概率论事件的概率
概率公式大全
概率公式大全概率公式大全（上篇）概率公式在概率论中起着非常重要的作用，它们用于描述随机事件的发生概率以及事件之间的关系。
本文将介绍一些常见的概率公式，帮助读者更好地理解和应用概率论。
1. 基本概率公式1) 事件的概率公式：在概率论中，事件的概率通常用P(A)表示，其中A表示一个事件。
事件A的概率可以用下述公式计算：P(A) = N(A) / N(S)其中，N(A)表示事件A发生的次数，N(S)表示样本空间S 中的总次数。
2) 样本空间的概率公式：当样本空间S的每个样本点发生的概率相同且为1/N(S)时，我们可以使用下述公式计算事件A的概率：P(A) = N(A) / N(S)这个公式在实际问题中应用广泛，是基本的概率公式之一。
2. 条件概率公式1) 条件概率的定义：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为A在B 条件下的条件概率，用P(A|B)表示。
条件概率的计算公式如下：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)其中，P(A ∩ B)表示事件A与事件B同时发生的概率。
2) 乘法公式：乘法公式是条件概率的推广形式，用于计算两个事件同时发生的概率。
根据乘法公式，我们可以得到：P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B)这个公式在计算复杂事件的概率时非常有用。
3. 全概率公式全概率公式用于计算一个事件发生的总概率，它假设事件发生的样本空间可以划分为若干个互斥事件。
全概率公式如下：P(A) = Σi P(A|Bi) * P(Bi)其中，Bi表示样本空间S的一个划分，P(A|Bi)表示在Bi条件下事件A发生的概率。
这个公式可以在一些复杂问题中计算事件发生的概率，非常实用。
4. 贝叶斯公式贝叶斯公式是条件概率公式的逆运算，用于通过已知的条件概率反推出相反的条件概率。
根据贝叶斯公式，可以得到：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
1.2 概率论——随机事件及其概率
反演律
AB A B
AB A B
n
n
Ai Ai
i 1
i 1
运算顺序： 逆交并差，括号优先
n
n
Ai Ai
i 1
i 1
Note1:
“+”的理解,“-”的理解
举例说明: A B C A BC
A {1,2,3,4}, B {1,3,5} A B C {2,4}
而BC {1,2,3,4,5} A 反之,请同学课后练习.
§1.2 随机事件及其概率
自然界中的有两类现象
•1. 确定性现象 • 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
•2. 随机现象 • 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
• 随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象.
(4) A1 A2 An A1 A2 An (5) A1 A2 An A1 A2 An
交换律 结合律
分配律
A B B A AB BA
(A B)C A(BC) ( AB)C A(BC )
(A B)C (AC)(BC) A (BC ) ( A B)(A C)
AB
和与积的运算同样定义）
4.事件的差
事件 A 发生而事件B 不发生，是一个事件，称为
事件 A 与 B 差，记作 A B
AB
5.互不相容事件
如果事件 A 与 B 不能同时发生，即 AB ，称事件
A与B互不相容，(或称互斥） 显然, 基本事件是互不相容的 类似地，如果
BA
A1, A2 , , An 两两互不相容，
(6)三个事件至少有两个发生： AB AC BC
概率论公式总结
1° f (x) 的图形是关于 x 对称的； 2° 当 x 时， f () 1 为最大值；
2 若 X ~ N (, 2 ) ，则 X 的分布函数为
F(x) 1
(t )2
x
e
2 2
dt
2
(x) 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
X
~ N (0,1)
充要条件：X 和 Y 不相关。
（1） D(C)=0；E(C)=C
（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)
（3） 方差 的性 质
（3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b （4） D(X)=E(X2)-E2(X) （5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X 和 Y 独立；
更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
P( A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) …… P( An | A1A2 … An 1) 。
独立性
①两个事件的独立性
设事件 A 、 B 满足 P( AB) P( A)P(B) ，则称事件 A 、 B 是相互独立的。
第三章 二维随机变量及其分布
对 于 二 维 随 机 向 量 (X,Y) ， 如 果 存 在 非 负 函 数
f (x, y)( x , y ) ，使对任意一个其邻边
分别平行于坐标轴的矩形区域 D，即 D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有
连续型
P{(X ,Y ) D} f (x, y)dxdy, 则称 为连续型随机向量；
《概率论》第1章 事件与概率
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5. 试用A、B、C 表示下列事件： ① A 出现； A ② 仅 A 出现；ABC ③ 恰有一个出现；ABC ABC ABC ④ 至少有一个出现；A B C ⑤ 至多有一个出现； ABC ABC ABC ABC ⑥ 都不出现； ABC ⑦ 不都出现； ABC A B C ⑧ 至少有两个出现； AC BC AB
第一章 事件与概率
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在随后的200多年里,概率论不仅在理论上获得了一定 发展,而且在人口统计、保险业、误差理论、天文学等自 然科学中得到了应用.在这一时期,对概率论在理论和应用 方 面 作 出 重 要 贡 献 的 数 学 家 有 雅 格 布 · 努 利 (Jakob 伯 Bernoullii),丹尼尔· 伯努利(Daniel Bernoullii), 棣莫弗(De Moivre), 拉 普 拉 斯 (pace), 欧 拉 (L.Euler), 贝 叶 斯 (T.Bayes), 蒲 丰 (G.Buffon), 高 斯 (F.Gauss), 泊 松 (S.Poisson),布尼亚可夫斯基 (V.Bunjakovskii),切比雪夫 (Chebyshev), 马 尔 可 夫 (A.Markov), 李 雅 普 诺 夫 (A.Lyapunov)等. 尽管18,19世纪,概率论在理论和应用方面得到了很多 成果,但与其它数学分支比较,概率论的发展是缓慢的.甚 至直到20世纪以前概率论还未进入主流数学.其基本原因 是概率论缺乏严密的逻辑基础.
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凯恩斯主张把任何命题都看作事件,例如“明天将下 雨”,“土星上有生命”等等都是事件,人们对这些事件的 可信程度就是概率,而与随机试验无关,通常称为 主观概 率. 米泽斯定义事件的概率为该事件出现的频率的极限, 而作为公理就必须把这一极限的存在作为第一条公理,通 常称为客观概率.
概率论第十四章概率论初步重要知识点
第十四章 概率论初步第一节 事件与概率一、随机事件和样本空间在研究自然界和人类社会时，人们可观察到各种现象，按它是否带有随机性将它们划分为两类。
一类是在一定条件下必然会发生的现象，称这类现象为确定性现象。
例如苹果从树上掉下来总会落到地上，三角形的内角和一定为180º。
另一类现象是在一定条件可能出现也可能不出现的现象，称这类现象为随机现象。
例如掷一枚质地均匀的硬币时，它可能出现正面向上，也可能出现反面向上等。
对于随机现象的一次观察，可以看作是一次试验，如果某种试验满足以下条件：（1）试验可在相同条件下重复地进行；（2）每次试验的结果可能不止一个，并且能事先确定试验的所有可能的结果;（3）每次试验的结果事先不可预测，称这种试验为随机试验。
随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件，它们的全体，称作样本空间，通 常用字母Ω表示。
样本空间的元素即基本事件，有时也称作样本点，常用ω表示。
例1、一次掷两颗骰子,观察每颗的点数解： Ω=}654321,|),{(、、、、、j i j i =其中()j i ,表示第一颗掷出i 点,第二颗掷出j 点,显然, Ω共有36个样本点。
例2、 一个盒子中有十个完全相同的球,分别标以号码1021、、、Λ从中任取一球, 解：令 {}i i 取出球的号码为=则}1021{、、、Λ=Ω称样本空间Ω的某一子集为一个随机事件，简称事件，通常用大写英文字母A 、B 、C ……表示。
如在例2中， A={}取出球的标号为奇数因为Ω是所有基本事件所组成，因而在任一次试验中，必然要出现Ω中的某一些基本事件ω，即Ω∈ω，也即在试验中，Ω必然会发生，又用Ω来代表一个必然事件。
相应地，空集φ可以看作是Ω的子集，在任意一次试验中，不可能有φω∈，即φ永远不可能发生，所以φ是不可能事件。
我们可用集合论的观点研究事件，事件之间的关系与运算如下：（1）包含 如果在一次试验中，事件A 发生必然导致事件B 发生，则称事件B 包含事件A ,记为B A ⊂由例2，{}5球的标号为=B ，则A B ⊂（2）等价 如果B A ⊂同时A B ⊂，则称事件A 与事件B 等价,记为A=B 。
概率论与统计1-3 随机事件的概率
基本事件总数为 10 10 10 103 , A 所包含基本事件的个数为 6 6 4, 6 6 4 0.144 . 故 P ( A) 3 10
同类型的问题还有：
1) 电话号码问题；
2) 骰子问题.
3) 英文单词、书、报等排列问题.
例6
分房模型
有n个人，每个人都以同样的概率 1/N 被分配在N(n≤N)间房中的每一间中，试求 下列各事件的概率：
nH
1061 2048 6019 12012
f
德.摩根 蒲丰 K.皮尔逊 K.皮尔逊
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
f (H ) n的增大
1 . 2
重要结论
频率当 n 较小时波动幅度比较大,当 n 逐渐增 大时 , 频率趋于稳定值, 这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小.它就是事件的
满足等式
rn r r1 r2 n n n n
根据定1.2知 P ( A1 Am ) P ( A1 ) P ( Am )
说明
概率的统计定义直观地描述了事件发生的 可能性大小，反映了概率的本质内容，但也有 不足，即无法根据此定义计算某事件的概率.
三、古典概型
1.古典概型定 义
m Cn ( N 1)nm
m C n ( N 1) n m P (C ) Nn
同类型的问题还有： 1) 球在杯中的分配问题； (球人，杯房) 2) 生日问题； (日 房，N=365天) ( 或 月 房，N=12月)
3) 旅客下站问题； ( 站房 )
4) 印刷错误问题； (印刷错误人，页房)
mn 基本事件总数为: C M N m n CM CN A 所包含基本事件的个数为
事件的概率及其性质
少 ，呈现出一定的稳定性.
雅各布· 伯努利
• （Jakob Bernoulli 1654 ，
年12月27日－1705年8月16
日）数学家。被公认的概率
论的先驱之一。
• 较早阐明随着试验次数的增 加，频率稳定在概率附近。
概率的统计定义
• 定义1.2.2 • 在一定条件下，重复做n次试验，k为n次试验 中事件A发生的次数， • 如果随着n逐渐增大，频率k/n逐渐稳定在某
证明
因为 A B, 所以 B A ( B A).
又 ( B A) A ,
B A
得 P ( B ) P ( A) P ( B A) A B
于是 P( B A) P( B) P( A).
又因 P ( B A) 0, 故 P ( A) P ( B ).
nC C C
10 30 10 20 10 10
3!27! P ( A) 9 9 9 n A 3 2 1 C 27 C18C 9 9! 9! 9! P( B) 3 27! 7 10 10 n B 3 C 27 C 20C10 7! 10! 10!
k ( k 1) p n N
n
n
概率的古典定义的局限性
概率的古典定义具有可计算性的优点,但 它也有明显的局限性.要求样本点有限,如果 样本空间中的样本点有无限个, 概率的古典 定义就不适用了. 把有限个样本点推广到无限个样本点 的场合,人们引入了几何概型. 由此形成了 确定概率的另一方法 ——几何方法.
k n C M C N kM p n CN
解：
2）
P
有放回抽样
k Cn M k (N
M)
概率论中的随机事件及概率的定义及计算
概率论中的随机事件及概率的定义及计算在概率论中，随机事件是指一个结果是不确定的事件，例如掷骰子的结果、抽奖的结果、病人是否能成功治愈等。
通过对随机事件的概率进行计算，我们可以预测它们发生的可能性大小，从而对未来的结果进行预测和控制。
随机事件的概率定义在概率论中，随机事件的概率定义为该事件在所有可能结果中出现的比例。
例如，在掷一次骰子时，获得6面的概率为1/6，因为6面是6个可能结果中的一个。
概率的计算方法一般来说，概率的计算方法有两种：相对频率方法和古典概型方法。
1. 相对频率方法相对频率方法是指通过实验来计算概率。
具体来说，我们可以对随机事件进行多次实验，然后统计该事件发生的次数与实验总次数之比。
例如，如果我们想要计算投掷骰子获得6面的概率，我们可以对骰子进行大量实验，并记录6面出现的次数。
然后，我们可以计算该事件发生的次数与实验总次数之比，即得到6面出现的概率。
2. 古典概型方法古典概型方法是指对于已知的固定有限集合，每个结果的概率相等时，对随机事件进行计算。
例如，对于投掷一枚骰子的情况，我们可以通过以下公式计算获得特定面的概率：P(E) = n(E) / n(S)其中，n(E)是事件E中有利结果的数量，n(S)是样本空间中的所有结果数。
概率的性质在概率论中，概率具有以下几个重要的性质：1. 非负性：概率是非负的，即概率不会小于零。
2. 正则性：所有可能事件的概率之和等于1。
3. 加法性：对于两个不相交事件A和B，它们的概率之和等于它们的并集的概率。
4. 乘法性：对于两个事件A和B，它们的联合概率等于它们各自的概率的积。
总结概率论是应用广泛的一门学科，在许多领域都有着重要的应用，例如统计学、经济学、金融学等。
随机事件及概率的定义和计算方法是概率论中最基础的概念，建立了整个概率论体系的基础。
了解概率论的基本概念和方法，可以帮助我们更好地理解和应用它们，在实际应用中更加准确地估计未来的结果和降低风险。
概率论随机事件公式
概率论随机事件公式
概率论是研究随机事件的一门学科，它主要研究其中一事件发生的可能性。
在概率论中，我们使用一些公式来计算随机事件的概率。
接下来，我将详细介绍一些常见的概率公式。
1.事件的概率公式：对于一个随机事件A，它的概率（记为P(A)）可以通过以下公式计算：
P(A)=N(A)/N(S)
其中，N(A)表示事件A发生的次数，N(S)表示样本空间中所有可能事件发生的次数。
2.互斥事件的概率公式：如果事件A和事件B是互斥的（即它们不能同时发生），那么它们的概率可以通过以下公式计算：
P(A或B)=P(A)+P(B)
这是因为互斥事件的概率是可以累加的。
3.非互斥事件的概率公式：如果事件A和事件B不是互斥的，那么它们的概率可以通过以下公式计算：
P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A和B)
这个公式被称为加法法则，并且可以使用类似的方法扩展到更多的事件上。
4.条件概率公式：条件概率是指在事件B已经发生的条件下，事件A 发生的概率。
它可以通过以下公式计算：
P(A，B)=P(A和B)/P(B)
其中，P(A和B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
5.乘法法则：乘法法则是计算多个事件同时发生的概率的方法。
对于两个事件A和B，它们同时发生的概率可以通过以下公式计算：P(A和B)=P(A)*P(B，A)
其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
以上是概率论中一些常见的随机事件公式。
通过使用这些公式，我们可以计算出事件发生的概率，从而更好地理解和应用概率论的知识。
事件概率的计算公式
事件概率的计算公式事件概率是概率论中的一个重要概念，用于衡量某个事件发生的可能性大小。
在概率论中，事件概率的计算公式是通过对事件的样本空间、样本点和事件的数量进行分析和计算得出的。
下面将介绍事件概率的计算公式及其应用。
一、事件概率的定义事件概率是指某个事件在所有可能事件中出现的可能性大小。
通常用P(A)表示事件A的概率，即事件A发生的可能性大小。
事件概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能发生，1表示必然发生。
二、事件概率的计算公式1. 频率法频率法是通过统计实验中事件发生的次数与实验次数的比值来估计事件概率。
频率法的计算公式为：P(A) = N(A)/N其中，N(A)表示事件A发生的次数，N表示实验的总次数。
频率法适用于大量实验的情况下，通过实验数据来近似估计事件概率。
2. 古典概型法古典概型法适用于样本空间中的每个样本点发生的概率相等的情况。
在古典概型法中，事件概率的计算公式为：P(A) = N(A)/N其中，N(A)表示事件A包含的样本点的数量，N表示样本空间中的样本点的总数。
古典概型法适用于样本空间中各个样本点的发生概率相等的情况，如掷骰子、抽牌等。
3. 组合法组合法适用于事件的样本空间中的样本点的发生概率不相等的情况。
在组合法中，事件概率的计算公式为：P(A) = ΣP(Ai)其中，P(Ai)表示事件A中的样本点Ai的发生概率，Σ表示对所有样本点的发生概率求和。
组合法适用于样本空间中各个样本点的发生概率不相等的情况，如抽奖、抽样等。
三、事件概率的应用事件概率的计算公式可以用于各种实际问题的分析与解决。
例如，在赌博游戏中，可以使用事件概率的计算公式来估计某个赌博事件的胜率。
在金融领域，可以使用事件概率的计算公式来评估某个投资项目的风险和收益。
在医学领域，可以使用事件概率的计算公式来评估某个疾病的发生率和治愈率。
事件概率的计算公式还可以用于决策分析和风险管理。
通过对各种可能事件的概率进行计算和比较，可以帮助人们做出合理的决策，并制定相应的风险管理策略。
概率论公式总结
率。分布函数 F(x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
1. 0 F(x) 1, x ；2。 F(x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有
F(x1) F (x2) ； 3 。 F() lim F(x) 0 ， F() lim F(x) 1 ； 4 。
x
x
F(x 0) F(x) ，即 F(x) 是右连续的；5. P(X x) F(x) F(x 0) 。对于离散型
自由度为 n2 的 F 分布，记为 F～f(n1, n2).
F1
(n1 , n2 )
F
1 (n2 , n1 )
第四章 随机变量的数字特征
（1） 期望 一维 随 机 期望就是平均值 变量 的数 字特 征
函数的期望
离散型
连续型
设 X 是离散型随机变量，其分布 设 X 是连续型随机变
律 为 P( X xk ) ＝ pk ，
乘法公式： P(AB) P(A)P(B / A)
乘法公式
更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
P( A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) …… P( An | A1A2 … An 1) 。
①两个事件的独立性
设事件 A 、 B 满足 P( AB) P( A)P(B) ，则称事件 A 、 B 是相互独立的。
W
服从自由度为
n
的
2
分布记为
i 1
W～ 2 (n)
2 分布
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布 中的一个重要参数。
2 分 布 满 足 可 加 性 ： 设 Yi 2 (ni ), 则
概率论的公式大全
概率论的公式大全概率论是数学的一个分支，研究随机事件发生的概率。
以下是概率论中常用的公式。
1.基本概率公式：P(A)=n(A)/n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的样本空间中的有利结果数量，n(S)表示样本空间中的总结果数量。
2.加法公式：P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A且B)其中，P(A或B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
3.乘法公式：P(A且B)=P(A)×P(B，A)其中，P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
4.条件概率公式:P(A，B)=P(A且B)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
5.全概率公式：P(A)=Σ(P(A，Bi)×P(Bi))其中，P(A)表示事件A的概率，Bi表示S的一个划分，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi的概率。
6.贝叶斯公式：P(Bi，A)=(P(A，Bi)×P(Bi))/Σ(P(A，Bj)×P(Bj))其中，P(Bi，A)表示在事件A发生的条件下，事件Bi发生的概率，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi的概率。
7.期望值公式：E(X)=Σ(Xi×P(Xi))其中，E(X)表示随机变量X的期望值，Xi表示X的取值，P(Xi)表示X取值为Xi的概率。
8.方差公式：Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 × P(Xi))其中，Var(X)表示随机变量X的方差，Xi表示X的取值，E(X)表示X 的期望值，P(Xi)表示X取值为Xi的概率。
9.标准差公式：SD(X) = √Var(X)其中，SD(X)表示随机变量X的标准差，Var(X)表示X的方差。
10.二项分布的概率公式：P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示X取值为k的概率，C(n,k)表示组合数，p表示单次实验成功的概率，n表示试验重复的次数，k表示成功发生的次数。
概率论公式
概率论公式1．随机事件及其概率吸收律：A AB A A A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)( AB A A A AA =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)()(AB A B A B A -==- 反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃=n i i n i i A A 11=== ni i n i i A A 11===2．概率的定义及其计算)(1)(A P A P -=若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃)()()(B P A P B A P +≤⋃)()1()()()()(2111111n n nnk j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++-=∑∑∑3．条件概率()=A B P )()(A P AB P乘法公式())0)(()()(>=A P A B P A P AB P()())0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式∑==n i i AB P A P 1)()( )()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k = ∑==n i i i k kB A P B P B A P B P 1)()()()(4．随机变量及其分布分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<5．离散型随机变量(1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k(2) 二项分布 ),(p n B若P ( A ) = p nk p p C k X P k n kk n ,,1,0,)1()( =-==-*Possion 定理0lim >=∞→λn n np 有,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k e p p C kkn n k n k n n λλ(3) Poisson 分布 )(λP,2,1,0,!)(===-k k e k X P kλλ6．连续型随机变量(1) 均匀分布 ),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(bx a a b x f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b ax x F(2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F x λ(3) 正态分布 N (μ , σ 2 )+∞<<∞-=--x e x f x 222)(21)(σμσπ⎰∞---=x t t e x F d 21)(222)(σμσπ*N (0,1) — 标准正态分布 +∞<<∞-=-x e x x 2221)(πϕ +∞<<∞-=Φ⎰∞--x t e x x td 21)(22π7.多维随机变量及其分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数 ⎰⎰∞-∞-=x ydvdu v u f y x F ),(),(边缘分布函数与边缘密度函数⎰⎰∞-+∞∞-=x X dvdu v u f x F ),()(⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()(⎰⎰∞-+∞∞-=y Y dudv v u f y F ),()(⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(8. 连续型二维随机变量(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(G y x Ay x f(2)二维正态分布+∞<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------y x e y x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ 9. 二维随机变量的 条件分布 0)()()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X0)()()(>=y f y x f y f Y Y X Y⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()()(y x f Y X )(),(y f y x f Y = )()()(y f xf x y f Y X X Y =)(x y f X Y )(),(x f y x f X = )()()(x f y fy x f X Y Y X = 10.随机变量的数字特征数学期望∑+∞==1)(k k k p x X E ⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩 )(k X E X 的 k 阶绝对原点矩 )|(|k X E X 的 k 阶中心矩 )))(((k X E X E - X 的 方差 )()))(((2X D X E X E =-X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(l k Y X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩()l k Y E Y X E X E ))(())((-- X ,Y 的 二阶混合原点矩 )(XY E X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 ()))())(((Y E Y X E X E -- X ,Y 的相关系数 XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--)()())())(((X 的方差D (X ) =E ((X - E (X ))2) )()()(22X E X E X D -= 协方差 ()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --= )()()(Y E X E XY E -= ())()()(21Y D X D Y X D --±±=相关系数 )()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
例1 设甲、乙、丙三 人的命中率分别为0.3，
P(Ai)—— 先验概率
0.2，0.1。现三人独立地 向目标各射击一次，结果
A1
A2 ........ An
有两次命中目标，试求丙
P(B/Ai)
P(Ai /B ) 后验概率
没有命中目标的概率。
B P(B )
解 记A、B、C分别为甲、乙、丙命中目标，D 为
P(ABC ) P(D )
0.30.20.90.587 0.092
法二 用Bayes公式：
0.1
0.9
P (C) = 0.1, P(C)0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D/C)0.3*0.2.
C 0.3*0.8+0.7*0.2
C
0.3*0.2
于是有
D
P (C /D )
第二、三章 随机变量及其分布
1.常用分布 B(n,p)，P( )，U[a,b]，E( )，N(, 2 )；
二维均匀、二维正态
2.联合分布和边缘分布
pi• pij,fX(x)f(x,y)dy
j
3.概率的计算 (一维或二维C.R.V.：一重或二重积分)
4.随机变量函数的分布 作图、定限再计算、验证
5 随机变量的独立性
•正态分布的线性组合性质(含正态分布可加性)
若Xi ~ N( i，i 2), i=1,2,...n, 相互独立，则对任
何实数a1, a2, …, an, 有
n
n
n
a X 1 b~ N (a? 1 b,,a 2? 12 ),
aiXi ~N(
a?i i ,,
?a i2
① 分布函数法(C.R.V.)：
概率论的公式大全
概率论的公式大全一、基本概率公式：1.定义概率公式：对于任意事件A，概率P(A)的范围是[0,1]。
2.互补事件概率公式：对于任意事件A，概率P(A')=1-P(A)。
3.空集概率公式：对于空集Φ，概率P(Φ)=0。
二、条件概率公式：4.定义条件概率公式：对于事件A和B，当P(B)>0时，条件概率P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
5.乘法公式：对于事件A和B，P(A∩B)=P(A，B)·P(B)。
三、独立事件公式：6.独立事件公式：对于事件A和B，当P(A)>0且P(B)>0，事件A和事件B相互独立的充要条件是P(A∩B)=P(A)·P(B)。
7.乘法公式（多个独立事件）：对于事件A1，A2，...，An，P(A1∩A2∩...∩An)=P(A1)·P(A2)·...·P(An)。
四、加法公式：8.加法公式（两个互不相容事件）：对于事件A和B，当A和B互不相容（即A∩B=Φ）时，P(A∪B)=P(A)+P(B)。
9.加法公式（两个一般事件）：对于事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
五、全概率公式：10.全概率公式：对于任意一系列互不相容的事件B1，B2，...，Bn，且每个事件Bi的概率大于0且小于1，且它们的并集为样本空间S，则对于任意事件A，有P(A)=Σ[P(A，Bi)·P(Bi)]，其中Σ表示求和。
六、贝叶斯公式：11.贝叶斯公式：对于事件A和一系列互不相容的事件B1，B2，...，Bn，且每个事件Bi的概率大于0且小于1，且它们的并集为样本空间S，则对于任意事件A，有P(Bi，A)=P(A，Bi)·P(Bi)/[Σ[P(A，Bj)·P(Bj)]]，其中Σ表示求和。
七、期望与方差公式：12.期望公式：对于随机变量X的概率分布函数P(x)，它的期望E(X)定义为E(X)=Σ[x·P(x)]，其中Σ表示求和。
概率论中的事件概率与条件概率
概率论中的事件概率与条件概率概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象中事件发生的可能性。
在概率论中，我们常常需要计算事件的概率以及给定某些条件下的条件概率。
本文将介绍事件概率与条件概率的概念以及计算方法，并通过实际案例进行说明。
1. 事件概率事件概率是指某个事件发生的可能性大小。
在概率论中，事件概率的取值范围介于0到1之间。
当事件一定不会发生时，其概率为0；当事件一定会发生时，其概率为1。
对于离散型随机变量来说，事件概率可以通过计算频率来估计。
频率是指某个事件在大量重复试验中发生的次数与试验总次数的比值。
例如，抛一枚公平硬币，事件"正面朝上"的概率可以通过抛硬币多次并统计正面朝上的频率来估计。
对于连续型随机变量来说，利用概率密度函数可以计算事件概率。
概率密度函数描述了随机变量在某个取值范围内的概率分布情况。
通过对概率密度函数进行积分，可以得到事件在某个取值范围内的概率。
2. 条件概率条件概率是指在给定某个条件下，另一个事件发生的可能性大小。
条件概率用P(A|B)表示，读作"在条件B下，事件A发生的概率"。
通过条件概率，我们可以描述事件之间的依赖关系。
当两个事件相互独立时，条件概率为P(A|B) = P(A)，即事件B的发生与否不会影响事件A的发生。
然而，当两个事件相关时，条件概率不等于事件的概率，而是会发生变化。
计算条件概率的方法可以利用全概率公式和贝叶斯定理。
全概率公式用于计算复杂事件发生的概率，它将复杂事件分解成多个互斥事件，并计算这些事件的概率之和。
贝叶斯定理则是在已知某些条件的情况下，计算事件的条件概率。
3. 实例分析为了更好地理解概率论中的事件概率与条件概率，我们通过一个实际案例来说明。
假设某城市有两家公司A和B，根据过去的记录，已知A公司的产品有10%的缺陷率，B公司的产品有5%的缺陷率。
现从某家电商平台购买了一台该城市生产的产品，但不知道该产品来自哪个公司。
事件的概率计算
事件的概率计算概率是数学中的一个重要概念，用于描述一个事件发生的可能性大小。
在统计学和概率论中，我们可以利用各种方法来计算事件的概率，从而帮助我们做出合理的决策。
一、事件的概率定义概率指的是某个事件发生的可能性。
在数学上，概率用一个介于0到1之间的数来表示，0表示该事件不可能发生，1表示该事件一定会发生。
在实际应用中，我们一般使用百分比表示概率。
二、经典概率经典概率是指在有限个等可能的情况下，一个事件发生的概率等于该事件发生的种数除以总的可能出现的情况数目。
例如，掷一枚均匀的六面骰子，出现1的概率为1/6，因为每个面的概率都相等。
三、频率概率频率概率是根据统计数据来计算事件发生的概率。
它是通过观察一系列重复的事件发生的次数来估计事件的概率。
例如，我们可以通过统计过去十次投掷骰子中出现1的次数来估计出现1的概率。
四、主观概率主观概率是基于个人对事件发生的主观判断来计算概率。
它是通过基于个人经验、信仰和判断来估计事件发生的可能性。
例如，一个赌徒根据他对赌局的了解和经验来估计某一事件发生的概率。
五、复合事件的概率计算当我们需要计算多个事件同时发生的概率时，可以利用概率的乘法原理来计算。
即将各个事件的概率相乘得到复合事件发生的概率。
例如，投掷一个硬币正面朝上的概率为1/2，再投掷一次也是1/2，那么两次都出现正面的概率为(1/2)*(1/2) = 1/4。
六、事件的互斥和独立性当两个事件不能同时发生时，我们称这两个事件为互斥事件。
对于互斥事件，它们发生的概率相加等于各自事件发生的概率之和。
例如，在掷一枚骰子时，事件A为出现奇数，事件B为出现偶数，那么事件A和事件B是互斥的。
而当两个事件的发生与否不受彼此影响时，我们称这两个事件为独立事件。
对于独立事件，它们发生的概率相乘等于各自事件发生的概率之积。
例如，两次投掷硬币，第一次为正面的概率为1/2，第二次也为正面的概率也为1/2，那么两次都为正面的概率为(1/2)*(1/2) = 1/4。
事件与概率的关联
事件与概率的关联概率论是数学的一个重要分支，研究随机现象的规律。
而事件与概率之间有着密切的关联。
本文将探讨事件与概率的关系，从概率的角度解释事件发生的可能性，并讨论如何利用概率计算确定事件的发生概率。
一、事件的概率定义与性质事件是指某个随机现象的一个结果。
具体来说，事件是样本空间中的一个子集。
样本空间是指随机试验的所有可能结果的集合。
而事件是样本空间的子集，也就是试验结果的某种组合或范围。
概率是事件发生的可能性的度量，通常用一个介于0和1之间的数值表示。
概率为0表示不可能发生的事件，概率为1表示一定会发生的事件。
而在0和1之间的数值表示事件发生的可能性大小，数值越接近1，事件发生的可能性越大。
概率具有以下性质：1. 非负性：任何事件的概率都不会小于0，即P(A) ≥ 0。
2. 规范性：样本空间的概率为1，即P(S) = 1。
3. 可列可加性：对于互不相容的事件Ai（i=1,2,3,...），它们的并集事件A = A1∪A2∪...，有P(A) = P(A1) + P(A2) + ...二、事件的概率计算方法在概率论中，我们可以通过多种方法来计算事件的概率。
下面介绍几种常用的方法：1. 经典方法：适用于有限样本空间且每个样本点的发生概率相等的情况。
例如，一枚均匀硬币正反面出现的概率都是1/2，一个均匀骰子的点数概率都是1/6。
2. 频率方法：通过频率来估计概率。
即通过多次独立重复试验，统计事件发生的次数与总次数的比值，作为事件发生的概率的估计值。
随着试验次数的增加，频率会逐渐接近概率。
3. 几何方法：适用于几何问题，利用几何形状的性质来计算事件的概率。
例如，在一个单位正方形内随机选择一个点，点在长方形区域内的概率可以通过长方形的面积与正方形的面积之比计算得到。
三、概率与事件的关系概率与事件有着密切的关系，概率可以用来描述事件发生的可能性大小。
事件与概率之间的关系可以通过以下几个概念来进一步理解。
1. 互补事件：对于事件A，其互补事件为A的补集，记为A'。
概率论公式总结
则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分布。记为 。当 时， ， ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
泊松分布
设随机变量 的分布律为
， ， ，
则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或者P( )。
超几何分布
随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。
随机变量的函数
若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立，h,g为连续函数，则：
h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。
特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。
例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。
函数分布
Z=X+Y
根据定义计算：
态分布的和仍为正态分布（ ）。
n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。
，
Z=max,min(X1,X2,…Xn)
若 相互独立，其分布函数分别为 ，则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为：
分布
设n个随机变量 相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和
W～
我们称随机变量W服从自由度为n的 分布记为
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。
离散型
连续型
期望
期望就是平均值
设X是离散型随机变量，其分布律为P( )＝pk，k=1,2,…,n，
（要求绝对收敛）
设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，
（要求绝对收敛）
函数的期望
Y=g(X)
Y=g(X)
方差
D(X)=E[X-E(X)]2，
概率论-事件的概率
从3个同学选出2个同学当班长和书记，则有顺序的， 可以为：甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙。 即有A32个选法。
Anm n(n 1)(n 2)....(n m 1)
Ann n(n 1)(n 2)....3 2 1 n!
则称该试验为等可能概型，也称为古典概型。
概率的古典定义：若古典概型E中基本事件的总数为n,
事件A包含其中的m个，则定义事件A的概率为
P( A)
A包含的基本事件数
=m
E的样本空间中基本事件总数 n
例子：骰子
基本计数方法：加法原理、乘法原理
加法原理：完成一件事，有n类方式，第一类方式中有
m1 种不同的方法，在第二类方式中有 m2 种不同的方法， .....，在第n类方式中有 mn 种不同的方法，那么完成 这件事共有 (m1 m2 ... mn ) 种不同的方法。
组合：从n个不同的元素中取出 m (m n) 个元素成为一 组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
排列（组合）数：从n个不同的元素中取出m (m n)个元素
的所有的排列（组合）的个数，记为：Anm (Cnm )
例 判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题： （1）从甲、乙、丙三个学生中选出2个人； 组合 （2）从甲、乙、丙三个学生中选出2个人担任班长 和团支部书记． 排列
则事件A的概率为
P(
A)
( A) ()
说明
当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概型. （因为古典也是等可能的）
例1 某班级为活跃联欢会气氛，设置了一个刻度平均 的转盘，刻度区间为[0,100],当转针停止在区间[15,25] 可得一等奖，停止在区间[50,70]可得二等奖，试问：
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事件的概率
第一节 概率的概念
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1
概率的含义：
对于事件发生的的可能性大小，需要用一
个数量指标去刻画它，这个指标应该是随机事
件本身所具有的属性，不能带有主观性，且能
在大量重复实验中得到验证，必须符合常情。
11
古典概型是一类比较简单,直观的随机试验,有以下 两个明显特征:
（1）试验所有可能的结果个数有限, 样本空间可表示为 1 , 2 , 3 , （2） 各个试验结果 1 ,2 ,3 ,
, n ；
, n
在每次实验中发生的可能性是相同. 样本空间有限
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15
例1(2) 一批产品由70件正品和30件次品组成，连
续从中抽取两件，第一次取出后不再放回，问“两
次都取得次品”的概率多大？
30 29 29 p = 0.088 100 99 330
若改为有放回的抽取方式呢？
“第一次取得正品且第二次取得次品”的概率 70 30 21 p1 = =0.21 100 100 100 30 30 =0.09 “两次都取得次品”的概率 p2 100 100
连续从中抽取两件，第一次取出后不再放回，
问第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率多 大？ 解：用A表示事件“第一次取得正品且第二次 取得次品”， 由于是无放回地抽取，应用乘法原理可知 总的抽取方法有：100×99种，
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分析：该题概率的计算方法与盒子模型相同.
n P365 解： P1 ， n 365
P2 1 P1 .
30 40 50 60
n
10
20
P2
0.1160 0.4058 0.6963 0.8820 0.9651 0.9922
当n>50时，第二个事件几乎是必然事件，这与我们 的直观想像是不同的。
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例3
从一副扑克牌〔52张〕中任取3张，求取出的
三张是同花〔A〕、顺〔B〕及同花顺〔AB〕的概率。
3 共有多少种取法？ C 52 3 A的取法 4 C13 ，
B的取法 A23,234, AB的取法 4 12
1 1 1 , QKA. 12 C4 C4 C4
3 4 C13 P ( A) 0.05176, 3 C52
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m1 频率 n 1
m2 n2
ms ns
概率p
这种稳定性为用统计方法求概率的数值开拓了道 路。在实际中，当概率不易求出时，人们常取实 验次数很大时事件的频率作为概率的估计值.并称 此概率为:统计概率。 思考：当n 时， 这种确定概率的方法称为频率方法。 f n ( A) P ( A)吗？
我们把刻画事件发生的可能性大小的数量指标
叫做事件的概率。
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2
在一般情况下，对一个随机试验，如何
度量随机事件发生的可能性的大小呢？为了
回答这个问题，我们先引进频率的概念。 设随机事件A在n次试验中发生了r次，则
称比值 r/n为这n次试验中事件A发生的频率，
即
r f n ( A) n
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在了解了定义之后，我们从试验入手，会发现 随机事件一个极其重要的特征：
频率的稳定性
频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大 小。尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率 可以各不相同，但只要n相当大，频率与概率是会非 常接近的。
4 12 P ( AB ) 3 C 52
1 1 1 12 C4 C4 C4 P( B) 0.03475 3 C52
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0.002172
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例4(抽签问题) 设某超市有奖销售，投放n张奖券
23
几何概型：——面积型 1、样本空间Ω 是平面上某个区域，它的面积为S(Ω ); 2、向区域Ω 上随机投掷一点，这里“随机投掷一点”
的含义是指该点落入Ω 内任何部分区域内的可能性只
与这部分区域的面积成比例，而与这部分区域的位置 和形状无关。
3、事件A是Ω 的某个区域，它的面积为S(A),则向区域
概率
n2
n1 n2
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概率
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9
三、概率的性质
1、非负性： 2、正则性： 3、可列可加性:
0 P ( A) 1 P ( ) 1 (1) (2)
若A1 , A2 ,
（1） 共有Pnn n!种不同的放法，
n! 所以， p1 n ; N
n （2） 共有PN 种不同的放法，
n PN 所以， p2 n . N
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生日问题： n (n 365)个人的生日各不相同的概率 是多少？ 至少有两个人生日相同的概率是多少？
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4
因此，概率是可以通过频率来“测量”的, 频率是概率的一个近似。 考虑在相同条件下进行的S 轮试验
第一轮 试验 试验次数n1 事件A出现 m1次
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第二轮 试验 试验次数n2 事件A出现 m2次
第一次取正品的方法有70种，第二次取次品 的方法有30， 则A中包含的抽取方法共70×30种， 所求概率为：
70 30 7 P A 0.21 100 99 33
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只有1张有奖，每位顾客抽取一张，求第一位顾客、
任一位顾客中奖的概率。
1 第一位顾客中奖的概率 p1 n
“第k位顾客中奖”表明前k-1位顾客都未中奖， 第k位顾客中奖的概率
( n 1) ( n k 1) 1 1 . pk n( n 1) ( n k 1) n
中奖率与抽取先后次序无关.
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历史上抛硬币试验的若干结果
实验者 抛硬币次数
出现正面次数
Байду номын сангаас频率
德莫根 蒲丰 费勒 皮尔逊 皮尔逊
2048 4040 10000 12000 24000
1061 2048 4979 6019 12012
样本点具有等可能性
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定义：设试验E 是古典概型, 其样本空间Ω由
n个样本点组成 , 事件A由k 个样本点组成 。
则定义事件A 的概率为：
A包含的样本点数 k . P ( A) n 包含的样本点数
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例2〔盒子模型〕把n个球随机放入N(n<N)个盒子中，
求：①指定的n个盒子各有一个球的概率；
②恰有n个盒子各有一个球的概率。
解：每个球有N 种放法， 共有N n种不同的放法.
件A的概率类似可求，只不过把S理解为长度或体积.
几何概型通常以长度、面积或体积等具体形式表现 出来. 与古典概型一样，样本点必须具有等可能性.
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例6〔会面问题〕甲、乙两人相约在晚7时到8时这 段时间内在预定地点会面，先到的人等候另一个， 超过20分钟则离去。设每人在7时到8时这段时间内 各时刻到达该地是等可能的，且两人到达的时刻互 不影响。试求甲、乙两人能会面的概率？ y ( x , y ) 0 x 60 , 0 y 60 .
0
10 15
25 30
(15 10) (30 25) 1 P ( A) 30 0 3 (5 0) (20 15) 1 P( B) 30 0 3
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称此概率为古典概率； 这种确定概率的方法称为古典方法。 即把求概率问题转化为计数〔统计频数〕。 注意：排列组合是计算古典概率的重要工具 。
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例1(1) 一批产品由70件正品和30件次品组成，
0.5181 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005
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8
频率的稳定性
试验次数
n1
频率
Ω 上随机投掷一点，该点落区域A内的概率是
S ( A) P ( A) S ( )
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