内蒙古赤峰市宁城县2015届高三3月统一考试(一模)数学(理)试题 Word版含答案

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内蒙古赤峰市宁城县2015届高三第三次模拟考试数学(理)试卷 Word版含答案

2015年宁城县高三年级统一考试（5.20）数学试卷（理科）注意事项：1、本试卷本分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）～（24）题为选考题，其它题为必考题.2、考生作答时，将答案答在答题卡上，写在本试卷上无效.3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}=01,2,3,4,5,6U ，，集合{}=0,1,2,3A ，{}=3,4,5B ，则(∁U A ) =B （A ）{}3 （B ）{}4,5 （C ）{}4,56，（D ）{}0,1,2 2 ．双曲线2213y x -=的渐近线方程为（A ）y = （B ）y x = （C ）2y x =± （D ）y x = 3．二项式621(2)x x+的展开式中，常数项的值是（A ）240 （B ）60 （C ）192 （D ）1804．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（A ）2)(x x f = （B ）xx f 1)(=（C ）x e x f =)(（D ）x x f sin )(=5．αβ，表示不重合的两个平面，m ，l 表示不重合的两条直线．若m αβ= ，l α⊄，l β⊄，则“l ∥m ”是“l ∥α且l ∥β”的（A ）充分且不必要条件（B ）必要且不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 6．若2(2)3ln 21a x dx x+=+⎰，则常数a 的值为（A ）1 （B ）2 （C ）-1 （D ）07．在ABC ∆中，2sin sin sin A B C =，π3A ∠=，则B ∠等于（A ）6π（B ）3π（C ）4π（D ）3π或23π 8．设函数()11sin 222f x x x πθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且其图像关于y 轴对称，则函数()y f x =的一个单调递减区间是()A 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()B ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()C ,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ()D 3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭9．在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为10. 已知12,F F 分别为椭圆22221(0)x ya b a b +=>>的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且2PF 垂直于x 轴．若122||2||F F PF =，则该椭圆的离心率为（A（B（C（D11. 在△ABC 中，AB=1，AC=2，120A ∠=︒，点O 是△ABC 的外心，存在实数,λμ，使AO AB AC λμ=+，则（A ）53,44λμ== （B ）45,36λμ== （C ）57,36λμ== （D ）43,34λμ==12. 已知函数()22211,,2(),()441ln 1,,2x x x f x g x x x x x ⎧+⎛⎫∈-∞- ⎪⎪⎪⎝⎭==--⎨⎡⎫⎪+∈-+∞⎪⎢⎪⎣⎭⎩，对于任意的a R ∈，存在实数b 使得()()0f a g b +=，则b 的取值范围是（A ）1ln,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ （B ）11,ln 2⎛⎤- ⎥⎝⎦ （C ）()1,5- （D ）[)1,5-2015年宁城县高三年级统一考试（5.20）数学试卷（理科）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第：24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题共4小题，每小题5分，共20分. 13．i 是虚数单位，复数iiZ -+=221，则=Z ． 14．某校举行的数学建模比赛，全体参赛学生的比赛成绩ξ近似服从正态分布2(70,)N σ，(0)σ>，参赛学生共600名.若ξ在()70,90内的取值概率为0.48，那么90分以上（含90分）的学生人数为 .15．设不等式组1,0,20y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一点M ，则点M 落在圆221x y +=内的概率为___________．16．设P 是函数()2()0f x x x x =+>的图像上任意一点，过点P 分别向直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅= ___________.三、解答题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17.（本小题满分12分）已知数列{n a }满足()()*11222,1n n n a a a n N n ++==∈+（I ）求{n a }的通项公式；（II ）设{n a }的前n 项和为n S ，证明：12311111n nS S S S n ++++≤+ .18．（本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（Ⅱ）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .19. （本小题满分12分）己知三棱柱111ABC A B C -，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，90BCA ∠=︒，2AC BC ==，又知11BA AC ⊥(Ⅰ)求证：1AC ⊥平面1A BC ；(Ⅱ)求二面角1A A B C --的余弦值.A1频率/组距20．（本小题满分12分）已知直线l 的方程是1y x =-和抛物线2:C x y =，自l 上任意一点P 作抛物线的两条切线，设切点分别为,A B ，（Ⅰ）求证：直线AB 恒过定点.（Ⅱ）求△P AB 面积的最小值.21．（本小题满分12分）已知bx ax x x f --=2ln )(．记()f x 的导函数是/()f x .(Ⅰ)若1a =-，函数()f x 在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；(Ⅱ) )(x f 的图象与x 轴交于))(0,(),0,(2121x x x B x A <)两点,AB 中点为0(,0)C x ，求证：0)(0<'x f ．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，ABC △内接于圆O ，AD 平分BAC ∠交圆O 于点D ，过点B 作圆O 的切线交直线AD 于点E .（Ⅰ）求证：EBD CBD ∠=∠；（Ⅱ）求证：AB BE AE DC ⋅=⋅.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2sin ρθ=. (Ⅰ)写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； (Ⅱ)已知点1M 、2M 的极坐标分别为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭和()2,0，直线12M M 与曲线2C 相交于,P Q 两点，射线OP 与曲线1C 相交于点A ，射线OQ 与曲线1C 相交于点B ，求2211OAOB+的值.24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数()|2||2|,f x x x a a R =---∈. （Ⅰ）当3a =时，解不等式()0f x >；（Ⅱ）当(,2)x ∈-∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围2015年宁城县高三年级统一考试（5.20）数学试卷（理科）参考答案一、选择题：BAAD CABC DABC 二、填空题：13、1；14、12；15、8π；16、1-. 三、解答题： 17．（Ⅰ）解： 12211231n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=⋅⋅⋅⋅⋅ ()()11*1132221122n n n n n n a n n N n n n --+-=⋅⋅⋅⋅=+∈-- -------------------5分（Ⅱ）()012122324212n n S n -=⋅+⋅+⋅+++ 设2n S =()12322324212nn ⋅+⋅+⋅+++⋅二式相减得()()()112122122221221221n n n n n S n n ----=++++-+⋅=+-+⋅-所以2n n S n =⋅ -----------------8分因为()0111nn n C C +=++ ，所以1n ≥时，21n n ≥+（直接写21n n ≥+不扣分）所以()11111211n n S n n n n n =≤=-⋅⋅++ ---------------10分所以123111111111111223111n n S S S S n n n n ++++≤-+-++-=-=+++ -----12分（当且仅当1n =时等号“=”成立）18．解（1）设天未来连续，个日销售量低于，个日销售量不低于3{B }50{A }100{A 21===里有连续2天的日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个.所以分（2）X 可能的取值为0,1,2,3，相应的概率为分分布列为:-----------8分72.06.016.03D 8.16.03E 6.0,3B ~=-⨯⨯==⨯=）（）（，）（），所以（因为X X X---------------------------------------12分 19.解（Ⅰ）︒=∠90BCA 得AC BC ⊥，因为⊥D A 1底ABC ，所以BC D A ⊥1 又D AC D A = 1，所以⊥BC 面AC A 1，所以1AC BC ⊥因为11AC BA ⊥，B BC BA = 1，所以⊥1AC 底BC A 1 ……………………4分 (Ⅱ)以C 为坐标原点，射线CA ，CB 为别为,x y 轴，过C 垂直于底面ABC 的直线为z 轴建立空间直线坐标系（如图），---------------5分由（Ⅰ）知平面1A BC 的法向量为(()(12,0,0AC =--=-，-----6分()((10,2,01,2,A B =-=-，()()()0,2,02,0,02,2,0AB =-=-设平面1ABA 的法向量为()000,,m x y z =，则10,0m A B m AB ⋅=⋅= 即0000020220x y x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，从而m ⎛= ⎝ --------------------------9分1111cos ,m AC m AC m AC ===分因为1,m AC 均指向1A A B C --外部，所以二面角1A A B C -------12分20．（Ⅰ）证明：设()()()22112200,,,,,A x x B x x P x y因为()/'22y xx ==，所以切线PA 的方程是()21112y x x x x -=-即2112y x x x += ①，同理切线PB 的方程是2222y x x x += ②--------3分由①②得0120122,x x x y x x =+=，显然直线AB 存在斜率. 设直线AB 的方程是y kx b =+，代入2x y =得20x kx b --=所以1212,x x k x x b +==-，即00,2kx y b ==-，③ 代入001y x =-得12kb -=--------------------------------------------5分即直线AB 的方程是112y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，恒过定点1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭-------------6分====分点P 到直线AB的距离是d 分△PAB 的面积()3322221112413244AB d k k k =⋅=⋅-+=-+≥当1k=时△PAB -----------------------12分 21解(1)依题意：2()ln f x x ax bx =--．∴1()2f x x b x'=+- ∵()f x 在(0,)+∞上递增，∴1()20f x x b x'=+-≥对(0,)x ∈+∞恒成立，即12b x x ≤+对(0,)x ∈+∞恒成立，只需min 1(2)b x x≤+． ---------- 3分 ∵0x >，∴12x x+≥x =时取“＝”，∴b ≤b的取值范围为(,-∞． ------------------- 5分(2)由已知得221111111222222222()ln ln ()ln ln f x x ax bx x ax bx f x x ax bx x ax bx ⎧⎧=--=+⎪⎪⇒⎨⎨=--=+⎪⎪⎩⎩ 两式相减，得11212122ln()()()x a x x x x b x x x =+-+-112122ln ()[()]xx x a x x b x ⇒=-++．由1()2f x ax b x'=--及0122x x x =+，得 10012012121221221()2[()]ln x f x ax b a x x b x x x x x x x x '=+-=-++=-++-11212111212212222(1)2()11[ln ][ln ](1)xx x x x x x x x x x x x x x x --=-=--+-+------------8分令()()()1221.ln 011t x t t t t x t ϕ-==-<<+． ∵()()()2/101t t t t ϕ-=-<+，∴()t ϕ在(0,1)上递减，---------10分 ∴()(1)0t ϕϕ>=．又12x x <，0()0f x '∴< ------------- 12分22. （1）∵BE 为圆O 的切线，∴∠EBD =∠BAD ………………2分又∵AD 平分∠BAC ∴∠EBD =∠CAD ………………4分又∵∠CBD =∠CAD ∴∠EBD =∠CBD …………5分（2）在△EBD 和△EAB 中，∠E =∠E ，∠EBD =∠EAB ∴△EBD ∽△EAB ………………7分 ∴BE BDAE AB=∴AB •BE =AE •BD ………9分又∵AD 平分∠BAC ∴BD =DC故AB •BE =AE •DC ………………10分23.解：（1）曲线1C 的普通方程为2214x y +=，11 化成极坐标方程为2222cos sin 14ρθρθ+= -----------3分曲线2C 的直角坐标方程为()2211x y +-= ……………5分（2）在直角坐标系下，()10,1M ，()22,0M ，线段PQ 是圆()2211x y +-=的直径 ∴90POQ ∠= 由OP OQ ⊥ 得OA OB ⊥ ,A B 是椭圆2214x y +=上的两点，在极坐标下，设()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 分别代入222211cos sin 14ρθρθ+=中，有222211cos sin 14ρθρθ+=和222222cos 2sin 142πρθπρθ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭++= ⎪⎝⎭22211cos sin ,4θθρ∴=+ 22221sin cos 4θθρ=+ 则22121154ρρ+=，即221154OA OB +=. ……………10分24．解：（1）1, 23()53, 2231, 2x x f x x x x x ⎧⎪->⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-<⎪⎩ (2)分 210, 1,35352530, ,2323x x x x x x x >-><∅≤≤-><≤<当时，即解得当时，即解得3310, 1,122x x x x <->><<当时，即解得513x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭不等式解集为 ……………………6分（2）22|2|02|2|23a x x a x x a x a x +---<⇒-<-⇒<->或恒成立即4a ≥ ……………10分。

内蒙古赤峰市宁城县高三数学下学期第三次统一模拟考试

宁城县高三年级统一考试(2016.03.20)数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1页～第2页，第II 卷第3页～第6页.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．全卷满分150分,考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分） 1．若集合{}2,1,0,1,2Α=--，{}2|1Βx x =>，则=ΑΒI（A ）{|11}x x x <->或（B ）{}2,2- （C ）{}2 （D ）{0} 2.已知i 为虚数单位，复数12z i =+，z 与z 共轭，则zz 等于(A) 3(B) 3 (C) 5(D) 53.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是(A)y x =(B) 1y x =(C) 1()2xy = (D) 12log y x = 4．设a,b 为向量，则“g a b a b =”是“//a b ”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是6.若,x y 满足0,30,30,y x y kx y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≥⎩且2z x y =+的最大值为4，则k 的值为（D ）（C ）（B ）（A ）(A)32-(B) 32 (C)23- (D)237.先将函数sin 2y x =的图像向右平移3π个单位长度，再作所得的图像关于y 轴的对称图形，则最后函数图像的解析式为（A ）sin(2)3y x π=-+（B ）2sin(2)3y x π=-+（C ）2sin(2)3y x π=-- （D ）sin(2)3y x π=--8. 设F 1、F 2是双曲线1422=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2=90°，则 △PF 1F 2的面积是（A ）2 （B ）1 （C ）25（D ）5 9. 在△ABC 中，AB=AC ，M 为AC 的中点，BM=3，则△ABC 面积的最大值是（A ）2 （B ）2 （C ）32（D ）3 10．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.若对于常数λ，在正方形的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅uu u r uu u r成立，那么λ的取值范围是（A ）(0,7) （B ）(4,7) （C ）(0,4) （D ）(5,16)- 11. 四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的球面上, 2AB = ，1BC CD ==, 60BCD ∠=o ,AB ⊥平面BCD ,则球O 的表面积为（A ）8π （B ）823π （C ）83π （D ）163π 12．已知函数2y x =的图象在点()200,x x 处的切线为l ，若l 也与函数ln y x =，)1,0(∈x 的图象相切，则0x 必满足（A ）012x <<0 （B ）012x <<1 （C ）2220<<x （D ）023x <<宁城县高三年级统一考试(2016.03.20)数学试题（理科）第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13．在261(2)x x-的展开式中，常数项是（用数字作答）. 14. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是 ;15．现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种. 16．在下列命题中：①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等； ②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等；③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等； ④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等. 其中真命题为____________三、解答题（共6小题，满分70分） 17.（本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和12a a S n n -=，且41+a 是32,a a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 的前n 项和n T ，求证：122n T ≤<.18．（本题满分12分）某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N (168，16).现从某学）频率O校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm 和184 cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组 [160，164]，第二组[164，168]，…，第6组[180，184]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；（Ⅱ）求这50名男生身高在172 cm 以上（含172 cm ）的人数；（Ⅲ）在这50名男生身高在172 cm 以上（含172 cm ）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若2(,)N ξμσ-．则()p μσξμσ-<≤+=0.6826，(22)p μσξμσ-<≤+=0.9544,(33)p μσξμσ-<≤+=0.9974.19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=o ，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=o ,2AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PM PD的值.20．（本题满分12分）已知点O 为坐标原点，椭圆C 2222:1(0)x y a b a b +=>>,点1)2在椭圆C 上．直线l 过点(1,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点．（I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）椭圆C 上是否存在一点P ，使得OA OB OP +=uu r uur uur？若存在，求出此时直线l 的方程，若不存在，说明理由．F CADPMB E21.（本小题满分12分）已知函数a x x a x x x f +--=22ln )(（a ∈R ）在其定义域内有两个不同的极值点. (Ⅰ)求a 的取值范围；(Ⅱ)记两个极值点分别为1x ，2x ，且21x x <.已知0>λ,若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立,求λ的范围.四、选做题请考生在22,23,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑.22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点[来D ，F 为BD 中点，连接AF 交CH 于点E ，E F HCBOAD（Ⅰ）求证：∠BCF=∠CAB ；（Ⅱ）若FB=FE=1，求⊙O 的半径．23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为121x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24(sin cos )40ρρθθ-++=，. （Ⅰ）写出直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l 与曲线C 交点的极坐标(0,02)ρθπ≥≤<24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知,,a b c R ∈，且2221a b c ++=．（1）求证：a b c ++≤；（2）若不等式211()x x a b c -++≥++对一切实数,,a b c 恒成立，求x 的取值范围．宁城县高三年级统一考试(2016.03.20)数学试题（理科）参考答案一、选择题：BDAC BACB ACDD二、填空题：13、60; 14、0; 15、54； 16、①②③④. 三、解答题17. 解（1）由已知12a a S n n -=，有)1(2211>-=-=--n a a S S a n n n n n ，即)1(21>=-n a a n n .------------------2分从而122a a =，134a a =.又因为41+a 是32,a a 的等差中项，即321)4(2a a a +=+.解得21=a .----------3分所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列.故nn a 2=. ..........4分（2）由（1）得n n n a n 2=，所以n n n T 223222132+⋅⋅⋅+++=， 12223112-+⋅⋅⋅+++=n n nT 两式相减 2111()1112212122222212nn n n n nn n n T --+=+++⋅⋅⋅+-=-=--. ..............8分因为22n n +-132n n ++=1102n n ++>,所以数列22n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭递减.............10分即23022nn +<≤,从而122n T ≤< .............12分 18.解：（Ⅰ）由直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为72.1684)100118210021781002174100817010071661005162(=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，高于全市的平均值168（或者：经过计算该校高三年级男生平均身高为168.72，比较接近全市的平均值168）. …………………………………………………………（4分）（Ⅱ）由频率分布直方图知，后三组频率为（0.02+0.02+0.01）×4＝0.2，人数为0.2×5＝10，即这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人数为10人. ……………（6分）（Ⅲ）Θ4 997.0)4316843168(=⨯+≤<⨯-ξP ，0013.029974.01)180(=-=≥∴ξP ，0.0013×100 000=130. 所以，全市前130名的身高在180 cm 以上，这50人中180 cm 以上的有2人. 随机变量ξ可取0,1,2，于是4528)0(21028===C C P ξ,4516)1(2101218===C C C P ξ,451)2(21022===C C P ξ 5245124516145280=⨯+⨯+⨯=∴ξE . ………………………………12分 19.（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=o ，所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. 因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=o ，所以PA ⊥底面ABCD . ………………3分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………4分又因为PA AC A =I ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………5分（Ⅱ）因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),A B C(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)P D E -，所以(2,0,2)PB =-u u u r ，(2,2,2)PD =--u u u r，D(2,2,0)BC =-u u u r， ………………7分设([0,1])PMPDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--u u u u r ，所以(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--u u u r，易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m . ………………8分设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，由0BC ⋅=u u u r n ，0PB ⋅=u u u r n ，得220,220,x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 令1x =, 得(1,1,1)=n . ………………9分因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos ,||cos ,|ME ME <>=<>u u u r u u u r m n ，即||||||||||||ME ME ME ME ⋅⋅=⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u rm n m n ， ………………11分所以|22||λ-=，解得λ=λ=. ………………12分 20.解：（I）由题意得22222311,4.c e a ab a bc ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得224,1a b ==.所以椭圆C 的方程为22 1.4x y += …………………………..5分（Ⅱ）（1）当直线l 与x 轴垂直时，点(2,0)P ，直线l 的方程为1x = 满足题意；----6分（2）当直线l 与x 轴不垂直时，设直线:l y kx m =+，显然0,0k m ≠≠.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将y kx m =+代入22 1.4x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=，2221228(8)4(41)(44)0,.41kmkm k m x x k -∆=-+->+=+()121222241my y k x x m k +=++=+．----------------------------------8分由直线:l y kx m =+(0,0)k m ≠≠，过点(1,1)，得1m k =-，因此1212228(1)2(1),4141k k k x x y y k k --+=+=++． ()1212228(1)2(1),,4141k k k OP OA OB x x y y k k --⎛⎫=+=++= ⎪++⎝⎭uur uu r uur 22222218(1)2(1)4(1)14414141k k k k k k k ---⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭-----------------10分 ()224141k k -=+，得35,.88k m ==满足0.>V所以直线l 的方程为3588y x =+．综上，椭圆C 上存在点P ，使得OA OB OP +=uu r uur uur成立，此时直线l 的方程为 3588y x =+或1x = . ……………………………………….12分21．解：(Ⅰ)函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以方程()0f x '=在(0,)+∞有两个不同根.即，方程ln 0x ax -=在(0,)+∞有两个不同根.…1分转化为，函数ln y x =与函数y ax =的图像在(0,)+∞上有两个不同交点，………3分可见，若令过原点且切于函数ln y x =图像的直线斜率为k ，只须0a k <<. 令切点00A(,ln )x x ，所以001|x x k y x ='==，又00ln x k x =，所以000ln 1x x x =，解得，0x e =，于是1k e =，所以10a e<<.……………………………6分（Ⅱ）因为112ex x λλ+<⋅等价于121ln ln x x λλ+<+.由（Ⅰ）可知12,x x 分别是方程ln 0x ax -=的两个根，即11ln x ax =，22ln x ax = 所以原式等价于121ax ax λλ+<+12()a x x λ=+，因为0>λ，120x x <<，所以原式等价于121a x x λλ+>+.………………7分又由11ln x ax =，22ln x ax =作差得，1122ln ()x a x x x =-，即1212lnx x a x x =-. 所以原式等价于121212ln1x x x x x x λλ+>-+，因为120x x <<，原式恒成立，即112212(1)()lnx x x x x x λλ+-<+恒成立.令12x t x =，(0,1)t ∈，则不等式(1)(1)ln t t t λλ+-<+在(0,1)t ∈上恒成立. …………………………8分令(1)(1)()ln t h t t t λλ+-=-+，又221(1)()()h t t t λλ+'=-+22(1)()()t t t t λλ--=+, 当21λ≥时,可见(0,1)t ∈时,()0h t '>,所以()h t 在(0,1)t ∈上单调增,又(1)0h =， ()0h t <在(0,1)t ∈恒成立,符合题意. ………………………………10分当21λ<时, 可见2(0,)t λ∈时,()0h t '>, 2(,1)t λ∈时()0h t '<,所以()h t 在2(0,)t λ∈时单调增,在2(,1)t λ∈时单调减, 又(1)0h =, 所以()h t 在(0,1)t ∈上不能恒小于0,不符合题意,舍去.综上所述, 若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立,只须21λ≥,又0λ>,所以1λ≥.…12分22. （Ⅰ）证明：因为AB 是直径，所以∠ACB＝90°又因为F 是BD 中点，所以∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB因此∠BCF=∠CAB ……………………5分（Ⅱ）解：直线CF 交直线AB 于点G ，由FC=FB=FE 得：∠FCE=∠FEC可证得：FA ＝FG ，且AB ＝BG由切割线定理得：（1＋FG ）2＝BG×AG=2BG 2 ……①在Rt△BGF 中，由勾股定理得：BG 2＝FG 2－BF 2 ……②由①、②得：FG 2-2FG-3=0解之得：FG 1＝3，FG 2＝－1（舍去）所以AB ＝BG＝所以⊙O………10分 G E F H C B O AD23. 解：（Ⅰ）将1212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去参数t ，化为普通方程20x y +-=再将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入20x y +-=，得cos sin 2ρθρθ+=…………………5分（Ⅱ）联立直线l 与曲线C 的极坐标方程2cos sin 24(sin cos )40ρθρθρρθθ+=⎧⎨-++=⎩因为0,02ρθπ≥≤<，所以可解得1120ρθ=⎧⎨=⎩或2222ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，因此l 与C 交点的极坐标分别为(2,0)，(2,)2π．……………………………10分 24. 证明：（Ⅰ）()2222222a b c a b c ab bc ca ++=+++++ ()222123a b c ≤+++=-------------------------------------4分所以a b c ++≤-------------------------------5分当且及仅当a b c ==时等号成立。

内蒙古赤峰市宁城县高三数学3月统一练习试题文

第I 卷（选择题共60分）参考公式：样本数据x 1，x 2，，x n 的标准差锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x ns m -++-+-=Sh V 31= 其中x 为标本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积、体积公式V=ShS=4πR 2，V=34πR 3其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.1．已知U 为实数集，M={x|x 2-2x<0},N={x|y=1-x },则M ∩N= （）（A ）{|01}x x << （B ）{}|12x x ≤< （C ）{}|1x x ≥ （D ）∅2、复数211ii ++的值是（）（A ）－21 （B ）21（C ）21i+ （D ）21i- 3．若a b >，则下列不等式正确的是（）（A ）33a b > （B ）22a b > （C ）a b > （D ）11a b< 4. 设{}n a 是等差数列，若24a =，57a =，则数列{}n a 的前10项和为（）（A ）12 （B ）60 （C ）75 （D ）120 5．已知向量(2,1),10,||52,||a a b a b b =⋅=+=则=（）（A （B （C ）5（D ）256. ABC ∆中，3A π∠=，3BC =，AB =，则C ∠=（）（A ）6π （B ）4π （C ）34π （D ）4π或34π7．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（）(Ａ)430x y --= (Ｂ)450x y +-= (Ｃ)430x y -+= (Ｄ)430x y -+=8．如果执行右面的程序框图，那么输出的t =（）（A ）96 （B ）120 （C ）144 （D ）3009．甲乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x x 乙甲，，则下列正确的是( )（A ）x x <乙甲；甲比乙成绩稳定（B ）x x >乙甲；乙比甲成绩稳定（C ）x x >乙甲；甲比乙成绩稳定（D ）x x <乙甲；乙比甲成绩稳定10．函数y=Asin(B x ++)ψω(A>0, ),2||,0R x ∈<>πψω的部分图象如图所示，则函数的表达式为（）（A ）1)63sin(2+-=ππx y （B ）1)36sin(2+-=ππx y（C ）1)63sin(2++=ππx y（D ）1)36sin(2++=ππx y左视图俯视图主视图11．过抛物线y2=8x的焦点作直线L交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标为4，则|AB|等于（）（A）14 （B）12 （C）10 （D）812．已知球的直径SC=4，A,B是该球球面上的两点，AB=ASC BSC45∠=∠=︒，则棱锥S-ABC的体积为（）（A）6（B）8（C）163（D）832012年宁城县高三年级统一考试（3.10）数学试卷（文科）第Ⅱ卷非选择题（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上）13．双曲线的焦点在x轴上，中心为原点，若其中一条渐近线的方程为20x y+=，则它的离心率为____________________.14. 设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）. 则该几何体的体积为3m15. 已知14x y-<+<且23x y<-<，则23z x y=-的取值范围是_______（答案用区间表示）16．有下列命题①,αβ∃，使cos()cos cosαβαβ+=+成立；②0,0,m n∃>>使()222log log logm n m n+=+成立；③()0,x∀∈+∞，都有23x x<成立；④0,,2xπ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭都有sinx x>成立请把正确命题的代号写在横线上_________________________.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知在等比数列{}na中，252128a a==，，（Ⅰ）求数列{}na的通项公式;（Ⅱ）若2logn nb a=，求数列{}nb前n项和nS的公式.18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB. （Ⅰ）求证：CE⊥平面PAD；（Ⅱ）若PA=AB=1，AD=3，CD=2，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积19．（本小题满分12分）某水泥厂甲、乙两个车间包装水泥，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：甲102 101 99 98 103 98 99乙110 115 90 85 75 115 110 (Ⅱ)从甲中任取一个数据x（x≥100），从乙中任取一个数据y（y≤100），求满足条件|x-y|≤20的概率．20．（本小题满分12分）已知点(1,0)A -，(1,0)B ，动点P 满足||||PA PB +=P 的轨迹为W ．（Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）直线1y kx =+与曲线W 交于不同的两点C ，D ，若存在点(,0)M m ，使得CM DM =成立，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数.ln )(xax x f -= （1）求函数)(x f 的单调增区间；（2）若函数a e x f 求实数上的最小值为在,23],1[)(的值.四、选考题：（本小题满分10分）请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4－1：几何证明选讲在ABC ∆中，AB=AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D. （1）求证：BDPDAC PC =；（2）若AC=3，求AD AP ⋅的值.23．选修4—4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1,5)-，点M 的极坐标为(4,)2π，若直线l 过点P ，且倾斜角为3π，圆C 以M 为圆心、4为半径. （1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；（2）试判定直线l 和圆C 的位置关系.24．选修4—5：不等式选讲已知函数()|21||23|.f x x x =++-（I ）求不等式6)(≤x f 的解集；（II ）若关于x 的不等式a x f >)(恒成立，求实数a 的取值范围.2012年宁城县高三年级统一考试（3.10）数学试卷（文）参考答案一．选择题：BBAC CBAB DABD二．填空题：13、5； 14、2； 15、()3,8； 16. ①②③④18．解.(1)证明:因为PA ⊥平面ABCD,CE ⊂平面ABCD,所以PA ⊥CE, 因为AB ⊥AD,CE ∥AB, 所以CE ⊥AD,又PA ⋂AD=A, 所以CE⊥平面PAD .------------------------------5分(2)解:由(1)可知CE ⊥AD,在直角三角形ECD 中,DE=CD cos 451⋅=,CE=CD sin 451⋅=. 又因为AB=CE=1,AB ∥CE,所以四边形ABCE 为矩形, 所以ABCD ABCE BCD S S S ∆=+=12AB AE CE DE ⋅+⋅=15121122⨯+⨯⨯=,------------------9分又PA ⊥平面ABCD,PA=1,所以四棱锥P-ABCD 的体积等于115513326ABCD S PA ⋅=⨯⨯=--------------------12分19. （Ⅰ）；--------------2分；-----------------4分；------------------------6分.∵，故甲车间产品比较稳定.-----------------------8分（3）所有可能的情况有：（102,90）,(102,85),(102,75),(101,90),(101,85), (101,75),(103,90),(103,85),(103,75),不满足条件的有：（102，75），（101，75），（103，75） ---------10分所以P(20||≤-y x )=1-3231=-------------------12分21解：（I ）由题意，.1)(),,0()(22xax x a x x f x f +=+='+∞且的定义域为 ……1分 ①当),0()(,0)(,0+∞∴>'≥的单调增区间为时x f x f a …………3分②当).,()(,,0)(,0+∞-∴->>'<a x f a x x f a 的单调增区间为得令时 ………5分（II ）由（I ）可知，2)(x ax x f +=' ①若],1[)(,],1[0)(,0,1e x f e x f a x a 在上恒成立在即则≥'≥+-≥上为增函数，23,23)1()]([min -=∴=-==∴a a f x f （舍去）. …………7分 ②若],1[)(,],1[0)(,0,e x f e x f a x e a 在上恒成立在即则≤'≤+-≤上为减函数，2,231)()]([min ea e a e f x f -=∴=-==∴（舍去）. …………9分③若),1()(,0)(,1,1a x f x f a x a e -∴<'-<<-<<-在时当上为减函数， eaa a f x f e a x f x f e x a -=∴=+-=-=∴-∴>'<<-,231)ln()()]([,),()(,0)(,min上为增函数在时当综上所述，e a -= ………………12分23．解:（1）直线l 的参数方程是11,235x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，t 为参数，圆C 的极坐标方程是8sin ρθ=.----------------5分（2）圆心的直角坐标是(0,4)，直线l 3530x y --=，圆心到直线的距离0453934231d ---==>+，所以直线l 和圆C 相离. --10分 24．解：（I ）原不等式等价于313222(21)(23)6(21)(23)6x x x x x x ⎧⎧>-≤≤⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-≤+--≤⎩⎩或或12(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩ ----------3分解，得3131212222x x x <≤-≤≤-≤<-或或即不等式的解集为}21|{≤≤-x x --------------------------- 6分（II ）4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x----------------- 8分 4<∴a --------------------------------- 10分本题考查带有绝对值的不等式的解法、不等式的恒成立问题.本题的不等式的解法也可以根据几何意义求解，不等式6)(≤x f ，等价于13322x x ++-≤，其几何意义是数轴上的点x 到点12,23-距离之和不大于3，根据数轴可知这个不等式的解区间是[]1,2-.用心爱心专心11。

内蒙古赤峰市宁城县2015届高三3月统一考试(一模)数学(理)试题

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1页～第2页，第II 卷第3页～第6页.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．全卷满分150分,考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）1．设集合}032|{2<--=x x x M ,}0log |{21<=x x N ，则N M 等于（A ）)1,1(- （B ）)3,1( （C ）)1,0( （D ）)0,1(-2. 若复数i Z +=11, i Z -=32,则=12Z Z （A ）1i + （B ）12i + （C ）12i - （D ）22i -3．双曲线22a x -22by =1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为（A ） 2 （B ）3（C ）2（D ）23 4．已知向量(2,1)=a ，(,)x y =b ，则“4x =-且2y =-”是“∥a b ”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件5. 如右图所示的程序框图的输出值]2,1(∈y ，则输入值x 的范围是（A ）(],3-∞ （B ）[)21,log 3- （C ）[)(]2log 3,11,3--（D ）[)(]2log 3,01,3-6. 已知直线m 和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（A ）若αβ⊥，m β⊂，则m α⊥ （B ）若//αβ，//m α，则//m β（C ）若//m α，//m β，则//αβ （D ）若//αβ，m α⊥，则m β⊥ 7．已知直线x y =按向量a 平移后得到的直线与曲线)2ln(+=x y 相切，则a 可以为（A ）（0，1）（B ）（1，0）（C ）（0，2）（D ）（2，0） 8．函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到x y ωsin =的图象，只需把)(x f y =的图象上所有点（A ）向左平移6π个单位长度（B ）向右平移12π个单位长度（C ）向左平移12π个单位长度（D ）向右平移6π个单位长度9．抛物线23y x =-+上存在关于直线0x y +=对称的相异两点A 、B ，则AB 等于（A ）3 （B ）4 （C ）（D ）10．2014年11月，亚太经合组织领导人非正式会议在北京召开，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他人所站的位置不做要求，那么不同的排法共有(A) 1818A 种(B)218218A A 种(C)281031810A A A 种(D)2020A 种11．在△ABC 中，AB=4，AC=3，60A ∠=︒，点H 是△ABC 的垂心，设存在实数,λμ，使AH AB AC λμ=+，则（A ）15,69λμ== （B ）24,99λμ== （C ）15,39λμ== （D ）14,69λμ== 12. SC 为球O 的直径，B A ,是该球球面上的两点，4,2π=∠=∠=BSC ASC AB ，若棱锥SBC A -则球O 体积为（A ）43π（B ）323π（C ）π27 （D ）π34宁城县高三年级统一考试(2015.03.20)数学试题（理科）第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分） 13．若21()n x x-展开式中的所有二项式系数和为512，则展开式中的常数项为 .14. 某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是．15.已知实数,x y 满足约束条件110x y y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，若目标函数()1z a x ay =-+在点（-1，0）处取得最大值，则实数a 的取值范围为_________．16．已知直角△ABC 的内切圆半径为1，则△ABC 面积的最小值是________________.三、解答题（共6小题，满分70分）17.（本题满分12分）已知数列{}n a 中，n S 是它的前n 项和，并且142(12)n n S a n +=+=，，，11a =．（Ⅰ）设12n n n b a a +=-，求证：数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）设2nn n a c =，求证：数列{}n c 是等差数列．18．（本题满分12分）在某次考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分的为及格. (Ⅰ)用样本估计总体，请根据茎叶图对甲乙两个班级的成绩进行比较.(Ⅱ)求从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一俯视图侧（左）视图正（主）视图人，已知有人及格的条件下乙班同学不及格的概率；(Ⅲ)从甲班10人中抽取一人，乙班10人中抽取二人，三人中及格人数记为X ，求X 的分布列和期望.19．（本题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA AB = ，点E 是PD 的中点，作EF PC ⊥交PC 于F . （Ⅰ）求证：PC ⊥平面AEF ；（Ⅱ）求二面角A PC D --的大小.20．（本题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，且C 上任意一点到两个焦点的距离之和都为4．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 如图，设A 是椭圆长轴一个顶点，直线l 与椭圆交于P 、Q （不同于A ），若90PAQ ∠=︒，求证直线l 恒过x 轴上的一个定点，并求出这个定点的坐标．21.（本小题满分12分）设函数)1ln(1)(2++-=x x x f （I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）若不等式2()1kxf x x x +>+ ，（k N *∈）在),0(+∞上恒成立，求k 的最大值.请考生在22,23,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，BAC ∠的平分线AD 交⊙O 于D ，过点D 作DE AC ⊥交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F .若35AC AB =， (Ⅰ)求证:OD ∥AE ； (Ⅱ)求FDAF的值.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度. 已知曲线2:sin 2cos C a ρθθ=(0)a >，过点(2,4)P --的直线l的参数方程为2,(4.x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数）.直线l 与曲线C 分别交于M N 、. (Ⅰ)求a 的取值范围;(Ⅱ)若||||||PM MN PN 、、成等比数列,求实数a 的值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数）m x x x f --++=|2||1(|log )(2． (Ⅰ)当7=m 时，求函数)(x f 的定义域；(Ⅱ)若关于x 的不等式2)(≥x f 的解集是R ，求m 的取值范围．宁城县高三年级统一考试(2015.03.20)数学试题（理科）参考答案一、选择题：BCAA CDAD CBAB二、13、84；14、43；1516、3+. 三、17. 解（1）142n n S a +=+∵，2142n n S a ++=+，两式相减，得：2114()n n n n S S a a +++-=-，即：2144n n n a a a ++=-，变形得：21122(2)n n n n a a a a +++-=-，12n n n b a a +=-∵，即12n n b b +=；--------------------6分因为12142a a a +=+，即21325a a =+=，所以12123b a a =-= ∴数列{}n b 是以3为首项，以2为公比的等比数列；（2）因为2n n n a c =，1111222n n n n n n n n a a b c c ++++-=-=． 132n n b -=∵代入得：13(12)4n n c c n +-==，，，∴数列{}n c 是以12为首项，34为公差的等差数列．-----------------12分…………………12分18、解：（1）从茎叶图可以得到：甲班的平均分为89分；乙班平均分为89分。

内蒙古赤峰市宁城县2015届高三3月统一考试一模数学(理)试题含解析

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(每小题5 分，共12小题，满分60分） 1。

设集合}032|{2<--=x x x M ,}0log |{21<=x x N ,则M N⋂等于（）（A ）)1,1(- (B))3,1( （C ）)1,0( （D ）)0,1(-【答案】B考点:集合的运算2.下列函数中，在)0(∞+，上单调递增,并且是偶函数的是( ）（A)2x y = （B ）3x y -= （C ）||lg x y -= （D ）xy 2=【答案】A 【解析】试题分析：（A ）2x y =在)0(∞+，上单调递增，是偶函数（B ）3x y -=在)0(∞+，上单调递减，是奇函数 (C ）||lg x y -=在)0(∞+，上单调递减,并且是奇函数(D)xy 2=在)0(∞+，上单调递增，是非奇非偶函数考点：函数逇单调性,奇偶性3.现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为（）.（A)9 （B ）10 （C)19 (D ）29 【答案】B【解析】试题分析:由题意正三角形垛各层的钢管数组成一个首项为1,公差是1的数列，故正三角形垛所需钢总数为()nn n 1S1234n 2+=++++⋯+=，令 ()n n n 1S 2002+=≤解得n 19=是使得不等式成立的最大整数，此时n S 取最大值190，由此可以推出剩余的钢管有10根．故选B ．考点：等差数列的前n 项和4。

已知向量(2,1)=a ，(,)x y =b ，则“4x =-且2y =-”是“∥a b ”的（A) 充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 (D ）既不充分也不必要条件【答案】B考点:充分必要条件5.某四棱锥的三视图如图所示,其中正（主）视图是等腰直角三角形,侧（左）视图是等腰三角形，俯视图是正方形，则该四棱锥的体积是（A ）23（B ）43(C)53(D ）83【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，该四棱锥的底面为正方形，其边长为高为2，故其体积为1142333V Sh===考点:三视图，棱锥的体积6.在△ABC中，点G是△ABC的重心，若存在实数,λμ，使AG AB ACλμ=+，则（)(A)11,33λμ==（B）21,33λμ==（C）12,33λμ==(D）22,33λμ==【答案】A【解析】试题分析:设O为边AB的中点，由题可知()12AO AB AC=+,则()()22113323AG AO AB AC AB AC==⋅+=+,故11,33λμ==考点：向量的加法，重心的性质7。

2015年内蒙古赤峰市宁城县高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2015年内蒙古赤峰市宁城县高考数学一模试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）1．（5分）设集合M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则M∩N等于（）A．（﹣1，1）B．（1，3）C．（0，1）D．（﹣1，0）2．（5分）若复数Z1＝1+i，Z2＝3﹣i，则＝（）A．1+i B．1+2i C．1﹣2i D．2﹣2i3．（5分）双曲线﹣＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为（）A．B．C．2D．4．（5分）已知向量＝（2，1），＝（x，y），则“x＝﹣4且y＝﹣2”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）如图所示的程序框图的输出值y∈（1，2]，则输入值x的范围是（）A．（﹣∞，3]B．[﹣1，log23）C．[﹣log23，﹣1）∪（1，3]D．[﹣log23，0）∪（1，3]6．（5分）已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂β，则m⊥αB．若α∥β，m∥α，则m∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若α∥β，m⊥α，则m⊥β7．（5分）已知直线y＝x按向量平移后得到的直线与曲线y＝ln（x+2）相切，则为（）A．（0，1）B．（1，0）C．（0，2）D．（2，0）8．（5分）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y＝sinωx的图象，只需把y＝f（x）的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．（5分）已知抛物线y＝﹣x2+3上存在关于直线x+y＝0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（）A．3B．4C．D．10．（5分）2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有（）A．种B．种C．种D．种11．（5分）在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠A＝60°，点H是△ABC的垂心，设存在实数λ，μ，使，则（）A．λ＝B．C．D．12．（5分）SC为球O的直径，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝，若棱锥A﹣SBC的体积为，则球O的体积为（）A．B．C．27πD．4π二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13．（5分）若展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为．14．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主）视图是等腰直角三角形，侧（左）视图是等腰三角形，俯视图是正方形，则该四棱锥的体积是．15．（5分）已知实数x，y满足约束条件，若目标函数z＝（a﹣1）x+ay在点（﹣1，0）处取得最大值，则实数a的取值范围为．16．（5分）已知直角△ABC的内切圆半径为1，则△ABC面积的最小值是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知数列{a n}中，S n是它的前n项和，并且S n+1＝4a n+2（n＝1，2，…），a1＝1．（1）设b n＝a n+1﹣2a n，求证：数列{b n}是等比数列；（2）设c n＝，求证：数列{c n}是等差数列．18．（12分）在某次考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分的为及格．（1）用样本估计总体，请根据茎叶图对甲乙两个班级的成绩进行比较；（2）求从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格的条件下乙班同学不及格的概率；（3）从甲班10人中抽取一人，乙班10人中抽取二人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和期望．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱P A⊥底面ABCD，P A＝AB，点E是PD的中点，作EF⊥PC交PC于F．（Ⅰ）求证：PC⊥平面AEF；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的大小．20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且C上任意一点到两个焦点的距离之和都为4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，设A是椭圆长轴一个顶点，直线l与椭圆交于P、Q（不同于A），若∠P AQ＝90°，求证直线l恒过x轴上的一个定点，并求出这个定点的坐标．21．（12分）设函数f（x）＝1﹣x2+ln（x+1）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若不等式f（x）＞﹣x2（k∈N*）在（0，+∞）上恒成立，求k的最大值．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所作的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．若，（Ⅰ）求证：OD∥AE；（Ⅱ）求的值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C：ρsin2θ＝2a cosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为．直线l与曲线C分别交于M、N．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求实数a的值．【选修4-5：不等式选讲】24．（10分）已知函数f（x）＝log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m＝7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．2015年内蒙古赤峰市宁城县高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）1．（5分）设集合M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则M∩N等于（）A．（﹣1，1）B．（1，3）C．（0，1）D．（﹣1，0）【解答】解：∵M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}＝{}＝{x|x＞1}，∴M∩N＝{x|1＜x＜3}故选：B．2．（5分）若复数Z1＝1+i，Z2＝3﹣i，则＝（）A．1+i B．1+2i C．1﹣2i D．2﹣2i【解答】解：∵Z1＝1+i，Z2＝3﹣i，则＝．故选：C．3．（5分）双曲线﹣＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：∵两条渐近线互相垂直，∴，∴b2＝144，∴c2＝288，∴．故选：A．4．（5分）已知向量＝（2，1），＝（x，y），则“x＝﹣4且y＝﹣2”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若∥，则x﹣2y＝0，即x＝2y，若x＝﹣4且y＝﹣2，满足x＝2y，即充分性成立，当x＝y＝0时，满足x＝2y但x＝﹣4且y＝﹣2不成立，即必要性不成立，故“x＝﹣4且y＝﹣2”是“∥”充分不必要条件，故选：A．5．（5分）如图所示的程序框图的输出值y∈（1，2]，则输入值x的范围是（）A．（﹣∞，3]B．[﹣1，log23）C．[﹣log23，﹣1）∪（1，3]D．[﹣log23，0）∪（1，3]【解答】解：①当x≥0时，满足判断框中的条件，执行“是”，y＝log2（x+1），由1＜log2（x+1）≤2，得出2＜x+1≤4，∴1＜x≤3②当x＜0时，不满足判断框中的条件，执行“否”，y＝2﹣x﹣1，由1＜2﹣x﹣1≤2，得出2＜2﹣x≤3，∴﹣log23≤x＜﹣1综上所述，则输入值x∈[﹣log23，﹣1）∪（1，3]．故选：C．6．（5分）已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂β，则m⊥αB．若α∥β，m∥α，则m∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若α∥β，m⊥α，则m⊥β【解答】解：对于A，若α⊥β，m⊂β，则m与α可能平行，如果是交线，则在α内，故A错误；对于B，若α∥β，m∥α，则m∥β或者m⊂β；故B错误；对于C，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交；故C错误；对于D，若α∥β，m⊥α，利用面面平行的性质以及项目存在的性质可以判断m ⊥β；故D正确；故选：D．7．（5分）已知直线y＝x按向量平移后得到的直线与曲线y＝ln（x+2）相切，则为（）A．（0，1）B．（1，0）C．（0，2）D．（2，0）【解答】解：∵y＝ln（x+2），∴y′＝，令＝1，可得x＝﹣1，∴切点坐标为（﹣1，0），∴切线方程为y﹣0＝x+1，即y＝x+1，∵直线y＝x按向量平移后得到的直线与曲线y＝ln（x+2）相切，∴＝（0，1）．故选：A．8．（5分）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y＝sinωx的图象，只需把y＝f（x）的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：根据函数的图象，所以：T＝π，，当x＝时，函数f（）＝0，即：f（）＝sin（2φ）＝0．解得：φ＝，所以：f（x）＝sin（2x+）．要得到y＝sin2x的图象只需将函数f（x）＝sin（2x+）向右平移个单位，即y＝sin（2x﹣+）＝sin2x．故选：D．9．（5分）已知抛物线y＝﹣x2+3上存在关于直线x+y＝0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（）A．3B．4C．D．【解答】解：设直线AB的方程为y＝x+b，由⇒x2+x+b﹣3＝0⇒x1+x2＝﹣1，进而可求出AB的中点，又∵在直线x+y＝0上，代入可得，b＝1，∴x2+x﹣2＝0，由弦长公式可求出．故选：C．10．（5分）2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有（）A．种B．种C．种D．种【解答】解：由题意，其余18人有种站法，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，有种站法，根据乘法原理，可得不同的排法共有种，故选：B．11．（5分）在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠A＝60°，点H是△ABC的垂心，设存在实数λ，μ，使，则（）A．λ＝B．C．D．【解答】解：如图所示，∵BD⊥AC，∠BAD＝60°，AB＝4，∴AD＝AB＝2．∴，∵，∴，∵B，H，D三点共线，∴＝1．由于C，H，E三点共线，同理可得：，∴＝1．联立，解得．故选：A．12．（5分）SC为球O的直径，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝，若棱锥A﹣SBC的体积为，则球O的体积为（）A．B．C．27πD．4π【解答】解：如图：由题意，设球的直径SC＝2R，A，B是该球球面上的两点．AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，求出SA＝AC＝SB＝BC＝R，∠SAC＝∠SBC＝90°，所以平面ABO与SC垂直，则S△ABO＝进而可得：V S﹣ABC ＝V C﹣AOB+V S﹣AOB，所以棱锥S﹣ABC的体积为：••2R＝，所以R＝2，此时三角形AOB为正三角形，符合，所以球O的体积为．故选：B．二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13．（5分）若展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为84．【解答】解：展开式中所有二项式系数和为512，即2n＝512，则n＝9，T r+1＝（﹣1）r C9r x18﹣3r令18﹣3r＝0，则r＝6，所以该展开式中的常数项为84．故答案为：84．14．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主）视图是等腰直角三角形，侧（左）视图是等腰三角形，俯视图是正方形，则该四棱锥的体积是．【解答】解：根据四棱锥的三视图，得：该四棱锥是底面为正方形，高为2的直四棱锥，且底面正四边形的边长为＝；∴该四棱锥的体积为V四棱锥＝××2＝．故答案为：．15．（5分）已知实数x，y满足约束条件，若目标函数z＝（a﹣1）x+ay 在点（﹣1，0）处取得最大值，则实数a的取值范围为（﹣∞，]．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．若a＝0，则目标函数为z＝﹣x，即x＝﹣z，此时满足目标函数z＝（a﹣1）x+ay在点（﹣1，0）处取得最大值，若a≠0，则由z＝（a﹣1）x+ay得，y＝x，若a＜0，此时目标函数的斜率k＝＜0，平移目标函数可知此时当目标函数经过点A（﹣1，0）时，直线截距最小，z最大，若a＞0，要使目标函数z＝（a﹣1）x+ay在点（﹣1，0）处取得最大值，则满足目标函数的斜率k＝≥1，即a≤，此时满足0≤a≤，综上a≤，故实数a的取值范围是（﹣∞，]故答案为：（﹣∞，]16．（5分）已知直角△ABC的内切圆半径为1，则△ABC面积的最小值是．【解答】解：∵直角△ABC的内切圆半径为1，∴，∴＝ab，∴≥0，∴，∴，∴△ABC面积的最小值是＝3+2，当且仅当a＝b＝2+时取等号．故答案为：3+2．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知数列{a n}中，S n是它的前n项和，并且S n+1＝4a n+2（n＝1，2，…），a1＝1．（1）设b n＝a n+1﹣2a n，求证：数列{b n}是等比数列；（2）设c n＝，求证：数列{c n}是等差数列．【解答】证明：（1）∵S n+1＝4a n+2，S n+2＝4a n+1+2，两式相减，得：S n+2﹣S n+1＝4（a n+1﹣a n），即：a n+2＝4a n+1﹣4a n，变形得：a n+2﹣2a n+1＝2（a n+1﹣2a n），∵b n＝a n+1﹣2a n，即b n+1＝2b n；∵a1+a2＝4a1+2，即a2＝3a1+2＝5，∴b1＝a2﹣2a1＝3，∴数列{b n}是以3为首项，以2为公比的等比数列；（2）∵，∴．∵代入得：，∴数列{c n}是以为首项，为公差的等差数列．18．（12分）在某次考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分的为及格．（1）用样本估计总体，请根据茎叶图对甲乙两个班级的成绩进行比较；（2）求从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格的条件下乙班同学不及格的概率；（3）从甲班10人中抽取一人，乙班10人中抽取二人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和期望．【解答】本小题满分（12分）解：（1）从茎叶图可以得到：甲班的平均分为：＝（72+75+77+84+87+88+95+98+106+108）＝89分，乙班平均分为：＝（78+79+86+87+88+91+92+93+95+101）＝89分．甲班的方差＝[（72﹣89）2+（75﹣89）2+（77﹣89）2+（84﹣89）2+（87﹣89）2+（88﹣89）2+（95﹣89）2+（98﹣89）2+（106﹣89）2+（108﹣89）2]＝142.6，乙班的方差＝[（78﹣89）2+（79﹣89）2+（86﹣89）2+（87﹣89）2+（88﹣89）2+（91﹣89）2+（92﹣89）2+（93﹣89）2+（95﹣89）2+（101﹣89）2]＝44.4，所以甲乙两班平均分相同，但是乙班比甲班成绩更集中更稳定．…（4分）（本小问只要学生说出两点以上正确的分析内容就可以给分）（2）事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格”记A；事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，乙班同学不及格”记B 则…（8分）（3）X的取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝+＝，P（X＝2）＝+＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：期望EX＝＝．…（12分）19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱P A⊥底面ABCD，P A＝AB，点E是PD的中点，作EF⊥PC交PC于F．（Ⅰ）求证：PC⊥平面AEF；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD，∵CD⊥AD，P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD，∵AE⊂平面P AD，∴CD⊥AE，∵E是PD的中点，P A＝AD，∴AE⊥PD，∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD，而PC⊂平面PCD，∴AE⊥PC，又EF⊥PC，AE∩EF＝E，∴PC⊥平面AEF．（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB＝1，则，设平面APC的法向量是，则，∴z 1＝0，x1+y1＝0，即，设平面DPC的法向量是，则，所以y 2＝0，x2﹣z2＝0，即．，即面角A﹣PC﹣D的大小为60°．20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且C上任意一点到两个焦点的距离之和都为4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，设A是椭圆长轴一个顶点，直线l与椭圆交于P、Q（不同于A），若∠P AQ＝90°，求证直线l恒过x轴上的一个定点，并求出这个定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）2a＝4，a＝2，，，∴椭圆的方程是．（Ⅱ）设直线AP的方程为l1：y＝k（x﹣2），P（x1，y1）由得，（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4＝0．则，∴，，∵∠P AQ＝90°，设Q（x2，y2）以代换x1，y1表达式中的k，得，，设直线PQ交x轴于点M（m，0），，，，∴，5m（1+k2）＝6（1+k2）则，∴直线EF过定点．21．（12分）设函数f（x）＝1﹣x2+ln（x+1）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若不等式f（x）＞﹣x2（k∈N*）在（0，+∞）上恒成立，求k的最大值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），函数f（x）的导数f'（x）＝﹣2x+，令f'（x）＞0则＞2x，解得，令f'（x）＜0则，解得x＞或x＜，∵x＞﹣1，∴f（x）的单调增区间为（﹣1，），单调减区间为（，+∞）；（Ⅱ）不等式f（x）＞﹣x2即1﹣x2+ln（x+1）＞，即1+ln（x+1）＞，即（x+1）[1+ln（x+1）]＞kx（k∈N*）在（0，+∞）上恒成立，令g（x）＝（x+1））[1+ln（x+1）]﹣kx，则g'（x）＝2+ln（x+1）﹣k，∵x＞0，∴2+ln（x+1）＞2，若k≤2，则g'（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上递增，∴g（x）＞g（0）即g（x）＞1＞0，∴（x+1）[1+ln（x+1）]＞kx（k∈N*）在（0，+∞）上恒成立；若k＞2，可以进一步分析，只需满足最小值比0大，即可！结合K为正整数，故k的最大值为3．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所作的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．若，（Ⅰ）求证：OD∥AE；（Ⅱ）求的值．【解答】（Ⅰ）证明：连接OD，BC，设BC交OD于点M．因为OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA，（2分）又因为∠OAD＝∠DAE，所以∠ODA＝∠DAE，所以OD∥AE．（4分）（Ⅱ）解：因为AC⊥BC，且DE⊥AC，所以BC∥DE．所以四边形CMDE为平行四边形，所以CE＝MD，（6分）由，设AC＝3x，AB＝5x，则OM＝，又OD＝，所以MD＝﹣＝x，所以AE＝AC+CE＝4x，因为OD∥AE，所以＝．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C：ρsin2θ＝2a cosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为．直线l与曲线C分别交于M、N．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax（a＞0）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：因为交于两点，所以△＞0，即a＞0或a＜﹣4．由于a＞0，所以：a的范围为：a＞0（Ⅱ）设交点M，N对应的参数分别为．则若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，则解得a＝1或a＝﹣4（舍）所以满足条件的a＝1．【选修4-5：不等式选讲】24．（10分）已知函数f（x）＝log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m＝7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．【解答】解：（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）．（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|＝3，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，∴m+4≤3，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．。

内蒙古赤峰市宁城县2015届高三第三次模拟考试化学试卷Word版含答案

内蒙古赤峰市宁城县2015届高三第三次模拟考试化学试卷Word版含答案化学参考答案7C 8C 9A 10B 11C 12A 13A 26、【13分】(1)①检查装置的气密性用作催化剂(或催化H2O2的分解)（各1分）②消除滴入溶液的体积对所测气体体积的影响（2分）③将右侧刻度管缓缓向下移动直到两侧液面相平（2分）(2) ①11 7(a-b)／2a （各2分）②淀粉溶液（1分） 2.8 V％（2分）27、【15分】（1）C （2分）（2）(Q2－2Q1) kJ·mol－1 （3分）（3）P2＞P1（2分） 1/144（3分）（4）NO2＋NO3－－e－＝N2O5（3分） 224 （2分）28、【15分，最后一空3分，其余每空2分】（1）① H3PO3+OH—＝H2PO3—+H2O ② >③c（H+）> c（H2PO3-）> c（HPO32-）8.3×10－3mol/L（2）H3PO3+ I2+H2O = 2HI+ H3PO4（3）① 2H+ + 2e－＝H2↑ ②HPO32－+ 2H+＝H3PO3或：HPO32－+ H+＝H2PO3－、H2PO3－+ H+＝H3PO3]36、【15分】（1）4FeS2+11O24Fe2O3+8SO2；（3分）（2）除尘、水洗；砷、硒等化合物会使催化剂中毒，水蒸气对设备和生产有不良影响；（每空2分）（3）不选择B点，因为压强越大对设备的投资大，消耗的动能大，SO2原料的转化率已是97%左右，再提高压强，SO2的转化率提高的余地很小，所以采用1个大气压；不选择C点，因为温度越低，SO2转化率虽然更高，但催化作用受影响，450℃时，催化剂的催化效率最高，故不选C点；（3分）（4）利用反应放出的热量预热原料气；上层反应气经热交换器温度降到400～500℃进入下层使反应更加完全．（3分）37、【15分】(1)H、Mg、Ca （2分，少一个减一分）(2) （2分） (3)大于（2分）(4)四面体形（1分）极性（1分）先产生蓝色沉淀,后溶解得深蓝色溶液（2分） (5)12（2分） 3AM42d N g ·cm -3(或32M8d N g ·cm -3)（3分）38、【15分】 (1)CH 3CHO+2Ag(NH 3)2++2OH -−−−→−水浴加热CH 3COO -+NH 4++2Ag↓+3NH 3+H 2O （2分） (2)取代反应（1分）(3)（2分）(4)（2分）(5)a、b、d （3分，少一个减一分）（6）8 （3分）（7）6（2分）7、化学与生产、生活密切相关．下列叙述正确的是（）A．煤的干馏和石油的分馏均属化学变化B．BaSO4在医学上用作钡餐，Ba2+对人体无毒C．由油脂得到甘油和由淀粉得到葡萄糖均发生了水解反应D．葡萄糖注射液不属于胶体，其本质原因是由于不能产生丁达尔现象8. 下列与化学概念有关的说法正确的是A. 化合反应均为氧化还原反应B.金属氧化物均为碱性氧化物C.催化剂能改变可逆反应达到平衡的时间D.石油是混合物，其分馏产品汽油为纯净物9、下列判断中一定正确的是( )A．若A2+2D-====2A-+D2，则还原性：D->A-B．若R2+和M＋的电子层结构相同，则碱性：R （OH）2>MOHC．若X2、Y2都是气态单质，且酸性HX>HY，则非金属性X>YD．若M、N是同主族元素，且原子序数：M＞N，则非金属性：M＞N10、下列实验方案中，不能达到实验目的的是（）选项实验目的实验方案A 鉴别溴蒸气和NO2分别通入硝酸银溶液中，产生淡黄色沉淀的是溴蒸汽B 证明氧化性：H2O2比Fe3＋强用硫酸酸化的H2O2溶液滴入Fe(NO3)2溶液中，溶液变黄色C 证明盐类水解是吸热反应在醋酸钠溶液中滴入酚酞试液，加热后红色加深D 证明难溶物存在沉淀溶解平衡往黄色固体难溶物PbI2加水中振荡，静置取上层清液加入NaI固体产生黄色沉淀11、药物使数以万计的人摆脱疾病困扰，是我国科学家最近新合成的一种药物，下列关于该有机物的说法错误的是( )A．该有机物的分子式为C11H16OB．该有机物可以使溴水褪色C．该有机物易溶于水D．光照，该有机物可以与氯气发生取代反应12、科学家一直致力于“人工固氮”的新方法研究。

内蒙古赤峰市宁城县2015届高三上学期摸底统一考试数学(理)试题及答案

内蒙古赤峰市宁城县2015届高三上学期摸底统一考试数学（理）试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{|ln }A x y x ==，集合{}||2B x Z x =∈≤，则AB = （）（A ） (1,2) （B ） {1,2} （C ） (0,2) （D ）{0,1,2} 2．已知133a -=，21211log ,log 33b c ==，则（）（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >> 3．已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝是（）（A ）,sin 1x R x ∃∈≥ （B ）,sin 1x R x ∀∈≥ （C ）,sin 1x R x ∃∈> （D ）,sin 1x R x ∀∈>4. 在ABC △中，222a b c bc =++，则A 等于（）（Ａ）60（Ｂ）45（Ｃ）30（Ｄ）1205．已知62⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x 的展开式中常数项为160-，则常数a = （）（A ）12 （B ）12- （C ）1 （D ）1-; 6．已知点()1,1A -,()1,2B ,()2,1C --,()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（）（A（B（C）（D） 7．设l ，m ，n 表示三条直线，,αβ表示两个平面，给出下列四个命题：①若l ∥,m l α⊥，则m α⊥；②若m ⊂β，n 是l 在β内的射影，m l ⊥，则m n ⊥； ③若,l ααβ⊥⊥，则l ∥β；④若l α⊥，α∥β，m β⊂，则l m ⊥. 其中真命题为（）（A ）①②④（B ）①②③（C ）①③（D ）①②③④8.将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（）（A ）12π（B ）6π（C ）3π（D ）56π 9．运行如图的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数()0a y x x =≥是增函数的概率为( )34()()7533()()54A B C D10．设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（）（A ）[－21，21] （B ）[－2，2] （C ）[－4，4]（D ）[－1，1]11．函数22x y x -=的图象大致是（）12. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，当01x ≤≤时，2()f x x =，如果函数)()()(m x x f x g +-=有两个零点，则实数m 的值为（）（A ）k 2（∈k Z ）（B ）124k -（∈k Z ）（C ）k 2或412+k （D ）k 2或412-k （∈k Z ）宁城县高三年级摸底统一考试（2014.10.20）xyOxy OxyOxyO（A ）（B ）（C ）（D ）数学试题（理科）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．若复数z 满足i z i 6)33(=-（i 是虚数单位），则z ＝_____________;14．某校举行的数学建模比赛，全体参赛学生的比赛成绩ξ近似服从正态分布2(70,)N σ，(0)σ>，参赛学生共600名.若ξ在()70,90内的取值概率为0.48，那么90分以上（含90分）的学生人数为 .15．已知x , y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 则2x y -的最小值为;16．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的外接球的表面积为_______________.三、解答题（共5小题，70分，须写出必要的解答过程） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，121n n a a +=+.（Ⅰ）证明数列{}1n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：121112na a a ++<…+.18．（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，DB 1A 1CBAC 1，D 是棱1AA 的中点. （Ⅰ）证明：D C 1⊥平面BDC ；（Ⅱ）求二面角1C BC D --的余弦值.19．（本小题满分12分）为加快新能源汽车产业发展，推进节能减排，国家对消费者购买新能源汽车给予补贴，其中对程R（单计（Ⅰ）求x，y，z，M的值；（Ⅱ）若从这M辆纯电动乘用车中任选2辆，求选到的2辆车续驶里程都不低于150公里的概率；（Ⅲ）若以频率作为概率，设X为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求X的分布列和数学期望EX．20．（本小题满分12分）已知点M是椭圆C：22221x ya b+=(0)a b>>上一点，12,F F分别为C的左右焦点，12||2F F=，1260F MF ∠=︒，12F MF ∆（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过椭圆右焦点2F 的直线l 和椭圆交于两点,A B ，且222AF F B =，求直线l 的方程.21．（本小题满分12分）已知，函数21()xx f x e +=. （Ⅰ）如果0x ≥时，(1)()x f x m +≤恒成立，求m 的取值范围；（Ⅱ）当2a ≤时，求证：()ln(2)1f x x a x +<+.四、选做题（本小题满分10分.请考生22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分） 22．选修4－1：几何证明选讲如图，ΔABC 是内接于圆O ，AB AC =,直线MN 切O 于点C ，弦//BD MN ，AC 与BD 相交于点E ．（Ⅰ）求证：ABE ∆≌ACD ∆；（Ⅱ）若64AB BC ==，，求AE ．23．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系. 设曲线C 参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ-=.（Ⅰ）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.24．选修4－5：不等式选讲若,,a b c R +∈，且2221a b c ++=，求证：112ab bc ca -≤++≤宁城县高三年级摸底统一考试（2014.10.20）数学试题（理科）参考答案三、17．解：（Ⅰ）∵121n n a a +=+∴112(1)n n a a ++=+∵数列{}1n a +是以2为首项,2为公差的等差数列----------------3分 ∴()21n n a n N +=-∈-------------------------5分(Ⅱ) ∵当2n ≥时()11212210n n n ----=->,即1212n n -->∴111212n n -<-()2n ≥----------------------------------9分所以()21112111111112122222n n na a a --++<++++=-<…+-------------12分 18.解:由题意知1CC BC ⊥，C AC CC AC BC =⊥ 1,，所以11A ACC BC 平面⊥----------2分又111A ACC DC 平面⊂，所以BC DC ⊥1 由题设知01145=∠=∠ADC DC A ，所以0190=∠CDC ，即DC DC ⊥1.又C BC DC = ，所以BDC DC 平面⊥1-------4分（Ⅱ）解:如图，分别以C 、1,,CA CB CC 为,,x y z 轴建立直角坐标系-----------5分设12,AA =显然平面1CBC 的法向量为()1,0,0n =---------------6分设平面1BC D 的法向量为()000,,m x y z =∵()()()()()()110,0,20,1,00,1,2,0,0,21,0,11,0,1BC C D =-=-=-=-------8分xyz∴由110,0m BC m C D ⋅=⋅=得000020,0y z x z -+=-+=,即()1,2,1m =------10分 ∵cos ,6m n m n m n⋅==, ∴二面角1C BC D --的余弦值为6分 19. 解：（Ⅰ）由表格可知20.2M =，所以10M =，50.510x ==， 10253y =--=，30.310z ==. ------------------2分（Ⅱ）设“从这10辆纯电动车中任选2辆，选到的2辆车的续驶里程都不低于150公里”为事件A ，则()282102845C P A C ==. ------------------4分（Ⅲ）X 的可能取值为3.5，5，6()3.50.2P X == ,()50.5P X ==,()60.3P X == ------------------7分所以X 的分布列为------------------10分3.50.250.560.35EX =⨯+⨯+⨯=. ------------------12分20.解: 121sin 602MF MF =⋅⋅︒，所以124MF MF ⋅=-----2分在12MF F ∆中，由余弦定理得：2221212112cos 60F F MF MF MF MF =+-⋅︒所以()243MF MFMF MF =+-⋅，-------------------------------------------4分即2416a =，22224,3a b a c ==-=所以椭圆C 的方程为22143x y += ------------------6分（Ⅱ）设直线l 的方程是1x my =+由221,431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消x 并整理得22(43)690m y my ++-= ------------------8分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12264+3m y y m +=-①，1229=43y y m -+② -------10分因为2AF FB = 得122y y =-③，由①②③解得245m =，因此存在直线l：15x x =±+使得2AF FB = --------------------12分 21. (Ⅰ) 解：（1）0,x ≥()1m f x x ≤+，∴22(1)0xx m e +≥>，∴1x x e +≥. 令1()x x g x e += （0x ≥），'()0xx g x e -=≤，()g x 递减， (0)1g =最大，∴m 的取值范围是[1,)+∞. ………………5分（2）证明：当2a ≤时，令()()ln(2)(1)g x f x x a x =+-+ 的定义域(,)(1,)2a -+∞⊆-+∞， ∴10x +>，要证21ln(2)1x x x a x e ++<+，只需证2ln(2)x x a e +< 又∵2a ≤ ，∴只需证2ln(22)x x e +<， ………………8分即证()ln(2)0,(2-2)t h t e t t x =-+>=> ∵1'()(2)2t h t e t t =->+递增，11'(1)10,'(0)102h h e -=-<=->， ∴必有0(1,0)t ∈-，使0001'()0,2t h t e t ==+即，即00ln(2)t t =-+，且在0(2,)t -上，0'()0h t <；在0(,)t +∞上，0'()0h t >， ∴02000000(1)1()ln(2)022t t h t e t t t t +=-+=+=>++最小 ∴()ln(2)0t h t e t =-+>，即()ln(2)1f x x a x +<+ ………………12分22. 选修4—1；几何证明选讲．证明：（Ⅰ）∵MN 是切线，且MN ∥BD∴BC CD =，即BC CD =∴12∠=∠∵34,AB AC ∠=∠=∴ABE ∆≌ACD ∆ -----------------------5分（Ⅱ）在ACD ∆和DCE ∆中，∵215∠=∠=∠，4∠是公共角,∴ACD ∆∽DCE ∆ ------------------7分 ∴CD CE AC CD =,即2CD AC CE =⋅ ∵4,6CD BC AC AB ====, ∴()1666AE =⋅-∴103AE = ------------------------------10分 23. 选修4—4;坐标系与参数方程．⑴由cos()4πρθ-=得(cos sin )4ρθθ+=，∴:l 40x y +-=……………2分由sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩得:C 2213x y +=.………………5分 ⑵在:C 2213x y +=上任取一点,sin )P θθ，则点P 到直线l 的距离为|2sin()4|32d πθ+-==≤32. ………………7分 ∴当sin()=3πθ+－1，即56θπ=-时，max 3d =2.………………10分 24. 选修4－5：不等式选讲证:由,,a b c R +∈,则由基本不等式得:222222,,222a b b c c a ab bc ca +++≤≤≤ 所以222ab bc ca a b c ++≤++ --------------------------------4分因为2221a b c ++=，所以1ab bc ca ++≤ --------------------5分 222122a b c ab bc ca ab bc ca +++++=+++()2212()2a a b c b c ⎡⎤=++++⎣⎦()2102a b c =++≥。

内蒙古赤峰市宁城县2015届高三数学下学期第三次模拟试卷文(含解析)

内蒙古赤峰市宁城县2015届高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，2，3}，B={3，4，5}，则（∁U A）∩B=( )A．{3} B．{4，5} C．{4，5，6} D．{0，1，2}2．已知，且，则tanα=( )A．B．C．D．3．已知等差数列{a n}的公差d≠0，若a1，a3，a9成等比数列，那么公比为( ) A．B．3 C．D．24．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A．f（x）=x2B．f（x）=C．f（x）=e x D．f（x）=sinx5．α，β表示不重合的两个平面，m，l表示不重合的两条直线．若α∩β=m，l⊄α，l⊄β，则“l∥m”是“l∥α且l∥β”的( )A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．一名小学生的年龄和身高（单位：cm）的数据如下表：年龄x 6 7 8 9身高y 118 126 136 144由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为=8.8x+，预测该学生10岁时的身高为( )A．154 B．153 C．152 D．1517．设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=( )A．0 B．1 C．2 D．38．设函数，且其图象关于y轴对称，则函数y=f（x）的一个单调递减区间是( )A．B．C．D．9．已知函数f（x）=，若a=f（ln2），b=f（ln3），c=f（ln5），则a，b，c的大小关系为( )A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a10．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为( )A．B．C．D．11．函数f（x）=的图象大致为( )A．B．C． D．12．在△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=120°，点O是△ABC的外心，存在实数λ，μ，使=λ+μ，则( )A．λ=，μ=B．λ=，μ=C．λ=，μ=D．λ=，μ=二、填空题共4小题，每小题5分，共20分.13．i是虚数单位，复数Z=，则|Z|=__________．14．一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是__________．15．设变量x，y满足约束条件，则的最大值为__________．16．数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n，n∈N*，则a n=__________．三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D在线段AC上，且AD=4DC．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求sin∠CBD的值．18．某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆，目前我国主流纯电动汽车按续驶里程数R（单位：公里）分为3类，即A：80≤R＜150，B：150≤R＜250，C：R≥250．对这140辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：类型 A B C已行驶总里程不超过5万公里的车辆数10 40 30已行驶总里程超过5万公里的车辆数20 20 20（Ⅰ）从这140辆汽车中任取1辆，求该车行驶总里程超过5万公里的概率；（Ⅱ）公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取14辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从C类车中抽取了n辆车．（ⅰ）求n的值；（ⅱ）如果从这n辆车中随机选取2辆车，求恰有1辆车行驶总里程超过5万公里的概率．19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA1⊥AC1．（1）求证：AC1⊥平面A1BC；（2）求点C到平面A1AB的距离．20．已知直线l的方程是y=x﹣1和抛物线C：x2=y，自l上任意一点P作抛物线的两条切线，设切点分别为A，B，（Ⅰ）求证：直线AB恒过定点．（Ⅱ）求△PAB面积的最小值．21．已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0，]（1）求证：f（x）≤0；（2）若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD 于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ．（1）写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）已知点M1、M2的极坐标分别为和（2，0），直线M1M2与曲线C2相交于P，Q 两点，射线OP与曲线C1相交于点A，射线OQ与曲线C1相交于点B，求的值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）当x∈（﹣∞，2）时f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．内蒙古赤峰市宁城县2015届高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，2，3}，B={3，4，5}，则（∁U A）∩B=( )A．{3} B．{4，5} C．{4，5，6} D．{0，1，2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：先求出集合A的补集，再求出交集即可解答：解：∵全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，2，3}，B={3，4，5}，∴（∁U A）={4，5，6}，∴（∁U A）∩B={4，5}点评：本题考查了集合的交，补运算，属于基础题2．已知，且，则tanα=( ) A．B．C．D．考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．分析：通过诱导公式求出sinα的值，进而求出cosα的值，最后求tanα．解答：解：∵cos（+α）=；∴sinα=﹣；又∴cosα=﹣=﹣∴tanα==故答案选B点评：本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用．属基础题．3．已知等差数列{a n}的公差d≠0，若a1，a3，a9成等比数列，那么公比为( ) A．B．3 C．D．2考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件求出a1=d，所以该等比数列的公比为d=，由此能求出结果．解答：解：∵{a n}是等差数列，公差d≠0，a1，a3，a9成等比数列，∴a32=a1a9，即（a1+2d）2=a1•（a1+8d），解得a1=d，∴该等比数列的公比为d===3．故选：B．点评：本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的通项公式的合理运用．4．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A．f（x）=x2B．f（x）=C．f（x）=e x D．f（x）=sinx考点：选择结构．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数②f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案．解答：解：∵A：f（x）=x2、C：f（x）=e x，不是奇函数，故不满足条件①又∵B：f（x）=的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件②而D：f（x）=sinx既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，故D：f（x）=sinx符合输出的条件故选D．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5．α，β表示不重合的两个平面，m，l表示不重合的两条直线．若α∩β=m，l⊄α，l⊄β，则“l∥m”是“l∥α且l∥β”的( )A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合线面平行的性质进行判断即可．解答：解：充分性：∵α∩β=m，∴m⊂α，m⊂β，∵l∥m，l⊄α，l⊄β，∴l∥α，l∥β，必要性：过l作平面γ交β于直线n，∵l∥β，∴l∥n，若n与m重合，则l∥m，若n与m不重合，则n⊄α，∵l∥m，∴n∥α，∵n⊂β，α∩β=m，∴n∥m，故l∥m，故“l∥m”是“l∥α且l∥β”的充要条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判定，根据空间直线和平面平行的位置关系是解决本题的关键．6．一名小学生的年龄和身高（单位：cm）的数据如下表：年龄x 6 7 8 9身高y 118 126 136 144由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为=8.8x+，预测该学生10岁时的身高为( )A．154 B．153 C．152 D．151考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：先计算样本中心点，进而可求线性回归方程，由此可预测该学生10岁时的身高．解答：解：由题意，=7.5，=131代入线性回归直线方程为，131=8.8×7.5+，可得=65，∴∴x=10时，=153故选B．点评：本题考查回归分析的运用，考查学生的计算能力，确定线性回归直线方程是关键，属于基础题．7．设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=( ) A．0 B．1 C．2 D．3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．解答：解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故答案选D．点评：本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在2015届高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在2015届高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．8．设函数，且其图象关于y轴对称，则函数y=f（x）的一个单调递减区间是( )A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用辅助角公式、两角差的正弦公式化简函数解析式，由题意和正弦函数的对称轴求出θ的值，代入解析式利用诱导公式化简，再由余弦函数的单调区间求出f（x）的单调增区间，结合答案项进行判断即可．解答：解：由题意得，f（x）=2[sin（）﹣cos（）]=2sin（﹣），∵图象关于y轴对称，∴θ﹣=kπ+，k∈Z，又∵|θ|＜，∴当k=﹣1时，θ=满足题意，∴f（x）=2sin（﹣﹣）=2sin（﹣）=﹣2cos，由2kπ﹣π≤≤2kπ可得4kπ﹣2π≤x≤4kπ，∴函数f（x）的单调递增区间为[4kπ﹣2π，4kπ]，k∈Z，当k=0时，函数f（x）的一个单调递增区间为[﹣2π，0]，当k=1时，函数f（x）的一个单调递增区间为[2π，4π]，所以A、B、D不正确；C正确，故选：C．点评：本题考查辅助角公式、两角差的正弦公式，诱导公式，以及正弦、余弦函数的性质，属于中档题．9．已知函数f（x）=，若a=f（ln2），b=f（ln3），c=f（ln5），则a，b，c的大小关系为( )A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a考点：函数的单调性与导数的关系．专题：函数的性质及应用．分析：根据f（x）解析式求出a=，b=，c=，然后每两个作差比较即可．解答：解：根据已知条件，a=，b=，c=；∴，a﹣c=；∴a＜b，a＞c；∴b＞a＞c．故选：C．点评：考查指数与对数的运算，作差比较两个值大小的方法，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用．10．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为( )A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设F1（﹣c，0），F2（c，0），（c＞0），通过|F1F2|=2|PF2|，求出椭圆的离心率e．解答：解：F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，设F1（﹣c，0），F2（c，0），（c＞0），P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，可得2c=2，即ac=b2=c2﹣a2．可得e2+e﹣1=0．解得e=．故选：D．点评：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意通径的求法．11．函数f（x）=的图象大致为( )A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项．解答：解：此函数是一个奇函数，故可排除B，D两个选项；又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在X轴下方，当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在x轴上方，故可排除B，A选项符合，故选A．点评：本题考查由函数的性质确定函数图象，其研究规律一般是先研究单调性与奇偶性，再研究某些特殊值．12．在△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=120°，点O是△ABC的外心，存在实数λ，μ，使=λ+μ，则( )A．λ=，μ=B．λ=，μ=C．λ=，μ=D．λ=，μ=考点：向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．专题：计算题；平面向量及应用．分析：如图所示，过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，D，E分别垂足．•=﹣1．由==，=λ﹣μ，可得λ﹣μ=．同理可得：﹣λ+4μ=2．联立解出即可．解答：解：如图所示，过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，D，E分别垂足．•=1×2×cos120°=﹣1==，=λ﹣μ∴λ﹣μ=．同理可得：﹣λ+4μ=2．联立解得λ=，μ=．故选B．点评：本题考查了向量共线定理、圆的垂经定理、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题共4小题，每小题5分，共20分.13．i是虚数单位，复数Z=，则|Z|=1．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用分求模的运算法则化简求解即可．解答：解：复数Z=，则|Z|====1．故答案为：1．点评：本题考查复数的模的求法，基本知识的考查．14．一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是cm2．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：三视图复原的组合体是下部是正方体，上部是四棱锥，根据三视图数据，求出表面积即可．解答：解：三视图复原的组合体是下部是棱长为2的正方体，上部是底面边长为2的正方形，高为1的四棱锥，组合体的表面积为：5×2×2+4××2×=cm2故答案为：cm2点评：本题考查由三视图求表面积，考查计算能力，空间想象能力，是基础题．15．设变量x，y满足约束条件，则的最大值为6．考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作差可行域，利用的几何意义，即可行域内的动点与原点连线的斜率，求其最大值得答案．解答：解：由约束条件作差可行域如图，联立，解得，∴A（1，6），的几何意义为可行域内的动点与原点连线的斜率，由图可知，当动点为A时，可行域内的动点与原点连线的斜率最大，最大值为．故答案为：6．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n，n∈N*，则a n=（n+1）2n﹣1．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由于所给的递推公式条件是后项与前一项的比值，故可由此推导从第二项起每一项与它前一项的比值直至第n项与第n﹣1项，然后采用叠乘法即可求出a n．解答：解：由已知a n+1=a n，得，…，，a1=2，所以由a n==（n+1）2n﹣1故答案为：（n+1）2n﹣1．点评：本题主要考查数列的求通项公式问题，所涉及的方法为叠乘法，属于中档题．三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D在线段AC上，且AD=4DC．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求sin∠CBD的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由已知可求cosC，sinC，AC，又AD=4DC，可求AD，DC，从而由余弦定理BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC即可求BD的值．（Ⅱ）在△BCD中，由正弦定理即可求得sin∠CBD的值．解答：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为∠ABC=90°，AB=4，BC=3，所以cosC=，sinC=，AC=5，…又因为AD=4DC，所以AD=4，DC=1．…在△BCD中，由余弦定理，得BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC，…=32+12﹣2×=，所以．…（Ⅱ）在△BCD中，由正弦定理，得，所以，…所以sin∠CBD=．…点评：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，勾股定理的综合应用，属于基本知识的考查．18．某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆，目前我国主流纯电动汽车按续驶里程数R（单位：公里）分为3类，即A：80≤R＜150，B：150≤R＜250，C：R≥250．对这140辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：类型 A B C已行驶总里程不超过5万公里的车辆数10 40 30已行驶总里程超过5万公里的车辆数20 20 20（Ⅰ）从这140辆汽车中任取1辆，求该车行驶总里程超过5万公里的概率；（Ⅱ）公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取14辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从C类车中抽取了n辆车．（ⅰ）求n的值；（ⅱ）如果从这n辆车中随机选取2辆车，求恰有1辆车行驶总里程超过5万公里的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据概率公式计算即可，（Ⅱ）（ⅰ）根据分层值抽样的方法即可求出n的；（ⅱ）一一列举出所有的基本事件，找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可解答：解：（Ⅰ）从这140辆汽车中任取1辆，则该车行驶总里程超过5万公里的概率为=，（Ⅱ）（ⅰ）依题意．（ⅱ）5辆车中已行驶总里程不超过5万公里的车有3辆，记为A，B，C；5辆车中已行驶总里程超过5万公里的车有2辆，记为M，N．“从5辆车中随机选取2辆车”的所有选法共10种：AB，AC，AM，AN，BC，BM，BN，CM，CN，MN．“从5辆车中随机选取2辆车，恰有一辆车行驶里程超过5万公里”的选法共6种：AM，AN，BM，BN，CM，CN．设“选取2辆车中恰有一辆车行驶里程超过5万公里”为事件D，则P（D）==．答：选取2辆车中恰有一辆车行驶里程超过5万公里的概率为．点评：本题考查了古典概率模型的问题，关键是不重不漏的列举出基本事件，属于基础题19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA1⊥AC1．（1）求证：AC1⊥平面A1BC；（2）求点C到平面A1AB的距离．考点：直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．专题：计算题；证明题；转化思想．分析：（1）BC⊥AC，根据A1D⊥底ABC，得到A1D⊥BC，A1D∩AC=D，所以BC⊥面A1AC，从而BC⊥AC1，又因BA1⊥AC1，BA1∩BC=B，根据线面垂直的判定定理可知AC1⊥底A1BC；（2）作DE⊥AB于点E，连A1E作DF⊥A1E，A1D⊥AB，DE⊥AB，DE∩A1D=D，满足线面垂直的判定定理则AB⊥平面A1DE，又DF⊂面A1DE，所以AB⊥DF，A1E∩AB=E，DF⊥平面A1AB，在Rt△A1DE中，从而求出DF的长度，而D是AC中点，所以C到面A1AB距离是2DF．解答：证明：（1）∠BCA=90°得BC⊥AC，因为A1D⊥底ABC，所以A1D⊥BC，A1D∩AC=D，所以BC⊥面A1AC，所以BC⊥AC1因为BA1⊥AC1，BA1∩BC=B，所以AC1⊥底A1BC解：（2）作D E⊥AB于点E，连A1E作DF⊥A1E，因为A1D⊥平面ABC，所以A1D⊥AB，DE⊥AB，DE∩A1D=D，所以AB⊥平面A1DE，又DF⊂面A1DE，所以AB⊥DF，A1E∩AB=E，所以DF⊥平面A1AB，Rt△A1DE中，，因为D是AC中点，所以C到面A1AB距离．点评：本题主要考查了线面垂直的判定，以及点到面的距离等有关知识，同时考查了数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属于中档题．20．已知直线l的方程是y=x﹣1和抛物线C：x2=y，自l上任意一点P作抛物线的两条切线，设切点分别为A，B，（Ⅰ）求证：直线AB恒过定点．（Ⅱ）求△PAB面积的最小值．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；向量与圆锥曲线；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设A（x1，），B（x2，），P（x0，y0），可求切线PA，切线PB的方程，可得2x0=x1+x2，y0=x1x2，设直线AB的方程是y=kx+b，代入x2=y得x0=，y0=﹣b，代入y0=x0﹣1得﹣b=﹣1，从而可求直线AB的方程，即可得解．（Ⅱ）由两点间距离公式可求|AB|，由点到直线的距离公式可求点P到直线AB的距离d，由三角形面积公式及基本不等式即可得解．解答：（Ⅰ）证明：设A（x1，），B（x2，），P（x0，y0），因为y′=（x2）′=2x，所以切线PA的方程是y﹣x12=2x1（x﹣x1），即y+x12=2x1x ①，同理切线PB的方程是y+x22=2x2x ②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由①②得2x0=x1+x2，y0=x1x2，显然直线AB存在斜率．设直线AB的方程是y=kx+b，代入x2=y得x2﹣kx﹣b=0，所以x1+x2=k，x1x2=﹣b，即x0=，y0=﹣b，③代入y0=x0﹣1得﹣b=﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即直线AB的方程是y﹣1=k（x﹣），恒过定点（，1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）解：|AB|=====﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点P到直线AB的距离是d==﹣﹣﹣﹣﹣△PAB的面积=|AB|•d==，当k=1时△PAB的面积取得最小值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，两点间距离公式，点到直线距离公式，直线的方程等知识的应用，属于基本知识的考查．21．已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0，]（1）求证：f（x）≤0；（2）若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，判定出在区间∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，得f（x）在区间∈[0，]上单调递减，从而f（x）≤f（0）=0．（2）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx＜0”构造函数g（x）=sinx﹣cx，通过求函数的导数讨论参数c求出函数的最值，进一步求出a，b的最值．解答：解：（1）由f（x）=xcosx﹣sinx得f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，此在区间∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，所以f（x）在区间∈[0，]上单调递减，从而f（x）≤f（0）=0．（2）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx＜0”令g（x）=sinx﹣cx，则g′（x）=cosx﹣c，当c≤0时，g（x）＞0对x∈（0，）上恒成立，当c≥1时，因为对任意x∈（0，），g′（x）=cosx﹣c＜0，所以g（x）在区间[0，]上单调递减，从而，g（x）＜g（0）=0对任意x∈（0，）恒成立，当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈（0，）使得g′（x0）=cosx0﹣c=0，g（x）与g′（x）在区间（0，）上的情况如下：x （0，x0） x0（x0，）g′（x）+ ﹣g（x）↑↓因为g（x）在区间（0，x0）上是增函数，所以g（x0）＞g（0）=0进一步g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，当且仅当综上所述当且仅当时，g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，）恒成立，所以若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1点评：本题考查利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的最值；考查解决不等式问题常通过构造函数解决函数的最值问题，属于一道综合题．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD 于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．考点：与圆有关的比例线段．专题：综合题；立体几何．分析：（Ⅰ）根据BE为圆O的切线，证明∠EBD=∠BAD，AD平分∠BAC，证明∠BAD=∠CAD，即可证明∠EBD=∠CBD（Ⅱ）证明△EBD∽△EAB，可得AB•BE=AE•BD，利用AD平分∠BAC，即可证明AB•BE=AE•DC．解答：证明：（Ⅰ）∵BE为圆O的切线，∴∠EBD=∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EBD=∠CAD，∵∠CBD=∠CAD，∴∠EBD=∠CBD；（Ⅱ）在△EBD和△EAB中，∠E=∠E，∠EBD=∠EAB，∴△EBD∽△EAB，∴，∴AB•BE=AE•BD，∵AD平分∠BAC，∴BD=DC，∴AB•BE=AE•DC．点评：本题考查弦切角定理，考查三角形的相似，考查角平分线的性质，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ．（1）写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）已知点M1、M2的极坐标分别为和（2，0），直线M1M2与曲线C2相交于P，Q 两点，射线OP与曲线C1相交于点A，射线OQ与曲线C1相交于点B，求的值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．分析：（1）利用cos2θ+sin2θ=1，即可曲线C1的参数方程化为普通方程，进而利用即可化为极坐标方程，同理可得曲线C2的直角坐标方程；（2）由点M1、M2的极坐标可得直角坐标：M1（0，1），M2（2，0），可得直线M1M2的方程为，此直线经过圆心，可得线段PQ是圆x2+（y﹣1）2=1的一条直径，可得得OA⊥OB，A，B是椭圆上的两点，在极坐标下，设，代入椭圆的方程即可证明．解答：解：（1）曲线C1的普通方程为，化成极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，可得：曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=2y，配方为x2+（y﹣1）2=1．（2）由点M1、M2的极坐标分别为和（2，0），可得直角坐标：M1（0，1），M2（2，0），∴直线M1M2的方程为，化为x+2y﹣2=0，∵此直线经过圆心（0，1），∴线段PQ是圆x2+（y﹣1）2=1的一条直径，∴∠POQ=90°，由OP⊥OQ得OA⊥OB，A，B是椭圆上的两点，在极坐标下，设，分别代入中，有和，∴，，则，即．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，考查数形结合思想和化归与转化思想，属于难题．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）当x∈（﹣∞，2）时f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=2时，把f（x）表示成分段函数的形式，分类讨论求得不等式f（x）＞0的解集．（Ⅱ）分若a=4、若a＞4、若a＜4三种情况，分别求得f（x）的解析式，依据f（x）＜0恒成立，求得a的范围，综合可得结论．解答：解：（Ⅰ）当a=2时，函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣2|=，不等式f（x）＞0等价于①，或，或③，解①可得0＜x＜1，解②可得1≤x＜，解③可得x∈∅．故要求的不等式的解集为（0，）．（Ⅱ）∵当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，若a=4，则f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣4|=﹣|x﹣2|，满足f（x）＜0恒成立．若a＞4时，f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|=，f（x）的最大值为f（）=﹣2＞0，不满足f（x）＜0恒成立．若a＜4时，f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|=，f（x）的最大值为f（2）=a﹣4＜0，满足f（x）＜0恒成立．故要求的求a的取值范围（﹣∞，4]．点评：本题主要考查分段函数的应用，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

内蒙古赤峰市2015届高三上学期第一次统一考试数学理试题 Word版含答案

内蒙古赤峰市2015届高三（上）第一次统考数学试卷（理科）一、选择题（共25题，每题2分，共50分）1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则∁U（A∩B）=（）A．{4} B．{3，5} C．{1，2，4} D．∅2．复数的虚部是（）A．﹣i B．i C．﹣D．3．已知两条不同直线l1和l2及平面α，则直线l1∥l2的一个充分条件是（）A．l1∥α且l2∥αB．l1⊥α且l2⊥αC．l1∥α且l2⊄αD．l1∥α且l2⊂α4．有一个正方体棱长为1，点A为这个正方体的一个顶点，在这个正方体内随机取一个点P，则点P到点A的距离大于1的概率为（）A．1B．C．1D．15．给出性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是（）A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin（2x﹣）D． y=sin （x+）6．已知命题p：∀x＞0，x+＞2，命题q：“x=2“x2﹣5x+6=0“的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧（￢q）B．q∧（￢p）C．p∨q D．p∨（￢q）7．（已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．1C．D．38．已知某算法的程序框图如图，若将输出的（x，y）值一次记为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…，（x n，y n）…若程序进行中输出的一个数对是（x，﹣8），则相应的x值为（）A．80 B．81 C．79 D．789．设x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[2，5]B．[1，5]C．[，5]D．[，2] 10．△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．11．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）=﹣f（x+1），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f （x）与y=log5x的图象的交点个数为（）A．3 B．4C．5D．612．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2=的切线，切点为E，直线F1E交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的左焦点重合，则p的值为_________．14．（5分）曲线y=xe x+2x+1在点（0，1）处的切线方程为_________．15．（5分）二项式（2﹣）6展开式中常数项是_________．16．（5分）若向量=（x﹣1，2），=（4，y）相互垂直，则9x+3y的最小值为_________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n}的首项为a，公差为d，且方程ax2﹣3x+2=0的解为1，d．（1）求{a n}的通项公式及前n项和S n公式；（2）求数列{3n﹣1a n}的前n项和T n．18．（12分）某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予0.96折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取2人．（Ⅰ）求这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；（Ⅱ）设这2人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点．（I）求证：EF⊥平面PAD；（II）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小．20．（12分）已知过点F1（﹣1，0）且斜率为1的直线l1与直线l2：3x+3y+5=0交于点P．（Ⅰ）求以F1、F2（1，0）为焦点且过点P的椭圆C的方程．（Ⅱ）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B 使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣﹣bx（a≠0）．（I）若b=2，且y=f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（II）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′（x0）＜0．四、选考题：满分30分，在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）（2013•郑州二模）如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．（1）求证：AG•EF=CE•GD；（2）求证：．23．（10分）（已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．24．（10分）已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（1）方程ax2﹣3x+2=0的两根为1，d．利用韦达定理得，解得a=1，d=2．由此知a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，．（6分）（2）令，则，，（8分）两式相减，得（10分）==﹣2﹣2（n﹣1）•3n．∴．（12分）18．解析：（Ⅰ）设“两人都享受折扣优惠”为事件A，“两人都不享受折扣优惠”为事件B，则，．因为事件A，B互斥，所以．故这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是．（Ⅱ）据题意，ξ的可能取值为0，1，2．其中，，．所以ξ的分布列是：ξ0 1 2p所以．19．解：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，（4分）∵E、F为PA、PB的中点，∴EF∥AB，∴EF⊥平面PAD；（6分）（II）解：过P作AD的垂线，垂足为O，∵平面PAD⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD．取AO中点M，连OG，EO，EM，∵EF∥AB∥OG，∴OG即为面EFG与面ABCD的交线（8分）又EM∥OP，则EM⊥平面ABCD．且OG⊥AO，故OG⊥EO∴∠EOM 即为所求（11分）在RT△EOM中，EM=OM=1∴tan∠EOM=，故∠EOM=60°∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是60°．（14分）20．解：（I）直线l1的方程为y=x+1，与直线l2：3x+3y+5=0联立可解得，x=﹣，y=﹣，则P（﹣，﹣），则|PF1|+|PF2|=+=2，则a=，c=1，b=1；则椭圆C的方程为．（II）假设存在两定点为A（s，0），B（t，0），使得对于椭圆上任意一点Q（x，y）（除长轴两端点）都有k Qt•k Qs=k（k为定值），即=k，将y2=1﹣代入并整理得（k+）x2﹣k（s+t）x+kst﹣1=0（*）由题意，（*）式对任意x∈（﹣，）恒成立，所以k+=0，k（s+t）=0，kst﹣1=0；解得k=﹣，s=，t=﹣；或k=﹣，s=﹣，t=；．所以有且只有两定点（，0），（﹣，0），使得k Qt•k Qs为定值﹣．21．解：（I）当b=2时，f（x）=lnx﹣﹣2x（x＞0），则因为函数y=f（x）存在单调递减区间，所以f′（x）＜0有解．又因为x＞0时，则ax2+2x﹣1＞0有x＞0的解．①当a＞0时，y=ax2+2x﹣1为开口向上的抛物线，ax2+2x﹣1＞0总有x＞0的解；②当a＜0时，y=ax2+2x﹣1为开口向下的抛物线，若ax2+2x﹣1＞0总有x＞0的解；则需△=4+4a＞0，且方程ax2+2x﹣1=0至少有一正根．此时，﹣1＜a＜0．综上所述，a的取值范围为（﹣1，0）∪（0，+∞）（II）设点A，B的坐标分别是（x1，0），（x2，0），0＜x1＜x2，则点AB的中点横坐标为∵f（x2）﹣f（x1）=lnx2﹣lnx1﹣=0∴lnx2﹣lnx1=f′（x0）==×[]设，则y==，t＞1令r（t）=，则因为t＞1时，r′（t）＜0，所以r（t）在[1，+∞）上单调递减．故r（t）＜r（1）=0而＞0．故f′（x0）＜0．22．证明：（1）连接AB，AC，∵AD为⊙M的直径，∴∠ABD=90°，∴AC为⊙O的直径，∴∠CEF=∠AGD，∵∠DFG=∠CFE，∴∠ECF=∠GDF，∵G为弧BD中点，∴∠DAG=∠GDF，∵∠ECB=∠BAG，∴∠DAG=∠ECF，∴△CEF∽△AGD，∴，∴AG•EF=CE•GD（2）由（1）知∠DAG=∠GDF，∠G=∠G，∴△DFG∽△AGD，∴DG2=AG•GF，由（1）知，∴．23．解：（1）对于C：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，进而x2+y2=4x；对于l：由（t为参数），得，即．（5分）（2）由（1）可知C为圆，且圆心为（2，0），半径为2，则弦心距，弦长，因此以PQ为边的圆C的内接矩形面积．（10分）24．解：（Ⅰ）不等式f（x）+a﹣1＞0即为|x﹣2|+a﹣1＞0，当a=1时，解集为x≠2，即（﹣∞，2）∪（2，+∞）；当a＞1时，解集为全体实数R；当a＜1时，解集为（﹣∞，a+1）∪（3﹣a，+∞）．（Ⅱ）f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x﹣2|＞﹣|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，（7分）又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，于是得m＜5，。

内蒙古赤峰市宁城县2015届高三3月统一考试(一模)物理试题及答案

赤峰市宁城县2015届高三3月统一考试（一模）物理试题注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间为90分钟。

2．请用中性笔直接答在答题纸上。

3．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

第I 卷（选择题，共48分）一、本题共12小题，每小题4分，共48分，在1至8个小题给出的四个选项中，只有一个选项正确，9至12小题有多个选项正确，全选对的得4分；选对但不全的得2分：有选错或不答的得0分． 1．下列叙述正确的是A.牛顿做了著名的斜面实验，得出轻重物体自由下落一样快的结论 B ．法拉第发现了电流的磁效应，揭示了电现象和磁现象之间的联系 C ．伽利略开创了科学实验之先河，他把科学的推理方法引入了科学研究 D.库仑首先提出了电场的概念，并引用电场线形象地表示电场的强弱和方向 2．人站在升降机底板上先由静止开始匀加速上升，而后匀减速上升一段时间后停止，则下列说法正确的是A. 人在升降机中一直处于失重状态B ．人在匀加速上升过程中处于超重状态C ．匀加速上升过程中，升降机底板对人的支持力大于人对底板的压力 D.匀减速上升过程中，升降机底板对人的支持力与人的重力大小相等 3．如图所示为一质点作直线运动的速度一时间图象，下列说法中正确的是A. ab 段与bc 段的速度方向相反B. bc 段与cd 段的加速度方向相反C. ab 段质点的加速度大小为22/m sD ．bd 段质点通过的位移为2m4．如图所示的电路中，闭合开关S ，灯泡L 1和L 2均正常发光，由于某种原因灯泡L 2灯丝突然烧断，其余用电器均不会损坏，则下列结论正确的是A ．电流表读数变大，电压表读数变小B ．灯泡L 1变亮C ．电的输出功率可能变大D ．电容器C 上电荷量减少5．如图所示，竖直平面内有一固定的光滑绝缘椭圆大环，水平长轴为AC ，竖直短轴为ED 。

轻弹簧一端固定在大环的中心O ，另一端连接一个可视为质点的带正电的小环，小环刚好套在大环上，整个装置处在一个水平向里的匀强磁场中．将小环从A 点由静止释放，已知小环在A 、D 两点时弹簧的形变量大小相等。

内蒙古赤峰市宁城县2015届高三3月统一考试(一模)数学(文)试题(有答案)

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1页～第2页，第II 卷第3页～第6页.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．全卷满分150分,考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）1．设集合}032|{2<--=x x x M ,}0log |{21<=x x N ，则N M 等于（）（A ）)1,1(- （B ）)3,1( （C ）)1,0( （D ）)0,1(- 2．下列函数中，在)0(∞+，上单调递增，并且是偶函数的是（）（A ）2x y = （B ）3x y -= （C ）||lg x y -= （D ）xy 2=3．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为（）.（A ）9 （B ）10 （C ）19 （D ）294．已知向量(2,1)=a ，(,)x y =b ，则“4x =-且2y =-”是“∥a b ”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 5．某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是（A ）23 （B ）43 （C ）53 （D ）836．在△ABC 中，点G 是△ABC 的重心，若存在实数,λμ，使AG AB AC λμ=+，则（）（A ）11,33λμ== （B ）21,33λμ== （C ）12,33λμ== （D ）22,33λμ==7. 已知直线m 和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（A ）若αβ⊥，m β⊂，则m α⊥ （B ）若//αβ，//m α，则//m β （C ）若//αβ，m α⊥，则m β⊥ （D ）若//m α，//m β，则//αβ 8．甲、乙两名同学在5次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示，设1x ，2x 分别表示甲、乙两名同学测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差，则有 (A) 12x x =，12s s < (B) 12x x =，12s s >(C) 12x x >，12s s >(D)12x x =，12s s =俯视图侧（左）视图正（主）视图111129．△ABC 的两个顶点为A(-4,0)，B(4,0)，△ABC 周长为18，则C 点轨迹为( ) （A ）191622=+y x (y ≠0) （B ） 192522=+x y (y ≠0)（C ）191622=+x y (y ≠0) （D ）192522=+y x (y ≠0)10．函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到x y ωsin =的图象，只需把)(x f y =的图象上所有点（）（A ）向左平移6π个单位长度（B ）向右平移12π个单位长度（C ）向右平移6π个单位长度（D ）向左平移12π个单位长度11．已知直线x y =按向量a 平移后得到的直线与曲线)2ln(+=x y 相切，则a 可以为（A ）（0，1）（B ）（1，0）（C ）（0，2）（D ）（2，0）12．已知两点(1,0)M -，(1,0)N ，若直线(2)y k x =-上至少存在三个点P ，使得△MNP 是直角三角形，则实数k 的取值范围是（A ）[5,5]- （B ）11[,]33-（C ） 11[,0)(0,]33- （D ）33[,0)(0,]33- 宁城县高三年级统一考试(2015.03.20)数学试题（文科）第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分） 13．若复数i Z +=11, i Z -=32,则=12Z Z . 14.若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值是____________.15. 给出一个如图所示的流程图, 若要使输入的x 值与输出的y 值相等, 则这样的x 值的集合为____________.16．已知数列{}n a 是递增数列，且对任意的自然数n ，2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围为．三、解答题（共6小题，满分70分）17.（本题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 对边分别为,,a b c，且sin cos b A B =. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3,sin 2sin b C A ==，求,a c 的值.18．（本题满分12分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点．（Ⅰ）求证：//PB 平面AEC ；（Ⅱ）若4PA =，求点E 到平面ABCD 的距离．19．（本题满分12分）有20名学生参加某次考试，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：（I ）求频率分布直方图中m 的值；(Ⅱ) 分别求出成绩落在[70,80),[80,90),[90,100]中的学生人数；（III ）从成绩在[80,100]的学生中任选2人，求所选学生的成绩都落在[80,90)中的概率．4653220．（本题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，且C 上任意一点到两个焦点的距离之和都为4．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 设直线l 与椭圆交于P 、Q ，O 为坐标原点，若90POQ ∠=︒，求证2211PQOQ+为定值．1()1ex f x x =+-． 21.（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）过点(0,)B t 能否存在曲线()y f x =的切线，请说明理由．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，BAC ∠的平分线AD 交⊙O 于D ，过点D 作DE AC ⊥交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F .若35AC AB =. (Ⅰ)OD ∥AE ;(Ⅱ)求FDAF 的值.x yQOPFE DOC23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度. 已知曲线2:sin 2cos C a ρθθ=(0)a >，过点(2,4)P --的直线l的参数方程为22,2(24.2x t t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数）.直线l 与曲线C 分别交于M N 、. (Ⅰ)求a 的取值范围; (Ⅱ)若||||||PM MN PN 、、成等比数列,求实数a 的值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数）m x x x f --++=|2||1(|log )(2．（Ⅰ）当7=m 时，求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）若关于x 的不等式2)(≥x f 的解集是R ，求m 的取值范围．宁城县高三年级统一考试(2015.03.20)数学试题（文科）参考答案一、选择题：BABA BACB DCAD二、填空题：13、12i -； 14、53； 15、{}0,1,3； 16、()3,-+∞ 三、解答题：17. 解：（Ⅰ）因为sin 3cos b A a B =，由正弦定理sin sin a bA B=得：sin 3cos B B =，tan 3B =因为02B π<<，所以3B π=---------------------------6分（Ⅱ）因为sin 2sin C A =，由正弦定理知2c a = ① 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得229a c ac =+- ② 由①②得3,23a c ==。

内蒙古赤峰市宁城县高三数学上学期摸底统考试卷文(含

内蒙古赤峰市宁城县2015届高三上学期摸底统考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A={x|y=lnx}，集合B={﹣2，﹣1，1，2}，则A∩B=（）A．（1，2）B．{1，2} C．{﹣1，﹣2} D．（0，+∞）2．（5分）若复数z满足（i是虚数单位），则z=（）A．B．C．D．3．（5分）已知a=3，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a4．（5分）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．5．（5分）已知命题p：∀x∈R，sinx≤1．则￢p是（）A．∃x∈R，sinx≥1B．∃x∈R，sinx＞1 C．∀x∈R，sinx≥1D．∀x∈R，sinx＞16．（5分）等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．37．（5分）曲线f（x）=x3+x在点P处的切线的斜率为4，则P点的坐标为（）A．（1，2）B．（1，2）或（﹣1，﹣2）C．（2，10）D．（2，10）或（﹣1，﹣2）8．（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤），且此函数的图象如图所示，由点P（ω，φ）的坐标是（）A．（2，）B．（2，）C．（4，）D．（4，）10．（5分）设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，给出下列四个命题：①若l⊥α，m⊥α，则l∥m；②若m⊂β，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n；③若m⊂α，m∥n，则n∥α；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中真命题为（）A．①②B．①②③C．②③④D．①③④11．（5分）设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A．[﹣，] B．[﹣2，2] C．[﹣1，1] D．[﹣4，4]12．（5分）函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线一条渐近线的方程是x+2y=0，则该双曲线的离心率是．14．（5分）某校歌咏比赛，据统计，报名的学生和教师的人数之比为5：1，学校决定按分层抽样的方法从报名的师生中抽取60人组队参加比赛，已知教师甲被抽到的概率为0.1，则报名的学生人数是．15．（5分）已知实数x，y满足，则z=x﹣2y的最小值是．16．（5分）根据如图框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是．三、解答题（共5小题，70分，须写出必要的解答过程）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：C1D⊥平面BDC；（Ⅱ）设AA1=2，求几何体C﹣BC1D的体积．19．（12分）某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[50，100），[100，150），[150，200），[200，250），[250，300]，绘制成如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）求续驶里程在[200，300]的车辆数；（Ⅲ）若从续驶里程在[200，300]的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程为[200，250）的概率．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l和椭圆交于两点A，B，且=2，求直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的最大值；（Ⅱ）当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，求实数k的取值范围．四、选做题（本小题满分10分.请考生22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，△ABC是内接于⊙O，直线切⊙O于点，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．（I）求证：△ABE≌△ACD；（Ⅱ）若AB=6，BC=4，求AE．23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系、设曲线C参数方程为（θ为参数），直线l 的极坐标方程为．（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的最大距离．24．若a，b，c∈R+，且a2+b2+c2=1，求证：﹣≤ab+bc+ca≤1．内蒙古赤峰市宁城县2015届高三上学期摸底统考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A={x|y=lnx}，集合B={﹣2，﹣1，1，2}，则A∩B=（）A．（1，2）B．{1，2} C．{﹣1，﹣2} D．（0，+∞）考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：集合A表示的是对数函数的定义域，令真数大于0求出A，利用交集的定义求出A∩B．解答：解：∵A={x|y=lnx}={x|x＞0}又∵B={﹣2，﹣1，1，2}，∴A∩B={1，2}故选B点评：本题考查求对数函数的定义域、考查利用交集的定义求集合的交集．2．（5分）若复数z满足（i是虚数单位），则z=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．分析：由复数方程，直接求z的表达式，然后化简为a+bi（a、b∈R）的形式．解答：解：==，故选A．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（5分）已知a=3，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数和对数函数的单调性求解．解答：解：∵0＜a=3＜30=1，b=log2＜log21=0，c=log＞，∴c＞a＞b．故选：C．点评：本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数和对数函数的性质的合理运用．4．（5分）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，根据所提供的数据可求出正方体、锥体的体积，从而得到答案．解答：解：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，如图所示：所以该几何体的体积为23﹣×22×1=．故选A．点评：本题考查三视图，考查柱体、锥体的体积计算，解决该类问题的关键是由三视图还原得到原几何体，画三视图的要求为：“长对正，高平齐，宽相等”．5．（5分）已知命题p：∀x∈R，sinx≤1．则￢p是（）A．∃x∈R，sinx≥1B．∃x∈R，sinx＞1 C．∀x∈R，sinx≥1D．∀x∈R，sinx＞1考点：特称命题；命题的否定．专题：计算题．分析：根据全称命题的否定是特称命题可得命题的否定为∃x∈R，使得sinx＞1．解答：解：根据全称命题的否定是特称命题可得，命题p：∀x∈R，sinx≤1的否定是∃x∈R，使得sinx＞1故选B．点评：本题主要考查了全称命题与特称命题的之间的关系的应用，属于基础试题6．（5分）等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．3考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．解答：解：∵数列{a n}是等比数列，a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．∴lga1+lga2+…+lga8=lg（a1a2•…•a8）=4lg10=4．故选：C．点评：本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题．7．（5分）曲线f（x）=x3+x在点P处的切线的斜率为4，则P点的坐标为（）A．（1，2）B．（1，2）或（﹣1，﹣2）C．（2，10）D．（2，10）或（﹣1，﹣2）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：利用导数的几何意义，结合曲线f（x）=x3+x在点P处的切线的斜率为4，建立方程，即可求得P点的坐标．解答：解：设切点的坐标为P（a，b），则由y=x3+x，可得y′=3x2+1，∵曲线f（x）=x3+x上的点P处的切线的斜率为4，∴3a2+1=4，∴a=±1，∴b=a3+a=±2，∴P点的坐标为（﹣1，﹣2）或（1，2）故选B．点评：本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．8．（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的含义与物理意义．专题：平面向量及应用．分析：先求出向量、，根据投影定义即可求得答案．解答：解：，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===，故选A．点评：本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，考查向量投影定义，属基础题，正确理解相关概念是解决问题的关键．9．（5分）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤），且此函数的图象如图所示，由点P（ω，φ）的坐标是（）A．（2，）B．（2，）C．（4，）D．（4，）考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：先利用函数图象计算函数的周期，再利用周期计算公式解得ω的值，再将点（，0）代入函数解析式，利用五点作图法则及φ的范围求得φ值，最后即可得点P（ω，φ）的坐标解答：解：由图象可得函数的周期T=2×（﹣）=π∴=π，得ω=2，将（，0）代入y=sin（2x+φ）可得sin（+φ）=0，∴+φ=π+2kπ （注意此点位于函数减区间上）∴φ=+2kπ，k∈Z由0＜φ≤可得φ=，∴点（ω，φ）的坐标是（2，），故选B．点评：本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，利用函数的部分图象求函数解析式的方法，五点作图法画函数图象的应用10．（5分）设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，给出下列四个命题：①若l⊥α，m⊥α，则l∥m；②若m⊂β，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n；③若m⊂α，m∥n，则n∥α；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中真命题为（）A．①②B．①②③C．②③④D．①③④考点：平面的基本性质及推论．分析：选项①结论是根据直线与平面垂直的性质定理得出的故其正确，选项②根据由三垂线定理的逆定理可证，选项③n也可能在平面α内时不正确，选项④举反例，如正方体共顶点的三个平面．解答：解：选项①，可以根据直线与平面垂直的性质定理得出的，故其正确；选项②，根据由三垂线定理的逆定理可证可知正确；选项③，n在平面α内时不正确；选项④，若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β，不正确，如正方体共顶点的三个平面；故选A．点评：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，以及面面垂直的判定等有关知识，同时考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题．11．（5分）设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A．[﹣，] B．[﹣2，2] C．[﹣1，1] D．[﹣4，4]考点：抛物线的应用；直线的斜率；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：根据抛物线方程求得Q点坐标，设过Q点的直线l方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于等于0求得k的范围．解答：解：∵y2=8x，∴Q（﹣2，0）（Q为准线与x轴的交点），设过Q点的直线l方程为y=k（x+2）．∵l与抛物线有公共点，有解，∴方程组即k2x2+（4k2﹣8）x+4k2=0有解．∴△=（4k2﹣8）2﹣16k4≥0，即k2≤1．∴﹣1≤k≤1，故选C．点评：本题主要考查了抛物线的应用．涉及直线与抛物线的关系，常需要把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理或判别式解决问题．12．（5分）函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：分别画出y=2x，y=x2的图象，由图象可以函数与x轴有三个交点，且当x＜﹣1时，y ＜0，故排除BCD，问题得以解决．解答：解：y=2x﹣x2，令y=0，则2x﹣x2=0，分别画出y=2x，y=x2的图象，如图所示，由图象可知，有3个交点，∴函数y=2x﹣x2的图象与x轴有3个交点，故排除BC，当x＜﹣1时，y＜0，故排除D故选：A．点评：本题主要考查了图象的识别和画法，关键是掌握指数函数和幂函数的图象，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线一条渐近线的方程是x+2y=0，则该双曲线的离心率是．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意=，可得e2=1+=，即可得出双曲线的离心率．解答：解：由题意=，∴e2=1+=，∴e=，故答案为：．点评：本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．14．（5分）某校歌咏比赛，据统计，报名的学生和教师的人数之比为5：1，学校决定按分层抽样的方法从报名的师生中抽取60人组队参加比赛，已知教师甲被抽到的概率为0.1，则报名的学生人数是500．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义，即可得到结论．解答：解：∵报名的学生和教师的人数之比为5：1，∴从报名的师生中抽取60人组队参加比赛，则抽取老师的人数为，∵教师甲被抽到的概率为0.1∴报名老师的人数为10÷0.1=100，则报名的学生人数是500，故答案为：500点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件关系建立比例关系是解决本题的关键．15．（5分）已知实数x，y满足，则z=x﹣2y的最小值是﹣13．考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：画出满足约束条件表示的平可行域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入z=x﹣2y中，求出z=x﹣2y的最小值．解答：解：满足约束条件的可行域如下图示：z=x﹣2y的最小值就是直线在y轴上的截距的倍，由图可知，z=x﹣2y经过的交点A（3，8）时，Z=x﹣2y有最小值﹣13故答案为：﹣13．点评：在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．16．（5分）根据如图框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是a n=2n．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式．解答：解：由程序框图知：a i+1=2a i，a1=2，∴数列为公比为2的等比数列，∴a n=2n．故答案为：a n=2n．点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键，属于基础题．三、解答题（共5小题，70分，须写出必要的解答过程）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．考点：等比数列的性质；三角函数中的恒等变换应用；解三角形．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（I）由已知，利用三角函数的切化弦的原则可得，sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinC，利用两角和的正弦公式及三角形的内角和公式代入可得sin2B=sinAsinC，由正弦定理可证（II）由已知结合余弦定理可求cosB，利用同角平方关系可求sinB，代入三角形的面积公式S=可求．解答：（I）证明：∵sinB（tanA+tanC）=tanAtanC∴sinB（）=∴sinB•=∴sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinc∴sinBsin（A+C）=sinAsinC，∵A+B+C=π∴sin（A+C）=sinB即sin2B=sinAsinC，由正弦定理可得：b2=ac，所以a，b，c成等比数列．（II）若a=1，c=2，则b2=ac=2，∴，∵0＜B＜π∴sinB=∴△ABC的面积．点评：本题主要考查了三角形的切化弦及两角和的正弦公式、三角形的内角和定理的应用及余弦定理和三角形的面积公式的综合应用．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：C1D⊥平面BDC；（Ⅱ）设AA1=2，求几何体C﹣BC1D的体积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明DC1⊥BC，DC1⊥DC，利用线面垂直的判定定理，即可证明C1D⊥平面BDC；（Ⅱ）利用V C﹣BC1D=V B﹣CC1D，求几何体C﹣BC1D的体积．解答：（Ⅰ）证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，∴C1D⊥平面BDC；（6分）（2）解：∵ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，AA1=2，∴V C﹣BC1D=V B﹣CC1D=••2•1•1=．（12分）点评：本题考查直线与平面垂直的判定，三棱锥体积的计算，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析表达与运算能力，属于中档题．19．（12分）某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[50，100），[100，150），[150，200），[200，250），[250，300]，绘制成如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）求续驶里程在[200，300]的车辆数；（Ⅲ）若从续驶里程在[200，300]的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程为[200，250）的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．专题：计算题；概率与统计．分析：（I）利用小矩形的面积和为1，求得x值；（II）求得续驶里程在[200，300]的车辆的频率，再利用频数=频率×样本容量求车辆数；（III）利用排列组合，分别求得5辆中随机抽取2辆车的抽法种数与其中恰有一辆汽车的续驶里程为[200，250）抽法种数，根据古典概型的概率公式计算．解答：解：（Ⅰ）由直方图可得：（0.002+0.005+0.008+x+0.002）×50=1，∴x=0.003；（Ⅱ）由题意可知，续驶里程在[200，300]的车辆数为：20×（0.003×50+0.002×50）=5；（Ⅲ）由（Ⅱ）及题意可知，续驶里程在[200，250）的车辆数为3，续驶里程在[250，300]的车辆数为2，从这5辆中随机抽取2辆车，共有=10种抽法；其中恰有一辆汽车的续驶里程为[200，250）抽法有•=6种，∴恰有一辆车的续驶里程为[200，250）的概率为=．点评：本题考查了频率分布直方图，古典概型的概率计算，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l和椭圆交于两点A，B，且=2，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由已知直接得到椭圆的半焦距和椭圆的长半轴，结合隐含条件求得b，则椭圆的方程可求；（Ⅱ）设过点F的直线l的方程是x=my+1，和椭圆方程联立后化为关于y的一元二次方程，由=2得到A，B两点的纵坐标的关系，结合根与系数关系求得m的值，则直线l的方程可求．解答：解：（Ⅰ）由已知得c=1，a=2c=2，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）设直线l的方程是x=my+1，由，消去x并整理得（4+3m2）y2+6my﹣9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，∵，得y1=﹣2y2③，由①②③解得，．因此存在直线l：，使得．点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了向量共线的坐标表示，是压轴题．21．（12分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的最大值；（Ⅱ）当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，求实数k的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求f′（x），通过对f′（x）的判断，得到f（x）在（0，+∞）上的极大值为f（1）=1，该值也是最大值；（Ⅱ）由原不等式得：k≤，令g（x）=，求g（x）在[1，+∞）上的最小值即可．求g′（x）=，能够判断函数x﹣lnx在[1，+∞）上是增函数，最小值为1＞0．所以在得到x≥1时g′（x）＞0，所以g（x）在[1，+∞）上是增函数，最小值为g（1）=2，所以k≤2，所以k的取值范围是（﹣∞，2]．解答：解：（Ⅰ）函数f （x）定义域为（0，+∞），f′（x）=；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0；∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；∴函数f （x）在x=1处取得极大值，也是最大值1；（Ⅱ）由原不等式得：，令g（x）=，则：g′（x）=，令h（x）=x﹣lnx，则：h′（x）=1，∴x≥1时，h′（x）≥0，即h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=1＞0；∴x≥1时，g′（x）＞0；∴g （x）在[1，+∞）上单调递增，g（x）在[1，+∞）上的最小值为g（1）=2；因此，k≤2，即实数k的取值范围为（﹣∞，2]．点评：考查函数导数符号和函数单调性的关系，极大值的概念，以及根据函数的单调性求最小值．四、选做题（本小题满分10分.请考生22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，△ABC是内接于⊙O，直线切⊙O于点，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．（I）求证：△ABE≌△ACD；（Ⅱ）若AB=6，BC=4，求AE．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；直线与圆．分析：（I）在△ABE和△ACD中，由AB=AC，知∠ABE=∠ACD，由∠BAE=∠EDC，BD∥MN，知∠EDC=∠DCN，再由直线是圆的切线能够证明△ABE≌△ACD．（Ⅱ）由∠EBC=∠BCM，∠BCM=∠BDC，知∠EBC=∠BDC=∠BAC，BC=CD=4，由∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB，得到BC=BE=4，△ABE∽△DEC，由此能够推导出AE．解答：解：（I）在△ABE和△ACD中，∵AB=AC，∴∠ABE=∠ACD，∵∠BAE=∠EDC，BD∥MN，∴∠EDC=∠DCN，∵直线是圆的切线，∴∠DCN=∠CAD，∴∠BAE=∠CAD，∴△ABE≌△ACD．（Ⅱ）∵∠EBC=∠BCM，∠BCM=∠BDC，∴∠EBC=∠BDC=∠BAC，BC=CD=4，∵∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB，∴BC=BE=4，△ABE∽△DEC，设AE=x，则，解得DE=，∵AE•EC=BE•ED，∴EC=6﹣x，4•=x（6﹣x），解得x=．点评：本题考查三角形全等的证明，考查线段长的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意与圆有关的线段的应用．23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系、设曲线C参数方程为（θ为参数），直线l 的极坐标方程为．（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的最大距离．考点：椭圆的参数方程；点到直线的距离公式；参数方程化成普通方程；直线的参数方程．专题：直线与圆．分析：（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线C的普通方程．（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值．解答：解：（1）由得ρ（cosθ+sinθ）=4，∴直线l：x+y﹣4=0．由得C：．（2）在C：上任取一点，则点P到直线l的距离为d==≤=3．∴当=﹣1，即+2kπ，k∈z 时，d max=3．点评：本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容，属于中档题．24．若a，b，c∈R+，且a2+b2+c2=1，求证：﹣≤ab+bc+ca≤1．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质及ab+bc+ac+=ab+bc+ac+=≥0，即可得出．解答：证：由a，b，c∈R+，则由基本不等式得：，，．∴ab+bc+ac≤a2+b2+c2．∵a2+b2+c2=1，ab+bc+ac≤1．∵ab+bc+ac+=ab+bc+ac+=≥0，∴ab+bc+ac．综上可得：﹣≤ab+bc+ca≤1．点评：本题考查了基本不等式的性质、配方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

内蒙古赤峰市宁城县高三数学第三次模拟考试试题理

2015年宁城县高三年级统一考试（5.20）数学试卷（理科）注意事项：1、本试卷本分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）～（24）题为选考题，其它题为必考题.2、考生作答时，将答案答在答题卡上，写在本试卷上无效.3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}=01,2,3,4,5,6U ，，集合{}=0,1,2,3A ，{}=3,4,5B ，则(∁U A )=B（A ）{}3 （B ）{}4,5 （C ）{}4,56，（D ）{}0,1,2 2 ．双曲线2213y x -=的渐近线方程为（A ）y = （B ）y x = （C ）2y x =± （D ）y x = 3．二项式621(2)x x +的展开式中，常数项的值是（A ）240 （B ）60 （C ）192 （D ）1804．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（A ）2)(x x f = （B ）xx f 1)(=（C ）x e x f =)(（D ）x x f sin )(=5．αβ，表示不重合的两个平面，m ，l 表示不重合的两条直线．若m αβ=，l α⊄，l β⊄，则“l ∥m ”是“l ∥α且l ∥β”的（A ）充分且不必要条件（B ）必要且不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．若2(2)3ln 21a x dx x+=+⎰，则常数a 的值为（A ）1 （B ）2（C ）-1 （D ）07．在ABC ∆中，2sin sin sin A B C =，π3A ∠=，则B ∠等于（A ）6π （B ）3π （C ）4π （D ）3π或23π8．设函数()11sin 222f x x x πθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且其图像关于y 轴对称，则函数()y f x =的一个单调递减区间是()A 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()B ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()C ,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ()D 3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭9．在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为10. 已知12,F F 分别为椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且2PF 垂直于x 轴．若122||2||F F PF =，则该椭圆的离心率为（A （B （C （D ）211. 在△ABC 中，AB=1，AC=2，120A ∠=︒，点O 是△ABC 的外心，存在实数,λμ，使AO AB AC λμ=+，则（A ）53,44λμ== （B ）45,36λμ== （C ）57,36λμ== （D ）43,34λμ==12. 已知函数()22211,,2(),()441ln 1,,2x x x f x g x x x x x ⎧+⎛⎫∈-∞- ⎪⎪⎪⎝⎭==--⎨⎡⎫⎪+∈-+∞⎪⎢⎪⎣⎭⎩，对于任意的a R ∈，存在实数b 使得()()0f a g b +=，则b 的取值范围是（A ）1ln,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ （B ）11,ln 2⎛⎤- ⎥⎝⎦ （C ）()1,5- （D ）[)1,5-2015年宁城县高三年级统一考试（5.20）数学试卷（理科）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第：24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题共4小题，每小题5分，共20分. 13．i 是虚数单位，复数iiZ -+=221，则=Z ． 14．某校举行的数学建模比赛，全体参赛学生的比赛成绩ξ近似服从正态分布2(70,)N σ，(0)σ>，参赛学生共600名.若ξ在()70,90内的取值概率为0.48，那么90分以上（含90分）的学生人数为 .15．设不等式组1,0,20y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一点M ，则点M 落在圆221x y +=内的概率为___________． 16．设P 是函数()2()0f x x x x=+>的图像上任意一点，过点P 分别向直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅= ___________.三、解答题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17.（本小题满分12分）已知数列{n a }满足()()*11222,1n n n a a a n N n ++==∈+（I ）求{n a }的通项公式；（II ）设{n a }的前n 项和为n S ，证明：12311111n nS S S S n ++++≤+.18．（本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（Ⅱ）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .19. （本小题满分12分）频率/组距己知三棱柱111ABC A B C -，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，90BCA ∠=︒，2AC BC ==，又知11BA AC ⊥(Ⅰ)求证：1AC ⊥平面1A BC ；(Ⅱ)求二面角1A A B C --的余弦值.20．（本小题满分12分）已知直线l 的方程是1y x =-和抛物线2:C x y =，自l 上任意一点P 作抛物线的两条切线，设切点分别为,A B ，（Ⅰ）求证：直线AB 恒过定点.（Ⅱ）求△PAB 面积的最小值.21．（本小题满分12分）1已知bx ax x x f --=2ln )(．记()f x 的导函数是/()f x .(Ⅰ)若1a =-，函数()f x 在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；(Ⅱ) )(x f 的图象与x 轴交于))(0,(),0,(2121x x x B x A <)两点,AB 中点为0(,0)C x ，求证：0)(0<'x f ．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，ABC △内接于圆O ，AD 平分BAC ∠交圆O 于点D ，过点B 作圆O 的切线交直线AD 于点E .（Ⅰ）求证：EBD CBD ∠=∠；（Ⅱ）求证：AB BE AE DC ⋅=⋅.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2sin ρθ=. (Ⅰ)写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； (Ⅱ)已知点1M 、2M 的极坐标分别为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭和()2,0，直线12M M 与曲线2C 相交于,P Q 两点，射线OP 与曲线1C 相交于点A ，射线OQ 与曲线1C 相交于点B ，求2211OA OB +的值.24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数()|2||2|,f x x x a a R =---∈. （Ⅰ）当3a =时，解不等式()0f x >；（Ⅱ）当(,2)x ∈-∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围.2015年宁城县高三年级统一考试（5.20）数学试卷（理科）参考答案一、选择题：BAAD CABC DABC 二、填空题：13、1；14、12；15、8π；16、1-.三、解答题： 17．（Ⅰ）解： 12211231n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=⋅⋅⋅⋅⋅ ()()11*1132221122n n n n n n a n n N n n n --+-=⋅⋅⋅⋅=+∈---------------------5分（Ⅱ）()012122324212n n S n -=⋅+⋅+⋅+++ 设2n S =()12322324212n n ⋅+⋅+⋅+++⋅二式相减得()()()112122122221221221n n n n n S n n ----=++++-+⋅=+-+⋅-所以2n n S n =⋅ -----------------8分因为()0111nn n C C +=++，所以1n ≥时，21n n ≥+（直接写21nn ≥+不扣分）所以()11111211nn S n n n n n =≤=-⋅⋅++ ---------------10分所以123111111111111223111n n S S S S n n n n ++++≤-+-++-=-=+++-----12分（当且仅当1n =时等号“=”成立）18．解（1）设天未来连续，个日销售量低于，个日销售量不低于3{B }50{A }100{A 21===里有连续2天的日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个.所以--4分（2）X 可能的取值为0,1,2,3，相应的概率为分分布列为:-----------8分72.06.016.03D 8.16.03E 6.0,3B ~=-⨯⨯==⨯=）（）（，）（），所以（因为X X X---------------------------------------12分 19.解（Ⅰ）︒=∠90BCA 得AC BC ⊥，因为⊥D A 1底ABC ，所以BC D A ⊥1 又D AC D A = 1，所以⊥BC面AC A 1，所以1AC BC ⊥因为11AC BA ⊥，B BC BA = 1，所以⊥1AC 底BC A 1 ……………………4分(Ⅱ)以C 为坐标原点，射线CA ，CB 为别为,x y 轴，过C 垂直于底面ABC 的直线为z 轴建立空间直线坐标系（如图），---------------5分由（Ⅰ）知平面1A BC 的法向量为(()(12,0,0AC =--=-，-----6分()((10,2,01,2,A B =-=-，()()()0,2,02,0,02,2,0AB =-=-设平面1ABA 的法向量为()000,,m x y z =，则10,0m AB m AB ⋅=⋅=即0000020220x y x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，从而m ⎛= ⎝--------------------------9分1111cos ,73m AC m AC m AC ===分因为1,m AC 均指向1A A B C --外部，所以二面角1A A B C --分 20．（Ⅰ）证明：设()()()221122,,,,,A x x B x x P x y因为()/'22y xx ==，所以切线PA 的方程是()21112y x x x x -=-即2112y x x x += ①，同理切线PB 的方程是2222y x x x += ②--------3分由①②得0120122,x x x y x x =+=，显然直线AB 存在斜率. 设直线AB 的方程是y kx b =+，代入2x y =得20x kx b --=所以1212,x x k x x b +==-，即00,2kx y b ==-，③ 代入001y x =-得12kb -=--------------------------------------------5分即直线AB 的方程是112y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，恒过定点1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭-------------6分（Ⅱ）解：AB =====分点P 到直线AB 的距离是d==分△PAB 的面积()33222211124132444AB d k k k =⋅=⋅-+=-+≥当1k =时△PAB 分21解(1)依题意：2()ln f x x ax bx =--．∴1()2f x x b x '=+- ∵()f x 在(0,)+∞上递增，∴1()20f x x b x '=+-≥对(0,)x ∈+∞恒成立，即12b x x ≤+对(0,)x ∈+∞恒成立，只需min 1(2)b x x≤+． ---------- 3分 ∵0x >，∴12x x +≥x =时取“＝”，∴b ≤b的取值范围为(-∞． ------------------- 5分(2)由已知得221111111222222222()ln ln ()ln ln f x x ax bx x ax bx f x x ax bx x ax bx ⎧⎧=--=+⎪⎪⇒⎨⎨=--=+⎪⎪⎩⎩ 两式相减，得11212122ln ()()()x a x x x x b x x x =+-+-112122ln ()[()]x x x a x x b x ⇒=-++．由1()2f x ax b x'=--及0122x x x =+，得 10012012121221221()2[()]ln x f x ax b a x x b x x x x x x x x '=+-=-++=-++- 11212111212212222(1)2()11[ln ][ln ](1)x x x x x x x x x x x x x x x x --=-=--+-+------------8分令()()()1221.ln 011t x t t t t x t ϕ-==-<<+． ∵()()()2/101t t t t ϕ-=-<+，∴()t ϕ在(0,1)上递减，---------10分 ∴()(1)0t ϕϕ>=．又12x x <，0()0f x '∴< ------------- 12分22. （1）∵BE 为圆O 的切线，∴∠EBD =∠BAD ………………2分又∵AD 平分∠BAC ∴∠EBD =∠CAD ………………4分又∵∠CBD =∠CAD ∴∠EBD =∠CBD …………5分（2）在△EBD 和△EAB 中，∠E =∠E ，∠EBD =∠EAB∴△EBD ∽△EAB ………………7分 ∴BE BD AE AB=∴AB •BE =AE •BD ………9分又∵AD 平分∠BAC ∴BD =故AB •BE =AE •DC ………………10分 23.解：（1）曲线1C 的普通方程为2214x y +=，化成极坐标方程为2222cos sin 14ρθρθ+= -----------3分曲线2C 的直角坐标方程为()2211x y +-= ……………5分（2）在直角坐标系下，()10,1M ，()22,0M ，线段PQ 是圆()2211x y +-=的直径 ∴90POQ ∠= 由OP OQ ⊥ 得OA OB ⊥,A B 是椭圆2214x y +=上的两点，在极坐标下，设()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 分别代入222211cos sin 14ρθρθ+=中，有222211cos sin 14ρθρθ+=和222222cos 2sin 142πρθπρθ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭++= ⎪⎝⎭ 22211cos sin ,4θθρ∴=+ 22221sin cos 4θθρ=+ 则22121154ρρ+=，即221154OA OB+=. ……………10分24．解：（1）1, 23()53, 2231, 2x x f x x x x x ⎧⎪->⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-<⎪⎩ ……………………2分 210, 1,35352530, ,2323x x x x x x x >-><∅≤≤-><≤<当时，即解得当时，即解得 3310, 1,122x x x x <->><<当时，即解得 513x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭不等式解集为 ……………………6分（2）22|2|02|2|23a x x a x x a x a x +---<⇒-<-⇒<->或恒成立即4a ≥ ……………10分。

内蒙古赤峰市宁城县2015届高三第三次模拟考试理综试卷 Word版含答案

2015年宁城县高三年级统一考试（5.20）理科综合能力测试注意事项：1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，答题前考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。

2.答第I卷时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.答第II卷时,必须在题号所指示的答题区答题，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，务必将答题卡和答题卷一并上交。

5.可能用到的相对原子质量：H—1 D—2 C—12 O—16 Na—23 Ca—40 Fe—56第Ⅰ卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列实验叙述正确的是：A. 观察口腔上皮细胞时使用活体染色剂甲基绿染色, 能观察到线粒体B. 色素分离实验中色素带由下至上分别为黄绿色、蓝绿色、黄色、橙黄色C. 采集、调查土壤中小动物丰富度的方法是目测估计法D. 用显微镜观察洋葱鳞片叶表皮细胞的质壁分离实验,能看到细胞膜、叶绿体2. 关于细胞生命历程的叙述，正确的是A．细胞癌变是正常基因突变为原癌基因的结果B．细胞衰老时，自由水会减少，代谢会减慢C．细胞分化只发生在胚胎发育阶段D．细胞中产生了解旋酶和DNA聚合酶，就表示细胞已经高度分化3．三叶草是牛的饲料，三叶草传粉受精靠土蜂，土蜂的天敌是田鼠，田鼠喜食土蜂的蜜和幼虫，常常捣毁土蜂的蜂巢，影响三叶草的传粉，猫是田鼠的天敌。

下列叙述错误．．的是A．三叶草属于第一营养级B．多养猫可以提高三叶草的产量C．可用标志重捕法调查该生态系统中各种动物的种群数量变化D．田鼠等消费者的存在可加快该生态系统的物质循环4. 将n块（n＞5）质量、体积相同并去皮的马铃薯块分别放在较高的不同质量浓度的蔗糖溶液中，15min后，测定马铃薯块的质量，并根据测定结果制成坐标图。

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内蒙古赤峰市宁城县2015届高三3月统一考试（一模）数学（理）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1页～第2页，第II 卷第3页～第6页.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．全卷满分150分,考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）1．设集合}032|{2<--=x x x M ,}0log |{21<=x x N ，则N M 等于（A ）)1,1(- （B ）)3,1( （C ）)1,0( （D ）)0,1(-2. 若复数i Z +=11, i Z -=32,则=12Z Z （A ）1i + （B ）12i + （C ）12i - （D ）22i -3．双曲线22a x -22by =1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为（A ） 2 （B ）3（C ）2（D ）23 4．已知向量(2,1)=a ，(,)x y =b ，则“4x =-且2y =-”是“∥a b ”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件5. 如右图所示的程序框图的输出值]2,1(∈y ，则输入值x 的范围是（A ）(],3-∞ （B ）[)21,log 3- （C ）[)(]2log 3,11,3--（D ）[)(]2log 3,01,3-6. 已知直线m 和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（A ）若αβ⊥，m β⊂，则m α⊥ （B ）若//αβ，//m α，则//m β （C ）若//m α，//m β，则//αβ （D ）若//αβ，m α⊥，则m β⊥7．已知直线x y =按向量a 平移后得到的直线与曲线)2ln(+=x y 相切，则a 可以为（A ）（0，1）（B ）（1，0）（C ）（0，2）（D ）（2，0） 8．函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到x y ωsin =的图象，只需把)(x f y =的图象上所有点（A ）向左平移6π个单位长度（B ）向右平移12π个单位长度（C ）向左平移12π个单位长度（D ）向右平移6π个单位长度9．抛物线23y x =-+上存在关于直线0x y +=对称的相异两点A 、B ，则AB 等于（A ）3 （B ）4 （C ）（D ）10．2014年11月，亚太经合组织领导人非正式会议在北京召开，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他人所站的位置不做要求，那么不同的排法共有(A) 1818A 种(B)218218A A 种(C)281031810A A A 种(D)2020A 种11．在△ABC 中，AB=4，AC=3，60A ∠=︒，点H 是△ABC 的垂心，设存在实数,λμ，使AH AB AC λμ=+，则（A ）15,69λμ== （B ）24,99λμ== （C ）15,39λμ== （D ）14,69λμ==12. SC 为球O 的直径，B A ,是该球球面上的两点，4,2π=∠=∠=BSC ASC AB ，若棱锥SBC A -则球O 体积为（A ）43π （B ）323π（C ）π27 （D ）π34宁城县高三年级统一考试(2015.03.20)数学试题（理科）第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分） 13．若21()n x x-展开式中的所有二项式系数和为512，则展开式中的常数项为 .14. 某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是．15.已知实数,x y 满足约束条件110x y y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，若目标函数()1z a x ay =-+在点（-1，0）处取得最大值，则实数a 的取值范围为_________．16．已知直角△ABC 的内切圆半径为1，则△ABC 面积的最小值是________________.三、解答题（共6小题，满分70分）17.（本题满分12分）已知数列{}n a 中，n S 是它的前n 项和，并且142(12)n n S a n +=+=，，，11a =．（Ⅰ）设12n n n b a a +=-，求证：数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）设2nn n a c =，求证：数列{}n c 是等差数列．18．（本题满分12分）在某次考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分的为及格. (Ⅰ)用样本估计总体，请根据茎叶图对甲乙两个班级的成绩进行比较.(Ⅱ)求从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一俯视图侧（左）视图正（主）视图人，已知有人及格的条件下乙班同学不及格的概率；(Ⅲ)从甲班10人中抽取一人，乙班10人中抽取二人，三人中及格人数记为X ，求X 的分布列和期望.19．（本题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA AB = ，点E 是PD 的中点，作EF PC ⊥交PC 于F . （Ⅰ）求证：PC ⊥平面AEF ；（Ⅱ）求二面角A PC D --的大小.20．（本题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，且C 上任意一点到两个焦点的距离之和都为4．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；线l(Ⅱ) 如图，设A 是椭圆长轴一个顶点，直与椭圆交于P 、Q （不同于A ），若90PAQ ∠=︒，求证直线l 恒过x 轴上的一个定点，并求出这个定点的坐标．21.（本小题满分12分）设函数)1ln(1)(2++-=x x x f （I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）若不等式2()1kxf x x x +>+ ，（k N *∈）在),0(+∞上恒成立，求k 的最大值.请考生在22,23,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，BAC ∠的平分线AD 交⊙O 于D ，过点D 作DE AC ⊥交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F .若35AC AB =， (Ⅰ)求证OD ∥AE ； (Ⅱ)求FDAF的值.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度. 已知曲线2:sin 2cos C a ρθθ=(0)a >，过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为2,(4.x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数）.直线l 与曲线C 分别交于M N 、. (Ⅰ)求a 的取值范围;(Ⅱ)若||||||PM MN PN 、、成等比数列,求实数a 的值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数）m x x x f --++=|2||1(|log )(2． (Ⅰ)当7=m 时，求函数)(x f 的定义域；(Ⅱ)若关于x 的不等式2)(≥x f 的解集是R ，求m 的取值范围．宁城县高三年级统一考试(2015.03.20)数学试题（理科）参考答案一、选择题：BCAA CDAD CBAB二、13、84；14、43；1516、3+. 三、17. 解（1）142n n S a +=+∵，2142n n S a ++=+，两式相减，得：2114()n n n n S S a a +++-=-，即：2144n n n a a a ++=-，变形得：21122(2)n n n n a a a a +++-=-，12n n n b a a +=-∵，即12n n b b +=；--------------------6分因为12142a a a +=+，即21325a a =+=，所以12123b a a =-= ∴数列{}n b 是以3为首项，以2为公比的等比数列；（2）因为2n n n a c =，1111222n n n n n n n n a a b c c ++++-=-=． 132n n b -=∵代入得：13(12)4n n c c n +-==，，，∴数列{}n c 是以12为首项，34为公差的等差数列．-----------------12分…………………12分18、解：（1）从茎叶图可以得到：甲班的平均分为89分；乙班平均分为89分。

甲班的方差>乙班的方差所以甲乙两班平均分相同，但是乙班比甲班成绩更集中更稳定。

……（4分）（本小问只要学生说出两点以上正确的分析内容就可以给分）（2）事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格”记A; 事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，乙班同学不及格”记B 则()()()2/7P A B P B A P A ⋅== ……………………（8分）（3）X 的取值为0,1,2,3，分布列为X 01 2 3P2151945 1645 445期望()75E X =……………………（12分） 19．解：（Ⅰ）∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ∴PA CD ⊥∵CD AD ⊥，PA AD A =∴CD ⊥平面PAD --------------------3分 ∵AE ⊂平面PAD ， ∴CD AE ⊥∵E 是PD 的中点，PA AD = ∴AE PD ⊥ ∵PD CD D =∴AE ⊥平面PCD ----------------------5分而PC ⊂平面PCD ， ∴AE PC ⊥又EF PC ⊥，AE EF E =PC ⊥平面AEF -----------------6分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设1AB =则(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,0,0)(0,0,1)(1,0,1)AP AC DC PD ====-=-------7分设平面APC 的法向量是111(,,)m x y z =，则0,0AP m AC m ⋅=⋅=，所以10z =，110x y +=，即(1,1,0)m =- -------------------9分设平面DPC 的法向量是222(,,)n x y z =，则0,0DC n PD n ⋅=⋅= 所以20y =，220x z -=，即(1,0,1)n = ---------------10分1cos ,22m n m n m n⋅<>===⋅⋅，即面角A PC D --的大小为60︒.----------12分 20．解：（Ⅰ）24,2a a ==，c c a ==1b ==，所以椭圆的方程是2214x y +=.---------------------------3分（Ⅱ）设直线AP 的方程为1:(2)l y k x =-，()11,P x y由221,4(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，2222(14)161640k x k x k +-+-=.------------5分则212164214k x k -⋅=+，所以2128214k x k-=+，1124(2)41k y k x k=-=-+，因为90PAQ ∠=︒，设()22,Q x y以1k-代换11,x y 表达式中的k ，得222824k x k -=+，2244k y k =+ -----8分设直线PQ 交x 轴于点M(m,0), MPMQ222824(,)4141k k MP m k k -=--++,222824(,)44k kMQ m k k-=-++，所以222222824824()()()0414441k k k km m k k k k ------=++++---------------10分225(1)6(1)m k k +=+则65m =，所以直线EF 过定点6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭.---------------12分 21.解：（I ）函数)(x f 的定义域为),1(+∞-.x x x f 211)(-+=' 由0)(>'x f ，得2131-<<-x ；由0)(<'x f ，得213->x 所以函数)(x f 的增区间为)213,1(--，减区间为),213(+∞-. …………………4分（II ）（解法一）由已知21)(x x kxx f -+>在),0(+∞上恒成立. 则[])0(,)1ln(1)1(>+++<x x x x k ,令[])0(,)1ln(1)1()(>+++=x x x x x g则2)1ln(1)(x x x x g +--='，设)0(),1ln(1)(>+--=x x x x h 则1()1011xh x x x '=-=>++，所以函数)(x h 在),0(+∞单调递增. …………………6分而,03ln 1)2(<-=h 04ln 2)3(>-=h由零点存在定理，存在)3,2(0∈x ，使得0)(0=x h ，即00)1ln(1x x =++，又函数)(x h 在),0(+∞单调递增，所以当),0(0x x ∈时，0)()(0=<x h x h ；当),(0+∞∈x x 时，0)()(0=>x h x h . 从而当),0(0x x ∈时，0)()(2<='x x h x g ；当),(0+∞∈x x 时，0)()(2>='xx h x g所以)(x g 在),0(+∞上的最小值[]1)1ln(1)1()()(00000+=+++==x x x x x g x g因此0)(>x f 在),0(+∞上恒成立等价于1)(0min +=<x x g k …………………10分由)3,2(0∈x ，知)4,3(10∈+x ,所以k 的最大值为3.………………12分解法二：由题意()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()'22'21ln 1 0+11ln 1 0111 g 61111.1 g =0, g 0101g 081 g 011+ g 110ln 2kxx x kxg x x x x x k kx x x x xk x x g x x k x k k x g k g k k k ++>∞+=++->+--=-=+++=>∴=>+>>--∞∴-->-+在，上恒成立设：分当时，则单增，即恒成立.分2.当时，则在，单减，，单增最小值为，只需即可即：()()()()()()()'010ln 2 11 h =0, 2ln 20, 3ln 310,4ln 420 k=312h k k k k kk h k k>=-+>-<=>=->=-<∴分设：单减则：h h h 分22、解：(Ⅰ)连接OD ，BC ，设BC 交OD 于点M.因为OA=OD,所以∠OAD=∠ODA;----------2分又因为∠OAD=∠DAE,所以∠ODA=∠DAE所以OD//AE ；----------------------------4分 (Ⅱ)因为AC ⊥BC,且DE ⊥AC ，所以BC//DE 。