2015级组合数学复习题解答

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组合数学题目及标准答案

组合数学题目及标准答案组合数学例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。

问共有多少种不同的安全状态?解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。

用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。

这种对应显然是一对一的。

因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。

例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。

证明n 偶数。

证：由于每一次握手均使握手的两人各增加一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手次数的总和 nd 是偶数—握手次数的2倍。

根据奇偶性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。

例４从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。

证设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。

每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。

组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。

这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。

而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。

若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。

例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k<="" ，使得和ak+1+="">证设Sh = , Sh ≡rh mod m, 0≤rh ≤m -1，h = 1 , 2 , ···, m . 若存在l , Sl ≡0 mod m 则命题成立．否则，1≤rh ≤m -1．但h = 1 , 2 , ···,m ．由鸽巢原理，故存在rk= rl , 即Sk ≡Sl mod m ，不妨设l ＞k ．则Sl －Sk= ak+1+ ak+2+…+ al ≡0 mod m例6 设a 1, a 2, a3是任意三个整数，b1 b2 b3为a1, a2, a3的任一排列，则a1－b1, a2－b2 ,a3－b3中至少有一个是偶数．证由鸽巢原理：a1, a2, a3至少有两个奇偶性相同．则这３个数被２除的余数至少有两个是相同的，不妨设为x; 同样b1, b2, b3中被２除的余数也至少有２个x ．这样a1－b1, a2－b2 , a3－b3被２除的余数至少有一个为０．例7 设a 1, a 2,…, a100是由数字1和２组成的序列, 已知从其任一数开始的顺序10个数的和不超过16．即ai+ ai+1+…+ ai+9≤16，1≤i ≤91。

2015届高考数学一轮复习排列与组合跟踪检测理(含解析)新人教A版

课时跟踪检测(六十三)排列与组合第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·开封模拟)把标号为1,2,3,4,5的同色球全部放入编号为1～5号的箱子中，每个箱子放一个球且要求偶数号的球必须放在偶数号的箱子中，则所有的放法种数为() A．36B．20C．12 D．102．(2013·昆明重点高中检测)某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种数为()A．720 B．520C．600 D．3603．(2013·昆明调研)航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为()A．72 B．324C．648 D．1 2964．(2013·合肥调研)身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数为() A．24 B．28C．36 D．485．(2014·大连模拟)把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放法有() A．36种B．45种C．54种D．96种6．(2014·哈师大附中模拟)将4名实习教师分配到高一年级的3个班实习，若每班至少安排1名教师，则不同的分配方案种数为()A．12 B．36C．72 D．1087．(2013·广州调研)某高校从5名男大学生志愿者和4名女大学生志愿者中选出3名派到3所学校支教(每所学校一名志愿者)，要求这3名志愿者中男、女大学生都有，则不同的选派方案共有()A．210种B．420种C．630种D．840种8．(2013·开封模拟)2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是()A．60 B．48C．42 D．369．(2014·潍坊检测)张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．(用数字作答)10．(2013·石家庄模拟)有4名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛，每项比赛至少有1人参加，每名同学只参加一项比赛，另外甲同学不能参加跳舞比赛，则不同的参赛方案的种数为________(用数字作答)．11．某公司计划在北京、上海、广州、南京4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该公司不同的投资方案种数是________(用数字作答)．12．(2014·重庆模拟)将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子都有球的放法共有________种．第Ⅱ组：重点选做题1．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？2．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？答案第Ⅰ组：全员必做题1．选C依题意，满足题意的放法种数为A22·A33＝12，选C.2．选C根据题意，分2种情况讨论：若甲、乙其中一人参加，有C12·C35·A44＝480种；若甲、乙2人都参加，共有C22·C25·A44＝240种发言顺序，其中甲、乙相邻的情况有C22·C25·A22·A33＝120种，故有240－120＝120种．则不同的发言顺序种数为480＋120＝600.3．选D核潜艇排列数为A22，6艘舰艇任意排列的排列数为A66，同侧均是同种舰艇的排列数为A33A33×2，则舰艇分配方案的方法数为A22(A66－A33A33×2)＝1 296.4．选D穿红色衣服的人相邻的排法有C14A22A33＝48种，同理穿黄色衣服的人相邻的排法也有48种．而红色、黄色同时相邻的有A22·A22·A33＝24种．故穿相同颜色衣服的不相邻的排法有A55－2×48＋24＝48种．5．选A先把5号球放入任意一个盒子中有4种放法，再把剩下的四个球放入盒子中，根据4的“错位数”是9，得不同的放法有4×9＝36种．6．选B本题是定向分配问题．由于元素个数多于位置个数，故先分堆再分位置，分两步完成，第一步，从4名教师中选出2名教师分成一组，其余2名教师各自为一组，共有C24种选法，第二步，将上述三组与3个班级对应，共有A33种，这样，所求的不同的方案种数为C24A33＝36.7．选B从这9名大学生志愿者中任选3名派到3所学校支教，则有A39种选派方案，3名志愿者全是男生或全是女生的选派方案有A35＋A34种，故符合条件的选派方案有A39－(A35＋A34)＝420种．8．选B第一步选2女相邻排列C23·A22，第二步另一女生排列A22，第三步男生甲插在中间，1种插法，第四步另一男生插空C14，故有C23·A22·A22·C14＝48种不同排法．9．解析：第一步：将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步：将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有A33种排法；第三步：将两个小孩排序有2种排法．故总的排法有2×2×A33＝24(种)．答案：2410．解析：依题意，当甲1人一组时，共有C12C23A22＝12种不同参赛方式；当甲和另1人一组时，共有C13A12A22＝12种不同参赛方式，所以共有24种不同参赛方式．答案：2411．解析：由题意知按选择投资城市的个数分两类：①投资3个城市，每个城市只投资1个项目，有A34种方案；②投资2个城市，其中一个城市投资1个项目，另一个城市投资2个项目．即先从3个项目中选2个看作1个元素(投资在某一个城市)，另一个项目看作1个元素(投资在另一个城市)，然后把这2个元素在4个城市里进行选排，这样有C23A24种方案；所以该公司共有不同的投资方案种数是A34＋C23A24＝60.答案：6012．解析：将7个相同的球放入4个不同的盒子，即把7个球分成4组，因为要求每个盒子都有球，所以每个盒子至少放1个球，不妨将7个球摆成一排，中间形成6个空，只需在这6个空中插入3个隔板将它们隔开，即分成4组，不同的插入方法共有C36＝20种，所以每个盒子都有球的放法共有20种．答案：20第Ⅱ组：重点选做题1．解：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C34种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有C45种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有A77种情况．所以符合题意的七位数有C34C45A77＝100 800个．(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C34C45A55A33＝14 400个．(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C34C45A33A44A22＝5 760个．2．解：(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”，即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C14C24C13×A22＝144种．(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．(3)确定2个空盒有C 24种方法，4个球放进2个盒子可分成(3,1)，(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有C 24C 22A 22·A 22种方法．故共有C 24⎝⎛⎭⎫C 34C 11A 22＋C 24C 22A 22·A 22＝84种．。

2015年组合教育密押三套卷(一)理答案

x =c o sπ x 0) f( 0+
3 又 π 所以 π ( ) ) 1 0 =c o s 0< f( φ= 2 , φ< 2 , φ= 6 .
增区间上 , π π 得 1 则π x =2 k π - , x k- , k∈Z. 0+ 0 =2 6 6 3 π 1 5 , 周期 T=2 由题图可知 0<x 所以 x =2, = . 0 <2 0 =2×1π 3 3 ……6 分 1 π π ( ) 2 x) =f( x) +f x+ =c o sπ +c o sπ x+ x+ g( 3 6 2
y A P
x
y
2 -2 0
-1 -2
0
y-x <1?
否否是
输出 ? 否否 -2
F1
O
F2 B x
二、填空题等比数列 , 前 n 项和公式 . ( ) 5. A 分析提炼关键词 : i i 2i 2 i +1, 一解析 9. = = n-1 ( 解析解法一 : 由题意可得a ) ( ) n≥2, n∈ n =S n -S n-1 =2·3 2+ i ( 2+ i 2i 5 a 2 , 又{ 为等比数列 , 则等比数列 { 的公比为 3, 可得a 所以复数 i 的对应点 , 位于第一象限 . N* ) a a n} n} 1= 2+ i q 6 4 由a 可得 k=-1. 故选 A. 分析提炼关键词 : 向量 , 平行 . = =2. S k=2, 1 0. 1= 1 =3+ 3 3 n n 解法二 :等比数列前 n 项和 Sn =3 + k = 1 · 3 + k,则 k i n α 2, 解析由 a∥ 可得s 即t b, = a n α=2. 故选 A. c o s α 1 =-1. n ( ) 2 t a n α 4 4 a a a 1 11 1 q n n 所以 t · , 评注 S a n 2 α= =- . = =k k≠0, S n= n q+ q -k( q≠1) 2 = 3 1t a n α 1-4 111q q q n 为关于q 的指数型函数 , 且系常互为相反数 . 1 解析由三棱锥的三视图还原三棱锥的立体图形, 如图 1 1. 如图中阴影部分 6 6. A 解析由题意画出满足约束条件的平面区域 , 所示 . 所示 . 整理得 y= x - z . 由题意可知, 当且仅当- z z=x-3 y, 1 1 1 1 3 3 3 VA-B S h= × ×1×1×1= , C D= B C D· 3 3 2 6 x = m , 取得最小值 , 即直线l 联立 z 取得最大值 8. 2 通过点 A 时 , y=x 所以三棱锥的体积为 1 . 6 解得 x=m , 则 A( 代入 z=x-3 得 m-3 得 m= m, m) m=8, y 中, y=m 故选 A. -4. A

2015届高考数学总复习(基础过关+能力训练)：计数原理、随机变量及分布列排列与组合(含答案)

第十一章计数原理、随机变量及分布列第2课时排列与组合(理科专用)1. 若A 3n ＝6C 4n ，则n ＝________．答案：7解析：n ！（n －3）！＝6×n ！（n －4）！×4！，得n －3＝4，解得n ＝7.2. 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛.3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有________种(用数字作答)．答案：252解析：三名主力安排有A 33种，其余7名选2名安排在第二、四位置上有A 27种排法，故共有排法数A 33A 27＝252种．3. 某班有30名男生，20名女生，现要从中选出5人组成一个宣传小组，其中男、女学生均不少于2人的选法为________(只列式，不计算)．答案：C 330C 220＋C 230C 320解析：男生2人，女生3人，有C 230C 320；男生3人，女生2人，有C 330C 220，共计C 230C 320＋C 330C 220.4. 有6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是________．答案：90解析：甲得2本有C 26，乙从余下的4本中取2本有C 24，余下的C 22，共计C 26C 24.5. 某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志(10元钱刚好用完)，则不同买法的种数是________(用数字作答)．答案：266解析：根据题意，可有以下两种情况：① 用10元钱买2元1本共有C 58＝56；② 用10元钱买2元1本的杂志4本和1元1本的杂志2本，共有C 48·C 23＝70×3＝210.故210＋56＝266.6. A ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的子集个数为________．答案：105解析：直接法：分三类，在4个偶数中分别选2个、3个、4个偶数，其余选奇数，C 24C 35＋C 34C 25＋C 44C 15＝105；间接法：C 59－C 55－C 45C 14＝105.7. 某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备________种不同的素菜．答案：7 解析：在5种不同的荤菜中取出2种的选择方式应有C 25＝10种，设素菜为x 种，则C 2x ·C 25≥200，解得x ≥7，∴ 至少应有7种素菜．8. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能都是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为________．答案：472解析：若没有红色卡，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有C 14×C 14×C 14＝64种，若2色相同，则有C 23C 12C 24C 14＝144；若红色卡片有1张，则剩余2张若不同色，有C 14×C 23×C 14×C 14＝192种，如同色则有C 14C 23C 24＝72，所以共有64＋144＋192＋72＝472.9. 用0、1、2、3四个数字组成没有重复数字的自然数．(1) 把这些自然数从小到大排成一个数列，问1230是这个数列的第几项？ (2) 其中的四位数中偶数有多少个？解：(1) 分类讨论：①1位自然数有4个；②2位自然数有9个；③3位自然数有18个，即A 34－A 23＝3A 33＝18个；④4位自然数中，“10XY ”型有A 22＝2个，1 203，1 230共有4个；由分类计数原理知1 230是此数列的第4＋9＋18＋4＝35项．(2) 四位数中的偶数有A3＋A2A2＝10个．10. 已知平面α∥β，在α内有4个点，在β内有6个点．(1) 过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？(2) 以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？(3) 上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？解：(1) 所作出的平面有三类：①α内1点，β内2点确定的平面，有C14·C26个；②α内2点，β内1点确定的平面，有C24·C16个；③α、β本身．∴所作的平面最多有C14·C26＋C24·C16＋2＝98个．(2) 所作的三棱锥有三类：①α内1点，β内3点确定的三棱锥，有C14·C36个；②α内2点，β内2点确定的三棱锥，有C24·C26个；③α内3点，β内1点确定的三棱锥，有C34·C16个．∴最多可作出的三棱锥有C14·C36＋C24·C26＋C34·C16＝194个．(3) ∵当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等，且平面α∥β，∴体积不相同的三棱锥最多有C36＋C34＋C26·C24＝114个．11. 6个人坐在一排10个座位上．问：(1) 空位不相邻的坐法有多少种？(2) 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？(3) 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？解：6个人排有A66种，6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位．(1) 空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中，有C47＝35种插法，故空位不相邻的坐法有A66·C47＝252 00种．(2) 将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个“间隔”里插有A27种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有A66A27＝302 40种．(3) 4个空位至少有2个相邻的情况有三类：①4个空位各不相邻有C47种坐法；②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有C17C26种坐法；③4个空位分两组，每组都有2个相邻，有C27种坐法．综合上述，应有A66(C47＋C17C26＋C27)＝115 920种坐法．。

2015年组合教育密押三套卷理科(三)理答案

) -2 2-4- ( -2 所以直线l 与直线l '的距离 d = =2+ 2, 2 即点 P 到直线l 距离的最大值2+ 2 .
(
)
(
)
(
)
所以 S△ABC = 1 ×1× 3= 3 . 故选 C . 2 2 2 其线段长分别有 9 .B 解析从 8个顶点中任取两点有 C 2 8种取法 , 8=
( ) π , 1 所以 2 2, 因为θ∈ (0, c o s θ= , s i n θ= 2) 3 3
, , , 每种长度各有 4条 , 其中长度大于 3的有 3 1 2 3 5, 1 0, 1 3, 1 4, 1 2 故两点距离大于 3的概率 P= = 3 . 故选 B × 4 = 1 2条 , . 2 8 7 x 1 3 , , 函数y= 1 0 .D 解析依题意 , x l n x, s i n x+1 满足 y= y= y=2 2 在定义域上均值为 1 . 故选 D .
π 7 π 所以 3 ( =7 l o 33 = , s i n l o a l o a l o a = . g g g g 3 3 1+ 3 2+ … + 3 7) 3 2 2 解析 ① 当 x<-3 时 , 原不等式化为 1 3 . x x<- 或 x>2 5 x ( ) 解得 x<1 所以 x<-3 x+3 -( 1-2 x) < +1, 0, . 2 1 x ) 原不等式化为 ( ② 当 -3≤x≤ 时 , x+3 -( 1-2 x) < +1, 2 2 解得 x<- 2 , 所以 -3≤x<- 2 . 5 5 1 时, x ( ) ) 当原不等式化为 ③ x≥ x+3 -( 2 x-1 < +1, 2 2 解得 x>2, 所以 x>2 . 综上可知 , 原不等式的解集为 x x<- 2 或 x>2 . 5 2 2 2 2 2 2 2 ρ =x +y 得 , ( ) , ( ) 解析由 1 4 . x-4 +y =4 2+ 2 1 x +y c o s θ=x ρ 2 2 , ( ) 8 x+1 2=0 所以圆 C 的直角坐标方程为 x-4 +y =4 . ( ) 直线l 的普通方程为x-y-2=0 2 . 设与直线l 平行的直线l '的方程为x-y+m=0, 4+m 则当直线l '与圆C 相切时 : =2, 2 , 解得 m=-2 2-4 或 m=2 2-4 ( 舍去 )

2015届高考数学(文)一轮复习质量检测7《排列组合、二项式定理、统计、概率》(北师大版)Word版含解析

质量检测(七)测试内容：排列组合、二项式定理、统计、概率(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某小区有125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭．现采用分层抽样的方法从中抽取100户，对这些家庭社会购买力的某项指标进行调查，则中等收入家庭中应抽选出的户数为( )A ．70户B ．17户C ．56户D ．25户解析：总体容量为125＋280＋95＝500，样本容量为100，则中等收入家庭中应抽选出的户数为280×100500＝56户．故选C.答案：C2．(2013年青岛质检)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中x 2的系数为( )A ．－240B ．240C ．－60D ．60解析：由二项式定理通项公式，得T r ＋1＝C r 6(－1)r 26－r ·x 6－2r，所以r ＝2，系数为C 2624×(－1)2＝240.答案：B3．(2012年西安模拟)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13 B.12 C.23D.34解析：甲、乙参加兴趣小组各有3种选择，故共有C 13·C 13＝9种，而参加同一兴趣小组有3种选择，故概率为39＝13，选A.答案：A4．(2012年武汉调研)天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%.现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为()A．0.35 B．0.25C．0.20 D．0.15解析：三天中恰有两天下雨的情况有：191,271,932,812,393等5种，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为P＝520＝0.25.故选B.答案：B5．(2012年南昌模拟)某项测试成绩满分为10分，先随机抽取30名学生参加测试，得分如图所示，假设得分值的中位数为m e，平均值为x，众数为m0，则A．m e＝m0＝x B．m e＝m0<xC．m e<m0<x D．m0<m e<x解析：依图形可知，m e＝5＋62＝112，x＝3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×230＝179 30，m0＝5，所以m0<m e<x，选D.答案：D6．(2013年武汉调研测试)如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()A.14B.15C.16D.17解析：依题意，正方形的面积为S ＝1×1＝1，阴影部分的面积，∴点P 恰好取自阴影部分的概率P ＝S 1S ＝161＝16，选C. 答案：C7．(2013年黄冈质检)将5名支教志愿者分配到3所学校，每所学校至少分1人，至多分2人，且其中甲、乙2人不到同一所学校，则不同的分配方法共有( )A ．78种B ．36种C ．60种D ．72种解析：C 15C 24C 22A 22·A 33－C 22C 23A 33＝72.答案：D8．(2013年沈阳期末)袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为A.59B.49C.29D.23解析：事件A 表示第1次摸出红球，事件B 表示第2次也摸出红球，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1335＝59，即在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为59.答案：A9．(2013年广州质检)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(x ，y ，z )，若x ＋y ＋z 是3的倍数，则满足条件的点的个数为( )C ．72D ．42解析：先按从小到大的顺序选择3个不同的数字，再进行全排列A 33，所以四个选择答案可以变化为42,36,12,7.(1)首数选0，则后续两个数为(1,2)，(1,5)，(1,8)，(2,4)，(2,7)，(3,6)，(3,9)，(4,5)，(4,8)，(5,7)，(6,9)，(7,8)，有12种；(2)首数选1，则后续两个数为(2,3)，(2,6)，(2,9)，(3,5)，(3,8)，(4,7)，(5,6)，(5,9)，(6,8)，(8,9)，有10种；(3)首数选2，则后续两个数为(3,4)，(3,7)，(4,6)，(4,9)，(5,8)，(6,7)，(7,9)，有7种；(4)首数选3，则后续两个数为(4,5)，(4,8)，(5,7)，(6,9)，(7,8)，有5种； (5)首数选4，则后续两个数为(5,6)，(5,9)，(6,8)，(8,9)，有4种； (6)首数选5，则后续两个数为(6,7)，(7,9)，有2种； (7)首数选6，则后续两个数为(7,8)，有1种； (8)首数选7，则后续两个数为(8,9)，有1种．综上可知，共有42种．答案：A10．(2012年合肥质检)建立从集合A ＝{1,2,3,4}到集合B ＝{5,6,7}的所有函数，从中随机抽取一个函数，则其值域是B 的概率为( )A.916B.316C.49D.89解析：从A 到B 的函数一共有34＝81个，其中值域是B 的有C 24A 33＝36个，所以概率是49.答案：C11．(2012年长沙联考)某校在模拟考试中约有1 000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N (90，a 2)(a >0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为( )C ．400D ．600解析：由ξ～N (90，a 2)，得正态曲线关于直线x ＝90对称，所以P (ξ≥110)＝P (ξ≤70)＝12[1－P (70<ξ<110)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝15.所以此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为1 000×15＝200.答案：A12．(2012年武汉调研)如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x >0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln22B.1－ln22C.1＋ln22D.2－ln22解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x，y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2，故由几何概型得，点M 取自E 内的概率为.故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．(2012年武汉调研)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫33x 2－1x n的展开式中各项系数之和为256，则展开式中第7项的系数是________．解析：由题意，2n＝256，解得n ＝8.故⎝⎛⎭⎪⎫33x 2－1x n即⎝ ⎛⎭⎪⎫33x 2－1x 8展开式中第7项为C 68⎝⎛⎭⎫33x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 6＝9(－1)6C 68 ＝252 ，故展开式中第7项的系数是252.答案：25214．某工厂对一批元件进行了抽样检测，根据抽样检测后的元件长度(单位：mm)数据绘制了频率分布直方图(如下图)．若规定长度在[97,103)内的元件是合格品，则根据频率分布直方图估计这批产品的合格率是________．解析：依题意，可估计这批产品的合格率是1－(0.027 5×4＋0.045 0×2)＝0.8＝80%.答案：80%15．(2012年东北四校质检)在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率为________．解析：该题属于几何概型．根据题意，到正方体中心的距离小于或等于1的点构成了以半径R ＝1的实心球，如图所示，其体积V 球＝43πR 3＝43π，则正方体内到正方体中心的距离大于1的点所构成图形的体积为V ′＝V正方体－V 球＝8－43π，则随机取的点到正方体中心的距离大于1的概率为P (d >1)＝V ′V 正方体＝8－43π8＝1－π6.答案：1－π616．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业某段时间内的产品销量x (千箱)与单位成本y (元)的资料进行线性回归分析，结果如下：x ＝72，y ＝71，∑i ＝16x 2i ＝79，∑i ＝16xi y i ＝1 481，b ^＝1 481－6×72×7179－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫722≈－1.818 2，a ^＝71－(－1.818 2)×72≈77.36，则销量每增加1 000箱，单位成本约下降________元．解析：依据题意可得回归直线方程为y ^＝－1.818 2x ＋ 77．36，故销量每增加1千箱，单位成本约下降1.818 2元．答案：1.818 2三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(2012年浙江金华十校联考)某车间将10名技工平均分为甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干，其中合格零件的个数如下表：由此分析两组技工的技术水平；(2)质检部门从该车间甲、乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过12件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．解：(1)依题中的数据可得x甲＝15(4＋5＋7＋9＋10)＝7，x乙＝15(5＋6＋7＋8＋9)＝7，s2甲＝15[(4－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2]＝265＝5.2，s2乙＝15[(5－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(9－7)2]＝2.因为x甲＝x乙，s2甲>s2乙，所以两组技工的总体水平相同，甲组中技工的技术水平差异比乙组大．(2)设事件A表示该车间“质量合格”，则从甲、乙两组中各抽取1名技工完成合格零件个数的基本事件为(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,5)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(7,5)，(7,6)，(7,7)，(7,8)，(7,9)，(9,5)，(9,6)，(9,7)，(9,8)，(9,9)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)，共25种．事件A包含的基本事件为(4,9)，(5,8)，(5,9)，(7,6)，(7,7)，(7,8)，(7,9)，(9,5)，(9,6)，(9,7)，(9,8)，(9,9)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)，共17种．所以P(A)＝17 25.18．下图是某校从参加高三体育考试的学生中抽出的60名学生体育成绩(均为整数)的频率分布直方图，该直方图恰好缺少了成绩在区间[70,80)内的图形，根据图形的信息，回答下列问题：(1)求成绩在区间[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分；(3)假设成绩在[80,90)内的学生中有23的成绩在85分以下(不含85分)，从成绩在[80,90)内的学生中选两人，求恰有1人成绩在85分以上(含85分)的概率．解：(1)因为各组的频率和等于1，故成绩在[70,80)内的频率为f4＝1－(0.01×2＋0.015＋0.020＋0.005)×10＝0.4.频率分布直方图如右图．(2)依题意，60分及以上的分数在第三、四、五、六段，故其频率和为(0.02＋0.04＋0.01＋0.005)×10＝0.75，所以抽样学生成绩的及格率是75%.45·f1＋55·f2＋65·f3＋75·f4＋85·f5＋95·f6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.4＋85×0.1＋95×0．05＝69.所以估计这次考试的平均分是69分．(3)因为成绩在[80,90)内的人数＝0.01×10×60＝6，所以成绩在[80,85)和[85,90)内的人数分别为4人和2人．假设[80,85)段的学生的编号为1,2,3,4；[85,90)段的学生编号为5,6.记第一次抽到的学生编号为x，第二次抽到的学生编号为y，用数对(x，y)表示基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，其基本事件总数n＝15.解法一：记恰有1人成绩在[85,90)内的事件为A .事件A 包含基本事件：(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，事件A 包含的基本事件数m ＝8.故所求概率为P (A )＝m n ＝815，故恰有1人成绩在85分以上(含85分)的概率是815.解法二：记恰有1人成绩在[85,90)内的事件为A ，则事件A －包含的基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(5,6)，事件A －包含的基本事件数m ＝7，所以P (A )＝1－P (A －)＝1－715＝815，故恰有1人成绩在85分以上(含85分)的概率是815.19．(2012年石家庄质检)某工科院校对A ，B 两个专业的男女生人数进行调查，得到如下的列联表：(1)“专业”有关系呢？(2)从专业A 中随机抽取2名学生，记其中女生的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．注：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解：(1)χ2＝100×(12×46－4×38)216×84×50×50≈4.762，由于4.762>3.841，因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为工科院校中“性别”与“专业”有关系．(2)专业A 中女生12人，男生38人，P(X＝0)＝C238C250＝7031 225，P(X＝1)＝C138C112C250＝4561 225，P(X＝2)＝C212C250＝661 225.所以X的分布列为所以E(X)＝1×4561 225＋2×661 225＝5881 225＝1225.20．(2012年昆明模拟)从某学校高三年级的甲、乙两个班各抽取10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．(1)分别计算甲、乙两班样本的平均数和方差，估计甲、乙两班同学的身高情况，并说明理由；(2)现从乙班这10名同学中随机抽取3名同学，设身高在(160,170)之间的同学被抽到的人数为X，求X的分布列和数学期望．解：(1)x甲＝170，x乙＝170，s2甲＝53，s2乙＝37.4，估计甲、乙两班的平均身高相同，且乙班同学的身高相对整齐些，而甲班同学的身高差距大些．(2)X＝0,1,2,3.P(X＝0)＝C37C310＝724，P(X＝1)＝C13C27C310＝2140，P(X＝2)＝C23C17C310＝740，P(X＝3)＝C33C310＝1120.所以X的分布列为所以E(X)＝0×427＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.21．“天宫一号”的顺利升空标志着我国火箭运载的技术日趋完善．据悉，担任“天宫一号”发射任务的是长征二号FT1火箭．为了确保发射万无一失，科学家对长征二号FT1运载火箭进行了170余项技术状态更改，增加了某项新技术．该项新技术要进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行量化检测．假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为23，23，12，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响．(1)求该项技术量化得分不低于8分的概率；(2)记该项技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．解：(1)记该项新技术的三个指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A，B，C，则事件“得分不低于8分”表示为ABC＋A B C.因为ABC与A B C为互斥事件，且A，B，C为彼此独立，所以P(ABC＋A BC)＝P(ABC)＋P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝23×23×12＋23×13×12＝13.(2)该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数ξ的取值为0,1,2,3.因为P(ξ＝0)＝P(A B C)＝13×13×12＝118，P(ξ＝1)＝P(A B C＋A B C＋A B C)＝23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝5 18，P(ξ＝2)＝P(AB C＋A B C＋A BC)＝23×23×12＋23×13×12＋13×23×12＝818，P(ξ＝3)＝P(ABC)＝23×23×12＝418，所以随机变量ξ的分布列为所以E(ξ)＝0×118＋1×518＋2×818＋3×418＝518＋1618＋1218＝116.22．某品牌专卖店准备在春节期间举行促销活动，根据市场调查，该店决定从2种型号的洗衣机，2种型号的电视机和3种型号的电脑中，选出3种型号的商品进行促销．(1)试求选出的3种型号的商品中至少有一种是电脑的概率；(2)该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得m 元奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是12，设顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额(单位：元)为随机变量X ，请写出X 的分布列，并求X 的数学期望；(3)在(2)的条件下，问该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？解：(1)从2种型号的洗衣机，2种型号的电视机，3种型号的电脑中，选出3种型号的商品一共有C 37种选法．选出的3种型号的商品中没有电脑的选法有C 34种，所以选出的3种型号的商品中至少有一种是电脑的概率为 P ＝1－C 34C 37＝3135.(2)X 的所有可能的取值为0，m,2m,3m . X ＝0时表示顾客在三次抽奖中都没有中奖，所以P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫120·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，同理可得P (X ＝m )＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫121·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38， P (X ＝2m )＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫122·⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝38， P (X ＝3m )＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝18，所以，顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额X 的分布列为E (X )＝0×18＋m ×38＋2m ×38＋3m ×18＝1.5m .(3)要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数额，因此应有1.5m<150，所以m<100.故每次中奖奖金要低于100元，才能使促销方案对商场有利．。

2015届高考江西九校联合体数学(理)参考答案

江西省重点中学协作体2015届高三第二次联考数学（理）答案一、选择题：1-5: C D DAB 6-10：BACDC 11-12: DA 二、填空题：13．160- 14．2- 15. π5 16. 6 三、解答题：17.解：由题意可得1)62sin(2)(+-=πx x f（1）226222πππππ+≤-≤-k x k所以增区间为： ]3,6[ππππ+-k k Z k ∈.………………………………………6分（2）由511)122(=+πA f 得53sin =A ；………………………………………7分1323)32(=+πB f 得1312sin ,135cos ==B B ；………………………………………8分由于，＜simB simA 131253==则54,=ℑ⇒∠A CO b a ……………………………10分所以6563)sin(sin =+=B A C .……………………………………………………12分 18.解：（1）取AC 中点O ，连结BO PO ,， PC PA =，BC AB =，∴AC OB AC OP ⊥⊥,，又平面⊥APC 平面ABC ，∴ABC OP 面⊥………2分，OB OP ⊥，∴222PB OB OP =+，即1641622=-+-OC OC ，得2=OC ，则14,2,2===OP OB OA ，22=AC ，………4分∴22222121=⋅⋅=⋅⋅=∆OB AC S ABC . ∴31421423131=⋅⋅=⋅⋅=∆-OP S V ABC ABC P .……………………6分（2）方法一：分别以OP OC OB 、、为z y x 、、得)14,0,0(),0,2,0(),0,0,2(),0,2,0(),0,0,0(P C B A O -，………8分∴)0,2,2(-=，)14,0,2(-=，设平面PBC 的法向量),,(z y x =.由0,0=⋅=⋅得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-0142022z x y x ，取1=z ，得)1,7,7(=.10分)0,2,2(=AB ，∴15210152142||||,cos ==⋅>=<n AB n AB . 故直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为15210.……………………12分方法二：设点A 到平面PBC 的距离为d ，作H BC BC PH 于点交⊥，则15142222=-=-=HC PC PH ，151522121=⨯⨯=⋅=∆PH BC S PBC ∴151423142153131=⇒=⋅⋅=⋅⋅⇒=∆--d d d S V V PBC PBC A ABC P ∴直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为15210152142==AB d . 19.解：(1)4086531811325==C C C P …………………………5分 (2)X 可能的取值为0、1、2、3408143)0(318313===C C X P 408195)1(31821315===C C C X P 40865)2(31811325===C C C X P 4085)3(31835===C C X P………10分65=EX ……………………………………………………12分20.解：(1)连接QF ，∵|QE |＋|QF |=|QE |＋|QP |=|PE |=4>|EF |=32， ∴动点Q 的轨迹是以)0,3(-E 、)0,3(F 为焦点，长轴长42=a 的椭圆，即动点Q 的轨迹方程为:1422=+y x ；…………………4分(2)依题结合图形知直线l 的斜率不为零，所以设直线l 的方程为n my x +=(R m ∈)． ∵直线l 即0=--n my x 与圆O :122=+y x 相切，∴11||2=+m n 得122+=m n ．(5分) 又∵点B A ,的坐标),(),,(2211y x y x 满足：⎩⎨⎧=-++=04422y x n my x ，消去x 整理得042)4(222=-+++n mny y m ，由韦达定理得42221+-=+m mny y ，442221+-=m n y y ．…………………6分又 ||1||212y y m AB -⋅+=，点O 到直线l 的距离11||2=+=mn d ，∴||||21||121||2121212y y n y y m AB d S AOB -⋅=-⋅+⋅=⋅=∆ 222222)4(132)4(32++⋅=+⋅=m m m n………8分∵21212121))((y y n my n my y y x x OB OA +++=+=⋅=λ414445)()1(22222221212++=+--=++++=m m m m n n y y mn y y m ． ∵3221≤≤λ，令12+=m t ，则]6,3[]32,21[3∈⇒∈+=t t t λ ∴69326932)3(32)4(13222222++=++⋅=+⋅=++⋅=∆tt tt t t t m m S AOB，…………………10分 ∵]121,272[691]227,12[69]227,12[69]215,6[9∈++⇒∈++⇒∈++⇒∈+tt t t t t t t ∴]1,322[∈∆AOB S ，∴AOB S ∆的取值范围为：]1,322[.…………………12分21.解：(1)x ae x f -=1)('，由题意知01)0('=-=a f 1=∴a .…………3分(2)由题意知：11x ae x = ① 22x ae x = ② 不妨设21x x <①-②得 )(2121x x e ea x x -=- 2121x x ee x x a --=∴ ③ …………5分又)(2121x x e ea x x +=+，欲证221>+x x 只需证2)(21>+x x e e a ④联立③④得2))((212121>--+x x x x e e x x e e…………7分即21))(1(212121>--+--x x x x e x x e ，令21x x t -= （0<t ）则上式等价于21)1(>-+tt e te ，即02)2(>++-t t e t ⑤…………9分令2)2()(++-=t t e t tϕ （0<t ） 1)1()('+-=t e t t ϕ，0)(''<=t te t ϕ )('t ϕ∴在)0,(-∞上单调递减，从而0)0(')('=>ϕϕt )(t ϕ∴在)0,(-∞上单调递增，从而0)0()(=<ϕϕt即⑤式成立，221>+∴x x ……………………………………………………12分 22.解：(1)证明：连接OA ， OB OA =，∴OBA OAB ∠=∠. PA 与圆O 相切于点A ，∴ 90=∠OAP . ∴OAB PAC ∠-=∠ 90. OP OB ⊥， ∴OBA BCO ∠-=∠ 90. ∴PAC BCO ∠=∠.又PCABCO ∠=∠，∴PCA PAC ∠=∠.∴PC PA =.…………………5分(2)假设PO 与圆O 相交于点M ，延长PO 交圆O 于点N .PA 与圆O 相切于点A ，PMN 是圆O 的割线， ∴)()(2ON PO OM PO PN PM PA +⋅-=⋅=．5=PO ，3==ON OM ，∴16)35()35(2=+⨯-=PA . ∴4=PA .∴由(1)知4==PA PC . ∴1=OC .在OAP Rt ∆中，53cos ==∠OP OA AOP . NC ABPMO∴5325313219cos 2222=⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅⋅-+=AOP OC OA OC OA AC . ∴5104532==AC .…………………10分 23.解：(1)由θρcos 10=得01022=-+x y x ，即25)5(22=+-y x .…………4分(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得25)226()223(22=++--t t . 即020292=++t t ，…………6分由于082204)29(2>=⨯-=∆，可设21,t t 是上述方程的两个实根.所以⎩⎨⎧=⋅-=+20292121t t t t ，又直线l 过点)6,2(P ，可得：29)()()(||||||||212121=+-=-+-=+=+t t t t t t PB PA .…………10分 24．解：(1)原不等式等价于即不等式的解集为}21|{≤≤-x x …………………5分 (2)4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x4|1|>-∴a 3a ∴<-或5a > …………………10分。

2015届高考数学总复习(基础过关+能力训练)：算法、统计与概率古典概型(2)(含答案)

第十章算法、统计与概率第5课时古典概型(2)1. 某小组有三名女生两名男生、现从这个小组中任意选出一名当组长、则其中一名女生小丽当选为组长的概率是________．答案：15解析：共有事件5个、小丽当选为组长的事件有1个、即概率P ＝15. 2. 从甲、乙、丙三人中任选两名代表、甲被选中的概率是________．答案：23解析：基本事件有(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)、共有3个、甲被选中的事件有(甲、乙)、(甲、丙)、共2个、故P ＝23. 3. 已知一个袋中装有5个大小相同的黑球和红球、从袋中任意摸出1个球、得到黑球的概率是25、则从中任意摸出2个球、得到都是黑球的概率为________. 答案：110解析：袋中装有黑球2个、从袋中5个球任意摸出2个球、共有10种、两次取出的球都是黑球的事件有1种、故P ＝110. 4. 设a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数、则方程x 2＋ax ＋2＝0有两个不相等的实数根的概率为________．答案：23解析：由方程x 2＋ax ＋2＝0有两个不相等的实数根、得Δ＝a 2－8>0、故a ＝3、4、5、6.根据古典概型的概率计算公式有P ＝46＝23. 5. (2013·大港中学调研)若从集合{－1、1、2、3}中随机取出一个数m 、放回后再随机取出一个数n 、则使方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率为________．答案：516解析：由于m 有4种取法、且对m 的每一种取法、n 都有4种取法、所以基本事件总数为4×4＝16、其中使方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的(m 、n)有(3、2)、(3、1)、(3、－1)、(2、1)、(2、－1)共5种、故所求的概率为516. 6. 甲盒子里装有分别标有数字1、2、3、4的4张卡片、乙盒子里装有分别标有数字1、2的2张卡片．若从两个盒子中各随机地取出1张卡片、则2张卡片上的数字之和为奇数的概率是________．答案：12解析：数字之和为奇数的有(1、2)、(2、1)、(3、2)、(4、1)、共4种情形、而从两个盒子中各抽取一张卡片共有8种情况、所以所求概率为12.7. 在集合{x|x ＝n π6、n ＝1、2、3、…、10}中任取一个元素、所取元素恰好满足方程cosx ＝12的概率是________.答案：15解析：集合{x|x ＝n π6、n ＝1、2、3、…、10}中共有10个元素、而当n ＝2和n ＝10时、cosx ＝12、故满足条件cosx ＝12的基本事件个数为2、故所取元素恰好满足方程cosx ＝12的概率P ＝210＝15. 8. (2013·银川质检)将一枚骰子抛掷两次、所得向上的点数分别为m 和n 、则函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1、＋∞)上为增函数的概率是________．答案：56解析：由题可知、函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1、＋∞)上单调递增、所以y′＝2mx 2－n ≥0在[1、＋∞)上恒成立、所以2m ≥n 、则不满足条件的(m 、n)有(1、3)、(1、4)、(1、5)、(1、6)、(2、5)、(2、6)共6种情况、所以满足条件的共有30种情况、则函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1、＋∞)上单调递增的概率为3036＝56. 9. (2013·江西)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O 为起点、再从A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量、记住这两个向量的数量积为X.若X>0就去打球、若X ＝0就去唱歌、若X<0就去下棋．(1) 写出数量积X 的所有可能取值；(2) 分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．解：(1) x 的所有可能取值为－2、－1、0、1.(2) 数量积为－2的只有OA 2·OA 5一种；数量积为－1的有OA 1·OA 5、OA 1·OA 6、OA 2·OA 4、OA 2·OA 6、OA 3·OA 4、OA 3·OA 5六种；数量积为0的有OA 1·OA 3、OA 1·OA 4、OA 3·OA 6、OA 4·OA 6四种；数量积为1的有OA 1·OA 2、OA 2·OA 3、OA 4·OA 5、OA 5·OA 6四种；故所有可能的情况共有15种．所以小波去下棋的概率为P 1＝715；因为去唱歌的概率为P 2＝415、所以小波不去唱歌的概率P ＝1－P 2＝1－415＝1115. 10. 将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0、1、2、3、4、5)和一个正四面体(四个面分别标有数字1、2、3、4)同时抛掷1次、规定 “正方体向上的面上的数字为a 、正四面体的三个侧面上的数字之和为b ”．设复数为z ＝a ＋bi.(1) 若集合A ＝{z|z 为纯虚数}、用列举法表示集合A ；(2) 求事件“复数在复平面内对应的点(a 、b)满足a 2＋(b －6)2≤9”的概率．解：(1) A ＝{6i 、7i 、8i 、9i}．(2) 满足条件的基本事件空间中基本事件的个数为24.设满足“复数在复平面内对应的点(a 、b)满足a 2＋(b －6)2≤9”的事件为B.当a ＝0时、b ＝6、7、8、9满足a 2＋(b －6)2≤9；当a ＝1时、b ＝6、7、8满足a 2＋(b －6)2≤9；当a ＝2时、b ＝6、7、8满足a 2＋(b －6)2≤9；当a ＝3时、b ＝6满足a 2＋(b －6)2≤9.即B ：{(0、6)、(0、7)、(0、8)、(0、9)、(1、6)、(1、7)、(1、8)、(2、6)、(2、7)、(2、8)、(3、6)}、共计11个、所以P(B)＝1124. 11. 甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏、他们将扑克牌洗匀后、背面朝上放在桌面上、甲先抽、乙后抽、抽出的牌不放回、各抽一张．(1) 设(i 、j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字、写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；(2) 若甲抽到红桃3、则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？(3) 甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大、则甲胜、否则乙胜．你认为此游戏是否公平、说明你的理由．解：(1) 甲乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示)为(2、3)、(2、4)、(2、4′)、(3、2)、(3、4)、(3、4′)、(4、2)、(4、3)、(4、4′)、(4′、2)、(4′、3)、(4′、4)、共12种不同情况．(2) 甲抽到3、乙抽到的牌只能是2、4、4′.因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为23. (3) 由甲抽到的牌比乙大的有(3、2)、(4、2)、(4、3)(4′、2)、(4′、3)共5种、即甲胜的概率P 1＝512、乙获胜的概率P 2＝712.又512<712、则此游戏不公平．。

【步步高】2015届高考数学第一轮大复习(基础+思想典型题+题组专练)6.4 数列求和文档专练文

§6.4 数列求和1.求数列的前n 项和的方法 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式 S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .②等比数列的前n 项和公式 (Ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(Ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q .(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项. (4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广. (5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广. (6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解.例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 2.常见的裂项公式 (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；(2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( √ )(2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1).( √ )(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.( × )(4)数列{12n ＋2n －1}的前n 项和为n 2＋12n .( × )(5)若数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －12.( √ )(6)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( √ )2.(2012·大纲全国)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.101100 答案 A解析利用裂项相消法求和.设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎨⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1)2d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.3.若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n 为( ) A.2n ＋n 2－1B.2n ＋1＋n 2－1 C.2n ＋1＋n 2－2D.2n ＋n 2－2 答案 C解析 S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )＋(1＋3＋5＋…＋(2n －1)) ＝2(1－2n )1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2.4.数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A.200B.－200C.400D.－400 答案 B解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.5.3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n ＋2)·2－n ＝________. 答案 4－n ＋42n解析设S ＝3×12＋4×122＋5×123＋…＋(n ＋2)×12n ，则12S ＝3×122＋4×123＋5×124＋…＋(n ＋2)×12n ＋1. 两式相减得12S ＝3×12＋(122＋123＋…＋12n )－n ＋22n ＋1.∴S ＝3＋(12＋122＋…＋12n －1)－n ＋22n＝3＋12[1－(12)n －1]1－12－n ＋22n ＝4－n ＋42n .题型一分组转化求和例1 已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项和S n .思维启迪先写出通项，然后对通项变形，分组后利用等差数列、等比数列的求和公式求解.解由已知得，数列{a n }的通项公式为 a n ＝3n ＋2n －1＝3n －1＋2n ， ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(2＋5＋…＋3n －1)＋(2＋22＋…＋2n ) ＝n (2＋3n －1)2＋2(1－2n )1－2＝12n (3n ＋1)＋2n ＋1－2. 思维升华某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化.特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论.求和S n ＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋12n －1. 解和式中第k 项为 a k ＝1＋12＋14＋…＋12k －1＝1－⎝⎛⎭⎫12k1－12＝2⎝⎛⎭⎫1－12k . ∴S n ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－122＋…＋⎝⎛⎭⎫1－12n ＝2[(1＋1＋…＋1)－(12＋122＋…＋12n )]n 个＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12⎝⎛⎭⎫1－12n1－12＝12n －1＋2n －2.题型二错位相减法求和例2 已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 思维启迪 (1)列方程组求{a n }的首项、公差，然后写出通项a n . (2)q ＝1时，b n 为等差数列，直接求和；q ≠1时，用错位相减法求和. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝68a 1＋28d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝－1.故a n ＝3＋(n －1)·(－1)＝4－n . (2)由(1)得，b n ＝n ·q n －1，于是 S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1. 若q ≠1，将上式两边同乘以q 有 qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n .两式相减得到(q －1)S n ＝nq n －1－q 1－q 2－…－q n －1 ＝nq n－q n －1q －1＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1q －1.于是，S n ＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2.若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，q ＝1nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2，q ≠1.思维升华 (1)错位相减法是求解由等差数列{b n }和等比数列{}对应项之积组成的数列{a n }，即a n ＝b n ×的前n 项和的方法.这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练. (2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用X 围.已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，①故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得 S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1.当n ＝1时也成立.综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.题型三裂项相消法求和例3在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .思维启迪第(1)问利用a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)后，再同除S n －1·S n 转化为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的等差数列即可求S n .第(2)问求出{b n }的通项公式，用裂项相消法求和. 解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12， a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)， ∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，①由题意得S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列.∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)∵b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 思维升华利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n (a n ＋1)2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12S n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .(1)证明 ∵S n ＝a n (a n ＋1)2，n ∈N *，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1(a 1＋1)2(a n >0)，∴a 1＝1.当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a 2n ＋a n ，2S n －1＝a 2n －1＋a n －1得2a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －1.即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， ∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1(n ≥2).所以数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列. (2)解由(1)可得a n ＝n ，S n ＝n (n ＋1)2， b n ＝12S n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.四审结构定方案典例：(12分)(2012·某某)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N *)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和T n .S n ＝－12n 2＋kn 及S n 最大值为8S n 是n 的二次函数 n ＝k 时(S n )max ＝S k ＝8(根据S n 的结构特征确定k 值) k ＝4，S n ＝－12n 2＋4n利用a n 、S n 的关系 a n ＝92－n9－2a n 2n ＝n2n －1根据数列的结构特征，确定求和方法：错位相减法 T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1①①式两边同乘以22T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n2n －2②错位相减T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1.规X 解答解 (1)当n ＝k ∈N *时，S n ＝－12n 2＋kn 取得最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，k ＝4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72，[3分]当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝92－n .[6分]当n ＝1时，上式也成立，综上，a n ＝92－n .(2)因为9－2a n 2n ＝n2n －1，所以T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1，①[7分]所以2T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n2n －2②②－①：2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n2n －1＝4－12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1[11分]故T n ＝4－n ＋22n －1.[12分]温馨提醒 (1)根据数列前n 项和的结构特征和最值确定k 和S n ，求出a n 后再根据{9－2a n2n }的结构特征确定利用错位相减法求T n .在审题时，要审题目中数式的结构特征判定解题方案； (2)利用S n 求a n 时不要忽视n ＝1的情况；错位相减时不要漏项或算错项数.方法与技巧非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和. 失误与防X1.直接应用公式求和时，要注意公式的应用X 围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论.2.在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号.3.在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项.A 组专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1.已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n 为( ) A.n n ＋1B.4n n ＋1C.3n n ＋1D.5nn ＋1 答案 B解析 a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4(1n －1n ＋1)， ∴S n ＝4[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)] ＝4(1－1n ＋1)＝4n n ＋1. 2.已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n 等于( )A.20B.17C.19D.21答案 C解析由a 9＋3a 11<0，得2a 10＋2a 11<0，即a 10＋a 11<0，又a 10·a 11<0，则a 10与a 11异号，因为数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以数列{a n }是一个递减数列，则a 10>0，a 11<0，所以S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10>0， S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0. 故使S n 取值最小正值的n 为19.3.已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2(当n 为奇数时)，－n 2(当n 为偶数时)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于 ( )A.0B.100C.－100D.10 200答案 B解析由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－1＋101＝100.故选B.4.数列a 1＋2，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有十项，且其和为240，则a 1＋…＋a k ＋…＋a 10的值为( )A.31B.120C.130D.185答案 C解析 a 1＋...＋a k ＋...＋a 10＝240－(2＋...＋2k ＋ (20)＝240－(2＋20)×102＝240－110＝130.5.数列a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A.－10B.－9C.10D.9答案 B解析数列的前n 项和为11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910， ∴n ＝9，∴直线方程为10x ＋y ＋9＝0.令x ＝0，得y ＝－9，∴在y 轴上的截距为－9.二、填空题6.数列32，94，258，6516，…的前n 项和S n 为________. 答案 n (n ＋1)2＋1－12n 解析 ∵32＝1＋12，94＝2＋14，258＝3＋18， 6516＝4＋116，… ∴S n ＝32＋94＋258＋6516＋…＋(n ＋12n ) ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(12＋122＋123＋…＋12n ) ＝n (n ＋1)2＋12[1－(12)n ]1－12＝n (n ＋1)2＋1－12n . 7.设f (x )＝4x 4x ＋2，若S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)，则S ＝________. 答案 1 007解析 ∵f (x )＝4x 4x ＋2，∴f (1－x )＝41－x41－x ＋2＝22＋4x， ∴f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋22＋4x＝1. S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)，① S ＝f (2 0142 015)＋f (2 0132 015)＋…＋f (12 015)，② ①＋②得，2S ＝[f (12 015)＋f (2 0142 015)]＋[f (22 015)＋f (2 0132 015)]＋…＋[f (2 0142 015)＋f (12 015)]＝2 014， ∴S ＝2 0142＝1 007. 8.(2012·课标全国)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________. 答案 1 830解析利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解.∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1，∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60)＝10＋26＋42＋…＋234＝15×(10＋234)2＝1 830. 三、解答题9.已知数列{a n }是首项为a 1＝14，公比为q ＝14的等比数列，设b n ＋2＝3log 14a n (n ∈N *)，数列{}满足＝a n ·b n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{}的前n 项和S n .解 (1)由题意，知a n ＝(14)n (n ∈N *)，又b n ＝3log 14a n －2，故b n ＝3n －2(n ∈N *).(2)由(1)，知a n ＝(14)n ，b n ＝3n －2(n ∈N *)，所以＝(3n －2)×(14)n (n ∈N *). 所以S n ＝1×14＋4×(14)2＋7×(14)3＋…＋(3n －5)×(14)n －1＋(3n －2)×(14)n ，于是14S n ＝1×(14)2＋4×(14)3＋7×(14)4＋…＋(3n －5)×(14)n ＋(3n －2)×(14)n ＋1. 两式相减，得34S n ＝14＋3[(14)2＋(14)3＋…＋(14)n ]－(3n －2)×(14)n ＋1＝12－(3n ＋2)×(14)n ＋1. 所以S n ＝23－3n ＋23×(14)n (n ∈N *). 10.若S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列.(1)求等比数列S 1，S 2，S 4的公比；(2)若S 2＝4，求数列{a n }的通项公式；(3)在(2)的条件下，设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m 20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .解 (1)因为{a n }为等差数列，设{a n }的公差为d (d ≠0)，所以S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 4＝4a 1＋6d .因为S 1，S 2，S 4成等比数列且设其公比为q ，所以S 1·S 4＝S 22.所以a 1(4a 1＋6d )＝(2a 1＋d )2.所以2a 1d ＝d 2.因为公差d ≠0.所以d ＝2a 1.所以q ＝S 2S 1＝4a 1a 1＝4. (2)因为S 2＝4，所以2a 1＋d ＝4.又d ＝2a 1，所以a 1＝1，d ＝2.所以a n ＝2n －1.(3)因为b n ＝3(2n －1)(2n ＋1)＝32(12n －1－12n ＋1)，所以T n ＝32[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝32(1－12n ＋1)<32.要使T n <m 20对所有n ∈N *都成立，则有m 20≥32，即m ≥30. 因为m ∈N *，所以m 的最小值为30.B 组专项能力提升(时间：30分钟)1.已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S 2 014等于( )A.2 008B.2 010C.1D.0答案 B解析由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1,2 008,2 009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0.∵2 014＝6×335＋4，∴S 2 014＝S 4＝2 008＋2 009＋1＋(－2 008)＝2 010.2.(2013·课标全国Ⅰ)设△A n B n 的三边长分别为a n 、b n 、，△A n B n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，…，若b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝＋a n 2，＋1＝b n ＋a n 2，则( ) A.{S n }为递减数列B.{S n }为递增数列C.{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D.{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列答案 B解析因为b 1>c 1，不妨设b 1＝4a 13，c 1＝2a 13；故S 1＝ 3a 12·a 12·a 16·5a 16＝1512a 21； a 2＝a 1，b 2＝23a 1＋a 12＝56a 1，c 2＝43a 1＋a 12＝76a 1，S 2＝ 3a 12·a 12·2a 13·a 13＝66a 21. 显然S 2>S 1；a 3＝a 1，b 3＝76a 1＋a 12＝1312a 1， c 3＝56a 1＋a 12＝1112a 1， S 3＝ 3a 12·a 12·5a 112·7a 112＝10524a 21，显然S 3>S 2. 3.(2013·某某)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则： (1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________.答案 (1)－116(2)13⎝⎛⎭⎫12100－1 解析 ∵a n ＝S n －S n －1＝(－1)n a n －12n －(－1)n －1a n －1＋12n －1， ∴a n ＝(－1)n a n －(－1)n －1a n －1＋12n . 当n 为偶数时，a n －1＝－12n ，当n 为奇数时，2a n ＋a n －1＝12n ， ∴当n ＝4时，a 3＝－124＝－116. 根据以上{a n }的关系式及递推式可求. a 1＝－122，a 3＝－124，a 5＝－126，a 7＝－128， a 2＝122，a 4＝124，a 6＝126，a 8＝128. ∴a 2－a 1＝12，a 4－a 3＝123，a 6－a 5＝125，…， ∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 100－a 99)－⎝⎛⎭⎫12＋122＋123＋…＋12100 ＝⎝⎛⎭⎫12＋123＋…＋1299－⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12100 ＝13⎝⎛⎭⎫12100－1. 4.已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足：S n ＝2a n －2n (n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝log 2(a n ＋2)，T n 为数列{b n a n ＋2}的前n 项和，求证：T n ≥12. (1)解当n ∈N *时，S n ＝2a n －2n ，则当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2，即a n ＝2a n －1＋2，∴a n ＋2＝2(a n －1＋2)，∴a n ＋2a n －1＋2＝2，当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，则a 1＝2，∴{a n ＋2}是以a 1＋2＝4为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋2＝4·2n －1，∴a n ＝2n ＋1－2；(2)证明 b n ＝log 2(a n ＋2)＝log 22n ＋1＝n ＋1，∴b n a n ＋2＝n ＋12n ＋1，则T n ＝222＋323＋…＋n ＋12n ＋1， 12T n ＝223＋324＋…＋n 2n ＋1＋n ＋12n ＋2，两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2 ＝14＋14(1－12n )1－12－n ＋12n ＋2 ＝14＋12－12n ＋1－n ＋12n ＋2＝34－n ＋32n ＋2， ∴T n ＝32－n ＋32n ＋1，当n ≥2时，T n －T n －1＝－n ＋32n ＋1＋n ＋22n ＝n ＋12n ＋1>0， ∴{T n }为递增数列，∴T n ≥T 1＝12. 5.直线l n ：y ＝x －2n 与圆：x 2＋y 2＝2a n ＋n 交于不同的两点A n ，B n ，n ∈N *.数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝14|A n B n |2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1(n 为奇数)，a n (n 为偶数)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)由题意，知圆的圆心到直线l n 的距离d n ＝n ，半径r n ＝2a n ＋n ，所以a n ＋1＝(12|A n B n |)2＝r 2n －d 2n ＝(2a n ＋n )－n ＝2a n . 又a 1＝1，所以a n ＝2n －1.(2)当n 为偶数时，T n ＝(b 1＋b 3＋…＋b n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n ) ＝[1＋5＋…＋(2n －3)]＋(2＋23＋…＋2n －1) ＝n (n －1)2＋2(1－2n )1－4＝n 2－n 2＋23(2n －1). 当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＋1＝(n ＋1)2－(n ＋1)2＋23(2n ＋1－1) ＝n 2＋n 2＋23(2n ＋1－1). 而T n ＋1＝T n ＋b n ＋1＝T n ＋2n，所以T n ＝n 2＋n 2＋13(2n －2). 所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－n 2＋23(2n －1)(n 为偶数)，n 2＋n 2＋13(2n －2)(n 为奇数).。

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 11-1两个计数原理课后强化作业北师大版

"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习11-1两个计数原理课后强化作业北师大版"基础达标检测一、选择题1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有()A．10种B．20种C．25种D．32种[答案]D[解析]因为每人均有两种选择方法，所以不同的报名方法有25＝32种．2．从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为() A．6种B．5种C．3种D．2种[答案]B[解析]有3＋2＝5种．3．(2012·全国大纲)6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有()A．240种B．360种C．480种D．720种[答案]C[解析]本题考查了排列问题的应用．由题意，甲可从4个位置选择一个，其余元素不限制，所以所有不同次序共有A14A55＝480.利用特殊元素优先安排的原则分步完成得到结论．4．某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位、个位上的数字(如2 816)的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，千位、百位上都能取0.这样设计出来的密码共有()A．90个B．99个C．100个D．112个[答案]C[解析]由于千位、百位确定下来后十位、个位就随之确定，则只考虑千位、百位即可，千位、百位各有10种选择，所以有10×10＝100(个)．5．(2013·某某高考)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14 B．13C．12 D．10[答案]B[解析]①当a＝0时，2x＋b＝0总有实数根，∴(a，b)的取值有4个．②当a≠0时，需Δ＝4－4ab≥0，∴ab≤1.a＝－1时，b的取值有4个，a＝1时，b的取值有3个，a＝2时，b的取值有2个．∴(a，b)的取法有9个．综合①②知，(a，b)的取法有4＋9＝13个．6．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有()A．10种B．20种C．36种D．52种[答案]A[解析]分为两类：①1号盒子放入1个球，2号盒子放入3个球，有C14＝4种放球方法；②1号盒子放入2个球，2号盒子放入2个球，有C24＝6种放球方法．∴共有C14＋C24＝10种不同的放球方法．二、填空题7．(原创题)美女换装游戏中，有5套裙子，4双鞋子，3顶帽子，要求裙、鞋、帽必须且只能各选择一件，则有________种装扮方案．[答案]60[解析]根据分步计数原理知，有5×4×3＝60种．8．8名世界网球顶级选手在某某大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3,4名，大师赛共有________场比赛．[答案]16[解析]小组赛共有2C24场比赛；半决赛和决赛共有2＋2＝4场比赛；根据分类加法计数原理共有2C24＋4＝16场比赛．9．农科院小李在做某项试验中，计划从花生、大白菜、大豆、玉米、小麦、高粱这6种种子中选出4种，分别种植在4块不同的空地上(1块空地只能种1种作物)，若小李已决定在第1块空地上种玉米或高粱，则不同的种植方案有________种．(用数字作答) [答案]120[解析]由已知条件可得第1块地有C12种种植方法，则第2～4块地共有A35种种植方法，由分步乘法计数原理可得，不同的种植方案有C12A35＝120种．三、解答题10．乒乓球队的10名队员有3名主力队员，派5名参加比赛，按出场次序，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，求不同的出场安排的种数．[解析]解法1：按出场次序逐一安排．第一位置队员的安排有3种方法；第二位置队员的安排有7种方法；第三位置队员的安排有2种方法；第四位置队员的安排有6种方法；第五位置队员的安排只有1种方法．由分步计数原理，得不同的出场安排种数为3×7×2×6×1＝252.解法2：按主力与非主力，分两步安排．第一步安排3名主力队员在第一、三、五位置上，有A33种方法；第二步安排7名非主力队员中的2名在第二、四位置上，有A27种方法．由分步计数原理，得不同的出场安排种数为A33×A27＝252.能力强化训练一、选择题1．如图，A、B、C、D为四个村庄，要修筑三条公路，将这四个村庄连起来，则不同的修筑方法共有()A ．8种B ．12种C ．16种D ．20种 [答案]C[解析]修筑方案可分为两类，一类是“折线型”，用三条公路把四个村庄连在一条曲线上(如图(1)，A －B －C －D )，有12A 44种方法；另一类是“星型”，以某一个村庄为中心，用三条公路发散状连接其他三个村庄(如图(2)，A －B ，A －C ，A －D )，有4种方法．共有12＋4＝16种方法．2．(2014·某某模拟)如图，用6种不同的颜色把图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色共有( )A ．400种B ．460种C ．480种D ．496种 [答案]C[解析]从A 开始，有6种方法，B 有5种，C 有4种，D 有4种，∴不同涂法有6×5×4×4＝480(种)，故选C.二、填空题3．椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的焦点在y 轴上，且m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆有________个．[答案]20[解析]m <n ，根据m 的取值分为5类：m ＝1时，有6个椭圆；m ＝2时，有5个椭圆；m ＝3时，有4个椭圆；m ＝4时，有3个椭圆；m ＝5时，有2个椭圆．共有6＋5＋4＋3＋2＝20(个)．4．(2013·某某高考)将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．[答案]480[解析]A 、B 两个字母与C 的位置关系仅有3种：同左、同右或两侧，各占13，∴排法有23A 66＝480.三、解答题5．已知集合M ＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P (a ，b )表示平面上的点(a ，b ∈M )，问 (1)P 可表示平面上多少个不同的点？ (2)P 可表示平面上多少个第二象限的点？ (3)P 可表示多少个不在直线y ＝x 上的点？[分析] 完成“确定点P ”这件事需依次确定横、纵坐标，应用分步乘法计数原理． [解析](1)确定平面上的点P (a ，b )可分两步完成：第一步确定a 的值，共有6种确定方法；第二步确定b 的值，也有6种确定方法．根据分步乘法计数原理，得到平面上的点数是6×6＝36个．(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a ，由于a <0，所以有3种确定方法；第二步确定b ，由于b >0，所以有2种确定方法．由分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数是3×2＝6.(3)点P (a ，b )在直线y ＝x 上的充要条件是a ＝b .因此a 和b 必须在集合M 中取同一元素，共有6种取法，即在直线y ＝x 上的点有6个．由(1)得不在直线y ＝x 上的点共有36－6＝30个． [点评] 利用分步乘法计数原理解决问题：①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事．6.编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，则不同的放法有多少种？[分析]根据A球、B球所在位置进行分类讨论．[解析]根据A球所在位置分三类：(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E有A33＝6种不同的放法，则根据分步计数原理，此时有A33＝6种不同的放法；(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E有A33＝6种不同的放法，则根据分步计数原理，此时有A33＝6种不同的放法；(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号，3号，5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E有A33种不同的放法，根据分步计数原理，此时有A13A33＝18种不同的放法．综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．。

2015届高考数学总复习(基础过关+能力训练)：算法、统计与概率统计初步(2)(含答案)

第十章算法、统计与概率第3课时统计初步(2)1. (2013·辽宁卷改)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是________．答案：50解析：由成绩的频率分布直方图可以得到低于60分的频率为0.3，而低于60分的人数为15人，所以该班的总人数为150.3＝50人．2. (2013·湖北)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4.则(1) 平均命中的环数为________；(2) 命中环数的标准差为________．答案：(1) 7 (2) 2解析：(1) 平均命中的环数为110×(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7.(2) 命中环数的标准差为110[02＋12＋02＋22＋（－2）2＋（－3）2＋22＋32＋02＋（－3）2] ＝2.3. 在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有九个小长方形．若中间一个小长方形的面积等于其他八个小长方形面积和的15，则中间一组的频数为________．答案：50解析：在直方图中，小长方形的面积等于这组数的频率，小长方形的面积之和为1. 设中间一个小长方形面积为x ，则x ＝15(1－x)，解得x ＝16，所以中间一组的频数为16×300＝50.4. 甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是________．答案：丙解析：乙与丙的平均成绩好于甲与丁的平均成绩，而且丙的方差小于乙的方差，说明丙的成绩比乙稳定，应派丙参加比赛．5. (2013·重庆改)右边茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)，已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x 、y 的值分别为________．答案：5，8解析：因为甲组数据的中位数为15，由茎叶图可得x ＝5，因乙组数据的平均数为16.8，则15[5＋15＋(10＋y)＋18＋24]＝16.8，解得y ＝8. 6. 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，测试成绩(单位：分)如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m o ，平均值为x －，则m e 、m o 、x －从小到大排列为___________．答案：m o <m e <x －解析：由图可知，30名学生的得分情况依次为得3分的有2人，得4分的有3人，得5分的有10人，得6分的有6人，得7分的有3人，得8分的有2人，得9分的有2人，得10分的有2人．中位数为第15、16个数(分别为5、6)的平均数，即m e ＝5.5，5出现的次数最多，故m o ＝5，x －＝(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10)/30≈5.97.于是得m o <m e <x －.7. 由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为____________．(从小到大排列)答案：1，1，3，3解析：不妨设x 1≤x 2≤x 3≤x 4，x 1，x 2，x 3，x 4∈N *，依题意得x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8，s ＝14[（x 1－2）2＋（x 2－2）2＋（x 3－2）2＋（x 4－2）2]＝1，即(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝4，所以x 4≤3，则只能x 1＝x 2＝1，x 3＝x 4＝3，则这组数据为1，1，3，3.8. (2013·安徽联考)已知x 是1，2，3，x ，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，x ，－y 这四个数据的平均数为1，则1x＋y 的最小值为________．答案：103解析：由已知得3≤x ≤5，1＋3＋x －y 4＝1，∴ y ＝x ，∴ 1x ＋y ＝1x ＋x.又函数y ＝1x＋x在[3，5]上单调递增，∴ 当x ＝3时取最小值103.9. 小李拟将1，2，3，…，n 这n 个数输入电脑，求平均数，当他认为输入完毕时，电脑显示只输入n －1个数，平均数为3557，假设这n －1个数输入无误，则漏输的一个数是________ .答案：56解析：设删去的一个数是x ，1≤x ≤n ，则删去的一个数是1，则平均数不减，平均数为n （n ＋1）2－1n －1＝n ＋22，删去的一个数是n ，则平均数不增，平均数为n （n ＋1）2－n n －1＝n2，所以n 2≤3557≤n ＋22，69<n ≤71.当n ＝71时，n （n ＋1）2－x n －1＝3557，解得x ＝56，当n ＝70时无解，所以x ＝56.10. (2013·金华联考)下图是某市有关部门根据该市干部的月收入情况，作抽样调查后画出的样本频率分布直方图．已知图中第一组的频数为4 000，请根据该图提供的信息解答下列问题：(图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000，1 500)．(1) 求样本中月收入在[2 500，3 500)的人数；(2) 为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1 500，2 000)的这段应抽多少人？(3) 试估计样本数据的中位数．解：(1) ∵ 月收入在[1 000，1 500)的频率为0.000 8×500＝0.4，且有4 000人，∴ 样本的容量n ＝4 0000.4＝10 000；月收入在[1 500，2 000)的频率为0.000 4×500＝0.2；月收入在[2 000，2 500)的频率为0.000 3×500＝0.15；月收入在[3 500，4 000)的频率为0.000 1×500＝0.05.∴ 月收入在[2 500，3 500)的频率为1－(0.4＋0.2＋0.15＋0.05)＝0.2. ∴ 样本中月收入在[2 500，3 500)的人数为0.2×10 000＝2 000.(2) ∵ 月收入在[1 500，2 000)的人数为0.2×10 000＝2 000，∴ 再从10 000人中用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[1 500，2 000)的这段应抽取100×2 00010 000＝20(人)．(3) 由(1)知月收入在[1 000，2 000)的频率为0.4＋0.2＝0.6＞0.5，∴ 样本数据的中位数为1 500＋0.5－0.40.000 4＝1 500＋250＝1 750(元)．11. 某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：甲：1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.73，1.68，1.67；乙：1.60，1.73，1.72，1.61，1.62，1.71，1.70，1.75.经预测，跳高1.65m 就很可能获得冠军．该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？若预测跳高1.70m 方可获得冠军呢？解：甲的平均成绩和方差如下：x －甲＝18(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)＝1.69，s 2甲＝18[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋…＋(1.67－1.69)2]＝0.0006. 乙的平均成绩和方差如下：x －乙＝18(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)＝1.68，s 2乙＝18[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋…＋(1.75－1.68)2]＝0.00315. 显然，甲的平均成绩好于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定．由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若跳高1.65m 就很可能获得冠军，应派甲参赛．在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70m 以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但成绩突破1.70 m 的概率大于甲，若跳高1.70m 方可获得冠军时，应派乙参加比赛．。

2015年三年高考数学(理)真题精编——专题11排列组合、二项式定理

一、选择题3. 【2014天津，理6】如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ．在上述条件下，给出下列四个结论： ①BD 平分CBF Ð；②2FB FD FA =?；③AE CEBE DE ??；④AF BD AB BF ??．则所有正确结论的序号是（）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③（D ）①②④【答案】D ．【解析】考点：1．弦切角定理；2．切线长定理；3．相交弦定理．4. 【2015高考天津，理5】如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为( ) （A ）83 （B ）3 （C ）103 （D ）52【答案】A【解析】由相交弦定理可知，,AM MB CM MD CN NE AN NB ⋅=⋅⋅=⋅，又因为,M N 是弦AB 的三等分点，所以AM MB AN NB CN NE CM MD ⋅=⋅∴⋅=⋅，所以24833CM MD NE CN ⋅⨯===，故选A.【考点定位】相交弦定理.6. 【2014高考广东卷.理.8】设集合(){}{}12345,,,,1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为( )A .60B .90C .120D .130 【答案】D【考点定位】本题考查分类计数原理，属于拔高题7. 【 2014湖南4】5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中32y x 的系数是（） A.20- B.5- C.5 D.20 【答案】A【解析】根据二项式定理可得第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭,则2n =时,()()2532351121022022n n n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以23x y 的系数为20-,故选A.【考点定位】二项式定理8. 【2013山东，理10】用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()．A ．243B ．252C ．261D ．279 【答案】：B【解析】：构成所有的三位数的个数为11191010C C C ＝900，而无重复数字的三位数的个数为111998C C C ＝648，故所求个数为900－648＝252，应选B.11. 【2015高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r r r n x +T =，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n=，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ．【考点定位】二项式定理．13. 【2013课标全国Ⅱ，理5】已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝()．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1 【答案】：D17. 【2014四川，理2】在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为（）A ．30B ．20C ．15D ．10 【答案】C 【解析】试题分析：623456(1)(161520156)x x x x x x x x x +=++++++，所以含3x 项的系数为15.选C 【考点定位】二项式定理.18. 【2014四川，理6】六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种【答案】B【考点定位】排列组合.19. 【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）（A ）144个（B ）120个（C ）96个（D ）72个【答案】B 【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，则有343A ⨯个.所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个.选B.【考点定位】排列组合.24. 【2015高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C【解析】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y的系数为212532C C C =30，故选 C.【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.25. 【2013课标全国Ⅰ，理9】设m 为正整数，(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】：B【解析】：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)，即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 26. 【2014年.浙江卷.理5】在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）（）A.45B.60C.120D. 210 答案：C解析：由题意可得()()()()3211236646443,02,11,20,32060364120f f f f C C C C C C ++=+++=+++=，故选C考点：二项式系数.30. 【2014高考重庆理第9题】某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.168 【答案】B 【解析】试题分析：将所有的安排方法分成两类，第一类：歌舞类节目中间不穿插相声节目，有32132262224A A A =⨯⨯=(种)；第二类：歌舞类节目中间穿插相声节目，有31113224622496A A A A =⨯⨯⨯=(种)；根据分类加法计数原理，共有96+24=120种不同的排法.故选B.考点：1、分类加法计数原理；2、排列.34. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷2】若二项式7)2(xa x +的展开式中31x 的系数是84，则实数=a （）A.2B. 54C. 1D. 42 【答案】C 【解析】试题分析：因为r r r r r r r x a C xa x C 2777772)()2(+---⋅⋅⋅=⋅⋅，令327-=+-r ，得2=r ，所以84227227=⋅⋅-a C ，解得1=a ，故选C.考点：二项式定理的通项公式，容易题.35. 【2015高考湖北，理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A.122 B ．112 C ．102 D ．92【答案】D【考点定位】二项式系数，二项式系数和.二、填空题5. 【2013天津，理10】6x⎛ ⎝的二项展开式中的常数项为__________．【答案】156. 【2013天津，理11】已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为π4,3⎛⎫⎪⎝⎭，则|CP |＝__________.【答案】【解析】由圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，得圆心C 的直角坐标为(2,0)，点P 的直角坐标为(2,)，所以|CP|＝7. 【2013天津，理13】如图，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD ∥AC .过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝5，则线段CF 的长为__________．【答案】83【解析】∵AE 为圆的切线， ∴由切割线定理，得AE2＝EB·ED. 又AE ＝6，BD ＝5，可解得EB ＝4. ∵∠EAB 为弦切角，且AB ＝AC ， ∴∠EAB ＝∠ACB ＝∠ABC.∴EA ∥BC.又BD ∥AC ， ∴四边形EBCA 为平行四边形． ∴BC ＝AE ＝6，AC ＝EB ＝4. 由BD ∥AC ，得△ACF ∽△DBF ， ∴45CF AC BF BD ==. 又CF ＋BF ＝BC ＝6，∴CF ＝83.8. 【2014天津，理13】在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin r q =和直线sin a r q =相交于,A B 两点．若AOB D 是等边三角形，则a 的值为___________．【答案】3．考点：直线和圆的极坐标方程．9. 【2015高考天津，理12】在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .【答案】1516【解析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以 222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以该项系数为1516.【考点定位】二项式定理及二项展开式的通项.11. 【2013高考北京理第12题】将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________．【答案】96 【解析】试题分析：连号有4种情况，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，则不同的分法有4×1343C A ＝96(种)．考点：排列组合.12. 【2014高考北京理第13题】把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C不相邻，则不同的摆法有种. 【答案】36考点：排列组合，容易题.13. 【2015高考北京，理9】在()52x +的展开式中，3x 的系数为．（用数字作答）【答案】40【解析】利用通项公式，5152r r r r T C x -+=⋅，令3r =，得出3x 的系数为325240C ⋅=【考点定位】本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.16. 【2014高考广东卷.理.11】从0.1.2.3.4.5.6.7.8.9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .【答案】16.【考点定位】本题考查排列组合与古典概型的概率计算，属于能力题.17. 【2015高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 .【答案】6．【解析】由题可知()()44214411r rrrr r r T CC x--+=-=-，令412r-=解得2r =，所以展开式中x 的系数为()22416C -=，故应填入6．【考点定位】二项式定理．18. 【2015高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）【答案】1560．【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了24040391560A =⨯=条毕业留言，故应填入1560．【考点定位】排列问题．20. 【2014山东.理14】若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22b a +的最小值 .【答案】2【解析】26()bax x +展开式的通项为266123166()()r r r r r r r r b T C ax a b C x x---+==，令1233,r -=得3r =，所以，由6333620a b C -=得1ab =，从而2222a b ab +≥=，当且仅当a b =时，22a b +的最小值为2.22. 【2014新课标，理13】 ()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案)【答案】12【解析】因为10110r r r r T C x a -+=，所以令107r -=，解得3r =，所以373410T C x a ==157x ，解得12a =. 24. 【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．【答案】3【解析】由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．【考点定位】二项式定理．25. 【2013四川，理11】二项式5()x y +的展开式中，含23x y 的项的系数是____________．（用数字作答）【答案】10【解析】由二项展开式的通项公式知，含23x y 的项是32345T C x y =，所以系数为3510C =，故填10.【考点定位】本题考查求二项展开式的指定项系数，属于基础题.26. 【2015高考四川，理11】在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是（用数字作答）.【答案】40-. 【解析】55(21)(12)x x -=--，所以2x 的系数为225(2)40C -⨯-=-.【考点定位】二项式定理.27. 【2014课标Ⅰ，理14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过C B A ,,三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市. 丙说：我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为__________ 【答案】A28. 【2014课标Ⅰ，理13】()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案）【答案】20-【解析】由题意，8()x y +展开式通项为8k k18C y k k T x -+=，08k ≤≤．当7k =时，777888T C xy xy ==；当6k =时，626267828T C x y x y ==，故()()8x y x y -+的展开式中27x y 项为726278(y)2820x xy x y x y ⋅+-⋅=-，系数为20-．29. 【2014年.浙江卷.理14】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）. 答案：60解析：不同的获奖分两种，一是有一人获两张将卷，一人获一张，共有223436C A =，二是有三人各获得一张，共有3424A =，因此不同的获奖情况有60种考点：排列组合.30.【2013年.浙江卷.理11】设二项式5的展开式中常数项为A ，则A ＝__________.【答案】：－1031. 【2013年.浙江卷.理14】将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法共有__________种(用数字作答)．【答案】：480 【解析】：如图六个位置.若C 放在第一个位置，则满足条件的排法共有55A 种情况；若C 放在第2个位置，则从3,4,5,6共4个位置中选2个位置排A ，B ，再在余下的3个位置排D ，E ，F ，共24A ·33A 种排法；若C 放在第3个位置，则可在1,2两个位置排A ，B ，其余位置排D ，E ，F ，则共有22A ·33A 种排法或在4,5,6共3个位置中选2个位置排A ，B ，再在其余3个位置排D ，E ，F ，共有23A ·33A 种排法；若C在第4个位置，则有22A 33A ＋23A 33A 种排法；若C 在第5个位置，则有24A 33A 种排法；若C 在第6个位置，则有55A 种排法．综上，共有2(55A ＋24A 33A ＋23A 33A ＋22A 33A )＝480(种)排法．34. 【2013高考重庆理第13题】从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是__________(用数字作答)．【答案】59035. 【2015高考重庆，理12】53x ⎛ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答).【答案】52【解析】二项展开式通项为7153521551()()2k k kkk k k T C x C x --+==，令71582k-=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =. 【考点定位】二项式定理36. 【2014，安徽理13】设n a ,0≠是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式为nn x a x a x a a ++++ 2210．若点)2,1,0)(,(=i a i A i i 的位置如图所示，则______=a ．【答案】3考点：1．二项展开式的应用．37. 【2013，安徽理11】若8x ⎛⎝的展开式中4x 的系数为7，则实数a =______．【答案】21．【解析】二项式8x ⎛ ⎝展开式的第1r +项：88333188841843,732rrr rrr r r T C xC a x r r C a a-=-+==?=?=?．【命题立意】考查二项式定理．【易错警示】注意二项展开式的第1r +项的二项式系数为rn C ，上标是r ，不是r +1．39. 【2015高考安徽，理11】371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案）【答案】35【解析】由题意，二项式371()x x +展开的通项372141771()()r r r r r r T C x C x x--+==，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =.【考点定位】1.二项式定理的展开式应用.42. 【2013上海,理5】设常数a ∈R .若25()a x x+的二项展开式中x 7项的系数为－10，则a ＝______.【答案】－2【解析】T r ＋1＝255C ()()rr r ax x-,2(5－r )－r ＝7⇒r ＝1，故15C a ＝－10⇒a ＝－2.45. 【2015高考福建，理11】()52x + 的展开式中，2x 的系数等于．（用数字作答）【答案】80【解析】()52x + 的展开式中2x 项为2325280C x =，所以2x 的系数等于80．【考点定位】二项式定理．。

2015级组合数学复习题解答

证将有50元的人用1标识，有100元的人用-1标识，则该问题为：包括m个-1和n个1的m + n个数
a1 , a2 ,L , amn
构成的序列，使
27
a1 a2 L ak 0, k 1, 2,L , m n 这m + n个数的排列是集合 {n 1, m (1)}的排列，
排列数为
2. (1) 在2n个物体中有n个是相同的，则从这2n
个物体中选取n个的方法有几种？
(2) 在3n +1个物体中有n个是相同的，则从这
3n +1个物体中选取n个的方法有几种？
解 (1) 若选出的物体有 k (k 0,1, 2,L , n) 个不
相同,则其余n - k个是相同的,所以选取的方法数为
一行的木棍分割成7段(加上首和尾).设所选左边第
1根木棍的左侧有x1根未被选中的木棍；在第1 与第2根所选木棍之间有x2根未被选中的木棍；…；在第5 与第6根所选木棍之间有x6根未被选中的木棍；在第6根所选木棍的右侧有x7根未被选中的木棍，则由于没有两根选出的木棍是相邻的，所以
x1 x1
解显然a1 9.
若末位数是1到9中某个数，则前面n-1位组成的有效数有an-1个，因此，末位数不是0的n位有效数字有 9 an-1个.
若末位数是0，则这样的n位十进制数有10n-1个，而不是有效数的有 an-1个 (因n-1位的有效数后面添一个0就不是有效数了), 所以末位数是0的有效数有
上与a不同的数字而得, 故这类数串的个数为 fn2 .
17
于是得递推关系
fn f1
fn1 fn2 2, f2 4
由Fibonacci数列,得通解
fn
1 c1 ( 2

【金版教程】2015届高考数学大一轮总复习 10-2(2)排列与组合限时规范训练理

05限时规范特训A级基础达标1．[2014·金版题]2013年8月31日，第十二届全民运动会在辽宁省举行．某运动队有男运动员6名，女运动员4名，选派5人参加比赛，则至少有1名女运动员的选派方法有( )A．128种B．196种C．246种D．720种解析：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．从10人中任选5人，有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种．所以“至少有1名女运动员”的选法有C510－C56＝246种．答案：C2．[2014·哈尔滨月考]两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为( )A．48种B．36种C．24种D．12种解析：爸爸排法为A22种，两个小孩排在一起故看成一体有A22种排法．妈妈和孩子共有A33种排法，∴排法种数共有A22A22A33＝24种．故选C.答案：C3．[2013· 昌平区期末]在高三(1)班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为( )A．24 B．36C．48 D．60解析：先排3个女生，三个女生之间有4个空，从四个空中选两个排男生，共有A24A33＝72(种)，若女生甲排在第一个，则三个女生之间有3个空，从3个空中选两个排男生，有A23A22＝12(种)，∴满足条件的出场顺序有72－12＝60(种)排法，选D.答案：D4．将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放2支，则不同的放法有( )A．56种B．84种C．112种D．28种解析：根据题意先将7支不同的笔分成两组，若一组2支，另一组5支，有C 27种分组方法；若一组3支，另一组4支，有C 37种分组方法．然后分配到2个不同的笔筒中，故共有(C 27＋C 37)A 22＝112种放法．答案：C5．[2014·三明调研]将A ，B ，C ，D ，E 排成一列，要求A ，B ，C 在排列中顺序为“A ，B ，C ”或“C ，B ，A ”(可以不相邻)，这样的排列数有( )A ．12种B ．20种C ．40种D ．60种解析：五个元素没有限制全排列数为A 55，由于要求A ，B ，C 的次序一定(按A ，B ，C 或C ，B ，A )故除以这三个元素的全排列A 33，可得A 55A 33×2＝40.答案：C6．在1,2,3,4,5,6这六个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有( )A ．60个B ．36个C ．24个D ．18个解析：依题意，所选的三位数字有两种情况：(1)3个数字都是偶数，有A 33种方法；(2)3个数字中有2个是奇数，1个是偶数，有C 23C 13A 33种方法，故共有A 33＋C 23C 13A 33＝60种方法，故选A.答案：A7．[2014·延安模拟]某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有________种．解析：甲、乙排在一起，用捆绑法，先排甲、乙、戊，有2A 22种排法，丙、丁不排在一起，用插空法，有A 23种排法，所以共有2A 22·A 23＝24种．答案：248．在小语种提前招生考试中，某学校获得5个推荐名额，其中俄语2个，日语2个，西班牙语1个，日语和俄语都要求有男生参加．学校通过选拔定下3男2女共5名推荐对象，则不同的推荐方法共有________．解析：每个语种各推荐1名男生，共有A 33A 22＝12种，3名男生都不参加西班牙语考试，共有C 23C 12A 22＝12种，故不同的推荐方法共有24种．答案：249．[2014·衡水模拟]20个不加区别的小球放入1号，2号，3号的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．解析：先在编号为2,3的盒内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共有C216＝120(种)方法.答案：12010．用0,1,3,5,7五个数字，可以组成多少个没有重复数字且5不在十位上的五位数？解：本题可分为两类：第一类：0在十位位置上，这时，5不在十位位置上，所以五位数的个数为A44＝24个．第二类：0不在十位位置上，这时，由于5不能排在十位位置上，所以，十位位置上只能排1,3,7之一，有A13种方法；又由于0不能排在万位位置上，所以万位位置上只能排5或1,3,7被选作十位上的数字后余下的两个数字之一，有A13种方法；十位、万位上的数字选定后，其余三个数字全排列即可，有A33种方法．根据分步计数原理，第二类中所求五位数的个数为A13·A13·A33＝54个．由分类加法计数原理，符合条件的五位数共有24＋54＝78个．11．某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行．求安排这6项工程的不同排法种数．解：方法一：设6项工程自左至右占据1～6的6个不同位置．由于工程丙、丁必须相邻且工程丁在工程丙之后，工程丙、丁都在工程甲、乙之后，因此工程丙、丁的位置有以下3类：第一类：工程丙、丁占据3,4位置，则1,2位置分别由工程甲、乙占据，剩余5,6两个位置可由剩余的2项工程占据，共有A22＝2种排法；第二类：工程丙、丁占据4,5位置，共有(C12＋1)·A22＝6种排法；第三类：工程丙、丁占据5,6位置，共有(C13＋C12＋1)·A22＝12种排法．由分类加法计数原理，共有2＋6＋12＝20种不同排法．方法二：由题意，由于丁必须在丙完成后立即进行，故可把丙、丁视为一个大元素，先不管其他限制条件使其与其他四个元素排列共有A55种排法．在所有的这些排法中，考虑甲、乙、丙相对顺序共有A33种，故满足条件的排法种数为A55A33＝20种．12．[2014·武汉调研]有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站在排头也不站在排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻；(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人．解：本题考查了有限制条件的排列问题．(1)从7个人中选5个人来排列，有A57＝2520(种)．(2)分两步完成，先选3人排在前排，有A37种方法，余下4人排在后排，有A44种方法，故共有A37·A44＝5040(种)．事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件．(3)(优先法)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法；其余6人有A66种方法，故共有5×A66＝3600(种)．(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A44种方法，再将4名女生进行全排列，也有A44种方法，故共有A44×A44＝576(种)．(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，∴应先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A35种方法，故共有A44×A35＝1440(种)．(6)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人有A22种方法，再从剩下的5人中选3人排到中间，有A35种方法，最后把甲、乙及中间3人看作一个整体，与剩余2人排列，有A33种方法，故共有A22×A35×A33＝720(种)．B级知能提升1．[2014·南昌模拟]将5名学生分到A，B，C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法有( )A．18种B．36种C．48种D．60种解析：由题意知A，B，C三个宿舍中有两个宿舍分到2人，另一个宿舍分到1人．若甲被分到B宿舍：(1)A中2人，B中1人，C中2人，有C24＝6种分法；(2)A中1人，B中2人，C中2人，有C24C12＝12种分法；(3)A中2人，B中2人，C中1人，有C24C12＝12种分法，即甲被分到B宿舍的分法有30种，同样甲被分到C宿舍的分法也有30种，所以甲不到A宿舍一共有60种分法，故选D.答案：D2．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为( )A. 8B. 16C. 24D. 32解析：本题主要考查排列组合知识，题中情境富有生活气息，根据捆绑法即可解决问题，考查考生利用所学知识分析问题、解决问题的能力．利用捆绑法，先将4个连在一起的车位捆绑看成一个元素，然后将3辆车放在余下的3个车位，共有A 44＝24.答案：C3．[2014·潍坊五校联考]数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列，设第一行的数为N 1，其中N 2，N 3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N 1<N 2<N 3的所有排列的个数是________．解析：由题意知6必在第三行，安排6有C 13种方法，第三行中剩下的两个空位安排数字有A 25种方法，在留下的三个数字中，必有一个最大数，把这个最大数安排在第二行，有C 12种方法，剩下的两个数字有A 22种排法，按分步乘法计数原理，所有排列的个数是C 13A 25C 12A 22＝240.答案：2404．[2014·江西八校联考]将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，求恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数．解：先将5人分成三组(1,1,3或2,2,1两种形式)，再将这三组人安排到3个房间，然后将2个空房间插入前面住了人的3个房间形成的空档中即可，故安排方式共有(C 15C 14C 33A 22＋C 25C 23C 11A 22)·A 33·C 24＝900(种)．。

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