同济第3版-高数-(5.2) 第二节 微积分基本公式
高数同济5.2微积分的基本公式
第五章
微积分的基本公式
一、引例 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼兹公式
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数 之间有关系: 与速度函数
s(t ) v(t )
物体在时间间隔 内经过的路程为
T
T2
1
v(t ) d t s (T2 ) s (T1 )
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
刹车, 问从开始刹
)
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
2 2
即
得
5 t2 2
故在这段时间内汽车所走的距离为
s v(t ) d t (10 5t ) d t 10 t
0 0
2 0 10 (m)
练习1 计算 2 1 sin 2 x dx .
0
例3.
证明
只要证
在 证:
内为单调递增函数 .
F ( x) 0
x 0
x f ( x) f (t ) d t f ( x) t f (t ) d t
0
x
0 f (t ) d t
x 2
2
f ( x) ( x t ) f (t ) d t
x
0 f (t ) d t
2
2 sin x cos x dx cos x sin x 02 0.
0
?
原式 2 sin x cos x dx
0 4 0
sin x cos x 0 cos x sin x 2
cos x sin x dx 2 sin x cos x dx
数学微积分公式大全
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微积分是数学中一个重要的分支，它不仅是高等数学，工程学，物理学等领域的重要理论基础，而且在实际工作中也有广泛的应用。
所以，掌握微积分的公式是学习微积分的必备条件。
以下是数学微积分中常用的几个公式：
1.积公式：
（1）梯形公式：∫f（x）dx=（f（a）+f（b））/2*（b-a）
（2）抛物线公式：∫f（x）dx=（f（a）+4f（（a+b）/2）+f（b））/6*（b-a）
（3）Simpson公式：∫f（x）dx=（f（a）+4f（（a+b）/2）+f （b））/3*（b-a）
2.数公式：
（1）泰勒公式：f（x）=f（x）+f（x+h）/h
（2）差分公式：f（x）=（f（x+h）-f（x-h））/2h
（3）高阶差分公式：f（x）=（f（x+h）-2f（x）+f（x-h））/h^2 3.数极限公式：
（1）接近无穷大的极限：limx→∞f（x）=L（L可以是无穷大或者无穷小）
（2）无穷微小值的极限：limx→0f（x）=L（L可以是无穷大或者无穷小）
4.分方程公式：
（1）常微分方程：y=f（x,y）,y（x0）=y0
（2）偏微分方程：u（x,y）=f（x）（也称作拉普拉斯方程）
（3）双曲型微分方程：u（x,y）=f（x，y）
（4）积分方程：y=f（x）+F（x）
上述公式只是数学微积分中一小部分，它们虽然不多，但是包含着微积分的主要概念。
如果能够熟练掌握，就可以解决微积分中的各种问题。
此外，我们还应该注意微积分中其他重要的概念，比如微元、极限、曲线积分、积分变换等。
只有充分地了解这些概念和公式，才能更好地掌握微积分，帮助我们理解其中的精髓。
高等数学同济版大学微积分公式
2
2
弧微分公式：ds = 1+ y′2 dx,其中y′ = tgα
平均曲率：K = ∆α .∆α : 从M点到M′点，切线斜率的倾角变化量；∆s：MM ′弧长。 ∆s
M点的曲率：K = lim ∆α = dα =
y′′ .
∆s→0 ∆s ds
(1+ y′2 )3
直线：K = 0;
半径为a的圆：K = 1 . a
=
2 0
sin n
xdx
2
=
0
cosn
xdx
=
n −1 n
In−2
∫ x2 + a2 dx = x x2 + a2 + a2 ln(x + x2 + a2 ) + C
2
2
∫ x2 − a2 dx = x x2 − a2 − a2 ln x + x2 − a2 + C
2
2
∫ a2 − x2 dx = x a2 − x2 + a2 arcsin x + C
2!
k!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a) 柯西中值定理：f (b) − f (a) = f ′(ξ )
F (b) − F (a) F ′(ξ ) 当F(x) = x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率
3
空间解析几何和向量代数：
ctg2α = ctg 2α −1 2ctgα
tg 2α
=
2tgα 1− tg 2α
sin 3α = 3sinα − 4sin3 α cos 3α = 4 cos3 α − 3cosα tg3α = 3tgα − tg 3α
同济大学第三版上册高数微积分预备知识
o
x
五、复合函数
1.复合函数
设 y u, u 1 x 2 ,
定义:
y 1 x2
设函数 y f (u) 的定义域D f , 而函数
u ( x ) 的值域为Z , 若 D f Z , 则称
函数 y f [( x )]为x 的复合函数.
预备知识
一、集合 二、函数
一、集合
1.集合(set)
具有某种特定性质的事物的全体叫做集合,
组成这个集合的事物称为该集合的元素. 事物 a 是集合 A 的元素，记作 aA ; 事物 a 不是集合 A 的元素，记作 aA .
集合具有特性：1.确定性；
2.互异性；
3.无序性；
2. 集合的表示法： 1) 列举法：集合 A 由元素 a1 , a2 , ... , an 构成， 记 A={ a1 , a 2 , ... , an } 2)描述法：集合 A 由具有性质 P 的元素 x 构成， 记 A={ x | x 具有性质 P }.
3l 2
l 2
l 2
3l 2
四、反函数
1.反函数： (inverse function) 设 y f ( x ) 的定义域为 D , 值域为 W , 对 y W
总有确定的 x D 使得 f ( x ) y , 把 y 看作自变量 , 则 x 是 y 的函数 , 称之为 y f ( x ) 的反函数 , 记为 x ( y) .
o
I
x
设函数 f ( x )的定义域为 , 区间I D, D
如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时,
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高等数学常用公式导数公式:基本积分表: 三角函数有理式积分:secx 一 tgxdx - secx + C狂厅R2nJIn - J sin" xdx =J cos" xdx - 0 0______ = 2 _______________________________\y/x +a dx = — y lx +a + gln(x + y/x +孑)+ C2 2(tgxY = sec 2 x (ctgx\ = ~cscr x (secx)'二 secx • fgx (cscx)' = ~cscx~ ctgx (ay = a " \na (bgaX)'二-/——xin(arcs i nx)"二(arccosL¥ )"= ——，Vl-x 2 (arctgxY =" --------- (arcctgxy 二 -----------z;1 +尸tgxdx - - In 1cos+2sec xdx = tgx + Cctgxdx 二 I n | s i n x | COS x J 心川 c sc 2 xdx = ~ctgx + Cjsec,vJx 二 In |sec x ++c scxdx 二 In |CSCX-ctgx\ + C r dx 1 x 「------- --- -arctg~+C Jo + a ac sex ■ ctgxdx - — c sex + C [a dx — + CJ I n ashxdx = chx + Cx~a厂一J~ 2a a~xf dx. x. ----------- =arc sin ——+ CJ. /7T7 achxdx = shx +cL 「二 ln(x + 11x ±a) + 0f ylx-a dx = -ylx2~a2 -一 1 n x + J_ 日 ~ + J 2 2arcsi iw + CJ 2 2,2u 1 — ” 2sin x ----- ----- c osx 二 ------- ？1 + w2 1 + w 2两个重要极限:v s i nx ,I i n i ----- 二 1 xT)工双曲余弦：C/LX 二 ________ 双曲正切：〃 …chx e +earshx = \n(x + y/x +1) archx - ± I n (x + y/x - 1)f 1, 1+x arthx =——I n 一一2 l-x三角函数公式: •诱导公式：「数角A\s i nCOS喏Ctg-a -si i ia cosa - tga 一 ctga90° -a cosa sinactga tga 900+a cosa 一 s i na- ctga - tga 180° -a sma-cosa-tga - ctga 180° +a -s i i i a -cosatga ctga 270° -a 一 cosa-s i na ctga tga 270° +a -cosa sina - ctga - tga 360° -a -si i ia cosa -tga - ctga 360° +asmacosatgactga'和差化积公式:一些初等函数: I im (1 +1)n 二 c 二 2. 718281828459045...s i n (a±/7)二 s i nacos/ ctg(a±f!)二tgg 箜空拼/? + sin<zs in 止+t 観第gtgfl + \ctgP±ctgas i n a + s i n p - 2s i ns i n cr~s \v\ J3 - 2coscosa + cos/3 -2cosa. c • a 十 TI . s in -------------------a+ b .. a~p -------- s i n -------- z za+6 a-p ------ cos • • • •一a~p cosa-cosp 二 z cos (a±/7) 槌(a±fl)直线：K 二0;定积分的近似计算：矩形法：j 刊《勺，（%+>• i +…+）•倍角公式:sin 2a - 2s i necosacos2a = 2cos- a~l = 1 ~2s i rT a 二 cos-(z-sin- a sin 3a - 3s i n6Z~4s in, ctga-\2ctga2iga_屋cos3a 二 4cos a~3cosccig2a -ig2a -1 a・半角公式:os6Z sin ——y ——a |I + cos<z 2 2-a , iI-cosa I-cosa sin a 7 2 \ 1+cosa sina 1 + cosa. 日丄十cosaC^FvF-dbsasinaf 正弦定理：急=焉=短二2R•余弦定理： c =a +b 2 ~2abcosC cosa sina1-cosa•反三角函数性质:arcs i nx = --arccosx 2 高阶导数公式一莱布尼兹（Le ibniz ）公式:7t arctgx =—arcct^x中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：/⑸一/（〃）二:⑹Si ）/ （ 〃 ）——/ （ 〃丿 f ■ （4柯西中值定理:尸® _尸3）二戸晅当F （x ）二MH,,柯西中值定理就般格朗日中值定理V ：曲率：弧微分公式：ds 二J1 +）八dx,其中）/二rga平均曲率&从M 点到IT 点，切线斜率的倾角变化量；As ： As弧长。
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高数微积分公式大全1.极限和连续：- 函数f(x)在x=a处连续的充分必要条件是：$\lim_{x\toa}f(x)=f(a)$- 若$\lim_{x\to a}f(x)=A$，$\lim_{x\to a}g(x)=B$，则$\lim_{x\to a}[f(x)\pm g(x)]=A\pm B$- $\lim_{x\to a}[f(x)g(x)]=\lim_{x\to a}f(x)\cdot\lim_{x\to a}g(x)$- 若$\lim_{x\to a}f(x)=A$，$\lim_{x\to a}g(x)=B\neq0$，则$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$- $f(x)$在$a$点附近可导的充分必要条件是：存在常数$A$和$B$，使得$x\to a$时，$f(x)-f(a)=A(x-a)+o(x-a)$，且$A=B$-若$f(x)$在$a$点可导，则$f(x)$在$a$点连续2.微分中值定理：- 若$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可微，则在$(a,b)$内存在一点$c$，使得$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ - 若$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且在开区间$(a,b)$上可导，且存在常数$M$，使得$，f'(x)，\leq M$，则$f(x)$在闭区间$[a,b]$上有界3.微分法：-$(C)'=0$，其中$C$为常数- $(x^n)'=nx^{n-1}$，其中$n$为实数- $(\sin x)'=\cos x$，$(\cos x)'=-\sin x$，$(\tan x)'=\sec^2 x$- $(e^x)'=e^x$，$(a^x)'=a^x\ln a$- $(\ln x)'=\frac{1}{x}$，$(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$4.积分法：- $\int k\,dx=kx+C$，其中$k$为常数，$C$为常数- $\int x^n\,dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$，其中$n$为实数，$C$为常数- $\int \frac{1}{x}\,dx=\ln ，x，+C$，其中$C$为常数- $\int e^x\,dx=e^x+C$- $\int \sin x\,dx=-\cos x+C$，$\int \cos x\,dx=\sin x+C$，$\int \sec^2 x\,dx=\tan x+C$- $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\arcsin x+C$5.微分方程：- $y'+P(x)y=Q(x)$的通解为$y=e^{-\int P(x)\,dx}\left(\intQ(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx+C\right)$，其中$P(x)$和$Q(x)$是已知函数- $y''+P(x)y'+Q(x)y=R(x)$的通解是$y=e^{-\intP(x)\,dx}\left[A\int e^{\intP(x)\,dx}R(x)\,dx+B\right]+C_1e^{kx}+C_2e^{kx}$，其中$k$为$P(x)$的重根，$A$和$B$为任意常数，$C_1$和$C_2$为任意常数这只是微积分中的一些重要公式，还有许多其他的公式和定理可以用于不同的问题和应用中。
同济大学微积分第三版课件第三章第二节
aa
注 本题中的两个积分结果也是常用的积分基本公式.
c o s 2x 1 1 c o s2 x , s in 2x 1 1 c o s2 x ,
2
2
sin2x2sinxcosx,
c o s c o s 1 2 c o s c o s , .
例9 计算下列积分:
⑴ sin3 xdx,
二、第二类换元法
定理 设 x t 是单调的、可导函数, 且t 0,
又 f tt有原函数, 则有换元公式
fxd x fttd t t 1x.
证 设 f tt的原函数为 t , 记
⑵ sin2xcos5xdx,
⑶ cos4 xdx,
⑷ sec6 xdx.
解 ⑴ s in 3 x d x 1 c o s 2 x d c o s x
cosx1cos3xC. 3
⑵ s in 2 x c o s 5 x d x s in 2 x 1 s in 2 x 2 d s in x
f ttdt . t1x
上述积分方法即称为第二类换元积分法.
一般, 当被积函数中含有 x2a2, a2x2等因子时
可通过适当的三角代换来求出相应的积分. 常用代换有:
a 2 x 2 , 作代换, x asint, x 2 a 2 , 作代换 xatant, x 2 a 2 , 作代换 xasect. a b x ,作代换 abx t.
解⑴
cscxdxsi1nxdx
2sin
1 xcos
x
dx
1
sec2
x 2
2 tanx
dx
22
2
同济大学-高等数学微积分教案
第一章：函数与极限1.1 初等函数图象及性质1.1.1 幂函数函数（m 是常数）叫做幂函数。
幂函数的定义域，要看m 是什么数而定。
例如，当m = 3时，y=x3的定义域是(-∞ ,+∞)；当m = 1/2时，y=x1/2的定义域是[0,+∞ )；当m = -1/2时，y=x-1/2的定义域是(0,+∞ )。
但不论m 取什么值，幂函数在(0,+∞)内总有定义。
最常见的幂函数图象如下图所示：[如图]1.1.2 指数函数与对数函数1．指数函数函数y=a x（a是常数且a>0,a≠1）叫做指数函数，它的定义域是区间(-∞ ,+∞)。
因为对于任何实数值x，总有a x >0，又a0=1，所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点(0,1)。
若a>1，指数函数a x是单调增加的。
若0<a<1，指数函数a x是单调减少的。
由于y=(1/a)-x=a-x，所以y=a x的图形与y=(1/a)x的图形是关于y轴对称的（图1-21）。
[如图]2．对数函数指数函数y=a x的反函数，记作y=log a x（a是常数且a>0，a≠1），叫做对数函数。
它的定义域是区间(0,+∞)。
对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称（图1-22）。
y=log a x的图形总在y轴上方，且通过点(1,0)。
若a>1，对数函数log a x是单调增加的，在开区间(0,1)内函数值为负，而在区间(1,+∞)内函数值为正。
若0<a<1，对数函数log a x是单调减少的，在开区间(0,1)内函数值为正，而在区间(1,+∞)内函数值为负。
[如图] 1.1.3 三角函数与反三角函数1．三角函数正弦函数和余弦函数都是以2π为周期的周期函数，它们的定义域都是区间(-∞ ,+∞)，值域都是必区间[-1,1]。
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
正切函数和余切函数都是以π为周期的周期函数，它们都是奇函数。
(完整版)微积分公式大全
(完整版)微积分公式大全1. 极限极限是微积分的基本概念之一，用于描述函数在某一点处的趋近情况。
常见的极限公式包括：- $\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$：函数 $f(x)$ 在点 $a$ 处的极限为 $L$。
- $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = L$：函数 $f(x)$ 在正无穷远处的极限为 $L$。
- $\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = L$：函数 $f(x)$ 在点 $a$ 的右侧极限为 $L$。
- $\lim\limits_{x \to a^-} f(x) = L$：函数 $f(x)$ 在点 $a$ 的左侧极限为 $L$。
2. 导数导数用于描述函数在某一点处的斜率，常见的导数公式有：- $\frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = \frac{d}{dx}f(x) +\frac{d}{dx}g(x)$：和的导数等于各个函数导数之和。
- $\frac{d}{dx}(k \cdot f(x)) = k \cdot \frac{d}{dx}f(x)$：常数倍的函数导数等于常数与函数导数的乘积。
- $\frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) = f(x) \cdot \frac{d}{dx}g(x) + g(x) \cdot \frac{d}{dx}f(x)$：乘积的导数等于第一个函数乘以第二个函数的导数再加上第二个函数乘以第一个函数的导数。
- $\frac{d}{dx}(f(g(x))) = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$：复合函数的导数等于外函数对内函数的导数乘以内函数对自变量的导数。
3. 积分积分是导数的逆运算，用于计算曲线与坐标轴之间的面积或曲线的长度。
常见的积分公式有：- $\int f(x) dx$：函数 $f(x)$ 的不定积分。
2 微积分基本公式
a
F ( x ) f ( t )dt C F (a ),
x a
a
x
f ( t )dt F ( x ) F (a ),
令 x b, 得到
a f ( x )dx F (b) F (a ).
b
牛顿—莱布尼茨公式
b a
f ( x )dx F ( b ) F ( a ) F ( x )
例 5 求积分 2 max{ x , x 2 }dx .
2
y
y x2
解 由图形可知
f ( x ) max{ x , x }
2
y x
2
o
1
2
x
x2 2 x 0 x 0 x 1 , x2 1 x 2
原式
0 2
11 x dx xdx x dx . 2
证明 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
又 ( x ) ax f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数，
F ( x ) ( x ) C , x [a, b].
令 x a F ( a ) ( a ) C ,
( a ) f ( t )dt 0 F (a ) C ,
cos2 x
x0
( sin x ) 2x
sin x e lim 2x
x0
cos2 x
1 . 2e
例2 设 f ( x ) 在 ( , ) 上连续，且 f ( x ) 0. ( t )dt 证明函数 F ( x ) x 在 (0, ) 内为单调 0 f ( t )dt
解
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高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：函数 角A sin cos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90°-α cosα sinα ctgαtgα 90°+α cosα -sinα-ctgα -tgα180°-α sinα -cosα -tgα -ctgα 180°+α -sinα-cosα tgαctgα 270°-α -cosα -sinα ctgα tgα 270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360°+αsinαcosαtgαctgα·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
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2
1 1 n n 1 2n 1 1 1 1 2 i 3 6 6 n n i 1
1 n
2 1 . n
由于区间为等分，故当 0 时，n .
对上式取极限 n ，按定积分定义有
1 1 1 2 2 x d x lim x lim i i 0 0 n 6 n i 1
因为这一结果表明，对于速度函数的定积分计算，
可不必直接考虑如何求复杂的和式极限，而只需设法计
算对应的位置函数 S = S( t )在时间间隔[a ,b]内的增量
S[ a , b ] = S( b )- S( a ). 求位置函数的增量实际是确定位置函数 S = S( t )的 表达式。
(2) 归纳一般性结果 由不定积分的讨论知，已知速度函数 V = V( t )求位 置函数 S = S( t )只需计算不定积分，即 S( t )= ∫V( t )d t 因此 S a , b v t d t S b S a v t d t . a a
记: u = x 2( 1 + x )，则由复合函数的求导法则在给
定方程两边对自变量 x 求导有 x 2 1 x 2 u d d d x 1 x f t d t 1, f t d t dx 0 du 0 dx 即有 f( u )· ( 2x+3x 2 )= f( x 2 + x 3)· ( 2 x + 3 x 2 )= 1 . 令: x = 1，解得 f( 2 )= 1/5 .
确定的值与之对应。
由函数定义，此定积分构成关于 x 的一个函数，称 此函数为变上限函数或积分上限的函数，记作：
x a f t d t , x a , b .
x
y
y f x , x a , b .
x f t d t a
按导数定义进行证明 f( x )是抽象函数，故对应积分上限的函数( x )也
是抽象函数。对于抽象函数的导数宜按照定义进行计算 和证明。
• 求增量
给自变量 x 以增量 x，则函数 ( x )的增量为
x x x x
x
x x a
i 1
t
n
由归纳法可猜测，f( x )的原函数的结构应是一个 复杂的和式极限，其一般形式应为
F x f x d x lim f i x i . a 0
x n i 1
与熟悉的初等函数相比，这是一种相对复杂的函数 形式。为证明上述猜测，需验证对此函数形式有 x d F x f xd x f x . dx a
变上(下)限复合函数求导的基本原理是本节的定
理1，但定理 1 是按照变上限函数的最简单的情形叙述 的，实际计算可能出现多种变限函数的情形。这些情 形可归结为如下三种基本形式： • 若 F x 0
x
f t dt，则 F ( x )= f[( x)] ( x).
f t dt，则 F ( x )= -f[( x)] ( x).
• 若 F x
0
x
• 若 F x x f t dt，则 x F ( x )= f[( x)] ( x)- f[( x)] ( x).
i 1
难以计算的。
选择特殊分割和取特殊点构造积分和
因为被积函数 f( x )= x 2 分在积分区间[ 0 ,1 ]上连
续，而连续函数可积，因此该定积分的和式极限与区间
[ 0 ,1 ]的分法无关，与给定分法下各小区间[ x i - 1,x i ] 上点 i 的取法无关。
为计算方便，不妨将区间[ 0 ,1 ]分成 n 等份，各小 区间[ x i - 1,x i ]上的 i 均取小区间的右端点。 即插入分点 x i = i /n，这样每个小区间的长度均为
b a
Hale Waihona Puke v t d t lim v i t i S b S a .
0 i 1
t t
n
因此在时刻 t 有
S t S a v t d t v u d u . a a
即有 S t v t d t S a lim v i t i S a . a 0
x x x
f t d t ，由积分中值定理，存在介
f t d t f x ,
于是求得 x x
x x x
f t d t f x f . x x
• 取极限
由于当 x 0 时，x + x x ， x . f( x )在 区间[ a ,b ]上连续，故有
从一般性的角度考虑，为求 f( 2 )需知 f( x )的 表达式，为此需解给定的积分方程。 解积分方程通常就是设法消去方程中的积分记号。 由于此积分方程对应于变上限函数，因此想到通过求导 消去积分号。 由于给定变上限函数的上限为 x 的复合函数，因而 需根据复合函数求导法则进行计算。
用复合函数求导法则求解
x x lim lim f lim f f x . x0 x0 x x
即证得当 x ( a,b )时有
x d dx
x a
f t d t f x .
定理 2
连续函数的原函数的存在性
定积分作为一种无穷和的极限，按极限计 算的方法求值是十分困难的，正是由于这一原 因积分学一直没有能够得到进一步的发展。 这类和式极限直到十七世纪后期，才由两
位天才的数学家牛顿和莱布尼兹几乎在同时分
别找到了计算的方法 — 牛顿-莱布尼兹公式， 而正是由于这一公式的建立，才产生了微积分 这门对近代社会产生巨大影响的数学。
定积分作为一种无穷和的极限，按极限计算的方法
求值是十分困难的，为体会这种困难性考察如下的例。 例：根据定义计算定积分 按定积分定义有
1 0
1
x 2 d x.
n
2 2 x d x lim i xi . 0
0
按定义建立的这一极限式要求对区间[ 0 ,1 ]的分法 是任意的，在确定的分法下各小区间[ x i - 1 ,x i ]上点 i 的是任意的。在这两个任意下相应的和式极限式通常是
1 n
2 1 1 . n 3
由上例的计算看出，即使对于最简单的函数，按定
积分定义计算和式极限也是困难和复杂的，因此必须寻 求计算定积分和式极限的一般方法。
牛顿之前，这项工作或许曾被许多人做过，但都未
获成功，牛顿的方法是从具体问题研究着手寻求解答。
牛顿选择的是积分学的源头问
题之一，即作变速直线运动物体 走过的路程来考察和式极限 的计算的。
x
若 f( x )在区间[ a ,b ]上连续，则 x f t d t a
就是 f( x )在区间[ a ,b ]上的一个原函数。
(3) 积分上限函数的性质的应用 例：设 f( x )在[ 0 ,+ )上连续，且满足
x 2 1 x 0
f t dt x , 求 : f 2 .
f t d t f t d t a
x x
x
x x x f t d t f t d t a f t d t x a x
f t d t .
• 算比值 / x
对于积分
x x x
于x 和 x + x之间的某个点 ，使得
0 i 1
n
. f d x x a
b
为证明上述归纳推断需进一步认识原函数的概念，
原函数定义指出：
若在某区间 I 上有 F ( x )= f ( x )或 dF( x )= f( x)d x,
则称 F( x )为函数 f ( x )在区间 I 上的一个原函数。 原函数定义实际是根据其性质给出的，这一定义的 好处是简单，容易形成概念，但也存在问题。因为它并 没有指出原函数的内在结构，从而不便对原函数的本质
x
O
a t1 t 2
t i 1 t i
t n1 x
b
x
(2) 积分上限函数的性质 定理 1
x
积分上限函数的导数
若 f( x )在区间[ a ,b ]上连续，则积分上限的函数
x a f t d t 在区间( a ,b )内具有导数，其导数为 x d t d t f x , x a , b . x f dx a
x i = 1 /n，而相应的 i = x i = i /n，( i = 1,2,„,n ).
在上述对区间[ 0 ,1 ]的分割及点 i 的取法下，相
应的积分和化为：
n n n n
i 2 2 f x x x x i i i i i i n i 1 i 1 i 1 i 1 13 n
属性进行讨论。例如，有些函数尽管知道其原函数存在 ,
却求不出，也不知为什么会求不出。
为了解原函数的本质属性需研究其内在结构，即弄
清对给定的 f( x )，其原函数 F( x )应是“什么样子”或
写出其原函数 F( x )的一般形式。 由原函数定义知，作变速直线运动物体在时刻 t 的 位置函数 S( t )是其速度函数 V( t )的一个原函数，即 S ( t )= V( t )，而由前例的讨论知
b n i 1
由于直接计算此和式极限存在困难，可转而考虑路 程的直接度量和计算。