七年级数学 线段、直线和角·例题解析_题型归纳
新人教版初中数学——点、线、面、角-知识点归纳及例题解析
新人教版初中数学——点、线、面、角知识点归纳及例题解析一、直线、射线、线段1．直线的性质（1）两条直线相交，只有一个交点；（2）经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线；（3）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．2．线段的性质两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离．3．线段的中点性质若C是线段AB中点，则AC=BC=12AB；AB=2AC=2BC．4．两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交．5．垂线的性质（1）两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；（2）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．6．点到直线的距离从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离．二、角1．角有公共端点的两条射线组成的图形．2．角平分线（1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线（2）性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =12∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．3．度、分、秒的运算方法1°=60′，1′=60″，1°=3600″．1周角=2平角=4直角=360°．4．余角和补角（1）余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；（2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．（3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．5．方向角和方位角在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向．三、立体图形1．常见的立体图形有：球、柱体和锥体．圆柱和棱柱的区别：圆柱的底面是圆，棱柱的底面是多边形；圆柱的侧面是曲面，棱柱的侧面是四边形；圆锥和棱锥的区别：圆锥的底面是圆，侧面是曲面；棱锥的底面是多边形，侧面是三角形．2．点动成线，线动成面，面动成体，线没有粗细，点没有大小．3．设立体图形的面数为F，顶点数为V，棱数为E，则F+V-E=2．4．正方体的平面展开图有如下11种类型：考向一直线、射线、线段在解答有关线段的计算问题时，一般要注意以下几个方面：①按照已知条件画出图形是正确解题的关键；②观察图形，找出线段之间的关系；③简单的问题可通过列算式求出，复杂的问题可设未知数，利用方程解决．典例1 如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，其运用到的数学原理是A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线C．垂线段最短D．过一点有且只有一条直线和已知直线平行【答案】B【解析】建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法运用到的数学原理是：两点确定一条直线，故选B．典例2 已知AB=10，C是射线AB上一点，且AC=3BC，则BC的长为A．2.5 B．103C．2.5或5 D．103或5【答案】C【解析】①如图，10×14=2.5；②如图，10×12=5，故选C．1．下列叙述中，①延长直线AB到点C；②延长射线AB到点C；③延长线段AB到点C；④反向延长线段BA到点C；⑤反向延长射线AB到点C，其中正确的有A．1 B．2C．3 D．42．如图，在数轴上有A、B、C、D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD，若A、D两点表示的数分别为-5和6，且AC的中点为E，BD的中点为M，BC之间距点B的距离为13BC的点N，则该数轴的原点为A．点E B．点FC．点M D．点N考向二角1．角平分线必须同时满足三个条件：①是从角的顶点引出的射线；②在角的内部；③将已知角平分．2．类似地，也有角的n等分线，如三等分线，如图，∠1=∠2=∠3=13∠AOD或∠AOD=3∠1=3∠2=3∠3．典例3 一副三角尺按如图所示摆放，已知∠1比∠2的3倍少10°，则∠1的值为A．20°B．70°C．25°D．65°【答案】D【解析】根据图示可知∠1+∠2=90°，根据题意可知∠1=3∠2-10°，所以∠2=（90°+10°）÷4=25°，所以∠1=65°，故选D ．【名师点睛】本题考查了互余以及一元一次方程的应用，找到∠1和∠2之间的关系是解决此题的关键． 典例4 如图，要修建一条公路，从A 村沿北偏东75°方向到B 村，从B 村沿北偏西25°方向到C 村．若要保持公路CE 与AB 的方向一致，则∠ECB 的度数为A ．80°B ．90°C ．100°D ．105°【答案】A【解析】如图，由题意可得：AN FB ∥，EC BD ∥，故75NAB FBD ∠=∠=︒，∵25CBF ∠=︒，∴100CBD ∠=︒， 则18010080ECB ∠=-=︒︒︒．故选A ．典例5 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ． （1）若∠AOC =70°，∠DOF =90°，求∠EOF 的度数； （2）若OF 平分∠COE ，∠BOF =15°，若设∠AOE =x °． ①用含x 的代数式表示∠EOF ； ②求∠AOC 的度数．【解析】（1）由对顶角相等可知：∠BOD=∠AOC=70°，∵∠FOB=∠DOF-∠BOD，∴∠FOB=90°-70°=20°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=12∠BOD=12×70°=35°，∴∠EOF=∠FOB+∠BOE=35°+20°=55°．（2）①∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE，∵∠BOE+∠AOE=180°，∠COE+∠DOE=180°，∴∠COE=∠AOE=x，∵OF平分∠COE，∴∠FOE=12 x．②∵∠BOE=∠FOE-∠FOB，∴∠BOE=12x-15°，∵∠BOE+∠AOE=180°，∴12x-15°+x=180°，解得x=130°，∴∠AOC=2∠BOE=2×（180°-130°）=100°．【名师点睛】本题主要考查的就是角平分线的性质、对顶角的性质以及角度之间的关系，在解决角的问题时，我们一定要将未知的角通过对顶角和角平分线的性质转化为已知的角，然后根据题目中给出的角度进行求解得出答案．对于这种题目还经常会出现一些隐含的条件，我们一定要能够根据题目发现条件．3．计算：18°30′=__________°．4．如图，∠AOB=180°，∠BOC=80°，OD平分∠AOC，∠DOE=3∠COE，求∠BOE．考向三立体图形的平面展开图1．从不同方向看物体，看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线．2．在正方体的平面展开图中，一条直线上的小正方形不会超过四个；展开图中不会出现“田”字形、“凹”字形的形状．典例6 下列各图中，可以是一个正方体的表面展开图的是A．B．C．D．【答案】B【解析】正方体的展开图形共有11种情况，选项中只有B选项符合，故选B．典例7 如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则2x-y的值为________．【答案】–3【解析】两数互为相反数，和为0．本题应对图形进行分析，可知y对应x，5对应2x–3，由此可得：y=–x，2x–3=–5，解得：x=–1，y=1，∴2x–y=2×（–1）–1=–3．故答案为：–3．5．如图所示的立方体，如果把它展开，可以是下列图形中的A．B．C．D．6．如图是一个正方体包装盒的表面积展开图，若在其中的三个正方形A、B、C内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则填在A、B、C内的三个数依次为A．0，-2，1 B．0，1，2C．1，0，-2 D．-2，0，17．如图是正方体的表面展开图，折叠成正方体后，其中哪两个完全相同__________．1．将如图所示的几何图形，绕直线l旋转一周得到的立体图形A．B．C．D．2．如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是A．B．C．D．3．如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为A．北偏东30°B．北偏东80°C．北偏西30°D．北偏西50°4．如果一个角的余角是50°，那么这个角的度数是A．30°B．40°C．50°D．130°5．将一副三角板按如图方式摆放，∠1与∠2不一定互补的是A．B．C．D．6．如图，A，B，C，D是直线L上顺次四点，M，N分别是AB，CD的中点，且MN=6 cm，BC=1 cm，则AD的长等于A．10 cm B．11 cmC．12 cm D．13 cm7．如图，D是AB的中点，E是BC的中点．（1）若AB=3，BC=5，则DE=__________；（2）若AC=8，EC=3，则AD=__________．8．已知∠α和∠β互为补角，且∠β比∠α小30°，则∠β等于__________°．9．如图，一只蜘蛛从长、宽都为3，高为8的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是__________．10．某人下午6点到7点之间外出购物，出发和回来时发现表上的时针和分针的夹角都为110°，此人外出购物共用了__________分钟．11．已知线段AB=12，CD=6，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧）．（1）当D点与B点重合时，AC=__________；（2）点P是线段AB延长线上任意一点，在（1）的条件下，求PA+PB–2PC的值；（3）M、N分别是AC、BD的中点，当BC=4时，求MN的长．12．已知∠AOB=120°，OC、OD过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB．（1）如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，求∠MON的度数；（2）如图②，若∠COD=50°，∠AOC≠∠DOB，求∠MON的度数；（3）如图③，在∠AOB内，若∠COD=α（0°<α<60°），求∠MON的度数．1．如图，将下面的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是A．B．C．D．2．下列四个几何体中，是三棱柱的为A．B．C．D．3．由下面正方体的平面展开图可知，原正方体“中”字所在面的对面的汉字是A．国B．的C．中D．梦4．如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为2 的面与其对面上的数字之积是A ．12-B ．0C ．8-D ．10-5．若2945'α=︒，则α的余角等于 A ．6055'︒B ．6015'︒C ．15055'︒D ．15015'︒6．与30的角互为余角的角的度数是 A ．30B ．60︒C ．70︒D ．90︒7．如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒8．已知6032'α∠=︒，则α∠的余角是 A ．2928'︒B ．2968'︒C ．11928'︒D ．11968'︒9．如图，小明从A 处沿北偏东40︒方向行走至点B 处，又从点B 处沿东偏南20︒方向行走至点C 处，则ABC ∠等于A ．130︒B ．120︒C ．110︒D ．100︒10．如果∠α=35°，那么∠α的余角为__________．11．如图，已知AB =8 cm ，BD =3 cm ，C 为AB 的中点，则线段CD 的长为__________cm ．1．【答案】C【解析】①直线是无限延伸的，不能延长，故本选项错误；②射线可以反方向延长，不能延长，故本选项错误；③延长线段AB到点C，故本选项正确；④反向延长线段BA到点C，故本选项正确；⑤反向延长射线AB到点C，故本选项正确．故选C．2．【答案】D【解析】∵2AB=BC=3CD，∴设CD=x，则BC=3x，AB=1.5x，∵A、D两点表示的数分别为-5和6，∴AD=11，∴x+3x+1.5x=11，解得x=2，故CD=2，BC=6，AB=3，∵AC的中点为E，BD的中点为M，∴AE=EC=4.5，BM=MD=4，则E点对应的数是-0.5，M点对应的数为2，∵BC之间距点B的距离为13 BC的为点N，∴BN=13BC=2，∴AN=5，∴N点对应的数为0，即为原点，故选D．3．【答案】18.5【解析】18°30′=18.5°，故答案为：18.5．4．【解析】∵∠AOB=180°，∠BOC=80°，∴∠AOC=100°，∵OD平分∠AOC，∴∠COD=12∠AOC=50°，又∵∠DOE=3∠COE，∴∠COE=12∠COD=25°，∴∠BOE=∠BOC-∠COE=55°．5．【答案】D【解析】把正方体展开有四种情况：A是2-2-2型；B是1-4-1型；C是1-4-1型；D是1-4-1型，把这几个图形分别折成正方体，会发现三个阴影的面相邻，但又不在同一列上，而且直角三角形的锐角所在的顶点与呈正方形阴影的面共用一个顶点．只有D是上面正方体的展开图，故选D．6．【答案】A【解析】由正方体展开图的特征，相对的面展开后中间会间隔一个面可知，和A相对的是0，和B相对的是2，和C相对的是-1，所以A、B、C内依次填0、-2、1，故选A．7．【答案】（2）（4）【解析】∵（1）菱形对面是×，正方形对面是※，+对面是；（2）菱形对面是×，对面是※，+对面是正方形；以※为正面，（上，左，下，右）=（+，X，正方形，菱形）；（3）菱形对面是×，对面是※，+对面是正方形；以※为正面，（上，左，下，右）=（+，菱形，正方形，X）；（4）菱形对面是×，对面是※，+对面是正方形；以※为正面，（上，左，下，右）=（+，X，正方形，菱形）．∴两个完全相同的是（2）（4）．故答案是：（2）（4）．【名师点睛】此题考查了立体图形的展开图．培养了学生的立体思维与空间想象能力，注意找同一个基准图形，再将其周围四个图案按照顺时针或逆时针顺序排列．考点冲关1．【答案】C【解析】绕直线l旋转一周，可以得到的圆台，故选C．2．【答案】B【解析】A、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误；B、展开得到，能和原图相对，故本选项正确；C、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误；D、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误．故选B．3．【答案】A【解析】如图，AP∥BC，∴∠2=∠1=50°．∠3=∠4–∠2=80°–50°=30°，此时的航行方向为北偏东30°，故选A．4．【答案】B【解析】设这个角为x°，由题意得：90-x=50，解得：x=40，故选B．5．【答案】D【解析】A、∵∠1+∠2=360°–90°×2=180°，∴∠1与∠2一定互补，故本选项不符合题意；B、∵∠1=30°+90°=120°，∴∠1+∠2=120°+60°=180°，∴∠1与∠2一定互补，故本选项不符合题意；C、∵∠1=180°–60°=120°，∴∠1+∠2=120°+60°=180°，∴∠1与∠2一定互补，故本选项不符合题意；D、∠1度数无法确定，∠2=60°，所以∠1与∠2不一定互补，故本选项符合题意．故选D．6．【答案】B【解析】∵MN=6 cm，∴MB+CN=6-1=5 cm，AB+CD=10 cm，∴AD=11 cm，故选B．7．【答案】4；1【解析】（1）∵D是AB的中点，E是BC的中点，AB=3，BC=5，∴BD=12AB=32，BE=12BC=52，∴DE =BD +BE =3522+=4，故答案为：4． （2）∵EC =3，E 是BC 的中点，∴BC =2EC =6，∵AC =8，∴AB =AC -BC =8-6=2，∵D 是AB 的中点， ∴AD =12AB =1，故答案为：1． 8．【答案】75【解析】∵∠α和∠β互为补角，且∠β比∠α小30°，∴18030αββα∠+∠=︒⎧⎨∠=∠-︒⎩，解得：∠α=105°，∠β=75°， 故答案为：75． 9．【答案】10【解析】如图1，AB =()22383130++=，如图2，AB 226810+=13010>，∴最短路径为10，故答案为：10． 10．【答案】40【解析】设此人外出购物共用了x 分钟，则（6−0.5）x =110+110，解得x =40，所以此人外出购物共用了40分钟，故选D ．11．【解析】（1）当D 点与B 点重合时，AC =AB –CD =6；故答案为：6；（2）由（1）得AC=12AB，∴CD=12AB，∵点P是线段AB延长线上任意一点，∴PA+PB=AB+PB+PB，PC=CD+PB=12AB+PB，∴PA+PB–2PC=AB+PB+PB–2（12AB+PB）=0；（3）如图1，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，∴AM=12AC=12（AB+BC）=8，DN=12BD=12（CD+BC）=5，∴MN=AD–AM–DN=9；如图2，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，∴AM=12AC=12（AB–BC）=4，DN=12BD=12（CD–BC）=1，∴MN=AD–AM–DN=12+6–4–4–1=9．12．【解析】（1）∵OC，OD是∠AOB的三等分线，∴∠AOC=∠COD=∠DOB=13∠AOB=13×120°=40°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，∴∠MOC=12∠AOC=20°，∠DON=12∠DOB=20°，∴∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=80°．（2）∵射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB，∴∠MOC=12∠AOC，∠DON=12∠DOB，∴∠MOC+∠DON=12（∠AOC+∠DOB），∵∠AOB=120°，∠COD=50°，∴∠AOC+∠DOB=120°-50°=70°，∴∠MOC+∠DON=35°，∴∠MON =50°+35°=85°．（3）∵射线OM 、ON 分别平分∠AOC 和∠DOB ，∴∠MOC =12∠AOC ，∠DON =12∠DOB ， ∴∠MOC +∠DON =12（∠AOC +∠DOB ），∵∠AOB =120°，∠COD =α， ∴∠AOC +∠DOB =120°-α，∴∠MOC +∠DON =60°-12α， ∴∠MON =60°-12α+α=60°+12α1．【答案】D【解析】面动成体，直角三角形绕直角边旋转一周可得圆锥，长方形绕一边旋转一周可得圆柱， 那么所求的图形是下面是圆锥，上面是圆柱的组合图形．故选D ． 2．【答案】C【解析】A 、该几何体为四棱柱，不符合题意； B 、该几何体为四棱锥，不符合题意； C 、该几何体为三棱柱，符合题意； D 、该几何体为圆柱，不符合题意．故选C ． 3．【答案】B【解析】相对的面的中间要相隔一个面，“中”字所在的面的对面的汉字是“的”，故选B ． 4．【答案】A【解析】数字为2-的面的对面上的数字是6，其积为2612-⨯=-．故选A ． 5．【答案】B【解析】∵2945'α=︒，∴α的余角等于：9029456015''-︒︒︒=．故选B ． 6．【答案】B【解析】与30︒的角互为余角的角的度数是：60︒．故选B ． 7．【答案】B【解析】∵钟面分成12个大格，每格的度数为30°，∴钟表上10点整时，时针与分针所成的角是60°，故选B ． 8．【答案】A【解析】α∠的余角为9060322928︒-︒'=︒'，故选A ． 9．【答案】C 【解析】如图，∵小明从A 处沿北偏东40︒方向行走至点B 处，又从点B 处沿东偏南20︒方向行走至点C 处， ∴40DAB ∠=︒，20CBF ∠=︒， ∵向北方向线是平行的，即AD BE ，∴40ABE DAB ∠=∠=︒， ∵90EBF ∠=︒，∴902070EBC ∠=︒-︒=︒，∴4070110ABC ABE EBC ∠=∠+∠=︒+︒=︒， 故选C ． 10．【答案】55°【解析】∵∠θ=35°，∴它的余角等于90°-35°=55°． 故答案为：55°． 11．【答案】1【解析】∵C 为AB 的中点，AB =8 cm ， ∴BC =12AB =12×8=4（cm ）， ∵BD =3 cm ，∴CD =BC -BD =4-3=1（cm ）， 则CD 的长为1 cm ， 故答案为：1．。
七年级数学培优训练(线段、射线、直线、角)
七年级数学培优训练(线段、射线、直线、角)专题一 线段、射线、直线一、知识要点1．线段、射线及直线的定义及其表示方法将线段向两个方向无限延长就形成了直线。
直线没有端点 2.直线的性质（1）经过一点可以画无数条直线（2）性质：经过两点有且只有一条直线，其中“有”表示“存在性”，“只有”体现“惟一性” 3.点和直线的位置关系（1）点在直线上，或者说直线经过这个点 （2）点在直线外，也可以说直线不经过这个点 BlA二、例题和练习例1 如图共有 条线段， 条射线， 条直线. lA B C D课堂练习：1、如图，图中共有6个点，共有多少条线段？2、如图，图中共有n 个点，共有多少条线段？ 例2、下列四个生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A 地到B 地架设电线，总是尽可能沿着线段AB 架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（ ）Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②④ Ｄ．③④ 课堂练习：1.往返于甲、乙两地的客车，中途停靠四个站，问（1）有多少种不同的票价？（2）要准备多少种车票？2.已知平面内的四个点A 、B 、C 、D ，过其中每两个点画直线可以画几条.专题二 比较线段的长短将线段向一个方向无限延长就形成了A 1 • A 2 • ……A 3 • A 4 • A n • A 1 • A 2 • A 5 • A 3 • A 4 • A 6 •一、知识要点1.线段性质（公理）：两点之间，线段最短2.两点之间的距离：连结两点之间线段的长度3.线段的大小的比较方法 （1）叠合法A B CDAB CD ABCD (2)度量法AB=CD AB ＞CD AB ＜CD图4-2-14.线段的中点： 把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做线段的中点． AB M点M 是线段AB 中点 AC=BC=21AB 图4-2-2二、例题和练习例1 如图所示，AB=16cm ，C 是AB 上一点，且AC=10 cm ，D 是AC 中点，E 是BC 中点，求线段DE 的长.AB C DE例2 如图，AB:BC:CD =2:3:4，AB 的中点M 与CD 中点N 的距离是3cm ，求BC 的长ABCD NM例3 已知线段AB=30mm, 直线AB 上画一条线段BC=10mm,点D 是线段AC 的中点，求CD 的长度.课堂练习1.如图，点C 是线段AC 上一点，点N 是线段BC 的中点，M 是AC 中点 （1）若AB=10cm AM=3cm 求NC 的长。
苏教版七年级上册数学[《平面图形的认识(一)》全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳理]
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苏教版七年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《平面图形的认识（一）》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1．掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、性质、表示方法和画法；2．初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题；3．正确理解“相交”、“互相平行”、“互相垂直”等概念，发展空间想象力.【知识网络】【要点梳理】要点一、直线、射线、线段1.直线，射线与线段的区别与联系2. 基本性质(1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间线段最短． 要点诠释：①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.3.画一条线段等于已知线段（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC 上截取AB ＝ａ，如下图： 4．线段的比较与运算（1）线段的比较：比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.（2）线段的和与差：如下图，有AB+BC ＝AC ，或AC ＝a+b ；AD ＝AB-BD.（3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：12AM MB AB ==.要点诠释：①线段中点的等价表述：如上图，点M 在线段上，且有12AM AB =，则点M 为线段AB 的中点.②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等. 如下图，点M,N,P 均为线段AB 的四等分点，则有AB PB NP MN AM 41====. PNMBA（4）线段的延长线：如下图，图①称为延长线段AB ，或称为反向延长线段BA ；图②称为延长线段BA ，或称为反向延长线段AB. 图中延长的部分叫做原线段的延长线.要点二、角1．角的概念及其表示（1）角的定义：从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线是角的边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：要点诠释：①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义.②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. 2.角的分类3.角的度量1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″. 要点诠释：①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60.4.角的平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC 是∠AOB 的平分线，所以∠1＝∠2＝12∠AOB ，或∠AOB ＝2∠1＝2∠2. ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围0＜∠β＜90°∠β＝90°90°<∠β<180°∠β＝180°∠β＝360°类似地，还有角的三等分线等.5．余角、补角、对顶角（1）余角、补角：若∠1+∠2＝90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. 若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. 结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.要点诠释：①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角).②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的.③只考虑数量关系，与位置无关．④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”．（2）对顶角：对顶角相等．要点三、平行与垂直1.同一平面内的两条直线的位置关系:平行与相交. 平行用符号“∥”表示.要点诠释：只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点.2.垂线（1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．垂直用符号“⊥”表示，如下图．（2）垂线的性质：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．②垂线段最短．（3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．【典型例题】类型一、概念或性质的理解1.（2016春•永登县期中）下列叙述中，正确的是（）A．在同一平面内，两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、垂直B．不相交的两条直线叫平行线C．两条直线的铁轨是平行的D．我们知道，对顶角是相等的，那么反过来，相等的角就是对顶角【思路点拨】根据直线的关系，平行线的定义，可得答案．【答案】C【解析】解：A、在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是相交、平行，故A错误；B、在同一个平面内，不相交的两条直线叫平行线，故B错误；C、两条直线的铁轨是平行的，故C正确；D、我们知道，对顶角是相等的，那么反过来，相等的角不一定是对顶角，故D错误；故选：C．【总结升华】本题考查了平行线，在同一个平面内，不相交的两条直线叫平行线，注意相等的角不一定是对顶角．举一反三：【变式】（2015春•通辽期末）下列说法不正确的是（）A．过任意一点可作已知直线的一条平行线B．同一平面内两条不相交的直线是平行线C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直D．平行于同一直线的两直线平行解：A中，若点在直线上，则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，错误．B、C、D是公理，正确．故选【答案】A．类型二、角的度量2.钟表分针的运动可看作是一种旋转现象，一只标准时钟的分针匀速旋转，经过15分钟旋转了________度．【思路点拨】画出图形，利用钟表表盘的特征解答．【答案】90【解析】根据钟表的特征；整个钟面是360°，分针每5分钟旋转30°，所以经过15分钟旋转了90°．【总结升华】在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为6°，时针一分钟转过的度数为0.5°；两个相邻数字间的夹角为30°，每个小格夹角为6°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．举一反三：【变式】100°－60°52′10″＝【答案】39°7′50″类型三、利用数学思想方法解决有关线段或角的计算1.方程的思想方法3. 如图所示，在射线OF上，顺次取A、B、C、D四点，使AB:BC:CD＝2:3:4，又M、N 分别是AB、CD的中点，已知AD＝90cm，求MN的长．【思路点拨】有关比例问题，可设每一份为x，列方程求解，再利用中点定义，找出线段的【答案与解析】解：设线段AB，BC，CD的长分别是2x cm，3x cm，4x cm，∵AB+BC+CD＝AD＝90 cm，∴ 2x+3x+4x＝90，x＝10，∴AB＝20 cm， BC＝30 cm， CD＝40 cm，∴MN＝MB+BC+CN＝12AB+BC+12CD＝10+30+20＝60(cm)．【总结升华】当已知某线段被分成的几条线段的长度比时，可根据比设未知数x，用x的式子表示相关的线段的长度，列方程求出x的值，进而求出线段的长．举一反三：【变式】如图所示，已知∠AOC＝∠BOD＝100°，且∠AOB:∠AOD＝2:7，求∠BOC和∠COD 的度数．【答案】解：设∠AOB的度数为2x，则∠AOD的度数为7x．由∠AOD＝∠AOB+∠BOD及∠BOD＝100°，可得7x＝2x+100°．解得x＝20°，所以∠AOB＝2x＝40°．所以∠BOC＝∠AOC-∠AOB＝100°-40°＝60°，∠COD＝∠BOD -∠BOC＝100°-60°＝40°．2.分类的思想方法4.以∠AOB的顶点O为端点的射线OC，使∠AOC:∠BOC＝5:4．(1)若∠AOB＝18°，求∠AOC与∠BOC的度数；(2)若∠AOB＝m，求∠AOC与∠BOC的度数．【答案与解析】解：(1)分两种情况：①OC在∠AOB的外部，可设∠AOC＝5x，则∠BOC＝4x得∠AOB＝x，即x＝18°所以∠AOC＝90°，∠BOC＝72°②OC在∠AOB的内部，可设∠AOC＝5x，则∠BOC＝4x∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝9x所以9x＝18°，则x＝2°所以∠AOC＝10°，∠BOC＝8°（2）仿照（1），可得：若∠AOB＝m，则∠AOC＝59m，∠BOC＝49m，或∠AOC＝5m，∠BOC＝4m．【总结升华】本题中的已知条件没有明确地说明OC在∠AOB的内部或外部，所以两个问题都必须分类讨论．【变式1】已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC＝3cm，求线段AC的长．【答案】解：分两种情况：(1)如图(1)，AC＝AB－BC＝8－3＝5(cm)；(2)如图(2)，AC＝AB+BC＝8+3＝11(cm)．所以线段AC的长为5cm或11cm．【变式2】下列判断正确的个数有 ( ) ．①已知A、B、C三点，过其中两点画直线一共可画三条．②过已知任意三点的直线有1条．③三条直线两两相交，有三个交点．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A3.类比的思想方法【图形认识初步章节复习399079 类比思想例5】5.(1)如图,线段AD上有两点B、C,图中共有______条线段.(2)如图，在∠AOD的内部有两条射线OB、OC，则图中共有个角.【答案】（1）6；（2）6.【解析】（1）以A为端点的线段有3条，同样以B,C,D为一个端点的线段也各有3条，又因为所有线段均重复了一次，所以共有线段条数：3462⨯=（条）.（2）以射线OA为一边的角有3个，同样以OB，OC，OD为一边的角也各有3个，又因为所有角均重复一次，所以共有角的个数：3462⨯=（个）.【总结升华】用同样的方法解决了不同的问题，用已知的知识类比地学习未知的内容.类型四、平行与垂直6.（2015春•印江县期末）如图，点B在点A的南偏东60°方向，点C在点B的北偏东30°方向，且BC=12km，则点C到直线AB的距离是．【答案】12km．【解析】解：∵AD∥BE，∴∠EBA=∠A=60°，∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=90°，∴点C到直线AB的距离是BC，即12km，故答案为：12km．【总结升华】本题考查的是方位角和点到直线的距离，正确理解方位角和点到直线的距离的概念是解题的关键．举一反三：【变式1】梯形中，（）是平行的．A．上底和下底 B．上底和腰 C．两条腰【答案】A【变式2】已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=13cm，BC=5cm，AC＝12cm ，且CD⊥AB于D．则CD的长．【答案】60 13cm。
初中数学几何知识点和题型归纳总复习
著名的欧拉公式：
V+F-E=2
多面体可以按面数来分类,如下列图形中：
四面体
六面体
八面体
画立体图形
观察 立体图
三视图
主视图 左视图
俯视图
例1：画出以下立体图形的三视立体图形图
正方体
长方体
三棱柱
四棱锥
三棱柱
五棱锥
归纳：正方体 的表面展开图 有以下11种。你能看 出有什么规律吗
一
二
阶
四
三
梯
一
一
型
型
型
7部分,11部分,
1.度量法 2.叠合法 用尺规法作一条线段等于已知线段。
3.线段中点的定义和简单作法。
●
●
●
A
AC
C
CB
1
B
AB
2
或 AB=2AC=2CB
用一个大写字母表示点, 用二个大写字母表示线, 用三个大写字母表示角,
A
B Co
1
ɑ
∠ABC ∠O ∠1 ∠ɑ
角度的转化： 1°=60′ 1′=60〞 1°=3600〞
当将这个图案折起来组成一 个正方体时,数字____会3与数字2 所在的平面相对的平面上。
12 34 56
点和线
A 点A — 用一个大写字母表示。
线
线段 射线
直线
学会区分没有
直线、射线、线段的比较
名称
直线
射线
线段
图形
表示法
a
A
BO C
线段AB 、线 射线OC、 段BA、线段a 射线l
l
l
AB
直线AB、直
3 直线的基本性质:经过两点有一条直 线,并且只有一条直线.
人教版七年级数学上册：第四章4.2《直线、射线、线段》例题与讲解
4.2 直线、射线、线段1．直线(1)概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始的概念，直线常用“一根拉得很紧的细线”，“一张纸的折痕”等实际事物进行描述．(2)特点：直线向两方无限延伸，不可度量，没有粗细；并且同一平面内的两条相交直线只有一个交点．(3)直线的基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．即“两点确定一条直线”．(4)直线的两种表示法：一是用一个小写字母表示：如直线a，b，c或直线l等．另一个是用直线上两个点的大写字母表示，如：直线AB或直线BA.如图：表示为直线l或直线AB(点的字母位置可以交换)．(5)直线与点的位置关系：一是点在直线上，也叫做直线经过这点；另一种是点在直线外，也叫做直线不经过这个点．【例1－1】下面几种表示直线的写法中，错误的是()．A．直线a B．直线MaC．直线MN D．直线MO解析：直线的表示法有两种，一种是用一个小写字母表示，另一种是用直线上两个点的大写字母表示，所以直线Ma这种表示法不正确，故选B.答案：B【例1－2】如图，下列说法错误的是()．A．点A在直线m上B．点A在直线l上C．点B在直线l上D．直线m不经过B点解析：点与直线有两种位置关系，一是点在直线上，也称作直线过这点，另一种是点在直线外．所以C错误．答案：C2．射线(1)定义：直线上一点和它一旁的部分，叫做射线．它是直线的一部分．如图就是一条射线，其中O是射线的端点．(2)表示法：同直线一样，射线也有两种表示方法，一种是用一个小写字母表示：如射线a，b，c或射线l等，另一个是用射线上两个点的大写字母表示，其中前面的字母表示的点必须是端点．如图：表示为射线l或射线OA.注意：表示射线端点的字母一定要写在前面．(3)特点：射线只有1个端点，向一方无限延伸，因此不可度量．【例2－1】如图，若射线AB上有一点C，下列与射线AB是同一条射线的是()．A．射线BA B．射线ACC．射线BC D．射线CB解析：端点相同，在同一条直线上，且方向一致，就是同一条射线，所以B正确．答案：B3．线段(1)定义：直线上两点和它们之间的部分，叫做线段．它是直线的一部分．(2)特点：有两个端点，不能向两方无限延伸，因此它有长度，有大小．(3)表示法：同直线一样，线段也有两种表示法，一种是用一个小写字母表示，如线段a，b，c.另一种是用线段两个端点的大写字母表示．如图：可以表示为：线段AB或线段BA，或线段a.(4)线段的基本性质：两点的所有连线中，线段最短，简单的说成：“两点之间，线段最短．”意义：选取最短路线的原则和依据．(5)两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离．破疑点线段的表示表示线段的两端点的字母可以交换，如线段AB也是线段BA，但端点字母不同线段就不一样．【例3】如图有几条直线？几条射线？几条线段？并写出．分析：直线主要看有几条线向两方无限延伸，图中只有一条；射线主要看端点，再看延伸方向，3个端点，所以有6条，线段主要是看端点，3个端点，所以有3条．解：有一条直线AB(或AC，AD，AE，BE，BD，CD，…)；射线有6条：CA，CB，DA，DB，EA，EB.线段有3条：CD，CE，DE.4.线段的画法(1)画一条线段等于已知线段画法：①测量法：用刻度尺先量出已知线段的长度，画一条等于这个长度的线段；②尺规法：如图：画一条射线AB，在这条射线上截取(用圆规)AC＝a.(2)画线段的和差测量法：量出每一条线段的长度，求出它们的和差，画一条线段等于计算结果的长度．如：已知线段a，b(a＞b)，画线段AB＝a－b，就是计算出a－b的长度，画出线段AB等于a－b 的长度即可．尺规法：如图，已知线段a，b，画一条线段，使它等于2b－a.画法：如图，①画一条射线AB，在这条射线上连续截取(用圆规)AC=2b，②再以A为一个端点，截取AD=a，那么DC=2b－a.【例4】如图，已知线段a，b，c，画一条线段，使它等于a＋b－c(用尺规法)．画法：如图，①画射线(直线也可)AB，在射线AB上分别截取AC＝a，CD＝b.②以D为一个端点在AD上截取DE＝c，线段AE即为所求．5．线段的比较(1)测量法：就是用刻度尺测量出两条线段的长度，再比较它们的大小．(2)叠合法：把两条线段的一端对齐，放在一起进行比较．如图：①若C 点落在线段AB 内，那么AB ＞AC ；②若C 点落在线段AB 的一个端点上，那么AB ＝AC ；③若C 点落在线段AB 外(准确的说是AB 的延长线上)，那么AB ＜AC .谈重点 线段的比较 用叠合法比较两条线段的大小，一端一定要对齐，看另一个端点的落点，测量法要注意单位的统一．【例5】 已知：如图，完成下列填空：(1)图中的线段有________、________、________、________、________、________共六条．(2)AB ＝________＋________＋________；AD ＝________＋________；CB ＝_______＋__________.(3)AC ＝AB －__________；CD ＝AD －__________＝BC －__________；(4)AB ＝__________＋__________.解析：根据图形和线段间的和差关系填空，注意(4)题有两种可能．答案：(1)AC AD AB CD CB DB(2)AC CD DB AC CD CD DB(3)CB AC DB(4)AD DB 或AC CB6．线段中点、线段等分点(1)定义：点M 把线段AB 分成相等的两条线段AM 与MB ，点M 叫做线段AB 的中点．(2)拓展：把一条线段分成相等的三条线段的点叫做这条线段的三等分点….(3)等量关系：在上图中：AM ＝BM ＝12AB ；2AM ＝2BM ＝AB . 【例6】 如图，点C 是线段AB 的中点．(1)若AB ＝6 cm ，则AC ＝__________cm.(2)若AC ＝6 cm ，则AB ＝__________cm.解析：若AB ＝6 cm ，那么AC ＝12AB ＝3(cm)． 若AC ＝6 cm ，那么AB ＝2AC ＝2×6＝12(cm)．答案：3 127．关于延长线的认识延长线是重要的，也是应用较多的几何术语，是初学者最易错，最不好理解的地方，下面介绍几种关于延长线的术语：如图(1)延长线段AB ，就是由A 往B 的方向延长，并且延长线一般在作图中都用虚线表示；如图(2)叫做反向延长线段AB ，就是由B 向A 的方向延长；如图(3)延长AB 到C ，就是到C 不再延长；如图(4)延长AB 到C ，使AB ＝BC ；如图(5)点C 在AB 的延长线上等．几种常见的错误，延长射线AB 或延长直线AB ，都是错误的，图(6)中只能反向延长射线AB .【例7－1】 若AC ＝12AB ，那么点C 与AB 的位置关系为( )． A ．点C 在AB 上 B ．点C 在AB 外C ．点C 在AB 延长线上D ．无法确定答案：D【例7－2】 画线段AB ＝5 cm ，延长AB 至C ，使AC ＝2AB ，反向延长AB 至E ，使AE ＝13CE ，再计算： (1)线段AC 的长；(2)线段AE ，BE 的长．分析：按要求画图．由画图过程可知：AC ＝2AB ，且C 在AB 的延长线上，所以AB ＝BC ＝12AC ，E 在AB 的反向延长线上，且AE ＝13CE ，所以AB ＝BC ＝AE ＝5 c m.解：如图：(1)因为AC ＝2AB ，所以BC ＝AB ＝5 cm ，所以AC ＝AB ＋BC ＝5＋5＝10 (cm)．(2)因为AE ＝13CE ，所以AE ＝AB ＝BC ＝5 cm ， 所以BE ＝AB ＋AE ＝5＋5＝10 (cm)．8.线段的计数公式及应用一条直线上有n 个点，如何不重复不遗漏地数出该直线上分布着多少条线段呢？以下图为例：为避免重复，我们一般可以按以下方法来数线段的条数：即A →AB ，AC ，AD ，B →BC ，BD ，C →CD ，线段总数为3＋2＋1＝6，若是更多的点，由以A 为顶点的线段的条数可以看出，每个点除了自身以外，和其他任何一个点都能组成一条线段，因此当有n 个点时，以A 为顶点的线段就有(n －1)条，同样以B 为顶点的线段也有(n －1)条，因此n 个顶点共有n (n －1)条线段；但由A 到B 得到的线段AB 和由B 到A 得到的线段BA 是同一条，而每条线段的数法都是如此，这样对于每一条线段都数了2次，所以除以2就是所得线段的实际条数，即当一条直线上有n 个点时，线段的总条数就等于12n (n －1)． 【例8－1】 从秦皇岛开往A 市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站之间的票价都不相同，那么有多少种不同的票价？有多少种车票？分析：这个问题相当于一条直线上有4个点，求这条直线上有多少条线段．因为任意两站之间的票价都不相同，因此有多少条线段就有多少种票价，根据公式我们很快可以得出有6种不同的票价，因为任意两站往返的车票不一样，所以，从秦皇岛到达目的地有12种车票．解：当n ＝4时，有n (n －1)2＝4×(4－1)2＝6(种)不同的票价．车票有6×2＝12(种)．答：有6种不同的票价，有12种车票．【例8－2】 在1,2,3，…，100这100个不同的自然数中任选两个求和，则不同的结果有多少种？分析：本题初看似乎和线段条数的计数规律无关，但事实上，若把每个数都看成直线上的点，而把这两个数求和得到的结果看成是1条线段，则其中的道理就和直线上线段的计数规律是完全一致的，因而解法一样，直接代入公式计算即可求出结果．解：不同的结果共有：12n (n －1)＝12×100×(100－1)＝4 950(种)． 答：共有4 950种不同的结果． 9.与线段有关的计算和线段有关的计算主要分为以下三种情况：(1)线段的和差及有关计算，一般比较简单，根据线段间的和差由已知线段求未知线段．(2)有关线段中点和几等分点的计算，是本节的重点，其中以中点运用最多，这也是用数学推理的方式进行运算的开始．(3)综合性的运算，既有线段的和差，也有线段的中点，综合运用和差倍分关系求未知线段．解技巧 线段的计算 有关线段的计算都是由已知，经过和差或中点进行转化，求未知的过程，因此要结合图形，分析各段关系，找出它们的联系，通过加减倍分的运算解决．【例9－1】 如图，线段AB ＝8 cm ，点C 是AB 的中点，点D 在CB 上且DB ＝1.5 cm ，求线段CD 的长度．分析：根据中点关系求出CB ，再根据CD ＝CB －DB 求出CD .解：CB ＝12AB ＝12×8＝4(cm)，CD ＝CB －DB ＝4－1.5＝2.5(cm)． 答：线段CD 的长度为2.5 cm.【例9－2】 如图所示，线段AB ＝4，点O 是线段AB 上一点，C ，D 分别是线段OA ，OB 的中点，求线段CD 的长．解：由于C ，D 分别是线段OA ，OB 的中点，所以OC ＝12OA ，OD ＝12OB ，所以CD ＝12(OA ＋OB )＝12AB ＝12×4＝2. 答：线段CD 的长为2.10．直线相交时的交点数两条直线相交有1个交点，三条直线两两相交最多有3个交点，那么n 条直线两两相交最多有多少个交点？下面以5条直线两两相交最多有多少个交点为例研究：如图，当有5条直线时，每条直线上有4个交点，共计有(5－1)×5个交点，但图中交点A ，既在直线e 上也在直线a 上，因而多算了一次，其他交点也是如此，因而实际交点数是(5－1)×5÷2＝10个，同样的道理，当有n 条直线时，在没有共同交点的情况下，每条直线上有(n －1)个交点，共有n 条直线，交点总数就是n (n －1)个，但由于每一个点都数了两次，所以交点总数是12n (n －1)个． 【例10－1】 三条直线a ，b ，c 两两相交，有__________个交点( )．A ．1B ．2C ．3D ．1或3解析：三条直线a ，b ，c 两两相交的情形有两种，如图．答案：D【例10－2】 同一平面内的12条直线两两相交，(1)最多可以有多少个交点？(2)是否存在最多交点个数为10的情况？分析：(1)将n ＝12代入12n (n －1)中求出交点个数．(2)交点个数为10，也就是12n (n －1)＝10，即n (n －1)＝20，没有两个相邻整数的积是20，所以不存在最多交点个数是10的情况．解：(1)12条直线两两相交，最多可以有：12n (n －1)＝12×12×(12－1)＝66(个)交点． (2)不存在最多交点个数为10的情况．11.最短路线选择“两点之间，线段最短”是线段的一条重要性质，运用这个性质，可以解决一些最短路线选择问题．这类问题一般分两类：一类是选择路线，选择从A 到B 的最短路线，连接AB 所得到的线段就是；另一类是选择一个点，使这个点到A ，B 的距离之和最小，根据“两点之间，线段最短”这条线段上的任一点到A 到B 的距离之和都等于这条线段的长度，所以这条线段上的任一点都符合要求．但这类问题往往还有附加条件，如：这点还要在某条公路上，某条河上等，所以要满足所有条件．解技巧 求最短路线 对于第一类问题，只要将A ，B 放到同一个平面上，连接AB 即可得到所需线路．对于第二类问题，连接AB ，它们的交点一般就是所求的点．【例11】 如图(1)，一只壁虎要从圆柱体A 点沿着表面尽可能快的爬到B 点，因为B 点处有它要吃的一只蚊子，则它怎样爬行路线最短？分析：要想求最短路线，必须将AB 放置到一个平面上，根据“两点之间，线段最短”，连接AB ，所得路线就是所求路线，因此将圆柱体的侧面展开如图(2)所示，连接AB ，则AB 是壁虎爬行的最短路线．解：在圆柱上，标出A ，B 两点，将圆柱的侧面展开(如图(2))，连接AB ，再将圆柱复原，会得到围绕圆柱的一条弧线，这条线就是所求最短路线．析规律 立体图形中的最短路线 在立体图形中研究两点之间最短路径问题时，通常把立体图形展开成平面图形，转化为平面图形中的两点间的距离问题，再用平面内“两点之间，线段最短”求解．。
初一线段,射线,直线知识精讲(含答案)
4.2直线、射线、线段第1课时 直线、射线、线段【要点归纳】1.直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简述为：“两点确定一条直线”.2.两条不同的直线有一个交点 时，就称两条直线相交，这个公共点叫它们的交点 .3.射线和线段都是直线的一部分。
4.直线、射线、线段的记法：【题型归类】 类型一、线段、射线和直线的概念 例1.如图，平面上有A ，B ，C ，D 四个点，按照下列要求画图：（1）画直线AB ；（2）画射线DB ； （3）画线段AD （4）连结CD ，并延长CD 与直线AB 交于点E.「分析」直线、射线、线段这三个概念之间有联系，但也有区别，在具体画图形时要特别注意，如过两点画直线时，这两个点不能成为端点，要“出头”；在画射线时，要注意谁是端点，应往哪个方向延伸，另外还应注意到 线段延长线和线段反向延长线的概念，因为这些概念“方向”性很强，因此要注意对概念的理解，准确画出图形. 解：略.类型二、用字母表示线段、射线和直线例：如图2所示，能用字母表示的线段、射线和直线各有哪几条？名称 表示法作法叙述端点个数直线 直线AB （BA ）（字母无序） 过A 点或B 点作直线AB 无端点 射线 射线AB （字母有序） 以A 为端点作射线AB 一个 线段 线段AB （BA ）（字母无序）连接AB两个「分析」端点不同的射线不是同一条射线；在数线段、射线的条数时，我们应该遵循某种规律去数，做到不重复，不遗漏.解:类型三、平面上的点与直线条数之间的关系例3.过平面内两个点，最多可以作几条直线？如果平面上有3个点、4个点、5个点，…，n个点，过任意两点作一条直线，最多可以作几条直线，完成下列表格.点的个数 2 3 4 5 6 n最多可以作直线（条）1 3 6 10 15 (1)2n n「分析」本题是一个探索规律的题目，可以通过实际作图数出数据化为有规律的数据来考虑.本题还可以这样考虑，即过两点有且只有一条直线，假若n个点中任意三点都不共线，那么每个点都可以分别和其它（n-1）个点组成一条直线.【易错点示】例4.从A市开往B市的特快列车，途中要停靠3个车站，如果任意2站间的票价都不同，不同的票价有（C）A.3种 B.6种 C.10种 D.20种【错解】选A【错因分析】本题错在只考虑了中间3个车站，丢掉了A市和B市两个车站，应计算一条直线上5个点组成的线段的条数.【分层作业】A组1．下列说法中正确的有( D )①钢笔可看作线段②探照灯光线可看作射线③笔直的高速公路可看作一条直线④电线杆可看作线段A.1个B.2个C.3个D.4个2．如图所示，有直线、射线和线段，根据图中的特征判断其中能相交的是( D)AB CDE3.下列语句准确规范的是( D )A.直线a 、b 相交于一点mB.延长直线ABC.反向延长射线AO(O 是端点)D.延长线段AB 到C,使BC=AB 4.下列说法正确的是（ C ）A.过一个已知点B ，只可作一条直线B.一条直线上只有两个点C.两条直线相交，只有一个交点D.一条直线经过平面上所有的点 5.图中共有线段（ B ）条A 、7B 、8C 、9D 、10 6．下列说法中正确的语句共有( B )①直线AB 与直线BA 是同一条直线 ②线段AB 与线段BA 表示同一条线段③射线AB 与射线BA 表示同一条射线 ④延长射线AB 至C ，使AC ＝BC ⑤延长线段AB 至C ，使BC ＝AB ⑥直线总比射线和线段长.A.2个B.3个C.4个D.5个7.如果在一条直线上得到10条不同的线段，那么在这条直线上至少要选用不同点的个数是（ D ）. A .20 B. 10 C. 7 D. 58. 过一点的直线有＿无数＿条，经过两点的直线有＿1＿条，经过三点中的每两点的直线有＿1或3＿条. 9.要在墙上钉稳一根木条，至少要 2 个钉子，理由是两点确定一条直线. 10．如图，图中有__6____条射线，___6___条线段，这些线段分别是_AB,AC,AD,BC,BD,CD_________．11.平面内有若干条直线，当下列情形时，可将平面最多分成几部分。
线段和角的有关计算问题易错点剖析
线段、角错解示例一、对直线的定义理解不透彻例1 下面说法是否正确：延长直线AB到C点．错解：正确．错解分析：因为直线是向两方无限延长的，所以，延长直线AB到C点的说法是错误的．二、对线段中点的定义理解不透彻例2判断：如果AB＝AC，则点A就是线段BC的中点．错解：对错解分析：上述回答只考虑了A，B，C 三点共线的情形，而当A，B，C 三点不共线时，虽有AB＝AC，但点A不在线段BC上，故不是线段BC的中点．三、忽略了距离定义中“长度”的含义例3判断：连结两点的线段叫做这两点的距离．错解：正确．错解分析：距离指的是长度，而线段是几何图形，他们是两个不同的概念．因此，上述说法是错误的．正确的说法应是：连结两点的线段的长度叫两点间的距离．四、考虑问题不全面例4经过三点A,B,C有几条直线？错解：只有一条直线．错解分析：题目中未指明这三点A,B,C的位置关系，于是，A可能在直线BC上，也可能不在直线BC上，而上述回答只考虑了前一种情形，是不全面的．正解：(1)当点A在直线BC上时，过三点A,B,C只有1条直线；(2)当点A在不在直线BC上时，过三点A,B,C有3条直线．五、对射线的定义理解不全面例5试回答：射线AB和射线BA是否是同一条射线．错解：是同一条射线．错解分析：由射线的定义可知，表示射线的头一个字母为射线的端点，而在射线AB中，端点是A，在射线BA中，其端点是B．因此，射线AB与射线BA 不是同一条射线．六、混淆平角和直线的定义例6有的同学说：平角是一条直线，这种说法对吗？错解：对错解分析：平角是角，而直线是线，这是两个不同的概念，不能把二者混为一谈，应叙述为“平角的两边构成一条直线”．七、例7 3条直线两两相交，可以得到几条射线，几条线段？错解：得到12条射线，3条线段．错解分析：此题忽略了3条直线交于一点的特殊情况，正确答案应为：6条射线、0条线段或12条射线， 3条线段．八、被题目误导，考虑问题不全面例8如果两个角互补，那么这两个角( )(A)可能是两个锐角 (B)可能是钝角(C)一定是一个锐角和一个钝角 (D)以上说法都不对错解：选C．错解分析：应选D ．上面的解法中，忽视了两个角都是直角的情况九、例9 如图，∠AOB ＝∠BOF ＝∠COD ＝90°，OC ，OE 分别为∠AOB ，∠AOD 的平分线，试指出∠EOC 的所有的余角．错解：∠EOC 的余角是∠DOE ． 错解分析： 对互为余角的概念模糊，误认为互余的两个角一定是邻角，漏掉了∠AOE ．正解：∠EOC 的余角是∠DOE 和∠AOE ．十、例10 若∠AOB ＝170°，∠AOC ＝70°，∠BOD ＝60°，求∠COD 的度数． 错解：如图所示，∠COD ＝360°－∠AOB －∠AOC －∠BOD ＝360°－170°－ 70°－60°＝60°．错解分析： 题目中未给图形，应对图形的各种情况都要考虑，正确答案应为4个：即∠COD 的度数为40°，160°，180°或60°，另外3种图形请自己画出，并写出求解过程．十一、概念模糊例 11 判断正误：一条直线是一个平角，一条射线是一个周角.（ ） 错解：（√）错解分析：平角的图形与直线相似，周角的图形与射线相似.根据图形相似，就错误地认为概念也一致.其实平角、周角是角，角是有顶点、两条边的，而直O AB CD E F B A DO线、射线则不是.正解：（×）点拨：平角、周角都是特殊角，虽然它们与一般角形象不同，但是它们仍然是角.它们都具有一个顶点和两条边，只不过平角的两边成一条直线，周角的两边重合成一条射线罢了，而直线无顶点，射线是从一点（端点）开始向任意一方向无限延伸的.十二、角的表示错误例12 下列图形中，能用∠AOB、∠O、∠1 三种方法表示同一个角的是（）(A) (B) (C) (D)错解:选 A.错解分析：本题没有弄清角的表示方法.选项A中以O为顶点的角不是一个，故不能用∠O表示一个角.正解:选 C点拨：当某顶点处不只存在一个角时，不能用顶点处的一个大写字母表示其中的角，应用三个大写字母表示，其中表示顶点的字母要写在中间.只有以某点为顶点的角唯一时，才能用一个大写字母表示.十三、数错角的个数例 13 指出图中一共有几个角.错解：一共有6个角，它们分别是∠AOB，∠AOC，∠BOC，∠COA，∠COB，∠BOA.错解分析：本题错在没有弄清楚角的概念及表示方法，误认为∠AOB 与∠BOA，∠COA 与∠AOC 是不同的角，其实它们是一个角的两种不同表示方法. 数角的个数时必须做到不重不漏，要按一定的顺序去数.每一条射线都与另一条射线可组成一个角，可按顺时针方向数，也可按逆时针方向数.正解：有 3 个，它们分别是∠AOB，∠AOC，∠BOC.点拨：计算角的个数时，先确定角的一条始边，再确定终边，始边、终边相同的视为同一个角.把以这条边为始边的角数完，再数另外的角；从一个点出发引 n 条射线，可以确定2)1(nn个角.十四、角度的计算出错例 14 计算下列各题：（1）61°26′÷3；（2）25.36°-17°22′.错解：（1）61°26′÷3=20°12′；（2）25.36°-17°22′=8.14°.错解分析：（1）错用了角度的进制，误以为1°=10′；（2）错在没有统一形式就开始相减.正解：（1）61°26′÷3=（60°+84′+120″）÷3=20°28′40″；（2）25.36°－17°22′=25°+0.36 ×60′－17°22′=25°21′+0.6×60″－17°22′=25°21′36″－17°22′=7°59′36″.点拨：在进行角度的和、差运算时，应先统一单位，都化成度或分、秒表示（如90°=89°59′60″），然后进行计算.在进行乘法运算时，往往先把分、秒分别乘以倍数，将结果满60″进1′，满 60′进1°.对于除法运算则是从度开始除，依次进行下去，若除不尽往往四舍五入.。
完整七年级期末复习专题训练系列线段与角的计算及解题方法归纳
线段与角的计算及解题方法七年级期末复习专题训练系列3:一、求线段长度的几种常用方法：1.利用几何的直观性，寻找所求量与已知量的关系例1. 如图1所示，点C分线段AB为5：7，点D分线段AB为5：11，若CD＝10cm，求AB。
图1分析：观察图形可知，DC＝AC－AD，根据已知的比例关系，AC、AD均可用所求量AB表示，这样通过已知量DC，即可求出AB。
解：因为点C分线段AB为5：7，点D分线段AB为5：11所以又因为CD＝10cm，所以AB＝96cm2.利用线段中点性质，进行线段长度变换例2. 如图2，已知线段AB＝80cm，M为AB的中点，P在MB上，N为PB的中点，且NB＝14cm，求PA的长。
图2分析：从图形可以看出，线段AP等于线段AM与MP的和，也等于线段AB与PB的差，所以，欲求线段PA的长，只要能求出线段AM与MP的长或者求出线段PB的长即可。
解：因为N是PB的中点，NB＝14所以PB＝2NB＝2×14＝28又因为AP＝AB－PB，AB＝80所以AP＝80－28＝52（cm）说明：在几何计算中，要结合图形中已知线段和所求线段的位置关系求解，要做到步步有根据。
3.根据图形及已知条件，利用解方程的方法求解例3. 如图，一条直线上顺次有A、B、C、D四点，且C为AD的中点，，求BC是AB 的多少倍？的中点，ADC为的一个方程，又、分析：题中已给出线段BCAB、AD即，观察图形可知，，可得到BC、AB、AD又一个方程，从而可用AD分别表示AB、BC。
解：因为C为AD的中点，所以1，即因为又3AB＝、<2>BC可得：即由<1>的中点，、DE、EB分别是P、Q、NAC、CD四部分，分成，. 如图4C、D、E将线段AB2：3：4：5M、4例 21，求PQ的长。
且MN＝的代数式表示。
观察AB上每一条短线段都可以用x分析：根据比例关系及中点性质，若设AC＝2x，则 PQ。
[全]七年级数学“线段与角”经典题型详解
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七年级数学“线段与角”经典题型详解一、《线段、射线、直线》与《角》例1 线段中点与角平分线①若一条线段上有n个点，则这n个点可组成n/2（n+1）条线段；②从一个点出发引出n条射线，则这n条射线可组成n/2（n+1）个角。
例2 线段类与角类多解问题例3 双中点问题与双角平分线问题（1）例4 双中点问题与双角平分线问题（2）例5 数线段条数与角的个数二、行程问题与钟面角问题例6 追击类问题（1）例7 追击类问题（2）二、六道题突破“线段与角”所有难题1、方程思想例1：已知∠AOB＝160°，∠COE＝80°，OF平分∠AOE．（1）如图1，若∠COF＝n°，则∠BOE＝______°，∠BOE与∠COF的数量关系为_______；（2）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中∠BOE 与∠COF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如图3，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得∠BOD为直角，且∠DOF＝3∠DOE？若存在，请求出∠COF的度数；若不存在，请说明理由．分析：(1)(2)根据∠EOC和∠COF的度数，可以求出∠FOE的度数，从而可求∠AOE的度数，从而将∠AOB的度数减去∠AOE的度数，就是∠BOE的度数，若将∠EOF 的度数用n来表示，或将位置改变，方法也是不变的．(3)要求∠COF的度数，只需求出∠EOF的度数，用∠COE的度数相减即可．而要求∠EOF的度数，我们可以借助∠DOF＝3∠DOE的条件，最后，利用∠AOD＋∠BOD＝160°，建立方程．解答：(1)设∠COF＝n°，∠FOE＝∠COE－∠COF＝(80－n)°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE ＝2∠FOE＝(160－2n)°，∴∠BOE＝∠AOB－∠AOE ＝160°－(160－2n)°＝2n°，∴∠BOE＝2∠COF．(2)结论仍然成立，方法同(1)．(3)∵OD⊥OB，∴∠BOD＝90°，设∠DOE＝x°，∴∠DOF＝3x°，∠FOE＝∠DOF－∠DOE＝2x°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠FOE＝4x°，∴∠AOE＋∠DOE＋∠BOD＝∠AOB，4x＋x＋90＝160，x＝14，∴∠EOF＝2x°＝28°，∠COF＝∠COE－∠EOF＝80°－28°＝52°2、分类讨论例2：分析：解答：3、旋转相关例3：已知直线AB和CD交于点O，∠AOC 的度数为x，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．(1)当x＝19°48′，求∠EOC与∠FOD的度数．(2)当x＝60°，射线OE、OF 分别以10°/s，4°/s的速度同时绕点O顺时针转动，求当射线OE与射线OF 重合时至少需要多少时间?(3)当x＝60°，射线OE以10°/s 的速度绕点O顺时针转动，同时射线OF也以4°/s的速度绕点O逆时针转动，当射线OE转动一周时射线OF也停止转动．射线OE在转动一周的过程中当∠EOF＝90°时，求射线OE 转动的时间．分析：(1)问非常简单，不再赘述．(2)这是一个追及问题，射线OE的速度快，显然是OE在后追OF，追及的度数是用360°减去∠EOF的度数．(3)由于方向变化，问题又变成了一个相遇问题，相遇前，两射线的夹角与第(2)问相同，要使夹角为90°，则转过的度数之和分3种．相遇之前，夹角为90°，即转过的度数之和为(2)中的度数减去90°．相遇之后，夹角为90°，即转过的度数之和为(2)中的度数加上90°．相遇之后，夹角为(360－90)°，即转过的度数之和为(2)中的度数加上(360－90)°．解答：(1)∵∠BOE＝90°，∴∠AOE＝∠AOB－∠BOE ＝180°－90°＝90°，∴∠EOC＝∠AOE－∠AOC ＝90°－19°48′＝70°12′∠AOD＝∠COD－∠AOC ＝180°－19°48′＝160°12′∵OF平分∠AOD，∴∠FOD＝1/2∠AOD＝80°6′(2)∵∠AOC＝60°，∴∠AOD＝120°，∠AOF＝60°，∠EOF＝∠AOF＋∠AOE＝150°，解设t秒后重合，(10－4)t＝360－150，t＝35．(3)4、定值探究例4：分析：解答：5、双角平分线例5：如图，两个形状、大小完全相同的含有30°，60°角的三角尺如图①放置，PA，PB与直线MN重合，且三角尺PAC，三角尺PBD均可以绕点P逆时针旋转．(1)试说明：∠DPC＝90°；(2)如图②，若三角尺PAC的边PA从PN处开始绕点P 逆时针旋转一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF；(3)如图③，若三角尺PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角尺PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，在两个三角尺旋转过程中(PC转到与PM重合时，两三角尺都停止转动)，试说明：∠BPN ＝2∠CPD．分析：(1)问简单，不再赘述．(2)典型的双角平分线问题，先找出现两次的边，即公共边，PD，则组成∠EPF的两条边，PE，PF，必然与PD形成2个角，∠FPD，∠EPD，则∠EPF必为这两个角的差或和，然后利用一半减一半，或一半加一半解决．(3)分别用含t的代数式表示∠BPN，∠CPD，注意∠CPD在表示时，要考虑到PD旋转到MN下方的情况，因此，用平角∠MPN＋∠MPN－∠BPD－∠APC －∠APN最合适．解答：(1)∵PA，PB与直线MN重合，∴∠APB＝180°又∵∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，∴∠DPC＝∠APB－∠CPA－∠DPB ＝180°－30°－60°＝90°；6、动点综合例6：已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数﹣24，﹣10，10．两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒．（1）问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？（2）问多少秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位？若此时甲调头往回走，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由．（3）若甲、乙两只电子蚂蚁（用P表示甲蚂蚁、Q表示乙蚂蚁）分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度变为原来的3倍，乙的速度不变，直接写出多少时间后，原点O、甲蚂蚁P 与乙蚂蚁Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点．分析：本题是一道好题，将动点问题中3个重要知识点串联在了一起，(1)如何表示t 秒时，某个点表示的数，(2)如何表示t秒时，两个点之间的距离，(3)如何表示两个点的中点．(1)问，可以用行程问题解决，但我们可以用相遇时，这两个点表示的数相等来建立方程．(2)分别用含t的绝对值代数式来表示后甲到A，B，C三点的距离．然后建立关于t的绝对值方程，注意，要考虑所求时间是否在范围内，调头走的时间是否合题意．(3)依旧可以用含t的代数式表示t秒时，点P，点Q表示的数，利用中点公式，建立方程求解．解答：。
初一数学 初中数学专题汇编线段和角含解析
一、选择题1.在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是．考点：线段的性质：两点之间线段最短．分析：根据线段的性质：两点之间线段最短解答．解答：解：在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是：两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．点评：本题考查了两点之间线段最短的性质，是基础题，比较简单．2. 已知∠α＝35°，则∠α的余角是（）A.35°B.55°C.65°D.145°考点：余角和补角.专题：计算题.分析：根据互为余角的两个角的和为90 度作答．解答：解：根据定义∠α 的余角度数是90°﹣35°＝55°．故选．点评：本题考查角互余的概念：和为90 度的两个角互为余角．属于基础题，较简单．3. 已知∠α=20°，则∠α的余角等于70°．考点：余角和补角。
分析：若两个角的和为90°，则这两个角互余；根据已知条件可直接求出角α 的余角．解答：解：∵∠α=20°，∴∠α 的余角=90°﹣20°=70°．故答案为：70°．点评：本题考查了余角的定义，解题时牢记定义是关键．4.如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（）A、∠2 和∠3B、∠1 和∠3C、∠1 和∠4D、∠1 和∠2考点：对顶角、邻补角。
专题：推理填空题。
分析：两条直线相交后，所得的只有一个公共顶点，且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角．解答：解：根据同位角、同旁内角、邻补角、对顶角的定义进行判断，A、∠2 和∠3 是对顶角，正确；B、∠1 和∠3 是同旁内角，错误；C、∠1 和∠4 是同位角，错误；D、∠1 和∠2 的邻补角是内错角，错误．故选A．点评：解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．5.已知线段AB=10cm，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC＞BC），则AC 的长为（）A (5-10)cmB (15 -55)cmC (5-5)cmD (10 - 25)cm考点：黄金分割。
7线段、角专题总结
线段、角专题总结例1：在同一个平面内，任意三条直线有哪几种不同的位置关系?画图说明．解题点拨：因为在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交与不相交两种，所以三条直线的位置关系可以从“相交”这个角度来分类，再可以从相交后所形成的交点个数进一步得出几种不同的位置图形．解：(1)每条直线都不相交，没有任何公共点，如图1；(2)两条直线都相交，且有三个公共点，如图2；(3)每两条直线都相交，且只有一个公共点，如图3；(4)只有两条直线不相交，而第三条直线与这两条直线都相交，如图4．解后反思：在图2，图3中，因为其中任一直线，都和其他两条直线相交，所以这两种图形都是三条直线两两相交的图形．例2：如图，直线AB、CD相交于点O，OE为射线．试问，图中小于平角的角共有几个，请一一列出．解题点拨：由一点发出的两条射线所夹的平面部分称为角．这点称为角的顶点，射线称为角的边．当构成角的两边的射线方向相反时，所夹的角称为平角，此题要求列出小于平角的角，只要从点O出发的五条射线中任取两条，除去OA与OB，OC与OD两组即可．解：小于平角的角有8个，分别是：∠AOE，∠AOD，∠EOD，∠EOB，∠DOB，∠BOC，∠COA，∠COE。
解后反思：计数问题常常会发生遗漏或重复计算的错误，为了克服这种错误，我们思考问题时要研究一定的顺序，如本题解法依顺时针方向逐一索取．例3：如图是一段火车路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，图中有几条线段?在这段路线上往返行车，需印制几种车票(每种车票都要印出上车站与下车站)?解题点拨：第一问容易解决，仔细分析一下第二题可以发现每种车票可以看成是带有方向的线段．即AB与BA之间是不同的车票，因此车票的种数就是图中线段个数的2倍．解：图中有=10条线段，需要2´；10=20种车票。
解后反思：要善于把实际生活问题转化成数学问题．例4：1．(1)已知：如图，点C在线段AB上，线段AC＝6cm，BC＝4cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度．(2)根据(1)的计算过程和结果，设AC+BC=a,其他条件不变，你能猜测出MN的长度吗?请用一句简洁的话表述你发现的规律．2．对于1中(1)题，如果我们这样叙述它：“已知线段AC=6cm，BC＝4cm，点C在直线AB 上，点M，N分别是AC、BC的中点，求MN的长度，结果会有变化吗? 如果有，求出结果．解：1．(1) ∵AC＝6，BC＝4，∴AB=AC+BC=10．又∵点M是AC中点，点N是BC中点，∴MC=AM= AC,CN=BN= BC,∴MN=MC+CN= AC+ BC= (AC+BC)= AB=5(cm).(2)由(1)中已知AB＝10cm，求出MN=5cm，分析 (1)的推算过程可知MN= AB，故当AB＝a 时，MN= a，从而得到：线段上任一点把线段分成的两部分中点间的距离等于原线段长度的一半。
七年级上册数学线段与角必做好题附答案详解
七年级上册数学线段与角必做好题附答案详解一．解答题（共25小题）1．如图所示，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段AB上有3个点时，线段总数共有3条，如果AB上有4个点时，线段总数共有6条，如果线段AB上有5个点时，线段总数共有10条，…．（1）当线段AB上有6个点时，线段总数共有多少条？（2）当线段AB上有n个点时，线段总数共有多少条？（用含n的式子表示）（3）当n=100时，线段总数共有多少条？2．已知如图（1）如图（1），两条直线相交，最多有个交点．如图（2），三条直线相交，最多有个交点．如图（3），四条直线相交，最多有个交点．如图（4），五条直线相交，最多有个交点；（2）归纳，猜想，30条直线相交，最多有个交点．3．如图，C是线段AB外一点，按要求画图：（1）画射线CB；（2）反向延长线段AB；（3）连接AC，并延长AC至点D，使CD=AC．4．你会数线段吗？如图①线段AB，即图中共有1条线段，1=如图②线段AB上有1个点C，则图中共有3条线段，3=1+2=如图③线段AB上有2个点C、D，则图中共有6条线段，6=1+2+3=思考问题：（1）如果线段AB上有3个点，则图中共有条线段；（2）如果线段AB上有9个点，则图中共有条线段；（3）如果线段AB上有n个点，则图中共有条线段（用含n的代数式来表示）．9．（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图1中有个不同的角；（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图2中有个不同的角；（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有个不同的角；（4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…，则图中有个不同的角；（5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…，则图中有个不同的角．10．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？（2）如图2，当∠AOB=α，∠BOC=60°时，猜想∠MON与α的数量关系；（3）如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想∠MON与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说理由．11．如图，∠AOB=∠COD=90°，OC平分∠AOB，∠BOD=3∠DOE．试求∠COE的度数．12．已知，OM、ON分别是∠AOC，∠BOC的角平分线．（1）如图1，若∠AOB=120°，∠BOC=30°，则∠MON=．（2）如图1，若∠AOB=120°，∠BOC=β°，能否求出∠MON的度数？若能，求出其值，若不能，试说明理由；（3）如图2，若∠AOB=α°，∠BOC=β°，是否仍然能求出∠MON的度数，若能，求∠MON的度数（用含α或β的式子表示），并从你的求解过程中总结出你发现的规律．13．如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF=34°，求∠BOD的度数．14．已知：如图，∠AOB是直角，∠AOC=40°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．（1）求∠MON的大小；（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小是否发生改变？为什么？15．如图，∠AOB是平角，射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOD，且∠BOC=4∠AOD，求∠COE的度数．16．如图所示，OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC．（1）如果∠AOB=90°，∠BOC=40°，求∠DOE的度数；（2）如果∠AOB=α，∠BOC=β（α、β均为锐角，α＞β），其他条件不变，求∠DOE；（3）从（1）、（2）的结果中，你发现了什么规律．17．如图所示，OE是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，∠AOB=100°，∠EOD=80°，求∠BOC的度数．18．已知一个角的余角比这个角的补角的一半还小20°，求这个角．19．一个角的补角与这个角的余角的和是平角的还多1°，求这个角．20．已知∠AOC=∠BOD=α（0°＜α＜180°）（1）如图1，若α=90°①写出图中一组相等的角（除直角外），理由是②试猜想∠COD和∠AOB在数量上是相等、互余、还是互补的关系，并说明理由；（2）如图2，∠COD+∠AOB和∠AOC满足的等量关系是；当α=°，∠COD和∠AOB互余．21．（1）如图①，已知∠AOB=∠COD=90°．试写出两个与图①中角（直角除外）有关的结论：（ⅰ）∠=∠，（ⅱ）∠+∠=180°；（2）若将图①中∠AOB绕点O旋转到图②的位置，则（1）中的两个结论仍然成立吗？为什么？22．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．（1）图中∠AOF的余角是（把符合条件的角都填出来）．（2）图中除直角相等外，还有相等的角，请写出三对：①；②；③．（3）①如果∠AOD=140°．那么根据，可得∠BOC=度．②如果，求∠EOF的度数．23．如图，∠AOC=∠BOD=90°，OE是∠AOB的平分线，且∠COE=75°，（1）∠AOE与∠DOC有什么关系？（2）求∠AOD的度数．24．如图，已知∠AOB=140°，∠COE与∠EOD互余，OE平分∠AOD．（1）若∠COE=40°，则∠DOE=，∠BOD=；（2）设∠COE=α，∠BOD=β，请探究α与β之间的数量关系．25．将一副三角尺按照如图的位置摆放，使得三角尺ACB的直角顶点C在三角尺DEF的直角边EF上．（1）求∠α十∠β的度数；（2）若∠β=32°，试问∠α的补角为多少度？七年级上册数学线段与角必做好题附答案详解参考答案与试题解析一．解答题（共25小题）1．如图所示，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段AB上有3个点时，线段总数共有3条，如果AB上有4个点时，线段总数共有6条，如果线段AB上有5个点时，线段总数共有10条，…．（1）当线段AB上有6个点时，线段总数共有多少条？（2）当线段AB上有n个点时，线段总数共有多少条？（用含n的式子表示）（3）当n=100时，线段总数共有多少条？【解答】解：（1）AB上有3个点时，线段总数共有3=条；AB上有4个点时，线段总数共有6=条；AB上有5个点时，线段总数共有10=条；…AB上有n个点时，线段总数共有：，故当线段AB上有6个点时，线段总数共有=15条；（2）当线段AB上有n个点时，线段总数共有：；（3）当n=100时，线段总数共有=4950条．2．已知如图（1）如图（1），两条直线相交，最多有1个交点．如图（2），三条直线相交，最多有3个交点．如图（3），四条直线相交，最多有6个交点．如图（4），五条直线相交，最多有10个交点；（2）归纳，猜想，30条直线相交，最多有435个交点．【解答】解：（1）如图（1），两条直线相交，最多有1个交点．如图（2），三条直线相交，最多有3个交点．如图（3），四条直线相交，最多有6个交点．如图（4），五条直线相交，最多有10个交点．…n条直线相交，最多有个交点；（2）∴30条直线相交，∴最多有=435个交点．3．如图，C是线段AB外一点，按要求画图：（1）画射线CB；（2）反向延长线段AB；（3）连接AC，并延长AC至点D，使CD=AC．【解答】解：4．你会数线段吗？如图①线段AB，即图中共有1条线段，1=如图②线段AB上有1个点C，则图中共有3条线段，3=1+2=如图③线段AB上有2个点C、D，则图中共有6条线段，6=1+2+3=思考问题：（1）如果线段AB上有3个点，则图中共有10条线段；（2）如果线段AB上有9个点，则图中共有55条线段；（3）如果线段AB上有n个点，则图中共有条线段（用含n的代数式来表示）．【解答】解：（1）1+2+3+4==10，故答案为：10．（2）1+2+3+4+5+6+7+8+9+10==55，故答案为：55．（3）1+2+3+4+…+n+1=，故答案为：．5．阅读：在直线上有n个不同的点，则此图中共有多少条线段？通过分析、画图尝试得如下表格：图形直线上点的个数共有线段的条数两者关系210+1==1330+1+2==3460+1+2+3==6…………n问题：（1）把表格补充完整；（2）根据上述得到的信息解决下列问题：①某学校七年级共有20个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？②乘火车从A站出发，沿途经过10个车站方可到达B站，那么在A，B两站之间需要安排多少种不同的车票？【解答】解：（1）图形直线上点的个数共有线段的条数两者关系210+1==1 330+1+2==3460+1+2+3==6…………n 0+1+2+3+…+（n﹣1）==；（2）①把每一个班级看作一个点，则=190（场）；②由题意可得：一共12个车站看作12个点，线段条数为=66（条），因为车票有起点和终点站之分，所以车票要2×66=132（种）．6．如图，B是线段AD上一动点，沿A→D以2cm/s的速度运动，C是线段BD的中点，AD=10cm，设点B运动时间为t秒．（1）当t=2时，①AB=4cm．②求线段CD的长度．（2）在运动过程中，若AB的中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC 的长；若发生变化，请说明理由．【解答】解：（1）①∵B是线段AD上一动点，沿A→D以2cm/s的速度运动，∴当t=2时，AB=2×2=4cm．故答案为：4；②∵AD=10cm，AB=4cm，∴BD=10﹣4=6cm，∵C是线段BD的中点，∴CD=BD=×6=3cm；（2）不变；∵AB中点为E，C是线段BD的中点，∴EB=AB，BC=BD，∴EC=EB+BC=（AB+BD）=AD=×10=5cm．7．如图所示，已知C、D是线段AB上的两个点，M、N分别为AC、BD的中点．（1）若AB=10cm，CD=4cm，求AC+BD的长及M、N的距离．（2）如果AB=a，CD=b，用含a、b的式子表示MN的长．【解答】解：（1）∵AB=10cm，CD=4cm，∴AC+BD=AB﹣CD=10﹣4=6cm，∵M、N分别为AC、BD的中点，∴AM+BN=AC+BD=（AC+BD）=3cm，∴MN=AB﹣（AM+BN）=10﹣3=7cm；（2）根据（1）的结论，AM+BN=AC+BD=（AC+BD）=（a﹣b），∴MN=AB﹣（AM+BN）=a﹣（a﹣b）=（a+b）．8．如图，点C在线段AB上，AC=8 cm，CB=6 cm，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=a cm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=bcm，M、N分别为AC、BC 的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由；（4）你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗？【解答】解：（1）∵M、N分别是AC、BC的中点，∴MC=AC，CN=BC，∵MN=MC+CN，AB=AC+BC，∴MN=AB=7cm；（2）MN=，∵M、N分别是AC、BC的中点，∴MC=AC，CN=BC，又∵MN=MC+CN，AB=AC+BC，∴MN=（AC+BC）=；（3）∵M、N分别是AC、BC的中点，∴MC=AC，NC=BC，又∵AB=AC﹣BC，NM=MC﹣NC，∴MN=（AC﹣BC）=；（4）如图，只要满足点C在线段AB所在直线上，点M、N分别是AC、BC的中点．那么MN就等于AB的一半．9．（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图1中有3个不同的角；（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图2中有6个不同的角；（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有10个不同的角；（4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…，则图中有66个不同的角；（5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…，则图中有个不同的角．【解答】解：（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角，故答案为：3．（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有6个不同的角，故答案为：6．（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图中有10个不同的角，故答案为：10．（4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE，…，则图中有1+2+3+…+10+11=66个不同的角，故答案为：66．（5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE，…，则图中有1+2+3+…+n+（n+1）=个不同的角．故答案为：．10．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？（2）如图2，当∠AOB=α，∠BOC=60°时，猜想∠MON与α的数量关系；（3）如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想∠MON与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，∴∠AOC=90°+60°=150°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=∠AOC=75°，∠NOC=∠BOC=30°∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=45°．（2）如图2，∠MON=α，理由是：∵∠AOB=α，∠BOC=60°，∴∠AOC=α+60°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=∠AOC=α+30°，∠NOC=∠BOC=30°∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（α+30°）﹣30°=α．（3）如图3，∠MON=α，与β的大小无关．理由：∵∠AOB=α，∠BOC=β，∴∠AOC=α+β．∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MOC=∠AOC=（α+β），∠NOC=∠BOC=β，∴∠AON=∠AOC﹣∠NOC=α+β﹣β=α+β．∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（α+β）﹣β=α即∠MON=α．11．如图，∠AOB=∠COD=90°，OC平分∠AOB，∠BOD=3∠DOE．试求∠COE的度数．【解答】解：∵∠AOB=90°，OC平分∠AOB∴∠BOC=∠AOB=45°（3分）∵∠BOD=∠COD﹣∠BOC=90°﹣45°=45°∠BOD=3∠DOE（6分）∴∠DOE=15°（8分）∴∠COE=∠COD﹣∠DOE=90°﹣15°=75°（10分）故答案为75°．12．已知，OM、ON分别是∠AOC，∠BOC的角平分线．（1）如图1，若∠AOB=120°，∠BOC=30°，则∠MON=60°．（2）如图1，若∠AOB=120°，∠BOC=β°，能否求出∠MON的度数？若能，求出其值，若不能，试说明理由；（3）如图2，若∠AOB=α°，∠BOC=β°，是否仍然能求出∠MON的度数，若能，求∠MON的度数（用含α或β的式子表示），并从你的求解过程中总结出你发现的规律．【解答】解：（1）∵∠AOB=120°，∠BOC=30°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°+30°=150°，∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠BOC，∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=75°﹣15°=60°，（2）当∠AOB=120°，∠BOC=β°时，∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（120+β）°﹣°=60°；（3）由（1）（2）可知：∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（α+β）°﹣β°=α°．∠MON的度数始终等于∠AOB角度的一半．13．如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF=34°，求∠BOD的度数．【解答】解：∵∠COE是直角，∠COF=34°∴∠EOF=90°﹣34°=56°又∵OF平分∠AOE∴∠AOF=∠EOF=56°∵∠COF=34°∴∠AOC=56°﹣34°=22°则∠BOD=∠AOC=22°．故答案为22°．14．已知：如图，∠AOB是直角，∠AOC=40°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．（1）求∠MON的大小；（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小是否发生改变？为什么？【解答】解：（1）∵∠AOB是直角，∠AOC=40°，∴∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°，∵OM是∠BOC的平分线，ON是∠AOC的平分线，∴，．∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=65°﹣20°=45°，（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小不发生改变．∵=，又∠AOB是直角，不改变，∴．15．如图，∠AOB是平角，射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOD，且∠BOC=4∠AOD，求∠COE的度数．【解答】解：∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠COD=∠AOC，∵∠BOC=4∠AOD，∴∠BOC=2∠AOC，∵∠BOC+∠AOC=180°，∴3∠AOC=180°，∴∠AOC=60°，∴∠COD=∠AOC=30°，∠BOC=2∠AOC=120°∴∠BOD=150°，∵OE平分∠BOD，∴∠EOD=∠BOE=75°，∴∠COE=∠DOE﹣∠COD=75°﹣30°=45°．16．如图所示，OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC．（1）如果∠AOB=90°，∠BOC=40°，求∠DOE的度数；（2）如果∠AOB=α，∠BOC=β（α、β均为锐角，α＞β），其他条件不变，求∠DOE；（3）从（1）、（2）的结果中，你发现了什么规律．【解答】解：（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=40°∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+40°=130°．又∵OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COE=∠AOC=×130°=65°，∠COD=∠BOC=×40°=20°．∴∠DOE=∠COE﹣∠COD=65°﹣20°=45°；（2）∵∠AOB=α，∠BOC=β∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β．又∵OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COE=∠AOC=（α+β），∠COD=∠BOC=β．∴∠DOE=∠COE﹣∠COD=（α+β）﹣β=α+β﹣β=α；（3）∠DOE的大小与∠BOC的大小无关，即∠DOE=∠AOB．17．如图所示，OE是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，∠AOB=100°，∠EOD=80°，求∠BOC的度数．【解答】解：∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=100°，∴∠BOE=∠AOB=50°．∵∠BOE+∠BOD=∠EOD=80°，∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=80°﹣50°=30°．∵OD是∠BOC的平分线，∴∠BOC=2∠BOD=60°．18．已知一个角的余角比这个角的补角的一半还小20°，求这个角．【解答】解：设这个角为x°，根据题意得：90﹣x=（180﹣x）﹣20，解得：x=40．故这个角的度数为40°．19．一个角的补角与这个角的余角的和是平角的还多1°，求这个角．【解答】解：设这个角为x，则它的余角为（90°﹣x），补角为（180°﹣x），则（90°﹣x+180°﹣x）﹣×180°=1，x=67°．答：这个角为67°20．已知∠AOC=∠BOD=α（0°＜α＜180°）（1）如图1，若α=90°①写出图中一组相等的角（除直角外）∠AOD=∠BOC，理由是同角的余角相等②试猜想∠COD和∠AOB在数量上是相等、互余、还是互补的关系，并说明理由；（2）如图2，∠COD+∠AOB和∠AOC满足的等量关系是互补；当α=45°，∠COD和∠AOB互余．【解答】解：（1）①∵∠AOC=∠BOD=90°，∴∠AOD+∠AOB=∠BOC+∠AOB=90°，∴∠AOD=∠BOC；②∵∠AOD=∠BOD﹣∠AOB=90°﹣∠AOB，∴∠COD=∠AOD+∠AOC=90°﹣∠AOB+90°，∴∠AOB+∠COD=180°，∴∠COD和∠AOB互补；（2）由（1）可知∠COD+∠AOB=∠BOD+∠AOC=α+α=2α，所以，∠COD+∠AOB=2∠AOC，若∠COD和∠AOB互余，则2∠AOC=90°，所以，∠AOC=45°，即α=45°．故答案为：（1）AOD=∠BOC，同角的余角相等；（2）互补，45．21．（1）如图①，已知∠AOB=∠COD=90°．试写出两个与图①中角（直角除外）有关的结论：（ⅰ）∠AOC=∠BOD，（ⅱ）∠AOD+∠COB=180°；（2）若将图①中∠AOB绕点O旋转到图②的位置，则（1）中的两个结论仍然成立吗？为什么？【解答】解：（1）（ⅰ）∠AOC=∠BOD，理由是：∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠COB=∠DOC+∠COB，∴∠AOC=∠DOB，故答案为：AOC，BOD．（ⅱ）∠BOC+∠AOD=180°，理由是：∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠BOC+∠AOD=360°﹣90°﹣90°=180°，故答案为：AOD，COB．（2）两个结论仍然成立，理由如下：（ⅰ）∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=90°，∠BOD+∠BOC=∠COD=90°，∴∠AOC=90°﹣∠BOC，∠BOD=90°﹣∠BOC，∴∠AOC=∠BOD．（ⅱ）∵∠BOC+∠AOD=∠BOC+∠AOC+∠COD=∠AOB+∠COD，又∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠BOC+∠AOD=180°．22．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．（1）图中∠AOF的余角是∠AOC、∠EOF、∠BOD（把符合条件的角都填出来）．（2）图中除直角相等外，还有相等的角，请写出三对：①∠AOC=∠EOF；②∠COE=∠BOF；③∠AOD=∠COB．（3）①如果∠AOD=140°．那么根据对顶角相等，可得∠BOC=140度．②如果，求∠EOF的度数．【解答】解：（1）根据图形可得：∠AOC、∠EOF、∠BOD都是∠AOF的余角；（2）∠AOC=∠EOF=∠BOD，∠COE=∠BOF，∠AOD=∠COB，∠AOF=∠DOE；（3）①对顶角相等，∠BOC=∠AOD=140°．②∠EOF=X°，则∠AOD=5x°，由∠EOF+∠DOE=90°，∠DOE+∠BOD=90°，∴∠BOD=∠EOF=x°，又∠AOD+∠BOD=180°，所以x+5x=180，解得x=30，∠EOF=30°23．如图，∠AOC=∠BOD=90°，OE是∠AOB的平分线，且∠COE=75°，（1）∠AOE与∠DOC有什么关系？（2）求∠AOD的度数．【解答】解：（1）∠AOE=∠DOC；∵∠AOC=∠BOD=90°，∴∠DOC=∠AOB，∵OE是∠AOB的平分线，∴∠AOE=∠AOB=∠DOC；（2）由（1）得，∠DOC=∠AOB=2∠AOE，∵∠AOC=90°，∠COE=75°，∴∠AOE=90°﹣75°=15°，∴∠DOC=2∠AOE=30°，∴∠AOD=∠AOC+DOC=90°+30°=120°．24．如图，已知∠AOB=140°，∠COE与∠EOD互余，OE平分∠AOD．（1）若∠COE=40°，则∠DOE=50°，∠BOD=40°；（2）设∠COE=α，∠BOD=β，请探究α与β之间的数量关系．【解答】解：（1）∵∠COE与∠EOD互余，∠COE=40°，∴∠EOD=90°﹣40°=50°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠AOE=100°，∴∠BOD=∠AOB﹣∠AOD=40°，故答案为：50°；40°；（2）∵∠COE=α，且∠COE与∠EOD互余，∴∠EOD=90°﹣α，∵OE平分∠AOD∴∠AOD=2（900﹣α），∴β+2（900﹣α）=1400解得，β=2α﹣40°．25．将一副三角尺按照如图的位置摆放，使得三角尺ACB的直角顶点C在三角尺DEF的直角边EF上．（1）求∠α十∠β的度数；（2）若∠β=32°，试问∠α的补角为多少度？【解答】解：（1）∠α+∠β=180°﹣∠ACB =180°﹣90°=90°；（2）∵∠β=32°，由（1）可得：∠α=90°﹣∠β=58°，则∠α的补角=180°﹣∠α=122°．。
初一上册第四章线段、射线、直线例题分析(北师大版)
初一上册第四章线段、射线、直线例题分析（北师大版）初一上册第四章线段、射线、直线例题分析（北师大版）1．线段、射线、直线的概念(1)线段概念：铅笔、人行横道线和路旁的电线杆都可以近似地看做线段，下图就是一条线段．线段的特征：①线段是直的；②线段有2个端点；③线段的长度是有限的，可度量．线段可以向两方无限延长；线段是没有粗细之分的．(2)射线概念：射线可以看做由线段向一个方向无限延长形成的图形．如图，把线段AB向一个方向无限延伸，就是一条射线．射线的特征：①射线是直的；②射线有一个端点；③因射线向一个方向无限延长，所以射线没有长短，不可测量．射线可以反向延长；射线没有粗细之分．(3)直线概念：直线可以看做由线段向两个方向无限延长形成的．直线的特征：①直线是直的；②直线没有端点；③向两个方向无限延长，没有长短，不可测量．因为直线是线段向两个方向无限延长形成的，所以我们不能说延长某条直线，即直线不能延长．【例1】下列说法正确的有()．①画一条射线等于5cm；②线段AB为直线AB的一部分；③在直线、射线、线段中，线段最短；④射线与其反向延长线形成一条直线．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①×射线向一个方向无限延伸，不可度量②√直线上两点间的部分是线段③×直线、射线无长短，不能比较④√将射线反向延长后形成的图形是直线答案：B2.线段、射线、直线的表示方法(1)线段的表示方法①用两个表示端点的大写字母来表示．如图，以A，B为端点的线段，可记作“线段AB”或“线段BA”．②用一个小写字母来表示．如线段AB也可记作“线段a”．(2)射线的表示方法用两个大写字母表示．一条射线可用它的端点和射线上的另一点来表示，如图中的射线，可记作“射线AB”(端点必须在前面)．射线的识别：判断两条射线是否是同一条射线，首先看端点是否相同，再看延伸方向是否相同，如果这两点都符合，那么这两条射线是同一条射线．①端点相同，延伸方向也相同的射线是同一条射线，如图射线MB，MC，MN都表示同一条射线．②端点相同，但延伸方向不相同的射线不是同一条射线，如图中射线AB，AC就不是同一条射线．③端点不同的射线不是同一条射线，如图中的射线BN，CN的延伸方向一致，但端点不同，所以不是同一条射线．【例2－1】射线OA，OB表示同一条射线，下面的图形正确的是()．解析：A×端点相同，都是O，但延伸方向不相同B×C×D√端点相同，延伸方向相同答案：D(3)直线的表示方法直线有两种表示方法：①可以用表示这条直线上任意两个点的大写字母来表示，注意表示直线上任意两个点的字母没有顺序性．如图甲中的直线可记作“直线AB”或“直线BA”；②可用一个小写字母来表示，如图乙中的直线可记作“直线l”．图甲图乙辨误区、射线、直线的联系①表示线段、射线、直线时，都要在字母前面注明“线段、射线或直线”；②用两个大写字母表示线段和直线时，两个字母没有顺序性，可以交换位置，如“线段BA”和“线段AB”表示同一条线段，“直线AB”和“直线BA”表示同一条直线；③表示射线的两个大写字母有一定的顺序，表示端点的字母必须写在前面．【例2－2】如图所示，下列说法()．A．都错误B．都正确C．只有一个正确D．有两个正确错解：B错解分析：误以为直线可以用两个小写字母、一个大写字母或者大小写字母混合表示．正解：D正解思路：直线可以用两个大写字母或一个小写字母表示．3．直线的性质(1)经过两点有且只有一条直线．①它包含两层含义：一是“肯定有”，二是“只有一条”，不会有两条、三条……；②它可简单地说成“两点确定一条直线”．(2)直线的其他性质：①经过一点的直线有无数条；②不同的两条直线最多有一个交点．【例3】工人师傅要将一块长条钢板固定在机器上，则至少要用__________个螺钉．解析：根据“两点确定一条直线”可知至少需要2个螺钉．答案：24．射线、线段的计数方法射线和线段可以看做直线的一部分，因此在一条直线上，取一些点时，会出现射线和线段．(1)点数与射线的条数射线向一方无限延伸，因此射线的条数是由端点的个数决定的．在直线上，以一个点为端点的射线有2条，若直线上有n个点，则共有2n 条射线．(2)点数与线段的条数线段有两个端点，直线上每两个点之间的部分就是一条线段．因此，数线段时，只要判断这些点共有多少种组合即可．析规律数线段条数的方法确定线段的条数时，可以先固定第一个点为一个端点，再以其余的点为另一个端点组成线段，然后固定第二个点为一个端点，与其余的点(第一个点除外)组成线段……，依此类推，直到找出最后的线段为止．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例4】画出线段AB：(1)如图(1)，在线段AB上画出1个点，这时图中共有几条线段？(2)如图(2)，在线段AB上画出2个点，这时图中共有几条线段？(3)如图(3)，在线段AB上画出3个点，这时图中共有几条线段？(4)如图(4)，在线段AB上画出n个点时，猜一猜：图中共有几条线段？解：(1)线段上一共有三个点(线段AB的两个端点和点C)，以每个点为端点的线段各有2条，这样一共有(2＋1)×2＝6条线段，因为线段无端点顺序，如线段AB和线段BA是同一条线段，这样6条线段重复一半，所以图(1)中共有线段的条数是(1＋2)×22＝3；(2)在线段上画出2个点，这时图中共有4个点，以每个点为端点的线段各有3条，这样一共有(2＋2)×3＝12条线段，同样重复一半，这样图(2)中共有线段的条数是(2＋2)×32＝6；(3)在线段上画出3个点，这时图中共有5个点，以每个点为端点的线段各有4条，这样一共有(2＋3)×4＝20条线段，同样重复一半，这样图(3)中共有线段的条数是(3＋2)×42＝10；(4)在线段上画出n个点，这时图中共有(n＋2)个点，以每个点为端点的线段各有(n＋1)条，这样一共可画(n＋2)•(n＋1)条线段，同样重复一半，这样图(4)中共有线段的条数是(n＋2)(n＋1)2.5．直线性质的应用生活中的很多实际问题要用到直线的性质，如木工师傅在锯木料之前，先在木板上画出两个点，然后过这两个点弹条墨线，就是利用了直线的“两点确定一条直线”的性质，沿着这条线能锯成直的，而不会歪斜．【例5】建房屋垒墙时，建筑工人都要在墙的两端固定绳子，请利用所学的知识，说明其中道理．分析：利用直线的性质“经过两点有且只有一条直线”进行说明．解：拉紧的绳子可以近似看成一条直线，固定在墙的两端是固定的两点，因为过两点有且只有一条直线，所以这样垒出的墙是直的．6.与直线有关的规律探究(1)两点确定一条直线，在同一平面内，不同的点可以确定不同的直线．当任意三点均不在同一直线上时，点数与直线条数的关系见下表：点的个数最多直线条数213346……n(n>1)n(n－1)2(2)平面上若有n(n>1)条直线两两相交，则交点个数最多有12n(n－1)个．【例6】平面上有五个点，过其中任意两点画一条直线，最多能得到多少条直线？请画出另外三种不同情况的图形．分析：五个点有四种不同的关系：①五个点在同一条直线上；②有四个点在同一条直线上；③有三个点在同一条直线上；④五个点中任意三个点都不在同一条直线上．解：当任意三点都不在同一条直线上时，最多有：5×(5－1)×12＝10(条)，所以最多能得到10条直线．另外三种情况如下图所示．。
苏教版七年级上册数学[直线、射线、线段(基础)知识点整理及重点题型梳理]
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苏教版七年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习直线、射线、线段（基础）知识讲解【学习目标】1．理解直线、射线、线段的概念，掌握它们的区别和联系；2. 利用直线、线段的性质解决相关实际问题；3．利用线段的和差倍分解决相关计算问题．【要点梳理】要点一、直线1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述．2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线l．3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．要点诠释：直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸．（2）直线没有粗细．（3）两点确定一条直线．（4）两条直线相交有唯一一个交点．4.点与直线的位置关系：（1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A．（2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B．要点二、线段1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段．2.表示方法：（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA．（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a．3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法：法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC 上截取AB ＝a ．法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a 的长度，再画一条等于这个长度的线段．4.基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．如图6所示，在A ，B 两点所连的线中，线段AB 的长度是最短的．要点诠释：（1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短．（2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．（3）线段的比较：①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图7所示，点C 是线段AB 的中点，则12AC CB AB ==，或AB ＝2AC ＝2BC ．要点诠释：若点C 是线段AB 的中点，则点C 一定在线段AB 上．要点三、射线1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点．如图8所示，直线l 上点O 和它一旁的部分是一条射线，点O 是端点．l2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长．3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA ．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA 可记为射线l ． 要点诠释：(1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图9中射线OA ，射线OB 是不同的射线．图6 图7图8(2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图10中射线OA 、射线OB 、射线OC 都表示同一条射线．要点四、直线、射线、线段的区别与联系1.直线、射线、线段之间的联系（1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线．（2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线．2．三者的区别如下表要点诠释：（1） 联系与区别可表示如下：（2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．【典型例题】类型一、相关概念1.下列说法中，正确的是( )A ．射线OA 与射线AO 是同一条射线B ．线段AB 与线段BA 是同一条线段C ．过一点只能画一条直线D ．三条直线两两相交，必有三个交点图9 图10【答案】B【解析】射线OA的端点是O，射线AO的端点是A，所以射线OA与射线AO不是同一条射线，故A错误；过一点能画无数条直线，所以C错误；三条直线两两相交，有三个交点或一个交点(三条直线相交于一点时)，所以D错误；线段AB与线段BA是同一条线段，所以B正确．【总结升华】直线和线段用两个大写字母表示时，与字母的前后顺序无关，但射线必须是表示端点的字母写在前面，不能互换．举一反三：【变式1】以下说法中正确的是（）A．延长线段AB到C B．延长射线ABC．直线AB的端点之一是A D．延长射线OA到C【答案】A【变式2】如图所示，请分别指出图中的线段、射线和直线的条数，并把它们分别表示出来.【答案】解：如下图所示，在直线上点A左侧和点C右侧分别任取点X和Y.图中有6条射线：射线AX、射线AY、射线BX、射线BY、射线CX、射线CY.有3条线段：线段AB(或BA)、线段BC(或CB)、线段AC(或CA)有1条直线：直线AC(或AB，BC).类型二、有关作图2．如图所示，线段a，b，且a＞b．用圆规和直尺画线段：(1)a+b；(2)a-b．【答案与解析】解：(1) 画法如图(1)，画直线AF，在直线AF上画线段AB＝a，再在AB的延长线上画线段BC＝b，线段AC就是a与b的和，记作AC＝a+b．(2) 画法如图(2)，画直线AF，在直线AF上画线段AB＝a，再在线段AB上画线段BD＝b，线段AD就是a与b的差，记作AD＝a-b．【总结升华】在画线段时，为使结果更准确，一般用直尺画直线，用圆规量取线段的长度．举一反三：【变式1】如图，C是线段AB外一点，按要求画图：（1）画射线CB；（2）反向延长线段AB；（3）连接AC，并延长AC至点D，使CD=AC．【答案】解：【直线、射线、线段397363 按语句画图3（3）】【变式2】用直尺作图：P是直线a外一点，过点P有一条线段b与直线a不相交.【答案】解：类型三、有关条数及长度的计算3.如图，A、B、C、D为平面内任意三点都不在同一条直线上的四点，那么过其中两点，可画出条直线.【思路点拨】根据两点确定一条直线即可计算出直线的条数．【答案】6条直线【解析】由两点确定一条直线知，点A与B,C,D三点各确定一条直线，同理点B与C、D各确定一条直线，C 与D 确定一条直线，综上：共有直线：3+2+1=6（条）.【总结升华】平面上有n 个点，其中任意三点不在一条直线上，则最多确定的直线条数为：(1)123...(1)2n n n -++++-=． 举一反三：【变式1】如图所示，已知线段AB 上有三个定点C 、D 、E ．(1)图中共有几条线段？(2)如果在线段CD 上增加一点，则增加了几条线段？你能从中发现什么规律吗？【答案】解：(1)线段的条数：4＋3＋2＋1＝10(条)；(2)如果在线段CD 上增加一点P ，则P 与其它五个点各组成一条线段，因此，增加了5条线段.（注解：若在线段AB 上增加一点，则增加2条线段，此时线段总条数为1＋2；若再增加一点，则又增加了3条线段，此时线段总条数为1＋2＋3；…；当线段AB 上增加到n 个点(即增加n －2个点)时，线段的总条数为1＋2＋……＋(n －1)＝21n(n －1) .） 【变式2】)如图直线m 上有4个点A 、B 、C 、D ，则图中共有________条射线．【答案】84.（2016春•启东市月考）已知点C 在线段AB 上，线段AC=7cm ，BC=5cm ，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，求MN 的长度．【思路点拨】根据M 、N 分别为AC 、BC 的中点，根据AC 、BC 的长求出MC 与CN 的长，由MC+CN 求出MN 的长即可．【答案与解析】解：∵AC=7cm ，BC=5cm ，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，∴MC=AC=3.5cm ，CN=BC=2.5cm ，则MN=MC+CN=3.5+2.5=6（cm ）．【总结升华】此题考查了线段的和差，熟练掌握线段中点定义是解本题的关键．【直线、射线、线段397363画图计算例2】举一反三：【变式】在直线l 上按指定方向依次取点A 、B 、C 、D ，且使AB ：BC ：CD=2：3：4，如图所示，若AB 的中点M 与CD 的中点N 的距离是15cm ，求AB 的长.【答案】解：依题意，设AB ＝2x cm ，那么BC ＝3x cm ，CD ＝4x cm ．则有： MN=BM+BC+CN= x+3x+2x=15解得：52 x=所以AB=2x =5252⨯=cm.类型四、最短问题5.（2015•新疆）如图所示，某同学的家在A处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（）A．A→C→D→B B．A→C→F→B C．A→C→E→F→B D．A→C→M→B【答案】B．【解析】根据两点之间的线段最短，可得C、B两点之间的最短距离是线段CB的长度，所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：A→C→F→B．【总结升华】“两点之间线段最短”在实际生活中有广泛的应用，此类问题要与线段的性质联系起来，这里线段最短是指线段的长度最短，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，线段是图形，线段长度是数值．举一反三：【变式】 (1)如图1所示，把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度有什么变化?(2)如图2，公园里设计了曲折迂回的桥，这样做对游人观赏湖面风光有什么影响?与修一座直的桥相比，这样做是否增加了游人在桥上行走的路程?说出上述问题中的道理．【答案】解：(1)河道的长度变小了．(2)由于“两点之间，线段最短”，这样做增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏湖面风光，起到“休闲”的作用．。
初一直线与角题型总结
学智教育学科教师辅导教案
（一）直线、射线、线段
1. 线段、射线、直线的定义
典型例题
D是DE
=1cm.
CD=10cm，M、N分别是AC、BD的中点，求线段
1．已知线段AB
的左边
之间或点Q的右边
．下列四个生活现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同
地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；④把弯曲的公路改直，就能
1．如图，要在
总有少数同学不走人行道而横穿草坪(如图)．他们的这种做法是因为
止这种现象，准备立一块警示牌，请你为该牌写一句话____________．
个站点（共6个站点），不同的车站来往需要不同的车票。
）个站点，那么需要多少种不同的车票？
列说法错误的是
的反向延长线DOF
1、下列语句中正确的是
A．延长射线BC=
BC=
、如图，点上的点，，三个角从小到大依次相差
，，那么
、一个角的补角的
，使
在直线上，我们也说直线。