概率论-事件与概率
1.2 概率论——随机事件及其概率
反演律
AB A B
AB A B
n
n
Ai Ai
i 1
i 1
运算顺序： 逆交并差，括号优先
n
n
Ai Ai
i 1
i 1
Note1:
“+”的理解,“-”的理解
举例说明: A B C A BC
A {1,2,3,4}, B {1,3,5} A B C {2,4}
而BC {1,2,3,4,5} A 反之,请同学课后练习.
§1.2 随机事件及其概率
自然界中的有两类现象
•1. 确定性现象 • 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
•2. 随机现象 • 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
• 随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象.
(4) A1 A2 An A1 A2 An (5) A1 A2 An A1 A2 An
交换律 结合律
分配律
A B B A AB BA
(A B)C A(BC) ( AB)C A(BC )
(A B)C (AC)(BC) A (BC ) ( A B)(A C)
AB
和与积的运算同样定义）
4.事件的差
事件 A 发生而事件B 不发生，是一个事件，称为
事件 A 与 B 差，记作 A B
AB
5.互不相容事件
如果事件 A 与 B 不能同时发生，即 AB ，称事件
A与B互不相容，(或称互斥） 显然, 基本事件是互不相容的 类似地，如果
BA
A1, A2 , , An 两两互不相容，
(6)三个事件至少有两个发生： AB AC BC
随机事件与概率知识点
随机事件与概率知识点随机事件和概率是概率论中的基本概念，它们揭示了不确定性现象背后的规律性。
本文将介绍随机事件的定义及性质，以及概率的概念、性质和计算方法。
一、随机事件的定义随机事件是指在一定条件下，具有不确定性的事件。
简单来说，就是不知道会发生什么的事件。
一个事件发生与否，可以用0或1表示，其中0代表事件不发生，1代表事件发生。
这种不确定性使得我们需要运用概率论的知识来描述和研究。
对于一个随机试验，其样本空间为Ω，由所有可能出现的结果组成。
样本空间中的每一个元素称为一个样本点，记作ω。
而样本空间中的子集，称为事件。
简单来说，事件就是样本空间的一个子集，用来描述某些结果的集合。
二、随机事件的性质1. 必然事件和不可能事件：必然事件是指在所有可能的结果中，一定会发生的事件。
记作Ω，其对应的概率为1。
例如，在一次掷骰子的实验中，必然事件就是出现的点数在1至6之间。
不可能事件是指在所有可能的结果中，一定不会发生的事件。
记作∅，其对应的概率为0。
例如，在一次掷骰子的实验中，不可能事件就是出现的点数为7。
2. 事件的互斥与对立：互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况。
例如，掷骰子出现的点数为奇数和出现的点数为偶数就是互斥事件，因为在一次实验中，掷出奇数的点数和掷出偶数的点数不可能同时发生。
对立事件是指两个事件必定有一个发生，但不能同时发生的情况。
例如，掷骰子出现的点数为奇数和出现的点数为偶数就是对立事件。
三、概率的概念与性质概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)表示。
概率的取值范围在0到1之间，其中0代表不可能事件，1代表必然事件。
1. 古典概型：古典概型是指所有样本点出现的概率相等的情况。
例如，在一次掷骰子的实验中，每个点数出现的概率都是1/6。
2. 几何概型：几何概型是指样本空间是一个有限的几何图形的情况。
例如，在一个正方形平面内随机选择一个点，那么点落在正方形的某个子区域中的概率就可以通过计算子区域面积与正方形面积的比值得到。
大学概率论随机事件与概率
② A B AB
AB
AB
A
B
BA
四、事件的运算律
1.交换律、结合律:(略)
2.分配律：
① AUBI C AUBAUC ② A I B UC AB U AC
3.对偶律：
① A U B A I B （和的逆＝逆的积） ② A I B A U B （积的逆＝逆的和）
例2. 用A、B、C的运算关系表示下列各事件:
P( A) A的测度(长度,面积,体积) 的测度(长度,面积,体积)
例4.
如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平
方公里的大陆架贮藏着石油,
若在海域里随意选取一点
钻探, 问钻到石油的概率是多少？
解:
由题意知, 问题归结为几何概率的计算,
设A={钻到石油},
则 P( A) 40 50000
①三个事件中至少一个发生:
A U B UC
②没有一个事件发生:
ABC A U B UC
③恰有一个事件发生:
ABC U ABC U ABC
④至多有两个事件发生:
（考虑其对立事件）
ABC A U B UC
⑤至少有两个事件发生:
（由对偶律）
ABC U ABC U ABC U ABC AB U BC UCA
考虑可能出现的点数;
2 1, 2, 3, 4, 5, 6
E3: 记录某网站一分钟内受到的点击次数;
3 0，1，2，L
E4: 任选一人,
记录他的身高(m)和体重(kg).
4 h, g 0 h 3, 0 g 400
注: ①样本空间是一个集合;
②对于一个随机试验而言,
例如:
掷两枚均匀的骰子一次,
《概率论》第1章 事件与概率
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5. 试用A、B、C 表示下列事件： ① A 出现； A ② 仅 A 出现；ABC ③ 恰有一个出现；ABC ABC ABC ④ 至少有一个出现；A B C ⑤ 至多有一个出现； ABC ABC ABC ABC ⑥ 都不出现； ABC ⑦ 不都出现； ABC A B C ⑧ 至少有两个出现； AC BC AB
第一章 事件与概率
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在随后的200多年里,概率论不仅在理论上获得了一定 发展,而且在人口统计、保险业、误差理论、天文学等自 然科学中得到了应用.在这一时期,对概率论在理论和应用 方 面 作 出 重 要 贡 献 的 数 学 家 有 雅 格 布 · 努 利 (Jakob 伯 Bernoullii),丹尼尔· 伯努利(Daniel Bernoullii), 棣莫弗(De Moivre), 拉 普 拉 斯 (pace), 欧 拉 (L.Euler), 贝 叶 斯 (T.Bayes), 蒲 丰 (G.Buffon), 高 斯 (F.Gauss), 泊 松 (S.Poisson),布尼亚可夫斯基 (V.Bunjakovskii),切比雪夫 (Chebyshev), 马 尔 可 夫 (A.Markov), 李 雅 普 诺 夫 (A.Lyapunov)等. 尽管18,19世纪,概率论在理论和应用方面得到了很多 成果,但与其它数学分支比较,概率论的发展是缓慢的.甚 至直到20世纪以前概率论还未进入主流数学.其基本原因 是概率论缺乏严密的逻辑基础.
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凯恩斯主张把任何命题都看作事件,例如“明天将下 雨”,“土星上有生命”等等都是事件,人们对这些事件的 可信程度就是概率,而与随机试验无关,通常称为 主观概 率. 米泽斯定义事件的概率为该事件出现的频率的极限, 而作为公理就必须把这一极限的存在作为第一条公理,通 常称为客观概率.
事件与概率的基本知识点总结
事件与概率的基本知识点总结事件与概率的基本知识点总结概率论是研究随机现象的可能性的一门数学学科，其中的核心概念就是事件与概率。
事件是我们希望研究的一个或一组结果，而概率是用来描述这个事件发生的可能性的。
一、事件的概念与分类事件是指我们希望研究的一个或一组结果。
根据事件的特性，可以将其分为互斥事件、相对事件和对立事件。
1. 互斥事件：指两个或多个事件不能同时发生的情况。
例如掷一枚硬币的结果只可能是正面或反面，不可能既是正面又是反面。
2. 相对事件：指两个或多个事件至少有一个发生的情况。
例如掷一个骰子，结果可能是1、2、3、4、5或6，至少会出现其中的一个数字。
3. 对立事件：指两个事件在同一次实验中不能同时发生的情况。
例如抽一张扑克牌，事件A是抽到红心，事件B是抽到黑桃，这两个事件是对立事件。
二、概率的定义与性质概率是用来描述事件发生可能性的数值，它介于0和1之间，包括0和1。
1. 频率定义：频率定义概率是指某一事件在相同条件下进行的实验中发生的频率。
即当实验次数趋于无穷大时，事件发生的频率逼近于概率。
2. 古典定义：古典定义概率适用于等可能性事件。
根据古典概率的定义，事件A发生的概率等于事件A包含的基本事件数目除以样本空间中的基本事件数目。
3. 几何定义：几何定义概率适用于几何模型的实验。
根据几何概率的定义，事件A发生的概率等于落入事件A的区域面积与落入样本空间的区域面积之比。
三、概率的运算法则概率运算法则是用来描述事件之间相互关系的数学原理。
1. 加法法则：对于互斥事件A和B，它们的概率和等于两个事件发生概率的和。
即P(A ∪ B) = P(A) + P(B)。
2. 减法法则：对于事件A，它的补事件是A的对立事件，即A'。
事件A和事件A'是对立事件，它们的概率和等于1。
即P(A') = 1 - P(A)。
3. 乘法法则：对于相对事件A和B，它们的联合概率等于A的概率乘以在A发生的条件下，B发生的条件概率。
概率的事件与条件概率知识点总结
概率的事件与条件概率知识点总结概率是概念中常用到的一个概念，在日常生活中，我们经常会遇到各种概率事件。
概率的研究对象是随机事件，而随机事件又可以分为基本事件和复合事件两种。
本文将围绕概率的事件和条件概率两个知识点进行总结，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、概率的事件事件是指样本空间中的某些元素组成的集合，也可以理解为可能发生的某种状态或情况。
概率的事件可以分为基本事件和复合事件。
1. 基本事件基本事件是样本空间的单个元素，它是概率的最小单位。
例如，掷一枚骰子，出现的点数为1、2、3、4、5、6，每个点数都可以看作是一个基本事件。
2. 复合事件复合事件是样本空间的若干个元素的集合。
例如，掷一枚骰子，出现奇数点数或大于4的点数都属于复合事件。
二、条件概率条件概率是指在某个条件下，事件发生的概率。
条件概率的计算方法为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的计算方法在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在一批产品中，已知有10%的次品，现从中随机抽取一件产品，如果抽到的产品是次品的话，那它出自某个特定生产线的概率是多少？这个问题就需要使用条件概率来计算。
三、应用举例1. 抛硬币问题假设有一枚硬币，正面和反面出现的概率各为1/2。
现在连续抛掷10次硬币，问至少出现8次正面的概率是多少？解答：这是一个出现次数的概率问题，可以使用二项分布来求解。
根据二项分布的公式，可得至少出现8次正面的概率为P(X≥8) =P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)。
代入公式可得：P(X≥8) = C(10, 8) *(1/2)^8 * (1/2)^2 + C(10, 9) * (1/2)^9 * (1/2)^1 + C(10, 10) * (1/2)^10 *(1/2)^0。
概率论-第一章-随机事件与概率
第一章随机事件及其概率自然界和社会上发生的现象可以分为两大类：一类是，事先可以预言其必然会发生某种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，它的结果总是确定的。
这类现象称为确定性现象，另一类是，事先不能预言其会出现哪种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，或出现这种结果或出现那种结果。
这类现象称为随机现象.随机现象虽然对某次实验或观察来说，无法预言其会出现哪种结果，但在相同条件下重复进行大量的实验或观察，其结果却又呈现出某种规律性。
随机现象所呈现出的这种规律性，称为随机现象的统计规律性。
概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。
§1随机事件一、随机试验与样本空间我们把对随机现象进行的一次实验或观察统称为一次随机试验，简称试验，通常用大写字母E表示。
举例如下：E\：抛一枚硬币，观察正面〃、反面卩出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃、反面7出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃出现的次数；£.：投掷一颗骰子，观察它出现的点数；£：记录某超市一天内进入的顾客人数；&：在一批灯泡里，任取一只，测试它的寿命。
随机试验具有以下三个特点：（1）每次试验的结果具有多种可能性，并且能事先明确知道试验的所有可能结果；（2）每次试验前，不能确定哪种结果会出现；%（3）试验可以在相同的条件下重复进行。
随机试验£的所有可能结果的集合称为£的样本空间，记作0。
样本空间的元素，即£的每个结果，称为样本点，一般用e表示，可记C = {e}。
上面试验对应的样本空间：n, ={w,T}；D.2={HH、HT、TH、TT}；o, ={0,1,2}；也={123,4,5,6}；={0,1234 …};o6 = {/|/>o}o注意，试验的目的决定试验所对应的样本空间。
二、随机事件试验£样本空间。
第一章 事件与概率
事件的和(A∪B) : 事件A和事 件B中至少有一个发生的这 一事件称为事件A和事件B 的和, 记为A∪B. 事件的积(A∩B) : 事件A和事 件B同时发生这一事件称为 事件A和事件B的积, 记为 A∩B. 如果A∩B= Φ, 则称A和B不相 容, 即事件A和B不能同时发 生.
概率论与数理统计
概率论与数理统计
样本空间的分割
设B1, B2, · · · Bn是样本空间Ω中的两两不相 容的一组事件, 即BiBj = Φ, i ≠ j, 且满足 n i =1 Bi =Ω, 则称B1, B2, · · · , Bn 是样本空间Ω 的一 个分割(又称为完备事件群,英文为partition).
Ac
对立事件: A不发生这一 事件称为事件A的对立 事件(或余事件) .
事件A和事件B的差A−B: 事件A发生而事件B不发 生这一事件称为事件A 和事件B的差, 记为A−B.
概率论与数理统计
De Morgan对偶法则
De Morgan对偶法则
上面公式可以推广到n个事件:
概率论与数理统计
什么是概率
概率论与数理统计
随机现象和随机试验
随机现象:自然界中的客观现象, 当人们观测它时, 所得结果不能预先确定, 而仅仅是多种可能结果 之一.
随机试验: 随机现象的实现和对它某特征的观测.
随机试验的要求: 结果至少有两个;每次只得到其 中一种结果且之前不能预知;在相同条件下能重复 试验. 举例说明随机现象和随机试验.
概率论与数理统计
(三)主观概率
人们常谈论种种事件出现机会的大小, 如某人有80% 的可能性办成某事. 而另一人则可能认为仅有50%的 可能性. 即我们常常会拿一个数字去估计这类事件发 生的可能性, 而心目中并不把它与频率挂钩.
概率论与数理统计随机事件与概率条件概率与乘法公式
概率论与数理统计第1章随机事件与概率第4讲条件概率与乘法公式01 条件概率02 乘法公式本 讲 内容在解决许多概率问题时，往往需要在某些附加条件下世界万物都是互相联系、互相影响的，随机事件也不例?条件概率外.通事故发生的可能性明显比天气状况优良情况下要大得定程度的相互影响．多．在同一个试验中的不同事件之间，通常会存在着一例如，在天气状况恶劣的情况下交求事件的概率.概率，将此概率记作P(B|A).如在事件A 发生的条件下求事件B 发生的在100件产品中有72件为一等品，从中取两件产品，记A表示“第一件为一等品”，B表示“第二件为一等品”. 求P(B),P(B|A).Ὅ例1解由前例可知无论有放回抽样和无放回抽样都有（1）有放回抽样（2）无放回抽样独立性如何定义？.设A 、B 为两事件, P ( A ) > 0 , 则称为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率.称为在事件B 发生的条件下事件A 的条件概率.同理Ὅ 定义Ὅ性质条件概率也是概率, 故概率的重要性质都适用于条件概率.例如：在100件产品中有72件为一等品，从中取两件产品，记A 表示“第一件为一等品”，B 表示“第二件为一等品”. Ὅ例2 2) 可用缩减样本空间法1) 用定义计算:P (A )>0A 发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中B 所含样本点个数无放回抽样Ὅ 计算.在全部产品中有4%是废品，有72%为一等品. 现从其中任取一件，发现是合格品，求它是一等品的概率.Ὅ例3解设A=依题意，P(A)=所求概率为P(B|A) .{任取一件为合格品}，B={任取一件为一等品}0.96,0.72.P(B)=利用事件的关系及概率性质公式求条件概率Ὅ例4设A，B，C 是随机事件，A与C互不相容，则.由条件概率的定义：若已知P(A), P(B|A)时, 可以反过来求P(AB).注乘法公式.某工厂有职工400名，其中男女职工各占一半，Ὅ例5男女职工中技术优秀的分别为20人和40人，从中任选一名职工，计算（1）该职工技术优秀的概率；（2）已知选出的是男职工，他技术优秀的概率.解设A表示“选出的职工技术优秀”，B表示“选出的职工为男性”，则:(1)利用古典概率有.(2)通过缩减样本空间，有.Ὅ例6某杂志包含三个栏目“艺术”（记为事件A）、“图书”（记为事件B）、“电影”（记为事件C），调查读者的阅读习惯有如下结果:试求解01 条件概率02 乘法公式本 讲 内容乘法公式推广ab -1ab O F (x )xb a 1xf (x )O盒中装有100个产品, 其中3个次品，从中不放回Ὅ例7地取产品, 每次1个, 求（1）取两次，两次都取得正品的概率;（2）取三次，第三次才取得正品的概率.解令A i为第 i 次取到正品（波利亚罐子--传染病模型）一个罐子中包含b 个白球和r 个红球. b 个白球, r 个红球Ὅ 乘法公式应用举例8随机地抽取一个球，观看颜色后放进行四次，试求第一、二次取到白 球且第三、四次取到红球的概率.回罐中，并且再加进c 个与所抽出 的球具有相同颜色的球.这种手续于是W 1W 2R 3R 4表示事件“连续取四个球，第一、二个是白球，第三、四个是红球. ”设W i =R j ==P (W 1)P (W 2|W 1)P (R 3|W 1W 2)P (R 4|W 1W 2R 3)P (W 1W 2R 3R 4)解1,2,3,4{第i 次取出是白球}，i =j ={第j 次取出是红球}，1,2,3,4记A=为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统(Ⅰ)和(Ⅱ)，每种系统单独使用时，系统(Ⅰ)和系统(Ⅱ)的有效概率分别为0.92和0.93，在系统(Ⅰ)失灵的情况下，系统(Ⅱ)仍有效的概率为0.85，求两个报警系统至少有一个有效的概率.Ὅ例9解报警系统至少一个有效”可表示为A ∪B ，由于“两个“系统(Ⅰ) 有效”，B=“系统(Ⅱ)有效”，且A 和 互斥，因此:学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计。
概率论与数理统计 第一章 随机事件与概率
推广：
（1）n个事件A1,A2, An至少有一个发生
所构成的事件，称为 A1, A2, An的和或并，
记为
n
A1 A2 An Ai
i1
当A1, A2, An互斥时
n
n
Ai Ai
i1
i1
（2）可列无限多个事件 A1, A2, 至少有一个
（1kn)的不同排列总数为：
n n n nk
例如：从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张
第1张 第2张 第3张
1 2 34
n=4,k =3
1
1
1
2
2
2 共有4.4.4=43种可能取法
3
3
3
4
4
4
2、组合: 从n个不同元素取 k个
（1kn)的不同组合总数为：
C
k n
Ank k!
n! (n k)!k!
Ai
i1
三．互不相容事件（互斥事件）
若A与B不能同时发生，即 AB 则称A与B
互不相容（或互斥）。S与 互斥。
S
A
B
推广：n个事件 A1,A2, An互斥
A1, A2, An 中任两个互斥，即，
i≠j, i, j=1,2,3 ,……n.
四．事件的和（并） 事件A与B至少有一个发生所构成的事件， 称为A与B的和（并）记为A∪B。当A与B 互斥时，A∪B =A+B。
六. 对立事件（逆事件） 由A不发生所构成的事件，称为A的对立事件
（逆事件）。记为 A
A
A
AA ,A A S,A A.
例1．掷一质地均匀的骰子，A=“出现奇数点”= {1，3，5}，B=“出现偶数点”= {2，4，6}，C=“出现4或6”={4，6}， D=“出现3或5”={3，5}，E=“出现的点 数大于2”={3，4，5，6}， 求 A B,C D,AE,E.
概率论第一章随机事件与概率
n n P Ai P( Ai ) P( Ai Aj ) P( Ai Aj Ak ) i 1 i 1 n 1 ...... ( 1) P( A1 A2 ...... An )
配对模型(续)
P(Ai) =1/n, P(AiAj) =1/n(n1), P(AiAjAk) =1/n(n1)(n2), …… P(A1A2……An) =1/n! P(A1A2……An)=
从中有返回地任取n 个. 则此 n 个中有 m 个不合格品的概率为：
n M (N M ) m n N
m
n m
n M N M m N N
m
n m
条件： m n ,
即 m = 0, 1, 2, ……, n. NhomakorabeaA
事件运算的图示
AB
AB
AB
德莫根公式
A B A B;
n i 1
A B A B
n
Ai
n i 1
Ai ;
i 1
Ai
n i 1
Ai
记号
Ω φ AB AB=φ AB AB AB
概率论
样本空间, 必然事件 不可能事件 样本点 A发生必然导致B发生 A与B互不相容 A与B至少有一发生 A与B同时发生 A发生且B不发生 A不发生、对立事件
概率论
第一章 随机事件与概率
概率论起源： 合理分配赌金问题
有一笔赌金， 甲乙两个人竞赌， 输赢的 概率都一样，都是1/2， 谁先能够赢累计达到6 盘，就获得这笔赌金。 但是一个特别的原因， 赌博突然终止了， 那个时候甲赢了5局， 乙赢 了2局， 问这笔赌金应该如何分配？
概率论 第1章 随机事件与概率
5
1.1 随机试验与随机事件
• 必然现象 • 随机现象
概率论 随机现象的统计规律 随机试验(结果)
样本空间
复合事件 样本点 集合 基本事件
事件
6
概率论 随机现象的统计规律 随机试验(结果)
样本空间
复合事件 样本点 集合 基本事件 事件
10
A 5.互斥(互不相容)事件 AB=F
B A
W
6.对立(逆)事件 AB=F 且 A ∪B= W. 记B = A
注 1. A、B互不相容， A ∪B记做A+B.
2. 事件的和、积运算及互不相容关系可推广到
有限个事件及可列无穷个事件。
n
n
Ai , Ai , Ai , Ai . 两两互不相容
解 P(B A) P(B A) P(B) P( AB)
故 (1)P(BA) P(B) P(Φ) 1/ 2.
或由图示得P(B A) P(B) 1/ 2.
A
BW
(2) P(BA) P(B) P( A) 1/ 2 1/ 3 1/ 6.
（3）P(BA) P(B) P( AB) 1/ 2 1/ 8 3 / 8.
一 随机试验E（experiment）：
1.可在相同条件下重复进行； 2.(确定性)事先知道试验可能出现的全部结果； 3.(不确定性)一次试验之前无法确定具体是哪种 结果出现。
7
概率论 随机现象的统计规律 随机试验(结果)
样本空间
复合事件 样本点 集合 基本事件 事件
二 （随机）事件
试验中每一个可能的结果称为一个随机事件, 简称
概率论第十四章概率论初步重要知识点
概率论第⼗四章概率论初步重要知识点第⼗四章概率论初步第⼀节事件与概率⼀、随机事件和样本空间在研究⾃然界和⼈类社会时，⼈们可观察到各种现象，按它是否带有随机性将它们划分为两类。
⼀类是在⼀定条件下必然会发⽣的现象，称这类现象为确定性现象。
例如苹果从树上掉下来总会落到地上，三⾓形的内⾓和⼀定为180o。
另⼀类现象是在⼀定条件可能出现也可能不出现的现象，称这类现象为随机现象。
例如掷⼀枚质地均匀的硬币时，它可能出现正⾯向上，也可能出现反⾯向上等。
对于随机现象的⼀次观察，可以看作是⼀次试验，如果某种试验满⾜以下条件：（1）试验可在相同条件下重复地进⾏；（2）每次试验的结果可能不⽌⼀个，并且能事先确定试验的所有可能的结果; （3）每次试验的结果事先不可预测，称这种试验为随机试验。
随机试验的每⼀个可能的结果，称为基本事件，它们的全体，称作样本空间，通常⽤字母Ω表⽰。
样本空间的元素即基本事件，有时也称作样本点，常⽤ω表⽰。
例1、⼀次掷两颗骰⼦,观察每颗的点数解：Ω=}654321,|),{(、、、、、j i j i =其中()j i ,表⽰第⼀颗掷出i 点,第⼆颗掷出j 点,显然, Ω共有36个样本点。
例2、⼀个盒⼦中有⼗个完全相同的球,分别标以号码1021、、、Λ从中任取⼀球, 解：令 {}i i 取出球的号码为=则}1021{、、、Λ=Ω称样本空间Ω的某⼀⼦集为⼀个随机事件，简称事件，通常⽤⼤写英⽂字母A 、B 、C ……表⽰。
如在例2中， A={}取出球的标号为奇数因为Ω是所有基本事件所组成，因⽽在任⼀次试验中，必然要出现Ω中的某⼀些基本事件ω，即Ω∈ω，也即在试验中，Ω必然会发⽣，⼜⽤Ω来代表⼀个必然事件。
相应地，空集φ可以看作是Ω的⼦集，在任意⼀次试验中，不可能有φω∈，即φ永远不可能发⽣，所以φ是不可能事件。
我们可⽤集合论的观点研究事件，事件之间的关系与运算如下：（1）包含如果在⼀次试验中，事件A 发⽣必然导致事件B 发⽣，则称事件B 包含事件A ,记为B A ?由例2，{}5球的标号为=B ，则A B ?（2）等价如果B A ?同时A B ?，则称事件A 与事件B 等价,记为A=B 。
概率论知识点
（10）加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
（11）减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时，P( )=1- P(B)
（12）条件概率
定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称 为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为 。
泊松分布
设随机变量 的分布律为
， ， ，
则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或者P( )。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。
超几何分布
随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。
几何分布
，其中p≥0，q=1-p。
随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。
若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。
必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。
Ø与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
Z=X+Y
根据定义计算：
对于连续型，fZ(z)＝
两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ ）。
n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。
，
Z=max,min(X1,X2,…Xn)
若 相互独立，其分布函数分别为 ，则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为：
概率论中的事件概率与条件概率
概率论中的事件概率与条件概率概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象中事件发生的可能性。
在概率论中，我们常常需要计算事件的概率以及给定某些条件下的条件概率。
本文将介绍事件概率与条件概率的概念以及计算方法，并通过实际案例进行说明。
1. 事件概率事件概率是指某个事件发生的可能性大小。
在概率论中，事件概率的取值范围介于0到1之间。
当事件一定不会发生时，其概率为0；当事件一定会发生时，其概率为1。
对于离散型随机变量来说，事件概率可以通过计算频率来估计。
频率是指某个事件在大量重复试验中发生的次数与试验总次数的比值。
例如，抛一枚公平硬币，事件"正面朝上"的概率可以通过抛硬币多次并统计正面朝上的频率来估计。
对于连续型随机变量来说，利用概率密度函数可以计算事件概率。
概率密度函数描述了随机变量在某个取值范围内的概率分布情况。
通过对概率密度函数进行积分，可以得到事件在某个取值范围内的概率。
2. 条件概率条件概率是指在给定某个条件下，另一个事件发生的可能性大小。
条件概率用P(A|B)表示，读作"在条件B下，事件A发生的概率"。
通过条件概率，我们可以描述事件之间的依赖关系。
当两个事件相互独立时，条件概率为P(A|B) = P(A)，即事件B的发生与否不会影响事件A的发生。
然而，当两个事件相关时，条件概率不等于事件的概率，而是会发生变化。
计算条件概率的方法可以利用全概率公式和贝叶斯定理。
全概率公式用于计算复杂事件发生的概率，它将复杂事件分解成多个互斥事件，并计算这些事件的概率之和。
贝叶斯定理则是在已知某些条件的情况下，计算事件的条件概率。
3. 实例分析为了更好地理解概率论中的事件概率与条件概率，我们通过一个实际案例来说明。
假设某城市有两家公司A和B，根据过去的记录，已知A公司的产品有10%的缺陷率，B公司的产品有5%的缺陷率。
现从某家电商平台购买了一台该城市生产的产品，但不知道该产品来自哪个公司。
概率论与数理统计第一章——随机事件及概率
ex2: 从0,1,2,3,4,5, 这六个数字中任取四 个，问能组成多少个四位偶数?
解：组成的四位数是偶数,要求末位为0,2或
4,可先选末位数,共P31 种,前三位数的选取方法有
P53 种,而0不能作首位,所以所组成的偶数个数为
P1 P3 − P1 P1 P2 = 156 (个)
◼ 为方便起见，记Φ为不可能事件，Φ不 包含任何样本点。
(三) 事件的关系及运算 ❖事件的关系（包含、相等）
1A B：事件A发生一定导致B发生
2A＝B
A B
B A
B A
例：
✓ 记A={明天天晴}，B={明天无雨} B A ✓ 记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车}
B A
✓ 抛两颗均匀的骰子，两颗骰子出现的点数分别 记为x,y.记A={x+y为奇数}，B={两次的骰子点
A
B
n Ai：A1, A2,An至少有一发生
i=1
n Ai：A1, A 2 ,An同时发生
i =1
✓当AB= Φ时，称事件A与B是互不相
容的，或互斥的。
A
B
A A= A B =
A的逆事件记为A, A A =
, 若 A B =
,
称A, B互逆(互为对立事件)
AA
A
B
事件A对事件B的差事件：
◼可以在相同条件下重复进行(重复性)； ◼事先知道所有可能出现的结果（明确性）； ◼每次试验前并不知道哪个试验结果会发生 （随机性）。
例： ❖抛一枚硬币，观察试验结果； ❖对某路公交车某停靠站登记下车人数； ❖对某批同型号灯泡，抽取其中一只测 验其使用寿命（按小时计）。
事件与概率的关联
事件与概率的关联概率论是数学的一个重要分支，研究随机现象的规律。
而事件与概率之间有着密切的关联。
本文将探讨事件与概率的关系，从概率的角度解释事件发生的可能性，并讨论如何利用概率计算确定事件的发生概率。
一、事件的概率定义与性质事件是指某个随机现象的一个结果。
具体来说，事件是样本空间中的一个子集。
样本空间是指随机试验的所有可能结果的集合。
而事件是样本空间的子集，也就是试验结果的某种组合或范围。
概率是事件发生的可能性的度量，通常用一个介于0和1之间的数值表示。
概率为0表示不可能发生的事件，概率为1表示一定会发生的事件。
而在0和1之间的数值表示事件发生的可能性大小，数值越接近1，事件发生的可能性越大。
概率具有以下性质：1. 非负性：任何事件的概率都不会小于0，即P(A) ≥ 0。
2. 规范性：样本空间的概率为1，即P(S) = 1。
3. 可列可加性：对于互不相容的事件Ai（i=1,2,3,...），它们的并集事件A = A1∪A2∪...，有P(A) = P(A1) + P(A2) + ...二、事件的概率计算方法在概率论中，我们可以通过多种方法来计算事件的概率。
下面介绍几种常用的方法：1. 经典方法：适用于有限样本空间且每个样本点的发生概率相等的情况。
例如，一枚均匀硬币正反面出现的概率都是1/2，一个均匀骰子的点数概率都是1/6。
2. 频率方法：通过频率来估计概率。
即通过多次独立重复试验，统计事件发生的次数与总次数的比值，作为事件发生的概率的估计值。
随着试验次数的增加，频率会逐渐接近概率。
3. 几何方法：适用于几何问题，利用几何形状的性质来计算事件的概率。
例如，在一个单位正方形内随机选择一个点，点在长方形区域内的概率可以通过长方形的面积与正方形的面积之比计算得到。
三、概率与事件的关系概率与事件有着密切的关系，概率可以用来描述事件发生的可能性大小。
事件与概率之间的关系可以通过以下几个概念来进一步理解。
1. 互补事件：对于事件A，其互补事件为A的补集，记为A'。
事件与概率计算公式
事件与概率计算公式事件与概率是概率论中的重要概念，它们被广泛应用于统计学、经济学、物理学等领域。
在现实生活中，我们经常需要通过事件与概率来进行决策和预测。
本文将介绍事件与概率的基本概念，以及事件与概率计算公式的应用。
事件与概率的基本概念。
在概率论中，事件是指样本空间中的一个子集，即样本点的集合。
例如，掷一枚硬币，出现正面和出现反面分别是两个事件。
概率是描述事件发生可能性的数值，通常用P(A)表示。
概率的取值范围是0到1之间，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定发生。
事件与概率的计算公式。
1. 加法法则。
加法法则是指两个事件同时发生的概率等于两个事件分别发生的概率之和减去两个事件同时发生的概率。
具体公式如下：P(A∪B) = P(A) + P(B) P(A∩B)。
其中，P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
2. 乘法法则。
乘法法则是指两个事件同时发生的概率等于第一个事件发生的概率乘以在第一个事件发生的条件下，第二个事件发生的概率。
具体公式如下：P(A∩B) = P(A) P(B|A)。
其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
3. 条件概率。
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
具体公式如下：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。
其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。
事件与概率的应用。
事件与概率在现实生活中有着广泛的应用。
例如，在金融领域，投资者需要通过事件与概率来评估投资风险和收益。
在医学领域，医生需要通过事件与概率来进行疾病诊断和治疗方案选择。
在工程领域，工程师需要通过事件与概率来评估工程项目的可行性和安全性。
概率论-1事件与概率
A
n
n
n个事件A1, A2,…, An同时发生:
I Ai或 Ai
i 1
i 1
5.互不相容(互斥)关系:事件A、B不可能同时发生,
即AB=φ
B A
n个事件A1, A2,…, An或可列个事件A1, A2,…,An,…
互不相容: AiAj=φ( i≠j )
基本事件是互不相容的.
6.对立(互逆)关系: 事件A、B只有一个发生且必有 一个发生, 即:
第二轮
试验
试验
…
第S轮 试验
试验次数n1 试验次数n2 …
试验次数ns
事件A出现 m1次
事件A出现 m2次
频率
m1 n1
…
m2 n2
事件A出现 ms 次
ms ns
稳定在概率p附近
频率的稳定性是随机现象统计规律性的典型表 现,它为用统计方法求概率值开拓了道路.
3.概率定义: 事件A在n次重复试验中出现nA次, 频 率fn(A)= nA/n随着n的增大总在某一固定的数值p 附近摆动, 称p为事件A发生的概率, 记为P(A)＝p.
简单、直观、易理解；在实际问题中应用广泛.
1.定义: 若某实验T满足
1.有限性:样本空间Ω={ω1,ω2 ,…,ωn};
2.等可能性:(公认)P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn). 则称T为古典概型也叫等可能概型。
∵P(ω1)+P(ω2) +…+P(ωn)=1 若事件A中含m个样本点,则
∴P(ωi)=1/n (i =1,2,…,n)
nnn
n
无重复排列:从含有n个元素的集合中随机抽取k 次,每次取一个,取后不放回,将所取元素排成一列,
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对试验T1 , A＝“至少出一个正面” ＝{HTT,THT,TTH, HHT, HTH,THH, HHH};
B=“三次出现同一面”={HHH,TTT};
C=“恰好出现一次正面”={HTT,THT,TTH}.
试验T5中,C＝“灯泡寿命超过1000小时” ＝{x: x>1000(小时)}。
用样本空间的子集表示事件能反映事件的实质 ,且比用文字表示简单,还便于今后计算概率
当试验T1的结果是HHH时,可以说事件A和B 同时发生了;但事件B和C不可能同时发生.
易见,事件间的关系是由他们所包含的样本点 决定的,这种关系可以用集合间的关系来描述。
二、事件之间的关系和运算 1.包含关系: A发生必导致B发生, 记AB
(1) φAΩ (2)若AB, BC,
则AC
B A
2.相等关系: A＝B AB且BA.
• 全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式
1.1 随机事件
一、几个概念
1.随机现象: 个体上表现为不确定性,而大量观察 中呈现出统计规律性的现象.
2.(随机)试验: 对随机现象进行的观察或试验.表:T
满足:①重复性②明确性(所有结果)③随机性(不可预言)
3.(随机)事件: 随机试验的结果.用A、B、C…表示
B={掷出奇数点}是复合事件
注:基本事件(从而样本空间)由试验目的而确定. 必然事件: 由全体样本点组成的集合,仍记Ω
不可能事件: 不包含任何样本点的集合,记空集φ
现在让我们重温那个从
死亡线上生还的故事:
本来，这位犯臣抽到“生”还是“死”是 一个随机事件，且抽到“生”和“死”的可 能性各占一半，也就是各有1/2概率. 但由于 国王一伙“机关算尽”，通过偷换试验条件， 想把这种概率只有1/2 的“抽到死签”的随 机事件，变为概率为1的必然事件，终于搬 起石头砸了自己的脚，反使犯臣得以死里逃 生。
4.样本点与样随本机空试间验: 的每一个可能的基本结果称 为这个试验的样本点,记全作体ω;样本点的集合称为样 本空间,记作Ω
随机实验的例
T1: 将一枚硬币连抛三次,考虑正反面出现的情况；
T2:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; T3:掷一颗骰子,考虑可能出现的点数； T4: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； T5:在一批灯泡中任取一只，测其寿命.
3.事件的和: 事件A发生或B发生, 即A、B至少有 一个发生, 这样的事件称为事件A与B 的和, 记作AB (或A+B)
B A
n
n
n个事件A1,
A2,
…,
An至少有一个发生:
U
i 1
Ai或
i 1
Ai
4.事件的积: 事件A、B同时发生, 这样的事件称为 事件A与B的积, 记作AB(或AB)
Ω B AB
学习时注意学科特点,循序渐进,特别要重视结 合实例分析理解(解题步骤均需理解透).
切记:学习本课程,既不能急于求成,也无法靠 考前突击.请做好预习、复习工作.
作业:作业纸对折、抄题、过程、题间空行、上交时间.
辅导答疑时间:
联系电话:7877254
第1章 随机事件与概率
• 随机事件 • 事件的概率 • 概率的一般定义与性质 • 条件概率与事件的独立性
(1)AiAj=φ(i≠j, i, j=1,2,…,n);
A2 A3
…
A1
An
… …
n
(2)U Ai .
i 1
注:(1)一试验的基本事件构成完备事件组.
上课
手机 关了吗？
概率论与数理统计统计
教材：《概率论与数理统计》宗序平等编 机械工业出版社
参考书：1.《概率论与数理统计学习指导》 2.《概率论与数理统计练习卷》
序言
概率统计是研究什么的？
概率论与数理统计——研究随机现象 统计规律性的一门数学学科
试验1:盒中十个完全相同白球，搅匀后摸取一个;
——必取到白球
某地区的年电降话雨交量换; 站单位时间收到用户呼唤
次数;
打靶弹着点到靶心的距离……
随机现象在大量重复试验或观察中呈现出固
有规律性，称为随机现象的统计规律性。
概率论与数理统计——研究随机现象统计规律 性的一门数学由学于科其.研究对象的特殊性,课程的许 多用语及思考问题的方法与经典数学有很大差 别,这也是学习该课程的困难所在.
A
n
n
n个事件A1, A2,…, An同时发生:
I Ai或 Ai
i 1
i 1
5.互不相容(互斥)关系:事件A、B不可能同时发生,
即AB=φ
B A
n个事件A1, A2,…, An或可列个事件A1, A2,…,An,…
互不相容: AiAj=φ( i≠j )
基本事件是互不相容的.
6.对立(互逆)关系: 事件A、B只有一个发生且必有 一个发生, 即:
H T H 寿命试验 测试在同一工艺条件下生产
出的灯泡的寿命。
5.随机事件
由一个样本点组成 ——基本事件 由多个样本点组成 ——复合事件
注:将随机事件用集合A、B … ——即样本空间Ω的 子集表示; 基本事件即由一个样本点组成的集合.
对试验T3 ,Ai ={掷出i点}(i=1,2,3,4,5,6)都是基本事 件.
确定性现象非常广泛,例:太阳必然从东方升起;
抓住苹果,松手后必然落地;矩形长a宽b,面积
必为ab; 作直线运动的质点距离为S(t),则质点移
动的速度必定是v…(t…)=过dS去(t我) 们所学的 dt
各门数学课程基本上都是用来研究和处理这类确
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定性现象的,通常被称作经典数学.
随机现象也很普遍,例:抛硬币观察哪一面朝上;
AB=φ且AB=.
称A与B为对立事件, B是A的对立 事件或逆事件,记作 B A
A A
A B
7.事件的差: 事件A发生而B不发生, 这样的事件称 为事件A与B的差, 记作A-B
A
A-B S
B
A A-BS B
(1) A-B = AB
(2) A -A
思考：何时A-B= ? 何时A-B=A？
8.完备事件组A1, A2, …, An :
试验2:盒中十个大小、形状相同的球，但5白5黑， 搅匀后摸取一个.
——不能确定结果是白但球当还重是复黑试球验，的次数相当大 时，出现白球与黑球的次数接近，其与试验总次 数之比逐渐稳定于二分之一.
事前可以预料的，即在一定条件下必然发生 或必然不发生的现象，称为必然现象或确定性 现象；事前不可预料的，即在相同条件下重复进 行观察或试验时，有时出现有时不出现的现象， 称之为偶然现象或随机现象。