3-4 生活中的优化问题举例

能力拓展提升
一、选择题
11．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3
9 000＋400x,0≤x ≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )
A ．150
B ．200
C ．250
D ．300
[答案] D
[解析] 由题意可得总利润P (x )＝－x 3
900＋300x －20 000,0≤x ≤390.由P ′(x )＝0，得x ＝300.
当0≤x ≤300时，p ′(x )>0；当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大，故选D.
12．三棱锥O －ABC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，OC ＝2x ，OA ＝x ，OB ＝y ，且x ＋y ＝3，则三棱锥O －ABC 体积的最大值为( )
A ．4
B ．8 C.43 D.8
3
[答案] C
[解析] V ＝13×2x 22·y ＝x 2y 3＝x 2(3－x )3＝3x 2－x
3
3(0<x <3)，
V ′＝6x －3x 2
3＝2x －x 2＝x (2－x )． 令V ′＝0，得x ＝2或x ＝0(舍去)． ∴x ＝2时，V 最大为4
3.
13．要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则高为( )
A.3
3cm B.103
3cm C.163
3cm D.2033cm
[答案] D
[解析] 设圆锥的高为x ，则底面半径为202－x 2， 其体积为V ＝1
3πx (400－x 2) (0＜x ＜20)， V ′＝13π(400－3x 2)，令V ′＝0，解得x ＝2033. 当0＜x ＜2033时，V ′＞0；当203
3＜x ＜20时，V ′＜0 所以当x ＝203
3时，V 取最大值．
14．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其圆柱侧面积最大值为( )
A ．2πr 2
B ．πr 2
C ．4πr 2
D.12πr 2
[答案] A
[解析] 设内接圆柱的底面半径为r 1，高为t ，
则S ＝2πr 1t ＝2πr 12r 2－r 21＝4πr 1r 2－r 2
1. ∴S ＝4πr 2r 21－r 41. 令(r 2r 21－r 41)′＝0
得r 1＝2
2r .
此时S ＝4π·22r ·r 2
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫22r 2
＝4π·22r ·2
2r ＝2πr 2. 二、填空题
15．做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省料．
[答案] 4
[解析] 设底面边长为x ，则高为h ＝256
x 2，其表面积为S ＝x 2＋4×256x 2×x ＝x 2
＋256×4x ，S ′＝2x －256×4x 2，令S ′＝0，则x ＝8，则当高h ＝256
64＝4时S 取得最小值．
16．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1 200＋275x 3
，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为________件．
[答案] 25
[解析] 设产品单价为a 元，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ，
由题知a ＝500x .总利润y ＝500x －275x 3－1 200(x >0)，y ′＝250
x －
225x 2
，
由y ′＝0，得x ＝25，x ∈(0,25)时，y ′>0，x ∈(25，＋∞)时，y ′<0，所以x ＝25时，y 取最大值．
三、解答题
17．已知某厂生产x 件产品的成本为c ＝25 000＋200x ＋140x 2(元)． (1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？
(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？
[解析] (1)设平均成本为y 元，则
y ＝25 000＋200x ＋1
40x 2
x ＝25 000x ＋200＋x
40(x >0)， y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25 000x ＋200＋x 40′＝－25 000x 2＋1
40. 令y ′＝0，得x 1＝1 000，x 2＝－1 000(舍去)． 当在x ＝1 000附近左侧时，y ′<0； 在x ＝1 000附近右侧时，y ′>0； 故当x ＝1 000时，y 取得极小值．
由于函数只有一个极小值点，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1 000件产品．
(2)利润函数为L ＝500x －(25 000＋200x ＋x 2
40) ＝300x －25 000－x 2
40. ∴L ′＝300－x
20.
令L ′＝0，得x ＝6 000，当x 在6 000附近左侧时，L ′>0；当x 在6 000附近右侧时，L ′<0，故当x ＝6 000时，L 取得极大值．
由于函数只有一个使L ′＝0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值．因此，要使利润最大，应生产6 000件产品．
18．已知圆柱的表面积为定值S ，求当圆柱的容积V 最大时圆柱的高h 的值．
[分析]将容积V表达为高h或底半径r的函数，运用导数求最值．由于表面积S＝2πr2＋2πrh，此式较易解出h，故将V的表达式中h消去可得V是r的函数．
[解析]设圆柱的底面半径为r，高为h，则S圆柱底＝2πr2，
S圆柱侧＝2πrh，∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh.
∴h＝S－2πr2 2πr，
又圆柱的体积V＝πr2h＝r
2(S－2πr 2)＝
rS－2πr3
2，V′＝
S－6πr2
2，
令V′＝0得S＝6πr2，∴h＝2r，
又r＝S
6π，∴h＝2
S
6π＝
6πS
3π.
即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为6πS 3π.。