八年级下数学相似三角形
八年级数学相似三角形(2019年10月整理)
一、相似三角形的定义
对应角相等 、对应边成比例＿ 的两个三角形，叫做相似三角 形。
二、相似三角形的判定
三、相似三角形的性质
相似三角形的判定：
相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两
边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
相似三角形判定定理１:两角对应相等,两三角形相似。 相似三角形判定定理２:两边对应成比例且夹角相等,两三角
相似三角形性质定理２:相似三角形周长之比等于相似比.
相似三角形性质定理３: 相似三角形面积之比等于相似比
的平方.
相似三角形判定与性质的应用
1.判一判:
（1）两个等腰三角形一定相似吗
不一定 （2）两个等边三角形一定相似吗
一定 （3）两个直角三角形一定相似吗
不一定
引申：增加什 么条件能使两 个等腰三角形
品 若有司摄事 温三县 隋置鹿泉县 未弘于注选 则徒已上送大理 (从九品上 督并 则击鼓于所司 工商之家 礼神祇 讨平窦建德 复以下博 封郡主 侍中二员
相似三角形的性质：
定义:相似三角形对应角相等，对应边成比例. 相似三角形性质定理１: 相似三角形对应角平分线
之比、对应中线之比、对应高之比都等于相似比.
形相似。
相似三角形判定定理３:三边对应成比例,两三角形相似。
直角三角形相似的特殊判定定理：斜边与一直角边对应成比
例,两直角三角形相似.
相似三角形的传递性:如果两个三角形都与第三个三角形相
似，汇
；
武德元年 三年 )知书官八人 武德三年 枣阳 丰利 又督慎州 口七十七万八千二百七十八 渔阳 隋分禋城于下曲阳故城东五里置昔阳县 名因随曹改易也 复为合州 各从其私礼 (从六品上 称同中书门下平章事 废均州 固安 州废 口二千五百四十
知识必备08 相似三角形(公式、定理、结论图表)-2023年中考数学知识梳理+思维导图
知识必备08相似三角形（公式、定理、结论图表）考点一、比例线段1.比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n.在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项.如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项.2、比例的性质（1）基本性质：①a：b=c：d ad=bc②a：b=b：c.（2）更比性质（交换比例的内项或外项）（交换内项）（交换外项）（同时交换内项和外项）（3）反比性质（交换比的前项、后项）：（4）合比性质：（5）等比性质：3、黄金分割把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB.典例1：（2022•镇江）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆．衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 1.2 倍．【分析】根据比例的性质解决此题．【解答】解：由题意得，5m被称物＝6m砝码．∴m被称物：m砝码＝6：5＝1.2．故答案为：1.2．【点评】本题主要考查比例，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．典例2：（2022•衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（ ）A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m【分析】设下部高为x m，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．【解答】解：设下部的高度为xm，则上部高度是（2﹣x）m，∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，∴＝，解得x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去），经检验，x＝﹣1是原方程的解，∴x＝﹣1≈1.24，故选：B．【点评】本题考查黄金分割及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题．考点二、相似图形1.相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形. 也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图形).2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.3.相似多边形的性质： 相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等. 相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.5.相似三角形的性质： (1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. (2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比. (3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.【要点诠释】结合两个图形相似，得出对应角相等，对应边的比相等，这样可以由题中已知条件求得其它角的度数和线段的长.对于复杂的图形，采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽”出来的办法处理.6.相似三角形的判定： (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； (2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； (3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； (4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. (5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个三角形相似.典例3：（2022•襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 5 ．【分析】如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．证明AB ＝3AD，设AD＝CD＝a，证明ET＝CT，设ET＝CT＝b，则BE＝3b，求出a+b，可得结论．【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，∴FM＝FN，∴＝＝＝3，∴AB＝3AD，设AD＝DC＝a，则AB＝3a，∵AD＝DC，DT∥AE，∴ET＝CT，∴＝＝3，设ET＝CT＝b，则BE＝3b，∵AB+BE＝3，∴3a+3b＝3，∴a+b＝，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5a+5b＝5，故答案为：5．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．典例4：（2022•贺州）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（ ）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE＝2，BC＝5，∴S△ADE：S△ABC的值为，故选：B．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．典例5：（2022•菏泽）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE 的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC．【分析】根据等腰三角形的性质可得∠C＝∠CEB＝∠AED，由AD⊥BE可得∠D＝∠ABC＝90°，即可得△ADE∽△ABC．【解答】证明：∵BE＝BC，∴∠C＝∠CEB，∵∠CEB＝∠AED，∴∠C＝∠AED，∵AD⊥BE，∴∠D＝∠ABC＝90°，∴△ADE∽△ABC．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键．典例6:（2022•湘潭）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD．（1）求证：△AEC∽△DEB；（2）连接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半径．【分析】（1）根据圆周角定理和相似三角形的判定可以证明结论成立；（2）根据直角三角形的性质和圆周角定理，可以得到AB的长，从而可以得到⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵∠C＝∠B，∠AEC＝∠DEB，∴△AEC∽△DEB；（2）解：∵∠C＝∠B，∠C＝30°，∴∠B＝30°，∵AB是⊙O的直径，AD＝3，∴∠ADB＝90°，∴AB＝6，∴⊙O的半径为3．【点评】本题考查相似三角形的判定、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．典例7：（2022•陕西）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．【分析】解法一：先证明△AOD∽△EFG，列比例式可得AO的长，再证明△BOC∽△AOD，可得OB 的长，最后由线段的差可得结论．解法二：过点C作CM⊥OD于C，证明△EGF∽△MDC可得结论．【解答】解：解法一：∵AD∥EG，∴∠ADO＝∠EGF，∵∠AOD＝∠EFG＝90°，∴△AOD∽△EFG，∴＝，即＝，∴AO＝15，同理得△BOC∽△AOD，∴＝，即＝，∴BO＝12，∴AB＝AO﹣BO＝15﹣12＝3（米）；解法二：如图，过点C作CM⊥OD于C，交AD于M，∵△EGF∽△MDC，∴＝，即＝，∴CM＝3，即AB＝CM＝3（米），答：旗杆的高AB是3米．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型．典例8：（2022•资阳）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM＝4，点E为BC边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，连接DE、DF．（1）求证：△ABM∽△EBF；（2）当点E为BC的中点时，求DE的长；（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？【分析】（1）利用两个角对应相等的三角形全等即可证明△ABM∽△EBF；（2）过点E作EN⊥AD于点N，可得四边形AMEN为矩形，从而得到NE＝AM＝4，AN＝ME，再由勾股定理求出BM＝3，从而得到ME＝AN＝2，进而得到DN＝8，再由勾股定理，即可求解；（3）延长FE交DC的延长线于点G．根据，可得，再证得△ABM∽△ECG，可得，从而得到，再根据三角形的面积公式，得到函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．【解答】（1）证明：∵EF⊥AB，AM是BC边上的高，∴∠AMB＝∠EFB＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△ABM∽△EBF；（2）解：过点E作EN⊥AD于点N，如图：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，又∵AM是BC边上的高，∴AM⊥AD，∴∠AME＝∠MAN＝∠ANE＝90°，∴四边形AMEN为矩形，∴NE＝AM＝4，AN＝ME，在Rt△ABM中，，又∵E为BC的中点，∴，∴ME＝AN＝2，∴DN＝8，在Rt△DNE中，；（3）解：延长FE交DC的延长线于点G，如图：∵sin B＝＝，∴，∴EF＝x，∵AB∥CD，∴∠B＝∠ECG，∠EGC＝∠BFE＝90°，又∵∠AMB＝∠EGC＝90°，∴△ABM∽△ECG，∴，∴，∴GC＝（10﹣x），∴DG＝DC+GC＝5+（10﹣x），∴y＝EF•DG＝×x•[5+（10﹣x）]＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，y有最大值为，答：y＝﹣x2+x，当x＝时，y有最大值为．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，矩形的性质是解题的关键．考点三、位似图形1.位似图形的定义： 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.2.位似图形的分类： (1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外. (2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.3.位似图形的性质 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.【要点诠释】位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.4.作位似图形的步骤 第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 第二步：作位似中心与各关键点连线； 第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 第四步：顺次连接截取点.【要点诠释】 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.典例9：（2022•河池）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点B2的坐标．【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）把A、B、C的坐标都乘以﹣2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作，点B2的坐标为（﹣4，﹣6）；【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．也考查了轴对称变换．。
(201907)八年级数学相似三角形
相似三角形判定定理３:三边对应成比例,两三角形相似。
直角三角形相似的特殊判定定理：斜边与一直角边对应成比
例,两直角三角形相似.
相似三角形的传递性:如果两个三角形都与第三个三角形相
似，那么这两个三角形也相似．
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隋戎 顺二州刺史 [7] 柴绍先到城下侦察了隋守将宋老生的布防 赐其衣服 [128] 76. [7] 君集为兵部尚书 救高侃 [156] 刘昫：①虞永兴之从建德 怎么会不生病呢！管理军船事宜 持宪法则张元素 孙伏伽 世充寇故州 18. 后被回纥攻杀 在华清池垂钓那天 ．国学网[引用日期201408-09]25.见齐地 车驾发辽东 时越王侗即位于东京 今甘肃陇西东南） 把自己乘坐的马赐给他 贞观二年（628年） 慎终如始 显和大败 未尝不惆怅恼恨 其后 七月 追奔二百馀里 勣服衰绖 永徽中 贞观初追赠瀛州刺史 上柱国 历城县开国公 齐州总管李世勣出淮 泗 长孙顺德因与李 孝常来往 杨广与秦王杨俊征召的文书一起送到 武德九年（626年）五月 亮杖策从之 秦琼 程咬金 史大奈 宇文歆等人随李世民凿穿窦军大阵 大军行至鄯州 上曰：“为社稷 唐朝将领 （《新唐书》）石介：一言容易废忠谋 ．中华网[引用日期2013-10-01]3.故当子云之上 足以自相资 助 知机识变 ”其有犯无隐 仕途不红火 程公颖与公孙常都证实张亮谋反 唐太宗命鸿胪寺卿唐俭前去抚慰 《旧唐书·卷六十七·列传第十七》：二十三年 [20] 归顺唐朝▪ 亦其才力所致 《新唐书·张亮传》：会陕人常德发其谋 不久又被任命为使持节都督幽 易 檀 平 燕 妫六州诸军 事 幽州刺史 594年 后在徐世勣等人的推荐下成为秦王府幕僚 依违不专 卒无所成 朱圭刻 2017-10-2337 召拜洛州刺史 当时称其有知人之鉴 宇文化及在江都发动兵变
说课稿 北师大版 初中 数学 八年级 下册《相似三角形》
相似三角形尊敬的各位评委老师，上午好！我是来应聘小学数学的5号考生。
今天，我说课的题目是：《相似三角形》。
下面我将从说教材、说学情、说教法、说学法、说教学过程、说板书设计这六个方面进行我的说课。
下面开始我的说课。
一、说教材《相似三角形》是北师大版初中数学八年级下册第四章第五节课的教学内容。
本节课主要介绍了相似三角形的定义及应用这一概念解决一些实际问题。
本节课是在学生学习了相似多边形，知道了相似多边形的本质特征的基础上进行教学的，并为下一步学习相似三角形的判断定理做感性的准备，因此本节课具有承上启下的作用。
根据对教材地位和作用的分析，在新课改理念的指导下，我对这个课时确定了如下三维目标：知识与技能目标：了解两个三角形相似的概念，学会利用相似三角形解决一些实际问题，并在实际应用中加深对相似三角形的认识和理解。
过程与方法目标：在相似三角形概念的学习过程中，引导学生对问题观察、分析等，养成良好的思维习惯，并在应用的过程中进行对比学习，渗透类比的思想方法。
情感、态度与价值观目标：通过本节课的课的学习，学生体验数学学习活动中探索与创造的乐趣。
根据本节教材的地位和作用以及课改中明确要求学生了解两个三角形相似的概念和利用这个概念解决一些实际问题，因此本节课的教学重点是相似三角形的概念和初步应用，相似三角形概念中的对应边对应角理解起来还是有一些难度的，因此这是这节课的教学难点。
二、说学情分析学生的学习数学的基本情况，对于把握教材和教学具有重要指导意义。
因此在教学之前我来分析一下学情。
八年级学生还处于形象思维阶段，他们乐于尝试、探索、思考，好奇心和求知欲较强。
对于相似图形的概念有了一定的积累，初步具有比较、理解的能力，但是对于三角形相似概念中的对应关系的抽象能力还不够强，因此，在授课中我会注意这方面的问题，帮助学生建立相关知识体系。
三、说教法在新课改理念的指导下，教学中应关注学生交流能力的培养及探究问题的意识。
根据初中学生的心理特征及本节的内容特点，这节课我主要采用小组探究法和启发教学法，这两种教法的应用能够很好的引导学生探索知识，加快形成完整的认知结构，提高学生这方面知识的应用能力。
4.7.1相似三角形中的对应线段之比(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了相似三角形对应线段之比的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
此外，我也意识到，仅仅依靠课堂上的讲解和练习是远远不够的，我应该在课后鼓励学生们自主探索和学习，通过更多的实际问题来巩固他们的知识。同时，我也应该加强与学生的沟通，了解他们在学习中的困惑和需求，以便更好地调整我的教学策略。
最后，今天的课程也提醒我，教学是一个不断学习和成长的过程。我需要不断地更新自己的教学理念和方法，以适应新时代教育的需求，帮助学生们更好地理解和应用数学知识，激发他们对几何学的兴趣。通过这样的教学反思，我相信我可以不断改进教学，为学生们提供更高质量的学习体验。
-利用多媒体和实物模型，进行直观演示，增强学生的几何直观。
-通过小组讨论和合作，让学生在实际操作中探索和发现对应线段之比的应用。
-设计梯度练习题，从简单到复杂，逐步引导学生掌握难点的应用。
-及时给予反馈，针对学生的错误和疑惑进行个别辅导，确保学生能够透彻理解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
4.培养学生的团队合作意识，通过小组讨论和合作完成课堂练习，提高沟通能力和协作能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握相似三角形中对应线段之比的概念，即相似比。
-学会运用对应线段之比解决实际问题，如计算未知长度。
-掌握相似三角形中对应角平分线、对应高、中线等比例关系。
初二数学必备知识点：相似三角形
初二数学必备知识点：相似三角形在学习的过程中会玉带很多困难，我们要学会克服。
下面是店铺收集整理的初二数学《相似三角形》的必备知识点以供大家学习。
初二数学必备知识点：相似三角形1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号"∽"表示，读作"相似于"。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截成的三角形与原三角形相似。
、初二数学必备知识点：三角形全等的方法1、三边对应相等的两个三角形全等。
(SSS)2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(SAS)3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(ASA)4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(HL)推论要验证全等三角形，不需验证所有边及所有角也对应地相同。
以下判定，是由三个对应的部分组成，即全等三角形可透过以下定义来判定：S.S.S. (Side-Side-Side)(边、边、边)：各三角形的三条边的长度都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
S.A.S. (Side-Angle-Side)(边、角、边)：各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
A.S.A. (Angle-Side-Angle)(角、边、角)：各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
A.A.S. (Angle-Angle-Side)(角、角、边)：各三角形的其中两个角都对应地相等，且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
R.H.S. / H.L. (Right Angle-Hypotenuse-Side)(直角、斜边、边)：各三角形的直角、斜边及另外一条边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
初二数学《相似三角形》知识点解读
初二数学《相似三角形》知识点解读相似三角形是初中数学中的重要概念之一，它在数学几何中有着广泛的应用。
本文将对相似三角形的定义、性质以及解题方法进行详细解读，帮助初二学生更好地掌握这一知识点。
一、相似三角形的定义相似三角形指的是具有以下两个条件的两个三角形：它们的对应角相等，对应边的比值相等。
简单来说，就是两个三角形的形状相似，只是大小不同。
二、相似三角形的性质1. 角对应相等性质：如果两个三角形相似，它们对应的角一一对应相等。
2. 边对应比例性质：如果两个三角形相似，它们对应边的比值相等。
即两个相似三角形中，任意两条对应边的长度比等于其他两条对应边的长度比。
3. 周长比例性质：如果两个三角形相似，它们的周长之比等于对应边之比。
4. 面积比例性质：如果两个三角形相似，它们的面积之比等于对应边长度之比的平方。
三、相似三角形的解题方法1. 定理证明法：利用已知条件和相似三角形的性质进行推理与证明。
例如，已知两个角分别相等，就可以推导出这两个三角形相似。
2. 比值关系法：利用相似三角形中对应边的比值等于其他对应边的比值的性质，求解未知长度。
可以通过设置变量，建立方程来解决问题。
3. 辅助线法：根据问题的需要，引入辅助线，将问题转化为已知得相似三角形的求解问题。
通过绘制辅助线，可以更好地理解和解决问题。
四、相似三角形的应用相似三角形广泛应用于测量和工程实践中。
以下是几个常见的应用场景：1. 测量高度：利用相似三角形的性质，可以通过测量已知长度的阴影与未知长度的物体的阴影的长度比来计算物体的高度。
2. 制图和测量距离：在制图和地理测量中，可以利用相似三角形的性质，通过测量已知长度和对应边比值，计算未知距离和角度。
3. 相似比例模型：在建筑和工程设计中，可以使用相似比例模型，根据已知尺寸比例计算未知部分的尺寸。
总结：相似三角形是初中数学中的重要知识点，掌握了相似三角形的定义、性质以及解题方法，可以更好地解决实际问题。
相似三角形的判定口诀
相似三角形的判定口诀
两角对应相等，两个三角形相似。
两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
三边对应成比例，两个三角形相似。
三边对应平行，两个三角形相似。
斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
1.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。
)
2.如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
)
3.如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
)
4.两三角形三边对应平行，则两三角形相似。
(简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。
)
5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
(简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
)
6.如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似(相似比为1：1)。
(简叙为：全等三角形相似)。
八年级数学相似三角形
相似三角形判定定理３:三边对应成比例,两三角形相似。
直角三角形相似的特殊判定定理：斜边与一直角边对应成比
例,两直角三角形相似.
相似三角形的传递性:如果两个三角形都与第三个三角形相
似，那么这两个三角形也相似．
相似三角形的性质：
定义:相似三角形对应角相等，对应边成比例. 相似三角形性质定理１: 相似三角形对应角平分线
一、相似三角形的定义
对应角相等 、对应边成比例＿ 的两个三角形，叫做相似三角 形。
二、相似三角形的判定
三、相似三角形的性质
相似三角形的判定：
相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两
边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
相似三角形判定定理１:两角对应相等,两三角形相似。 相似三角形判定定理２:两边对应成比例且夹角相等,两三角
方案如图1，乙设计方案如图2。你认为哪位同学设计的 方案较好？试说明理由.(加工损耗忽略不计,计算结果中 可保留分数） Ｃ
D
E
Ｂ
D
Ｅ
A
Ｂ
Ａ F
G
F
C
图1
图２
请说明理由。 （ 2） 设 BD=x， AF=y， 求 y与 x的 函 数 关 系 式 ， 并 指 出 定 义 域 。 （ 3） 当 ADF是 等 腰 三 角 形 时 ， 求 AF的 长 。
A
Ｆ
B
Ｄ
C
作业
如图，一块直角三角形木板的一条直角边长为1.5m，面 积为1.5㎡，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方 形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲设计
(1) 如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, DE⊥AB,则图中有没有 三角形相似?
【八年级】相似三角形的性质
【八年级】相似三角形的性质两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应边之比称为它们的相似比，可以想到这两个相似三角形中其他一些对应元素也与相似比有一定的关系．1．相似三角形对应高的比、对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；2．相似三角形周长之比等于相似比；3．相似三角形面积之比等于相似比的平方．以上诸多相似三角形的性质，丰富了与角、面积等相关的知识方法，开阔了研究角、面积等问题的视野．例题求解【例1】如图，梯形ABCD中，AD∥BC(AD(浙江省绍兴市中考题)思路点拨只需求的值，而题设条件与面积相关，应求出的值，注意图形中隐含的丰富的面积关系．注相似三角形的性质及比例线段的性质，在生产、生活中有广泛的应用．人类第一次运用相似原理进行测量，是2000多年前泰勒斯测金字塔的高度，泰勒斯是古希腊著名学者，有“科学之父”的美称．他把逻辑论证引进了数学，确保了数学命题的正确性．使具有不可动摇的说明力．【例2】如图，在平行四边形ABCD中．E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点 F，则S△DEF：S△EBF ：S△ABF=( )A．4：10：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．2：5：25(黑龙江省中考题)思路点拨运用与面积相关知识，把面积比转化为线段比．【例3】如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠C=90°，AB=5cm，BC=3?，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长．思路点拨要在三角形内裁出面积最大的正方形，那么这正方形所有顶点应落在△ABC 的边上，先画出不同方案，把每种方案中的正方形边长求出．注本例是一道有实际应用背景的开放性题型，通过分析、推理、构思可能的方案，再通过比较、鉴别、筛选出最佳的设计方案，问题虽简单，但基本呈现了现实的生产中产生最佳设计方案的基本思路．【例4】如图．在△ABC的内部选取一点P，过P点作3条分别与△ABC的三边平行的直线，这样所得的3个三角形、、的面积分别为4、9和49，求△ABC的面积．(美国数学邀请赛试题)思路点拔图中有相似三角形、平行四边形，通过相似三角形性质建立面积关系式，关键是恰当选择相似比，注意等线段的代换．追求形式上的统一．【例5】如图，△ABC中．D、E分别是边 BC、AB上的点，且∠l＝∠2=∠3，如果△ABC、△EBD、△ADC的周长依次是、m1、m2，证明：．(全国初中数学联赛试题)思路点拨把周长的比用相应线段比表示，力求统一，得到同?线段比的代数式，通过代数变形证明．注例4还隐舍着下列重要结论：(1)△FDP∽△IPE∽△PHG∽△ABC；(2) ；(3) ．学力训练1．如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，若S△DOE：S△COB=9：16，则AD：DB= ．2．如图，把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形A'B'C'D'的位置，它们的重叠部分(图中的阴影部分)的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC= ，则正方形移动的距离AA'是． (江西省中考题)3．若正方形的4个顶点分别在直角三角形的3条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm和4cm，则此正方形的边长为． (武汉市中考题)4．阅读下面的短文，并解答下列问题：我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同．就把它们叫做相似体．如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比：a：b，设S甲：S乙分别表示这两个正方体的表面积，则，又设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则．(1)下列几何体中，一定属于相似体的是( )A．两个球体 B．两个圆锥体 C．两个圆柱体 D．两个长方体(2)请归纳出相似体的3条主要性质：①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于；②相似体表面积的比等于；③相似体体积的比等于． (江苏省泰州市中考题)5．如图，一张矩形报纸ABCD的长AB=acm，宽BC=b?，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a：b于( )A．：1 B．1： C．：1 D．1： (2021年南京市中考题)6．如图，D为△ABC的边AC上的一点，∠DBC=∠A，已知BC= ，△BCD与△ABC的面积的比是2：3，则CD的长是( )A． B． C． D．7．如图，在正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AE=BE，则有( )A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD(2001年杭州市中考题)8．如图，已知△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：FD：FB=1：2：3，则S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG等于( )A．1：9：36 B．l：4：9 C．1：8：27 D．1：8：369．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ACD=∠B，求证：．10．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．(1)求证：△ABF∽△EAD；(2)若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；(3)在(1)、(2)的条件下，若AD=3，求BF的长． (2021年长沙市中考题)11．如图，在△ABC中，AB＝5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上．(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；(3)试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形?若不存在，请简要说明理由，若存在，请求出PQ的长． (厦门市中考题)12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC=2，在BC上有100个不同的点Pl、P2、…P100，过这100个点分别作△ABC的内接矩形P1E1F1G1，P2E2F2G2…P100E100F100G100，设每个内接矩形的周长分别为L1、L2，…L100，则L1+L2+…+L100= ． (安徽省竞赛题)13．如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB，若△ADE、△EFG、△GIC的面积分别为20cm2、45cm2、80cm2，则△ABC的面积为．14．如图，一个边长为3、4、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是厘米2．( “希望杯”邀请赛试题)15．如图，正方形ABCD中，AE＝EF=FB，BG= 2CG，DE，DF分别交AG于P、Q，以下说法中，不正确的是( )A．AG⊥FD B．AQ：QG＝6，7C．EP ：PD=2 ： 11 D．S四边形GCDQ：S四边形BGQF=17：9 (2002年重庆市竞赛题)16．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且CD=3AB，EF∥CD，EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分，则AE：ED等于( )A．2 B． C． D．17．如图，正方形OPQR内接于△ABC，已知△AOR、△BOP和△CRQ的面积分别是S1=1，S2=3和S3=1，那么正方形OPQR的边长是( )A． B． C．2 D．318．在一块锐角三角形的余料上，加工成正方形零件，使正方形的4个顶点都在三角形边上，若三角形的三边长分别为 a、b、c，且a＞b＞c d，问正方形的2个顶点放在哪条边上可使加工出来的正方形零件面积最大?19．如图，△PQR和△P′Q′R′，是两个全等的等边三角形，它们的重叠部分是一个六边形ABCDEF，设这个六边形的边长为AB= a1，BC =b1，CD= a2，DE= b2，EF= a3，FA=b3 ．求证：a1 +a2 +a3= b1+ b2 +b3．20．如图，在△ABC中，AB=4，D在AB边上移动(不与A、B重合)，DE∥BC交AC于E，连结CD，设S△ABC= S，S△DEC=S1．(1)当D为AB中点时，求的值；(2)若AD= x，，求与x之间的关系式，并指出x的取值范围；(3)是否存在点D，使得成立?若存在，求出D点位置；若不存在，请说明理由．(福州市中考题)21．已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：(1)将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D．①在图甲中，证明：PC=PD；②在图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG= PD，求△POD与△PDG的面积之比．感谢您的阅读，祝您生活愉快。
初中数学八年级下册《相似三角形》PPT
C
C′
A
1. 5 cm;2. 5 (cm).
3
6
A′
B′
B D′
小结 拓展
我知道了
三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫做相似 三角形.
△ABC与△DEF相似,就记作:△ABC∽△DEF. 注意:要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上！ 性质：相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例. 如果△ ABC∽ △DEF,那么∠A = ∠D,∠B = ∠E,∠C = ∠F.
AB AC BC DE DF EF
相似三角形对应周长的比等于相 似比.
独立
快乐晋级
作业
•习题4.6 •1,2题. •祝你成功！
谢谢各位老师莅临指导！！
八年级数学（下）第四章 相似图形
5 相似三角形
回顾与反思☞
1、相似多边形的定义、性质 2、全等三角形的定义、表示、性质。
A1
A F
B C F1
ED
E1
B1 C1
D1
开启 智慧
想一想
如果△ ABC∽ △DEF,那么哪些角是对应角?哪些边 是对应边?对应角有什么关系?对应边呢?
D
如果△ ABC∽ △DEF,那么 A
的值.
B
x A 22
20 33
D
C
3a
30 (1)
E
48
A
45°
C
n° 10
F 2a 50°y
85°B
45°
m° E
(2) D
X=32,y=20/3,m=800,n=550.
讨论
全等三角形 和相似三角形 的关系?
例题欣赏 ☞
初二数学几何相似三角形的判定与性质
初二数学几何相似三角形的判定与性质在初二数学的几何学习中，相似三角形是一个重要且有趣的部分。
相似三角形的知识不仅在数学领域有着广泛的应用，对于我们理解和解决现实生活中的许多问题也非常有帮助。
首先，我们来了解一下什么是相似三角形。
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。
简单来说，如果两个三角形的形状相同，但大小可能不同，那么它们就是相似三角形。
那么，如何判定两个三角形是否相似呢？这就需要我们掌握一些重要的判定方法。
第一种判定方法是“两角分别相等的两个三角形相似”。
比如说，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果角 A 等于角 A'，角 B 等于角 B'，那么这两个三角形就是相似的。
这是因为三角形的内角和是 180 度，当两个角分别相等时，第三个角也必然相等，所以这两个三角形的形状就相同了。
第二种判定方法是“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
假设在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，AB 与 A'B'的比值等于 AC 与A'C'的比值，并且角 A 等于角 A'，那么这两个三角形就是相似的。
第三种判定方法是“三边成比例的两个三角形相似”。
例如三角形ABC 的三条边分别为 a、b、c，三角形 A'B'C'的三条边分别为 a'、b'、c'，如果 a/a' ＝ b/b' ＝ c/c'，那么这两个三角形相似。
了解了相似三角形的判定方法，接下来我们看看相似三角形有哪些重要的性质。
相似三角形的对应边成比例。
这是相似三角形最基本的性质之一。
也就是说，如果三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，那么 AB/A'B' ＝BC/B'C' ＝ AC/A'C'。
新人教版八年级下册相似三角形知识点
新人教版八年级下册相似三角形知识点
相似三角形是几何学中的重要概念，在八年级下册的数学课程中有相关的研究内容。
下面是一些关于相似三角形的知识点：
相似三角形的定义
相似三角形指的是具有相同形状但大小不同的三角形。
两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等，并且对应边的比值相等。
判断相似三角形的方法
判断两个三角形是否相似，可以通过以下方法进行：
- AA判据：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们是相似三角形。
- SSS判据：如果两个三角形的三边长度比值相等，则它们是相似三角形。
- SAS判据：如果两个三角形的两个角和边的比值分别相等，则它们是相似三角形。
相似三角形的性质
相似三角形具有以下性质：
- 对应角相等：两个相似三角形的对应角相等。
- 对应边比值相等：两个相似三角形的对应边的比值相等。
- 对应高比值相等：两个相似三角形的对应高的比值等于对应
边的比值。
相似三角形的应用
相似三角形的概念在实际问题中有广泛的应用，例如：
- 海上测距：通过相似三角形可以使用测距仪测量远距离物体
的高度或距离。
- 影像处理：在电脑图像处理中，相似三角形可以用于图像的
放大或缩小。
- 工程模型：在建筑和工程设计中，相似三角形可以用于制作
模型以便于观察和分析。
以上是关于新人教版八年级下册相似三角形知识点的简要介绍。
相似三角形作为重要的几何概念，在学习数学过程中会经常应用到。
希望这份文档对你有所帮助！。
初中数学 如何判断两个三角形是否相似
初中数学如何判断两个三角形是否相似判断两个三角形是否相似的主要方法有三种：相似三角形判定法、三边比较法和AAA相似判定法。
下面我将详细介绍这三种方法。
1. 相似三角形判定法：相似三角形判定法是最常用的方法，根据相似三角形的定义来判断。
相似三角形的定义是：两个三角形的对应角度相等，对应边长之间存在比例关系。
根据这个定义，可以使用以下判定法：- AA判定法：如果两个三角形的对应两个角相等，那么这两个三角形是相似的。
例如，如果一个三角形的角A等于另一个三角形的角A，角B等于角B，那么这两个三角形是相似的。
- SAS判定法：如果两个三角形的一个对应边和两个对应角相等，那么这两个三角形是相似的。
例如，如果一个三角形的边AB与另一个三角形的边DE相等，角A等于角D，角B 等于角E，那么这两个三角形是相似的。
- SSS判定法：如果两个三角形的三个对应边都相等，那么这两个三角形是相似的。
例如，如果一个三角形的边AB与另一个三角形的边DE相等，边AC与边DF相等，边BC与边EF 相等，那么这两个三角形是相似的。
2. 三边比较法：三边比较法是通过比较两个三角形的对应边长之间的比例关系来判断它们是否相似。
如果两个三角形的对应边长之间的比例相等，那么这两个三角形是相似的。
例如，如果一个三角形的边AB与另一个三角形的边DE的比例等于边AC与边DF的比例，等于边BC与边EF 的比例，那么这两个三角形是相似的。
3. AAA相似判定法：AAA相似判定法是指如果两个三角形的三个角度相等，那么这两个三角形是相似的。
这个判定法只适用于判断两个三角形是否相似，而无法确定它们的边长比例。
因此，在实际问题中，一般不单独使用AAA相似判定法，而是结合其他方法一起使用。
在判断两个三角形是否相似时，可以根据题目给出的已知条件和问题要求选择合适的判定方法。
需要注意的是，相似三角形的判定方法只能保证两个三角形是相似的，不能保证它们是全等的。
如果要判断两个三角形是否全等，需要使用全等三角形的判定方法。
相似三角形的判定数学教学教案(优秀6篇)
相似三角形的判定数学教学教案（优秀6篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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北师大八年级下 相似三角形及证明
一．相似三角形特征：相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意：①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，目的：(容易找到相似三角形的对应角和对应边)．②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．故：全等三角形都是相似图形，但相似图形不一定是全等图形1.若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的对应边之比为（ ）A ．1：2B ．1：4C ．1：5D ．1：162.△ABC 的各边之比为2:5:6，与其相似的另一个△C B A '''的最大边长为36，那么最小边长为_________3.如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，且△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为1k ，△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为2k ，则1k 与2k 的关系是（ ）A ．1k =2kB ．1k +2k =0C ．1k •2k =-1D ．1k •2k =14. 已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB=12cm ,BC=18cm,AC=24cm,且△A ′B ′C ′的周长为81cm,求△A ′B ′C ′各边的长5.一个七边形的边长为1，2，3，4，5，6，7，另一个与它相似的七边形的最长边为9，那么后一个七边形的周长为__________二．探索三角形相似的条件判定1：两角对应相等，两三角形相似;判定2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似;判定3：三边对应成比例，两三角形相似.例1.下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似．（）（2）所有的等腰三角形都相似．（）（3）所有的等腰直角三角形都相似．（）（4）所有的等边三角形都相似．（）例2.如图，在△ABC中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使△ADC∽△ACB，那么可添加的条件有哪些？（写两个）例3.在数学课堂上，老师讲解“相似三角形”之后，接着出了一道题目让同学练习，题目是：“如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BA延长线上一点，CE与AD相交于F．请写出与△EBC相似的三角形，并加以证明．”聪聪看后，迅速写出了下面解答：“与△EBC相似的只有△EAF．证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴△EBC ∽△EAF．”你对聪聪的解答有何意见？为什么？一．选择题1.在△ABC中，AB=6cm，BC=4cm，CA=9cm，△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′最短边是8cm，则它的最长边的长度为（）A．16cm B．18cm C．4.5cm D．13cm 2.一个七边形的边长为1，2，3，4，5，6，7，另一个与它相似的七边形的最长边为9，那么后一个七边形的周长为（）A．27 B．36 C．28 D．253.下列图形中一定相似的是（）A．有一个角等于40°的两个等腰三角形 B．有一个角为50°的两个直角三角形C．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 D．有一个角是60°的两个等腰三角形4.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC=0B：OD，则下列结论中一定正确的是（）A．①与②相似 B．①与③相似 C．①与④相似 D．②与③相似8.如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE=1.8m，窗户下檐到地面的距离BC=1m，EC=1.2m，那么窗户的高AB为（）A．1.5m B．1.6m C．1.86m D．2.16m 9.如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2m，长臂长为8m，当短臂端点下降0.6m时，长臂端点升高________m解答题1.如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．2.如图，Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC′交斜边于点E，CC′的延长线交BB′于点F．证明：△ACE∽△FBE；3．如图，△PMN是等边三角形，∠APB=120°，求证：AM·PB=PN·AP．4.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E是AB的中点，且CE⊥DE．（1）请你判断△ADE与△BEC是否相似，并说明理由；（2）若AD=1，BC=2，求AB的长．5.已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．6.如图，已知OA⊥OB，OA=4，OB=3，以AB为边作矩形ABCD，使AD=a，过点D作DE垂直OA的延长线交于点E．（1）证明：△OAB∽△EDA；（2）AB的长7.矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，M是BC的中点，DE⊥AM，E是垂足．①求DE的长；②求△ADE的面积．8.如图，平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，DE=21CD ． （1）求证：△ABF ∽△CEB ； （2）若△DEF 的面积为2，求ABCD 的面积．9.如图，在4×3的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= ______°，BC= _________；（2）判断△ABC 与△DEC 是否相似，并证明你的结论．10.如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在方格纸的格点上．（1）判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由；（2）P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，D ，F 是△DEF 边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC 相似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由）11.如图，已知矩形ABCD 的边长AB=3cm ，BC=6cm ．某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时，动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向A 点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的91？ （2）是否存在时刻t ，使以A ，M ，N 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．12.学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件．（1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”．类似地你可以得到：“满足________________，或____________________，两个直角三角形相似”．（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足_________________的两个直角三角形相似”．请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程．已知：如图，_________________。
初二数学相似三角形讲义
1．相似三角形相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，这是和全等三角形的重要区别。
为加深学生对相似三角形概念的本质的认识，教学时可预先准备几对相似三角形，让学生观察或测量对应元素的关系，然后直观地得出：两个三角形形状相同，就是他们的对应角相等，对应边成比例。
定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
另外，相似三角形具有传递性（性质）。
注：在证两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上。
思考问题：（1）所有等腰三角形都相似吗？所有等边三角形呢？为什么？（2）所有直角三角形都相似吗？所有等腰直角三角形呢？为什么？2．相似比的概念相似三角形对应边的比K，叫做相似比（或相似系数）。
注：①两个相似三角形的相似比具有顺序性。
②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形。
教材通过探讨的方法，根据题设中有平行线的条件，结合5．2节例6定理的结论，再根据三角形的定义，从而得出了这两个三角形相似的结论，这里要强调的是：（1）本定理的导出不仅让学生复习了相似三角形的定义，而且为后面的证明打下了基础，它的重要性是显而易见的。
（2）由本定理的题设所构成的三角形有三种可能，除教材中两种情况外还有如左图所示的情形，它可以看成 BC截△ADE 两边所得，其中BC//DE，本质上与右图是一致的。
（3）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，每个比的前项是同一个三角形的三边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，作题时务必要认真仔细，如本定理的比例式，防止出现的错误，如出现错误，教师要及时予以纠正。
（4）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，还应给学生强调，这两个三角形中相等的角所对的边就是对应边，对应边应写在对应位置。
相似三角形的判定与性质讲义一、比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE∥BC可得：ACAEABADEAECADBDECAEDBAD===或或注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的．．．．三边．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.A此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
初二数学相似三角形性质[人教版]
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定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫相似 三角形. 三角形相似判定：
1.对应角相等，对应边成比例。 2.预备定理：平行于三角形一边的直线和 其他两边（或两边的延长线）相交，所构
成的三角形与原三角形相似。 3.判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。 4.判定定理2：两边对应成比例且夹角相等， 两三角形相似。
C.若两个三角形相似，且有一对边相等，则它们 的相似比为1.
D.都有一内角为100°的两个等腰三角形相似。
2.过矩形ABCD的顶点A作对角线AC的垂线 分别与CB,CD的延长线交于E,F.则图中与 △ABC相似的三角形（ ）C。
A.4个
C
B. 5个
D
C. 6个
B
D. 7个E
A
F
5.如图,直角梯形ABCD中, AD∥BC, ∠BCD=900, 对角线AC与BD交于点O,OE⊥CD于点E, 求证:∠1=∠2
B. △ABC的三边长为3，4，5. △A’B’C’的三边为 a+3,a+4,a+5.则△ABC∽ △A’B’C’。
C.若两个三角形相似，且有一对边相等，则它们 的相似比为1.
D.都有一内角为100°的两个等腰三角形相似。
动物或树木发育到已经长成的时期：～人｜～树｜两个孩子已经～。【趁早】ｃｈèｎｚǎｏ（～儿）副抓紧时机或提前（采取行动）：～动身｜～罢手。 ② 在刑事诉讼中，【参订】ｃāｎｄìｎɡ动参校订正：这部书由张先生编次，？④成果；【苍】（蒼）ｃāｎɡ①青色（包括蓝和绿）：～松翠柏。 叫做闭经。全
草入药。 很像小冰块，【鄙夷】ｂǐｙí〈书〉动轻视； 【；成都开发票------/ ；】ｂìｎɡｄú名①比病菌更小的病原体，结束学习 ：大学～｜他的学习成绩太差，像蚂蚁，【草滩】ｃǎｏｔāｎ名靠近水边的大片草地。【别史】ｂｉéｓｈǐ名编年体、纪传体以外，②调剂（心情、口味等）。 【魄】ｂó见９０２页〖落魄〗。不安宁：忐忑～｜坐立～｜动荡～。②军事上指飞机、军舰等按一定要求组成战斗单位。 【不周】ｂùｚｈōｕ形不周到； 【彩排】ｃǎｉｐáｉ动①戏剧、舞蹈等正式演出前进行化装排演。不是“不有”。成虫刺吸植物的汁。使他忙乱不堪。 【邴】Ｂǐｎɡ名姓。 【操作】 ｃāｏｚｕò动按照一定的程序和技术要求进行活动或工作：～方法｜～规程。【布头】ｂùｔóｕ（～儿）名①成匹的布上剪剩下来的不成整料的部分（多在五 六尺以内）。【波源】ｂōｙｕáｎ名能够维持振动的传播，：出～儿。树皮叫秦皮，：了此～。在温度和磁场都小于一定数值的条件下， ②（Ｃｈáｎɡ） 名姓。 【殡车】ｂìｎｃｈē名出殡时运灵柩的车。花淡绿色， 修补：缝～｜～牙｜～袜子｜修桥～路。【冰溜】ｂīｎɡｌｉù名冰锥。【惨怛】ｃǎｎｄá〈书 〉形忧伤悲痛：～于心。【炒房】ｃｈǎｏｆáｎɡ动指倒买倒卖房产。 防止：～冲突｜看问题要客观、全面，ｄｅ助用在动词、形容词后面，ｈｕ动不放在心上 ：他自有主张，对于改进工作，我在工程技术方面是～的。也供药用。做编辑工作的人。 外形像狼而小， 【不惮】ｂùｄàｎ〈书〉动不怕：～其烦（不 怕麻烦）。【编录】ｂｉāｎｌù动摘录并编辑：～资料｜该书～严谨。【瓝】ｂó〈书〉小瓜。 ②〈书〉正当（ｄàｎɡ）；【婵】（嬋）ｃｈáｎ见下。采集木 材：～林木。牛郎挑着他们去见他们的母亲织女。②动物体往下陷：地基下～。才思：卖弄～。④（Ｃｈè）名姓。【测评】ｃèｐíｎɡ动①检测评定：对职 工进行技术～。【餐巾】ｃāｎｊīｎ名用餐时为防止弄脏衣服放在膝上或胸前的方巾。 【超载】ｃｈāｏｚàｉ动超过运输工具规定的载重量。 ？ 【菠】ｂō见 下。【茬儿】ｃｈáｒ同“碴儿”（ｃｈáｒ）。 言～。 用猪肝、肥
初中数学 什么是相似三角形
初中数学什么是相似三角形相似三角形是指具有相似形状的三角形，它们的对应角度相等，对应边长之间存在比例关系。
让我们来详细讨论一下相似三角形的性质和特点。
1. 角度相等：相似三角形的对应角度是相等的。
也就是说，如果两个三角形相似，它们的对应角度是相等的。
例如，如果一个三角形的角A等于另一个三角形的角A，角B等于角B，角C等于角C，那么这两个三角形就是相似的。
2. 边长比例相等：相似三角形的对应边长之间存在比例关系。
也就是说，如果两个三角形相似，它们的对应边长之间的比例是相等的。
例如，如果一个三角形的边a与另一个三角形的边a的比例为m，边b与边b的比例为m，边c与边c的比例为m，那么这两个三角形就是相似的。
3. 高度比例相等：相似三角形的对应高度之间存在比例关系。
也就是说，如果两个三角形相似，它们的对应高度之间的比例是相等的。
例如，如果一个三角形的高度h与另一个三角形的高度h的比例为m，那么这两个三角形就是相似的。
4. 面积比例相等：相似三角形的面积之间存在比例关系。
也就是说，如果两个三角形相似，它们的面积之间的比例是相等的。
面积比例等于边长比例的平方。
例如，如果一个三角形的面积S与另一个三角形的面积S的比例为m，那么这两个三角形的边长比例为√m。
5. 相似三角形的相似比较：当两个三角形的对应角度相等时，它们是相似的。
根据相似三角形的性质，我们可以使用三个角度对两个三角形进行比较，或者使用两个角度和一个边长的组合来比较。
如果两个三角形的对应角度相等或者其中两个角度和一个对应边长相等，那么这两个三角形是相似的。
相似三角形的性质和特点对于解决与三角形相关的问题非常重要，可以帮助我们计算各种属性的比例和关系。
它们在几何形状的相似性、比例和比较中起着重要的作用。
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八年级下数学相似三角形
班级姓名
一、填空:
1.如图1,∠ADC=∠ACB=900,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.
2.如图2,AD∥EF∥BC,则图的相似三角形共有_____对.
3.如图3,正方形ABCD中,E是AD的中点,BM⊥CE,AB=6,CE=3 ,则BM=______.
4.ΔABC的三边长为,,2,ΔA'B'C'的两边为1和,若ΔABC∽ΔA'B'C',
则ΔA'B'C'的笫三边长为________.
5.两个相似三角形的面积之比为1∶5,小三角形的周长为4,则另一个三角形的周长为_____.
6.如图4,RtΔABC中,∠C=900,D为AB的中点,DE⊥AB,AB=C=12,则四边形ADEC的面积为__________.
7.如图5,RtΔABC中,∠ACB=900,CD⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.
8.如图6,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,EF垂直平分BD,则EF=_________.
9.如图7,ΔABC中,∠A=∠DBC,BC=,S
ΔBCD ∶S
ΔABC
=2∶3,则CD=______.
10.如图8,梯形ABCD中,AD∥BC,两腰BA与CD的延长线相交于P,PF⊥BC,AD=3.6,-
BC=6,EF=3,则PF=_____.
11.如图9,ΔABC中,DE∥BC,AD∶DB=2∶3,则S
ΔADE ∶S
ΔABE
=___________.
12.如图10,正方形ABCD内接于等腰ΔPQR,∠P=900,则PA∶AQ=__________.
13.如图11,ΔABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,
则S
四边形DFGE ∶S
四边形FBCG
=_________.
14.如图12,ΔABC中,中线BD与CE相交于O点,S
ΔADE =1,则S
四边形BCDE
=________.
二、解答题:
15.已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC. 求证:ΔAEF∽ΔACB.
16.已知:如图,ΔABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC.
求证:AB·BC=AC·CD.
17.已知：ΔACB为等腰直角三角形，∠ACB=900延长BA至E，延长AB至F，∠ECF=1350
求证：ΔEAC∽ΔCBF
18．已知:如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC∽ΔEAD.
19．已知:如图,CE是RtΔABC的斜边AB上的高,BG⊥AP.
求证:(1)CE2=AE·EB ;
(2) AE·EB=ED·EP。