平面向量基本定理练习试题整理
必修四2.3.1平面向量基本定理优秀试题练习题
平面向量基本定理课时练1．给出下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底； ③零向量不可为基底中的向量． 其中正确的说法是( ) A ．①② B ．②③ C ．①③D ．②解析：因为不共线的两个向量都可以作为一组基底，所以一个平面内有无数多个基底，又零向量和任何向量共线，所以基底中不含有零向量．因此本题中，①错，②、③正确，故选B.答案：B2．已知e 1和e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是( ) A ．e 1和e 1＋e 2 B ．e 1－2e 2和e 2－2e 1 C ．e 1－2e 2和4e 2－2e 1 D ．e 1＋e 2和e 1－e 2解析：分析四个选项知，在C 中，4e 2－2e 1＝－2(e 1－2e 2)．∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，应选C. 答案：C3．在△ABC 中，BC →＝3BD →，则AD →等于( ) A.13(AC →＋2AB →) B.13(AB →＋2AC →) C.14(AC →＋3AB →) D.14(AC →＋2AB →)解析：如右图所示，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →＝13(AC →＋2AB →)，故选A. 答案：A4．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C )，则AP →等于( ) A ．λ(AB →＋AD →)，λ∈(0,1) B ．λ(AB →＋BC →)，λ∈⎝⎛⎭⎫0，22C ．λ(AB →－AD →)，λ∈(0,1) D ．λ(AB →－BC →)，λ∈⎝⎛⎭⎫0，22解析：∵ABCD 是菱形，且AC 是一条对角线，由向量的平行四边形法则知，AC →＝AB →＋AD →，而点P 在AC 上，∴三点A 、P 、C 共线，∴AP →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)，显然λ∈(0,1)，故选A. 答案：A5．若四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →等于( ) A ．b ＋12aB ．b －12aC ．a ＋12bD ．a －12b解析：BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12BA →＝b －12a .答案：B6．已知a ，b 不共线，且c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1＝________. 解析：∵a ，b 不共线，∴a ，b 可以作为一组基底，又c 与b 共线，∴c ＝λ2b ，∴λ1＝0. 答案：07．设向量a ，b 不共线，且OC 1→＝k 1a ＋k 2b ，OC 2→＝h 1a ＋h 2b ，若OC 1→＋OC 2→＝m a ＋n b ，则实数m ＝________，n ＝________.解析：OC 1→＋OC 2→＝(k 1＋h 1)a ＋(k 2＋h 2)b ＝m a ＋n b . ∴m ＝k 1＋h 1，n ＝k 2＋h 2. 答案：k 1＋h 1 k 2＋h 28．已知向量a 与b 的夹角是45°，则－2a 与3b 的夹角是________． 答案：135°9．设M 、N 、P 是△ABC 三边上的点，它们使BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a 、b 将MN →、NP →、PM →表示出来．解：如图所示：MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13AC →－23(AB →－AC →)＝13AC →－23AB →＝13b －23a . 同理可得NP →＝13a －23b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13a ＋13b .10．如图所示，在▱ABCD 中，M 、N 分别为DC 、BC 的中点．已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.解：设AB →＝a ，AD →＝b .由M 、N 分别为DC 、BC 的中点，得BN →＝12b ，DM →＝12a .在△ABN 和△ADM 中，⎩⎨⎧a ＋12b ＝d ， ①b ＋12a ＝c . ②①×2－②，得a ＝23(2d －c )．②×2－①，得b ＝23(2c －d )．∴AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．高一向量同步练习4（平面向量基本定理）一、选择题1、若ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，设OA =a ，OB =b ，则向量BC 等于A ．a +bB ．－a －bC ．－a +bD ．a －b2、已知向量和不共线，实数x 、y 满足 (2x ﹣y)+4=5+(x ﹣2y)，则x+y 的值等于 （ ）A ．－1B ．1C ．0D ．33、若 5→ AB + 3→ CD =0，且 |→ AD | = |→BC |，则四边形ABCD 是 （ ） A ． 平行四边形B ． 菱形C ． 等腰梯形D ． 非等腰梯形4、设 M 是△ABC 的重心，则→AM = （ ） A ． → AC －→ AB 2B ． → AB + →AC 2 C ． → AC －→ AB 3D ． → AB + →AC 35、设1e 和2e 为不共线的向量，则21e ﹣32e 与k 1e +λ2e （k ．λ∈R ）共线的充要条件是 （ ）A ．3k+2λ=0B ．2k+3λ=0C ．3k ﹣2λ=0D ．2k ﹣3λ=06、D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的中点，且==,，给出下列命题，其中正确命题的个数是 ①--=21 ② 21+= ③=－2121+ ④=++ A ．1 B ．2 C ．3 D ．47.已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1、e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系为( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不能确定解析：a ＋b ＝3e 1－e 2＝12c .故a ＋b 与c 共线．答案：B8．(全国卷)设平面向量a 1、a 2、a 3的和a 1＋a 2＋a 3＝0.如果平面向量b 1、b 2、b 3满足|b i |＝2|a i |，且a i 顺时针旋转30°后与b i 同向，其中i ＝1,2,3.则( )A ．－b 1＋b 2＋b 3＝0B ．b 1－b 2＋b 3＝0C ．b 1＋b 2－b 3＝0D ．b 1＋b 2＋b 3＝0解析：选用特例法 ∵a 1＋a 2＋a 3＝0，∴a 1，a 2，a 3构成三角形，不妨设其为正三角形．则b i 实际上是将三角形顺时针旋转30°后再将其各边C长度变为原来的2倍，仍为封闭图形——三角形．∴有b 1＋b 2＋b 3＝0. 答案：D二、填空题1、设向量1e 和2e 不共线，若x 31e +()y -102e =()74-y 1e +x 22e ，则实数=x ，=y ．2、设向量1e 和2e 不共线，若k 1e +2e 与1e 4-2e 共线，则实数k 的值等于 ．3、若1e 和2e 不共线，且213e e a +-=，2124e e b +=，21123e e c +-=，则向量a 可用向量b 、c 表示为= ．4、设、不共线，点P 在AB 上，若μλ+=，那么=+μλ ．三、解答题1、设21,e e 是两不共线的向量，已知2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，①若C B A ,, 三点共线，求k 的值，②若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．2、设21,e e 是两不共线的向量，若21212133,82,e e e e e e -=+=+=，试证D B A ,, 三点共线．3、如图，ABCD 中，点M 是AB 的中点，CM 与BD 相交于点N ，若BD BN λ=， 求实数λ的值．4．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，试判断A 、B 、C 、D 四点构成的图形． 解：∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ， ∴AD →＝2BC →，∴AD →∥BC →，若A 、B 、C 三点共线，则存在实数λ，使AB →＝λBC →，即a ＋2b ＝－4λa －λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4λ＝1，－λ＝2，矛盾．∴A 、B 、C 三点不共线，故A 、B 、C 、D 四点不共线． 因而AD →∥BC →，又|AD →|＝2|BC →|≠|BC →|. 故A 、B 、C 、D 四点构成梯形．5．已知：如图，点L 、M 、N 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的点，且BL BC ＝l ，CM CA ＝m ，ANAB ＝n ，若AL →＋BM →＋CN →＝0.求证：l ＝m ＝n .证明：设BC →＝a ，CA →＝b 为基底． 由已知BL →＝l a ，CM →＝m b . ∵AB →＝AC →＋CB →＝－a －b ∴AN →＝nAB →＝－n a －n b . ∴AL →＝AB →＋BL →＝(l －1)a －b ，① BM →＝BC →＋CM →＝a ＋m b ，② CN →＝CA →＋AN →＝－n a ＋(1－n )b ，③ 将①②③代入AL →＋BM →＋CN →＝0，得 (l －n )a ＋(m －n )b ＝0， ∵a 与b 不共线， ∴l ＝m ＝n .6在△ABC 中，AD →＝14AB →，DE ∥BC ，与边AC 相交于点E ，△ABC 的中线AM 与DE 相交于点N ，如图所示，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a 和b 表示DN →.解：∵M 为BC 的中点，∴BM →＝12BC →＝12(AC →－AB →)＝12(b －a )，AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )．∵DN →∥BM →，AN →与AM →共线，∴存在实数λ和μ，使得DN →＝λBM →＝12λ(b －a )，AN →＝μAM →＝12μ(a ＋b )＝12μa ＋12μb .AN →＝AD →＋DN →＝14a ＋12λ(b －a )＝⎝⎛⎭⎫14－λ2a ＋λ2b . 根据平面向量基本定理，得⎩⎨⎧14－λ2＝12μ，λ2＝12μ.解得 λ＝μ＝14.∴DN →＝18(b －a )．参考答案一、选择题 BBC DAD 二、填空题1、3=x 、4=y 。
(完整版)平面向量基本定理及经典例题
平面向量基本定理一．教学目标：了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行. 二.课前预习1.已知a =(x,2)，b =(1,x)，若a //b ，则x 的值为 ( ) A 、2 B 、 2- C 、 2± D 、 22.下列各组向量，共线的是 ( ) ()A (2,3),(4,6)a b =-= ()B (2,3),(3,2)a b ==()C (1,2),(7,14)a b =-= ()D (3,2),(6,4)a b =-=-3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且CB CN CA CM ⋅=⋅=2,3,则=MN ____ 4．已知点(1,5)A -和向量a =(2,3),若AB =3a ,则点B 的坐标为 三.知识归纳1. 平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+成立。
其中12,e e 叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________；2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j作基底，则对任一向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使j y i x a +=、就把_________叫做向量a的坐标，记作____________。
3．向量的坐标计算：O （0，0）为坐标原点，点A 的坐标为（x ，y ），则向量OA 的坐标为OA＝___________，点1P 、2P 的坐标分别为（1x ，1y ），2P （2x ，2y ），则向量21P P 的坐标为21P P ＝___________________，即平面内任一向量的坐标等于表示它的有向线段的____点坐标减去____点坐标．4．线段中点坐标公式：A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）线段中点为M ，则有：OM =________________，M 点的坐标为_____________．5．两个向量平行的充要条件是：向量形式：_____________)0(//⇔≠b b a ；坐标形式： _____________)0(//⇔≠b b a ．6. a=（x,y ）, 则a =___________.与a 共线的单位向量是：aa e = 四．例题分析：例1.(1)、 已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且−→−PN ＝－2−→−PM ，则P点的坐标为（ ）A （－14，16） （B ）（22，－11） （C ）（6，1） （D ） （2，4） (2)、已知两点A(4,1), B(7,-3), 则与向量AB 同向的单位向量是 （ ）（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 (B)⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 (C)⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 (D)⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54(3)、若a =（2，3），b =（－4，7），则a 在b 方向上的投影为____________。
高考数学专题训练：平面向量基本定理含详解
高考数学专题训练：平面向量基本定理一、单选题1．在ABCD 中，点N 为对角线AC 上靠近A 点的三等分点，连结BN 并延长交AD 于M ，则MN = （）A ．1136AB AD -+ B ．1136AB AD -C ．1344AB AD-D ．3144AB AD-2．如图，在66⨯的方格中，已知向量,,a b c的起点和终点均在格点，且满足向量(),a xb yc x y R =+∈r r r，那么x y -=（）．A ．0B ．2-C ．1D ．23．如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=-，则λμ+=（）A ．43B ．53C ．1D ．24．若a ，b 是两个不共线的向量，已知2MN a b =- ，2PN a kb =+ ，3PQ a b =-，若M ，N ，Q 三点共线，则k =（）A ．1-B ．1C ．32D ．25．如图所示，M ，N 分别是ABC 的边AB ，AC 上的点，且2AM MB = ，2NC AN =，则向量MN =（）．A ．1233AB AC - B ．1233AB AC +C ．1233AC AB-D ．1233AC AB+6．如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M 、N ，若12AB AM = ，AC nAN =，则n =（）A ．1B ．32C ．2D ．37．如图所示，在ABC 中，2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，25AM AD = ；若AM AB BC λμ=+，则λμ+的值为（）A ．43B ．815C ．23D ．4158．如图，在ABC 中，点M 是AB 上的点且满足3AM MB =，P 是CM 上的点，且15MP MC = ，设,AB a AC b == ，则AP = （）A ．1124a b+ B ．3155a b+ C ．1142a b+ D ．33105a b + 9．如图，ABC 中，D 为AB 上靠近B 的三等分点，点F 在线段CD 上，设AB a = ，AC b =，AF xa yb =+ ，则21x y+的最小值为（）A ．6B ．7C ．4+D ．4+10．在ABC 中，90ACB ∠= ，CB a = ，CA b =，点D 是ABC 的外心，E 是AC 的中点，则CD ＋BE＝（）A ．1122a b- B ．12a b -- C ．123a b- D ．12a b-+ 11．在等边△ABC 中，D 为BC 的中点，点P 为△ACD 内一点（含边界），若14AP AB AC λ→→→=+，则λ的取值（）A ．13,44⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题12．在下列向量组中，可以把向量()3,2a →=表示出来的是（）A ．()()120,0,1,2e e →→==B ．()()121,2,5,2e e →→=-=-C ．()()123,5,6,10e e →→==D ．()()122,3,2,3e e →→=-=13．四边形ABCD 中，//AB CD ，90A ∠=︒，22AB AD DC ==，3BC EC = ，2AE AF =，则下列表示错误的是（）A ．12CB AB AD=-+B ．1133AF AB AD=+C ．1263CF AB AD =- D ．2133BF AB AD =-+ 14．如图，在OACB 中，E 是AC 的中点，F 是BC 上的一点，且4BC BF =，若OC mOE nOF =+uuu r uu u r uu u r，其中m ，n R ∈，则（）A ．107m n +=B ．2-7m n =C ．23m n =D ．32m n=15．如图所示的各个向量中，下列结论不正确的是（）A ．3322PQ a b=+ B ．3322PT a b=--C ．3122PS a b =- D ．32PR a b =+ 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、双空题16．如图，在OCB 中，点A 是BC 的中点，点D 是靠近点B 将OB 分成2:1的一个分点，DC 和OA 交于点E ，设OA a =，OB b= （1）用a ，b表示向量DC =u u u r __________；（2）若OE OA λ=，则λ=__________17．如图，在ABC 中，13BD BC =，点E 在线段AD 上移动（不含端点），若AE AB AC λμ=+ ，则λμ=___________，2λμ-的最小值为___________.18．如图，3AB AD = ，4AC AE = ，BE 与CD 交于P 点，若AP m AB n AC =+，则m =______，n =______．四、填空题19．如图，在ABC 中，13AN NC →→=，P 是BN 上的一点，若311AP AB AC m →→→=+，则实数m 的值为________.20．如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC AE AF λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ+=________.五、解答题21．如图，ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，设,BA a BC c ==.（1）用a ，c 表示向量A E；（2）若点F 在AC 上，且1455BF a c =+，求:AF CF .22．如图，在平行四边形ABCD 中，2BE EC = ，3CF FD =，BF 与DE 交于点G ．(1)用AB ，AD 表示EF ；(2)用AB ，AD 表示AG ．23．如图所示，ABC 中，AB a = ，AC b =，D 为AB 的中点，E 为CD 上的一点，且4DC EC =，AE 的延长线与BC 的交点为F .(1)用向量a ，b 表示A E；(2)用向量a ，b 表示AF，并求出:AE EF 和:BF FC 的值.参考答案：1．B 【解析】【分析】把向量,AB AD作为基底，根据题意可得M 为AD 的中点，然后根据向量的加减法法则和平面向量基本定理求解即可【详解】解：因为点N 为对角线AC 上靠近A 点的三等分点，所以2CN AN =，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，所以2BC CNAM AN ==，所以12AM BC =，所以12AM AD =，MN AN AM=- 1132AC AD =- 11()32AB AD AD =+-1136AB AD =-,故选：B2．A 【解析】【分析】先设出水平向右的单位向量m 和水平向上的单位向量n，用单位向量表示题中的,,a b c ，结合(),a xb yc x y R =+∈r r r代入化简后联立方程组求解得到,x y 的值相减即可.【详解】设m 为水平向右的单位向量，n为水平向上的单位向量.则2a m n =- ，22b m n =+ ，24c m n =- .因为a xb yc =+ ，所以()()22224m n x m n y m n -=++- ，即()()22224m n x y m x y n -=++- .所以222241x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以11022x y -=-=.故选:A 3．C 【解析】【分析】根据向量的线性运算和平面向量基本定理得到()1 2AC AB AD λμλμ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭,再与AC AB AD =+对比,得到λμ+=1即可.【详解】因为AC AB AD =+ ，12AM AB BM AB AD =+=+ ， BD AD AB=-所以()()1122AC AM BD AB AD AD AB AB AD λμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫=-=+--=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以λμ+=1.故选:C.4．B 【解析】【分析】利用向量的减法以及向量共线定理即可求解.【详解】由题意知，()1NQ PQ PN a k b =-=-+，因为M ，N ，Q 三点共线，故MN NQ λ=，即()21a b λa k b ⎡⎤-=-+⎣⎦ ，解得1λ=，1k =，5．C 【解析】根据平面向量基本定理，由平面向量的线性运算，利用题中条件直接计算，即可得出结果.【详解】因为2AM MB = ，2NC AN =，所以1233MN AN AM AC AB =-=- .故选：C.6．B 【解析】【分析】根据向量的共线定理可得解.【详解】连接AO ，由点O 是BC 的中点，则1122AO AB AC =+，又12AB AM = ，AC nAN = ，则1112242n AO AB AC AM =+=+ ，又O ，M ，N 三点共线，则1142n+=，解得32n =，故选：B.7．B【分析】根据题意求得1BD =，化简得到22515AM AB BC =+ ，结合AM AB BC λμ=+，求得,λμ的值，即可求解.【详解】在ABC 中，2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，可得cos 601BD AB == ，由222122()()5553515AM AD AB BD AB BC AB BC==+=+=+又因为AM AB BC λμ=+ ，所以22,515λμ==，所以815λμ+=.故选：B.8．B 【解析】【分析】先将AP 用AM ，MP 表示，然后AM ，MP 再用,a b表示即可.【详解】3313133()445455AM MB AM AB AP AM MP AB MC AB AC AM AB =⇒==+=+=+-=+，131555AC a b =+.故选：B 9．D 【解析】【分析】由题意,用向量,AD AC 表示出向量AF ,根据点F 在线段CD 上可得到312x y +=，再根据基本不等式即可求得答案.【详解】由于D 为AB 上靠近B 的三等分点，故23AD AB = ,所以32x AF xa yb x AB y AC AD y AC =+=+=+ ,又因为点F 在线段CD 上，所以312x y +=，故2121332()()422x x yy x y x y y x+=++=++，由题意可知0,0x y >>，故2132442x yx y y x+=++≥+当且仅当322x y y x =时，即1132x y -=-=时，等号取得，故选：D.10．D 【解析】【分析】根据题意得点D 是Rt ACB 的斜边AB 的中点，进而根据向量加减法运算求解即可.【详解】解：因为点D 是ABC 的外心，且90ACB ∠= ，所以点D 是Rt ACB 的斜边AB 的中点，所以()111222CD CB CA a b =+=+.又E 是AC 的中点，所以12BE BC CE a b =+=-+，所以12CD BE a b +=-+ .故选：D.11．D 【解析】【分析】过AB 靠近A 的四等分点作AC 的平行线分别交AD ，BC 于点E ，F ，过E ，F 分别作AB 的平行线交AC 于M ，N ，求出min 14λ=，max 34λ=，即得解.【详解】解；过AB 靠近A 的四等分点作AC 的平行线分别交AD ，BC 于点E ，F ，由题意知，点P 在线段EF 上，过E ，F 分别作AB 的平行线交AC 于M ，N （如图所示），由题得13,44AM AC AN AC →→→→==，即min 14λ=，max 34λ=.所以1344λ≤≤.故选：D.12．BD 【解析】【分析】根据12a e e λμ→→→=+，选项A ：无解，故选项A 不能；选项B ：解得2λ=，1μ=，故选项B 能．选项C ：无解，故选项C 不能．选项D ：解得513==1212λμ，，故选项D 能．【详解】解：根据12a e e λμ→→→=+，选项A ：(3，2)(0λ=，0)(1μ+，2)，则3μ=，22μ=，无解，故选项A 不能；选项B ：(3，2)(1λ=-，2)(5μ+，2)-，则35λμ=-+，222λμ=-，解得，2λ=，1μ=，故选项B 能．选项C ：(3，2)(3λ=，5)(6μ+，10)，则336λμ=+，2510λμ=+，无解，故选项C 不能．选项D ：(3，2)(2λ=，3)(2μ-+，3)，则322λμ=+，233λμ=-+，解得513==1212λμ，，故选项D 能．故选：BD 13．AC 【解析】【分析】利用向量的线性运算将CB ,,,AF CF BF 用基底AB 和AD表示，与选项比较即可得正确选项.【详解】对于选项A ：1122CB CD DA AB AB DA AB AB DA =++=-++=+，故选项A 不正确；()11121122112223223333AF AE AB BE AB AB DA AB DA AB AD ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=-+=-=+ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选项B 正确；1111223363CF CD DA AF AB AD AB AD AB AD =++=--++=--，故选项C 不正确，11213333BF AF AB AB AD AB AB AD =-=+-=-+，故选项D 正确；故选：AC.14．ABC 【解析】【分析】根据向量的线性运算法则及平面向量的基本定理，可得12OE OA OB =+ ，14OF OB OA =+，又OC OA OB =+，根据题意，化简计算，可得m ，n 的值，逐一分析选项，即可得答案.【详解】在平行四边形中OA BC = ，OB AC = ，OC OA OB =+，因为E 是AC 中点，所以1122AE AC OB ==，所以12OE OA AE OA OB =+=+ ，因为4BC BF =，所以11 44BF BC OA == ，所以14OF OB BF OB OA =+=+ ，因为OC mOE nOF =+uuu r uu u r uuu r ，所以1142OC m n OA m n OB ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以114112m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得6747m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以107m n +=，27m n -=，23m n =，故选：ABC ．15．BD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，可得向量(1,1),(1,1)a b ==- ,由此以向量(1,1),(1,1)a b ==-为基底分别表示PQ ，,,PT PS PR，由向量的坐标运算判断选项A,B,C,D,可得正确答案.【详解】如图，建立空间直角坐标系：则(1,1),(1,1)a b ==-，故3333(0,3)(1,1)(1,1)2222PQ a b ==+-=+，A 选项正确，3333(3,0)(1,1)(1,1)2222PT a b ==--=-，B 选项错误，3131(2,1)(1,1)(1,1)2222PS a b ==--=-，C 选项正确，3131(1,2)(1,1)(1,1)2222PR a b ==+-=+，D 选项错误，故选：BD.16．523a b-r r 45【解析】（1）由22=-=- OC OA OB a b ，2233OD ==，再结合DC OC OD =- ，即可得出答案；（2）由C ，E ，D 三点共线，可知存在实数μ，使得EC DC μ=，进而由又()2EC OC OE a b a λ=-=-- ，523=- DC a b ，可建立等式关系，从而得22513λμμ-=⎧⎪⎨=⎪⎩，求解即可.【详解】（1）因为点A 是BC 的中点，所以()12OA OB OC =+，所以22=-=- OC OA OB a b ，又点D 是靠近点B 将OB 分成2:1的一个分点，所以23OD OB = ，所以()252233DC OC OD a b b a b =-=--=- .（2）因为C ，E ，D 三点共线，所以存在实数μ，使得EC DC μ=，又()()22EC OC OE a b a a b λλ=-=--=-- ，523=-DC a b ，所以()5223a b a b λμ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭ ，又a ，b不共线，则22513λμμ-=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得45λ=.故答案为：（1）523a b -r r ；（2）45.【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，考查数学转化思想和计算能力，属于基础题.17．2116-【解析】【分析】先得出2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，设出(01)AE x AD x =<<得出233x x AE AB AC =+ ，则2=,33x xλμ=，两问分别代入计算即可.【详解】因为在ABC 中，13BD BC =，所以1121()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+,即2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r .因为点E 在线段AD 上移动（不含端点），所以设(01)AE x AD x =<<.所以233x x AE AB AC =+ ，对比AE AB AC λμ=+ 可得2=,33x x λμ=.代入2=,33x x λμ=，得2323xx λμ==；代入2=,33x x λμ=可得22224=33(0931)x x x x x λμ⎛⎫--=- <⎝<⎪⎭，根据二次函数性质知当1334829x -=-=⨯时，()22min 43131=983816λμ⎛⎫--⨯=- ⎪⎝⎭.故答案为：12;16-18．311211【解析】【分析】通过向量三点共线定理，以及基底转化的方法，将AP 用,AB AC表示，根据平面向量基本定理，可以得到,m n 的值【详解】设1BP BE λ= ，2CP CD λ= ，可得()1114AP AB AC λλ=-+ ，()2213AP AC AB λλ=-+，所以2113λλ-=且2214λλ=-，可得1811λ=，2911λ=，代入上式从而可得()13111m λ=-=，12411n λ==．另外，也可用梅涅劳斯定理．由梅涅劳斯定理可知1CE AB DP EA BD PC⋅⋅=，因为3CE EA =，32=AB BD ，所以，29DP PC =，则923211111111AP AD AC AB AC =+=+ ，故311m =，211n =．故答案为;311，211．19．211【解析】【分析】解法1：先根据13AN NC →→=得到4AC AN →→=，从而可得3411AP AB N m A →→→=+，再根据三点共线定理，即可得到m 的值.解法2：根据图形和向量的转化用同一组基底AB AC →→，去表示AP →，根据图形可得：AP AB BP →→→=+，设BP BN λ→→=，通过向量线性运算可得：()14AP AB AC λλ→→→=-+，从而根据平面向量基本定理列方程组，解方程组得m 的值.【详解】解法1：因为13AN NC →→=，所以4AC AN →→=，又311AP AB AC m →→→=+，所以3411AP AB N m A →→→=+因为点,,P B N 三点共线，所以3+4111m =，解得：211m =.解法2：因为AP AB BP →→→=+，设BP BN λ→→=，所以AP AB BN λ→→→=+，因为13AN NC →→=，所以14AN AC →→=，又BN AN AB →→→=-，所以14BN AC AB →→→=-，所以()=4141AP AB AC AB AB AC λλλ→→→→→→⎛⎫=+-+ ⎝-⎪⎭，又311AP AB AC m →→→=+，所以31114m λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得：8=11211m λ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以211m =.故答案为：211.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算、三点共线定理，平面向量基本定理的运用，属于基础题.20．43【解析】【分析】设,AB a AD b ==，根据题意得到11,22AE a b AF a b =+=+ ，得到2()3AC AE AF =+ ，进而得到23λμ==，即可求解.【详解】设,AB a AD b ==，因为E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，可得11,22AE a b AF a b =+=+,又因为AC a b =+，所以2()3AC AE AF =+ ，因为AC AE AF λμ=+ ，所以23λμ==，所以43λμ+=.故答案为：43.21．（1）1344AE c a =-；（2）:4:1AF CF =.【解析】【分析】（1）由于点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，所以12AD AC = ，1()2AE AB AD =+，而AC BC BA c a =-=-，从而可求得结果，（2）设AF AC λ= ，从而可得BF BA AF BA AC λ=+=+ ，再用a ，c表示，然后结合1455BF a c =+，可求得λ的值，从而可求得:AF CF 的值【详解】（1）因为AC BC BA c a =-=-，点D 是AC 的中点，所以11()22AD AC c a ==- ，因为点E 是BD 的中点，所以1111113()()2222444AE AB AD AB AD a c a c a =+=+=-+-=-.（2）设AF AC λ=，所以()(1)BF BA AF BA AC a c a a c λλλλ=+=+=+-=-+ .又1455BF a c =+ ，所以45λ=，所以45AF AC =，所以:4:1AF CF =.22．(1)3143EF AB AD =-+ (2)1839AG AB AD=+ 【解析】【分析】（1）利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可，（2）过E 作EH ∥BF ，交CD 于H ，则由平行线分线段成比例结合已知条件可得3FB HE =，13FG HE = ，从而可得83GB HE = ，再将HE 用AB ，AD表示，代入化简可得结果(1)因为在平行四边形ABCD 中，2BE EC = ，3CF FD =，所以1133CE CB AD ==- ，3344CF CD AB ==- ，所以3143EF CF CE AB AD=-=-+(2)过E 作EH ∥BF ，交CD 于H ，因为2BE EC = ，所以12CH FH =，因为3CF FD = ，所以3CFFD=,所以::1:2:1DF FH HC =,因为EH ∥BF ，2BE EC =，所以13EH CE FB CB ==，所以3FB HE = 因为12DF FH =,EH ∥BF ，所以13FG DF HE DH ==，所以13FG HE = ，所以18333GB FB FG HE HE HE =-=-= ,因为11113434HE CE CH CB CD AD AB =-=-=-+ ，所以8118233493GB AD AB AD AB ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，所以28183939AG AB BG AB GB AB AB AD AB AD=+=-=-+=+ 23．(1)1384AE a b=+(2)1677AF a b =+，7，6【解析】【分析】（1）由已知得()4AC AD AC AE -=- ，3144AE AC AD =+，D 为AB 的中点，可得答案；（2）设BF t BC =，得()1AF tb t a =+- ，设AF AE λ= ，可得1384AE a b =+ ，即384AF a b λλ=+ ，由a ，b不共线和平面向量基本定理求得λ、t ，可得答案.(1)答案第15页，共15页根据题意因为：4DC EC = ，所以()4AC AD AC AE -=- ，所以3144AE AC AD =+ ，D 为AB 的中点，AB a = ，AC b = ，所以12AD a = ，1384AE a b =+ .(2)因为B ，F ，C 三点共线，设BF t BC = ，所以()1AF t AB t AC =-+ ，即()1AF tb t a =+- ，A ，F ，E 三点共线，设AF AE λ=，由（1）可知1384AE a b =+ ，即384AF a b λλ=+ ，a ，b 不共线，由平面向量基本定理，所以1834t t λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以87λ=，67t =，所以87AF AE = ，67BF BC = ，则:AE EF 的值为7，:BF FC 的值为6.。
平面向量基本定理基础训练题(含详解)
平面向量基本定理基础训练题（含详解)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在ABC 中，E 是AC 的中点，3BC BF =，若AB a =，AC b =，则EF =（ ）A ．2136a b - B ．1133a b +C ．1124a b D ．1133a b -2．如图，已知AB a =，AC b =，3BD DC =，用a 、b 表示AD ，则AD 等于（ ）A ．34a b + B ．3144a b + C ．1144a b +D ．1344a b +3．已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足0OA OB OC ++=，则下列结论正确的是( ) A ．1233OA AB BC =+ B ．2133OA AB BC =+ C ．1233OA AB BC =- D ．2133OA AB BC =-- 4．在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是 A ．9 B ．10 C ．11D ．125．在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，2AB DC =，E 为BC 的中点，则（ ）A ．3142AE AB AD →→→=+B ．3122AE AB AD →→→=+C ．1142AE AB AD →→→=+D ．3144AE AB AD →→→=+6．在平行四边形ABCD 中，若4CE ED =，则BE =（ ）A ．45AB AD -+ B ．45AB AD - C ．45AB AD -+D ．34AB AD -+二、填空题7．在正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM AN λμ=+，则实数λμ+=_______.8．已知ABC ，若点D 满足34AB ACAD +=，且()BD CD λλ=∈R ，则λ=________．参考答案1．A 【解析】 【分析】根据向量的运算法则计算得到答案. 【详解】1223EF EC CF AC CB =+=+()12212336AC AB AC AB AC =+-=-2136a b =-. 故选：A . 【点睛】本题考查了向量的基本定理，意在考查学生的计算能力和转化能力. 2．D 【解析】分析：用向量的加法法则表示出AD ，再由数乘与减法运算可得． 详解：由题意34AD AB BD a BC =+=+3()4a AC AB =+-3()4a b a =+-1344a b =+， 故选D ．点睛：本题考查平面向量基本定理，考查平面向量的线性运算，解题时抓住向量线性运算的运算法则（加法、减法、数乘等）就可以把任一向量用基底表示出来． 3．D 【解析】 【分析】由0OA OB OC ++=可知，所以O 为ABC ∆的重心，运用向量的加法运算，21()32OA AB AC →→→=-⨯+,整理后可求结果.【详解】因为0OA OB OC ++=，所以O 为ABC ∆的重心，所以211121()()()323333OA AB AC AB AC AB AB BC AB BC →→→→→→→→→→=-⨯+=-+=-++=--.故选:D. 【点睛】本题考查了向量加法的运算,考查了向量的线性表示,考查了平面向量的基本定理,属于基础题. 4．D 【解析】 【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定,m n 的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可知：3AP mAB nAC mAB nAE =+=+，,,A B E 三点共线，则：31m n +=，据此有：()3131936612n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当11,26m n ==时等号成立. 综上可得：31m n+的最小值是12.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5．A 【解析】 【分析】根据题意，选基底AB →，AD →表示向量AE →即可求解. 【详解】由等腰梯形ABCD 中，2AB DC =，E 为BC 的中点可知，AE AB BE →→→=+,①12AE AD DC CE AD AB CE→→→→→→→=++=++②①+②得：322AE AD AB →→→=+,即3142AE AB AD →→→=+，故选：A 【点睛】本题主要考查了向量的加法，向量的基底，属于容易题. 6．A 【解析】 【分析】由4,CE ED =得45CE CD =，在BEC △中，利用向量加法可得. 【详解】44,,5CE ED CE CD =∴=4455BE BC CE AD CD AB AD ∴=+=+=-+故选：A. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算. 用已知向量表示某一向量的两个关键点:(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． 7．43【解析】 【分析】由题意结合平面向量线性运算法则可得22AC AB AB A A D D μλλμ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝+⎭⎝⎭，由平面向量基本定理可得1212μλλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即可得解.【详解】由题意画出图形，如图所示：由题意可得()()AC AB BM A AM AN D DN λμλμ=++++=11112222AB BC AD DC AB AD AB AD λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22AB AD μλλμ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又AC AB AD =+，所以1212μλλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，从而3()22λμ+=，即43λμ+=. 故答案为：43.【点睛】本题考查了平面向量线性运算法则、平面向量基本定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 8．13-【解析】【分析】根据题意，利用平面向量的基本定理，化简即可得到结论. 【详解】由34AB ACAD+=，可得43AD AB AC=+，所以，33AD AD AB AC+=+，即()3AD AB AC AD-=-，所以，3BD DC=，故13BD CD=-．故答案为：1 3 -.【点睛】本题考查平面向量的基本定理，属于基础题．。
平面向量基本定理及相关练习(含答案)
平面向量2预习：1.两个非零向量夹角的概念：已知非零向量a 和b ,作b OB a OA ==,，则)0(πθθ≤≤=∠AOB 叫做向量a 和b 的夹角。
（1）0=θ时,a 和b 同向;（2）πθ=时，a 和b 反向;（3）2πθ=时，b a ⊥；（4）注意两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围是πθ≤≤0。
2.两向量共线的判定 设),(),,(2211y x b y x a ==，其中0≠b 。
3.我们都学过向量有关的哪些运算？4.力做的功：的夹角。
与是s F s W θθ,cos |||F |•=讲授新课：1.平面向量的数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 和b ,他们的夹角为θ，我们把数量的数量积（内积）。
与叫做b a cos |b ||a |θ• 记为：b a •，即θcos ||||b a b a =•规定:零向量与任一向量的数量积为0，即00=•a 。
2.投影的概念：θcos |b |叫做a b 在方向上的投影，投影也是一个数量,不是向量。
3.向量数量积（内积）的几何意义：数量积b a •等于a 的长度a b a 在与||||方向上的投影θcos |b |的乘积。
4.两个向量数量积的性质:设b a 、为两个非零向量 （1）b a ⊥←→b a •=0（2）当a 和b 同向时，b a •=||||b a当a 和b 反向时,b a •= —||||b a特别地，a a a a ==•||||2或（3）｜b a •｜||||b a ≤（4）||||cos b a =θ（5）平面向量数量积的运算律：已知向量λ和实数、、c b a ，则 ①b a •=a b •（交换律)②))(()()(数乘结合律b a b a b a λλλ•=•=•③)()(分配律c b c a c b a •+•=•+5.平面两向量数量积的坐标表示： 已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b = 两个向量数量积等于他们对应坐标的乘积的和，即2211y x y x b a +=•。
平面向量的基本定理及坐标运算练习题(基础、经典、好用)
平面向量的基本定理及坐标运算一、选择题1．已知平面向量a ＝(x ，1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线2．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，若表示向量4a 、3b －2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为( )A ．(1，－1)B ．(－1，1)C ．(－4，6)D ．(4，－6)3．(2013·东莞质检)若a ＝(1，2)，b ＝(－3，0)，(2a ＋b )∥(a －mb )，则m ＝( )A ．－12 B.12 C ．2 D ．－24．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.2π35．(2013·阳江模拟)设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2，1)，则“a ＝(4，2)”是“a ∥b ”成立的是( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题6．已知同时作用于某物体同一点的三个力对应向量分别为f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3，2)，f 3＝(4，－3)，为使该物体处于平衡状态，现需在该点加上一个力f 4，则f 4＝________．7．(2013·潮州模拟)在△ABC 中，若点D 是边AB 上靠近点B 的三等分点，若CB→＝a ，CA →＝b ，则CD→等于________． 8．(2013·广州调研)已知A (－3，0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC＝30°，OC→＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________． 三、解答题9．设坐标平面上有三点A ，B ，C ，i ，j 分别是坐标平面上x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若向量AB→＝i －2j ，BC →＝i ＋mj ，那么是否存在实数m ，使A ，B ，C 三点共线． 10．已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)，且OP→＝OA →＋tAB →(t ∈R)，问： (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在二、四象限角平分线上？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．图4－2－311．(2013·广东六校模拟)如图4－2－3，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．(1)设PG→＝λPQ →，将OG →用λ，OP →，OQ →表示； (2)设OP →＝xOA →，OQ →＝yOB →，证明：1x ＋1y是定值．解析及答案一、选择题1．【解析】 ∵a ＋b ＝(0，1＋x 2)，∴a ＋b 平行于y 轴．【答案】 C2．【解析】 4a ＝(4，－12)，3b －2a ＝(－8，18)，设向量c ＝(x ，y )，依题意，得4a ＋(3b －2a )＋c ＝0，所以4－8＋x ＝0，－12＋18＋y ＝0，解得x ＝4，y ＝－6.【答案】 D3．【解析】 ∵a ＝(1，2)，b ＝(－3，0)，∴2a ＋b ＝(－1，4)，a －mb ＝(1＋3m ，2)，又∵(2a ＋b )∥(a －mb )，∴－1×2－4(1＋3m )＝0，∴m ＝－12.【答案】 A4．【解析】 由p ∥q ，知(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，∴C ＝π3.【答案】 B5．【解析】 若a ＝(4，2)，则|a |＝25，且a ∥b 都成立；因a ∥b ，设a ＝λb ＝(2λ，λ)，由|a |＝25，得4λ2＋λ2＝20，∴λ2＝4，∴λ＝±2，∴a ＝(4，2)或a ＝(－4，－2)．因此“a ＝(4，2)”是“a ∥b ”成立的充分不必要条件．【答案】 C二、填空题6．【解析】 由题意知f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，∴f 4＝－f 1－f 2－f 3＝(2，1)＋(3，－2)＋(－4，3)＝(1，2)．【答案】 (1，2)7．【解析】 ∵D 是靠近点B 的边AB 上的三等分点，∴BD →＝13BA →，又CD →＝CB →＋BD →，且BA →＝CA →－CB →＝b －a ，∴CD →＝CB →＋13BA →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .【答案】 23a ＋13b8．【解析】 由题意知OA →＝(－3，0)，OB →＝(0，3)，则OC →＝(－3λ，3)，由∠AOC ＝30°，知∠xOC ＝150°，∴tan 150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，∴λ＝1.【答案】 1三、解答题9．【解】 假设满足条件的m 存在，由A ，B ，C 三点共线，得AB →∥BC →，∴存在实数λ，使AB→＝λBC →，即i －2j ＝λ(i ＋mj )， ∴m ＝－2.∴当m ＝－2时，A ，B ，C 三点共线．10．【解】 (1)∵O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)， ∴OA→＝(1，2)，AB →＝(3，3)， OP→＝OA →＋tAB →＝(1＋3t ，2＋3t )． 若P 在x 轴上，只需2＋3t ＝0，t ＝－23； 若P 在第二、四象限角平分线上，则1＋3t ＝－(2＋3t )，t ＝－12.(2)OA→＝(1，2)，PB →＝(3－3t ，3－3t )， 若OABP 是平行四边形，则OA→＝PB →， 此方程组无解．所以四边形OABP 不可能为平行四边形．11．【解】 (1)OG→＝OP →＋PG →＝OP →＋λPQ → ＝OP→＋λ(OQ →－OP →)＝(1－λ)OP →＋λOQ →. (2)一方面，由(1)，得OG→＝(1－λ)OP →＋λOQ →＝(1－λ)xOA →＋λy OB →； ①另一方面，∵G 是△OAB 的重心，∴OG →＝23OM →＝23×12(OA →＋OB →)＝13OA →＋13OB →. ② 又OA →，OB →不共线，∴1x ＋1y ＝3(定值)．。
平面向量基本定理练习题
平面向量基本定理练习题一、单选题1．在ABC 中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A ．2133b c + B ．5233c b -C ．2133b c - D ．1233b c +试题分析：，故选A ．2．设,m n 是两个不共线的向量，若5,28,42,AB m n BC m n CD m n =+=-+=+则（ ） A ．,,A B D 三点共线 B ．,,A B C 三点共线 C ．,,A C D 三点共线 D ．,,B C D 三点共线【解析】因为BC +CD =510,m n +=2AB ，故,,A B D 三点共线. 故答案为A.3．设向量(1,1),(2,)a b x =-=，若//a b ，则x =（ ） A ．1 B ．1-C ．2D ．2-【分析】根据向量,a b 的坐标以及//a b 即可得出20x +=，解出x 即可． 【详解】 解：(1,1),(2,)a b x =-=，且//a b1(1)20x ∴--=，解得2x =-．故选：D ．4．平面直角坐标系中，O 为原点，,,A B C 三点满足3144OC OA OB =+，则BC AC= A ．1 B ．2C ．3D ．32【解析】∵313444BC OC OB OA OB OB BA =-=+-=，311444AC OC OA OA OB OA AB =-=+-=，∴3BC AC=，故选C.5．在ABC ∆中，点D ，E ，F 分别在边BC ，AC ，AD 上，且,2,2DB DC EA EC FD FA ===，设,AB a AC b ==，则向量EF =（ ） A ．1263a b - B ．1233a b -C ．1162a b - D ．1334a b -【分析】根据向量的线性运算，即可容易求得. 【详解】根据题意，作图如下：故()2121133332EF EA AF AC AD AC AB AC =+=-+=-+⨯+ 11116262AB AC a b =-=-. 故选：C.6．已知5MN a b =+，28NP a b =-+，3()PQ a b =-，则（ ） A ．,,M N P 三点共线 B ．,,M N Q 三点共线 C ．,,N P Q 三点共线 D ．,,M P Q 三点共线【分析】利用平面向量共线定理进行判断即可. 【详解】因为28NP a b =-+,3()PQ a b =-所以()2835NQ NP PQ a b a b a b =+=-++-=+, 因为5MN a b =+,所以MN NQ =由平面向量共线定理可知,MN 与NQ 为共线向量, 又因为MN 与NQ 有公共点N ,所以,,M N Q 三点共线. 故选: B7．已知向量,a b 不共线，且3=+PQ a b ，42=-+QR a b ，64=+RS a b ，则共线的三点是（ ） A ．,,P Q R B ．,,P R SC ．,,P Q SD ．,,Q R S【分析】需结合观察法，对四个选项进行排除，经检验C 相符合题意 【详解】已知向量,a b 不共线，且3=+PQ a b ，42=-+QR a b ，64=+RS a b ，由42=-+QR a b ，得42=-RQ a b ，则262(3)2-=+=+=RS RQ a b a b PQ ，即2=QS PQ ，所以,,P Q S 三点共线，,,A B D 中对应点经检验均不符合题意，舍去 故选：C .8．在四边形ABCD 中，2AB a b =+，43BC a b =--，55CD a b =--，那么四边形ABCD 的形状是（ ） A ．矩形 B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对【分析】先证明2AD BC =，即得四边形ABCD 是梯形. 【详解】∵86AD AB BC CD a b =++=--，∴2AD BC =，∴AD BC ∥，由题知AB CD ≠，四边形ABCD 是梯形. 故选：C .9．ABC ∆是边长为1的正三角形，O 是ABC ∆的中心，则()()·OA OB OA OC ++=（ ）A ．16-B ．12-C ．12D ．16【分析】根据三角形的重心的性质及向量加法平行四边形法则，根据条件进行向量数量积的运算即可求出. 【详解】因为O 是等边ABC ∆的中心，所以O 是等边ABC ∆的重心，所以0OA OB OC ++=，所以()()()···OA OB OA OC OC OB OC OB ++=--=，又ABC ∆是边长为1的正三角形，所以33OC OB ==，2·3OC OB π=,所以1·cos ?6OC OB OC OB OC OB ==-，故选A.10．如图所示，过ABC 的重心G 作一直线分别交AB AC ，于点D E ，.若(0)AD x AB AE y AC xy ==≠，，则11x y+=（）A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】以向量,AB AC 作为基底，分别表示出,DE DG ，根据共线向量定理以及平面向量基本定理，同一个向量在一组基底上的分解是唯一的，故由对应向量系数相等，即可求出。
平面向量的基本定理及坐标表示 练习 含答案
平面向量的基本定理及坐标表示1．设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ） A BC D2.已知向量a,b ,且AB =a+2b 5BC ,=-a +6b 7CD ,=a-2b,则一定共线的三点是( )A.A 、B 、DB.A 、B 、CC.B 、C 、DD.A 、C 、D3.已知平行四边形ABCD 中DA ,=a DC ,=b ,其对角线交点为O,则OB 等于( ) A.12a +bB.a 12+bC.12(a +b )D.a +b4.已知OA =a OB ,=b ,C 为AB 上距A 较近的一个三等分点,D 为CB 上距C 较近的一个三等分点,则用a ,b 表示OD 的表达式为( ) A.4+59a b B +7169a b . C. +32a b D. +43a b5.已知P 是△ABC 所在平面内的一点,若CB PA PB λ=+,其中λ∈R ,则点P 一定在( )A.△ABC 的内部B.AC 边所在的直线上C.AB 边所在的直线上D.BC 边所在的直线上 6.在△ABC 中AB ,=c AC ,=b ,若点D 满足2BD DC =,则AD 等于( ) A.23b 13+ c B.53c 23-b C.23b 13- c D.13b 23+c7.在△ABC 中,设AB =m AC ,=n ,D 、E 是边BC 上的三等分点,即BD=DE=EC,则AD = AE ,= .8．设为内一点，且满足，则为的（ ）A 外心B 内心C 重心D 垂心9.已知△ABC 中,点D 在BC 边上,且CD =4DB ,CD =r AB +s AC ,则3r+s 的值为 .12,e e 1212e e e e +-和1221326e e e e --和4122122e e e e ++和212e e e +和O ABC ∆0AO BO CO ++=O ABC ∆10.计算下列各题:(1)3(3a -b )+4(b -2a );14(2)[(a +2b )+3a 13(6-a -12b )];(3)()(λμ+a +b )()(λμ--a -b ).11.已知M 是△ABC 的重心,设MA =a MB ,=b ,用a 、b 表示AC 、BC .12.已知a ,b 是两个不共线的非零向量,若a 与b 起点相同,则实数t 为何值时,a ,t b 13(,a +b )三向量的终点共线?13.(1)在△ABC 中,D 为BC 边上的中点. 求证:12()AD AB AC =+. (2)求证:G 为△ABC 重心,O 为平面内不同于G 的任意一点,则13()OG OA OB OC =++.平面向量的基本定理及坐标表示1．B 2. A 3. C 4.A 5.B 6. A 7. 23m n AD += 23n m AE += 8． C 9. 8510. (1) a +b (2)32a b +(3) 22b a λμ+ 11. 2AC a b =-- 82C a b =--12. 解:由已知,存在唯一实数λ,使a -t b [λ=a 13(-a +b )],化简得23(1)λ-a =3()t λ-b .由于a ,b 不共线,故 233100t λλ-=,⎧⎨-=,⎩ 解得 3212t λ=,⎧⎨=,⎩ 即12t =时,三向量的终点共线. 13.(1)证法一:AD AB BD AD AC CD =+,=+, 又D 为中点,∴BD CD +=0.∴2AD AB AC =+,即12()AD AB AC =+. 证法二:延长AD 至E,使DE=AD.∵BD=DC,∴四边形ABEC 为平行四边形.∴AE AB AC =+.又AE AD DE AD DE =+,=, ∴12()AD AB AC =+. (2)证明:∵OG OB BG =+,OG OA AG OG OC CG =+,=+,又∵G为△ABC的重心,∴AG CG++=0.∴OG OG OG OA OB OC ++=++,即13()OG OA OB OC=++.。
平面向量基本定理基础训练题(含详解)
平面向・根本定理根底练习题〔含详解〕一、单项选择题1.在A A 8c 中,E 是AC 的中点,BC = 3BF ＞假设而=工,衣=B ,那么丽=〔3.A,8, C 三点不共线,且点.满足OU .月+3=6,那么以下结论正确的选项是〔4 .在△A8C 中,E 为AC 上一点,AC = 3AE^ P 为BE 上任一点、,假设一 一 一 3 1AP = mAB + nAC(m > 0,〃 > 0),那么—+ -的最小值是 ni nB. 10 D. 12 5 .在等腰梯形A8CD 中,AB//DC , AB = 2DC. E 为BC 的中点,那么〔〕 6 .在平行四边形A5CD 中,假设右后=4瓦,那么诟=〔〕学校;姓名: 班级: 考号:C. 1 - 1 rD. —a ——b 3 32・如图,方=[,AC = b^ Bl5 = 3DC ,用£、办表示那么45等于〔 A.B. 1 - > rC. —a + —h 4 4D. 3 - 1 r — a + — b 4 4 1 - 31 — a +—b 4 4 一 1 ____ ? ____ A. OA = -AB + -BC一 ? 一 1 ________ B. OA = -AB + -BC 3 3—1 —,2 — C. OA = — AB — BCD. OA = --AB--BC A. 9C. 11 T 3 T 1 一 A. AE = -AB+-AD 4 2 — 1 T 1 一 C. AE = -AB+-AD 4 2 T 3 T 1 T B. AE =」A8+ — A . 2 2 T 3 T 1TD. — 4 43 6 4B. -AB-ADC. -AB + -AD 5 5 二、填空题7 .在正方形48CQ 中,M,N 分别是的中点,假设/=幺而+以丽,那么实 数九〞 =.8 .△A8C,假设点D 满足'万,且丽=23(4eR),那么2 =.A. —AB + AD 5 D. —AB + AD 4参考答案1. A【解析】【分析】根据向量的运算法那么计算得到答案.【详解】正皮+入汐毛衣+|〔金衣〕=1通-次亨力应选：A.【点睛】此题考查了向量的根本定理,意在考查学生的计算水平和转化水平.2. D【解析】分析：用向量的加法法那么表示出Afi,再由数乘与减法运算可得.详解：由题意__ ____ ____ 3 ___ 3 __ ___ 3 _ ] _ 3 _AD = AB + BD = a + — BC =d +二〔AC — A8〕=a + —〔b -ci〕 = —a + — h ♦4 4 4 4 4应选D.点睛：此题考查平面向量根本定理,考查平面向量的线性运算,解题时抓住向量线性运算的运算法那么〔加法、减法、数乘等〕就可以把任一向量用基底表示出来.3.D【解析】【分析】由3A +砺+ 0心=6可知,所以.为AABC的重心,运用向量的加法运算,T 2 1T -= 一一x —〔A8+ AC〕,整理后可求结果.3 2【详解】由于.4+oQ+od =〔i,所以.为AABC的重心,T 7 1 -> -> 1T T 1 2Tl 7所以QA = ——x — (A8+ AC) = 一一( A8+ AC) = 一一( A8+ AB+ 8C)= —二48 一一3c.3 2 3 3 3 3应选:D.【点睛】此题考查了向量加法的运算,考查了向量的线性表示,考查了平面向量的根本定理,属于根底题.4. D【解析】【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定〃?,〃的关系,然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知：AP = mAB + nAC = mAB + 3nAE^A,8,E三点共线,那么：〃? + 3〃 = l,据此有：3 1 (3 1 Y 、9n m 回~nt — + —= — + — (〃? + 3〃) = 6 + — + —>6 + 2—x—= 12, m n \ m n J m n V in n当且仅当m =1,〃 =,时等号成立.2 63 1综上可得：二十一的最小值是12.m n此题选择O选项.【点睛】此题主要考查三点共线的充分必要条件,均值不等式求最值的方法等知识,意在考查学生的转化水平和计算求解水平.5. A【解析】【分析】根据题意,选基底荒,行表示向量/即可求解.【详解】由等腰梯形A3CQ中,AB = 2DC , E为8c的中点可知,AE = AB+BE(X)AE = AD+DC+CE = AD^-AB + CE®2T T 3 T ①+②得：2AE = AO+二A8,2T 3 T 1 一即AE = -AB+-AD.4 2应选：A【点睛】此题主要考查了向量的加法,向量的基底,属于容易题.6. A【解析】【分析】由在=4瓦,得在=：也,在△8EC中,利用向量加法可得.【详解】vCE = 4EZ),.-.CE = -CD,।・・・・・—।।।・... BE = BC + CE = AD + — CD = —— AB + AD5 5应选:A.【点睛】此题考查平面向量的线性运算.用向量表示某一向量的两个关键点：⑴用向量来表示某一向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.⑵要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义,如首尾相接的假设干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.47.-3【解析】【分析】由题意结合平面向量线性运算法那么可得=2 _ __ .// + — AD = AB + AD ,由2)2+2=1平而向量根本定理可得J ,即可得解.〃十丁1【详解】由题意画出图形,如下图：.4 ____________________ BD N C由题意可得衣=夭宿+ 4 病=人〔而+ 两〕 + 〃〔而+ 7= /i〔A8 + ； 8c〕 + 〃〔AO + goC〕= 4〔45 + ；4O〕+ 4W〕AD+^AB\ +外荏+ 〔〃 +.酝X +幺=1又就=丽+莅,所以J 1 ,k=l3 4从而二〔2 + 〃〕= 2,即2 + 〃 =不.4 故答案为：y.【点睛】此题考查了平而向量线性运算法那么、平而向量根本定理的应用根底题.I8.—3,考查了运算求解水平,属于【解析】【分析】根据题意,利用平而向量的根本定理,化简即可得到结论. 【详解】由而可得4而=3而+ /,4所以,3AD + AD = 3AB + AC^即3〔而-而〕=正-所以,3前=灰,故= .3故答案为：一1.3【点睛】此题考查平面向量的根本定理,属于根底题.。
高三数学平面向量基本定理试题答案及解析
高三数学平面向量基本定理试题答案及解析1.已知等差数列的前项和为，且，为平面内三点，点为平面外任意一点，若，则（）A．共线B．不共线C．共线与否和点的位置有关D．位置关系不能确定【答案】A【解析】由题意，得，根据共线定理可知三点共线，故选A.【考点】1.等差数列的性质；2.平面向量共线基本定理.2.已知△ABC为等边三角形,,设点P,Q满足,,,若,则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】本题只要把向量，用向量和表示出来，然后求出其数量积即可求出．，，同理，则，解得．选A．【考点】平面向量基本定理，向量的数量积．3.若非零向量满足//，且，则（）A．4B．3C．2D．0【答案】D【解析】非零向量//，若所以存在实数使得.又，所以.【考点】共线向量基本定理、向量的数量积4.设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数和，使；③给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；④给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】B．【解析】利用向量加法的三角形法则，易知①正确；利用平面向量的基本定理，易知正确；以的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量有交点，这个不一定能满足，故③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须，所以④是假命题。
综上，本题选B．【考点】1．平面向量的基本定理；2．向量加法的平行四边形法则和三角形法则．5.在平面直角坐标系中，已知，，点在第一象限内，，且，若，则+的值是．【答案】【解析】根据平面向量基本定理，，，所以.【考点】平面向量基本定理.6.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为 .【答案】【解析】因为三点共线，所以可设,故，又，所以，解得.【考点】1、向量共线定理；2、平面向量基本定理.7.已知是的重心，点是内一点，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵点是内一点，则，当且仅当点在线段BC上时，最大等于1，当和重合时，最小，此时，，，故故选Ｃ．【考点】向量的几何意义．8.若等边的边长为，平面内一点满足，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，故选C.【考点】1.平面向量的基底表示；2.平面向量的数量积9.在中，是边的中点，角的对边分别是，若，则的形状为( )A．直角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰三角形但不是等边三角形【答案】C【解析】由题意知，∴，∴，又、不共线，∴∴.【考点】1.向量共线；2.判断三角形形状.10.已知向量，．若与共线，则实数（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由与共线，得.【考点】向量共线条件.11.如图所示，已知向量，，，，则下列等式中成立的是A．B．C．D．【答案】B【解析】因为,所以 .选B.【考点】向量的加减运算平面向量的基本定理点评：本题考查向量的运算，解题的核心是能寻找三角形，在三角形中进行向量的加减运算. 12.已知a、b是非零向量且满足(a－2b) ⊥a，(b－2a) ⊥b，则a与b的夹角是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为a、b是非零向量且满足(a－2b) ⊥a，(b－2a) ⊥b，则a与b的夹角是，选B13.已知是非零向量且满足，，则与的夹角是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：∵（ a -2 b ）⊥ a ，（ b -2 a ）⊥ b ，∴（ a -2 b ）• a =" a" 2-2 a b =0，（ b -2 a ）• b =" b" 2-2 a b =0，∴ a 2=" b" 2="2" a • b ，设 a 与 b 的夹角为θ，则由两个向量的夹角公式得cosθ=" a" • b| a |• | b | =" a" • b a 2 = a b 2 a b ="1" /2 ，∴θ=60°，故选B14.已知，，，，则的最大值为A．B． 2C．D．【答案】C【解析】由题意知四边形ABCD四点共圆，所以的最大值应为此圆的直径长，因为三角形ABC的外接圆直径为15.已知向量，则（Ⅰ）与同向的单位向量的坐标表示为____________；（Ⅱ）向量与向量夹角的余弦值为____________。
周练(五) 平面向量的基本定理及坐标表示
周练(五) 平面向量的基本定理及坐标表示(时间：80分钟 满分：100分)一、选择题(每小题5分，共40分)1．如果e 1、e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有( )．①λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内的任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2成立的λ，μ有无数多对；③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数k ，使λ2e 1＋μ2e 2＝k (λ1e 1＋μ1e 2)；④若实数λ，μ使λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. A ．①② B.②③ C ．③④D.②解析 ②λ，μ只有一对；③λ1e 1＋μ1e 2可能为0，则k 可能不存在或有无数个． 答案 B2．下列向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )． A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34解析 在选项A 中，e 1＝0，它与平面内任意向量共线，不能作为基底，在选项C 中，e 2＝2e 1，它们共线，不能作为基底；在选项D 中，e 1＝4e 2，它们共线，不能作为基底．故选B. 答案 B3．已知三点A (－1,1)，B (0,2)，C (2,0)，若AB →和CD →是相反向量，则D 点坐标是( )．A ．(1,0) B.(－1,0) C ．(1，－1)D.(－1,1)解析 设D (x ，y )， AB →＝(0,2)－(－1,1)＝(1,1)， CD →＝(x ，y )－(2,0)＝(x －2，y )． ∵AB →＋CD →＝0，∴(1,1)＋(x －2，y )＝(0,0)，∴⎩⎨⎧ x －1＝0，y ＋1＝0，∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1，即D (1，－1)． 答案 C4．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( )． A.12 B.2 C ．－12D.－2解析 m a ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)， 由－(2m －4)－4(3m ＋8)＝0，得m ＝－2. 答案 D5．已知△ABC 的两个顶点A (3,7)和B (－2,5)．若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，则顶点C 的坐标是( )． A ．(2，－7) B.(－7,2) C ．(－3，－5)D.(5,3)解析 设C (x ，y )，则根据中点公式，有x －22＝0，y ＋72＝0，解得x ＝2，y ＝－7. 答案 A6．已知a ＝(3,4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan α＝( )． A.34 B.－34 C.43D.－43解析 由已知得，3cos α－4sin α＝0，所以tan α＝34，故选A. 答案 A7．(2012·厦门高一检测)若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →等于( )．A ．a ＋λb B.λa ＋(1－λ)b C ．λa ＋bD.11＋λa ＋λ1＋λb 解析 ∵OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋λPP 2→ ＝OP 1→＋λ(OP 2→－OP →)＝OP 1→＋λOP 2→－λOP →， ∴(1＋λ)OP →＝OP 1→＋λOP 2→，∴OP →＝11＋λOP 1→＋λ1＋λOP 2→＝11＋λa ＋λ1＋λb .答案 D8．已知OA →＝a ，OB →＝b ，∠AOB 的平分线OM 交AB 于点M ，则向量OM →可表示为( )．A.a |a |＋b |b |B.λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a |a |＋b |b |C.a ＋b |a ＋b |D.|b |a ＋|a |b |a |＋|b | 解析 由向量加法的平行四边形法则知，向量OM →和分别与OA →、OB →同向的单位向量之和共线，∴OM →可表示成λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a |a |＋b |b |.(与OA →同向的单位向量即a |a |，与OB→同向的单位向量即b|b |) 答案 B二、填空题(每小题5分，共20分)9．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________. 解析 设AB →＝a ，AD →＝b ， 则AE →＝12a ＋b ， AF →＝a ＋12b ， 又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43. 答案 4310．已知向量a ＝(x,1)，b ＝(1，x )方向相反，则x ＝________. 解析 由题意知a 与b 共线，则x 2＝1， ∴x ＝±1，又∵a 与b 反向， ∴x ＝－1. 答案 －111．在△ABC 中，AE →＝15AB →，EF ∥BC ，EF 交AC 于F .设AB →＝a ，AC →＝b ，则BF →可以用a 、b 表示的形式是BF →＝________.解析 由题意，得AF →＝15AC →＝15b ，BF →＝BA →＋AF →＝－a ＋15b . 答案 －a ＋15b12．已知A (2,3)，B (1,4)且12AB →＝(sin α，cos β)，α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________.解析 由题意，得AB →＝(－1,1)．又∵12AB →＝(sin α，cos β)，∴sin α＝－12，cos β＝12. 又∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝－π6，β＝π3或－π3，∴α＋β＝π6或－π2. 答案 π6或－π2三、解答题(每小题10分，共40分)13．(2012·保定高一检测)设e 1，e 2为两个不共线的向量，a ＝－e 1＋3e 2，b ＝4e 1＋2e 2，c ＝－3e 1＋12e 2，试用b ，c 为基底表示向量a .解 设a ＝λ1b ＋λ2c ，λ1，λ2∈R ，则－e 1＋3e 2＝λ1(4e 1＋2e 2)＋λ2(－3e 1＋12e 2)， 即－e 1＋3e 2＝(4λ1－3λ2)e 1＋(2λ1＋12λ2)e 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ1－3λ2＝－1，2λ1＋12λ2＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－118，λ2＝727，∴a ＝－118b ＋727c .14．设a ＝(6,3a )，b ＝(2，x 2－2x )，且满足a ∥b 的实数x 存在， 求实数a 的取值范围．解 由a ∥b 得6(x 2－2x )－3a ×2＝0， 即x 2－2x －a ＝0.根据题意，上述方程有实数解，故有Δ＝4＋4a ≥0. 即a ≥－1.15．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，且OP →＝OA →＋tAB →，试问： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．解 OA →＝(1,2)，AB →＝(3,3)，OP →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t )．(1)若P 在x 轴上，则有2＋3t ＝0，t ＝－23； 若P 在y 轴上，则有1＋3t ＝0，t ＝－13；若P 在第二象限，则有⎩⎨⎧1＋3t <0，2＋3t >0，解得－23<t <－13.(2)PB →＝(3－3t,3－3t )，若四边形OABP 是平行四边形，则有OA →＝PB →，即有3－3t ＝1，且3－3t ＝2，这显然是不可能的，因此，四边形OABP 不可能是平行四边形．16．已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (4,9)． (1)求证：A ，B ，C 三点共线；(2)若AC →＝λ1CB →，BA →＝λ2AC →，求λ1、λ2的值，并解释λ1，λ2的几何意义． (1)证明 ∵AB →＝(2,4)，AC →＝(5,10)，∴AC →＝52AB →. 又AC →、AB →有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线． (2)解 ∵CB →＝(－3，－6)，∴AC →＝－53CB →， ∴λ1＝－53.同理，λ2＝－25.其几何意义分别为：λ1＝－53表示|AC →|＝53|CB →|，AC →与CB →反向；λ2＝－25表示|BA →|＝25|AC →|，且BA →与AC →反向.。
6.3.1 平面向量基本定理(精练)(原卷版)
统考一模）如图，在ABC 中，4BD DC =，则AD =（1455AB AC +B ．4155AB AC +1566AB AC +5166AB AC +．（2022秋·上海普陀高一曹杨二中校考期末）在四边形ABCD 中，(,AC AB AD λμλμ=+∈||||CD AB =（ ） A ．13C ．123．（2022春·福建福州·高二福建省福州高级中学校考阶段练习）如图，在ABCD 中，为BC 的中点，AC mAM nBD =+，则m ＝（ ）B ．45江苏盐城·高一江苏省响水中学校考阶段练习）在中，2BD DC =，E上一点．若12λ=+CE CA CB ，则λB ．12安徽·高三校联考阶段练习）如图，为直径的半圆圆周上的两个三等分点，E 为线段CD 的中点，F 为线段设AB a =，AC b =，则AF =（5182a b +5142a b +131164a b + 13184a b + 6．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）在平行四边形ABCD 中，设AC a =，BD b =，12AP AD =，23AQ AB =，则PQ ＝（ A ．711212a b - B ．171212a b - C 71212a b + D ．711212a b -+ 7．（2022春·福建泉州·高三泉州五中校考期中）已知在△ABC 中，3AB =，4AC =，BAC ∠2AD DB =，P 在CD 上，12AP AC AD λ=+，则AP BC ⋅的值为（ A ．116-72C ．4 8．（2022·全国·高三专题练习）已知点A ，B ，C ，P 在同一平面内，13PQ PA =，13QR QB =，13RP RC =，则:ABCPBCSS等于（ ）A ．14∶3B ．19∶4C ．24∶5D ．29∶6高二校联考阶段练习）已知菱形OACB 上运动（包含端点），其中OP xOA yOB =+，,x y C ．2高一江苏省天一中学校考期中）对于给定的ABC ，其外心为，则下列结论正确的是（ ）于E ､F ，若AE AB λ=，AF AC μ=，则11λμ+=．AH 与||cos ||cos AB ACAB B AC C+共线．OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅ ．OH OA OB OC =++ 三、填空题．（2022春·安徽合肥·高二校考学业考试）在ABC 中，且2BD DC =，若AD AC AB λμ=+，则λμ=12．（2022春·广东肇庆·高三统考阶段练习）在ABC 中，点足2DC BD =，2EC AE =，点F 且满足2AF FD =.若B ∠BC y =，则3x y +的最大值为四、解答题．（2022·高一课时练习）如图所示，ABC 的一条中线，点满足2AO OD =，过O 的直线分别与射线AB ，射线N 两点.(1)若AO AB AC λμ=+，求λμ，的值；设AM mAB =，AN nAC =，m >14．（2022秋·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）在AOB 中，21,52OC OA OD OB ==，AD ，,OA a OB b ==．(1)试用a b 、表示向量OM ；在线段AC 上取一点E ，在线段设,OE OA OF OB λμ==，3μ的值．．设,AB a A b D →==．{}→→，表示,AE EF ； 内部一点，且3243AG a b →=+．求证：在ABC 中，上，且2OC OB =.过点O 的直线分别交射线于不同的两点M AB mAM =，AC nAN =.(1)求2m n +的值:若向量(2cos23a =，(cos68b =︒)a b ⋅恒成立，求的最小整数值图象上的一点，M ，N 是函数，使得PT PM PN =+，且四边形的解析式;π2，π(0,)2A ∈，求A ；已知13PH PT =，过点H 的直线交，PQ PM λ=，PK PN μ=，1μ是否是定值？若是，求出定值，若不是，说明理由高一上海市建平中学校考阶段练习）设ABC 是边长为(1)求112AB AP AP AP ⋅+⋅的值； 为线段1AP 上一点，若112AQ mAB AC =+，求实数在边BC 的何处时，PA PC ⋅取得最小值，并求出此最小值。
高中数学平面向量基本定理题库
高中数学平面向量基本定理题库1. 向量的概念与运算(a) 请简述向量的定义，并说明向量与有向线段的关系。
(b) 如何表示向量的模、方向和共线性？(c) 证明向量加法满足交换律和结合律。
(d) 向量的数量积和叉积分别是什么，它们有什么特点？2. 平面向量基本定理(a) 什么是平面向量基本定理？请写出其几何解释。
(b) 根据平面向量基本定理，如果向量a和向量b的数量积为0，能得出什么结论？(c) 证明平面向量基本定理对应的数学表达式。
3. 平面向量基本定理的应用(a) 判断以下向量是否共线：向量m = (2, -3)和向量n = (-4, 6)。
(b) 若向量a = (3, -2)和向量b = (k, 4)共线，求k的值。
(c) 若向量a = (4, -3, 5)和向量b = (2k, -k, 10)共线，求k的值。
4. 平行四边形的性质(a) 平行四边形的定义和性质是什么？(b) 若平行四边形ABCD中，向量AB = (3, 5)和向量AD = (1, 2)，求向量AC和向量BC。
(c) 若平行四边形ABCD中，向量AB = (2, 1)和向量BC = (4, k)，求k的值。
5. 三角形的面积与向量表示(a) 利用向量求证：三角形的面积公式。
(b) 已知三角形ABC的顶点坐标分别为A(2, 1)，B(-1, 3)和C(3, -2)，求三角形ABC的面积。
(c) 设三角形ABC的顶点坐标分别为A(1, k)，B(3, 4)和C(5, -2)，若三角形ABC的面积为6平方单位，求k的值。
6. 向量垂直与平行的判定(a) 如何判断两个向量垂直？(b) 如何判断两个向量平行？(c) 证明向量的数量积性质：若向量a与向量b垂直，且向量b与向量c平行，则向量a与向量c垂直。
7. 向量投影与向量夹角(a) 定义向量的投影是什么？(b) 如何计算向量在另一个向量上的投影？(c) 定义向量的夹角是什么？(d) 利用向量的数量积计算夹角的公式是什么？总结：以上是高中数学平面向量基本定理题库的内容。
平面向量的基本定理习题及答案
§5.2 平面向量的基本定理及坐标表示（时间：45分钟 满分：100）一、选择题(每小题7分，共35分)1．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(1＋m,1－m )，若a ∥b ，则实数m 的值为( )A ．3B ．－3C ．2D ．－22．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)3.设向量a ＝(3，3)，b 为单位向量，且a ∥b ，则b 等于( )A.⎝⎛⎭⎫32，－12或⎝⎛⎭⎫－32，12 B.⎝⎛⎭⎫32，12 C.⎝⎛⎭⎫－32，－12 D.⎝⎛⎭⎫32，12或⎝⎛⎭⎫－32，－12 4.已知向量a ＝(1，－m )，b ＝(m 2，m )，则向量a ＋b 所在的直线可能为( )A ．x 轴B ．第一、三象限的角平分线C ．y 轴D ．第二、四象限的角平分线5．已知A(7,1)、B(1,4),直线ax y 21=与线段AB 交于C ,且=AC 2CB →，则实数a 等于( ) A ．2 B ．1 C.45 D.53二、填空题(每小题6分，共24分)6．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b ) (ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值等于________． 7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．8．若向量a )43,3(2--+=x x x 与相等，其中A (1,2)，B (3，2)，则x ＝________.9．若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝______________.三、解答题(共41分)10．(13分)a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？11．(14分)三角形的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(3c －b ，a －b )，n ＝(3a ＋3b ，c )，m ∥n .(1)求cos A 的值；(2)求sin(A ＋30°)的值．12．(14分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知向量m ＝(a ，b )，向量n ＝(cos A ，cos B )，向量p ＝⎝⎛⎭⎫22sin B ＋C 2，2sin A ，若m ∥n ，p 2＝9，求证：△ABC 为等边三角形．答案1.B2.C3.D4.A5.A6. 127. 128.-1 9.(－2,0)或(－2,2) 10.解 方法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )，由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎪⎨⎪⎧ k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝λ＝－13， ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行， 这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )． ∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向． 方法二 由方法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13， 此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )． ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向． 11. 解 (1)因为m ∥n ，所以(3c －b )c －(a －b )(3a ＋3b )＝0，即a 2＝b 2＋c 2－13bc ， 又∵在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2b c cos A ，∴cos A ＝16. (2)由cos A ＝16得sin A ＝356， sin(A ＋30°)＝sin A cos 30°＋cos A sin 30° ＝356×32＋16×12＝1＋10512. 12. 证明 ∵m ∥n ，∴a cos B ＝b cos A .由正弦定理，得sin A cos B ＝sin B cos A ， 即sin(A －B )＝0.∵A 、B 为△ABC 的内角，∴－π<A －B <π. ∴A ＝B .∵p 2＝9，∴8sin 2B ＋C2＋4sin 2A ＝9.∴4[1－cos(B ＋C )]＋4(1－cos 2A )＝9.∴4cos 2A －4cos A ＋1＝0，解得cos A ＝12. 又∵0<A <π，∴A ＝π3.∴A ＝B ＝C . ∴△ABC 为等边三角形．。
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专题八平面向量的基本定理（A 卷）（测试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( )A. (7,4)--B.(7,4)C.(1,4)-D.(1,4) 【答案】A【解析】∵AB OB OA =-=（3,1），∴BC =AC AB -=(-7,-4)，故选A.2.【2018届湖北省黄石市第三中学（稳派教育）高三阶段性检测】若()1,3MA =-， ()1,7MB =，则12AB = ( ) A. ()0,5 B. ()1,2 C. ()0,10 D. ()2,4 【答案】B 【解析】()()()111,3,1,7,22MA MB AB MB MA =-=∴=- ()()()1111,732,41,222=+-==，故选B.3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 【答案】A【解析】因为2(4,8)a =，所以2(4,8)(1,1)a b -=--=()5,7，故选A. 4.【2018届重庆市第一中学高三上学期期中】已知直角坐标系中点，向量，，则点的坐标为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】∵向量，，∴，又∴∴点的坐标为故选：C.5.在ABC ∆中，D 为AB 边上一点，12AD DB = ，23CD CA CB λ=+，则λ=（ ） A ．13- B. 13C.231-D.2【答案】B【解析】由已知得，13AD AB =，故13CD CA AD CA AB =+=+1()3CA CB CA =+-2133CA CB =+,故13λ=． 6. 已知平面向量(1,2)a =，(2,)a k =-，若a 与b 共线，则|3|a b +=( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．5 【答案】C.【解析】∵a 与b 共线，∴⇒=-⨯-⨯0)2(21k 4-=k ，∴3(1,2)a b +=，|3|5a b +=. 7.已知向量(,),(1,2)a x y b ==-，且(1,3)a b +=，则|2|a b -等于（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】D 【解析】因(1,3)a b +=,(1,2)b =-,故(2,1)a =,所以2(4,3)a b -=-,故22|2|435a b -=+=,故应选D.8.【2018届湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）高三上期中联考】点G 为ABC ∆的重心（三边中线的交点）．设,GB a GC b ==，则12AB 等于 （ ） A. 3122a b - B. 12a b + C. 2a b - D. 2a b +【答案】B 【解析】如图，∵点G 为ABC ∆的重心，∴0GA GB GC GA a b ++=++=， ∴GA a b =--， ∴()()11112222AB GB GA a a b a b ⎡⎤=-=++=+⎣⎦.选B.9.已知向量()()2,3,cos ,sin a b θθ==，且//a b ，则tan θ=（ ） A ．32 B ．32- C ．23 D ．23- 【答案】A 【解析】由//a b ，可知2sin 3cos 0θθ-=，解得tan θ=32，故选A. 10.向量()1,tan cos ,1,3a b αα⎛⎫== ⎪⎝⎭，且//a b ，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13-B ．13C ．23-D ．223-【答案】A11.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ）A.1142+a b B. 1124+a b C. 2133+a b D. 1233+a b 【答案】C 【解析】,AC a BD b ==，11112222AD AO OD AC BD a b ∴=+=+=+因为E 是OD 的中点,||1||3DE EB ∴=,所以，13DF AB = ()1111133322DF AB OB OA BD AC ⎛⎫⎛⎫∴==-=⨯--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1166AC BD -=1166a b - ，11112266AF AD DF a b a b =+=++-＝2133a b +,故选C.12. ABC ∆中，点E 为AB 边的中点，点F 为AC 边的中点，BF 交CE 于点G ，若AG x AE y AF =+，则x y +等于（ ） A.32B.43C.1D.23【答案】B ．GFEABC第II 卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在题中的横线上。
） 13.若向量)2,1(=→a ，)1,1(-=→b ，则=+→→b a 2 ． 【答案】(3,3)【解析】=+→→b a 22(1,2)(1,1)(3,3)+-=．14.【2018届安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校高三上第一次联考】已知ABC ∆中， D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接,AD E 为线段AD 的中点，若CE mAB nAC =+，则m n +=__________． 【答案】12-【解析】由图可知：()()11211152233236CE CD CA CB AC AB AC AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+=-=--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴151362m n +=-=-. 故答案为：−12.15.【2018届江苏省常州北郊华罗庚江阴高中三校高三联考】如图，正方形ABCD 中， E 为DC 的中点，若AD AC AE λμ=+，则λμ-的值为________【答案】-316.如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD ＝a ，AB ＝b ，若AB ＝2DC ，则AO ＝________(用向量a 和b 表示)．【答案】21a 33+b 【解析】∵AB ＝2DC ，∴DOC BOA △∽△，且12OC OA =，∴AO ＝23AC ＝23 (AD ＋DC )＝2132a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝21a 33+b . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题10分）在ABC ∆中,2BD DC =,若12AD AB AC λλ=+,求12λλ的值. 【答案】34-【解析】由题可得,如图32AD AB BD AB BC =+=+()32AB AC AB =+-1322AB AC =-+,则,所以1234λλ=-,故填34-.DABC18.（本小题12分）已知(1,2)a =,)2,3(-=b ,当k 为何值时， （1）ka b +与3a b -垂直？（2）ka +b 与3a -b 平行？ 【答案】(1)19=k (2)31-=k 【解析】根据已知有)22,3(+-=+k k b a k ,)4,10()6,9()2,1(3-=--=-b a （1）ka b +与3a b -垂直时，()()()0422103=-++-k k ,解得19=k（2）ka +b 与3a -b 平行, ()()()0102243=+---k k ,解得31-=k 19.（本小题12分）已知D 是ABC ∆的边AB 上一点，若2CD CA CB λλ=+，其中01λ<<，求λ的值.【答案】512- 【解析】D 是ABC ∆的边AB 上的一点，设AB k =DB （11<<k ），则AB k )1(AD -=，又BD CB CD AD CA +=+=,CD ，))(21(2CA CB k CB CA CD --++=∴，CB k CA k CD )1(-+=∴，CB CA CD 2λλ+=，所以21,λλ=-=k k ，解得215±=λ，因为01λ<<，故21-5=λ 20.（本小题12分）已知P 为等边三角形ABC 内一点,且满足(1)0PA PB PC λλ+++= ,若三角形PAC 与三角形PAB 的面积之比为13,求实数λ的值.【答案】12【解析】不妨设等边三角形ABC 的边长为2，以BC 中点O 为原点、BC 为x 轴，中线AO 为y 轴，建立平面直角坐标系，设点,P x y ，则,3,1,,1,PAx y PB x y PC x y ，代入等式10PA PB PC ，得13,2222x y ，又:330,:330AB AC l x y l x y，则三角形PAC 与PAB 的高分别为3,31ACABh h ，由两个三角形面积比得113，解得12或14，经检验当14时，点P 在三角形ABC 外，不合题意，所以12. 21.（本小题12分）如图，M 、N 、P 分别是三角形ABC 三边BC 、CA 、AB 上的点，且满足14AP BM CN AB BC CA ===，设AB a =，AC b = （1）用,a b 表示MN ；（2）若点G 是三角形MNP 的重心，用,a b 表示AG . 【答案】【解析】（1）313131()444442MN MC CN BC AC b a b a b =+=-=--=-+ （2）由0GP GM GN ++=，得()()()0AP AG AM AG AN AG -+-+-= 故1()3AG AP AM AN =++又14AP a =,1131()4444AM AB BM AB BC a b a a b =+=+=+-=+，34AN b = 代入得：1133AG a b =+22.（本小题12分）【2018届宁夏大学附属中学高三上学期第三次月考】（1）在直角坐标系xOy 中，已知点()()()1,1,2,3,3,2G L N ，点(),P x y 在GLN ∆三边围成的 区域（含边界）上，若0PG PL PN ++=，求OP ；（2）在平行四边形ABCD 中， AE EB =， 2CF FB =，连接CE 、DF 相交于点M ，若AM AB AD λμ=+，求实数λ与μ的乘积.【答案】(1) 22 (2)38【解析】试题分析：（1）现根据0PG PL PN ++=，以及各点的坐标，求出点P 的坐标，在根据向量的模的公式，即可求解OP .(2)分别用,BA BF 和,BE BC 表示出BM ，利用共线向量定理列出方程组，即可求解,λμ的值. 试题解析： 解（I ）解法一又=（6-3x ，6-3y ），解得x=2，y=2，即解法二则（2）解：38。