2018~2019学年北京东城区高三上学期理科期末数学试卷答案
北京市东城区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含解析
北京市东城区2018-2019学年高一上学期期末检测数学试题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知集合，那么下列结论正确的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，解得x范围，可得即可判断出结论．【详解】解：由，解得，或．．可得0，1，，故选：D．【点睛】本题考查了元素与集合之间的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：，，则为，．故选：A．【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定关系的应用，考查基本知识．3.下列结论成立的是A. 若，则B. 若，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】D【解析】【分析】对赋值来排除。
【详解】当，时，A结论不成立。
当时，B结论不成立。
当时，C结论不成立。
故选：D【点睛】本题主要利用赋值法来排除，也可以利用不等式的性质来判断。
4.在单位圆中，的圆心角所对的弧长为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据弧长公式，，代入计算即可．【详解】解：，故选：B．【点睛】本题主要考查了弧长公式，属于基础题．5.函数的零点所在区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，分析可得函数为减函数，依次计算、、、的值，由函数零点判定定理分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数，分析易得函数为减函数，且，，，，则函数的零点所在区间是；故选：C．【点睛】本题考查函数的零点判断定理，关键是熟悉函数的零点判定定理．6.，，的大小关系是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式化简后，根据单调性即可判断．【详解】解：由，，，在第一象限为增函数，．故得故选：D．【点睛】本题考查了诱导公式和正弦函数的单调性的运用，比较基础．7.设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由得，由得，得．则“”是“”的必要不充分条件，故选：B．【点睛】本小题主要考查充要条件的判断.如果，则是的充分条件，是的必要条件；否则，不是的充分条件，不是的必要条件.在判断具体问题时，可以采用互推的方法，进行和各一次，判断是否能被推出，由此判断是什么条件.还可以采用集合的观点来判断：小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的充要不充分条件.如果两个范围相等，则为充要条件.如果没有包含关系，则为既不充分也不必要条件.8.若实数x，y满足，则的最大值为A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据，即可求出最大值．【详解】解：实数x，y满足，，，当，时取等号，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查了运算和转化能力，属于基础题．9.已知函数的定义域为R，当时，，当时，，当时，，则A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得的值，进而分析可得，分析可得函数为周期为1的周期函数，则，类比奇函数的性质分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数的定义域为R，且当时，，则，当时，，即，即，则函数为周期为1的周期函数；则，当时，，则有，又由，则；故选：A．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．形如，或的条件，说明的都是函数图像关于对称.形如，或，或者的条件，说明的是函数是周期为的周期函数.10.已知非空集合A，B满足以下两个条件2，3，4，5，，；若，则．则有序集合对的个数为A. 12B. 13C. 14D. 15【答案】A【解析】【分析】对集合A的元素个数分类讨论，利用条件即可得出．【详解】解：由题意分类讨论可得：若，则3，4，5，；若，则3，4，5，；若，则3，4，5，；若，则2，4，5，；若，则2，3，5，；若，则3，4，1，；若，则3，4，5，；若，则4，5，；若，则3，5，；若，则3，4，；若，则3，5，；若，则3，4，；若，则2，4，；若3，，则4，．综上可得：有序集合对的个数为12．故选：A．【点睛】本题考查了元素与集合之间的关系、集合运算、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.______．【答案】【解析】【分析】利用诱导公式，将所求三角函数值转化为求的值即可. 【详解】解：故答案为【点睛】本题考察了正弦函数诱导公式的应用，准确的选择公式，运用公式是解决本题的关键.12.函数的定义域为______．【答案】【解析】【分析】且解不等式即可。
北京市东城区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案
北京市东城区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 设P={x|x<4}，Q={x|－2<x<2}，则A. P ⊆QB. Q ⊆PC. P ⊆R QD. Q ⊆RP2. 下列函数在区间[0，π]上是减函数的是A. y=sin xB. y=cos xC. y=tan xD. y=23. 已知a=log3+log 3，b=21log9，c=log2，则a ，b ，c 的大小关系是 A. b<a<cB. c<a<bC. a<b<cD. c<b<a4. 已知α为第二象限角，sin α=53，则cos α= A. －43 B. －54 C. 54 D. 435. 要得到函数y=cos （2x+1）的图象，只需将函数y=cos2x 的图象A. 向左平移1个单位B. 向右平移1个单位C. 向左平移21个单位D. 向右平移21个单位 6. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，f （x ）=2x －x ，则f （1）=A. －3B. －1C. 1D. 37. 函数f （x ）=xcosx 在区间[0，2π]上的零点个数为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 函数y=a －a （a>0，a ≠1）的图象可能是9. 如图所示，单位圆中弧的长为x ，f （x ）表示孤与弦AB 所围成的弓形面积的2倍，则函数y=f（x ）的图象是10. 定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）－f （－x ）=0，且对任意x ，x ∈[0，+∞）（x ≠x ），都有0)()(1212<--x x x f x f ，则A. f （3）<f （－2）<f （1）B. f （1）<f （－2）<f （3）C. f （－2）<f （1）<f （3）D. f （3）<f （1）<f （－2）二、填空题共6小题，每小题3分，共18分。
人教版数学高一下册期末测试精选(含答案)1
人教版高一下册期末测试精选（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设,m n 为两条不同的直线，,,αβγ为三个不重合平面，则下列结论正确的是( ) A ．若m αP ，n αP ，则m n P B ．若m α⊥，m n P ，则n α⊥ C ．若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥D ．若m α⊥，αβ⊥，则m βP【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】B2．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆中，32BA BC AC ===，2PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为( )A ．B ．22πC ．12πD ．20π【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】B3．直线10x -+=的倾斜角为（ ） A ．3π B ．6π C ．23π D ．56π 【来源】山西省康杰中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（文)试题 【答案】B4．鲁班锁是中国古代传统土木建筑中常用的固定结合器，也是广泛流传于中国民间的智力玩具，它起源于古代中国建筑首创的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，外观看上去是严丝合缝的十字几何体，其上下､左右､前后完全对称，十分巧妙.鲁班锁的种类各式各样，其中以最常见的六根和九根的鲁班锁最为著名.九根的鲁班锁由如图所示的九根木榫拼成，每根木榫都是由一根正四棱柱状的木条挖一些凹槽而成.若九根正四棱柱底面边长均为1，其中六根最短条的高均为3，三根长条的高均为5，现将拼好的鲁班锁放进一个球形容器内，使鲁班锁最高的三个正四棱柱形木榫的上､下底面顶点分别在球面上，则该球形容器的表面积(容器壁的厚度忽略不计)的最小值为（ ）A ．24πB ．25πC ．26πD ．27π【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】D 5．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【来源】湖南省邵阳市邵东县创新实验学校2019-2020学年高一上学期期中数学试题 【答案】C6．一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱【来源】北京市西城区2018年1月高三期末考试文科数学试题 【答案】B7．已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ）A ．B ．2C ．D 【来源】西藏自治区拉萨中学2018届高三第七次月考数学（文)试题 【答案】D8．如果直线l 上的一点A 沿x 轴在正方向平移1个单位，再沿y 轴负方向平移3个单位后，又回到直线l 上，则l 的斜率是（ ） A ．3 B ．13C ．-3D ．−13【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】C9．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为1的正方形，则原平面四边形的面积等于（ ） A ．√2 B ．2√2 C ．8√23D ．8√2【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】B10．直线y =kx +3与圆(x −2)2+(y −3)2=4相交于M,N 两点，若|MN|≥2，则k 的取值范围是（ ）A ．[−√3,√3]B ．(−∞,−√3]∪[√3,+∞)C ．[−√33,√33] D ．[−23,0]【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】A11．已知点P(2,1)在圆C:x 2+y 2+ax −2y +b =0上，点P 关于直线x +y −1=0的对称点也在圆C 上，则实数a,b 的值为（ ）A ．a =−3,b =3B ．a =0,b =−3C ．a =−1,b =−1D ．a =−2,b =1 【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】B12．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为() A ．27πB ．36πC ．54πD ．81π【来源】山西省2019-2020学年高二上学期10月联合考试数学（理)试题 【答案】B13．在三棱锥A BCD -中，AD CD ⊥，2AB BC ==，AD =CD =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．8πB ．9πC ．10πD ．12π【来源】辽宁省辽阳市2019-2020学年高三上学期期末考试数学（文)试题 【答案】A14．直线()2140x m y +++=与直线 320mx y +-=平行，则m =（ ） A ．2B ．2或3-C ．3-D ．2-或3-【来源】江苏省南京市六校联合体2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是为1BC ，1CD 的中点，则下列判断错误的是（ ）A ．MN 与1CC 垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与11A B 平行【来源】2015届福建省三明市一中高三上学期半期考试理科数学试卷（带解析) 【答案】D16． (2017·黄冈质检)如图，在棱长均为2的正四棱锥P －ABCD 中，点E 为PC 的中点，则下列命题正确的是( )A ．BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PADB ．BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PAD 的距离为3C ．BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角大于30° D ．BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角小于30°【来源】2014-2015学年湖北省安陆市一中高一下学期期末复习数学试卷（带解析)【答案】D17．如图，在直角梯形ABCD 中，0190,//,12A AD BC AD AB BC ∠====，将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD .在四面体A BCD -中，下列说法正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ACD ⊥平面ABC C ．平面ABC ⊥平面BCDD ．平面ACD ⊥平面BCD【来源】湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题 【答案】B18．已知直线l ：()y t k x t -=-()2t >与圆O ：224x y +=有交点，若k 的最大值和最小值分别是,M m ，则log log t t M m +的值为( ) A ．1B ．0C ．1-D ．222log 4t t t ⎛⎫⎪-⎝⎭【来源】福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】B19．若x 2+y 2–x +y –m =0表示一个圆的方程，则m 的取值范围是 A ．m >−12 B ．m ≥−12 C ．m <−12D ．m >–2【来源】2018年12月9日——《每日一题》高一 人教必修2-每周一测 【答案】A20．如图所示，直线PA 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有结论：①BC ⊥PC ；②OM ∥平面APC ；③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长．其中正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．①D ．②③【来源】二轮复习 专题12 空间的平行与垂直 押题专练 【答案】B二、多选题21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，4=AD ，13AA =，以直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则( )A ．点1B 的坐标为()4,5,3B ．点1C 关于点B 对称的点为()5,8,3- C ．点A 关于直线1BD 对称的点为()0,5,3 D ．点C 关于平面11ABB A 对称的点为()8,5,0【来源】福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】ACD三、填空题22．若直线:l y x m =+上存在满足以下条件的点P :过点P 作圆22:1O x y +=的两条切线(切点分别为,A B ),四边形PAOB 的面积等于3，则实数m 的取值范围是_______ 【来源】福建省厦门市2018-2019学年度第二学期高一年级期末数学试题【答案】-⎡⎣23．点E 、F 、G 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ,BC ,11B C 的中点,则下列命题中的真命题是__________（写出所有真命题的序号）.①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多可以四个面都是直角三角形; ②点P 在直线FG 上运动时,总有AP DE ⊥;③点Q 在直线11B C 上运动时,三棱锥1A D QC -的体积是定值;④若M 是正方体的面1111D C B A ,（含边界）内一动点,且点M 到点D 和1C 的距离相等,则点M 的轨迹是一条线段.【来源】湖北省武汉市（第十五中学、十七中学、常青一中)2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】①②④24．如图，M ､N 分别是边长为1的正方形ABCD 的边BC ､CD 的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，有以下结论:①异面直线AC 与BD 所成的角为定值. ②存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.③存在某个位置，使得直线MN 与平面ABC 所成的角为45°.④三棱锥M -ACN 体积的最大值为48. 以上所有正确结论的序号是__________.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】①③④25．已知两点(2,0)M -，(2,0)N ，若以线段MN 为直径的圆与直线430x y a -+=有公共点，则实数a 的取值范围是___________.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】[]10,10-26．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为点M 是棱BC 的中点，点P在底面ABCD 内，点Q 在线段11A C 上，若1PM =，则PQ 长度的最小值为_____.【来源】北京市海淀区2018届高三第一学期期末理科数学试题27．某几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积为__________．【来源】黄金30题系列 高一年级数学（必修一 必修二) 小题好拿分 【答案】20328．设直线3450x y +-=与圆221:9C x y +=交于A ， B 两点，若2C 的圆心在线段AB 上，且圆2C 与圆1C 相切，切点在圆1C 的劣弧AB 上，则圆2C 半径的最大值是__________.【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】229．已知直线240x my ++=与圆22(1)(2)9x y ++-=的两个交点关于直线0nx y n +-=对称，则m n -=_______.【来源】辽宁省辽阳市2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】3- 30．给出下列命题： ①任意三点确定一个平面；②三条平行直线最多可以确定三个个平面；③不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行； ④一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行； 其中说法正确的有_____（填序号）.【来源】河南省三门峡市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】②③31．设直线2y x a =+与圆22220x y ay +--=相交于A ，B 两点，若||AB =，则a =________【来源】吉林省吉林市吉化第一高级中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】四、解答题32．已知圆C 的一般方程为22240x y x y m +--+=. (1)求m 的取值范围;(2)若圆C 与直线240x y +-=相交于,M N 两点，且OM ON ⊥(O 为坐标原点)，求以MN 为直径的圆的方程.【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】(1)5m <;(2)224816555x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 33．如图4，¼AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为»AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED ，FB .（1）证明：EB FD ⊥； （2）求点B 到平面FED 的距离.【来源】2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷)文科数学全解全析 【答案】（1）证明见解析（2）d =34．已知圆的方程为228x y +=，圆内有一点0(1,2)P -，AB 为过点0P 且倾斜角为α的弦．（1）当135α=︒时，求AB 的长；（2）当弦AB 被点0P 平分时，写出直线AB 的方程． 【来源】2019年12月14日《每日一题》必修2-周末培优【答案】（1（2）250x y -+=．35．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =，M 是AC 与BD 的交点.求证：(1)1//D M 平面11A C B (2)求1BC 与1D M 的所成角的正弦值.【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】(1)见解析；(2)1036．如图所示,直角梯形ABCD 中,AD BC ∥,AD AB ⊥,22AE AB BC AD ====,四边形EDCF 为矩形,CF =（1）求证:平面ECF ⊥平面ABCD ;（2）在线段DF 上是否存在点P ,使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为10,若存在,求出线段BP 的长,若不存在,请说明理由.【来源】湖北省武汉市（第十五中学、十七中学、常青一中)2019-2020学年高二上学期期末数学试题【答案】（1）见解析；（237．已知圆C 的圆心在直线390x y --=上，且圆C 与x 轴交于两点(50)A ，，0(1)B ，. （1）求圆C 的方程；（2）已知圆M :221(1)12x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，设(,)P m n 为坐标平面上一点，且满足:存在过点(,)P m n 且互相垂直的直线1l 和2l 有无数对，它们分别与圆C 和圆M 相交，且圆心C 到直线1l 的距离是圆心M 到直线2l 的距离的2倍，试求所有满足条件的点(,)P m n 的坐标【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）22(3)4x y -+=（2）79,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 38．如图，四棱锥S -ABCD 的底面是边长为2的正方形，每条侧棱的长都是底面边长P 为侧棱SD 上的点.（1）求证:AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面PAC ，求二面角P -AC -D 的大小.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见解析（2）30°39．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，侧棱1AA =E ，F 分别是BC ，1CC 的中点.（1）求证:1//BC 平面AEF ；（2）求异面直线AE 与1A B 所成角的大小.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见解析（2）45°40．已知直线1:2l y x =-+，直线2l 经过点(40)，，且12l l ⊥.（1）求直线2l 的方程；（2）记1l 与y 轴相交于点A ，2l 与y 轴相交于点B ，1l 与2l 相交于点C ，求ABC V 的面积.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）40x y --=（2）941．已知曲线x 2+y 2+2x −6y +1=0上有两点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)关于直线x +my +4=0对称，且满足x 1x 2+y 1y 2=0．（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程．【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析)【答案】（1）m =−1；（2）y =−x +1.42．如图，边长为4的正方形ABCD 与矩形ABEF 所在平面互相垂直，,M N 分别为,AE BC 的中点，3AF =．（1）求证：DA ⊥平面ABEF ；（2）求证：//MN 平面CDEF ；（3）在线段FE 上是否存在一点P ，使得AP MN ⊥？若存在，求出FP 的长；若不存在，请说明理由．【来源】2014届北京市东城区高三上学期期末统一检测文科数学试卷（带解析)【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）存在，94FP = 43．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，且60BAD ︒∠=，PD ⊥平面ABCD ，,E F 分别为棱,AB PD 的中点.（1）证明：//EF 平面PBC .（2）若四棱锥P ABCD -的体积为A 到平面PBC 的距离.【来源】湖南省娄底市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见详解；（2.44．已知圆22:6200C x y y +--+=.（1）过点的直线l 被圆C 截得的弦长为4，求直线l 的方程；（2）已知圆M 的圆心在直线y x =-上，且与圆C 外切于点，求圆M 的方程.【来源】湖南省娄底市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）x =0x +-=；（2）224x y +=.45．已知ABC V 的顶点坐标分别为()1,2A ，()2,1B --，()2,3C -．（1）求BC 边上的中线所在的直线的方程；（2）若直线l 过点B ，且与直线AC 平行，求直线l 的方程．【来源】四川省凉山彝族自治州西昌市2019-2020学年高二上学期期中数学（理)试题【答案】（1）420x y --=；（2）5110x y ++=46．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，090BAP CDP ∠=∠=，E 为PC 中点,（1）求证：//AP 平面EBD ；（2）若PAD ∆是正三角形，且PA AB =.(Ⅰ)当点M 在线段PA 上什么位置时，有DM ⊥平面PAB ？(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，点N 在线段PB 上什么位置时，有平面DMN ⊥平面PBC ？【来源】湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题【答案】（1）详见解析；（2）(Ⅰ) 点M 在线段PA 中点时；(Ⅱ) 当14PN PB =时. 47．已知点P 是圆22:(3)4C x y -+=上的动点，点(3,0)A - ，M 是线段AP 的中点（1）求点M 的轨迹方程；（2）若点M 的轨迹与直线:20l x y n -+=交于,E F 两点，且OE OF ⊥，求n 的值.【来源】湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题【答案】（1）221x y +=；（2）n =. 48．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，AC BD O =I ，22AO OC ==，PA PB AB ===AC PB ⊥.(1)证明：平面PBD ⊥平面ABCD ；(2)求二面角A PD B --的余弦值.【来源】福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题【答案】(1)证明见解析；49．若圆C 经过点3(2,)A -和(2,5)B --，且圆心C 在直线230x y --=上，求圆C 的方程.【来源】2010年南安一中高二下学期期末考试（理科)数学卷【答案】22(1)(2)10x y +++=50．如图，已知矩形ABCD 中，10AB =，6BC =，将矩形沿对角线BD 把ABD ∆折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰在CD 上，即1A O ⊥平面DBC .（1）求证：1BC A D ⊥；（2）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ；（3）求点C 到平面1A BD 的距离.【来源】吉林省吉林市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）245。
2024北京东城区高三(上)期末数学试卷及答案
东城区2023—2024学年度第一学期期末统一检测高三数学参考答案及评分标准 2024.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）C （2）D （3）C（4） D （5） B （6） A （7）C （8）B（9） A （10）D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）()()0,11,∞+ （12） y = （13） π3(答案不唯一 ) （14）①2− ② (],1∞−- （15）②③三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）取11A C 中点G ，连接,FG AG . 在直三棱柱111ABC A B C −中，因为,,E F G 分别为1111,A C B B A C ，的中点，所以1111,AE B GF A A B ,111=2A GFB ,1112A A E B =. 所以GF AE ，GF AE =.所以四边形EFGA 为平行四边形，所以EF AG .又因为EF ⊄平面11ACC A ，AG ⊂平面11ACC A ，所以//EF 平面11ACC A . ................................6分 （Ⅱ）在直三棱柱111ABC A B C −中,1BB ⊥平面ABC .而BA ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1BB BA ⊥，1BB BC ⊥因为90ABC ∠=︒，BA BC ⊥，所以BA BC ，,1BB 两互相垂直.如图，建立空间直角坐标系B xyz −.则A （0，2，0），B （0，0，0），C （2，0，0），E （0，1，0），F（1，0，2）. 设[]00,2Pm m ∈（0，，）,， 则()0,2,AP m =−，()0,1,0BE =，()1,0,2BF = .设平面BEF 的一个法向量为(),,x y z =n ，所以0,0,BE BF n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20.y x z =⎧⎨+=⎩设1z =−，则()2,0,1n =−设AP 与平面BEF 所成的角为θ， 则221sin cos ,552)AP m AP AP m nn n θ⋅−=〈〉===⋅−+（．解得21,1m m ==±.因为[]0,2m ∈，所以1m =.于是，1BP =...............................................................................14分（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）在ABC △中,由余弦定理得222cos 2BC AB AC B BC AB+−=⋅又因为4BC =，AC =1AB =，所以cos B 2224112412+−==⨯⨯. 又()0,πB ∈,所以π3B ∠=. ......................................... (5)分 （II ）选择条件①：π4ADB ∠=. 在ADB △中，由正弦定理 sin sin AD AB B ADB =∠，得=， 所以AD =所以sinsin()BAD B ADB∠=∠+∠sin cos cos sin B ADB B ADB =∠+∠12222=+⨯4=.所以1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠. 112=⨯38+= . ......................................................................13分选择条件③：由余弦定理 2222cos AD AB BD AB BD B =+−⋅,AB BD AD ++=得()2221BD BD BD =+−，解得 2BD =，所以11sin 122222ABD S AB BD B ∆=⋅=⨯⨯⨯=. ........................ ...............13分 (18)（本小题13分）解：（Ⅰ）由表格中的数据可知：2022年100名参加第一次考试的考生中有60名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为5310060=； 2023年100名参加第一次考试的考生中有50名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为2110050=； 从2022年、2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，这两位考生都通过考试的概率为1032153=⨯ . .......................................................4分 （Ⅱ）记“2022年考生在第i 次考试通过”为事件1,2,3)i A i =（，“小明2022年参加考试，他通过不超过两次考试该科目成绩合格”为事件A ， 则1233707804(),(),().5100101005P A P A P A ===== 小明一次考试该科目成绩合格的概率13()5P A =， 小明两次考试该科目成绩合格的概率12377()151025P A A =−⨯=（）， 所以小明不超过两次考试该科目成绩合格的概率1121123722()()()()52525P A P A A A P A P A A ==+=+= . ................................10分 （III ）88. .................................................................................... .........13分（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意得 22222,a b c a c a c ⎧⎪⎨⎪=++=+−=⎩−解得2,1,c a b ⎧===⎪⎨⎪⎩所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ............... ...............................................5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，()2,0A −,()2,0B .设(),M m n ，则(),N m n −，且满足2244m n +=.因为E 为线段OM 的中点，所以,22m n E ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以直线():24n AE y x m =++. 设()11,D x y , 由()222444n y x m x y ⎧=+⎪+⎨⎪+=⎩得 ()()222222441616440m n x n x n m ⎡⎤++++−+=⎣⎦. 因为2244m n +=，所以 ()22225(4)(2812)0m x m x m m ++−−++=. 所以212812225m m x m ++−=−+， 解得214625m m x m ++=+，则()1425n m y m +=+， 所以()2446,2525n m m m D m m +⎛⎫++ ⎪++⎝⎭. 因为G 为线段MB 的中点，所以2,22m n G +⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以直线GN 的方程为()32n y n x m m +=−−−， 代入D 点坐标，得左式=()()4332525n m n m n m m +++=++，右式=2346225n m m m m m ⎛⎫++− ⎪−+⎝⎭()3325n m m +=+. 所以左式=右式.所以,,D G N 三点共线．.................................................... .......................15分 （20）（本小题15分）解：（Ⅰ）若1k =，则1()1x x f x e x −=−+， 所以22'()(1)x f x e x =−+， 所以022'(0)1(01)f e =−=+， 又因为001(0)201f e −=−=−+， 所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为(2)(0)y x −−=−，即2y x =−. ............. .......................................................................6分 （Ⅱ）若12k ≤<，因为22'()(1)x f x ke x =−+， 设函数22()(1)=−+x g x ke x ， 则34'()0(1)=−−<+xg x ke x ((0))x ∈+∞， 所以22'()(1)=−+x f x ke x 为(0)+∞，上的减函数. 当时12k ≤<时，022'(0)20(01)f ke k =−=−≤+， 11122221288'()01299(1)2f ke ke e =−=−<−<+，所以存在01(0,)2x ∈，使得0'()0=f x ，即02020(1)−=+x ke x .x所以当12k ≤<时，函数()y f x =在(0)+∞，上有极大值. 00001()1−==−+x x m f x ke x ， 由2020(1)−=+x ke x ，得0200121(1)−=−++x m x x 200221(1)1x x =−−+++. 因为00x >，所以()010,11x ∈+. 得31−<<m . ..................................................15分(21)（本小题15分）解：（Ⅰ）由于数列23226A a a −：，，，，具有性质c P ， 所以15264a a c +=−+==.由244a a +=以及42a =，得22a =.由334a a +=，得32a =. .....................4分 （Ⅱ）由于数列A 具有性质0P ，且12n a a a <<<，n 为奇数，令21n k =+，可得10k a +=，设12123210k k k k k a a a a a a a ++++<<<<=<<<<.由于当0(1)i j a a i j n >≤≤，，时，存在正整数k ，使得j i k a a a −=，所以324252212k k k k k k k k a a a a a a a a ++++++++−−−−，，，，这1k −项均为数列A 中的项, 且324252212210k k k k k k k k k a a a a a a a a a +++++++++<−<−<−<<−<，因此一定有3224235242122k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++−=−=−=−=，，，，，即：3224325422122k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++−=−=−=−=，，，，， 这说明：2321k k k a a a +++，，，为公差为2k a +的等差数列，再由数列A 具有性质0P ，以及10k a +=可得，数列A 为等差数列. ..................................................................9分（III ）（1）当*42()n k k =+∈N 时，设122122+1222+3244+142:k k k k k k k k A a a a a a a a a a a −+++，，，，，，，，，，，. 由于此数列具有性质c P ，且满足2122k k a a m +++=, 由2122k k a a m +++=和2122k k a a c +++=得c m =±.① c m =时，不妨设12a a m +=，此时有：21a m a =−，411k a a +=，此时结论成立. ② c m =−时，同理可证. 所以结论成立.(2)当*4()n k k =∈N 时，不妨设01c m ==，. 反例如下：22122231122322212k k k k k k k k −−−+−−−+−−+，，，，，，，，，，，，.(3)当*23()n k k =+∈N 时，不妨设01c m ==，. 反例如下：112(1)(1)(1)(1)(1)1012(1)(1)k k k k k k k k +−−−⋅+−⋅−⋅−−−−⋅−，，，，，，，，，，1(1)(1)(1)k k k k −−⋅−⋅+，综上所述，*42()n k k =+∈N 符合题意. ...........................................15分.。
2023-2024学年北京市东城区高一上学期期末统一检测数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市东城区高一上学期期末统一检测数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.下列函数中，与是同一函数的是()A. B. C. D.3.下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是()A. B. C. D.4.下列命题中正确的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5.若，，则的值为()A. B. C. D.6.下列函数中，满足对任意的，，都有的是()A. B. C. D.7.已知，，，则A. B. C. D.8.“角与的终边关于直线对称”是“”的()A.充分必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件9.某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间单位：年之间的关系为其中为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的，则n的值约为参考数据：，A.20B.16C.12D.710.已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为()A. B.C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.函数的定义域为__________.12.设，则的最小值为__________.13.已知，若，则__________.14.在平面直角坐标系中，角的终边不在坐标轴上，则使得成立的一个值为__________.15.已知函数，则_______________用“>”“<”“=”填空；的零点为__________.16.已知符号表示不超过x的最大整数，若函数，给出下列四个结论：①当时，；②为偶函数；③在单调递减；④若方程有且仅有3个根，则a的取值范围是其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共5小题，共60分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
北京市东城区 2018-2019 学年度八年级上学期期末教学统一检测数学试题
2018-2019学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（）A．3.2×107B．3.2×108C．3.2×10﹣7D．3.2×10﹣82．若分式有意义，则a的取值范围是（）A．a≠1B．a≠0C．a≠1且a≠0D．一切实数3．下列运算中，正确的是（）A．3x2+2x3＝5x5B．a•a2＝a3C．3a6÷a3＝3a2D．（ab）3＝a3b4．2017年12月15日，北京2022年冬奥会会徽“冬梦”正式发布．以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是（）A．4+4﹣＝6B．4+40+40＝6C．4+＝6D．4﹣1÷+4＝66．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．7．已知a m＝2，a n＝3，则a3m+2n的值是（）A．6B．24C．36D．728．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，那么在①AB＝AE，②BC ＝ED，③∠C＝∠D，④∠B＝∠E，这四个关系中可以选择的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④9．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP＝2，则AC的长为（）A．2B．4C．6D．810．定义运算“※”：a※b＝．若5※x＝2，则x的值为（）A．B．或10C．10D．或二、填空题（本题共6小题，11-15小题每小题2分，16小题4分，共14分）11．分解因式：2ax2﹣8a＝．12．多项式（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x项，则m＝．13．当x＝时，分式的值为0．14．课本上有这样一道例题：作法：（1）作线段AB＝a（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D．（3）在MN上取一点C，使DC＝h．（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．请你思考只要CD垂直平分AB，那么△ABC就是等腰三角形的依据是．15．如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，过点D作边AB的垂线l，E是l上任意一点，且AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长最小值为．16．已知在△ABC中，AB＝AC．（1）若∠A＝36°，在△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括△ABC），这2个等腰三角形的顶角的度数分别是；（2）若∠A≠36°，当∠A＝时，在等腰△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括△ABC）．（写出两个答案即可）三、解答题（本题共12小题，共56分）17．计算：+（2﹣π）0﹣（）﹣2．18．计算：（1）；（2）（x﹣2）2﹣（x+3）（x﹣3）．19．在三个整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．20．解分式方程：+1＝．21．先化简，然后a在﹣2，0，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（1，2）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，写出所有符合条件的点D坐标．23．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB ∥DE，∠A＝∠D．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．24．列方程解应用题：港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的，求港珠澳大桥的设计时速是多少．25．如图，AE是△ACD的角平分线，B在DA延长线上，AE∥BC，F为BC中点，判断AE与AF的位置关系并证明．26．阅读下列材料，然后回答问题：观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：＝＝＝﹣1．＝＝＝﹣．（一）还可以用以下方法化简：．（二）（1）请用不同的方法化简．参照（一）式得＝；参照（二）式得＝；（2）从计算结果中找出规律，并利用这一规律选择下面两个问题中的一个加以解决：1．求的值；2．化简：+++…+．27．（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1，等边△ABC边长为2，过AB边上一点P作PE⊥AC 于E，Q为BC延长线上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D，求DE的长．小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题．请根据小明同学的思路直接写出DE的长．（2）【类比探究】老师引导同学继续研究：1．等边△ABC边长为2，当P为BA的延长线上一点时，作PE⊥CA的延长线于点E，Q为边BC上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D．请你在图2中补全图形并求DE的长．2．已知等边△ABC，当P为AB的延长线上一点时，作PE⊥射线AC于点E，Q为（①BC边上；②BC的延长线上；③CB的延长线上）一点，且AP＝CQ，连接PQ交直线AC于点D，能使得DE的长度保持不变．（将答案的编号填在横线上）28．在平面直角坐标系xOy中，△ABO为等边三角形，O为坐标原点，点A关于y轴的对称点为D，连接AD，BD，OD，其中AD，BD分别交y轴于点E，P．（1）如图1，若点B在x轴的负半轴上时，直接写出∠BDO的度数；（2）如图2，将△ABO绕点O旋转，且点A始终在第二象限，此时AO与y轴正半轴夹角为α，60°＜α＜90°，依题意补全图形，并求出∠BDO的度数；（用含α的式子表示）（3）在第（2）问的条件下，用等式表示线段BP，PE，PO之间的数量关系．（直接写出结果）2018-2019学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（）A．3.2×107B．3.2×108C．3.2×10﹣7D．3.2×10﹣8【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00000032＝3.2×10﹣7；故选：C．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2．若分式有意义，则a的取值范围是（）A．a≠1B．a≠0C．a≠1且a≠0D．一切实数【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得．【解答】解：若分式有意义，则a﹣1≠0，即a≠1，故选：A．【点评】本题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．3．下列运算中，正确的是（）A．3x2+2x3＝5x5B．a•a2＝a3C．3a6÷a3＝3a2D．（ab）3＝a3b【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、3x2+2x3，无法计算，故此选项错误；B、a•a2＝a3，正确；C、3a6÷a3＝3a3，故此选项错误；D、（ab）3＝a3b3，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．2017年12月15日，北京2022年冬奥会会徽“冬梦”正式发布．以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案．【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，不合题意；D、不是轴对称图形，不合题意．故选：B．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是（）A．4+4﹣＝6B．4+40+40＝6C．4+＝6D．4﹣1÷+4＝6【分析】根据实数的运算方法，求出每个选项中左边算式的结果是多少，判断出哪个算式错误即可．【解答】解：∵4+4﹣＝6，∴选项A不符合题意；∵4+40+40＝6，∴选项B不符合题意；∵4+＝6，∴选项C不符合题意；∵4﹣1÷+4＝4，∴选项D符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．6．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：A、是最简二次根式，正确；B、不是最简二次根式，错误；C、不是最简二次根式，错误；D、不是最简二次根式，错误；故选：A．【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确把握定义是解题关键．7．已知a m＝2，a n＝3，则a3m+2n的值是（）A．6B．24C．36D．72【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则结合幂的乘方运算法则计算得出答案．【解答】解：∵a m＝2，a n＝3，∴a3m+2n＝（a m）3×（a n）2＝23×32＝72．故选：D．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．8．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，那么在①AB＝AE，②BC ＝ED，③∠C＝∠D，④∠B＝∠E，这四个关系中可以选择的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【分析】由∠1＝∠2结合等式的性质可得∠CAB＝∠DAE，再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠EAB＝∠2+∠EAB，即∠CAB＝∠DAE，①加上条件AB＝AE可利用SAS定理证明△ABC≌△AED；②加上BC＝ED不能证明△ABC≌△AED；③加上∠C＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△AED；④加上∠B＝∠E可利用AAS证明△ABC≌△AED；故选：C．【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，解题时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP＝2，则AC的长为（）A．2B．4C．6D．8【分析】易得△AEP的等边三角形，则AE＝AP＝2，在直角△AEB中，利用含30度角的直角三角形的性质来求EB的长度，然后在等腰△BEC中得到CE的长度，则易求AC的长度．【解答】解：∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，∴∠ABC＝60°．又∵BE是∠ABC的平分线，∴∠EBC＝30°，∴∠AEB＝∠C+∠EBC＝60°，∠C＝∠EBC，∴∠AEP＝60°，BE＝EC．又AD⊥BC，∴∠CAD＝∠EAP＝60°，则∠AEP＝∠EAP＝60°，∴△AEP的等边三角形，则AE＝AP＝2，在直角△AEB中，∠ABE＝30°，则EB＝2AE＝4，∴BE＝EC＝4，∴AC＝CE+AE＝6．故选：C．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、角平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．利用三角形外角性质得到∠AEB＝60°是解题的关键．10．定义运算“※”：a※b＝．若5※x＝2，则x的值为（）A．B．或10C．10D．或【分析】分别讨论5＞x和5＜x时，得到的分式方程，解之，找出符合题意的即可．【解答】解：若5＞x，即x＜5时，原方程可整理得：＝2，方程两边同时乘以（5﹣a）得：5＝2（5﹣x），解得：x＝，经检验：x＝是原方程的解，且＜5，即x＝符合题意，若5＜x，即x＞5时，原方程可整理得：＝2，方程两边同时乘以（x﹣5）得：x＝2（x﹣5），解得：x＝10，经检验：x＝10是原方程的解，且10＞5，即x＝10符合题意，故选：B．【点评】本题考查了解分式方程，有理数的混合运算，正确掌握解分式方程的方法是解题的关键．二、填空题（本题共6小题，11-15小题每小题2分，16小题4分，共14分）11．分解因式：2ax2﹣8a＝2a（x+2）（x﹣2）．【分析】首先提公因式2a，再利用平方差进行二次分解即可．【解答】解：原式＝2a（x2﹣4）＝2a（x+2）（x﹣2）．故答案为：2a（x+2）（x﹣2）．【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．12．多项式（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x项，则m＝12．【分析】乘积含x项包括两部分，①mx×2，②8×（﹣3x），再由展开后不含x的一次项可得出关于m的方程，解出即可．【解答】解：（mx+8）（2﹣3x）＝2mx﹣3mx2+16﹣24x＝﹣3mx2+（2m﹣24）x+16，∵多项式（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x项，∴2m﹣24＝0，解得：m＝12，故答案为：12．【点评】此题考查了多项式乘多项式的知识，属于基础题，注意观察哪些项相乘所得的结果含一次项，难度一般．13．当x＝﹣2时，分式的值为0．【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【解答】解：∵＝0，∴x＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题考查的是对分式的值为0的条件，分子等于0，分母不能等于0，题目比较简单．14．课本上有这样一道例题：作法：（1）作线段AB＝a（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D．（3）在MN上取一点C，使DC＝h．（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．请你思考只要CD垂直平分AB，那么△ABC就是等腰三角形的依据是线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等，等腰三角形定义．【分析】利用线段垂直平分线的性质和等腰三角形的定义，由CD垂直平分AB可得到△ABC就是等腰三角形．【解答】解：若CD垂直平分AB，则根据线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等得到CA＝CB，然后根据等腰三角形的定义可判断△ABC就是等腰三角形．故答案为线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等，等腰三角形定义．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．15．如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，过点D作边AB的垂线l，E是l上任意一点，且AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长最小值为13．【分析】连接BE，依据l是AB的垂直平分线，可得AE＝BE，进而得到AE+CE＝BE+CE，依据BE+CE≥BC，可知当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，故△AEC的周长最小值等于AC+BC．【解答】解：如图，连接BE，∵点D是AB边的中点，l⊥AB，∴l是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴AE+CE＝BE+CE，∵BE+CE≥BC，∴当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，∴△AEC的周长最小值等于AC+BC＝5+8＝13，故答案为：13．【点评】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．16．已知在△ABC中，AB＝AC．（1）若∠A＝36°，在△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括△ABC），这2个等腰三角形的顶角的度数分别是108°，36°；（2）若∠A≠36°，当∠A＝90°或108°时，在等腰△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括△ABC）．（写出两个答案即可）【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；（2）当∠A＝90°或108°时，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）如图1所示：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴当AE＝BE，则∠A＝∠ABE＝36°，则∠AEB＝108°，则∠EBC＝36°，∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度；故答案为：108°，36°；（2）当∠A＝90°或108°时，在等腰△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形，故答案为：90°或108°．【点评】此题主要考查了应用作图与设计以及等腰三角形的性质，得出分割图形是解题关键．三、解答题（本题共12小题，共56分）17．计算：+（2﹣π）0﹣（）﹣2．【分析】直接利用零指数幂的性质、负指数幂的性质、算术平方根分别化简得出答案．【解答】解：原式＝3+1﹣4＝0．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．计算：（1）；（2）（x﹣2）2﹣（x+3）（x﹣3）．【分析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简得出答案；（2）直接利用乘法公式化简求出答案．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）原式＝x2﹣4x+4﹣x2+9＝﹣4x+13．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简二次根式是解题关键．19．在三个整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．【分析】本题考查整式的加法运算，要先去括号，然后合并同类项，最后进行因式分解．本题答案不唯一．【解答】解：方法一：（x2+2xy）+x2＝2x2+2xy＝2x（x+y）；方法二：（y2+2xy）+x2＝（x+y）2；方法三：（x2+2xy）﹣（y2+2xy）＝x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）；方法四：（y2+2xy）﹣（x2+2xy）＝y2﹣x2＝（y+x）（y﹣x）．【点评】本题考查了整式的加减，整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，因式分解时先考虑提取公因式，没有公因式的再考虑运用完全平方公式或平方差公式进行因式分解．20．解分式方程：+1＝．【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．【解答】解：方程两边同乘以2（x+3），得4x+2（x+3）＝7，解得x＝，检验：当x＝时，2（x+3）≠0，∴x＝是分式方程的解．【点评】本题考查了解分式方程，利用等式的性质得出整式方程是解题关键，要检验方程的根．21．先化简，然后a在﹣2，0，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．【分析】先去括号，然后化除法为乘法进行化简计算，最后代入求值即可．【解答】解：原式＝＝＝．当a＝0时，＝．【点评】考查了分式的化简求值，注意：如a取﹣2，2，3时，分式无意义．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（1，2）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，写出所有符合条件的点D坐标．【分析】（1）利用轴对称变换，即可作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）依据以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，可知两个三角形有公共边BC，运用对称性即可得出所有符合条件的点D坐标．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）当△BCD与△BCA关于BC对称时，点D坐标为（0，3），当△BCA与△CBD关于BC的中点对称时，点D坐标为（0，﹣1），△BCA与△CBD关于BC的中垂线对称时，点D坐标为当（2，﹣1）．【点评】本题主要考查了利用轴对称变换作图以及全等三角形的判定的运用，解题时注意，成轴对称的两个三角形或成中心对称的两个三角形全等．23．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB ∥DE，∠A＝∠D．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．【分析】（1）先证明∠ABC＝∠DEF，再根据ASA即可证明．（2）根据全等三角形的性质即可解答．【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC与△DEF中∴△ABC≌△DEF；（2）∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BF+FC＝EC+FC，∴BF＝EC，∵BE＝10m，BF＝3m，∴FC＝10﹣3﹣3＝4m．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型．24．列方程解应用题：港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的，求港珠澳大桥的设计时速是多少．【分析】设港珠澳大桥的设计时速是x千米/时，按原来路程行驶的平均时速是（x﹣40）千米/时．根据“行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的”列出方程并解答．【解答】解：设港珠澳大桥的设计时速是x千米/时，按原来路程行驶的平均时速是（x﹣40）千米/时．依题意，得．解方程，得x＝100．经检验：x＝100是原方程的解，且符合题意．答：港珠澳大桥的设计时速是每小时100千米．【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．25．如图，AE是△ACD的角平分线，B在DA延长线上，AE∥BC，F为BC中点，判断AE与AF的位置关系并证明．【分析】结论：AE与AF的位置关系是垂直．想办法证明∠CAF+∠CAE＝90°即可．【解答】解：结论：AE与AF的位置关系是垂直．证明：∵AE是△ACD的角平分线，∴，∵AE∥BC，∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，∴∠B＝∠ACB，∴AB＝AC，又∵F为BC中点，∴，∵∠CAB+∠CAD＝180°，∴∠CAF+∠CAE＝90°，∴AE⊥AF．【点评】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26．阅读下列材料，然后回答问题：观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：＝＝＝﹣1．＝＝＝﹣．（一）还可以用以下方法化简：．（二）（1）请用不同的方法化简．参照（一）式得＝﹣；参照（二）式得＝﹣；（2）从计算结果中找出规律，并利用这一规律选择下面两个问题中的一个加以解决：1．求的值；2．化简：+++…+．【分析】（一）（1）方法一：利用分母有理化化简；方法二：利用平方差公式把2写成两个数的平方差的形式，然后利用约分化简；（二）1．先把前面括号内的各二次根式分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算；2．利用分母有理化得到原式＝（﹣1+﹣+…+﹣），然后合并即可．【解答】解：（1）＝＝﹣；＝＝﹣；故答案为﹣；﹣；（2）1.＝（﹣1+++﹣+…+﹣）（+1）＝（﹣1）（+1）＝2019﹣1＝2018；2.+++…+＝（﹣1+﹣+…+﹣）＝．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．27．（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1，等边△ABC边长为2，过AB边上一点P作PE⊥AC 于E，Q为BC延长线上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D，求DE的长．小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题．请根据小明同学的思路直接写出DE的长．（2）【类比探究】老师引导同学继续研究：1．等边△ABC边长为2，当P为BA的延长线上一点时，作PE⊥CA的延长线于点E，Q为边BC上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D．请你在图2中补全图形并求DE的长．2．已知等边△ABC，当P为AB的延长线上一点时，作PE⊥射线AC于点E，Q为②（①BC边上；②BC的延长线上；③CB的延长线上）一点，且AP＝CQ，连接PQ交直线AC于点D，能使得DE的长度保持不变．（将答案的编号填在横线上）【分析】（1）过点P作PF∥BC交AC于点F，可证△APF是等边三角形，可得EF＝AF，通过证明△PDF≌△QDC，可得FD＝CD＝FC＝（AC﹣AF），即可求DE的长；（2）过点P作PF∥BC交CE的延长线于点F，可证△APF是等边三角形，可得EF＝AF，通过证明△PDF≌△QDC，可得FD＝CD＝FC＝（AC+AF），即可求DE的长；（3）过点P作PF∥BC交BC的延长线与点F，可证△APF是等边三角形，可得EF＝AF，通过证明△PDF≌△QDC，可得FD＝CD＝FC＝（AF﹣AC），即可求DE的长．【解答】解：（1）如图，过点P作PF∥BC交AC于点F，∴∠Q＝∠FPD，∠APF＝∠ABC，∠AFP＝∠ACB，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∴∠APF＝∠AFP＝∠BAC＝60°，∴△APF为等边三角形，∴AP＝AF＝PF，又∵PE⊥AC∴EF＝AF，∴PF＝AP＝CQ，又∠PDF＝∠CDQ，∠Q＝∠FPD，∴△PDF≌△QDC（AAS），∴FD＝CD＝FC＝（AC﹣AF），∴DE＝DF+EF＝（AC﹣AF）+AF＝AC＝1；（2）1、补全的图形如下，过点P作PF∥BC交CE的延长线于点F，∴∠DQC＝∠FPD，∠APF＝∠ABC，∠AFP＝∠ACB，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∴∠APF＝∠AFP＝∠FAP＝60°，∴△APF为等边三角形，∴AP＝AF＝PF，又∵PE⊥AC∴EF＝AF，∴PF＝AP＝CQ，又∠PDF＝∠CDQ，∠DQC＝∠FPD，∴△PDF≌△QDC（AAS），∴FD＝CD＝FC＝（AC+AF），∴DE＝DF﹣EF＝（AC+AF）﹣AF＝AC＝1；2、过点P作PF∥BC交BC的延长线与点F．∴∠DQC＝∠FPD，∠APF＝∠ABC，∠AFP＝∠ACB，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∴∠APF＝∠AFP＝∠BAC＝60°，∴△APF为等边三角形，∴AP＝AF＝PF，又∵PE⊥AC∴EF＝AF，∴PF＝AP＝CQ，∠PDF＝∠CDQ，∠DQC＝∠FPD，∴△PDF≌△QDC（AAS），∴FD＝CD＝FC＝（AF﹣AC），∴DE＝EF﹣DF＝（AC+CF）﹣CF＝AC＝1；答案为②．【点评】本题为三角形综合题，关键是通过作辅助线构建新的等边三角形，再通过证明三角形全等，确定边之间的关系，本题难度不大．28．在平面直角坐标系xOy中，△ABO为等边三角形，O为坐标原点，点A关于y轴的对称点为D，连接AD，BD，OD，其中AD，BD分别交y轴于点E，P．（1）如图1，若点B在x轴的负半轴上时，直接写出∠BDO的度数；（2）如图2，将△ABO绕点O旋转，且点A始终在第二象限，此时AO与y轴正半轴夹角为α，60°＜α＜90°，依题意补全图形，并求出∠BDO的度数；（用含α的式子表示）（3）在第（2）问的条件下，用等式表示线段BP，PE，PO之间的数量关系．（直接写出结果）【分析】（1）点A关于y轴的对称点为D，求出∠DOE＝∠EOA＝90°﹣∠AOB＝30°，即可求解；（2）∠AOE＝∠DOE＝α，∠AOB＝60°，求出∠BOD即可求解；（3）证明△AOP≌△ABQ（AAS），而EP为△DAQ的中位线，即可求解．【解答】解：（1）∵点A关于y轴的对称点为D，∴∠DOE＝∠EOA＝90°﹣∠AOB＝30°，∴△OAD为等边三角形，∴∠BOD＝120°，∴∠BDO＝＝30°；（2）如下图：∵∠AOE＝∠DOE＝α，∠AOB＝60°，∴∠BOD＝360°﹣2α﹣60°＝300°﹣2α，∵BO＝BD，∴∠OBD＝∠ODB．∴（3）如上图，连接AP，过点A作AQ∥y轴，交DB的延长线于点Q，∠OBD＝∠BDO＝α﹣60°，∠ABQ＝180°﹣∠ABO﹣∠BDO＝180°﹣α，而∠AOP＝180°﹣∠AOE＝180°﹣α，∴∠ABQ＝∠AOP，∵AQ∥y轴，∴∠Q＝∠DPE＝∠APE，又AB＝AO，∴△AOP≌△ABQ（AAS），∴AP＝AQ，BQ＝PO，∠BAQ＝∠OAP，∴∠PAQ＝∠QAB+∠BAP＝∠BAP+∠PAO＝60°，∴△APQ为等边三角形，∴AQ＝PQ＝PB+BQ＝PB+PO，∵AQ∥y轴，E为AD的中点，∴EP为△DAQ的中位线，∴AQ＝2EP，∴2PE＝BP+PO．【点评】本题是几何变换的综合题，涉及到三角形全等、中位线、等边三角形等知识，关键是通过正确画图，找出全等的三角形，确定线段间的关系．。
2023-2024学年北京市东城区东直门中学高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市东城区东直门中学高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知全集U ＝{x |x ＞0}，集合A ＝{x |x （x ﹣1）＜0}，则∁U A ＝（ ） A ．{x |x ＞1，或x ＜0} B ．{x |x ≥1，或x ≤0}C ．{x |x ＞1}D ．{x |x ≥1}2．若复数z 1，z 2在复平面内对应点的坐标分别为（2，1），（0，﹣1），则z 1•z 2＝（ ） A ．2+iB ．1﹣2iC ．﹣1﹣2iD ．﹣i3．已知函数f （x ）＝3sin2x ，将函数f （x ）的图象沿x 轴向右平移π8个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，则函数g （x ）的解析式为（ ） A ．g(x)=3sin(2x −π8) B ．g(x)=3sin(2x −π4) C ．g(x)=3sin(2x +π8)D ．g(x)=3sin(2x +π4)4．已知向量a →与向量b →的夹角为120°，|a →|=|b →|=1，则|a →+2b →|=（ ） A ．3B ．√3C ．2−√3D ．15．已知直线l 、m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是（ ） A ．若α∥β，l ⊂α，n ⊂β，则l ∥n B ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥βC ．若l ⊥n ，m ⊥n 则l ∥mD ．若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β6．已知直线l 1：mx +（m +1）y +2＝0，l 2：（m +1）x +（m +4）y ﹣3＝0，则“m ＝﹣2”是“l 1⊥l 2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知直线x −√3y +8=0和圆x 2+y 2＝r 2（r ＞0）相交于A ，B 两点．若|AB |＝6，则r 的值为（ ） A ．3B ．√3C ．5D ．√58．已知某种垃圾的分解率为v ，与时间t （月）满足函数关系式v ＝ab t （其中a ，b 为非零常数）．若经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，那么这种垃圾完全分解，至少需要经过（ ）（参考数据：lg 2≈0.3．） A ．48个月B ．52个月C ．64个月D ．120个月9．已知奇函数f （x ）的定义域为R ，且在（0，+∞）上单调递减，若f(12)=f(−2)=1，则下列命题中正确的是（ ） A ．f （x ）有两个零点 B ．f （﹣1）＞﹣1C ．f （﹣3）＜1D ．f(12)＜f(2)10．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，线段B 1D 1上有两个动点E ，F （E 在F 的左边），且EF =√2．下列说法不正确的是（ ）A ．当E 运动时，二面角E ﹣AB ﹣C 的最小值为45°B ．当E ，F 运动时，三棱锥体积B ﹣AEF 不变C ．当E ，F 运动时，存在点E ，F 使得AE ∥BFD ．当E ，F 运动时，二面角C ﹣EF ﹣B 为定值 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11．函数f （x ）=√x +1+ln （2﹣x ）的定义域为 ． 12．已知等比数列{a n }中，a 4＝6，a 7＝48，则a 11＝ ．13．函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π3]的部分图像如图所示，则函数f （x ）的解析式为 ．14．已知数列{a n }的通项公式为a n =n +λn ，n ∈N *，且{a n }为单调递增数列，则实数λ的取值范围是 ．15．已知函数f （x ）={2x −a ，x ≤0x 2−3ax +a ，x ＞0当a ＝0时，f （x ）的值域为 ；若f （x ）有三个零点，则a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（14分）三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，若AA 1⊥面ABC ，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝AA 1＝2，A 1C 1＝1，M ，N 分别是BC ，BA 的中点．（1）求证：A 1N ∥平面B 1BCC 1；（2）求平面B 1MA 与平面ACC 1A 1所成夹角的余弦值； （3）求点A 1到平面C 1MA 的距离．17．（13分）在①a +c ＝13，②b ＝7，③a +b +c ＝20三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并完成试题． 已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，c cos A ﹣2b cos B +a cos C ＝0． （1）求角B ；（2）若____，c ＞a ，BA →⋅BC →=20，求sin A ．18．（13分）“绿水青山就是金山银山”，某地区甲乙丙三个林场开展植树工程，2011﹣2020年的植树成活率（%）统计如表：（表中“/”表示该年末植树）：规定：若当年植树成活率大于95%，则认定该年为优质工程．（1）从乙林场植树的年份中任抽取两年，求这两年都是优质工程的概率；（2）从甲、乙、丙三个林场植树的年份中各抽取一年，以X 表示这3年中优质工程的个数，求X 的分布列；（3）若乙丙两个林场每年植树的棵数不变，能否根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小？19．（15分）已知函数f （x ）＝2alnx ﹣x 2+1 （1）若a ＝1，求函数f （x ）的单调递减区间；（2）若a ＞0，求函数f （x ）在区间[1，+∞）上的最大值；（3）若f （x ）≤0在区间[1，+∞）上恒成立，求a 的最大值． 20．（15分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，长轴的右端点为A （2，0）． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）直线l ：y ＝kx +m 与椭圆C 分别相交于M ，N 两点，且AM ⊥AN ，点A 不在直线l 上， （ⅰ）试证明直线l 过一定点，并求出此定点；（ⅱ）从点A 作AD ⊥MN 垂足为D ，点B(85，2)，写出|BD |的最小值（结论不要求证明）．21．（15分）已知无穷数列{a n }满足a n ＝max {a n +1，a n +2}﹣min {a n +1，a n +2}（n ＝1，2，3，⋯），其中max {x ，y }表示x ，y 中最大的数，min {x ，y }表示x ，y 中最小的数． （1）当a 1＝1，a 2＝2时，写出a 4的所有可能值；（2）若数列{a n }中的项存在最大值，证明：0为数列{a n }中的项；（3）若a n ＞0（n ＝1，2，3，⋯），是否存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有a n ≤M ？如果存在，写出一个满足条件的M ；如果不存在，说明理由．2023-2024学年北京市东城区东直门中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共10小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知全集U ＝{x |x ＞0}，集合A ＝{x |x （x ﹣1）＜0}，则∁U A ＝（ ） A ．{x |x ＞1，或x ＜0} B ．{x |x ≥1，或x ≤0}C ．{x |x ＞1}D ．{x |x ≥1}解：∵全集U ＝{x |x ＞0}，集合A ＝{x |x （x ﹣1）＜0}＝{x |0＜x ＜1}，∁U A ＝{x |x ≥1}． 故选：D ．2．若复数z 1，z 2在复平面内对应点的坐标分别为（2，1），（0，﹣1），则z 1•z 2＝（ ） A ．2+iB ．1﹣2iC ．﹣1﹣2iD ．﹣i解：由已知：复数z 1＝2+i ，z 2＝﹣i ，所以z 1•z 2＝（2+i ）（﹣i ）＝1﹣2i ． 故选：B ．3．已知函数f （x ）＝3sin2x ，将函数f （x ）的图象沿x 轴向右平移π8个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，则函数g （x ）的解析式为（ ） A ．g(x)=3sin(2x −π8) B ．g(x)=3sin(2x −π4) C ．g(x)=3sin(2x +π8)D ．g(x)=3sin(2x +π4)解：将函数f （x ）的图象沿x 轴向右平移π8个单位长度，得到f(x −π8)=3sin2(x −π8)=3sin(2x −π4)， 故g(x)=3sin(2x −π4)． 故选：B ．4．已知向量a →与向量b →的夹角为120°，|a →|=|b →|=1，则|a →+2b →|=（ ） A ．3B ．√3C ．2−√3D ．1解：已知向量a →与向量b →的夹角为120°，|a →|=|b →|=1， 则a →⋅b →=1×1×(−12)=−12，则|a →+2b →|=√a →2+4a →⋅b →+4b →2=√1−2+4=√3． 故选：B ．5．已知直线l 、m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是（ ） A ．若α∥β，l ⊂α，n ⊂β，则l ∥nB ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥βC ．若l ⊥n ，m ⊥n 则l ∥mD ．若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β解：根据题意，依次分析选项：对于A ，l 与n 可能平行，也可能异面，A 错误； 对于B ，l 与β可能平行、也能相交，B 错误；对于C ，l 与m 可以平行、也可以相交或异面，C 错误； 对于D ，若l ⊥α，l ∥β，必有α⊥β，D 正确； 故选：D ．6．已知直线l 1：mx +（m +1）y +2＝0，l 2：（m +1）x +（m +4）y ﹣3＝0，则“m ＝﹣2”是“l 1⊥l 2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若“l 1⊥l 2”，则m （m +1）+（m +1）（m +4）＝0，解得：m ＝﹣1，或m ＝﹣2 故“m ＝﹣2”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件， 故选：A ．7．已知直线x −√3y +8=0和圆x 2+y 2＝r 2（r ＞0）相交于A ，B 两点．若|AB |＝6，则r 的值为（ ） A ．3B ．√3C ．5D ．√5解：设圆心到直线的距离为d ，由题意可得2√r 2−d 2=6， 即d 2＝r 2﹣9，结合点到直线距离公式可得：√1+3=√r 2−9，解得：r ＝5．故选：C ．8．已知某种垃圾的分解率为v ，与时间t （月）满足函数关系式v ＝ab t （其中a ，b 为非零常数）．若经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，那么这种垃圾完全分解，至少需要经过（ ）（参考数据：lg 2≈0.3．） A ．48个月B ．52个月C ．64个月D ．120个月解：由题意可得，{v(12)=ab 12=0.1v(24)=ab 24=0.2，解得b =2112，a ＝0.05，故v （t ）＝0.5×(2112)t ，令v （t ）＝1，可得(2112)t =20，即t =log 211220=lg20lg2112=1+lg2112lg2≈12×(1+0.3)0.3=52． 故选：B ．9．已知奇函数f （x ）的定义域为R ，且在（0，+∞）上单调递减，若f(12)=f(−2)=1，则下列命题中正确的是（ ） A ．f （x ）有两个零点B ．f （﹣1）＞﹣1C．f（﹣3）＜1D．f(12)＜f(2)解：根据题意可得函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，（﹣∞，0）上为减函数，f（0）＝0，由f(12)=f(−2)=1，得f(−12)=f（2）＝﹣1，对于A，由f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f(12)=1，f（2）＝﹣1，所以存在x0∈(12，2)，使f（x0）＝0，所以f（x）在（0，+∞）上有一个零点，同理f（x）在（﹣∞，0）上有一个零点，又因为f（0）＝0，所以f（x）有三个零点，故A错误；对于B，因为函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，所以f(−1)＞f(−12)=−1，故B正确；对于C，因为函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，所以f（﹣3）＞f（﹣2）＝1，故C错误；对于D，因为f(12)=1，f（2）＝﹣1，所以f(12)＞f(2)，故D错误．故选：B．10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E，F（E在F的左边），且EF=√2．下列说法不正确的是（）A．当E运动时，二面角E﹣AB﹣C的最小值为45°B．当E，F运动时，三棱锥体积B﹣AEF不变C．当E，F运动时，存在点E，F使得AE∥BFD．当E，F运动时，二面角C﹣EF﹣B为定值解：对A：建立如图所示的空间直角坐标系，则A （2，2，0），B （0，2，0），C （0，0，0），D （2，0.0），D 1（2，0，2）， 因为E 1F 在 B 1D 1 上，且B 1D 1=2√2，EF =√2，可设E （t ，2﹣t ，2），（1≤t ≤2）， 则F （t ﹣1，3﹣t ，2），AE →=（t ﹣2，﹣t ，2），AB →=（﹣2，0，0），BF →=（t ﹣1，1﹣t ，2）， 设平面ABE 的法向量为 m =（x ，y ，z ），所以{AB →⋅m →=−2x =0AE →⋅m →=(t −2)x −ty +2z =0，取y ＝2，则m =(0，2，t)，平面ABC 的法向量为n →=（0，0，1）， 所以cos ＜m →，n →＞=√t +4，设二面角E ﹣AB ﹣C 的平面角为θ，则θ为锐角，故cos θ=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=t √t +4=1√1+4t2，因为1≤t ≤2，y =√1+4t 2，在[1，2]上单调递减， 所以√2≤√1+4t 2≤√5，√55≤cosθ≤√22，当且仅当t ＝2时，cos θ取得最大值√22，即θ取最小值 45°，故A 说法正确． 对B ：因为S △BEF =12×EF ×BB 1=12×√2×2=√2，点A 到平面 BDD 1B 1的距离为√2， 所以体积为V B ﹣AEF ＝V A ﹣BEF =13×√2×√2=23，即体积为定值，故B 说法正确． 对C ：若AE ∥BF ，则A ，B ．B 1，D 1四点共面，与AB 和B 1D 1是异面直线矛盾，故C 说法错误． 对D ：连接CD 1，CB 1，CE ，平面EFB 即为平面BDD 1B 1，而平面CEF 即为平面CB 1D 1， 故当E ，F 运动 时，二面角C ﹣EF ﹣B 的大小保持不变，故D 说法正确．故选：C ．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11．函数f （x ）=√x +1+ln （2﹣x ）的定义域为 [﹣1，2） ． 解：要使f （x ）有意义，则{x +1≥02−x ＞0；∴﹣1≤x ＜2；∴f （x ）的定义域为[﹣1，2）．故答案为：[﹣1，2）．12．已知等比数列{a n }中，a 4＝6，a 7＝48，则a 11＝ 768 ． 解：∵等比数列{a n }中，a 4＝6，a 7＝48， ∴q 3=a 7a 4=486=8，q ＝2，a 11=a 7⋅q 4=48×24=768． 故答案为：768．13．函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π3]的部分图像如图所示，则函数f （x ）的解析式为 f(x)=2sin(2x +π6) ．解：由图象可得，A ＝2，T2=2π3−π6=π2，即T ＝π，∴ω=2ππ=2， ∵f(π6)=2sin(π3+φ)=2，∴π3+φ=2kπ+π2，k ∈Z ， 即φ=2kπ+π6，k ∈Z ，又|φ|＜π3，∴φ=π6． ∴函数f （x ）的解析式为f(x)=2sin(2x +π6)． 故答案为：f(x)=2sin(2x +π6)14．已知数列{a n }的通项公式为a n =n +λn ，n ∈N *，且{a n }为单调递增数列，则实数λ的取值范围是 （﹣∞，2） ．解：∵数列{a n }的通项公式为a n =n +λn ，且数列{a n }是递增数列， ∴a n +1﹣a n =n +1+λn+1−n −λn =−λn(n+1)+1＞0，n ∈N *恒成立， 即λ＜n 2+n ，n ∈N *恒成立， 而n 2+n ，n ∈N *随n 的增大而增大，即当n ＝1时，n 2+n ，n ∈N *取得最小值2，则λ＜2， 所以实数λ的取值范围是（﹣∞，2）， 故答案为：（﹣∞，2）．15．已知函数f （x ）={2x −a ，x ≤0x 2−3ax +a ，x ＞0当a ＝0时，f （x ）的值域为 （0，+∞） ；若f （x ）有三个零点，则a 的取值范围是 （49，1] ．解：当a ＝0时，f （x ）={2x ，x ≤0x 2，x ＞0，由x ＞0可得f （x ）＞0；x ≤0时，f （x ）∈（0，1]，可得a ＝0时，f （x ）的值域为（0，+∞）；由f （x ）有三个零点，可得x ≤0时，2x ﹣a ＝0即a ＝2x ∈（0，1]； 由x ＞0时，f （x ）＝0有两解，可得a ＞0，Δ＞0即9a 2﹣4a ＞0，解得a ＞49，综上可得49＜a ≤1．故答案为：（0，+∞），（49，1]．三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（14分）三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，若AA 1⊥面ABC ，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝AA 1＝2，A 1C 1＝1，M ，N 分别是BC ，BA 的中点．（1）求证：A 1N ∥平面B 1BCC 1；（2）求平面B 1MA 与平面ACC 1A 1所成夹角的余弦值； （3）求点A 1到平面C 1MA 的距离．解：（1）证明：连接MN ，C 1A ．由M ，N 分别是BC ，BA 的中点，根据中位线性质，MN ∥AC ，且MN =AC2=1，由棱台性质，A 1C 1∥AC ，于是MN ∥A 1C 1，由MN ＝A 1C 1＝1可知，四边形MNA 1C 1是平行四边形，则A 1N ∥MC 1， 又A 1N ⊄平面B 1BCC 1，MC 1⊂平面B 1BCC 1，于是A 1N ∥平面B 1BCC 1．（2）以A 为原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A （0，0，0），B 1（1，0，2），M （1，1，0），C 1（0，1，2），A 1（0，0，2）， 设平面B 1MA的一个法向量为e →1=(x ，y ，z)，则{e→1⋅AB 1→=0e →1⋅AM →=0，解得e →1=(−2，2，1)， 平面ACC 1A 1的一个法向量为e →2=(1，0，0)， 设平面B 1MA 与平面ACC 1A 1所成夹角为θ，|cos〈e →1，e →2〉|=|e →1e →2|e →1||e →2||=2√4+4+1⋅1=23，所以cosθ=23， 所以平面B 1MA 与平面ACC 1A 1所成夹角的余弦值为23．（3）设平面C 1MA 的一个法向量为e →3=(x ，y ，z)，则{e →3⋅AC 1→=0e →1⋅AM →=0，解得e →3=(−2，2，−1)，AA 1→=(0，0，2)，所以距离d =|e →3AA 1→|e →3||=|23|=23，点A 1到平面C 1MA 的距离为23．17．（13分）在①a +c ＝13，②b ＝7，③a +b +c ＝20三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并完成试题． 已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，c cos A ﹣2b cos B +a cos C ＝0． （1）求角B ；（2）若____，c ＞a ，BA →⋅BC →=20，求sin A ． 解：（1）∵c cos A ﹣2b cos B +a cos C ＝0，∴在△ABC 中，由正弦定理得，sin C cos A ﹣2sin B cos B +sin A cos C ＝0， ∴sin （A +C ）＝2sin B cos B ， ∵A ，B ，C 是△ABC 的内角， ∴sin （A +C ）＝sin B ≠0， ∴cosB =12， 所以，B =π3． （2）选择①a +c ＝13，∵BA →⋅BC →=20，∴ac cos B ＝20，即12ac =20，∴ac ＝40，∵c ＞a ，∴c ＝8，a ＝5，在△ABC 中，由余弦定理得，b =√a 2+b 2−2abcosB =√52+82−2×5×8×12=7， 在△ABC 中，由正弦定理得，sinA =asinB b =5√314． （2）选择②b ＝7．∵BA →⋅BC →=20，∴ac cos B ＝20，即12ac =20，∴ac ＝40，在△ABC 中，由余弦定理得，b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝（a +c ）2﹣3ac ＝（a +c ）2﹣120， ∴a +c ＝13， ∵c ＞a ，∴a ＝5．在△ABC 中，由正弦定理得，sinA =asinB b =5√314， （2）选择③a +b +c ＝20．∵BA →⋅BC →=20，∴ac cos B ＝20，即12ac =20，∴ac ＝40，在△ABC 中，由余弦定理得，[20﹣（a +c ）]2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝（a +c ）2﹣3ac ＝（a +c ）2﹣120， ∴a +c ＝13， ∵c ＞a ，∴a ＝5．在△ABC 中，由正弦定理得，sinA =asinB b=5√314． 18．（13分）“绿水青山就是金山银山”，某地区甲乙丙三个林场开展植树工程，2011﹣2020年的植树成活率（%）统计如表：（表中“/”表示该年末植树）：规定：若当年植树成活率大于95%，则认定该年为优质工程．（1）从乙林场植树的年份中任抽取两年，求这两年都是优质工程的概率；（2）从甲、乙、丙三个林场植树的年份中各抽取一年，以X 表示这3年中优质工程的个数，求X 的分布列；（3）若乙丙两个林场每年植树的棵数不变，能否根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小？解：（1）乙林场植树共7年，其中优质工程有4年，从乙林场植树的年份中任抽取两年，这两年都是优质工程为事件A ， 所以P(A)=C 42C 72=4×32×17×62×1=1242=27．（2）甲林场植树共6年，其中优质工程有3年， 乙林场植树共7年，其中优质工程有4年， 丙林场植树共10年，其中优质工程有5年， 则X 的可能取值为0，1，2，3， P(X =0)=C 31⋅C 31⋅C 51C 61⋅C 71⋅C 101=328， P(X =1)=C 31⋅C 31⋅C 51+C 31⋅C 41⋅C 51+C 31⋅C 31⋅C 51C 61⋅C 71⋅C 101=514， P(X =2)=C 31⋅C 41⋅C 51+C 31⋅C 41⋅C 51+C 31⋅C 31⋅C 51C 61⋅C 71⋅C 101=1128， P(X =3)=C 31⋅C 41⋅C 51C 61⋅C 71⋅C 101=17， 则X 的分布列为：（3）不能根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小． 因为乙、丙两个林场优质工程概率分别为47，12，且47＞12．则设乙、丙林场植树成活率平均数分别为x 1，x 2，x 1=95.1+91.6+93.2+97.8+95.6+92.3+96.67=94.6，x 2=97.0+95.4+98.2+93.5+94.8+95.5+94.5+93.5+98.0+92.510=95.29，所以乙、丙这两个林场植树成活率平均数分别为：94.6，95.29，且丙林场植树成活率大于乙林场植树成活率，所以不能根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小． 19．（15分）已知函数f （x ）＝2alnx ﹣x 2+1 （1）若a ＝1，求函数f （x ）的单调递减区间；（2）若a ＞0，求函数f （x ）在区间[1，+∞）上的最大值； （3）若f （x ）≤0在区间[1，+∞）上恒成立，求a 的最大值． 解：（Ⅰ）当a ＝1时，f （x ）＝2lnx ﹣x 2+1，f ′（x ）=−2(x 2−1)x，（x ＞0），令f ′（x ）＜0．∵x ＞0，∴x 2﹣1＞0，解得：x ＞1， ∴函数f （x ）的单调递减区间是（1，+∞）；（Ⅱ）f ′（x ）=−2(x 2−a)x，（x ＞0）， 令f ′（x ）＝0，由a ＞0，解得x 1=√a ，x 2=−√a （舍去），①当√a ≤1，即0＜a ≤1时，在区间[1，+∞）上f ′（x ）≤0，函数f （x ）是减函数． 所以 函数f （x ）在区间[1，+∞）上的最大值为f （1）＝0；②当√a ＞1，即a ＞1时，x 在[1，+∞）上变化时，f ′（x ），f （x ）的变化情况如下表∴函数f （x ）在区间[1，+∞）上的最大值为f （√a ）＝alna ﹣a +1，综上所述：当0＜a ≤1时，函数f （x ）在区间[1，+∞）上的最大值为f （1）＝0； 当a ＞1时，函数f （x ）在区间[1，+∞）上的最大值为f （√a ）＝alna ﹣a +1， （Ⅲ）由（Ⅱ）可知：当0＜a ≤1时，f （x ）≤f （1）＝0在区间[1，+∞）上恒成立； 当a ＞1时，由于f （x ）在区间[1，√a ]上是增函数，∴f （√a ）＞f （1）＝0，即在区间[1，+∞）上存在x =√a 使得f （x ）＞0． 综上所述，a 的最大值为1． 20．（15分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，长轴的右端点为A （2，0）． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）直线l ：y ＝kx +m 与椭圆C 分别相交于M ，N 两点，且AM ⊥AN ，点A 不在直线l 上， （ⅰ）试证明直线l 过一定点，并求出此定点；（ⅱ）从点A 作AD ⊥MN 垂足为D ，点B(85，2)，写出|BD |的最小值（结论不要求证明）． （Ⅰ）解：椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的离心率为√32，长轴的右端点为A （2，0）， 可得{c a=√32a =2c 2=a 2−b 2，解得a =2，b =1，c =√3，所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．（Ⅱ）证明：（ⅰ）联立方程组{y =kx +mx 24+y 2=1，整理得（4k 2+1）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0，可得x 1+x 2=−8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），所以AM →=(x 1−2，y 1)，AN →=(x 2−2，y 2)， 因为AM ⊥AN ，即AM →⊥AN →，可得AM →⋅AN →=(x 1−2，y 1)⋅(x 2−2，y 2)=x 1x 2−2(x 1+x 2)+4+y 1y 2=x 1x 2−2(x 1+x 2)+4+(kx 1+m)(kx 2+m)=(k 2+1)x 1x 2+(km −2)(x 1+x 2)+m 2+4 =(k 2+1)⋅4m 2−44k 2+1+(km −2)×−8km 4k 2+1+m 2+4=5m 2+16km+12k24k 2+1=0，所以5m 2+16km +12k 2＝0，解得m ＝﹣2k 或m =−65k ，当m ＝﹣2k 时，直线方程为y ＝kx ﹣2k ＝k （x ﹣2），此时过A （2，0），不符合题意（舍去）； 当m =−65k 时，直线方程为y =kx −6k5=k(x −65)，此时过P(65，0)，符合题意， 综上可得，直线过定点P(65，0)．（ii ）由题意，从点A 作AD ⊥MN 垂足为D ，点B(85，2)， 如图所示，点D 落在以AP 为直径的圆上，且圆心坐标为O 1(85，0)，半径为r =25， 则|O 1B |＝2，所以|BD |的最小值为|O 1B|−r =2−25=85． 21．（15分）已知无穷数列{a n }满足a n ＝max {a n +1，a n +2}﹣min {a n +1，a n +2}（n ＝1，2，3，⋯），其中max {x ，y }表示x ，y 中最大的数，min {x ，y }表示x ，y 中最小的数． （1）当a 1＝1，a 2＝2时，写出a 4的所有可能值；（2）若数列{a n }中的项存在最大值，证明：0为数列{a n }中的项；（3）若a n ＞0（n ＝1，2，3，⋯），是否存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有a n ≤M ？如果存在，写出一个满足条件的M ；如果不存在，说明理由．解：（1）由a n ＝max {a n +1，a n +2}﹣min {a n +1，a n +2}≥0，a 1＝max {2，a 3}﹣min {2，a 3}＝1， 若a 3＞2，则a 3﹣2＝1，即a 3＝3，此时a 2＝max {3，a 4}﹣min {3，a 4}＝2，当a4＞3，则a4﹣3＝2，即a4＝5；当a4＜3，则3﹣a4＝2，即a4＝1；若a3＜2，则2﹣a3＝1，即a3＝1，此时a2＝max{1，a4}﹣min{1，a4}＝2，当a4＞1，则a4﹣1＝2，即a4＝3；当a4＜1，则1﹣a4＝2，即a4＝﹣1（舍）；综上，a4的所有可能值为{1，3，5}．（2）证明：由（1）知：a n≥0，则min{a n+1，a n+2}≥0，数列{a n}中的项存在最大值，故存在n0∈N∗使a n≤a n，（n＝1，2，3，⋯），由a n0=max{a n0+1，a n0+2}−min{a n0+1，a n0+2}≤max{a n0+1，a n0+2}≤a n，所以min{a n0+1，a n0+2}=0，故存在k∈{n0+1，n0+2}使a k＝0，所以0为数列{a n}中的项；（3）不存在，理由如下：由a n＞0（n＝1，2，3，⋯），则a n≠a n+1（n＝2，3，⋯），设S＝{n|a n＞a n+1，n≥1}，若S＝∅，则a1≤a2，a i＜a i+1（i＝2，3，⋯），对任意M＞0，取n1=[Ma1]+2（[x]表示不超过x的最大整数），当n＞n1时，a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+...+（a3﹣a2）+a2＝a n﹣2+a n﹣3+...+a1+a2≥（n﹣1）a1＞M；若S≠∅，则S为有限集，设m＝max{n|a n＞a n+1，n≥1}，a m+i＜a m+i+1（i＝1，2，3，⋯），对任意M＞0，取n2=[Ma m+1]+m+1（[x]表示不超过x的最大整数），当n＞n2时，a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+...+（a m+2﹣a m+1）+a m+1＝a n﹣2+a n﹣3+...+a m+a m+1≥（n ﹣m）a m+1＞M；综上，不存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有a n≤M．。
2019届高三上期末数学分类汇编(18)等差数列与等比数列(含答案)
（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）4.已知数列为等差数列，且成等比数列，则的前6项的和为（）A. 15B.C. 6D. 3【答案】C【解析】【分析】利用成等比数列,得到方程2a1+5d＝2，将其整体代入 {a n}前6项的和公式中即可求出结果．【详解】∵数列为等差数列，且成等比数列，∴，1，成等差数列，∴2，∴2＝a1+a1+5d，解得2a1+5d＝2，∴{a n}前6项的和为2a1+5d）=．故选：C．【点睛】本题考查等差数列前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．（福建省宁德市2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）3.等差数列中，，，则数列的前20项和等于（）A. -10B. -20C. 10D. 20【答案】D【解析】【分析】本道题结合等差数列性质，计算公差，然后求和，即可。
【详解】，解得，所以，故选D。
【点睛】本道题考查了等差数列的性质，难度中等。
（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）5.在等差数列中，已知是函数的两个零点，则的前10项和等于( )A. -18B. 9C. 18D. 20【答案】D【解析】【分析】由韦达定理得，从而的前10项和，由此能求出结果.【详解】等差数列中，是函数的两个零点，，的前10项和.故选：D.【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用.（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）13.设等差数列的前项和为，且,则__________．【答案】【解析】分析：设等差数列{a n}的公差为d，由S13=52，可得13a1+d=52，化简再利用通项公式代入a4+a8+a9，即可得出．详解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S13=52，∴13a1+d=52，化为：a1+6d=4．则a4+a8+a9=3a1+18d=3（a1+6d）=3×4=12．故填12.点睛：本题主要考查等差数列通项和前n项和，意在考查学生等差数列基础知识的掌握能力和基本的运算能力.（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题）3.已知数列是等比数列，其前项和为，，则（）A. B. C. 2 D. 4【答案】A【解析】【分析】由题意，根据等比数列的通项公式和求和公式，求的公比，进而可求解，得到答案。
2019年东城一模数学试卷【含答案】
北京市东城区2018—2019学年第二学期统一练习（一）初三数学 2019．5 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1．下列立体图形中，主视图是圆的为（ ）A ．B ．C ．D ．2． 2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日在北京延庆举行，会期共162天．预计参观人数将不少于16000000人次．将16000000用科学计数法表示应为（ ）A ．16×106B ． 1．6×107C ．0．16×108D ．1．6×1083． 已知实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A ．a ＞bB ．|a |＜|b |C ．ab ＞0D ．﹣a ＞b4．如图，将一张矩形纸片折叠，若∠1=80°，则∠2的度数是（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°5． 若一个多边形的每个内角均为120°，则该多边形是（ ）A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．七边形 6．如果2320a a +-=，那么代数式2231-3()93a a a a +•-+的值为（ ）A ．1B ．12 C ．13 D ． 147．弹簧原长(不挂重物)15cm ，弹簧总长L (cm)与重物质量x (kg)的关系如下表所示：弹簧总长L (cm) 16 17 18 19 20 重物质量x (kg)0.51.01.52.02.5当重物质量为5kg （在弹性限度内）时，弹簧的总长L (cm)是（ ） A ．22.5 B ．25 C ．27.5 D ．308．改革开放40年以来，城乡居民生活水平持续快速提升．居民教育、文化和娱乐消费支出持续增长，已经成为居民各项消费支出中仅次于居住、食品烟酒、交通通信后的第四大消费支出．下图为北京市统计局发布的2017年和2018年我市居民人均教育、文化和娱乐消费支出的折线图．说明：在统计学中，同比．．是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2017年第二季度相比较；环比．．是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2018年第一季度相比较．根据上述信息，下列结论中错误．．的是（）A．2017年第二季度环比有所提高B．2017年第三季度环比有所提高C．2018年第一季度同比有所提高D．2018年第四季度同比有所提高二、填空题（本题共16分，每小题2分）x 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．9．若210．有一个质地均匀的正方体，六个面上分别标有1~6这六个整数，投掷这个正方体一次，则出现向上一面的数字是偶数的概率为．11．能说明命题“若a＞b，则ac＞bc”是假命题的一个c值是_______．12．如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACB＝________°．13．《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大小器各容几何？”其大意是：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问 大容器、小容器的容量各是多少？设大容器容量为x 斛，小容器容量为y 斛，根据题意，可列方程组为____________（斛：古量器名，容量单位）14．已知：在□ABCD 中，点E 在DA 的延长线上，13AE AD ，连接CE 交BD 于点F ，则EFFC 的值是________．15．为方便市民出行，2019年北京地铁推出了电子定期票．电子定期票在使用有效期限内，支持单人不限次数乘坐北京轨道交通全路网（不含机场线）所有线路．电子定期票包括一日票、二日票、三日票、五日票及七日票共五个种类，价格如下表：种类 一日票 二日票 三日票 五日票 七日票 单价（元/张）2030407090某人需要连续6天不限次数乘坐地铁，若决定购买电子定期票，则总费用最低为 元． 16．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，A ，B ，C ，D 均落在格点上．（1）BDC BAC S S △△：=________；（2）点P 为BD 的中点，过点P 作直线l ∥BC ，分别过点B 作BM ⊥l 于点M ，过点C 作CN ⊥l 于点N ，则矩形BCNM 的面积为________．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题,每小题7FEBDAC分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图，直线BC 及直线BC 外一点P ．求作：直线PE ，使得PE ∥BC ． 作法：如图，①在直线BC 上取一点A ，连接P A ； ②作∠P AC 的平分线AD ；③以点P 为圆心，P A 长为半径画弧，交射线AD 于点E ； ④作直线PE ．所以直线PE 就是所求作的直线． 根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵AD 平分∠P AC ， ∴∠P AD =∠CAD ． ∵P A =PE ，∴∠P AD =________． ∴∠PEA=________．∴PE ∥BC ．（____________________________________________________）（填推理的依据）1802sin 60+-22019︒- 19．解不等式组：()+2124132x x x x -≥-⎧⎪⎨+>⎪⎩20．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ﹣2＝0有实数根． （1）求a 的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．21．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分线分别交AC，DC，BC于点E，F，G，连接DE，DG．（1）求证：四边形DGCE是菱形；（2）若∠ACB=30°，∠B=45°，ED=6，求BG的长．22．在平面直角坐标系xOy中，直线(0)y kx k=≠与双曲线y＝8(0)xx>交于点A（2，n）（1）求n及k的值；（2）点B是y轴正半轴上一点，且△OAB是等腰三角形，请直接写出所有．．符合条件的点B坐标．23．如图，AB与⊙O相切于点A，P为OB上一点，且BP＝BA，连接AP并延长交⊙O于点C，连接OC．（1）求证：OC⊥OB；（2）若⊙O的半径为4，AB＝3，求AP的长．24．某年级共有400名学生．为了解该年级学生上学的交通方式，从中随机抽取100名学生进行问卷调查，并对调查数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．不同交通方式学生人数分布统计图如下：b．采用公共交通方式单程所花费时间（分钟）的频数分布直方图如下（数据分成6组:10≤x<20，20≤x<30，30≤x<40，40≤x<50，50≤x<60，60≤x≤70）：C．采用公共交通方式单程所花费时间在30≤x<40这一组的是:30 30 31 31 32 33 33 34 35 35 36 37 38 39根据以上信息，完成下列问题：(1) 补全频数分布直方图；(2) 采用公共交通方式单程所花费时间的中位数为_______分；(3) 请你估计全年级乘坐公共交通上学有_______人．其中单程不少于60分钟的有_______人．25．如图，点E在弦AB所对的优弧上，且BE为半圆，C是BE上一动点，连接CA，CB，已知AB=4cm，设B ，C 两点间的距离为x cm ，点C 到弦AB 所在直线的距离为1y cm ，A ，C 两点间的距离为2y cm ．小明根据学习函数的经验，分别对函数1y ,2y ，随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整:（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x ，1y ），（x ，2y ），并画出1y ，2y 的图像；（3）结合函数图象，解决问题:①连结BE ，则BE 的长约为 cm ．②当以A ，B ，C 为顶点组成的三角形是直角三角形时，BC 的长度约为 cm ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2691(0)y mx mx m m =-++≠． （1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x 轴的两个交点分别为A 和B （点A 在点B 的左侧），且AB =4，求m 的值；（3）已知四个点C （2,2），D （2,0），E （5,-2），F （5,6），若抛物线与线段CD 和线段EF 都没有公共点，请直接写出m 的取值范围．27．如图，在正方形ABCD 中，E 是边BC 上一动点（不与点B ，C 重合），连接DE ，点C 关于直线DE 的对称点为'C ，连接'AC 并延长交直线DE 于点P ，F 是AC ′中点，连接DF ． （1）求∠FDP 的度数；（2）连接BP ，请用等式表示AP ，BP ，DP 三条线段之间的数量关系，并证明． （3）连接ACACC ′的面积最大值．PBA28．在平面直角坐标系xOy 中，对于P ，Q 两点给出如下定义：若点P 到x 、y 轴的距离中的最大值等于点Q 到x 、y 轴的距离中的最大值，则称P ，Q 两点为“等距点”．下图中的P ，Q 两点即为“等距点”．(1)已知点A 的坐标为(-3，1)，①在点E (0，3)，F (3，-3)，G (2，-5)中，为点A 的“等距点”的是________；②若点B 在直线y =x +6上，且A ，B 两点为“等距点”，则点B 的坐标为________； (2)直线l ：y =kx -3(k >0)与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，①若1T （-1，1t ），2T （-1，2t ）,是直线l 上的两点，且1T 与2T 为“等距点”，求k 的值。
2023-2024学年北京市东城区东直门中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市东城区东直门中学高二（上）期中数学试卷一.选择题：（本题有12道小题，每小题4分，共48分） 1．已知α∈(π2，π)，且sin α=35，则tan α＝（ ） A ．34B ．−34C ．43D ．−432．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则a 8＝（ ） A ．9B ．11C ．13D ．153．已知数列{a n }是公比为正数的等比数列，S n 是其前n 项和，a 2＝2，a 4＝8，则S 7＝（ ） A ．31B ．63C ．127D ．2554．已知α，β是两个不同的平面，直线m ⊂α，下列命题中正确的是（ ） A ．若α⊥β，则m ∥β B ．若α⊥β，则m ⊥βC ．若m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥β，则α⊥β5．向量a →=（2，1，x ），b →=（2，y ，﹣1），若|a →|=√5，且a →⊥b →，则x +y 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣4D ．46．在△ABC 中，a ＝2，B =π3，△ABC 的面积等于√32，则b 等于（ ） A ．√32B ．1C ．√3D ．27．设{a n }是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n }为递增数列”是“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＞0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆交于点P(x 0，√63)，则cos2α＝（ ） A ．−13B ．±13C ．2√33D ．139．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF =12，给出下列三个结论： ①AC ⊥BE ；②△AEF 的面积与△BEF 的面积相等； ③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值． 其中，所有正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．已知公差不为零的等差数列{a n }，首项a 1＝﹣7，若a 5，a 6，a 9成等比数列，记T n ＝a 1•a 2•⋯•a n （n ＝1，2，3，⋯），则数列{T n }（ ） A ．有最小项，无最大项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，无最小项D ．有最大项，有最小项11．ISO 216是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准，该标准定义了A ，B 系列的纸张尺寸．设型号为A i （i ＝0，1，2，3，4，5，6）的纸张面积分别是a i （i ＝0，1，2，3，4，5，6），它们组成一个公比为12的等比数列，设型号为B i （i ＝1，2，3，4，5，6）的纸张的面积分别是b i （i ＝1，2，3，4，5，6），已知b i 2=a i−1a i (i =1，2，3，4，5，6)，则a 4b 5的值为（ ）A ．12B ．√22 C ．√2D ．212．已知数列{a n }满足a n+1=14(a n −6)3+6(n =1，2，3，⋯)，则（ ） A ．当a 1＝3时，{a n }为递减数列，且存在常数M ≤0，使得a n ＞M 恒成立 B ．当a 1＝5时，{a n }为递增数列，且存在常数M ≤6，使得a n ＜M 恒成立 C ．当a 1＝7时，{a n }为递减数列，且存在常数M ＞6，使得a n ＞M 恒成立 D ．当a 1＝9时，{a n }为递增数列，且存在常数M ＞0，使得a n ＜M 恒成立 二.填空题：（本题有6道小题，每小题5分，共30分）13．已知函数f(x)=√3sinx −cosx ，则f(π3)= ；若将f （x ）的图象向右平行移动π6个单位长度后得到g （x ）的图象，则g （x ）的一个对称中心为 ． 14．在△ABC 中，若BC =3，AC =2√6，B =2A ，则B ＝ ．15．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝﹣2，且a n +1＝a n +a n +2，n ∈N *，则a 5＝ ；数列{a n }的前2023项的和为 ．16．已知平面α和三条不同的直线m ，n ，l ．给出下列六个论断：①m ⊥α；②m ∥α；③m ∥l ；④n ⊥α；⑤n ∥α；⑥n ∥l ．以其中两个论断作为条件，使得m ∥n 成立．这两个论断可以是 ．（填上你认为正确的一组序号）17．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{a n }，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a 1＝1，a 5＝12，a 9＝192，则a 7＝ ，数列{a n }的所有项的和为 ． 18．已知函数f(x)=λsin(π2x +φ)(λ＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图1所示，A ，B 分别为图象的最高点和最低点，过A 作x 轴的垂线，交x 轴于点A '，点C 为该部分图象与x 轴的交点．将绘有该图象的纸片沿x 轴折成直二面角，如图2所示，此时|AB|=√10，则λ＝ ．给出下列四个结论： ①φ=π3；②图2中，AB →⋅AC →=5；③图2中，过线段AB 的中点且与AB 垂直的平面与x 轴交于点C ；④图2中，S 是△A 'BC 及其内部的点构成的集合．设集合T ＝{Q ∈S ||AQ |≤2}，则T 表示的区域的面积大于π4．其中所有正确结论的序号是 ． 三.解答题：（本题有6小题，共72分）19．（10分）已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设c n ＝a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和．20．（10分）已知函数f （x ）＝A sin x cos x −√3cos2x 的一个零点为π6．（1）求A 和函数f （x ）的最小正周期；（2）当x ∈[0，π2]时，若f （x ）≤m 恒成立，求实数m 的取值范围．21．（12分）在△ABC 中，2asinB =√2b ． （1）求A ；（2）若b =2√6，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得△ABC 存在且唯一确定，求△ABC 的面积．条件①：cosC =−√1010；条件②：a ＝2；条件③：sinB =√55． 注：如果选择了不合适的条件，则第（2）问记0分．22．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ＝2，AB ＝4，点E 在线段AB 上，且AE =34AB ． （1）求证：CE ⊥平面PBD ； （2）求二面角P ﹣CE ﹣D 的余弦值； （3）求点A 到平面PCE 的距离．23．（14分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ＝1，BC ＝3． （Ⅰ）求证：AF ⊥CD ；（Ⅱ）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD 上是否存在点M ，使得直线CE ∥平面AFM ？若存在，求BM BD的值；若不存在，请说明理由．24．（14分）设λ为正实数，若各项均为正数的数列{a n }满足：∀n ∈N *，都有a n +1≥a n +λ．则称数列{a n }为P （λ）数列．（Ⅰ）判断以下两个数列是否为P （2）数列：数列A ：3，5，8，13，21； 数列B ：log 25，π，5，10．（Ⅱ）若数列{b n }满足b 1＞0且b n +1＝b n +√n +3−√n +1，是否存在正实数λ，使得数列{b n }是P （λ）数列？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．（Ⅲ）若各项均为整数的数列{a n }是P （1）数列，且{a n }的前m （m ≥2）项和a 1+a 2+a 3+⋯+a m 为150，求a m +m 的最小值及取得最小值时a m 的所有可能取值．2023-2024学年北京市东城区东直门中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：（本题有12道小题，每小题4分，共48分） 1．已知α∈(π2，π)，且sin α=35，则tan α＝（ ） A ．34B ．−34C ．43D ．−43解：α∈(π2，π)，且sinα=35，∴cos α＜0，cos α=−√1−sin 2α=−√1−(35)2=−45， ∴tan α=sinαcosα=−34． 故选：B ．2．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则a 8＝（ ） A ．9B ．11C ．13D ．15解：在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，∴{a 1+d =1a 1+3d =5，解得a 1＝﹣1，d ＝2，则a 8＝a 1+7d ＝﹣1+14＝13． 故选：C ．3．已知数列{a n }是公比为正数的等比数列，S n 是其前n 项和，a 2＝2，a 4＝8，则S 7＝（ ） A ．31B ．63C ．127D ．255解：设等比数列{a n }的公比为q （q ＞0），由a 4＝a 2q 2，得8＝2q 2，解得q ＝2或q ＝﹣2（舍去），又a 1=a 2q =22=1，所以S 7=1−271−2127．故选：C ．4．已知α，β是两个不同的平面，直线m ⊂α，下列命题中正确的是（ ）A ．若α⊥β，则m ∥βB ．若α⊥β，则m ⊥βC ．若m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥β，则α⊥β解：对于选项A ：若α⊥β，则m ∥β也可能m ⊥β，故错误． 对于选项B ：若α⊥β，则m ⊥β也可能m ∥β，故错误． 对于选项C ：若m ∥β，则α∥β也可能α与β相交，故错误． 对于选项D ，直线m ⊂α，m ⊥β，则α⊥β是面面垂直的判定，故正确． 故选：D ．5．向量a →=（2，1，x ），b →=（2，y ，﹣1），若|a →|=√5，且a →⊥b →，则x +y 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣4D ．4解：向量a →=（2，1，x ），若|a →|=√5， 则√22+12+x 2=√5，解得x ＝0； 又向量b →=（2，y ，﹣1），且a →⊥b →， 则a →•b →=4+y +0＝0，解得y ＝﹣4； 所以x +y ＝﹣4． 故选：C ．6．在△ABC 中，a ＝2，B =π3，△ABC 的面积等于√32，则b 等于（ ） A ．√32B ．1C ．√3D ．2解：∵a ＝2，B =π3，△ABC 的面积等于√32=12ac sin B =12×2×c ×√32， ∴解得：c ＝1，∴由余弦定理可得：b =√a 2+c 2−2accosB =√4+1−2×2×1×12=√3． 故选：C ．7．设{a n }是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n }为递增数列”是“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＞0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为数列{a n }是公差不为0的无穷等差数列，当{a n }为递增数列时，公差d ＞0，令a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＞0，解得n ＞1−a 1d ，[1−a1d ]表示取整函数，所以存在正整数N0＝1+[1−a1d]，当n＞N0时，a n＞0，充分性成立；当n＞N0时，a n＞0，a n﹣1＜0，则d＝a n﹣a n﹣1＞0，必要性成立；是充分必要条件．故选：C．8．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边与单位圆交于点P(x0，√63)，则cos2α＝（）A．−13B．±13C．2√33D．13解：∵平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边与单位圆交于点P(x0，√63 )，∴OP2=x02+69=1，∴x0＝±√33，∴cosα＝±√33，则cos2α＝2cos2α﹣1＝2×x02−1=−1 3，故选：A．9．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=12，给出下列三个结论：①AC⊥BE；②△AEF的面积与△BEF的面积相等；③三棱锥A﹣BEF的体积为定值．其中，所有正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3解：对于①，根据题意，结合图形知，AC⊥面DD1B1B，BE⊂平面DD1B1B，∴AC⊥BE，命题①正确；对于②，∵点B到直线EF的距离与点A到直线EF的距离不相等，∴△AEF与△BEF的面积不相等，命题②错误；对于③，三棱锥A ﹣BEF 的体积为V 三棱锥A ﹣BEF =13•S △BEF •h =13×12×12×1×√22=√224， ∴三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值，命题③正确； 对于综上，正确的命题有2个． 故选：C ．10．已知公差不为零的等差数列{a n }，首项a 1＝﹣7，若a 5，a 6，a 9成等比数列，记T n ＝a 1•a 2•⋯•a n （n ＝1，2，3，⋯），则数列{T n }（ ） A ．有最小项，无最大项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，无最小项D ．有最大项，有最小项解：在等差数列{a n }中，由a 5，a 6，a 9成等比数列，得a 62=a 5⋅a 9，即（﹣7+5d ）2＝（﹣7+4d ）（﹣7+8d ）， 解得d ＝2或d ＝0（舍），则a n ＝2n ﹣9，当n ≤4，n ∈N *时，a n ＜0；当n ≥5，n ∈N *时，a n ＞0． ∴{a n }的前6项为：﹣7，﹣5，﹣3，﹣1，1，3， 又T n ＝a 1•a 2•⋯•a n ，故T 3最小，没有最大值． 故选：A ．11．ISO 216是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准，该标准定义了A ，B 系列的纸张尺寸．设型号为A i （i ＝0，1，2，3，4，5，6）的纸张面积分别是a i （i ＝0，1，2，3，4，5，6），它们组成一个公比为12的等比数列，设型号为B i （i ＝1，2，3，4，5，6）的纸张的面积分别是b i （i ＝1，2，3，4，5，6），已知b i 2=a i−1a i (i =1，2，3，4，5，6)，则a 4b 5的值为（ ）A ．12B ．√22C ．√2D ．2解：∵b i 2=a i−1a i ，令i ＝5，∴b 52=a 4a 5，又∵a 0，a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6组成一个公比为12的等比数列，∴b 52=a 4a 5=a 4⋅a 4⋅12=12a 42， 又a 4＞0，b 5＞0， ∴a 4b 5=√2．故选：C ．12．已知数列{a n }满足a n+1=14(a n −6)3+6(n =1，2，3，⋯)，则（ ）A ．当a 1＝3时，{a n }为递减数列，且存在常数M ≤0，使得a n ＞M 恒成立B ．当a 1＝5时，{a n }为递增数列，且存在常数M ≤6，使得a n ＜M 恒成立C ．当a 1＝7时，{a n }为递减数列，且存在常数M ＞6，使得a n ＞M 恒成立D ．当a 1＝9时，{a n }为递增数列，且存在常数M ＞0，使得a n ＜M 恒成立 解：因为a n+1=14(a n −6)3+6，故a n+1−6=14(a n −6)3， 对于A ，若a 1＝3，可用数学归纳法证明：a n ﹣6≤﹣3，即a n ≤3， 证明：当n ＝1时，a 1﹣6＝﹣3≤﹣3，此时不等关系a n ≤3成立； 设当n ＝k 时，a k ﹣6≤﹣3成立， 则a k+1−6=14(a k −6)3∈(−54，−274)，故a k +1﹣6≤﹣3成立， 由数学归纳法可得a n ≤3成立．而a n+1−a n =14(a n −6)3−(a n −6)=(a n −6)[14(a n −6)2−1]，14(a n −6)2−1≥94−1=54＞0，a n ﹣6＜0，故a n +1﹣a n ＜0，故a n +1＜a n ，故{a n }为减数列，注意a k +1﹣6≤﹣3＜0，故a n+1−6=14(a n −6)3=(a n −6)×14(a n −6)2≤94(a n −6)，结合a n +1﹣6＜0， 所以6−a n+1≥94(6−a n )，故6−a n+1≥3(94)n−1，故a n+1≤6−3(94)n−1， 若存在常数M ≤0，使得a n ＞M 恒成立，则6−3(94)n−1＞M ， 故6−M 3＞(94)n−1，故n ＜1+log 946−M3，故a n ＞M 恒成立仅对部分n 成立， 故A 不成立．对于B ，若a 1＝5，可用数学归纳法证明：﹣1≤a n ﹣6＜0，即5≤a n ＜6， 证明：当n ＝1时，﹣1≤a 1﹣6＝﹣1≤0，此时不等关系5≤a n ＜6成立； 设当n ＝k 时，5≤a k ＜6成立，则a k+1−6=14(a k −6)3∈(−14，0)，故﹣1≤a k +1﹣6＜0成立， 即由数学归纳法可得5≤a k +1＜6成立．而a n+1−a n =14(a n −6)3−(a n −6)=(a n −6)[14(a n −6)2−1]，14(a n −6)2−1＜0，a n ﹣6＜0，故a n +1﹣a n ＞0，故a n +1＞a n ，故{a n }为增数列，若M ＝6，则a n ＜6恒成立，故B 正确．对于C ，当a 1＝7时，可用数学归纳法证明：0＜a n ﹣6≤1，即6＜a n ≤7， 证明：当n ＝1时，0＜a 1﹣6≤1，此时不等关系成立； 设当n ＝k 时，6＜a k ≤7成立，则a k+1−6=14(a k −6)3∈(0，14]，故0＜a k +1﹣6≤1成立，即6＜a k +1≤7 由数学归纳法可得6＜a n ≤7成立．而a n+1−a n =(a n −6)[14(a n −6)2−1]＜0，故a n +1＜a n ，故{a n }为减数列，又a n+1−6=(a n −6)×14(a n −6)2≤14(a n −6)，结合a n +1﹣6＞0可得：a n+1−6≤(a 1−6)(14)n ，所以a n+1≤6+(14)n ，若a n+1≤6+(14)n ，若存在常数M ＞6，使得a n ＞M 恒成立，则M −6≤(14)n 恒成立，故n ≤log 14(M −6)，n 的个数有限，矛盾，故C 错误．对于D ，当a 1＝9时，可用数学归纳法证明：a n ﹣6≥3即a n ≥9， 证明：当n ＝1时，a 1﹣6＝3≥3，此时不等关系成立； 设当n ＝k 时，a k ≥9成立， 则a k+1−6=14(a k −6)3≥274＞3，故a k +1≥9成立 由数学归纳法可得a n ≥9成立．而a n+1−a n =(a n −6)[14(a n −6)2−1]＞0，故a n +1＞a n ，故{a n }为增数列，又a n+1−6=(a n −6)×14(a n −6)2＞94(a n −6)，结合a n ﹣6＞0可得：a n+1−6＞(a 1−6)(94)n−1=3(94)n−1，所以a n+1≥6+3(94)n−1，若存在常数M ＞0，使得a n ＜M 恒成立，则M ＞6+3(94)n−1， 故M ＞6+3(94)n−1，故n ＜log 94(M−63)+1，这与n 的个数有限矛盾，故D 错误． 故选：B ．二.填空题：（本题有6道小题，每小题5分，共30分）13．已知函数f(x)=√3sinx −cosx ，则f(π3)= 1 ；若将f （x ）的图象向右平行移动π6个单位长度后得到g （x ）的图象，则g （x ）的一个对称中心为 (π3，0)（答案不唯一） ． 解：f(x)=√3sinx −cosx =2sin(x −π6)，f(π3)=2sin π6=1，则g(x)=2sin(x−π3)，取x−π3=kπ，k∈Z，即x=π3+kπ，k∈Z，取k＝0，x=π3，此时对称中心为(π3，0)．故答案为：1；(π3，0)（答案不唯一）．14．在△ABC中，若BC=3，AC=2√6，B=2A，则B＝arccos13．解：由正弦定理得BCsinA =ACsinB，即3sinA=2√6sin2A，所以cos A=√63，所以cos B＝cos2A＝2cos2A﹣1=13，因为0＜B＜π，所以B=arccos 1 3．故答案为：arccos 1 3．15．已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝﹣2，且a n+1＝a n+a n+2，n∈N*，则a5＝2；数列{a n}的前2023项的和为1．解：依题意，由a n+1＝a n+a n+2，可得a n+2＝a n+1﹣a n，则a1＝1，a2＝﹣2，a3＝a2﹣a1＝﹣2﹣1＝﹣3，a4＝a3﹣a2＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1，a5＝a4﹣a3＝﹣1﹣（﹣3）＝2，a6＝a5﹣a4＝2﹣（﹣1）＝3，a7＝a6﹣a5＝3﹣2＝1，a8＝a7﹣a6＝1﹣3＝﹣2，…∴数列{a n}是以6为最小正周期的周期数列，∵2023÷6＝337……1，∴a2023＝a1＝1，a1+a2+a3+a4+a5+a6＝1﹣2﹣3﹣1+2+3＝0，∴数列{a n}的前2023项的和为：a1+a2+…+a2023＝（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+（a7+a8+a9+a10+a11+a12）+…+（a2017+a2018+a2019+a2020+a2021+a2022）+a2023＝0+0+…+0+1＝1．故答案为：2；1．16．已知平面α和三条不同的直线m，n，l．给出下列六个论断：①m⊥α；②m∥α；③m∥l；④n⊥α；⑤n∥α；⑥n∥l．以其中两个论断作为条件，使得m∥n成立．这两个论断可以是①④（或③⑥）．（填上你认为正确的一组序号）解：由平面α和三条不同的直线m，n，l．①m⊥α；②m∥α；③m∥l；④n⊥α；⑤n∥α；⑥n∥l．得：若①m⊥α，④n⊥α，则由线面垂直的性质得m∥n，若③m∥l，⑥n∥l，则由平行公理得m∥n．∴以其中两个论断作为条件，使得m∥n成立．这两个论断可以是①④（或③⑥）．故答案为：①④（或③⑥）．17．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{a n}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1＝1，a5＝12，a9＝192，则a7＝48，数列{a n}的所有项的和为384．解：∵数列{a n}的后7项成等比数列，a n＞0，∴a7=√a5a9=√12×192=48，∴a3=a52a7=12248=3，∴公比q=√a5a3=√123=2．∴a4＝3×2＝6，又该数列的前3项成等差数列，∴数列{a n}的所有项的和为3(a1+a3)2+6×(26−1)2−1=3×(1+3)2+378＝384．故答案为：48；384．18．已知函数f(x)=λsin(π2x+φ)(λ＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图1所示，A，B分别为图象的最高点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于点A'，点C为该部分图象与x轴的交点．将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时|AB|=√10，则λ＝√3．给出下列四个结论： ①φ=π3；②图2中，AB →⋅AC →=5；③图2中，过线段AB 的中点且与AB 垂直的平面与x 轴交于点C ；④图2中，S 是△A 'BC 及其内部的点构成的集合．设集合T ＝{Q ∈S ||AQ |≤2}，则T 表示的区域的面积大于π4．其中所有正确结论的序号是 ②③ ． 解：在图2中，过B 作BD 垂直x 轴于D ， 由题意可得T =2ππ2=4，∴A ′D ＝2，∴A ′B =√λ2+4，∴AB =√A′B 2+AA′2=√2λ2+4=√10，解得λ=√3或λ=−√3（舍去），∴f （x ）=√3sin （π2x +φ），当x ＝0时，√3sin φ=√32，∵0＜φ＜π，∴φ=π6或φ=5π6，当φ=π6显然不符合图象的变化情况，故舍去， ∴φ=5π6，故①错误； 由题意可得AC =√3+1=2，BC ＝2， ∴cos ∠BAC =10+4−42√10×2=√104，∴AB →•AC →=|AB →|•|AC →|•cos ∠BAC =√10×2×√104=5，故②正确；∵AC ＝BC ＝2，∴过线段AB 的中点且与AB 垂直的平面与x 轴交于点C ，故③正确； ∵|AQ |≤2，二面角为直二面角可得|A ′Q |≤1，∴T 表示的区域的面积为π×12×∠BA′C 2π＜π4，故④错误． 故答案为：√3；②③．三.解答题：（本题有6小题，共72分）19．（10分）已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设c n ＝a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和． 解：（1）设{a n }是公差为d 的等差数列， {b n }是公比为q 的等比数列， 由b 2＝3，b 3＝9，可得q =b 3b 2=3， b n ＝b 2q n ﹣2＝3•3n ﹣2＝3n ﹣1； 即有a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27， 则d =a 14−a 113=2， 则a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1； （2）c n ＝a n +b n ＝2n ﹣1+3n ﹣1，则数列{c n }的前n 项和为[1+3+…+（2n ﹣1）]+（1+3+9+…+3n ﹣1）=12n •2n +1−3n 1−3＝n 2+3n−12．20．（10分）已知函数f （x ）＝A sin x cos x −√3cos2x 的一个零点为π6．（1）求A 和函数f （x ）的最小正周期；（2）当x ∈[0，π2]时，若f （x ）≤m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：（1）∵f （x ）＝A sin x cos x −√3cos2x =A2sin2x −√3cos2x 的一个零点为π6，∴f （π6）=A 2×√32−√32=0， ∴A ＝2，f （x ）＝sin2x −√3cos2x ＝2sin （2x −π3）， ∴T =2π2=π； （2）当x ∈[0，π2]时，2x −π3∈[−π3，2π3]，2sin （2x −π3）∈[−√3，2]，∴f （x ）max ＝2，∴m ≥2，即m ∈[2，+∞）．21．（12分）在△ABC 中，2asinB =√2b ．（1）求A；（2）若b=2√6，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．条件①：cosC=−√1010；条件②：a＝2；条件③：sinB=√55．注：如果选择了不合适的条件，则第（2）问记0分．解：（1）在△ABC中，2asinB=√2b⇒2sinAsinB=√2sinB，因为B∈（0，π），sin B＞0，所以2sinA=√2⇒sinA=√22，又A∈（0，π），所以A=π4或A=3π4．（2）若选①，即cosC=−√1010，则π2＜C＜π，所以0＜A＜π2，0＜B＜π2，sinC=3√1010，则A=π4，则sinB=sin(π−(A+C))=sin(A+C)=sin(π4+C)=√22×(−√1010)+3√1010×√22=√55，由正弦定理得：a sinA =bsinB=csinC，a=2655√22=2√15，c=26553√1010=6√3，则△ABC存在且唯一确定，△ABC面积为S=12acsinB=12×2√15×6√3×√55=18．若选②，即a＝2，又b=2√6，2asinB=√2b，所以sinB=√3，矛盾，所以②不成立．若选③，由sinB=√55，b=2√6，2asinB=√2b，得a=2√15，由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，当A=π4时，60＝24+c2﹣2bc cos A，得c2−4√3c−36=0⇒c=6√3或c=−2√3舍；当A=3π4时，60＝24+c2﹣2bc cos A，得c2+4√3c−36=0⇒c=2√3或c=−6√3舍，此时△ABC存在但不唯一确定，所以不合题意．22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝2，AB＝4，点E在线段AB上，且AE=34 AB．（1）求证：CE ⊥平面PBD ； （2）求二面角P ﹣CE ﹣D 的余弦值； （3）求点A 到平面PCE 的距离．解：（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥CE ， 因为AB ＝4，AE =34AB ，所以AE ＝3，BE ＝1， 所以ABAD=BC BE=2，∠ABC ＝∠EBC ，所以Rt △CBE ∽Rt △BAD ，所以BD ⊥CE ，又因为PD ⊥CE ，PD ∩BD ＝D ，PD ，BD ⊂平面PBD ， 所以CE ⊥平面PBD ；（2）因为PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥AD ，PD ⊥CD ，又因为ABCD 是矩形，AD ⊥CD ， 所以AD ，CD ，PD 两两垂直，如图建立空间直角坐标系D ﹣xyz ，则C （0，4，0），P （0，0，2），E （2，3，0），A （2，0，0）， 所以PC →=（0，4，﹣2），CE →=（2，﹣1，0）， 设平面PCE 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ）， 则有{n →⋅PC →=4y −2z =0n →⋅CE →=2x −y =0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝4，于是n →=（1，2，4），因为PD ⊥平面ABCD ，取平面CED 的法向量为m →=（0，0，1），则cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=41×1+4+16=4√2121，由图可知二面角P ﹣CE ﹣D 为锐角， 所以二面角P ﹣CE ﹣D 的余弦值为4√2121； （3）由（2）知AP →=（﹣2，0，2）， 而平面PCE 的一个法向量为n →=（1，2，4），所以点A 到平面PCE 的距离为|AP⋅n →||n →|=√1+4+16=2√217． 23．（14分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ＝1，BC ＝3． （Ⅰ）求证：AF ⊥CD ；（Ⅱ）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD 上是否存在点M ，使得直线CE ∥平面AFM ？若存在，求BM BD的值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）证明：∵四边形ADEF 为正方形， ∴AF ⊥AD ，又∵平面ADEF ⊥平面ABCD ， ∴AF ⊥平面ABCD ， ∴AF ⊥CD ；（Ⅱ）取BC 的三等分点G ，H 如图，连接EG ，可由EF ∥AD ，AD ∥BC ，得EF ∥BG ， 且EF ＝AD ＝BG ＝1，∴四边形BGEF 为平行四边形， ∴GE ∥BF ， ∵DE ∥AF ， ∴DE ⊥平面ABCD ， ∴平面EDC ⊥平面ABCD ， 作GN ⊥CD 于N ， 则GN ⊥平面EDC ， 连接EN ，则∠GEN 为GE 与平面EDC 所成的角， 在Rt △CGD 中，求得GN =2√5， 又GE ＝BF =√2， ∴sin ∠GEN =GNGE =√105，故直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值为：√105；（Ⅲ）连接FH ，易证四边形EFHC 为平行四边形， ∴EC ∥FH ， ∴EC ∥平面AFH ， 连接AH 交BD 于M ， 则CE ∥平面AFM ， 此时BM MD=BH AD=2，∴BM BD=23．24．（14分）设λ为正实数，若各项均为正数的数列{a n }满足：∀n ∈N *，都有a n +1≥a n +λ．则称数列{a n }为P （λ）数列．（Ⅰ）判断以下两个数列是否为P （2）数列： 数列A ：3，5，8，13，21； 数列B ：log 25，π，5，10．（Ⅱ）若数列{b n }满足b 1＞0且b n +1＝b n +√n +3−√n +1，是否存在正实数λ，使得数列{b n }是P （λ）数列？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．（Ⅲ）若各项均为整数的数列{a n }是P （1）数列，且{a n }的前m （m ≥2）项和a 1+a 2+a 3+⋯+a m 为150，求a m +m 的最小值及取得最小值时a m 的所有可能取值． 解：（Ⅰ）根据定义，P （2）数列应满足∀n ∈N *，a n +1≥a n +2， 即a n +1﹣a n ≥2恒成立，对于数列A ：有5﹣3＝2≥2，8﹣5＝3≥2，13﹣8＝5≥2，21﹣13＝8≥2， 均满足，∴数列A 是P （2）数列；对于数列B ：∵5﹣π＜2，不满足，∴数列B 不是P （2）数列； （Ⅱ）不存在正实数λ，使得数列{b n }是P （λ）数列． 理由如下：假设存在正实数λ，使得数列{b n }是P （λ）数列， 则∀n ∈N *，都有b n +1≥b n +λ，∴b n +1﹣b n ≥λ恒成立， ∵b n+1=b n +√n +3−√n +1， ∴b n +1﹣b n =√n +3−√n +1=2√n+3+√n+11√n ， 当n ＞1λ2时，b n +1﹣b n 1√n λ，这与假设矛盾，∴不存在正实数λ，使得数列{b n }是P （λ）数列； （Ⅲ）∵数列{a n }是P （1）数列，∴a n +1≥a n +1， ∴a m ≥a m ﹣1+1≥a m ﹣2+2≥…≥a 1+m ﹣1≥m ，∴a m ﹣1≤a m ﹣1，a m ﹣2≤a m ﹣1﹣1，a m ﹣3≤a m ﹣2﹣1≤a m ﹣3，…，a 2≤a 3﹣1≤a m ﹣（m ﹣2）， a 1≤a 2﹣1≤a m ﹣（m ﹣1），∴a 1+a 2+a 3+…+a m ≤ma m ﹣[1+2+3+…+（m ﹣1）]=ma m −m(m−1)2，∴150≤ma m −m(m−1)2，∴a m ≥150m +m 2−12， ∴a m +m ≥150m +m 2−12=30−12=592， ∵数列{a n }是整数数列，∴a m +m 的最小值不小于30， 假设a m +m ＝30，必有150m+3m 2−12≤30，解得253≤m ≤12，∵m ∈N *，∴m 可取9，10，11，12， 当m ＝9时，a m ＝21，存在满足条件的数列，a 1＝10，a 2＝14，a 3＝15，a 4＝16，a 5＝17，a 6＝18，a 7＝19，a 8＝20，a 9＝21， 当m ＝10时，a m ＝20，存在满足条件的数列，a 1＝6，a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14，a 5＝15，a 6＝16，a 7＝17，a 8＝18，a 9＝19，a 10＝20， 当m ＝11时，a m ＝19，存在满足条件的数列，a 1＝5，a 2＝10，a 3＝11，a 4＝12，a 5＝13，a 6＝14，a 7＝15，a 8＝16，a 9＝17，a 10＝18，a 11＝19， 当m ＝12时，a m ＝18，存在满足条件的数列，a 1＝7，a 2＝8，a 3＝9，a 4＝10，a 5＝11，a 6＝12，a 7＝13，a 8＝14，a 9＝15，a 10＝16，a 11＝17，a 12＝18， 以上都是a m +a n ＝30的充分条件， ∴a m +m 的最小值为30，此时取得最小值时a m 的所有可能取值为18，19，20，21．。
人教版数学高三期末测试精选(含答案)3
【答案】A
15．设 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，若 3S3 S2 S4 ， a1 2 ，则 a5
A． 12
B． 10
C．10
D．12
【来源】2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 I 卷)
【答案】B
16．若圆的半径为 4，a、b、c 为圆的内接三角形的三边，若 abc＝16 2 ，则三角形的
b
c
a
A．都大于 2
B．都小于 2
C．至少有一个不大于 2
D．至少有一个不小于 2
【来源】2015-2016 湖南常德石门一中高二下第一次月考文科数学卷（带解析)
【答案】D
5． ABC 中， A 、 B 、 C 的对边的长分别为 a 、 b 、 c ，给出下列四个结论： ①以 1 、 1 、 1 为边长的三角形一定存在；
人教版数学高三期末测试精选（含答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人 得分
一、单选题
1．在 ABC 中， a 2 3 0°或150
B． 60 或120
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【来源】2013-2014 学年河南省郑州一中高二上学期期中考试文科数学试卷（带解析)
【答案】C
21．在△ABC 中，如果 sin A : sin B : sin C 2 : 3 : 4 ，那么 cosC 等于 （ ）
2
A．
3
B． 2 3
【答案】D
10．在锐角 ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，a b cosC 3 c sin B ， 3
2018-2019学年北京市东城区人教版六年级上册期末测试数学试卷(无答案和有答案版)
2018－2019学年北京市东城区六年级（上）期末数学试卷一、直接写出下面各题的得数。
（5分）1.直接写出下面各题的得数。
1277+=2189⨯=3155-=7358÷=3148+=5263⨯=10.3÷=1239÷=32.48⨯=53175-⨯=二、填空。
（17分）2.在0.62、58、6.2%三个数中，最大的是____，最小的是____。
3.如果甲数比乙数多20%，那么甲数与乙数最简单的整数比是（）。
4.要开凿一条隧道，甲工程队单独施工需要12天，乙工程队单独施工需要15天，如果甲、乙两个工程队同时施工，需要_____天开凿完这条隧道。
5.如图，大圆的周长是12.56cm ，小圆的周长是_____。
6.如下图所示，圆的直径是8厘米，那么正方形的面积是（）平方厘米。
7.图中涂色部分与整个图形面积之间的关系分别用分数、最简单的整数比、百分数表示是：（）（）＝：＝%8.下图中阴影部分的面积是（）平方厘米。
9.如下图所示，将一张长方形纸对折，可得到1条折痕（图中虚线），继续对折，对折两次可得到3条折痕，对折三次可得到7条折痕，那么对折五次可得到（）条折痕，对折n 次可得到（）条折痕。
三、选择正确答案的序号填在括号里。
（14分）10.下面图形中，对称轴数量最多的是（）。
A.B.C.11.下列四个算式中，结果最大的是（）。
A.4152+ B.4152- C.4152⨯ D.4152÷12.下列算式中，等号左右两边不相等的是（）。
A.3399100155⨯=⨯-B.35×（79×811）＝（35×79）×811C.37735995⨯=⨯D.872872)599599--=-+（13.下面图（）中的阴影部分不是扇形。
A. B. C. D.14.六（1）班体育成绩合格的有38人，未合格的有3人。
计算这个班体育成绩合格率的正确列式是（）。
人教版数学高三期末测试精选(含答案)4
人教版数学高三期末测试精选（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=L ）A ．1624B ．1024C ．1198D ．1560【来源】2020届湖南省高三上学期期末统测数学（文)试题 【答案】B2．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +＜，则ABC ∆的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定【来源】海南省文昌中学2018-2019学年高一下学期段考数学试题 【答案】A3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ﹣b ＝c cos B ﹣c cos A ，则△ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【来源】江苏省常州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】D4．已知圆C 1：（x +a ）2+（y ﹣2）2=1与圆C 2：（x ﹣b ）2+（y ﹣2）2=4相外切，a ，b 为正实数，则ab 的最大值为( )A ．B ．94C ．32D ．2【来源】安徽省安庆市五校联盟2018-2019学年高二（上)期中数学（理科)试题 【答案】B5．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ）【来源】甘肃省兰州市第一中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学（文)试题 【答案】A6．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是 ( ) A ．116B ．103C ．56D ．53【来源】湖南省湘南三校联盟2018-2019学年高二10月联考文科数学试卷 【答案】D7．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【来源】广东省中山市第一中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题 【答案】C8．若不等式22log (5)0x ax -+>在[4,6]x ∈上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(,4)-∞）B ．20(,)3-∞ C ．(,5)-∞D ．29(,)5-∞【来源】重庆市七校(渝北中学、求精中学)2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】C9．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（ ） A ．采用第一种方案划算 B ．采用第二种方案划算 C ．两种方案一样D ．无法确定【来源】2020届广东省珠海市高三上学期期末数学（文)试题 【答案】B10．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，23434a a a +=，则5S =（ ）【来源】2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文)试题 【答案】A11．在ABC ∆中3AB =，5BC =，7AC =，则边AB 上的高为( )A B C D 【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B12．不等式220ax bx ++>的解集是()1,2-，则a b -=( ) A ．3-B ．2-C ．2D ．3【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B13．各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若224n n n a S a -=，则2019S 为( )A ．BC ．2019D ．4038【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A14．设m ，n 为正数，且2m n +=，则2312m n m n +++++的最小值为( ) A ．176B ．145 C ．114D ．83【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且314n n S a +=，则使不等式1000成立的n 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】C16．ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若1a =，b =4B π=，则A =( )A ．6π B ．56π C ．6π或56πD ．23π【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A17．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知46a =，36S =,则（ ） A ．410n a n =-B ．36n a n =-C ．2n S n n =-D ．224n S n n =-【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（理)试题 【答案】C18．在等差数列{}n a 中，652a a =，则17a a +=（ ） A ．0B ．1C ．2-D ．3【来源】2020届福建省三明市高三上学期期末质量检测文科数学试题 【答案】A19．若0,0,a b c d >><<则一定有（ ） A ．a b c d> B ．a b c d< C ．a b d c> D ．a b d c< 【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷带解析) 【答案】D20．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 满足：0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r1OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则△ABC 的周长是( )A ．B ．C ．3D ．6【来源】福建省晋江市季延中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题 【答案】A21．在ABC ∆中，60A =︒，1b =，则sin sin sin a b c A B C ++++的值为（ ）A ．1B ．2C D ．【来源】辽宁省实验中学分校2016-2017学年高一下学期期末数学(文)试题 【答案】B二、填空题22．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷) 【答案】923．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知5a ＝8b ，A ＝2B ，则sin B ＝_____．【来源】江苏省常州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】3524．如图,为测得河对岸塔AB 的高,先在河岸上选一点C,使C 在塔底B 的正东方向上,测得点A 的仰角为60°,再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D,测得∠BDC ＝45°,则塔AB 的高是_____.【来源】2014届江西省南昌大学附属中学高三第三次月考理科数学试卷（带解析) 【答案】1025．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ． 【来源】智能测评与辅导[文]-等比数列 【答案】6426．设x ，y 满足约束条件20260,0x y x y x y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则23z x y =-+的最小值是______.【来源】2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文)试题 【答案】9-27．已知数列{}n a 是等差数列，且公差0d <，()11a f x =+，20a =，()31a f x =-，其中()242f x x x =-+，则{}n a 的前10项和10S =________.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（文)试题 【答案】70-28．若x ，y 满足约束条件22020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最小值为________.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（文)试题 【答案】2-29．已知数列{}n a 满足11a =，()13N n n n a a n *+⋅=∈，那么数列{}n a 的前9项和9S =______.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（理)试题 【答案】24130．设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.已知2cos cos a B C=，则222a cb ac+-的取值范围为______.【来源】2020届吉林省通化市梅河口市第五中学高三上学期期末数学（理)试题【答案】()()0,2U三、解答题31．如图，在平面四边形ABCD 中，BC ＝3，CD ＝5，DA 2=，A 4π=，∠DBA 6π=．（1）求BD 的长： （2）求△BCD 的面积．【来源】江苏省常州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】（1）7；（2 32．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且 210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（I ）求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；(II)2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【来源】湖北省四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中)2018-2019学年高一下学期期中联考数学试题【答案】（Ⅰ）210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩（Ⅱ）2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元. 33．设集合A={x|x 2＜9}，B={x|（x-2）（x+4）＜0}． （1）求集合A∩B ；（2）若不等式2x 2+ax+b ＜0的解集为A ∪B ，求a ，b 的值．【来源】2013-2014学年广东阳东广雅、阳春实验中学高二上期末文数学卷（带解析) 【答案】（1）{x |3x 2}-＜＜（2）2,24a b ==- 34．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n n a na n ++-=+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）n S 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求证：223n S ≤<. 【来源】2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文)试题【答案】（1）12n n a +=（2）证明见解析 35．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C的对边，且满()(sin sin )sin )b a B A c B C -+=-.（1）求A 的大小；（2）再在①2a =，②4B π=，③=c 这三个条件中，选出两个使ABC V 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求ABC V 的面积. 【来源】2020届山东省滨州市高三上学期期末考试数学试题 【答案】（1）6A π=；（2）见解析36．设函数()22sin cos 3x x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，1AB =，2AC =，()2f A =-，且A 为钝角，求sin C 的值. 【来源】2020届浙江省嘉兴市高三上学期期末考试数学试题【答案】（1）5,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）1437．在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，60BCD ︒∠=，1cos 7D =-，2AD DC ==.(1) 求cos DAC ∠及AC 的长； (2) 求BC 的长.【来源】2020届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期期末考试数学（文)试题【答案】(1) cos 7DAC ∠=，7AC =；(2) 3 38．在ABC V 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin cos 2sin cos A B c bB A b-=.（1）求A ；（2）设5b =，ABC S =V 若D 在边AB 上，且3AD DB =，求CD 的长. 【来源】2020届福建省莆田市（第一联盟体)学年上学期高三联考文科数学试题【答案】（1）3π；（239．在ABC ∆中，45,B AC ︒∠==cos C =. （1）求BC 边长；（2）求AB 边上中线CD 的长.【来源】北京101中学2018-2019学年下学期高一年级期中考试数学试卷【答案】（1）（240．已知函数2()2()f x x mx m R =-++∈，()2x g x =. （1）当2m =时，求2()(log )f x g x >的解集；（2）若对任意的1[1,1]x ∈-，存在2[1,1]x ∈-，使不等式12()()f x g x ≥成立，求实数m 的取值范围.【来源】重庆市七校(渝北中学、求精中学)2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题【答案】（1）(0,2)（2）11[,]22-41．已知1x =是函数2()21g x ax ax =-+的零点，()()g x f x x=. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若不等式(ln )ln 0f x k x -≥在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若方程()3213021xxf k k ⎛⎫⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.【来源】天津市滨海新区2018-2019学年高一上学期期末检测数学试题【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ)(],0-∞；(Ⅲ)103k -<<．42．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos sin C c B =． （1）求角C 的大小（2）若c =ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长．【来源】天津市蓟州等部分区2019届高三上学期期末联考数学（文)试题【答案】（Ⅰ）3C π=．（Ⅱ）10+43．已知等差数列{}n a 中，首项11a =，523a a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若等比数列{}n b 满足13b =，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和n S . 【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1) 21n a n =-；(2) 1332n n S +-= 44．对于正项数列{}n a ，定义12323nn a a a na G n+++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“匀称”值.(1)若当数列{}n a 的“匀称”值n G n =，求数列{}n a 的通项公式； (2)若当数列{}n a 的“匀称”值2n G =，设()()128141n n nb n a +=--，求数列{}n b 的前2n 项和2n S 及2n S 的最小值.【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1) 21n n a n -=；(2)21141n S n =-+，4545．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin tan c B b C =.(1)求角C 的值；(2)若c =3a b =，求ABC ∆的面积.【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1)3C π=，(2)ABC S ∆=46．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足1cos cos a cB C b b-=-. （1）求角C 的大小；（2）若2c =，a b +=ABC V 的面积.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（文)试题【答案】（1）3C π=；（2）447．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos a B A =. （1）求A ；（2）若a =，ABC V 的面积为ABC V 的周长.【来源】2020届福建省三明市高三上学期期末质量检测文科数学试题试卷第11页，总11页 【答案】（1）3A π=（2）7+48．在正项数列{}n a中，11a =，()()2211121n n n n a a a a ++-=-，1n n nb a a =-. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求数列(){}22n n n a b -的前n 项和nT . 【来源】2020届吉林省通化市梅河口市第五中学高三上学期期末数学（理)试题【答案】（1）22n n a +=，2n n b =，（2）()()13144219n n n T n n +-+=++49．在ABC ∆中，10a b +=，cos C 是方程22320x x --=的一个根，求ABC ∆周长的最小值。
2023-2024学年北京市东城区高二上学期期末统一检测数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市东城区高二上学期期末统一检测数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为()A.B.C.D.2.已知空间中直线l 的一个方向向量，平面的一个法向量，则()A.直线l 与平面平行B.直线l 在平面内C.直线l 与平面垂直D.直线l 与平面不相交3.设F 为抛物线C ：的焦点，则F 到其准线的距离为()A.1 B.2 C.3D.44.已知是数列的前n 项和，，则()A.1B.3C.5D.85.双曲线的渐近线方程为()A.B.C.D.6.线上支付已成为当今社会主要的支付方式，为了解某校学生12月份A ，B 两种支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，对样本中仅用一种支付方式及支付金额的人数情况统计如下：支付金额元支付方式大于1000仅使用A 20人8人2人仅使用B10人6人4人从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，两人支付金额均多于500元的概率是()A.B.C.D.7.哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周，因英国天文学家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名.已知哈雷是1682年观测到这颗彗星，则人们最有可能观测到这颗彗星的时间为()A.2041年年B.2061年年C.2081年年D.2101年年8.在平面直角坐标系中，M ，N 分别是x ，y 轴正半轴上的动点，若以MN 为直径的圆与直线相切，则该圆半径的最小值为()A. B.1C.D.29.已知，则“，a ，b ，2为等比数列”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.曲线C：，其中m，n均为正数，则下列命题错误．．的是()A.当，时，曲线C关于中心对称B.当，时，曲线C是轴对称图形C.当，时，曲线C所围成的面积小于D.当，时，曲线C上的点与距离的最小值等于1二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷(理工类)
15.（本小题满分13分）
在 中，已知 ，
（Ⅰ）求 的长；
（Ⅱ）求 边上的中线 的长.
16.（本小题满分13分）
某日A,B,C三个城市18个销售点的小麦价格如下表：
销售点序号
所属城市
小麦价格（元/吨）
销售点序号
所属城市
小麦价格（元/吨）
所以 ，且 .
所以四边形 是平行四边形.
所以 .
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .…………………4分
（Ⅱ）因为侧面 是正方形，所以 .
又因为平面 平面 ，且平面 平面 ，
所以 平面 .所以 .
又因为 ，以 为原点建立空间直角坐标系 ，如图所示.
设 ，则 ，
.
（ⅰ）设平面 的一个法向量为 .
由 得 即 令 ，所以 .
1.已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
2.设复数 满足 ，则 =
A. B. C.2D.
3.执行如图所示的程序框图，若输入的 ，则输出的 =
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系 中，过 三点的圆被 轴
截得的弦长为
A. B. C. D.
5.将函数 的图象向右平移 个单位后，图象经过
点 ，则 的最小值为
（Ⅰ）求 点坐标和直线 的方程；
（Ⅱ）求证： .
20.（本小题满分13分）
已知 是由正整数组成的无穷数列，对任意 ， 满足如下两个条件：
① 是 的倍数；
② .
（Ⅰ）若 ， ，写出满足条件的所有 的值；
（Ⅱ）求证：当 时， ；
（Ⅲ）求 所有可能取值中的最大值.
2018-2019学年北京市东城区高一上学期期末考试地理试题(答案+解析)
北京市东城区2018-2019学年高一上学期期末考试本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，共页。
第一部分选择题一、单项选择题(共40题，每题1.5分，共60分)火星是地球的近邻，表面大气稀薄，大气成分以CO2为主，昼夜长短接近地球，而昼夜温差却超过100℃。
几十年来人类对火星的探测一直没有停止过，北京时间2018年11月27日火星探测器“洞察号”在火星着陆，它携带的主要仪器有地震测量仪、热流和物理性质探测仪等。
下图为“太阳系示意图”。
读图，完成下列小题。
1. 地球在图中的位置可以描述为A. 是太阳系中的一颗行星B. 位于小行星带中C. 是银河系中的一颗恒星D. 与金星、木星相邻2. 当某颗行星恰好运行至地球与太阳之间时，地球上就会看到有一个黑点从太阳圆面通过，这种现象称为凌日。
该现象发生的最低一级天体系统是A. 地月系B. 太阳系C. 银河系D. 河外星系3. 为推测火星是否存在生命，需要寻找的最关键证据是火星A. 体积适中B. 质量恰当C. 温度适宜D. 有液态淡水4. 火星探测器“洞察号”A. 可利用太阳活动产生的能量进行发电B. 在探测的过程中穿越了厚厚的火星大气层C. 与地球间的通讯可能受到太阳辐射的干扰D. 将根据地震波来实现探索火星内部形态【答案】1. A 2.B 3.D 4. D【解析】地球围绕太阳转动，是太阳系中的一颗行星，A对，BC错；与金星、火星相邻，D错。
【2题详解】根据题目提示“当某颗行星恰好运行至地球与太阳之间时，地球上的观察者就会看到有一个黑点从太阳圆面通过，这种现象称为凌日”，再结合太阳与八大行星的相对位置，太阳、水、金、地、火、木、土星等，则只有水和金星可能位于地球与太阳之间，所以在在地球上可以观察到水星凌日，金星凌日，水星和金星属于太阳系，B对，CD错。
月球是卫星，A错。
【3题详解】水是生命之源，有液态水就意味着生命的存在，D对，其余选项可排除。
东城区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
东城区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 已知点M （﹣6，5）在双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）上，双曲线C 的焦距为12，则它的渐近线方程为（）A ．y=±x B ．y=±x C ．y=±xD ．y=±x 2． 已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f （x+2）=f （x ）．当0≤x ≤1时，f （x ）=x 2．若直线y=x+a 与函数y=f （x ）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是（ ）A ．0B ．0或C ．或D ．0或3． 已知抛物线x 2=﹣2y 的一条弦AB 的中点坐标为（﹣1，﹣5），则这条弦AB 所在的直线方程是（ ）A ．y=x ﹣4B ．y=2x ﹣3C ．y=﹣x ﹣6D ．y=3x ﹣24． 抛物线y 2=8x 的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ）A ．1B ．C ．D ．5． 定义在（0，+∞）上的函数f （x ）满足：＜0，且f （2）=4，则不等式f （x ）﹣＞0的解集为（ ）A ．（2，+∞）B ．（0，2）C ．（0，4）D ．（4，+∞）6． 已知函数，函数，其中b ∈R ，若函数y=f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．7． 已知函数f （x ）=，则的值为（）A ．B ．C ．﹣2D ．38． 已知，则f{f[f （﹣2）]}的值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．89． 点A 是椭圆上一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，I 是△AF 1F 2的内心．若，则该椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．10．已知集合M={0，1，2}，则下列关系式正确的是（）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．{0}∈MB ．{0}MC ．0∈MD ．0M∉⊆11．设集合（）A ．B ．C ．D ．12．如图，△ABC 所在平面上的点P n （n ∈N *）均满足△P n AB 与△P n AC 的面积比为3；1， =﹣（2x n +1）（其中，{x n }是首项为1的正项数列），则x 5等于（）A ．65B ．63C ．33D ．31二、填空题13．若函数f （x ）=log a x （其中a 为常数，且a ＞0，a ≠1）满足f （2）＞f （3），则f （2x ﹣1）＜f （2﹣x ）的解集是 ．14．若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数在复平面内对应的点在12,z z y 12i z =-1212||z z z +（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【命题意图】本题考查复数的几何意义、模与代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力．15．在（x 2﹣）9的二项展开式中，常数项的值为 ．16．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】函数的单调递减区间为__________.()21ln 2f x x x =-17．如图所示，正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′的棱长为1，E 、F 分别是棱AA ′，CC ′的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB ′、DD ′交于M 、N ，设BM=x ，x ∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF ⊥平面BDD ′B ′；②当且仅当x=时，四边形MENF 的面积最小；③四边形MENF 周长l=f （x ），x ∈0，1]是单调函数；④四棱锥C ′﹣MENF 的体积v=h （x ）为常函数；以上命题中真命题的序号为 ．18．已知含有三个实数的集合既可表示成}1,,{aba ，又可表示成}0,,{2b a a +，则=+20042003b a .三、解答题19．已知{a n }为等比数列，a 1=1，a 6=243．S n 为等差数列{b n }的前n 项和，b 1=3，S 5=35．（1）求{a n }和{B n }的通项公式；（2）设T n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ，求T n ． 20．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于E ，过E 的切线与AC 交于D .（1）求证：CD ＝DA ；（2）若CE ＝1，AB ＝，求DE 的长．221．已知函数f （x ）=x 2﹣mx 在[1，+∞）上是单调函数．（1）求实数m 的取值范围；（2）设向量，求满足不等式的α的取值范围．22．（本小题满分14分）设函数，（其中，）.2()1cos f x ax bx x =++-0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦a b R ∈（1）若，，求的单调区间；0a =12b =-()f x （2）若，讨论函数在上零点的个数.0b =()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值、通过研究函数图象与性质，讨论函数的零点个数，考查考生运算求解能力、转化能力和综合应用能力，是难题.23．（本小题满分12分）已知分别是椭圆：的两个焦点，是椭圆上12,F F C 22221(0)x y a b a b+=>>P成等差数列．1122||,|||PF F F PF （1）求椭圆的标准方程；、C （2）已知动直线过点，且与椭圆交于两点，试问轴上是否存在定点，使得l F C A B 、x Q 716QA QB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．Q 24．本小题满分12分如图，在边长为4的菱形中，，点、分别在边、上．点ABCD 60BAD ∠=oE F CD CB 与点、不重合，，，沿将翻折到的位置，使平面E C D EF AC ⊥EF AC O =I EF CEF ∆PEF ∆PEF ⊥平面．ABFED Ⅰ求证：平面；BD ⊥POAⅡ记三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，且，求此时线段的长．P ABD -1V P BDEF -2V 1243V V =PO PACDO EF FEO DCA东城区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：∵点M（﹣6，5）在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上，∴，①又∵双曲线C的焦距为12，∴12=2，即a2+b2=36，②联立①、②，可得a2=16，b2=20，∴渐近线方程为：y=±x=±x，故选：A．【点评】本题考查求双曲线的渐近线，注意解题方法的积累，属于基础题．2．【答案】D【解析】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，∴当﹣1≤x≤0时，0≤﹣x≤1，f（﹣x）=（﹣x）2=x2=f（x），又f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的函数，又直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，其图象如下：当a=0时，直线y=x+a变为直线l1，其方程为：y=x，显然，l1与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点；当a≠0时，直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，由图可知，直线y=x+a与函数y=f（x）相切，切点的横坐标x0∈[0，1]．由得：x2﹣x﹣a=0，由△=1+4a=0得a=﹣，此时，x0=x=∈[0，1]．综上所述，a=﹣或0故选D．3．【答案】A【解析】解：设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=﹣2，x12=﹣2y1，x22=﹣2y2．两式相减可得，（x1+x2）（x1﹣x2）=﹣2（y1﹣y2）∴直线AB的斜率k=1，∴弦AB所在的直线方程是y+5=x+1，即y=x﹣4．故选A，4．【答案】A【解析】解：因为抛物线y2=8x，由焦点公式求得：抛物线焦点为（2，0）又双曲线．渐近线为y=有点到直线距离公式可得：d==1．故选A．【点评】此题主要考查抛物线焦点的求法和双曲线渐近线的求法．其中应用到点到直线的距离公式，包含知识点多，属于综合性试题．5．【答案】B【解析】解：定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：＜0．∵f（2）=4，则2f（2）=8，f（x）﹣＞0化简得，当x＜2时，⇒成立．故得x＜2，∵定义在（0，+∞）上．∴不等式f（x）﹣＞0的解集为（0，2）．故选B．【点评】本题考查了构造已知条件求解不等式，从已知条件入手，找个关系求解．属于中档题．6．【答案】D【解析】解：∵g（x）=﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣+f（2﹣x），由f（x）﹣+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当=时，h（x）=，有两个交点，当=2时，h（x）=，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=恰有4个根，则满足＜＜2，解得：b∈（，4），故选：D．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键． 7．【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=，∴f（）==﹣2，=f（﹣2）=3﹣2=．故选：A．8．【答案】C【解析】解：∵﹣2＜0∴f（﹣2）=0∴f（f（﹣2））=f（0）∵0=0∴f（0）=2即f（f（﹣2））=f（0）=2∵2＞0∴f（2）=22=4即f{f[（﹣2）]}=f（f（0））=f（2）=4故选C．9．【答案】B【解析】解：设△AF1F2的内切圆半径为r，则S△IAF1=|AF1|r，S△IAF2=|AF2|r，S△IF1F2=|F1F2|r，∵，∴|AF1|r=2×|F1F2|r﹣|AF2|r，整理，得|AF1|+|AF2|=2|F1F2|．∴a=2，∴椭圆的离心率e===．故选：B．10．【答案】C【解析】解：对于A、B，是两个集合的关系，不能用元素与集合的关系表示，所以不正确；对于C，0是集合中的一个元素，表述正确．对于D，是元素与集合的关系，错用集合的关系，所以不正确．故选C【点评】本题考查运算与集合的关系，集合与集合的关系，考查基本知识的应用11．【答案】B【解析】解：集合A中的不等式，当x＞0时，解得：x＞；当x＜0时，解得：x＜，集合B中的解集为x＞，则A∩B=（，+∞）．故选B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．12．【答案】D【解析】解：由=﹣（2x n+1），得+（2x n+1）=，设，以线段P n A、P n D作出图形如图，则，∴，∴，∵，∴，则，即x n+1=2x n+1，∴x n+1+1=2（x n+1），则{x n+1}构成以2为首项，以2为公比的等比数列，∴x5+1=2•24=32，则x5=31．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的三角形法则，考查了数学转化思想方法，训练了利用构造法构造等比数列，考查了计算能力，属难题．二、填空题13．【答案】 （1，2） ．【解析】解：∵f（x）=log a x（其中a为常数且a＞0，a≠1）满足f（2）＞f（3），∴0＜a＜1，x＞0，若f（2x﹣1）＜f（2﹣x），则，解得：1＜x＜2，故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．14．【答案】D【解析】15．【答案】 84 ．【解析】解：（x2﹣）9的二项展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x18﹣3r，令18﹣3r=0，求得r=6，可得常数项的值为T7===84，故答案为：84．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．0,116．【答案】()【解析】17．【答案】 ①②④ ．【解析】解：①连结BD，B′D′，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正确．②连结MN ，因为EF ⊥平面BDD ′B ′，所以EF ⊥MN ，四边形MENF 的对角线EF 是固定的，所以要使面积最小，则只需MN 的长度最小即可，此时当M 为棱的中点时，即x=时，此时MN 长度最小，对应四边形MENF 的面积最小．所以②正确．③因为EF ⊥MN ，所以四边形MENF 是菱形．当x ∈[0，]时，EM 的长度由大变小．当x ∈[，1]时，EM 的长度由小变大．所以函数L=f （x ）不单调．所以③错误．④连结C ′E ，C ′M ，C ′N ，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C ′EF 为底，以M ，N 分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C ′EF 的面积是个常数．M ，N 到平面C'EF 的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF 的体积V=h （x ）为常函数，所以④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．18．【答案】-1【解析】试题分析：由于，所以只能，，所以。