(完整版)概率论第一章随机事件与概率
概率论第一章随机事件及其概率
B
和事件 A∪B={| ∈ A或B } A = { HHH }，B = { TTT } ； A∪B = { HHH，TTT } 三次都是同一面
特别的，对任意的随机事件 A ， A∪A = A， A∪ = A， A∪S = S 当 A、B 不相容时，记成 A∪B = A＋B
S
(3).事件的积运算 得到一个新事件，它的发生表示 这些事件中每一个都要发生，
解. 由减法公式， P (B – A ) = P (B ) – P (AB ) 只需要计算出概率 P (AB ) 。 (1) A、B互不相容即 AB = ，则 P (B – A ) = 0.5； (2) A B 等价于 AB = A，得到 P (B – A ) = 0.2； (3) 利用加法公式的另一形式： P (A∪B ) = P (A ) + P (B – A )， 得到P (B – A ) = 0.4。
性质5 设A，B是两个事件，若 A B， 则 P (A ) ≤ P (B ) 性质6 对任意的事件A ，有P (A ) ≤1。 证明思路 利用概率定义中的无穷可加以及非负性等。
思考
性质4中如何推广到n个事件的加法公式
例1.11 假定 P (A ) = 0.3，P (B ) = 0.5 ， 分别计算 (1) A、B 不相容；(2) A B； (3) P (A∪B) = 0.7 时概率P (B – A) 的值。
例如从 26 个英文字母中任取2 个排列， 所有不同方式一共有 P262 = 26×25 = 650。
(2) 可以重复的排列
从 n 个不同元素中允许放回任意取 m 个 出来排成有顺序的一列( 即取出的这些元素 可以相同 )。所有不同的排列方式一共有 n×n×…×n = nm
概率第一章
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行。
1-4
概率论与数理统计
E
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行用 符号 E 表示。 随机事件 ：在条件下事件可能发生也 可能不发生的事件用大写字母 A , B , C ,表
指出
件，并表示事件 1-9
事件中哪些是基本事 B, C, D
。 概率论与数理统计
E
1.2.2 事件间的关系与运算
1．事件的包含与相等 若事件 A 中的每个基本事件都包含在 B
A
事件 B 之中，即 A 的发生必然导致 B 的发
生，则称事件 A 包含于事件 B ，或事件 B
包含事件 A ，也称是的特款 ，记为 A B 。
1-19
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.2.4 化简下列各事件：
(1) ( A B)( A B) ; (2) AB AB BC; (3) ( A B)( A B)(B C ).
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.3.1 设事件A, B 的概率分别为 和
，试求下列三种情况下的值： （1） B 互不相容； A, （2） A B ； （3） ( AB ) 1 . P
8
1 3
1 2
1-27
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
第1章 随机事件与概率1-1
(H,H):
(H,T)：
H H T T
(T,H):
(T,T)：
在每次试验中必有 一个样本点出现且仅 有一个样本点出现 .
概率论
若试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面出现 的次数： 则样本空间
{0,1,2}
由以上两个例子可见,样本空间的元素是由试验的 目的所确定的. 如果试验是测试某灯泡的寿命： 则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界， 所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果， 故 样本空间
事件 B 相等 或称等价 , 记作 A B .
A B
BB A
概率论
2. 和事件 : 事件 A、B 至少有一个发生所构成 的 事件叫做事件 A 与事件 B 的和 .记作 A B . 、An 中至少有一个发 类似地 , 称事件 A1、A2、
、 A 的和事件 . 记之为 生的事件为事件 A1、A2、 n n A1 A2 An , 简记为 Ai . i 1 中至少有一个发生的事 件为 称事件 A1、A2、 事件 A1、A2、 的和事件 . 记之为 A1 A2 ,
概率论
五、事件间的关系与事件的运算
设试验 E 的样本空间为 , A、B、C、A1、A2 试验 E 的事件 . 1.包含关系 : 如果事件 A 发生必然导致事件 B 发生 , 则称事件 B 包含事件 A (或称事件A 是事件 B 的子事件 ) , 记作 A B 或 B A . 对于任何事件 A , 都有 A 相等关系 若 A B 且 B A , 则称事件 A 与
件 A1、A2、 的积事件 . 记之为 A1 A2 ,简记为
i 1
Ai .
A
B
AB
概率论
概率论与数理统计：第1章 随机事件与概率1
5、差事件 事件 A B { : A 且 B} 称为事件A与事 件B的差事件。它的含义是：当且仅当事件A发生 且事件B不发生时，事件 A B发生。
6、互不相容事件 如果 A B ，那么称事件A与事件B互不相
容（或互斥）。它的含义是：事件A与事件B在一 次试验中不会同时发生。
如果一组事件(可以由无限个事件组成)中任意 两个事件都互不相容，那么称这组事件两两互不 相容。
样本空间 是其自身的一个子集，因而也是一 个事件。我们称 为必然事件。空集 永远是样 本空间的一个子集，因而也是一个事件。我们称 为不可能事件。必然事件 与不可能事件 是两 个特殊的随机事件。
五、随机事件之间的关系和运算 由于事件是一个集合，因此，事件之间的关系
与事件之间的运算应该按照集合论中集合之间的关 系与集合之间的运算来规定。
机试验，简称为试验： (1)试验可以在相同的条件下重复地进行； (2)试验的所有可能结果在试验前已经明确，
并且可能结果不止一个； (3)试验前不能确定试验后会出现哪一个结
果。
三、样本空间 要研究一个随机试验，首先要弄清楚这个试验
所有可能的结果。每一个可能出现的结果称为样本 点，记作 。全体样本点组成的集合称为样本空间， 记作 。
第一章 随机事件与概率
概率论是研究随机现象统计规律性的一个数学 分支，是近代数学的重要组成部分；概率论的理论 与方法向各个学科的渗透，是近代科学技术发展的 特征之一；概率论与其它学科相结合发展成了很多 的边缘学科，如生物统计，统计物理等；它又是许 多新的重要学科的基础，如信息论，控制论，可靠 性理论和人工智能等。
4、积事件（或交事件） 事件 A B { : A且 B} 称为事件A与事 件B的积事件。它的含义是：当且仅当事件A与事件 B同时发生时，事件 A B发生。
概率论第一章
下面我们讨论事件之间的关系与运算
1、包含关系
⑶ 两个特殊事件
必然事件U ★ 必然事件U ★ 不可能事φ 不可能事φ
3、随机试验
如果一个试验可能的结果不止一个， 如果一个试验可能的结果不止一个，且事先不能肯定 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。
例如, 掷硬币试验 例如, 寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 掷骰子试验 掷一枚硬币，观察出正还是反. 掷一枚硬币，观察出正还是反 出的灯泡的寿命. 出的灯泡的寿命 掷一颗骰子， 掷一颗骰子，观察出现的点数
第一章 随机事件及其概率
随机事件及样本空间 频率与概率 条件概率及贝努利概型
§1 随机事件及样本空间
一、随机事件及其有关概念
1、随机事件的定义
试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件” 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件” 记作A 简称“事件”。记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中 的元素。 的元素。
例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 10个大小 将球编号为1 10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。 将球编号为1－10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。
因为抽取时这些球是完全平等的， 因为抽取时这些球是完全平等的， 我们没有理由认为10个球中的某一个会 我们没有理由认为10个球中的某一个会 10 比另一个更容易取得。也就是说，10个 比另一个更容易取得。也就是说，10个 球中的任一个被取出的机会是相等的， 球中的任一个被取出的机会是相等的， 均为1/10 1/10。 均为1/10。
(完整版)《概率论与数理统计》讲义
第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
例1．1：方程xx x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种 C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？③ 顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
第1章 概率论的基本概念
确定概率的常用方法有： （1）频率方法(统计方法) （2）古典方法 （3）几何方法 （4）公理化方法 （5）主观方法
古典概率
(1) 古典概率的假想世界是不存在的 .对于那些极其罕见的， 定义 1.2.5 如果试验满足下面两个特征，则称其 但并非不可能发生的事情，古典概率不予考虑.如硬币落地后 为古典概型(或有限等可能概型)： 恰好站立，一次课堂讨论时突然着火等. （1 ）有限性：样本点的个数有限； (2) 古典概率还假定周围世界对事件的干扰是均等的 .而在 （2）等可能性：每个样本点发生的可能性相同 . 实际生活中无次序的、靠不住的因素是经常存在的 .
(3) 如果AiAj= (1 i < j k)，则
fn(A1∪A2∪ … ∪Ak ) = fn(A1 ) +fn(A2 ) + … +fn(Ak 着事件在一次试验中发生的可能性就 大，反之亦然. 人们长期的实践表明：随着试验重复次数n的增加， 频率fn(A)会稳定在某一常数a附近，我们称这个常数为频 率的稳定值.这个稳定值就是我们所说的(统计)概率.
互不相容与对立区别 随机事件间的关系与运算
（1）事件A与事件B对立 AB= , A∪B= . （2）事件 A与事件B互不相容 AB= . 关系 运算 包含 相等 互不相容 并 交 差 补
如果属于A的样本点一定 由在 中而不在事件 A 中的样本点 , B没有相同的样本点， 如果事件 A 由事件 如果 A A 与事件 B ，且 A B 中所共有的样本 B，那么 A=B. A中而不在事件B中的样 中所有的样本点 由在事件 属于B，则称 A 包含于 B ， BB.B 组成的新事件，也叫 A的对立 B A A A 则称互不相容 . 记作 A ∩ B= . 点组成的新事件 即B包含 A=B A B, A B A. . 组成的新事件 .记作 A记作 ∪ B.BA 本点组成的新事件 .记作 A-B. 或 A. 记作 B. .
概率论
第一章随机事件与概率§1.1 随机事件一、基本概念1．随机现象：预先不能断定结果的现象（有多种结果）投掷硬币、抽取牌张、观察天气、测量潮位、射击目标、顾客到来、考试排座、交通事故2．随机试验：对随机事件进行实验或观察，简称试验。
有的是人为设置，有的是必须经历。
通常所指的试验具有以下2个特征：（1）可以重复进行；（2）事先明确所有基本结果3．随机事件：试验的某种结果，事前不能确定，事后可观察到是否发生，简称事件（是个判断句）以、、，…等表示。
例1教师任取一个学号（随机），请对应的学生回答问题，站起来的可能“是男生”，“是女生”，“是戴眼镜的学生”，“是穿红衣服的学生”，“是高个子”，“是体重在60公斤以上的”“是叫张华的学生”——这些都是随机事件。
4．基本事件：不能再分解的“最简单”的事件，试验中各种最基本的可能结果。
例2在52张扑克牌中，任取一张，=“抽到◇”，=“抽到K”都是事件，其中可分解为13个最基本的结果，可分解为4个。
5．样本点：即基本事件，记为。
随机事件是某些基本事件（样本点）构成的集合。
6．样本空间：样本点的全体，即全集，记为Ω。
如投币：Ω={正，反} 抽牌：Ω=随机事件都是样本空间的子集。
例1中抽到任何一张◇，都认为已发生，类似地，抽到任何一张牌，都认为Ω已发生。
7．必然事件：试验中必然发生的事件，即Ω。
如投币：Ω=“正面朝上或反面朝上”。
抽牌：Ω=“抽到一张牌”。
8．不可能事件：试验中不可能发生的事件，是一个空集，记为。
如投币：=“正面朝上且反面朝上”。
抽牌：=“抽到一张电影票”。
例3在一批灯泡里，任取一只测试它的寿命（1000～3000小时）：（1）试述一个事件；（2）指出一个样本点；（3）指出样本空间。
二、事件的关系与运算事件是集合，可以进行集合的运算，要求除了会用集合的语言表述外，还要会用事件的语言表述，并且着重于后者。
1．包含关系（或）集合语言：A中的样本点，全在内。
概率论与数理统计 第一章 随机事件与概率
推广：
（1）n个事件A1,A2, An至少有一个发生
所构成的事件，称为 A1, A2, An的和或并，
记为
n
A1 A2 An Ai
i1
当A1, A2, An互斥时
n
n
Ai Ai
i1
i1
（2）可列无限多个事件 A1, A2, 至少有一个
（1kn)的不同排列总数为：
n n n nk
例如：从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张
第1张 第2张 第3张
1 2 34
n=4,k =3
1
1
1
2
2
2 共有4.4.4=43种可能取法
3
3
3
4
4
4
2、组合: 从n个不同元素取 k个
（1kn)的不同组合总数为：
C
k n
Ank k!
n! (n k)!k!
Ai
i1
三．互不相容事件（互斥事件）
若A与B不能同时发生，即 AB 则称A与B
互不相容（或互斥）。S与 互斥。
S
A
B
推广：n个事件 A1,A2, An互斥
A1, A2, An 中任两个互斥，即，
i≠j, i, j=1,2,3 ,……n.
四．事件的和（并） 事件A与B至少有一个发生所构成的事件， 称为A与B的和（并）记为A∪B。当A与B 互斥时，A∪B =A+B。
六. 对立事件（逆事件） 由A不发生所构成的事件，称为A的对立事件
（逆事件）。记为 A
A
A
AA ,A A S,A A.
例1．掷一质地均匀的骰子，A=“出现奇数点”= {1，3，5}，B=“出现偶数点”= {2，4，6}，C=“出现4或6”={4，6}， D=“出现3或5”={3，5}，E=“出现的点 数大于2”={3，4，5，6}， 求 A B,C D,AE,E.
概率论第一章随机事件与概率
n n P Ai P( Ai ) P( Ai Aj ) P( Ai Aj Ak ) i 1 i 1 n 1 ...... ( 1) P( A1 A2 ...... An )
配对模型(续)
P(Ai) =1/n, P(AiAj) =1/n(n1), P(AiAjAk) =1/n(n1)(n2), …… P(A1A2……An) =1/n! P(A1A2……An)=
从中有返回地任取n 个. 则此 n 个中有 m 个不合格品的概率为：
n M (N M ) m n N
m
n m
n M N M m N N
m
n m
条件： m n ,
即 m = 0, 1, 2, ……, n. NhomakorabeaA
事件运算的图示
AB
AB
AB
德莫根公式
A B A B;
n i 1
A B A B
n
Ai
n i 1
Ai ;
i 1
Ai
n i 1
Ai
记号
Ω φ AB AB=φ AB AB AB
概率论
样本空间, 必然事件 不可能事件 样本点 A发生必然导致B发生 A与B互不相容 A与B至少有一发生 A与B同时发生 A发生且B不发生 A不发生、对立事件
概率论
第一章 随机事件与概率
概率论起源： 合理分配赌金问题
有一笔赌金， 甲乙两个人竞赌， 输赢的 概率都一样，都是1/2， 谁先能够赢累计达到6 盘，就获得这笔赌金。 但是一个特别的原因， 赌博突然终止了， 那个时候甲赢了5局， 乙赢 了2局， 问这笔赌金应该如何分配？
概率论 第一章 随机事件与概率
第一章 随机事件及其概率自然界和社会上发生的现象可以分为两大类： 一类是，事先可以预言其必然会发生某种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，它的结果总是确定的。
这类现象称为确定性现象。
另一类是，事先不能预言其会出现哪种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，或出现这种结果或出现那种结果。
这类现象称为随机现象。
随机现象虽然对某次实验或观察来说，无法预言其会出现哪种结果，但在相同条件下重复进行大量的实验或观察，其结果却又呈现出某种规律性。
随机现象所呈现出的这种规律性，称为随机现象的统计规律性。
概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。
§1 随机事件一、随机试验与样本空间我们把对随机现象进行的一次实验或观察统称为一次随机试验，简称试验，通常用大写字母E 表示。
举例如下：E 1：抛一枚硬币，观察正面H 、反面T 出现的情况；E 2：将一枚硬币抛掷两次，观察正面H 、反面T 出现的情况； E 3：将一枚硬币抛掷两次，观察正面H 出现的次数； E 4：投掷一颗骰子，观察它出现的点数； E 5：记录某超市一天内进入的顾客人数；E 6：在一批灯泡里，任取一只，测试它的寿命。
随机试验具有以下三个特点：（1）每次试验的结果具有多种可能性，并且能事先明确知道试验的所有可能结果； （2）每次试验前，不能确定哪种结果会出现； （3）试验可以在相同的条件下重复进行。
随机试验E 的所有可能结果的集合称为E 的样本空间，记作Ω。
样本空间的元素，即E 的每个结果，称为样本点，一般用ω表示，可记{}ω=Ω。
上面试验对应的样本空间：{}T H ,1=Ω；{}TT TH HT HH ,,,2=Ω； {}2,1,03=Ω；{}6,5,4,3,2,14=Ω； {} ,4,3,2,1,05=Ω；{}06≥=Ωt t 。
注意，试验的目的决定试验所对应的样本空间。
二、随机事件试验E 样本空间Ω的子集称为E 的随机事件，简称事件，通常用大写字母A ，B ，C ,…表示。
概率论与数理统计第1章 随机事件及其概率
28
29
2.概率的性质 从概率的公理化定义出发，可以得到如下概率的性 质:
30
31
图1.4
32
33
34
图1.5
35
36
37
1.2 条件概率与独立性
1.2.1 条件概率的定义与性质 在计算事件的概率时，经常需要求在某个事件B发 生的条件下事件A的概率，这样的概率与A发生的概率通 常不同，称它为条件概率，记为P（A｜B）.相对于条件 概率P（A｜B）而言，P（A）也称为A的无条件概率.
61
62
63
4
把不能再分的事件称为基本事件.如上面的事件A.由 若干基本事件构成的事件称为复合事件.如上面的B，C. 在随机试验中必然会发生的事件叫做必然事件，记 为Ω；一定不会发生的事件称为不可能事件，记为φ.如 例1.1（3）中，设D=“接到整数次呼叫”，则D为必然事 件.设E=“接到的呼叫次数小于0”，则E为不可能事件. 为了精确描述随机试验与随机事件，引进样本空间 与样本点的定义:
7
定义1.4 “事件A与事件B至少有一个发生”这一事 件称为事件A与事件B的并（或和）.记为A∪B，即
定义1.5 “事件A与事件B同时发生”这一事件称为 事件A与事件B的交（或乘积），记为A∩B或`，即
定义1.6 若事件A与事件B不能同时发生，则称事件 A与事件B互不相容（简称为互斥），即
8
定义1.7 “事件A发生而事件B不发生”这一事件称 为事件A与事件B的差，记为A-B，即
47
例1.25 某工厂有三个车间生产同一种产品，它们 的产品分别占全部产品的25%，35%，40%，并已知它 们的废品率为5%，4%，2%.今从全部产品中任取一个, 求取出的产品是废品的概率（即这批产品的废品率）.
(完整版)概率论大题附答案
第一章 随机事件及其概率1.6 假设一批100件商品中有4件不合格品．抽样验收时从中随机抽取4件，假如都为合格品，则接收这批产品，否则拒收，求这批产品被拒收的概率p ． 解 以ν表示随意抽取的4件中不合格品的件数，则4964100C {1}1{0}110.84720.1528C p P P =≥=-==-≈-=νν．1.7 从0,1,2,,10…等11个数中随机取出三个，求下列事件的概率：1A ={三个数最大的是5}；2A ={三个数大于、等于和小于5的各一个}；3A ={三个数两个大于5，一个小于7}．解 从11个数中随机取出三个，总共有311C 165=种不同取法，即总共有311C 个基本事件，其中有利于1A 的取法有25C 10=种（三个数最大的是5，在小于5的5个数中随意取两个有25C 10=种不同取法）；有利于2A 的取法有5×5=20种（在小于5的5个数中随意取一个，在大于5的5个数中随意取一个，有5×5=25种不同取法）；有利于3A 的取法有5×25C 70=种(在小于5的5个数中随意取一个，在大于5的5个数中随意取两个)．于是，最后得111102550()0.06()0.15()0.30165165165P A P A P A ======，，．1.8 考虑一元二次方程 02=++C Bx x , 其中B , C 分别是将一枚色子接连掷两次先后出现的点数． (1) 求方程无实根的概率α， (2) 求方程有两个不同实根的概率β．解 显然，系数B 和C 各有1,2,3,4,5,6等6个可能值；将一枚色子接连掷两次，总共有36个基本事件．考虑方程的判别式C B 42-=∆．事件{无实根}和{有两个不同实根}，等价于事件{0}∆<和{0}∆>．下表给出了事件{∆由对称性知{0}∆<和{0}∆>等价，因此αβ=．易见，方程无实根的概率α和有两个不同实根的概率β为170.47αβ==≈．． ()1()1P AB P AB r =-=-， ()()1P A B P AB r +==-，()1()1[]P A B P A B p q r +=-+=-+-， ()()1[]P AB P A B p q r =+=-+-，([])()()P A A B P A AB P A p +=+==．1.18 假设箱中有一个球，只知道不是白球就是红球．现在将一个白球放进箱中，然后从箱中随机取出一个球，结果是白球．求箱中原来是白球的概率α．解 引进事件：=A {取出的是白球}，1H ={箱中原来是白球}，2H ={箱中原来是红球}，则12,H H 构成完全事件组，并且12()()0.5P H P H ==．由条件知12(|)1(|)0.5P A H P A H ==，．由贝叶斯公式，有1111122()(|)2(|)()(|)()(|)3P H P A H P H A P H P A H P H P A H α===+．1.21 假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.30需进一步进行调试， 经调试以概率0.90可以出厂，以概率0.10定为不合格品不能出厂．现在该厂在生产条件稳定的情况下，新生产了20台仪器．求最后20台仪器 (1) 都能出厂的概率α； (2) 至少两台不能出厂的概率β．解 这里认为仪器的质量状况是相互独立的．设1H ={仪器需要调试}，2H ={仪器不需要调试}，A ={仪器可以出厂}．由条件知1212()0.30 ()0.70 (|)0.80(|)1P H P H P A H P A H ====， ，，．(1) 10台仪器都能出厂的概率0112210100()()(|)()(|)0.300.800.700.940.940.5386P A P H P A H P H P A H ααα==+=⨯+===≈ ；．(2) 记ν——10台中不能出厂的台数，即10次伯努利试验“成功(不能出厂)”的次数．由(1)知成功的概率为p =0.06．易见，10台中至少两台不能出厂的概率109{2}1{0}{1}10.94100.940.060.1175P P P βννν=≥=-=-==--⨯⨯≈．1.23 设B A ,是任意二事件，证明：(1) 若事件A 和B 独立且B A ⊂，则()0P A =或()1P B =；(2) 若事件A 和B 独立且不相容，则A 和B 中必有一个是0概率事件．证明 (1) 由于B A ⊂，可见()()()()()()()()P AB P A P B P AB P A P A P A P B ===，，． 因此，若()0P A ≠，则()1P B =；若()0P B ≠，()0P A =．(2) 对于事件A 和B ，由于它们相互独立而且不相容，可见()()()0P A P B P AB ==，因此，概率()P A 和()P B 至少有一个等于0．补充：第二节 事件的关系和运算1. 设A ,B ,C 是三个随机事件,用事件A ,B ,C 的运算关系表示下列事件：⑴ A ,B ,C 三个都发生；⑵ A 发生而B ,C 都不发生；⑶ A ,B 都发生, C 不发生； ⑷ A ,B ,C 恰有一个发生；⑸ A ,B ,C 恰有两个发生；⑹ A ,B ,C 至少有一个发生； ⑺ A ,B ,C 都不发生.解：（1）ABC （2）ABC （3）ABC （4）ABC ABC ABC ++ (5)ABC ABC ABC ++ (6) A B C ++ (7) ABC第三节 事件的概率解：由()()()()P A B P A P B P AB +=+-知，()()()()P AB P A P B P A B =+-+0.40.30.6=+-=0.1 ()1()10.10.9P AB P AB =-=-=()()1()10.60.4P AB P A B P A B =+=-+=-= ()()()0.40.10.3P AB P A P AB =-=-=解：由()()()P A B P A P AB -=-，得()()()P A B P A P AB -=-()()()0.70.30.4P AB P A P A B =--=-=， ()1()10.40.6P AB P AB =-=-=3. 已知()09.P A =,()08.P B =,试证()07.P AB ≥. 解：由()()()()P A B P A P B P AB +=+-知，()()()()P AB P A P B P A B =+-+0.90.81≥+-0.7=解：由条件()()0P AB P BC ==，知()0P ABC =，()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ++=++---+1111500044488=++---+= 5. 设A ,B 是两事件,且()06.P A =,()07.P B =,问⑴ 在什么条件下,()P AB 取到最大值,最大值是多少？ ⑵ 在什么条件下,()P AB 取到最小值,最小值是多少？解：由()()()()P A B P A P B P AB +=+-知，()()()()P AB P A P B P A B =+-+ 又因为()()P A P A B ≤+，()()P B P A B ≤+，所以(){}max (),()P A P B P A B ≤+， 所以0.7()1P A B ≤+≤，所以0.3()0.6P AB ≤≤.第四节 条件概率及与其有关的三个基本公式1．设有对某种疾病的一种化验，患该病的人中有90%呈阳性反应，而未患该病的人中有5%呈阳性反应，设人群中有1%的人患这种疾病，若某病人做这种化验呈阳性反应，则他患有这种疾病的概率是多少？ 解：设{}A =某疾病患者，{}A =非某疾病患者，{}B =检查结果为阳性.依条件得,B A A ⊂+=Ω，且()0.01,P A = ()0.99P A =,(|)0.9P B A =(|)0.05P B A =所以()()()()()()()()0010901500109099005B P A P P AB ..A A P .B P B ....B BP A P P A P A A⨯===≈⨯+⨯+第五节 事件的独立性和独立试验1．设有n 个元件分别依串联、并联两种情形组成系统I 和II ,已知每个元件正常工作的概率为p ，分别求系统I 、II 的可靠性（系统正常工作的概率）解：{}A I =系统正常工作，{}B II =系统正常工作，{}B II =系统不正常工作 {}1,2,,i C i n ==每个元件正常工作，，且()i P C p =，{}i C =每个元件都不正常工作，()1i P C p =- 由条件知，每个元件正常是相互独立的，故1212()()()()()n n n P A P C C C P C P C P C p ===，()1i P C p =-，1212()()()()()(1)n n n P B P C C C P C P C P C p ===-()1()1(1)n P B P B p =-=--2. 设有六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件通达的概率为 p ，求这个装置通达的概率.假定各个元件通达、不通达是相互独立的. 解: 设{}i A i =第条线路通达，1,2,3,i = {}A =代表这个装置通达,{}i A i =第条线路不通达，1,2,3,i = {}A =代表这个装置不通达， 由条件知，2()i P A p =，2()1i P A p =-，23123()1()1()1(1)P A P A P A A A p =-=-=--第二章 随机变量及其分布2.8 口袋中有7个白球，3个黑球，每次从中任取一球且不再放回． (1) 求4次抽球出现黑球次数X 的概率分布；(2) 抽球直到首次出现白球为止，求抽球次数Y 的概率分布．解 (1) 随机变量X 有4个可能值0,1,2,3，若以W 和B 分别表示白球和黑球，则试验“4次抽球”相当于“含7个W 和3个B ”的总体的4次不放回抽样，其基本事件总数为410C 210=，其中有利于{}X k = (0,1,2,3)k =的基本事件个数为：437C C k k-，因此 437410C C {}(0,1,2,3)C k k P X k k -===，或01230123~351056371131210210210210621030X ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (2) 随机变量Y 显然有1,2,3,4等4个可能值；以W k 和B k 分别表示第(1,2,3,4)k k =次抽到白球和黑球，则“不放回抽球直到首次出现白球为止”相当于“自含7个白球3个黑球的总体的4次不放回抽样”，其基本事件总数410P 10987120=⨯⨯⨯=．易见 7843728{1}{2}10120109120P Y P Y ⨯======⨯，，327732171{3}{4}109812010987120P Y P Y ⨯⨯⨯⨯⨯======⨯⨯⨯⨯⨯， ．1234~842871120120120120Y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 2.11 设X 服从泊松分布，且已知{1}{2}P X P X ===，求{4}P X =．解 以X 表示随意抽取的一页上印刷错误的个数，以)4,3,2,1(=k X k 表示随意抽取的第k 页上印刷错误的个数，由条件知X 和)4,3,2,1(=k X k 服从同一泊松分布，未知分布参数λ决定于条件：2{1}{2}ee 2!P X P X λλλλ--====，．于是λ=2．由于随机变量)4,3,2,1(=k X k 显然相互独立，因此42222{=4}=e =e 0.090243P X --≈ ！2.14 设随机变量X 服从区间25[，]上的均匀分布，求对X 进行3次独立观测中，至少有2次的观测值大于3的概率α．解 设Y 3次独立试验事件{3}A X =>出现的次数，则Y 服从参数为(3,)p 的二项分布，其中23p =．因此234820(){2}{3}3(1)92727P B P Y P Y p p p ===+==-+=+=α．2.17 设随机变量X 服从正态分布(3,4)N ，且满足 {}{}P X C P X C <=≥和{}2{}P X C P X C <=≥ ，分别求常数C解 （1）由{}X C <与{}X C ≥为对立事件，又{}{}P X C P X C <=≥得 1{}2P X C <=所以C=3 (2) 由题意可知23{}=32C P X C Φ-<=（）所以反查表可得 3.88C ≈2.22 设随机变量X 服从[1,2]-上的均匀分布，求随机变量Y 的分布律，其中10 00 10X Y X X -<==>⎧⎪⎨⎪⎩，若，，若，，若．解 由于X 服从[1,2]-上的均匀分布，知随机变量Y 的概率分布为1{1}{0}{10}{0}{0}032{1}{0}{02}31~1233P Y P X P X P Y P X P Y P X P X Y =-=<=-≤<=======>=<≤=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，，；-1．补充：第二节 离散随机变量解：由条件知，随机变量X 的分布列如下：设{}A =至多遇到一次红灯，则54()(0)(1)64P A P X P X ==+==2.设每分钟通过交叉路口的汽车流量X 服从泊松分布，且已知在一分钟内无车辆通过与恰好有一辆车通过的概率相同，求在一分钟内至少有两辆车通过的概率。
概率论 第一章
第一章随机事件及其概率习题一1 举出几个必然事件、不可能事件和随机事件的例子.解(1)设ｖ１０为10次射击命中次数，则｛５＜ｖ１０≤８＝——随机事件，｛ｖ１０≤１０｝——必然事件，｛ｖ１０＞１０｝——不可能事件；(2)掷一枚骰子试验中，｛出现偶数点｝——随机事件，｛出现ｉ点｝（ｉ＝１，２，…，６）——随机事件，｛出现点数小于7｝——必然事件，｛点数不小于7｝——不可能事件；(3)盒中有2个白球，3个红球，从盒中随机取出3球，则｛取出的3个球中含有红球｝——必然事件，｛取出的3个球中不含红球｝——不可能事件.2 互不相容事件与对立事件的区别何在?说出下列各对事件的关系：(1)｜ｘ－a｜＜δ与ｘ－a≥δ；(2)ｘ＞２０与ｘ≤２０；(3)ｘ＞２０与ｘ＜１８；(4)ｘ＞２０与ｘ≤２２；(5)20个产品全是合格产品与20个产品中只有一个废品；(6)20个产品全是合格产品与20个产品中至少有一个废品.解对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件.对立事件和互不相容事件的共同特点是事件间没有公共的样本点，但两个对立事件的并(和)等于样本空间，即若A与__A是两个对立事件，则A__A＝Φ，A＋__A＝Ω；而两个互不相容事件的并(和)被样本空间所包含，即若A与B是两个互不相容事件，则AB＝Φ，且Ａ＋Ｂ⊂Ω.(1)由于｛ｘ｜｜ｘ－a｜＜δ＝∩｛ｘ｜ｘ－a≥δ｝＝Φ，且｛ｘ｜｜ｘ－a｜＜δ＝∪｛ｘ｜ｘ－a≥δ｝⊂Ｒ，所以事件｜ｘ－a｜＜δ与ｘ－a≥δ是互不相容事件；(2)由于｛ｘ｜ｘ＞２０｝∩｛ｘ｜ｘ≤２０｝＝Φ，且｛ｘ｜ｘ＞２０｝∪｛ｘ｜ｘ≤２０｝＝Ｒ，所以事件ｘ＞２０与ｘ≤20是对立事件；(3)由于｛ｘ｜ｘ＞２０｝∩｛ｘ｜ｘ＜18｝＝Φ，且｛ｘ｜ｘ＞２０｝∪｛ｘ｜ｘ＜18｝＝R，所以事件x＞２０与x＜１８是互不相容事件；(4)｛ｘ｜ｘ＞２０｝∩｛ｘ｜ｘ≤２２｝≠Φ，所以事件ｘ＞２０与ｘ≤２２是相容事件；(5)设事件Ａ＝｛２０个产品全是合格品｝，事件Ｂ＝｛20个产品中只有一个废品｝，显然ＡＢ＝Φ，Ａ＋Ｂ⊂Ω＝｛２０个产品｝，所以A与B是互不相容事件；(6)设事件Ａ＝｛20个产品全是合格品｝，事件B＝｛20个产品中至少有一个废品｝，显然AB＝Φ，Ａ+Ｂ＝Ω＝｛20个产品｝，所以A与B是对立事件.3 写出下列随机试验的样本空间.(1)10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只(取出后不放回)，直到将3只次品都取出，记录抽取的次数；(2)生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数；(3)测量一汽车通过给定点的速度.解(1)将3只次品都取出，至少要抽取3次，而最多抽取10次即可，故所求样本空间Ω＝｛３，４，…，９，１０｝;(2)最理想的情形是开始生产的10件产品都是正品，故所求样本空间Ω＝｛１０，１１，１２，…｝;(3)若不考虑汽车的运动方向，则所求样本空间Ω＝｛v｜v＞０｝.若考虑汽车的运动方向，θ表示该运动方向与正东方向之间的夹角，则所求样本空间 Ω＝｛（vｃｏｓθ，vｓｉｎθ）｜v＞０，０≤θ＜２π＝.4 事件A表示在三件被检验的仪器中至少有一件为废品，事件B表示所有的仪器为合格品，问事件(1)Ａ∪Ｂ；（２）Ａ∩Ｂ各表示什么意义?解(1)Ａ∪Ｂ＝Ω; （２）Ａ∩Ｂ＝ .5 设A，B，C为三个随机事件，试将下列事件用A，B，C来表示：(1)仅仅A发生；(2)三个事件都发生；(3)至少有两个事件发生；(4)恰有一个事件发生；(5)没有一个事件发生；(6)不多于两个事件发生.解（１）Ａ__B__ C；（２）ＡＢＣ；（３）ＡＢ∪ＡＣ∪ＢＣ；（４）Ａ__B__C∪__AＢ__C∪__A__BＣ；（５）__A__B__C；（６） ＡＢ__ C.7 袋内装有5个白球，3个黑球，从中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率. 解随机试验是从8个球中任取2个，样本空间所包含的样本点总数为n=C28.设事件A={取出两个球均为白球}，此时，事件A包含的样本点数为k=C25，故P(A)= k / n = C25 / C28≈0.357.8 一批产品共200个，其中有6个废品，求：(1)这批产品的废品率；(2)任取3个恰有一个是废品的概率；(3)任取3个全是废品的概率.解随机试验是从200个产品中任取3个，样本空间所包含的样本点总数为n=C3200. 设事件A i={取出的3个产品中含有i个废品},i=1,3,事件B={这批产品的废品率}.若取出的3个产品中含有i个废品，则i个废品必须从6个废品中获得，3-i个合格品必须从194 个合格品中获得，从而事件A i所包含的样本点数为k i=C i6C3-i194 ,i=1,3.故P(B)= 6 / 200 =0.03,P(A1)=k1 / n=C16C2194/C3200≈0.086,P(A3)=k3 /n=C36/C3200≈0.000 02.9 两封信随机地向四个邮筒投寄，求第二个邮筒恰好投入一封信的概率.解将两封信随机地投入四个邮筒，共有4×４＝１６种投法，即ｎ＝１６.设 Ａ＝｛第二个邮筒恰好投入一封信｝，此时，需将两封信中的一封放入第二个邮筒，共有2种放法，剩下的一封放入其他三个邮筒中的一个，共有3种放法，从而事件A包含的样本点数为ｋ＝２×３＝６，故Ｐ（Ａ）＝ｋ/ｎ＝６/１６＝３/ ８.10 在房间里有10个人，分别佩带着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码.(1)求最小号码为5的概率；(2)求最大号码为5的概率.解设事件A＝｛最小号码为5｝，事件B＝｛最大号码为5｝，则Ｐ（Ａ）＝Ｃ２５/Ｃ３１0＝１/１２，Ｐ（Ｂ）＝Ｃ２４ /Ｃ３１０＝１/２０.11 把10本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率.解设事件Ａ＝｛指定的三本书放在一起｝，将指定的三本书作为一个整体，10本书成为8本，故Ｐ（Ａ）＝k/n=A33A88/A1010≈０.０６７.12 甲、乙二人约定1点到2点之间在某处会面，约定先到者等候10分钟即离去.设想两个人各自随意地在1点到2点之间选一个时刻到达该处，问“甲乙二人能会面”这事件的概率是多少?解记事件A＝｛两人能会面｝，以ｘ，ｙ分别表示两人到达时刻，则两人能会面的充要条件为｜ｘ－ｙ｜≤１０， 即Ａ＝｛（ｘ，ｙ）：｜ｘ－ｙ｜≤１０｝.这是一个几何概率问题，样本空间为Ω＝｛（ｘ，ｙ）：０≤ｘ，ｙ≤６０｝，Ｐ（Ａ）＝Ｌ（Ａ）/Ｌ（Ω）＝６０２－５０２/６０２＝11/36.13 在一间房里有四个人，问至少有两人的生日是在同一个月的概率是多少?解四个人在12个月中任一月出生的可能性是相等的，故基本事件的总数为12４.设事件Ａ＝｛四个人生日均不在同一个月｝，则Ｐ（__A）＝１－Ｐ（Ａ）＝１－A４１２/12４＝７３８/１７２８＝４１/９６.14 设有10件样品，编以号码0~9，随机地抽取1件样品，以B表示“取到号码为偶数的样品”；A１表示“取到号码为1的样品”，A２表示“取到号码为2的样品”，Ａ３表示“取到号码大于7的样品”，分别求A１，A２，Ａ３的概率和A１，A２，Ａ３对B的条件概率，并将条件概率与无条件概率做一比较.解由题设可知:Ｐ（A１）＝1/10，Ｐ（A2）＝1/10，Ｐ（A3）＝2/10=1/5，Ｐ（A１｜Ｂ）＝０，Ｐ（A2｜Ｂ）＝ 1/5，Ｐ（A3｜Ｂ）＝ 1/5 .15 某人忘了电话号码的最后一个数字，因而随意拨号，不超过三次而接通所需要电话的概率是多少?如果已知最后一个数是奇数，那么此概率是多少?解(1)设A={三次中至少有一次接通}, __A={三次每次都不通},A i={第i次接通}(i=1,2,3).易知，__A=__A1__A2__A3，故P(__A1)=9/10, P(__A2__A1)=8/9,P(__A3|__A1__A2)=7/8,从而，P(__A)= P(__A1) P(__A2__A1)P(__A3|__A1__A2)= 9/10×8/9×7/8=7/10.故P(A)=1- P(__A)=1-7/10=3/10.(2)若已知最后一个数字是奇数，从0到9有十个数，其中五个是奇数，则P(__A1)=4/5, P(__A2__A1)=3/4,P(__A3|__A1__A2)=2/3,从而，P(__A)= P(__A1) P(__A2__A1)P(__A3|__A1__A2)= 4/5×3/4×2/3=2/5.故P(A)=1- P(__A)=1-2/5=3/5.16 考察甲、乙两地出现春旱的情况，以A，B分别表示甲、乙两地出现春旱这一事件.根据以往气象记录知Ｐ（Ａ）＝０．２，Ｐ（Ｂ）＝０．１５，Ｐ（ＡＢ）＝０．０８，求 Ｐ（Ａ｜Ｂ），Ｐ（Ｂ｜Ａ）及Ｐ（Ａ∪Ｂ）.解由题设可知:Ｐ（Ａ｜Ｂ）＝Ｐ（ＡＢ）/Ｐ（Ｂ）＝０.０８/０.１５＝8/15，Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（ＡＢ）/Ｐ（Ａ＝０.０８/0.２＝２/５，Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ）＝０.２＋０.１５－０.０８＝０.２７.17 掷三个均匀骰子，已知第一粒骰子掷出幺点(事件B)，问“掷出点数之和不小于10”这个事件A的条件概率是多少?解设事件B＝｛第一粒骰子掷出幺点｝，事件Ａ＝｛掷出点数之和不小于10｝，由题设可知，若第一粒掷出幺点，第二粒可能掷出3、4、5、6点；若第二粒掷出3点，第三粒必掷出6点；第二粒掷出4点，第三粒可能为5、6点；第二粒掷出5点，第三粒可能掷出4、5、6点；第二粒掷出6点，第三粒可能掷出3、4、5、6点，则Ｐ（Ａ｜Ｂ）＝Ｐ（ＡＢ）/Ｐ（Ｂ）=10/36=5/18.18 甲、乙二人射击，甲击中的概率为0 8，乙击中的概率为0 7，二人同时射击，并假定中靶与否是独立的，求：(1)中靶的概率；(2)甲中、乙不中的概率；(3)甲不中、乙中的概率.解设A、B分别表示甲中靶、乙中靶两事件，则事件A与B独立，又Ｐ（Ａ）＝０．８，Ｐ（Ｂ）＝０．７，于是，所求概率为(1)Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＝０．８＋０．７－０．７×０．８＝０．９４；(2)Ｐ（Ａ__B）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（__B）＝０．８×（１－０．７）＝０．２４；(3)Ｐ（__AＢ）＝Ｐ（__A）Ｐ（Ｂ）＝（１－０．８）×０．７＝０．１４.19 从厂外打电话给这个工厂某一车间要由工厂的总机转进，若总机打通的概率为0.6，车间的分机占线的概率为0.3，假定二者是独立的，求从厂外向该车间打电话能打通的概率.解设A，B分别表示从厂外打电话总机打通、分机打通两事件，则事件A，B独立，又Ｐ（Ａ）＝０．６，Ｐ（Ｂ）＝１－０．３＝０．７，所求概率为Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＝０．６×０．７＝０．４２.20 设事件A，B的概率均不为0，证明事件A与B独立及互不相容不会同时成立.证若Ｐ（Ａ）＞０，Ｐ（Ｂ）＞０，则有(1)因A，B两事件相互独立，且Ｐ（Ａ）＞０，Ｐ（Ｂ）＞0，有P（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＞ ０，故ＡＢ≠Φ，即A、B不互不相容;(2)因ＡＢ＝Φ，故Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Φ）＝０，而Ｐ（Ａ）＞０，Ｐ（Ｂ）＞０，故Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＞０， 于是Ｐ（ＡＢ）≠Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ），即A与B不相互独立.21 有四个大小质地一样的球，分别在其上写有数字1，2，3和“1，2，3”，令Ａ ｉ＝｛随机抽出一球，球上有数字ｉ｝(ｉ＝１，２，3).试证明A１，A２，Ａ３两两独立而不相互独立.证由题设可知Ｐ（A１）＝1/2，Ｐ（A2）＝1/2，Ｐ（A3）＝1/2,且Ｐ（A１A２）＝1/4= 1/2×1/2,Ｐ（A１A3）＝1/4= 1/2×1/2,Ｐ（A2A3）＝1/4= 1/2×1/2 .以上等式说明A１，A２，Ａ３两两独立.但Ｐ（A１A２Ａ３）＝1/4≠1/2×1/2×1/2＝Ｐ（A１）Ｐ（A2）Ｐ（A3）.可见事件A１A２Ａ３不相互独立.22 加工某一零件共需四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2％，3％，5％，3％，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率.解设Ａｉ＝｛第ｉ道工序出次品｝，ｉ＝１，２，３，４.又设Ａ＝｛零件为次品｝，则有Ａ＝A１∪A２∪Ａ３∪Ａ４.由题知，A１，A２，Ａ３，Ａ４相互独立，__A1 ，__A2 ，__A3 ，__A4也相互独立，于是Ｐ（Ａ）＝Ｐ（A１∪A２∪Ａ３∪Ａ４）＝１－Ｐ（________________________4321AAAA⋃⋃⋃）＝１－Ｐ（__A1__A2__A3__A4）＝１－Ｐ（__A1）Ｐ（__A2）Ｐ（__A3）Ｐ（__A4）＝１－０．９８×０．９７×０．９５×０．９７≈０．１２４.23 掷三枚均匀骰子，记B＝｛至少有一枚骰子掷出1｝，Ａ＝｛三枚骰子掷出的点数中至少有两枚一样｝，问A，B是否独立?解考虑P(A｜__B)，若__B发生，则三枚骰子都不出现幺点，那么，它们都只有5种可能性(2，3，4，5，6)，比不知__B发生时可能取的点数1，2，3，4，5，6少了一个.从5个数字取3个(可重复取)，其中有两个一样的可能性，应比6个数字中取3个时，有两个一样的可能性要大些，即Ｐ（Ａ）＜Ｐ（Ａ｜__B).由此推出Ｐ（Ａ）＞Ｐ（Ａ｜Ｂ），故A，B不独立.24 一批玉米种子，其出芽率为0 9，现每穴种5粒，问“恰有3粒出芽”与“不大于4粒出芽”的概率是多少?解设Ａ＝｛恰有3粒出芽了｝，Ｂ＝｛不大于4粒出芽｝.把穴中每一粒种子是否发芽看作一次试验，而各粒种子发芽与否是互不影响的，所以5次试验是相互独立的，故Ｐ（Ａ）＝ｂ３（５，０．９）＝Ｃ３５×０.９３×（１－０．９）２＝Ｃ３５×０．９３×０．１２≈０．０７３，Ｐ（Ｂ）＝１－ｂ５（５，０．９）＝１－Ｃ５５×０．９５×（１－０．９）０＝１－０.９５≈０．４１.25 某一由9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的百分比是70 ％ ，现在该机构对某事件可行与否个别征求各位顾问意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率.解显然本问题是：如果9人中超过4人作出正确决策，则可对该事件可行与否作出正确决策，从而设事件Ａ＝｛作出正确决策｝，由题设知，ｎ＝９，p＝０．７，ｑ＝０．３，于是ｂｋ（ｎ，ｐ）＝ｂｋ（９，０．７）＝Ｃｋ９×０．７ｋ×０．３９－ｋ(ｋ＝５，６，７，８，９)，所以5次试验是相互独立的，故Ｐ（Ａ）＝∑=95kＣｋ９×０．７ｋ×０．３９－ｋ≈0.901.26 电灯泡使用寿命在1 000小时以上的概率为0 2，求3个灯泡在使用1 000小时后，最多只有一个坏了的概率.解利用二项概型，有P n(k≤1)=b0(3,0.8)+b1(3,0.8)＝Ｃ０３×０．８０×０．２３＋Ｃ１３×０．８１×０．２２＝０．１０４.27 用三台机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为0.5，0.3，0.2，各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94，0.9，0.95，求全部产品中的合格率.解设事件A、B、C分别表示三台机床加工的产品，事件E表示合格品.依题意，Ｐ（Ａ）＝０．５，Ｐ（Ｂ）＝０．３，Ｐ（Ｃ）＝０．２,Ｐ（Ｅ｜Ａ）＝０．９４，Ｐ（Ｅ｜Ｂ）＝０．９，Ｐ（Ｅ｜Ｃ）＝０．９５，由全概率公式Ｐ（Ｅ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｅ｜Ａ）＋Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｅ｜Ｂ）＋Ｐ（Ｃ）Ｐ（Ｅ｜Ｃ） ＝０．５×０．９４＋０．３×０．９＋０．２×０．９５＝０．９３.28 12个乒乓球中有9个新的，3个旧的，第一次比赛时，同时取出了3个，用完后放回去.第二次比赛时，又同时取出3个，求第二次取出3个球都是新球的概率.解以A ｉ（ｉ＝０，１，２，３）表示事件“第一次比赛从盒中任取的3个球中有ｉ个新球”.可知Ａ０,A１,A２,Ａ３是样本空间Ω的一个划分.以B表示事件“第二次取出的球都是新球”.则Ｐ（Ａ０）＝Ｃ３３/Ｃ３１２＝１/220，Ｐ（A１）＝Ｃ19Ｃ23/Ｃ３１２＝27/200,Ｐ（A2）＝Ｃ29Ｃ13/Ｃ３１２＝27/55,Ｐ（A3）＝Ｃ39/Ｃ３１２＝21/55,Ｐ（Ｂ｜Ａ０）＝Ｃ39/Ｃ３１２＝21/55,Ｐ（Ｂ｜Ａ1）＝Ｃ38/Ｃ３１２＝14/55,Ｐ（Ｂ｜Ａ2）＝Ｃ37/Ｃ３１２＝35/220,Ｐ（Ｂ｜Ａ3）＝Ｃ36/Ｃ３１２＝1/11.由全概率公式，得Ｐ（Ｂ）＝∑=3iＰ（Ａｉ）Ｐ（Ｂ｜Ａｉ）＝１/220×21/55+27/220×14/55+27/55×35/220+21/55×1/11＝1746/12100≈0.14629 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“·”和“-”.由于通信系统受到干扰，当发出信号“·”时，收报台以概率0 8及0 2收到信号“·”和“-”；当发出信号“-”时，收报台以概率0 9及0 1收到信号“-”和“·”.求：(1)收报台收到信号“·”的概率；(2)当收报台收到信号“·”时，发报台确系发出信号“·”的概率.解设事件B＝｛收到信号“·”｝，Ａ０＝｛发出信号“·”｝，A１＝｛发出信号“-”｝.显然Ａ０,A１构成一个完备事件组，且Ｐ（Ａ０）＝０．６，Ｐ（A１）＝０．４，Ｐ（Ｂ｜Ａ０）＝０．８，Ｐ（Ｂ｜A１）＝０．１.(1)应用全概率公式，有Ｐ（Ｂ）＝∑=1iＰ（Ａｉ）Ｐ（Ｂ｜Ａｉ）＝０．６×０．８＋０．４×０．１＝０．５２.(2)应用贝叶斯公式有Ｐ（Ａ０｜Ｂ）＝Ｐ（Ａ0）Ｐ（Ｂ｜Ａ0）/∑=1iＰ（Ａｉ）Ｐ（Ｂ｜Ａｉ）＝0.6×0.8/0.52≈０．９２３.30 设某种病菌在人口中的带菌率为0.83.当检查时，带菌者未必检出阳性反应，而不带菌者也可能呈阳性反应，假定Ｐ（阳性｜带菌）＝０．９９，P(阴性｜带菌)＝０．０１，Ｐ（阳性｜不带菌）＝０．05P(阴性｜不带菌)＝０．95.设某人检出阳性，问他“带菌”的概率是多少?解设A＝｛某人检出阳性｝，Ｂ１＝｛带菌｝，Ｂ2＝｛不带菌｝.由题设知Ｐ（Ｂ1）＝０．８３，Ｐ（Ｂ2）＝１－０．８３＝０．１７，Ｐ（Ａ｜Ｂ1）＝０．９９， Ｐ（Ａ｜Ｂ2）＝０．０５，故所求的概率为Ｐ（Ｂ1｜Ａ）＝Ｐ（ＡＢ1）/Ｐ（Ａ）＝Ｐ（B1）Ｐ（Ａ｜B1）/∑=2jＰ（B j）Ｐ（Ａ｜B j）＝(０.８３×０.９９)/(０.８３×０.９９＋０.１７×０.０５)＝０.８２１７/(０.００８５＋０.８２１７)≈０.９８９８.31 设有五个袋子，其中两个袋子(品种A1)每袋有两个白球和三个黑球，另外两个袋子(品种A2)每袋有一个白球和四个黑球，还有一个袋子(品种A3)中有四个白球和一个黑球，(1)从五个袋中任挑一袋，并从这袋中任取一球，此球为白球的概率；(2)从不同品种的三袋中任挑一袋，并由其中任取一球，结果是白球(事件B)，问这球由三个品种的袋子中取出的概率各是多少?解(1)设事件B表示“取到白球”，A i表示“从五个袋中取到A i品种袋子”（ｉ＝１，２，３），故Ｐ（A1）＝2/5, Ｐ（A2）＝2/5,Ｐ（A3）＝1/5,Ｐ（Ｂ｜A1）＝2/5,Ｐ（Ｂ｜A2）＝1/5,Ｐ（Ｂ｜A3）＝4/5,利用全概率公式，所求概率为Ｐ（Ｂ）＝∑=31iＰ（A i）Ｐ（Ｂ｜A i）＝Ｐ（A1）Ｐ（Ｂ｜A1）＋Ｐ（A2）Ｐ（Ｂ｜A2）＋Ｐ（A3）Ｐ（Ｂ｜A3）＝2/5×2/5＋2/5×1/5＋1/5×4/5＝10/25＝2/5 .(2)设事件B＝｛取到白球｝，A i＝｛从不同品种三袋中取到品种A i袋子｝ （ｉ＝１，２，３），根据题设，欲求下述三个条件概率Ｐ（Ｂ｜A1）,Ｐ（Ｂ｜A1）,Ｐ（Ｂ｜A1）. 于是Ｐ（A1）＝1/3 ,Ｐ（A2）＝1/3,Ｐ（A3）＝1/3,Ｐ（Ｂ｜A1）＝2/5 ,Ｐ（Ｂ｜A2）＝1/5,Ｐ（Ｂ｜A3）＝4/5. 利用全概率公式，取到白球概率为Ｐ（Ｂ）＝∑=31iＰ（A i）Ｐ（Ｂ｜A i）＝1/3×2/5＋1/3×1/5＋1/3×4/5＝7/15.再由贝叶斯公式，有Ｐ（Ａ1｜Ｂ）＝Ｐ（Ａ1）Ｐ（Ｂ｜Ａ1）/∑=31iＰ（Ａi）Ｐ（Ｂ｜Ａi）＝(1/3×2/5)/7/15＝2/7.Ｐ（Ａ2｜Ｂ）＝Ｐ（Ａ2）Ｐ（Ｂ｜Ａ2）/∑=31iＰ（Ａi）Ｐ（Ｂ｜Ａi）＝(1/3×1/5)/7/15＝1/7.Ｐ（Ａ3｜Ｂ）＝Ｐ（Ａ3）Ｐ（Ｂ｜Ａ3）/∑=31iＰ（Ａi）Ｐ（Ｂ｜Ａi）＝(1/3×4/5)/7/15＝4/7.。
概率论第一章 随机事件及其概率Ch1.2 频率与概率
= 1 −[P( A) + P(B) − P( AB)]
= 1 − P( A) − P(B) + P( AB)
所以， 所以， P( A)+ P(B) = 1, 又因为 P( A) = 2P(B), 于是得， 于是得，
2 P( A) = . 3
对某班的学生进行期中测验，测得有70%的学 例1.8 对某班的学生进行期中测验，测得有 的学 生数学成绩得优， 的学生语文成绩得优， 生数学成绩得优，有75%的学生语文成绩得优，有80%的 的学生语文成绩得优 的 学生英语成绩得优， 的学生政治成绩得优， 学生英语成绩得优，有85%的学生政治成绩得优，试证明 的学生政治成绩得优 该班至少有10%的学生四门课程全部得优。 的学生四门课程全部得优。 该班至少有 的学生四门课程全部得优 表示事件“ 解 设A表示事件“数学成绩得优的学生”，B表示事 表示事件 数学成绩得优的学生” 表示事 件 表示事件“ “语文成绩得优的学生”，C表示事件“英语成绩得优的 语文成绩得优的学生” 表示事件 学 表示事件“ 生”，D表示事件“政治成绩得优的学生”。则 表示事件 政治成绩得优的学生”
≥ 1 −[P( A) + P(B) + P(C) + P(D)] 。 = 1 − (0.3 + 0.25 + 0.2 + 0.15) = 0.1
P( A) = 0.7, P(B) = 0.75, P(C) = 0.8, P(D) = 0.85
1 1 P( A) = P( B) = P(C ) = , P( AB) = 0, P( AC ) = P( BC ) = ， 例1.7 知 4 16
至少有一个发生的概率。 求A,B,C至少有一个发生的概率。 至少有一个发生的概率 解 因 ABC ⊂ AB ，故 0 ≤ P( ABC ) ≤ P( AB) = 0 ， 从而 P( ABC ) = 0 ，于是 A,B,C至少有一个发生的概率为 至少有一个发生的概率为
第一章随机事件及概率
、随机试验
定义 在概率论中 ,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验 .
1.试验可以在相同的条件下重复地进行 ; 2. 每次试验的可能结果不止一个 ,并且能事先
明确试验的所有可能结果 ;
3. 进行一次试验之前不能确切知道哪一个结果 会出现 .
基本事件 ,事件A—出现偶数 ,事件B—出现奇数
解：用? i 表示掷骰子出现的点数为 i, i ? 1,? 6;
? ? {?1 ,?2 ,?3 ,?4 ,?5 ,?6 }
基本事件 Ai ? {? i }, i ? 1,2,? ,6;
A ? {? 2 ,? 4 ,? 6 }; B ? {? 1,? 3 ,? 5 }.
说明 1. 随机试验简称为试验 , 是一个广泛的术语 .它包 括各种各样的科学实验 , 也包括对客观事物进行 的 “调查”、“观察”、或 “测量” 等. 2. 随机试验通常用 E 来表示. 实例 “抛掷一枚硬币 ,观 察正面,反面出现的情况” .
分析
(1) 试验可以在 相同的条件下重复地进行 ;
(2) 试验的所有可能结果 :
第一章
随机事件及其概率
第一节 随机事件的概念 及其运算
一、 随机现象 二、 随机试验 三、 样本空间 样本点 四、 随机事件的概念 五、 小结
一、随机现象
自然界所观察到的现象 : 确定性现象
1.确定性现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象 .
随机现象
实例
“太阳从东边升起” ,
“水从高处流向低处” ,
五、小结
1. 随机现象的特征 : 条件不能完全决定结果 .
2. 随机现象是通过随机试验来研究的 .
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解题思路
1、将事件定义为某个参数，如A,B,C； 2、确定总样本空间样本数与事件对应的样本数 技巧：可以采用概率的性质和事件的运算关系灵 活变换。
2. 样本点 ω—— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示.
• 重复排列：nr
•
选排列： Pnr
n! n(n 1)......(n r 1) (n r)!
组合
•
组合：
Cnr
n r
n! r!(n r)!
Pnr r!
注意
求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原则.
加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其确定方法 §1.3 概率的性质 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 必然现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
乘法原理
完成某件事情需先后分成 n 个步骤，做第一步有m1种方 法，第二步有 m2 种方法，依次类推，第 n 步有mn种方法， 则完成这件事共有 m1×m2×…×mn种不同的方法.
1.2.3 确定概率的频率方法
➢ 随机试验可大量重复进行. ➢ 进行n次重复试验，记 n(A) 为事件A的频数，
n( A) 称 fn ( A) n 为事件A的频率. ➢ 频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值). ➢ 用频率的稳定值作为该事件的概率.
概率论
第一章 随机事件与概率
概率论起源： 合理分配赌金问题
有一笔赌金， 甲乙两个人竞赌， 输赢的 概率都一样，都是1/2， 谁先能够赢累计达到6 盘，就获得这笔赌金。 但是一个特别的原因， 赌博突然终止了， 那个时候甲赢了5局， 乙赢 了2局， 问这笔赌金应该如何分配？
概率论的应用
第一章 随机事件与概率
A A不发生、对立事件 A的余集
样本空间的分割
若 A1，A2，……，An 有 1. Ai互不相容； 2. A1A2 ……An= Ω
则称 A1，A2，……，An 为Ω的一组分割.
试用A、B、C 表示下列事件：
① A 出现； A ② 仅 A 出现；ABC ③ 恰有一个出现；ABC ABC ABC
基本事件为有限个
每个基本事件出现的可能性相等
古典概型的计算：
难点：1确定样本点总数；
2计算时间A中包含的样本点数。
（用到排列组合+加法原理+乘法原理）
1.2.2 排列与组合公式
• 从 n 个元素中任取 r 个，求多少种取法.
• 排列讲次序，组合不讲次序.
• 全排列：Pn= n! • 0! = 1.
④ 至少有一个出现；A B C
⑤ 至多有一个出现；ABC ABC ABC ABC ⑥ 都不出现； ABC
⑦ 不都出现； ABC A B C ⑧ 至少有两个出现；AB AC BC
§1.2 概率的定义及其确定方法
• 直观定义 —— 事件A 出现的可能性大小. • 统计定义 —— 事件A 在大量重复试验下
1.1.1 随机现象
• 随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象.
• 特点：1. 结果不止一个; 2. 事先不知道哪一个会出现.
• 随机现象的统计规律性：在大量重复试验中， 随机现象的各种结果会表现出一定的规律性， 这种规律性称之为 统计规律性.
1.1.2 样本空间
1. 随机试验 (E) —— 对随机现象进行的实验与观察. 它具有三个特点：重复性、多样性、随机性.
相等
1.1.6 事件的运算
• 并： A B
A 与 B 至少有一发生
• 积： A B = AB A 与 B 同时发生
• 差： A B
A发生但 B不发生
• 逆： A
A 不发生
• 互斥 A B =Ω A 与 B 不能同时发生
事件运算的图示
AB
AB
AB
德莫根公式
A B A B; A B A B
n
n
UAi I Ai;
i 1
i 1
n
n
I U Ai Ai
i 1
i 1
记号 概率论
集合论
Ω 样本空间, 必然事件
空间
φ
不可能事件
空集
样本点
元素
AB A发生必然导致B发生 A是B的子集
AB=φ A与B互不相容 A与B无相同元素
AB A与B至少有一发生 A与B的并集
AB
A与B同时发生
A与B的交集
AB A发生且B不发生 A与B的差集
出现的频率的稳定值称为该事件的概率. • 古典定义；几何定义.
1.2.1 概率的公理化定义
• 非负性公理： P(A)0;
• 正则性公理： P(Ω)=1;
• 可列可加性公理：若A1, A2, ……, An ……
互不相容，则
U P
Ai
P( Ai )
i1 i1
概率基本性质
性质1-5
古典概型
1.2.4 确定概率的古典方法
古典概型 若一个随机试验(Ω,F, P )具有以下两个特征： (1) 有限性。样本空间的元素(基本事件)只有为有
限个，即Ω={ω1，ω2，…，ωn}； (2) 等可能性。每个基本事件发生的可能性是
相等的，即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。 则称这类随机试验的数学模型为古典概型。 则事件A的概率为:
2. 基本事件 —— Ω的单点集. 3. 必然事件 (Ω) 4. 不可能事件 (φ) —— 空集.
事件的表示
➢ 在试验中，A中某个样本点出现了， 就说 A 出现了、发生了，记为A.
➢ 维恩图 ( Venn ). ➢ 事件的三种表示
用语言、用集合、用随机变量.
1.1.5 事件间的关系
➢ 包含关系： A B, A 发生必然导致 B 发生.