数学必修2第四章知识点小结及典型习题(新)

第四章 圆与方程

一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合(或点的轨迹)叫圆，

定点为圆心，定长为圆的半径.

二、圆的方程：（标准方程和一般方程）

（一）标准方程：()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r

圆的参数方程（还未学习，暂作了解）

()()()222cos 0sin x a r x a y b r r y b r θθ

=+⎧-+-=>⇔⎨=+⎩，θ为参数

()222cos 0sin x r x y r r y r θθ

=⎧+=>⇔⎨=⎩，θ为参数

1、求标准方程的方法——关键是求出圆心()b a ,和半径r

①待定系数法：往往已知圆上三点坐标，例如教材119P 例2

②利用平面几何性质：往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交。

相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线

相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理

2、特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）

条件 方程形式

圆心在原点 ()22

20x y r r +=≠

过原点 ()()()

2222220x a y b a b a b -+-=++≠

圆心在x 轴上 ()()2

220x a y r r -+=≠

圆心在y 轴上 ()()2220x y b r r +-=≠

圆心在x 轴上且过原点 ()()2

220x a y a a -+=≠

圆心在y 轴上且过原点 ()()2220x y b b b +-=≠

与x 轴相切 ()()()22

20x a y b b b -+-=≠

与y 轴相切 ()()()22

20x a y b a a -+-=≠

与两坐标轴都相切 ()()()22

20x a y b a a b -+-==≠

（二）圆的一般方程：()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->

1、圆的一般方程的特点：

(1)①2x 和2y 的系数相同，且不等于0．

②没有xy 这样的二次项． (2) 求圆的一般方程采用待定系数法：圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．如教材122P 例 4

(3)与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

2、

220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程，则 2222000

04040A B A B C C D E AF D E F A A A ⎧⎪=≠=≠⎧⎪⎪⎪=⇔=⎨⎨⎪⎪+->⎩⎛⎫⎛⎫⎪+-⋅> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩

3、常可用0422>-+F E D 来求有关参数的范围。

4、（1）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=；

（2）当0422=-+F E D 时，表示一个点；

（3）当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。

例：若方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则实数a 的取值范是（ ）。

A 、203a -<<

B 、20a -<<

C 、223a <-或a>

D 、223

a -<< （三）注意求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，

b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

三、点与圆的位置关系

点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：

1、判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系

d r <⇒点在圆内；d r =⇒点在圆上；d r >⇒点在圆外

2、涉及最值：

（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值

min PB BN BC r ==-

max PB BM BC r

==+ min max PB NB BC r PB MB BC r ==-==+,

（2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论

PA 的最值

min PA AN r AC ==- 、max PA AM r AC ==+

思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）

例：若点(1，1)在圆22()()4x a y a -++=的内部，则实数a 的取值范围是（ ）。

A. —1

B. 0

C.a<—1或a>1

D.a=±1

四、直线与圆的位置关系的判定及弦长公式：

（一）直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，判断方法如下：

1、设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到直线l 的距离为2

2B A C Bb Aa d +++=，则有

r d >⇔直线l 与圆C 相离；r d =⇔直线l 与圆C 相切； r d <⇔直线l 与圆C 相交； 这一知识点可以出题：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.

2、设直线0:=++C By Ax l ，圆()()22

2:r b y a x C =-+-，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为∆，则有

相离与C l ⇔<∆0；相切与C l ⇔=∆0；相交与C l ⇔>∆0

注：如果圆心的位置在原点，可使用公式200r yy xx =+去解直线与圆相切的问题，其中()00,y x 表示切点坐标，r 表示半径。

（二）直线与圆相切

1、知识要点

①基本图形

②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等

问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？

圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r

2、常见题型——求过定点的切线方程

（1）切线条数：点在圆外——3条；点在圆上——1条；点在圆内——无

（2）求切线方程的方法及注意点．．．

i ）点在圆外

如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22

200x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-

第二步：通过d r =k ⇒，从而得到切线方程

特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了！