基本不等式PPT优秀课件
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2.2.1 基本不等式 课件(28张)
【定向训练】
已知a,b,c都是非负实数,试比较 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2 与 2 (a+b+c)的大小. 【解析】因为a2+b2≥2ab,
所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,
所以 a2＋b2(a+b2 ),
2
同理 b2＋c2(b +c2),
2
c(2c＋+aa2), 2
xyz
【证明】因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,
所以 1－1＝1－x＝ y＋z 2 yz ，①
x
x
x
x
1－1＝1－y＝x＋z 2 xz ，②
y
yy
y
1－1＝1－z＝x＋y 2 xy ，③
z
zz
z
又x,y,z为互不相等的正数,由①×②×③,
得 ( 1－1)( 1－1)( 1－1>) 8.
【定向训练】
已知a,b,c为正数,
求证: b＋c－a＋c＋a－b＋a＋b－c 3.
a
b
c
课堂素养达标
1.下列不等式中,正确的是
()
A.a+ 16 ≥8
B.a2+b2≥4ab
a
C. ab a＋b
2
D.
x
2＋
3 x2
2
3
【解析】选D.若a<0,则a+ 16 ≥8不成立,故A错;若a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错,
x
C.当x≥2时,x+ 1 的最小值为2
x
D.当0<x≤2时,x-
1
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
基本不等式ppt课件
对于任意实数a和b，$(a-b)^2 \geq 0$，即 $a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
基本不等式(共43张)ppt课件
第三章 不等式
§3.4 基本不等式
这是2002年在北京召开的第24届国际数 学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个 风车，代表中国人民热情好客。
D
a2 b2
b
G
F
A
aH E
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿＿2 ＿＿b2
C ２、四个直角三角形的
DC A C 所 以 D C 2B C A C a b
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
如图, AB是圆的直径, O为圆心， 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
ab
OD=___2___
D A a OC b B
E
CD=____a _b _ OD__≥＞___CD
课堂练习： 已知 a，b，c∈{正实数}，且 a＋b＋c＝1. 求证：1a＋1b＋1c≥9. 解：证明： 1a ＋ 1b ＋ 1c ＝ a＋ab＋c ＋ a＋bb＋c ＋ a＋cb＋c ＝3＋ (ba＋ab)＋(ac＋ac)＋(bc＋bc) ≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a＝b＝c＝13时取等号．
a2＋2 b2(当且仅当 a＝b 时，
“＝”号成立)．
[例 4] 已知 a，b，c∈{正实数}且 a＋b＋c＝1. 求证：(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8. [分析] 不等式右边数字为 8，使它们联想到左边因式分 别使用基本不等式，可得三个“2”连乘，又1a－1＝1－a a ＝b＋a c≥2 abc，可由此变形入手．
a2＋b2 2.
[证明] ∵a>0，b>0，∴1a>0，1b>0，∴1a＋2 1b≥
§3.4 基本不等式
这是2002年在北京召开的第24届国际数 学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个 风车，代表中国人民热情好客。
D
a2 b2
b
G
F
A
aH E
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿＿2 ＿＿b2
C ２、四个直角三角形的
DC A C 所 以 D C 2B C A C a b
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
如图, AB是圆的直径, O为圆心， 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
ab
OD=___2___
D A a OC b B
E
CD=____a _b _ OD__≥＞___CD
课堂练习： 已知 a，b，c∈{正实数}，且 a＋b＋c＝1. 求证：1a＋1b＋1c≥9. 解：证明： 1a ＋ 1b ＋ 1c ＝ a＋ab＋c ＋ a＋bb＋c ＋ a＋cb＋c ＝3＋ (ba＋ab)＋(ac＋ac)＋(bc＋bc) ≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a＝b＝c＝13时取等号．
a2＋2 b2(当且仅当 a＝b 时，
“＝”号成立)．
[例 4] 已知 a，b，c∈{正实数}且 a＋b＋c＝1. 求证：(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8. [分析] 不等式右边数字为 8，使它们联想到左边因式分 别使用基本不等式，可得三个“2”连乘，又1a－1＝1－a a ＝b＋a c≥2 abc，可由此变形入手．
a2＋b2 2.
[证明] ∵a>0，b>0，∴1a>0，1b>0，∴1a＋2 1b≥
基本不等式ppt课件
a b
12 3
1 4b 3a 1
＋
8＋ a ＋ b ≥ 8＋2
5a b(a＋2b)＝5
5
4b 3a
4b 3a 8＋4 3
(当且仅当 a ＝ b ，
·
＝
5
a b
8＋4 3
2 3
即 2b＝ 3a 时取等号)，∴ ＋ 的最小值为
.故选 B.
a b
5
22．(多选)(2021·湖南省长沙市长郡中学上学期适应性调查考试)小王从
n 4m 9
4m·n ＝2，
2
1
当且仅当 n＝3，m＝6时取等号．故选 C.
2
3
3．设 x＞0，则函数 y＝x＋
－2的最小值为( A )
2x＋1
A．0
1
B．2
解析
2≥2
C．1
3
D．2
1
2
3
由 于 x>0 ， 则 y ＝ x ＋
－ ＝ x＋2 ＋
2
2x＋1
1
x＋ ·
2
m· n 4
二、高考小题
13．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为 4 的是( C )
A．y＝x ＋2x＋4
4
B．y＝|sin x|＋|sin x|
C．y＝2 ＋2
4
D．y＝ln x＋
ln x
2
x
2－x
15．(2020·上海高考)下列不等式恒成立的是( B )
A．a2＋b2≤2ab
C．a＋b≥2 |ab|
命题中正确的是( AB )
A．若 P＝1，则 S 有最小值 2
B．若 S＋P＝3，则 P 有最大值 1
12 3
1 4b 3a 1
＋
8＋ a ＋ b ≥ 8＋2
5a b(a＋2b)＝5
5
4b 3a
4b 3a 8＋4 3
(当且仅当 a ＝ b ，
·
＝
5
a b
8＋4 3
2 3
即 2b＝ 3a 时取等号)，∴ ＋ 的最小值为
.故选 B.
a b
5
22．(多选)(2021·湖南省长沙市长郡中学上学期适应性调查考试)小王从
n 4m 9
4m·n ＝2，
2
1
当且仅当 n＝3，m＝6时取等号．故选 C.
2
3
3．设 x＞0，则函数 y＝x＋
－2的最小值为( A )
2x＋1
A．0
1
B．2
解析
2≥2
C．1
3
D．2
1
2
3
由 于 x>0 ， 则 y ＝ x ＋
－ ＝ x＋2 ＋
2
2x＋1
1
x＋ ·
2
m· n 4
二、高考小题
13．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为 4 的是( C )
A．y＝x ＋2x＋4
4
B．y＝|sin x|＋|sin x|
C．y＝2 ＋2
4
D．y＝ln x＋
ln x
2
x
2－x
15．(2020·上海高考)下列不等式恒成立的是( B )
A．a2＋b2≤2ab
C．a＋b≥2 |ab|
命题中正确的是( AB )
A．若 P＝1，则 S 有最小值 2
B．若 S＋P＝3，则 P 有最大值 1
基本不等式(共43张)ppt课件
15
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
不等式的基本性质PPT课件
事实上，如果a>b， c>0，因为ac-bc=c(ab)>0，所以ac>bc.
(7)将不等式6>-3和-4<-2的两边都乘-3，不等号的 方向是否改变？两边都除以-2呢？
6×3 < (-3)×3; (-4)×3 > (-2)×3; 6÷2 < (-3)÷2; (-4)÷2 > (-2)÷2.
(8)由(7)你发现了什么结论？能用不等式表示 出来吗？
a>b；甲的年龄大，a+c>b+c
（2）在数轴上，点A与点B分别对应实数a，b， 并且点A在点B的右边，请你用不等式表示a， b之间的大小关系.如果同时将点A，B向右（或 向左）沿x轴移动c个单位长度，得到点A′，B ′ （如图）.你能用不等式表示点A′，B ′所对应 的数的大小关系吗？
a>b；a+c>b+c；a-c>b-c
判断下列式子是不是不等式：
（1）-3<0
是
（2）4x+3y>0 是
（3）x=3
不是
（4） x2+xy+y2 不是
（5）x+2>y+5 是
2 不等式的性质
等式具有那些性质？ 不等式是否具有这些类似性质？
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，等式仍旧成立
如果a=b,那么a±c=b±c
（3）由（1）（2），你发现了有关不等式的什 么结论呢？你能用不等式表示表示出来吗？
如果a>b,那么a±c>b±c.
也就是说，不等式的两边都加上（或减 去）同一数或同一个整式，不等号的方 向不变。
我们把这一性质作为不等式基本性质1.
(7)将不等式6>-3和-4<-2的两边都乘-3，不等号的 方向是否改变？两边都除以-2呢？
6×3 < (-3)×3; (-4)×3 > (-2)×3; 6÷2 < (-3)÷2; (-4)÷2 > (-2)÷2.
(8)由(7)你发现了什么结论？能用不等式表示 出来吗？
a>b；甲的年龄大，a+c>b+c
（2）在数轴上，点A与点B分别对应实数a，b， 并且点A在点B的右边，请你用不等式表示a， b之间的大小关系.如果同时将点A，B向右（或 向左）沿x轴移动c个单位长度，得到点A′，B ′ （如图）.你能用不等式表示点A′，B ′所对应 的数的大小关系吗？
a>b；a+c>b+c；a-c>b-c
判断下列式子是不是不等式：
（1）-3<0
是
（2）4x+3y>0 是
（3）x=3
不是
（4） x2+xy+y2 不是
（5）x+2>y+5 是
2 不等式的性质
等式具有那些性质？ 不等式是否具有这些类似性质？
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，等式仍旧成立
如果a=b,那么a±c=b±c
（3）由（1）（2），你发现了有关不等式的什 么结论呢？你能用不等式表示表示出来吗？
如果a>b,那么a±c>b±c.
也就是说，不等式的两边都加上（或减 去）同一数或同一个整式，不等号的方 向不变。
我们把这一性质作为不等式基本性质1.
基本不等式ppt课件
a+b
当且仅当a
2
= b时，等号成立.
思考：如图，是圆的直径，点是上一点， = ，
D
= .过点作垂直于的弦，连接，.
a+b
ab
2
半径 = _______________，则
= _______________
与大小关系怎么样？
a+b
≥
(1)当积xy等于定值P时，
≥
2
证明：∵ x，y都是正数， ∴
1 2
时，积有最大值 .
4
xy.
p， ∴ x + y ≥ 2 p，
积定和最小
当且仅当x = y时，上式等号成立.
于是，当x = y时，和x + y有最小值2 p.
(2)当和x + y等于定值S时， xy ≤
S
，∴xy
2
当且仅当x = y，上式等号成立.
2
2
∴x +
4
]
2−x
4
，得x
2−x
4
的最大值为−2.
x−2
+ 2 ≤ −2 (2 − x)(
4
)
2−x
+ 2 = −2，
= 0或x = 4(舍去)，即x = 0时等号成立.
练习巩固
练习2：已知0 < < 1,求 1 − 的最大值.
解：∵0 < < 1，∴ 1 − x > 0
∴ 1 − ≤
∴x +
4
x+4
− 4 ≥ 2 (x + 4) ∙
4
，即x
x+4
4
的最小值为0.
基本不等式ppt课件
基本不等式
我们都知道，把一个物体放在天平的一个盘
子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，
可称得物体的质量为 .
如果是一架臂长不同（其他因素不计）的天平，
那么 并非物体的实际质量.
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
取平均值：
ab
导果”的证明思路.
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
当 a，b 0 时，不等式仍然成立.
基本不等式:
ab
ab
（a，b 0）
2
对于正数 a，b ，
ab
算术平均数:
2
几何平均数: ab
两个正数的几何平均数不大于算术平均数
问题3.设 a，b为正数，证明下列不等式成立：
2
证法2： 对于正数 a，b ，
ab
要证 ab
，
2
只要证 2 ab a b ，
只要证 0 a 2 ab b ，
只要证 0 ( a b ) 2 .
ab
因为最后一个不等式成立，所以 ab
成立，
2
当且仅当 a b时，等号成立.
分析法：是从结论出发，分析确定不等式成立的
2
1
( a b)2
2
ab
- ab 0
因为 ( a b ) 0， 所以
2
ab
得 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
2
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
我们都知道，把一个物体放在天平的一个盘
子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，
可称得物体的质量为 .
如果是一架臂长不同（其他因素不计）的天平，
那么 并非物体的实际质量.
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
取平均值：
ab
导果”的证明思路.
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
当 a，b 0 时，不等式仍然成立.
基本不等式:
ab
ab
（a，b 0）
2
对于正数 a，b ，
ab
算术平均数:
2
几何平均数: ab
两个正数的几何平均数不大于算术平均数
问题3.设 a，b为正数，证明下列不等式成立：
2
证法2： 对于正数 a，b ，
ab
要证 ab
，
2
只要证 2 ab a b ，
只要证 0 a 2 ab b ，
只要证 0 ( a b ) 2 .
ab
因为最后一个不等式成立，所以 ab
成立，
2
当且仅当 a b时，等号成立.
分析法：是从结论出发，分析确定不等式成立的
2
1
( a b)2
2
ab
- ab 0
因为 ( a b ) 0， 所以
2
ab
得 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
2
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
基本不等式课件(共43张PPT)
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有
立
a2 b2≥2ab 当且仅当a=b时，等号成
适用范围： a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
即： a b≥ ab (a 0,b 0) 2
通常我们把上式写作： ab≤ a b (a 0,b 0) 2
课堂练习： 已知 a，b，c∈{正实数}，且 a＋b＋c＝1.
求证：1a＋1b＋1c≥9.
解：证明：1a＋1b＋
1c ＝ a＋ab＋c ＋ a＋bb＋c ＋
a＋b＋c c
＝3＋
(ba＋ab)＋(ac＋ac)＋(bc＋bc)
≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝13时取等号．
小结 基本不等式 ab a b (a 0,b 0)
第三章 不等式
§3.4 基本不等式
这是2002年在北京召开的第24届国际数 学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个 风车，代表中国人民热情好客。
D
a2 b2
b
G
F
A
a HE
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿＿2 ＿＿b2
C ２、四个直角三角形的
例1.(1) 已知 x 0, 求证x 1 2, 并指出等号
成立的条件.
x
(2) 已知 ab 0, 寻找 a b 与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
[例 2] 若 a>b>1，P＝ lga·lgb，Q＝lga＋2 lgb，R＝lg(a＋2 b)， 试比较 P、Q、R 的大小．
《基本不等式》课件
01
传递性
如果a≥b且b≥c，则a≥c。
02
对称性
如果a≥b，则对于任意正实数d，有a+d≥b+d。
02
CHAPTER
基本不等式的证明
面积法
利用几何图形面积的性质，通过比较不同形状的面积来证明基本不等式。
体积法
利用几何体体积的性质，通过比较不同几何体的体积来证明基本不等式。
三角法
利用三角形的性质，通过比较不同三角形的边长或角度来证明基本不等式。
在化学反应速率的研究中，基本不等式可以用来分析反应速率与反应物浓度的关系，从而优化反应条件。
生物医学研究
在生物医学研究中，基本不等式可以用来研究药物剂量与治疗效果的关系，以找到最佳用药方案。
市场占有率分析
在市场占有率分析中，基本不等式可以用来确定企业产品的最大市场份额，以提高市场竞争力。
广告投放策略
AM≥GM，即算术平均数大于等于几何平均数。
柯西不等式形式
对于任意的正实数a₁，a₂，…，an和b₁，b₂，…，bn，都有(a₁²+a₂²+…+an²)(b₁²+b₂₂+…+bn²)≥(a₁b₁+a₂b₂+…+anbn)²。
平方和与平方差形式
a²+b²≥2ab和a²-b²≥0。
03
可加性
如果a≥b且c≥d，则a+c≥b+d。
基本不等式
目录
基本不等式的定义基本不等式的证明基本不等式的应用基本不等式的扩展基本不等式的实际例子
01
CHAPTER
或多个正数之间大小关系的数学式子。
表达形式简单明了，是数学中常用的一个概念。
基本不等式优秀PPT课件
E
Rt三角形ACD与Rt三角形DCB相似
a CD CD b
CD2 ab CD ab
a b ab (当且仅当a b时，取" "号)
2
基本不等式的几何意义是：“.半径不小于半弦。” 11
1.如图,AB是圆o的
P
直径，Q是AB上任
一点，
AQ=a,BQ=b,过
点Q作垂直于AB的
A
ao
Qb
B
弦PQ，连AP,aBbP,
则半弦PQa=__b __,
半径AO=__2___
你能用这个图得出基本 2.PQ与AO的大小关系怎样
不等式的几何解释吗?
动态演示
几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长
.
12
证明:当 a 0,b 0 时,a b ab . 2
证明:要证 a b ab ① 2
只要证 a b ( 2 ab ) ②
那么错在哪里？
１．已知函数 f (x)
x
1
，求函数的
最小值和此时x的取值． x
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个
条件．
.
30
２．已知函数
f (x) x 3 (x 2) x2
，
求函数的最小值．
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个 条件．
.
31
a2 b2
b
B
C a2 +b2 > 2ab
S四个三角形 2ab S大正方形 a2 b2
.
4
新课探究
特别地，当a=b时又有怎样的结论？
D
a2 +b2 =2ab
A
a GHFE
C
b
.
5
《基本不等式》PPT课件
一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的基本步骤
01
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
解一元一次不等式需要注意的事项
02
在解不等式的过程中，要确保每一步都是等价变换，不改变不
等式的解集。
解一元一次不等式的实例分析
03
通过具体例子展示解一元一次不等式的详细步骤和注意事项。
一元一次不等式的应用举例
课程目标与要求
知识与技能
掌握不等式的定义、性质及基本 不等式，能够运用所学知识解决
相关问题。
过程与方法
通过探究、归纳、证明等方法， 培养学生的数学思维和解决问题
的能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和热爱， 认识到数学在解决实际问题中的 重要作用。同时，通过基本不等 式的学习，培养学生的严谨、细
排序不等式的概念与性质
性质 反序和不大于乱序和，乱序和不大于顺序和。
当且仅当$a_i = b_i$（$i = 1, 2, ldots, n$）时，反序和等于顺序和。
切比雪夫不等式的概念与性质
概念：对于任意两个实数序列$a_1, a_2, ldots, a_n$和$b_1, b_2, ldots, b_n$，若它们分别单调不 减和单调不增，则有$frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}a_i cdot frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}b_i leq frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}a_ib_i$。
1 2
一元一次不等式在生活中的应用 例如比较两个数的大小、判断某个数是否满足某 个条件等。
一元一次不等式在数学中的应用 例如在解方程、求函数值域等问题中，经常需要 利用一元一次不等式进行求解。
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问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最 短篱笆是多少？ （2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩 形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积 是多少？
03.02.2020
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池， 其容积为4800立方米，深为3米，如果池底 每平方米的造价为150元，池壁每平方米的 造价为120元，怎样设计水池能使总造价最 低？最低总造价是多少？
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
成立的条件.
x
(2) 已知 ab0,寻找 ab与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
03.02.2020
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பைடு நூலகம் 练习1：设a>0，b>0，给出下列不等式
(1)a 1 2 (2)(a1)(b1)4
当且仅当a=b时，等号成立。
03.02.2020
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基本不等式2：
abab(a0,b0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
注意： （1）两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条件相同
（2） a b 称为正数a、b的几何平均数
a b 称为它们的算术平均数。 2
练习：
已知 x0,y0且 2x5y20，则 lgxlgy
最大值是多少？
03.02.2020
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利用基本不等式证明不等式
1.已知a、b是正数，且a x
b y
1(x,
y
R
)，
求证：x y ( a b)2 2.已知a 0,b 0,c 0,d 0,求证：
（1）一正：各项均为正数
（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 两个正数和为定值，积有最大值。
（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”，否
则会出现错误
03.02.2020
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例3、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，
03.02.2020
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练习：
1、当x>0时， x 1 的最小值为 x
2 ，此时x= 1 。
2、(04重庆）已知 2 x 3 y 2 (x 0 ,y 0 )
1
则x y 的最大值是
6
。
3、若实数 x, y ，且 xy5，则 3x 3y 的最小值是（D）
a
ab
(3)(ab)(11)4 ab
(4)a2
1
1a2
2 1
其中恒成立的 （1）（2）（3） 。
练习2：若 ab1,Plg alg b,
Q 1(lag lg b)R ,lga (b)
2
2
，则（
B）
A、RPQ B、PQR C、RPQ D、PQR
03.02.2020
§3.4基本不等式: ab a b
2
03.02.2020
ICM2002会标
赵爽：弦图
03.02.2020
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D
D
a2 b2
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
B
B
基本不等式1： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2b2 2ab
构造积为定值，利用基本不等式求最值
例4、 求函数 y 1 x(x3)的最小值
x3
思考：求函数 y x 2 5 的最小值 x2 4
03.02.2020
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构造和为定值，利用基本不等式求最值
例5、已知 0x1，求 x 1 x2 的最大值
ad bc bc ad 4 bd ac
3.证明：a4 b4 c4 a2b2 b2c2 a2c2 abc(a b c)
03.02.2020
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85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
应用二：解决最大（小）值问题
例2、已知 x, y 都是正数，求证
（1）如果积 xy是定值P，那么当 xy时，
和 xy有最小值2 P
（2）如果和 xy 是定值S，那么当 xy时， 积 xy有最大值 1 S 2
4
小结：利用 ab2a(b a0,b0)求最值时要注意下面三条：
A、10
B、 6 3
C、 4 6
D、18 3
4、在下列函数中，最小值为2的是（ C ）
A、 yx5(xR,x0) 5x
B、ylgx 1 (1x10) lgx
C、 y3x3x(xR)
D、ysixn 1 (0x)
sixn
2
03.02.2020
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03.02.2020
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基本不等式的几何解释： D
A
aCb B
E 半弦CD不大于半径
03.02.2020
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应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系
例1.(1) 已知 x0,求证x12, 并指出等号
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例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池， 其容积为4800立方米，深为3米，如果池底 每平方米的造价为150元，池壁每平方米的 造价为120元，怎样设计水池能使总造价最 低？最低总造价是多少？
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
成立的条件.
x
(2) 已知 ab0,寻找 ab与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
03.02.2020
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பைடு நூலகம் 练习1：设a>0，b>0，给出下列不等式
(1)a 1 2 (2)(a1)(b1)4
当且仅当a=b时，等号成立。
03.02.2020
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基本不等式2：
abab(a0,b0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
注意： （1）两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条件相同
（2） a b 称为正数a、b的几何平均数
a b 称为它们的算术平均数。 2
练习：
已知 x0,y0且 2x5y20，则 lgxlgy
最大值是多少？
03.02.2020
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利用基本不等式证明不等式
1.已知a、b是正数，且a x
b y
1(x,
y
R
)，
求证：x y ( a b)2 2.已知a 0,b 0,c 0,d 0,求证：
（1）一正：各项均为正数
（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 两个正数和为定值，积有最大值。
（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”，否
则会出现错误
03.02.2020
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例3、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，
03.02.2020
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练习：
1、当x>0时， x 1 的最小值为 x
2 ，此时x= 1 。
2、(04重庆）已知 2 x 3 y 2 (x 0 ,y 0 )
1
则x y 的最大值是
6
。
3、若实数 x, y ，且 xy5，则 3x 3y 的最小值是（D）
a
ab
(3)(ab)(11)4 ab
(4)a2
1
1a2
2 1
其中恒成立的 （1）（2）（3） 。
练习2：若 ab1,Plg alg b,
Q 1(lag lg b)R ,lga (b)
2
2
，则（
B）
A、RPQ B、PQR C、RPQ D、PQR
03.02.2020
§3.4基本不等式: ab a b
2
03.02.2020
ICM2002会标
赵爽：弦图
03.02.2020
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D
D
a2 b2
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
B
B
基本不等式1： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2b2 2ab
构造积为定值，利用基本不等式求最值
例4、 求函数 y 1 x(x3)的最小值
x3
思考：求函数 y x 2 5 的最小值 x2 4
03.02.2020
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构造和为定值，利用基本不等式求最值
例5、已知 0x1，求 x 1 x2 的最大值
ad bc bc ad 4 bd ac
3.证明：a4 b4 c4 a2b2 b2c2 a2c2 abc(a b c)
03.02.2020
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85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
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应用二：解决最大（小）值问题
例2、已知 x, y 都是正数，求证
（1）如果积 xy是定值P，那么当 xy时，
和 xy有最小值2 P
（2）如果和 xy 是定值S，那么当 xy时， 积 xy有最大值 1 S 2
4
小结：利用 ab2a(b a0,b0)求最值时要注意下面三条：
A、10
B、 6 3
C、 4 6
D、18 3
4、在下列函数中，最小值为2的是（ C ）
A、 yx5(xR,x0) 5x
B、ylgx 1 (1x10) lgx
C、 y3x3x(xR)
D、ysixn 1 (0x)
sixn
2
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基本不等式的几何解释： D
A
aCb B
E 半弦CD不大于半径
03.02.2020
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应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系
例1.(1) 已知 x0,求证x12, 并指出等号