高中必修1第一章集合复习(讲义+例题+练习)

集合章节复习

1．集合元素的三个特性：确定性，互异性，无序性．

2．元素与集合有且只有两种关系：∈，∉.（属于、不属于）

3．集合表示方法有列举法，描述法，韦恩图法，常用数集字母代号．4．集合间的关系与集合的运算

符号定义Venn图子集A⊆B x∈A⇒x∈B

真子集A B A⊆B且存在x0∈B但x0∉A

并集A∪B {x|x∈A或x∈B}

交集A∩B {x|x∈A且x∈B}

补集∁U A(A⊆U) {x|x∈U且x∉A}

5.常用结论

(1)∅⊆A.

(2)A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝A⇔A⊇B.

(3)A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝A⇔A⊆B.

(4)A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；

∁U(∁U A)＝A.

1．若A ＝{}

x ，|x |，则x <0.( √ ) 2．任何集合至少有两个子集．( × )

3．若{}

x |ax 2＋x ＋1＝0有且只有一个元素，则必有Δ＝12－4a ＝0.( × ) 4．设A ，B 为全集的子集，则A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B .( √ )

类型一 集合的概念及表示法

例1 下列表示同一集合的是( ) A ．M ＝{(2,1)，(3,2)}，N ＝{(1,2)} B ．M ＝{2,1}，N ＝{1,2}

C ．M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈N }

D ．M ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R } 答案 B

解析 A 选项中M ，N 两集合的元素个数不同，故不可能相同；

B 选项中M ，N 均为含有1,2两个元素的集合，由集合中元素的无序性可得M ＝N ；

C 选项中M ，N 均为数集，显然有N

M ；

D 选项中M 为点集，即抛物线y ＝x 2－1上所有点的集合，而N 为数集，即抛物线y ＝x 2－1的值域，故选B.

反思与感悟 要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明确是数集，还是点集等．

跟踪训练1 设集合A ＝{(x ，y )|x －y ＝0}，B ＝{(x ，y )|2x －3y ＋4＝0}，则A ∩B ＝________. 答案 {(4,4)}

解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，2x －3y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝4，

y ＝4.

∴A ∩B ＝{(4,4)}．

类型二 集合间的基本关系

例2 若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，求由a 的可能取值组成的集合．

解 由题意得，P ＝{－3,2}． 当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ；

当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1

a ，

为满足S ⊆P ，可使－1a ＝－3或－1

a ＝2，

即a ＝13或a ＝－1

2.

故所求集合为⎩

⎨⎧

⎭

⎬⎫0，13，－12.

反思与感悟 (1)在分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．

(2)对于两集合A ，B ，当A ⊆B 时，不要忽略A ＝∅的情况． 跟踪训练2 下列说法中不正确的是________．(填序号) ①若集合A ＝∅，则∅⊆A ；

②若集合A ＝{x |x 2－1＝0}，B ＝{－1,1}，则A ＝B ； ③已知集合A ＝{x |12. 答案 ③

解析 ∅是任何集合的子集，故①正确； ∵x 2－1＝0，∴x ＝±1，∴A ＝{－1,1}， ∴A ＝B ，故②正确；

若A ⊆B ，则a ≥2，故③错误．

类型三集合的交、并、补运算

命题角度1用符号语言表示的集合运算

例3设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2

解把全集R和集合A，B在数轴上表示如下：

由图知，A∪B＝{x|2

∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，

∵∁R A＝{x|x<3或x≥7}．

∴(∁R A)∩B＝{x|2

反思与感悟求解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否．

跟踪训练3已知集合U＝{x|0≤x≤6，x∈Z}，A＝{1,3，6}，B＝{1,4,5}，则A∩(∁U B)等于() A．{1} B．{3,6}

C．{4,5} D．{1,3,4,5,6}

答案 B

解析∵U＝{0,1,2,3,4,5,6}，B＝{1,4,5}，

∴∁U B＝{0,2,3,6}，

又∵A＝{1,3,6}，∴A∩(∁U B)＝{3,6}，故选B.

命题角度2用图形语言表示的集合运算

例4设全集U＝R，A＝{x|0

答案{x|1≤x<2}

解析图中阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)，因为∁U B＝{x|x≥1}，画出数轴，如图所示，所以A∩(∁U B)＝{x|1≤x＜2}．

反思与感悟解决这一类问题一般用数形结合思想，借助于Venn图和数轴，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来．

跟踪训练4学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛，后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛，已知两项都参赛的有6名同学，两项比赛中，这个班共有多少名同学没有参加过比赛？

解设A＝{x|x为参加排球赛的同学}，B＝{x|x为参加田径赛的同学}，则A∩B＝{x|x为参加两项比赛的同学}．画出V enn图(如图)，

则没有参加过比赛的同学有：

45－(12＋20－6)＝19(名)．

答这个班共有19名同学没有参加过比赛．

类型四关于集合的新定义题

例5设A为非空实数集，若对任意的x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，则称A 为封闭集．

①集合A＝{－2，－1,0,1,2}为封闭集；

②集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集；

③若集合A1，A2为封闭集，则A1∪A2为封闭集；

④若A为封闭集，则一定有0∈A.

其中正确结论的序号是________．

答案②④

解析①集合A＝{－2，－1,0,1,2}中，－2－2＝－4不在集合A中，所以不是封闭集；②设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2，k1，k2∈Z，故x＋y＝2(k1＋k2)∈A，x－y＝2(k1－k2)∈A，xy＝4k1k2∈A，故②正确；③反例是：集合A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}为封闭集，但A1∪A2不是封闭集，故③不正确；④若A为封闭集，则取x＝y，得x－y＝0∈A.故填②④. 反思与感悟新定义题是近几年高考中集合题的热点题型，解答这类问题的关键在于阅读理解，也就是要在准确把握新信息的基础上，利用已有的知识来解决问题．