第一册下册第四章3-4节任意角的三角函数;同角三角函数的基本关系式

【本讲教育信息】
一. 教学内容：
任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系式
二. 本周教学重、难点： 1. 重点：
三角函数的定义，各三角函数值在每个象限的符号，特殊角的三角函数值。

解答三角函数的求值，化简，三角恒等式的证明。

2. 难点：
对三角函数的自变量的多值性的理解，三角函数的求值中符号的确定。

【典型例题】
[例1] 若角θ的终边过P （t 4-，t 3）（0≠t ）求θθcos sin 2+的值。

解：
∵ t x 4-=，t y 3= ∴ t t t r 5)3()4(22=+-=
当0>t 时，5353sin ===
t t r y θ，5
4
54cos -=-==t t r x θ ∴ 52
54532cos sin 2=-⨯=+θθ 当0<t 时，53sin -=θ，5
4
cos =θ
∴ 5
2
54)53(2cos sin 2-=+-⨯=+θθ
[例2]（1）求满足2
3
sin >
α的角α的取值范围。

（2）求满足ααcos sin >的角α的取值范围。

解：
（1）如图可知：ππαπ
π3
2
232+<<+
k k （Z ∈k ）
（2）如图可知：ππαπ
π4
5
242+<<+
k k （Z ∈k ）
[例3] 设2
0π
α<
<，求证：2cos sin 1≤+<αα。

证明：
如图，在α的终边上任取一点P （x ，y ），则r y =αsin ，r
x
=αcos ∴ r y x r x r y +=+=
+ααcos sin ∵ 2
0π
α<< ∴ 0>x ，0>y 且MP OM y x +=+r OP => ∴
1>+r
y
x 即1cos sin >+αα 又设2cos sin >+αα 则
22
2
>++y
x y x
即)(222
2
2
2y x y xy x +>++ ∴ 022
2
<-+xy y x 即0)(2
<-y x 矛盾
故假设错误 ∴ 2cos sin 1≤+<αα
[例4] 已知θ是第二象限角
（1）试确定θθcos sin ⋅的值的符号
（2）试确定)cos(sin )sin(cos
θθ⋅的值的符号 解：
（1）∵ θ是第二象限角 ∴ 0sin >θ且0cos <θ ∴ 0cos sin <θθ （2）∵ θ是第二象限角 ∴ 0cos 1<<-θ，1sin 0<<θ
∴ 0)sin(cos
<θ，0)cos(sin >θ ∴ 0)cos(sin )sin(cos <⋅θθ [例5] 已知0cos 5sin 12=+αα，求αsin ，αcos 的值。

解：
∵ 0cos 5sin 12=+αα ∴ ααcos 12
5
sin -
= 又1cos sin 22=+αα ∴ 1cos )cos 125(22=+-αα 即169144cos 2
=α ∴ 13
12cos ±=α
∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=1312cos 135sin αα或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-
==1312cos 135sin αα
[例6] 化简)1080cos(765cot )(405tan )1350sin(222︒--︒--︒+︒-ab b a b a
解：
原式)453602cot()()45360tan()903604sin(2
2
2
︒+︒⨯--︒+︒+︒+︒⨯-=b a b a )3603cos(︒⨯--ab
︒-︒--︒+︒=0c o s 45cot )(45tan 90sin 2
2
2
ab b a b a ab ab b a b a =---+=2
2
2
)( [例7] 已知2tan -=α，求下列各式的值。

（1）ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+- （2）αα2
2cos 52sin 41+
解：∵ 2tan -=α 则0cos ≠α
（1）原式10)
2(352
)2(4tan 352tan 4=-⨯+--⨯=+-=
αα
（2）原式2571
)2(52)2(411tan 52tan 41cos sin cos 52sin 4
122222222=+-+
-⨯=++=++=αααααα
[例8] 求证：
α
αα
αααααsin tan sin tan sin tan sin tan ⋅+=-⋅
证： 法一：
右边α
αααα
ααααααααsin tan )sin (tan cos tan tan sin tan )sin (tan sin tan 22222⋅--=
⋅--= α
αααα
αααααααs i n t a n )s i n (t a n s i n t a n s i n t a n )s i n (t a n )c o s 1(t a n 2222-⋅=
⋅--= =-=
α
αα
αs i n t a n s i n t a n 左边
法二： 左边α
α
αααααcos 1sin cos tan tan sin tan -=-⋅=
右边)
cos 1(sin sin )cos 1(sin cos 1sin cos 1sin tan cos tan tan 22ααααααααααααα-=
--=+=+= α
α
c o s 1s i n -=
∵ 左边=右边 ∴ 等式成立
【模拟试题】（答题时间：50分钟）
一. 选择： 1.
α是第二象限角，P （x ，5）为其终边上一点，且x 4
2
cos =
α，则αsin 的值为（ ）
A.
410 B. 46 C. 42 D. 4
10- 2.
α是第二象限角，且2
cos 2cos
α
α
-=，则2α是（ ）
A. 第一象限角
B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角 3. π6
25
sin
等于（ ） A.
21 B. 23 C. 21- D. 2
3- 4. 2
0π
≤
≤x ，21cos sin =
x x ，则x
x cos 11
sin 11+++的值为（ ）
A. 51039+
B. 1529-
C. 1529+
D. 224-
二. 填空：
1. 已知α的终边过（-a 39，2+a ）且0c o s ≤α，0sin >α，则α的取值范围是 。

2. 若3cot tan =+αα，则=ααcos sin ，=+αα2
2cot tan 。

3. 函数x x y tan sin +=的定义域为 。

4. 4tan 3cos 2sin ⋅⋅的值为 （正数，负数，0，不存在）
三. 解答题： 1. 求值：
（1）
3
sin 314
17cos 216tan 3613cos 342222ππππ--+ （2）)
6
23cos(1
)2
5
sin(765tan 1675tan ππ-+
--︒+
︒ 2. 设)cos()sin()(βπαπ+++=x b x a x f 其中a 、b 、α、β都是非零实数，且满足
1)2002(-=f ，求)2004(f 的值。

3. 设α是第三象限角，问是否存在这样的实数m ，使得αsin ，αcos 是关于x 的方程
012682=+++m mx x 的两个根？若存在，求出m ，不存在，说明理由。

【试题答案】
一.
1. A
2. C
3. A
4. D 二.
1. ]3,2(-
2. 31；7
3. ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧Z ∈+≠k k x x ,2|ππ 4. 负数 三. 1.（1）43 （2）3
3
23+ 2. 解：
∵ )2002cos()2002sin()2002
(βπαπ+++=b a f 1cos sin -=+=βαb a
∴ )2004cos()2004sin()2004
(βπαπ+++=b a f 1cos sin -=+=βαb a
3. 解：设存在这样的实数m ，由题设⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
>+=⋅-=+≥+-=∆)3(0812cos sin )2(43cos sin )1(0)12(32362m m m m αααα
又1cos sin 2
2
=+αα ∴ 1cos sin 2)cos (sin 2
=-+αααα（4）
将（2），（3）代入（4）得：18
122)43(2=+⨯--m m 即020892
=--m m ∴ 21=m ，9
102-=m
∵ 21=m 不满足条件（1）舍去
∵ α是第三象限角 ∴ 0sin <α，0cos <α ∴ 0cos sin <+αα
9
10
2-
=m 不满足条件（2）舍去，故这样的实数m 不存在。