解答本题可构建某个积为定值，这需要对条件进行变 形，然后利用基本不等式求解．
(2)本例(2)中的条件“x＞2”改为“x＜2”，求 f(x)＝x ＋x－4 2的最大值．
(3)求 f(x)＝xx2－＋18(x＞1)的最大值．
工具
第三章 不等式
解析： (1)因为 x<0，所以－x>0，则 f(－x)＝－f(x)＝－12x
＋(－3x)≥2 －12x·－3x＝2 36＝12， 即 f(x)≤－12，
工具
第三章 不等式
3．设x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小 值．
解析： 方法一：由 2x＋8y－xy＝0，
得 y(x－8)＝2x. ∵x＞0，y＞0，
∴x－8＞0，y＝x－2x8， ∴x＋y＝x＋x－2x8＝x＋2x－x1－68＋16
＝(x－8)＋x－168＋10≥2 x－8×x－168＋10
方法二：∵x>0，y>0 且8x＋1y＝1，
∴y＝x－x 8，
∴由 y>0，∴x－x 8>0，又 x>0，∴x>8，则
x＋2y＝x＋x－2x8＝x＋2x－x－88＋16＝x＋2＋x－168
＝(x－8)＋x－168＋10≥2 ＝18，
x－8·x－168＋10
工具
第三章 不等式
当且仅当 x－8＝x－168，即 x＝12(此时 y＝3)时，等号成 立，
工具
第三章 不等式
(1)若 x>0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最小值． (2)已知 x>2，求 f(x)＝x＋x－4 2的最小值； (3)求函数 y＝xx2－＋18(x>1)的最小值．
利用基本不等式时，应按照“一正，二定，三相等” 的原则创造条件，检查条件是否具备，再利用基本不等式 解之．
工具
3.4 基本不等式： ab≤a＋2 b
工具
第三章 不等式
工具
第三章 不等式
1．探索并了解基本不等式的证明过程． 2．能利用基本不等式证明简单不等式． 3．熟练掌握基本不等式及变形应用． 4．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
工具
第三章 不等式
1．本课难点是利用基本不等式证明不等式． 2．利用基本不等式求最值是本课热点． 3．多以选择题、填空题形式考查，偶以解答题形式考查．
工具
第三章 不等式
即 a＋b＋c≥ ab＋ bc＋ ca. 由于 a，b，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a＋b＋c＞ ab＋ bc＋ ca. (2)∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca. ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)， 即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca.
工具
第三章 不等式
简单的做法是，把两次称得物体的质量“平均”一下， 以 A＝a＋2 b表示物体的质量．这样的做法合理吗？
工具
第三章 不等式
1．基本不等式 (1)重要不等式：对于任意实数a、b，都有a2＋b2 ≥ 2ab，
当且仅当 a＝b 时，等号成立．
(2)基本不等式 ①形式： ab≤a＋2 b； ②成立的前提条件：a>0，b>0；
工具
第三章 不等式
1．不等式m2＋1≥2m中等号成立的条件是( ) A．m＝1 B．m＝±1 C．m＝－1 D．m＝0 解析： m2＋1＝2m时，m＝1.故选A. 答案： A
工具
第三章 不等式
2．若 x＞0，y＞0，且 x＋y＝4，则下列不等式中恒成立
的是( )
A.x＋1 y≤14
B.1x＋1y≥1
C. xy≥2
D.x1y≥1
解析： 若 x＞0，y＞0，由 x＋y＝4，
得x＋4 y＝1，
∴1x＋1y＝14(x＋y)1x＋1y
＝142＋yx＋xy≥14(2＋2)＝1. 答案： B
工具
第三章 不等式
3．设a，b∈R，a＝3－b，则2a＋2b的最小值是________． 解析： 2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a＋b＝2· 23＝4 2 答案： 4 2
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第三章 不等式
[解题过程] 方法一：∵x>0，y>0，8x＋1y＝1，
∴x＋2y＝8x＋1y(x＋2y)＝10＋xy＋16x y
≥10＋2 xy·1x6y＝18，
当且仅当8x＋1y＝
xy＝16xy
，即 x＝
y＝3 时，等号
成立，
故当 x＝12，y＝3 时，(x＋2y)min＝18.
工具
第三章 不等式
工具
第三章 不等式
[题后感悟] (1)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条 件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、 配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．
(2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法，如利 用单调性、数形结合、换元法、判别式法等．
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第三章 不等式
2．(1)本例(1)中的条件“x＞0”改为“x＜0”，求 f(x) ＝1x2＋3x 的最大值．
第三章 不等式
[解题过程] (1)因为 x>0，由基本不等式，得 f(x)＝1x2＋3x≥2 1x2·3x＝2 36＝12， 当且仅当1x2＝3x，即 x＝2 时，f(x)取得最小值 12. (2)∵x>2，∴x－2>0， ∴f(x)＝x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2 ≥2 x－2·x－4 2＋2＝6，