2016年中考复习《二次函数》综合测试题及答案

2016年中考复习《二次函数》综合测试题及答案 一、与线段、周长有关的问题

1. 如图，抛物线y =x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动（点P 不与点A 重合），过点P 作PD ∥y 轴交直线AC 于点D . （1）求抛物线的解析式；

（2）求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值；

（3）在抛物线对称轴上是否存在点M ，使|MA-MC |的值最大？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.

第1题图 备用图

2. （2015珠海）如图，折叠矩形OABC 的一边BC ，使点C 落在OA

边的点D 处，已知折痕BE =55,且

OE OD =3

4

.以O 为原点，OA 所在的直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l ：y = -161x 2+2

1

x +c

经过点E ，且与AB 边相交于点F . （1）求证：△ABD ∽△ODE ;

（2）若M 是BE 的中点，连接MF ，求证：MF ⊥BD ;

（3）P 是线段BC 上一动点，点Q 在抛物线l 上，且始终满足PD ⊥DQ ，在点P 运动过程中，能否使得PD =DQ ？若能，求出所有符合条件的Q 点坐标；若不能，请说明理由.

第2题图

1x2+bx+c

3. （2015孝感改编）在平面直角坐标系中，抛物线y= -

2

与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过A，C两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在AC上方的抛物线上有一动点P.

①如图①，过点P作y轴的平行线交AC于点D，当线段PD 取得最大值时，求出点P的坐标；

②如图②，过点O，P的直线y=kx交AC于点E，若PE∶OE=3∶8，求k的值.

图①图②

第3题图

1x2+bx+c(b、4. （2015天水）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝-

2

c为常数)的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限.

(1)如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式;

(2)平移（1）中的抛物线，使顶点P在AC上并沿AC方向滑动

距离为2时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点;

(3)在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由.

第4题图

1x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于5. 如图，抛物线y= -

2

点C,且OA=2,OC=3.

（1）求抛物线的解析式；

（2）作Rt△OBC的高OD，延长OD与抛物线在第一象限内交于点E，求点E的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在一点Q，使得△BEQ的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

第5题图

6. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的边OA在y 轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，AB∥OC,OA=AB=2,OC=3，

过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ，将∠DBC 绕点B 顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 、F . （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；

（3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ =1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标.

第6题图 【答案】

1.解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），

∴⎩

⎨⎧=++=++01039c b c b ， 解得⎩⎨

⎧==3

-4

c b , ∴抛物线的解析式为y =x 2-4x +3. （2）令x =0,则y =3, ∴点C （0，3）， 又∵点A (3,0),

∴直线AC 的解析式为y = -x +3, 设点P （x ,x 2-4x +3）,

∵PD ∥y 轴，且点D 在AC 上， ∴点D (x ,-x +3),

∴PD =(-x +3)-(x 2-4x +3)=-x 2+3x =-(x-2

3)2+4

9, ∵a =-1<0,

∴当x =2

3时，线段PD 的长度有最大值，最大值为4

9. (3)存在.由抛物线的对称性可知，对称轴垂直平分AB ， 可得：MA ＝MB ，

由三角形的三边关系，｜MA -MC ｜

可得：当M 、B 、C 三点共线时,｜MA -MC ｜最大，即为BC 的长度， 设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0),由B 、C 两点的坐标分别为（1，0）、(0,3), 则⎩⎨

⎧==+3

b b k ,

解得⎩

⎨⎧==3-3b k ,

∴直线BC 的解析式为y = -3x +3, ∵抛物线y =x 2-4x +3的对称轴为直线x =2, ∴当x =2时，y=-3×2+3＝－3， ∴点M （2，－3），

即抛物线对称轴上存在点M （2，－3），使｜MA -MC ｜最大. 2.（1）证明：由折叠知∠ADB =90°-∠ODE ＝∠OED ， ∵∠EOD ＝∠DAB =90°， ∴Rt △ABD ∽Rt △ODE .