运筹学课程常见疑难问题及解答
运筹学部分课后习题集解答1
,.运筹学部分课后习题解答用图解法求解线性规划问题min z=2x 1 3x 24x 1 6 x 26a ）2 x 2 4s..t 4x 1 x 1, x 2 0解：由图 1 可知，该问题的可行域为凸集 MABCN ，且可知线段 BA 上的点都为最优解，即该问题有无量多最优解，这时的最优值为z min =233 0 32用图解法和纯真形法求解线性规划问题max z=10x 15x 2a ）3x 1 4x 295x 1 2 x 2 8st..x 1, x 2 0解：由图 1 可知，该问题的可行域为凸集 OABCO ，且可知 B 点为最优值点，3x 1 4x 2x 1 1T93 ，即最优解为 x *3即2 x 2 8x 21,5x 1 22这时的最优值为 z max =10 1 53 352 2,.纯真形法：原问题化成标准型为max z=10x15x23x1 4 x2x39st.. 5x12x2x48x1 , x2 , x3 , x40c j10500C B X B b x1x2x3x40x3934100x48[5]201C j Z j105000x321/50[14/5]1-3/510x18/512/501/5C j Z j010-25x23/2015/14-3/1410x1110-1/72/7C j Z j00-5/14-25/14,.1,3T1015335因此有 x*, zmax222已知线性规划问题：max z 2 x14x2x3 x4x13x2x482x1x26x2x3x46x1x2x39x1 , x2 , x3, x40求: (1)写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X*(2,2,4,0) ，试依据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
解：（ 1）该线性规划问题的对偶问题为：min w8 y1 6 y26 y3 9 y4y1 2 y2y423y1y2y3y44y3y41y1y31y1, y2 , y3 , y40（2 ）由原问题最优解为X*(2,2,4,0) ，依据互补废弛性得：y1 2 y2y423 y1y2y3y44y3y41把 X *(2,2,4,0)代入原线性规划问题的拘束中得第四个拘束取严格不等号，即22489y40y1 2 y22进而有3y1y2y34y31,.得 y143, y2, y3 1, y45543因此对偶问题的最优解为 y*(,,1,0)T，最优值为w min1655考虑以下线性规划问题：min z 60x140x280x33x12x2x324x1x23x342x12x22x33x1, x2 , x30（ 1）写出其对偶问题；（2 ）用对偶纯真形法求解原问题；解：（ 1）该线性规划问题的对偶问题为：max w 2y1 4 y23y33y1 4 y2 2 y3602 y1 y22y340y13y22y380y1, y2 , y30（2 ）在原问题加入三个废弛变量x4 , x5 , x6把该线性规划问题化为标准型：max z60x140 x280x33x12x2x3x424x1x23x3x542 x12x22x3x63x j0, jL,6 1,c j-60-40-80000 C B X B b x1x2x3x4x5x6 0x4-2-3-2-1100 0x5-4[-4]-1-30100x6-3-2-2-2001C j Z j-60-40-800000x410-5/45/41-1/12080x1111/43/40-1/400x6-10[-3/2]-1/20-1/21C j Z j0-25-350-1500x411/6005/311/3-5/6 80x15/6102/30-1/31/6 40x22/3011/301/3-2/3 C j Z j00-80/30-20/3-50/3x*( 5,2,0) T , z max60540280 023063633某厂生产A、B、C三种产品，其所需劳动力、资料等相关数据见下表。
运筹学习题解答（5篇材料）
运筹学习题解答（5篇材料）第一篇：运筹学习题解答3.3写出下列线性规划问题的对偶问题，再写出对偶问题的对偶，并验证其即为原问题对偶。
本题没有单纯形法。
5.3 没有答案第二篇：电磁场习题解答1—2—2、求下列情况下，真空中带电面之间的电压。
(2)、无限长同轴圆柱面，半径分别为a和b（b>a），每单位长度上电荷：内柱为τ而外柱为-τ。
解：同轴圆柱面的横截面如图所示，做一长为l半径为r（a<r<b）且与同轴圆柱面共轴的圆柱体。
对此圆柱体的外表面应用高斯通量定理，得ρρ⎰D⋅dS=τlsρ考虑到此问题中的电通量均为er即半径方向，所以电通量对圆柱体前后两个端面的积分为0，并且在圆柱侧面上电通量的大小相等，于是2πlrD=τlρρτρτρ即 D=er，E=er2πε0r2πr由此可得 U=⎰baρρbE⋅dr=⎰ρρττber⋅erdr=lna2πεr2πε0a01—2—3、高压同轴线的最佳尺寸设计——高压同轴圆柱电缆，外导体的内半径为2cm，内外导体间电介质的击穿场强为200kV/cm。
内导体的半径为a，其值可以自由选定但有一最佳值。
因为a太大，内外导体的间隙就变得很小，以至在给定的电压下，最大的E会超过介质的击穿场强。
另一方面，由于E的最大值Em总是在内导体的表面上，当a 很小时，其表面的E必定很大。
试问a为何值时，该电缆能承受最大电压？并求此最大电压。
（击穿场强：当电场增大达到某一数值时，使得电介质中的束缚电荷能够电磁场习题解答第 1 页脱离它的分子而自由移动，这时电介质就丧失了它的绝缘性能，称为击穿。
某种材料能安全地承受的最大电场强度就称为该材料的击穿强度）。
解：同轴电缆的横截面如图，设同轴电缆内导体每单位长度所带电荷的电量为τ，则内外导体之间及内导表面上的电场强度分别为E=而内外导体之间的电压为U=⎰Edr=⎰abττ，Emax=2πεr2πεaττbdr=lna2πεr2πεab或U=aEmaxln()badUb=Emax[ln()+-1]=0daabb-1=0，a==0.736cm aeb5Umax=aEmaxln=0.736⨯2⨯10=1.47⨯10(V)a即ln1—3—3、两种介质分界面为平面，已知ε1=4ε0，ε2=2ε0，且分界面一侧的电场强度E1=100V/m，其方向与分界面的法线成450的角，求分界面另一侧的电场强度E2的值。
最全的运筹学复习题及答案
5、线性规划数学模型具备哪几个要素？答：（1）.求一组决策变量xi 或xij的值（i=1，2，…m j=1，2…n）使目标函数达到极大或极小；（2）.表示约束条件的数学式都是线性等式或不等式；（3）.表示问题最优化指标的目标函数都是决策变量的线性函数第二章线性规划的基本概念一、填空题1．线性规划问题是求一个线性目标函数_在一组线性约束条件下的极值问题。
2．图解法适用于含有两个变量的线性规划问题。
3．线性规划问题的可行解是指满足所有约束条件的解。
4．在线性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于零。
5．在线性规划问题中，基可行解的非零分量所对应的列向量线性无关6．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点（极点）达到。
7．线性规划问题有可行解，则必有基可行解。
8．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其基可行解_的集合中进行搜索即可得到最优解。
9．满足非负条件的基本解称为基本可行解。
10．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰数量在目标函数中的系数为零。
11．将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左_端加入松弛变量。
12．线性规划模型包括决策（可控）变量，约束条件，目标函数三个要素。
13．线性规划问题可分为目标函数求极大值和极小_值两类。
14．线性规划问题的标准形式中，约束条件取等式，目标函数求极大值，而所有变量必须非负。
15．线性规划问题的基可行解与可行域顶点的关系是顶点多于基可行解16．在用图解法求解线性规划问题时，如果取得极值的等值线与可行域的一段边界重合，则这段边界上的一切点都是最优解。
17．求解线性规划问题可能的结果有无解，有唯一最优解，有无穷多个最优解。
18.如果某个约束条件是“≤”情形，若化为标准形式，需要引入一松弛变量。
19.如果某个变量Xj 为自由变量，则应引进两个非负变量Xj′,Xj〞,同时令Xj＝Xj′－Xj。
20.表达线性规划的简式中目标函数为max(min)Z=∑cij xij 。
运筹学精彩试题及问题详解
一、填空题：（每空格2分，共16分）1、线性规划的解有唯一最优解、无穷多最优解、 无界解 和无可行解四种。
2、在求运费最少的调度运输问题中，如果某一非基变量的检验数为4，则说明 如果在该空格中增加一个运量运费将增加4 。
3、“如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题一定存在可行解”，这句话对还是错？ 错4、如果某一整数规划： MaxZ=X 1+X 2X 1+9/14X 2≤51/14 -2X 1+X 2≤1/3 X 1,X 2≥0且均为整数所对应的线性规划（松弛问题）的最优解为X 1=3/2，X 2=10/3，MaxZ=6/29，我们现在要对X 1进行分枝，应该分为 X1≤1 和 X1≥2 。
5、在用逆向解法求动态规划时，f k (s k )的含义是： 从第k 个阶段到第n 个阶段的最优解 。
6. 假设某线性规划的可行解的集合为D ，而其所对应的整数规划的可行解集合为B ，那么D和B 的关系为 D 包含 B7. 已知下表是制订生产计划问题的一张LP 最优单纯形表（极大化问题，约束条问：（1）写出B -1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1003/20.3/1312(2)对偶问题的最优解： Y ＝（5，0，23，0，0）T8. 线性规划问题如果有无穷多最优解，则单纯形计算表的终表中必然有___某一个非基变量的检验数为0______；9. 极大化的线性规划问题为无界解时，则对偶问题_无解_________；10. 若整数规划的松驰问题的最优解不符合整数要求，假设X i =b i 不符合整数要求，INT （b i ）是不超过b i 的最大整数，则构造两个约束条件：Xi ≥INT （b i ）＋1 和 Xi ≤INT （b i ） ，分别将其并入上述松驰问题中，形成两个分支，即两个后继问题。
11. 知下表是制订生产计划问题的一张LP 最优单纯形表（极大化问题，约束条问：(1)对偶问题的最优解： Y ＝(4,0,9,0,0,0)T （2）写出B -1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛611401102二、计算题（60分）1、已知线性规划（20分）MaxZ=3X 1+4X 2 1+X 2≤5 2X 1+4X 2≤12 3X 1+2X 2≤81,X 2≥02）若C 2从4变成5，最优解是否会发生改变，为什么？3）若b 2的量从12上升到15，最优解是否会发生变化，为什么？4）如果增加一种产品X 6，其P 6=(2,3,1)T ，C 6=4该产品是否应该投产？为什么？ 解：1)对偶问题为Minw=5y1+12y2+8y3 y1+2y2+3y3≥3y1+4y2+2y3≥4 y1,y2≥02)当C 2从4变成5时， σ4=-9/8 σ5=-1/4由于非基变量的检验数仍然都是小于0的，所以最优解不变。
运筹学习题答案(第二章)
0
-5/4
(j)
第二章习题解答
2.4 给出线性规划问题 写出其对偶问题；(2)用图解法求解对偶问题；(3)利用(2)的结果及根据对偶问题性质写出原问题最优解。
最优解是：y1=-8/5,y2=1/5,目标函数值-19/5。
01
由于 y1=-8/5,y2=1/5都不等于零，原问题中的约束取等号。又上面第4个约束不等号成立，故x4=0，令x3=0就可以得到最优解： x1=8/5,x2=1/5。
3
2
5
0
0
0
CB
基
b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
2
X2
15-7/4
1/4
1
0
0
0
1/4
5
X3
30+
3/2
0
1
0
1/2
0
0
X4
3 /2-5
-1
0
0
1
-1/2
-1/2
Cj－Zj
-7
0
0
-1
-2
0
第二章习题解答
第二章习题解答
2.14 某厂生产A，B，C三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见下表：
第二章习题解答
已知原问题最优解为X*=(2，2，4，0)，代入原问题，第4个约束不等式成立，故y4=0。有由于x1,x2,x3大于0，上面对偶问题前3个约束取等号，故得到最优解： y1=4/5, y2,=3/5, y3=1, y4=0
第二章习题解答
2.8 已知线性规划问题A和B如下：
01
01
02
2.6 已知线性规划问题
运筹学试题与答题
一、判断题正确的打“√”,错误的打“×”：1．图解法只能解决包含两个决策变量的线性规划问题． 是2．线性规划具有无界解,则可行域无界． 是3．若线性规划问题的可行域存在,则可行域是一个凸集． 是4．单纯形法求解线性规划问题时每换基迭代一次必使目标函数值下降一次． 错 每迭代一次,目标函数的值都会增加,即增量大于05．用单纯形法求解线性规划问题时,如果表中所有的检验数0≤j σ,则表中的基可行解为最优解． 是 0≤j σ,则非基变量都<=06．对偶问题的对偶就是原问题． 恩8．互为对偶问题,原问题有最优解,对偶问题也有最优解． 恩 且目标函数的值也一样9．任意一个运输问题一定存在最优解． 是的运输问题一定存在最优解10．线性规划问题的最优解只能在极点上达到．错11．对偶单纯形法是直接解对偶问题的一种方法． 错 有区别的;通过判断b 列的正负来进行迭代的;12．原问题具有无界解,对偶问题无可行解． 恩13．可行解是基解． 错14．标准型中的变量要求非正． 恩 大于015．线性规划的基本最优解是最优解． 恩16．对产销平衡运输问题,各产地产量之和等于各销地销量之和． 恩18．用单纯形法求解线性规划问题时,一定要将问题化为标准型． 恩19．匈亚利解法是求解运输问题的一种方法．错 匈牙利康尼格法是求解及小型优化方向为极小指派问题的一种方法20．运输问题必存在有限最优解． 错 当非基变量为0时有无穷多最优解关于其退化问题二、填空题：1．规划问题的数学模型由 目标函数 、 约束条件 、 决策变量 三个要素组成;2．满足变量非负约束条件的 基解 称为基可行解;3．线性规划的约束条件个数与其对偶问题的 决策变量个数 相等；4．如原问题有可行解且目标函数值无界,则其对偶问题 无可行解 ；反之,对偶问题有可行解且目标函数值无界,则其原问题 无可行解 ;5．线性规划的右端常数项是其对偶问题的 目标函数的变量系数 ；6．用单纯形法求解线性规划问题时,判断是否为最优解的标准是：对极大化问题,检验数应为 小于0 ；对极小化问题,检验数应为 大于0 ;7．线性规划问题如果没有可行解,则单纯形计算表的终点表中必然有 基变量中有非零的人工变量 ;9．对于有)(n m +个结构约束条件的产销平衡运输问题,由于 销量等于产量 ,故只有)1(-+n m 个结构约束条件是线性独立的;10．某些运输问题会出现数字格的数目<行数+列数-1的现象,这种现象称为 退化 现象;11．运输问题中求初始基可行解的方法有 西北角法 、 最小元素法 、 伏尔格法 三种常用方法;12．在运输问题中,每次迭代时,如果有某非基变量的检验数等于零,则该运输问题 有无限多最优解 ;13．对产销平衡运输问题,所有结构约束条件都是 产量等于销量 ;14．解极小化不平衡运输问题时,如果销售量大于生产量,则需要增加一个虚拟产地,将问题化为平衡运输问题,虚拟产地的产量等于 销量减产量的差额;15．要求 线性规则中 决策变量必须取整数值的规划问题称为整数规划;不考虑整数条件,由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的 相应的线性规划问题 ;16．求解0-1型整数规划时,为了减少运算量,常按目标函数中各变量系数的大小顺序重新排列各变量;对于最大化问题,可按 变量系数递增 的顺序排列,对于最小化问题,则相反;三、选择题：1．下列关于运筹学的优点中,不正确的是A ．凡是可以建立数学模型的问题,一定能用运筹学的方法求得最优解有些问题本来就没有最优解B ．运筹学可以量化分析许多问题C ．大量复杂的运筹学问题,可以借助计算机来处理D ．对复杂的问题可以较快地找到最优的解决方法2．线性规划的约束条件为⎪⎩⎪⎨⎧≥=++=++0,,422341421321x x x x x x x x ,则基本可行解为A ．0,0,4,3B ．1,1,0,0C ．2,0,1,0D ．3,4,0,03．有4个产地5个销地的平衡运输问题模型具有特征A ．有9个基变量B ．有8个约束有9个约束方程,8个独立约束C ．有20个约束D ．有20个变量4．下列叙述正确的是A ．线性规划问题,若有最优解,则必是一个基变量组的可行基解B ．线性规划问题一定有可行基解C ．线性规划问题的最优解只能在极点上达到D ．单纯形法求解线性规划问题时每换基迭代一次必使目标函数值下降一次5．使用人工变量法求解极大化线性规划问题时,当所有的检验数0≤j σ,在基变量中仍含有非零的人工变量,表明该线性规划问题A ．有唯一的最优解B ．有无穷多个最优解C ．为无界解D ．无可行解7．在产销平衡运输问题中,设产地为m 个,销地为n 个,那么解中非零变量的个数A ．不能大于m +n -1B ．不能小于m +n -1C ．等于m +n -1D ．不确定;8．线性规划0,,22,4,43m in 21212121≥≤+≥++=x x x x x x x x z ,则A ．无可行解B ．有唯一最优解C ．有多重解D ．无界解9．对偶问题有5个变量4个约束,则原问题有A ．4个约束5个变量B ．5个约束4个变量C ．4个约束4个变量D ．5个约束5个变量10．互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系A ．原问题有最优解,对偶问题可能无最优解B ．对偶问题有可行解,原问题也有可行解C ．若最优解存在,则最优解相同D ．若最优解存在,则最优解不同12．如果决策变量数相等的两个线性规划的最优解相同,则两个线性规划A ．约束条件相同B ．目标函数相同C ．最优目标函数值相等D ．以上结论都不对14．线性规划具有无界解是指A ．可行解集合无界B ．有相同的最小比值C ．存在某个检验数),,2,1(00m i a k i k =≤>且λD ．最优表中所有非基变量的检验数非零15．线性规划最优解不唯一是指A ．最优表中存在非基变量的检验数为零B ．存在某个检验数),,2,1(00m i a k i k =≤>且λC ．可行解集合是空集D ．可行解集合无界16． 是求解运输问题的一种简便而有效的方法A ．匈亚利解法B ．表上作业法C ．完全枚举法D ．割平面法一、单项选择题本大题有8小题,每小题2分,共16分 1、在单纯性法计算中,如果检验数都小于等于零,而且非基变量的检验数全为负数,则表明此问题有 ;A 、无穷多组最优解B 、无最优解C 、无可行解D 、唯一最优解2、互相对偶的两个线性规划问题,若其中一个无可行解,则另一个必定 ;A 、无可行解B 、有可行解,也可能无可行解C 、有最优解D 、有可行解3、资源的影子价格是一种 ;A 、机会成本B 、市场价格C 、均衡价格D 、实际价格4、检验运输方案的闭合回路法中,该回路含有 个空格为顶点;A 、4个B 、2个C 、1个D 、3个5、m 个产地,n 个销地的初始调运表中,调运数字应该为A 、m+n 个B 、m+n --１个C 、m×nD 、m+n+1个。
最全运筹学习题及答案
最全运筹学习题及答案共1 页运筹学习题答案）1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
（1）max z?x1?x25x1+10x2?50x1+x2?1x2?4x1，x2?0（2）min z=x1+1.5x2x1+3x2?3x1+x2?2x1，x2?0（3）+2x2x1-x2?-0.5x1+x2x1，x2?0（4）max z=x1x2x1-x2?03x1-x2?-3x1，x2?0（1）（图略）有唯一可行解，max z=14（2）（图略）有唯一可行解，min z=9/4（3）（图略）无界解（4）（图略）无可行解1.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。
共2 页（1）min z=-3x1+4x2-2x3+5x4 4x1-x2+2x3-x4=-2x1+x2+3x3-x4?14 -2x1+3x2-x3+2x4?2x1，x2，x3?0，x4无约束（2zk?i??xk?1mxik?（1Max s. t .-4x1xx1,x2共3 页(2)解：加入人工变量x1，x2，x3，…xn，得：Max s=(1/pk)? i?1n?k?1m?ikxik-Mx1-Mx2-…..-Mxnm（1）max z=2x1+3x2+4x3+7x4 2x1+3x2-x3-4x4=8x1-2x2+6x3-7x4=-3x1,x2,x3,x4?0(2)max z=5x1-2x2+3x3-6x4共4 页x1+2x2+3x3+4x4=72x1+x2+x3+2x4=3x1x2x3x4?0（1）解：系数矩阵A是：?23?1?4??1?26?7? ??令A=(P1，P2，P3，P4)P1与P2线形无关，以（P1，P2有2x1+3x2=8+x3+4x4x1-2x2=-3-6x3+7x4令非基变量x3，x4解得：x1=1；x2=2基解0，0)T为可行解z1=8(2)同理，以（P=（45/13，0，-14/13，0)T是非可行解；3以（P1，P4X(3)=，，7/5)T是可行解，z3=117/5；(4)以（P2，P=（，45/16，7/16，0)T是可行解，z4=163/16；3以（P2，P4）为基，基解X(5)0，68/29，0，-7/29)T是非可行解；(6)TX以（P4，P）为基，基解=（0，0，-68/31，-45/31是非可行解；)3最大值为z3=117/5；最优解X(3)=（34/5，0，0，7/5)T。
运筹学课程常见疑难问题及解答
第三章—运输问题的解答
初始调运方案包含的有数字项个数为什么应是m+n-1个？
初始调运方案包含的有数字项之间为什么不能构成闭合的圈？
如何判断有数字项之间是否构成闭合的圈？ 运输问题可能会有哪几种解？
返回
初始调运方案包含的有数字项个数为 什么应是m+n-1个？
产销平衡的运输问题数学模型中包含有m+n个方程，但由于
返回
什么是满秩矩阵？
如果方阵的行列式非零，则该方阵是满秩矩阵。 某方阵是满秩矩阵时，以该方阵各列作为系数的各变量作为
基变量，其他变量取为常数（计算基本解时取为0）时，则
由方程组可求得唯一解。 返回
如何求线性规划问题的基本解？
求线性规划问题的基本解的步骤如下：
把所有约束条件不等式转化成方程； 设约束方程组中包含m个方程和n个变量，则分别找出 计算每个方阵的行列式，判断其是否满秩； 对于所有满秩方阵，分别以各满秩方阵列元素作为约束条件系数的m个变 量作为基变量，而其他变量作为非基变量；
当同时切割到多条关键工序时，凡是由部分Ⅰ至部分Ⅱ的
关键工序都缩短相同的时间，而由部分Ⅱ 至部分Ⅰ的关键 工序，如果延长其工序时间可以节省费用，则其工序时间 可同时延长相同的时间。
返回
第八章—目标规划问题的解答
返回
第九章—排队论问题的解答
返回
第十章—存贮论问题的解答
返回
第十一章—决策论问题的解答
性质中的描述进行计算，而需要进行一定的转换。转换方式 见教案。
返回
松弛性质的另一种表示方式
T X x1 , x 2 , , x n 和Y y1 , y 2 ,, y m 分别为原问题 Max z= c j x j
运筹学课程常见疑难问题及解答
的练习熟练掌握原问题与对偶问题的对应关系。
返回
利用松弛性质求解对偶问题最优解时应注 意什么？
注意给出的线性规划问题是否具备原问题或者对偶问题的标
准形式。对于具备标准形式的线性规划问题，可以直接利用
松弛性质中的描述进行计算。
对于不具备标准形式的线性规划问题，不可以直接利用松弛
以单位矩阵对应的变量作为基变量时，求出的基本解一 定是基本可行解。
迭代时以单位矩阵对应的变量作为基变量，还可以从单
纯形表中直接读出各变量的值。
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应用大M法时应注意什么问题？
应用大M法时应注意：
在约束方程中加入人工变量以后，一定要在目标函数中
增加罚函数项；
在求极大的目标函数中，人工变量系数应为-M，相反在
第八章—目标规划
第九章—排队论 第十章—存贮论 第十一章—决策论 第十二章—多目标决策方法 第十三章—在民航应用案例
一般性问题的解答
运筹学在民航运输中的应用情况
参见第十三章内容及平台上的学术文献
如何学好运筹学课程
同一问题求解方法的选择
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如何学好运筹学课程？
i=1 m
n m a kj x j b k时, y k 0； a ij yi c j , j 1, , n j=1 的最优解，当且仅当 i=1 m y 0,i 1, , m a y c 时, x 0. i l l il i i=1
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什么是满秩矩阵？
如果方阵的行列式非零，则该方阵是满秩矩阵。 某方阵是满秩矩阵时，以该方阵各列作为系数的各变量作为
基变量，其他变量取为常数（计算基本解时取为0）时，则
《运筹学》习题与答案
《运筹学》习题与答案（解答仅供参考）一、名词解释1. 线性规划：线性规划是运筹学的一个重要分支，它主要研究在一系列线性约束条件下，如何使某个线性目标函数达到最大值或最小值的问题。
2. 动态规划：动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法，通过把原问题分解为相互联系的子问题来求解，对每一个子问题只解一次，并将其结果保存起来以备后续使用，避免了重复计算。
3. 整数规划：整数规划是在线性规划的基础上，要求决策变量取值为整数的一种优化模型，用于解决实际问题中决策变量只能取整数值的情形。
4. 马尔可夫决策过程：马尔可夫决策过程是一种随机环境下的决策模型，其中系统的状态转移具有无后效性（即下一状态的概率分布仅与当前状态有关），通过对每个状态采取不同的策略（行动）以最大化期望收益。
5. 最小费用流问题：最小费用流问题是指在网络流模型中，每条边都有一个容量限制和单位流量的成本，寻找满足所有节点流量平衡的同时使得总成本最小的流方案。
二、填空题1. 运筹学的主要研究对象是系统最优化问题，其核心在于寻求在各种（约束条件）下实现（目标函数）最优的方法。
2. 在运输问题中，供需平衡指的是每个（供应地）的供应量之和等于每个（需求地）的需求量之和。
3. 博弈论中的纳什均衡是指在一个博弈过程中，对于各个参与者来说，当其他所有人都不改变策略时，没有人有动机改变自己的策略，此时的策略组合构成了一个（纳什均衡）。
4. 在网络计划技术中，关键路径是指从开始节点到结束节点的所有路径中，具有最长（总工期）的路径。
5. 对于一个非负矩阵A，如果存在一个非负矩阵B，使得AB=BA=A，则称A为（幂等矩阵）。
三、单项选择题1. 下列哪项不是线性规划的标准形式所具备的特点？（D）A. 目标函数是线性的B. 约束条件是线性的C. 决策变量非负D. 变量系数可以为复数2. 当线性规划问题的一个基解满足所有非基变量的检验数都非正时，那么该基解（C）。
A. 不是可行解B. 是唯一最优解C. 是局部最优解D. 不一定是可行解3. 下列哪种情况适合用动态规划法求解？（B）A. 问题无重叠子问题B. 问题具有最优子结构C. 问题不能分解为多个独立子问题D. 子问题之间不存在关联性4. 在运输问题中，如果某条路线的运输量已经达到了其最大运输能力，我们称这条路线处于（A）状态。
运筹学：运输问题习题与答案
一、单选题
1、运输问题是一种特殊的线性规划模型，如下不可能出现的求解结果是（）。
A.有界解
B.无可行解
C.无穷多最优解
D.唯一最优解
正确答案：B
2、运输问题的初始方案中，没有分配运量的格所对应的变量为（）。
A.非基变量
B.基变量
C.松弛变量
D.剩余
正确答案：A
3、对于求解运输问题的表上作业法，当空格的检验数为（）时，表明该方案不是最优方案。
A.任意值
B.零
C.正值
D.负值
正确答案：D
二、判断题
1、运输问题的解有四种情况：分别为：唯一最优解、无穷多最优解、无界解、无可行解。
（）
正确答案：×
2、表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。
（）
正确答案：√
3、如果运输问题的单位运价表上的某一行（某一列）元素都加常数k,最优解保持不变。
（）
正确答案：√
4、产地个数为m,销地个数为n的平衡运输问题的对偶问题有m+n个约束。
（）
正确答案：√
5、运输问题一定有最优解。
（）
正确答案：√
6、m+n−1个变量构成基变量组的充要条件是它们不包含闭回路。
（）
正确答案：√
7、运输问题中的位势就是其对偶变量。
（）
正确答案：√。
最全的运筹学复习题及答案-图文
最全的运筹学复习题及答案-图文5、线性规划数学模型具备哪几个要素？答：（1）.求一组决策变量某i或某ij的值（i=1，2，…mj=1，2…n）使目标函数达到极大或极小；（2）.表示约束条件的数学式都是线性等式或不等式；（3）.表示问题最优化指标的目标函数都是决策变量的线性函数第二章线性规划的基本概念一、填空题1．线性规划问题是求一个线性目标函数_在一组线性约束条件下的极值问题。
2．图解法适用于含有两个变量的线性规划问题。
3．线性规划问题的可行解是指满足所有约束条件的解。
4．在线性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于零。
5．在线性规划问题中，基可行解的非零分量所对应的列向量线性无关6．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点（极点）达到。
7．线性规划问题有可行解，则必有基可行解。
8．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其基可行解_的集合中进行搜索即可得到最优解。
9．满足非负条件的基本解称为基本可行解。
10．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰数量在目标函数中的系数为零。
11．将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左_端加入松弛变量。
12．线性规划模型包括决策（可控）变量，约束条件，目标函数三个要素。
13．线性规划问题可分为目标函数求极大值和极小_值两类。
14．线性规划问题的标准形式中，约束条件取等式，目标函数求极大值，而所有变量必须非负。
15．线性规划问题的基可行解与可行域顶点的关系是顶点多于基可行解16．在用图解法求解线性规划问题时，如果取得极值的等值线与可行域的一段边界重合，则这段边界上的一切点都是最优解。
17．求解线性规划问题可能的结果有无解，有唯一最优解，有无穷多个最优解。
18.如果某个约束条件是“≤”情形，若化为标准形式，需要引入一松弛变量。
19.如果某个变量某j为自由变量，则应引进两个非负变量某j,某j,同时令某j＝某j－某j。
运筹学面试问题及答案
运筹学面试问题及答案问题1：你为什么想离开目前的职务？A.别的同仁认为我是老板前的红人，所以处处排挤我。
B.减半的结果而令我十分沮丧，全然与我的代价不成正比。
C.老板不愿授权，工作处处受限，绑手绑脚、很难做事。
D.公司营运状况不佳，大家人心惶惶。
解答：超过一半的人事主管选择C，其次为D。
选择C的回答，可以显示应征者的企图心、能力强，且希望被赋予更多的职责。
选择D，则是因离职原因为个人无法改变的客观外在因素，因此，面谈者也就不会对个人的能力或工作表现，有太多的存疑。
问题2：你对我们公司介绍存有多少？A.贵公司在去年里，长达8个月的时间，都高居股王的宝座。
B.贵公司已连续3年被XX杂志评选活动为“求职者最想要步入的企业”的第一名。
C.不是很清楚，能否请您做些介绍。
D.贵公司急于发生改变策略，强化与国外大厂的OEM合作，自建品牌的部分则借由海外经销商。
解答：以D居多。
道理很简单，他们希望求职者对所申请的工作有真正的了解，而不仅仅是慕名而来。
问题3：你打听工作时，最重要的考量因素为何？A.公司的远景及产品竞争力。
B.公司对员工生涯规划的注重及人性化的管理。
C.工作的性质是否能让我发挥所长，并不断成长。
D.合理的待遇及主管的管理风格。
解答：以C居多，因为公司要找工作表现好、能够真正有贡献的人，而非纯粹慕名、求利而来的人。
问题4：为什么我们必须投档你？A.因为我深信我比别人都优秀。
B.因为我存有很猛烈的企图心，想与贵公司共同蜕变。
C.您可以由我过去的.工作表现所呈现的客观数据，明显地看出我全力以赴的工作态度。
D.我在这个产业已深耕了8年，多样的人脉就是我最小的资产。
解答：这题理想的回答是C。
你如何让对方看到你的好？单凭口才，是很难令对方信服的，因此，从履历表内容或之前的回答内容中，如果能以客观数字、具体的工作成果，来辅助说明，是最理想的回答。
问题5：恳请谈谈你个人的最小特色。
A.我人缘极佳，连续3年担任福委会委员。
运筹学精彩试题及问题详解
一、填空题：（每空格2分，共16分）1、线性规划的解有唯一最优解、无穷多最优解、 无界解 和无可行解四种。
2、在求运费最少的调度运输问题中，如果某一非基变量的检验数为4，则说明 如果在该空格中增加一个运量运费将增加4 。
3、“如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题一定存在可行解”，这句话对还是错？ 错4、如果某一整数规划： MaxZ=X 1+X 2 X 1+9/14X 2≤51/14 -2X 1+X 2≤1/3 X 1,X 2≥0且均为整数所对应的线性规划（松弛问题）的最优解为X 1=3/2，X 2=10/3，MaxZ=6/29，我们现在要对X 1进行分枝，应该分为 X 1≤1 和 X 1≥2 。
5、在用逆向解法求动态规划时，f k (s k )的含义是： 从第k 个阶段到第n 个阶段的最优解 。
6. 假设某线性规划的可行解的集合为D ，而其所对应的整数规划的可行解集合为B ，那么D和B 的关系为 D 包含 B7. 已知下表是制订生产计划问题的一张LP 最优单纯形表（极大化问题，约束条问：（1）写出B -1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1003/20.3/1312(2)对偶问题的最优解： Y ＝（5，0，23，0，0）T8. 线性规划问题如果有无穷多最优解，则单纯形计算表的终表中必然有___某一个非基变量的检验数为0______；9. 极大化的线性规划问题为无界解时，则对偶问题_无解_________；10. 若整数规划的松驰问题的最优解不符合整数要求，假设X i =b i 不符合整数要求，INT （b i ）是不超过b i 的最大整数，则构造两个约束条件：Xi ≥INT （b i ）＋1 和 Xi ≤INT （b i ） ，分别将其并入上述松驰问题中，形成两个分支，即两个后继问题。
11. 知下表是制订生产计划问题的一张LP 最优单纯形表（极大化问题，约束条问：(1)对偶问题的最优解： Y ＝(4,0,9,0,0,0)T （2）写出B -1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛611401102二、计算题（60分）1、已知线性规划（20分）MaxZ=3X 1+4X 2 1+X 2≤5 2X 1+4X 2≤12 3X 1+2X 2≤81,X 2≥02）若C 2从4变成5，最优解是否会发生改变，为什么？3）若b 2的量从12上升到15，最优解是否会发生变化，为什么？4）如果增加一种产品X 6，其P 6=(2,3,1)T ，C 6=4该产品是否应该投产？为什么？ 解：1)对偶问题为Minw=5y1+12y2+8y3 y1+2y2+3y 3≥3y1+4y2+2y 3≥4 y1,y2≥02)当C 2从4变成5时，σ4=-9/8 σ5=-1/4由于非基变量的检验数仍然都是小于0的，所以最优解不变。
运筹学习题习题解答
第一章线性规划问题及单纯型解法习题解答：1、将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。
解：1）在约束条件(1)式两边同时乘以-1，得-4x1+x2-2x3+x4=2 (4)令x4=x'4-x"4，且x'4，x"4≥0。
在(4)式中加入人工变量x5，在(2)式中加入松弛变量x6，在(3)式中减去剩余变量x7同时加上人工变量x8；把目标函数变为max Z’=3x1-4x2+2x3-5(x'4-x"4）-M x5+0x6+0x7-M x8。
则线性规划问题的标准形为初始单纯形表为下表（其中M为充分大的正数）：2）在上述问题2）的约束条件中加入人工变量x1，x2，…，x n得：初始单纯形表如下表所示：2、分别用单纯法中的大M法和两阶段法求解下述线性规划问题，并指出属哪一类解：解：（1）大M法在上述约束条件中分别减去剩余变量x4，x5，再分别加上人工变量x6，x7得：列出单纯形表如下表所示：由上表知：线性规划问题的最优解为，且标函数的值为7，且存在非基变量检验数σ3=0，故线性规划问题有无穷多最优解。
（2）两阶段法第一阶段数学模型为：第一阶段单纯形表间下表所示：上述线性规划问题最优解，且标函数的最优值为0。
第二阶段单纯形表为下表所示：由上表知：原线性规划问题的最优解为，且标函数的值为7，且存在非基变量检验数σ3=0，故线性规划问题有无穷多最优解。
3、下表是某求极大化线性规划问题计算得到单纯形表。
表中无人工变量，a1，a2，a3，d，c1，c2为待定常数。
试说明这些常数分别取何值时，以下结论成立：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为最优解，但存在无穷多最优解；（3）该线性规划问题具有无界解；（4）表中解非最优，为对解进行改进，换入变量为x1，换出变量为x6。
解：（1）上表中解为唯一最优解时，必有d>0，c1<0，c2<0。
（2）上表中解为最优解，但存在无穷多最优解，必有d>0，c1<0，c2=0或d>0，c1=0，c2<0。
运筹学相关问题
一、某公司有6个零件加工厂，工厂之间的距离（对称）如下表（公里）。
现在要在6家工1，如果组装一个成品需要各个加工厂的零件重量分别为1.5,1.6,0.8，1.3，0.6,0.7吨，运费为3元·吨公里，那么如何选厂使得总运费最小？2，如果要从某一厂出发，把所有的道路巡查一遍回到原处，应该如何走使得总距离最近？3，如果要从某一厂出发，6个加工厂不重复的都巡查一遍回到原处，怎样走使得总距离最近？为什么？我对这个题目的理解：第一问（运输问题）和第二问（中国邮递员问题）都是会做的，运算量也不是很大，关键是第三问应该是明显的TSP问题，就这个问题，我通过查找资料知道了两种方法：一种是动态规划的解法，但这种方法计算量非常大；另一种方法是分枝定界法，从一本运筹学教材上找到的，即将距离矩阵像匈牙利算法似地处理，不过不是太理解。
所以想问下老师（1）题目中说从某一厂出发，我认为可以任选一厂，求得的路线因为是循环的，所以结果应该与选哪一厂无关，想向老师求证一下（2）关于旅行商问题，不知道在老师知道的所有解法中，哪种是最简便易于手算求解的？二、一条多品种流水线上要轮换生产n种不同零件，假设从生产零件i转换生产零件j所需要的设备调整时间为T，列出使总的设备调整时间最小的数学模型，以给出n个零件的生产顺序。
并就如下5个零件给出总调整时间最小的生产顺序（要求说明所使用的关于这个题目，我认为也是TSP问题吧，但问题在于这个矩阵是非对称矩阵，所以想请问老师对于非对称矩阵，求解方法是否会有变化？那一种方法可以通用？三、某科学试验可用1,2,3三套不同仪器中的任一套去完成，每做完一次试验后，如果下次仍用原来的仪器，则需要对该仪器进行检查整修而中断试验；如果下次换用另外一套仪器，则需要拆装仪器，也要中断试验。
假定一次试验时间比任何一套仪器的整修时间都长，因此一套仪器换下来隔一次再重新使用时，不会整修而影响试验。
设i仪器换成j仪器所需中断试验的时间为t，如下表所示。